2. Fundamentação Teórica
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Previsão de commodities com modelos ARIMA-GARCH e redes neurais com ondaletas: velhas tecnologias – novos resultados 1. Introdução Na última década, uma nova metodologia para previsão de séries temporais (decomposição em sub-séries, com previsão dentro das mesmas via filtro de ondaletas ou wavelets) tem sido discutida na literatura e aplicada por agentes envolvidos nas previsões econômicas com intuito de redução de incertezas e riscos, principalmente no mercado agropecuário. Já é crescente o número de pesquisas que estão sendo desenvolvidas com o uso desta nova metodologia aplicadas aos indicadores de bolsa de valores como, por exemplo, Tak (1995) e Wong et al. (2003). No Brasil, ainda são poucos os trabalhos que exploram ondaletas como os de Chang (1997) e Homsy, Portugal e Araújo (2000), Lima (2004). Diversos estudos têm pesquisado a adoção de previsões na área de finanças, utilizando diferentes técnicas e abordagens. Autores como Keim e Stambough (1986), O’Connor, Remus e Griggs (1997), Leung, Daouk, Chen (2000), Bressan e de Lima (2002) estudaram a adoção de métodos de previsão de indicadores financeiros, explorando, através de abordagens econométricas e de redes neurais, a previsibilidade de retornos de preços de ações até de preços aplicados a contratos futuros na BM&F, através da modelagem de sucessões cronológicas, em que se têm, como variável de entrada, os valores históricos da variável a ser prevista. Outros autores analisaram mais especificamente a previsão de índices de Bolsa de Valores. Por exemplo, Kutsurelis (1998), Leung, Daouk e Chen (2000) utilizaram técnicas de modelagem de séries temporais, tomando como base os modelos ARIMA sugeridos por Box e Jenkins (1994) e usando redes neurais voltadas para o índice S&P 500. O surgimento da teoria de decomposição via ondaletas, a partir de meados dos anos 80, que consiste em fracionar a série temporal original em duas sub-séries, sendo uma relativa às altas freqüências e a outra às baixas freqüências, por meio de formas de ondas específicas, fez com que alguns autores começassem a incorporar o uso desta teoria em conjunto com outras técnicas já convencionais para fins de previsão (GENÇAY; SELÇUK; WHITCHER, 2002). Exemplificando, Ariño (1995) utilizou as ondaletas para previsão de vendas mensais de carros no mercado espanhol. Tak (1995) fez uso de ondaletas para previsão do S&P500, em conjunto com redes neurais e com modelos ARIMA, baseando-se na metodologia proposta por Engle (1982). Através desta metodologia, chegou-se a uma previsão do índice futuro, aplicando-se um modelo de previsão às duas sub-séries derivadas da série original, obtendo-se uma reconstrução desta série através de uma ondaleta. Wong et al. (2003) também realizaram previsões com ondaletas modelos ARIMA, na série do dólar americano e identificaram uma melhora no desempenho das previsões quando as ondaletas eram utilizadas para fracionar a série. No Brasil, alguns poucos trabalhos utilizando ondaletas podem ser citados. Por exemplo, Chang (1997) trabalha com ondaletas na caracterização estatística de processos estacionários com dados dos componentes espectrais de eletroencefalograma durante o estado de sono de bebês cujas mães se abstiveram de bebidas alcoólicas durante a gravidez e de bebês cujas mães consumiram, de forma moderada, bebidas alcoólicas durante a gravidez. Esta técnica foi aplicada para detecção de alterações do estado de sono, via distorções nos comportamentos dos escalogramas em escalas altas e baixas. Homsy, Portugal e Araújo (2000) comparam, sob forma de estudo de casos, previsões relativas a três diferentes métodos de modelagem de séries de tempo, os quais consistem na aplicação da metodologia ARIMA, tanto da forma usual quanto amparada por dois procedimentos auxiliares, baseados na análise de ondaletas para as séries da produção industrial, exportações brasileiras e volume de pesca na Groelândia. Utilizou também o procedimento de alisamento exponencial das séries. Este estudo