. A negação da proposição “Maria não foi ao cinema e Paulo foi ao

. A negação da proposição “Maria não foi ao cinema e Paulo foi
ao teatro” é:
A) “Maria foi ao cinema ou Paulo não foi ao teatro.”
B) “Maria foi ao cinema e Paulo não foi ao teatro.”
C) “Maria foi ao cinema ou Paulo foi ao teatro.”
D) “Maria foi ao cinema e Paulo foi ao teatro.”
E) “Maria não foi ao cinema e Paulo não foi ao teatro.”
2. A afirmação “se estudo então passo” é logicamente
equivalente a:
A) se passo então estudo;
B) se não estudo então não passo;
C) se não passo então não estudo;
D) só se estudo então passo;
E) estudo ou não passo;
3. Qual das afirmações abaixo é falsa?
A) Se Marte é um planeta então 3 = 7 – 4;
B) A soma de dois números pares é um número par e 72 = 49;
C) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado;
D) Se 102 = 100 então todo número inteiro é natural;
E) 2 = 32 – 7 ou a Terra é plana.
4. Observe a proposição abaixo:
x≠3ey<2
A sua negação é:
A) x = 3 e y ≥ 2
B) x = 3 e y > 2
C) x = 3 ou y ≥ 2
D) x ≠ 3 e y < 2
E) x ≠ 3 ou y < 2
5. Os quatro cartões abaixo têm uma letra numa face e um
número inteiro na outra.
Considere a afirmação: “Se há uma vogal em uma face, então
há um número par na outra face.” Quais dos cartões acima
devem ser necessariamente, virados para que se determine se
a afirmação acima é verdadeira ou falsa?
A) I e II
B) II e IV
C) II, III e IV
D) I e III
E) I, II e III
Soluções das Questões
Nas soluções a seguir você encontrará as respostas para as
questões acima, desenvolvidas passo a passo. Usamos a
simbologia que mais aparece na literatura e usada em
concursos.
Da questão 1 até a questão 4, você encontrará o uso de
diversos símbolos lógicos, os quais nos referimos acima. Já na
questão 5, preferimos o uso do raciocínio sem a simbologia,
por acreditar que sua compreensão seja melhor.
Se ficar com dúvidas, comente. Para uma melhor compreensão
das resoluções é bom que já se tenha noção de lógica. Os
tópicos dentro de lógica que precisará para compreender as
soluções são os apresentados na introdução deste artigo.
Se você quer se aprofundar no assunto para concursos,
sugerimos a realização de um curso completo, para saber
melhor sobre o curso que indicamos clique aqui, pois este
assunto não acaba com este artigo há muito mais que não
expomos aqui.
Veja abaixo as soluções.
Questão 1
Devemos observar que temos uma proposição composta por
outras duas, onde o conectivo ou operador lógico “e” faz a
ligação e é representado por ˄. As sentenças “Maria não foi ao
cinema” e “Paulo foi ao teatro” representamos respectivamente
por p e q.
p: Maria não foi ao cinema.
q: Paulo foi ao teatro.
Colocando o conectivo ˄ entre p e q, obtemos uma nova
proposição, p ˄ q, denominada conjunção das sentenças p e q.
E é justamente a negação dessa proposição que queremos.
Negamos a conjunção do seguinte modo:
~ (p ˄ q) = ~p v ~q.
Onde o “~” representa a negação. O símbolo v (lê-se: ou)
representa a disjunção que é a negação da conjunção. Temos
que negar cada uma das sentenças p e q e o conectivo ˄.
p ˄ q: Maria não foi ao cinema e Paulo foi ao teatro.
Negando as sentenças obtemos:
~p: Maria foi ao cinema.
~q: Paulo não foi ao teatro.
Agora, negando a proposição p ˄ q, obtemos:
~p v ~q: Maria foi ao cinema ou Paulo não foi ao teatro.
Questão 2
Nesta questão procuramos uma relação de equivalência. Para
responder a este problema devemos nos perguntar quando que
duas proposições são equivalentes.
Equivalência lógica: dadas as proposições p e q, dizemos que
“p é equivalente a q” quando p e q têm tabelas-verdades iguais,
isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. Aqui
chamamos a atenção que p e q podem ser proposições
compostas também.
No problema, temos a proposição composta “se estudo então
passo”.
p: estudo
q: passo
O conectivo “então” representado por
conhecido como
condicional.
p
q: se estudo então passo.
Poderíamos fazer a tabela-verdade para cada uma das
alternativas procurando encontrar a solução, mas para algumas
equivalêcias já temos a resposta, isto é, com a prática e
verificação já saberemos exatamente de algumas implicações
tão facilmente que não precisaremos fazer uso da tabela.
Esta questão é um desses casos, pois temos o condicional p
q que é equivalente a ~q
~p, uma equivalência que
aparece em diversos exercícios e questões de concursos.
Como símbolo de equivalência utilizaremos
(p
q)
(~q
p
q
p
V
V
V
.
~p)
~q
~q
~p
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
q
~p
Observe as duas colunas em vermelho acima na tabelaverdade, elas mostram a equivalência lógica entre as
proposições. Portanto, “se estudo então passo” é logicamente
equivalente a “se não passo então não estudo”.
Questão 3
Ora, para responder a esta questão temos que estar por dentro
das tabelas-verdades de cada um dos conectivos lógicos. Não
vamos expor aqui estas tabelas, pois nossa solução ficará
longa demais.
