análise de confiabilidade na cravação de estacas de

ANÁLISE DE CONFIABILIDADE NA CRAVAÇÃO DE ESTACAS DE
CONCRETO PRÉ-MOLDADO
EDIO SOARES PEREIRA JUNIOR
Dissertação apresentada ao Centro de Ciências
e Tecnologia, da Universidade Estadual do
Norte Fluminense Darcy Ribeiro, como parte
das exigências para obtenção do título de
Mestre em Ciências de Engenharia no curso de
Geotecnia.
Orientador: Prof. Fernando Saboya Albuquerque Junior
Campos dos Goytacazes
Setembro de 2003
A Deus e a minha família.
Meus agradecimentos,
•
Ao Prof. Fernando Saboya Albuquerque Júnior, orientador da dissertação,
pelo apoio e a confiança depositada.
•
À FAPERJ, pelo apoio financeiro prestado.
•
Aos meus pais pelo incentivo e apoio à pesquisa realizada.
•
À Deus, por conceder saúde e força necessárias para o desenvolvimento
deste trabalho.
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES...............................................................................................III
LISTA DE TABELAS........................................................................................................V
LISTA DE SÍMBOLOS....................................................................................................VI
Capítulo 1. INTRODUÇÃO................................................................................................1
Capítulo2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA........................... ................................................3
2.1. Introdução .................................................................................................................3
2.2. Análises determinísticas........ ...................................................................................4
2.2.1. Descrição dos métodos determinísticos de capacidade de
carga de fundações profundas..........................................................................................4
2.2.2. Métodos teóricos.....................................................................................................6
2.2.2.1. Resistência lateral (RL).........................................................................................7
2.2.2.2. Método em termos de tensões efetivas...............................................................8
2.2.2.3. Método em termos de tensões totais.................................................................11
2.2.2.4. Resistência de ponta (RP)..................................................................................15
2.2.3. Métodos semi-empíricos.......................................................................................17
2.2.4. Método de controle de capacidade de carga in situ..............................................22
2.3. Conceitos básicos de probabilidade, estatística e confiabilidade............................25
2.3.1. Análise probabilística............................................................................................25
2.3.1.1. Função de probabilidade....................................................................................26
2.3.1.2. Caracterização da densidade pelo método dos
momentos.......................................................................................................................26
2.3.1.3. Densidade normal..............................................................................................27
2.3.2. Análise estatística.................................................................................................28
2.3.2.1. Análise gráfica da amostra.................................................................................29
2.3.2.2. Análise aritmética da amostra............................................................................30
2.3.3. Aspectos conceituais de análise de confiabilidade...............................................31
I
2.3.3.1. Aspectos conceituais da confiabilidade inerentes ao
fator de segurança..........................................................................................................31
2.3.4. Método do Segundo Momento de Primeira Ordem..............................................35
2.3.5. Estimativa de Probabilidade de Fracasso.............................................................37
2.4. Risco admissível......................................................................................................39
2.5. Aplicações de estatística, probabilidade e confiabilidade em
geotecnia.........................................................................................................................40
3. MONITORAÇÃO DAS ESTACAS E O ENSAIO SPT.................................................45
3.1. Introdução................................................................................................................45
3.2. Localização..............................................................................................................45
3.3. Sondagens executadas............................................................................................45
3.4. Determinação do repique elástico e nega................................................................54
4. ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM FUNDAÇÕES PROFUNDAS...........................58
4.1. Introdução................................................................................................................58
4.2. Procedimentos da análise de confiabilidade............................................................55
4.2.1. Análise estatística dos parâmetros geotécnicos...................................................58
4.2.2. Análises determinísticas.......................................................................................64
4.2.3. Análises das variâncias dos fatores de segurança...............................................65
4.2.3.1. Estudo da aproximação por diferênças divididas...............................................65
4.2.4. Estimativa da confiabilidade associada à probabilidade de ruptura.....................67
4.3. Interpretação dos resultados....................................................................................76
4.4. Avaliação dos fatores de segurança referentes à confiabilidade
admissivel........................................................................................................................78
5. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES.......................................................................80
5.1. Conclusões..............................................................................................................80
5.2. Considerações.........................................................................................................81
5.3. Sugestões................................................................................................................81
Referências Bibliográficas...............................................................................................82
Anexo 1 – Valores da função distribuição acumulada normal........................................86
Anexo 2 – Tabelas referentes à simulação do parâmetro C3 e Nspt................................87
II
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 2.1 - Estaca carregada axialmente....................................................................6
Figura 2.2 – Estado de tensões do solo adjacente à estaca,(a) antes
da instalação e (b) após a instalação...........................................................................8
Figura 2.3 – Fator de adesão α (Tomlinson, 1957)....................................................12
Figura 2.4 – Fator de Adesão α (Kulhawy e Phoon 1993).........................................14
Figura 2.5 – Superfícies de ruptura (vésic, 1967)......................................................16
Figura 2.6 – Fatores de capacidade de carga, Nq (Vésic, 1975)................................16
Figura 2.7 – Fator de correção de k para estacas metálicas tubulares cravadas
em areia......................................................................................................................21
Figura 2.8 – Fator de correção de k para estacas quadradas de concreto
cravadas em areia......................................................................................................22
Figura 2.9 - Repique elástico e Nega para um golpe.................................................24
Figura 2.10. Gráfico de uma distribuição normal........................................................28
Figura 2.11 - Exemplo de um histograma de uma variável aleatória.........................29
Figura 2.12. Relação β x FS em função do desvio padrão ( Dell’Avanzi, 1995)........35
Figura 2.13. Comparação entre duas situações com médias e distribuições
de FS diferentes (Christian, 1992)..............................................................................38
Figura 2.14. Relação entre β e Pf para distribuição normal de FS
(Christian, 1992).........................................................................................................39
Figura 2.15. Valores usuais de probabilidade e conseqüências de ruptura
(Whitman, 1984).........................................................................................................40
Figura 2.16. Seção típica do talude ( Sandroni e Sayão, 1992).................................41
Figura 3.1 – Localização geográfica de Campos dos goytacazes.............................46
Figura 3.2 – Disposição das sondagens na área da obra..........................................47
Figura 3.3 – Perfil de sondagem................................................................................53
Figura 3.4 – Perfil composto da sondagem................................................................54
Figura 3.5 - Medição do repique elástico e nega.......................................................55
Figura 3.6 - Representação da medida do repique elástico e nega...........................56
Figura 3.7 - Repique elástico e nega obtidos em um golpe do martelo.....................56
Figura 4.1 – Aparelho medidor de repique.................................................................59
Figura 4.2 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade........................................69
III
Figura 4.3 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade para intervalos
de variação de C3.......................................................................................................74
Figura 4.4 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade para
Nspt em torno da região da obra.................................................................................77
Figura 4.5 - Porcentagem de influência de cada parâmetro na confiabilidade..........78
IV
LISTA DE TABELAS
Tabela2.1 – Valores típicos de coeficientes de variação em solos (Lee et al., 1983)..5
Tabela2.2- Valores para o fator β para estacas escavadas.......................................10
Tabela 2.3 – Valores para o fator β para estacas cravadas.......................................10
Tabela 2.4 – Relação entre os ângulos δ/φ’ (Potyondy, 1961)...................................11
Tabela 2.5 – Fator de adesão α.................................................................................13
Tabela 2.6 – Fator característico do do solo C (Decourt e Quaresma, 1978)............18
Tabela 2.7 – Coeficientes k e α (Aoki e Velloso, 1975).............................................20
Tabela 2.8 – Coeficientes de transformação F1 e F2 (Aoki e Velloso, 1975)..............20
Tabela 3.1 – Valores do repique elástico e nega obtidos na cravação......................57
Tabela 3.2 – Valor do Nspt médio por camada............................................................57
Tabela 4.1 - Valores sugeridos para C3.....................................................................59
Tabela 4.2 – Dados do repique elástico e nega da obra............................................60
Tabela 4.3 – Análise estatística dos parâmetros da obra..........................................61
Tabela 4.4 – Análise estatística das sondagens em torno da obra............................62
Tabela 4 5 – Intervalo de variação de C3 ..................................................................63
Tabela 4.6 – Análise estatística na variação do parâmetro C3...................................64
Tabelas 4.7 a 4.13 – Cálculo de β com parâmetros da obra......................................69
Tabela 4.14 – Fator de segurança e probabilidade de ruptura associada
ao índice de confiabilidade.........................................................................................73
Tabela 4.15 – Fator de segurança x Índice de confiabilidade....................................74
Tabela 4.16 – Relação entre a variância e o índice de confiabilidade.......................76
V
LISTA DE SIMBOLOS
AL
área do fuste da estaca........................................................................... 6
AP
área da ponta da estaca....................................................……..…...........6
B
largura ou diâmetro da seção transversal do fuste da estaca…………..15
C
fator característico do solo........................................……………............18
c’
coesão efetiva do solo.......................................................……………......8
C1
constante empírica para determinação de α.....................…………........13
C2
Compressão elástica da estaca........................................………............20
C3
Compressão elástica do solo................................................................. 20
Cov (X)
coeficiente de variação............................................................................34
CPT
ensaio de penetração de cone (cone penetration test)
eo
Fator de correção................................................................................... 20
ef
Fator de correção....................................................................................20
E
Módulo de Yong da estaca......................................................................23
E[x]
valor esperado.........................................................................................26
f(x)
função densidade de probabilidade........................................................25
F(t)
função de distribuição..............................................................................25
FS
fator de segurança..................................................................................33
F1
coeficiente de transformação para a resistência de ponta da estaca......19
F2
coeficiente de transformação para a resistência lateral da estaca..........19
fs
atrito lateral medido no cone....................................................................18
G(X)
função de desempenho...........................................................................31
k
fator de correlação entre o tipo de solo e qc ...........................................19
K
Repique Elástico......................................................................................20
Ka
coeficiente de empuxo ativo.......................................................................9
K0
coeficiente de empuxo no repouso.............................................................9
Kp
coeficiente de empuxo passivo..................................................................9
L
comprimento total da estaca....................................................................23
N
Valor médio do SPT ao longo da estaca.................................................20
NSPT
Nc, Nq, Ng
pa
índice de resistência a penetração
fatores de capacidade de carga...................................................15
pressão atmosférica................................................................................14
VI
Pf
probabilidade de ruptura........................................................................32
qL
resistência lateral unitária de uma estaca.................................................6
qP
resistência de ponta unitária de uma estaca............................................6
R
capacidade de resistência.......................................................................68
_
R
capacidade de resistência média............................................................19
RL
resistência lateral de uma estaca............................................................15
RP
resistência de ponta de uma estaca........................................................15
Ru
Resistência última da Estaca..................................................................22
S
Nega........................................................................................................22
S
demanda de solicitação..........................................................................68
SPT
ensaio padronizado de penetração (standard penetration test)
s
desvio padrão da amostragem...............................................................30
S
demanda de solicitação.........................................................................17
Su
resistência ao cisalhamento não-drenada..............................................12
_
S
demanda de solicitação média...............................................................19
t(x)
função de freqüência..............................................................................28
T(x)
função de freqüência acumulada...........................................................29
V[x]
variância da distribuição.........................................................................26
V[fs]
variância do fator de segurança.............................................................37
x
variável aleatória....................................................................................25
x
média da amostragem............................................................................29
Z
variável aleatória padronizada...............................................................27
α
fator de adesão lateral em termos de tensões totais.............................12
α (%)
fator de correlação entre o tipo de solo e a resistência lateral...............19
β
fator de capacidade de carga lateral em termos de tensões efetivas..... 9
β
índice de confiabilidade..........................................................................18
δ
ângulo de atrito entre o solo e a estaca....................................................8
φ (β)
função densidade acumulada aferida em β...........................................37
φ’
ângulo de resistência ao cisalhamento efetivo do solo..........................11
γ
peso específico aparente do solo...........................................................15
µ
média da distribuição.............................................................................26
µG
valor médio da função de desempenho.................................................31
VII
σ’h
tensão efetiva horizontal..........................................................................8
σ’v
tensão efetiva vertical...............................................................................8
σ
desvio padrão..........................................................................................26
σ[x]
desvio padrão da distribuição..................................................................26
σG
desvio padrão da função de desempenho..............................................31
σR
desvio padrão da capacidade de resistência..........................................33
σS
desvio padrão da demanda de solicitação..............................................33
σFS
desvio padrão do coeficiente de segurança............................................34
τs
tensão cisalhante.......................................................................................8
VIII
RESUMO
As obras geotécnicas no geral têm sido estudadas tradicionalmente de forma
determinística. Contudo a engenharia geotécnica lida com uma gama de materiais
com propriedades e parâmetros altamente variáveis e influenciados por diversos
fatores. Visando quantificar a variabilidade inerente às previsões determinísticas,
conceitos de probabilidade e estatística são utilizados como forma de racionalizar as
incertezas ocasionadas.
Neste âmbito, torna-se possível inferir sobre a confiabilidade dos resultados
apresentados pelos procedimentos convencionais e estimar o risco de insucesso
intrínseco ao projeto.
Desta maneira, este trabalho propõe um estudo do controle de cravação de
estacas via repique elástico, enfocando aspectos probabilísticos das variáveis
envolvidas no cálculo da capacidade de carga de estacas pré-moldadas. Apresenta
um resumo com os conceitos básicos de probabilidade e estatística necessários
para a compreensão do assunto. Desenvolve-se o Método do Segundo Momento de
Primeira Ordem para quantificação da confiabilidade inerente ao desempenho de
fundações.
Os cálculos são apresentados com base no controle de cravação de estacas
de concreto pré-moldado, numa obra localizada na região central de Campos dos
Goytacazes-RJ.
IX
ABSTRACT
In general geotechnical analysis traditionally have been carried out in
deterministic way. However geotechnical engineering deals with materials whose
properties and parameters are strongly variables and influenced by several factors.
Aiming to quantify the variability inherent to the deterministic approach, probability
concepts are used as a tool to rationalize the associated uncertainties.
In this way, it is possible to infer over reliability of results obtained by using
conventional methods and estimate the intrinsic risk of failure.
Thus, this work proposes a study regarding the control of pile driving by the
elastic rebound method, focusing specifically probabilistic aspects of the variables
involved in the bearing capacity prediction of driven piles. This work also presents a
brief discussion regarding basic concepts of statistics and probability, which are
considered important to the understanding of the subject. It is also shown the
formulation of First Order Second Moment for the assessment of reliability of the
deep foundation.
Results are presented based on controlling of pre-cast pile driving in a building
construction work in Campos dos Goytacazes, RJ, Brazil.
X
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
As obras geotécnicas no geral têm sido estudadas tradicionalmente de forma
determinística. Contudo, através de estudos, constatou-se que a engenharia
geotécnica lida com uma gama de materiais com propriedades e parâmetros
altamente variáveis e influenciados por diversos fatores. Estas variações podem ser
observadas através da grande dispersão nos resultados de ensaios ou pelas
diferenças apresentadas entre o desempenho prático das obras com valores
previstos por ensaios de laboratório e de campo. Visando quantificar a variabilidade
inerente às previsões determinísticas, introduziram-se no meio geotécnico, conceitos
de probabilidade e estatística. Neste âmbito, tornou-se possível inferir sobre a
confiabilidade dos resultados apresentados pelos procedimentos convencionais e
estimar o risco de insucesso intrínseco ao projeto.
Como maneira de racionalizar as incertezas e deixar subjetividade pessoal
em plano secundário, conceitos de probabilidade e estatística foram sendo
introduzidos gradativamente no meio geotécnico a partir da década de 80. No
entanto, as análises probabilísticas devem ser aplicadas em conjunto com as
análises determinísticas, inferindo sobre a confiabilidade desta última, como forma
de contribuição e não como forma de substituição. O estudo da confiabilidade
fornece meios de se avaliarem os efeitos combinados das incertezas dos parâmetros
envolvidos no cálculo, oferecendo um suplemento útil nas análises convencionais.
O principal propósito deste presente estudo portanto, é fornecer um estudo
do controle de cravação das estacas baseado no repique elástico, enfocando
aspectos probabilísticos das variáveis envolvidas no cálculo da capacidade de carga
de estacas pré-moldadas e uma avaliação da compatibilidade através do método
FOSM.
Capítulo 1 – Introdução
2
Desta maneira, visando uma compreensão mais simplificada, o trabalho se
subdividiu da seguinte forma:
•
Capítulo 1 - Introdução
•
Capítulo 2 - Apresenta uma revisão bibliográfica dos métodos determinísticos
usualmente utilizados na obtenção da capacidade de carga de estacas, e
também do método de controle de capacidade de carga via repique elástico.
E, por fim, faz uma descrição sucinta dos aspectos conceituais de
probabilidade, estatística e confiabilidade e o desenvolvimento do método
segundo momento de primeira ordem.
•
Capítulo 3 - Para aplicar os conceitos de confiabilidade e probabilidade em
uma configuração bem documentada, são apresentados neste capítulo
informações gerais sobre a campanha experimental realizada, em torno dos
resultados do ensaio SPT, nega e repique elástico.
•
Capítulo 4 - Apresentam-se análises de confiabilidade associadas ao controle
da capacidade de carga in situ das fundações pelo método baseado no
repique elástico descrito no capítulo 2. Neste ensejo, são contemplados
alguns fatores que influenciam a quantificação da confiabilidade e, finalmente,
são feitas considerações sobre a adoção de fatores de segurança.
•
Capítulo 5 – Conclusões e considerações pertinentes ao trabalho.
•
Referências Bibliográficas.
•
Anexos
Capítulo 2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 - Introdução
Este capítulo se subdividiu em quatro partes básicas. Na primeira, apresentase uma breve revisão sobre os procedimentos determinísticos usualmente utilizados
na prática de fundações e, ainda, do controle de cravação via repique elástico
necessários para a verificação dos critérios de capacidade de carga e pertinentes ao
projeto geotécnico de fundações profundas.
Na segunda parte, são demonstrados conceitos básicos de probabilidade e
estatística fundamentais para compreensão das metodologias de análise de
confiabilidade comumente utilizadas no meio geotécnico. Na seqüência apresentase os aspectos conceituais de confiabilidade e o método do Segundo Momento de
Primeira Ordem, amplamente utilizado em análises probabilísticas.
Na terceira parte, apresenta-se o complemento da análise de confiabilidade,
que se constitui na estimativa da probabilidade de fracasso inerente ao projeto.
Neste âmbito, são feitas algumas considerações sobre o risco admissível.
Finalmente, na quarta parte, contemplam-se alguns trabalhos que utilizaram
conceitos de estatística, probabilidade e confiabilidade que, adaptados, vieram
constituir a metodologia adotada no presente trabalho.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
4
2.2 - Análises Determinísticas
Na engenharia em geral, as análises determinísticas são realizadas
considerando todos parâmetros e propriedades com valores fixos. Em geotecnia de
fundações, as análises determinísticas procuram viabilizar, economicamente, a
aplicação de cargas estruturais ao terreno, sem que ocorram deformações
excessivas. No projeto, existem critérios que devem ser considerados e satisfeitos
separadamente; um deles é à margem de segurança quanto à ruptura por perda de
capacidade de suporte.
Neste âmbito, apresentam-se alguns métodos determinísticos tradicionais,
utilizados nas estimativas de capacidade de suporte de fundações profundas.
2.2.1 - Descrição dos métodos determinísticos de capacidade de carga de
fundações profundas
Apesar de muito difundido no meio geotécnico, o dimensionamento de
fundações em estaca ainda preserva diversos princípios empíricos. Uma das
grandes dificuldades na previsão do comportamento de estacas está relacionada
com a avaliação dos parâmetros do solo que podem ser estimados em ensaios de
laboratório ou de campo. Existem inúmeras correlações que procuram determinar de
forma empírica os parâmetros geotécnicos a partir de ensaios de campo. Essas
formulações não possuem nenhum fundamento teórico e são totalmente empíricas,
mas são ferramentas de grande valor quando não há possibilidade de realizar-se
ensaios de laboratório, o que é comum na prática de fundações em estacas.
