Equações de Maxwell

Notas de Aula – Disciplina FIS1061 – 2013-1
Prof. Waldemar Monteiro Silva Jr. - PUC-Rio – CTC – Departamento de Física
Índice:
Cap 1: Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas
Cap 2: Polarização
Cap 3: Interferência
Cap 4: Difração
Cap 5: Relatividade Especial
Cap 6: Radiação de Corpo Negro
Cap 7: Efeito Fotoelétrico
Cap 8: Efeito Compton
Cap 9: Experimento de Franck e Hertz
Cap 10: Modelo de Bohr
Cap 11: Dualidade Onda-Partícula
Cap 12: Equação de Schrödinger
Cap 1: Equações de Maxwell e Ondas
Eletromagnéticas - Aula 1 em 04/03/2013.
Livro texto: Fundamentos de Física – Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. - vol 4 – 9ª
ed – Ed. LTC – Rio de Janeiro - 2012
1-Equações de Maxwell na Forma Integral e Operadores Vetoriais
Referências: “Fundamentos de Física” – vol 3 – H,R,W – 9ª ed – Ed. LTC – Rio - 2012
O Eletromagnetismo clássico foi desenvolvido por diversos pesquisadores e os
fenômenos eletromagnéticos foram modelados pelo pequeno conjunto de equações na
forma integral listadas abaixo:
1-Lei de Gauss para o Campo Elétrico
∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(1.1)
∫
onde
(1.2)
e
(1.3)
2-Lei de Gauss para o Campo Magnético
∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
3-Lei de Faraday
ou como
1
.
(1.4)
∮ ⃗ ⃗⃗⃗
∮ ⃗ ⃗⃗⃗
(1.5)
∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
onde
4-Lei de Ampère
(1.6)
∮ ⃗ ⃗⃗⃗
(1.7)
∫ ⃗⃗⃗⃗⃗
onde
(1.8)
e
(1.9)
James Clerk Maxwell (1831-1879) tinha motivos para supor que essas
equações deveriam ser aplicadas em geral a quaisquer sistemas físicos
eletromagnéticos envolvendo tanto campos quanto circuitos elétricos com cargas,
correntes elétricas, capacitores, resistores, bobinas, etc.. Mais ainda, essas equações
deveriam englobar a possibilidade de representar a propagação de perturbações dos
campos elétrico e magnético. Contudo as equações referentes a essa propagação
jamais haviam sido obtidas. Note-se que equações de propagação de perturbações
mecânicas (equações de ondas, assim como suas soluções) em corpos materiais
como ar (som), água e sólidos eram já conhecidas.
Maxwell investigou cuidadosamente essas equações fundamentais do
eletromagnetismo, principalmente na forma diferencial utilizando os operadores
diferenciais Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano. Para passar as equações
acima para a forma diferencial necessitamos dos teoremas de Gauss e Stokes, já
estudados no cálculo III.
2-Operadores Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano:
“Análise Vetorial” – M.R. Spiegel – Coleção Shaum – Ed. Mc Graw-Hill – São Paulo 1975.
3.0 – Operador diferencial
O operador diferencial Nabla é simbolizado por , sendo definido em
coordenadas cartesianas pela expressão
( )
()
()
⃗
()
(2.0.1)
Esse operador possui propriedades semelhantes às dos vetores comuns, sendo muito
útil na definição dos três entes matemáticos gradiente, divergente e rotacional que
existem nas aplicações práticas em diversos ramos da Física, Engenharia, Matemática
e outros.
2.1 – Gradiente.
Símbolo do gradiente em coordenadas cartesianas:
( )
onde (
) é uma função escalar contínua e suave das coordenadas
e do
3
tempo , com derivada contínua e suave em um conjunto do R . Cada variável
(coordenada) está definida em um conjunto dos números reais.
2
Obs: Em sistema geral de coordenadas o operador gradiente é simbolizado pela
palavra grad.
Ação do operador Gradiente.
Esse operador leva um conjunto de funções escalares (Domínio) a um outro conjunto
(Imagem) de funções vetoriais. A relação entre esses conjuntos é representada pela
expressão:
⃗
⃗ ) ( ),
( )
( ) (
ou ainda
(2.1.1)
onde ( ) é um campo vetorial, função das mesmas variáveis da função
mesmas propriedades.
e com as
Vê-se que a função (
) precisa ser uma função contínua, suave e
bijetora das variáveis, com derivada contínua, suave e bijetora também.
Obs: Algumas dessas restrições podem ser amenizadas para levar em conta situações
físicas envolvendo descontinuidades. Por exemplo a função (
) pode ser
considerada contínua por partes e sua derivada também. As mesmas propriedades
anteriores podem ser demonstradas. Porém, por ora, manteremos as condições
originais, não usando essas amenizações.
Derivada Direcional
Considere um vetor unitário apontando em uma direção no espaço
( ) representa o produto escalar entre o campo ( )
tridimensional . O símbolo
e o vetor unitário . A interpretação desse produto escalar é a derivada direcional de
na direção de .
Ex:
( )
(
⃗
) 
( )
2.2 – Divergente.
Símbolo do divergente em coordenadas cartesianas:
⃗
onde ⃗ (
) é uma função vetorial contínua, suave e bijetora das coordenadas
e do tempo , com derivada contínua, suave e bijetora em um conjunto do R3.
Cada variável está definida em um conjunto dos números reais.
Obs: Em sistema geral de coordenadas o operador divergente é simbolizado pela
palavra div.
Ação do operador Divergente.
Esse operador leva um conjunto de funções vetoriais (Domínio) a um outro conjunto
(Imagem) de funções escalares. A relação entre esses conjuntos é representada pela
expressão:
⃗ ) (⃗ ) (
⃗ ) (
⃗)
⃗
(
3
ou ainda
⃗
onde
(2.2.1)
⃗ é um campo escalar, função das mesmas variáveis da função ⃗ .
Vê-se que a função ⃗ (
) precisa ser uma função contínua, suave e
bijetora das variáveis, com derivada contínua, suave e bijetora também.
Obs1: Valem as mesmas observações do item anterior.
Obs2: Note que em geral ( ⃗ ) ⃗ ().
2.3 – Rotacional.
Símbolo do rotacional em coordenadas cartesianas:
⃗
onde ⃗ (
) é uma função vetorial contínua, suave e bijetora das coordenadas
e do tempo , com derivada contínua, suave e bijetora em um conjunto do R3.
Cada variável está definida no conjunto dos números reais.
Obs: Em sistema geral de coordenadas o operador rotacional é simbolizado pela
palavra rot.
Ação do operador Rotacional.
Esse operador leva um conjunto de funções vetoriais (Domínio) a um conjunto
(Imagem) de funções vetoriais também, ainda que não seja o mesmo conjunto. A
relação entre esses conjuntos é representada pela expressão:
⃗
⃗
(
) (⃗ )
⃗
(
⃗)
) (
ou ainda
⃗
⃗
onde
[
]
(
)
(
)
⃗ (
)
(2.3.1)
⃗ é um campo vetorial, função das mesmas variáveis da função ⃗ .
Vê-se igualmente que a função ⃗ (
) precisa ser uma função contínua,
suave e bijetora das variáveis, com derivada contínua, suave e bijetora também.
Obs1: Valem as mesmas observações do item anterior.
Obs2: Note que em geral ( ⃗ ) ⃗ ().
2.4 – Laplaciano.
Laplaciano é o nome do operador
( ) dado por
4
()
(
)( )
A ação desse operador pode levar conjunto de campos escalares contínuos, suaves e
bijetores, com derivadas contínuas, suaves e bijetoras, definidos em R3, a outro
conjunto de campos escalares com as mesmas propriedades. O operador laplaciano é
escrito nas formas abaixo
( )
)( ) ;
(
(2.4.1)
Entretanto esse operador Laplaciano também pode levar conjunto de campos vetoriais
a outro conjunto de campos vetoriais, definidos no R3. Nesse caso ele é escrito na
forma abaixo
(2.4.2)
Nota:
não pode ser escrito como
campo vetorial.
(
), pois não é definido o gradiente de um
3 - Propriedades Simples dos Operadores Gradiente, Divergente, Rotacional e
Laplaciano: Faça as demonstrações dessas propriedades usando o símbolo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(
(
(
(
)
⃗)
⃗)
(
)
( )
( )
⃗
⃗
)
(
)
(
)
( ) ( )
⃗
⃗
( ⃗)
(
)
(
)
⃗(
( ⃗ ) ( ⃗ )( )
) (
⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ (
(
) (
)( ) (
)
(
)
)⃗
)
(
⃗)
( ⃗)
( )
10
(
)
11
(
)
12
(
)
(
)
( )
4 – Interpretação simples desses Operadores Gradiente, Divergente,
Rotacional e Laplaciano:
O Gradiente de uma função escalar nos fornece a derivada direcional máxima
em uma direção do espaço previamente escolhida.
O Divergente de um campo vetorial fornece o Fluxo Elementar desse campo
vetorial através de uma superfície fechada que engloba a vizinhança de um ponto no
espaço R3.
O Rotacional de um campo vetorial fornece a Circulação Elementar de um
