Slides 6 - PUC-Rio

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Conteúdo
1
Indução Forte X Indução Fraca
2
Erro comum da indução
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Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução
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Indução Forte X Indução Fraca
Indução Fraca
Uma propriedade P qualquer é válida para ∀n ≥ n0 , n, n0 ∈ Z , se for
possı́vel provar que:
1
P (n0 ) é válida
2
∀k ∈ Z ,k ≥ n0 , P (k ) ⇒ P (k + 1)
Indução Forte
Uma propriedade P qualquer é válida para ∀n ≥ n0 , n, n0 ∈ Z , se for
possı́vel provar que:
>
1
P (n0 ) é válida
2
∀k ∈ Z , [P (r ) válida para todo r ∈ {n0 , n0 + 1, ..., k }] ⇒ P (k + 1)
Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução
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Indução Forte – Exemplos
Exemplo
Prove que para todo n ≥ 2, n é um número primo ou um produto de
números primos.
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Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução
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Indução Forte – Exemplos
Prova.
Base. A base é verdadeira já que 2 é primo.
Passo Indutivo. Desejamos provar que se todos os números do
conjunto {2, . . . , k } são primos ou produtos de primos, então k + 1 é
primo ou produto de primos, para k ≥ 2.
Consideramos dois casos:
>
1
k + 1 é primo. Neste caso k + 1 tem a propriedade desejada
2
k + 1 não é primo. Se por hipótese k + 1 não é primo, ele deve
deverá ser composto, daı́ k + 1 = ab, onde 1 < a ≤ k e 1 < b ≤ k .
Pela hipótese de indução a e b são primos ou produto de primos.
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Indução Forte – Exemplos
Exemplo
Definimos a sequência de Fibonacci da seguinte forma:
F (1) = F (2) = 1 e F (n) = F (n − 1) + F (n − 2), ∀n ≥ 3.
Mostre que F (n + 4) = 3F (n + 2) − F (n), ∀n ≥ 1
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Indução Forte – Exemplos
Exemplo
Prove que qualquer valor postal maior ou igual a 8 unidades, pode ser
obtido utilizando apenas selos com valor 3 e 5.
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Indução Forte – Exemplos
Exemplo
Uma árvore binária enraizada é
(i) um conjunto vazio ou
(ii) um nó denominado raı́z com uma subárvore a esquerda e outra a
direita
Uma folha é um nó com 0 filhos enquanto que um nó interno é um nó
com pelo menos um filho. Uma árvore é dita estritamente binária se
todo nó possui 0 ou 2 filhos.
Prove por indução no número de nós internos que para toda árvore
estritamente binária T , a relação l (T ) − i (T ) = 1 é válida, onde
l (T ) e i (T ) são, respectivamente, o número de folhas e o número de
nós internos de T .
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Indução Forte – Exemplos
Exemplo
Mostre que a seguinte relação
|folhas(T )| ≤ 2altura(T )
vale para toda árvore estritamente binária T .
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Conteúdo
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Indução Forte X Indução Fraca
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Erro comum da indução
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Erro comum da indução
Conjectura
Todo inteiro n ≥ 2 é par.
Prova Errada. Por indução em n. O caso base é trivial: 2 é par.
Como hipótese de indução, suponha que n = k − 2 seja par, ou seja,
que k − 2 = 2c para algum inteiro c. Considere o caso n = k .
Reescrevendo n como n = (k − 2) + 2, pode-se aplicar a hipótese de
indução: n = 2c + 2 = 2(c + 1). Como (c + 1) é um número inteiro,
essa relação mostra que n = k é múltiplo de 2 e, portanto, par, o que
completa a prova.
Onde está o furo ?
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