estatística - Só Concursos e Afins

ESTATÍSTICA
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
1
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
A realização de uma pesquisa envolve muitas etapas, como a escolha de uma amostra, a coleta e
organização dos dados (informações), o resumo desses dados (em tabelas, gráficos etc) e a
interpretação dos resultados.
A parte das ciências que trata desses assuntos é a Estatística.
INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA
1) DEFINIÇÃO
É a parte da matemática que trabalha com a coleta, organização, apresentação, análise e interpretação
de dados, visando uma tomada de decisão. Vale lembrar que a ferramenta principal da estatística é a
pesquisa.
2) CONCEITOS INICIAIS
2.1) A ESTATÍSTICA DESCRITIVA:
2.2) A ESTATÍSTICA INFERENCIAL:
2.3) POPULAÇÃO:
2.4) AMOSTRA:
2.5) AMOSTRAGEM:
2.6) CENSO:
2.7) CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS ESTATÍSTICA:
2.7.1) VARIÁVEL QUANTITATIVA:
2.7.2) VARIÁVEL QUALITATIVA:
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
2
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
3) CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS
Discretas (Descontínuas): São variáveis de números inteiros.
Ex: Quantidade de tv’s; Quantidade de pessoas, idades, etc
Quantitativas.
Contínuas: São variáveis de números decimais. medições.
Ex: Altura, Salários, Medidas de comprimento, etc
VARIÁVEIS
Nominais: não tem ordem
Ex: Pesquisa Eleitoral; Cor preferida, etc
Qualitativas:
Ordinais: tem ordem (hierarquia)
Ex: Patentes; Cargos, etc
4) REPRESENTAÇÃO DAS INFORMAÇÕES
4.1) DADOS BRUTOS:
São os dados da forma como foram coletados (sem receber nenhum tipo de tratamento).
EXEMPLO
Numa pesquisa para saber o nº de TVs nas casas de uma determinada rua, obteve-se os seguintes
resultados:
(4;5;1;1;2;3;0;0;2;1)
4.2) ROL:
São os dados colocados em ordem crescente ou decrescente (normalmente em ordem crescente...)
EXEMPLO
A situação acima:
(0;0;1;1;1;2;2;3;4;5)
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
3
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
4.3) SÉRIES ESTATÍSTICAS:
São dados apresentados em quadros ou tabelas, as quais expressam o resultado de um estudo
estatístico. Ao observarmos a tabela devemos identificar:
1) OBJETO DO ESTUDO;
2) LOCAL;
3) ÉPOCA.
Ao identificarmos esses fatos podemos classificarmos a série estatística.
CLASSIFICANDO AS SÉRIES ESTATÍSTICAS
4.3.1) SÉRIE HISTÓRICA:
EXEMPLO
PRODUÇÃO DE MINÉRIO DE FERRO (BRASIL)
ANOS
1978
1979
1980
1981
1982
QUANTIDADE (ton)
12.104
13.205
14.507
15.603
16.613
4.3.2) SÉRIE GEOGRÁFICA:
EXEMPLO
PRODUTO INTERNO BRUTO (1980)
PAÍSES
HOLANDA
ITÁLIA
FRANÇA
PORTUGAL
US $ (Bilhões)
126,3
106,3
103,6
92,0
4.3.3) SÉRIE ESPECÍFICA:
EXEMPLO
NÚMERO DE ALUNOS CONCLUDENTES EM SALVADOR (2010)
CURSOS
DIREITO
MEDICINA
ENGENHARIAS
MATEMÁTICA
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
N° DE ALUNOS
1238
567
1485
67
4
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
4.3.4) DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA:
EXEMPLO
Salário
Frequência
20
40
30
10
IMPORTANTE!!!
Na distribuição de freqüência há perda de informação (a informação não é tão precisa).
4.4.1) AMPLITUDE DA CLASSE: (H)
É a diferença entre o limite superior (
) e o limite inferior (
) de uma classe, ou seja:
EXEMPLO
Utilizando a distribuição de freqüência acima calculando a amplitude da primeira classe, temos:
Daí, notamos que a amplitude dessa classe é 1000.
IMPORTANTE !!!
É normal, mas não é regra, que as classes tenham a mesma amplitude.
4.4.2) PONTO MÉDIO DA CLASSE (PM)
É o valor que está situado no meio de uma classe e para determiná-lo devemos calcular através da
fórmula:
EXEMPLO
Utilizando a mesma distribuição de freqüência acima, vamos calcular o ponto médio da 3ª classe.
Daí, o valor que está no meio da 3° classe é 3500.
IMPORTANTE!!!
O ponto médio da classe é o seu legítimo representante.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
5
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
OBSERVAÇÃO!!!
Existe um tipo de tabulação chamado de diagrama de ramos e folhas. Veja exemplo abaixo.
EXEMPLO
9
11
9
9
10
002234
10
57778
11
013
11
66
12
00012
12
558
13
004
13
555
14
0
14
5
15
15 8
EXERCÍCIOS
1. Os clientes da Distribuidora de arroz ABC Ltda. têm fichas de cadastro numeradas
consecutivamente de 261 a 973. Deve-se selecionar uma amostra aleatória de 25 pacientes para
serem pesquisados quanto à "satisfação de atendimento por parte da Distribuidora". O número de
elementos dessa população é:
a) 712
b) 710
c) 973
d) 713
e) 800
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
6
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
2. Assinale a opção correta:
a) Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados
numéricos.
b) O processo utilizado para se medirem as características de todos os membros de uma dada
população recebe o nome de censo.
c) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre
uma população com base na observação de uma amostra.
d) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus componentes.
e) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de uma amostra
aleatória.
3.
a)
b)
c)
d)
e)
Assinale a opção correta:
Em estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas.
A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo.
Frequência relativa de uma variável aleatória é o número de repetições dessa variável.
A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo.
Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo.
4. Os dados de um determinado estudo representam muitas variáveis para cada uma das pessoas que
se submeteram ao estudo. Uma variável considerada qualitativa é a seguinte:
a) Idade;
b) Altura;
c) Sexo;
d) Peso.
5. Considerando a tabela a seguir indicada, pode-se concluir que seus dados refletem uma série:
PRODUTOS
ARROZ
AÇÚCAR
MILHO
FEIJÃO
a)
b)
c)
d)
QUANTIDADE (ton)
300.000
250.000
120.000
30.000
Especificativa ou específica;
Geográfica;
Temporal;
Distribuição de frequência.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
7
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
5) TIPOS DE FREQUÊNCIAS
Simples: é o número de vezes que aparece a variável
Freqüência absoluta (f):
Acumulada crescente
Acumulada decrescente
Simples
Freqüência relativa (F):
Acumulada crescente
Acumulada decrescente
Vale lembrar que frequência relativa é a razão entre a frequência absoluta e o universo, ou seja,
.
EXEMPLO
1°) Calcule as freqüências acumuladas das distribuição de freqüência abaixo.
a)
b)
c)
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
Classes
10
10
20
15
30
30
40
25
50
20
Classes
10
5
20
8
30
7
40
3
50
9
Classes
1000
10%
2000
15%
3000
30%
4000
25%
5000
20%
8
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
2°) Calcule as freqüências simples das distribuição de freqüência abaixo.
a)
Classes
1000
10
2000
25
3000
55
4000
80
5000
100
b)
Classes
3
8
6
23
9
32
12
45
15
68
IMPORTANTE!!!
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA SIMÉTRICA: É uma distribuição de freqüências onde as classes extremas
(são a 1ª e a última) e as classes eqüidistantes das extremas tem SEMPRE a mesma freqüência simples e a
mesma amplitude.
OBSERVAÇÃO!!!
Não é freqüência acumulada, mas pode ser relativa ou absoluta.
EXEMPLOS
Classes
10
10
20
20
30
50
40
20
50
10
Classes
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
20
20
30
30
50
40
60
40
70
30
90
20
9
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
6) TIPOS DE GRÁFICOS
A estatística utiliza-se de representações gráficas para representar suas informações. Abaixo segue
alguns exemplos de representações gráficas.