campo vetorial em um percurso fechado que limita uma superfície.
O Laplaciano, sendo uma derivada segunda de uma função, propaga no
espaço a ação dessa função duas vezes (em segunda ordem), seja essa função um
campo escalar ou vetorial.
Consequências:
5
1 – Divergente: Se o Divergente de uma função vetorial for NULO EM UM LOCAL
(PONTO) do espaço, significa que NESSE PONTO NÃO HÁ FONTES NEM
SUMIDOUROS das linhas de campo desse campo vetorial.
Se, por outro lado, o Divergente desse campo vetorial NÃO FOR NULO EM UM
LOCAL (PONTO) do espaço, então NESSE PONTO EXISTE UMA FONTE OU UM
SUMIDOURO das linhas de campo desse campo vetorial.
Exemplo em escoamento de fluidos:
Divergente nulo do campo vetorial de velocidades do fluido ⃗ significa que não há
fontes ou sumidouros do fluido no ponto considerado.
Divergente diferente de zero desse mesmo campo vetorial de velocidades do fluido
significa a existência de fonte ou sumidouro de fluido nesse ponto do espaço.
Obs: As Linhas de campo de um campo vetorial são definidas como as curvas
tangentes (sequência contínua de pontos) aos vetores (representados por setas)
desse campo vetorial em cada ponto do espaço R3.
2 – Rotacional: Se o ROTACIONAL de um campo vetorial for NULO em um local
(ponto) do espaço, significa que o campo vetorial NÃO POSSUI VÓRTICES NA
VIZINHANÇA DESSE PONTO.
Se o ROTACIONAL de um campo vetorial NÃO FOR NULO em um local (ponto) do
espaço, significa que o campo vetorial POSSUI VÓRTICES NA VIZINHANÇA DESSE
PONTO.
Exemplo em escoamento de fluidos:
Rotacional nulo do campo vetorial de velocidades do fluido ⃗ significa que não há
vórtices (redemoinhos) no escoamento do fluido na vizinhança do ponto considerado.
Por outro lado se o rotacional do campo vetorial de velocidades do fluido for diferente
de zero significa a existência de vórtices (redemoinhos) no escoamento do fluido na
vizinhança do ponto considerado.
5 – Teoremas de Gauss e Stokes:
5.1 – Teorema de Gauss
Se tivermos um volume V de um conjunto do R3 limitado por uma superfície
fechada S, contínua, simplesmente conexa, e uma campo vetorial ⃗ (
) contínuo,
suave e bijetor nas coordenadas com primeira e segunda derivadas contínuas, suaves
e bijetoras nas mesmas variáveis (coordenadas), então vale
∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫(
⃗)
ou
onde ⃗⃗⃗⃗⃗
∯ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
∭(
⃗)
⃗
, sendo ⃗ o vetor normal positivo à superfície S de integração cujo
.
Acima, a primeira expressão do Teorema de Gauss está escrita usando
símbolos simples tanto de integração de superfície no lado esquerdo quanto de
integração de volume no lado direito.
6
5.2 – Teorema de Stokes
Se tivermos uma superfície S de área A, aberta, de duas faces, contínua,
simplesmente conexa, limitada por um percurso fechado que não corte a si mesmo (ou
seja, L é uma curva fechada simples) em R3 e um campo vetorial ⃗ (
) contínuo,
suave e bijetor nas coordenadas com primeira e segunda derivadas contínuas, suaves
e bijetoras nas mesmas variáveis (coordenadas), então vale
∮ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
onde ⃗⃗⃗⃗⃗
∫(
⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ou
∮ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
∯(
⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
, sendo ⃗ o vetor normal positivo à superfície S de integração cujo
e o percurso L seja percorrido no sentido positivo em relação ao vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Obs: 1-Adota-se o sentido positivo do percurso L quando um observador se desloca
na face dita positiva de S sobre a curva L, limítrofe de S, vendo a superfície S no seu
lado esquerdo.
2-Acima, a primeira expressão do Teorema de Stokes está escrita usando
símbolos simples de integração de superfície no lado direito.
6 – Equações do Eletromagnetismo na forma diferencial:
Mostraremos agora a passagem das equações do eletromagnetismo na forma
integral, para a forma diferencial com os operadores Divergente e Rotacional.
1-Lei de Gauss para o Campo Elétrico:
Podemos reescrever essa equação na forma
∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Usando o Teorema de Gauss ∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
obtemos
∫(
⃗)
∫
⃗)
∫(
 ∫
∫
.
no lado esquerdo da equação acima,
⃗
.
Considerando um volume elementar para aplicar a essa equação, ela toma a forma
⃗
. Esse volume é contínuo, não nulo e simplesmente conexo. As
funções nele definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda
derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa
valer zero consistentemente em todo o volume V para satisfazer a equação anterior.
Nesse caso essa equação toma a forma:
⃗
(6.1)
que é a forma diferencial para a Lei de Gauss do Campo Elétrico.
2-Lei de Gauss para o Campo Magnético:
Essa equação tem a forma
7
∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
.
Usando o Teorema de Gauss ∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
no lado esquerdo da equação
∫( ⃗ )
⃗
acima, obtemos ∫(
)
. Considerando um volume elementar para aplicar a
⃗
essa equação, ela toma a forma
. Esse volume é contínuo, não nulo e
simplesmente conexo. As funções nele definidas são contínuas, suaves e bijetoras,
com primeira e segunda derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo
entre chaves { } precisa valer zero consistentemente em todo o volume V para
satisfazer a equação anterior. Nesse caso essa equação toma a forma:
⃗
(6.2)
que é a forma diferencial para a Lei de Gauss do Campo Magnético.
3-Lei de Ampére para o Campo Magnético:
Essa equação tem a forma
∮ ⃗ ⃗⃗⃗
Usando o Teorema de Stokes ∮ ⃗ ⃗⃗⃗
acima, obtemos
∫(
⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗
∫ ⃗⃗⃗⃗⃗ e
, onde
⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ no lado esquerdo da equação
∫(
⃗⃗⃗⃗⃗  ∫
∫
.
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
.
Considerando uma superfície elementar para aplicar a essa equação, ela toma
⃗⃗⃗⃗⃗ . Essa superfície elementar é simplesmente conexa e não nula.
⃗
a forma
As funções nela definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda
derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa
valer zero consistentemente em toda a superfície para satisfazer a equação anterior.
Nesse caso essa equação toma a forma:
⃗
(6.3)
que é a forma diferencial para a Lei de Ampère.
4-Lei de Faraday-Lenz:
Essa equação tem a forma
∮ ⃗ ⃗⃗⃗
, onde
∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Substituindo vem ∮ ⃗ ⃗⃗⃗
Usando o Teorema de Stokes ∮ ⃗ ⃗⃗⃗
acima, obtemos
∫(
⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗
∫
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ no lado esquerdo da equação
∫(
⃗
∫
⃗⃗⃗⃗⃗  ∫
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
.
Considerando uma superfície elementar para aplicar a essa equação, ela toma
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ . Essa superfície elementar é simplesmente conexa e não nula.
⃗
a forma
8
As funções nela definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda
derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa
valer zero consistentemente em toda a superfície para satisfazer a equação anterior.
Nesse caso essa equação toma a forma:
⃗
⃗
(6.4.1)
que é a forma diferencial para a Lei de Faraday-Lenz.
Resumo das equações do eletromagnetismo expressas na forma diferencial:
⃗
;
⃗
⃗
;
;
⃗
⃗
.
(6.4.2)
7 – Propriedades das Equações do Eletromagnetismo na forma
diferencial:
Sabemos que o operador Divergente aplicado ao operador Rotacional para
funções contínuas, suaves e bijetoras com primeira e segunda derivadas contínuas,
suaves e biietoras, no Domínio considerado, gera valor zero identicamente. Vejamos
que resultados físicos se pode obter pela operação mencionada acima.
Apliquemos o operador Divergente às equações que possuem o operador
Rotacional.
1-Na Lei de Ampère, temos
(
⃗)
(
) 

