Inequação do Primeiro Grau

Inequação do Primeiro Grau
1. (Unicamp 2015) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x)  ax  3a
e g(x)  9  2x, definidas para todo número real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x)  0.
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x))  g(f(x)) para todo número real x.
2. (Acafe 2014) Uma pequena fábrica de tubos de plástico calcula a sua receita em milhares
de reais, através da função R(x)  3,8x, onde x representa o número de tubos vendidos.
Sabendo que o custo para a produção do mesmo número de tubos é 40% da receita mais R$
570,00. Nessas condições, para evitar prejuízo, o número mínimo de tubos de plástico que
devem ser produzidos e vendidos pertence ao intervalo:
a) [240 ; 248].
b) [248 ; 260].
c) [252 ; 258].
d) [255 ; 260].
3. (Enem 2014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o
passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a
soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a
115cm.
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.
O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos
padrões permitidos pela Anac é
a) 25.
b) 33.
c) 42.
d) 45.
e) 49.
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4. (Fuvest 2014) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu
investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um
fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a
caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu
dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo
menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo,
a) R$ 200.000,00
b) R$ 175.000,00
c) R$ 150.000,00
d) R$ 125.000,00
e) R$ 100.000,00
5. (G1 - cftmg 2014) O conjunto solução S, em
, da inequação:
x 
4   2x  1    1  0 é
3 
a) S  x  / 1  x  2.
1


b) S  x  /  x  3 .
2


c) S  x  / x  1 ou x  2.

d) S  x 

/x
1

ou x  3 .
2

6. (Unifor 2014) Com o objetivo de melhorar a sua arrecadação no recolhimento do Imposto
Predial Territorial e Urbano (IPTU), a prefeitura de uma cidade do interior cearense lançou uma
promoção que consta de dois planos. Pelo plano A, o proprietário do imóvel pagará R$ 100,00
mais 5% do valor do imóvel; no plano B, o proprietário pagará R$ 900,00 mais 2% do valor do
imóvel. Com base nesses dados podemos afirmar que:
(Veja a observação sobre a resposta correta no gabarito)
a) Se o valor do imóvel é maior que R$ 30.000,00, então o proprietário desse imóvel deve
escolher o plano A.
b) Se o valor do imóvel é menor que R$ 30.000,00, então o proprietário desse imóvel deve
escolher o plano A.
c) Se o valor do imóvel é menor que R$ 30.000,00, então o proprietário desse imóvel deve
escolher o plano B.
d) Se o valor do imóvel é R$ 30.000,00, então o proprietário desse imóvel deve escolher o
plano B.
e) Se o valor do imóvel é R$ 30.000,00, então o proprietário pagará o mesmo valor para os
planos A e B.
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7. (Enem 2014) Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três
candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média
ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando,
respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por
questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua
avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão
sido divulgadas.
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais.
Candidato
I
II
III
Química
Física
20
23
25
18
X
21
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a
competição é
a) 18.
b) 19.
c) 22.
d) 25.
e) 26.
8. (Pucrj 2014) A soma das soluções da inequação
x  3
 0 onde x pertence ao conjunto
2x  1
dos números naturais é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
9. (G1 - ifsp 2013) O preço de venda de uma mercadoria é obtido através da expressão 5p  7,
em que p é a quantidade de produtos vendidos. Já, o preço de custo para produzi-la é obtido
através da expressão 2p  11, em que p é a quantidade de produtos produzidos. A quantidade
mínima de itens produzidos e vendidos para que não se tenha prejuízo é
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
10. (Fgv 2013) Laura caminha pelo menos 5 km por dia. Rita também caminha todos os dias, e
a soma das distâncias diárias percorridas por Laura e Rita em suas caminhadas não ultrapassa
12 km. A distância máxima diária percorrida por Rita, em quilômetros, é igual a
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
11. (G1 - cftmg 2013) O número de soluções inteiras da inequação x  1  3x  5  2x  1, é
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
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12. (Ufg 2013) Um comerciante comprou um lote de um produto A por R$ 1.000,00 e outro, de
um produto B, por R$ 3.000,00 e planeja vendê-los, durante um certo período de tempo, em
kits contendo um item de cada produto, descartando o que não for vendido ao final do período.
Cada kit é vendido ao preço de R$ 25,00, correspondendo a R$ 10,00 do produto A e R$ 15,00
do B. Tendo em vista estas condições, o número mínimo de kits que o comerciante precisa
vender, para que o lucro obtido com o produto B seja maior do que com o A, é:
a) 398
b) 399
c) 400
d) 401
e) 402
13. (Udesc 2013) Se n é um número inteiro, então a quantidade de números racionais da
2n
7
forma
, que são estritamente menores que
, é:
3n  15
13
a) 21
b) 25
c) 20
d) infinita
e) 27
14. (Udesc 2012) Seja r(x) o resto da divisão do polinômio p  x   4x2  3x  5 por
q  x   2x2  x  1. Se f  x   2x  k e f  g  x    r  x  , então o valor da constante k para que o
conjunto solução da inequação g  x   10 seja x 
| x  3 é:
a) –12
b) –2
c) 12
d) 2
32
e) –
5
15. (G1 - ifce 2012) Tomando-se R, o conjunto dos números reais, como universo, a
3x2 
3x2  4
inequação
  2x 
  tem como solução