Portanto, com relação aos parâmetros geotécnicos, eles também apresentam erros
e incertezas, necessitando também de um tratamento estatístico.
Através de análises estatísticas realizadas por vários pesquisadores, em
diferentes tipos de solos, Lee et al., (1983) reuniram valores típicos de coeficientes
de variação de diversos parâmetros do solo, como mostrado na Tabela 2.1.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
Parâmetro do Solo (x)
5
Faixa usual cov (x)% *
Valor recomendado cov
(x)%
Peso Espe. Aparente γ
1 a 10
3
Teor de Umidade ω
6 a 63
15
Índice de Vazios e
13 a 42
25
Limite de Liquidez LL
2 a 48
10
Limite de Plasticidade LP
9 a 29
15
Coefi. de Compressibilidade Cc
18 a 73
30
Módulo de Yong E
2 a 42
30
Coefi. de permeabilidade K
200 a 300
300
Coeficiente de Adensamento Cv
25 a 100
50
Resistência não Drenada Su
20 a 50
30
Ângulo de Atrito φ (areias)
5 a 15
10
Ângulo de Atrito φ (argilas)
12 a 56
30
* Cov(x) = s/ x
Tabela2.1 – Valores típicos de coeficientes de variação em solos (Lee et al., 1983)
Na fundação por estacas, parte da carga é transmitida ao solo por meio do
atrito da superfície do fuste e o terreno e, parte, pela reação de ponta, que é a
resistência que o solo oferece à penetração dessa ponta em sua massa. Portanto, a
metodologia convencional de análise da capacidade de suporte de fundações
profundas consiste na soma de duas parcelas de resistência, a resistência de ponta
(RP) e a resistência lateral (RL), como ilustrado na Figura 2.1. Pode ainda ocorrer,
quando não há resistência de ponta, que toda a carga seja transmitida por atrito
lateral ao solo, diz-se então que a fundação é por estacas flutuantes; em caso
contrário, trata-se de uma fundação por estacas de reação de ponta. Essas duas
parcelas não são completamente independentes. A interação entre elas depende de
um grande número de fatores, como o estado de tensões atuantes, o tipo de solo e a
forma da estaca. Porém, não se conhece uma análise que defina a extensão dessa
interação satisfatoriamente.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
6
Q
p
P
σ’h
RL
RL
σ’h
Rp
Figura 2.1 - Estaca carregada axialmente
A resistência lateral e de ponta de uma estaca são expressas como:
RL = AL qL
(2.1)
RP = AP qP
(2.2)
onde;
AL é a área lateral;
qL é a resistência lateral por unidade de área;
AP é a área da base;
qP é a resistência de ponta por unidade de área.
Para determinação da resistência unitária lateral e de ponta existem métodos
teóricos e empíricos. Alguns desses métodos são apresentados superficialmente
neste capítulo.
2.2.2 - Métodos teóricos
A base dos métodos teóricos é considerar o problema como um caso de
cisalhamento simples entre a estaca e o solo ao seu redor. Nesses métodos é
preciso analisar os parâmetros de resistência ao cisalhamento dos materiais
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
7
envolvidos e o estado de tensões ao qual estão submetidos. Considerações a
respeito do efeito de instalação da estaca são feitas, em geral, através de fatores de
correção empíricos.
Durante a instalação da estaca, o solo ao seu redor sofre uma considerável
perturbação provocando deformações cisalhantes tanto na ponta da estaca quanto
ao longo do seu fuste. Ocorre também uma compressão do solo abaixo da ponta da
estaca e seu deslocamento para os lados. Esse processo ocasiona uma
remoldagem do material em torno da estaca, levando a uma mudança no estado de
tensões e dependendo do tipo de solo, pode haver geração de poro-pressão.
No caso de materiais coesivos, no início do carregamento o solo ao redor da
estaca encontra-se numa condição não-drenada devido a poro-pressão gerada pela
instalação da estaca. Neste momento o problema é considerado de carregamento
não-drenado. Com o passar do tempo ocorre a dissipação da poro-pressão. Neste
momento o problema passa a ser considerado de carregamento drenado. Assim,
torna-se possível analisar o problema em termos de tensões totais ou em termos de
tensões efetivas. A escolha de qual será a análise usada dependerá principalmente
do tipo de material envolvido no problema.
Para problemas que envolvem materiais granulares é utilizada a análise em
termos de tensões efetivas. No caso de materiais coesivos é possível a utilização
dos dois tipos de análises. As vantagens e desvantagens de cada uma delas serão
discutidas mais adiante.
2.2.2.1 Resistência lateral (RL)
Os processos de instalação das estacas causam alteração no estado de
tensões na região próxima à interface solo e estaca (FIGURA 2.2). A variação da
tensão efetiva vertical é muito pequena, e por isso acaba sendo negligenciada.
Porém a variação da tensão efetiva horizontal deve ser avaliada a partir de
considerações a respeito do método de instalação da estaca. No caso de estacas
escavadas, a perturbação é pequena em relação a estacas cravadas.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
8
Estaca
σ’v
σ’vo
σ’ho
Elemento
de solo
σ’ho
Elemento
de solo
σ’h
σ’vo
τs
(a)
τs
σ’h
σ’v
(b)
Figura 2.2 – Estado de tensões do solo adjacente à estaca,(a) antes
da instalação e (b) após a instalação.
2.2.2.2 - Método em termos de tensões efetivas
Em geral, o método teórico em termos de tensões efetivas é utilizado para a
avaliação do atrito lateral de estacas em materiais granulares. Mas, também é
possível o uso dessa metodologia no caso de materiais coesivos. Porém, é
complexa a determinação do estado de tensões efetivas para esses tipos de
materiais. Numa condição drenada, considerando o critério de ruptura de MohrCoulomb, a resistência lateral unitária (qL) pode ser considerada como:
qL = f (c’+ σ’h tanδ)
(2.3)
onde;
c’ é a coesão efetiva;
σ’h a tensão efetiva horizontal atuante no fuste;
δ é o ângulo de atrito entre a estaca e o solo.
A partir disso, algumas considerações devem ser feitas para o uso do método
em termo de tensões efetivas, tais como:
1. O excesso de poro-pressão gerado durante a instalação é totalmente
dissipado antes do carregamento da estaca;
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
9
2. O carregamento ocorre em condição drenada, uma vez que a zona que sofre
maior distorção em torno do fuste é relativamente fina;
3. Devido ao amalgamento ocasionado pela instalação, costuma-se assumir que
o solo passa a não possuir coesão efetiva. Assim sendo, o atrito lateral ao
longo do fuste pode ser expresso como
qL = f (σ’h tan δ)
(2.4)
4. Assume-se que a tensão efetiva horizontal (σ’h) é proporcional à tensão efetiva
vertical (σ’v), (sobrecarga das camadas sobrejacentes);
Essa última consideração possivelmente é a mais questionável, mas serve
como ponto de partida. Dessa maneira a Equação (2.4) torna-se;
qL = K σ’v tan δ = β σ’v
(2.5)
onde;
K é o coeficiente de empuxo lateral;
β é o fator de capacidade de carga.
Essa formulação também é conhecida como método β. Sendo que o fator β é
adimensional e depende da avaliação do estado de tensões, da compressibilidade
do solo, das dimensões da estaca e de sua forma. Tanto pode ser estimado
teoricamente através dos princípios da mecânica dos solos como também pode ser
determinado a partir de dados de provas de cargas.
Para a determinação teórica assume-se que β é função do coeficiente de
empuxo que representa o estado de tensões de campo. Partindo-se da idéia que
antes da instalação da estaca existia uma condição geostática, pode-se dizer que a
cravação de uma estaca levaria a uma condição intermediária entre a condição K0 e
a condição de empuxo passivo (KP). Já a escavação de um fuste causa um alívio de
tensões que pode levar ao estabelecimento de uma condição próxima à condição de
empuxo ativo (Ka).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
10
Várias propostas para o valor de β são encontradas na literatura, tanto para
estacas escavadas quanto para cravadas em diversos materiais, como mostrado nas
Tabelas (2.2) e (2.3).
Poulos (1978)
Fator β
0,15 a 0,35 (compressão)
0,10 a 0,24 (tração)
0,44 para φ’= 28º
0,75 para φ’= 35º
1,2 para φ’= 37º
(K/K0) . k0 . tan (φ’.δ/φ)
δ/φ depende dos materiais
na interface (entre 0,5 a 1,0)
k/k0 depende do método de
instalação (entre 0,5 a 2,0)
0,05 a 0,10
Burland (1973)
(1-senφ’).tanφ’.(OCR)0,5
Referência
McClelland (1974)
Meyerhof (1976)
Stas e Kulhawy (1984)
Flaate e Selnes (1977)
Parry e Swain (1977)
Material
Areias com predominância
de sílica
Areias com predominância
de sílica
Areias com predominância
de sílica
Areias calcárias não
cimentadas
Argilas
Argilas
0,4 OCR. ⋅ u L
L + 215,2
onde uL =
2 L + 215,2
Argilas NA
 1 − senφ ' 

⋅' tan φ
 1 + senφ 
Tabela 2.2- Valores para o fator β para estacas escavadas
Referência
Meyerhof (1976)
Kraft e Lyons (1974)
Poulos (1988)
Fleming et al. (1985)
Stas e Kulhawy (1984)
Fator β
0,10 para φ’= 33º
0,20 para φ’= 35º
0,35 para φ’= 37º
F.tan (φ’- 5º)
Onde F = 0,7
(compressão)
F = 0,5 (tração)
0,5 a 0,8
para qL = 60 a 100 Ka
K.tanφ’
K é menor que K0 ou 0,5
(1+K0)
(k/k0).K0.tan(φ’.δ/φ)
δ/φ depende dos
materiais na interface
(entre 0,5 a 1,0)
K/K0 depende do método
de instalação (entre 2/3 a
1,0)
Material
Areias com predominância
de sílica
Areias com Predominância
de sílica
Tabela 2.3 – Valores para o fator β para estacas cravadas.
Areias calcárias não
cimentadas
Argilas
Argilas
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
11
Quanto ao ângulo de atrito entre o solo/estaca (δ), ele pode ser considerado
como aproximadamente igual ao valor de φ’ (Tomlinson, 1957; Burland, 1973; entre
outros). Ou ainda, pode-se assumir que δ é proporcional a φ’, como a proposição de
Meyerhof (1959) expressa pela Equação (2.6). Potyondy (1961) realizou uma série
de ensaios de cisalhamento direto com diversos materiais e solo (TABELA 2.4).
δ =2/3 (φ’+ 5º)
Material da estaca
Aço
Madeira
Concreto
(2.6)
Acabamento da
Superfície
Lisa (polida)
Áspera (oxidadas)
Paralela ás fibras
Normal às fibras
Lisa (forma metálica)
Áspera (forma de madeira)
Rugosa (sem forma)
Areia seca
Areia saturada
0,54
0,76
0,76
0,88
0,76
0,88
0,98
0,64
0,80
0,85
0,89
0,80
0,88
0,90
Tabela 2.4 – Relação entre os ângulos δ/φ’ (Potyondy, 1961)
Vesic (1977) apresentou uma aproximação diferente para δ considerando que
o solo localizado na interface entre a massa de solo e a estaca estaria num estado
de ruptura. Como conseqüência o ângulo de atrito entre a estaca e o solo, δ, seria
independente das propriedades iniciais do solo e do material da estaca podendo ser
considerado como igual ao ângulo de resistência ao cisalhamento efetivo residual
(φ’res). Segundo Coyle e Castello (1981), a diferença entre as proposições de
Potyondy e Vésic não aparenta ser significante.
2.2.2.3 - Método em termos de tensões totais
A capacidade de carga da estaca deve ser estimada com base em tensões
totais se for considerado que durante o carregamento existir geração de poropressão. Desta forma, a resistência lateral é considerada uma função da resistência
ao cisalhamento não-drenado do (s) material (is) em torno da estaca representada
pela equação;
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
12
qL = α Su
(2.7)
onde
qL : resistência lateral média ao longo do fuste da estaca;
α é o fator de adesão entre o solo e a estaca;
Su é a resistência ao cisalhamento não-drenada dos solos.
O fator de adesão é introduzido para a correção da influência dos fatores
como a resistência ao cisalhamento da argila, o método de instalação da estaca, a
tensão de sobreadensamento e o tipo de estaca. Os primeiros estudos de Skempton
(1959) mostram que o fator de adesão α varia entre 0,3 e 0,6 para estacas
instaladas na argila de Londres. Sua determinação é feita pela correlação entre
provas de carga e dados de resistência não-drenada, determinada em laboratório ou
ensaios de campo.
Dependendo do solo e do tipo de estaca, o valor de α pode variar de 1 a
pouco mais que 1 para argilas normalmente adensadas moles até cerca de 0,33
para argilas rijas a duras fortemente sobreadensadas. Com base em um grande
número de ensaios, tem sido possível determinar faixas de valores de α para tipos
particulares de estacas em diversas condições de carregamento.
Tomlinson (1957) sugeriu algumas propostas de α, mostrada na Figura 2.3.
Fator de Adesão α
1,25
curva média
para estacas
de concreto
1,00
0,75
0,50
Curva média
para todas as
estacas
0,25
0
25
50
75
100
125
150
Su (Kpa)
Figura 2.3 – Fator de adesão α (Tomlinson, 1957)
Para estacas cravadas em argila, McClelland (1974) apresentou uma coleção
de vários gráficos de fator de adesão em função da resistência não drenada, obtida
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
13
por vários autores. Estas curvas mostram que o fator de adesão decresce com o
aumento da resistência da argila, tanto para estacas escavadas como cravadas. Em
todos os casos, há uma larga dispersão na variação observada do fator de adesão
com a resistência não-drenada. Na Tabela 2.5 estão indicados valores de α
encontrados por outros autores.
Referência
Peck (1958)
Woodward & Boitano (1961)
Kerisel (1961)
Tomlinson (1970)
Su = 50 (Kpa)
0,90
0,86
0,72
0,72
Su = 150 (kpa)
0,45
0,32
0,35
0,25
Tabela 2.5 – Fator de adesão α
Randolph e Murphy (1985) estimaram valores de α a partir de provas de
carga em estacas cravadas baseados na relação média de resistência in situ.
Baseando-se numa análise de regressão linear desses dados foi estabelecido que
α=
0,5
(Su / σ 'v )0,25
quando
Su
≤1
σ 'v
(2.8)
quando
Su
>1
σ 'v
(2.9)
e
α=
0,5
(Su / σ 'v )0,5
Estas observações parecem concordar bem com Sladen (1992) que sugere a
seguinte relação para a avaliação de α:
σ ' 
α = C1  v 
 Su 
0, 45
onde
C1 é uma constante empírica,
σ’v e Su são como previamente definido.
(2.10)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
14
Para estacas escavadas, C1 situa-se em torno de 0,4 a 0,5. As informações
tornam-se mais escassas para o valor de α para estacas escavadas em comparação
a estacas cravadas.
Kulhawy e Phoon (1993) propõem a seguinte correlação (Equação 2.11) para
α baseada em 127 casos estudados de estacas escavadas com provas de carga
levadas à ruptura em argila (FIGURA 2.4).
P 
α = 0,5 a 
 Su 
0,5
(2.11)
onde, Pa é a pressão atmosférica (aproximadamente 100 kPa para simplificação em
lugar de 101,4 kPa) e Su é a resistência ao cisalhamento não-drenada, obtida
através do ensaio triaxial consolidado hidrostaticamente não-drenado. Baseados nos
dados das provas de carga, esta relação foi julgada como sendo próxima a outras
relações para estacas cravadas.
Figura 2.4 – Fator de Adesão α (Kulhawy e Phoon 1993)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
15
2.2.2.4 - Resistência de ponta (RP)
A formulação mais geral para a determinação de resistência de ponta unitária
(qP) é a expressão:
qP = γBNγ + cNc + σ’vNq
(2.12)
onde
qP resistência de ponta da estaca;
B é a menor dimensão da estaca;
σ’v é a tensão efetiva vertical (sobrecarga) na cota da ponta da estaca;
c é a coesão do solo;
γ é o peso específico aparente do solo;
Nγ, Nc e Nq são os fatores de carga.
Na maioria das teorias encontradas, os parâmetros básicos, além da
geometria da estaca, é o φ’, o qual é usado para determinar o fator de capacidade de
carga, Nq, e a tensão efetiva confinante do solo. Nenhuma teoria considera a
resistência lateral do solo ao longo do fuste, ou uma possível interdependência entre
a resistência lateral e de ponta.
No caso de materiais granulares o primeiro e segundo termo da Equação
(2.8) são negligenciados e a equação torna-se então
qP = σ’v Nq
(2.13)
Vésic (1967) mostra uma série de proposições para o valor de Nq em função
da superfície de ruptura (FIGURA 2.5) e do ângulo de atrito do material (FIGURA
2.6).
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
Prandtl
Ressner
Caquot
Buisman
Terzaghi
16
Debeer
Jáky
Meyerhof
Berezantsev and
Yaroshenko
Vésic
Figura 2.5 – Superfícies de ruptura (Vésic, 1967)
Figura 2.6 – Fatores de capacidade de carga, Nq (Vésic, 1967)
Bishop, Hil and
Mott
Skempton
Yassim
Gibson
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
17
Como mostram as figuras (2.5) e (2.6), é evidente que existem grandes
variações entre uma teoria e outra, o que leva à conclusão de que o mecanismo de
ruptura ainda não é bem compreendido.
Para solos coesivos a Equação 2.12 é reduzida para
qP = Nc Su
(2.14)
O valor do fator Nc, em geral, é considerado 9,0 e Su é a resistência não
drenada da argila abaixo da base da estaca.
2.2.3 - Métodos semi-empíricos
Os métodos semi-empíricos estão baseados em relações diretas entre os
resultados de ensaios de campo com as parcelas de resistência e dependem de
ajustes com dados de provas de carga. Os métodos semi-empíricos brasileiros mais
conhecidos certamente são os métodos apresentados por Aoki e Velloso (1975) e o
de Décourt e Quaresma (1978, 1982).
Métodos que relacionam diretamente o número de golpes do SPT com o atrito
lateral são muito difundidos por sua simplicidade. Porém, o uso dessas metodologias
deve ser realizado com cautela, uma vez que está baseada em experiências
regionais. São apresentadas da forma
qL = A + B . NSPT
(2.15)
onde A e B são constantes que dependem dos dados do solo e do tipo de estaca
que deram origem à formulação.
O método de Décourt e Quaresma foi desenvolvido com base na experiência
dos autores e resultados de provas de carga. Essas provas de carga foram
realizadas em estacas pré-moldadas de concreto, porém não foram levadas à
ruptura e utilizou-se a carga de ruptura convencional correspondente a um recalque
de 10% do diâmetro da estaca.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
18
A resistência lateral unitária é apresentada como uma função apenas do
número de golpes do SPT médio ao longo do fuste (Equação 2.16). Não há
nenhuma consideração a respeito do tipo solo ou do tipo de estaca.
 N2

+ 1
 3

qL = 10
(2.16)
onde
qL é expresso em kPa,
N2 é o valor médio do N ao longo do fuste.
Sendo que os valores N devem estar no intervalo 3 ≤ N ≤ 50, valores maiores
que 50 devem ser igualados a 50 e valores menores que 3 devem ser igualados a 3.
Para a resistência unitária de ponta já houve uma consideração do tipo de
solo onde a estaca se apóia através do fator característico do solo C (TABELA 2.6).
qP = C . N1 (kpa)
(2.17)
onde N1 é a média de 3 valores correspondentes ao N na ponta da estaca (Nn),
imediatamente superior (Nn+1) e imediatamente inferior (Nn-1).
