Aula 5

De um modo geral, tomando o número real
temos que
pois:
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POTENCIAÇÃO
Potência de expoentes naturais
Definição: Dado certo número
real, e um
número natural n, chama-se potência de grau
n do número e denota-se por
o produto
de n fatores iguais a .
Exemplos:
Propriedades da potenciação
Produto de potência de mesma base:
Na operação de multiplicação entre
potências de mesma base, o produto é
igual à potência que se obtém
conservando-se a base e somando-se os
expoentes.
Exemplos:
4
2 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 ( dois a quarta
potência)
63 = 6 x 6 x 6 = 216 ( seis ao cubo)
a)
3x3x3
3x3
3 vezes 2 vezes
Alguns casos particulares:
5 vezes
1. Expoente igual a 1: qualquer número com
expoente igual a 1, tem como resultado o
número base.
b) 15 x 17 = 15 + 7 = 112 = 1
c) 5 x 52 = 51 + 2 = 5
Exemplos:
(2)1 = 2
(3/5)1 = 3/5
(100)1 = 100
2. Expoente igual a 0: a potência de
qualquer número real não nulo a com
expoente 0, tem como resultado o
número 1.
Divisão de potencia de mesma base:
Na operação de divisão de potências de
mesma base, o quociente é igual a
potencia que se obtém conservando-se a
base e subtraindo-se os expoentes.
Exemplos:
(8)0 = 1;
(1/3)0 = 1;
(30)0 = 1
38
Exemplos:
a) 55
52 = 55
2
= 53 , pois:
Potência de Fração: Para calcular a
potência de uma fração, eleva-se o
numerador e o denominador da fração a
essa potência.
=
b) 1010
104 = 1010
4
,b
0
= 106
Exemplos:
c) 3
4
3=3
4
1
=3
3
a)
Potência de Potência: Podemos elevar
uma potência a outra potência. Para
efetuar este cálculo conserva-se a base e
multiplicam-se os expoentes.
b)
=
=
;y
c)
Exemplos:
0
;y
0
Potência com expoente negativo
a) (34)2 = 38, pois 34 34 = 34 + 4 =
32 x 4
b) (62)5 = 610, pois 62 62 62 62 62 =
=62 + 2 + 2 + 2 + 2 = 65 x 2
Toda e qualquer potência que tenha
expoente negativo é equivalente a uma
fração a qual o numerador é 1 e o
denominador é a mesma potência com
expoente positivo.
c) (23)3 = 29, pois 23 23 23 = 23 x 3
Potência de um produto: Para se
efetuar a operação de potência de um
produto, basta elevar cada fator a esta
potência.
Exemplos:
a) (2 5)7 = 27 57
b) (42 53 75)4 = 48 512 720
c) (
3
Exemplos:
a)
=
=
b)
=
=
c)
=
=
Observação: as propriedades aplicadas
aos expoentes naturais, também são
validas para os expoentes negativos.
=
Potência de 10: Todas as potências de
10 têm a função de simplificar e
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padronizar o registro de números e ainda,
facilitar o cálculo de várias expressões.
Para isso utilizaremos as seguintes
técnicas:
1. Se o expoente for positivo na potência
( n
0), escreve-se à direita do 1
Se o número for menor que 1.
Exemplos:
a) 0,002 = 2 x 0,001 = 2 x
b) 0,0006 = 6 x 0,0001 = 6 x
c) 0,00003 = 3 x 0,00001 = 3 x
tantos zeros quantas forem as unidades
do expoente.
Potência de números relativos:
Exemplos:
4
a) 10 = 10000
b) 107 = 10000000
c) 108 = 100000000
2. Se o expoente for negativo na potência
( n 0), escreve-se à esquerda do 1
tantos zeros quantas forem as unidades
do expoente, colocando uma vírgula
depois do primeiro zero.
Exemplos:
a) 10-4 = 0,0001
Observe que:
b)
= 0,00001
c)
= 0,0000000001
3. Decompondo números em potências de
10: Existem dois casos de decomposição
de números em potência de 10.
Se o número for maior que 1.
Caso o expoente seja par o resultado dará
sempre positivo.
Exemplo:
a)
=4
b)
=4
Caso o expoente seja ímpar, o resultado
trará sempre o sinal da base da potência.
Exemplos:
a)
= 27
b)
=
Obs:
, pois
=
e
= . A diferença é que na primeira
potência apenas o número 2 esta elevado ao
quadrado, enquanto que na segunda, o sinal
e o número 2 estão elevados ao quadrado,
tornando o resultado positivo.
RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa a
potenciação. De um modo geral podemos
escrevê-la:
Exemplos:
a) 100 = 1 x 100 = 1 x
b) 5000 = 5 x 1000 = 5 x
Onde para
temos que:
c) 20000 =2 x 10000 = 2 x
O número
é chamado radicando,
O número
é chamado índice do radical,
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O número b é a raiz,
;
é o radical.
;
Exemplos:
;
= 2 pois
= 2 pois
= 16
;
=8
Exemplos:
Expoentes fracionários
*
a)
,
b)
c)
Exemplos:
d)
Fatoração na radiciação
Fatorar um número é achar uma
multiplicação de números que resulte ao
número a ser fatorado.