Analisamos as afirmações.
A) Se Marte é um planeta então 3 = 7 – 4.
Temos aqui o condicional “então”. Façamos
p: Marte é um planeta. Valor lógico: verdade (V).
q: 3 = 7 – 4. Valor lógico: verdade (V).
p
q …… “V
V = V”, isto é, se p tem valor lógico
verdadeiro e q também, logo o condicional “se p então q” terá
valor lógico verdadeiro (tabela-verdade do condicional),
portanto a afirmação (proposição) é verdadeira.
B) A soma de dois números pares é um número par e 72 = 49.
Para este caso, temos conjunção “e”.
p: A soma de dois números pares é um número par. Valor
lógico: verdadeiro (V).
q: 72 = 49. Valor lógico: verdadeiro (V).
p ˄ q …… “V ˄ V = V”, isto é, se p tem valor lógico verdadeiro e
q também, logo a conjunção “p e q” terá valor lógico
verdadeiro, logo a afirmação é verdadeira.
C) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado.
Neste caso, temos o bicondicional
(lê-se: se e somente se).
p: 3 = 5. Valor lógico: falso (F) (“3 não é igual a 5”).
q: o urso é um animal invertebrado. Valor lógico: falso (F).
p
q …… “F
F = V”, isto é, se p tem valor lógico falso e q
também o bicondicional “p se, e somente se, q” é verdadeiro,
logo a afirmação é verdadeira.
Observação: no bicondicional p
q, quer dizer que “p é
condição necessária e suficiente para q”, “q é condição
necessária e suficiente para p” ou “se p, então q e
reciprocamente”.
D) Se 102 = 100 então todo número inteiro é natural.
Temos novamente o condicional “então”.
p: 102 = 100. Valor lógico: verdadeiro (V).
q: todo número inteiro é natural. Valor lógico: falso (F), pois
nem todo número inteiro é natural. Exemplo: –5 é inteiro mas
não natural.
p
q …… “V
F = F”, como p é verdadeira e q é falsa, o
condicional “se p então q” é falso. Portanto, a afirmação é falsa.
E) 2 = 32 – 7 ou a Terra é plana.
Agora, temos a disjunção v (lê-se: ou).
p: 2 = 32 – 7. Valor lógico: verdadeiro (V).
q: a Terra é plana. Valor lógico: falso (F).
p v q …… “V v F = V”, como p é verdadeiro e q é falso, a
disjunção “p ou q” é verdadeira, logo a afirmação é verdadeira.
Questão 4
Agora temos que negar uma proposição da forma p ˄ q, isto é,
temos que negar uma conjunção, já fizemos isto na questão 1.
Devemos ter atenção na desigualdade y < 2 ( y menor do que
2), como negá-la?
Se um número y é menor do que 2 quer dizer que só pode
assumir valores menores do que dois, não poderá assumir
valor igual ou maior do que 2, desse modo a negação da
sentença y < 2 é y ≥ 2 (y maior ou igual a 2). Façamos
p: x ≠ 3
q: y < 2
Negando …
~p: x = 3
~q: y ≥ 2
Já sabemos como negar a conjunção, então
~(p ˄ q) = ~p v ~q: x é igual a 3 ou y é maior ou igual a 2.
x = 3 ou y ≥ 2.
Questão 5
Nesta questão, vamos resolvê-la sem uso direto dos conectivos
lógicos, tendo atenção a afirmação e ao que se é pedido.
Vejamos:
Afirmação:
“Se há uma vogal em uma face, então há um número par na
outra face.”
O que é pedido:
“Quais dos cartões acima devem ser necessariamente, virados
para que se determine se a afirmação acima é verdadeira ou
falsa?”
Cartão I – na face do cartão há o número 5 que é ímpar, neste
caso, há a necessidade de virar o cartão, pois precisamos
verificar se tem uma vogal do outro lado de acordo com a
afirmação, isto é, sendo 5 não par na outra face deve ter não
vogal. Lembre-se da equivalência lógica.
Cartão II – neste caso temos C, uma consoante, não há a
necessidade de virar, pois o que nos interessa é a vogal. Tanto
faz o que terá na outra face.
Cartão III – observe que temos uma vogal na face, então há a
necessidade de acordo com a afirmação de virar o cartão para
que seja verificada sua veracidade, se há um número par na
outra face.
Cartão IV – neste caso é que muitos estudantes caem em
confusão! Veja que temos um número par na face. A afirmação
ou melhor a ordem da afirmação é que “se há uma vogal numa
face, então tem um número par na outra” e não o contrário “se
há um número par na face, então há uma vogal na outra face”,
logo não há a necessidade de virar o cartão já que do outro
lado pode ter não vogal. Novamente, a ordem é “vogal então
nº. par”.
Também, neste caso, lembramos da tabela-verdade do
condicional, onde p tem valor lógico V e q valor lógico F (ou
não), o condicional p → q terá valor lógico F. Percebeu que p
faz o “papel” do 6 e q o da não vogal?
Mas se ambas as sentenças p e q forem verdadeiras o
condicional também será. Logo não há a necessidade de virar
o cartão.
Muitos estudantes questionam o fato de ter que virar o cartão I
e não o cartão IV, veja que no cartão I, temos um número não
par, precisamos virar para verificar se na outra face não tem
uma vogal, de acordo com a afirmação.