.
Esse resultado leva à interpretação do campo vetorial não possuir fontes
saldo dentro de um volume elementar. Porém isto entra em contradição com uma
situação física bastante plausível descrita do seguinte modo:
Em um sistema físico aberto, de volume V, pode-se considerar somente a
existência de cargas positivas em excesso que estejam saindo do volume V através da
superfície (fronteira) desse volume. O fluxo de cargas através dessa superfície terá
que ser obrigatoriamente diferente de zero. O movimento das cargas é descrito pelo
campo vetorial
.
onde
O fluxo de cargas então toma a forma ∮ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Nesse caso ∮ ⃗⃗⃗⃗⃗
.
Apliquemos o Teorema de Gauss ao campo vetorial (
). Temos
⃗⃗⃗⃗⃗
∮
∫( ) . Usando esse resultado no lado esquerdo da equação anterior
obtém-se ∫( )
. Considerando um volume elementar para aplicar a essa
equação, ela toma a forma
. Esse volume
é contínuo, não nulo e
simplesmente conexo. O campo vetorial (
) nele definido é contínuo, suave e
bijetor, com primeira e segunda derivadas continuas, suaves e bijetoras. Portanto o
termo entre chaves { } precisa ser diferente de zero consistentemente em todo o
volume V para satisfazer a equação anterior. Nesse caso essa equação toma a forma:
.
Esse resultado claramente contradiz aquele obtido anteriormente da Lei de Ampére.
9
2- Na Lei de Faraday-Lenz, temos
(
⃗)
(
⃗
).
⃗
O lado esquerdo é identicamente nulo, produzindo
(
). Como o operador
Divergente atua sobre as coordenadas espaciais x, y, z, que são independentes da
variável t, pode-se trocar a ordem dos operadores
( ⃗ ). Contudo ⃗
.
Nesse caso obtém-se a identidade
, que não possui contradições físicas.
Conclusões:
Maxwell precisou resolver a contradição surgida com a Lei de
Ampère. Para isso criou o conceito de corrente de deslocamento.
8 – Proposta de Maxwell para resolver a contradição contida na Lei de
Ampère: A corrente de Deslocamento.
J. C. Maxwell (1831-1879) acreditava que as outras leis físicas referentes a
cargas elétricas, correntes elétricas, pólos de ímãs, campos elétricos e magnéticos
deviam provir das Leis Fundamentais do Eletromagnetismo. Nesse caso elas deveriam
produzir a Lei de Conservação do Fluxo de Cargas Elétricas através de deduções
adequadas. Para ver como essa lei pode derivar dessas leis fundamentais, precisa-se
olhar para a Lei de Ampére com mais atenção. Retomemos então o desenvolvimento
de idéias do item 1 da seção 8 anterior.
1-Conservação da Carga em Sistema Físico Fechado:
Consideremos inicialmente um sistema físico fechado contendo cargas em
movimento em seu interior. O valor da carga total (
) nesse volume permanece
constante com o passar do tempo. A Lei de Conservação da Carga pode ser expressa
por
ou
Contudo
∫
∫
. Nesse caso temos
.
(∫
)
. Apliquemos essa expressão a um volume elementar
∫
. Desse modo
. Ela toma a forma
. Esse volume é contínuo, não nulo e simplesmente conexo. As funções
nele definidas são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda derivadas
continuas, suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa valer zero
consistentemente em todo o volume V para satisfazer a equação anterior. Nesse caso
essa equação, ou seja, a Lei de Conservação da Carga em Sistema Fechado toma a
forma:
(8.1)
Isso implica que a densidade de cargas saldo é a mesma com o passar do
tempo em qualquer ponto dentro do volume considerado. Essa conclusão é bastante
restritiva. Essa lei na forma integral tem um amplitude maior que a forma diferencial,
pois afirma que o total da carga saldo permanece fixa dentro do volume total sem
entrar em detalhes de como isso acontece em cada ponto do volume considerado.
10
2-Conservação da Carga em Sistema Físico Aberto:
Em um sistema físico aberto, de volume V simplesmente conexo, considere a
existência de cargas que estejam saindo ou entrando nesse volume V através da
superfície S (fronteira) desse volume. Admitamos que o fluxo de cargas através dessa
superfície seja diferente de zero. O movimento das cargas no volume mencionado é
descrito pelo campo vetorial
,
onde
é a densidade volumétrica de carga.
O fluxo de cargas na superfície S, que engloba essa região do espaço, toma a
forma ∮ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Nesse caso ∮ ⃗⃗⃗⃗⃗
, pois existem cargas atravessando a superfície S.
Por outro lado a carga total (
) nesse volume NÃO permanece constante
com o passar do tempo. Portanto
ou
.
Para que possamos adotar a concepção de que carga elétrica não pode ser
destruída nem criada, precisamos estabelecer a relação entre essa variação temporal
da carga dentro do volume V com o fluxo de cargas através da superfície S.
Um caso particular serve como base de raciocínio. Admita que haja um saldo
cargas positivas saindo do volume V através da superfície S. No interior do volume a
carga total está diminuindo. Isso se traduz em
. O fluxo de cargas positivas
saindo pela superfície S deve ser positivo ∮ ⃗⃗⃗⃗⃗
, pois os vetores e ⃗⃗⃗⃗⃗ apontam
para fora da superfície e seu produto escalar é positivo. Os módulos |
|e
|∮ ⃗⃗⃗⃗⃗ |devem ser iguais. Como seus sinais são opostos a igualdade matemática
dessas expressões deve ser escrita
∮ ⃗⃗⃗⃗⃗
(8.2)
Essa expressão é exatamente a mesma para as situações em que tenhamos:
saldo de cargas positivas entrando no volume, saldo de cargas negativas saindo do
volume e saldo de cargas negativas entrando no volume. Ou seja ela é válida de forma
geral, sendo denominada Lei de Conservação da Carga para sistemas abertos.
Passemos essa forma integral da Lei para a forma diferencial em termos de
operadores diferenciais. Apliquemos o Teorema de Gauss ao campo vetorial
(
). Temos ∮ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫( ) . Usando esse resultado no lado direito da
equação anterior obtém-se
, temos
