medição fraca do deslocamento goos

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
INSTITUTO DE FÍSICA GLEB WATAGHIN
DISSERTAÇÃO
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO
GOOS-HÄNCHEN PRÓXIMO DO ÂNGULO CRÍTICO
PARA REFLEXÃO INTERNA TOTAL
OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA
CAMPINAS - SÃO PAULO
2015
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO GOOS-HÄNCHEN
PRÓXIMO DO ÂNGULO CRÍTICO PARA REFLEXÃO
INTERNA TOTAL
Por
OCTAVIO JOSÉ SANTOS DE SANTANA
Dissertação submetida ao Instituto de
Física
da
Universidade
Estadual
de
Campinas para a obtenção do título de
Mestre em Física
Orientador: Prof. Dr. Luís Eduardo Evangelista de Araujo
CAMPINAS - SÃO PAULO
2015
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer a Deus por todos os momentos maravilhosos
que tenho tido em minha vida. Por todos os momentos felizes e porque não
os tristes?
Muitas coisas aprendi com eles, muitos valores guardei e muitas
vitórias conquistei.
Aos meus pais José (in memoria) e Valdira acreditando sempre em
meu potencial e nunca deixando que eu desanimasse nos momentos difíceis
em minha vida, em especial minha mãe, minha maior bênção que dos céus
eu recebi na minha vida, obrigado por tudo, e principalmente pelo seu amor
dedicado!
À minha família.
Ao meu orientador Luís Eduardo Evangelista de Araújo pela oportunidade de iniciar um novo trabalho de pesquisa no grupo GLA, pela paciência
e pelo otimismo.
Por ter me ensinado a ser paciente e persistente, nunca
desanimando perante os obstáculos.
A Silvânia e Stefano por ter ajudado com o andamento da pesquisa com
discussões cienticas e colaborações.
A todos os professores do IFGW que de alguma forma contribuíram em
minha formação
À minha noiva Nathalia pelo constante apoio, pelas palavras de incentivo e ações.
Dizer obrigado às vezes não é suciente para agradecer a tão
amável e gentil pessoa que nos momentos de nossas vidas, aqueles mais difíceis, nos estende a mão amiga e nos oferece amparo. Estou agradecido a você e
não sei neste instante como retribuir tanto carinho, mas é claro que encontrarei
uma maneira de fazê-lo. Obrigado meu anjo.
Aos meus amigos de SERGIPE (minha terrinha querida) que sempre
entenderam minha ausência.
Aos amigos do grupo de pesquisa, Erick, José e Marvyn muito obrigado
pelas conversas no bandeco!
Ao Camilo pela ajuda com a minha chegada a Campinas.
Aos amigos e colegas que conheci durante o mestrado. Citar e agradecer
a todos eles constituiria uma lista muito longa de ser editada. Assim, a todos
os que de uma forma ou de outra zeram parte nesta jornada, muito obrigado.
Ao técnico do grupo João Batista pelo excelente trabalho que desenvolve.
Ao IFGW/DEQ e seus funcionários.
E, nalmente, mas não sendo o menos importante, à CAPES pela ajuda
nanceira.
Resumo
Um feixe de luz, após sofrer uma reexão em uma interface plana, é deslocado do caminho previsto pela ótica geométrica. Este desvio do feixe é muito
pequeno, tipicamente da ordem do comprimento de onda da luz, que é muito
menor do que o tamanho do feixe.
Portanto, é difícil de se medir.
A téc-
nica de medição fraca óptica tem sido utilizada com sucesso em investigações
de deslocamentos de feixe, tal como o deslocamento Goos-Hänchen (GH) e
o deslocamento Imbert-Fedorov (IF) (esses são deslocamentos longitudinal e
perpendicular ao plano de incidência, respectivamente).
Em uma medição
fraca, o sistema de medida é projetado sobre um determinado estado nal
(pós-seleção), quase ortogonal ao estado inicial (pré-seleção), dando origem a
um valor fraco que pode assumir valores muito grandes (amplicados). Nesta
dissertação estudamos experimentalmente o deslocamento Goos-Hänchen de
um feixe gaussiano focalizado ao sofrer reexão interna total em um prisma
via medida fraca. Investigamos este efeito em torno do ângulo crítico
θc
para
reexão interna total. Nosso experimento demonstra pela primeira vez que há
uma dependência axial do valor fraco que tem que ser levado em conta, além
de um fator fenomenológico na equação de correção do valor fraco. Comparações entre os dados com e sem o fator fenomenológico foi feita, mostrando que
ao utilizar esse fator, nossos resultados experimentais mostram um excelente
acordo com a previsão teórica.
Palavras-chave:
Óptica, Medida fraca, Deslocamento Goos-Hänchen.
Abstract
A beam of light, after reection from a planar interface, is shifted from the
path predicted by ray optics. Such a beam shift is very small, typically of the
order of the wavelength of light, which is much smaller than the physical size of
the beam. Therefore, it is dicult to measure. The optical weak measurement
technique has been successfully used in investigations of beam displacements
such as the Goos-Hänchen (GH) and the Imbert-Fedorov (IF) shifts (these
are longitudinal and perpendicular to the plane of incidence, respectively). In
a weak measurement, the measured system is projected onto a certain nal
state (postselected), nearly orthogonal to the inicial state (preselected), giving rise to a measured weak value that may take on very large (amplied). In
this dissertation, we study experimentally the Goos-Hänchen shift of a focused
Gaussian ligth beam undergoing total internal reection in a prism via weak
measurement.
We investigate this eect near the critical angle
θc
for total
internal reection. Our experiment demonstrates for the rst time that there
is an axial dependence of the weak value that has to be taken into account,
plus a phenomenological factor in the correction equation of the weak value.
Comparisons between the data with and without the phenomenological factor
was made, showing that by using this factor, our experimental results show an
excellent agreement with the theoretical predication.
Keywords:
Optics, Weak measurement, Goos-Hänchen shift.
Lista de Figuras
1
Ilustração do deslocamento GH e IF, onde o deslocamento longitudinal e perpendicular ao plano de incidência representa o
deslocamento GH e IF, respectivamente.
1.1
. . . . . . . . . . . . .
Esquema das direções de uma onda reetida e transmitida numa
interface plana, onde
Ei
é a amplitude da onda incidente,
é a amplitude da onda reetida e
Et
Er
é a amplitude da onda
transmitida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Reetância para
n = 1,515
(Ar-Vidro) em (a) e
e onda
s
p, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mudança de fase para a polariação
23
n−1 = 1,515
(Vidro-Ar) em (b). Curva em azul e preto representa a onda
1.3
18
25
s em azul e polarização p
em preto para ângulos de indicência maiores que o ângulo crítico. 26
1.4
Reetância em (a) e fase em (b) dos coecientes de Fresnel em
função do desvio angular com relação ao ângulo crítico, sendo
que em preto representa a onda p e azul a onda s. As curvas
tracejadas referem-se ao feixe laser com distribuição gaussiana
e as linhas verticais pontilhadas a uma onda plana que incide
abaixo do ângulo crítico em verde, no ângulo crítico em vermelho
e acima do ângulo crítico em amarelo. . . . . . . . . . . . . . . .
9
27
1.5
Um feixe de radiação eletromagnética incidente (linha azul continua) é totalmente reetido (linha preta continua) e deslocado
com relação a previsão da óptica geométrica (linha preta tracejada) na interface entre dois meios com índices de refração (n1 e
n2 ), respectivamente.
Há um deslocamento
fície que separa os dois meios e
S ao longo da super-
D indica o deslocamento medido
por Goos-Hänchen [2, 5]. O ângulo de incidência é indicado por
1.6
Deslocamento GH com polarização
1.7
n−1 = 1,515
e
θc = 41,3°.
Com
λo = 633
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Esquema da propagação do campo elétrico em toda a extensão
do prisma. Com
~ in propagando no espaço livre, E
~ l propagando
E
~r
E
propagando no dielétrico e após sofre o deslo-
no dielétrico,
camento GH,
~ out
E
propagando no espaço livre e após sofre o
deslocamento GH e
geométrica.
1.8
28
s em azul e polarização p
em preto em função do ângulo de incidência.
nm,
θ.
~ OG
E
o feixe que seria descrito pela óptica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquema do diagrama de eixos na prisma. Com
z
32
eixo de en-
trada e incidência normal na borda à esquerda (ar-vidro ou 1)
zin ,
abaixo (vidro-ar ou 2)
z*
e à direita (vidro-ar ou 3)
zout .
Figura reproduzida de [39]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9
Diferença entre o deslocamento GH para a onda
34
p e s em função
do ângulo de incidência referente a segunda face do prisma. A
curva numérica para
wo = 169,4 µm, λ = 633
nm e
n−1 =
1,515 está representada pela linha continua em verde, triângulos
vermelhos e pontos azuis, para
z=0
cm,
z = 15
cm e
z = 25
cm, respectivamente. A curva analítica descrita por Artmann é
representa pela linha tracejada preta e a linha pontilhada preta
é a posição do ângulo crítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.1
Ilustração do arranjo experimental proposto para observação
do efeito AAV para feixe de partículas de spin 1/2.
Figura
reproduzida de [54]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
(a) Gráco da função
λ∆ = 0,01
e
= 0,2.
ϕ(p; , ∆, λ)
em função de
P ≡ p/λ
52
com
Note que a função se assemelha a uma
única gaussiana cujo pico, mostrado na gura ampliada em (b),
é deslocado para
2.3
(a) Gráco da função
= λ∆ = 0,01.
2.4
e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϕ(p; , ∆, λ)
em função de
λ∆ = 0,01.
ϕ(p; , ∆, λ)
em função de
P ≡ p/λ
56
com
56
com
(b) Distribuição de probabilidade. . . . . .
57
Montagem experimental retirada da referência [29]. Onde HeNe é o laser de comprimento
λ = 0.633
telescópio para colimar o feixe laser,
L1
P2
α
são os polarizadores com ângulo
x, respectivamente,
e
e
nm,
L2
β
T representa o
são as lentes,
P1
e
com relação ao eixo
Q é a placa de quartzo birrefringente com
eixo ótico (OA) alinhado ao longo do eixo x e
2.6
P ≡ p/λ
(b) Distribuição de probabilidade. . . . . . . . .
(a) Gráco da função
= 0,0
2.5
P = 1/ = 5.
D é o fotodetector. 58
Dados experimentais representado em linha sólida e curva teórica da equação 2.36 em linha pontilhada.
Em (a) situação
onde os polarizadores tem a mesma orientação, em (b) os polarizadores são quase ortogonais e em (c) os polarizadores são
ortogonais. Figura retirada de [29] . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
61
Montagem experimental da medição fraca do deslocamento GH.
Sendo que os polarizadores (P1 e
P2 ),
prisma (PRISM), placa
de um quarto de onda (QWP), placa de meia onda (HWP) e
lentes
L1
e
L2 .
Figura reproduzida de [28]. . . . . . . . . . . . .
62
2.8
Perl de intensidade do feixe após passar pelo polarizador nal.
As curvas em preto, vermelho e azul são para as situações
=
0,0°, = −0,5°
θ =
41,4°,
(b) para
θc = 41,3.
2.9
e
= 0,5°,
θ = 42°
respectivamente. Em (a) para
e (c) para
θ = 44°.
Com ângulo crítico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Dados experimentais do deslocamento GH via medição fraca
comparado com a curva analítica de Artmann. Figura adaptada
de [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
66
Arranjo Experimental, em que (HeNe) é o laser de HeNe, (L1 ,
L2 e L3 ) lentes com foco 5 cm, 20 cm e 100 cm, respectivamente,
(M) espelhos, (P1 e
P2 ) polarizadores, (PRISM) prisma, (QWP)
placa de um quarto de onda, (HWP) placa de meia onda e
(CCD) câmera CCD. A posição do prisma é denido como
z=0
cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Perl espacial de intensidade do feixe nal observado na câmera
com a diferença entre os ângulos dos polarizadores,
π/2 + em (a),
α − β = π/2
Em todos os casos,
3.3
= 0,5°.
em (b) e
α−β =
α − β = π/2 − em (c).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Perl espacial de intensidade do feixe nal observado na câmera
com a diferença entre os ângulos dos polarizadores, (a)
π/2 + ,
casos,
3.5
71
Programa que determina as coordenadas da posição média direcional do centroide do feixe incidente na câmera. . . . . . . . .
3.4
70
(b)
α − β = π/2
= 0,5°.
e (c)
α − β = π/2 − .
α−β =
Em todos os
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Perl espacial de intensidade do feixe nal observado na câmera
com a diferença entre os ângulos dos polarizadores, (a)
π/2 + ,
casos,
(b)
α − β = π/2
= 0,5°.
e (c)
α − β = π/2 − .
α−β =
Em todos os
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.6
Perl espacial de intensidade do feixe para o prisma BK7 com
(a)
θ = 43, 4°e
θ = 44, 0°observado
(b)
na câmera com a dife-
rença entre os ângulos dos polarizadores de
3.7
. . . .
Perl espacial de intensidade do feixe para o prisma UV com
43, 35°
74
θ=
observado na câmera com a diferença entre os ângulos
dos polarizadores, (a)
α − β = π/2 − .
3.8
α − β = π/2.
α − β = π/2 + ,
α − β = π/2
(b)
e (c)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Deslocamento GH em função do ângulo de incidência na segunda
face do prisma. Os dados experimentais são representados pelos
pontos, onde os círculos de cor preta representam
vermelha
= 1,0°,
= 0,5°
e
em preto tracejado é o deslocamento GH
analítico obtido por Artmann e preto pontilhado indica
θc .
Com
w0 = 150,0 µm e z = 18,5 cm em (a), w0 = 169,4 µm e z = 25,0
cm em (b) e (d) e
3.9
w0 = 169,4 µm
e
z = 20,0
cm em (c)
. . . . .
76
Perl espacial de intensidade do feixe com polarizadores ortogonais e
(a)
θ = 41,7°.
d = 20
cm, (b)
A distância entre o prisma e a câmera é de
d = 25
cm, (c)
d = 30
cm e (d)
d = 35
cm.
.
78
. . . . . . .
79
3.10 Deslocamento GH em função da distância entre o prisma e a
câmera com
θ = 41, 7°.
Em (a) o fator de correção é descrito
pela equação 2.44 e em (b) é descrito pela equação 3.1, onde
em ambos os grácos a cor preta representa
= 1,0°.
A posição do prisma representa
3.11 Ajuste não linear da formula
