Apostila Resistencia dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1- TIPOS DE ESFORÇOS
Uma força pode ser aplicada num corpo de diferentes maneiras, originando
portanto, diversos tipos de solicitações, tais como: tração, compressão,
cisalhamento, flexão e torção.
Quando cada tipo se apresenta isoladamente, diz-se que a solicitação é
SIMPLES. No caso de dois ou mais tipos agirem conjuntamente a solicitação é
COMPOSTA.
TRAÇÃO – solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de ação
da força aplicada.
COMPRESSÃO – solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da reta
da força aplicada.
CISALHAMENTO – solicitação que tende a deslocar paralelamente, em
sentido oposto, duas seções de uma peça (força cortante).
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FLEXÃO – solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça.
Ex.: uma barra inicialmente reta que passa a ser uma curva.
TORÇÃO – solicitação que tende a girar as secções de uma peça, uma em
relação às outras.
SIMBOLOGIA DAS TENSÕES
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
2- DEFORMAÇÃO
A ação de qualquer força sobre um corpo altera a sua forma, isto é, provoca
uma deformação.
Com o aumento da intensidade da força, há um aumento da deformação.
Existem dois tipos de deformação: Deformação Elástica e Deformação
Plástica.
Deformação Elástica - deformação transitória, ou seja, o corpo retomará suas
dimensões iniciais quando a força for removida.
Deformação plástica – deformação permanente, ou seja, o corpo não
retornará para suas dimensões iniciais depois de cessado o esforço aplicado.
O ponto que separa os dois tipos de deformações é o limite de escoamento.
DEFORMAÇÃO UNITÁRIA ou DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA => (AXIAL)
Deformação específica ( ε ) é a relação entre o alongamento total ( ∆l ou δ ) e
o comprimento inicial ( l0 ).
εa =
δ
l0
ou
ε=
∆l
l0
ou
ε=
l f − l0
l0
(mm mm)
[1.1]
ε
- é adimensional, ou seja, não tem unidade e pode ser expresso em
porcentagem multiplicando por 100.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
3- TENSÃO
É uma grandeza vetorial que foi introduzida na resistência dos materiais em
1822, por Augustin Louis Cauchy. É definida como sendo a resistência interna
de um corpo qualquer, à aplicação de uma força externa por unidade de área,
ou seja, é a força por unidade de área.
F
σ=
A
 kgf

cm 2 

ou
(N mm ) = (MPa)
2
[1.2]
onde:
σ
=> Tensão Normal uniforme que pode ser tração simples ou compressão
simples
F => Força aplicada ao corpo (kgf ou N)
A => Área da seção transversal do corpo (cm2 ou mm2 )
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4- DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO
O ensaio de tração consiste em aplicar num corpo de prova uma força axial
com o objetivo de deformá-lo até que se produza sua ruptura.
Aumentando-se a tensão, a deformação também vai aumentando e os
resultados da experiência podem ser mostrados por um gráfico (
x ε ),
marcando em abscissas (eixo “X”) as deformações e em ordenadas (eixo “Y”)
as tensões.
σ
GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO (
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σ xε )
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
No gráfico os pontos marcados significam respectivamente:
Ponto P – Tensão Limite de Proporcionalidade ( σ p )
ε
Abaixo deste ponto, a tensão é proporcional à deformação específica ( ) ,
portanto a Lei de Hooke, que estabelece que a tensão é proporcional à
deformação, vale somente até este ponto.
Ponto E – Tensão Limite de Escoamento ( σ e )
Caracteriza o ponto de escoamento, ou seja, a perda da propriedade elástica
do material.
Nos aços de médio e baixo teor de carbono, ocorre um visível alongamento do
corpo-de-prova praticamente sem aumento da tensão.
Ponto R – Tensão Limite de Resistência ( σ r )
É a maior tensão que o corpo-de-prova pode suportar antes de se romper.
Obs.: conceitualmente pode-se admitir que
σp
= σ e
5- RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO
MÓDULO DE ELASTICIDADE
A Lei de Hooke (Robert Hooke 1678) estabelece que até a tensão limite de
proporcionalidade ( σ p ), ou seja até o ponto P do Diagrama Tensão-
Deformação, a tensão em um material é proporcional à deformação nele
produzida. Devido a esta condição de proporcionalidade pode se escrever que:
E =σ
ε
∴
σ = E.ε
(MPa )
[1.3]
onde:
σ => Tensão de tração
ε => Deformação específica
E => Módulo de elasticidade ou módulo de Young
(MPa ) 
(ver tabela 1)
Obs.: Módulo de Elasticidade é a medida de rigidez do material: quanto maior
o valor de “E” menor a deformação elástica e mais rígido é o material.