∫( ) . Como
∫
(∫
) ∫
. Desse modo ∫
termos do lado esquerdo da equação
∫
∫(
)
∫(
ou
∫
)
. Colocando todos os
.
Esse volume é contínuo, não nulo e simplesmente conexo. As funções nele definidas
são contínuas, suaves e bijetoras, com primeira e segunda derivadas continuas,
suaves e bijetoras. Portanto o termo entre chaves { } precisa valer zero
consistentemente em todo o volume V para satisfazer a equação anterior. Nesse caso
essa equação, ou seja, A Lei de Conservação da Carga em Sistema Aberto toma a
forma:
(8.3)
11
3-Formulação de Maxwell para a Lei de Ampère – Vetor Densidade de Corrente de
Deslocamento
Como a Lei de Ampère produzia incorretamente
, J. C. Maxwell propôs
modificá-la para adequá-la à Lei de Conservação da Carga para sistemas abertos. Ele
⃗
então adotou a Lei de Ampère na forma
(
), de tal modo que aplicando
⃗
⃗
o operador Divergente tenhamos
(
) . Como
(
identicamente, chegamos a
)
, ou seja
, obtemos
essa expressão com
. Comparando
.
Necessitando de uma forma para em termos dos campos já conhecidos,
podemos derivar no tempo os termos do lado esquerdo e direito da Lei de Gauss
⃗
para o campo vetorial ⃗ de forma a obterrmos
e
operadores de derivação
⃗)
(
( ) são aplicados a coordenadas independentes,
⃗
podemos trocar a ordem de aplicação deles às funções e obter
⃗
pode ser reescrita
⃗
( ). Como os
⃗
. Identificando
, a qual
, chegamos a
.
Maxwell adotou o valor nulo para a constante. A Lei de Ampère passou a ser
chamada de Lei de Ampère-Maxwell e tomou a forma
⃗
⃗
Chamou-se Densidade de Corrente de Deslocamento (
Ampère
(8.4)
) ao novo termo na Lei de
⃗
(8.5)
É interessante notar a forma integral da Lei de Ampère-Maxwell. Propõe-se
fazer o produto escalar dos termos do lado esquerdo e dos termos do lado direito por
um diferencial de área ⃗⃗⃗⃗⃗ e integrar esses produtos em uma superfície S limitada por
um percurso fechado L. Teremos
∫(
⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗
∫(
) ⃗⃗⃗⃗⃗
∫(
⃗
) ⃗⃗⃗⃗⃗
Aplica-se então o Teorema de Stokes no lado esquerdo da expressão acima para
chegar à forma integral da Equação de Ampère-Maxwell
∮ ⃗ ⃗⃗⃗
(8.6)
onde
∫ ⃗⃗⃗⃗ ,
(8.7)
(8.8)
onde
∫
12
⃗
⃗⃗⃗⃗ .
(8.9)
As novas equações do Eletromagnetismo são chamadas de Equações de
Maxwell. Sua forma diferencial é
⃗
⃗
;
⃗
⃗
;
⃗
⃗
;
(8.10)
Podemos acrescentar a elas a força de Lorentz em sua forma geral
⃗
⃗
(8.11)
para termos um conjunto bastante completo de equações do Eletromagnetismo, as
quais dão conta de explicar um grande número de fenômenos eletromagnéticos
clássicos.
É possível reescrever as equações de Maxwell através dos vetores ⃗ e ⃗ ,
definidos por
e
⃗
⃗
(8.12)
⃗
⃗,
(8.13)
onde é a permissividade elétrica do meio e é a permeabilidade magnética do meio.
O vetor ⃗ é denominado Vetor de Indução Elétrica. O vetor ⃗ é denominado Vetor
Campo Magnético. Note que o vetor ⃗ é denominado Vetor de Indução Magnética. As
equações de Maxwell tomam a forma
⃗
;
⃗
;
⃗
4-Aplicação da Corrente de Deslocamento
⃗
⃗
;
⃗
(8.14)
em capacitores:
Os estudiosos de circuitos elétricos em épocas anteriores a Maxwell tinham a
convicção de que uma corrente elétrica não precisava ter continuidade em todos os
circuitos, genericamente falando. Alegavam que “a corrente empregada em carregar
um condensador (capacitor) não é fechada, pois termina nas placas do condensador
(capacitor), onde as cargas estão se acumulando”. Como as cargas não atravessam o
dielétrico entre as placas, a corrente elétrica não existe ali.
Maxwell admite que no dielétrico entre as placas do capacitor ocorre um
processo: o campo elétrico ⃗ aumenta (nesse meio dielétrico entre as placas)
conforme as cargas se acumulam nas placas. Nesse caso
⃗
. Esse processo é a
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , a qual produz os
Corrente de Deslocamento dada por
∫ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫
mesmos efeitos magnéticos da corrente de cargas. Portanto , forma uma
continuação da corrente de cargas na região entre as placas.
Desse modo a corrente elétrica (existente em um circuito) empregada em
carregar um condensador é de fato fechada, existindo na forma de corrente de
deslocamento no interior do dielétrico entre as placas de um capacitor.
Outra questão interessante diz respeito à especulação sobre as razões pelas
quais Ampére não descobriu a corrente de deslocamento. Estima-se que o termo
exige uma forte variação do fluxo
(do campo ⃗ ) com o tempo, pelo
13
menos da ordem de
para compensar o valor da constante de permissividade
dielétrica do vácuo
presente na fórmula de de modo a
gerar uma corrente de deslocamento de valor aproximado a 0,89 A.
O problema é saber se Ampére ou algum outro, em sua época, dispunha de
condições para produzir uma taxa temporal de variação do fluxo do campo elétrico
com essa ordem de grandeza de
.
A resposta depende de pesquisa histórica na qual se consiga determinar
aproximadamente se alguém obteve tal taxa no laboratório. Caso não tenha obtido,
deve-se investigar se o conjunto de conhecimentos teóricos mostrado em publicações
associado ao estado de evolução técnica laboratorial (da época) era capaz de produzir
tais taxas de variação do fluxo do campo elétrico ⃗ em laboratório. Em uma primeira
avaliação intuitiva, podemos dar uma resposta negativa a essa segunda indagação. A
razão dessa avaliação intuitiva é exatamente a não descoberta da corrente de
deslocamento.
9 – Proposta de uma Solução Geral das Equações de Maxwell.
É possível propor uma solução geral para a Lei de Gauss do magnetismo,
forma
⃗
⃗
, na
(9.1)
onde é denominado Potencial Vetor do campo ⃗ . Isso decorre da identidade vetorial
(
)
para qualquer função (
) contínua, suave e bijetora com primeira
e segunda derivada contínuas, suaves e bijetoras.
Substituindo essa expressão na Lei de Faraday-Lenz temos
⃗
⃗
⃗