da Figura 3.10 (b).
= 0,5° e vermelho
z=0
cm.
f (z) = a(1 + z 2 /b2 )
com os dados
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.12 Deslocamento GH em função do ângulo de incidência na segunda
face do prisma, com a distância entre o prisma e a câmera de
cm em (a) e (c), e
25
20
cm em (b) e (d).Em (a) e (b) o fator de
correção é descrito pela equação 3.1 e em (c) e (d) é descrito pela
equação 3.2, onde em ambos os grácos a cor preta representa
= 0, 5°
e vermelho
= 1, 0°. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Diferença entre o deslocamento GH para a onda
81
p e s em função
do ângulo de incidência na segunda face do prisma, onde os
pontos de cor preta representam
= 0,5°
e vermelha
= 1,0°.
A curva em azul é resultado numérico do deslocamento GH para
um feixe gaussiano com
z = 25
cm e em preto pontilhado é o
deslocamento GH descrito por Artmann.
. . . . . . . . . . . . .
82
Sumário
Introdução
17
1 Efeito Goos-Hänchen
21
1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2
Coecientes de Fresnel
22
1.3
Deslocamento Goos-Hänchen: Descrição de
1.4
1.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Artmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Deslocamento GH de um feixe gaussiano
. . . . . . . . . . . . .
31
1.4.1
Propagação do feixe livre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.4.2
A fase espacial do feixe de saída . . . . . . . . . . . . . .
34
1.4.3
Coeciente de transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Considerações nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2 Medição Fraca em Mecânica Quântica e Analogia com Óptica 44
2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.2
Medição Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3
Exemplo envolvendo partículas de spin 1/2 . . . . . . . . . . . .
52
2.4
Analogia em Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.5
Aplicando ao deslocamento GH
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.6
Considerações nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3 Medição Fraca do deslocamento Goos-Hänchen
15
68
3.1
Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.1.1
Montagem experimental
69
3.1.2
Procedimento experimental
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.2
Diculdades Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.3
Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.4
Considerações nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4 Conclusões e Perspectivas
84
Referências Bibliográcas
87
Introdução
No século 17 Newton foi o primeiro a supor que o centro de um feixe reetido
deve apresentar um pequeno deslocamento no plano de incidência em relação
à sua posição descrita pela óptica geométrica [1]. Mais de dois séculos depois,
em 1947 Goos e Hänchen (GH) [2] foram capazes de medir quantitativamente
esse deslocamento. O deslocamento GH ocorre quando uma onda com seção
transversal nita é totalmente reetida internamente em uma interface de dois
meios com índices de refração diferentes
(n1 > n2 ),
ou seja, de um meio op-
ticamente mais denso para um menos denso. Este deslocamento lateral pode
ser explicado no sentido mais simples, como o resultado da propagação de uma
onda evanescente paralela à interface, ou como um deslocamento da onda de
um intervalo de tempo que pode ser interpretado como o tempo de retardo
associado com o processo de espalhamento [3].
Logo depois de Goos e Hänchen terem terminado o seu primeiro trabalho, Artmann [4] propôs uma teoria do fenômeno. Partindo das equações de FresnelMaxwell, ele considerou apenas a expressão matemática para o feixe incidente
e totalmente reetido. A partir da fase obtida dos coecientes de reexão na
situação de reexão interna total, ele foi capaz de explicar o deslocamento observado. Com esta teoria, ele previu duas expressões para o deslocamento da
luz: uma para quando a polarização da luz é paralela ao plano de incidência
(onda
p ) e outra para quando a polarização é perpendicular ao plano de inci-
dência (onda
s ). Com os resultados previstos por Artmann, Goos e Hänchen
17
18
zeram novas medições [5] e conrmaram o fato de que havia uma dependência
do deslocamento com a polarização da luz.
Figura 1: Ilustração do deslocamento GH e IF, onde o deslocamento longitudinal e perpendicular ao plano de incidência representa o deslocamento GH e
IF, respectivamente.
Além do deslocamento GH, existe o deslocamento Imbert-Fedorov (IF) [6, 7]
que trata-se de um deslocamento na direção perpendicular ao plano de incidência. A Figura 1 ilustra o deslocamento GH e IF, onde o plano de incidência
é xy.
Analogias com o deslocamento angular GH [8] e IF foram observadas
recentemente, bem como o efeito spin hall da luz (SHEL) [911]. Este último é
conectado ao deslocamento IF sendo uma separação ortogonal ao plano de incidência das duas componentes de spin para um feixe reetido ou transmitido.
Dualidade entre o deslocamento espacial e angular da luz reetida também já
foi observado e surge quando uma das interfaces apresenta perdas [12].
Os dois efeitos (GH e IF) dependem da polarização da luz incidente. Enquanto
que o efeito GH é observado para luz linearmente polarizada (ondas
s e p ), o
efeito IF ocorre para ondas polarizadas circularmente (ou elipticamente). Um
19
tutorial descrevendo os efeitos GH e IF em uma interface dielétrica é apresentado na referência [13]. Estes efeitos também foram observados ou previstos
para cristais fotônicos, guias de onda e ressonadores [1416]. Também foram
observados para feixes com um grau parcial de coerência espacial [17, 18], luz
com momento angular orbital [1921], além de terem sido observadas em ondas de matéria [22, 23].
Aplicações do efeito GH, são encontrados em guias
de onda óptico [24], microscopia óptica [25], sensor de temperatura de alta
sensibilidade [26, 27] e detecção de vapores químicos com alta sensibilidade.
Medidas de deslocamento GH são desaantes por causa do efeito ser muito
pequeno (comparável ao comprimento de onda ótico), fazendo com que sua
detecção seja muito difícil. Recentemente uma abordagem baseada em medição fraca foi utilizada pela primeira vez para medir o deslocamento GH [28].
A técnica descrita em [28] é uma analogia óptica [29] ao conceito de medição
fraca quântica introduzida em [30] com o propósito de amplicar e detectar
fenômenos muito pequenos. O resultado de uma medição fraca é chamado de
valor fraco e surge após um procedimento de pré-seleção de estados, interação
fraca entre o sistema quântico e a medida e uma pós-seleção de estados. Aplicações experimentais da teoria têm atraído bastante atenção dos físicos pelos
seus resultados surpreendentes. A medida direta da função de onda [31] e a
obtenção da trajetória do fóton simples em um interferômetro de Young [32]
são exemplos em Teoria Quântica. Em óptica, o efeito de medida fraca foi observado no deslocamento GH [28], efeito Imbert-Fedorov (IF) [33], efeito spin
hall da luz (SHEL) [10, 34], desvio angular do feixe reetido [35, 36].
O deslocamento GH já foi observado utilizando outros métodos de medida
como, o detector de quadrante sensível à posição usado para achar a posição
do centroide do feixe (método mais popular). Vantagens: medida direta, preciso e insensível a utuação de intensidade. Desvantagem: trabalhoso e mede
20
o desvio para um ponto (centroide) [8, 37]. Método interferométrico usa a interferência entre feixe de ondas
s e p. Mede o deslocamento GH ao longo de
todo o feixe, pode ser adaptado para incluir reexões múltiplas para aumentar o deslocamento GH quando pequeno, simples de montar, muito preciso [38].
Esta dissertação está dividida da seguinte forma:
No capítulo 1 apresenta-
remos uma revisão básica dos coecientes de Fresnel, exemplicando os casos
de reexão parcial e reexão total; em seguida discutiremos o cálculo feito
por Artmann do deslocamento GH e o deslocamento GH de uma distribuição
gaussiana, que é o caso de um feixe laser realístico. No capítulo 2 vamos descrever o efeito de medição fraca, apresentando o conceito de medida fraca e
valor fraco.
Faremos uma descrição geral do modelo e depois o aplicaremos
para o caso de partículas de spin
1/2
e faremos a analogia com a óptica, en-
fatizando no primeiro experimento de medição fraca em óptica e por m para
o caso do deslocamento GH. No capítulo 3 apresentaremos a nossa montagem
experimental, as diculdades observadas, as limitações da técnica de medição
fraca e os resultados obtidos. Por m, o capítulo 4 aborda as conclusões do
nosso trabalho, assim como perspectivas futuras.
Capítulo 1
Efeito Goos-Hänchen
Esta Capítulo aborda o efeito Goos-Hänchen (GH) de forma geral. Iniciaremos com uma breve introdução dos primeiros resultados do deslocamento GH
experimentais e teóricos. Faremos um resumo dos coecientes de Fresnel. Em
seguida vamos descrever de forma geral os resultados obtidos de Artmann [4]
que explica os resultados obtidos por Goos-Hänchen, além de mostrar a dependência com a polarização da luz incidente. Por m descreveremos o deslocamento GH de um feixe realístico modelado por uma distribuição gaussiana.
Este modelo feito em [39] considera os efeitos de transmissão e reexão em
toda a extensão de um prisma.
1.1 Introdução
O efeito Goos-Hänchen refere-se ao deslocamento lateral que uma onda tendo
secção transversal nita sofre ao ser totalmente reetida em uma interface de
índices de refração mais denso para menos denso.
Este deslocamento não é
previsto pela óptica geométrica e foi detectado pela primeira vez em 1947 por
Goos e Hänchen [2]. Newton já suspeitava [1] que mesmo em reexão interna
total, o feixe incidente penetrava no meio oticamente menos denso mas em
seguida ressurge no meio oticamente mais denso.
21
1.2.
COEFICIENTES DE FRESNEL
22
Logo depois que Goos e Hänchen terminaram o seu primeiro trabalho, Artmann [4] propôs uma teoria do fenômeno. Partindo das equações de FresnelMaxwell, ele considerou a expressão matemática para o feixe incidente e totalmente reetido.
A partir da diferença de fase entre os dois feixes, ele foi
capaz de explicar o deslocamento observado. Com esta teoria, ele previu duas
expressões para o deslocamento do feixe, uma para quando a polarização da
luz é paralela ao plano de incidência e outra para quando a polarização é perpendicular ao plano de incidência. Goos e Hänchen zeram novas medições [5]
e conrmaram o fato de que havia uma dependência do efeito com a polarização da luz. Vários meses depois, Fragstein [40] publicou outra teoria baseada
no trabalho muito importante de Picht [41, 42] e de Schaefer e Pich [43]. Eles
zeram todo o tratamento por uxo de energia e consideraram uma onda plana
nita de largura arbitrária.
Ao fazer as aproximações contidas na teoria da
Schaefer e Pich, Fragstein encontrou as mesmas duas expressões para o deslocamento que haviam sido encontradas por Artmann.
Hora [44] aplicou o
tratamento desenvolvido por Artmann em Mecânica Quântica para um feixe
de partículas totalmente reetido em uma barreira de potencial e obteve uma
expressão para o deslocamento com a mesma aproximação e posteriormente
Renard [45] ampliou o tratamento de Hora com o princípio de conservação de
partículas e obteve a expressão geral descrita por Artmann.
1.2 Coecientes de Fresnel
A luz (onda eletromagnética) é reetida e refratada (ou transmitida) ao se
deparar com uma superfície plana que apresenta dois meios com índices de
refração diferentes. A reexão é denida quando parte da onda retorna para
o meio de onde partiu; e deni-se transmissão quando uma parcela desta onda
passa para o outro meio, sofrendo eventualmente uma mudança na sua veloci-
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
23
dade de propagação.
A Figura 1.1 ilustra o caso em que uma onda eletromagnética incidente (Ei )
que passa de um meio de índice de refração
dência
θi
referente à normal da interface.
com ângulo
θr
n1
para
n2
com ângulo de inci-
Parte desta onda é reetida (Er )
e parte é transmitida (Et ) com ângulo
θt .
Sendo que a taxa de
reexão e transmissão da onda é denida, respectivamente, por:
r≡
Er
Ei
e
t≡
Et
Ei
(1.1)
Figura 1.1: Esquema das direções de uma onda reetida e transmitida numa
interface plana, onde
onda reetida e
Et
Ei
é a amplitude da onda incidente,
Er
é a amplitude da
é a amplitude da onda transmitida.
Dois casos distintos necessitam ser considerados, a polarização do campo elétrico perpendicular ao plano de incidência (modo TE ou onda
ção paralela ao plano de incidência (modo TM ou onda
dissertação a nomenclatura onda
s ) e a polariza-
p )(utilizaremos nesta
s e onda p ). Aplicando as condições de con-
torno na interface, obtém-se as equações de Fresnel padrão para transmissão
1.2.
COEFICIENTES DE FRESNEL
24
e reexão numa interface [46, 47]. Assumindo-se que a constante de permeabilidade magnética de cada meio é aproximadamente igual, então os coecientes
de reexão de Fresnel são:
p
n2 − sin2 θ
p
,
cos θ + n2 − sin2 θ
p
−n2 cos θ + n2 − sin2 θ
p
rp (θ) =
.
n2 cos θ + n2 − sin2 θ
rs (θ) =
cos θ −
A equação 1.2 refere-se ao coeciente de reexão para onda
para onda
p;
θ
é o ângulo de incidência e
n = n2 /n1
(1.2)
(1.3)
s e a equação 1.3
é a razão entre o índice
de refração do meio 2 e o índice de refração meio 1.
Outra forma de escrever os coecientes de Fresnel é considerando um termo
de amplitude e um termo de fase,
r(s,p) (θ) = R(s,p) (θ)eiφ(s,p) (θ) ,
(1.4)
R(s,p) (θ) = |r(s,p) (θ)| é a amplitude do coeciente de Fresnel e φ(s,p) (θ) =
arg r(s,p) (θ) é a fase do coeciente de Fresnel.
sendo
2
A Figura 1.2 apresenta a reetância (R(s,p) ) do campo elétrico para
e onda
p em preto em função do ângulo de incidência, para interface Ar-Vidro
na Figura 1.2(a) e