dá indícios de que a modelagem em separado através de ondaletas de sub-séries de baixas e altas freqüências contribui positivamente para a qualidade das previsões. Incorporando dados mais recentes, Wong et al. (2003) trabalharam com a taxa de câmbio para previsões de dez passos à frente e na construção dos modelos de tendência, utilizando uma amostra de 512 observações de 1º de agosto de 1989 a 31 de julho de 1991. Este autores utilizaram a ondaleta de Daubechies (DAUB7) e, comparando com os modelos ARIMA, obtiveram um menor erro de estimação com a decomposição via ondaletas. A partir do levantamento do referencial teórico, observa-se uma lacuna na literatura sobre previsão existente no mercado brasileiro. Em particular, pode-se explorar o estudo conjunto da utilização dos modelos ARMA-GARCH e de redes neurais, dentro das sub-séries decompostas por meio de uma ondaleta específica. Após a previsão feita dentro destas subséries, reconstrói a série original pela mesma ondaleta. A exemplo da pesquisa de Tak (1995) e Homsy, Portugal e Araújo (2000), o presente estudo investiga a decomposição na série original via uso de formas de ondaletas específicas e também na reconstrução da série original para obtenção da previsão futura. O diferencial deste trabalho está na realização das previsões dentro das sub-séries decompostas por uma ondaleta, obtendo-se a previsão da série original via reconstrução, para modelos de séries temporais de commodities, mais especificamente como exemplo o caso da série de preços da saca de 60 kg da soja. Mais especificamente, este artigo trata da aplicabilidade de previsão de ARIMA, ARIMA-GARCH e redes neurais com retropropagação e redes neurais recorrentes. O problema central da investigação deste trabalho envolve a seguinte questão: “comparando os métodos já utilizados de previsão de séries temporais com a metodologia das ondaletas, qual se mostra mais preciso na previsão aplicado a uma commodity?” O objetivo principal desta pesquisa é explorar uma metodologia capaz de decompor uma série temporal via ondaletas, conjuntamente com outros modelos já existentes de previsão. Adicionalmente, busca-se comparar a qualidade de previsões obtidas por diferentes métodos considerando uma série temporal de preços de uma commodity. O artigo encontra-se dividido da seguinte forma. Após esta introdução, a seção 2 traz a fundamentação teórica das ondaletas e sua aplicação em modelos de previsão de séries temporais. A seção 3 trata da metodologia desenvolvida para esta pesquisa e a seção 4 mostra os resultados deste conjunto de aplicações de filtros e modelos de previsão para a série temporal da saca de 60 kg da soja, discutindo as vantagens e limitações desta nova metodologia. 2. Fundamentação Teórica Uma série temporal é qualquer conjunto de variáveis estocásticas eqüiespaçadas e ordenadas no tempo X t X1 , X 2 , n t 1 , X n . Em outras palavras, um sinal que depende do tempo e é medido em pontos particulares no tempo é sinônimo de uma série temporal (ENDERS, 2003). Conforme Morettin (2002), o que se chama de série temporal é uma parte de uma trajetória, dentre muitas que poderiam ter sido observadas de um processo estocástico. A análise de séries temporais, segundo enfoque de Box, Jenkins e Reinsel (1994), tem por objetivo principal a realização de previsões. Essa metodologia permite que valores futuros de uma série possam ser previstos com base apenas em seus valores presentes e passados. O feitio deste processo se dá pela exploração da correlação temporal que existe, geralmente, entre os valores exibidos pela série. Por envolverem apenas uma série de tempo, são classificados como modelos paramétricos lineares univariados (MORETTIN, 2002). Os modelos ARIMA são modelos que são aplicados no caso específico de séries não estacionárias ou estacionarizadas e são compostos pelos três filtros: auto-regressivo, média móvel e diferenciação. Para se montar um modelo ARIMA para uma série temporal, há três estágios a se considerar: identificação, estimação e verificação (diagnóstico) (MORETTIN, 2002). Genericamente, um