Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade

Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo
Matemática Zero 2.0 - Aula 10 - Critérios de Divisibilidade - (parte 1 de 2)
Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=1F1Qlke27mE
Gabaritos nas últimas páginas!
E1: Qual o critério de divisibilidade por 2? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 2:
a) 35
b) 43
c) 67890765438
d) 56123487438
E2: Qual o critério de divisibilidade por 3? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 3:
a) 729
b) 816
c) 6632
d) 4584
E3: Qual o critério de divisibilidade por 4? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 4:
a) 22857
b) 56329600
c) 148
d) 25698
E4: Qual o critério de divisibilidade por 5? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 5.
a) 2394239485
b) 29478324723857280 c) 83743284782
E5: Qual o critério de divisibilidade por 6? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 6
a) 245794589
b) 84327847234823743 c) 2148
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Divisibilidade
E6: Qual o critério de divisibilidade por 7? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 7
a) 37625
b) 336
c)214
d) 896
E7: Qual o critério de divisibilidade por 8? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 8.
a) 1328738478528
b) 398934894832 c) 47845784576
E8: Qual o critério de divisibilidade por 9? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 9.
a) 216
b) 185
c) 309
d) 428
E9: Descubra o menor número natural que é divisível simultaneamente por
2, 3, 5 e 7.
E10: Descubra o menor natural que é divisível simultaneamente por 2, 3, 4.
E11: Descubra o último número divisível por 11 menor que 23412.
E12: Calcule o maior número de 4 algarismos simultaneamente divisível
por 3 e por 7.
E13: O número 61125ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos
algarismos a e b será:
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
E14: Mostre que a soma de dois números ímpares ou a soma de dois
números pares é um número divisível por 2.
E15: Mostre que a soma de três números naturais em sequência é divisível
por 3.
E16: Mostre que o dobro da soma de três números naturais em sequência é
divisível por 6.
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Divisibilidade
E17 (Desafio): Considere os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Com eles é possível montar um número
(cada letra representa
um algarismo distinto) de forma que:
a forma um número divisível por 1;
ab forma um número divisível por 2;
abc forma um número divisível por 3;
abcd forma um número divisível por 4;
...
forma um número divisível por 10.
Descubra o valor de
.
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Divisibilidade
Gabarito:
E1: Para ser divisível por 2, basta ser par (podemos, simplesmente,
observar se o último algarismo é par)
a) 35: não é par (logo, não é divisível por 2).
b) 43: não é par (logo, não é divisível por 2).
c) 67890765438: é par (logo, é divisível por 2).
d) 56123487438: é par (logo, é divisível por 2).
E2: Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos deve fornecer um
número que é divisível por 3.
a) 729: 7 + 2 + 9 = 18 (18 é divisível por 3, logo, 729 também é).
b) 816: 8 + 1 + 6 = 15 (como 15 é divisível por 3, então 816 também é).
c) 6632: 6 + 6 + 3 + 2 = 17 (17 não é divisível por 3. Logo, 6623 também
não é).
d) 4584: 4 + 5 + 8 + 4 = 21 (21 é divisível por 3. Logo, 4584 também é).
E3: Basta verificar se os dois algarismos finais formam um número
divisível por 4 (inclusive, 00).
a) 22857: Não é divisível por 4.
b) 56329600: Termina em 00: É divisível por 4.
c) 148: Termina em 48 (que é divisível por 4). Logo, 148 também é.
d) 25698: Não é divisível por 4, pois 98 não é divisível por 4.
E4: Basta verificarmos se o último algarismo é zero ou 5, o que garante a
divisibilidade por 5.
a) 2394239485: É divisível por 5.
b) 29478324723857280: É divisível por 5.
c) 83743284782: Não é divisível por 5.