(
). Os operadores ( ) e atuam sobre variáveis
independentes (x, y, z, t) e podem ter sua ordem de atuação trocada, produzindo
⃗
( ) 
(⃗
)
.
A partir da identidade ( )
, podemos admitir ⃗
, tal que
(
) seja uma função contínua, suave e bijetora com primeira e segunda
derivadas contínuas, suaves e bijetoras. O sinal (-) foi escolhido para que possamos
reobter a solução das equações de campo da Eletrostática como caso particular, em
que ⃗
. Portanto adotaremos para o campo ⃗ a forma geral
⃗
(9.2)
Necessitamos agora encontrar que equações as funções (
)e (
)
devem satisfazer.
Consideremos o procedimento abaixo para obter a equação à qual o Potencial
Vetor deve obedecer.
Substituiremos a expressão acima (9.2) na Lei de Gauss para o campo ⃗ de
modo a obter
{
}
(

)
,
onde trocamos a ordem dos operadores Divergente e derivada temporal parcial.
⃗
Substituindo ⃗
na Lei de Ampére-Maxwell (
)
temos (
)
(
⃗)
. Pondo a expressão de ⃗ nessa equação, vem
14
(
(
)
)
, o que fornece então
(
)
.
Adota-se a Condição de Lorentz (também chamado Calibre de Lorentz)
(9.3)
para se conseguir uma equação de onda com fonte para o Potencial Vetor
.
(9.4)
Vejamos agora o procedimento para obter a equação à qual o Potencial
Escalar deve obedecer.
Pela Condição de Lorentz temos
. Pondo na equação
(
)
, chega-se a
.
Essas duas equações, uma para
se chegar às soluções
(
)
(⃗
|
onde
e outra para
)
∫
podem ser resolvidas para
(⃗⃗⃗
∫
(9.5)
)
(9.6)
(⃗⃗⃗
)
(9.7)
⃗⃗ |.
10 – Teorema de Poynting (Lei de Conservação da Energia):
O teorema de J. H. Poynting (publicado em 1884) exprime a Lei de
Conservação da Energia associada a um campo eletromagnético em um volume V do
espaço contido em uma superfície fechada S, sendo ambos (V e S) regiões
simplesmente conexas.
Iniciamos fazendo o operador Divergente atuar sobre o produto vetorial entre
os vetores ⃗ e ⃗ na forma ( ⃗ ⃗ ) ⃗ ( ⃗ ) ⃗⃗⃗ ( ⃗ ). Usaremos as equações de
Maxwell nessa expressão para obter
pode ser escrita
(
⃗ ⃗
)
{ (
(⃗ ⃗ )
(⃗ ⃗ )
⃗ ⃗
)
(⃗ ⃗ )
(
⃗ ⃗
)}
⃗ (
⃗
)
(⃗ ⃗ )
⃗
⃗ (
⃗
), que
ou ainda na forma
⃗.
Definimos, analogamente ao caso estático, a densidade volumétrica de energia
elétrica ( ),
⃗ ⃗
a densidade volumétrica de energia magnética (
15
(10.1)
)
⃗ ⃗
(10.2)
e a densidade volumétrica da energia eletromagnética
⃗ ⃗
⃗ ⃗
(10.3)
cujas unidades no SI são expressas por Joule/m3.
Define-se o Vetor de Poynting por
⃗ ⃗
.
(10.4)
Sua unidade no SI é Watt/m2.
A equação anterior fica
( )
⃗ ou ainda
⃗
(10.5)
Interpretação dos termos existentes nessa equação do Teorema de Poynting:
1-O termo do lado esquerdo
representa a taxa temporal de variação da energia
do campo eletromagnético no volume V considerado. Sua unidade no SI é Watt/m3. Se
essa taxa for positiva, a energia está aumentado e se for negativa a energia está
diminuindo em V.
2-O primeiro termo do lado direito
representa o fluxo de potência eletromagnética
por área (energia dividida por tempo e por área) que atravessa a superfície fechada S
limitadora do volume V. Vejamos porquê: A unidade no SI desse termo tem que ser
Watt/m3. Portanto a unidade do vetor precisa ser Watt/m2, pois o operador
Divergente tem unidade 1/m no SI. Se o vetor apontar para fora da superfície S, o
produto escalar com o elemento de área da superfície fica positivo. O termo
torna-se então negativo, significando uma perda de energia eletromagnética dentro do
volume. Se o vetor apontar para dentro da superfície S, então o produto escalar com
o elemento de área da superfície fica negativo. O termo
torna-se então positivo,
significando um ganho de energia eletromagnética dentro do volume.
O vetor fica interpretado então como o responsável pelo transporte de
energia eletromagnética através da superfície que engloba o volume V.
Obs: Note que essa superfície e esse volume são arbitrários e podem ser construções
matemáticas que não precisam coincidir com corpos materiais.
⃗ é interpretado como o trabalho total exercido
3-O segundo termo do lado direito
pelos campos sobre as cargas em movimento.
Considerando a Lei de Ohm em meios condutores homogêneos dada por
⃗
16
(10.6)
⃗ ⃗ , o qual é comumente interpretado como perda de
o termo anterior vem a ser
potência por unidade de volume devido ao aquecimento causado pela passagem de
corrente (efeito Joule).
11 – Obtenção das equações de onda para a Onda Eletromagnética no
vácuo, a partir das Equações de Maxwell do Eletromagnetismo.
Podemos admitir que no vácuo não temos densidade de carga em excesso
tanto quanto não temos o vetor densidade de corrente , ou seja ambos são nulos:
e
. Com isso as equações de Maxwell tornam-se
⃗
;
⃗
;
⃗
⃗
⃗
⃗
;
.
Aplicando o operador Rotacional nos termos dos dois lados da Lei de Ampére⃗
Maxwell, vem ( ⃗ )
. Porém ( ⃗ )
( ⃗)
(⃗ ) 
⃗
. A ordem das operações de derivada parcial temporal e
( ⃗)
(⃗ )
do operador pode ser invertida devido à independência das coordenadas de posição
e tempo. Além disso ⃗
. A equação anterior fica então com a forma
(⃗ )
⃗ . A equação de Faraday-Lenz
anterior para obtermos
⃗
(⃗ )
pode ser usada na expressão
, ou ainda
⃗
(⃗ )
(
⃗
⃗
.
(11.1)
Façamos o mesmo nos termos dos dois lados da Lei de Faraday-Lenz. Vem
⃗
⃗)
. Porém ( ⃗ )
( ⃗)
(⃗ )  ( ⃗ )
(⃗ )
⃗
. Novamente pode-se inverter a ordem das operações de derivada parcial
temporal e do operador . Além disso ⃗
. A equação anterior fica então com a
forma
(⃗ )
⃗ . A equação de Ampére-Maxwell
usada na expressão anterior para obtermos
⃗
(⃗ )
⃗
(⃗ )
⃗
⃗
pode ser
, ou ainda
.
(11.2)
Em resumo as equações de Maxwell no vácuo geram as equações de onda
eletromagnética (EM) para os campos ⃗ e ⃗ .
(⃗ )
⃗
e
⃗
(⃗ )
.
Essas equações podem ser comparadas com uma equação geral homogênea da onda
,
(11.3)
previamente estudada e resolvida por D’Alembert (1717-1783). Se considerarmos
( ) então
e a equação de onda torna-se
geral pode ser dada pela adição de duas funções periódicas (
tal que
17
)
. A solução
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(11.4)
ou ainda na forma
(
Com
)
(
.
)
(11.5)
;
(11.6)
Claramente os campos ⃗ e ⃗ que solucionam as equações de onda (11.1) e
(11.2) deverão ser funções como a função de onda ( ) acima.
Nas equações de onda EM (11.1) e (11.2), nota-se que o coeficiente do termo
com a derivada segunda dos campos é o mesmo (
) para ambos os campos.
Comparando-se essas equações com a equação diferencial para ( ), o coeficiente
da derivada segunda da função de onda ( ) em relação ao tempo pode ser
igualado ao inverso da velocidade ao quadrado
:
(11.7)
Essa velocidade
calculada com a expressão acima dá:

