Circuitos Elementares

Curso de Eletrônica
Parte Analógica
Ademarlaudo Barbosa
II – Circuitos Elementares
2.1 Divisor de Tensão
Na Fig. 08 ilustramos um circuito envolvendo dois resistores. É
conveniente estudá-lo não só para entender suas propriedades como também
para estabelecer os métodos que em seguida servirão ao estudo de outros
circuitos. A função de transferência, T, pode ser obtida pelo menos de duas
maneiras distintas. Em uma delas, notamos que a mesma corrente passa pelos
dois resistores:
I(em R1) = I(em R2)
Ve −Vs
R1
=
Vs
R2
⇒ Vs =
R2
R1 + R2
∴T =
R2
R1
Ve
Vs
R2
I
Ve
Fig. 08: Circuito divisor de tensão
R1 + R 2
Também podemos acompanhar as quedas de tensão através do circuito:
Ve − R1 I − R2 I = 0
Como I = Vs/R2:
Ve =
Vs
R2
∴T =
(R1 + R2 )
R2
R1 + R 2
Vemos que T é um número real necessariamente menor que 1, por isto
o circuito é conhecido como ‘divisor de tensão’. Como a parte imaginária de T é
nula, não há diferenças de fase entre as componentes espectrais dos sinais de
entrada e saída. Lembrando que o retardo, ou tempo de propagação (τ) de
cada harmônico e a defasagem (ϕ) estão relacionados por τ=ϕ/ω [Ver (6)], fica
claro que o retardo é também nulo para todas as componentes espectrais.
Entretanto qualquer resistor real apresenta, além da resistividade, algum valor
não nulo de capacitância (C) e indutância (L) inerentes ao material de que é
feito. C e L impõem um tempo mínimo de propagação, conforme veremos mais
adiante.
2.2 Diferenciador
Na fig. 09 está esboçado outro circuito elementar, comparável ao da Fig.
08. Os resistores R1 e R2 foram substituídos respectivamente por um capacitor
(C) e por um outro resistor (R).
Sabemos que só haverá passagem de corrente por C quando houver
variação da tensão de entrada. Seja ∆Ve esta variação, e ∆t o intervalo de
tempo em que ela ocorre. A carga acumulada em C, devida a ∆Ve, é dada por:
∆Q = C ( ∆Ve − Vs )
Onde Vs é a tensão de saída. A corrente que passa por C e por R é
portanto dada por:
I=
∆Q
∆t
=
C ( ∆Ve − Vs ) Vs
=
R
∆t
A expressão acima permite-nos escrever:
Vs (1 +
RC
∆t
) = RC
∆Ve
∆t
Quando RC << ∆t, o termo RC/∆t tende a zero, embora ∆Ve/∆t possa
não ser desprezível. Nestas circunstâncias, o sinal de saída é proporcional à
derivada temporal do sinal de entrada:
Vs ≈ RC
dVe
dt
(53)
Chegamos a esta mesma conclusão quando nos guiamos pelas quedas
de tensão no circuito:
∆Ve = I
∆t
C
+ RI = I ( ∆Ct + R )
Como I=Vs/R, encontramos novamente
Vs (1 +
RC
∆t
) = RC
∆Ve
∆t
Que, quando RC<<∆t, nos remete a (53).
C
∆Ve
Vs
I
R
Fig. 09: Circuito diferenciador
2.3 Integrador
Quando intercambiamos as posições de R e C na Fig. 09, conforme
mostrado na Fig. 10, passamos a um circuito de comportamento bastante
distinto do anterior. De fato, para a mesma variação ∆Ve da tensão de entrada,
encontramos que:
∆Ve −Vs
R
=
CVs
∆t
A expressão acima simplesmente afirma que a corrente que passa por R
é a mesma que passa por C. Daí podemos escrever:
Vs (1 +
∆t
RC
)=
1
RC
∆ Ve ∆ t
Podemos então concluir que, quando RC>>∆t, a tensão de saída é
proporcional à integral no tempo da tensão de entrada, pois neste caso
Vs ≈
1
RC
∆ V e ∆t ≈
1
RC
∫ ∆V dt
e
Naturalmente o mesmo resultado é obtido quando consideramos as
quedas de tensão sobre R e C.
