+1 - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA
MMC & MDC
• Professor
Marcelo Gonzalez Badin
Múltiplo e Divisor
Dados dois inteiros a e b, dizemos que a é múltiplo de b se existe
um inteiro m tal que:
a = mb
Nessas condições, também se diz que b é um fator (ou divisor) de a.
MMC Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números naturais é
o menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números
dados. O MMC dos números a e b é representado por MMC(a, b).
Acompanhe o exemplo:
Múltiplos positivos de 2:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...
Múltiplos positivos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...
Assim, os múltiplos comuns de 2 e 3 são: 6, 12, 18, 24, ...
Logo, o MMC(2,3) = 6
MDC
Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números naturais é o
maior número positivo que é divisor comum de todos os números
dados. O MDC dos números a e b é representado por MDC(a, b).
Acompanhe o exemplo:
Divisores positivos de 18:
1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores positivos de 24:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Assim, os divisores comuns de 18 e 24 são: 1, 2, 3, 6
Logo, o MDC(18,24) = 6
Divisores positivos de 60:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Decompondo 60 em fatores primos:
60
30
15
5
1
2
2
3
5
1
2
2
4
3, 6, 12
5, 10, 20, 15, 30, 60
1 NÃO É PRIMO!
Um número natural
é chamado primo se tiver
exatamente dois divisores
naturais.
é o único primo par!
60 = 22⋅3⋅5
1.Calcule:
a) MMC(54, 180) = 22.33.5 = 540
MDC(54, 180) = 2.32 = 18
54, 180
27, 90
27, 45
9, 15
3, 5
1, 5
1, 1
54, 180
27, 90
27, 45
9, 15
3, 5
1, 5
1, 1
2
2
3
3
3
5
2 * Quando não houver fator primo comum,
2 o MDC é igual a 1 e os números são chamados
3 * primos entre si
Obs.:
3*
1) Todo múltiplo comum de a e b é múltiplo do MMC(a,b)
3
Mult. pos. de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...
5
Mult. pos. de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
Mult. pos. de 6: 6, 12, 18,...
b) MMC(8, 9) = 23.32 = 72
2) Todo divisor comum de a e b é divisor do MDC(a,b)
MDC(8, 9) = 1
Div. pos. de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
8, 9 2
Div. pos. de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
4, 9 2
Div. pos. de 6: 1, 2, 3, 6
2, 9 2
1, 9 3
1, 3 3
1, 1
8 e 9 são primos entre si
3) MMC(2000, 5000) = 1000.MMC(2, 5)
MDC(2000, 5000) = 1000.MDC(2, 5)
4) MMC(a,b).MDC(a,b) = a.b
Só vale para 2 números!
2. As cidades de Porto Seguro, Blumenau e Dourados realizam grandes festas
periódicas, sendo a Porto Seguro de de 9 em 9 meses, a de Blumenau de 12 em
12 meses e a de Dourados de 20 em 20 meses. Se em janeiro de 2011 as festas
coincidiram, quando será a próxima vez que irão coincidir?
Porto Seguro: 9 em 9 meses;
Janeiro de 2011
180 12
Blumenau: 12 em 12 meses;
0 15
Dourados: 20 em 20 meses.
O número de meses decorridos para que MMC(9, 12, 20) = 22.32.5 = 180
haja uma nova coincidência deve ser
180 meses = 15 anos
múltiplo de 9, 12 e 20.
9, 12, 20
9, 6, 10
9, 3, 5
3, 1, 5
1, 1, 5
1, 1, 1
2
2
3
3
5
As festas ocorrerão juntas novamente em janeiro de 2025.
Obs.: MDC(9, 12, 20) = 1
3.(Vunesp-2004) Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada
um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias,
respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três
viajantes estejam juntos novamente na cidade A é:
a) 144
b) 240
c) 360
d) 480
e) 720
Para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A, o número de
dias transcorridos a partir do último encontro deve ser múltiplo de 30, 48 e 72.
O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos
novamente na cidade A é o mínimo múltiplo comum entre 30, 48 e 72, isto é, 720.