N1 =
N n + N n +1 + N n −1
3
Tipo de Solo
Argilas
Siltes Argilosos
Siltes Arenosos
Areias
(2.18)
C (Kpa)
120
200
250
400
Tabela 2.6 – Fator característico do do solo C (Decourt e Quaresma, 1978)
Devido ao desenvolvimento contínuo da mecânica dos solos e engenharia de
fundações, uma necessidade na melhoria da diversidade e qualidade de ensaios de
campo para a caracterização do subsolo tornou-se imprescindível. Cientes dessa
necessidade, os estudiosos concentraram-se no desenvolvimento de ensaios que
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
19
representassem de maneira mais coerente as características do substrato. Dentre os
ensaios desenvolvidos, destaca-se o ensaio de penetração de cone (Dutch
Sounding Test), idealizado na Holanda na década de 1930 por Barentsen e Boonstra
(1936). O princípio do ensaio de cone consiste na cravação no terreno de uma
ponteira cônica a uma velocidade constante. Apesar dos procedimentos de ensaio
serem padronizados, há diferenças entre os equipamentos, que podem ser
classificados em cone mecânico, cone elétrico e piezocone. Os principais atrativos
do ensaio são o registro contínuo da resistência à penetração, fornecendo uma
descrição detalhada da estratigrafia do subsolo, informação essencial à composição
de custos de um projeto de fundações, e a eliminação de qualquer influência do
operador nas medidas do ensaio, atrito lateral fs e resistência de ponta qc. Desde
então, inúmeros métodos vem sendo desenvolvidos para a determinação do atrito
lateral unitário (qL) e da resistência de ponta unitária (qP) a partir dos resultados de
resistência de ponta (qc) e/ou do atrito lateral (fs). A maioria desses métodos procura
determinar fatores redutores para a resistência de ponta (qc) e assim determinar as
duas parcelas de resistência. Essa aplicação de fatores de redução deve-se a uma
combinação de influências como o efeito de escala, o efeito da velocidade de
carregamento, as diferenças nas técnicas de instalação, as variações no valor dos
deslocamentos de solo, entre outras, Briaud (1988). São poucos os métodos que
utilizam os valores de atrito lateral medidos no ensaio de cone (fs), como Nottingham
(1975).
A metodologia desenvolvida por Aoki e Velloso (1975) está baseada em
resultados de ensaios de penetração de cone em diversos solos brasileiros. Os
autores também sugerem a adaptação do método para o uso de valores de NSPT. As
Equações 2.19 e 2.20 foram estabelecidas para as resistências unitária de ponta e
lateral, respectivamente. Para considerar a influência do tipo de estaca os autores
analisaram provas de carga em alguns tipos de estacas e estabeleceram os
coeficientes de transformação F1 e F2 (TABELA 2.8).
qp =
qc
K . N1
=
F1
F1
(2.19)
onde;
N1 é o número de golpes na ponta da estaca;
K é o fator de correlação entre o tipo de solo e qc (Tabela 2.7);
F1 é o coeficiente de transformação para a resistência de ponta da estaca (tabela2.8)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
20
Para a resistência unitária lateral (qL), a correlação estabelecida a partir da
resistência de ponta medida no cone é expressa por
qL =
α .K .N 2
(2.20)
F2
onde
N2 é o número de golpes médio ao longo do fuste da estaca;
F2 é o coeficiente de transformação para a resistência lateral (Tabela 2.8);
α (%) é o fator de correlação entre o tipo de solo e a resistência lateral (Tabela 2.7).
Tipo de solo
Areias
Areia Siltosa
Areia Silto argilosa
Areia argilosa
Areia argilo siltosa
Silte
Silte arenoso
Silte arenoso argiloso
Silte argiloso
Silte argilo siltoso
Argila
Argila arenosa
Argila areno siltosa
Argila siltosa
Argila silto arenosa
K (Mpa)
1,00
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,55
0,45
0,23
0,25
0,20
0,35
0,30
0,22
0,33
α (%)
1,4
2,0
2,4
3,0
2,8
3,0
2,2
2,8
3,4
3,0
6,0
2,4
2,8
4,0
3,0
Tabela 2.7 – Coeficientes k e α (Aoki e Velloso, 1975)
Tipo de estaca
Franki
Metálica
Pré-moldada
Escavada
F1
2,50
1,75
1,75
3,50
F2
5,0
3,5
3,5
7,0
Tabela 2.8 – Coeficientes de transformação F1 e F2 (Aoki e Velloso, 1975)
O método de Nottingham (1975), apresentado pela equação 2.21, é baseado
em detalhados estudos de provas de carga instrumentadas. Utiliza um fator de
correção K para consideração de diversos efeitos como a forma da seção
transversal, relação D/B, o material da estaca e o tipo de cone utilizado no ensaio
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
21
experimental de campo. O método é ainda pouco difundido por utilizar a medida de
atrito lateral no fuste do cone para determinação da resistência lateral da estaca.
Fs =
8B
L
d
Kf
A
+
∑ 8B S S ∑ Kf S AS
d =0
d =8B
(2.21)
onde
k é o fator de correção (figura 2.7 e 2.8);
fs é o atrito lateral medido no cone;
B é a dimensão da seção transversal da estaca;
L é o comprimento da estaca;
As é área lateral da estaca.
K
0
1,0
2,0
5
10
estacas cravadas
D/B
15
20
25
cone elétrico
cone mecânico
Os pontos que são
mostrados são apenas
para correlação com
cone elétrico
30
Figura 2.7 - Fator de correção de
k para estacas metálicas
tubulares cravadas em areia.
3,0
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
0
0
K
1,0
22
K
0
2,0
cone mecânico
10
3,0
cone elétrico
D/B
D/B
cone elétrico
30
2,0
0
10
20
1,0
20
cone
mecânico
30
(a) estaca com fuste liso.
(b) estaca com fuste rugoso
Figura 2.8 – Fator de correção de k para estacas quadradas de concreto
cravadas em areia.
2.2 4 – Método de controle de capacidade de carga in situ
Tradicionalmente o controle da capacidade de carga de estacas durante a
cravação, é feito adotando-se o valor da nega (deslocamento permanente, que
geralmente corresponde à média dos 10 últimos golpes do sistema de cravação), que
é interpretada à luz das chamadas fórmulas dinâmicas de cravação.
Várias críticas vêm sendo feitas à aplicação destas fórmulas, e dentre elas
pode-se destacar a incompatibilidade da teoria do choque de Newton de dois corpos
para simular o fenômeno de cravação das estacas e também no fato da variação da
resistência do solo durante a cravação (cicatrização e relaxação).
No início da década de 80, a técnica de monitoração da cravação de estacas
começou a se expandir em termos de pesquisa, desenvolvimento de equipamentos e
interpretação de dados de cravação pela teoria da equação da onda. Assim a
observação sistemática dos resultados obtidos com a instrumentação da cravação
aliada ao relato dos japoneses Yokoyama e Kusakabe (1985), vem demonstrando
uma tendência de mudança na determinação da resistência última de uma estaca
cravada de concreto. Portanto, uma substituição do controle de cravação in situ
baseado na nega, pelo controle de cravação baseado no repique elástico.
Da mesma forma que os métodos empíricos tradicionais de estimativa de
capacidade de carga, os métodos de capacidade de carga in situ estão baseados em
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
23
relações direta com resultados de prova de carga e de ensaios de campo, como o
ensaio de cone e o ensaio SPT. Portanto, o uso dessas metodologias deve ser
realizado com cautela, uma vez que ainda estão baseadas em experiências ainda
restritas.
Uto et al., (1985), propuseram uma fórmula dinâmica de cálculo de
capacidade de carga in situ para estacas cravadas, que é recomendada pela
‘‘Specification for Bridge Substurcture Design “(1980) representada pela Equação
(2.22).
Ru =
A.E.(s + C3 + 2.C2 ) U .l.N
+
2.e0 .L
ef
(2.22)
onde;
Ru = Resistência última da Estaca (tf)
A = Área da secção transversal da estaca (m2)
E = Módulo de Yong da estaca (tf/m2)
l = Comprimento cravado da Estaca (m)
U = Perímetro da Estaca
L= Comprimento total da estaca(m)
S= Nega para um golpe do pilão(m)
N = Valor médio do SPT ao longo da estaca
K = (C2+C3) = Repique Elástico (m)
C2 = Compressão elástica (repique) da estaca (m)
C3 = Compressão elástica (repique) do solo (m)
O valor de K = C2 + C3 é determinado através de medidas do repique elástico
durante a cravação da estaca, de acordo com a Figura (2.9)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
24
Figura 2.9 - Repique elástico e Nega para um golpe
eo = 2 x 3
2 × WH
, WH = Peso do martelo (tf) e WP = Peso da Estaca (tf)
WP
ef = eficiência do martelo (fator de correção) = 2,5
De acordo com Chellis (1951), a parcela C2 devido às deformações elásticas
da estaca valeria:
C2 =
Ru × l × 0,7
A× E
(2.23)
C2 × A × E
0,7 × l
(2.24)
Portanto;
Ru ≅
Desta maneira, a capacidade de carga última Ru é diretamente proporcional
ao valor de C2, e C3 “quake” é dado em função do tipo de solo.
Diante da experiência de controle em algumas centenas de estacas prémoldadas de concreto, concluiu-se que a fórmula de Chellis, em muitos casos,
conduz a cargas mobilizadas superiores às reais para estacas com comprimentos
cravados menores ou iguais a 20m, que vão diminuindo à medida que os
comprimentos das estacas se aproximam da fronteira dos 20m; a partir de 20m há
uma tendência de Chellis subestimar as cargas mobilizadas.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
25
Na aplicação de Uto observou-se o oposto: há uma tendência de Uto
subestimar as cargas mobilizadas para estacas com comprimentos menores ou
iguais a 20m e superestimar a partir deste valor.
Assim, de acordo com Filho e Abreu (1989), visando obter um equilíbrio entre
esses dois métodos a determinação da resistência última in situ de uma estaca
cravada é tomada como a média aritmética das formulações feitas por Uto et al., e
Chellis.
2.3 - Conceitos básicos de probabilidade, estatística e confiabilidade
Apresentam-se a seguir, de forma sucinta, os conceitos básicos de
probabilidade e estatística necessários para a compreensão dos aspectos
conceituais de análise de confiabilidade.
2.3.1 - Análise probabilística
A análise probabilística pode ser entendida como o estudo sobre a previsão
comportamental de uma determinada experiência. A característica de interesse de
uma experiência que assume valores diferentes e não previsíveis como resposta é
denominada de variável aleatória. A variável aleatória pode ser considerada discreta,
quando assume apenas certos valores específicos, ou contínua, quando pode
assumir qualquer valor dentro de um intervalo. Em uma experiência, o conjunto de
todas as respostas é denominado de espaço amostral. Em geral, o espaço amostral
é dito discreto se possui um número contável de elementos. Se os elementos de um
espaço amostral constituem um contínuo (por exemplo, todos os pontos de uma reta
ou plano) o espaço amostral é dito contínuo. A caracterização de um espaço
amostral em discreto ou contínuo é determinada através do tipo de variável aleatória
em questão. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é definido como evento,
enquanto que o conjunto de todas as observações realizadas é denominado de
população.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
26
2.3.1.1 - Função de probabilidade
Sendo x uma variável aleatória contínua qualquer, o comportamento
probabilístico do fenômeno aleatório pode ser descrito por uma função matemática
conhecida por função densidade de probabilidade f(x). Objetivamente, a função
densidade de probabilidade descreve a forma da curva de distribuição da
probabilidade de ocorrência de cada valor da variável aleatória. Dentre as formas
mais usuais, podem-se citar as distribuições normal ou gaussiana, lognormal, gama
e beta, entre outras.
Para a estimativa da probabilidade de ocorrência da variável aleatória (x) ser
menor ou igual a um certo valor t, utiliza-se a função de distribuição F(t) definida por:
t
f ( x )dx
−∞
P[ x ≤ t ] = F (t ) = ∫
(2.25)
A estimativa da probabilidade de ocorrência da variável x em um certo
intervalo [a, b], é dada por:
b
a
P[a < x ≤ b] = F (b ) − F (a ) = ∫ f ( x )dx
(2.26)
2.3.1.2. Caracterização da densidade pelo método dos momentos
Para um estudo detalhado da densidade de probabilidade sem a necessidade
de análise gráfica, utilizam-se medidas estatísticas que descrevem a locação e a
dispersão da distribuição. A locação é dada pela média
µ ou valor esperado E[x] da
densidade de probabilidade da variável aleatória contínua x correspondente, definida
por:
µ = ∫− ∞ x ⋅ f ( x )dx
∞
(2.27)
µ é definido como o primeiro momento de um sistema de massa f(x), disposto sobre
uma linha reta e distante x da origem. Conclui-se portanto, que a Equação (2.27)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
27
determina o centro de gravidade da densidade de probabilidade. Para estimativa da
variação da densidade de probabilidade, utiliza- se o segundo momento sobre a
média, variância, definida por:
(
x − µ )2 ⋅ f ( x )dx
−∞
V [ x] = ∫
∞
(2.28)
Nota- se através da Equação (2.28) que a definição da variância de uma
distribuição de probabilidade é análoga ao momento de inércia definido pela física.
Uma medição mais concreta da variabilidade da densidade probabilística é dada
pelo desvio padrão. O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da
variância, sendo fisicamente análogo ao raio de giração. Matematicamente tem-se:
σ [x ] = V [ x ]
(2.29)
O terceiro momento é usado para descrever a simetria ou assimetria da
distribuição, enquanto o quarto momento descreve a curtose ou “falta de pico” da
densidade de probabilidade. O conhecimento da forma exata da densidade de
probabilidade só é possível através do conhecimento de todos os momentos
probabilísticos.
2.3.1.3 Densidade normal
Conhecida também por densidade gaussiana, possui por característica a
simetria da distribuição, aproximando-se como uma seção em corte de um sino
(FIGURA 2.10). A equação que descreve o comportamento da densidade normal é:
(
)
f x, µ , σ 2 =
1
2π σ
1 x−µ 


2
σ


⋅e
para x variando entre -∞ e +∞
2
(2.30)
F(x)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
28
^
µ
x
>
Figura 2.10. Gráfico de uma distribuição normal
Devido ao fato da Equação (2.30) não poder ser integrada de uma forma
fechada entre um intervalo qualquer, as probabilidades relacionadas à distribuição
normal são obtidas a partir de integração numérica, sendo os resultados dispostos
em forma de tabelas especiais padronizadas para uma densidade normal com média
µ = 0 e desvio padrão σ = 1 (ANEXO 1).
Substituindo na Equação (2.30) os valores de
µ e σ utilizados para
padronização (Equações (2.27) e (2.29), respectivamente), a probabilidade de uma
variável aleatória (x) ser menor ou igual a Z é dada por:
1 2
1 z − 2t
F (Z ) =
dt
∫ e
2π − ∞
(2.31)
onde Z é uma variável aleatória padronizada definida por:
Z=
x−µ
σ [x ]
(2.32)
2.3.2. Análise estatística
O tratamento estatístico está relacionado à análise de uma coleção de
observações, denominada amostra ou conjunto amostral, que visa caracterizar um
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
29
fenômeno aleatório de interesse e não prever o comportamento do fenômeno em si
(análise probabilística). O tratamento do conjunto amostral pode ser realizado a
partir de análise gráfica ou aritmética. A análise gráfica da amostra compreende a
classificação da variável aleatória segundo a sua freqüência de valores assumidos e
a montagem de um gráfico freqüência x valor, denominado histograma (FIGURA
2.11). A análise aritmética da amostra é realizada através da determinação de
parâmetros estatísticos que visam caracterizar a distribuição.
2.3.2.1. Análise gráfica da amostra
Dado um histograma, o comportamento de uma variável aleatória x em uma
amostra pode ser caracterizado pela sua função de freqüência t(x). A função de
freqüência é entendida como a função matemática que descreve a freqüência de
valores assumidos pela variável aleatória no âmbito amostral, ou seja, é a função
que melhor caracteriza a forma do histograma da variável aleatória. A função de
freqüência é análoga à função de densidade de probabilidade f(x) da população
correspondente, embora estas funções sejam conceitualmente diferentes. A
população da variável aleatória possui uma função densidade de probabilidade
definida, mas caso sejam realizadas diversas amostragens desta mesma população,
pode-se encontrar diversas funções de freqüência diferentes entre si.
3,5
Frequência
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Valor da Variável Aleatória
Figura 2.11 - Exemplo de um histograma de uma variável aleatória
12
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
30
Um complemento da análise gráfica é a definição da função de freqüência
acumulada T(x), análoga à função de distribuição da população F(x). Em termos
matemáticos, escreve-se:
T (x ) =
∑t(y)
(2.33)
y≤x
onde x e y são variáveis discretas. A função de freqüência acumulada pode ser
interpretada como a soma das freqüências relativas de todos os valores menores ou
iguais a x.
2.3.2.2. Análise aritmética da amostra
Os parâmetros mais comumente utilizados são a média amostral (média
aritmética) e a variância amostral. A média amostral de uma variável aleatória x é
definida por:
x =
1
n
n
∑ xi
(2.34)
i =1
Deve-se atentar para a diferença entre a média amostral x e a média da
distribuição de probabilidade (µ). Enquanto a primeira relaciona os valores de um
determinado conjunto de observações, a segunda indica a média de toda a
população do fenômeno aleatório.
A variância amostral relaciona-se com os quadrados dos desvios da variável x
em relação à média x , sendo definida por:
2
s =
n
∑
t =1
( xi
− x )2
n −1
(2.35)
O desvio padrão amostral é definido como a raiz quadrada da variância. Em
termos matemáticos temos:
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
S=
n
∑
t =1
(xi − x )2
n −1
31
(2.36)
2.3.3 Aspectos conceituais de análise de confiabilidade
A quantificação da confiabilidade é obtida através da utilização de uma
relação entre os estados que limitam o insucesso e o sucesso associados à previsão
comportamental de uma determinada variável aleatória. Apresentam-se a seguir, os
aspectos conceituais de confiabilidade, correspondente a variável aleatória fator de
segurança.
2.3.3.1. Aspectos conceituais da confiabilidade inerente ao fator de segurança
A relação entre os estados que limitam o sucesso e o insucesso é definida
como a diferença entre as densidades de probabilidade da capacidade de
resistência (R) e da demanda de solicitação (S). Matematicamente tem-se:
G(X) = R – S
(2.37)
onde G(X) é uma função que descreve o desempenho da diferença R - S, e X é o
vetor de parâmetros necessários para cálculo de G(X). A função de desempenho
pode ser subdividida em uma região segura (G(X) > 0) e uma região instável (G(X) <
0). A interseção das duas regiões (G (X) = 0) delimita a superfície de estado limite
para o sistema R – S.
Devido à dificuldade de definição das distribuições da capacidade de
resistência e da demanda de solicitação, desenvolveram-se formulações que
utilizam um índice de confiabilidade, designado por β , no qual considera-se
implicitamente o desempenho de G(X). Esta confiabilidade é classificada como
relativa, cuja proposta baseia-se no fato de não ser necessário o conhecimento
prévio do comportamento absoluto ou global da função de desempenho para
estimativa da segurança. As primeiras medições de confiabilidade foram obtidas
através de um índice definido por:
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
β=
µG
σG
Em que
32
(2.38)
µG e σG denotam o valor médio e o desvio padrão da função de
desempenho. O uso da Equação [2.38] como quantificação da confiabilidade é
baseado no seguinte desenvolvimento:
Pf = P[G ( X ) ≤ 0]
(2.39)
 G( X ) − µG − µG 
Pf = P 
≤
σ
σ G 
G

(2.40)
Pf = P[Z ≤ − β ]
(2.41)
Pf =
−β
∫
f z (Z )dz
(2.42)
−∞
Pf = φ (− β )
(2.43)
onde Pf é a probabilidade de ruptura, Z é uma variável padronizada, fz(Z) e φ (-β) as
funções densidade de probabilidade e a área associada a z = -β.