.
Maxwell identificou essa velocidade da onda EM com a velocidade da luz, a
qual havia sido medida por Fizeau em 1849/1851, e concebeu a idéia de que a luz é
uma onda eletromagnética. Essa idéia, extremamente fecunda, gerou consequências
fantásticas para a Óptica, pois permitiu demonstrar a quase totalidade das
propriedades da luz através da teoria eletromagnética, baseada nas Equações de
Maxwell.
12 – Espectro de Frequências da Onda Eletromagnética.
Atualmente se conhece amplamente o conjunto (espectro) de frequências e
comprimentos de onda das ondas eletromagnéticas. A faixa de frequências possível é
imensa. A tabela abaixo dá uma idéia desses valores:
Frequências:
– kHz – Ondas de Rádio AM
- MHz – Ondas de Rádio FM
- GHz – Ondas Ultracurtas de Rádio, TV, Telefonia Celular, Microondas
- 1014 – 1015 Hz – Ondas Luminosas
- 1018 Hz – Raios-X
- 1021 Hz – RaiosLembrando que
podemos encontrar os comprimentos de onda de
diversas radiações eletromagnéticas:
Ex 1: A rádio Tupi AM emite suas ondas eletromagnéticas (EM) em uma estreita faixa
de frequências cuja frequência dominante é
. Encontre o valor do
comprimento de onda dominante dessa radiação EM.
18
RESP:
ou seja dois e meio campos de futebol
aproximadamente.
Ex 2: Um forno de micro-ondas emite suas ondas eletromagnéticas (EM) em uma
estreita faixa de frequências cuja frequência dominante é
. Encontre o
valor do comprimento de onda dominante dessa radiação EM.
RESP:
ou seja 12,2 cm.
Ex 3: Um telefone celular se comunica com sua operadora de telefonia celular
emitindo ondas eletromagnéticas em uma estreita faixa de frequências cuja frequência
dominante é
. Encontre o valor do comprimento de onda dominante
dessa radiação EM.
RESP:
ou seja 35,3 cm.
13 – Obtenção Experimental da Onda Eletromagnética por H. Hertz.
Em 1888 H. Hertz produziu as ondas eletromagnéticas em laboratório por
diversos meios e formas. Orientado por H. von Helmholtz ele conseguiu montar um
circuito gerador de ondas EM que permitiu comprovar a existência delas. Note-se que
Maxwell, tendo falecido em 1879, não chegou a conhecer a descoberta experimental
da onda EM.
Hertz construiu um dispositivo experimental composto basicamente por um
circuito oscilante RLCε (resistor, indutor, capacitor e fonte) que gerava ondas EM no ar
com comprimento de onda
e período
(
). A
velocidade da onda EM no ar foi calculada por
. Ele
mesmo admitiu que esse valor estava inexato, pois possuía estimativas de que o valor
real era menor.
No mesmo ano Hertz mostrou que ondas EM no ar eram refletidas por placas
condutoras. Em consequência conseguiu produzir ondas estacionárias causadas pela
superposição entre ondas incidentes e refletidas nessas placas. Em 1889 apresentou
a explicação de seus resultados experimentais com base nas equações de Maxwell.
O dispositivo experimental de Hertz pode ser descrito como um radiador com
dois pólos (antena dipolo), que são as placas do capacitor. Nas próprias palavras de
Hertz (simplificadas pelo autor dessa apostila) ele descreve o fenômeno da emissão
da radiação pelo circuito RLCε do seguinte modo:
O circuito produz cargas elétricas de sinais opostos nas placas em um certo
instante. A seguir o circuito oscilante, funcionando próximo à condição de ressonância,
inverte as cargas. Essa inversão ocorre rapidamente com frequência angular
.
√
Em consequência surge um campo elétrico entre as cargas nas placas e um campo
magnético gerado pela corrente de deslocamento entre as placas.
Conforme o campo elétrico cresce, suas linhas de campo se movem para fora
do espaço entre as placas. Quando as cargas nas placas atingem seu valor máximo,
as linhas cessam de se expandir. As cargas começam a diminuir nas placas e as
extremidades das linhas de campo nos pólos começam a se retrair, pois o campo
elétrico está diminuindo. Quando elas se retraem totalmente, o campo elétrico cessa e
porção de linhas de campo já existentes no espaço externo ao capacitor coalescem
em linhas de campo elétricas fechadas que avançam pelo espaço independentemente
19
da fonte. Comportamento semelhante ocorre com as linhas de campo magnético. Elas
se movem no espaço completamente perpendiculares à direção de propagação.
A perda de energia pelo circuito corresponde à energia da radiação EM
emitida. A grandes distâncias essa onda EM toma a forma de uma onda plana.
13 – Obtenção das equações de onda para a Onda Eletromagnética em
meios condutores, a partir das Equações de Maxwell.
⃗ . Pode-se admitir que
No meio condutor homogêneo vale a Lei de Ohm
não haja cargas elétricas em excesso
. Substituindo a Lei de Ohm na Lei de
Ampére-Maxwell, as equações de Maxwell tornam-se
⃗
⃗
;
⃗
⃗
;
⃗
;
⃗
⃗
.
Aplicando o operador Rotacional nos termos dos dois lados da Lei de Ampére⃗
⃗
Maxwell, vem ( ⃗ )
. Porém ( ⃗ )
( ⃗)
(⃗ ) 
⃗
⃗
. A ordem das operações de derivada parcial
( ⃗)
(⃗ )
temporal e do operador pode ser invertida devido à independência das coordenadas
de posição e tempo. Além disso ⃗
. A equação anterior fica então com a forma
⃗
⃗
⃗ . A equação de Faraday-Lenz
⃗
pode ser
(⃗ )
⃗
(⃗ )
⃗
(⃗ )
usada na expressão anterior para obtermos
ainda
⃗
⃗
, ou
.
(12.1)
Façamos o mesmo nos termos dos dois lados da Lei de Faraday-Lenz. Vem
⃗
⃗
⃗)
 ( ⃗)
.
( ⃗)
(⃗ )  ( ⃗ )
(⃗ )
(
Novamente pode-se inverter a ordem das operações de derivada parcial temporal e do
⃗ . A Lei de
operador . Além disso ⃗
. A equação anterior fica
(⃗ )
Ampére-Maxwell
obtermos
⃗
(⃗ )
⃗
⃗
pode ser usada na expressão anterior para
⃗
⃗
, ou ainda
⃗
(⃗ )
⃗
.
(12.2)
Em resumo as equações de Maxwell no vácuo geram as equações de onda
eletromagnética (EM) abaixo para os campos ⃗ e ⃗ .
(⃗ )
⃗
⃗
e
(⃗ )
⃗
⃗
Essas equações apresentam os termos típicos de equações de onda nos dois
primeiros termos de cada expressão acima. Contudo elas estão acrescidas de um
terceiro termo que contém a primeira derivada dos campos. Esses termos em ( )
20
.
correspondem claramente a um amortecimento, conforme se pode ver em
comparação com casos de oscilações amortecidas.
Interpretações:
1-Isto significa que podemos ter soluções dessas equações na forma de ondas
eletromagnéticas amortecidas. Essas soluções para os campos ⃗ e ⃗ devem
apresentar funções periódicas de propagação, com termo (
), compostas com
funções decrescentes no tempo (
), presentes nas amplitudes dos campos. Essas
funções decrescentes representam processos dissipativos.
A interpretação usual dessas equações é a presença irreversível do fenômeno
do amortecimento das ondas eletromagnéticas em meios condutores.
2-Como exemplo consideremos uma placa metálica (ótima condutora) bem
grossa (grande espessura), sofrendo a incidência de uma onda EM ortogonal à sua
superfície. Essa onda poderá não atravessá-la, pois o amortecimento da onda poderá
ser total. Nesse caso a energia da onda deverá ser integralmente transformada em
calor por efeito Joule. Há também a possibilidade da onda EM ser parcialmente
amortecida ao atravessar a placa metálica, ou seja, a onda EM atravessa a placa,
porém a onda que sai da placa (emergente) terá amplitude bem menor do que a
amplitude (e a intensidade) da onda incidente.
3-Submarino: Um submarino imerso a grande profundidade no mar (meio
salgado) não conseguirá se comunicar com navios na superfície do mar através de
ondas EM. O oceano, constituído de água salgada, exerce a função de uma gigante e
espessa massa de material condutor entre os navios na superfície e o submarino
submerso. Evidentemente é possível haver tal comunicação se o submarino estiver a
pequena profundidade e tiver geradores de ondas EM extremamente potentes. Apesar
da absorção, uma pequena parte da onda EM conseguirá sair do mar para a
atmosfera. Se os navios receptores tiverem circuitos elétricos com dispositivos
fortemente amplificadores de sinais (ondas) eletromagnéticos, então a transmissão do
sinal será efetuada.
4-Blindagem Dinâmica: Podemos igualmente compreender agora o fenômeno
conhecido como Blindagem Dinâmica, que ocorre com uma casca condutora fechada.
Se a casca for suficientemente espessa uma onda EM comum não conseguirá
penetrar em seu interior devido ao amortecimento da onda na casca condutora. Por
outro lado, ondas EM do mesmo tipo geradas em seu interior também serão
absorvidas de tal modo que não conseguirão alcançar a região exterior à casca
condutora.
Gaiola de Faraday: M. Faraday (aproximadamente em 1830) verificou que essa
casca condutora pode ter orifícios e ainda assim exercer a Blindagem Dinâmica na
região interior à casca. Na verdade pode-se conseguir o efeito da blindagem usandose telas metálicas com diversos tamanhos de aberturas. Fabricantes de dispositivos
de blindagem se referem usualmente a essas cascas fechadas formadas por telas
metálicas como “Gaiolas de Faraday”. A existência de telas com aberturas de diversos
formatos: orifícios, furos, células quadradas, etc. permite uma grande variedade de
formas para as Gaiolas de Faraday.
Aplicações da Gaiola de Faraday: Utiliza-se esse conhecimento para blindar
equipamentos elétricos em geral, nas empresas de fornecimento de energia elétrica
durante os processos de manutenção de equipamentos, nos laboratórios de pesquisa,
nos laboratórios de montagem e manutenção de circuitos elétricos tanto em indústrias
quanto em universidades, nos laboratórios de manutenção de computadores, de
conserto de televisores e de outros tipos de aparelhos eletrodomésticos.
Condições de Penetração em cascas condutoras: Através do desenvolvimento
da teoria da onda EM pode-se determinar condições que as ondas EM precisam ter
para poder penetrar através das aberturas das telas metálicas ou cascas condutoras.
Uma dessas condições é a proporção entre o comprimento de onda e a dimensão L
da maior abertura de uma casca ou tela condutora. Deve-se ter
para que a onda
EM penetre facilmente no interior da casca com abertura ou tela. Caso
ou seja
21
pouco maior que L o fenômeno da penetração ainda ocorrerá, mas nem sempre com a
mesma intensidade e facilidade que no primeiro caso. Contudo no caso
, a onda
EM não conseguirá penetrar no interior da região blindada.
Aplicação em Automóveis: Como exemplo desse fato pode-se estimar o porquê
dos automóveis (cascas metálicas) blindarem as ondas EM de ondas médias de rádio,
ditas AM com comprimentos de onda (
), para aparelhos receptores de rádio
(rádio de pilha) totalmente contidos em seu interior. A maior abertura da casca do
automóvel em geral tem o tamanho do vidro dianteiro, da ordem de (
). Vê-se
que a condição
ocorre para esse caso. Note-se que os automóveis precisam ter
antenas externas para poderem captar as ondas médias de rádio.
Entretanto as ondas de rádio FM, TV ou de telefonia celular penetram no
interior de automóveis, pois têm (
). Nesse caso vale aproximadamente a
condição
.
Finalmente cabe observar que o efeito de blindagem dinâmica ocorre
parcialmente em elevadores revestidos por lâminas metálicas.
13 – Solução de Onda Plana em coordenadas cartesianas para as
equações de Onda Eletromagnética no vácuo.
As equações de onda EM no vácuo são
⃗
(⃗ )
e
⃗
(⃗ )
y
Admitiremos uma onda plana EM se propagando na direção
positiva do eixo x com o campo ⃗ na direção y. Vide sistema
coordenadas ao lado. A função desse campo ⃗ (
) que
satisfaz a equação da onda acima é
⃗(
)
(
)
.
𝑗
𝑘⃗
𝑖
z
(
x
).
(13.1)
Obtém-se a função do campo ⃗ através da equação de Faraday-Lenz:
Aplicando o operador Rotacional ao campo ⃗ dado acima vem
⃗
⃗
.
⃗
⃗
⃗
[
(
]
(
)
⃗
)
⃗
obtém-se ⃗
(
⃗(
)
) 
(
)
)
⃗

