Sequências - NS Aulas Particulares

Sequências
1. (Uem 2013) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica
a r
definida por 1
e assinale o que for correto.
an1  an  a1

01) A soma dos 50 primeiros termos da sequência (a1, a2, a3 , a4, a5, ) é 2500r.
02) A sequência (a1, a2, a4 , a8, a16 , ) é uma progressão geométrica.
04) A sequência (a1, a3 , a5 , a7 , a9 , ) é uma progressão aritmética.
08) O vigésimo termo da sequência (a1, a2, a4 , a8, a16 , ) é 220 r.
16) A soma dos 30 primeiros termos da sequência (a2, a4 , a6 , a8 , a10,
2. (Unesp 2013) A sequência dos números n1, n2, n3 , , ni,
) é 930r .
está definida por
n1  3

ni  1 , para cada inteiro positivo i.

ni1  n  2

i
Determine o valor de n2013 .
3. (Espm 2012) Seja S   a1, a2 , a3 , ..., an , ... a sequência definida por
a1  5 e an1  an para n  1. O produto dos infinitos termos dessa sequência é igual a:
a) 1
b) 10
c) 20
d) 25
e) 5
4. (Uftm 2011) Em uma sequência, o termo geral é dado por an  2n  k, (n  *), sendo k
uma constante.
Determine:
a) O valor do primeiro termo dessa sequência, sabendo-se que o quinto termo é igual a 21.
b) A soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência.
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5. (Uel 2011) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma
triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas.
Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores triangulares com as respectivas
quantidades de barras de mesmo comprimento.
Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares,
qual é o número N de barras para n setores triangulares?
a) N  3  2n1 para n  1
b) N  3n para n 1
c) N  3n2  2n para n 1
d) N  3  2(n2  1) para n 1
e) N  1  2n para n 1
6. (Espm 2011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela
expressão Sn  8n2  1.
Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a:
a) 128
b) 132
c) 146
d) 150
e) 152
7. (Mackenzie 2011) Em uma sequência numérica, a soma dos n primeiros termos é 3n2 + 2,
com n natural não nulo. O oitavo termo da sequência é
a) 36
b) 39
c) 41
d) 43
e) 45
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8. (G1 - cftmg 2011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência e dada pela fórmula
Sn  3n3  2n . Desse modo, a diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa
sequencia e igual a
a) 5.
b) 18.
c) 23.
d) 33.
9. (Fgv 2011) Seja  a1,a2 ,a3 ,... uma sequência com as seguintes propriedades:
I. a1  1 .
II. a2n  n  an , para qualquer n inteiro positivo.
III. a2n1  2 , para qualquer n inteiro positivo.
a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule o valor de a 2 50 .
10. (Fgv 2011) a) Determine o quarto termo da sequência (a1, a2, a3,
an  2an1  1 e a1  1, com n  1.
, an,
) dada por:
b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três
hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em
transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as
regras:
1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez.
2ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor.
Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferila é 3.
Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número
possível de movimentos.
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c) O menor número de movimentos an para transferir uma torre de n anéis, n  1, , satisfaz a
relação: an  1  2(an1  1). Qual é o menor número de movimentos necessários para
transferir uma torre com 6 anéis?
11. (Uem 2011) Considerando a seguinte equação de recorrência de números inteiros,
xn1  xn  5n, em que n é um número inteiro positivo e x1  1 , assinale o que for correto.


1 n
5  1 para todo inteiro n >1.
4
02) xn é um número composto para todo n  2.
01) xn 
04)
08)
xn  xn1 é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n  2.
xn  781 para algum inteiro positivo n, n  2.
16) A sequência  x1, x 2 , x 3 ,..., xn ,... é uma progressão aritmética.
12. (Uftm 2011) O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência
an   3  , com n  *, é
n
a)
b)
c)
d)
e)
1
.
27
1
.
81
1