Propriedade de radiciação
Agora aplicaremos este conceito para a
radiciação.
, pois
Tomando
:
, pois
Temos
que
=
, pois
Exemplos:
Portanto:
a)
b)
=
Racionalização na radiciação
=1
Consiste
em
eliminar
radicais
denominador em uma fração.
c)
Denominador igual a
Propriedades
radiciação
de
operações
para
fator
de
racionalização
do
: neste caso o
é
.
Para
eliminar este fator do denominador de
uma
fração,
basta
multiplicar
o
;
41
numerador e o denominador da fração
por este fator.
j) 122.62 =
k) (-2)2.(-3)2.(4)2 =
l) (23.5.33)2 =
m) 55
55 =
n)
Exemplo:
o)
=
a)
p)
=
q)
b)
r) 20-1 =
s) (32.4-2)1 =
Quando o denominador de uma fração é
do
tipo:
,
, para eliminar
os radicais do denominador basta
multiplicar o numerador e o denominador
da
fração
pelo
conjugado
do
denominador.
Exemplos:
a)
t) 53
57 =
u) 203-1 . 2-1 =
v) 0-19 =
01) Represente e efetue quando necessário,
os números a seguir, utilizando potências
de 10.
a) 200 =
b) 5.300.000.000 =
c) 10.000 =
d) 0,01 =
e) 0,002 =
f) 0,00000032 =
g) (20.000 x 35.000) / 100 =
02) Verdadeiro ou falso:
a) 1,345 = 1345 x 10-3
Exercícios - Aula 5
b) 2 x 10-4 = 0,002
c) 23 x 10-2 = 0,23
01) Calcule as potências:
d) 33 . 35 = 98
e) 73
75 = 7-5 . 73
a)
f)
b) 15 =
g) (10000.315000000.150-2)/30000.10000
5-3 . 53 = 1
= 7/15
c) 03 =
d) 34 =
03) Efetue:
e) (-3)4 =
f) (-2)3 =
g) h) 45
3
3
i) 2 . 5 =
a)
42 =
b)
c)
42
d)
e)
e)
f)
06) Simplifique os radicais:
a)
g)
b)
h)
i)
c)
j)
d)
k)
l)
m)
04) Racionalize o denominador das frações a
seguir:
e)
07) Calcule o valor das expressões:
a)
a)
b)
b)
c)
=
c)
d)
08) A letra a representa o produto:
e)
f)
g)
h)
05) Expresse os números a seguir na forma
de radical:
a)
a)
b)
c)
d)
Qual é o valor de a?
Qual é o dobro de a?
Qual é o valor do quadrado de a?
Qual é o valor da quarta parte de a?
09) Claudio calculou o cubo de
por
e o dividiu
. Que resultado obteve?
10) Calcule a raiz quadrada da soma do
quadrado de e o quíntuplo de .
11) Qual é o valor de
?
b)
c)
d)
12) Calcule o valor das expressões:
a)
b)
43
c) O valor de
de
é igual ao valor
25) O quociente entre dois números é 14.
Qual é o valor do quociente de seus
quadrados?
26) Transforme as expressões a seguir em
um produto de potências:
14) Calcule o valor de (0,5)2 e (0,5)3. Qual
deles é maior?
15) Calcule:
a) O quadrado de 6,2
b) O quadrado de 3,1
c) A soma do quadrado de 6,2 com o
quadrado de 3,1
16) Carlos calculou o cubo de 2,8 e o dividiu
por 1,6. Que resultado ele obteve?
17) Qual é o valor da expressão: (4,3)2
2.1,8 ?
b)
19) Obtenha
os
resultados
expressões numéricas:
a)
b)
c)
destas
20) Determine o valor das expressões a
seguir:
a)
a)
b) (a3b2c)-3
27) Transforme cada potência em um produto
de potências de bases iguais:
a) 10n-2
b) 8-n+6
28) Analise cada uma das igualdades e
indique as que estão corretas. Reescreva
as incorretas, de modo que sejam
verdadeiras:
a)
b)
c)
d)
29) Escreva com todos os dígitos, o resultado
de 3,42 . 10-4 .
30) Um número em notação científica é o
produto de um número escrito entre 1 e
10 (incluindo e excluindo 10) por uma
potência de base 10. Sabendo disso,
escreva os números a seguir usando
notação científica:
a) 7500000000
b) 0,0000192
31) Escreva com todos os algarismos, os
números cujas notações cinetíficas são:
a) 1,06 . 108;
b) 5,024 . 10-6
b)
c)
21) Qual é o valor de (-5)-3 ?
22) Como escrever
em uma potência de
base 5.
?
13) Calcule as potências:
a) (0,1)2
b) (2,3)3
c) (18,95)0
18) Calcule:
a)
;
24) Transforme
usando fatores primos
e expoente inteiro negativo?
23) Mário obteve estas notas nas provas de
Matemática de certo bimestre: 6,5; 7,0;
5,0; 8,5; 6,0. Calcule a média aritmética
dessas notas.
32)
é um número:
a) Real; b) racional; c) inteiro; d) natural
33) Simplificando
a
,
expressão
obtém-se
um
número:
a) Compreendido entre -2 e 0
b) Compreendido entre -1 e 2
c) Compreendido entre 2 3
d) Maior do que 3.
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