DESENHO GEOMÉTRICO Forma de Avaliação

DESENHO GEOMÉTRICO
Professor: Felippe Sirtoli - 8 ANO
Materiais Necessários:
1. Caderno ou Pasta:
Caderno de desenho com margem ou fazer margem de 1,5 cm ou
Pasta com folhas brancas com margem de 1,5 cm e paginação;
2. Caneta Azul ou Preta:
Apenas caneta azul ou preta será permitida no caderno;
3. Lápis ou Lapiseira:
Lápis preferencialmente HB e Lapiseira preferencialmente 0,5mm;
4. Boracha:
Uma borracha que apague bem e não deixe seu caderno marcado;
5. Régua de 30cm ou 20 cm;
6. Jogo de Esquadros:
Composto por um esquadro de 45° e um esquadro de 60°;
7. Transferidor:
Preferencialmente de 180°;
8. Compasso
De boa qualidade pois um compasso ruim interfere nos traçados e pode fazer você errar
suas construções.
Forma de Avaliação
1. A avaliação da escola é semestral, ou seja, só será emitido boletim com notas ao final
do semestre;
2. Ao final do semestre o aluno precisa ter nota igual ou superior a 6,0 pontos para estar na
média da escola;
3. Em cada semestre será avaliado um total de 10,0 pontos;
4. Nesta disciplina, cada semestre será dividido em duas etapas em que cada uma será
avaliado um total de 5,0 pontos da seguinte forma:]
- 3,0 pontos de avaliações formais em sala de aula;
- 1,0 ponto de avaliações para serem feitas em casa;
- 1,0 ponto pelo caderno registro de atividades.
5. Ao final de cada etapa será oportunizada uma REAVALIAÇÃO que consistem em uma
prova envolvendo todos os conteúdos da etapa e que terá valor máximo de 5,0 pontos;
6. Serão feitas duas Reavaliações de 5,0 pontos por semestre, totalizando os 10,0 pontos
avaliados na disciplina.
NOÇÕES INICIAIS DE DESENHO GEOMÉTRIO
Desenho
O desenho é a maneira de expressar graficamente a forma de determinado objeto, de
modo que há a necessidade de se ter previamente o conhecimento das formas a serem
representadas.
Todas as coisas que conhecemos, ou estamos habituados a ver no espaço em que
vivemos, apresentam-se aos nossos olhos como formas geométricas. Vejamos alguns
exemplos:




O percurso de um rio nos dá a ideia de uma linha sinuosa;
Quando olhamos uma pessoa pescando com uma vara de pesca, a vara será uma linha
inclinada; a linha de pesca, uma linha vertical e a linha que forma a superfície do lago,
uma linha horizontal.
Os trilhos do trem ou uma estrada asfaltada são imediatamente associados às linhas
paralelas
Uma bola de futebol e uma bolinha de gude nos dão ideia de uma esfera.
Elementos Fundamentais da Geometria
Os elementos fundamentais da geometria são o Ponto, a Linha (Reta) e o Plano.
GEOMETRIA significa (em grego) medida da Terra.
GEO = Terra
METRIA = Medida.
OS INSTRUMENTOS DE DESENHO
Para estudar e praticar o Desenho Geométrico que tal você conhecer os instrumentos
necessários para por em em prática tudo o vamos aprender para isto são necessários os
seguintes instrumentos:
1. Lápis ou lapiseira: Apresentam internamente o grafite ou mina, que tem grau de dureza
variável, classificado por letras, números ou a junção dos dois.
Classificação por números
Classificação por letras
Classif. por nº e letras
Nº 1 – Macio – Linha cheia
Nº 2 – Médio – Linha média
Nº 3 – Duro – Linha fina
B – Macio – Equivale ao grafite nº 1
HB – Médio – Equivale ao grafite nº 2
H – Duro – Equivale ao grafite nº 3
2B até 6B – Muito macios
2H até 9H – Muito duros
As lapiseiras apresentam graduação quanto à espessura do grafite, sendo as mais comumente
encontradas as de número 0,3 – 0,5 – 0,7 e 1,0.
2. Papel: Blocos, cadernos ou folhas avulsas (papel ofício) de cor branca e sem pautas.
3. Régua: Em acrílico ou plástico transparente, graduada em cm (centímetros) e mm
(milímetros)
4. Par de esquadros: Em acrílico ou plástico transparente e sem graduação. Os esquadros
são destinados ao traçado e não para medir, o que deve ser feito com a régua. Um deles tem
os ângulos de 90°, 45° e 45° e o outro os ângulos de 90°, 60° e 30°. Os esquadros formam um
par quando, dispostos como na figura, têm medidas coincidentes.