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Divisibilidade
E5: Para ser divisível por 6, basta ser divisível por 2 e 3 simultaneamente,
ou seja: ser par e ter a soma dos algarismos valendo um número divisível
por 3. Obviamente, se o número não for par (critério de divisibilidade por
2) a verificação do segundo critério é desnecessária. Ganhe tempo!
a) 245794589: É ímpar. Logo, não é divisível por 6.
b) 84327847234823743: É ímpar. Logo, não é divisível por 6.
c) 2148: 2 + 1 + 4 + 8 = 15 (que é um número divisível por 3). É par. Logo,
é divisível por 6.
E6: Verificação um pouco trabalhosa, mas simples: Para ser divisível por 7
basta subtrairmos o dobro do valor do último algarismo do número original
sem este algarismo. Se o resultado obtido é um múltiplo de 7, então o
número original é divisível por 7. Também é possível (em caso de números
muito grandes) repetir o processo até que o número obtido seja facilmente
verificável como um múltiplo de 7 ou não, conforme mostrado no vídeo.
a) 37625:
Dobro do último algarismo: 10
Calculando 3762 – 10: 3752.
Como o número ainda é grande, vamos repetir o processo:
3752: Dobro do último algarismo: 4
Calculando 375 – 4 = 371.
Como o número ainda é grande, vamos repetir o processo mais uma vez:
371: Dobro do último algarismo: 2
Calculando 37 – 2 = 35 (que é um múltiplo de 7).
Logo, 37625 é múltiplo de 7.
Sendo um pouco mais direto com os outros itens, temos:
b) 336: 33 – 12 = 21 (é múltiplo de 7, pois 21 é múltiplo de 7)
c)214: 21 – 8 = 13 (não é múltiplo de 7)
d) 896: 89 – 12 = 77 (é múltiplo de 7, pois 77 vale 7 × 11).
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Divisibilidade
E7: Há dois critérios, mas vamos usar um só, mais simples: vamos
verificar se os 3 últimos algarismos formam um múltiplo de 8. Se
formarem, o número em questão também é múltiplo de 8.
a) 1328738478528: 528 é divisível por 8. Logo, o número em questão
também é.
b) 398934894832: 832 é divisível por 8. Logo, o número em questão
também é.
c) 47845784576: 576 é divisível por 8. Logo, o número em questão
também é.
E8: Se a soma dos algarismos fornece um número divisível por 9, então o
número em questão também é divisível por 9:
a) 216: 2 + 1 + 6 = 9. Logo, 216 é divisível por 9.
b) 185: 1 + 8 + 5 =14. Logo, 185 não é divisível por 9.
c) 309: 3 + 0 + 9 = 12. Logo, 309 não é divisível por 9.
d) 428: 4 + 2 + 8 = 14. Logo, 428 não é divisível por 9.
E9: Para que um número seja simultaneamente divisível por 2, 3, 5 e 7
(todos fatores primos) então basta que esse número tenha pelo menos um
de cada fator mencionado, ou seja, 2 × 3 × 5 × 7 = 210
E10: Problema parecido com o anterior, com um detalhe: 4 não é um fator
primo. Na verdade, 4 = 2 × 2 (contém dois fatores iguais a 2). Isso significa
que todo número divisível por 4 também será divisível por 2. Assim sendo,
basta fazer 3 × 4 = 12. Um outro exemplo para ilustrar melhor: 35 = 7 × 5
isso significa que 35 possui um fator 7 e um fator 5 o que o torna divisível
tanto por 7 quanto por 5. É uma outra forma de se verificar a divisibilidade.
Nota: esse tipo de problema discutido no exercício E10 será melhor
estudado na aula de MMC e MDC.
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Divisibilidade
E11: Basta realizarmos a divisão inteira de 23412 por 11.
Ao fazermos a divisão inteira, percebemos que ao dividirmos 23412 por 11
obtemos 2128. Isso significa que, ao multiplicarmos 2128 por 11
obteremos o maior número possível (menor que 23412) que é múltiplo de
11: 23408.
Uma outra forma de se chegar no mesmo número: Note que o resto da
divisão inteira foi 4. Isso significa que 23412 é 4 unidades maior que o
último múltiplo de 11. Ou seja, 23412 – 4 = 23408.