Com isto mostramos que os circuitos R e C das Figs. 09 e 10 realizam o
equivalente às operações de diferenciação e integração, desde que os valores
de R e C sejam escolhidos adequadamente ao comportamento do sinal de
entrada.
R
∆ Ve
Vs
I
C
Fig. 10: Circuito integrador
2.4 Diferenciador e Integrador no Domínio da Freqüência
No item 2.1 encontramos a função de transferência para o circuito divisor
de tensão. Este circuito pode ser generalizado para incluir componentes (R, L,
C) de impedância Z, conforme mostrado no capítulo anterior (Fig. 11). Assim
fica também generalizada a expressão para a função de transferência.
T=
Z2
Z1 + Z 2
(54)
Z1
Ve
I
Vs
Z2
Fig. 11: Circuito integrador
Voltemos agora aos casos do integrador e do diferenciador, sabendo
que, para R, Z ≡ R, e para C, Z ≡ 1/iωC. Chegamos às seguintes funções de
transferência:
Tdiferencia dor =
Tint egrador =
R
iωRC
=
1
R + iωC 1 + iωRC
1
iωC
R+
1
iωC
=
1
1 + iωRC
A partir da função de transferência podemos obter explicitamente o
ganho e a fase para cada harmônico de freqüência ω (Ver §1.3):
T
T
diferenciador
int egrador
=
=
1
1+ω 2 R 2C 2
ω 2 R 2C 2 + iωRC =
ωRC
1 + ω 2 R 2C 2
1
1
1 − iωRC =
1 + ω 2 R 2C 2
1 + ω 2 R 2C 2
 1 
Arg [T ]diferenciador = ArcTg 
 ωRC 
Arg[T ]int egrador = − ArcTg[ωRC ]
A fim de simplificar a forma e a análise das expressões acima,
introduzimos o parâmetro ν ≡ ω/ωo, onde
ωo =
1
RC
Com isto obtemos as seguintes funções do parâmetro ν:
T
diferenciador
=
ν
1 +ν 2
T
int egrador
1
=
1 +ν 2
1
Arg[T ]diferenciador = ArcTg  
ν 
Arg[T ]int egrador = − ArcTg[ν ]
Finalmente podemos passar à representação da função de transferência
em um Diagrama de Bode.
1,6
1,0
Diferenciador
Diferenciador
1,4
0,8
1,2
1,0
|T|
Arg[T]
0,6
0,4
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2
0,0
0,0
0,01
0,1
1
10
0,01
0,1
υ
1
10
υ
0,2
1,0
0,0
Integrador
Integrador
-0,2
0,8
-0,4
|T|
Arg[T]
0,6
0,4
-0,6
-0,8
-1,0
-1,2
0,2
-1,4
0,0
0,01
0,1
1
υ
10
-1,6
0,01
0,1
1
10
υ
Fig. 12: Diagramas de Bode para os circuitos integrador e diferenciador
Vemos que ωo é uma freqüência crítica. O circuito diferenciador atenua
os harmônicos de freqüência ω<<ωo (ν<<1), enquanto que o integrador atenua
os harmônicos de freqüência ω>>ωo (ν>>1). Por esta razão o diferenciador e o
integrador são interpretáveis respectivamente como filtros passa-alta e passabaixa.