. Fazendo-se a integração no tempo dessa equação,
. Esse termo constante não
produz propagação e será considerado nulo. Como
⃗
⃗
(
). Adotando-se
⃗(
⃗
⃗
(
)
⃗
temos
, vem
(
).
(13.2)
Propriedades das soluções (13.1) e (13.2) de Onda Plana das equações de onda EM:
1-
,
,
,
22
.
(13.3)
2-
(13.4)
3-
⃗
4-
⃗
⃗
pois
⃗
⃗
⃗⃗⃗ ⃗
e
⃗
⃗
,
pois
⃗
.
(13.5)
.
(13.6)
14 – Vetor de Poynting, Intensidade e Densidade de Energia da Onda
Plana Eletromagnética no vácuo.
1 - O Vetor de Poynting
para uma onda EM plana citada no item anterior é dado por
⃗ ⃗
Aplicando a essa definição as expressões para os campos ⃗ e ⃗ do item anterior, vem
(
pois
⃗
. Como
)
(14.1)
.
temos
2 - Calcula-se a intensidade (I) da onda EM através da definição
|⟨ ⟩|
(14.2)
∫
(14.3)
onde ⟨⃗⃗ ⟩ é dado por
⟨ ⟩
Executemos esses cálculos:
⟨ ⟩
∫
⟨ ⟩
(
∫
∫
(
)
)
o valor . Com isso temos ⟨ ⟩

