PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM UMA LINHA DE TRANSMISSÃO

PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM UMA LINHA DE
TRANSMISSÃO
A equação abaixo representa uma onda de tensão se propagando e atenuando nas
direções +z e –z.
Vs( z )  V0 e z  V0e z então podemos escrever
:
v( z, t )  V0 e z cos(t   z )  V0e z cos(t   z )
e
Is( z )  I 0 e z  I 0e  z
logo :
i( z, t )  I 0 e z cos(t   z )  I 0e z cos(t   z )
As equações de v(z,t) e i(z,t) são provenientes das equações telegráficas onde as
mesmas são diferenciadas ,chegando como solução geral as equações acima ,as quais
são chamadas de equações de onda viajante para a linha de transmissão .
Onde :
V0 representa uma onda incidente
.e
V0 representa uma onda refletida
Transmissão de potencia
Ondas de tensão e corrente transportam energia em linhas de transmissão .Para as ondas
harmônicas no tempo , a potencia media em um ponto arbitrário z ao longo da linha é
dada por :
1
Pave ( z )  Re[Vs.Is* ]
2
Considere uma onda de tensão propagando na direção +z em uma linha sem perdas :
Vs  V0 e j z  V0 e j e j z
Onde V0 possui uma amplitude V0 e uma fase  como a linha é sem perdas ,Is está
em fase com Vs ,ou :
Is  I 0 e j e j z 
V0
Z0
e j e j z então teremos :

Pave
V0  j  j  z
1

j  j  z
 [ V0 e e
.
e e
]
2
Z0
2
Pave

1 V0
 [
]
2 Z0
Em uma linha com perdas,Is não esta mais em fase com Vs .Podemos considerar a
diferença de fase no termo da impedância .como :
Z0  Z0 e j logo podemos escrever :
Pave  ( z )
2 z

e
Pave  (0)
Exemplo :  =0,0467 + j93,73 (1/m)
Pave  ( z ) 2.0,047.1
e
Pave  (0)
Gdb  10log
Pout
Pin
portanto
portanto
Pave  ( z )
 0,91
Pave  (0)
Gdb  10log 0,91 Gdb  0, 4dB essa linha tem
uma atenuação de 0,4 .Db
Relação Np e .dB
P entrada = 10w (z=0)
Psaída =1w (z = 1 m )
Atenuação de 10dB
1
1
1
1 1
 e2. .1  ln  ln e2.  2.  ln     ln
10
10
10
2 10
  1,1513Np
1,1513 Np  10dB
1Np  x
x = 8,6859 dB
1 Np = 8,6859 dB
Portanto
LINHA DE TRANSMISSÃO TERMINADA
A grande maioria dos problemas práticos envolvendo linhas de transmissão esta
relacionada ao que ocorre quando a linha é terminada .
A figura abaixo mostra uma linha de transmissão terminada ,onde a carga esta
localizada em z=0 .
Linha De Transmissão
ZL
Z0
Z=0
A carga é considerada um elemento concentrado por ser pequena em comparação ao
comprimento de onda .Os fios que conectam a linha de transmissão à carga são
considerados curtos . A impedância da carga é simplesmente a razão entre a tensão e a
corrente na carga ou seja :
Vs ( z  0) V0 e  (0)  V0 e   (0)
ZL 
   (0)
Is ( z  0)
I0 e
 I 0 e   (0)
V0  V0
ZL  
I 0  I 0
ZL 
VL
 VL  V ( z  0)  V0  V0
IL
V0 V0
I L  I ( z  0) 

Z0 Z0
V0  (
Z L  Z0 
).V0
Z L  Z0
então :
V0  V0
ZL  ( 
).Z 0
V0  V0
A razão entre a amplitude da onda de tensão refletida e a amplitude da onda incidente na
carga é conhecida como coeficiente de reflexão de tensão  .
ZL
1
V0 Z L  Z 0 Z 0
  

V0
Z L  Z0 Z L  1
Z0
é um numero adimensional
Notamos que  é determinado por um único parâmetro , a impedância da carga ZL,
normalizada em relação a Z0. A impedância característica Z0 de uma linha sem perdas é
um número real .( Z0 = (L’/C’)1/2 ).
Entretanto , ZL é geralmente uma quantidade complexa como por exemplo ,no caso de
um circuito RL em série no qual ZL = R+jwL.Portanto ,em geral ,  também pode ser
complexo .
   e jr onde
 é o módulo de  e  r é o ângulo de fase .
Observe que  <=1
Diz-se que uma carga esta casada com a linha se ZL = Z0, porque não há reflexão de
onda pela carga (   0 e V0  0 ).
Por outro lado ,quando a carga é um circuito aberto ZL=  ,   1 e V0  V0 , e quando
ela é um curto-circuito ZL=0,   1 e V0  V0 .