Álgebra – Espaços e subespaços

Álgebra Linear – Lista 4 – Espaços Vetoriais, Subespaços, Geradores
3 0
1  1 2 
 2
  4  8 4
1) Dadas as matrizes A  
, B
e C


;
3 2  1
 2  3 1
 12 13 1
a) Calcule a matriz 3A – 2B + C.
b) Ache números  e  diferentes de zero, tais que A + B + C tenha a primeira coluna
nula.
2) Determine os vetores u,v R 4 sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a
última coordenada de v é 3 e u + v = (1, 2, 3, 4).
3) Dados u  (1, 2, 3) , v  (3, 2, 0) e w  (2, 0, 0) , ache números a, b e c tais que
au  bv  cw  (1, 1, 1) .
4) Dados v1  (1, 2, 1) , v2  (2, 1, 2) , v3  (3, 3, 2) e v4  (1, 5,  1) ;
a) Determine os vetores
u  v1  v2  v3  v4 e
1
4
w  v3  v 2  v1 .
3
3
b) Determine números c1, c2 , c3 e c4 não nulos, tais que c1v1  c2v2  c3v3  c4v 4 seja o
vetor nulo.
5) Escreva v  (3, 7, 4) como combinação linear de u1  (1, 2, 3) , u2  (2, 3, 7) e
u3  (3, 5, 6) .
6) Em R2, mantemos a definição do produto v de um número por um vetor mas
modifiquemos, de duas maneiras diferentes, a definição da soma u + v dos vetores
u  (x, y) e v  ( x, y) . Mostre que:
a) Se definirmos u  v  (x  y, x y) , a comutatividade falha e o vetor nulo não existe.
b) Se definirmos u  v  (xx, yy) , o vetor nulo existe mas não é (0, 0), e que nem todo
vetor tem inverso aditivo.
7) Determine a equação cartesiana do subespaço gerado pelo vetor (2, 3).
a a  1
8) O conjunto das matrizes da forma 
é um subespaço de M (2  2) ?
a 
0
9) O conjunto das matrizes A  (aij ) 22 tais que a11 , a12 , a21 , a22 é uma progressão
aritmética é um subespaço de M (2  2) ?
10) Seja P2 o conjunto dos polinômios de grau  2 . Verifique se
F  ax 2  bx  c ; a  b  c  0 é subespaço de P2 .


11) Sejam u  (3, 0,  2) e v  (2,  1,  5) . Verifique se w  (1,  2,  8) pertence a
S (u , v ) .
12) Dados u  (4, 1,1) e v  (1, 5, 2) , determine a equação cartesiana de S(u, v) .
13) Dados u  (0, 1, 2) e v  (1, 1, 1) , e seja F  S(u, v) . Determine os números a, b e c
de forma que se tenha F  ( x, y, z )  R 3 ; ax  by  cz  0 .


14) Escreva v  (1, 3, 10) como combinação linear de u1  (1, 0, 0) , u2  (1, 1, 0) e
u3  (2, 3, 5) .
3
15) Encontre três vetores u, v, w  R com as seguintes propriedades: nenhum deles é
3
múltiplo do outro, nenhuma das coordenadas é zero e R não é gerado por eles.
16) Sejam u  (0, 1, 2) , v  (1, 1, 1) e w  (5, 7, 0) . Verifique se w S(u,v) .
17) Sejam u  (1, 2,1, 3) , v  (3, 0, 2, 1) e w  (15, 6, 5, 5) . Verifique se w S(u,v) .
4
18) Considere os vetores do R , v1  (1, 1, 0, 2) , v2  (2, 0, 0, 1) e v3  (3, 2, 5, 2) . O
4
subespaço F  R gerado por estes três vetores é chamado um hiperplano. Encontre
números a, b, c, d de forma que F  ( x, y, z, w) ; ax  by  cz  dw  0.
19) Dados u  (1, 2) e v  (1, 1) sejam F1 e F2 os subespaços gerados por u e v,
respectivamente. Mostre que R 2  F1  F2 .
3
20) Considere os subespaços F1 , F2  R assim definidos: F1 é o conjunto de todos os
vetores que têm as três coordenadas iguais e F2 é o conjunto de todos os vetores que têm
a última coordenada igual a zero. Mostre que R 3  F1  F2 .
3
21) Considere os subespaços do R :
F1  ( x, y, z )  R 3 ; x  y  2 z  0
F2  ( x, y, z )  R 3 ; 3x  y  z  0
a) Escreva w  (1, 5, 4) como v1  v2 onde v1 F1 e v2 F2 .
b) De quantas maneiras é possível fazer a decomposição sugerida no item anterior?
3
c) Encontre um vetor não nulo u  F1  F2 e conclua que não se tem R  F1  F2 .




 4  4
22) Mostre que a matriz D  
 pode ser escrita como uma combinação linear
 6 16 
1 2
 1 2 
 1  2
das matrizes A  
,
e
B

C

 3  4
 3 4  .





3 4
23) Quais dos seguintes subconjuntos são espaços vetoriais?
3
a) O conjunto dos vetores v  (x,y, z)  R tais que z = 3x e x = 2y.
3
b) O conjunto dos vetores v  (x,y, z)  R tais que xy = 0.
c) O conjunto das matrizes 23 nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais.
n
d) O conjunto dos vetores do R cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
n
e) O conjunto dos vetores do R cujas coordenadas formam uma progressão geométrica.
n
f) O conjunto dos vetores do R cujas coordenadas formam uma progressão aritmética de
razão 2.
n
g) O conjunto dos vetores do R cujas coordenadas formam uma progressão geométrica
de razão 2.
5
h) O conjunto dos vetores do R cujas 3 primeiras coordenadas são iguais.
Respostas
4.1)   4 ,   0
4.2) u  (1,1,1,1, ) e v  (0,1, 2, 3)
1
1
1
4.3) a  , b  , c 
3
6
12
4.4.a) u  (1,  5, 2) , w  (1, 2, 0)
4.5) v  2u1  4u 2  3u3
4.7) 3x  2 y  0
4.8) não
4.9) sim
4.10) sim
4.11)
4.12) x  y  3z  0
4.13) a = 3, b = –2, c = –1
4.14) v  6u1  3u 2  2u3
4.15) (0,1,2), (1,1,1) e (1,2,3)
4.16) não
4.17) sim
4.18) x  3 y  z  2w  0
22   2
6
9
4.21.a)  , 5,
    , 0, 
7   7
7
7
4.23) são subespaços: a, d, g, h.
4.4.b) c1  1, c2  3, c3  2, c4  1
4.21.b) infinitas
4.21.c) (1, 7, 4)