modelo ARMA (p,q) seria: X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p t 1 t 1 2 t 2 q t q (1) em que t et 1 (1) X t Et 1 X t . Um modelo ARCH- Autoregressive Conditional Heterocedasticity, ou seja, de heterocedasticidade autoregressiva condicional criado por Engle (1982) descreve uma série temporal X t como X t t ht que descreve o comportamento de X t conjunto informacional It-1 Xt 1 , Xt 2 , sendo condicionado ao que t deve ser normal e identicamente distribuído NID(0;1). O valor de ht é: ht Var X t X t 1 , X t 2 , E X t2 X t 1 , X t 2 , com E t2 1 , resulta que h 0 1 X t21 , 0 0,0 1 1 . E t2 ( 0 1 X t21 ) (2) (3) Como ht depende do período defasado de X t21 , a série dos X t é então chamada de modelo ARCH de ordem 1, índice p do modelo. A equação (3) indica que a variância condicional de t varia com o tempo e deve-se observar que não há o termo de erro adicional. A equação (2) assume que todas as observações t têm aas mesmas propriedades distribucionais. A equação (3) mostra ainda que para valores absolutos grandes (ou pequenos) de X t são esperados ser seguidos de valores absolutos grandes (ou pequenos), enquanto houver a igualdade E X t X t h 0 , ou seja, a idéia básica é a de que a série dos retornos X t é nãocorrelacionada serialmente, mas a volatilidade (variância condicional) depende dos retornos passados por meio de uma função quadrática. Conseqüentemente, um modelo ARCH poderá descrever uma série temporal com seqüências pontuais que parecem com outliers, onde o fato de que estes outliers aparecem em clusters é causado pela equação de variância e não pelas autocorrelações no nível da série temporal. O modelo ARCH generalizado, conhecido como GARCH – Generalized Autoregressive Conditional Heterocedasticity foi proposto Bollerslev (1987), onde dado um modelo AR(p)-ARCH(q), este pode ser representado por: X t t ht com t ~ NID(0;1) com h 0 1 X t21 2 X t22 q X t2q 1ht 1 2ht 2 p ht p ou seja, é a equação GARCH(p,q) , sendo 0 0 , i 0 , j 0 , (4) q ( i 1 i i ) 1 e q = max(p,q). As redes neurais artificiais são sistemas de processamento de informações distribuídas, compostas por muitos elementos computacionais simples que interagem através de conexões com pesos distintos. Inspiradas na arquitetura do cérebro humano, elas exibem características como a habilidade de “aprender” padrões complexos de informação e generalizar a informação aprendida (ZHANG; PATUWO; HU, 1998). Muitos algoritmos neurais para processamento temporal têm sido propostos, entre estes destacam-se o algoritmo de retropropagação através do tempo (BPTT, back propagation through time), aprendizado recorrente em tempo real (RTRL, real-time recurrent learning ) e os algoritmos de redes recorrentes utilizando o filtro de Kalman. Segundo Haykin (2001), as unidades básicas da rede são os neurônios artificiais. Os neurônios se agrupam em camadas. Existem três categorias de camadas: a camada de entrada, a intermediária que pode também conter mais de uma camada e a camada de saída. Os neurônios entre as camadas são conectados por sinapses ou pesos, os quais refletem a relativa importância de cada entrada com o neurônio. A camada de entrada é responsável pelas variáveis de entrada do modelo; a camada de saída contém um ou mais nós, representando os resultados finais do processamento e as camadas intermediárias, ou camadas ocultas, que podem existir uma ou mais que irão tornar o processamento mais refinado e não-linear. A Figura, a seguir, apresenta o modelo de um neurônio, que forma a base para o wk0 = bk projeto de redes neurais (artificiais): Entrada Fixa (viés) wk0 x0 = +1 x1 x2 Sinais de Entrada wk1 wk 2 x m wk Potencial de Ativação v k Função de Ativação (.) Saída yk Junção aditiva m Pesos sinápticos Figura 1: Modelo de um neurônio artificial Fonte: HAYKIN, 2001. No modelo neural da Figura 1, tem-se: um conjunto de sinapses ou elos de conexão, sendo que cada sinapse é caracterizada por um peso ou força própria. Especificamente, um sinal x j , na entrada da sinapse j conectada ao neurônio k, é multiplicado pelo peso