6.1) GRÁFICO DE SEGMENTOS
A tabela que segue mostra a venda de livros em uma livraria no segundo semestre de determinado ano:
Dezembro
Meses do 2º semestre
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
350
Número de livros vendidos
300
40
400
450
500
Usando eixos cartesianos, localizamos os seis pares ordenados e construímos um gráfico de segmentos:
600
500
400
300
200
100
0
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Os gráficos de segmentos são utilizados principalmente para mostrar a evolução das freqüências dos valores
de uma variável durante certo período.
6.2) GRÁFICO DE BARRAS
A partir do “desempenho em Química” demonstrado pelos alunos de uma classe, um professor elaborou a
seguinte tabela
Desempenho em Química
Freqüência Absoluta
Freqüência Relativa
Insuficiente
6
15%
Regular
10
25%
Bom
14
35%
Ótimo
10
25%
TOTAL
40
100%
Com os dados da tabela é possível construir o gráfico de barras:
40% Porcentagem
30%
20%
35%
25%
25%
15%
10%
0%
Insuf.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
Reg.
Bom
Ótimo
Desempenho
em Química
10
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
6.3) GRÁFICO DE SETORES
Em um shopping Center há 3 salas de cinema e o número de expectadores em cada uma delas num
determinado período dia da semana foi de 300 na sala A, 200 na B e 500 na C.
Veja a situação representada em uma tabela de freqüência e depois em um gráfico de setores:
SALA
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
A
300
30%
B
200
C
500
A
108O
B
72O
20%
C
180O
50%
Na construção do gráfico de setores, determina-se o ângulo correspondente a cada setor por regra de três.
Veja como exemplo o da sala A:
30
100
x
x
360 o
108 o
6.4) HISTOGRAMA
Quando uma variável tem seus valores indicados por classes, é comum o uso de um tipo de gráfico conhecido
por histograma.
Ex.: Consideremos a “altura” (em cm) dos alunos de uma classe:
ALTURA (classes)
Frequência Absoluta
Frequência Relativa
140
150
6
15%
150
160
10
25%
160
170
12
30%
170
180
8
20%
180
190
4
10%
O gráfico correspondente a tabela seria:
F.A. (%)
40
F.A.
12
35
10
30
25
8
20
6
15
4
10
5
140
150
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
160
170
180
190
140
150
160
170
180
190
Altura (cm)
11
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
6.6) POLIGONAL DE FREQUÊNCIAS
É o gráfico formado a partir dos segmentos que ligam em sequência os pontos médios das bases
superiores. Também é conhecido como polígono do histograma.
F.A. (%)
40
35
30
25
20
15
10
5
140
150
160
170
180
190
Altura (cm)
OBSERVAÇÃO: A mesma área que está abaixo do polígono de freqüência é a mesma área que as barras
do histograma ocupa.
6.7) POLIGONAL CARACTERÍSTICO
É o gráfico formado a partir do contorno do Histograma.
OBSERVAÇÃO: A mesma área que está abaixo do polígono de freqüência é a mesma área que as barras
do histograma ocupa.
6.8) CURVAS DE FREQUÊNCIAS
É a curva formada como se fôssemos fazer o polígono de frequência, em forma de curva, não muito
preocupado em passar, necessariamente, pelo ponto médio das classes, como o polígono de frequência.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
12
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
EXEMPLOS DE CURVAS DE FREQUÊNCIAS
Representa uma distribuição de freqüência simétrica.
Representa uma distribuição de freqüência assimétrica (as maiores freqüências aconteceram nos
menores valores)
Representa uma distribuição de freqüência assimétrica (as maiores freqüências aconteceram nos
maiores valores)
6.9) OGIVA
É um tipo de Histograma que representam freqüências acumuladas
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
13
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
EXERCÍCIOS
1. (IRB 2006 ESAF) No campo estatístico, ogivas são:
a) Polígonos de frequência acumulada;
b) Polígonos de frequência acumulada relativa ou percentual;
c) Histograma de distribuição de frequência;
d) Histograma de distribuição de frequência relativa ou percentual;
e) O equivalente à amplitude do intervalo.
2. (IRB 2006 ESAF) Histograma e Polígono de frequência são:
a) A mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de frequência;
b) Um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de frequência;
c) Um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de frequência;
d) Duas representações gráficas de uma distribuição de frequência;
e) Duas representações gráficas de uma distribuição de frequência, porém com sentidos opostos.
3. Gráficos são instrumentos úteis na análise estatística. Assinale a afirmação incorreta:
a) Um histograma representa uma distribuição de frequências para variáveis do tipo contínuo.
b) O gráfico de barras representa, por meio de uma série de barras, quantidades ou frequências para
variáveis categóricas.
c) O gráfico de setores é apropriado, quando se quer representar as divisões de um montante total.
d) Um histograma pode ser construído utilizando-se, indistintamente, as frequências absolutas ou
relativas de um intervalo de classe.
e) Uma ogiva pode ser obtida ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos de um
histograma.
4. (ESAF) Analise a opção correta.
a) A utilização de gráficos da barra ou de colunas exige amplitude de classe constante na
distribuição de frequência.
b) O histograma é um gráfico construído com frequências de uma distribuição de frequências ou
de uma série temporal.
c) O polígono de frequência é um indicador gráfico da distribuição de probabilidade que se ajusta
à distribuição empírica a que ele se refere.
d) O histograma pode ser construído para a distribuição de uma variável discreta ou contínua.
e) O polígono de frequência é construído unindo-se os pontos correspondentes aos limites
inferiores dos intervalos de classe da distribuição de frequência.
5. Em relação aos tipos de gráficos, assinale a opção correta.
a) Uma série categórica é representada por um gráfico de linha.
b) Uma série cronológica é melhor representada por um gráfico de setores.
c) Se uma distribuição de frequências apresenta intervalos de tamanhos desiguais, o melhor
gráfico para representá-la é um polígono de frequências.
d) O gráfico de barras é usado somente para séries geográficas.
e) O gráfico de setores é usado para comparar proporções.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
14
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
6. O gráfico estatístico, destinado a representar uma distribuição de frequência por classe, denominase:
a) Cronograma;
b) Polígono de frequência;
c) Histograma;
d) Gráfico de colunas;
e) Gráfico em barras.
7. Para responder à próxima questão, considere a tabela abaixo, que representa as notas finais
obtidas por 30 alunos de uma classe, em um exame de língua portuguesa.
Notas
Nº de alunos
0¬1 1¬2 2¬3 3¬4 4¬5 5¬6 6¬7 7¬8 8¬9
4
3
6
3
0
6
3
2
2
9 ¬ 10
1
Ao construir um gráfico de setores relativo à tabela dada, o setor correspondente à classe 5 ¬ 6
será de:
a) 48° b) 55° c) 60° d) 66° e) 72°
GABARITO
1. A
5. E
2. D
6. C
3. E
7. E
4. C
IMPORTANTE!!! INTERPOLAÇÃO LINEAR DA OGIVA
Apesar do nome, não vou precisar pegar o gráfico da Ogiva
OBSERVAÇÃO!!!
Eu tenho que usar o
SEMPRE.
EXEMPLOS
1. Considerando a distribuição de frequência abaixo, determine qual o valor da variável X (qual o
peso) que não é superado por cerca de 70% das observações?
Pesos (Kg)
0
10
3
10
20
6
20
30
7
30
40
4
TOTAL
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
fi
20
15
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
2. (AFRF - 2000) Utilize a tabela que se segue:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhões de reais, da Cia. Alfa.
Classes
(3;6]
12
(6;9]
30
(9;12]
50
(12;15]
60
(15;18]
65
(18;21]
68
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10%
dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência
populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que
corresponde a esse número;
a)
b)
c)
d)
e)
150
180
170
160
140
EXERCÍCIOS
1. (AFRF 2002 ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a
tabela de frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a
coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os
extremos das classes.