2.5 Equações diferenciais para os circuitos envolvendo R e C
Para ambos os circuitos representados nas Figs. 09 e 10 pode ser
escrita a seguinte equação, que representa as quedas de tensão verificadas
sobre R e C:
Ve =
Q
C
+ RI
Ve e I são respectivamente a tensão de entrada e a corrente que passa
pelo circuito, Q é a carga presente nos eletrodos do capacitor. Consideremos
estas grandezas como funções do tempo, e tomemos a derivada temporal de
cada termo, de modo a obter uma outra equação:
dVe
dt
=
1 dQ
C dt
+ R dIdt =
I
C
+ R dIdt
A equação acima se converte numa equação de primeira ordem
homogênea, de solução conhecida, desde que Ve seja uma constante. Seja
portanto Ve, o pulso de entrada, uma função que vale Vo a partir de t=0. Com
isto podemos escrever (para t≥0):
I = − RC dIdt ⇒ I (t ) = I (0)e
t
− RC
Como condição de contorno para a equação, notamos que, em t=0,
Q(t)=0 e I(t)=I(0)=Io. Portanto:
I (t ) = I o e
t
− RC
Se V(t) é a função que representa a tensão de saída, é claro que, para o
diferenciador, esta tensão é responsável pela corrente sobre R:
V (t ) = RI (t ) = RI o e
t
− RC
RIo é a tensão em t=0, de modo que:
V (t ) = Vo e
t
− RC
Para o integrador podemos obter V(t) a partir da queda de tensão em C:
V (t ) =
Q
C
=
1
C
∫ I (t )dt
⇒ V (t ) = C1 ( − RCI o e
t
− RC
+ K)
Onde K é uma constante de integração, cujo valor explícito encontramos
pela condição de contorno:
Q (0) = 0 ⇒ K = RCI o
Assim encontramos a tensão de saída para o integrador:
V (t ) = Vo (1 − e
t
− RC
)
As soluções encontradas nos permitem confirmar os resultados obtidos
anteriormente. Conforme mostrado na Fig. 13, o sinal de saída do diferenciador
se aproxima cada vez mais do que seria a derivada do sinal de entrada, à
medida em que o produto RC diminui. Para o integrador, o sinal de saída tende
à integral do sinal de entrada à medida em que o produto RC aumenta.
Diferenciador
1,0
Integrador
Vo
1,0
Vo
0,8
0,8
0,6
0,6
RC=10
0,4
0,2
V(t)
V(t)
RC=0.1
RC=1
RC=10
0,4
0,2
RC=1
RC=0.1
0,0
0,0
0
2
4
6
8
t
10
0
2
4
6
8
10
t
Fig. 13: Respostas do diferenciador e do integrador ao impulso
‘degrau’ no domínio do tempo.
É importante notar que a solução da equação diferencial foi obtida para
o caso muito particular em que a tensão de entrada é constante a partir de um
instante inicial (t=0). Na Fig. 13 está mostrada a solução V(t) para t≥0. Este tipo
de sinal é conhecido como impulso ‘degrau’. Qualquer outro tipo de impulso em
que Ve(t) não é uma constante leva a equações cujas soluções são mais
complicadas, ou não são calculáveis. Entretanto, do ponto de vista de
composição espectral, o impulso degrau é bastante representativo de um
impulso genérico, já que contém componentes de freqüência variando desde 0
(para representar o nível de tensão Ve=Vo) até valores muito altos (para
representar a transição rápida de 0 a Vo em t=0).
2.6 Circuito L-C
Um circuito simples envolvendo indutor e capacitor, de notável interesse
prático, é mostrado na Fig. 14.
A função de transferência é obtida conforme o procedimento usado
anteriormente para circuitos com R e C:
T =
1
iωC
iωL + iω1C
=
1
1−ω 2 LC
Tomemos novamente o parâmetro ν = ω/ωo, definindo agora:
ωo =
1
LC
Assim podemos escrever:
T = 1−1ν 2
(55)
A constatação mais imediata é que T diverge quando ν=1. Como T é
real, este circuito apresenta ganho infinito para ω=ωo . Na prática o ganho
infinito não é observado, em particular porque qualquer outro circuito que seja
acoplado ao circuito da Fig. 14 para medir a amplitude de saída (por exemplo,
um osciloscópio) tem impedância de entrada finita, o que modifica a função de
transferência do circuito final. Ainda que não haja um circuito exterior, previsto
para observar a ressonância, haverá pelo menos a resistividade intrínseca do
capacitor. Esta última pode ter valor muito elevado, mas certamente é finito. De
modo que - quando são levados em conta todos os parâmetros relevantes verifica-se algum limite para o valor de T quando ν=1.
De qualquer forma o circuito apresenta a característica de um filtro que
amplifica uma frequência específica, determinada pelos valores de L e C.