Vidro-Ar na Figura 1.2(b). Nestas guras podemos notar
que a luz pode ser parcialmente reetida (R
(R
2
s em azul
= 1).
< 1)
ou totalmente reetida
O caso de reexão parcial ocorre para qualquer valor do ângulo de
incidência quando
crítico (θc
2
n>1
= sin−1 n)
ou para um ângulo de incidência menor que o ângulo
quando
n < 1.
Neste caso o coeciente de Fresnel é
real. Quando o ângulo de incidência é maior que o ângulo crítico, a reexão
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
1
0,8
0,8
0,6
0,6
25
|r(θ)|
2
1
|r(θ)|
2
CAPÍTULO 1.
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
20
40
60
0
0
80
θc
20
40
θ(graus)
(a)
Figura 1.2:
80
(b)
Reetância para
(Vidro-Ar) em (b).
60
θ(graus)
n = 1,515
(Ar-Vidro) em (a) e
Curva em azul e preto representa a onda
n−1 = 1,515
s e onda p,
respectivamente.
é total. Porém, os coecientes de Fresnel, embora tenham o módulo da amplitude unitário, estes apresentam um termo da fase representado na equação
1.4 diferente de zero. Essa fase difere para onda
s e onda p, o que implica que
pode haver uma mudança de estado de polarização do campo elétrico reetido
com relação ao campo elétrico incidente.
A forma explicita do termo de fase do coeciente de Fresnel é descrita como:
φs (θ) = 2 tan−1
φp (θ) = 2 tan−1
onde a equação 1.5 refere-se a onda
!
p 2
sin (θi ) − n2
,
cos(θi )
!
p 2
sin (θi ) − n2
,
n2 cos(θi )
(1.6)
s e a equação 1.6 para onda p.
Na Figura 1.3 mostra o gráco da mudança de fase da onda
onda
(1.5)
s em azul e
p em preto em função do ângulo de incidência. Note que a fase para
ambas polarizações é nula abaixo do ângulo crítico que representa a situação
em que os coecientes de reexão de Fresnel são puramente reais.
1.2.
COEFICIENTES DE FRESNEL
26
1
φ(θ)/π
0,8
0,6
0,4
0,2
0
30
40
50
60
70
80
90
θ(graus)
Figura 1.3: Mudança de fase para a polariação
s em azul e polarização p em
preto para ângulos de indicência maiores que o ângulo crítico.
Quando consideramos um feixe laser cintura nita, temos então que este feixe
pode ser descrito como uma combinação linear de onda planas, onde cada onda
plana tem associada a ela um vetor de onda ligeiramente diferente, distribuídos em torno de um vetor de onda central com amplitude gaussiana. Nessa
situação, cada vetor de onda contido no feixe laser sente um coeciente de
Fresnel diferente. A Figura 1.4 mostra a reetância e a fase dos coecientes
de Fresnel em função do desvio angular (medido em relação ao ângulo crítico)
para onda
s em azul contínuo e onda p em preto contínuo. As curvas trace-
jadas representam feixe laser com distribuição gaussiana de vetores de onda
e as linhas verticais pontilhadas correspondem a ondas planas incidentes, em
ambos os casos, a um ângulo abaixo do ângulo crítico (linha verde), no ângulo
crítico (linha vermelha) e acima do ângulo crítico (linha amarela).
A partir das Figuras 1.4 nota-se que a distribuição gaussiana em verde tem em
toda sua distribuição a mesma contribuição do termo de fase dos coecientes
de Fresnel e a distribuição gaussiana em amarelo tem a mesma contribuição
em toda sua distribuição do termo de amplitude dos coecientes de Fresnel. O
contrário acontece na distribuição gaussiana em verde para o termo de ampli-
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
27
tude e amarelo para o termo de fase. Nestas situações temos que cada vetor de
1
1
0,8
φ(∆θ)/π
|r(∆θ)|
2
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0
Desvio angular (graus)
(a)
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
Desvio angular (graus)
(b)
Figura 1.4: Reetância em (a) e fase em (b) dos coecientes de Fresnel em
função do desvio angular com relação ao ângulo crítico, sendo que em preto
representa a onda p e azul a onda s. As curvas tracejadas referem-se ao feixe
laser com distribuição gaussiana e as linhas verticais pontilhadas a uma onda
plana que incide abaixo do ângulo crítico em verde, no ângulo crítico em vermelho e acima do ângulo crítico em amarelo.
onda contido na distribuição gaussiana sente contribuições distintas dos coecientes de Fresnel. Já a distribuição gaussiana em vermelho apresenta os dois
casos, ou seja, parte da distribuição gaussiana tem a mesma contribuição e enquanto a outra parte sente contribuições distintas dos coecientes de Fresnel
tanto para o termo de amplitude e fase. Veremos nas próximas seções que a
situação em que apresenta contribuição distinta dos coecientes de Fresnel em
toda a distribuição gaussiana para o termo de fase está relacionado com o deslocamento GH longitudinal e para o termo de amplitude o deslocamento GH
angular da luz, como também o efeito dual do deslocamento GH longitudinal
e angular quando temos a contribuição dos dois efeitos simultaneamente.
1.3.
DESLOCAMENTO GOOS-HÄNCHEN: DESCRIÇÃO DE
ARTMANN
28
1.3 Deslocamento Goos-Hänchen: Descrição de
Artmann
O deslocamento GH foi discutido pela primeira vez no contexto de reexão
interna total da radiação eletromagnética. O deslocamento GH pode ser relacionado com a fase do coeciente de reexão de amplitude calculado para
ondas planas incidente sobre uma interface com um ângulo de incidência igual
a
θ.
A gura 1.5 ilustra o que ocorre com o feixe quando a condição de reexão
total é satisfeita. A seta em preto pontilhado é a previsão da óptica geométrica
e a seta preta continua é o feixe deslocado. A magnitude do deslocamento é
representada por
S
e corresponde ao deslocamento ao longo da superfície da
interface, enquanto que
Note-se que
D
é o deslocamento medido por Goos-Hänchen [2, 5].
D = S cos θ.
Figura 1.5: Um feixe de radiação eletromagnética incidente (linha azul continua) é totalmente reetido (linha preta continua) e deslocado com relação a
previsão da óptica geométrica (linha preta tracejada) na interface entre dois
meios com índices de refração (n1 e
n2 ), respectivamente. Há um deslocamento
S ao longo da superfície que separa os dois meios e D indica o deslocamento
medido por Goos-Hänchen [2, 5]. O ângulo de incidência é indicado por θ .
Considerando a denição dos eixos na Figura 1.5, o número de onda em
dado como
k1y = k1 sin(θ),
onde
k1 = 2π/λ1
y
é
é o numero de onda total no
meio 1. Utilizando o método de fase estacionária (MFS), Artmann obteve a
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
29
expressão do deslocamento da luz a partir dos coecientes de Fresnel, que é
descrito como:
S(θ) = −
∂φ(s,p)
dφ(s,p)
1
=−
.
∂k1y
k1 cos(θ) dθ
(1.7)
Em resumo, o MFS signica obter a posição do máximo de alguma função
descrita na forma
F = f eg , tal que sua posição máxima é obtida simplesmente
derivando a função
g. O tratamento rigoroso e detalhado do método de fase
estacionária (MFS) pode ser encontrado em [48] e aplicado para o caso de um
prisma de formato retangular no artigo [49].
Lembrando que as equações 1.5 e 1.6 representam a fase para onda
s e onda
p, respectivamente, temos que o deslocamento GH correspondente a onda s e
onda
p é dado, respectivamente, como:
Ds (θ) = S(θ) cos(θ) = −
1 dφs
λ1
sin(θ)
p 2
=
,
k1 dθ
π sin (θ) − n2
(1.8)
Dp (θ) = S(θ) cos(θ) = −
1 dφp
n2
=
Ds (θ).
k1 dθ
sin2 (θ)(1 + n2 ) − n2
(1.9)
Estas equações foram obtidas primeiramente por Artmann em [4], sendo
ângulo de incidência,
com o meio 1 e
λ1
n = n2 /n1
θ
a razão entre os índices de refração do meio 2
comprimento de onda no meio 1. A relação do comprimento
de onda no meio 1 com o do vácuo é dada por
λ1 = λo /n1 .
A Figura 1.6 apresenta o comportamento do deslocamento GH para onda
em azul e onda
o
s
p em preto em função do ângulo de incidência. A linha trace-
1.3.
DESLOCAMENTO GOOS-HÄNCHEN: DESCRIÇÃO DE
ARTMANN
30
Deslocamento GH (µm)
7
6
θC
5
4
3
2
1
0
41,25 41,5 41,75
42
42,25 42,5 42,75
43
θ (graus)
Figura 1.6: Deslocamento GH com polarização
preto em função do ângulo de incidência. Com
θc = 41,3°.
s em azul e polarização p em
λo = 633
nm,
n−1 = 1,515
e
jada representa a posição do ângulo crítico para reexão interna total. Para
este gráco foi considerado o comprimento de onda
Vidro-Ar (nvidro
= 1,515
e
nAr = 1,0).
λo = 633
Note que quando
θ ≈ θc
analíticas 1.8 e 1.9 divergem. Isto vem do fato que quando
o termo
sin2 (θ) ≈ n2 .
nm na interface
as equações
θ ≈ θc
temos que
Por muitos anos acreditava-se que o deslocamento GH
somente poderia ocorrer para ângulos de incidência acima do ângulo crítico.
Após algumas décadas outros autores estudaram o mesmo problema estudado
por Artmann, mas considerando um feixe laser realístico modelado por uma
distribuição gaussiana, observando que o deslocamento GH também ocorre em
torno do ângulo crítico e que além disso existe um ângulo de incidência em
que o deslocamento é máximo [39, 50].
Além do deslocamento longitudinal da luz, existe o deslocamento angular que
surge quando a luz é parcialmente reetida. Este desvio foi observado experimentalmente por [8] na interface
Ar-Vidro. Em meios com perdas é possível
observar o efeito dual entre o deslocamento GH longitudinal e angular após a
luz ser reetida e foi observado por [12] utilizando uma interface
Ar-Metal.
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
31
A partir dos coecientes de Fresnel é possível determinar o deslocamento GH
longitudinal e angular [12].
Dτ (θ) =
onde
DτR ≡ Re[Dτ ]
e
∂ ln rτ
1 ∂Rτ
∂φτ
=
+i
,
∂θ
Rτ ∂θ
∂θ
DτI ≡ Im[Dτ ]
ral, respectivamente, e o índice
τ =
onda
τ
(1.10)
fornece o deslocamento GH angular e late-
indica a polarização da luz incidente, sendo
s ou onda p. A demonstração rigorosa da equação 1.10 usando o
formalismo de óptica clássica e considerando que a onda incidente é focalizada
pode ser vista na referência [51].
1.4 Deslocamento GH de um feixe gaussiano
Aqui descreveremos a abordagem feita em [39] do deslocamento GH de um
feixe modelado por uma distribuição gaussiana. A descrição deste trabalho é
o mais próximo do nosso experimento, pois os autores tiveram todo o rigor de
tratar a propagação do feixe em toda a extensão de um prisma, considerando
os efeitos de transmissão e reexão do feixe em cada interface.
A Figura 1.7 ilustra a propagação do campo elétrico em toda a extensão do
prisma, tal que
~ in
E
representa o campo elétrico de entrada ou feixe de en-
trada propagando no espaço livre,
~l
E
e
~r
E
representa a propagação do campo
elétrico no Vidro antes e após o deslocamento GH, respectivamente,
~ out
E
re-
presenta o campo elétrico de saída ou feixe de saída no espaço livre após sofrer
o deslocamento GH e
~ OG
E
o feixe que seria descrito pela óptica geométrica.
O deslocamento GH surge na interface 2 ilustrado na Figura 1.7 e é calcu-
1.4.
DESLOCAMENTO GH DE UM FEIXE GAUSSIANO
32
Figura 1.7: Esquema da propagação do campo elétrico em toda a extensão do
~r
E
~
propagando no dielétrico e após sofre o deslocamento GH, Eout propagando no
~ OG o feixe que seria descrito
espaço livre e após sofre o deslocamento GH e E
prisma. Com
~ in
E
propagando no espaço livre,
~l
E
propagando no dielétrico,
pela óptica geométrica.
lado fazendo a diferença entre a posição do máximo de intensidade do feixe
realístico de saída com a posição do máximo do feixe de saída previsto pela
óptica geométrica. Uma expressão analítica é obtida utilizando (MFS) para
onda
s e onda p e corresponde a expressão 1.8 e 1.9 obtida por Artmann,
respectivamente, abordada na Seção 1.3. Além de obter o resultado numérico
por integração numérica do feixe realístico na saída do prisma.
1.4.1 Propagação do feixe livre
Vamos considerar inicialmente um feixe gaussiano propagando pelo espaço livre. Um feixe gaussiano pode ser descrito como sendo formado pela superposição de um número innito de ondas planas, constituídas por diferentes vetores
de onda
~k .
A amplitude das componentes espectrais do campo elétrico é dada
pela distribuição escalar:
(kx2 + ky2 )ωo2
~
δ kz − (k 2 − kx2 − ky2 )1/2 ,
G(k) = exp −
4
onde
ωo
é o raio da cintura do feixe e
k = 2π/λ
(1.11)
é o número de onda corres-
pondente ao vetor de onda central em torno do qual as diversas componentes
~k
estão distribuídas. A amplitude do campo elétrico é então dada por:
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
33
Z
ωo2
Ein (~r) = Eo
d~
k G(~k) exp[i~k · ~r],
4π
Z
(kx2 + ky2 )ωo2
ωo2
= Eo
dkx dky exp −
4π
4
2
Ö exp i kx x + ky y + (k − kx2 − ky2 )1/2 z
com
Eo = E(~r = 0).
(1.12)
Considerando a aproximação paraxial, o campo elétrico
representado na equação 1.13 descreve o feixe gaussiano propagando na direção de
z.
Z
(kx2 + ky2 )ωo2
ωo2
Ein (~r) ≈ Eo exp(ikz) dkx dky exp −
4π
4
2 2
kx + ky
Ö exp i kx x + ky y −
z ,
2k
x2 + y 2
ωo2
≈ Eo 2
exp(ikz) exp − 2
.
ωo + 2i(z/k)
ωo + 2i(z/k)
A intensidade,
I(~r) = |E(~r)|2
(1.13)
para o campo elétrico entrada é então dado por:
Iin (~r) ≈ Io
ωo
ω(z)
2
x2 + y 2
,
exp −2 2
ω (z)
(1.14)
onde
"
ω(z) = ωo 1 +
λz
πωo2
2 #1/2
.
(1.15)
1.4.
DESLOCAMENTO GH DE UM FEIXE GAUSSIANO
A equação 1.15 representa o raio da cintura do feixe no plano
a cintura mínima do feixe e
λ
34
z,
tal que
ωo
é
é o comprimento de onda.
1.4.2 A fase espacial do feixe de saída
A fase espacial do campo elétrico de saída é determinada pela direção de propagação do campo elétrico (ϕout
= ~k · ~r).
Por conveniência são denidos novos
eixos de coordenadas, como é visto na Figura 1.8.
y−z
onde
z
O plano de incidência é
é a direção de propagação do feixe de entrada e os novos eixos
representam uma rotação no plano
y−z
onde os eixos
zin , z*
e
zout
represen-
tam a normal na interface (ar-vidro ou 1), normal a interface (vidro-ar ou 2)
e normal a interface (vidro-ar ou 3), respectivamente.
z eixo de entrada
zin , abaixo (vidro-ar
Figura 1.8: Esquema do diagrama de eixos na prisma. Com
e incidência normal na borda à esquerda (ar-vidro ou 1)
ou 2)
z*
e à direita (vidro-ar ou 3)
Denindo
zout .
Figura reproduzida de [39].
θ como o ângulo de incidência e usando R(θ) como a matriz rotação:

R(θ) = 
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ

,
(1.16)
podemos relacionar as coordenadas referente ao feixe de saída com as outras
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
35
coordenadas por:


yout
zout

 = R
= R
3π
4
π
2


y*
z*

−θ 


=R
y
z
π 
2
yin
zin



.
(1.17)
Contudo, podemos determinar a fase espacial em cada interface com relação
ao ângulo de incidência. Para o feixe de entrada a fase espacial é denida como:
ϕin = ~k · ~r = ~kin · ~rin ,
onde
~rin = (x, yin , zin )
(1.18)
é obtido a partir da equação 1.17 e

kin = kxin
e

kyin
kzin


 = R (−θ) 
ky
kz
~kin
é dado por:

,
levando em conta que a descontinuidade é ao longo do eixo
(1.19)
zin
(esta descon-
tinuidade vem do fato que o feixe esta passando de um meio para outro, tal
que
k = nq
onde
n representa o índice de refração do vidro e q o número de
onda total no vidro), as componentes
xin = x
e
yin
do número de onda não se
alteram quando o feixe atravessa a primeira interface.
(qx , qyin ) = (kx , kyin ) ⇒ qzin = n2 k 2 − kx2 − ky2in
enquanto a segunda interface antes do deslocamento GH,
1/2
,
(1.20)
1.4.
DESLOCAMENTO GH DE UM FEIXE GAUSSIANO
36
ϕl = ~qin · ~rin = ~q∗ · ~r∗ ,
onde
~r∗ = (x, y∗ , z∗ )
e
~q∗
(1.21)
é dado por:

q x∗ = q x
e

q y∗
q z∗



π qy
=R −
 in  .
4
qzin
(1.22)
A fase espacial do feixe reetido na segunda interface, ou seja, após o deslocamento GH, é dada pela equação 1.21, mas mudando
z∗
por
−z∗ ,
temos:
ϕr = qx∗ x∗ + qy∗ y∗ − qz∗ z∗ = ~qout · ~rout ,
onde
~rout = (x, yout , zout )

qxout = qx
e

e
qyout
qzout
~qout
(1.23)
é dado por:

=R
3π
4


q y∗
−qz∗


=
−qyin
qzin

.
(1.24)
Em resumo, a equação 1.25 apresenta as componentes do número de onda referente às coordenadas denidas na equação 1.17.
(kx , kyout ) = (kx , qyout ) = (kx , −qyin ) = (kx , −kyin )
kzout = kzin .
Finalmente a fase espacial do feixe de saída é dada por:
(1.25)
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
37
ϕout = ~kout · ~rout = kx x − kyin yout + kzin zout
= kx x + (kz cos 2θ − ky sin 2θ) y + (ky cos 2θ − kz sin 2θ) z.
(1.26)
Consequentemente, o vetor de onda de saída no sistema de coordenadas (x, y,
z) é:
[∇ϕout ](kx =0,ky =0) = (0, k cos 2θ, k sin 2θ)


 (0, 0, k) para θ = π/4,


=
(0, k, 0) para θ = 0,



 (0, 0, −k) para θ = −π/4,
(1.27)
Note que o feixe de saída propaga paralelamente ao feixe de entrada para
θ = ±π/4
e perpendicular ao feixe de entrada para
θ = 0.
1.4.3 Coeciente de transmissão
A fórmula de Fresnel para os coecientes de reexão e transmissão para a onda
s do feixe pode também ser obtida usando analogia entre óptica e mecânica
quântica [52].
r [α, β] =
sendo
α
e
β
α−β
α+β
e
t [α, β] =
2α
,
α+β
(1.28)
os vetores de onda normal em cada interface do prisma.
Utilizando a equação 1.28 e levando em conta o termo de fase espacial, os
1.4.
DESLOCAMENTO GH DE UM FEIXE GAUSSIANO
coecientes de reexão e transmissão para a onda
38
s do feixe para cada inter-
face do prisma são dados por:
(s)
= r [kzin , qzin ] exp [2ikzin ain ] ,
(s)
= t [kzin , qzin ] exp [i(kzin − qzin )ain ] ,
rin
tin
r∗(s) = r [qz∗ , kz∗ ] exp [2iqz∗ a∗ ] ,
t(s)
= t [qz∗ , kz∗ ] exp [i(qz∗ − kz∗ )a∗ ] ,
∗
(s)
rout = r [qzout , kzout ] exp [2iqzout aout ] ,
(s)
tout = t [qzout , kzout ] exp [i(qzout − kzout )aout ] .
Escolhendo o eixo
que
qzout = qzin
e
ain = 0
(isto implica
kzout = kzin
a∗ = a/21/2
e
aout = b − a)
(1.29)
e sabendo
da equação 1.25, obtemos a expressão para o
coeciente de transmissão total:
(s)
(s)
t(s) = tin r∗(s) tout =
4kzin qzin qz∗ − kz∗
exp [iψout ] ,
(kzin + qzin )2 qz∗ + kz∗
(1.30)
onde
ψout = 21/2 qz∗ a + (qzin − kzin )(b − a),
(1.31)
é a fase do coeciente de transmissão total, que depende da geometria do
prisma.
O coeciente de transmissão total para a onda
tituição:
p é obtido pela regra de subs-
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
39
n
qz o
kzin,∗ , qzin,∗ → nkzin,∗ , in,∗ ,
n
(1.32)
portanto,
t(p) =
4n2 kzin qzin qz∗ − n2 kz∗
exp [iψout ] .
(n2 kzin + qzin )2 qz∗ + n2 kz∗
(1.33)
A amplitude do campo elétrico de saída é dada por:
(s,p)
Eout
ωo2
(~r) = Eo
4π
Z
(s,p)
dkx dky t
(kx2 + ky2 )ωo2
exp −
4
i
~
× exp −ikout · ~rout .
h
(1.34)
Conhecendo a fase espacial e a fase do coeciente de transmissão total, podemos calcular o caminho geométrico usando o MFS. Ao impor que a derivada da
fase seja zero no centro da distribuição gaussiana do feixe de entrada, obtemos
que:
∂ϕin ∂ϕin
,
∂kx ∂ky
= {0, 0} ⇒ {xmax , ymax }in = {0, 0} .
Para o feixe de saída, a fase do campo é dada pela fase espacial
fase
ψout
(1.35)
(kx =0,ky =0)
ϕout
e pela
do coeciente de transmissão total. Usando MFS encontramos:
∂(ϕout + ψout )
∂kx
∂(ϕout + ψout )
∂ky
(0,0)
(0,0)
= 0 ⇒ xmaxout = 0,
(1.36)
= 0 ⇒ zmaxout cos 2θ − ymaxout sin 2θ = d,
(1.37)
1.4.
DESLOCAMENTO GH DE UM FEIXE GAUSSIANO
40
onde
d = a (cos θ + sin θ) + b sin θ
!
cos θ
p
−1 .
n2 − sin2 θ
(1.38)
A equação 1.37 apresenta a posição da intensidade máxima do feixe de saída
descrito pela óptica geométrica.
No artigo [39] os autores deixam explícito o termo de fase que surge do coeciente de reexão na interface (vidro-ar ou 2) para a onda
s e onda p. Essa
fase, não é prevista pela óptica geométrica e surge quando a reexão é total, é
escrita como:
n
o
qz∗ − n2 kz∗
qz∗ − kz∗
(s)
(p)
, Arg
,
φGH , φGH
=
Arg
qz∗ + kz∗
qz∗ + n2 kz∗
2
−1 |kz∗ |
−1 n |kz∗ |
= −2 tan
, tan
.
q z∗
q z∗
(1.39)
Este termo de fase é o mesmo mencionado na seção 1.2 e ao fazer a sua derivada,
(
(s)
(p)
∂φGH ∂φGH
,
∂ky ∂ky
)
(0,0)
2 ∂qz∗
=
|kz∗ | ∂ky
1,
n2 k 2
k 2 + (n2 + 1)|kz∗ |2
,
(1.40)
leva à expressão analítica do deslocamento GH para o mesmo resultado obtido
por Artmann descrito nas equações 1.9 e 1.8.
(
{Ds , Dp } = −
(s)
(p)
∂φGH ∂φGH
,
∂ky ∂ky
)
.
(0,0)
(1.41)
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
41
A curva numérica do deslocamento GH, é obtida a partir da diferença entre
a posição da intensidade máxima do feixe de saída da equação 1.42 com a intensidade máxima do feixe de saída descrito pela óptica geométrica da mesma
equação, mas sem considerar o termo
(s,p)
φout
, em função do ângulo de incidência.
(s,p) 2
(s,p)
Iout (~r) = Eout (~r) ,
2Z
ωo
(kx2 + ky2 )ωo2
(s,p)
= Io dkx dky |t
| exp −
4π
4
i2
(s,p)
+i ϕout + ψout + φout
.
(1.42)
A Figura 1.9 apresenta o comportamento da diferença entre o deslocamento
GH para a onda
p e onda s (∆yGH
= Dp − Ds )
em função do ângulo de in-
cidência referente a segunda interface do prisma. As curvas referentes à linha
continua em verde, triângulos em vermelho e pontos em azul, representam curnm e
n−1 = 1,515,
onde z indica a posição na qual está sendo feita a medida na qual
z = 0 refere-
vas numéricas para os parâmetros
wo = 169,4 µm, λ = 633
se a posição onde ocorre o deslocamento GH, ou seja, na segunda interface
do prisma. A linha tracejada preta representa a curva analítica descrita por
Artmann e pontilhado preto a posição do ângulo crítico.
A Figura 1.9 mostra que, ao contrário da curva analítica de Artmann, os resultados numéricos próximo do ângulo crítico para reexão interna total não
divergem, além de que existe um ângulo para o qual o deslocamento GH é
máximo. Vale mencionar que tanto o ângulo e a magnitude do deslocamento
GH máximo depende da propagação do feixe de saída, ou seja, do tamanho
da cintura do feixe na posição onde está sendo detectado o deslocamento GH.
1.4.
DESLOCAMENTO GH DE UM FEIXE GAUSSIANO
42
16
Artmann
z=0 cm
z=15 cm
z=25 cm
14
∆yGH(µm)
12
10
8
6
4
2
0
41,2
41,3
41,4
41,5
41,6
41,7
θ (graus)
Figura 1.9: Diferença entre o deslocamento GH para a onda
p e s em função
do ângulo de incidência referente a segunda face do prisma. A curva numérica
−1
para wo = 169,4 µm, λ = 633 nm e n
= 1,515 está representada pela linha
continua em verde, triângulos vermelhos e pontos azuis, para
cm e
z = 25
z = 0 cm, z = 15
cm, respectivamente. A curva analítica descrita por Artmann é
representa pela linha tracejada preta e a linha pontilhada preta é a posição do
ângulo crítico.
Para ângulos maiores do ângulo crítico (θ∗
≈ 41,45°> θc )
os resultados nu-
méricos e analítico convergem para o mesmo valor do deslocamento GH. Isso
mostra que o deslocamento GH para um feixe de entrada com raio mínimo
de
wo = 169,4 µm
maior ou igual à
não depende da propagação do feixe para ângulos que seja
θ∗ .
Em torno do ângulo crítico nota-se o efeito de amplicação do deslocamento
GH com relação a propagação do feixe, ou seja, o deslocamento depende da
posição de onde está sendo feita a medida.
Essa amplicação pode ser ex-
plicada por causa do efeito GH assimétrico [53], ou seja, quando uma parte
do pacote gaussiano sofre reexão interna total, enquanto a outra parte sofre
reexão parcial. Essa situação o pacote gaussiano é deformado induzindo um
CAPÍTULO 1.
EFEITO GOOS-HÄNCHEN
deslocamento na posição do máximo do feixe à medida que
43
z aumenta.
1.5 Considerações nais
Aqui apresentamos uma breve introdução de alguns resultados importantes
e pioneiros, tanto experimental e teórico do deslocamento GH. Fizemos uma
revisão dos coecientes de Fresnel mostrando que estes dependem da polarização e do meio de propagação. Mencionamos em quais condições a reexão
é parcial ou total, mostrando que na condição de reexão total os coecientes
de Fresnel apresentam uma fase diferente de zero. Esta fase difere para cada
estado de polarização podendo haver uma mudança na polarização da onda reetida. Em seguida, apresentamos a descrição feita por Artmann [4] do efeito
Goos-Hänchen e a obtenção das equações do deslocamento GH para onda
onda
s e
p dada pelas equações 1.8 e 1.9, respectivamente. Por m, descrevemos
com um certo formalismo o modelo descrito em [39], no qual os autores tiveram todo o rigor de descrever a propagação do feixe em toda a extensão de
um prisma, além de considerar um feixe realístico. Os resultados numéricos
do descolamento GH obtido por [39] é comparado com a equação obtida por
Artmann [4], mostrando que em torno do ângulo crítico existe o deslocamento
GH ao contrário do resultado de Artmann, além da existência de um ângulo
em que o deslocamento é máximo, que por sua vez depende do tamanho da
cintura do feixe na posição onde está sendo detectado o deslocamento GH.
Por m, a amplicação do deslocamento GH em torno do ângulo crítico com
relação a posição do feixe, pode ser explicada por causa que o efeito GH é
assimétrico neste região [53], ou seja, quando parte do feixe sofre reexão total
e a outra parte do feixe sofre reexão parcial.
Capítulo 2
Medição Fraca em Mecânica
Quântica e Analogia com Óptica
Neste capítulo apresentaremos o conceito de medida fraca e valor fraco e o
procedimento de medição fraca desenvolvido por Aharonov, Albert e Vaidman (AAV) [30]. Para tanto, começaremos descrevendo o que é uma medida
fraca e qual o procedimento para obter o valor fraco de um observável. Em
seguida, apresentaremos a descrição geral em que AAV descreveu como obter
o valor fraco de uma medição fraca com as correções feitas por Duck e seus
colaboradores [54]. Por m, aplicaremos a descrição geral do efeito AAV no
experimento de partículas de spin
1/2 [54],
discutiremos a analogia em Óptica
