Determinantes - folhas 19 a 24

Determinantes - Matemática II - 2004/05
19
Determinantes
Permutações
Seja n 2 N. Uma permutação p = (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) do conjunto f1; 2;
; ng é um arranjo
dos n números em alguma ordem, sem repetições ou omissões. Denota-se por Sn o conjunto
de todas as permutações do conjunto f1; 2;
n! = n
(n
1)
tiva de f1; 2;
identidade.
(n
2)
:::
; ng em f1; 2;
2
; ng. É fácil veri…car que este conjunto tem
1 elementos. (Note-se que p é uma aplicação bijec-
; ng). À permutação (1; 2; : : : ; n) chama-se permutação
Considerando uma permutação p, chama-se paridade da permutação à paridade do número
de trocas que é necessário efectuar em p para voltar a pôr os números na ordem inicial. Esse
número não é único, mas a sua paridade é sempre a mesma. Diz-se que a permutação é par
se o número de trocas for par e ímpar se o número é ímpar.
De…ne-se o sinal de uma permutação p; sgn (p) ; da seguinte forma:sgn
(
+1 se p é par
sgn (p) =
1 se p é ímpar
A permutação identidade tem sinal +1 e qualquer permutação que só troque dois números
tem sinal 1:
Alternativamente a paridade da permutação pode ser encontrada da seguinte forma: Diz-se
que ocorre uma inversão na permutação sempre que um número maior precede um menor.
O número total de inversões que ocorre numa permutação p = (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) calcula-se do
seguinte modo:
1) Contam-se os números menores que p1 que estão à sua frente na permutação.
2) Contam-se os números menores que p2 que estão à sua frente na permutação.
3) Continua-se esta contagem para p3 ; : : : ; pn 1 :
4) Somam-se os números obtidos em cada passo, o que dá o número total de inversões. Como
o número total de inversões corresponde a um possível número de trocas para transformar a
permutação na identidade, a paridade desse número é a paridade da permutação.
Exemplos:
1. A permutação identidade (1; 2; : : : ; n) tem sinal mais +1; pois efctuam-se 0 trocas.
2. Qualquer permutação que só troque dois números tem sinal
as permutações (2; 1; 3) e (3; 2; 1) ˜
tem sinal 1:
1: Por exemplo, em S3 ;
3. A permutação em S6 ; (6; 1; 3; 4; 5; 2) é par pois ocorrem 8 inversões (5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8)
4. A permutação em S6; (2; 1; 4; 3; 6; 5) é ímpar, pois são necessárias 3 trocas para obter
a ordem usual.
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20
Produtos elementares
Seja A = [aij ]n
n
uma matriz quadrada de ordem n.
Chama-se produto elementar de A a um produto de n entradas da matriz A contendo
exactamente uma entrada de cada linha e de cada coluna de A; isto é, um produto da forma
a1p1 a2p2
anpn ; em que p = (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) é uma permutação.
A cada produto elementar está, portanto, associada uma permutação e vice-versa. Consequentemente, para uma matriz de ordem n, há n! produtos elementares.