30, 48, 72
15, 24, 36
15, 12, 18
15, 6, 9
15, 3, 9
5, 1, 3
5, 1, 1
1, 1, 1
2*
2
2
2
3*
3
5
MMC(30, 48, 72) = 24.32.5 = 720
Obs.: MDC(30, 48, 72) = 2.3 = 6
4. (PUC-RJ) A editora do livro Como ser aprovado no vestibular recebeu os
seguintes pedidos, de três livrarias:
Livraria Número de exemplares
A
1300
B
1950
C
3900
A editora deseja remeter os três pedidos
em n pacotes iguais de tal forma que
n seja o menor possível.
Calcule o número n.
Seja x o número de livros colocados em cada pacote
Para que os pacotes sejam iguais, x deve ser divisor de 1300, 1950 e 3900
Para n ser o menor possível, x deve ser o maior possível
x = MDC(1300, 1950, 3900) = 10.MDC(130, 195, 390)
x = 10.5.13 = 650
130, 195, 390 2
x = 650
65, 195, 195 3
MMC(ka, kb) = k.MMC(a,b)
65, 65, 65 5 *
MDC(ka, kb) = k.MDC(a,b)
13, 13, 13 13 *
1, 1, 1
1300 1950 3900
+
+
n=
650 650 650
n= 2+3+6
n = 11
(Vunesp-2002) Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A
e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros
vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do
tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC(n, m) = 18,
os valores de n e m são, respectivamente:
a) 18, 198.
É um teste!
b) 36, 180.
Somente interpretando o texto podemos excluir algumas alternativas
c) 90, 126. Ficamos entre as alternativas b e c
d) 126, 90.
e) 162, 54. MDC(36, 180) = 36
E se fosse prova dissertativa?
MDC(90, 126) = 18
(Vunesp-2002) Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A
e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros
vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do
tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC(n, m) = 18,
os valores de n e m são, respectivamente:
a) 18, 198.
n + m = 216
b) 36, 180.
Como MDC(n, m) = 18, n e m são múltiplos de 18. Assim:
c) 90, 126.
n = 18a
Logo, 18a + 18b = 216 (Divide por 18)
d) 126, 90.
m = 18b
e) 162, 54.
a + b = 12
com a < b
(com a e b primos entre si)
Como a e b são inteiros positivos e a < b, temos as seguintes possibilidades:
Se a = 1, n = 18
a b
Se a = 2 e b = 10, temos n = 2.18 e m = 10.18
1 11 (não convém)
Sendo assim, MDC(m, n) = 36
2 10 (não convém)
3 9 (não convém)
Sendo a = 5 e b = 7, temos n = 5.18 e m = 7.18
4 8 (não convém)
n = 90 e m = 126
5 7
(Fuvest-2002) Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas,
todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular,
de lados 2 m e 5 m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala,
devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras.
x
Quais são os possíveis valores do lado das lajotas?
x
x = medida do lado da lajota quadrada (em cm)
500 cm
2 m = 200 cm
E se a pergunta fosse qual a maior
5 m = 500 cm 200 cm
medida da lajota? 100 cm
Para serem utilizadas lajotas inteiras x é divisor de 200 e 500
x é divisor do MDC(200, 500)
MDC(200, 500) = 100.MDC(2, 5) = 100
1
x é divisor de 100
100 2 2
Os possíveis valores da medida do lado da lajota (em cm) são:
50 2 4
1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100
25 5 5, 10, 20
E se a pergunta fosse qual o menor número de lajotas?
5 5 25, 50, 100
10 lajotas
1
(UFSCar-2002) Considere as seguintes informações:
• o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da diferença entre esses números;
• se o máximo divisor comum entre dois números a e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo
comum desses números será igual ao seu produto, mmc(a,b) = ab
a) prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é igual a 1;
b) determine dois números consecutivos, sabendo que são positivos e o mínimo múltiplo comum entre
eles é igual a 156.