.
243
1

.
27
1
 .
81
13. (G1 - cp2 2010) Qual é o próximo número da sequência abaixo?
18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____
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14. (Ufba 2010) Considerando-se as sequências (an) e (bn) definidas por
b1  1

 n2 

an   1  2
e 
n2
 n  1 
bn1   n  1  bn,





01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (a n) é um número negativo.
02) Para qualquer n, tem-se −1 < an < 1.
04) A sequência (bn) é crescente.
1
08) Existe n tal que an = .
2
16) A sequência (bn) é uma progressão aritmética.
32) A sequência (an) é uma progressão geométrica de razão negativa.
n
15. (Ufrgs 2010) Na sequência 1, 3, 7,15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido
adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é
a) 211-1.
11
b) 2 +1.
12
c) 2 -1.
d) 212+1.
e) 213-1.
16. (Fgv 2007) Considere a sequência cujo termo geral é a n = (-1)n (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, ...
.
a) Escreva os seis primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule a soma dos 2007 primeiros termos dessa sequência.
17. (Fgv 2007) Duas sequências: (x1, x2, x3, ..., xn,...) e (y1, y2, y3, ..., yn, ...) são tais que:
 y1  1; y 2  4

 xn  yn /  y n  1

 A sequência  x1, x 2 , x 3 ,..., x n, ...  é uma progressão geométrica de razão 2.
Escreva os 6 primeiros termos da sequência (y1, y2, y3, ..., yn, ...).
18. (Fuvest 2005) Uma sequência de números reais a1, a2, a3, ... satisfaz à lei de formação
an+1 = 6an , se n é ímpar
an+1 = (
1
) an, se n é par.
3
Sabendo-se que a1 = 2 ,
a) escreva os oito primeiros termos da sequência.
b) determine a37 e a38.
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19. (Pucsp 2004) Na sequência de termo geral an = 5n + sen (n . ð/2), com n ∈ N*, a soma dos
20 primeiros termos de ordem ímpar é igual a
a) 1800
b) 1874
c) 1896
d) 2000
e) 2024
20. (Unifesp 2003) A soma dos termos que são números primos da sequência cujo termo geral
é dado por an=3n+2, para n natural, variando de 1 a 5, é
a) 10.
b) 16.
c) 28.
d) 33.
e) 36.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
02 + 04 + 16 = 22.
[01] Incorreto. Temos
a1  a2  a3 
 a50  r  2r  3r 
 50r
r  50r
 50
2
 1275r

 2500r.
[02] Correto. De acordo com a lei de formação, vem
)  (r, 2r, 4r, 8r, 16r,
(a1, a2, a4 , a8, a16,
),
ou seja, a sequência (a1, a2, a4 , a8, a16 ,
termo igual a r e razão
) é uma progressão geométrica com primeiro
2r
 2.
r
[04] Correto. De fato,
)  (r, 3r, 5r, 7r, 9r,
(a1, a3 , a5 , a7 , a9,
)
é uma progressão aritmética com primeiro termo igual a r e razão 3r  r  2r.
[08] Incorreto. Conforme [02], vem a20  r  2201  219 r  220 r.
[16] Correto. Com efeito,
a2  a 4  a6 
 a60  2r  4r  6r 
 60r
2r  60r
 30
2
 930r.

Resposta da questão 2:
Temos n6k 1  3, n6k 2 
k natural. Portanto, n2013
1
5
7
2
4
, n6k 3   , n6k  4   , n6k 5   e n6k  6   , para todo
4
7
2
5
3
1
 n6335 3   .
4
Resposta da questão 3:
[E]
1
1
Sabendo que a1  5  5 2 e an1  an  an1  an 2 , temos que a sequência S é igual a
1
1
1
(5 2 , 5 4 , 5 8 ,
).
Portanto, o produto dos infinitos termos de S é dado por
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1
2
1
2
5
1
4
5
1
8
5