com o primeiro experimento do efeito de medição fraca em Óptica [29] e aplicaremos o modelo para o deslocamento GH [28].
2.1 Introdução
No artigo [30], Aharonov, Albert e Vaidman (AAV) introduziram o conceito
de uma medida fraca.
Uma medida fraca é representada por um acopla-
mento fraco entre o dispositivo de medição e o observável a ser medido. Este
44
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
45
acoplamento é tão fraco que a incerteza em uma única medida é grande em
comparação com a distância entre os valores próprios do observável. Portanto,
os autovalores não são resolvidos por um dispositivo de medição. Na prática,
há necessariamente algum grau de incerteza em qualquer medida. A força de
uma medida pode ser caracterizado por uma escala contínua, que se estende a
partir da medida ideal até a medida fraca, dependendo da incerteza de medição em relação à separação dos autovalores.
Em uma medida ideal de um observável
Â
temos as seguintes armações [55]:
ˆ
Ela sempre produz um autovalor
ˆ
A probabilidade do resultado
ˆ
O sistema é deixado em um autoestado de
an
an ;
é
|an |2 ;
Â
depois da medição.
Por outro lado, em uma medida fraca, os autovalores não estão totalmente
resolvidos e o sistema não é deixado em um autoestado de
uma superposição de autoestados.
Â,
mas sim em
Se uma pós-seleção é feita, esta super-
posição de autoestados pode interferir de forma coerente de modo a produzir
uma medição que resulte em um valor fraco
dos autovalores de
Â.
B̂
e de modo a escolher um resultado par-
Assim, o estado nal é um autoestado de
como uma combinação linear dos autoestados de
Â
Resumindo, a medição fraca de um observável
ˆ
Pré-seleção do estado inicial do sistema
sendo
ˆ
podendo estar fora da gama
A pós-seleção pode ser realizada através de uma forte
medição de algum outro observável
ticular.
Aw
Â|an i = an |an i, |an i
autoestado e
que pode ser expresso
Â.
inclui tipicamente:
|Ψi i,
an
B̂
onde
|Ψi i =
P
autovalor;
Interação fraca entre o sistema físico e o dispositivo de medida;
n
an |an i,
2.1.
INTRODUÇÃO
46
ˆ
Pós-seleção do estado nal do sistema
ˆ
Leitura do dispositivo de medida.
|Ψf i, onde |Ψf i =|bi =
P
n
0
an |an i;
AAV mostraram que em certas circunstâncias, uma medição fraca de um observável
 pode produzir resultados surpreendentes.
O resultado de uma medição
fraca foi denominado pelos autores de valor fraco, que pode ser interpretado
como uma generalização do valor esperado de um observável. Se antes da medida fraca o sistema é preparado num estado
é pós-selecionado para outro estado
|ψf i,
|ψi i e depois da medida o sistema
então o valor fraco de
Â
é denido
como:
Aw =
onde
Aw
hψf |Â|ψi i
,
hψf |ψi i
(2.1)
pode ser muito maior que qualquer um dos autovalores de
for quase ortogonal que
|ψi i.
Â,
se
|ψf i
O interesse fundamental do procedimento de
medição fraca é que este pode ser útil para a amplicação e detecção de efeitos
fracos.
Este efeito ainda é um tema de pesquisa em aberto, onde muitos cientistas
discordam da validade deste efeito ou de sua descrição.
Em um artigo re-
cente [56] os autores mostram que o efeito não se limita à Teoria Quântica.
Este fenômeno se manifesta no mais simples sistema clássico e o efeito nada
mais é que um artefato de brincar com as estatísticas clássicas e pertubações
ao invés de um fenômeno sicamente observável [56]. Em [57, 58], o autor argumenta que o valor fraco de um observável
nenhuma informação útil sobre
Â.
Â,
por si só, não pode fornecer
Isso porque qualquer informação contida
em um valor fraco está fortemente relacionada ao procedimento de medida
utilizado para obter o valor fraco.
O foco desta dissertação não é descrever
temas em aberto, mas, somente apresentar uma ferramenta de amplicação da
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
47
medida, de modo que não abordaremos estas polêmicas.
2.2 Medição Fraca
O ponto de partida da discussão feita por AAV é o modelo padrão de Von
Neumann do processo de medida. O sistema quântico, cujo observável
Â
a ser
medido, é acoplado a um dispositivo de medição por um acoplamento hamiltoniano:
Ĥ = −g(t)q̂ Â,
onde
(2.2)
q̂ é a variável canônica do dispositivo de medida (com momento p̂) e g(t) é
uma função com suporte compacto perto da hora de medição (normalizado tal
que o integrante do tempo é unitário). Um dispositivo de medição ideal tem
bem denido os valores iniciais e nais de
p̂
e a diferença
de leitura do dispositivo que registra o valor de
pf − pi
é o ponteiro
Â.
Considere um estado inicial denido por:
 R
 dqφ (q)|qi
i
|Φi i =
R
 dpφ̃ (p)|pi
i
(representação-q),
(2.3)
(representação-p),
onde
q2
φi (q) ≡ hq|Φi i = exp − 2
4∆
,
φ̃i (p) ≡ hp|Φi i = exp (−∆2 p2 ) ,
(2.4)
∆q · ∆p = ~/2,
com
~=1
e
∆q = ∆.
Vamos supor também que o sistema tenha sido prepa-
2.2.
MEDIÇÃO FRACA
48
rado em algum estado inicial denido
combinação linear de autoestados de
|Ψi i =
|Ψi i
e que este seja escrito como uma
Â:
X
αn |an i.
(2.5)
n
O hamiltoniano total é escrito como o hamiltoniano do sistema físico, hamiltoniano do aparato de medida e o hamiltoniano de acoplamento 2.2. Como o
acoplamento entre o observável e o dispositivo de medida tem uma curta duração, podemos assumir que o hamiltoniano de acoplamento é dominante com
relação aos outros termos do hamiltoniano, tal que todo o sistema (sistema
quântico mais dispositivo de medição) irá evoluir para:
Z
X Z
αn
exp −i Ĥ dt |Ψi i|Φi i =
n
Inserindo
1̂ =
R
dq
e
iqan
q2
exp − 2 |an i|qi.
4∆
(2.6)
dp|pihp|, podemos reescrever a equação (2.6) na representação
de momentos:
X
Z
αn
dp exp
−∆2 (p − an ) 2 |an i|pi.
(2.7)
n
Assim, se
∆p
é pequeno comparado com o intervalo entre os autovalores
an ,
o
dispositivo de medida é deixado em um estado que consiste em picos amplamente separados, onde cada centro dos picos corresponde a um dos autovalores
an .
Portanto, no limite
∆p → 0,
as propriedades de uma medida ideal são sa-
tisfeitas.
No entanto, vamos considerar o limite oposto, em que
que o intervalo entre os autovalores
an .
∆p
é muito maior do
AAV refere-se a este caso como uma
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
49
medida fraca. A probabilidade após o acoplamento é então uma superposição
de gaussianas largas e centradas em seus respectivos autovalores:
℘(p) =
X
|αn |2 exp −2∆2 (p − an )2 .
(2.8)
n
∆p e pequeno ∆), isto irá aproximar a uma única gaussiana
P
2
larga com pico no valor médio de Â, que é hÂi =
n |αn | an . É claro que uma
Neste caso (grande
única medida fraca
dá quase nenhuma informação, uma vez que
∆p hÂi.
Porém, repetindo a medida muitas vezes pode-se mapear toda a distribuição e
então determinar o centroide
hÂi com qualquer precisão desejada.
Uma crítica
a este procedimento, é justamente a necessidade de disponibilidade de um número arbitrário de cópias do estado inicial
vezes.
|Ψi i para se repetir a medida várias
Para dimensões nitas, um estado reprodutível pode ser considerado
conhecido [57, 58]. Logo, se
|Ψi i é conhecido a priori, hÂi também deve ser co-
nhecido. Então por que fazer uma medida fraca para medir algo já conhecido?
O ponto mais interessante deste efeito surge quando se faz uma pós-seleção
do estado do sistema quântico. Isto é, imediatamente após a interação fraca
de
Â,
se faz uma medida de algum outro observável
resultado
B = b.
B̂
e seleciona um único
Isso coloca o sistema quântico em um determinado autoes-
tado nal:
|Ψf i =|bi =
X
0
αn |an i.
(2.9)
n
O procedimento é exatamente análogo à preparação (ou pré-seleção) do estado
inicial
forma:
|Ψi i.
Depois do procedimento de pós-seleção, o estado nal é escrito na
2.2.
MEDIÇÃO FRACA
50
Z
|Φf i = hΨf | exp −i
Ĥ dt |Ψi i|Φi i,
= hΨf |eiq̂Â |Ψi i|Φi i.
(2.10)
Esta expressão pode ser diretamente avaliada usando as expansões de
|Ψf i.
|Ψi i
e
Na representação-q,
|Φf i =
X
0∗
Z
αn αn
dqe
q2
exp − 2 |qi,
4∆
(2.11)
−∆2 (p − an )2 |pi.
(2.12)
iqan
n
e na representação-p,
|Φf i =
X
0∗
Z
αn αn
dp exp
n
O valor fraco do observável de
Â
surge quando expandimos o termo
eiq̂Â
da
equação 2.10;
|Φf i = hΨf |eiq̂Â |Ψi i|Φi i,
' hΨf |Ψi i + iq̂hΨf |Â|Ψi i + ... |Φi i,
' hΨf |Ψi i 1 + iq̂ Âw + ... |Φi i,
Z
q2
iqAw
|Φf i ' hΨf |Ψi i dqe
exp − 2 |qi.
4∆
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Note que a passagem da equação 2.14 para 2.15 mostra como a denição do
valor fraco apresentado na equação 2.1 surge.
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
51
Na representação de momento, o estado nal
Z
|Φf i ' hΨf |Ψi i
dp exp
|Φf i
da equação 2.16 torna-se:
−∆2 (p − Aw )2 |pi.
(2.17)
Obviamente este é um único vetor de estado com distribuição gaussiana centrada em
Aw .
O que torna este resultado desconcertante é que
fora, muito fora, do intervalo dos autovalores de
|Ψi i
e o estado nal
|Ψf i
an
Aw
pode estar
quando o estado inicial
são quase ortogonais.
Vale notar que em 2.14 os termos de ordem superior da expansão exigem que;
para todo
n ≥ 2.
|q n hΨf |Ân |Ψi i| |hΨf |Ψi i| ,
(2.18)
|q n hΨf |Ân |Ψi i| |qhΨf |Â|Ψi i|,
(2.19)
Mas para que a manipulação da equação 2.15 para a equação
2.16 tenha validade, temos que assumir que
|qAw | 1,
tal que as condições
em 2.18 e 2.19 também são satisfeitas.
Em resumo, a validade do cálculo feito por AAV requer:
∆ 1/Aw
e
hΨ |Â|Ψ i 1/(n−1)
f
i ∆ minn=2,3,... .
hΨf |Ân |Ψi i (2.20)
2.3.
EXEMPLO ENVOLVENDO PARTÍCULAS DE SPIN 1/2
52
2.3 Exemplo envolvendo partículas de spin 1/2
AAV ilustra a sua discussão geral com o seguinte experimento de um feixe de
partículas de spin
1/2,
movendo na direção
y
e com velocidade bem denida é
apresentado na Figura 2.1. O feixe é preparado de tal modo que os spins estão
orientados no plano
componente
z
xz
formando um ângulo
α
com o eixo
x.
A medida da
do spin é realizada de maneira usual, fazendo o feixe de partí-
culas passar por um ímã de Stern-Gerlach, produzindo assim um acoplamento
entre o operador de spin
σ̂z
e a coordenada
z , descrito através do hamiltoniano
de acoplamento.
Ĥ = −λg(t)ẑσ̂z ,
onde
λ
(2.21)
é proporcional ao momento magnético da partícula e a função
g(t)
(a qual surge a partir da passagem do feixe de partículas através da região
que localiza o campo magnético não homogêneo) é normalizada. Utilizando a
terminologia da Seção 2.2, o estado
tícula e
λσ̂z ,
|Φi
|Ψi
corresponde ao estado do spin da par-
ao estado translacional. Iremos considerar uma medida fraca de
em que a divisão do feixe
δpz ,
induzido pelo primeiro ímã Stern-Gerlach
na Figura 2.1 é pequeno comparado com
∆pz = 1/(2∆),
onde
∆
é a cintura
do feixe.
Figura 2.1: Ilustração do arranjo experimental proposto para observação do
efeito AAV para feixe de partículas de spin 1/2. Figura reproduzida de [54].
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
Assim, as componentes
53
σz = +1
e
σz = −1
do feixe continuam a sobrepor-
se fortemente e não estão claramente separados como seria em uma medida
forte. Uma pós-seleção do estado é feita pela passagem do feixe através de
um segundo ímã Stern-Gerlach com forte campo alinhado na direção
divide o feixe em dois feixes bem separados espacialmente e o
x.
σx = +1
Isto
é sele-
cionado e fotografado em uma tela distante.
O estado inicial é o autoestado
base dos autoestados de
σz
+1
de
(cos α)σx + (sin α)σz .
Escrevendo na
temos que,