. Contudo o termo entre chaves { } fornece
. Portanto
.
(14.4)
Outras formas de escrever esse resultado levam em conta que
;
;
Definindo
23
:
.
(14.5)
(14.6)
√
e
,
√
(14.7)
reescrevemos a intensidade da onda EM nas formas abaixo
;
;
(14.8)
3 - A densidade volumétrica média de energia do campo elétrico, do campo magnético
e da onda eletromagnética podem ser calculados.
A densidade média de energia do campo ⃗ é dada por ⟨ ⟩
⟨
⟩
∫
∫
(
)
A densidade média de energia do campo ⃗ é dada por ⟨
⟨
⟩
∫
∫
Contudo pode-se usar
(
e
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
(14.9)
⟩
)
.
(14.10)
na equação acima de modo que
⟩
⟨
⟩.
(14.11)
⟩ vem a ser dada por
A densidade média da energia eletromagnética⟨
⟨
.
⟩
(14.12)
cuja unidade no SI é expressa por Joule/m3.
4-Relação entre essa densidade média de energia do campo eletromagnético da onda
plana e a Intensidade
Comparando as equações (14.8) e (14.12), obtemos
⟨
⟩
(14.13)
15 – Pressão da Radiação e a Intensidade da Onda Eletromagnética no
vácuo.
Maxwell investigou igualmente a possibilidade da onda EM exercer pressão
sobre uma superfície colocada perpendicularmente à direção de propagação dessa
onda. Os seus procedimentos mostraram que absorvedores perfeitos e refletores
perfeitos apresentam resultados diferentes para essa pressão. A verificação
experimental da pressão exercida por ondas EM sobre placas foi realizada por Nichols
e Hull em diversos experimentos entre 1900 e 1903.
Placas Absorvedoras Perfeitas:Foi possível demonstrar que uma onda EM
totalmente absorvida sofre uma variação de momento linear
, que é transferida
para a placa absorvente. A variação do momento linear da placa é dada pela
expressão
24
(15.1)
onde
é a variação da energia da onda EM (perda), a qual é totalmente absorvida
pela placa.
Pode-se obter essa pressão da radiação para absorvedores perfeitos
considerando o intervalo de tempo
no qual ocorre a transferência de momento e
energia. A razão entre a variação do momento linear
e o intervalo de tempo é a
força exercida pela onda na placa
. Como
, então
. Fazendo
.
Pressão é força sobre área, portanto chega-se à expressão abaixo para a pressão
exercida por uma onda EM sobre uma placa perfeitamente absorvedora
.
(15.2)
Placas Refletoras Perfeitas:
Foi possível demonstrar que uma onda EM sofre uma variação de momento linear ,
que é o dobro do caso anterior pois a onda inverte seu sentido de propagação. Essa
variação do momento linear da onda é igual (em módulo) à da placa. A variação do
momento linear
da placa refletora é então dada pela expressão
(15.3)
onde
é a energia cedida pela onda EM para a placa.
Pode-se obter essa pressão da radiação sobre placas perfeitamente refletoras
em analogia com o procedimento no item anterior para se obter
.
(15.4)
Aplicações:
Ex 1: Uma fonte de ondas eletromagnéticas emite ondas de rádio com potência P =
100 kW. Para acender uma lâmpada fluorescente precisa-se de uma campo elétrico
eficaz com aproximadamente Eef = 100 V/m. Pondo a lâmpada próxima da fonte ela
acende com o campo Eef dessa onda EM. Acima de uma certa distância R a lâmpada
se apaga. Calcule o valor aproximado dessa distância R.
RESP:

. Porém


. Como

.
Ex 2: Na alta atmosfera terrestre as ondas luminosas do sol chegam com Intensidade
.
(a) Obtenha os campos elétrico e magnético eficazes dessa onda EM.
RESP:



.
25
(b) Obtenha a pressão da radiação da luz do sol.

RESP:
(c) Calcule aproximadamente a potência emitida pelo sol.
RESP:

Porém
(

)

.
Ex 3: Um laser de baixa potência P = 1,5 mW produz um feixe luminoso cilíndrico de
diâmetro d = 0,4 mm. Calcule:
(a) A intensidade I desse feixe.
RESP:
(
. Porém

)

.
(b) O campo elétrico Eef eficaz dessa luz.
RESP:


(c) O campo magnético eficaz Bef dessa luz.
RESP:

.
FIM
26
.