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Substituindo as expressões [1.1] e [1.2] na expressão [1.3] e ordenando, temse a equação [1.4] para a deformação total:
ε=
σ =
δ
[1.1]
l0
F
A
[1.2]
σ = E.ε
[1.3]
F .L
δ =
E. A (mm)
[1.4]
MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL
Através de ensaios com corpos-de-prova submetidos a cisalhamento puro por
torção, pode-se escrever que:
τ = G.γ
(MPa )
[1.5]
onde:
τ
γ
=> Tensão de cisalhamento por torção
(MPa)
 > Deformação angular ou distorção que é a alteração sofrida em um
=
ângulo reto de um elemento (rad )
G => Módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de elasticidade
Transversal
(MPa) (ver tabela 1)
COEFICIENTE DE POISON
As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração,
sofre além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal
(afinamento).
Poisson demonstrou que estas duas deformações eram proporcionais uma em
relação à outra, dentro dos limites da Lei de Hooke (até o ponto P do Diagrama
Tensão- Deformação).
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Esta constante é dada por:
−µ =
DeformaçãoLTansversal
DeformaçãoL Axial
−µ =
εt
εa
(adimensional)
[1.6]
onde:
µ => Coeficiente de Poisson
(ver tabela 1)
As três constantes se relacionam através da expressão:
E = 2.G(1 + µ )
(MPa )
[1.7]
TABELA 1 – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS
Material
Aços
Alumínio
Bronze
Cobre
Ferro
Fundido
Cinzento
Latão
Madeira
(Pinho)
Módulo de Elasticidade
(MPa)
“E”
210000
72400
113200
121300
Mód. Elasticidade
Transversal (MPa)
“G”
80000
26700
42200
45600
Coeficiente
de Poisson
“µ”
0,30
0,33
0,35
0,33
102000
42200
0,21
108000
40800
0,32
11200
4200
0,33
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6- DIMENSIONAMENTO
(TENSÕES ADMISSÍVEIS E COEFICIENTE DE SEGURANÇA)
No dimensionamento dos elementos de máquinas, as peças a serem
calculadas deverão suportar as cargas com segurança. Para isto, admitem-se
apenas deformações elásticas, portanto, a tensão de trabalho fixada deve ser
inferior à tensão de escoamento do material.
A esta tensão que oferece a peça uma condição de trabalho sem perigo,
chamamos de TENSÃO ADMISSÍVEL.
Seu valor é determinado dividindo-se a tensão de resistência do material ( σ r
ou
τ r ) por um coeficiente “S” chamado de COEFICIENTE DE SEGURANÇA.
σr
σ = S
τr
ou
τ =S
(MPa )
[1.8]
O coeficiente de segurança é uma relação entre as tensões de resistência e
admissível do material.
Em princípio, o coeficiente de segurança é determinado levando-se em
consideração diversos fatores parciais, tais como, fator em função da
homogeneidade do material, fator em função do tipo de carga a ser aplicado,
fator em função de causas desconhecidas, etc.
Assim, a rigor o coeficiente de segurança é expresso da seguinte forma:
S= S1xS2xS3.........
Sendo:
S - Coeficiente de segurança total
S1, S2, S3, ..... – Fatores de segurança parciais
Porém, para os nossos cálculos de resistência adotaremos os valores de
coeficientes de segurança já consagrados pela prática, baseados na qualidade
do material e no tipo de carga aplicada à peça.
Os valores desses coeficientes já englobam todos os demais fatores acima
referidos.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Tipos de Solicitações: Basicamente existem 4 tipos de cargas:
- Carga Estática
Ocorre quando uma peça está sujeita a carga constante, invariável ao decorrer
do tempo e aplicada lenta e gradualmente.
EX: Vigas
- Carga Intermitente
Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável de zero a um valor
máximo, sempre com a mesma direção e sentido.
EX: dentes das engrenagens.
- Carga Alternada
Ocorre quando uma peça está sujeita a uma carga variável na mesma direção,
mas com sentido contrario.
EX: Eixos Rotativos.
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-Carga de Choque
Ocorre quando uma peça está sujeita a variação brusca ou a de choque.
EX: Componentes de Prensas.