Classes
70-90
90-110
110-130
130-150
150-170
170-190
190-210
P (%)
5
15
40
70
85
95
100
Assinale a opção que corresponde à estimativa da frequência relativa de observações de X
menores ou iguais a 145.
a) 62,5%
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
b) 70,0%
c) 50,0%
d) 45,0%
e) 53,4%
16
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
2. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências
seguintes:
Classes
29,5 - 39,5
39,5 - 49,5
49,5 - 59,5
59,5 - 69,5
69,5 - 79,5
79,5 - 89,5
89,5 - 99,5
Frequência (f)
4
8
14
20
26
18
10
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com
valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.
a) 700
b) 638
c) 826
d) 995
e) 900
3. (AFRF 2003) Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da
variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes
Fac (%)
2.000 – 4.000
4.000 – 6.000
6.000 – 8.000
8.000 – 10.000
10.000 – 12.000
12.000 – 14.000
5
16
42
77
89
100
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é
superado por cerca de 80% das observações.
a) 10.000
b) 12.000
c) 12.500
d) 11.000
e) 10.500
GABARITO
1. A
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
2.C
3.E
17
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Existem situações onde o número obtido é a medida da tendência central dos vários números usados,
ou seja, vamos concentrar todas as informações de um grupo de valores em um único valor. A MÉDIA
ARITMÉTICA é a mais conhecida das medidas de tendência central, mas além dela, vamos estudar a
MEDIANA e a MODA.
1) MÉDIA ARITMÉTICA (
)
Devemos lembrar que média aritmética é a razão entre a soma dos termos e a quantidade de
termos. Existem varias formas de calcular a média aritmética de acordo com os tipos de
representações das informações.
1.1) CÁLCULO PARA ROL:
Para determinarmos a média aritmética num Rol, faremos:
EXEMPLO
1°) Calcule a média aritmética do Rol (3;4;5;8;10)
1.2) CÁLCULO PARA DADOS TABULADOS:
Para determinarmos a média aritmética de dados tabulados, faremos:
ou
EXEMPLO
1°) Calcule a média aritmética da tabela abaixo.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
3
2
4
4
5
3
6
1
18
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
1.3) CÁLCULO PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS:
Para determinarmos a média aritmética numa distribuição de frequência, faremos:
ou
EXEMPLO
1°) Calcule a média aritmética da distribuição de frequência abaixo
Classes
10 – 30
30 – 50
50 – 70
70 – 90
10
30
40
20
PROPRIEDADES DE MÉDIA ARITMÉTICA
1° PROPRIEDADE:
A média aritmética é sensível a todos os elementos do conjunto.
EXEMPLO
Considere a sequência ( 3; 4; 5; 8; 10) em que a média aritmética é
média aritmética irá mudar?
, mas se mudarmos o 10 por 20 a
2° PROPRIEDADE:
A soma dos desvios em torno da média aritmética é sempre igual a zero, ou seja,
EXEMPLO
Considere a sequência ( 3; 4; 5; 8; 10) em que a média aritmética é
zero?
, então a soma dos desvios valerá
3° PROPRIEDADE:
A média aritmética é influenciada pelas quatros operações.
EXEMPLO
Considere a sequência ( 3; 4; 5; 8; 10) em que a média aritmética é
somarmos 2 unidades a todos os termos? E se dobrarmos os termos?
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
, então a média irá alterar se
19
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
4° PROPRIEDADE:
A média aritmética das médias aritméticas.
EXEMPLOS
1°) Numa empresa há 120 homens e 80 mulheres e a média salarial dos homens é R$ 800,00 e a média
salarial das mulheres é R$ 700,00. Determine a média salarial dos funcionários dessa empresa.
2°) Numa empresa a média das idades de todos os funcionários é 42 anos, mas a média de idade das
mulheres é 40 anos e a média de idade dos homens é 50 anos. Qual é a relação da quantidade de
homens pela quantidade de mulheres?
IMPORTANTE !!!
CÁLCULO DA MÉDIA USANDO A VARIAVEL TRANSFORMADA: Esse método é um processo prático para que
possamos calcular a média aritmética nas distribuições de frequências de forma mais rápida e prática.
EXEMPLOS
1°) Calcule a média de distribuição de frequências dos casos abaixo:
a)
Classes
(10;15]
(15;20]
(20;25]
(25;30]
(30;35]
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
12
30
28
12
18
20
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
2°) (AFRF – 2000) A tabela abaixo representa a distribuição de frequências do salário anual dos
funcionários da empresa Cia. Alfa (em milhões de reais).
Classes
(3;6]
12
(6;9]
18
(9;12]
20
(12;15]
10
(15;18]
5
(18;21]
3
Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a
aproximação:
a)
b)
c)
d)
e)
9,93
15,00
13,50
10,00
12,50
EXERCÍCIOS
1.
2.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
21
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
3. Em uma amostra, realizada para obter-se informação sobre a distribuição salarial de homens e
mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1200,00. O salário médio para os homens foi de
R$ 1300,00 e para as mulheres foi de R$ 1100,00. Assinale a opção correta:
a) O número de homens na amostra é igual ao número de mulheres.
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
4. Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$ 500,00. Os salários médios pagos aos
empregados dos sexos masculino e feminino são de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então
nessa empresa:
a) o número de homens é o dobro do número de mulheres
b) o número de homens é o triplo do número de mulheres
c) o número de homens é o quádruplo do número de mulheres
d) o número de mulheres é o triplo do número de homens
e) o número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
5. Em certa empresa, o salário médio era de $ 90.000,00 e o desvio padrão era de $ 10.000,00. Todos os
salários receberam um aumento de 10%. O salário médio passou a ser de:
a) R$ 90.000,00
b) R$ 91.000,00
c) R$ 95.000,00
d) R$ 99.000,00
e) R$ 100.000,00
6. Assinale a opção que dá o valor de "a" para o qual a equação
a) A média dos valores de x
b) a mediana dos valores de x
c) A moda dos valores de x
d) O desvio padrão dos valores de x
e) O coeficiente de variação dos valores de x.
é sempre verdadeira.
GABARITO
1. B
5. D
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
2. A
6. A
3. A
4. C
22
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
2) MEDIANA (Md)
É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de
números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto
de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que
separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. Daí, devemos lembrar que mediana
divide o conjunto ao meio, por isso é chamado de uma das separatrizes. Existem varias formas de
calcular a mediana de acordo com os tipos de representações das informações.
OBSERVAÇÃO!!!
Para facilitar as contas devemos sempre usar a frequência acumulada
para determinar a mediana.
2.1) CÁLCULO PARA ROL E DADOS TABULADOS:
1º caso Se o universo (n) for ímpar então devemos procurar o termo de posição
EXEMPLOS
1°) Calcule a mediana do Rol (1;1;2;3;4;6;8)
2°) Calcule a mediana da tabela abaixo
3
5
4
2
5
7
6
3
2º caso Se o universo (n) for par então a mediana é a média aritmética dos 2 termos centrais, em
que as posições serão
e
EXEMPLOS
1°) Calcule a mediana do Rol (3;3;3;4;4;5;7;8;9;9)
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
23
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
2°) Calcule a mediana da tabela abaixo
3
4
5
6
7
7
8
3
10
4
2.2) CÁLCULO PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA:
Para calcularmos a mediana referente a distribuição de frequência devemos estar ciente das
observações abaixo.
OBSERVAÇÕES!!!
Não há distinção para n par ou ímpar, a mediana será a mesma.
Usaremos o método da interpolação linear da ogiva procurando o termo correspondente a
posição .
EXEMPLOS
1°) Calcule a mediana das distribuições de frequências abaixo.
a)
b)
Classes
20 – 30
7
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70
8
5
20
6
Classes
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
25
35
48
42
32
18
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
24
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
c)
Classes
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70
7
8
5
20
0
SITUAÇÃO PROBLEMA !!!