cos(α/2) + sin(α/2)
1
,
|Ψi i = √ 
2 cos(α/2) − sin(α/2)
e o estado nal é o autoestado
+1
de
(2.22)
σx .

1

1
|Ψf i = √   .
2 1
(2.23)
hΨf |Ψi i = cos(α/2), hΨf |σ̂z |Ψi i = sin(α/2).
(2.24)
De modo que
O valor fraco da componente de spin
σz
é:
Aw = (λσz )w = λ tan
α
2
.
(2.25)
2.3.
EXEMPLO ENVOLVENDO PARTÍCULAS DE SPIN 1/2
54
A descrição da função de onda espacial inicial é representada a seguir:
z2
φi (q) ≡ hq|Φi i = exp − 2
4∆
f (x, y).
(2.26)
A dependência de x e y da equação 2.26 é irrelevante e vamos ignorá-la daqui
por diante. Substituindo os resultados descritos acima na equação 2.17, temos
que a função de onda na representação de momento é dada por:
α 2 2
φ̃f (p) ≡ hp|Φf i ' cos
exp −∆ pz − λ tan
.
2
2
α
(2.27)
Assim, o resultado mostra que a distribuição observada será gaussiana, centrada no valor
tan(α/2) (numa escala onde σz = +1 corresponde ao valor +1).
O surpreendente é que, quando
α
se aproxima de
π , tan(α/2)
pode ser muito
maior que a unidade. Para este exemplo o resultado é válido, desde que:
h
α
α i
∆ λ−1 min tan
, cot
.
2
2
Para melhor entendimento, vamos considerar o caso onde
1.
(2.28)
α = π − 2,
com
A equação 2.27 se reduz a:
"
2 #
λ
φ̃f (p) ' exp −∆2 pz −
,
e é válida se,
λ∆ 1.
O resultado exato correspondente pode ser obtido da equação 2.12:
(2.29)
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
55
φ̃f (p) = ϕ(pz ; , ∆, λ),
ϕ
onde
é uma função de
p,
com parâmetros
, ∆
e
(2.30)
λ
denidos por:
ϕ(pz ; , ∆, λ) = 1/2 (1 + ) exp −∆2 (p − λ)2 − (1 − ) exp −∆2 (p + λ)2 .
(2.31)
Note que
λ
pode ser eliminado por uma relação de escala
ϕ(p; , ∆, λ) = ϕ(p/λ; , λ∆, 1).
(2.32)
A equação 2.31 torna evidente que a função de onda nal é uma superposição de duas gaussianas centradas em
σz =±1.
p =±λ,
correspondendo aos autoestados
O truque da amplicação consiste em um cancelamento nas proximi-
dades dos dois termos da equação 2.31, quando
1,
deixando assim apenas
uma pequena parcela no resultado nal que é aproximadamente uma gaussiana
centrada em
p = λ/.
Esta situação está representada na Figura 2.2, onde o
centro da função de onda é deslocada por um valor amplicado
com
P ≡ p/λ.
A Figura 2.2(b) é a gura amplicada de 2.2(a), em que a linha
vertical tracejada vermelha está localizada em
P = 0.
O efeito de amplicação torna-se mais evidente cada vez que
(para
à
1/
∆
P = 1/ = 5,
é feito menor
xo). O deslocamento para a direita do pico aumenta proporcional
até que a condição
torna-se da ordem
λ∆ 1
seja quebrada, que acontece quando
λ∆.
O deslocamento do pico não pode exceder
O(1/∆)
ou então o efeito satura,
2.3.
EXEMPLO ENVOLVENDO PARTÍCULAS DE SPIN 1/2
0,2
56
0,201
0,2
0,15
φ(P)
φ(P)
0,199
0,1
0,198
0,197
0,05
0,196
0,195
0
-300
-200
-100
0
100
200
-10
300
0
-5
= 0,2.
20
25
(b)
Figura 2.2: (a) Gráco da função
e
15
P
(a)
λ∆ = 0,01
10
5
P
ϕ(p; , ∆, λ)
em função de
P ≡ p/λ
com
Note que a função se assemelha a uma única gaussiana
cujo pico, mostrado na gura ampliada em (b), é deslocado para
P = 1/ = 5.
2,5
0,015
2
-4
1,5
2
|φ(P)| /10
φ(P)
0,01
0,005
0
-0,005
-300
1
0,5
-200
-100
0
100
200
300
P
0
-300
-200
Figura 2.3: (a) Gráco da função
0
100
200
300
P
(a)
= λ∆ = 0,01.
-100
(b)
ϕ(p; , ∆, λ)
em função de
P ≡ p/λ
com
(b) Distribuição de probabilidade.
como pode ser visto na Figura 2.3.
Note que na Figura 2.3(a), a função de
onda não apresenta uma distribuição gaussiana como foi visto na Figura 2.2(a)
e isto torna-se mais evidente quando
diminui ainda mais. Em termos de dis-
tribuição de probabilidade surge um segundo pico pequeno como pode ser visto
na Figura 2.3(b).
Finalmente, se
é igual à zero, obtém-se uma função de onda antissimétrica na
Figura 2.4(a), que produz dois picos de mesma magnitude na distribuição de
probabilidade 2.4(b). É claro que nesta situação, a condição de medida fraca é
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
57
8
0,005
2
|φ(P)| /10
φ(P)
-5
6
0
4
2
-0,005
-300
-200
-100
0
100
200
0
-300
300
-200
-100
0
(a)
e
λ∆ = 0,01.
200
300
(b)
Figura 2.4: (a) Gráco da função
= 0,0
100
P
P
ϕ(p; , ∆, λ)
em função de
P ≡ p/λ
com
(b) Distribuição de probabilidade.
quebrada, contudo o efeito de medida fraca é ainda um tanto impressionante,
pois os dois picos estão localizados em
P/λ =±70
em vez de
±1).
p '±70/∆
e não em
±λ
(de modo que
No entanto, esta distribuição surge a partir da
superposição da função de onda das componentes
σz =±1,
apenas.
2.4 Analogia em Óptica
Nesta Seção apresentaremos uma analogia em Óptica do experimento de SternGerlach descrito na Seção 2.3. Aqui o feixe de partículas de spin 1/2 é substituído por um feixe laser com modo Gaussiano e a pré-seleção e pós-seleção
do magneto Stern-Gerlach são substituídos por polarizadores ópticos. A montagem experimental é apresentada na Figura 2.5 que foi retirada da referên-
T
cia [29]. O feixe laser de He-Ne é colimado e focalizado por um telescópio
e lente
L1 ,
respectivamente, em seguida é polarizado por um ângulo
relação ao eixo x ao passar pelo polarizador
refringente
Q
P1 .
α
com
Uma placa de quartzo bir-
com eixo ótico (OA) alinhado ao longo do eixo x é localizado
próximo da posição do raio mínimo do feixe. O polarizador
com relação ao eixo x, pós-seleciona a polarização nal.
P2
com ângulo
Por m a lente
β
L2
2.4.
ANALOGIA EM ÓPTICA
58
expande o feixe que detecta a intensidade do feixe ao longo do eixo y com um
fotodetector
D. Os autores foram os primeiros a realizar um experimento do
efeito de medição fraca em Óptica, utilizando uma placa de cristal de quartzo
birrefringente que separa espacialmente as duas polarizações da radiação laser
por uma distância que é muito menor que o raio do feixe laser, correspondendo
assim a uma medida fraca.
Figura 2.5: Montagem experimental retirada da referência [29]. Onde He-Ne é
o laser de comprimento
o feixe laser,
β
L1
e
L2
λ = 0.633
são as lentes,
nm,
T representa o telescópio para colimar
P1
P2
e
com relação ao eixo x, respectivamente,
são os polarizadores com ângulo
αe
Q é a placa de quartzo birrefringente
com eixo ótico (OA) alinhado ao longo do eixo x e
D é o fotodetector.
Assumindo que o feixe de luz propaga na direção z e após ser pré-selecionado
pelo polarizador
α
P1 ,
seu campo elétrico é linearmente polarizado com ângulo
com respeito ao eixo x. O vetor campo elétrico após ser pré-selecionado é
descrito por:


2
2
cos(α)
~ i = Eo exp − x + y 
,
E
2
wo
sin(α)
(2.33)
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
onde
wo
59
é o raio mínimo do feixe. Em seguida, a luz é incidente numa placa
birrefringente (Q ), cujo eixo ótico é alinhado com o eixo x. O plano da placa
inclui o eixo x e é rodado a partir do eixo y por um ângulo
θ.
A placa birre-
fringente interage fracamente com o feixe que executa uma separação espacial
das componentes de polarização linear e ortogonais do campo, correspondentes aos raios ordinários e extraordinários, por uma distância
comparado com
nimo
wo .
wo = 55 µm
a
que é pequena
No experimento, foi utilizado um feixe laser de raio mí-
e a placa está rodada por um ângulo
assim, um deslocamento espacial de
θ = 30°
produzindo
a = 0,64 µm entre as polarizações do feixe
incidente. Além disso, a placa birrefringente introduz uma diferença de fase
φ
entre os dois raios, devido a uma diferença de caminho ótico entre eles.
Depois de passar pela placa, o campo elétrico (ignorando a quantidade de
deslocamento devido à refração comum a ambas componentes de polarização)
é:
(y + a)2 iφ
e
 cos(α) exp − wo


(y)2
sin(α) exp −
wo

2
~ w = Eo exp − x
E
wo


.

A pós-seleção é executada por um alinhamento do polarizador
β
(2.34)
P2
a um ângulo
com respeito ao eixo x, tal que.
2
(y
+
a)
cos(α) cos(β) exp −
eiφ
2

x
w
~ f = Eo exp −

o 2
E
(y)
wo 
sin(α) sin(β) exp −
wo

A intensidade da luz transmitida
de eixo y [
I(y) ∝|Ef |2
]:
I(y)


.

(2.35)
é detectada pelo fotodetector ao longo
2.4.
ANALOGIA EM ÓPTICA
60
2(y + a)2
2y 2
2
2
2
2
I(y) = Io cos(α) cos(β) exp −
+ sin(α) sin(β) exp −
wo
wo
2
y + (y + a)2
,
+2 cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) cos(φ) exp −
wo
(2.36)
onde
Io
corresponde ao máximo de intensidade e é proporcional a
|Eo |2 .
Os dados experimentais e as curvas teóricas da equação 2.36 são apresentados na Figura 2.6. Inicialmente os autores mantiveram os polarizadores com
a mesma orientação
α = β = π/4
com relação ao eixo x. Neste caso, o termo
de interferência da equação 2.36 contribui construtivamente. Sendo
a wo ,
o perl de intensidade do feixe é essencialmente uma única gaussiana com
intensidade centrada em
Io
como é visto na Figura 2.6(a) na curva de linha
contínua. Com os dados experimentais da Figura 2.6(a) os autores obtiveram
a informação do raio do feixe gaussiano na posição onde estava localizado o
fotodetector a partir de um ajuste de uma curva gaussiana (linha pontilhada
na Figura 2.6(a)).
A Figura 2.6(b) corresponde à situação que AAV chama de medida fraca.
Neste caso,
α = π/4
e
β = α + π/2 + ,
com
= 2,2x10−2
rad, de modo
que a pré-seleção e pós-seleção dos estados de polarização são quase ortogonais. Para essa situação, as duas gaussianas interferem destrutivamente. Se
1
a/wo
2
1,
a interferência vai produzir uma única gaussiana com pico
centrado no valor fraco,
Aw ≈ 21 a cot ,
que pode ser muito maior que
caso da Figura 2.6(b), o deslocamento amplicado foi de
Aw = 12 µm.
a.
No
Deve-
se notar que a amplitude da gaussiana resultante é varias ordens de grandeza
menor do que a amplitude da gaussiana mostrada na Figura 2.6(a).
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
61
Figura 2.6: Dados experimentais representado em linha sólida e curva teórica
da equação 2.36 em linha pontilhada. Em (a) situação onde os polarizadores
tem a mesma orientação, em (b) os polarizadores são quase ortogonais e em
(c) os polarizadores são ortogonais. Figura retirada de [29]
A Figura 2.6(c) corresponde ao caso onde os polarizadores são ortogonais
(
= 0).
Aqui, o termo de interferência é destrutivo, causando um quase
cancelamento da intensidade. O restante da intensidade consiste em dois picos
que são 5 ordens de magnitude menos intensos do que
distância muito maior que
a,
aproximadamente
Io
e separado por uma
21/2 wo .
2.5 Aplicando ao deslocamento GH
Esta Seção vamos descrever de forma geral o artigo [28]. Este foi o primeiro artigo experimental a observar o deslocamento GH via medição fraca. A Figura
2.7 apresenta a montagem experimental usada pelos autores [28]. Os autores
2.5.
APLICANDO AO DESLOCAMENTO GH
62
utilizaram no experimento um laser de diodo de comprimento de onda
λ = 833
nm acoplado a uma bra óptica monomodo com uma lente objetiva acoplada
em sua saída. Em seguida o feixe é colimado usando a combinação das lentes
L1
e
L2
P1
e
P2 , o prisma por (PRISM) e as placas de um quarto de onda e meia onda,
por um raio de
w0 = 260 µm.
Os polarizadores são representados por
(QWP do inglês Quater Wave Plate) e (HWP do inglês Half Wave Plate),
respectivamente. A polarização inicial
ângulo
α
e
β,
P1
e nal
P2
respectivamente com relação ao eixo
são selecionados por um
x do plano xy.
Figura 2.7: Montagem experimental da medição fraca do deslocamento GH.
Sendo que os polarizadores (P1 e
P2 ), prisma (PRISM), placa de um quarto de
L1 e L2 . Figura reproduzida
onda (QWP), placa de meia onda (HWP) e lentes
de [28].
A descrição do modelo do deslocamento GH via medição fraca é análogo a
descrição feita na Seção 2.4. O que difere da descrição e na montagem experimental com o descrito na Seção 2.4 são as placas QWP e HWP. Estas placas
são inseridas de modo a retirar a fase adicional que surge quando o feixe sofre
reexão interna total, de modo que pode ocorrer mudança no estado de polarização da onda reetida com relação a onda incidente, situação esta que foi
discutida na Seção 1.2.
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
63
O campo elétrico ao passar pelo polarizador inicial (P1 ) é descrito por:
x2
 cos(α) exp − w2
o
~
E(x)
=

x2
sin(α) exp − 2
wo



,

(2.37)
e após sofrer o deslocamento GH no prisma é escrito na forma:
(x − Dp )2
δ
 cos(α) exp −i 2 exp −
wo2 ~
E(x) = 

δ
(x − Ds )2
sin(α) exp i
exp −
2
wo2

onde
δ = φp − φs
é a diferença de fase entre a onda


,

(2.38)
p e onda s após reexão
interna total. O deslocamento GH devido a reexão interna total é denido
como
Dp
para onda
p e
Ds
para onda
s. As placas QWP e HPW são intro-
duzidas após o feixe passar pelo prisma para eliminar a fase adquirida.
Na
representação de matriz de Jones a combinação das placas QWP e HWP é
dada por:


e
−iδ/2
0
0
eiδ/2

.
(2.39)
Desta forma, após passar pelas placas QWP, HWP o campo elétrico é dado por:
(x − Dp )2
 cos(α) exp −
wo2
~
E(x)
=