L
Ve
Vs
C
Fig. 14: Circuito L-C
Outro aspecto interessante do circuito L-C vem do fato de que ele
representa também uma linha de transmissão de sinais (como um cabo coaxial, par trançado ou fios paralelos). Em geral é possível desprezar a
resistividade dos cabos utilizados para transmissão de sinais, mas os efeitos da
indutância e da capacitância por unidade de comprimento raramente podem
ser ignorados. Uma representação adequada para uma linha de transmissão
de sinais em termos de L e C é mostrada na Fig. 15. L e C referem-se
respectivamente aos coeficientes de auto-indutância e de capacitância por
unidade de comprimento da linha.
L
Ve
Vs
C
C
Fig. 15: Circuito L-C representativo de uma
linha de transmissão de sinais
Notemos inicicialmente que qualquer sinal trafegando pela linha está
sujeito a uma impedância característica do circuito. A impedância equivalente
do circuito mostrado na Fig. 15 é facilmente calculável como uma associação
de componentes em série e em paralelo, conforme mostrado na Fig. 16.
Vs
C
L
Ve
C
Fig. 16: Circuito da Fig. 15, evidenciando a impedância equivalente
Assim encontramos que a impedância equivalente, Zeq, é dada por:
Z eq =
1
iωC
(
1−ω 2 LC
2−ω 2 LC
)
De (55) obtemos que:
1
C
= ωo
L
C
= ωoZo
Onde introduzimos a constante
Zo =
L
C
(56)
Então podemos escrever Zeq em função do parâmetro ν:
Z eq =
iZ o
ν
[ ]
ν 2 −1
2 −ν 2
O gráfico apresentado na Fig. 17 mostra que Zeq varia muito com a
frequência. Podemos portanto esperar distorções importantes do sinal que
passa pela linha.
1000
100
| Zeq / Zo |
10
1
0,1
0,01
0,001
0,01
0,1
1
10
ν
Fig. 17: Variação da impedância em função da freqüência para o circuito da Fig. 14.
Para reduzir as distorções convém utilizar uma resistência de
terminação, R, que minimize as variações de impedância. Suponhamos então
uma linha de transmissão terminada, como mostrado na Fig. 18.
L
Ve
Vs
C
C
R
Fig. 18: Circuito L-C representativo de uma
linha de transmissão terminada.
Nesse caso encontramos:
R +iωL −ω RLC
Z eq = 1+iωRC
−ω 2 LC −iω 3 RLC 2
2
Exigimos agora que Zeq seja exatamente igual a R, de modo que um
sinal atravessando a linha não passe por variações de impedância:
Z eq ≡ R⇒ R =
Zo
1−ν 2
(57)
Na expressão acima substituímos C por C/2, de modo que Zo continue
definido pela expressão (55). O parâmetro ν mantém a mesma forma (ν=ω/ωo),
e redefinimos ωo como:
ωo =
2
LC
(58)
Em §2.7 fica explícita a razão pela qual redefinimos Zo com o valor C/2.
O resultado encontrado, (57), mostra que não é possível encontrar uma
terminação perfeita para a linha, pois o valor de R dependeria da frequência de
cada componente espectral. Entretanto, vemos que para frequências muito
menores que a frequência crítica ωo, R=Zo seria a melhor terminação.
O gráfico da Fig. 18 mostra a comparação entre uma linha terminada
com R=Zo e outra sem terminação (R=!).
1000
100
Sem terminação
| Zeq / Zo |
10
1
Terminação R = Zo
0,1
0,01
0,001
0,001
0,01
0,1
1
υ
Fig. 19: Impedância equivalente para linha de transmissão
terminada com Z=Zo e sem terminação.