1)
2)
Imagine que numa escola foi feita uma pesquisa e constatou-se que a média salarial era R$ 5000,00
e a mediana é R$ 4500,00.
A média nos diz que se redistribuíssemos os salários daria para pagar a todo mundo R$ 5000,00 e a
mediana nos mostra que a metade do grupo ganha abaixo de R$ 4500,00 e a outra metade ganha
acima.
Com base na conclusão acima, podemos dizer que tem mais gente ganhando mais que R$ 4500,00?
Não, pois a mediana é uma separatriz, ou seja, ele dividiu ao meio (quantidade igual).
PROPRIEDADES DE MÉDIANA
1° PROPRIEDADE:
A mediana não é sensível por valores extremos.
EXEMPLO
Considere a sequência (2;3;3;3;4;5;6;7;9) se trocar 9 por 90 (2;3;3;3;4;5;6;7;90) a mediana não muda?
OBSERVAÇÃO: Agora, se trocássemos 9 por 1, aí a mediana iria mudar, pois isso não altera a posição do
termo médio.
2° PROPRIEDADE:
A mediana é influenciada pelas 4 operações.
EXEMPLO
Considere a sequência (2;3;3;3;4;5;6;7;9) se multiplicarmos todos os termos por 3 irá se alterar a mediana?
E se adicionarmos 2 unidades a todos os elementos a mediana mudará?
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
25
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
COMPARAÇÃO DA MÉDIA COM A MEDIANA
Regra do cabo de guerra:
EXEMPLOS
1°) Calcule e compare a média com a mediana do rol (2;2;3;3;3;4;5;6;7;8)
2°) Calcule e compare a média com a mediana do rol (1;2;3;5;6;7;7;7;8;8)
3°) Da sequência (1;2;3;4;5;6;7;8;9;10), sem calcular, podemos afirmar que a mediana é maior que a ?
4°) Da sequência (2;2;3;5;6;6;7;7;8;9), sem calcular, podemos afirmar que a mediana é maior que a ?
PERGUNTA IMPORTANTE!!!
1) A média salarial brasileira é maior ou menor que a mediana salarial?
EXERCÍCIOS
1.
2.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
26
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
3.
a)
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor
aproximado desta estatística, com base na distribuição de frequências.
12,5
b)9,60
c)9,00
d)12,00
e)12,10
4.
5.
Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à sequência de observações (91, 91, ..., 140,
145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações de X.
9
11
9
9
10 002234
10 57778
11 013
11 66
12 00012
12 558
13 004
13 555
14 0
14 5
15
15 8
a) 110
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
b)120
c)116
d)113
e)111
27
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
GABARITO
1. B
2. C
3. B
4. A
5. C
3) MODA (Mo)
É o valor de maior frequência , ou seja, o elemento mais frequente. Existem varias formas de calcular a
moda de acordo com os tipos de representações das informações.
3.1) CÁLCULO PARA ROL:
Para determinação da moda no Rol, não te dificuldade alguma, basta observarmos qual dos
termos mais repete.
EXEMPLOS
1°) Determine qual (ais) a(s) moda(s) nos casos que se seguem abaixo:
a) (2;2;3;3;3;5;6;7;8)
b) (2;2;3;3;5;5;5;6;6;6;7)
c) (1;2;2;2;3;3;3;4;4;4;5;7)
d) (1;2;3;4;5;6)
3.2) CÁLCULO PARA DADOS TABULADOS:
Analogamente, para determinarmos a moda nos dados tabulados, basta observarmos na coluna
das freqüências o que apresenta maior valor.
EXEMPLOS
1°) Determine a moda nos casos abaixo.
a)
2
3
4
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
5
2
4
28
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
5
2
2
3
4
5
2
3
3
1
6
2
3
4
5
18
18
18
6
18
b)
c)
3.3) CÁLCULO PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA:
Em distribuição de freqüências, a moda poderá calculada a partir das fórmulas de CZUBER e KING.
Observe abaixo a fórmula de Czuber.
Amplitude de classe modal
Limite inferior da classe modal
Observe abaixo a fórmula de King.
Amplitude de classe modal
Limite inferior da classe modal
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
29
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
EXEMPLOS
1°) Determine a moda nos casos abaixo.
a)
b)
Classes
10 – 20
3
20 – 30
6
30 – 40
7
40 – 50
4
Classes
150 – 170
3
170 – 190
6
190 – 210
10
210 – 230
9
EXERCÍCIOS
1.
Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em
01.01.90
a) 35,97 anos
b) 36,26 anos
c) 36,76 anos
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
30
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
d) 37,03 anos
e) 37,31 anos
2. Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória,
de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o
dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9,10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11,
11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.
a) 7
b) 23
c) 10
d) 8
e) 9
3. Dados os conjuntos de valores
A = {1,1,2,3,4,5,8,8,8,8,9,10}
B = {6,7,8,9,10,11,12}
C = {1,2,4,4,4,4,5,6,9,9,9,9,10}
Em relação à moda, afirmamos que:
I – A é unimodal e a moda é 8
II – B é unimodal e a moda é 9
III – C é bimodal e as modas são 4 e 9
Então, em relação às afirmativas, é correto dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
Todas são verdadeiras;
Todas são falsas;
Somente l e ll são verdadeiras;
Somente l e lll são verdadeiras;
Somente ll e lll são verdadeiras.
4.
GABARITO
1. B
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
2. D
3. D
4. A
31
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
COMPARAÇÃO DA MÉDIA COM A MEDIANA E A MODA
4°) CURVA SIMÉTRICA E ASSIMÉTRICA
4.1) DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA
As curvas simétricas apresentam grau de assimetria nulo: A = 0. Em curvas desse tipo, temos: Média =
Mediana = Moda. Veja:
4.2) DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA OU ASSIMÉTRICA À DIREITA
As curvas assimétricas a direita apresentam grau de assimetria positivo, A > 0. Em curvas desse tipo,
temos: Moda < Mediana < Média. Veja:
4.3) DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA OU ASSIMÉTRICA À ESQUERDA
As curvas assimétricas a esquerda apresentam grau de assimetria negativa, A < 0. Em curvas desse
tipo, temos: Média < Mediana < Moda. Veja:
5°) SEPARATRIZES
Mediana: divide a distribuição de dados em duas partes iguais, tendo 50% dos dados cada uma.
Dizemos que a mediana supera 50% dos dados.
Quartis: dividem a distribuição de dados em quatro partes iguais, tendo 25% dos dados cada uma.
Existem 3 quartis. O 1º Quartil (Q1) supera 25% dos dados, o 2º Quartil (Q2) supera 50% dos dados e
o 3º Quartil (Q3) supera 75% dos dados. Note que Q2 coincide com mediana.
Decis: dividem a distribuição de dados em dez partes iguais, tendo 10% dos dados cada uma. Existem 9
decis. O 1º Decil (D1) supera 10% dos dados, o 2º Decil (D2) supera 20% dos dados, o 3º Decil (D3)
supera 30% dos dados, o 4º Decil (D4) supera 40% dos dados, o 5º Decil (D5) supera 50% dos dados, o
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
32
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
6º Decil (D6) supera 60% dos dados, o 7º Decil (D7) supera 70% dos dados, o 8º Decil (D8) supera 80%
dos dados e o 9º Decil (D9) supera 90% dos dados. Note que D5 coincide com a mediana.
Percentis: dividem a distribuição de dados em 100 partes iguais, tendo 1% dos dados cada uma.
EXEMPLOS
1.
Considere a tabela abaixo:
CLASSES
[20;30)
[30;40)
[40;50)
[50;60)
[60;70)
[70;80)
fi
25
35
48
42
32
18
Calcule:
a) Q1
b) D3
c) P17
2. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200
itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de
freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a
coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com
os extremos das classes.