sináptico wkj . É importante notar como são escritos os índices do peso sináptico wkj . O primeiro índice se refere ao neurônio em questão e o segundo ao terminal de entrada da sinapse à qual o peso se articula; um somador ou integrador para somar os sinais de entrada, ponderado pelas respectivas sinapses do neurônio; as operações descritas, neste caso, constituem um combinador linear e a função de ativação para restringir a amplitude da saída de um neurônio. A função de ativação é também referida como função restritiva já que restringe (limita) o intervalo permissível de amplitude do sinal de saída a um valor finito. O modelo neural da figura 1 inclui também um viés aplicado externamente, representado por bk . O viés bk tem o efeito de aumentar ou diminuir a entrada líquida da função de ativação, dependendo se ele é positivo ou negativo, respectivamente.Em termos matemáticos, pode-se descrever um neurônio k, a partir das seguintes equações: m uk wkj x j (5) yk uk bk (6) j 1 sendo que x1 , x2 , ..., xm são os sinais de entrada; wk1 , wk 2 , ..., wkm são os pesos sinápticos do neurônio k; uk é a saída do combinador linear devido aos sinais de entrada; bk é o viés; () é a função de ativação e yk é o sinal de saída do neurônio. O uso do viés bk tem o efeito de aplicar um transformação afim à saída uk do combinador linear no modelo da Figura 2, como mostrado por: (7) vk uk bk Em particular, dependendo se o viés bk é positivo ou negativo, a relação entre o campo local induzido ou potencial de ativação vk do neurônio k e a saída do combinador linear uk pode ser alterada. O modelo linear tem a propriedade útil de ter uma solução de forma fechada para resolver o problema de uma regressão, ou seja, de minimizar a diferença quadrática entre oi e o valor previsto pˆ i . Para a previsão de um período curto, o modelo linear é um ponto de partida razoável, ou um padrão reconhecido, visto que, em muitos mercados, observam-se apenas pequenas mudanças simétricas na variável a ser predita, ao longo de uma tendência de longo prazo. No entanto, isto pode não ser preciso o bastante para mercados financeiros voláteis em que pode haver um processo não-linear dos dados. Movimentos lentos no aumento dos preços dos ativos, seguidos por colapsos repentinos conhecidos como “bolhas” são comuns de acontecer. Dessa forma, o modelo linear pode falhar em capturar ou prever pontos de mudança acentuada nos dados. Por esta razão, é que são utilizadas técnicas nãolineares de previsão. A rede neural é uma alternativa aos modelos lineares e a algumas abordagens nãoparamétricas para a aproximação de sistemas não-lineares. A razão para o uso de uma rede neural é simples e direta. O objetivo é encontrar uma abordagem ou método o qual realize bem previsões para dados gerados para processos que, freqüentemente, são desconhecidos e altamente não-lineares, com uma quantidade pequena de parâmetros e o qual seja mais fácil de estimar que os modelos não-lineares paramétricos (DE OLIVEIRA, 2003). Redes neurais recorrentes são redes neurais com um ou mais laços de realimentação, podendo ser local ou global (HAYKIN, 2001). Talvez, os algoritmos mais amplamente utilizados sejam o algoritmo de aprendizagem recorrente em tempo real (RTRL – real time recurrent learning) e o algoritmo de retropropagação através do tempo (BPTT – backpropagation through time) (WILLIAM e ZIPSER, 1995). As previsões das séries temporais podem ser feitas no próprio nível da série dos retornos X t , muito embora os ruídos apresentados dificultem a identificação dos coeficientes tanto dos modelos GARCH como dos condicionamentos das redes neurais. Uma saída proposta para esse problema seria passar sobre a série temporal um filtro que ajudasse a diminuir esse ruído existente. A proposta metodológica desta pesquisa é usar para esse filtro um sistema de ondaletas. A primeira menção sobre o termo ondaletas foi dada em 1909, por Alfred Haar. O conceito de ondaletas, na forma atual, foi primeiramente proposto por Jean Morlet e sua equipe no Marseille Theoretical Physics Center, trabalhando