2.7 Linha de Retardo
Vimos acima que o circuito L-C da Fig. 17 transmite sinais sem distorção
das componentes espectrais, desde que ω<<ωo. A função de transferência para
este circuito é dada por:
T = 1+ iωL −1ω 2 LC
R
Susbituindo C por C/2 e R pela expressão encontrada em (57), obtemos
o que seria a função de transferência para um circuito perfeitamente terminado:
Tideal =
1
1−2ν 2 +2iν 1−ν 2
A condição ω<<ωo ou ν<<1, que corresponde ao caso em que podemos
terminar o circuito por um resistor, leva a:
Treal = 1− 2ν 12 + 2iν
Podemos então calcular ganho e fase, para os casos de terminação
‘ideal’ e ‘real’:
Tideal = 1 (para ν < 1)
Tideal =
Treal =
1
1− 2ν 2 − 2ν ν 2 −1
1
1+ 4ν 4
(para ν > 1)
ϕ ideal = Arg [Tideal ] = − ArcTg
(
2ν 1−ν 2
1− 2ν 2
) (para ν < 1)
ϕ ideal = Arg [Tideal ] = 0 (para ν > 1)
ϕ real = Arg [Treal ] = ArcTg
( )
2ν
1− 2ν 2
Note-se que, para υ >1, a função de transferência para o caso ‘ideal’
assume valores reais. No caso ‘real’ a atenuação de |T| para υ >1 é
propoprcional a 1/υ2 , ou seja, o filtro passa-baixa do tipo LC atenua mais as
frequências altas que o filtro tipo RC. Fig. 20 mostra o ganho para os dois
casos.
101
101
caso "real"
100
10-1
10-1
| T|
| T|
caso"ideal"
100
10-2
10-2
10-3
10-2
10-1
100
101
10-3
0,01
102
0,1
1
10
100
υ
υ
Fig. 20: Ganho para os casos de terminação ‘ideal’ e ‘real’.
A respeito da fase, para o caso ‘real’, lembremos que (capítulo I, eq. (6) )
o retardo de cada componente espectral é dado por:
τ=
ϕ
ω
=
Arg [T ]
ω
Podemos expandir Arg[Treal] em termos de potências de ν, para obter:
ϕ = Arg [T ] = 2ν + 4 ν3 + ...
3
Para ν<<1 apenas o primeiro termo é relevante, de modo que o retardo
do circuito é:
τ=
2ν
ω
= LC
(58)
Em (58) vemos que o retardo é uma constante, não depende da
frequência de cada componente espectral. Portanto, para υ<<1, o circuito
introduz retardo e transmite sinais sem deformação.
Notemos agora que, como exigimos Zeq=R, o componente R pode ser
substituído por outro circuito de impedância Zeq, e o circuito resultante
continuará adaptado em impedância. A função de transferência resultante será
expressa pelo produto das funções de transferência dos dois circuitos
envolvidos. Este processo pode ser repetido recursivamente, de modo a obter
o que chamamos de “linha de retardo com componentes discretos”, conforme
mostrado na Fig. 21.
L
Ve
C/2
L
C
L
C
L
C
L
C
C/2
Vs
R
Fig. 21: Linha de retardo com 5 células discretas.
Mostramos assim que uma linha de transmissão tal qual um cabo coaxial pode ser caracterizada por um circuito LC, em que L e C representam os
coeficientes de auto-inductância e capacitância por unidade de comprimento.
Utilizando-se componentes discretos podemos também construir uma linha de
transmissão envolvendo n circuitos individuais, ou células. O retardo na
transmissão de sinais é dado por nτ, com τ dado por (58). Em qualquer dos
casos os sinais são transmitidos sem deformações desde que as frequências
das componentes espectrais se limitem a ω<<ωo. A linha de retardo é
construída pela justaposição de células do tipo ilustrado na Fig. 18, com C
substituído por C/2, gerando o circuito da Fig. 21, cuja impedância
característica é dada por (56) quando ω<<ωo.
2.8 Circuito R-L-C
Consideremos agora um circuito que inclua os três componentes
elementares, R-L-C, conectados em série, estimulados por uma tensão de
entrada Vo, conforme mostrado na Fig. 22.