5. Borracha: Branca e macia, preferencialmente de plástico sintético. Para pequenos erros,
usa-se também o lápis-borracha.
6. Compasso: Os fabricados em metal são mais precisos e duráveis. O compasso é usado
para traçar circunferências, arcos de circunferências (partes de circunferência) e também para
transportar medidas. Numa de suas hastes temos a ponta seca e na outra o grafite, que deve
ser apontado obliquamente (em bisel). Ao abrirmos o compasso, estabelecemos uma distância
entre a ponta seca e o grafite. Tal distância representa o raio da circunferência ou arco a ser
traçado.
7. Transferidor: Utilizado para medir e traçar ângulos, deve ser de material transparente
(acrílico ou plástico) e podem ser de meia volta (180°) ou de volta completa (360°).
ATENÇÃO: É importantíssimo que você tenha todo esse material em
mãos para possa realizar todas as construções corretamente. Serão as
nossas “ferramentas de trabalho”.
ENTES GEOMÉTRICOS
Os entes geométricos são conceitos primitivos e não têm definição. É através de modelos
comparativos que tentamos explica-los. São considerados como elementos fundamentais da
Geometria, e são:
Ponto – Conforme já dito, não tem definição. Além disso, não tem dimensão. Graficamente, se
expressa o ponto pelo sinal obtido quando se toca a ponta do lápis no papel. É de uso
representa-lo por uma letra maiúscula ou algarismos, em alguns casos. Sua representação
também se dá pelo cruzamento de duas linhas, que podem ser retas ou curvas.
Linha – É o resultado do deslocamento de um ponto no espaço. Em desenho é expressa
graficamente pelo deslocamento do lápis sobre o papel. A linha tem uma só dimensão: o
comprimento. Podemos interpretar a linha como sendo a trajetória descrita por um ponto ao se
deslocar.
O Plano – É outro conceito primitivo. Através de nossa intuição, estabelecemos modelos
comparativos que o explicam, como: a superfície de um lago com suas águas paradas, o
tampo de uma mesa, um espelho, etc. À esses modelos, devemos acrescentar a ideia de que o
plano é infinito. O plano é representado, geralmente, por uma letra do alfabeto grego.
Reta – Pelas características especiais deste ente geométrico e sua grande aplicação em
Geometria e Desenho, faremos seu estudo de forma mais detalhada a seguir.
INTRODUÇÃO A GEOMETRIA
1. Qual é a ideia (ponto, reta, plano) que você tem quando observa:
a) uma corda esticada? _________________________________________________________
b) uma estrela no céu? _________________________________________________________
c) o encontro de duas paredes? __________________________________________________
d) um furo de agulha numa folha de papel? _________________________________________
e) a representação de uma cidade no mapa? ________________________________________
f) a folha do seu caderno? _______________________________________________________
2. Identifique cada figura geométrica como plana ou não plana.
3. Complete as afirmações usando as palavras plana ou não plana
a) Uma bola de futebol tem a forma de uma figura geométrica __________________________
b) O piso de sua casa lembra uma figura geométrica __________________________________
c) Uma folha de caderno lembra uma figura geométrica _______________________________
d) A borracha tem a forma de uma figura geométrica __________________________________
e) Quando você desenha o contorno de uma tampa de uma lata numa folha de papel, essa
figura geométrica que você desenhou é ____________________________________________
4. De acordo com a figura, complete usando as palavras plana ou não plana.
a) Essa figura lembra uma figura geométrica _____________________________________
b) A figura pertencente ao plano é uma figura geométrica _________________________
RETA
A reta não possui definição, no entanto, podemos compreender este ente como o “resultado do
deslocamento de um ponto no espaço, sem variar a sua direção”.
A reta é representada por uma letra minúscula e é infinita nas duas direções, isto é, devemos
admitir que o ponto já viesse se deslocando infinitamente antes e continua esse deslocamento
infinitamente depois.
Por um único ponto passam infinitas retas, enquanto que, por dois pontos distintos, passa uma
única reta.