Classes
70
P (%)
-- 90
5
90 -- 110
15
110 -- 130
40
130 -- 150
70
150 -- 170
85
170 -- 190
95
190 -- 210
100
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X.
a) 138
b)
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
b) 140
c)136,67
d) 139,01
e) 140,66
33
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
6°) MÉDIAS ESPECIAIS
6.1) MÉDIA GEOMÉTRICA (G)
A média geométrica de n termos corresponde à raiz n-ésima do produto dos n fatores. Fórmula:
EXEMPLOS
1.
Calcule a média geométrica de (2; 9; 12)
2. Em 2005 tivemos uma inflação de 20% e 2006 foi de 80% então qual foi a inflação média do
biênio 2005 – 2006?
6.2) MÉDIA HARMÔNICA (H)
A média harmônica corresponde ao inverso da média dos inversos dos valores. Fórmula:
EXEMPLOS
1. A média harmônica corresponde ao rol (2; 3; 5)
2. Um automóvel partiu de uma cidade A em direção à cidade B com uma velocidade de 40 km/h e
fez o mesmo percurso de volta, contudo com uma velocidade de 60 km/h. Qual a velocidade
média desse automóvel nesse percurso?
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
34
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS
Para um conjunto de n valores positivos sempre é verdade que:
OBSERVAÇÃO!!!
A igualdade das médias só ocorrerá quando todos os elementos forem iguais,ou seja, se um rol for (5;5;5)
então
.
EXEMPLOS
01. (AFRF 2005) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética (X), geométrica (G) e
harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X 1, X2, ... , Xn):
a)
b)
c)
d)
e)
G H X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.
G X H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais.
X G H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.
H G X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.
X H G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais.
02. (SEFAZ CE 2007 ESAF) Indicando por:
– X : a média aritmética de uma amostra;
– mg : a média geométrica da mesma amostra; e
– mh : a média harmônica também da mesma amostra.
E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é verdadeiro afirmar que a relação
entre estas médias é:
a)
b)
c)
d)
e)
X < mg < mh
X > mg > mh
mg < X < mh
X < mg = mh
X = mg = mh
03. (Tec Receita Federal 2005 ESAF) Um motorista de táxi faz 10 viagens ida e volta do aeroporto Santos Dumont ao
aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a velocidade média, em quilômetros por hora, em cada
uma dessas viagens. O motorista quer, agora, saber qual a velocidade média do táxi para aquele percurso, em
quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens ida e volta. Para tanto, ele deve calcular a média
a)
b)
c)
d)
e)
aritmética dos inversos das velocidades médias observadas.
geométrica das velocidades médias observadas.
aritmética das velocidades médias observadas.
harmônica das velocidades médias observadas.
harmônica dos inversos das velocidades médias observadas.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
35
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
REVISÃO DA PARTE INICIAL
1.
(MP-2004-ESAF) A distribuição de frequências de determinado atributo X é dada na tabela abaixo. Não
existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes
Frequências
2.000 – 4.000
18
4.000 – 6.000
45
6000 – 8.000
102
8.000 – 10.000
143
10.000 – 12.000
51
12.000 – 14.000
41
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X que não é superado por 80% das observações do
atributo X.
a) 12.000
b) 10.000
c) 10.471
2.
d) 9.000
e) 11.700
(AFRF-2002 ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de
frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a
frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes
P (%)
70-90
5
90-110
15
110-130
40
130-150
70
150-170
85
170-190
95
190-210
100
Assinale a opção que corresponde à estimativa da frequência relativa de observações de X menores ou iguais a 145.
a) 62,5%
b) 70,0%
c) 50,0%
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
d) 45,0%
e) 53,4%
36
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
3.
(IRB – 2004 ESAF) Na distribuição de frequências abaixo, não existem observações coincidentes com os
extremos das classes.
Classe
Frequência
Acumulada
129,5-139,5
4
139,5-149,5
12
149,5-159,5
26
159,5-169,5
46
169,5-179,5
72
179,5-189,5
90
189,5-199,5
100
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de observações menores ou
iguais ao valor 164.
a) 46
b) 26
c) 72
4.
d) 35
e) 20
(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de frequências abaixo apresenta as frequências acumuladas (F)
correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das
classes salariais.
Classes
F
29,5 – 3 9,5
2
39,5 – 49,5
6
49,5 – 59,5
13
59,5 – 69,5
23
69,5 – 79,5
36
79,5 – 89,5
45
89,5 – 99,5
50
Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é superado por
80% das realizações de Y.
a) 82,0
b) 80,0
c) 83,9
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
d) 74,5
e) 84,5
37
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
5.
(FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de frequência obtida de uma amostra aleatória
dos salários anuais em reais de uma firma. As frequências são acumuladas.
Classes de Salário
Frequências
(5.000-6.500)
12
(6.500-8.000)
28
(8.000-9.500)
52
(9.500-11.000)
74
(11.000-12.500)
89
(12.500-14.000)
97
(14.000-15.500)
100
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da
população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa.
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 10.000,00
R$ 9.500,00
R$ 12.500,00
R$ 11.000,00
R$ 11.500,00
6.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
7.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
8.
(ISS-SP 2006 FCC) No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de
R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente iguais a R$
600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as
mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se
alterou, após esses reajustes o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a:
R$ 540,00
R$ 562,00
R$ 571,00
R$ 578,00
R$ 580,00
(MPU 2007 FCC) Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 245},
pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média dos elementos de Q é igual a
constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5.
média dos elementos de P mais a constante 220.
média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária.
média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado multiplicado por 5.
média dos elementos de P mais a constante 200.
(Analista BACEN 2005 FCC) A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$
1.500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser
concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a nova média
aritmética dos salários será de
(A) R$ 1 375,00
(B) R$ 1 350,00
(C) R$ 1 345,00
(D) R$ 1 320,00
(E) R$ 1 300,00
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
38
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
9.
(AFPS-2002/ESAF) Assinale a opção que dá o valor de ―a‖ para o qual a equação
n
i 1
(x i
a)
0 é sempre
verdadeira.
a)
b)
c)
d)
e)
A média dos valores x.
A mediana dos valores x.
A moda dos valores x.
O desvio padrão dos valores x.
O coeficiente de assimetria dos valores x.
10. (TCDF-95) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500,00. Os salários médios pagos aos
empregados dos sexos masculino e feminino são de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então, nessa
empresa:
a)
b)
c)
d)
e)
o número de homens é o dobro do número de mulheres.
O número de homens é o triplo do número de mulheres.
O número de homens é o quádruplo do número de mulheres.
O número de mulheres é o triplo do número de homens.
O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
11. (Auditor do Tesouro Municipal – Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra, realizada para se obter informação
sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O
salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a
opção correta.
a)
b)
c)
d)
e)
O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.
O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.
O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.
O número de mulheres é o dobro do número de homens.
O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
12. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de
50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar
americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12,
13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.
a) 7
b) 23
c) 10
d) 8
e) 9
13. (SEFAZ/MG-2005-ESAF) Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à sequência de
observações (91, 91, ..., 140, 145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações de X.
9
11
9
9
10
002234
10
57778
11
013
11
66
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
39
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
12
00012
12
558
13
004
13
555
14
0
14
5
15
15
a)
b)
c)
d)
e)
8
110
120
116
113
111
14. (IRB 2004 ESAF) O diagrama de ramos e folhas apresentado abaixo corresponde à sequência de observações
amostrais (34, 38, ..., 97) de um atributo X. Assinale a opção que dá a mediana amostral de X.
34
38
4 22
4 57
5 124
5 7889
6 013
6 5567899
7 0112334
7 556679
8 1123344
8 57
9 0133
97
a)
b)
c)
d)
e)
69,5
71,0
70,5
72,0
74,0
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
40
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
15. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) Dados os conjuntos de valores:
A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10}
B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10}
Em relação à moda, afirmamos que:
I – A é unimodal e a moda é 8.
II – B é unimodal e a moda é 9.