L
Vo
R
C
Fig. 22: Circuito R-L-C
Na Fig. 22 está representada uma chave que permite aplicação do
impulso Vo num determinado instante (t=0), de modo a produzir o estímulo
correspondente à função ‘degrau’. As quedas de tensão ao longo do circuito
levam à seguintes equações:
L dIdt + RI + QC = Ve
L ddt 2I + R dIdt + C1 I = 0
2
A última equação é equivalente à equação que descreve um oscilador
harmônico amortecido. É bastante evidente que a solução deve ser uma função
do tipo:
I (t ) = e at
Para esta solução, a própria equação impõe a seguinte condição à
constante a:
a 2 + RL a +
1
LC
=0
Portanto há duas possibilidades para a:
a1, 2 = 12  − RL ±

( RL )2 − LC4 

Como a equação é de segunda ordem, a solução geral deve ser uma
combinação das duas soluções particulares com a1 e a2:
I ( t ) = C1e a1t + C 2 e a2t
Onde C1 e C2 são constantes a se determinar a partir das condições de
contorno. A fim de simplificar a expressão para I(t), definimos também as
seguintes constantes:
γ =
ω o=
R
2L
1
LC
Com isto obtemos:
 −γ + γ 2 −ω 2  t
o

I (t ) = C1e 
 −γ − γ 2 −ω 2  t
o

+ C2 e 
Podemos agora considerar três casos distintos. No caso em que ωo=γ, o
comportamento de I(t) se reduz a um decaimento exponencial, com constante
de decaimento γ. Quando ωo<γ encontramos uma superposição de dois
decaimentos exponenciais, com constantes de decaimento distintas. O caso
mais complexo ocorre quando ωo>γ. Neste caso o termo sob raiz quadrada é
menor que zero, e I(t) pode ser escrita como:
 −γ +i ω 2 −γ 2  t
o

I (t ) = C1e 
 −γ −i ω 2 −γ 2  t
o

+ C2 e 
I(t) seria então uma grandeza complexa, a menos que:
C1 ≡ C2*
Suponhamos então:
C1 = 12 Ae iϕ
C 2 = 12 Ae −iϕ
Assim encontramos:
I (t ) = 2 K cos α
Onde:
K = 12 Ae −γt
α=
(ω
2
o
)
−γ 2 t +ϕ
As constantes A e ϕ podem ser determinadas pela condição de contorno
[em t=0, I(t)=Q(t)=0]:
I (0) = cos ϕ
⇒ ϕ = ± π2
Da equação para Q(t) obtemos, em t=0:
[L dIdt ]t =0 = Vo
Como
[dIdt ]t =0 = [2K (γ cosα −
⇒ A=!
ω o2 − γ 2 senα
)]
t =0
= ! ω o2 − γ 2 A
Vo
ω o2 −γ 2 L
Note-se a polaridade de Vo define o sinal das constantes A e ϕ. Supondo
Vo < 0, chegamos a:
Vo < 0 ⇒ A = −
Vo
ω o2 −γ 2 L
, ϕ = π2
Encontramos assim a expressão final para I(t):
I (t ) = −
Vo
ω o2 −γ 2 L
e −γt cos
[( ω
2
o
) ]
− γ 2 t + π2 = −
Vo
ω o2 −γ 2 L
e −γt sen
[( ω
2
o
)]
−γ 2 t
1,0
0,8
γ =2
ωο=20
0,6
0,4
I(t)
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
0
1
2
3
4
t
Fig. 23: Representação da oscilação harmônica
amortecida descrita por I(t)
Como mostramos na Fig. 23, I(t) representa uma oscilação amortecida.
Escolhendo apropriadamente ωo e γ pode-se programar a taxa de
amortecimento da oscilação, ou também a supressão das oscilações (ωo = γ).
Este último caso é de interesse quando se pretende eliminar efeitos transientes
induzidos quando se aciona um circuito. O resistor R pode por exemplo
corresponder a uma carga à qual se transmite corrente quando ligamos a
chave do circuito.
2.9 Teoremas de Thevenin e de Norton
Neste capítulo apresentamos diferentes métodos de análise de circuitos
elementares. Estes métodos foram aplicados aos circuitos representados nas
Figs. 08 e 11. São circuitos efetivamente simples, mas de interesse muito
amplo, devido ao fato de que podem representar circuitos mais complexos.
O teorema de Thevenin afirma que qualquer circuito contendo fontes de
tensão e resistores pode ser reduzido a um circuito equivalente contendo
unicamente uma fonte de tensão (Veq) e um resistor (Req).
Req
Qualquer circuito
contendo fontes e
resistores
Vs
Rcarga
Veq
Fig. 24: Representação do Teorema de Thevenin
Rcarga
Da própria representação gráfica do Teorema de Thevenin podemos
deduzir quais devem ser os valores de Veq e Req a partir dos seguintes
procedimentos:
(a) Quando suprimimos a resistência de carga não há passagem de
corrente. Nesse caso, a diferença de potencial entre os terminais de saída do
circuito a representar é precisamente Veq. Ou seja, Veq é a voltagem em regime
de ‘circuito aberto’.
