Aula-04

UFSM-CTISM
Serie de
Fourier
Teoria da Comunicação
Serie de Fourier
Aula-04
Professor:
Andrei Piccinini Legg
Santa Maria, 2011
Serie de Fourier
Serie de
Fourier
Uma série de fourier consiste em representar um sinal
periódico através de uma soma infinita de exponenciais
complexas.
Z
1
Dn =
f (x)e−jnωo x dx, ωo = 2π/To
To To
∞
X
f (x) =
Dn ejnωo x
n=−∞
Existe uma representação equivalente substituindo as
exponenciais complexas pelas funções seno e cosseno.
Utilizando a formula de Euler:
ejnωo x = cos(nωo x) + jsen(nωo x).
Serie de Fourier
Serie de
Fourier
Utilizando as funções seno e cosseno temos:
An
Bn
A0
f (x)
=
=
=
=
2
To
2
To
2
To
Z
Z
Z
f (x) cos(nωo x)dx,
ωo = 2π/To
To
f (x)sen(nωo x)dx
To
f (x)dx
To
∞
X
A0 +
n=1
An cos(nωo x) +
∞
X
n=1
Bn sen(nωo x)
Serie de Fourier para uma onda quadrada
Serie de
Fourier
f (x)
1
...
−2π
−π
...
π
0
−1
f (x)=
−1, −π ≤ x < 0
1, 0 ≤ x < π
2π
x
Serie de Fourier para uma onda quadrada
Dn
Serie de
Fourier
Dn
=
=
Dn
=
Dn
=
Dn
=
Dn
=
Dn
=
Dn
=
Dn
=
1
To
1
2π
Z
f (x)e−jnωo x dx,
To
Z π
ωo = 2π/To
∴
ωo = 1
f (x)e−jnx dx
−π
Z 0
Z π
1
[
(−1)e−jnx dx +
(1)e−jnx dx]
2π −π
0
1 1 −jnx 0
−1 −jnx π
[( e
|−π ) + (
e
|0 )]
2π jn
jn
1 1 −jn0
1
−1 −jnπ
−1 −jn0
[( e
− e−jn(−π) ) + (
e
−
e
)]
2π jn
jn
jn
jn
1 1
1
−1 −jnπ
−1
[( − ejnπ ) + (
e
−
)]
2π jn
jn
jn
jn
1
(1 − ejnπ − e−jnπ + 1)
2πjn
1
[2 − (ejnπ + e−jnπ )]
2πjn
1
[1 − cos(nπ)]
πjn
Serie de Fourier para uma onda quadrada
Serie de
Fourier
Agora podemos escrever a função f(x) como uma soma
infinita de exponenciais complexas:
f (x )
=
∞
X
Dn e
jnx
n=−∞
f (x )
=
D0 e
j(0)x
+
∞ h
X
Dn e
jnx
+ D−n e
j(−n)x
n=1
f (x )
=
D0 +
∞
X
n=1
f (x )
=
∞ X
1
n=1
f (x )
=
1
[1 − cos(nπ)] e
jnx
πjn
[1 − cos(nπ)] (e
πn
1
+
πj(−n)
jnx
−e
πjn
∞ X
2
n=1
(
i
[1 − cos(nπ)] sen(nx )
−jnx
)
[1 − cos(nπ)] e
j(−n)x
)
Exercício para entregar
f (x)
Serie de
Fourier
1
...
−2π
−π
...
π
0
−1
f (x) = t, −π ≤ x < π
2π
x