III – C é bimodal e as modas são 4 e 9.
Então, em relação às afirmativas, é correto dizer que:
a) Todas são verdadeiras.
b) Todas são falsas.
c) Somente I e II são verdadeiras.
d) Somente I e III são verdadeiras.
e) Somente II e III são verdadeiras.
16. (MP-2007-ESAF) Considere o histograma da variável X a seguir, em que as frequências simples absolutas
foram anotadas no interior dos retângulos.
O valor do terceiro quartil de X é:
a) 40
b) 35
c) 30
d) 25
e) 12
17. (ESAF/TTN) Dado o gráfico abaixo, onde fi é a frequência simples ou absoluta da i-ésima classe, então:
fi
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
14
16
idades
a) a moda se encontra na 4a classe e é igual a 9;
b) o número de observações é 42;
c) como a distribução é assimétrica, moda = média = mediana;
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
41
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
d) a frequência acumulada crescente da 3a classe é 20;
7
fi
e)
48
i 1
QUESTÕES 18 E 19
(TTN-94) Considere a distribuição de frequências transcrita a seguir:
Xi
fi
02 |— 04
9
04 |— 06
12
06 |— 08
6
08 |— 10
2
10 |— 12
1
18. A média da distribuição é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
5,27
5,24
5,21
5,19
5,30
19. A mediana da distribuição é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
5,30kg
5,00kg
um valor inferior a 5kg
5,10kg
5,20kg
20. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) As distâncias, em milhares de quilômetros, percorridas em um ano
pelos 20 táxis de uma empresa, estão representadas no quadro seguinte:
Distâncias
Número de
Táxis
45 |— 55
3
55 |— 65
7
65 |— 75
4
75 |— 85
5
85 |— 95
1
Total
Nestas condições, é correto afirmar que a mediana dessa distribuição, em milhares de quilômetros é:
a) 57
b) 61
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
c) 65
d) 69
e) 73
42
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
21. (AFTN/1994) Com relação à distribuição de frequências abaixo, podemos dizer que a mediana e a moda:
a)
b)
c)
d)
e)
classes
fi
02 |— 04
7
04 |— 06
9
06 |— 08
18
08 |— 10
10
10 |— 12
6
Têm valor superior ao da média aritmética.
Têm valor inferior ao da média aritmética.
Têm o mesmo valor.
Diferem por um valor igual a 10% da média aritmética.
Diferem por um valor superior a 10% da média aritmética.
22. Considere a seguinte distribuição de frequências:
a)
b)
c)
d)
e)
classes
Fi
10 |— 20
10
20 |— 30
20
30 |— 40
30
40 |— 50
20
50 |— 60
10
Total
90
Nesta distribuição :
A mediana é menor que a média.
A média é menor que a moda.
A moda é maior que a mediana.
A moda é igual a média que por sua vez é igual a mediana.
A moda é igual a média, mas é diferente da mediana.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
43
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
QUESTÕES 23 A 27
(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM
1o/1/90
Classes de
Idades (anos)
Frequências
(fi)
Pontos
Médios (Xi)
19,5 |— 24,5
2
22
24,5 |— 29,5
9
29,5 |— 34,5
Xi 37
5
fi . di
fi . di2
fi . di3
fi . di4
–3
–6
18
–54
162
27
–2
–18
36
–72
144
23
32
–1
–23
23
–23
23
34,5 |— 39,5
29
37
—
—
—
—
—
39,5 |— 44,5
18
42
1
18
18
18
18
44,5 |— 49,5
12
47
2
24
48
96
192
49,5 |— 54,5
7
52
3
21
63
189
567
16
206
154
1106
di
TOTAL
23. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1 o/1/90.
a) 37,4 anos
b) 37,8 anos
c) 38,2 anos
d) 38,6 anos
e) 39,0 anos
24. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1 o/1/90.
a) 35,49 anos
b) 35,73 anos
c) 35,91 anos
d) 37,26 anos
e) 38,01 anos
25. Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 1 o/1/90.
a) 35,97 anos
b) 36,26 anos
c) 36,76 anos
d) 37,03 anos
e) 37,31 anos
26. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1 o/1/96.
a) 37,4 anos
b) 39,0 anos
c) 43,4 anos
d) 43,8 anos
e) 44,6 anos
27. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1o/1/96.
a) 35,49 anos
b) 36,44 anos
c) 41,49 anos
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
d) 41,91 anos
e) 43,26 anos
44
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
QUESTÕES 28 E 29
(AFRF-2002) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue.
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza
contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes
P (%)
70 -90
5
90 – 110
15
110 – 130
40
130 – 150
70
150 – 170
85
170 – 190
95
190 – 210
100
28. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.
a) 140,10
b) 115,50
c) 120,00
d) 140,00
e) 138,00
29. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X.
a) 138,00
b) 140,00
c) 136,67
d) 139,01
e) 140,66
QUESTÕES 30 E 31
(AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo
X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a
tabela de frequências seguinte:
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
Classes
Frequência (f)
29,5 – 39,5
4
39,5 – 49,5
8
49,5 – 59,5
14
59,5 – 69,5
20
69,5 – 79,5
26
79,5 – 89,5
18
89,5 – 99,5
10
45
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
30. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X.
a) 71,04
b) 65,02
c) 75,03
d) 68,08
e) 70,02
31. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber.
a) 69,50
b) 73,70
c) 71,20
d) 74,53
e) 80,10
QUESTÕES 32 E 33
(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de frequências abaixo deve ser utilizada nas duas próximas questões e apresenta as
frequências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em
R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as
extremidades das classes salariais.
Classes
F
29,5 – 39,5
2
39,5 – 49,5
6
49,5 – 59,5
13
59,5 – 69,5
23
69,5 – 79,5
36
79,5 – 89,5
45
89,5 – 99,5
50
32. Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de fiscalização da Cia.
X.
a) 70,0
b) 69,5
c) 68,0
d) 74,4
e) 60,0
33. Assinale a opção que corresponde ao salário modal anual estimado para o departamento de fiscalização da Cia.
X, no conceito de Czuber.
a) 94,5
b) 74,5
c) 71,0
d) 69,7
e) 73,8
34. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a
partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de frequências seguinte:
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
Classe de Preços
mi
fi
[ 5 – 9)
7
3
[ 9 – 13)
11
5
[13 – 17)
15
7
[17 – 21)
19
6
[21 – 25)
23
3
[25 – 29)
27
1
46
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
Deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale a opção que melhor aproxima
este valor.
a) 16
b) 19
c) 17
d) 11
e) 14,2
35. (Fiscal-Campinas-2002) Dada a distribuição de frequência abaixo, indique o valor da Moda e Mediana,
respectivamente
a) 7,14 7,28
b) 6,54 5,78
c) 7,24 6,38
Classes
Fi
4 |— 6
12
6 |— 8
36
8 |— 10
18
10 |— 12
4
d) 5,84 7,5
e) 6,24 6,78
36. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de frequência obtida de uma amostra aleatória
dos salários anuais em reais de uma firma. As frequências são acumuladas.
Classes de Salário
Frequências
(5.000 – 6.500)
12
(6.500 – 8.000)
28
(8.000 – 9.500)
52
(9.500 – 11.000)
74
(11.000 – 12.500)
89
(12.500 – 14.000)
97
(14.000 – 15.500)
100
Assinale a opção que corresponde ao salário mediano
a) R$ 10.250
b) R$ 8.000
c) R$ 8.700
d) R$ 9.375
e) R$ 9.500,
37. (AFR 2009)
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
47
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
38. (ESAF/TTN) Assinale a opção correta.
a)
b)
c)
d)
e)
A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas partes de igual frequência.
A média harmônica é a média geométrica dos inversos das determinações da variável.
A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da distribuição.
A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da distribuição.
A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de medida da variável a que se
referem.