(b) Quando a resistência de carga é nula há passagem de corrente, I.
Req é dado por Veq /I .
(c) Na ausência de resistência de carga, Req é a resistência observada
quando a Veq = 0.
Estas regras simples podem ser aplicadas para reduzir a análise de
circuitos complicados ao caso do circuito divisor de tensão. Tomemos por
exemplo o circuito conhecido como “Ponte de Whetstone”, ilustrado na Fig. 25.
R2
R1
R carga
V
R3
R4
Fig. 25: Circuito “Ponte de Wheatstone”
Para encontrar Veq e Req, supomos inicialmente que V é substituído por
um curto-circuito e que a resistência de carga é suprimida, de acordo com o
procedimento (c) da lista acima. Nestas condições os resistores R1 e R3
estariam em paralelo, assim como os resistores R2 e R4. Conforme mostrado
na Fig. 26, Req é dado pela associação em série destas duas combinações:
Req =
R1 R3
R1 + R3
+ RR22+RR44
R1
R3
R2
R4
Fig. 26: Req para o circuito “Ponte de Wheatstone”
Aplicando agora o procedimento (a), notamos que Veq, a diferença de
potencial entre os terminais de saída quando não há carga, é dado por:
Veq = VA − VB =
VR3
R1 + R3
4
− RVR
2 + R4
V
R1
R2
VA
VB
R3
R4
Fig. 27: Determinaçã de Veq para o circuito “Ponte de Wheatstone”
Outro teorema que também permite a redução de circuitos complexos a
circuitos simples é o Teorema de Norton, que afirma que qualquer circuito
envolvendo fontes de tensão e resistores pode ser reduzido à associação em
paralelo de uma fonte de corrente, Ieq, e um resistor Req.
Evidentemente os Teoremas de Thevenin e de Norton devem fornecer
resultados coerentes entre si. Esta própria coerência permite determinar Ieq e
Req para o teorema de Norton. De acordo com a equivalência mostrada na Fig.
28, notamos que Req é o próprio Req referido no Teorema de Thevenin, e Ieq é a
corrente que circula por Req quando a resistência de carga é nula (curto
circuito):
I eq =
Veq
Req
Req
Qualquer circuito
contendo fontes e
resistores
Veq
Ieq
Req
Fig. 28: Equivalência entre os teoremas de Norton e Thevenin
Uma fonte de corrente não é algo tão comum quanto uma fonte de
tensão. Mas há situações físicas em que um dispositivo efetivametne atua
como fonte de corrente. Por exemplo, no momento em que um detector de
partículas apresenta um evento, há liberação de energia, na forma de carga
elétrica, dentro do detector. Tipicamente (detectores a gás, a semicondutor,
fotomultiplicadoras) o sinal elétrico se transmite entre dois eletrodos (catodo e
anodo) que definem uma capacitância. A equivalência entre os Teoremas de
Thevenin e de Norton sugere que o mesmo fenômeno pode ser interpretado
eletricamente como uma fonte de tensão em série com a capacitância entre os
eletrodos, ou como uma fonte de corrente em paralelo com esta capacitância.
No primeiro caso notamos que o pulso de tensão é diferenciado com uma
constante de tempo RC, onde C é a capacitância do detector e R é a
resistência de carga. No segundo caso o pulso de corrente carrega a
capacitância C com carga Q, a uma taxa determinada pela constante de
integração RC. ‘Q’ é a carga elétrica gerada pela detecção da partícula, e R se
materializa como a impedância de entrada do circuito utilizado para observar o
sinal.
No caso de um detector a gas utilizando fios como eletrodos, o pulso de
tensão pode ser satisfatoriamente modelado por uma função do tipo:
V (t ) = K ln 1 + tto
( K e to constantes )
Este pulso se propaga através da capacitância C. A ele está associada
uma corrente:
(
)
I (t ) = C dtd K ln 1 + tto = - CK2
1
t + to
de modo que as representações elétricas do mesmo fenômeno
baseadas nos teoremas de Thevenin e de Norton sejam compatíveis.