Exemplos:
1. Numa matriz n
n; a11 a22 : : : ann é o produto elementar associado à permutação iden-
tidade (1; 2; : : : ; n) :
2. Numa matriz de ordem 6, a16 a21 a33 a44 a55 a62 é o produto elementar associado a à
permutação (6; 1; 3; 4; 5; 2) :
3. Numa matriz de ordem 6, a12 a21 a34 a43 a56 a65 é o produto elementar associado a à
permutação (2; 1; 4; 3; 6; 5) :
2
3
2 3 4
6
7
4. Na matriz 4 5 3 1 5 ; 4 3
7 = 84 é o produto elementar associado à permutação
7 4 5
(3; 2; 1) :
Um produto elementar assinalado é um produto elementar multiplicado pelo sinal da
permutação que lhe está associada, ou seja +a1p1 a2p2
anpn ou
a1p1 a2p2
anpn :
Exemplos:
1. +a11 a22 : : : ann porque sgn (1; 2; : : : ; n) = +1
2. Numa matriz de ordem 6, +a16 a21 a33 a44 a55 a62 é o produto elementar assinalado associado à permutação (6; 1; 3; 4; 5; 2) ; que tem sinal +1:
3. Numa matriz de ordem 6,
a12 a21 a34 a43 a56 a65 é o produto elementar assinalado asso-
ciado à permutação (2; 1; 4; 3; 6; 5) ; que tem sinal 1:
2
3
2 3 4
6
7
4. Na matriz 4 5 3 1 5 ; ( 1) 4 3 7 = 84 é o produto elementar assinalado
7 4 5
associado à permutação (3; 2; 1) :
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De…nição de determinante de uma matriz quadrada
O determinante da matriz A (det A ou jAj) é a soma de todos os produtos elementares assinalados de A; isto é:
X
det A =
sgn (p) a1p1 a2p2
anpn :
p2Sn
Determinantes de ordem 1, 2 e 3
Ordem 1: A = [a11 ]
det (A) = a11 :
Ordem 2: Para A =
"
a11 a12
a21 a22
#
; tem-se:
Produtos elementares Permutação associada Paridade Prod. elem. assinalado
a11 a22
(1; 2)
par
a12 a21
(2; 1)
ímpar
+a11 a22
a12 a21
Assim:
det (A) = a11 a22
2
a11 a12 a13
a12 a21 :
3
6
7
Ordem 3: Para A = 4 a21 a22 a23 5 tem-se:
a31 a32 a33
Produtos elementares Permutação associada Paridade Prod. elem. assinalado
a11 a22 a33
(1; 2; 3)
par
+a11 a22 a33
a12 a23 a31
(2; 3; 1)
par
+a12 a23 a31
a13 a21 a32
(3; 1; 2)
par
+a13 a21 a32
a13 a22 a31
(3; 2; 1)
ímpar
a13 a22 a31
a12 a21 a33
(2; 1; 3)
ímpar
a12 a21 a33
a11 a23 a32
(1; 3; 2)
ímpar
a11 a23 a32
Assim:
det (A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
a13 a22 a31
a12 a21 a33
a11 a23 a32 :
Por razões óbvias, os determinantes de ordem superior a três não se calculam por de…nição.
Vamos ver de seguida como pode ser efectuado esse cálculo. Começamos por ver alguns
casos particulares em que o cálculo do determinante, seja qual for a ordem, se efectua por
de…nição.
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Determinantes de matrizes de tipo especial
Seja A = [aij ] i=1;:::;n uma matriz quadrada de ordem n:
j=1;:::;n
Matriz diagonal: Se A é uma matriz diagonal, então
det (A) = a11
a22
ann :
Como casos particulares tem-se que:
1. det (In ) = 1
2. det (On ) = 0.
3. Se A é escalar e o elemento da diagonal é k, então, det (A) = k n :
Matriz triangular: Se A = é uma matriz triangular (inferior ou superior), então
det (A) = a11
a22
ann :
Propriedades
Seja A = [aij ]n
n
uma matriz quadrada de ordem n :
1. det (A) = det A> .
2. Se a matriz A0 pode ser obtida da matriz A por troca de duas linhas (ou duas colunas),
então det (A0 ) =
det (A).
3. Se A é uma matriz com uma linha (ou com uma coluna) de zeros, então det (A) = 0.
4. Se a matriz A tem duas linhas iguais (ou duas colunas iguais), então det (A) = 0.
5. Se L1 ; : : : ; Li ; : :2: ; Ln 3designam as linhas da matriz A e Li = kL0i , k 2 R, então
L1
6 . 7
6 .. 7
6
7
6 0 7
det (A) = k det 6 Li 7
6 . 7
6 . 7
4 . 5
Ln
6. Se a matriz A tem uma linha (coluna) múltipla de outra, então det (A) = 0.
7. Se L1 ; : : : ; Li ;2: : : ; L3n designam
2
L1
L1
6 . 7
6 .
6 .. 7
6 ..
6
7
6
6
7
6
det (A) = det 6 L0i 7 + det 6 L00i
6 . 7
6 .
6 . 7
6 .
4 . 5
4 .