em Alex Grossmann, na França (MISITI et al., 1997). As ondaletas são funções matemáticas que ampliam intervalos de dados, separando-os em diferentes componentes de freqüência, permitindo a análise de cada componente em sua escala correspondente. Essa característica distingue métodos de ondaletas de outros métodos em estatística, baseados em séries ortogonais, tais como as usuais séries de Fourier. (MISITI et al., 1997). De acordo com a definição acima, a transformada contínua de ondaleta (CWT) pode ser interpretada como o produto interno do sinal de teste com as funções base ( , s )(t ) : CWTx ( , s) x ( , s) x(t ). *, s (t )dt (8) 1 t . s s Esta definição de CWT mostra que a análise de ondaleta é uma medida de similaridade onde , s entre as funções base (ondaleta) e o próprio sinal. Aqui similaridade está no sentido de conteúdo de freqüência similar. Os coeficientes CWT calculados referem o quanto próximo do sinal está a ondaleta na escala atual. Se o sinal tem maior componente de freqüência correspondente à escala atual, então a ondaleta (funções base) na escala atual serão similares ou próximas ao sinal na posição particular, onde esta componente de freqüência ocorre. Dessa forma, o coeficiente CWT calculado naquele ponto no plano escala-tempo será um número relativamente grande (POLIKAR, 1994). Segundo Morettin (1999), toda função periódica, de período 2 , de quadrado integrável, ou seja, de L2 (0, 2 ) , é gerada por uma superposição de exponenciais complexas Wn ( x) einx , n 0, 1, 2, , obtidas por dilatações da função Wn ( x) eix . O objetivo, segundo o autor, é estender essa função para L2 ( IR) , isto é, gerar um espaço, a partir de uma função , que pode ser conseguida por dilatações (parâmetro “ a ”) ou compressões e translações (parâmetro “ b ”) de , dada por: (9) x b , a, b IR, a 0 a Sendo que é chamada de ondaleta mãe e os parâmetros a e b tomam os seguintes a ,b ( x ) a 1 2 valores especiais, a 2 j e b k 2 j , que compõem a equação: j 2 j , k ( x) 2 2 j x k , j , k (10) obtida pela dilatação binária 2 e pela translação diática k 2 , conforme sugere Morettin (1999). j j Uma maneira de gerar ondaletas é pela função escala, ou chamada de ondaleta pai, , que é uma solução da equação l (2t k ) (t ) 2 (11) k k onde lk 2 (t )(2t k )dt . Essa função gera uma família ortonormal de L2 ( IR) , j 2 (12) j , k ( x) 2 2 j x k , j , k Z Nessas condições, pode ser obtida de por: (t ) 2 h (2t k ) (13) k k (14) onde hk (1) l1 k que é chamada de quadrature mirror filter relation (MORETTIN, 1999). Segundo Gençay, Selçuk e Whitcher (2002), uma série temporal financeira pode ser k decomposta por uma análise de ondaletas, por uma seqüência de projeções de ondaletas pai e mãe, a partir das funções e , como seguem as equações (10) e (11). A integração entre as ondaletas e uma série temporal prevista está no fato de que, uma vez realizadas as previsões nas sub-divisões obtidas na etapa chamada de decomposição, a transformada inversa da ondaleta na etapa de reconstrução, que irá trazer de volta a série temporal no nível, isto é, a série temporal original. A representação de uma série temporal X t em L2 ( IR) pode ser dada por: Xt a j ,k j ,k (t ) k d j ,k j ,k (t ) k Xt a k j ,k j ,k (t ) d j 1, k j 1,k (t ) k d i i ,k d 1, k 1,k (t ) (15) k j i 1,k (t ) (16) k onde j é o número de componentes e k que varia de 1 ao número de coeficientes do componente específico. Os coeficientes a j ,k , d j ,k , , d1,k são os coeficientes das transformadas de ondaletas dadas pelas projeções: Aj ,k e j ,k (t ). X t dt , chamada parte de aproximação (17) D j ,k (18) j ,k (t ). X t dt , chamada parte de detalhe E no nível j tem-se a metade do número de coeficientes do nível j 1 , donde o nome piramidal. A problemática em questão consiste em obter uma freqüência crítica de maneira que os componentes da série original relacionados a freqüências menores ou iguais a uma freqüência crítica formem uma sub-série At 1 n 2 relativa a baixas freqüências, que também recebem o nome de série “aproximada” (aproximation part) e os demais componentes