Gabarito:
01. C
02. A
03. D
04. C
05. E
06. C
07. A
08. A
09. A
10. C
11. A
12. D
13. C
14. B
15. D
16. B
17. E
18. A
19. B
20. C
21. A
22. D
23. B
24. D
25. B
26. D
27. E
28. E
29. C
30. A
31. B
32. B
33. E
34. A
35. A
36. D
37. E
38. E
MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA
Já estudamos as medidas de tendência central ( , Mo e Me). |Elas tem como objetivo concentrar em um
único número os diversos valores de uma pesquisa.
Veremos agora casos que elas são insuficientes:
SITUAÇÃO PROBLEMA
Uma pessoa é encarregada de organizar atividades de lazer para um grupo de pessoas e recebe a
informação de que a média de idade do grupo é 20 anos. Nesse caso, apenas a informação da média não
é suficiente para planeja as atividades; pois podemos ter grupos com média de idade de 20 anos e
característica totalmente diferentes.
Observamos alguns grupos possíveis:
GRUPO A: 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos e 20 anos.
x
20 20 20 20 20 20
20 anos
6
GRUPO B: 22 anos; 23 anos; 18 anos; 19 anos; 20 anos e 18 anos.
x
22 23 18 19 20 18
20 anos
6
GRUPO C: 6 anos; 62 anos; 39 anos; 4 anos; 8 anos e 1 ano.
x
6 62 39 4 8 1
20 anos
6
Como a medida de tendência central é suficiente para caracterizar o grupo C, é conveniente utilizar
medidas que expressam o grau de dispersão de um grupo de dados. As medidas usadas são a variância e
o desvio padrão.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
48
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
1) AMPLITUDE TOTAL
Já sabemos que Amplitude é a diferença entre o limite superior de uma classe e o limite inferior
dessa mesma classe, sendo assim, ficará fácil entender que Amplitude Total será:
EXEMPLOS
1°) Determine a amplitude total nos casos abaixo.
a) (3;4;5;6;6;6;7;8;9)
b)
Classes
10 – 20
4
20 – 30
5
30 – 40
7
40 – 50
5
50 – 60
3
2) AMPLITUDE INTERQUALÍTICA
A amplitude interquartílica é definida como a diferença entre Q 3 e Q1. Veja:
EXEMPLO
1. (AFC-2008-ESAF) Dado o seguinte conjunto de dados ( 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28,
73, 5 e 56 ). Determine a amplitude interquartilica Q3 – Q1.
a) 33
b) 37
c) 40
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
d) 46
e) 51
49
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
3) VARIÂNCIA (POPULACIONAL)
A variância é também denominada de Desvio Quadrático Médio. Dado um conjunto de dados, seu
cálculo é obtido pela média dos quadrados dos desvios em relação à média. A seguir, serão apresentadas
as várias situações nas quais seremos solicitados a calcular a variância.
1ª) SITUAÇÃO: ROL.
População:
Amostra:
2ª) SITUAÇÃO: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ABSOLUTA.
População:
Amostra:
IMPORTANTE !!!
Variância (2º Modo de Cálculo)
Quando a média é um número decimal ou os dados são apresentados em tabelas de distribuição, a
variância é mais rapidamente calculada pela fórmula:
ou
ou
ou
Para efeito de memorização, a fórmula acima é lida como: “média dos quadrados menos o quadrado da
média”.
A fórmula acima é populacional. Para transformá-la em amostral, basta multiplicá-la pelo Fator de
Bessel:
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
50
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
EXEMPLOS
1.
Uma empresa que possui 5 copiadoras registrou em cada uma delas no último mês (em 1.000 unidades):
20, 23, 25, 27, 30 cópias, respectivamente. O valor da variância desta população é:
a) 5
b) 11,6
c) 14,5
d) 25
2.
Dada a sequência de valores 4,4,2,7e3 assinale a opção que dá valor da variância se o denominador for 4
em seus cálculos:
a)5,5
b)4,5
c)3,5
d)6,0
e)16,0
3.
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50
preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar
americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9,10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11,
12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
Σi Xi = 490 e Σi Xi2– (Σi Xi )2/ 50 = 668
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação
de uma casa decimal)
a) (9,0 ; 13,6)
b) (8,0 ; 13,6)
c) (9,5 ; 14,0)
d) (9,0 ; 14,0)
e) (8,0 ; 15,0)
4) DESVIO PADRÃO (DISPERSÃO ABSOLUTA)
O desvio-padrão é definido como a raiz quadrada da variância. Veja:
População:
ou
Amostral:
ou
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
51
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
IMPORTANTE!!!
O método para calcular raiz quadrada de número que não seja quadrado perfeito será como se segue
abaixo.
FÓRMULA
EXEMPLOS
1°) Calcule a raiz quadrada de:
a)
b)
2°) Calcule o desvio padrão dos casos abaixo.
a)
3
4
4
8
5
6
6
2
PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO
1° PROPRIEDADE:
A variância e o desvio padrão não são influenciados por operações de soma e subtração.
2° PROPRIEDADE:
Se multiplicarmos ou dividirmos todos os valores de um conjunto por uma constante K, o desvio padrão
será multiplicado por essa constante K e a variância será multiplicada por K².
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
52
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
EXEMPLOS
1.
Em certa empresa o salário médio era de $ 90.000,00, com desvio padrão de $ 10.000,00. Todos os salários
receberam um aumento de 10%. Então o desvio padrão dos novos salários passou a ser de:
a) R$ 10.000,00
b) R$ 10.100,00
c) R$ 10.500,00
d) R$ 10.900,00
e) R$ 11.000,00
2.
Considere a seguinte transformação: z = (x-2)/3. Sabendo-se que para a variável transformada, a média de Z é
igual a 8,0 e o desvio padrão de Z é igual a 4,0, calcule a média e o desvio absoluto da variável original X.
3.
(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Aplicando a transformação z = (x – 14)/4 aos pontos médios
das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio
padrão dos salários não transformados.
a)
b)
c)
d)
e)
6,20
4,40
5,00
7,20
3,90
4.
a)
(Analista BACEN) Com relação às medidas de posição e de dispersão, é correto afirmar:
Dobrando todos os valores dos salários dos funcionários de uma empresa, tem-se o salário médio destes
funcionários e a respectiva variância também ficam dobrados.
b) A diferença entre a variância e o desvio-padrão de uma seqüência de números é nula somente no caso em que a
variância e o desvio padrão são iguais a zero.
c) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é sempre maior ou igual a zero.
d) Multiplicando todos os valores de uma seqüência de números positivos por um número positivo tem-se que o
respectivo desvio padrão deverá ser multiplicado pelo mesmo número.
5.
A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa eram de R$ 285.000,00 e 1,1627 x 10¹º
respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários, após o corte de três zeros na moeda é:
a) 1,1627 x
b) 1,1627 x
c) 1,1627 x
d) 1,1627 x
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
53
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA
1) COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (DISPERSÃO RELATIVA)
O Coeficiente de Variação é definido como a razão entre o desvio-padrão e a média.
População:
Amostra:
EXEMPLOS
1.
(MPU 2007 FCC) Uma empresa tem duas filiais Z e W. Um levantamento sobre os salários dos empregados
dessas filiais revelou para a média e o desvio padrão dos salários das duas filiais os seguintes valores:
Filial Z: X Z = R$ 400,00 e SZ = R$ 20,00
Filial W: X W = R$ 500,00 e SW = R$ 25,00
Com base nesses resultados é verdade que
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2.
as dispersões absolutas dos salários das filiais Z e W são iguais.
o coeficiente de variação dos salários das duas filiais não difere.
o coeficiente de variação dos salários de Z é menor que o coeficiente de variação dos salários da filial W.
o salário médio dos funcionários dessa empresa é de 450 reais.
o salário médio dos funcionários dessa empresa é superior a 450 reais.
(AFRF-2002.2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de
empresas apresentando os resultados seguintes:
Grupo
Média
Desvio padrão
A
20
4
B
10
3
Assinale a opção correta.
a)
b)
c)
d)
No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.