(x − Ds )2
sin(α) exp −
wo2

Por m, o polarizador
pelo ângulo
β
P2


,

(2.40)
projeta o campo elétrico ao longo da direção denida
tal que a componente x do campo é dado por:
2.5.
APLICANDO AO DESLOCAMENTO GH
64
(x − Dp )2
E(x) = cos(β) cos(α) exp −
wo2
(x − Ds )2
.
+ sin(β) sin(α) exp −
wo2
(2.41)
Escrevendo a equação 2.41 na forma,
E(x) = cos(α + β)Ẽ(x − a; , w0 , ∆yGH ),
com
a = (Dp + Ds )/2, ∆yGH = (Dp − Ds )
(x − ∆yGH /2)2
Ẽ(x) = (1 + ) exp −
wo2
e
tan ≈ , Ẽ
(2.42)
é dado por:
(x + ∆yGH /2)2
− (1 − ) exp −
wo2
.
(2.43)
Esta última forma deixa evidente que o resultado nal é uma superposição de
duas gaussianas centradas em
x = ±∆yGH /2.
medida fraca é satisfeita, ou seja,
1
∆yGH /w
2
Note que quando a condição de
1,
as duas gaussianas in-
terferem destrutivamente e produzem uma única gaussiana deslocada por um
valor fraco,
1
∆yGH
2
cot ≈ 12 ∆yGH / ∆yGH
.
A Figura 2.8 apresenta o comportamento da intensidade do campo elétrico
descrito na equação 2.42, com ângulo de incidência
em (b) e
θ = 44°
θ = 41,4°
em (a),
θ = 42°
em (c). Estes ângulos refere-se ao ângulo de incidência do
campo elétrico na segunda face do prisma e esta relacionado com a magnitude
da diferença do deslocamento GH para onda
1.9 e 1.8, respectivamente com
p e onda s, descrita nas equações
n−1 = 1,515
e
λo = 633
nm.
As curvas em
preto são para situação em que os polarizadores estão ortogonais
= 0,0°,
em
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
65
1
0,5
0,8
0,4
|E(x)| (arb. units)
0,6
2
2
|E(x)| (arb. units)
ANALOGIA COM ÓPTICA
0,4
0,2
0
-300
0,3
0,2
0,1
-200
-100
0
100
200
300
0
-300
-200
-100
x (µm)
0
100
200
x (µm)
(a)
(b)
0,5
2
|E(x)| (arb. units)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-300
-200
-100
0
100
200
300
x (µm)
(c)
Figura 2.8: Perl de intensidade do feixe após passar pelo polarizador nal.
As curvas em preto, vermelho e azul são para as situações
= 0,5°, respectivamente. Em (a) para θ = 41,4°,
para θ = 44°. Com ângulo crítico θc = 41,3.
e
= 0,0°, = −0,5°
θ = 42° e (c)
(b) para
vermelho e azul para as situações quase ortogonais com
= −0,5°
e
= 0,5°,
respectivamente.
Para ângulos próximo do ângulo crítico a condição de medida fraca não é mais
satisfeita pois surgi um segundo pico de intensidade na situação de quase ortogonalidade dos polarizadores dada na Figura 2.8(a). Neste caso é necessário
aumentar o tamanho do raio do feixe para que a condição de medida fraca seja
satisfeita. Enquanto nas Figuras 2.8(b) e 2.8(c) a condição de medida fraca é
satisfeita, além de que, observa-se que o perl de intensidade para
= 0,0°
e
300
2.5.
APLICANDO AO DESLOCAMENTO GH
a separação entre os máximos para
= −0,5°
e
66
= 0,5°
diminui quanto maior
for o ângulo de incidência com relação ao ângulo crítico. Isso vem do fato que
o deslocamento GH diminui quanto maior for o ângulo de incidência.
Figura 2.9: Dados experimentais do deslocamento GH via medição fraca comparado com a curva analítica de Artmann. Figura adaptada de [28].
O procedimento de medida do deslocamento GH via medição fraca descrito
em [28], foi feito medindo a separação entre os máximos de intensidade dos
dois feixes correspondentes a
α = π/4 e β = α + π/2 ± .
locamento GH (∆yGH ) e o valor fraco medido (∆Y
A relação entre o des-
= Y ()−Y (−)) é dado por:
∆yGH = ∆Y tan ≈ ∆Y .
(2.44)
O resultado obtido em [28] é apresentado na Figura 2.9, onde os dados experimentais são os pontos pretos e a curva contínua é a fórmula analítica de
Artmann. A medida concorda muito bem com a curva analítica de Artmann,
mostrando que o procedimento de medida utilizando o efeito de medição fraca
é bastante útil.
CAPÍTULO 2.
MEDIÇÃO FRACA EM MECÂNICA QUÂNTICA E
ANALOGIA COM ÓPTICA
67
2.6 Considerações nais
Neste capítulo introduzimos o conceito de medida fraca, valor fraco e qual o
procedimento de medir o valor fraco de um observável de forma simples. Em
seguida descrevemos o desenvolvimento descrito pela primeira vez por AAV [30]
com as correções feitas por Duck e seus colaboradores [54], mostrando quais as
condições necessárias para obter o valor fraco. Por m aplicamos e discutimos
a validade dos resultados obtidos para um feixe de partículas de spin
analogia em óptica [29] e para o caso do deslocamento GH [28].
1/2
[54],
Capítulo 3
Medição Fraca do deslocamento
Goos-Hänchen
Neste capítulo vamos apresentar detalhes da montagem experimental e o procedimento experimental utilizado para medir o deslocamento GH. Consequentemente, apresentaremos as diculdades obtidas e as limitações da técnica de
medição fraca. Na Seção de resultados e discussão vamos discutir a diferença
do experimento feito no artigo [28] com o nosso, observando uma discrepância
entre os resultados experimentais com o teórico. Nossos resultados provam a
existência de uma dependência axial entre a medida e o efeito observável, onde
a relação teórica entre eles é descrita em [59]. Discutiremos também a inserção
de um fator fenomenológico no fator de correção da medida amplicada, algo
não citado na literatura mostrando que sua utilização faz os dados experimentais reproduzirem a curva analítica descrita na Seção 1.3 na região em que é
válida, como também os resultados numéricos do deslocamento GH utilizando
um feixe gaussiano apresentado na Seção 1.4.
68
CAPÍTULO 3.
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO
GOOS-HÄNCHEN
69
3.1 Experimento
3.1.1 Montagem experimental
O arranjo experimental usado neste trabalho é mostrado na Figura 3.1. Foi
utilizado um laser Hélio-Neônio (HeNe) de comprimento de onda
633 nm onde
este é acoplado a uma bra óptica para reduzir o máximo possível a instabilidade direcional do feixe que são produzidos pelos elementos ópticos antes da
bra e do próprio laser por ser à gás. Após a saída da bra, montamos um
telescópio com as lentes (L1 e
L2 )
com foco f1
=5
cm e f2
= 20
cm, respec-
tivamente, para aumentar a largura do feixe gaussiano e deixá-lo colimado.
Em seguida, com a lente (L3 ), focalizamos o feixe com foco f3
posicionamos o prisma (BK7,
n = 1,515
focal, onde o raio do feixe no foco é de
de Rayleigh de
zR = (14,3 ± 0,1)
em
633
P1
e
P2
cm e
nm) exatamente na posição
wo = (169,4 ± 0,3) µm
e comprimento
cm. O prisma é montado sobre um estágio
de rotação para o ajuste do ângulo de incidência com passo de
Os elementos
= 100
são polarizadores com passo de
∆ = 0,04°
∆θ = 0,02°.
e têm o papel
de denir a polarização do feixe de entrada e saída, respectivamente. As placas de um quarto de onda (QHP do inglês Quater Wave Plate) e meia onda
(HWP do inglês Half Wave Plate) são ajustadas para eliminar a fase ganha
pelo feixe após reetir no prisma, obtida pelos coecientes de Fresnel quando
o feixe sofre reexão interna total. A câmera CCD é utilizada para observar
o perl transversal do feixe nal e medir o deslocamento GH amplicado para
cada ângulo de incidência. Todo o aparato após o prisma ( QHP, HWP,
P2
e
CCD ) é montado sobre uma placa de acrílico de modo que para cada ângulo
de incidência no prisma, move-se todo o conjunto manualmente de uma só vez
e fazendo com que todos estejam perpendicular com o feixe gaussiano.
3.1.
EXPERIMENTO
70
Figura 3.1: Arranjo Experimental, em que (HeNe) é o laser de HeNe, (L1 ,
L2 e
espelhos, (P1
L3 ) lentes com foco 5 cm, 20 cm e 100 cm, respectivamente, (M)
e P2 ) polarizadores, (PRISM) prisma, (QWP) placa de um quarto
de onda,
(HWP) placa de meia onda e (CCD) câmera CCD. A posição do prisma é
denido como
z=0
cm.
3.1.2 Procedimento experimental
Durante todo o experimento, o polarizador
xo
α = π/4
P1
é pré-selecionado com ângulo
com relação ao eixo x, de modo que o feixe de luz após passar
por ele, tenha uma combinação linear da onda
s e onda p da luz ao incidir no
prisma. A interação fraca ocorre no prisma entre o sistema físico (feixe laser) e
o dispositivo de medida (deslocamento GH), enquanto as placas QWP e HWP
é utilizada para retirar a fase ganha quando o feixe sofre reexão interna total
no prisma. Em seguida o sistema é pós-selecionado com o polarizador
variado para três situações:
P2
que é
(β − α) = (π/2, π/2 + , π/2 − ) para cada ângulo
de incidência no prisma.
Inicialmente o polarizador
P2
é mantido ortogonal ao polarizador
P1
e como
já mencionado no Capítulo 2, está é a situação que o efeito de medida fraca
não é valido e observaremos então um perl de intensidade com dois máximos.
Contudo é necessário eliminar a fase ganha no prisma ajustando as placas
QWP e HWP, de modo que sabemos que a fase foi eliminada quando o perl
CAPÍTULO 3.
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO
GOOS-HÄNCHEN
71
transversal de intensidade do feixe observado na câmera vai a zero entre os
máximos de intensidade. Está situação é representada na Figura 3.2(b). Após
eliminar totalmente a fase, o polarizador
larizador
P1
por
±.
ortogonalidade com
P2
é tirado de ortogonalidade do po-
As Figuras 3.2(a) e 3.2(c) mostra a situação de quase
= 0,5°
(a)
e
= −0,5°,
respectivamente.
(b)
(c)
Figura 3.2: Perl espacial de intensidade do feixe nal observado na câmera
com a diferença entre os ângulos dos polarizadores,
α − β = π/2
em (b) e
α − β = π/2 − em (c). Em
α − β = π/2 + em (a),
todos os casos, = 0,5°.
A medida do valor fraco é então obtida fazendo a diferença entre as coordenadas dos centroides para a situação em que
β = α + π/2 + e
β = α + π/2 − .
O procedimento de medição do centroide é feito usando um programa de estabilidade direcional do feixe incidente na câmera, onde o programa informa
a média das coordenadas do centroide e sua incerteza para um número
medidas em um intervalo de
≈ 40 segundos.
≈ 150
A Figura 3.3 apresenta a janela de
análise do programa utilizado para medir a estabilidade direcional do centroide
do feixe, tal que cada ponto representa a posição direcional do centroide e as
cores a frequência com que os pontos estão se repetindo.
3.2.
DIFICULDADES EXPERIMENTAIS
72
Figura 3.3: Programa que determina as coordenadas da posição média direcional do centroide do feixe incidente na câmera.
3.2 Diculdades Experimentais
Alguns problemas experimentais foram observados com o andar da montagem,
como a instabilidade direcional do feixe laser, precisão na situação onde os polarizadores estão fora de ortogonalidade e limitações do efeito de medida fraca,
ocasionando erros na magnitude do resultado nal. A instabilidade direcional
era ocasionada por vibrações mecânicas nos elementos ópticos, principalmente
nos suportes de espelhos e do próprio laser.
Para reduzir está instabilidade
foi necessário minimizar o número de elementos ópticos na montagem do experimento e acoplar o feixe a uma bra óptica, de forma que os elementos
ópticos antes do acoplamento não inuenciariam na estabilidade direcional e
também evitava deformação do perl transversal do feixe por irregularidades
nas superfícies dos elementos ópticos localizados antes da bra. A precisão de
foi solucionada adquirindo um suporte rotatório com melhor resolução, onde
o erro foi reduzido
2,5
vezes comparado com o antigo suporte.
Em seguida
vamos apresentar alguns problemas observados durante as medidas do deslocamento GH, como perl de intensidade assimétrico, múltiplas reexões, entre
CAPÍTULO 3.
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO
GOOS-HÄNCHEN
73
outras.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.4: Perl espacial de intensidade do feixe nal observado na câmera
com a diferença entre os ângulos dos polarizadores, (a)
α − β = π/2
e (c)
α − β = π/2 − .
Em todos os casos,
α − β = π/2 + ,
= 0,5°.
(b)
As Figuras 3.4(b) e 3.5(b) representam a situação em que os polarizadores
estão ortogonais e com a fase relativa ganha no prisma cancelada pelas placas
QWP e HWP para dois ângulos de incidência diferentes, enquanto que nas
Figuras 3.4(a) e 3.4(c), os polarizadores são quase ortogonais por uma diferença de
+
e
−
com
= 0,5°,
respectivamente. Nestas duas Figuras nota-se
que a distribuição de intensidade são distintas, sendo uma mais intensa que a
outra, além de apresentar um segundo pico de intensidade, mostrando que a
condição do efeito de medida fraca não é satisfeita. As Figuras 3.5(a) e 3.5(c)
também representam a condição de quase ortogonalidade e apresentam com
mais evidência a condição do efeito de medida fraca não sendo satisfeita.
Um problema mencionado na referência [28] e também observado aqui, é
quando ocorre interferência entre o feixe nal e as múltiplas reexões internas no prisma, impossibilitando medir o deslocamento, como ilustrado na Figura 3.6(b).
Na Figura 3.6(a) é observado o surgimento de outros picos de
intensidade ao lado da gaussiana a direita. Tanto a Figura 3.6(a) e 3.6(b) correspondem à situação onde os polarizadores são ortogonais. Para este ângulo
3.2.
DIFICULDADES EXPERIMENTAIS
(a)
74
(b)
(c)
Figura 3.5: Perl espacial de intensidade do feixe nal observado na câmera
com a diferença entre os ângulos dos polarizadores, (a)
α − β = π/2
e (c)
α − β = π/2 − .
Em todos os casos,
α − β = π/2 + ,
= 0,5°.
(b)
de incidência da Figura 3.6(a), em particular, não tivemos problemas com as
medidas. Porém, para pequenas variações em torno deste ângulo de incidência da Figura 3.6(a), estes picos deixam de ser desprezíveis, como é visto na
Figura 3.7(b), impossibilitando a medida do centroide da gaussiana predominante com precisão. As Figuras 3.7(a) e 3.7(c), apresentam a situação em que
os polarizadores são quase ortogonais.
(a)
(b)
Figura 3.6: Perl espacial de intensidade do feixe para o prisma BK7 com (a)
θ = 43, 4°e (b) θ = 44, 0°observado na câmera com a diferença entre os ângulos
dos polarizadores de α − β = π/2.
Tentativa de medida direta do deslocamento Goos-Hänchen foram feitas com
o intuito de contornar estes problemas observados utilizando o método de
CAPÍTULO 3.
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO
GOOS-HÄNCHEN
75
medição fraca. Porém, além de existir instabilidade direcional na montagem
experimental como já foi citado, também foi detectado que ao modicar a
polarização incidente no prisma, o polarizador modicava o percurso de propagação da luz.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.7: Perl espacial de intensidade do feixe para o prisma UV com θ =
43, 35° observado na câmera com a diferença entre os ângulos dos polarizadores,
(a) α − β = π/2 + , (b) α − β = π/2 e (c) α − β = π/2 − .
Tentamos selecionar a polarização da luz antes de passar pela bra óptica com
placas de meia onda e um quarto de onda, porém a ordem de grandeza do
deslocamento Goos-Hänchen divergia bastante do esperado, mostrando que a
medida direta do deslocamento Goos-Hänchen não foi factível em nossa montagem. Nestas condições, a técnica de medição fraca mostrou-se indispensável
para a observação experimental do efeito.
3.3 Resultados e Discussão
Os autores do artigo [28] foram os primeiros a medir o deslocamento GH via
medição fraca.
Eles estavam interessados em reproduzir a medida feita por
Goos-Hänchen [5] utilizando um método que mostra ser bastante poderoso no
que se refere a amplicação de uma medida. Em nosso trabalho, estamos interessados em estudar o uso de medição fraca para medir o deslocamento GH
3.3.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
em torno do ângulo crítico.
76
Apesar de estarmos trabalhando com um feixe
focalizado exatamente na posição do prisma, o deslocamento GH não depende