E12: Parecido com o anterior, mas precisamos pensar um pouquinho: para
que um número seja simultaneamente divisível por 3 e por 7 (ambos fatores
primos) então o tal número precisará ser divisível por 3 × 7 = 21. É uma
situação similar ao que ocorre com os múltiplos de 6: Para que um número
seja divisível por 2 e 3 simultaneamente, ele deve ser divisível por
2 × 3 = 6 (pois 2 e 3 são também fatores primos). O maior número de 4
algarismos vale 9999. Vamos então dividi-lo por 21 para encontrar o maior
múltiplo de 21 de 4 algarismos:
Logo, ao fazermos 9999 – 3 = 9996 (veja a explicação para isso no E11)
encontraremos o maior múltiplo de 21 de 4 algarismos, logo, o maior
múltiplo de 4 algarismos tanto do 3 como também do 7.
Nota: Cuidado!!! O problema pede que o número em questão seja
SIMULTANEAMENTE divisível por 7 e por 3. Esse número é o 9996. É
claro que 9999 é divisível por 3 (e é maior que o número encontrado) mas
ele não é divisível por 7. Atenção nisso!
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Divisibilidade
E13:ALTERNATIVA B.
O valor máximo de a + b (sem observarmos as condições do exercício)
vale 9 + 9 = 18 (ou seja, ocorreria quando os dois valores fossem os
maiores possíveis). No entanto, ao somarmos os algarismos de 61125ab
(exceto a e b) obtemos 15. Logo, o máximo valor da nossa soma (sem
observar
as
condições
do
exercício)
valeria
15 + 18 = 33. Precisamos então obter o máximo múltiplo de 9 menor que
33 (podemos calcular isso de forma idêntica à realizada no exercício E11
ou E12, mas é desnecessário). É fácil concluir então que esse número é o
27 (pois o próximo múltiplo de 9, que vale 36, passaria de 33). Logo, a
soma de todos os algarismos vale 27, e concluímos que a + b =
27 – 15 = 12.
E14: Essa parte exige um pouco mais de conhecimento algébrico. Vamos
lá: um número par pode ser representado genericamente por 2x (ou 2y ou
2z...) Já um número ímpar pode ser representado por 2x + 1 ou também
2x – 1 (este último deve ser evitado para não cairmos em resultados
negativos). Disso, temos:
Dois números pares: 2x e 2y (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ)
2
2 2
.
Se x e y são naturais, também é um natural. Temos então um natural
(x + y) multiplicado por 2, o que o torna automaticamente divisível por 2.
Logo, a soma de dois números pares é um número par.
Dois números ímpares:
2
1
2
1
2
e
2
2
(x ∈ ℕ, y ∈ ℕ)
2
1
Como x + y são naturais e 1 também é um natural, temos que x + y + 1 é
um natural. Como temos
então isso equivale a dizer que
temos um natural multiplicado por 2, o que o torna automaticamente
divisível por 2. Logo, a soma de dois números ímpares é um número par.
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Divisibilidade
E15: Sendo x um natural, podemos representar 3 números em sequência
desta maneira: x, x + 1 e x + 2.
Vamos somá-los:
1
1
3
3
2
2
3
1 Note novamente: (x + 1) é um natural. Temos então um natural
multiplicado por 3, o que o torna automaticamente divisível por 3. Logo, a
soma de 3 números naturais em sequência resulta em um número divisível
por 3.
E16: Simples. Vimos, no E15 que a soma de três números naturais em
sequência resulta em
. Multiplicando este resultado por 2 (o
dobro) teremos ⋅ . Ou seja, temos um número
natural (x +1) multiplicado por 6. Devido ao fator 6 (e pelo fato de ser um
natural) tal número é divisível por 6.