Os valores de COEFICIENTE DE SEGURANÇA que serão utilizados estão
representados na Tabela 2 abaixo:
MATERIAL
TABELA 2
COEFICIENTE DE SEGURANÇA (S) *
TIPOS DE CARGAS
ESTÁTICA INTERMITENTE ALTERNADA
CHOQUE
Ferro Fundido
6
10
15
20
Aço mole (até SAE-1030)
5
6
8
12
Aço duro
4
6
8
12
Madeira
8
10
15
20
*EM RELAÇÃO À TENSÃO DE RESISTÊNCIA DO MATERIAL
As propriedades mecânicas dos materiais que serão utilizadas na resolução
dos exercícios propostos estão listadas na tabela 3.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TABELA 3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS
TENSÃO DE
TENSÃO DE
ESCOAMENTO ALONG.
RESISTÊNCIA
NA TRAÇÃO
(%)
MPa
MATERIAL
OBS.:
MPa
(
)
(
)
σ tr σ cr τ cr
σ te
ε
SAE-1010
350
350
260
130
33
SAE-1015
385
385
290
175
30
SAE-1020
420
420
320
193
26
SAE-1025
465
465
350
210
22
SAE-1030
500
500
375
230
20
SAE-1040
580
580
435
262
18
SAE-1050
650
650
490
360
15
SAE-1070
700
700
525
420
9
SAE-2330
740
740
550
630
20
SAE-2340
700
700
525
485
25
SAE-3120
630
630
475
530
22
SAE-3130
680
680
510
590
20
SAE-3140
750
750
560
650
17
SAE-4130
690
690
520
575
20
SAE-4140
760
760
570
650
17
SAE-4320
840
840
630
650
19
SAE-4340
860
860
650
740
15
SAE-5120
610
610
460
490
23
SAE-5140
740
740
550
620
18
SAE-8620
620
620
465
560
18
SAE-8640
750
750
560
630
14
AISI-301
770
770
580
280
55
AISI-302
630
630
470
248
55
AISI-310
690
690
515
315
45
AISI-410
490
490
370
264
30
Aços inoxidáveis
martensítico
600
à
850
225
--
--
--
Ferro fundido
Cobre
120
à
240
225
168
70
45
Latão
342
342
255
120
57
Bronze
280
280
210
--
50
Alumínio
180
180
135
70
22
Fo.Fo.
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Aços carbono,
recozidos ou
normalizados.
Aços Ni, recozidos
ou normalizados.
Aços Ni-Cr,
recozidos ou
normalizados.
Aços Cr-Mo,
recozidos ou
normalizados.
Aços Ni-Cr-Mo,
recozidos ou
normalizados
Aços Cr, recozidos
ou normalizados
Aços Ni-Cr-Mo,
recozidos ou
normalizados
Aços inoxidáveis
austeníticos
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7- TRAÇÃO E COMPRESSÃO
FÓRMULA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO:
σt =
F
A
σc =
F
A
(MPa )
F
A
A
F
onde:
σ
=> Tensão Normal uniforme que pode ser tração simples ou compressão
simples
F => Força aplicada ao corpo (N )
A => Área da seção transversal do corpo (mm2 )
CRITÉRIO DE PROJETO:
σ≤σ
Sendo:
σ =
σ tr
S
ou
σ =
σ cr
S
(MPa )
FÓRMULA DO ALONGAMENTO TOTAL:
δ =
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F .L
E. A
(mm)
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8- CISALHAMENTO PURO
Esforço cortante simples desprezando a flexão.
Ocorre quando uma peça é submetida a uma força F,
transversalmente ao seu eixo, produzindo um cisalhamento (corte).
τC =
F
A
atuando
(MPa )
onde:
τ
=> Tensão de cisalhamento
F => Força aplicada ao corpo (N )
A => Área da seção transversal do corpo (mm2 )
CRITÉRIO DE PROJETO:
τc ≤ τ c
Sendo:
τc
=
τcr
S
(MPa )
τ
As tensões de resistência ao cisalhamento ( cr ), para os materiais em geral,
obedecem aproximadamente a seguinte relação com referência à tensão de
resistência à tração (
σ tr ):
τ cr = 0,6 a 0,8 σ tr
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
9- COMPRESSÃO SUPERFICIAL (ESMAGAMENTO)
Se a carga “F” atua da maneira que se vê na figura abaixo, as partes “B” são
tracionadas contra o rebite, ocasionando uma TENSÃO DE COMPRESSÃO
NAS SUPERFÍCIES de contato “M”.