Neste formato, todas as variáveis aleatórias são transformadas para um
espaço de parâmetros Z padronizados pelas médias de uma transformação
ortogonal no qual:
E [Z i ] = 0
V [Z i ] = 1
Hasofer e Lind (1974) definem o índice de confiabilidade β como sendo a
distância mínima entre a origem e a superfície de estado limite que define a ruptura
ou o insucesso do sistema no espaço transformado dos parâmetros Z. Partindo da
Equação [2.38], o índice β é definido como a seguir:
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
_
33
_
R− S
β=
σ [R − S ]
_
(2.44)
_
onde R e S denotam os valores médios das distribuições de capacidade de
resistência
e
da
demanda
de
solicitação.
O
desvio
padrão
σ [R − S ] é,
matematicamente, igual a:
σ [R − S ] =
σ 2R + σ 2S
(2.45)
Rearranjando a Equação [2.44] para facilidade de compreensão, tem-se:
R
−1
S
β=
σ [R − S ]
S
β=
R
−1
S
σ
S
β=
(2.46)
2
R
2
+
σ
S
(2.47)
2
S
2
R
−1
S
σ
2
⋅ R2
R
2
2
S ⋅R
+
σ
S
2
S
2
(2.48)
Definindo- se fator de segurança central FS como sendo a razão entre as
médias da capacidade resistiva e da capacidade solicitante ( FS = R / S ), o índice
de confiabilidade definido pela Equação [2.48] pode ser escrito como:
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
β=
34
FS − 1
FS ⋅ Cov (R ) + Cov (S )
2
2
2
(2.49)
No qual Cov(R) e Cov(S) são os coeficientes de variação de R e S
respectivamente. Morlá Catalán e Cornell (1976), admitindo distribuição gaussiana
para FS, utilizam um índice de confiabilidade obtido a partir das seguintes
considerações algébricas:
β=
β=
β=
R −S
σR
R S −1
σR /S
FS − 1
σ FS
(2.50)
(2.51)
(2.52)
Observa-se que, nesta formulação, o desvio padrão do fator de segurança é
igual à razão σR / S .
Chowdhury (1984, 1985, 1994), Chowdhury et al.,(1997), Christian et al.,
(1992), Sandroni e Sayão (1992), Dell’Avanzi (1995), Castello (2000) utilizam, em
suas análises, índices de confiabilidade com a mesma definição dada pela Equação
(2.52).
Um estudo paramétrico da Equação (2.52), mostra a possibilidade de
existência de situações com valores iguais do índice de confiabilidade β e valores
diferentes de fator de segurança FS (ou vice-versa). Isto está ilustrado na figura
(2.12), que apresenta a relação entre β e FS, em função do desvio padrão do fator
de segurança. De uma maneira geral, pode-se dizer que o índice β definido pela
Equação (2.52) quantifica a segurança através do número de desvios padrão do
fator de segurança, σFS, que separa a média do valor que define a ruptura (FS = 1).
Conclui-se que uma vantagem clara da utilização da Equação (2.52), na
avaliação da confiabilidade relativa, é a não necessidade do conhecimento da
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
35
função densidade de probabilidade da variável aleatória FS para a estimativa de β.
Em contrapartida, faz-se necessário que a média e o desvio padrão utilizados
descrevam de maneira adequada o comportamento do fator de segurança.
Índice de Confiabilidade
10
8
6
Desvio Padrão=0,1
4
Desvio Padrão=0,15
Desvio Padrão=0,20
2
Desvio Padrão=0,30
0
1
1,5
2
2,5
3
Fator de Segurança
Figura 2.12. Relação β x FS em função do desvio padrão ( Dell’Avanzi, 1995)
Observa-se, ainda, que o valor de β, calculado por qualquer uma das
formulações aqui apresentadas, é um valor relativo, correspondente somente às
incertezas identificadas na análise. Este valor de β não é, portanto, um número
absoluto uma vez que não representa diversas outras incertezas, excluídas da
análise por simplificação dos cálculos ou por simples desconhecimento.
Portanto, torna-se indispensável uma avaliação subjetiva do engenheiro
geotécnico na definição final da qualidade da segurança da análise em si, ou seja, do
valor mínimo admissível para o índice β.
2.3.4. Método do Segundo Momento de Primeira Ordem
A observação das formulações do índice de confiabilidade demonstra a
necessidade de obtenção do desvio padrão do fator de segurança. Este valor é
obtido através de métodos probabilísticos.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
36
Em geral, os métodos probabilísticos utilizam técnicas para avaliação
aproximada somente dos dois primeiros momentos. Os demais momentos, relativos
a simetria e curtose da distribuição, são usualmente desprezados. Por este fato,
essas metodologias são classificadas como “aproximadas pelo segundo momento”.
Entre as técnicas de aproximação pelo segundo momento, destaca-se a de
aproximação da função de desempenho por série de Taylor, designada de segundo
momento de primeira ordem.
Sendo x1, x2, ..., xn os parâmetros ou variáveis envolvidas no cálculo de um
fator de segurança considerados independentes entre si, os valores médios do vetor
X e da função de desempenho G( X ) são expressos por:
X = ( x1 , x2 ,...xn )
(2.53)
G ( X ) = G ( x2 , x2 ,...xn )
(2.54)
onde o termo xi indica o valor médio de xi.
Desenvolvendo a função de desempenho sob a forma da série de Taylor em
torno do valor médio X , obtém-se:
_
⋅
_
⋅⋅
_
_
G (X )
G (X )
1
G( X ) = G( X ) +
(X − X ) +
( X − X ) 2 +...
1!
2!
⋅
_
_
(2.55)
⋅⋅ _
onde G ( X ) e G ( X ) são 1a e 2a derivadas da função desempenho.
Truncando a série na derivada de primeira ordem e manipulando
algebricamente a equação [2.55], obtém-se:
_
⋅ _
_
G ( X ) − G ( X ) = G ( X )( X − X )
(2.56)
Observa-se, na Equação (2.56), que o membro à esquerda da equação indica
o desvio do valor da função de desempenho aferida em X e em relação ao valor
médio. Elevando-se ambos os membros da Equação (2.56) ao quadrado, obtém- se
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
37
uma aproximação da variância da função de desempenho. Matematicamente temse:
(
)
2
V [G ( x )] = G& ( X ) ⋅V ( X )
(2.57)
Na situação onde, a função de desempenho representa a função do fator de
segurança FS, a variância da variável fator de segurança recai em um somatório do
produto entre o quadrado das derivadas parciais da função FS em relação a cada
parâmetro e suas respectivas variâncias, ou seja:
n
2
 ∂FS 
V [FS ] = ∑ 
 .V [xt ]
t =1  ∂xt 
(2.58)
Portanto, o desvio padrão utilizado para estimar índices de confiabilidade, é
definido através do cálculo da raiz quadrada da variância obtida da solução da
Equação (2.58) para a variável aleatória FS.
2.3.5 - Estimativa de probabilidade de fracasso
O conhecimento dos dois primeiros momentos probabilísticos da função de
desempenho do fator de segurança não é suficiente para a definição da função
densidade de probabilidade. É também necessário o conhecimento da forma da
distribuição da função de desempenho. Na prática, é usual fazer a hipótese de
distribuição normal ou lognormal.
Considerando que as variáveis aleatórias envolvidas na determinação de FS
possuem distribuição normal e que a função de desempenho é linear, a
probabilidade de fracasso relaciona-se diretamente com o índice de confiabilidade
através da expressão:
Pf = 1 − φ (β )
onde φ(β) é a função densidade acumulada aferida em β.
(2.59)
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
38
A probabilidade de fracasso pode ser visualizada como a área sob a curva da
distribuição de probabilidade de FS, delimitada para fatores de segurança
correspondentes à ruptura (FS ≤ 1). A Figura 2.13 apresenta uma comparação entre
as probabilidades de fracasso de duas situações contrastantes, onde a variável
aleatória é o fator de segurança. A probabilidade de fracasso (ruptura) da situação
“a” é menor que da situação “b”, apesar do fator de segurança médio da situação “b”
ser superior ao da situação “a”. A relação entre a probabilidade de fracasso Pf e o
índice de confiabilidade β é única. Pelo fato da função densidade acumulada de
probabilidade ser uma função crescente, valores altos de β implicam em baixas
probabilidades de ruptura (FIGURA 2.14).
Distribuição de Probabilidade
5,0
4,0
3,0
A probabilidade de
ruptura é
equivalente à área
com FS ≤ 1,0.
situação "a"
2,0
situação "b"
1,0
0
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Fator de Segurança
Figura 2.13. Comparação entre duas situações com médias e distribuições de FS
diferentes (Christian, 1992)
Pode-se observar na figura 2.14 que a situação de ruptura ( FS = 1,0 ou β =
0) corresponde a uma probabilidade de ruptura Pf = 0,5 ( ou 1: 2). Neste caso, a
curva de distribuição de FS (FIGURA 2.13) estaria centrada no valor FS= 1,0 e,
portanto a área sob a curva para FS ≤ 1,0 corresponderia à metade da área total.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
39
Probabilidade de ruptura ( Pf )
1,00000
0,10000
0,01000
0,00100
0,00010
0,00001
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
índice de confiabilidade ( β )
3,5
4
Figura 2.14. Relação entre β e Pf para distribuição normal de FS (Christian, 1992)
2.4.- Risco admissível
Baseado nas considerações anteriormente apresentadas, conclui-se que a
quantificação do risco através da confiabilidade relativa não deve ser entendida
como um valor final em si. De uma forma geral, não existem regras na determinação
do valor mínimo admissível para o índice de confiabilidade. Na realidade, o valor do
índice de confiabilidade deve representar de forma direta as incertezas presentes
nos dados de análise. Portanto, quanto maiores as incertezas presentes, maior
deverá ser o valor mínimo recomendado para confiabilidade do projeto em questão.
Além disto, o valor de β admissível deve também refletir a importância do projeto.
Por exemplo, para um mesmo conjunto de dados, deve-se recomendar que o
talude de jusante de uma barragem de terra, sob condições de fluxo permanente,
apresente um índice β com valor superior ao recomendado para um talude de uma
estrada de acesso ao canteiro de obras desta mesma barragem. Whitmann (1984),
apresenta através da Figura 2.15, uma avaliação sobre o risco praticado em alguns
projetos de engenharia civil. Os resultados da figura fornecem indicações sobre o
risco usualmente aceito e, conseqüentemente, um limite superior do risco admissível
para cada caso.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
40
Probabilidade Anual da Ruptura
100
1
"Marginalmente
aceito"
10-1
-2
10
10
Taludes
de minas
10-3
100
Plataformas
Móveis
fundações
1/Pf
1000
Plat. Fixas
"Aceito"
-4
10
10.000
Barragens
10-5
1.00.000
Barragens USA
(estimado)
10-6
Perda de vidas
custo em US$
1
1x106
10
7
1x10
100
1x108
1000
1x109
1.000.000
10000
9
10x10
Consequências da Ruptura
Figura 2.15. Valores usuais de probabilidade e conseqüências de ruptura
(Whitman, 1984)
2.5 - Aplicações de estatística, probabilidade e confiabilidade em geotecnia
Inicialmente, conceitos de estatística, probabilidade e confiabilidade foram
gradativamente inseridos no meio geotécnico através de análises de confiabilidade
de taludes, que posteriormente foram adaptadas e aplicadas em estimativas de
confiabilidade de obras de fundações.
Sandroni e Sayão (1992) apresentaram procedimentos simples para a
avaliação estatística do fator de segurança de taludes. Estes procedimentos foram
aplicados em um exemplo de talude de mineração a céu aberto com 200 m de altura
e 34 graus de inclinação, cuja configuração está mostrada na Figura 2.16.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
41
80 ± 20m
200m
34º
Solo saprolítico de quartzito
ferrífero
Superfície crítica
E[FS] = 1,341
E[FS] = 0,161
β = 2,12 Pf ≅ 1:60
γnat = 28,3 ± 1,4 KN\m3
γsat = 29,0 ± 1,4 kN\m3
C = 25 ± 24 Kpa
Tan φ = 0,781 ± 0,085
Figura 2.16. Seção típica do talude (Sandroni e Sayão, 1992)
Os primeiros procedimentos foram: fixar os parâmetros geotécnicos médios,
buscar a superfície crítica de ruptura e obter o fator de segurança médio. Até este
ponto conduziu-se uma análise de estabilidade convencional (determinística).
A partir da segunda etapa, os procedimentos visaram a avaliação estatística
do fator de segurança. Neste âmbito, a variância de FS foi estimada através do
método do Segundo Momento de Primeira Ordem, onde foram considerados como
variáveis aleatórias os parâmetros efetivos de resistência, os pesos específicos
acima e abaixo do nível d’água e a piezometria. Seqüencialmente, o índice de
confiabilidade inerente ao fator de segurança foi estimado através da formulação
proposta por Morlá Catalán e Cornell (1976). Finalmente, complementando a
estimativa do índice de confiabilidade, foi obtida a correspondente probabilidade de
ruptura.
Tendo em vista o trabalho realizado, Sandroni e Sayão (1992) chegaram às
seguintes conclusões principais:
O índice de confiabilidade é uma função da variabilidade dos parâmetros
geotécnicos, da geometria e das solicitações externas (cargas externas, vibrações e
etc) consideradas em seu cálculo. Evidentemente, o valor de β obtido refere-se
apenas aos parâmetros que foram considerados como variáveis. Por exemplo, podese considerar os parâmetros geotécnicos como variáveis e os demais elementos
(piezometria, geometria, solicitações externas) como fixos. Assim sendo, o índice de
confiabilidade refere-se apenas às incertezas quanto aos valores de γ, c’ e φ’. A
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
42
probabilidade de ruptura assim obtida é menor (e o valor de β é maior) do que a
obtida caso todos os elementos fossem considerados como variáveis.
A principal decisão de projeto, no contexto do procedimento exposto neste
trabalho, é estabelecer o valor aceitável do índice de confiabilidade (ou da
probabilidade de ruptura a ele associada). É preciso acumular experiência no uso do
procedimento acima descrito. Seria interessante a reanálise de projetos existentes
para se obter valor de β a eles associados. O acúmulo de experiência com base em
análises de confiabilidade se revelará mais sólido do que com base apenas em
valores de fatores de segurança. No caso do exemplo, que se restringe ao ambiente
de uma mina de grande porte na qual muitos taludes foram executados e umas
poucas rupturas foram observadas, pode-se estabelecer um critério específico. As
retro-análises das rupturas indicam valores de β menores ou pouco maiores que 1,0
(probabilidade de ruptura na faixa de 1: 4 a 1: 20).
Análises de diversos taludes estáveis produziram valores de β entre 1,8 e 3,0
(ou mais). Isto implica em probabilidades de ruptura entre 1: 30 e 1: 100 (ou menos).
No caso decidiu-se criteriar um valor mínimo de β = 2,0 (probabilidade de ruptura
menor que 1: 50).
Com a mesma metodologia proposta por Sandroni e Sayão, Dell’Avanzi
(1995) estudou o comportamento da confiabilidade em relação ao tipo de método de
estabilidade utilizado. Como exemplo de aplicação, foi avaliada a confiabilidade do
talude de jusante da barragem de Santa Branca, e desta forma, o resultado obtido
foi comparado com o valor fornecido por outras metodologias.
Castello (2000), estudou o comportamento de fundações superficiais, visando
obter a confiabilidade e a probabilidade de ruptura. A partir de considerações a
respeito de métodos estatísticos, determinou a média, variância e desvio padrão das
variáveis consideradas aleatórias. Desenvolveu o método do segundo momento de
primeira ordem para a quantificação do desempenho de fundações, propôs
metodologias para racionalizar a adoção de fatores de segurança quanto à ruptura
de fundações superficiais e quantificar o risco associado à probabilidade de recalque
estimado ser superior ao recalque admissível.
Guedes (1997), descreveu uma metodologia para a obtenção dos dados
necessários à análise probabilística, incluindo a quantidade e a localização de
amostras, o cálculo das médias e variâncias dos parâmetros do solo e a
quantificação das incertezas relativas a estes valores. Apresentou procedimentos de
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
43
execução dos três métodos probabilísticos mais utilizados em geotecnia, ou seja, o
Método do Segundo Momento de Primeira Ordem, o Método das Estimativas
Pontuais e a Simulação de Monte Carlo. Foram executadas análises probabilísticas
considerando, separadamente, variações de altura e inclinação de taludes de
mineração sob condições drenadas. Avaliou- se também a aplicação da metodologia
probabilística em situações não drenadas, através da análise da estabilidade de um
quebra- mar sobre argila mole.
Isenhower e Mosher (1996), utilizaram a análise de confiabilidade para avaliar
a confiabilidade de estruturas marítimas suportadas por fundações em estacas em
sua condição de reservatório cheio, e para estimar o tempo de vida útil restante, e
também em fornecer um método consistente de recuperação, otimizando os gastos
necessários.
O índice de confiabilidade foi estimado, fornecendo uma medida relativa da
confiabilidade de estrutura. O procedimento utilizado na análise de confiabilidade
consistiu no desenvolvimento do método do segundo momento de primeira ordem,
visando obter a variância do fator de segurança. Os parâmetros considerados
aleatórios foram determinados observando o comportamento da interação
solo/estrutura. Desta maneira, o comportamento não linear de tensão-deformação foi
considerado juntamente com os parâmetros de resistência (coesão e ângulo de
atrito).
A análise consistiu em determinar o coeficiente de segurança pelo método
tradicional, considerando todos os parâmetros como determinísticos e, em seguida,
em determinar o coeficiente de segurança em função da variabilidade existente nos
parâmetros considerados aleatórios, fundamentando-se em princípios da estatística,
onde a média, variância e o desvio padrão foram determinados para cada
parâmetro. Em seguida o índice de confiabilidade foi estimado, fornecendo a
probabilidade de ruptura relativa a um determinado coeficiente de segurança.
Fontenelle e Vieira desenvolveram um estudo relacionado à análise de risco
aplicada a estabilidade do talude de jusante da barragem de terra de Bengue no
Ceará, para a condição de reservatório cheio. Desenvolveram o método de
simulação de Monte Carlo considerando distribuições normais, triangulares e
metodologia de Larson; método PEM (Point Estimate Method) e Teoria dos
conjuntos difusos, considerando-se a aleatoriedade dos parâmetros de resistência,
coesão e ângulo de atrito do solo compactado.
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
44
As análises foram efetuadas com o programa de pesquisa automática de
análise de estabilidade de taludes, de cunho determinístico, denominado XSTABL,
com a utilização do método de Bishop Modificado.
Inicialmente, foi calculado o fator de segurança pelo método tradicional, ou
seja, considerando os parâmetros de cálculo como determinísticos. Em seguida, de
posse do desvio padrão e variância dos parâmetros considerados aleatórios fez-se o
cálculo do fator de segurança pelo método probabilístico. O estudo concluiu que em
função da variabilidade encontrada para o fator de segurança a análise de risco é
uma metodologia aconselhável e adequada. Concluiu também que para estudos
mais aprofundados em análise de risco, é aconselhável aumentar a amostragem dos
materiais empregados, com vistas a melhor captar sua variabilidade.
Noiray e Ladd (1983) utilizaram o método probabilístico segundo momento de
primeira ordem , para a análise de estabilidade da fundação de um estoque de cal.
O resultado desta análise forneceu ainda a probabilidade de ruptura para uma
ruptura generalizada envolvendo apenas erros sistemáticos, e para uma ruptura
localizada envolvendo erros sistemáticos e erros de dispersão de dados.
CAPÍTULO 3
MONITORAÇÃO DAS ESTACAS E O ENSAIO SPT
3.1 - Introdução
Apresentam-se, neste capítulo, aspectos geotécnicos obtidos através do
ensaio SPT e uma descrição sucinta da extração do parâmetro repique elástico, com
seu respectivo valor obtido durante o final da cravação das estacas de concreto prémoldado no local da obra.