formem outra sub-série relativa a altas freqüências, denotada Dt 1 , n 2 também chamada de série “detalhe” (detail part) conforme as equações (10) e (11). (HOMSY; PORTUGAL; ARAÚJO, 2000). Para Misiti et al. (1997), este processo de decomposição, a partir de uma série X t , passando por um filtro de uma ondaleta, dá origem a duas novas séries: uma chamada aproximação (baixas freqüências) e outra detalhe (altas freqüências). O autor cita ainda que o processo de decomposição da série pode ser iterativo, com sucessivas decomposições, formando uma árvore de decomposição com 2 n caminhos diferentes para a codificação da série. A árvore de decomposição fica da seguinte forma: Série Original A1 AA1 AAA2 AAD2 D1 1º Nível AD1 ADA2 DAD2 2º Nível 3º Nível DA1 ADA2 ADD2 DD1 DDA2 DDD2 Figura 2: Árvore de decomposição em 3 níveis de uma série temporal via decomposição por ondaleta. Fonte: MISITI et al., 1997. 3. Metodologia A metodologia utilizada fundamenta-se na análise e na construção de modelos univariados de previsão de séries temporais não-lineares. Há uma grande variedade de modelos aplicáveis a estudos dessa natureza. Para fins desta pesquisa, optou-se por selecionar os modelos ARIMA-GARCH e de Redes Neurais com o algoritmo de aprendizagem recorrente em tempo real, conforme sugerido por Williams e Zipser (1995) e De Oliveira (2003) e LIMA(2004). A commodity agrícola escolhida para esta pesquisa foi a soja. Nos dias atuais, ela constitui um dos produtos de maior relevância para a economia brasileira e uma das culturas que mais cresce no segmento agroindustrial. Os dados foram obtidos junto ao site da Esalq através do Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada1 para a saca de 60 Kg da soja. Usou-se o EVIEWS® 5.0, para tratamento dos testes e previsões para o modelo ARIMA-GARCH. Para as redes neurais, utilizou-se o MATLAB® 6.5, para as redes recorrentes e o software Statistica da StatSoft© 6.1, para as redes com retropropagação. Entendem-se as ondaletas como uma etapa inicial de pré-processamento, para fins de realizar as previsões dentro das sub-séries de baixa e alta freqüência em que a ondaleta as decompõe. Foi escolhida a ondaleta de Daubesch número 1 (DB1), por ser a mais trabalhada nos artigos da revisão da literatura. Foi considerado as decomposições da série da soja pela ondaleta de Daubesch em até um nível conforme Lima(2004) por apresentar melhores resultados do que em dois níveis de decomposição. Para comparar as previsões do valor do preço da saca de 60 Kg da soja utilizou-se as estatísticas MAPE, TIC e correlação. O Erro Percentual Absoluto Médio (Mean Absolute Percentage Error) (MAPE) é um valor absoluto médio em percentual, para se verificar a 1 www.cepea.esalq.usp.br margem de acerto em comparação com o valor previsto. É mais adequado para comparação entre modelos. Quanto menor for o seu valor, melhor é o ajuste do modelo. ˆi h MAPEh X i 1 (19) i h 100 % MAPE 0 O coeficiente de correlação linear r mede o grau de relacionamento linear entre os valores emparelhados x e y em uma amostra. O coeficiente de correlação linear é chamado, às vezes, coeficiente de correlação momento-produto de Pearson. Varia entre –1 e 1, sendo estes extremos indicação de associação linear negativa e positiva perfeita, respectivamente. h rh (X i X )( Xˆ i Xˆ ) i 1 S X S Xˆ 1;1 (20) em que X̂ é a esperança condicionada de X t 1 dada a informação até período t (inclusive). O TIC – Coeficiente de Desigualdade de Theil (Theil Inequality Coefficient) sempre estará entre zero e um, sendo que zero indica um ajuste perfeito. h ˆ 2 i TICh 0,1 i 1 h Xˆ i 1 2 i h X 2 i (21) i 1 4. Resultados Experimentais A Série da SOJA, mostrada na figura a seguir, corresponde aos valores nominais de 30/07/1997 a 11/04/2008, perfazendo 2660 observações diárias. Figura 3: Série original da saca de 60 Kg da soja Fonte: Série histórica: indicador CEPEA/ESALQ (R$/sc 60 kg) Figura 4: Série dos log-retornos da série da saca de 60 Kg da soja. (a) (b) Foi considerado o período de 30/07/1997 a 28/03/2005, totalizando 2650 observações para