M
t
F
B
t
F
B
M
D
Num caso como este, normalmente se usa a área projetada do rebite para o
cálculo da compressão na superfície “M”, ao se aplicar a fórmula
( σ c = F A ).
t
Substitui-se então a superfície real que é um semicilindro por um retângulo de
dimensões “t” e “D”.
D
Assim, a Tensão de Compressão sobre a superfície será obtida por:
σc = F A
∴
σ c = F (t.D )
(MPa )
Sendo “t” e “D” as dimensões da área projetada.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Observando a Figura, pode-se notar que as fibras da superfície do furo e as
fibras da superfície do rebite estão comprimidas umas de encontro às outras,
mas que a tensão de compressão devido à força “F” não atinge todo o rebite e
nem se estende por toda a chapa. A esse tipo de esforço dá-se o nome de
COMPRESSÃO SUPERFICIAL.
Quando houver mais de um elemento (rebite ou parafuso) utiliza-se:
σ c = F n.(t.D )
(MPa )
Sendo “n” o número de elementos (parafuso ou rebite) em análise.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
10- FLEXÃO
Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F,
perpendicularmente ao seu eixo, produzindo uma flexão na barra.
Flexão pura – desprezam-se as forças cortantes.
σf =
atuando
Mf
(MPa )
Wf
a
F
h
LINHA
NEUTRA
b
L
onde:
σf
Mf
Wf
=> Tensão de flexão
=> Momento fletor (N.mm)
VER TABELA 6
=> Módulo de resistência à flexão (mm3 )
VER TABELA 5
O Módulo de resistência à Flexão é a característica geométrica da seção de uma
viga que se opõe à flexão, e é expresso como:
Wf =
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If
a
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
onde:
If => Momento de Inércia à flexão da seção transversal (mm4 )
VER TABELA 5
a => Distância da linha neutra à fibra externa (mm)
Exemplo de módulo de resistência à flexão ( W f ):
NOTA: As fórmulas de Momento de Inércia ( I f ) e Módulo de Resistência à
Flexão ( W f ) da maioria das seções de uso prático na engenharia estão
apresentadas na TABELA 5.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Tensão de Flexão: Na figura abaixo pode-se observar que uma viga ao se
flexionar, as suas fibras situadas acima da LINHA NEUTRA se alongam,
enquanto que as fibras inferiores, sofrem um achatamento, denotando uma
compressão. Por outro lado, as fibras da camada neutra se mantêm
inalteradas.
F
LINHA
NEUTRA
+
-
Dessa forma, deduz-se que o corpo sujeito a um esforço de flexão sofre,
simultaneamente, uma tensão de tração e outra de compressão.
Consequentemente, para valores de tensões de resistência à flexão dos
materiais, tomam-se os mesmos valores de tração ou de compressão,
constantes na TABELA 3.
Caso os valores das resistências à tração forem diferentes aos da compressão,
para flexão toma-se o menor valor.
σ fr = σ tr ou σ cr
DEFLEXÃO: Para todas as peças submetidas à flexão é necessário verificar a
deflexão. A deflexão máxima atuante “f” é calculada utilizando-se as expressões
da Tabela 6, e depende do tipo de apoio e carregamento.
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19
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Tensão de cisalhamento na flexão: Além das tensões normais (tração e
compressão) que surgem numa seção transversal de uma viga fletida,
aparecem também, tensões de cisalhamento ( τ c ).
As tensões de cisalhamento não se distribuem uniformemente sobre a seção
transversal, quando ela age em conjunto com a Tensão de Flexão. Ela pode
ser calculada através da expressão:
τc =
Q.M s
b.I f
Onde:
M s = Momento estático da área.
Q = Esforço cortante
I f = Momento de inércia à flexão
b = Largura da seção resistente
DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO RESISTENTE
DE UMA BARRA SUJEITA À FLEXÃO:
SEÇÃO RETANGULAR
3 Q
2 A
τ c máx = .
τ c máx ⇒ 50% maior que τ c simples
SEÇÃO CIRCULAR
4 Q
3 A
τ c máx = .