3.2 - Localização
A obra analisada no presente estudo situa-se na região central de Campos
dos Goytacazes-RJ (FIGURA 3.1). A investigação geotécnica para o reconhecimento
das condições do subsolo foi realizada através do ensaio SPT. O programa de
sondagens, executado no local da obra, constou de três furos, e a locação de tais
furos em planta encontra-se na Figura 3.2.
3.3 - Sondagens executadas
Através do estudo do boletim de sondagem foi verificada a presença de
uma camada de argila siltosa aos 19 metros de profundidade, como pode ser
verificado através das sondagens apresentadas na Figura 3.3 e no perfil composto
na Figura 3.4. De posse do valor das solicitações que seriam impostas à fundação,
realizou-se o cálculo da capacidade de carga última pelo método tradicional. Em
princípio concluiu-se pelo assentamento das estacas na camada de argila siltosa a
19 metros de profundidade. Deve ser ressaltado, que a profundidade de
assentamento das estacas a 19 metros foi estipulado para todas as estacas. Porém,
devido a acidentes ocorridos durante a cravação como quebra da estaca,
esmagamento da cabeça, ou o encontro no sub-solo de alguma barreira à cravação,
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
46
verificou-se durante a monitoração que algumas estacas não atingiram a cravação
total pretendida, mas ficaram bem próximo do planejado, entre 18 e 19 metros.
Figura 3.1 – Localização geográfica de Campos dos Goytacazes.
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
47
21.40
6.00
SP03
45.80
11.00
SP02
42.35
37.00
25.00
SP01
7.00
18.50
14.00
2.60
Passeio
RN
8.20
2.60
Passeio
Figura 3.2 – Disposição das sondagens na área da obra.
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
48
BOLETIM DE SONDAGEM
1[ ]
1,00
Nº de Golpes/15cm
Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm
- Diâmetro Externo 50,8mm
Gráfico
finais
Penetração
iniciais
30cm
Profundidade do Nível D'água:
4,50 metros em 18/07/01
30cm
Am
os
tra
Cota:
-0,26
Profu
ndida
de da
cama
0[ ]
sp01
0
10
20
30
Classificação do Material
40
50
0
Aterro: argila com areia fina, média e grossa, com
pedregulhos, cor variegada.
7
8
14
15
22
1
Argila siltosa, com areia fina, média e grossa, cor
amarela, dura.
5
7
8
12
15
2
1
1
2
2
3
3
5
6
7
11
13
4
5[ ]
3
3
5
6
8
5
6[ ]
5
4
4
9
8
6
7[ ]
5
6
8
11
14
7
Idem, rija.
5
7
9
12
16
8
Argila siltosa, com areia fina, média e grossa, cor
variegada, rija.
4
5
7
9
12
9
2[ ]
3[ ]
4[ ]
2,90
3,85
Idem, rija.
Argila siltosa, com areia fina, cor cinza e amarela,
mole.
Argila siltosa, com areia fina e média, com recifes,
cor variegada, rija.
Idem, média
7,50
8[ ]
9[ ]
10[ ]
9,30
10,40
Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, cor
branca, medianamente compacta.
5
6
7
11
13
10
Argila siltosa, com areia fian, cor cinza clara.
10,75
4
5
5
9
10
11
3
4
5
7
9
12
13[ ]
6
6
7
12
13
13
14[ ]
4
4
4
8
8
14
15[ ]
4
4
4
8
8
15
4
6
6
10
12
16
11[ ]
12[ ]
11,90
15,70
16[ ]
Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, cor
amarela, com veios amarelos, medianamente
compacta.
Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, cor
amarela, com veios cinza, medianamente
compacta.
Idem, pouco compacta.
Areia fina, média e gorssa, argilo siltosa, cor cinza
clara, com veios amarelos, medianamente
compacta.
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
49
BOLETIM DE SONDAGEM
Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm
- Diâmetro Externo 50,8mm
30cm finais
Profund
Penetração
idade
da
camad Nº de Golpes/15cm
a
30cm
Profundidade do Nível D'água:
4,45 metros em 24/07/2001
iniciais
Am
os
tra
s
Cota:
-0,45
Gráfico
0
SP01CONT
10
20
30
Classificação do Material
40
50
3
5
5
9
7
17
Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, cor
cinza clara, com veios amarelos, pouco
18[ ]
5
7
8
12
17
18
Argila siltosa, com areia fina, média e grossa,
cor cinza, com veios amarelos, rija.
19[ ]
5
8
8
16
22
19
Idem, dura.
20[ ]
4
7
9
10
13
20
Idem, rija.
21[ ] 20,85
9
13 17
20
29
21
Argila siltosa, com areia fina, cor cinza, com
veios amarelo, dura.
22[ ]
8
14 18
17
22
22
23[ ] 22,90
7
12 15
14
18
23
24[ ]
7
12 16
19
25
24
25
17[ ]
17,88
24,50
25[ ]
7
10 13
9
14
6
9
7
8
25,55
26[ ]
26,45
27[ ]
28[ ]
29[ ]
30[ ]
31[ ]
32[ ]
12
26
Argila siltosa, com areia fina, cor variegada,
rija.
Argila siltosa, com areia fina, média e grossa,
cor cinza clara, rija.
Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, cor
cinza clara, com veios amarelos, pouco
Sondagem paralisada à 26,45 metros
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
50
BOLETIM DE SONDAGEM
30cm
30cm finais
Profundidade do Nível D'água:
4,45 m etros em 24/07/2001
Profund
Penetração
idade
da
camad Nº de G olpes/15cm
a
iniciais
Am
os
tra
s
Cota:
-0,45
Amostrador Padrão - Diâm etro Interno 34,9m m
- Diâm etro Externo 50,8mm
Gráfico
0
0
0[ ]
0,70
SP02
10
20
30
Classificação do M aterial
40
50
Aterro: argila siltosa, com areia fina, m édia e
grossa, com pedregulhos, cor v ariegada.
Argila siltosa, com areia fina e m édia, cor
am arela, dura.
1[ ]
5
8
12
13
20
1
2[ ]
4
5
3
9
8
2
Idem , m édia.
1
2
2
3
4
3
Argila siltosa, com areia fina, cor v ariegada,
m ole.
5
7
10
12
17
4
Argila siltosa, com areia fina e m édia, com
recifes, cor v ariegada, rija.
5[ ]
7
10
10
17
20
5
Idem , dura.
6[ ]
5
7
8
12
15
6
Idem , rija.
7[ ]
7
8
11
15
19
7
8[ ]
6
8
10
14
18
8
5
6
7
11
13
9
4
5
5
9
10
10
Areia fina, m édia e grossa, argilo siltosa, cor
cinza
clara,
com
v eios
am arelos,
m edianam ente com pacta.
11[ ]
4
4
4
8
8
11
Idem , pouco com pacta.
12[ ]
4
3
5
7
8
12
13[ ]
3
3
4
6
7
13
14[ ]
4
5
7
9
12
14
15[ ]
4
4
5
8
9
15
16[ ]
6
6
5
12
11
16
2,75
3[ ]
4[ ]
3,90
8,80
9[ ]
10[ ]
9,85
Areia fina, m édia e gorssa, argilo siltosa, cor
am arela e cinza, m eianam ente com pacta.
Idem , m edianam ente com pacta.
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
51
BOLETIM DE SONDAGEM
Profundidade do Nível D'água:
4,45 metros em 24/07/2001
30cm
iniciais
Profun
Penetração
didade
da
camad Nº de Golpes/15cm
a
17[ ]
8
Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm
- Diâmetro Externo 50,8mm
30cm finais
Am
os
t ra
s
Cota:
-0,45
10
Gráfico
0
SP02CONT
10
20
30
Classificação do Material
40
50
17
Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, cor
cinza clara, com veios amarelos,
18
Argila siltosa, com areia fina, média e grossa,
cor cinza, com veios amarelos, rija.
3
5
5
18[ ]
5
7
8
12 15
19[ ]
5
8
8
13 16
20[ ]
4
7
9
11 16
21[ ]
9
13 17 22
30
21
22[ ] 22,00
8
14 18 22
32
22
23[ ]
7
12 15 19
27
23
24[ ]
7
12 16 19
28
24
25[ ]
7
10 13 17
23
25
26[ ]
6
9
12 15
21
17,75
19
20
20,70
Argila siltosa, com areia fina, cor cinza clara,
dura.
Argila siltosa, com areia fina, cor cinza clara,
com veios amarelos, dura.
26
26,45
27[ ]
Sondagem paralisada à 26,45 metros.
28[ ]
29[ ]
30[ ]
31[ ]
32[ ]
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
52
BOLETIM DE SONDAGEM
30cm
Profun
Penetração
didade
da
camad Nº de Golpes/15cm
a
iniciais
Profundidade do Nível D'água:
4,50 metros em 20/07/01
30cm finais
Am
os
tra
s
Cota:
-0,25
Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm
- Diâmetro Externo 50,8mm
Gráfico
0
0[ ]
0,90
SP03
10
20
30
Classificação do Material
40
50
0
Aterro: argiola com areia fina, média e grossa, com
pedregulhos, cor variegada.
3
4
4
7
8
1
Argila siltosa, com areia fina e média, cor amarela,
média.
2
2
3
4
5
2
Idem, mole.
3[ ]
1
1
2
2
3
3
Argila siltosA, com areia fina, cor amarela e
vermelha, mole.
4[ ]
1
1
1
2
2
4
Idem, muito mole.
2
2
2
4
4
5
Argila siltosa, com areia fina e m'dia, com recifes, cor
variegada, mole.
3
4
5
7
9
6
Idem, média.
4
5
7
9
12
7
Argila siltosa, com areia fina, média e grossa, cor
variegada, rija.
5
7
9
12
16
8
Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, cor
variegada, medianamente compacta.
6
7
9
13
16
9
6
7
8
13
15
10
1[ ]
2[ ]
2,70
5[ ]
4,85
6[ ]
7[ ]
8[ ]
6,90
8,85
9[ ]
10[ ]
10,50
11[ ]
5
5
6
10
11
11
12[ ]
4
5
5
9
10
12
13[ ]
3
4
5
7
9
13
14[ ]
4
5
5
9
10
14
15[ ]
3
4
4
7
8
15
16[ ]
4
4
4
8
8
16
Areia fina, média e gorssa, argilo siltosa, cor cinza e
amarela, medianamente compacta.
Idem, pouco compacta.
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
53
BOLETIM DE SONDAGEM
17[ ]
30cm
Penetração
Profundi
dade da
camada Nº de Golpes/15cm
17,15
3
4
6
iniciais
Profundidade do Nível D'água:
4,50 metros em 20/07/2001
7
Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm
- Diâmetro Externo 50,8mm
30cm finais
Am
os
tra
s
Cota:
-0,25
10
Gráfico
0
SP03CONT
10 20 30 40 50
17
Classificação do Material
Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, cor cinza e amarela.
Argila siltosa, com ariea fina, m;édia e gorssa, cor
cinza com veios amarelos, média.
Idem, rija.
18[ ]
5
7
8
12
15
19[ ]
5
6
7
11
13
20[ ]
3
4
5
7
9
20
Idem, média.
5
10 20 15
30
21
Argila siltosa, com aria fina, cor cinza clara, dura.
22[ ]
8
11 15 19
26
22
Argila siltosa, com areia fina, média e gorssa, cor
cinza clara, dura.
23[ ]
8
16 21 24
37
23
24[ ]
8
12 17 20
29
24
25[ ]
8
12 15 20
27
25
5
9
12 14
21
18
19
20,75
21[ ]
21,80
25,55
26[ ]
26
26,45
27[ ]
28[ ]
29[ ]
30[ ]
31[ ]
32[ ]
Figura 3.3 – Perfil de sondagem.
Argila siltosa, cor areia fina, cor cinza clara, dura.
Sondagem paralizada à 26,45 metros.
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
Prof.(m)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
SP - 01
22
15
3
13
8
8
14
16
12
13
10
9
13
8
8
10
7
17
22
13
29
22
18
25
14
8
54
SP - 02
Aterro
20
SP - 03
8
média a
5
muito mole
mole
mole
4
3
17
2
rija e dura
Rija e média
mole
20
4
média
15
9
19
12
rija
18
16
13
16
10
15
Argila siltosa
8
11
8
10
Areia fina à grossa,argilo siltosa.
7
9
12
10
Medianamente compacta a pouco compacta
9
8
11
8
10
10
15
15
16
13
Argila siltosa com areia
média
16
9
30
30
rija e dura
rija e dura
rija e
32
26
dura
27
37
dura e rija
dura e média
8
Argila siltosa
com areia
28
Areia argilo siltosa23
pouco compacta 21
29
27
21
Sondagem paralisada aos 26,45m de profundidade.
Figura 3.4 – Perfil composto da sondagem
3.4 - Determinação do repique elástico e nega
Durante o final do processo de cravação das estacas, foi medido o repique
elástico e a nega, que em conjunto com índice de resistência à penetração Nspt
obtido no ensaio SPT anteriormente explicitado, formaram o conjunto dos
parâmetros não determinísticos. A medida da grandeza dos parâmetros foi realizada
no final da cravação de cada estaca, e o total de estacas monitoradas no processo
de extração dos parâmetros representou 15% do total cravado na obra. Não
obstante, do total de estacas monitoradas, quinze estacas (15%), cinco medições
foram desconsideradas devido a acidentes e erros grosseiros, como respingo
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
55
excessivo de óleo do sistema de cravação na folha de medição e outras influências
de fatores externos. Portanto, do total de estacas monitoradas, e descartando-se as
que continham erros, dez estacas, ou seja, (10%) forneceram os parâmetros
utilizados nesta análise. As estacas cravadas eram do tipo quadrada, de medidas
29,5 x 29,5 cm de concreto pré-moldado, foram cravadas com um pilão de 2500 Kg
e altura de queda de 60 cm.
A medição do valor do repique elástico não traz nenhuma novidade em
relação à tradicional nega. Além disso, é oportuno lembrar que ambos valores, nega
e repique elástico, são medidos simultaneamente, ou seja, durante o final da
cravação. A medição do repique elástico e nega pode ser resumidamente elucidado
observando-se a Figura 3.5.
Com muita simplicidade, toma-se um lápis, um papel fixado a estaca por meio
de fita adesiva. Numa régua horizontal previamente fixada próxima à estaca,
descanse o lápis movendo-o lenta e continuamente durante a aplicação dos golpes.
Nota-se durante a medição, que um aumento da resistência do solo à penetração da
estaca provoca uma redução da nega e um aumento do valor do repique elástico.
Desta maneira pode-se constatar uma relação estreita entre estes dois valores, o
que vem a confirmar a relevância do repique elástico na determinação da
capacidade de carga in situ.
Figura 3.5 - Medição do repique elástico e nega.
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
56
De onde se obterá, após 10 (dez) golpes do martelo no sistema de cravação,
o sinal representativo dos dados, esquematicamente demonstrado abaixo.
Nega total
Figura 3.6 - Representação da medida do repique elástico e nega.
E, o repique elástico e a nega para um golpe do martelo no sistema de
cravação, podem ser representados pela figura 3.7.
Repique
Nega
Figura 3.7 - Repique elástico e nega obtidos em um golpe do martelo.
O valor do repique elástico e nega obtidos durante o processo de cravação de
cada estaca eram anotados imediatamente após sua medição, para futuramente
serem tratados e avaliados observando-se sua pertinência como dado representativo
da cravação. Após uma análise do sinal obtido para cada estaca monitorada, os
dados considerados satisfatórios foram dispostos numa planilha, a fim de facilitar
seu tratamento. Não obstante, o valor médio do índice de resistência à penetração
Nspt para cada camada de solo fornecida pela sondagem feita na obra, também
foram dispostos numa planilha.
É evidente que um tratamento estatístico deve primeiramente partir da
premissa que uma análise bem sucedida necessita de uma organização dos dados,
Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT
57
visando não só uma resposta condizente com os dados de entrada, mas também
representativa destes. Portanto, seguindo estes princípios os dados de repique
elástico e Nspt médio foram dispostos de acordo com as Tabelas 3.1 e 3.2,
respectivamente.
Estaca Monitorada
Estaca 1
Estaca 2
Estaca 3
Estaca 4
Estaca 5
Estaca 6
Estaca 7
Estaca 8
Estaca 9
Estaca 10
Repique Elástico K (m)
Nega S (m)
0,00590
0,00540
0,00610
0,00690
0,00620
0,00670
0,00680
0,00500
0,00780
0,00360
0,00790
0,00610
0,00810
0,00630
0,00840
0,00560
0,00910
0,00640
0,01030
0,00540
Tabela 3.1 – Valores do Repique Elástico e Nega obtidos na cravação.
De maneira estratégica, o índice de resistência à penetração médio por metro de
profundidade foi dividido em intervalos, sendo o valor médio do Nspt obtido através
da média dos intervalos.
Intervalos
Nspt médio
intervalo 1
8
Intervalo 2
5
Intervalo 3
13
intervalo 4
9
Intervalo 5
18
Tabela 3.2 – Valor do Nspt médio por intervalos.
CAPITULO 4
ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM FUNDAÇÕES PROFUNDAS
4.1 - Introdução
Neste capítulo, apresentam-se procedimentos simples para quantificar a
confiabilidade inerente à capacidade de carga in situ de fundações profundas
através do método baseado no repique elástico. Com este propósito, foram
analisadas as fundações monitoradas na obra descrita no capítulo 3. O principal
objetivo destas análises foi apresentar uma forma racional de avaliar a influência das
incertezas inerentes aos parâmetros sobre o cálculo da carga última, e neste âmbito,
inferir sobre a utilização de fatores de segurança adequados à considerada
confiabilidade admissível.
4.2 - Procedimentos da análise de confiabilidade
4.2.1 - Análise estatística dos parâmetros geotécnicos
A análise estatística dos parâmetros considerados variáveis aleatórias foi
implementada a partir dos resultados do ensaio de SPT, repique elástico e nega,
todos coletados no local da obra por processos apresentados no capitulo 3. A
análise estatística consistiu ainda, em variar o valor do índice de resistência à
penetração Nspt obtido no ensaio SPT, tomando como base sondagens realizadas na
vizinhança da obra, portanto no centro de Campos dos Goytacazes, com objetivo de
avaliar a influência da variabilidade de cada uma destas sondagens na
determinação da capacidade de carga, e conseqüentemente na determinação do
fator de segurança mais adequado. E, por fim, fez-se uma última análise, através de
uma variação de uma parcela do repique elástico, o deslocamento elástico ou quake
do solo (C3), mostrando sua influência na determinação do índice de confiabilidade.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
59
O valor médio do parâmetro deslocamento elástico do solo C3 foi o sugerido
pela equipe da empresa de engenharia Sonda Engenharia. Utilizando um aparelho
para medir repique, Figura 4.1, a equipe realizou diversas medições do parâmetro,
Filho e Abreu (1989). Assim dispuseram os valores encontrados numa tabela
relacionando o tipo de solo com o respectivo deslocamento elástico encontrado,
(TABELA 4.1).
Figura 4.1 – Aparelho utilizado para medir repique
Tipo de solo
Areias
C3 = Quake (mm)
0 - 2,5
Areias siltosas e Siltes Arenosos
2,5 - 5,0
Argilas Siltosas e siltes Argilosos
5,0 - 7,5
Argilas
7,5 - 10,0
Tabela 4.1 - Valores sugeridos para C3.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
60
O valor médio dos parâmetros deslocamento elástico do solo C3 e
encurtamento elástico da estaca C2 foram determinados a partir do repique elástico
K medido na obra, satisfazendo as seguintes equações:
K = C3 + C2
(4.1)
C2 = K – C3
(4.2)
0nde;
K é o repique elástico medido na obra;
C3 é o deslocamento elástico na ponta da estaca, de acordo com a tabela 4.1;
C2 é o encurtamento elástico da estaca em função do C3;
Para o estudo da confiabilidade da obra, foram considerados os valores do
repique elástico K medido na obra, deslocamento elástico do solo C3 de acordo com
o solo de apoio da estaca na obra (Argilas Siltosas, TABELA 4.1), encurtamento
elástico da estaca C2 de acordo com a Equação 4.2, nega medida na obra e Nspt
médio da sondagem realizada na obra. Assim, os valores utilizados nesta primeira
análise estão resumidos nas Tabelas 3.2 e 4.2. É importante salientar que ao valor
do deslocamento elástico do solo C3 foi dado um incremento subjetivo, porém o
valor do parâmetro permaneceu dentro do intervalo de variação seguido. Este
procedimento evidentemente fornece uma variância não real do parâmetro,
comprometendo um pouco os resultados do estudo, mas serve como ponto de
partida para a análise de confiabilidade.