Semirreta: É o deslocamento do ponto, sem variar a direção, mas tendo um ponto como
origem. Portanto, a semirreta é infinita em apenas uma direção. Um ponto qualquer,
pertencente a uma reta, divide a mesma em duas semirretas.
Um ponto qualquer, pertencente a uma reta, divide a mesma em duas semirretas.
Segmento de Reta: É a porção de uma reta, limitada por dois de seus pontos. O segmento de
reta é, portanto, limitado e podemos atribuir-lhe um comprimento. O segmento é representado
pelos dois pontos que o limitam e que são chamados de extremidades. Ex: segmento AB, MN,
PQ, etc.
Segmentos Colineares: São segmentos que pertencem à mesma reta, chamada de reta
suporte.
Segmentos Consecutivos: São segmentos cuja extremidade de um coincide com a
extremidade de outro.
Segmentos Congruentes: Dois ou mais segmentos de reta são ditos congruentes se
possuem a mesma medida, tomada a mesma unidade.
Retas Coplanares: São retas que pertencem ao mesmo plano.
POSIÇÂO RELATIVA ENTRE RETAS
Retas Paralelas – São retas que conservam entre si sempre a mesma distância, isto é, não
possuem ponto em comum.
Retas Concorrentes: São retas coplanares que concorrem, isto é, cruzam-se num mesmo
ponto; sendo esse ponto comum às duas retas.
Retas Perpendiculares – São retas que se cruzam formando um ângulo reto, ou seja, igual a
90° (noventa graus).
ESTUDO DA RETA E SUAS PARTES
1. Responda:
a) Quantas retas passam por um ponto P qualquer do plano? ___________________________
b) Quantas retas passam por dois pontos, A e B, distintos? ____________________________
2. Observando o quadro ao lado, responda:
a) Como são as retas r e s: concorrentes ou paralelas?
_____________________________________
b) Elas se cruzam em algum ponto?
______________________________
3. Veja o quadro ao lado e complete:
As retas x e y são retas
____________________
4. Na figura ao lado estão desenhada duas retas: r e s.
Essas duas retas são concorrentes ou paralelas?
_________________________________________
5. Identifique os pares de retas a seguir como concorrentes ou paralelas.
a) a e b ____________________________________
b) a e c ____________________________________
c) c e d ____________________________________
d) b e d ____________________________________
6. Observe a figura geométrica plana que foi desenhada na folha branca.
a) Quantos segmentos você observa na figura desenhada? ____________________________
b) Existem segmentos consecutivos na figura desenhada? ____________________________
c) Em caso afirmativo, identifique os pares de segmentos consecutivos: __________________
d) Existem segmentos colineares na figura desenhada? _______________________________
7. Considerando a figura seguinte, nomeie os pares de segmentos consecutivos.
_____________________________________________________
_____________________________________________________
8. Marque um X nos quadros em que aparecem segmentos colineares.
9. Dois segmentos quaisquer são colineares quando estão em uma mesma reta. Essa
afirmação é verdadeira ou falsa? _________________________________________________
10. Observe a figura e marque V ou F conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa.
a) ( ) AB e BC são colineares
b) ( ) AB e CD não são colineares
c) ( ) BC e MC não são colineares
d) ( ) MC e CN são colineares
e) ( ) AB e BC são consecutivos e colineares
f) ( ) MC e CN são colineares e não consecutivos
g) ( ) BC e CN são consecutivos e não colineares
h) ( ) AB e CD são colineares e não consecutivos
i) ( ) BC e MC não são consecutivos nem colineares
11. Observe os segmentos AB e MN.
Usando o compasso, responda:
a) Qual é a medida do segmento AB quando usamos como unidade de medida o segmento
MN? ________________________________________________________________________
b) Se a medida do segmento MN é representado pelo número x, qual é o número que
representa o segmento AB? _____________________________________________________
12. São dados os segmentos abaixo.
Confira as medidas com um compasso e depois complete corretamente as afirmações.
a) Quando tomamos como unidade de medida o segmento CD, temos AB = ______________
b) Quando consideramos o segmento EF como unidade de medida, temos AB = ____________
13. Observando a figura e tomando a unidade u , complete as sentenças.
a) AB = _______________________
b) BC = _______________________
c) CD = _______________________
d) AB + BC = ______ + _______ = __________
e) AC = ____________________
f) AD = ____________________
14. Como são chamados dois segmentos que têm a mesma medida, tomada na mesma
unidade? ____________________________________________________________________
15. Theo desenhou quatro segmentos de reta no seu caderno.
Dois desses segmentos são congruentes; identifique-os. ______________________________
16. Em um quadro foram desenhados quatro segmentos. Veja:
Considerando as medidas de cada um, complete as afirmações corretamente.