Ln
Ln
00
0
as
3 linhas da matriz A e Li = Li + Li então
7
7
7
7
7
7
7
5
Determinantes - Matemática II - 2004/05
23
00
0
8. Se C1 ; : : : ; Ci ;h: : : ; Cn designam as colunas
i
hda matriz A e Ci = C
i i + Ci então
det (A) = det C1
Ci0 : : : Cn + det C1
Ci00 : : : Cn .
0
9. Se C1 ; : : : ; Ci ; : h: : ; Cn designam as colunas
i da matriz A e Ci = kCi ; k 2 R, então
det (A) = k det C1
Ci0 : : : Cn :
10. Se k 2 R, então det (kA) = k n det (A).
11. Se B é também uma matriz de ordem n, então det (AB) = det (A)
det (B).
12. A matriz A é invertível se e só se det (A) 6= 0 (e se e só se car (A) = n).
13. Se A é invertível, então det (A 1 ) = (det A) 1 .
Efeitos das operações elementares no determinante
Tipo I: Se a matriz B foi obtida da matriz A por troca de duas linhas, então
det (B) =
det (A).
2
0
6
Exemplo: det 4 3
2
1 5
3
7
6 9 5
6 1
=
"
L1 $ L2
2
3
6
det 4 0
2
6 9
3
7
1 5 5
6 1
Tipo II Se multiplicarmos uma linha da matriz por um número real diferente de zero então
multiplica-se o determinante pelo inverso
3
2
2
1
3
6 9
6
7
6
Exemplo: det 4 0
1 5 5 = 3 det 4 0
"
2
2
6 1
1
L
3 1
desse número.
3
2 3
7
1 5 5
6 1
Tipo III Se adicionarmos a uma linha da matriz outra linha multiplicada por um número
real o determinante não se altera.
2
3
2
1
1
2 3
6
7
6
Exemplo: det 4 0
=
det 4 0
1 5 5=
"
2
6 1
0
2L1 + L3
2
1
10
3
3
7
5 5
5
Determinantes das matrizes elementares
Tipo I: Se E é uma matriz elementar de tipo I, então det (E) =
1
Tipo II Se E é uma matriz elementar de tipo II, então det (E) = .
Tipo III Se E é uma matriz elementar de tipo III, então det (E) = 1.
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Cálculo do determinante através do método de eliminação
Reduz-se a matriz a uma forma de escada. Quando se efectuam operações nas linhas da
matriz sabe-se qual o efeito no determinante e, como a forma de escada de uma matriz
quadrada é uma matriz triangular, o determinante desta obtém-se, como foi visto atrás,
multiplicando os elementos da diagonal principal.
Exemplos:
1.
2
0
1 5
6
det 4 3
7
6 9 5
6 1
2
L3
3
=
"
2L1 + L3
=
"
L1 $ L 2
2
1
6
3 det 4 0
0
2
3
6
det 4 0
6 9
7
1 5 5
6 1
2
2
1
10
3
3
7
5 5
5
= ( 3)
3
=
"
L1
2
3
2
7
1 5 5=
6 1
1
2
3
6
3 det 4 0
1
L
3 1
2
6
3 det 4 0
=
"
10L2 + L3
L3
2 3
1
1
0
0
3
7
5 5=
55
( 55) = 165
2.
2
6
6
det 6
6
4
=
"
L2 $ L 3
1
1
2
1
1
2
1
1
1 1
3
7
1 1 7
7
1 1 7
5
2 1
L2
L3
2
1
6
6 0
det 6
6 0
4
0
L4
1
1
1
2
3
1
2
3
=
"
2L1 + L2
L1 + L3
L3 + L 4
2
2L2 + L4
1
6
6 0
det 6
6 0
4
0
1
6
6 0
det 6
6 0
4
0
L4
L 1 + L2
3
1
7
2 7
7
=
1 7
"
5
0
L3
3L2 + L3
L4
=
"
2
1
1
1
2
0
7
0
0
1
1
3
1
1
2
2
3
2
1
6
6 0
det 6
6 0
4
0
1
3
7
2 7
7=
7 7
5
3
21
1
3
7
1 7
7=
2 7
5
0
1
1
1
2
0
7
0
7
1
3
7
2 7
7=
7 7
5
4