Estacas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Repique Elástico K (m)
C3 (m)
C2 (m)
S (m)
0,00590
0,00610
0,00620
0,00680
0,00780
0,00790
0,00810
0,00840
0,00910
0,01030
0,00500
0,00527
0,00554
0,00581
0,00608
0,00635
0,00662
0,00689
0,00716
0,00750
0,00090
0,00083
0,00066
0,00099
0,00172
0,00155
0,00148
0,00151
0,00194
0,00280
0,00540
0,00690
0,00670
0,00500
0,00360
0,00610
0,00630
0,00560
0,00640
0,00540
Tabela 4.2 – Dados do repique elástico e nega da obra.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
61
Os procedimentos utilizados para a determinação dos valores médios,
variâncias e desvios-padrão dos parâmetros deslocamento e encurtamento elástico,
nega e Nspt, seguiram as metodologias tradicionais da estatística descritas no item
2.3.2.2 Estes valores estão compilados na Tabela 4.3.
Parâmetro
Valor Médio
Variância
Desvio Padrão
11
25,30
5,02
C3 (m)
6,2x10-3
7,0x10-7
8,3x10-4
C2 (m)
1,4x10-3
4,0x10-7
6,4x10-4
S (m)
5,7x10-3
9,0x10-7
9,7x10-4
Nspt
Tabela 4.3 – Análise estatística dos parâmetros aleatórios da obra.
No âmbito das análises estatísticas visando uma simulação de condições de
projeto, foram tomadas sondagens em torno da região da obra, no centro de
Campos dos Goytacazes. Nesta análise, o valor do Nspt foi determinado a partir de
cada sondagem realizada em torno da obra, assim, foram tomadas dez sondagens
nesta região, sendo N1 a sondagem nº 1, N2 a sondagem nº2,..., N10 a sondagem
nº10. O valor do Nspt médio de cada intervalo estratégico para cada sondagem foi
determinado, e de posse desses valores, seguindo os procedimentos tradicionais de
estatística descritos no item 2.3.2.2, determinaram-se o valor médio, a variância e o
desvio padrão para cada uma destas sondagens (TABELA 4.4). Os outros
parâmetros de entrada no processo de análise foram os obtidos na obra, ou seja,
manteve-se o deslocamento elástico do solo C3, o encurtamento elástico da estaca
C2 em função do C3 e a nega S, embora se saiba que essas variáveis possuem
valores próprios, relativos a cada ensaio SPT utilizado na análise de simulação.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
Parâmetro
62
Valor Médio
Variância
Desvio Padrão
Nspt (1)
9
10,70
3,27
Nspt (2)
10
13,86
3,72
Nspt (3)
9
8,33
2,88
Nspt (4)
10
37,30
6,10
Nspt (5)
12
56,20
7,50
Nspt (6)
9
9,30
3,04
Nspt (7)
12
42,00
6,48
Nspt (8)
18
30,66
5,53
Nspt (9)
11
45,90
6,77
Nspt (10)
11
17,76
4,21
Tabela 4.4 – Análise estatística das sondagens em torno da obra.
Observando a Tabela 4.4, percebe-se através da variância a variabilidade das
camadas de solo existentes para cada ensaio SPT. Neste caso, o valor médio
representa a magnitude do índice de resistência à penetração Nspt, e a variância
reflete a diversificação das camadas do subsolo de cada sondagem. Portanto,
sabendo que a média e a variância são parâmetros estatísticos independentes, uma
determinada sondagem pode apresentar um valor médio expressivo e uma pequena
variância, ou vice-versa, o que dependerá do tipo de solo.
Ainda se tratando de simulação de condições de projeto, foi realizada uma
última análise, desta vez mantendo a nega S, o repique elástico k e a sondagem
realizada na obra e variando o valor do deslocamento elástico do solo C3, que por
sua vez reflete numa variação do valor do encurtamento elástico da estaca C2,
(Equação 4.2). A variação do C3 seguiu o intervalo de variação sugerido pela equipe
da Sonda Engenharia, Tabela 4.1. Portanto designando C31 como o intervalo de
variação de C3 para o caso de areias na ponta da estaca, C32 para o caso do solo de
apoio na ponta da estaca ser areias siltosas e siltes arenosos, e C21 e C22 são os
encurtamentos elásticos correspondentes respectivamente. A Tabela 4.5 resume os
resultados.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
63
K (m)
C31 (m)
C32 (m)
0,00590
0,00000
0,00250
0,00610
0,00027
0,00277
0,00620
0,00054
0,00304
0,00680
0,00081
0,00331
0,00780
0,00108
0,00358
0,00790
0,00135
0,00385
0,00810
0,00162
0,00412
0,00840
0,00189
0,00439
0,00910
0,00216
0,00466
0,01030
0,00250
0,00493
Tabela 4.5 – Intervalo de variação de C3.
E o tratamento dos dados, da mesma forma como no caso das sondagens em
torno da obra, seguindo os procedimentos tradicionais de estatística descritos no
item 2.3.2.2, determinaram-se o valor médio, a variância e o desvio padrão para
cada um destes intervalos de variação de C3 e conseqüentemente para C2.
(TABELA 4.6).
Parâmetro (m)
C31
C32
C21
C22
Valor Médio
Variância
Desvio Padrão
1,22E-03
6,88E-07
8,29E-04
1,22E-03
6,88E-07
8,29E-04
6,44E-03
4,08E-07
6,39E-04
6,44E-03
4,08E-07
6,39E-04
Tabela 4.6 – Análise estatística na variação do parâmetro C3.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
64
4.2.2 - Análises determinísticas
A partir do método empírico sugerido pelas formulações de Uto e Chellis, para a
determinação da resistência última in situ de uma estaca cravada, foi implementado o
cálculo pelo método determinístico, cujos valores de entrada foram os valores médios
dos parâmetros dispostos nas Tabelas 4.3, 4.4 e 4.6. Não obstante, foi realizado o
cálculo deterministico pelo método já bastante consagrado e muito utilizado no meio
geotécnico prático, o método empírico de Aoki e Velloso. Assim, uma comparação
entre o fator de segurança correspondente a uma probabilidade ruptura, e o fator de
segurança utilizado quando no cálculo da capacidade de carga pelo método Aoki e
Velloso é feita, com o propósito de avaliar a pertinência do coeficiente de segurança
escolhido para o projeto de fundações da obra.
As demandas de solicitação (q), referentes aos fatores de segurança
utilizados nas análises de confiabilidade, foram consideradas determinísticas e desta
forma inseridas como constantes na composição das funções de desempenho dos
fatores de segurança.
4.2.3 - Análise das variâncias dos fatores de segurança
Dentre os métodos para a determinação da confiabilidade destaca-se a de
aproximação da função de desempenho por série de Taylor, designada de segundo
momento de primeira ordem, outras técnicas que também se destacam é a das
estimativas pontuais, desenvolvidas por Rosenblueth (1975) e a técnica de
simulação de Monte Carlo. As variâncias dos fatores de segurança foram estimadas
através do Método do Segundo Momento de Primeira Ordem, como mostrado pela
Equação (2.58). Examinando esta equação, verifica-se que a utilização do método
requer o conhecimento das derivadas parciais da função de desempenho do fator de
segurança.
A utilização de uma função de desempenho explícita permite o cálculo das
derivadas parciais do fator de segurança. Entretanto, devido à dificuldade na
obtenção destas derivadas, utilizou-se à metodologia proposta por Christian et al.,
(1992) e Sandroni e Sayão (1992), designada por diferenças divididas (diferenças
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
65
ascendentes ou descendentes), como forma de aproximação matemática para o
valor da derivada parcial da função.
4.2.3.1 - Estudo da aproximação por diferenças divididas
A aproximação por diferenças divididas consiste em variar separadamente
cada parâmetro, observando-se a variação correspondente do valor da função de
desempenho do fator de segurança. A aproximação da derivada parcial de cada
parâmetro é então obtida através da razão entre a variação observada do FS e a
variação estipulada para cada parâmetro. Sendo δxi a variação fornecida a um
determinado parâmetro xi, a aproximação da derivada parcial é expressa por:
FS ( xi + δ .xi ) − FS ( xi )
∂FS
=
∂xi
δ .xi
(4.3)
Para a execução do método das diferenças divididas, foram necessárias cinco
análises, utilizando o método de Uto/Chellis para obter as capacidades de carga in
situ. A primeira constituiu em uma análise determinística convencional e as demais
foram executadas variando um parâmetro de cada vez. Deste modo, a análise pode
ser representada primeiramente calculando-se a capacidade de carga pelo método
tradicional, ou seja, considerando todos parâmetros como determinísticos, com o
seu mais provável valor (valor médio). Em seguida, de posse do desvio padrão e
variância de cada parâmetro considerado aleatório, fez-se o cálculo da capacidade
de carga com cada parâmetro somado a uma variação de 10% do seu valor como
sugerido por Sandroni e Sayão (1992), e os demais parâmetros com seu mais
provável valor, o valor médio.
Com objetivo de regionalizar o estudo da confiabilidade no projeto de
fundações em estacas cravadas, foram realizadas também como forma de
simulação cinco análises para dois intervalos de variação do valor do deslocamento
elástico do solo C3, que se relaciona com o tipo de solo na ponta da estaca (TABELA
4.1). O valor médio, variância e desvio padrão se encontram na Tabela 4.6. Portanto,
foram realizadas no total mais dez análises.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
66
E, analogamente à simulação feita com o valor de C3, fez-se cinco análises
com o resultado de cada um dos dez ensaios SPT realizados em torno da região da
obra, onde o valor médio, a variância e o desvio padrão são fornecidos pela Tabela
4.4. Neste caso, o solo de apoio da estaca, que implica no intervalo de variação de
C3, foi o solo encontrado na própria obra, argila siltosa. Assim, foram realizadas no
total, mais 50 análises.
Resumidamente, pode-se concluir que as análises foram realizadas
satisfazendo respectivamente as seguintes configurações:
Análise 1 - Considerando todos os parâmetros medidos na obra.
Análise 2 - Considerando os intervalos de variação do C3 dispostos na tabela
4.5, a nega e o ensaio SPT da obra.
Análise 3 - Considerando o intervalo de variação do C3 e a nega S da obra, e
os ensaios de SPT realizados na região em torno da obra.
4.2.4 - Estimativa da confiabilidade associada à probabilidade de ruptura
A estimativa da confiabilidade associada ao cálculo determinístico do fator de
segurança foi executada através da Equação (2.52). Examinando esta equação,
observa-se que o cerne da análise de confiabilidade reside na verificação da
influência dos valores de média e variância do fator de segurança sobre o índice de
confiabilidade.
Visando satisfazer estas influências, realizaram-se estudos concentrados no
cálculo de índices de confiabilidade associados a fatores de segurança médios
contidos no intervalo arbitrado entre FS=1 (ruptura) e FS=4. As variâncias destes
fatores de segurança foram estimadas através do método do Segundo Momento de
Primeira Ordem, baseado na solução empírica da fórmula de capacidade de carga in
situ sugerida por Uto e Chellis, com suas derivadas parciais determinadas através da
aproximação por diferenças divididas. Completando a composição destas variâncias,
utilizaram-se inicialmente os valores das variâncias dos parâmetros de resistência a
penetração, obtidos através da análise estatística dos resultados dos ensaios de
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
67
SPT, em seguida a variância do deslocamento elástico C3 e encurtamento elástico
C2 e a variância da nega.
Foram realizados três estudos, de acordo com as configurações das análises
descritas no item 4.2.3.1. Os resultados do primeiro estudo, referente à análise um,
visaram obter a probabilidade de ruptura associada à confiabilidade da obra.
Os resultados apresentados neste primeiro estudo, demonstram a influência
do fator de segurança na estimativa da probabilidade de ruptura. No presente estudo
o fator de segurança crítico considerado foi FS = 1. Para este valor as cargas de
solicitação igualam-se a capacidade de resistência, neste momento, nada se pode
garantir , uma vez que a resistência máxima será totalmente solicitada pelas cargas
atuantes. O principal objetivo na aplicação de um coeficiente de segurança, é
fornecer a obra uma margem de segurança que reflita as incertezas inerentes dos
parâmetros de cálculo e dos erros adversos ocorridos durante os cálculos.
É evidente que, quanto maior o fator de segurança, maior será a garantia que,
se alguma falha ocorrer, haverá uma folga na resistência capaz de suportar esta
deficiência. Uma análise da Equação 4.4 ilustra o que foi dito.
FS = R / S
(4.4)
onde;
FS = Fator de segurança
R = Resistência
S = Solicitação
Analisando as variáveis desta equação, percebe-se que para um coeficiente
de segurança FS = 1, a carga de solicitação iguala-se a capacidade de resistência,
portanto, neste ponto a probabilidade de ruptura é de 50%, ou seja, 1/2. Para
valores de FS > 1, significa que a capacidade de resistência é maior que a
solicitação, portanto a favor da segurança, deste modo a probabilidade de ruptura é
menor que 50%. Desta maneira, para uma mesma distribuição, quanto maior o fator
de segurança FS, maior será à margem de segurança, e maior o índice de
confiabilidade da obra, conseqüentemente menor a probabilidade de ruptura da
mesma.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
68
Neste sentido, o resultado deste primeiro estudo, referente à probabilidade
de ruptura da obra, visou determinar, através das incertezas presentes nos
parâmetros, valores do coeficiente de segurança FS representativo das variações
presente nas análises.
Observando a Figura 4.2 e a Tabela 4.14, no caso de um coeficiente de
segurança crítico FS = 1, o estudo veio a confirmar a veracidade da Equação 4.2,
fornecendo um índice de confiabilidade β = 0,00 e uma probabilidade de ruptura não
aconselhável
Pf (φ) = 1/2. Ainda na Figura 4.2, é fácil perceber que para um
coeficiente de segurança FS = 2,5, existe um índice de confiabilidade β = 2,25 que
implica, de acordo com a Tabela 4.16 numa probabilidade de ruptura Pf (φ) = 1/82.
A probabilidade de ruptura associada ao índice de confiabilidade da obra,
representou de maneira satisfatória as incertezas presentes no cálculo da
capacidade de carga, portanto o coeficiente de segurança mais adequado para a
margem de segurança desejada pôde ser escolhido com uma maior confiança.
Os resultados deste primeiro estudo estão compilados nas Tabelas 4.7 a 4.14. e na
Figura 4.2 (FS x β).
Tabela 4.7 - Cálculo de β para a seguinte configuração:
•
Repique elástico, nega e SPT da obra;
•
Teoria determinística: Uto/Chellis;
•
E [FS] = 4,00
Parâmetro Xi
N
C3
C2
S
E[Xi] Xi+δXi
10,6000 11,6600
0,0062 0,0068
0,0014 0,0016
0,0057 0,0063
2
FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi) xV[Xi]
%
4,2240 -0,2095
2,53E+01
1,11E+00
9,76E+01
4,0592 -92,1297
6,88E-07
5,84E-03
5,13E-01
4,0284 -184,2594
4,08E-07
1,38E-02
1,22E+00
4,0548 -92,1297
9,47E-07
8,04E-03
7,07E-01
1,137770
100,000
Variância V[FS]
1,066663
Desv. [FS]
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
69
Tabela 4.8 – Cálculo de β para a seguinte configuração:
•
Repique elástico, nega e SPT da obra;
•
Teoria determinística: Uto/Chellis;
•
E [FS] = 3,50
Parâmetro Xi
E[Xi] Xi+δXi
FSi
N
10,6000 11,6600 3,6955
C3
δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi]
%
-0,1833
2,53E+01
8,50E-01
9,76E+01
0,0062 0,0068
3,5514 -80,6030
6,88E-07
4,47E-03
5,13E-01
C2
0,0014 0,0016
3,5244 -161,2060
4,08E-07
1,06E-02
1,22E+00
S
0,0057 0,0063
3,5475 -80,6030
9,47E-07
6,15E-03
7,07E-01
Variância V[FS]
0,870879
100,000
Desv. [FS]
0,933209
Tabela 4.9 – Cálculo de β para a seguinte configuração:
•
Repique elástico, nega e SPT da obra;
•
Teoria determinística: Uto/Chellis;
•
E [FS] = 3,00
Parâmetro Xi
N
C3
C2
S
E[Xi] Xi+δXi
10,6000 11,6600
0,0062 0,0068
0,0014 0,0016
0,0057 0,0063
2
FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi) xV[Xi]
%
3,1667 -0,1570
2,53E+01
6,24E-01
9,76E+01
3,0432 -69,0703
6,88E-07
3,28E-03
5,13E-01
3,0201 -138,1407
4,08E-07
7,78E-03
1,22E+00
3,0399 -69,0703
9,47E-07
4,52E-03
7,07E-01
0,639497
100,000
Variância V[FS]
0,799686
Desv. [FS]
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
70
Tabela 4.10 – Cálculo de β para a seguinte configuração:
•
Repique elástico, nega e SPT da obra;
•
Teoria determinística: Uto/Chellis;
•
E [FS] = 2,50
E[Xi] Xi+δXi
10,6000 11,6600
0,0062 0,0068
0,0014 0,0016
0,0057 0,0063
Parâmetro Xi
N
C3
C2
S
FSi
2,6389
2,5360
2,5168
2,5333
δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi]
-0,1309
-57,5586
-115,1172
-57,5586
2,53E+01
6,88E-07
4,08E-07
9,47E-07
Variância V[FS]
Desv. [FS]
4,33E-01
2,28E-03
5,41E-03
3,14E-03
0,444095
0,666405
%
9,76E+01
5,13E-01
1,22E+00
7,07E-01
100,000
Tabela 4.11 – Cálculo de β para a seguinte configuração:
•
Repique elástico, nega e nega da obra;
•
Teoria determinística: Uto/Chellis;
•
E [FS] = 2,00
Parâmetro Xi
E[Xi] Xi+δXi
FSi
δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi]
%
N
10,6000 11,6600 2,1114
-0,1047
2,53E+01
2,77E-01
9,76E+01
C3
0,0062
-46,0529
6,88E-07
1,46E-03
5,13E-01
0,0068
2,0291
C2
0,0014
0,0016
2,0137
-92,1058
4,08E-07
3,46E-03
1,22E+00
S
0,0057
0,0063
2,0269
-46,0529
9,47E-07
2,01E-03
7,07E-01
Variância V[FS]
0,284295
100,000
Desv. [FS]
0,533193
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
71
Tabela 4.12 – Cálculo de β para a seguinte configuração:
•
Repique elástico, nega e SPT da obra;
•
Teoria determinística: Uto/Chellis;
•
E [FS] = 1,50
Parâmetro Xi
N
C3
C2
S
E[Xi] Xi+δXi
10,6000 11,6600
0,0062 0,0068
0,0014 0,0016
0,0057 0,0063
2
FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi) xV[Xi]
%
1,5834 -0,0785
2,53E+01
1,56E-01
9,76E+01
1,5216 -34,5352
6,88E-07
8,20E-04
5,13E-01
1,5101 -69,0703
4,08E-07
1,95E-03
1,22E+00
1,5200 -34,5352
9,47E-07
1,13E-03
7,07E-01
0,159874
100,000
Variância V[FS]
0,399843
Desv. [FS]
Tabela 4.13 – Cálculo de β para a seguinte configuração:
•
Repique elástico, nega e SPT da obra;
•
Teoria determinística: Uto/Chellis;
•
E [FS] = 1,00
Parâmetro Xi
N
C3
C2
S
E[Xi] Xi+δXi
10,6000 11,6600
0,0062 0,0068
0,0014 0,0016
0,0057 0,0063
2
FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi) xV[Xi]
%
1,0556 -0,0523
2,53E+01
6,93E-02
9,76E+01
1,0144 -23,0234
6,88E-07
3,65E-04
5,13E-01
1,0067 -46,0469
4,08E-07
8,65E-04
1,22E+00
1,0133 -23,0234
9,47E-07
5,02E-04
7,07E-01
0,071055
100,000
Variância V[FS]
0,266562
Desv. [FS]
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
β
Pf (φ)
2,8143
1/409
2,6802
1/272
2,5013
1/162
2,2512
1/82
1,8763
1/33
1,2508
1/9
0,0000
1/2
FS
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
72
Tabela 4.14 – Fator de segurança e probabilidade de ruptura associada ao índice de
confiabilidade.