1 1 1
  
2
4 8
5
5
1
1
2
 5.
Resposta da questão 4:
a) Sabendo que o quinto termo é igual a 21, temos:
a5  21  21  2  5  k  k  10.
Logo, o primeiro termo é:
a1  2  1  10  12.
b) Como an1  an  2(n  1)  k  (2n  k)  2, para todo n natural positivo, temos que a
sequência é uma progressão aritmética de razão igual a 2. Desse modo,
a50  2  50  10  110
e, portanto, a soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência é dada por
S50 
a1  a50
 50  (12  110)  25  3050.
2
Resposta da questão 5:
[E]
Observa-se que cada figura tem duas barras a mais que a anterior, temos então uma P.A de
razão 2:
(3, 5, 7, ..)
Portanto, a figura n, terá número de barras igual a:
N  3  2   n  1
N  2n  1 para n  1
Resposta da questão 6:
[E]
Seja a10 o décimo termo da sequência. Como a soma dos dez primeiros termos é igual à soma
do décimo termo com a soma dos nove primeiros termos, temos que,
a10  S9  S10  a10  8  92  1  8  102  1  a10  800  648  152 .
Resposta da questão 7:
[E]
a8  S8  S7  3.82  2  (3.72  2)  45
Resposta da questão 8:
[B]
a1  S1  3  13  2  1  5
a1  a2  S2  3  23  2  2  28
Portanto, 5  a2  28  a2  23
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Resposta da questão 9:
a) De acordo com a lei de formação da sequência, temos que:
a1  1
a2  a21  1 a1  1 1  1
a3  2
a 4  a22  2  a2  2  1  2
a5  2
a6  a23  3  a3  3  2  6
a7  2
a8  a24  4  a 4  4  2  8
a9  2
a10  a25  5  a5  5  2  10
a11  2
a12  a26  6  a6  6  6  36
a13  2
a14  a27  7  a7  7  2  14
a15  2
a16  a28  8  a8  8  8  64
Portanto, a sequência pedida é:
(1,1, 2, 2, 2, 6, 2, 8, 2,10, 2, 36, 2,14, 2, 64).
b) Observando que:
a
2n
 2 1 2 
com n 
a
250

 (n1)
,
, vem
 2 1 2 
 49
2
(1 49)
 49
2
 21225.
Resposta da questão 10:
a)
a4  2a3  1
 2(2a2  1)  1
 2(2(2a1  1)  1)  1
 2(4a1  2  1)  1
 8a1  7.
Como a1  1, segue que a4  8  1 7  15.
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b)
c) Queremos calcular a6 .
an  1  2(an1  1)  an  2an1  1.
Do item (a) sabemos que a4  15. Logo,
a6  2a5  1
 2(2a 4  1)  1
 2(2  15  1)  1
 63.
Resposta da questão 11:
01 + 04 + 08 = 13.
01) Correto. Temos que
x 2  x1  51
x 3  x 2  52
xn1  xn2  5n2
xn  xn1  5n1
xn  x1  5 
5n1  1
5n  5  4 1 n
 xn 
 (5  1).
5 1
4
4
02) Incorreto. Para n  3, segue que x 3 
1 3
124
(5  1) 
 31. Mas 31 é primo.
4
4
04) Correto. Reescrevendo a diferença obtida em (01), obtemos xn  xn1 
5n1  5
. Portanto,
5
xn  xn1 é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n  2.
08) Correto. Sabendo que xn 
1 n
(5  1), vem que
4
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1 n
(5  1)  781  5n  3125  n  5.
4
16) Incorreto. De (01), temos que x3  x2  x2  x1. Portanto, a sequência
 x1, x 2 , x3 , , xn ,  não é uma progressão aritmética.
Resposta da questão 12:
[B]
a4 = (-3)-4 =
1
1

( 3)4 81
Resposta da questão 13:
48
Dividindo a sequência dada em duas outras sequências, temos:
18, 30, 42, 54.... (P.A de razão 12)
e
15, 26, 37, ... (P.A de razão 11)
Logo O termo pedido será 37 + 11 = 48
Resposta da questão 14:
01 + 02 + 04 + 16 = 23
9
 1 4

Sequência A   , ,  ,... 
10 
 2 5
5 
 3
sequencia B  1, , 2,  ,... 
2 
 2
01) Verdadeira (-1)n será positivo se n for par e negativo se n for ímpar.
02) Verdadeiro o módulo do numerador será sempre menor que o denominador.
04) Verdadeiro.
08) Falsa.
16) Verdade
32) Falsa.
Resposta da questão 15:
[E]
O termo geral da sequência é an = 2n – 1
Logo a13 = 213 -1
Resposta da questão 16:
a) -5, 8, -11, 14, -17, 20
b) S = - 3014
Resposta da questão 17:
(1, 4, 8, 8, 4, 1)
Resposta da questão 18:
a)
2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 , 4 2 , 24 2 , 8 2 e 48 2 .
b) a37 = 218 . 2 e a38= 219 . 3 2
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Resposta da questão 19:
[D]
Resposta da questão 20:
[D]
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