40 lições - Livraria Cultura

ÍNDICE
Prefácio
PARTE I – LÓGICA ARISTOTÉLICA
Lição 1 –
Introdução.
Lógica Aristotélica: Noções Básicas
9
Lição 2 –
O Quadrado da Oposição
Lição 3 –
Conversão, Obversão e Contraposição
Lição 4 –
A Teoria do Silogismo – I
Definições e Regras
Lição 5 –
27
33
A Teoria do Silogismo – III
Sistematização da sua Arquitectura Dedutiva
Lição 7 –
21
A Teoria do Silogismo – II
Validação Silogística
Lição 6 –
15
Tipologia Breve de Falácias
39
43
PARTE II – TEORIA DOS CONJUNTOS
Lição 8 –
Conceitos Fundamentais da Teoria dos Conjuntos
49
Lição 9 –
Conjuntos.
Representação Simbólica dos Conceitos Fundamentais da Teoria dos
Inclusão.
Potência.
55
Lição 10 –
Operações sobre Conjuntos
61
Lição 11 –
Propriedades das Operações sobre Conjuntos – I
65
Lição 12 –
Propriedades das Operações sobre Conjuntos – II
69
Lição 13 –
Propriedades das Operações sobre Conjuntos – III
75
Lição 14 –
Representação da Teoria Aristotélica da Inferência na Teoria dos
Conjuntos. – I
Quadrado da Oposição e Teoria da Conversão
81
Lição 15 –
Representação da Teoria Aristotélica da Inferência na Teoria dos
Conjuntos – II
A Silogística – (1)
89
Lição 16 –
Representação da Teoria Aristotélica da Inferência na Teoria dos
Conjuntos – III
A Silogística – (2)
97
Lição 17 –
Pares Ordenados
105
Lição 18 –
Produto Cartesiano
111
Lição 19 –
Relações
Lição 20 –
Propriedades de Relações Definidas num Conjunto M.
Funções
117
121
PARTE III – LÓGICA PROPOSICIONAL
Lição 21 –
Teoria das Funções de Verdade
Lição 22 –
Álgebra das Proposições – I
Fórmula da Álgebra das Proposições.
Substituibilidade Geral e Parcial.
Substituibilidades
Lição 23 –
135
Álgebra das Proposições – II
Derivação de Substituibilidades
Lição 24 –
Álgebra das Proposições – III
O Problema da Decisão
Lição 25 –
141
147
Álgebra das Proposições – IV
Teorema da Representação.
129
Formas Normais Distintas ou Perfeitas.
Critério S*
155
Lição 26 –
Inferência Proposicional
Lição 27 –
O Cálculo Proposicional – I
163
Vocabulário.
Sintaxe (1): Regras de Formação
Lição 28 –
169
O Cálculo Proposicional – II
Sintaxe (2): Regras Primitivas de Inferência
Lição 29 –
O Cálculo Proposicional – III
Sintaxe (3): Regras Derivadas de Inferência
Lição 30 –
173
181
O Cálculo Proposicional – IV
Sintaxe (4): Teoremas.
Consistência e Completude.
Lista de Regras
187
193
PARTE IV – LÓGICA DE PREDICADOS
Lição 31 –
Introdução à Lógica de Predicados
197
Lição 32 –
Elementos Básicos da Teoria da Quantificação
Lição 33 –
O Cálculo de Predicados – I
Vocabulário.
Sintaxe (1): Regras de Formação
Lição 34 –
211
O Cálculo de Predicados – II
Sintaxe (2): Regras Primitivas de Inferência
Lição 35 –
O Cálculo de Predicados – III
Sintaxe (3): Regras Derivadas de Inferência (1)
Lição 36 –
217
227
O Cálculo de Predicados – IV
Sintaxe (3): Regras Derivadas de Inferência (2)
235
205
Lição 37 –
O Cálculo de Predicados – V
Sintaxe (4): Teoremas.
Substituição
243
Lição 38 –
Cálculo de Predicados com Identidade
249
Lição 39 –
Semântica do Cálculo de Predicados
255
Lição 40 –
O Problema da Decisão no Cálculo de Predicados.
Extensões do Cálculo de Predicados 263
Bibliografia
271
PREFÁCIO
40 Lições de Lógica Elementar apresenta-se ao público como um manual de Lógica
elementar dirigido, em primeiro lugar, aos estudantes de Filosofia e Linguística.
Encontra-se, por isso, organizado num formato escolar. Está dividido em 4 partes:
Lógica Aristotélica, Teoria dos Conjuntos, Lógica Proposicional e Lógica de
Predicados. No seu todo, estas cobrem o programa das cadeiras Lógica I e Lógica II da
licenciatura em Filosofia e Lógica de 1ª Ordem da licenciatura em Linguística. Está
também dividido em 40 unidades auto-contidas (as lições), por forma a facilitar ao
estudante tanto o contacto com o seu conteúdo como o acompanhamento do modo como
o curso se desenrola nas aulas. Espera-se que, num futuro não muito distante, venha a
ser complementado com um livro de exercícios resolvidos.