Índice de confiabilidade
3,000
2,000
1,000
0,000
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Fator de Segurança
Figura 4.2: Fator de segurança x Índice de confiabilidade
O segundo e terceiros estudos, referentes às análises dois e três do item
4.2.3.1 respectivamente, tiveram como objetivo verificar a influência relativa dos
parâmetros na confiabilidade de uma obra a ser realizada na região central de
Campos dos Goytacazes, com o propósito de regionalizar o estudo da análise de
confiabilidade. Deve-se observar que o estudo tinha como premissa a existência de
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
73
uma camada de solo sob a ponta da estaca, dentro dos respectivos solos sugeridos
na Tabela 4.1.
No primeiro estudo, referente à simulação com o valor do deslocamento
elástico do solo C3, foi mantido o parâmetro nega S, Nspt e repique K da obra, sendo
a variação do C3 obedecendo ao intervalo de variação sugerido na Tabela 4.1. Feito
os devidos cálculos de média, desvio padrão e variância dos parâmetros
considerados aleatórios, iniciou-se a análise pela obtenção da capacidade de carga
utilizando as formulações de Chellis
e Uto, primeiramente pelo método
determinístico considerando todos os parâmetros com seu valor médio e depois
considerando uma variação de 10% do valor médio de cada parâmetro considerado
aleatório. Para uma análise abrangente, a confiabilidade foi determinada,
considerando fatores de segurança num intervalo arbitrado entre FS = 1 e FS = 4.
O estudo demonstrou que o parâmetro deslocamento elástico do solo
influencia na confiabiabilidade da obra, portanto na sua probabilidade de ruptura.
Deste modo, ficou evidenciado que a quantificação correta deste parâmetro é
fundamental para uma análise de confiabilidade bem sucedida.
Neste escopo, numa situação de projeto de fundações dentro da região de
contorno utilizada nesta análise, o engenheiro geotécnico poderá servir-se das
previsões aqui expostas garantido uma maior solidez na determinação do coeficiente
de segurança mais adequado, ou até mesmo em decidir pela execução de
sondagens adicionais. E no caso do projeto de fundações em outras regiões e
outras condições os resultados são importantes como experiência na avaliação
prévia dos parâmetros de cálculo. Uma comparação entre o fator de segurança e o
índice de confiabilidade para cada intervalo de variação de C3 é feita na Tabela 4.15.
e na Figura 4.3.
FS
4
3
2
1
C31
C32
β
β
4,15
3,48
3,69
3,09
2,76
2,32
0,00
0,00
Tabela 4.15 – Fator de segurança x índice de confiabilidade
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
74
Índice de Confiabilidade
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
C31
1,5
C32
1,0
0,5
0,0
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
Fator de Segurança
Figura 4.3 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade para intervalos
de variação de C3.
Os resultados mostram ainda que, a determinação do coeficiente de
segurança e conseqüentemente do índice de confiabilidade, é sensível a uma
variação no valor do deslocamento elástico do solo.
Analogamente ao estudo da confiabilidade baseado na variação do
deslocamento elástico do solo, realizou-se a análise de confiabilidade baseada nos
ensaios de SPT executados em torno da região da obra. Neste estudo referente à
análise três descrita no item 4.2.3.1 foram mantidos a nega S, o deslocamento
elástico do solo C3 e o encurtamento elástico da estaca C2 da obra. Para cada
ensaio SPT executado, fez-se o estudo da confiabilidade, que se iniciou pelo cálculo
do valor médio, variância e desvio padrão dos parâmetros considerados aleatórios,
ainda aqui, nega, deslocamento e encurtamento elástico e Nspt. Depois foi
determinada a capacidade de carga pelo método determinístico e pelo método
probabilístico, observando-se coeficientes de segurança no intervalo entre FS = 1 e
FS = 4.
O estudo da confiabilidade é proposto com objetivo de elucidar as incertezas
presentes nos parâmetros de cálculo, que ocasionalmente poderão refletir na
probabilidade de ruptura da obra. Por uma análise das Equações 2.29 e 2.52, fica
evidente a influência da variância na determinação do índice de confiabilidade β e
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
75
neste âmbito, este estudo procurou visar uma análise do comportamento do
parâmetro Nspt, observando a sua influência na segurança da obra.
O índice de confiabilidade obtido para cada ensaio SPT sugerido, demonstrou
refletir de maneira coerente as incertezas presentes nos parâmetros de cálculo, e
mais especificamente as do parâmetro Nspt. A porcentagem de influência do
parâmetro Nspt na obtenção do índice de confiabilidade, em torno de 80 a 95% para
o conjunto de ensaios SPT, justifica a importância de uma análise deste parâmetro
para a obtenção de um coeficiente de segurança adequado.
Neste ensejo, o estudo procurou visar uma avaliação do comportamento do
índice de confiabilidade em relação à variância do parâmetro Nspt. Observando o
resultado das análises, verificou-se que um aumento na variância do parâmetro Nspt,
refletia num decréscimo do índice de confiabilidade β, o confirma a proposição da
Equação 2.52. Uma ilustração de tal comportamento pode ser visualizada através da
Tabela 4.16 e da Figura 4.4, onde existem dois ramos bem diferenciados. O intervalo
entre os ramos, ilustra um aumento substancial da variância, provocando uma queda
considerável no valor do índice de confiabilidade. Disto advém que a probabilidade
de ruptura associada ao índice de confiabilidade será diferente para cada projeto,
dependendo do ensaio SPT utilizado no cálculo da capacidade de carga. Portanto, é
interessante para o projeto, que o engenheiro geotécnico faça uma avaliação da
sondagem
que
fornecerá
o
heterogeneidade do substrato
parâmetro
de
resistência
Nspt,
avaliando
a
que o compõe e, assim, servir-se das análises
probabilísticas como complemento das análises determinísticas.
É sabido que o projeto de fundações é baseado na interação solo e elemento
estrutural. Logo, é relevante o estudo das incertezas contidas nos parâmentros
representativos dos aspectos geotécnicos, aqui o parâmetro Nspt. Por isso, o estudo
da influência deste parâmetro na confiabilidade pode ser entendido como um
suporte na avaliação prévia dos aspectos geotécnicos pertinentes ao projeto.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
N1
VAR
N2
10,70 13,90
FS
4
3
2
1
N3
8,33
N4
N5
37,30 56,22
N6
9,32
76
N7
N8
42,00 30,66
N9
N10
45,9
17,76
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
4,14
3,98
4,79
2,40
2,22
4,55
2,54
3,80
2,38
3,63
3,68
3,54
4,26
2,13
1,98
4,04
2,26
3,38
2,11
3,23
2,76
2,65
3,20
1,60
1,48
3,03
1,69
2,53
1,59
2,42
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Índice de Confiabilidade
Tabela 4.16 – Relação entre a variância e o índice de confiabilidade.
4,0
N1
3,5
N2
3,0
N3
2,5
N4
2,0
N5
N6
1,5
N7
1,0
N8
0,5
N9
0,0
N10
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Fator de Segurança
Figura 4.4 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade para Nspt em torno da
região da obra
As planilhas e tabelas de cálculo para as análises dois e três respectivamente
estão apresentadas no anexo 2.
4.3 – Interpretação dos resultados
No estudo da probabilidade de ruptura da obra, o índice de confiabilidade
correspondente aos fatores de segurança médios, contidos no intervalo entre FS=1
e FS=4, foram fortemente influenciados principalmente pelo parâmetro de resistência
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
77
a penetração Nspt devido à sua grande variância. Observou-se também que o
parâmetro deslocamento elástico do solo C3 forneceu pouca influência na
confiabilidade, haja visto, que sua variância foi um pouco prejudicada pela
subjetividade imposta no intervalo de variação. Já o parâmetro encurtamento
elástico da estaca C2, forneceu maior influência na confiabilidade do que C3, pois
apresentou uma variância mais considerável. O parâmetro nega S, forneceu uma
influência intermediária, menor que C2 e maior que C3. A porcentagem de influência
de cada um desses parâmetros está ilustrada na Figura 4.5.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Nspt
C3
C2
S
1
% de Influência
Figura 4.5 - Porcentagem de influência de cada parâmetro na confiabilidade.
Tratando-se do segundo estudo, referente à análise dois, foi verificado que o
índice deslocamento elástico do solo C3 influência de maneira considerável na
determinação do índice de confiabilidade. Portanto seu valor deve ser estimado
através de instrumentação das estacas, pois é a melhor maneira de se obter o valor
deste índice. Na conclusão do estudo baseado nas configurações da análise três, foi
verificado que o índice de resistência à penetração é o parâmetro aleatório que mais
influencia na confiabilidade da obra. Portanto seu valor deve ser estimado
observando-se o maior número possível de sondagens. Os resultados resumidos na
Figura 4.4, demonstraram que o estudo forneceu dois conjuntos de índice de
confiabilidade ilustrados por dois
ramos bem diferenciados, isto se deve a um
aumento substancial no valor da variância do parâmetro Nspt entre um ramo e outro.
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
78
De um modo geral os resultados dos estudos referente às análises dois e três
foram eficazes na demonstração da importância da variância e do valor médio dos
parâmetros C3 e Nspt na determinação do índice de confiabilidade, e portanto na
probabilidade de ruptura.
4.4 - Avaliação dos fatores de segurança referentes à confiabilidade admissível
O valor do índice de confiabilidade deve representar de forma direta as
incertezas presentes nos dados de análise. Portanto, para um considerado β
admissível, quanto maior a incerteza presente, maior deverá ser o fator de
segurança recomendável para confiabilidade do projeto em questão.
Whitman (1984) apresenta no item 2.4 através da Figura 2.15, uma avaliação
sobre o risco adotado em alguns projetos de engenharia civil. De acordo com a
ilustração, uma confiabilidade admissível mínima bastante razoável para um projeto
de fundação bem elaborado, é β = 3,00 que corresponde a uma probabilidade de
ruptura pf ≅ 1/770. Considerando que o fator de segurança e os parâmetros
aleatórios são distribuídos normalmente e que as incertezas presentes nos
parâmetros de cálculo influenciam de modo bastante significativo na confiabilidade
da obra, os resultados do estudo forneceram uma base para escolha do coeficiente
de segurança adequado. Apesar de ter-se feito monitoração em apenas 10% das
estacas, e do deslocamento elástico ter sido baseado em estudos regionais e sua
distribuição influenciada por conceitos subjetivos, a análise foi bem sucedida.
Portanto, o fator de segurança médio recomendado para o caso da obra em estudo,
deveria ser no mínimo FS = 3,00, o que forneceria um índice de confiabilidade β =
2,50 com uma probabilidade de ruptura associada Pf (φ) = 1/162.
E preciso salientar que a escolha do fator de segurança adequado deve estar
relacionada ao grau de segurança que se deseja, assim, para projetos geotécnicos
deve-se fazer uma avaliação da importância do projeto a fim de determinar
coeficientes de segurança satisfatórios do ponto de vista da economia e da
segurança. Como ilustração do que foi dito, podemos considerar um projeto de
fundações para execução de um depósito de materiais para a construção de uma
barragem , e o projeto de fundações de uma barragem em si. É evidente que o
coeficiente de segurança no projeto de fundação do depósito deve ser menor que o
Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas
79
coeficiente de segurança da barragem, haja vista, que o depósito é uma construção
onde a probabilidade de ruptura é menor, pois é uma construção momentânea, e
portanto, que envolve perdas materiais e humanas bem menores que um possível
rompimento da barragem, onde as conseqüências da ruptura seriam muito mais
graves sob o ponto de vista financeiro e mais ainda sob o ponto de vista das perdas
humanas, logo, a quantificação equilibrada do fator de segurança adequado é
essencial no projeto em que se esteja trabalhando.
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES
5.1 - Conclusões
A partir das análises de confiabilidade e probabilidade implementadas no
presente trabalho, apresentam-se as seguintes conclusões:
A adoção de um fator de segurança quanto à capacidade de carga de
fundações deve fundamentar-se na análise de confiabilidade, haja vista que esta
contempla as incertezas que afetam o cálculo determinístico.
Os índices de confiabilidade, relativos à capacidade de carga, foram
fortemente influenciados pela variância obtida na análise estatística do parâmetro
Nspt do ensaio SPT. Neste caso, este parâmetro é determinante na escolha de um
fator de segurança adequado.
A variância dos parâmetros deslocamento e encurtamento elástico, tiveram
pouca influência na estimativa do índice de confiabilidade. Isto não implica que estes
parâmetros devam ser desconsiderados na análise probabilística, pelo contrário.
Devido à influência de fatores externos no momento da medição do repique elástico,
como erros humanos, acuidade de leituras, e erros inerentes à variabilidade espacial
do solo, é que se deve fazer uma maior quantidade possível de medições visando
obter um conjunto de dados representativos da real dispersão do parâmetro. E por
fim, deve ser considerado que tal influência ficou comprometida devido ao
incremento subjetivo dado ao parâmetro aleatório C3, que por sua vez, refletiu no
parâmetro C2.
A variância da nega por sua vez, apesar de ter influenciado pouco na
estimativa do índice de confiabilidade, deve ser considerada fundamental nas
análises de confiabilidade, haja vista, que sua medição sofre das mesmas
influências que o repique elástico.
Capítulo 5 – Conclusões e Considerações
81
De um modo geral, ficou evidenciada a magnitude das incertezas e
variabilidade do solo em geral, confirmando assim, uma necessidade de
aprofundamento das técnicas e metodologias adotadas no meio geotécnico.
5.2 – Considerações
A análise de confiabilidade do presente estudo visou obter um índice de
confiabilidade relativo, pois é sabido que apenas alguns parâmetros foram
considerados aleatórios. Portanto, a probabilidade de ruptura associada a este
índice de confiabilidade também é uma probabilidade de ruptura relativa. Desta
maneira, os resultados obtidos devem ser encarados como uma forma de avaliação
ponderada do coeficiente de segurança.
No presente trabalho, a análise estatística do parâmetro de resistência Nspt foi
executada com base em ensaios SPT. Entretanto, a metodologia proposta é também
aplicável na situação onde se dispõe de outros ensaios, como o CPT, onde se
deverá utilizar coeficientes de correlações apropriados.
5.3 - Sugestões
A seguir apresentam-se algumas sugestões para futuras pesquisas, a fim de
dar prosseguimento ao tema abordado no presente trabalho:
Aplicar nas configurações da fundação analisada no presente trabalho outros
métodos probabilísticos (Método das Estimativas Pontuais e Simulação de Monte
Carlo) e, desta forma, comparar os resultados obtidos com os apresentados através
do método do Segundo Momento de Primeira Ordem.
Execução de análises similares de casos documentados de sucessos e
insucessos referentes ao desempenho de fundações, visando o acúmulo de
experiência na determinação de índices de confiabilidade admissíveis, nos mesmos
Capítulo 5 – Conclusões e Considerações
82
moldes apresentados por Sandroni e Sayão (1992), em torno do desempenho de
taludes.
Execução de análises similares utilizando outros métodos de cálculo de
capacidade de carga, confrontando com os resultados obtidos por esta análise.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Anjos, G. J. M. (1999). Aplicação de Técnicas Probabilísticas e estatísticas na
Avaliação da Representabilidade
de Ensaios In Situ. Tese (Mestrado em
Geotecnia), Rio de Janeiro-RJ, Pontificia Universidade Católica-Rio, PUC, 160p.
Aoki, N. (1986). Controle “in situ” da Capacidade de Carga de Estacas PréFabricadas Via Repique Elástico da Cravação.ABMS, ABEF, IESP.
Associação Brasileira de Normas Técnicas (1986) Referências Bibliográficas: NBR
6122. Rio de Janeiro.
Borga P. C. (2001). Avaliação de Parâmetros Geotécnicos Para Projetos de
Capacidade de Suporte de Estacas Através de Ensaios In Situ. Tese (Mestrado em
Geotecnia), Rio de Janeiro-RJ, Pontifícia Universidade Católica-Rio, PUC, 100p.
Briaud, J. L., Tucker, L. M., 1988. Measured and predicted axial response of 98 piles.
Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, vol.114, n°9, pp. 984- 1001.
Burland, J. B., 1973. Shaft friction of piles in clay – A simple fundamental approach.
Ground Engineering, vol.6, n°3, pp. 30-42.
Chellis, R. D. (1961). Pile Fundations.
Chowdhurry, R. N. (1984). State-of-the-Art-Report on Recent Developments in
Landslides Studies: Probabilistic Methods. 4th. International Simposium of
Landslides, Toronto, Canada.
Christian, J. T., Ladd, C. C. e Baecher, G. B. (1994). Reliability and Probability in
Stability Analysis. Proc. Specialty Conf. On Stability and Perf. Of Slopes and
Embankments-II, ASCE, New York, NY, vol.2, 1071-1111.
Referências Bibliográficas
84
Christian, J. T., Ladd, C. C. e Baecher, G. B. (1994). Reliability Applied to Slope
Stability Analysis. J. Geotech. Eng., ASCE, vol.120 (12), 2180-2207.
Décourt, L. (1982). Prediction of the Bearing Capacity of Piles Based Exclusively on
Values of the SPT. Proc. 2nd European Symposium on Penetration Testing,
Amsterdam, vol.1, pp. 29-34.
Décourt, L., Quaresma, A. R. (1978). Capacidade de Carga de Estacas a Partir de
Valores de SPT. Anais do VI Congresso Brasileiro de Mecânica dos Solos e
Engenharia de Fundações (COBRAMSEF), Rio de Janeiro, vol.1, pp. 45-53.
Dell’avanzi, E. (1995). Confiabilidade e Probabilidade em Análises de Estabilidade
de Taludes. Tese (mestrado em Geotecnia), Rio de Janeiro-RJ, Pontificia
Universidade Católica-Rio, PUC, 135p.
Duncan, J. M. (2000). Factors of Safety and Reliability in Geotechnical Engineering.
Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, vol. 126 (04), 307-316.
Flaate, K., Selnes, P., 1977. Side friction of piles in clay. Proc. 9th International
Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Tokyo, vol.1, pp. 517522.
Fleming, W. G. K., Weltman, A. J., Randolph, M. F., Elson, W. K., 1985. Piling
engineering. New York: Surrey University Press, Halsted Press. Citado por Poulos
(1989).
Filho, J. M. S. e Abreu, P. S. B. (1989). Procedimentos Para Controle de Cravação
de Estacas Pré-Moldadas de Concreto. Sonda Engenharia.
Fontenelle, A. S., Vieira, V. P. P. B. (2001). Análise de Risco Aplicada à Estabilidade
de Tulude da Barragem de Terra no Estado do Ceará. Segurança de barragens no
Ceará. Publicação do Cogerh.
Referências Bibliográficas
85
Hachich, W., Falconi, F. F., Saes, J. L., Frota, R. G. O., Carvalho, C. S., Niyama S.
de. (1998). Fundações: Teoria e Prática. 2. ed. São Paulo, PINI, 751 p.