τ c máx ⇒ 33% maior que τ c simples
VERIFICAÇÃO:
τc
máx
≤ τc
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TABELA 5 – MOMENTO DE INÉRCIA À FLEXÃO, MÓDULO DE
RESISTÊNCIA À FLEXÃO E RAIO DE GIRAÇÃO
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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22
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TABELA 6 – FÓRMULAS RELATIVAS À FLEXÃO DE VIGAS DE SEÇÕES
CONTÍNUAS
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
11- EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
CONVENÇÃO DE SINAIS
MOMENTO NO PONTO
FORÇAS NORMAIS
-
+
+
OBS.:
+
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25
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
APOIOS
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TIPOS DE ESTRUTURAS
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
12- DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
DISPOSIÇÃO DAS CARGAS
CARGA CONCENTRADA: quando a carga age sobre um ponto da viga.
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA: quando a carga se distribui
igualmente ao longo da viga
CONVENÇÃO DE SINAIS
FORÇA NORMAL (N)
TRAÇÃO
+
COMPRESSÃO
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
FORÇA CORTANTE (Q)
MOMENTO FLETOR (Mf)
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29
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
13- TORÇÃO
Ocorre quando uma barra é submetida a uma força P, agindo no plano
perpendicular ao eixo da barra, que tende a girar cada seção transversal em
relação às demais, produzindo uma torção, que por sua vez causará uma
deformação ( ϕ ) que chamamos de ângulo de torção.
x
F
Mt
ϕ
R
LINHA NEUTRA
L
Mt
τt =
Wt
(MPa )
onde:
τ t => Tensão de torção
Mt
=> Momento torçor (N.mm)
M t = F .x
onde:
F
=> Força aplicada (N)
x
=> Distância entre a força aplicada e o
centro de torção da peça (mm)
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30
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O Momento torçor pode ser obtido também pela seguinte fórmula:
M t = 9550.
N
n
( N .mm)
onde:
N = potência que aciona o eixo (W)
n = rpm do eixo
Wt
=> Módulo de resistência à torção ou (mm3 )
Módulo de resistência polar
VER TABELA 8
O Módulo de resistência polar é a característica geométrica da seção de uma viga
que se opõe à torção, e é expresso como:
It
Wt =
R
onde:
It => Momento de Inércia polar da seção transversal (mm4 )
VER TABELA 8
R => Distância da linha neutra à fibra externa (mm)
Exemplo de módulo de resistência à torção ( Wt ):
NOTA: As fórmulas de Momento de Inércia Polar
( I t ) e Módulo de
Resistência Polar ( Wt ) da maioria das seções de uso prático na engenharia
estão apresentadas na TABELA 8.
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31
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
É importante observar que as tensões de torção no corpo equivalem às
tensões de cisalhamento.
Portanto, para as tensões de resistência à torção dos diferentes materiais,
tomam-se os valores das tensões de resistência ao cisalhamento, TABELA 3,
dos respectivos materiais.
τ tr = τ cr
ÂNGULO DE TORÇÃO DA SEÇÃO RESISTENTE
(ϕ )
x
F
Mt
ϕ
L
O ângulo de torção ( ϕ ) poderá ser determinado pela seguinte expressão:
ϕ=
180.M t .L
π .G.I t
(graus )
ϕ=
M t .L
G.I t
(rad )
onde:
ϕ => Ângulo de torção
Mt
=> Momento torçor (N.mm)
L
=> Comprimento da peça (mm)
G
=> Módulo de Elasticidade Transversal
(MPa)
I t => Momento de Inércia polar da seção transversal
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VER TABELA 1
(mm4 )
VER TABELA 8
32
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
DISTORÇÃO
γ=
(γ )
τt
G
(rad )
onde:
γ
=> Distorção
τt
=> Tensão de torção
G
=> Módulo de Elasticidade transversal
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(MPa ) 
(MPa )
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TABELA 8 – MOMENTO DE INÉRCIA POLAR E MÓDULO DE RESISTÊNCIA
POLAR
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
14- FLAMBAGEM
14.1- DEFINIÇÃO
A flambagem consiste na deformação de uma peça, causada por uma
força de compressão axial, como ilustrada na figura abaixo. Como
conseqüência, a peça pode perder a sua estabilidade (sofrer um colapso) sem
que seu material atinja o limite de escoamento.
Este colapso sempre ocorrerá na direção do eixo de menor momento de
inércia de sua seção transversal.
L
F
EIXO DE MENOR
MOMENTO DE INÉRCIA
I=b.h3/12
14.2- CARGA CRÍTICA ( FCR )
Denomina-se carga crítica, a carga axial que faz com que a peça venha
a perder a sua estabilidade e comece a flambar.
Portanto, se
flambagem.