da propagação do feixe na região em que as equações de Artmann é válida. No
entanto foi observado a dependência na propagação do feixe.
4
7
(a)
z = 18,5 cm
3,5
3
5
2,5
4
2
3
∆yGH(µm)
1,5
(b)
z = 25 cm
6
2
1
41
41,5
42
4
1
41,2
3
3
2,5
2
2
1,5
1,5
41,4
41,6
41,8
41,6
41,8
42
1
41,2
41,4
41,6
42
(d)
z = 25 cm
3,5
2,5
1
41,2
41,4
4
(c)
z = 20 cm
3,5
43
42,5
41,8
42
θ (graus)
Figura 3.8: Deslocamento GH em função do ângulo de incidência na segunda
face do prisma. Os dados experimentais são representados pelos pontos, onde
os círculos de cor preta representam
= 0,5°
e vermelha
= 1,0°,
em preto
tracejado é o deslocamento GH analítico obtido por Artmann e preto pontilhado indica
z = 25,0
θc .
Com
w0 = 150,0 µm e z = 18,5 cm em (a), w0 = 169,4 µm
w0 = 169,4 µm e z = 20,0 cm em (c)
e
cm em (b) e (d) e
A Figura 3.8 apresenta as medidas do deslocamento GH corrigidas pela amplicação (cot ≈ ) em função do ângulo de incidência com situações diferentes.
Em todos os casos apresentado na Figura 3.8 o deslocamento GH que está representado pelos pontos preto com
= 0,5°
e pontos vermelhos com
= 1,0°,
difere da curva analítica de Artmann [4] dada pela linha tracejada preta. Na
Figura 3.8(a) a medida foi feita a uma distância de
18,5
cm entre a câmera e
o prisma, com a montagem experimental idêntica ao da Figura 3.1, diferenci-
CAPÍTULO 3.
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO
GOOS-HÄNCHEN
77
ando apenas o raio mínimo do feixe de
w0 = 150 µm
no prisma. Inicialmente
supomos que esta discrepância estaria relacionada pela falta de calibração na
câmera e também pela diculdade experimental, ilustrada na Seção 3.2. O argumento da falta de calibração foi descartado após alguns testes com a câmera.
Portanto, aumentamos o tamanho do raio mínimo do feixe para o tamanho descrito na montagem experimental, am de reduzir os problemas da medida do
deslocamento GH descrito na Seção 3.2. A Figura 3.8(b) apresenta a medida
do deslocamento GH para a montagem atual a uma distância de
25
cm entre
a câmera e o prisma. Esta situação apresenta o resultado bastante intrigante,
que além da discrepância já mencionada, o resultado do deslocamento GH
apresenta valores distintos para os dois valores de
,
fato este não observado
na literatura. Além da existência de discrepância entre o resultado experimental e teórico, também observamos uma dependência do deslocamento GH em
função da distância entre a câmera e o prisma, como é visto nas Figuras 3.8(c)
e 3.8(d). As Figuras 3.8(b) e 3.8(d) mostra a reprodutibilidade das medidas
em nosso experimento.
A m de entendermos o motivo desta discrepância, estudamos o deslocamento
GH em função da posição da câmera, para ângulos de incidência em que a
equação descrita por Artmann é válida. A Figura 3.9 apresenta o perl transversal do feixe observado na câmera com distância
cm em (b),
z = 30
cm em (c) e
z = 35
z = 20
cm em (a),
z = 25
cm em (d) da câmera com relação a
posição do prisma para situação que os polarizadores estão ortogonais. Esta
Figura mostra o aumento da separação dos máximos em função da posição da
câmera, ou seja, mostra a dependência do valor fraco em função da posição
onde está sendo feita a medida.
Como já foi descrito no Capítulo 2, a dependência entre a medida real (autovalor) e a medida amplicada (valor fraco) é o fator
que representa o quanto
3.3.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
78
Figura 3.9: Perl espacial de intensidade do feixe com polarizadores ortogonais
e θ = 41,7°. A distância entre o prisma e a
d = 25 cm, (c) d = 30 cm e (d) d = 35 cm.
câmera é de (a)
d = 20
cm, (b)
fora de ortogonalidade os polarizadores de entrada e saída estão. Esta relação
para o deslocamento GH [28] é descrita na equação 2.44.
Recentemente os autores de [59] mostraram que a equação 2.44 é válida quando
a condição
2
∆yGH /w (z) é satisfeita, ou seja, somente ângulos de incidência
maiores que o ângulo crítico. Como também descreveram uma fórmula geral
que é válida tanto para ângulos maiores e próximo do ângulo crítico e que esta
apresenta uma dependência axial.
2
∆yGH
2 w (z) ∆Y .
=
2 w2 (z) − ∆Y 2
Portanto, xamos um ângulo de incidência
(3.1)
θ = 41,7°
que na referência [28]
é o ângulo mais próximo do crítico medido pelos autores e observamos a dependência do deslocamento GH com relação a posições diferentes da câmera
com relação ao prisma para dois valores distintos de
e
= 1,0°
em vermelho.
,
com
= 0,5°
em preto
O resultado é representado na Figura 3.10, onde
em (a) utiliza a equação 2.44 e em (b) a equação 3.1, para obter o valor do
deslocamento GH. Como pode ser visto na Figura 3.10(a), o resultado do deslocamento GH apresenta valores distintos para os dois valores de
e a diferença
do deslocamento GH aumenta com relação da posição da câmera. De modo
CAPÍTULO 3.
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO
GOOS-HÄNCHEN
79
que nesta região a equação 2.44 não é válida. Enquanto na Figura 3.10(b) os resultados são aproximadamente de mesma magnitude, mostrando que próximo
do ângulo crítico a relação entre o valor fraco e o deslocamento GH também
depende do raio do feixe na posição da medida. Porém, apesar da fórmula geral 3.1 corrigir a dependência axial dos valores amplicados próximo do ângulo
crítico para dois valores distintos de
,
ainda observa-se uma dependência do
deslocamento GH em função da distância de propagação do feixe gaussiano.
4
(a)
3,5
3
∆yGH(µm)
2,5
2
1,5
4
20
25
20
25
30
35
30
35
(b)
3,5
3
2,5
2
1,5
z(cm)
Figura 3.10:
câmera com
Deslocamento GH em função da distância entre o prisma e a
θ = 41, 7°.
Em (a) o fator de correção é descrito pela equação
2.44 e em (b) é descrito pela equação 3.1, onde em ambos os grácos a cor
preta representa
z=0
= 0,5°
e vermelho
= 1,0°.
A posição do prisma representa
cm.
Com isso, a partir dos dados obtidos da dependência da medida do deslocamento GH com a propagação do feixe, foi feito um ajuste não linear dos dados
com a fórmula
f (z) = a(1+z 2 /b2 ), obtendo a = (1,4±0, 2)µm e b = (26±4)µm
a
pode ser interpretado como
z=0
cm pois coincide dentro das
para os dados da Figura 3.10 (b). O parâmetro
sendo o valor do deslocamento GH quando
barras de erro, com o valor calculado pela expressão analítica e
b
como sendo
3.3.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
duas vezes o comprimento de Rayleigh
80
zR
do feixe gaussiano focalizado. Assim
um fator fenomenológico é inserido na equação 3.1.
2
∆yGH
1
2 w (z) ∆Y =
.
2
2
1 + (z /4zr ) 2 w2 (z) − ∆Y 2
(3.2)
Foram feitas repetidas medidas do deslocamento GH em função da propagação
do feixe gaussiano para ângulos diferentes e em todos os resultados conrmamos que o fator fenomenológico ajusta os dados experimentais com a curva
analítica descrita na Seção 1.3, mostrando que nossos resultados são coerentes. A Figura 3.11 apresenta o ajuste não linear da fórmula proposta para os
dados obtidos com
θ = 41, 7°
da Figura 3.10.
∆yGH(µm)
4
3,5
3
2,5
2
20
30
25
35
z (cm)
Figura 3.11: Ajuste não linear da formula
f (z) = a(1 + z 2 /b2 )
com os dados
da Figura 3.10 (b).
Em seguida comparamos os resultados experimentais em uma região onde a
equação de Artmann ainda é válida considerando o fator de correção das equações 3.1 e 3.2, dada na Figura 3.12, considerando a distância entre o prisma e
a câmera de
20
cm nas Figuras 3.12 (a) e 3.12 (c) e
25
cm nas Figuras 3.12
(b) e 3.12 (d), onde em ambos os grácos os pontos de cor preta representa os
dados experimentais com
= 0, 5° e vermelho = 1, 0°.
A curva contínua preta
representa a expressão analítica do deslocamento GH descrito por Artmann.
As Figuras 3.12 (a) e 3.12 (b) apresentam os dados experimentais utilizando
CAPÍTULO 3.
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO
GOOS-HÄNCHEN
81
o fator de correção da equação 3.1, enquanto as Figuras 3.12 (c) e 3.12 (d)
utilizam o fator de correção da equação 3.2.
z = 20 cm
7
(a)
∆yGH(µm)
6
5
5
4
3
3
2
2
1
1
0
0
41,4
41,6
41,8
42
(c)
6
4
4
3
3
2
2
1
1
41,6
41,8
0
42
41,6
41,8
42
(d)
6
5
41,4
41,4
7
5
0
(b)
6
4
7
z = 25 cm
7
41,4
41,6
41,8
42
θ (graus)
Figura 3.12: Deslocamento GH em função do ângulo de incidência na segunda
face do prisma, com a distância entre o prisma e a câmera de
e (c), e
25
20
cm em (a)
cm em (b) e (d).Em (a) e (b) o fator de correção é descrito pela
equação 3.1 e em (c) e (d) é descrito pela equação 3.2, onde em ambos os
grácos a cor preta representa
= 0, 5°
e vermelho
= 1, 0°.
Como se pode ver, ao considerar o fator fenomenológico de propagação junto
com o fator de correção os dados experimentais coincidiram corretamente com
a curva analítica, mostrando a importância de também considerar o fator fenomenológico em nossos resultados.
A Figura 3.13 apresenta a comparação entre os resultados experimentais
0,5°
pontos preto e
= 1,0°
=
pontos vermelho, com a curva numérica em azul
contínuo descrita na Seção 1.4 e a curva analítica obtida por Artmann em preto
tracejado descrita na Seção 1.3. Acima do ângulo crítico, tanto os resultados
teóricos, numéricos e experimentais concordam, porém próximo de
θc
os dados
3.4.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
82
16
14
∆yGH(µm)
12
10
8
6
4
2
0
41,2
41,3
41,4
41,5
41,6
41,7
41,8
θ (graus)
Figura 3.13: Diferença entre o deslocamento GH para a onda
p e s em função
do ângulo de incidência na segunda face do prisma, onde os pontos de cor
preta representam
= 0,5°
e vermelha
= 1,0°.
A curva em azul é resultado
numérico do deslocamento GH para um feixe gaussiano com
z = 25
cm e em
preto pontilhado é o deslocamento GH descrito por Artmann.
experimentais concordam com a descrição de um feixe realístico. Abaixo do ângulo crítico o deslocamento GH é determinado predominantemente pela parte
da real da equação 1.10, associada a um deslocamento angular do feixe. No
nosso experimento, procuramos sempre manter a câmera CCD perpendicular
ao feixe, de modo que um deslocamento angular devido a fatores geométricos
não deveria ser observado. Este comportamento observado pode ser associado
à quebra de simetria do feixe gaussiano previsto em [53].
3.4 Considerações nais
Neste capítulo descrevemos detalhes da montagem experimental e as etapas do
procedimento para realizar a medida do deslocamento GH utilizando a técnica
CAPÍTULO 3.
MEDIÇÃO FRACA DO DESLOCAMENTO
GOOS-HÄNCHEN
de medição fraca.
83
Em seguida apresentamos alguns problemas encontrados
durante a montagem do experimento, como instabilidade do perl transversal
do feixe, precisão na situação em que os polarizadores estão fora de ortogonalidade e limitações do efeito AAV, em que a instabilidade foi minimizada e
o problema de precisão foi contornado. Na Seção 3.3, discutimos a diferença
entre o experimento feito no artigo [28] com o nosso, onde mostramos que a
nova fórmula descrita em [59] é válida para ângulos próximo e maiores que o
ângulo crítico, como também apresentamos um fator fenomenológico na nova
fórmula mostrando que a sua utilização faz com que os dados experimentais
independente da distância entre o prisma e a câmera reproduza a região que a
equação de Artmann [4] é válida e o resultado numérico do deslocamento GH
utilizando um feixe gaussiano [39].
Capítulo 4
Conclusões e Perspectivas
Nesta dissertação apresentamos os resultados experimentais do deslocamento
Goos-Hänchen (GH) em torno do ângulo crítico para reexão interna total. As
nossas medidas foram realizadas em um prisma de ângulo reto com o efeito de
deslocamento ocorrendo na sua hipotenusa (interface
Vidro-Ar ). O Capítulo
1 foi feita uma breve introdução de alguns resultados importantes e pioneiros,
tanto experimental e teórico do deslocamento GH, introduzimos os coecientes
de Fresnel e discutimos em quais condições ocorrê reexão parcial e total. Em
seguida descrevemos o deslocamento GH na representação de onda plana que
refere-se a descrição de Artmann e para um feixe de modo gaussiano. No Capítulo 2 zemos uma descrição geral do efeito de medição fraca, introduzindo
o conceito de medida fraca, valor fraco e qual o procedimento para se medir
o valor fraco de um observável. Uma descrição do desenvolvimento feito por
AVV [30] com as correções feitas por Duck e seus colaboradores [54], mostrando quais as condições necessárias para obter o valor fraco foi mostrada.
Em seguida aplicamos o efeito de medição fraca para os casos de partícula de
spin
1/2,
como também descrevemos o primeiro experimento em que se fez a
analogia com a óptica [29] e para o deslocamento GH [28]. Na descrição do
deslocamento GH via medição fraca feita na Seção 2.5 utilizando um modelo
simples, mostramos que próximo do ângulo crítico a condição do efeito de me-
84
CAPÍTULO 4.
CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
85
dida fraca não é mais satisfeita, algo que foi visto no experimento e apresentado
na Seção 3.2. No Capítulo 3 apresentamos detalhes da montagem experimental
e o procedimento de medição do deslocamento GH. Enfatizamos as diferenças
de nossa montagem com a da referência [28]. Mostramos experimentalmente
que o valor fraco medido apresenta uma dependência axial, tal que a fórmula
geral 3.1 descrita em [59] elimina este efeito das nossas medidas.
Mas além
deste efeito, foi observado no experimento uma dependência do deslocamento
GH com a propagação referente a distância entre o prisma e a câmera na
região de ângulo de incidência onde a fórmula analítica de Artmann [4] é válida. Dependência esta que não foi eliminada com a fórmula obtida em [59].
Propusemos então um fator de correção adicional obtido experimentalmente
e mostramos que a sua utilização faz com que os dados experimentais independente da distância entre o prisma e a câmera reproduzam a região onde
a equação de Artmann [4] é válida e consequentemente o resultado numérico
do deslocamento GH para um feixe gaussiano [39]. Concluímos que tem que
ser levado em conta a dependência axial dos valores fracos medidos, como
também conrmamos que a fórmula geral é válida em torno do ângulo crítico
ao contrário da fórmula 2.44 conhecida na literatura e descrita em [28]. Enquanto que acima do ângulo crítico foi necessário usar o fator fenomenológico
obtido experimentalmente para que os dados experimentais reproduza a curva
de Artmann e o resultado numérico, não precisamos aplicar este fator aos dados obtidos abaixo do ângulo crítico para obter concordância com a teoria. A
região próxima do ângulo crítico é pouco estudada experimentalmente devido à
diculdade de se medir o efeito. Quase a totalidade dos estudos experimentais
descritos na literatura foi realizada para comprimentos de onda em microondas. Nós observamos, na região visível do espectro (633 nm), a existência de
um valor máximo para o deslocamento GH, como também o efeito GH assimétrico que surge quando estamos em torno do ângulo crítico.
86
Como perspectivas futuras, pretendemos compreender o fator fenomenológico
obtido em nosso experimento, aprofundar o estudo do efeito GH assimétrico,
como também estudar desvios da Lei de Snell. Uma outra possibilidade seria
estudar o efeito GH decorrente da dependência dos coecientes de Fresnel com
o comprimento de onda que ocorreria para pulsos ultracurtos (com largura
espectral com dezenas ou centenas de nm), ou seja, um desvio GH espectral.
Referências Bibliográcas
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