a geração, identificação e testes dos modelos ficando 10 pontos para testes de previsão futura, ou seja de 31/03/2008 a 11/04/2008. A figura 5 representa o correlograma da série dos retornos diários da saca de 60 Kg da soja sem uso da decomposição por ondaletas. Pode-se verificar que a função de autocorrelação (Autocorrelation) apresenta um comportamento declinante e a função de autocorrelação parcial (Partal Correlation) é truncada da primeira defasagem; isto é um indicativo de um modelo auto-regressivo de primeira ordem (AR(1)). Figura 6: Correlograma da série dos log retornos em um nível sem decomposição por ondaletas (a) Série sem ondaletas (b) Série Com Ondaletas Aproximation Part (c) Série Com Ondaletas Detail Part Figura 4 – FAC e FACP da série de retornos diários da saca de 60 Kg da soja para a série sem decomposição por filtro de ondaletas e a série com a primeira decomposição. Figura 7: Correlograma da série Aproximation Part dos log retornos decomposta em um nível via ondaleta Figura 8: Correlograma da série Detail Part dos log retornos decomposta em um nível via ondaleta De posse das informações descritas acima, gerou-se um modelo ARIMA-GARCH, para cada uma das sub-séries descritas a seguir pelo modelo AR(1)-GARCH(1,1) para a série sem uso de ondaletas. SOJAt 1SOJAt 1 t 2 I t 1 ~ N (0, ht ) t ht 0 2 1 t 1 1ht 1 Parâmetros 1 0 1 1 Coeficiente Estatística z Sig. estimada 0,309464 Erro Padrão 0,019809 15,62276 0,0000 2,41E-06 3,04E-07 7,937662 0,0000 0,133337 0,008850 15,06578 0,0000 0,859072 0,007294 117,7742 0,0000 Quadro 1 – Estatísticas do modelo ARIMA-GARCH gerados para a série dos retornos da saca da soja sem decomposição de ondaletas Para a série decomposta em um nível com ondaletas tem-se: Coeficiente Erro Estatística z Asojat 1 Asojat 1 t Parâmetros 2 I t 1 ~ N (0, ht ) 1 0 1 1 t ht 0 2 1 t 1 1ht 1 Sig. estimada 0,224592 Padrão 0,027860 8,061412 0,0000 9,12E-06 8,42E-07 10,83049 0,0000 0,149746 0,015367 9,744727 0,0000 0,805042 0,014064 57,23957 0,0000 Quadro 2 – Estatísticas do modelo ARIMA-GARCH gerados para a série decomposta – Aproximation Part Dsojat 1Dsojat 1 t Parâmetros 2 I t 1 ~ N (0, ht ) t ht 0 2 1 t 1 1ht 1 Coeficiente 1 0 1 1 - 0,047233 Erro Padrão 0,030650 Estatística z Sig. estimada - 1,540161 0,1233 3,75E-06 5,53E-07 6,781012 0,0000 0,200516 0,017445 11,49437 0,0000 0,784482 0,015360 51,07392 0,0000 Quadro 3 – Estatísticas do modelo ARIMA-GARCH gerados para a série decomposta – Detail Part Após a etapa de identificação e previsão da série dos retornos da saca da soja de 60 Kg, foram previstos 10 passos à frente pela previsão dinâmica. A seguir, são apresentados os resultados obtidos, utilizando-se redes neurais artificiais para a série da saca de 60 Kg da soja. A rede neural utilizada, primeiramente, foi com o algoritmo de retropropagação e, posteriormente, com a rede recorrente proposta por Williams e Zipser (1995) e implementada em DE OLIVEIRA (2003) e LIMA(2004). Foi utilizado, nesta etapa, o Matlab® 6.5. Para que os dados sejam inseridos na rede, foi utilizado o processo de normalização proposto por Azoff (1994), que considera um vetor de entrada de dimensão n, ou seja, os elementos no vetor variam de i 1, , n . Os elementos ti j , para a sinapse i e a amostra total de tamanho N, do vetor indo de j 1, , N , são normalizados e utilizados para análise pela expressão: Yt min Yt t 1 N Zt max Yt t 1 min Yt t 1 N N 0;1 Utilizando-se a rede recorrente de tempo real, conforme sugere DE OLIVEIRA (2003) e LIMA(2004), tomou-se uma rede com função de ativação logística, taxa de aprendizagem de 0,005, um neurônio na camada de entrada e um na saída e 4 neurônios na camada intermediária. A conversão da normalização para o retorno logarítmico fica, considerando a série DLSOJA como a série das diferenças dos logaritmos, isto é, do retorno contínuo da cotação de fechamento do preço da saca de 60 Kg de soja: NDSOJAt DLSOJAt min DLSOJAt max DLSOJAt min DSOJAt DLSOJAt NDSOJAt max DLSOJAt min DLSOJAt min DLSOJAt Esse valor já desnormalizado NDLSOJAt passa a ser o agora o valor