7
7  5

7

a)  x  R; x   .
5

7

b)  x  R; x  .
5

5

c)  x  R; x   .
2

2

d)  x  R; x   .
5

2

e)  x  R; x   .
5

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 5x 7x  5
 2  3
16. (G1 - ifba 2012) Considere estas desigualdades 
 x  6  1
 4
A quantidade de números inteiros x que satisfaz simultaneamente às duas desigualdades é:
a) 11
b) 10
c) 9
d) 8
e) 7
17. (Fgv 2012) O número de soluções inteiras da inequação
2x  6
 0 é:
14  2x
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) infinito
18. (Uern 2012) A soma de todos os números inteiros que satisfazem simultaneamente a
2x  1
inequação-produto (3x – 7)  (x + 4) < 0 e a inequação-quociente
0 é
5x
a) 3.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
19. (Enem 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que
produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função,
simbolizada por CT , enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da
quantidade q também é uma função, simbolizada por FT . O lucro total (LT) obtido pela venda
da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q)  FT(q)  CT(q) . Considerando-se
as funções FT(q)  5q e CT(q)  2q  12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima
de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5
20. (G1 - cftmg 2010) Um comerciante vende arroz dos tipos I e II, cujos preços, por quilo, são,
respectivamente, R$ 3,00 e R$ 4,00. Ele decide negociar parte desse estoque, compondo 75
quilos de uma mistura com x quilos do arroz tipo I e y quilos do arroz tipo II. Se o preço, por
quilo, dessa mistura for, no máximo, R$ 3,40, então, é INCORRETO afirmar que ela
a) deve ter, no máximo, 30 kg de arroz tipo II.
b) deve ter, no mínimo, 44 kg de arroz tipo I.
c) pode ser composta por 50 kg de arroz tipo I e 25 kg do tipo II.
d) pode ser composta por 47 kg de arroz tipo I e 28 kg do tipo II.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) Sendo a  0, temos
9

f(x)g(x)  0  a(x  3)  x    0

2
9
 3  x  .
2
Portanto, segue que x  {2,  1, 0, 1, 2, 3, 4}, ou seja, a inequação possui 7 soluções inteiras.
b) Tem-se que
f(g(x))  ag(x)  3a  a(9  2x)  3a  2ax  12a
e
g(f(x))  9  2f(x)  9  2(ax  3a)  2ax  6a  9.
Logo, vem
f(g(x))  g(f(x))  2ax  12a  2ax  6a  9
a
1
.
2
Resposta da questão 2:
[B]
Para evitar prejuízo, deve-se ter
3,8x  (0,4  3,8x  570)  0  2,28x  570
 x  250.
Portanto, o número mínimo de tubos de plástico que devem ser produzidos e vendidos é igual a 251.
Daí, segue que 251 [248, 260].
Resposta da questão 3:
[E]
De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 24cm. Além disso, a largura mede
90  2  24  42cm. Daí, o comprimento x, em centímetros, deve ser tal que
0  x  42  24  115  0  x  49.
Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49.
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Resposta da questão 4:
[A]
Seja x a parte do capital a ser investida na poupança. Logo,
0,06  x  (1000000  x)  0,075  72000  0,015  x  75000  72000
3000
x
0,015
 x  200000,
ou seja, a parte do capital a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo,
R$ 200.000,00.
Resposta da questão 5:
[B]
Tem-se que
8 
1
x 
4  (2x  1)    1  0    x    (x  3)  0
3 
2
3 
1
  x  3.
2
Portanto,