a) ______ e _______ são congruentes
b) ______ e _______ são congruentes
17. Como é chamado o ponto que divide um segmento em dois segmentos congruentes?
____________________________________________________________________________
18. Qual dos quadros abaixo o ponto M representa o ponto médio do segmento AB?
Avaliação 1 – 1 Etapa
Aluno :______________
Disciplina: Matemática
Data: __/03/2013
Pontuação
Máxima:
1,0 pontos
nº :____
Professor(a): Felippe
Série: 8º ano __
Pontuação
atingida:
Ass.:_____________________
____________
1. Classifique em V (verdadeiro) e F (falso):
( ) Toda reta tem infinitos pontos.
( ) Por um ponto qualquer passam infinitas retas.
( ) É possível traçar uma única reta passando por dois pontos distintos.
( ) É possível traçar apenas uma reta passando por um ponto fixo P.
2. Trace todos os segmentos que possuem duas extremidades nos pontos dados:
A
E
B
D
C
3. Observe a figura e classifique as afirmações em V (verdadeira) e F (falso):
( ) BD e DF são colineares
( ) AJ e JG são consecutivos
( ) AB e DE são colineares
( ) AB e BC não são consecutivos
( ) AB e CD são colineares
( ) CD e DF são colineares e consecutivos
( ) CD e EF não são colineares nem consecutivos
( ) LM e BC são colineares, mas não são consecutivos
A
L
M
B
J
I
C
D
H
F
E
G
4.Diferencie reta, semi-reta e segmento de reta.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
____________________
5. O que são segmentos congruentes? E segmentos colineares? E segmentos consecutivos?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
____________________
6.O que é Ponto Médio?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
__________
7. Utilizando o compasso, e o segmentos AB como unidade de medida, determine o comprimento de MN.
A
B
M
N
8. Determine a medida dos segmentos abaixo em centímetros e em milímetros
P
R
Q
Medidas: _______ cm e _________ mm
S
Medidas: _______ cm e _________ mm
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
TRAÇADO DE PERPENDICULARES
1) Perpendicular que passa por um ponto qualquer, pertencente a uma reta
a) Centro (ponta seca do compasso) em A, abertura qualquer, cruza-se a reta com dois arcos,
um para um lado e o outro para o outro lado, gerando os pontos 1 e 2.
b) Centro em 1 e 2 com a mesma abertura, suficiente para obter o cruzamento desses dois
arcos, gerando o ponto 3.
c) A perpendicular será a reta que passa pelos pontos A e 3.
2) Perpendicular que passa por um ponto não pertencente a uma reta
a) Centro em B, abertura qualquer, suficiente para traçar um arco que corte a reta em dois
pontos: 1 e 2.
b) Centro em 1 e 2, com a mesma abertura, cruzam-se os arcos, obtendo-se o ponto 3.
c) A perpendicular é a reta que passa pelos pontos B e 3.
3) Perpendicular que passa pela extremidade de um segmento de reta (sem
prolongamento)
a) Centro em uma das extremidades, abertura qualquer, traça-se o arco que corta o segmento,
gerando o ponto 1.
b) Com a mesma abertura, e com centro em 1, cruza-se o primeiro arco, obtendo-se o ponto 2.
c) Centro em 2, ainda com a mesma abertura, cruza-se o primeiro arco, obtendo-se o ponto 3.
d) Continuando com a mesma abertura, centra-se em 2 e 3, cruzando estes dois arcos e
determinando o ponto 4.
e) Nossa perpendicular é a reta que passa pela extremidade escolhida e o ponto 4.
4) Perpendicular que passa pela extremidade de um segmento de reta (com
prolongamento)
Basta lembrar que todo segmento de reta é uma parte limitada de uma reta, que é infinita.
Assim sendo, podemos prolongar o segmento em qualquer uma de suas extremidades,
raciocinando-se então como se estivéssemos trabalhando com uma reta e a extremidade do
segmento como um ponto que pertence a esta mesma reta, o que nos leva ao caso a (
perpendicular que passa por um ponto qualquer, pertencente a uma reta ), já estudado.