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Divisibilidade
E17: O número procurado vale 3816547290
Observação 1: O número é do tipo ímpar-par-ímpar...par. Ou seja, posições pares são ocupadas
por algarismos pares, enquanto posições ímpares, por algarismos ímpares. A justificativa é
simples: Para ter um divisor par, um número precisa ser par, o que obrigatoriamente o faz
terminar em algarismo par. Um número como 3217 jamais vai ser divisível por 4, por exemplo.
Assim, as 5 posições alternadamente pares são ocupadas por 5 algarismos pares que são, pelas
condições do exercícios, distintos. Da mesma forma, números como 324 (2 pares seguidos, note
o 24) são impossíveis de ocorrer. Se os pares são alternados, por exclusão, os ímpares também
são (de modo similar, não existem números como 314, note os dois ímpares seguidos).
Observando um pouco mais o exercício, podemos concordar com duas posições:
A posição final é o zero (j = 0) pois para que um número seja divisível por 10 ele deve terminar
em zero;
A quinta posição é ocupada pelo 5, afinal para que um número seja divisível por 5 ele deve ser
divisível por 0 ou 5. Como o zero já foi utilizado, resta o 5, portanto e = 5.
Assim sendo, nosso número abcdefghij agora passou a ser abcd5fghi0.
O número abcd deve ser divisível por 4, o que significa que cd é divisível por 4 (pelos critérios
de divisibilidade por 4, lembra?) Assim sendo, cd vale 12, 16, 32, 36, 72, 76, 92 ou 96. Logo, d
vale 2 ou 6.
Como
é divisível por 3, então a soma é divisível por 3. Como
!é
divisível por 6, então ! também é divisível por 3 (e f é par). Como já sabemos que
" 5 e d só pode valer 2 ou 6, então def vale 258 ou 654. Assim sendo, f vale 8 ou 4.
Como abcdefgh é divisível por 8, então fgh forma um número divisível por 8. Assim sendo,
fgh=416, 432, 472, 496, 816, 832, 872, ou 896. Assim sendo, h vale 2 ou 6 (da mesma forma
que d).
Logo, nenhum dos números pares restantes podem valer 2, 6 ou 0 (o zero já havia sido usado no
começo). Assim sendo, b = 4 ou 8. Note que essa escolha afeta o valor de def (se b = 4, então
! $%. Se b = 8 então
!
$&) e também afeta a escolha de h (que vale 2 ou 6).
Usando essa regra e lembrando que não podemos repetir algarismos, concluímos que nosso
número vale a4c258g6i0 ou a8c654g2i0. Faltam ainda os algarismos 1, 3,7, 9. Os números a4c
e a8c são divisíveis por 3. Isso nos dá as seguintes possibilidades para abc: 147, 183, 189, 381,
387, 741, 783, 789, 981, ou 987. E os números fgh, como vistos, 416, 432, 472, 496, 816, 832,
872, ou 896. Como abc e fgh estão relacionados, se abc for 147 ou 741 (supondo que nosso
número comece com a4c) então necessariamente fgh valerá 896). Se o nosso número for a8c
(segunda possibilidade para início da sequência) então, necessariamente, fgh valerá 432 ou 472.
Vamos testar as possibilidades e ver se a divisibilidade por 7 é verificada em algum caso:
1472589 (não se verifica) 7412589 (não se verifica). Logo, resta apenas a segunda
possibilidade: fgh vale 432 ou 472. Logo, os valores possíveis para a8c foram reduzidos
para:183, 189, 381, 387, 783, 789, 981, ou 987.
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Divisibilidade
São relativamente poucas as tentativas agora, que precisam ser verificadas até a sétima casa para
conferir se o resultado obtido é divisível por 7: Para abc valendo 183, fgh não pode valer 432
(devido ao 3) então temos 1836547 (não é divisível por 7). 1896543 (não é divisível por 7)
1896547 (não é divisível por 7). Finalmente, temos 3816547 que é divisível por 7. Logo, i
(único algarismo que restou) vale 9 e temos o número 3816547290 que verifica as condições
exigidas.
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