Paulo Vargas Moniz Modern Physics –TP6-Lecture10 A teoria quântica tomou então os contornos de uma Mecânica (Quântica) Ondulatória. Para entender e esclarecer este comportamento requere-se um formalismo matemático análogo à teoria de Maxwell: Qual é a relação entre (o campo de) uma “onda-particula” e observaveis fisicos como energia, posição, etc? Como é que “ondas-particulas” interagem entre si e com o que as rodeia)? É neste contexto que se descre a Equação de Schrodinguer. Nota: ir-se-á estudar o caso uni-dimensional Seja a equação das ondas clássica 2U 1 2U . Esta tem como soluções x 2 V 2 t 2 funções U(x,t)= A ei(kx-wt) onde V=w/k é a velocidade de fase. Para estas ondas planas (monocromáticas), empregando a relação de Planck e a por de Broglie, temos que E = Vp => V=c como a escolha possivel. Mas para particulas com massa, temos antes que E = p2/2m + V(x,t), onde V(x,t) é a energia potencial. Tentemos então o seguinte. Se de uma equação para ondas obtemos uma relação entre energia e momento linear para radiação (luz), então de uma relação entre energia e momento linear para particulas com massa, será que se obtem uma equação para a “ondas” (de particulas)? Tomemos (x,t)= A ei(kx-wt) e que i E e i k p . t x Ie, temos uma relação do tipo Operador Diferencial Onda = Constante Onda pelo que escrevemos a Equação de Schrodinguer: p2 2 2 V ( x, t ) E V ( x, t ) i 2 2m 2m x t 1 Paulo Vargas Moniz Modern Physics –TP6-Lecture10 Esta é a equação (dependente do tempo) a 1-dimensão (espacial) de Schrodinguer. A solucão (x,t) é designada de função de onda. Se o potencial V for independente do tempo, ie, V=V(x), então tomando (x,t) = (x) (t) escrevemos a equação de Schrodinguer independente do tempo: H E 2 2 V ( x) E 2m x 2 Mas qual é o conteudo fisico da função de onda (x,t) = (x) (t)? Ie, como podemos relacionar (x,t) com observaveis como a posição, energia, etc? Há que formalizar uma Interpretação da Função de Onda. No contecto do electromagnetismo, a densidade de energia é proporcional ao quadrado do campo electrico (se magnetico nulo), ie, 2 E E E onde E* é o complexo conjugado. Se a massa é uma forma de energia e (x,t) corresponde a um “campo” de uma particula com massa m então (x,t)* (x,t) poderia ser entendido como uma densidade associada com a particula. Ie, (x,t)* (x,t) = | (x,t) |2 = P(x) seria uma densidade de probabilidade para encontrar uma particula de massa m numa posição x no intervalo dx. Mais em concreto: Ondas de luz podem ser decompostas em diferentes ondas monocromáticas, ie, =iaii , com |ai|2 como intensidade dessa onda (indexada pela variavel i). A uma diferente distribuição espectral para diferentes cdo correspondem diferentes intensidades de acordo com cada |ai|2 e qual é maior ou menor. Onde |ai|2 for maior significará que mais corpusculos/particulas (ie, fotões) estão nesse intervalo de ondas monocromáticas. A intensidade dará indicação de quantos aí contribuem e dai a sua probabilidade. Esta é a interpretação Ortodoxa (ou de Copenhaga) da Fisica Quântica. 2 Paulo Vargas Moniz Modern Physics –TP6-Lecture10 Várias implicações ocorrem. 1. A função de onda deve ser normalizada: dx 1 2. A função de onda deve satisfazer as condições de fronteira (x) 0 quando x . 3. A função de onda (x) e d(x)/ dx devem ser continuas em x Relativamente a observaveis F(x), NÃO se pode estabelecer precisão mas antes probabilidade, ie, um valor médio entre todos os possiveis F ( x) ( x) F ( x) ( x)dx No contexto do Principio da Decomposição Espectral: Seja a função de onda de um sistema. As previsões e estimativas para um observavel A são estabelecidas de 1. Determinar as funções de onda próprias associadas a A, a, que correspondem aos valores próprios a, ie, Aa=aa 2. Representar a função de onda como combinação linear de a, ie =acaa (Base de vectores num espaço de Hilbert) 3. A probabilidade de A estar em a (numa medição) é |ca|2, tal que 1=a|ca|2 4. O valor médio para a A é dado por <A> = a|ca|2a Nota: Apenas com uma medição se determinará qual o estado ou comportamento do sistema ou particula. Até que uma observação se efectue, o sistema descrito por está em TODOS os possiveis estados. Ie, um fotão ou electrão atravessa AMBAS as fendas na experiencia de sobreposição de interferência. 3