5) Perpendicular que passa pelo ponto médio de um segmento de reta (Mediatriz)
a) Centro em uma das extremidades, com abertura maior que a metade do segmento, traça-se
o arco que percorre as regiões acima e abaixo do segmento.
b) Com a mesma abertura, centra-se na outra extremidade e cruza-se com o primeiro arco, nos
pontos 1 e 2.
c) A Mediatriz é a reta que passa pelos pontos 1 e 2.
TRAÇADO DE PARALELAS
1) Caso geral: Paralela que passa por um ponto qualquer não pertencente a uma reta
a) Centro em E, raio (abertura) qualquer, traça-se o arco que cruza a reta em 1.
b) Com a mesma abertura, inverte-se a posição, ou seja, centro em 1, raio 1E, traça-se o arco
que vai cruzar a reta no ponto 2.
c) Com a ponta seca do compasso em 2, faz-se abertura até E, medindo-se, portanto esse
arco.
d) Transporta-se, então, a medida do arco 2E a partir de 1, sobre o primeiro arco traçado,
obtendo-se o ponto 3.
e) Nossa paralela é a reta que passa pelos pontos 3 e E.
2) Traçado de uma paralela a uma distância determinada de uma reta
a) Por um ponto qualquer (A) da reta, levanta-se um perpendicular (vide o caso específico no
estudo das perpendiculares).
b) Sobre a perpendicular mede-se a distância determinada (5 cm), a partir do ponto escolhido
(A), obtendo-se o segmento de reta AB, igual a 5 cm.
c) Procede-se, então, como no caso anterior, pois temos, agora, uma reta e um ponto (B), fora
desta, ou:
d) Se, pelo ponto B, traçarmos uma perpendicular à reta que contém esse segmento, ela será
paralela à primeira reta.
DIVISÃO DE UM SEGMENTO DE RETA EM UM NÚMERO QUALQUER DE PARTES IGUAIS
1° Método:
a) Por uma das extremidades, traçamos uma reta com inclinação aproximada de 30°.
b) Atribui-se uma abertura no compasso e aplica-se essa distância sobre a reta inclinada o
número de vezes em que vamos dividir o segmento (7 vezes).
c) Enumeramos as marcações de distâncias a partir da extremidade escolhida.
d) A última marcação (nº 7) é unida à outra extremidade.
e) Através do deslizamento de um esquadro sobre o outro, passando pelas demais divisões,
mas sempre alinhado pela última divisão (no nosso exemplo a de nº 7), o segmento é dividido
em partes iguais.
2° Método:
a) Traçar duas linhas quaisquer determinando os ângulos alfa e beta, de modo que os dois
ângulos sejam iguais.
b) Transporta-se para as linhas uma unidade qualquer escolhida e no número de partes que se
quer dividir o segmento.
c) Unir as marcações das linhas suporte, com estas uniões o segmento será dividido em partes
congruentes.
A RETA E SUAS PARTES: CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
1. Trace uma perpendicular à reta r dada que passe pelo ponto A.
2. Trace uma semirreta perpendicular à semirreta AO, no ponto O, sem prolonga-la.
3. Trace, pela extremidade A, um segmento de medida 4 cm, perpendicular ao segmento AB
dado, usando o prolongamento.
4. Trace, pela extremidade B, um segmento de medida 5 cm, perpendicular ao segmento AB
dado, usando o prolongamento.
5. Trace uma reta s paralela à reta r dada, passando pelo ponto A.
6. Trace uma reta s paralela à reta r dada, conhecendo a distancia entre elas.
7, Construa a mediatriz de um segmento AB, que mede 4,7 cm
8. Determine o ponto médio de um segmento MN, de 5,5 cm de comprimento
9. Divida o segmento AB dado em duas partes congruentes.
10. Divida o segmento CD dado em quatro partes congruentes.
11. Usando o 1° processo, divida o segmento AB dado em:
a) cinco partes congruentes.
b) seis partes congruentes
12. Usando o 2° processo, divida o segmento AB dado em:
a) três partes congruentes
b) cinco partes congruentes
Avaliação 2.1 – 1 Etapa
Aluno :______________
Disciplina: Matemática
Data: __/04/2013
nº :____
Professor(a): Felippe
Série: 8º ano __
Pontuação
Máxima:
2,0 pontos
Pontuação
atingida:
Ass.:_____________________
____________
1. (0,6) Associe as colunas
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Retas Paralelas
Retas Concorrentes
Retas Perpendiculares
Segmentos Colineares
Segmentos Congruentes
Segmentos Colineares
(
(
(
(
(
( ) Estão sobre a mesma reta
) Não possuem ponto em comum
) Cruzam-se formando um ângulo qualquer
) Tem a mesma medida, pela mesma unidade
) Possui suas extremidades ligadas
) Cruzam-se formando um ângulo de 90°
2. (0,4) Trace um segmento perpendicular ao segmento dado que passe pelo ponto A.