previsto, tanto para a rede neural como para o modelo ARIMA-GARCH. Para que sejam obtidos os valores da série no nível, é necessário realizar uma transformação dos dados resultantes da análise da série dos retornos que segue: ln SOJAt ln SOJAt 1 NDLSOJAt max DLSOJAt min DLSOJAt min DLSOJAt ln SOJAt NDLSOJAt max DLSOJAt min DLSOJAt min DLSOJAt ln SOJAt 1 Aplicando exponencial na expressão acima, chega na reconstrução da série prevista no nível original. NDLSOJAt max DLSOJAt min DLSOJAt min DLSOJAt ln SOJAt 1 SOJAt e Dessa forma, os valores previstos foram: DATA Valor Real 31/3/2008 1/4/2008 2/4/2008 3/4/2008 4/4/2008 7/4/2008 8/4/2008 9/4/2008 10/4/2008 11/4/2008 42,78 42,05 42,87 43,26 43,50 43,53 43,42 43,63 44,69 44,70 VALORES PREVISTOS ARIMAARIMAREDE GARCH GARCH RECORRENTE Sem Ondaletas Com Ondaletas Sem Ondaletas 44,60 45,08 44,42 42,77 43,21 42,86 42,05 41,94 42,18 42,87 43,14 43,02 43,26 43,11 43,41 43,50 43,72 43,65 43,53 43,42 43,67 43,42 43,68 43,56 43,63 43,44 43,77 44,69 44,88 44,85 REDE RECORRENTE Com Ondaletas 44,74 43,44 42,17 43,17 43,33 43,85 43,61 43,77 45,73 45,01 Quadro 4- Comparação entre os valores no nível e os previstos para a série da saca da soja com e sem uso de ondaletas O gráfico a seguir ilustra a série real e as séries previstas já no nível da série original onde se observa que as previsões com uso de ondaletas se aproximam melhor da série original pelo fato da redução de ruído. Há distorções nos valores previstos apenas nos primeiros e nos últimos valores onde as oscilações foram em maior escala. Figura 8 – Valores da série diários da saca de 60 Kg da soja e a curva de previsão para os modelos com uso de ondaletas (CW) e sem o seu uso (SW). As estatísticas de erro dos modelos conforme citadas pelas equações (19), (20) e (21) são apresentadas no quadro a seguir: Estatística de Análise ARIMA-GARCH Sem Ondaletas Previsão de 10 passos à frente por modelos ARIMA-GARCH REDE RECORRENTE Com Ondaletas Sem Ondaletas MAPE(%) 1,5229 1,2530 1,4622 Correlação 0,3064 0,4929 0,6463 TIC 0,0111 0,0088 0,0100 Quadro 5 – Estatísticas de acurácia das previsões feitas para a saca de 60 Kg da soja. REDE RECORRENTE Com Ondaletas 1,1537 0,5736 0,0080 5. Conclusão Nesta pesquisa, o objetivo principal foi o de explorar a possibilidade de usar uma metodologia capaz de decompor uma série temporal via uso de ondaletas, conjuntamente com os modelos econométricos e de redes neurais já existentes de previsão e comparar a qualidade de previsões obtidas para séries temporais da série da soja. O diferencial deste trabalho esteve na realização das previsões dentro das sub-séries decompostas por uma ondaleta em até dois níveis, obtendo-se a previsão da série original via reconstrução da série para a sucessão cronológica da soja. No caso do modelo ARIMA(1,0,0)-GARCH(1,1), pode-se observar que a decomposição pela ondaleta foi melhor para apenas uma etapa de separação de altas e baixas freqüências, tanto pela correlação quanto pelos critérios do TIC, sendo este reduzido, e pelo MAPE menor para as previsões de curto prazo. Para os modelos de previsão com redes neurais, ressalta-se a qualidade das previsões com redes neurais recorrentes, isto é a capacidade de previsão das redes recorrentes para dados não-lineares com 1 nível de decomposição para previsões de curto prazo. Destacou-se também o aumento da correlação com uso das ondaletas apenas no modelo ARIMA-GARCH. As previsões estáticas são melhores para as redes neurais recorrentes. A capacidade das redes neurais de lidarem com sucessões não-lineares é uma vantagem, pois as previsões feitas com pré-processamento convalidam uma indicação dessa característica. Referências ARIÑO, M. A. Time series forecasts via ondaletas: an application to car sales in the spanish market. Discussion Paper 95-30, ISDS, Duke University. AZOFF, E. M. Neural network time series forecasting of financial markets. John Wiley & Sons. 1994. BARTLETT, M. S. On the theoretical specification and sampling properties of autocorrelated time series. 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