F ≤ Fcr , não ocorre flambagem, e se F ≥ Fcr , ocorre
Euler (1707-1783) foi o primeiro a estudar o fenômeno, e determinou a
fórmula da carga crítica nas peças carregadas axialmente.
π 2 .E. A
Fcr =
λ2
(N )
eq. 1 (CARGA CRÍTICA)
Fcr => Carga crítica (N)
E => Módulo de elasticidade do material ( MPa ) - Aço= 210.000 MPa
A => Área da seção transversal ( mm2 )
λ => Índice de esbeltez (adimensional)
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35
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
onde
Índice de Esbeltez ( λ ) => mede a facilidade ou a dificuldade que um elemento
comprimido tem de flambar e é definido como sendo a relação entre o
comprimento de flambagem ( l f ) e o raio de giração ( R ) da seção transversal
da peça. Uma peça é esbelta quando seu comprimento é grande perante sua
seção transversal. Quanto maior o índice de esbeltez maior a probabilidade do
elemento flambar.
lf
λ=
R
(ÍNDICE DE ESBELTEZ)
Onde:
l f => Comprimento de flambagem (mm)
R => Raio de giração (mm)
e
I f MÍN
R=
(RAIO DE GIRAÇÃO)
A
TABELA 6
Onde:
I f MIN => Menor momento de inércia da seção (mm4)
A => Área da seção (mm2)
Substituindo λ2 , na equação 1, tem-se:
λ =
2
lf
2
R2
2
 If 
I
 => f
R =
 A 
A


2
2
2
lf
l f .A
λ =
=>
If
If
A
2
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π 2 .E. A.I f
π 2 .E.I f
π 2 .E. A
π 2 .E. A
Fcr =
=>
=>
=>
2
2
2
λ2
l f .A
l f .A
lf
If
Fcr =
π 2 .E.I f
lf
2
MÍN
(N )
eq. 2
14.3- COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM ( l
(CARGA CRÍTICA)
f
)
Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta
diferentes comprimentos de flambagens:
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14.4- CONDIÇÕES PARA USO DA FÓRMULA DE EULER
A fórmula de Euler é válida para colunas esbeltas, onde :
λ ≥ 105 => Aço-carbono
λ ≥ 80 => FoFo
λ ≥ 59 => Alumínio
λ ≥ 100 => Madeira
OBS.: se
λ ≤ 30.a.40 não existe flambagem.
14.5- TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM ( σ fl )
Tensão Crítica de Flambagem é a tensão que faz com que a peça perca
a sua estabilidade e comece a flambar.
A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de
proporcionalidade (abaixo do escoamento) do material. Desta forma, observase que o material deverá estar sempre na região de deformação elástica.
F
σ fl = cr
A
=>
π 2 .E
σ fl = 2
λ
(MPa )
(EQUAÇÃO DE EULER)
CRITÉRIO
σ fl ≤ σ proporcionalidade
OBS.: Para que em uma barra não ocorra a flambagem, o valor de tensão
desenvolvido pela força de compressão atuante deve ser menor que o da
Tensão Admissível Crítica de Flambagem ( σ fl ), isto é:
σc =
F
≤σ
A
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fl
onde
σ
fl
=
σ fl
S
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
DIMENSIONAMENTO
- NORMA ABNT NB-14 - AÇOS
TABELA 1 – Expressões para aços, segundo ABNT NB-14
Material
Índice ( λ )
σ fl (MPa)
λ < 105
Aço
σ fl = 240 − 0,0046.λ2
λ ≥ 105 (Euler – def. elástica)
Aço
σ fl =
π 2 .E
λ2
- DIMENSIONAMENTO ESPECIAL – FLAMBAGEM NO CAMPO DAS
DEFORMAÇÕES ELASTO-PLÁSTICAS
Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de
proporcionalidade do material, a fórmula de Euler (colunas delgadas) perde a
sua validade. Para estes casos, utiliza-se o estudo de Tetmajer (colunas
curtas) que indica:
TABELA 2 – Expressões de Tetmajer para colunas curtas
Material
Índice ( λ )
σ fl (MPa)
λ < 100
Madeira (pinho)
σ fl = 29,3 − 0,194.λ
λ < 80
Fofo cinzento
σ fl = 776 − 12.λ + 0,053.λ2
λ < 89
Aço duro
σ fl = 335 − 0,62.λ
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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
FIGURA
FÓRMULA
h
A = b.h
b
a
A = a2
a
D
d
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D
A=
A=
π .D 2
4
π .(D 2 − d 2 )
4
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ALFABETO GREGO
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