A
P
Q
3. (0,4) Trace a reta paralela a reta dada que passe pelo ponto P.
P
4. (0,3) Divida os segmentos de reta abaixo em cinco partes congruentes.
A
B
5, (0,3) Trace a mediatriz de um segmento de reta.
A
B
ÂNGULOS
Definição: É a região do plano limitada por duas semirretas distintas, de mesma origem.
Elementos:
- Vértice: É o ponto de origem comum das duas semirretas.
- Lado: Cada uma das semirretas.
- Abertura: É a região compreendida entre as duas semirretas. Ela define a região angular,
que é a região que delimita o próprio ângulo.
Representação: AÔB, BÔA, Ô, ou ainda uma letra grega.
Medida de Ângulos: A unidade de medida mais usada para medir ângulos é o grau, cujo
símbolo é °. Um grau corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais. Seus
submúltiplos são: o minuto e o segundo, cujas relações são: 1º=60’ e 1’=60”. Os ângulos são
medidos através de um instrumento chamado transferidor.
Construção e Medida de ângulos com Transferidos: O transferidor pode ser de meia volta
(180°) ou de volta completa (360°) e é composto dos seguintes elementos:
- Graduação ou limbo: corresponde à circunferência ou semicircunferência externa, dividida
em 180 ou 360 graus.
- Linha de fé: segmento de reta que corresponde ao diâmetro do transferidor, passando pelas
graduações 0º e 180°.
- Centro: corresponde ao ponto médio da linha de fé.
Para traçarmos ou medirmos qualquer ângulo devemos:
a) Fazer coincidir o centro do transferidor com o vértice do ângulo.
b) Um dos lados do ângulo deve coincidir com a linha de fé, ajustado à posição 0°.
c) A contagem é feita a partir de 0º até atingir a graduação que corresponde ao outro lado
(caso da medição) ou valor que se quer obter (caso da construção).
d) Neste último caso, marca-se um ponto de referência na graduação e traça-se o lado,
partindo do vértice e passando pelo ponto.
e) Completa-se o traçado com um arco com centro no vértice e cortando os dois lados com as
extremidades em forma de setas. Então, escreve-se o valor do ângulo neste espaço, que
corresponde à sua abertura.
CLASSIFICAÇÃO:
1) Ângulo Reto: Abertura igual a 90°
2) Ângulo Agudo: Abertura menor que 90°
3) Ângulo Obtuso: Abertura maior que 90°
4) Ângulo Raso: Abertura igual a 180°
5) Ângulo Pleno: Abertura igual a 360°
6) Ângulo Nulo: Abertura igual a 0°
Ângulos Congruentes: Dois ou mais ângulos são congruentes quando têm aberturas iguais.
POSIÇÕES RELATIVAS DOS ÂNGULOS:
1) Ângulos consecutivos: Quando possuem em comum o vértice e um dos lados.
2) Ângulos adjacentes: São ângulos consecutivos que não têm pontos internos comuns.
3) Ângulos opostos pelo vértice: Ângulos congruentes cujos lados são semirretas opostas.
4) Ângulos complementares: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é igual a 90°.
5) Ângulos suplementares: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas
medidas é igual a 180°.
Bissetriz de Ângulos: É a reta que, passando pelo vértice, divide um ângulo em duas partes iguais.
a) Ponta seca no vértice do ângulo, abertura qualquer, descreve-se um arco que corta os dois lados do
ângulo, definindo os pontos 1 e 2.
b) Centro em 1 e 2, com a mesma abertura; cruzam-se os arcos, gerando o ponto 3.
c) A bissetriz é a reta que passa pelo vértice e pelo ponto 3.
OPERAÇÕES COM ÂNGULOS
Tabela de conversões
Adição
Dado os ângulos de 6º 25’ 36” e 4º 40’ 30”, a soma entre eles é:
O resultado da soma é 10º 65’ 66”, porém podemos apresentar o resultado de uma outra
forma. Acompanhe a demonstração:
No ângulo de medida 10º 65’ 66”, temos que 65’ = 60’ + 5’ = 1º + 5’ e 66” = 60” + 6” = 1’ + 6”.