S  x 

|
1

 x  3.
2

Resposta da questão 6:
Sem resposta.
Gabarito Oficial: [B]
Gabarito SuperPro®: Sem resposta.
Seja V o valor do imóvel. Tem-se que o plano A é mais vantajoso do que o plano B se, e
somente se,
100  0,05V  900  0,02V  0,03V  800
 V  R$ 26.666,67.
Observação: Não há alternativa correta. De fato, se, por exemplo, o valor do imóvel for
R$ 29.000,00, então o plano B é mais vantajoso para o proprietário.
Resposta da questão 7:
[A]
Tem-se que xp 
I
4  20  6  23
4  21  6  18
 21,8 e xpIII 
 19,2.
46
46
Logo, deve-se ter xp  21,8 
II
4  x  6  25
 21,8  4x  218  150  x  17.
46
Portanto, a menor nota que o candidato [II] deverá obter na prova de química é 18.
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Resposta da questão 8:
[A]
Tem-se que
x  3
x3
0
0
1
2x  1

2 x  

2
1
  x  3.
2
Logo, as soluções naturais da inequação são x  1 e x  2. Em consequência, o resultado
pedido é igual a 1  2  3.
Resposta da questão 9:
[C]
Preço de venda: V = 5p – 7
Preço de custo: C = 2p + 11
Para que não se tenha prejuízo: V  C
Logo, 5p – 7  2p + 11
3p  18
p 6
A quantidade mínima de itens produzidos e vendidos para que não se tenha prejuízo é 6.
Resposta da questão 10:
[D]
Sejam e r, respectivamente, as distâncias percorridas diariamente, em km, por Laura e Rita.
Temos  5 e r  12  . Portanto, a distância percorrida por Rita será máxima quando a
distância percorrida por Laura for mínima, ou seja, r  12  5  7km.
Resposta da questão 11:
[B]
Temos
x  1  3x  5  2x  1 
x  1  3x  5
3x  5  2x  1
 2  x  6.
Portanto, se α é uma solução inteira de x  1  3x  5  2x  1, então α  {3, 4, 5}.
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Resposta da questão 12:
[D]
Segundo os dados do problema, temos:
Lucro com o produto A: 10x – 1000
Lucro com o produto B: 15x – 3000
Portanto,
15x  3000  10x  1000
5x  2000
x  400
Logo, o número mínimo de kits será 401.
Resposta da questão 13:
[B]
Sendo n um número inteiro, temos
2n
7
2n
7



0
3n  15 13
3(n  5) 13
26n  21(n  5)

0
39(n  5)
5(n  21)

0
39(n  5)
 5  n  21.
Portanto, a quantidade de números racionais da forma
do que
2n
, que são estritamente menores
3n  15
7
, é igual a 21  (5)  1  25.
13
Resposta da questão 14:
[D]
Dividindo p por q, obtemos
4x 2  3x  5
4x 2  2x  2
2x 2  x  1
2
5x  7
Assim, r(x)  5x  7.
Desse modo, temos que
f(g(x))  r(x)  2  g(x)  k  5x  7
 g(x) 
5x  7  k
.
2
Sabendo que o conjunto solução da inequação g(x)  10 é {x 
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| x  3}, vem
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5x  7  k
 10  5x  k  13
2
k  13
x
,
5
ou seja,
k  13
 3  k  2.
5
Resposta da questão 15:
[E]
3x2 
3x2  4
3x2
3x2 4
4
4
2
  2x 

 2x 
  -2x   x  
x


 5
7
7
7
7
5
5
10
5


2

S=  x  R; x   .
5

Resposta da questão 16:
[C]
 5x 7x  5

 15x  14x  10  x  10

2
3

 x  6  1  x  6  4  x  2

 4
Temos então, nove números inteiros que verificam as condições acima: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e
10.
Resposta da questão 17:
[C]
Fazendo o estudo do sinal, temos:
Logo, a solução da equação será dada por S  x  R /  3  x  7 com os seguintes números
inteiros:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dez no total.
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Resposta da questão 18:
[A]
Temos que
7

(3x  7)  (x  4)  0  3   x    (x  4)  0

3
7
 4  x 
3
e
1

2x  
2x  1

 0
2
0
5x
(x  5)
1
x
2

0
x5
1
   x  5.
2
Logo, os números reais x que satisfazem simultaneamente as inequações são tais que
1
7
  x  , e, portanto, a soma pedida é igual a 0  1  2  3.
2
3
Resposta da questão 19:
[D]
5q  2q  12
5q  3q  12
3q  12
q4
Portanto, a quantidade mínima deverá ser 4 unidades.
Resposta da questão 20:
[B]
300  x
 3,40  x  255  300   x  35  1  x  45
75
Logo, deverá ter no mínimo 45 kg de arroz tipo I e no máximo 30 kg de arroz tipo II.
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