A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa.
A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A.
A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de desvios padrão pela
diferença de médias.
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
54
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
3. Considere a seguinte transformação: (x-2)/3. Sabendo-se que para a variável transformada, a média
é igual a 8,0 e o desvio padrão é igual a 4,0, calcule o coeficiente de variação da variável original X.
4.
5.
2) VARIÂNCIA RELATIVA (VR)
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
55
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
REVISÃO DA PARTE 2
1.
a)
b)
c)
d)
e)
2.
A
B
C
D
E
(AFC-CGU/2008/ESAF) Calcule o valor mais próximo do desvio-padrão da amostra representada pela
distribuição de frequências abaixo representada pelos pontos médios das classes x e respectivas frequências f.
X
f
5
5
15
10
25
31
35
10
45
5
1
2,44
5,57
7,056
10
(MPOG/ENAP 2006 ESAF) Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes
variáveis:
{1; 1; 1; 1; 1; 50}
{1, 1, 1, 1; 50; 50}
{1, 1, 1, 50, 50, 50}
{1, 1, 50, 50, 50, 50}
{1, 50, 50, 50, 50, 50}
O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio-padrão, é o referente à variável
a)
b)
c)
d)
e)
3.
A
B
C
D
E
(Analista BACEN 2005 FCC) Com relação às medidas de posição e de dispersão, é correto afirmar:
(A) Dobrando todos os valores dos salários dos funcionários de uma empresa, tem-se que o salário médio destes
funcionários e a respectiva variância também ficam dobrados.
(B) A diferença entre a variância e o desvio padrão de uma sequência de números é nula somente no caso em que
a variância e o desvio padrão são iguais a zero.
(C) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é sempre maior ou igual a zero.
(D) Multiplicando todos os valores de uma sequência de números positivos por um número positivo tem-se que o
respectivo coeficiente de variação não se altera.
(E) O coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é igual à divisão do quadrado da
respectiva média aritmética pela variância.
4.
(FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvio padrão do conjunto de dados A = {2, 4, 6, 8, 10} é,
aproximadamente:
a) 2,1
b) 2,4
c) 2,8
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
d) 3,2
e) 3,6
56
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
5.
(AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra de dez indivíduos. Os
números que representam as ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0,
2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é:
a)
3
c)
10
b)
9
d)
30
6.
(Fiscal de Rendas RJ 2003 FJG) O desvio-padrão populacional dos valores 30, 40 e 50 é igual,
aproximadamente, a:
a) 8
b) 8,16
7.
c) 10
d) 10,16
(Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Os valores de uma amostra de cinco elementos são: 4, 3, 3, 5 e 5.
A variância dessa amostra é de:
a) 4,00
b) 3,00
c) 2,33
d) 1,00
8.
(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de
50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar
americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 1 2, 12,
13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
i
i
= 490 e
i
2
i
–(
i
i)
2
/ 50 = 668
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma
casa decimal)
a) (9,0 13,6)
b) (9,5 14,0)
c) (8,0 15,0)
9.
d) (8,0 13,6)
e) (9,0 14,0)
(AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa eram de $285.000 e 1,1627 x
1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é:
a) 1,1627 x 107
b) 1,1627 x 106
c) 1,1627 x 105
d) 1,1627 x 104
10. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio padrão dos salários era de
$10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de:
a) $ 10.000,00
b) $ 10.100,00
c) $ 10.500,00
d) $ 10.900,00
e) $ 11.000,00
11. (FISCAL DO TRABALHO-94) Do estudo do tempo de permanência no mesmo emprego de dois grupos de
trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguintes resultados para as médias Xa e Xb e desvios-padrão Sa e
Sb.
Grupo A: Xa = 120 meses e Sa = 24 meses
Grupo B: Xb = 60 meses e Sb = 15 meses
É correto afirmar que:
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
57
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
a)
b)
c)
d)
e)
a dispersão relativa no grupo A é maior que no grupo B.
a média do grupo B é 5/8 da média do grupo A.
a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo B.
a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo B.
a média entre os dois grupos é de 180 meses.
12. (TCU-93) O quadro abaixo apresenta a renda mensal per capita das localidades A e B:
Localidade
Média
Desvio Padrão
A
50
10
B
75
15
Assinale a opção correta:
a)
b)
c)
d)
e)
O intervalo semi-interquartílico é dado por [10, 15].
A renda da localidade A é mais homogênea que a renda na localidade B.
O coeficiente de variação é 50/75.
A renda da localidade B é mais homogênea que a da localidade A.
Os coeficientes de variação de renda nas localidades A e B são iguais.
13. (TCDF-1995) Uma pesquisa de preços de determinado produto, realizada em dois mercados, produziu os
resultados mostrados na tabela abaixo:
Mercado
Preço Médio
(R$/kg)
Desvio Padrão
(R$/kg)
I
5,00
2,50
II
4,00
2,00
Com base nesses resultados, é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
no mercado I, a dispersão absoluta dos preços é menor que no mercado II.
o mercado I apresenta uma dispersão relativa (de preços) maior que a do mercado II.
no mercado I, a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta.
no mercado I, a dispersão relativa dos preços é igual a do mercado II.
considerando os mercados I e II como se fossem um único mercado, a dispersão absoluta da distribuição
resultante é igual a 4,5.
14. (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Aplicando a transformação z = (x – 14)/4 aos pontos médios
das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio
padrão dos salários não transformados.
a) 6,20
b) 4,40
c) 5,00
d) 7,20
e) 3,90
15. (AFRF-2003/ESAF) O atributo Z = (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56.
Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X.
a) 12,9%
b) 50,1%
c) 7,7%
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
d) 31,2%
e) 10,0%
58
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
16. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas
genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-padrão S = 13 da variável
transformada (X – 200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.
a) 3,0%
b) 9,3%
c) 17,0%
d) 17,3%
e) 10,0%
17. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a
partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de freqüências seguinte:
Classe de Preços
mi
fi
[ 5 – 9)
7
3
[ 9 – 13)
11
5
[13 – 17)
15
7
[17 – 21)
19
6
[21 – 25)
23
3
[25 – 29)
27
1
As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a frequência da classe de preços i.
Sabendo-se que: i(fi mi2) – ( i fi mi)2 / 25 694 assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral.
a)
b)
c)
d)
e)
0,5 (347/3)0.5
6
0,9 (345/3)0.5
28,91
8
18. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados
200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências
abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes
P (%)
70 – 90
5
90 – 110
15
110 – 130
40
130 – 150
70
150 – 170
85
170 – 190
95
190 – 210
100
Considere a transformação Z = (X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se
7
f Z2
i 1 i i
1680 , onde fi é a
frequência simples da classe i e Zi o ponto médio de classe transformado. Assinale a opção que dá a variância
amostral do atributo X.
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
59
PROFESSOR – ARGEU CARDIM
a) 720,00
b) 840,20
c) 900,10
d) 1200,15
e) 560,30
19. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N empregados produziram as
estatísticas:
X
1
N
N
X1
R$ 14.300,00
1
N
S
i 1
0, 5
N
x1
X
2
R $ 1.200,00
i 1
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$ 16.100,00].
Assinale a opção correta.
a) P é no máximo 1/2
b) P é no máximo 1/1,5
c) P é no mínimo ½
d) P é no máximo 1/2,25
e) P é no máximo 1/20
20. (AFRF-2005/ESAF) Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos
para os produtos A e B:
Produto A
39
33
25
30
41
36
37
Produto B
50
52
47
49
54
40
43
Assinale a opção que apresente os coeficientes de variação dos dois produtos:
a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%
b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%
c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%
d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%
e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%
Gabarito:
01. E
02. C
03. D
04. C
05. C
06. B
07. D
08. A
09. D
10. E
11. D
12. E
13. D
14. B
15. C
16. B
17. A
18. B
19. D
20. B
Só Concursos e Afins - (71) 3351-7112
60