Dessa forma, 10º 65’ 66” = 11º 6’ 6”.
Subtração
Dados os ângulos 54º 16’ 32” e 27º 18’ 40”, a subtração entre eles é:
Observe que existem valores no minuendo que são menores dos que os valores do
subtraendo, quando isso acontece na subtração temos que tirar do valor da esquerda
completando o que está menor.
Ao retirarmos 1’ de 16’ ficaremos com 15’, sendo que 1’ = 60” o qual deve ser somado a 32”
resultando em 92”.
Agora devemos retirar 1º de 54º que será igual à 53º, considerando que 1º = 60’, temos 60’ +
15’ = 75’. Portanto:
O resultado da subtração é igual a 26º 57’ 52”.
Multiplicação:
2 x (45°80’ 72’’)= 90° 160’ 144’’
Como o número de segundos e o de minutos são maiores do que 60 temos que transformá-los
em menores que 60.
144’’-60’’= 84’’ continua sendo maior que 60, por isso deve continuar a subtrair por 60 até que o
resultado seja menor que 60.
84’’ – 60’’= 24’’ Agora o resultado foi menor que 60.
Somamos 2’ aos 160’ e ficará 162’
Usaremos o mesmo processo usado a cima.
162’ – 60’= 102’- 60’= 42’
Somamos 2° aos 90° e ficará 92°
Resultado: 92° 24’ 42’’
Divisão:
Dividimos os graus, os minutos e os segundos pelo número. Devemos considerar que os
diferentes restos obtidos terão de ser previamente transformados na unidade inferior.
Realizar a divisão de 356° 13' 38' por 12:
O resultado final será: 29° 41' 8' e 2' de resto.
CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS COM COMPASSO
a) 90°
Traça-se um lado, definindo-se o vértice e, por este, levanta-se uma perpendicular. Temos então o ângulo
de 90°.
b) 45°
Traça-se um ângulo de 90° e em seguida sua bissetriz, obtendo-se assim duas partes de 45°.
c) 60°
Traça-se um lado, posicionando-se o vértice. Centro no vértice, abertura qualquer, traça-se um arco que
corta o lado já traçado, definindo o ponto 1. Centro em 1, com a mesma abertura, cruza-se o arco já
traçado, obtendo-se o ponto 2. Partindo do vértice e passando pelo ponto 2, traçamos o outro lado do
ângulo.
d) 30°
Traça-se um ângulo de 60° e em seguida a sua bissetriz.
e) 15°
Traça-se um ângulo de 60° e em seguida a sua bissetriz, obtendo-se 30°. Traçamos então a bissetriz de
30°, chegando aos 15°.
f) 120°
Traça-se um lado, posicionando-se o vértice. Centro no vértice, abertura qualquer, traça-se um arco que
corta o lado já traçado, definindo o ponto 1. Centro em 1, com a mesma abertura, cruza-se o arco já
traçado, obtendo-se o ponto 2. Centro em 2, ainda com a mesma abertura, cruza-se o arco, obtendo-se 3.
Partindo do vértice e passando pelo ponto 3, traça-se o outro lado do ângulo.
g) 150°
Procede-se como no traçado do ângulo de 120°, até definir o ponto 3. Com centro em 3 e ainda com a
mesma abertura sobre o mesmo arco obtém-se o ponto 4. Este ponto (4), unido ao vértice, forma 180°.
Como já vimos, o ponto 3 e o vértice formam 120°; logo, entre 3 e 4, temos 60°. Traçando-se a bissetriz
entre 3 e 4, obteremos 30° que, somados aos 120°, nos darão os 150°.
h) 105°
Já vimos que o traçado de 120° é como se traçássemos 60° mais 60°. Pois bem; um desses 60°, pelo
traçado da bissetriz pode ser dividido em dois de 30°. E, de dois de 30°, podemos obter quatro de 15°.
Assim, subtraindo-se um desses 15° de 120°, chegamos a 105°.
i) 75°
Pelo mesmo raciocínio anterior. Só que agora somamos 15° a 60°, obtendo-se 75°.
j) 135°
Um ângulo de 45°, adjacente a um ângulo de 90° totalizará 135°.