I. MDC(a,b) é divisor de a – b
II. Se MDC(a,b) = 1
Então MMC(a,b) = ab
a) Consideremos os números
consecutivos x+1 e x
Usando I temos:
MDC(x+1, x) é divisor de x+1 – x
MDC(x+1, x) é divisor de 1
 MDC(x+1, x) = 1
b) Sejam os números positivos consecutivos
x+1 e x
Como MDC(x+1, x) = 1 (item a), vamos usar II:
MMC(x+1, x) = (x+1).x
156 = (x+1).x
156 = x2 + x
x2 + x – 156 = 0
x = –13 (não convém)
x = 12
Os números são 12 e 13
(Fuvest) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos
entre si, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números é:
a) 1
Sejam os inteiros positivos a e b
825 3
b) 3
275 5
c) 5
a·b = 825 e MDC(a,b) ¹ 1
55 5
d) 11
2
a·b = 3·5 ·11
11 11
e) 15
Sendo a < b, temos as seguintes possibilidades: 1
a
1
3
5
11
3·5
52
b
3·52·11 não convém, primos entre si
52·11 não convém, primos entre si
3·5·11 MDC(a,b) = 5
3·52 não convém, primos entre si
5·11 MDC(a,b) = 5
3·11 não convém, primos entre si
Outro modo:
a·b = 3·52·11
Como 5 é o único fator
primo “repetido”, para a e
b não serem primos entre
si necessariamente temos:
a = 5·? e b = 5·??
(um 5 vem de a e o outro de b)
o único fator primo comum é 5, logo MDC(a,b) = 5
(Pouso Alegre-2007) Um negociante tentou colocar n camisas em caixas com 4
unidades, mas ficaram sobrando 3. Ao tentar colocá-las em caixas com 7, acabaram
sobrando 6. Ao tentar colocá-las em caixas com 11, acabaram sobrando 10. Qual o
número mínimo de camisas que esse comerciante tinha?
a) 164 b) 175 c) 206 d)307 e) 314
Como é um teste,
você poderia chegar
n + 1 é múltiplo de 4, 7 e 11
n 4
n + 1 é múltiplo do MMC(4,7,11) a resposta por eliminação
3
n
6
n
10
a
7
b
11
c
n 4
⇒ n = 4a + 3 (+1)
a
n + 1 é múltiplo de 308
3
(k
inteiro
positivo)
\ n + 1 = 308k
O menor n ocorre para k = 1
n + 1 = 308  n = 307
O segundo menor n ocorre para k = 2
n + 1 = 4a + 4
n + 1 = 4(a + 1)
Qual o menor número natural maior que 3 que dividido por 12, por 18 e por 20
deixa resto igual a 3?
x 12
Seja x o número procurado
⇒ x = 12a + 3 (–3)
x
3
x
3
x
3
12
a
18
b
20
c
3
x – 3 é múltiplo de 12, 18 e 20
x – 3 é múltiplo do MMC(12,18,20)
x – 3 é múltiplo de 180
\ x – 3 = 180k (k inteiro positivo)
O menor x ocorre para k = 1
x – 3 = 180  x = 183
O segundo menor x ocorre para k = 2
x – 3 = 180.2  x = 363
a
x – 3 = 12a
(Fuvest) No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com
freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10
vezes por minuto. Se num certo instante as luzes “piscarem” simultaneamente, após
quanto segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
a) 12
60 = 4s
A
1ª
“pisca”
uma
vez
a
cada
b) 10
15
c) 20
d) 15
A 2ª “pisca” uma vez a cada 60 = 6s
e) 30
10
O número de segundos decorridos para que as duas
pisquem simultaneamente juntas é múltiplo de 4 e 6.
MMC(4,6) = 12
(UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles
permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10
segundos fechado e 30 segundos aberto.
O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois
sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:
a) 150
b) 160
A 1º fecha a cada 10 + 40 = 50 segundos
c) 190
A 2º fecha a cada 10 + 30 = 40 segundos
d) 200
O número de segundos decorridos para que os dois
fechem simultaneamente juntos é múltiplo de 50 e 40.
MMC(50,40) = 200