A Lógica Proposicional e a Lógica de Predicados constituem o núcleo fundamental da
Lógica Moderna. Ou melhor, dado que o Cálculo Proposicional pode ser encarado como
a parte proposicional do Cálculo de Predicados, pode dizer-se deste último apenas que
constitui o fundamento da Lógica Moderna. Com efeito, a Teoria Aristotélica da
Inferência pode ser, com toda a vantagem, considerada como uma pequena e limitada
subdivisão da moderna Lógica de Predicados e uma versão formalizada da Teoria dos
Conjuntos pode ser desenvolvida como uma extensão do Cálculo de Predicados de 1ª
Ordem com identidade ao qual se juntou o predicado binário ‘x pertence a y’ e os
axiomas que regulam a sua semântica. Este facto constitui à primeira vista um poderoso
argumento a favor de um arranjo diferente do material aqui apresentado.
Nomeadamente, a favor da apresentação da Lógica Aristotélica e da Teoria dos
Conjuntos no final e não no início deste volume. A experiência de ensino, porém, levoume a preterir a ordenação conceptualmente correcta a favor da ordenação aqui
apresentada. De facto, a Lógica Aristotélica, tal como é tradicionalmente apresentada,
apresenta-se mais próxima dos hábitos intuitivos de raciocínio dos estudantes e a Teoria
dos Conjuntos liga-se mais facilmente à sua experiência escolar anterior. Tanto uma
como outra têm, por isso, um importante valor propedêutico. A minha justificação para
ordenar o material do modo como aqui o apresento é, assim, de ordem pedagógica e não
de ordem lógica.
A Álgebra das Proposições não é uma teoria inferencial. Mas o seu estudo constitui uma
excelente introdução ao estudo dos sistemas dedutivos propriamente ditos. Daí que a
Parte III do presente volume se inicie com o estudo da Álgebra das Proposições.
O sistema dedutivo usado nas últimas lições da Parte III e na Parte IV é um sistema de
dedução natural e não um sistema axiomático. Um sistema de dedução natural é um
sistema de formalização do raciocínio lógico que consiste simplesmente na exposição
de um conjunto de regras inferenciais e prescinde do recurso a quaisquer axiomas. Tais
sistemas foram introduzidos por Gentzen em 1935 com o objectivo explícito de modelar
o raciocínio lógico efectivo implementado na prática demonstrativa dos matemáticos.
Independentemente de se saber se essa modelação é exacta ou não, a experiência tem
mostrado que os sistemas de dedução natural se revelam bastante mais eficazes para o
ensino da Lógica do que os sistemas axiomáticos.
O sistema de dedução natural que aqui se apresenta segue o exposto no clássico de E.J.
Lemmon (1965), embora nem a divisão que nele se estabelece entre regras primitivas e
derivadas coincida com a de Lemmon nem o modo de expor as demonstrações seja a
mesma. Na representação do raciocínio condicional segue-se o aparato gráfico
introduzido por Nolt & Rohatyn (1988). Apesar de utilizar a regra EQE, tal como ela é
classicamente apresentada por Lemmon, a distinção entre nomes próprios e nomes
arbitrários, que ele introduz no seu sistema em associação com ela, foi abandonada por
ser redundante em relação às restrições que acompanham a definição das regras IQU e
EQE. Esta redundância constitui, aliás, mais um argumento a favor da regra EQE. Com
efeito, nos sistemas de dedução natural é mais comum encontrar-se, em vez da regra
EQE de Lemmon, a regra EE (Exemplificação Existencial). A regra EE tem sobre a
regra EQE a vantagem de ser mais fácil de enunciar. Mas a regra EQE tem sobre a regra
EE a vantagem de facilitar o trabalho demonstrativo propriamente dito (por exemplo,
libertando o utente do sistema da preocupação de, no decurso de uma demonstração, ter
que se desembaraçar primeiro dos quantificadores existenciais e só depois dos
quantificadores universais). Do meu ponto de vista, a desvantagem inicial da regra EQE
é largamente compensada pelas suas vantagens posteriores.
Finalmente, gostaria ainda de acrescentar que, ao contrário do que é comum em
publicações congéneres, nem no final da Parte III nem no final da Parte IV se encontram
quaisquer demonstrações meta-teoréticas, seja de consistência seja de completude. A
apresentação de tais demonstrações não estaria de acordo, parece-me, com o carácter
assumidamente elementar destas 40 lições de Lógica.
António Zilhão