Hasofer, A. M., Lind, N. (1974). An Exact and Invariant First-Order Reliability format.
J. Engrg. Mech., ASCE, vol 100, 111-121.
Hoek, E. (1998). Reliability of Hoek-Brown Estimates of Rock Mass Properties and
impact on Design. Int. J. Rock Mech. Min. Sci, vol 35 (1), 63-68.
Isenhower, W. M. (1992). Reliability Analysis for Deep-Seated Stability of pile
Foundations. Scientific services Program, 67p.
Isenhower, W. M. e Mosher R. L. (1996) Evaluation of Reliability of Pile-Supported
Structures. Cuncertainty in the geological environment: Geothecnicas special
publication vol 1, pp. 667-684.
Jaksa, M. B., Brooker, P. I. e Kaggwa, W. S. (1996). The Influence of Spatial
Variability on the Design of Pile Foundations. Proceedings 7th Australia New Zealand
Conf. on Geomechanics, Adelaide, pp. 526-531.
Kerisel, J., 1961. Foundation profondes en milieux sableux: variation de la force
portante limite en foction de la densité, de la profondeur, du diamètre et de la vitesse
d’enfoncement. Proc. 5th International Conference on Soil Mechanics and
Foundation Engineering, Paris, vol.2, p. 73-83.
Kraft, L. M., Lyons, C. G., 1974. State-of-the art: Ultimate axial capacity of grounted
piles. Proc. 6th Annual OTC, Houston Paper OTC 2081, pp.487-503. Citado por
Poulos (1989).
Ladd, C. C. (1991). Stability Evaluation During Staged Construction. Journal of
Geotechnical Engineering, ASCE, vol 117, 540-615.
Lambe, T.W. e Whitman, R.V. (1969). Soil Mechanics. Ed. J. Wiley and Sons, New
York.
Referências Bibliográficas
86
Low, B. K. (1996). Pratical Probabilistc Approach Using Spreadsheet. Proceedings,
Uncertainty in Geologic Environment: From Theory to Practic. ASCE Geotechnical
Special Publication, vol 2, 1284-1302.
Low, B. K. e Tang, W. H. (1997). Probabilisic Slope Analysis Using Janbu’s
Generalized Procedure of Slices. Computers and Geotechics, vol 21 (2), 121-142.
Martins, F. F.; Martins, J. B.; Vieira C. F. S.; Valente B. D. S. S. (2002). Probabilidade
de Rotura de Taludes: Aplicação a Taludes de um Solo Residual Granítico.
Geotecnia, Revista da sociedade Portuguesa de Geotecnia, nº 95, 49-56.
McClelland, B., 1974. Design of deep penetration piles for ocean structures. Journal
of Geotechnical Engineering, ASCE, vol.100, n° GT7, pp. 705-747.
Meyerhof, G.G., 1976. Bearing capacity and settlement of pile foundations. Journal of
Geotechnical Engineering, ASCE, vol.102, n° GT3, pp. 197-228.
Meyerhof, G.G., 1961. The ultimate bearing capacity of wedge shaped foundations.
Proc. 5th International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering,
Paris, vol.2, pp. 105-109.
Meyerhof, G.G., 1959. Cast in-situ bored piles in London clay. Géotechnique, vol.9,
n°4, pp. 153-173.
Meyerhof, G.G., 1957. Research on determining the density of sands by spoon
penetration test. Proc. 4th International Conference on Soil Mechanics and
Foundation Engineering, London, vol.3, p. 110. Citado por Skempton (1986).
Meyerhof, G.G., 1956. Penetration test and bearing capacity of cohesionless soils.
Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, vol.82, n° SM1,
Proc. Paper 866.
Referências Bibliográficas
87
Morlá-Catalán, J. e Cornell, C. A. (1976). Earth Slope Reliability by a Level- Crossing
Method. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, vol. 102 (GT6),
591-604.
Parry, R.H.G., Swain, C. W., 1977. Effective stress methods of calculating skin
friction on driven piles in soft clay. Ground Engineering, vol.10, n°3, pp. 24-26.
Peck, R. B., 1958. A study of the comparative behavior of friction piles. Special
Report 36, Highway Research Board, Washington D. C., pp.1-72. Citado por
Meyerhof (1976).
Potyondy, J. G., 1961. Skin friction between various soils and constructions
materials. Géotechnique, vol.11, n°4: 339-353.
Poulos, H. G., 1988. Jaeger Memorial Lecture: The mechanics of calcareous
sediments. Proc. 5th Australia-New Zealand Conference on Geomechanics, pp.
8-41. Citado por Poulos (1989).
Ribeiro, R. C. H. (2000). Confiabilidade e Probabilidade em Geotecnia de Fundações
Superficiais. Tese (Mestrado em Geotecnia), Rio de Janeiro-RJ, Pontifícia
Universidade Católica-Rio, PUC, 96p.
Schnaid F. (2000). Ensaios de Campo e Suas Aplicações à Engenharia de
Fundações. Oficina de textos, 189p.
Skempton, A.M. (1986). Standard Penetration Test Procedures and the Effects in
Sands of Overburden Pressure, Relative Density, Particle Size, Ageing and
Overconsolidation. Géotechnique, vol.36, n°3, pp. 425-447.
Stas, C. V., Kulhawy, F. H., 1984. Critical evaluation of design methods for
foundation under axial uplift and compression loading. Report for EPRI, n°EL3771.
Cornell University. Citado por Poulos (1989).
Referências Bibliográficas
88
Tomlinson, M. J., 1957. The adhesion of piles driven in clay soils. Proc. 4th
International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, London,
vol.2, pp. 66-71. Citado por Sladen (1992).
Tomlinson, M. J. (1970). Some Effects of Pile Driving on Skin Friction. Behavior of
Piles, Institution of Civil Engineers, London, pp.107-114. Citado por Nottingham
(1975).
Uto, K., Fuyuki, M., Sakura, M., Hashyzume, T., Oshima, I., Sakai, Y., Watananabe
M., Watanabe, T., Sato, S., Naito, S., Kumamoto, K., Eya, S. (1985). Dynamic
Bearing Capacity, Wave Theory, Pile Driving Control. Proceedings of the
International Symposium on Penetrability and Drivability of Piles. San Francisco, Vol.
I, pp 201-204.
Vesic, A. S., 1977. On significance of residual loads for load response of piles. Proc.
9th International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Tokyo,
vol.3, pp. 374-379.
Vesic, A. S. (1967). Ultimate Loads and Settlements of Deep Foundations in Sand.
Proc. of the Symposium on Bearing Capacity and Settlement of Foundations, Duke
University, USA, pp. 53-58. Citado por Lambe (1969).
Whitman, R. V. e Bailey, W. A. (1967). Use of Computers for Slope Stability Analysis.
Journal of Soil Mechanics and Fundations Division, ASCE, vol 93, 475-498.
Whitman, R. V. (1984). Evaluating Calculed Risk in Geotechnicai Engineenng.
Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, vol. 110 (2), 145-188.
Wu, T. H. and Kraft, L. M. (1970). Safety Analysis of Slopes. Journal of Soil
Mechanics and Fundations Engineering, ASCE, vol 96, 609-630.
Wolff, T. F., Wang, W. (1993). Relibility Analysis of Navigation Structures. Proc.
Spec. Conf. On Geotechnical Pratice in Dam Rehabilitation, ASCE, New York, 159173.
Referências Bibliográficas
Woodward, R. J., Boitano, J. D., 1961. Pile loading tests in stiff clays. Proc. 5th
International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Paris,
vol.2, pp. 177-184.
89
ANEXO 1
Tabela A.1 – Distribuição acumulada normal
F ( z) =
Z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5
0,00
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,99995
0,999968
0,999979
0,999987
0,999991
0,999995
0,999997
0,9999979
0,9999987
0,9999992
0,9999995
0,9999997
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,99995
0,999970
0,999980
0,999987
0,999992
0,999995
0,999997
0,9999980
0,9999988
0,9999992
0,9999995
0,9999997
0,02
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,99996
0,999971
0,999981
0,999988
0,999992
0,999995
0,999997
0,9999981
0,9999988
0,9999993
0,9999996
0,9999997
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9988
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,99996
0,999972
0,999982
0,999988
0,999993
0,999995
0,999997
0,9999982
0,9999989
0,9999993
0,9999996
0,9999998
1
2π
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,99996
0,999973
0,999983
0,999989
0,999993
0,999995
0,999997
0,9999983
0,9999989
0,9999993
0,9999996
0,9999998
z
∫− ∞
2
e − (1 / 2)t dt
0,05
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,99996
0,999974
0,999983
0,999989
0,999993
0,999996
0,999997
0,9999983
0,9999990
0,9999994
0,9999996
0,9999998
0,06
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,99996
0,999975
0,999984
0,999990
0,999993
0,999996
0,999997
0,9999984
0,9999990
0,9999994
0,9999996
0,9999998
0,07
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,99996
0,999976
0,999985
0,999990
0,999994
0,999996
0,999998
0,9999985
0,9999991
0,9999994
0,9999997
0,9999998
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,99997
0,999977
0,999985
0,999991
0,999994
0,999996
0,999998
0,9999986
0,9999991
0,9999995
0,9999997
0,9999998
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,99997
0,999978
0,999986
0,999991
0,999994
0,999996
0,999998
0,9999986
0,9999992
0,9999995
0,9999997
0,9999998
91
ANEXO 2
Tabela A2.1 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT da obra e C3 = 0 a 0,0025 m
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
δFS/δN
-0,1419
-0,1242
-0,1064
-0,0887
-0,0857
-0,0822
-0,0806
-0,0710
-0,0671
-0,0620
-0,0575
-0,0532
-0,0503
-0,0474
-0,0448
-0,0424
-0,0403
-0,0384
-0,0355
δFS/δC3
-62,4176
-54,6155
-46,8132
-39,0110
-37,6948
-36,1562
-35,4331
-31,2088
-29,5276
-27,2562
-25,3093
-23,4066
-22,1457
-20,8430
-19,6850
-18,6490
-17,7165
-16,8729
-15,6044
δFS/δC2 δFS/δS
-124,8352 -62,4176
-109,2309 -54,6155
-93,6264 -46,8132
-78,0220 -39,0110
-75,3895 -37,6948
-72,3124 -36,1562
-70,8662 -35,4331
-62,4176 -31,2088
-59,0551 -29,5276
-54,5124 -27,2562
-50,6187 -25,3093
-46,8132 -23,4066
-44,2914 -22,1457
-41,6860 -20,8430
-39,3701 -19,6850
-37,2980 -18,6490
-35,4331 -17,7165
-33,7458 -16,8729
-31,2088 -15,6044
V[FS] DES [FS]
0,5222 0,7227
0,3998 0,6323
0,2938 0,5420
0,2040 0,4517
0,1905 0,4364
0,1752 0,4186
0,1683 0,4102
0,1306 0,3613
0,1169 0,3419
0,0996 0,3156
0,0859 0,2930
0,0734 0,2710
0,0657 0,2564
0,0582 0,2413
0,0519 0,2279
0,0466 0,2159
0,0421 0,2051
0,0382 0,1954
0,0326 0,1807
E[FS]
4,00
3,50
3,00
2,50
2,42
2,32
2,27
2,00
1,89
1,75
1,62
1,50
1,42
1,34
1,26
1,20
1,14
1,08
1,00
β
4,151
3,954
3,690
3,321
3,244
3,146
3,097
2,768
2,610
2,366
2,122
1,845
1,635
1,391
1,147
0,904
0,660
0,416
0,000
92
Tabela A2.2 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT da obra e C3 = 0,0025 a 0,0050 m
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
V[FS] DES [FS] E[FS]
β
δFS/δN
δFS/δC3
-0,2014
-88,5827
-177,1654 -88,5827 1,0524
1,0259
4,76
3,670
-0,1691
-74,3633
-148,7267 -74,3633 0,7416
0,8612
4,00
3,484
-0,1479
-65,0678
-130,1357 -65,0678 0,5678
0,7535
3,50
3,318
-0,1268
-55,7724
-111,5448 -55,7724 0,4172
0,6459
3,00
3,097
-0,1057
-46,4769
-92,9539 -46,4769 0,2897
0,5382
2,50
2,787
-0,0895
-39,3701
-78,7402 -39,3701 0,2079
0,4559
2,12
2,451
-0,0845
-37,1816
-74,3632 -37,1816 0,1854
0,4306
2,00
2,322
-0,0724
-31,8260
-63,6520 -31,8260 0,1358
0,3686
1,71
1,932
-0,0671
-29,5276
-59,0551 -29,5276 0,1169
0,3420
1,59
1,720
-0,0634
-27,8862
-55,7724 -27,8862 0,1043
0,3229
1,50
1,548
-0,0575
-25,3093
-50,6187 -25,3093 0,0859
0,2931
1,36
1,233
-0,0537
-23,6221
-47,2441 -23,6221 0,0748
0,2736
1,27
0,989
-0,0504
-22,1457
-44,2914 -22,1457 0,0658
0,2565
1,19
0,746
-0,0474
-20,8430
-41,6860 -20,8430 0,0583
0,2414
1,12
0,502
-0,0448
-19,6850
-39,3701 -19,6850 0,0520
0,2280
1,06
0,258
-0,0424
-18,6490
-37,2980 -18,6490 0,0466
0,2160
1,00
0,015
-0,0423
-18,5908
-37,1815 -18,5908 0,0464
0,2153
1,00
0,000
δFS/δC2
δFS/δS
93
Tabela A2.3 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (1) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
DES [FS]
E[FS]
β
-0,2098 -92,2737 -184,5473 -92,2737 0,5248
0,7244
4,00
4,14
-0,1836 -80,7500 -161,4999 -80,7500 0,4019
0,6339
3,50
3,95
-0,1573 -69,2052 -138,4105 -69,2052 0,2952
0,5433
3,00
3,68
-0,1311 -57,6710 -115,3421 -57,6710 0,2050
0,4528
2,50
3,31
-0,1049 -46,1368 -92,2737 -46,1368 0,1312
0,3622
2,00
2,76
-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,0955
0,3091
1,71
2,29
-0,0787 -34,6026 -69,2052 -34,6026 0,0738
0,2717
1,50
1,84
-0,0732 -32,2119 -64,4238 -32,2119 0,0640
0,2529
1,40
1,57
-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,0537
0,2318
1,28
1,21
-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,0458
0,2140
1,18
0,85
-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0395
0,1987
1,10
0,49
-0,0524 -23,0654 -46,1308 -23,0654 0,0328
0,1811
1,00
0,00
δFS/δN δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS
V[FS]
94
Tabela A2.4 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (2) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
DES [FS]
E[FS]
β
-0,1942 -85,4221 -170,8442 -85,4221 0,5692
0,7544
4,00
3,98
-0,1699 -74,7218 -149,4436 -74,7218 0,4355
0,6599
3,50
3,79
-0,1456 -64,0511 -128,1023 -64,0511 0,3200
0,5657
3,00
3,54
-0,1214 -53,3792 -106,7583 -53,3792 0,2223
0,4714
2,50
3,18
-0,0971 -42,7008 -85,4015 -42,7008 0,1422
0,3771
2,00
2,65
-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,1209
0,3477
1,84
2,43
-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,0979
0,3129
1,66
2,11
-0,0728 -32,0256 -64,0511 -32,0256 0,0800
0,2828
1,50
1,77
-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,0680
0,2608
1,38
1,47
-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,0579
0,2407
1,28
1,15
-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0500
0,2235
1,19
0,83
-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,0435
0,2086
1,11
0,51
-0,0485 -21,3478 -42,6956 -21,3478 0,0355
0,1885
1,00
0,00
δFS/δN δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS
V[FS]
95
Tabela A2.5 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (3) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
DES [FS]
E[FS]
β
-0,2024 -89,0279 -178,0557 -89,0279 0,3915
0,6257
4,00
4,80
-0,1771 -77,8749 -155,7498 -77,8749 0,2996
0,5473
3,50
4,57
-0,1518 -66,7541 -133,5082 -66,7541 0,2201
0,4692
3,00
4,26
-0,1265 -55,6249 -111,2499 -55,6249 0,1528
0,3910
2,50
3,84
-0,1012 -44,5027 -89,0055 -44,5027 0,0978
0,3128
2,00
3,20
-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,0766
0,2767
1,77
2,78
-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,0620
0,2490
1,59
2,38
-0,0759 -33,3771 -66,7541 -33,3771 0,0550
0,2346
1,50
2,13
-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,0431
0,2075
1,33
1,58
-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,0367
0,1916
1,23
1,18
-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0316
0,1779
1,14
0,77
-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,0276
0,1660
1,06
0,37
-0,0506 -22,2466 -44,4932 -22,2466 0,0244
0,1564
1,00
0,00
δFS/δN
δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS
V[FS]
96
Tabela A2.6 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (4) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
V[FS]
DES [FS]
E[FS]
β
-0,2014 -88,5827 -177,1654 -88,5827
1,5626
1,2500
4,00
2,40
-0,1762 -77,5002 -155,0004 -77,5002
1,1960
1,0936
3,50
2,29
-0,1510 -66,4287 -132,8575 -66,4287
0,8787
0,9374
3,00
2,13
-0,1258 -55,3469 -110,6938 -55,3469
0,6100
0,7810
2,50
1,92
-0,1007 -44,2803 -88,5606 -44,2803
0,3904
0,6249
2,00
1,60
-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701
0,3087
0,5556
1,78
1,40
-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331
0,2500
0,5000
1,60
1,20
-0,0755 -33,2081 -66,4163 -33,2081
0,2196
0,4686
1,50
1,07
-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276
0,1736
0,4167
1,33
0,80
-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562
0,1479
0,3846
1,23
0,60
-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093
0,1276
0,3572
1,14
0,40
-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221
0,1111
0,3333
1,07
0,20
-0,0503 -22,1374 -44,2748 -22,1374
0,0976
0,3124
1,00
0,00
δFS/δN
δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS
97
Tabela A2.7 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (5) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
V[FS]
DES [FS]
E[FS]
β
-0,2014 -88,5827 -177,1654 -88,5827
2,3292
1,5262
4,53
2,31
-0,1781 -78,3225 -156,6449 -78,3225
1,8209
1,3494
4,00
2,22
-0,1558 -68,5094 -137,0189 -68,5094
1,3932
1,1803
3,50
2,12
-0,1335 -58,7224 -117,4448 -58,7224
1,0236
1,0117
3,00
1,98
-0,1113 -48,9407 -97,8815 -48,9407
0,7110
0,8432
2,50
1,78
-0,0890 -39,1526 -78,3052 -39,1526
0,4550
0,6746
2,00
1,48
-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331
0,3727
0,6105
1,81
1,33
-0,0732 -32,2119 -64,4238 -32,2119
0,3080
0,5550
1,65
1,16
-0,0684 -30,0845 -60,1690 -30,0845
0,2687
0,5183
1,54
1,04
-0,0668 -29,3612 -58,7224 -29,3612
0,2559
0,5059
1,50
0,99
-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093
0,1901
0,4360
1,29
0,67
-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221
0,1656
0,4070
1,21
0,51
-0,0504 -22,1457 -44,2914 -22,1457
0,1456
0,3815
1,13
0,34
-0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430
0,1290
0,3591
1,06
0,18
-0,0445 -19,5741 -39,1483 -19,5741
0,1137
0,3372
1,00
0,00
δFS/δN
δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS
98
Tabela A2.8 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (6) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
V[FS]
DES [FS]
E[FS]
β
-0,2034 -89,4775 -178,9550 -89,4775
0,4355
0,6599
4,00
4,55
-0,1780 -78,2879 -156,5757 -78,2879
0,3334
0,5774
3,50
4,33
-0,1525 -67,0827 -134,1654 -67,0827
0,2448
0,4948
3,00
4,04
-0,1271 -55,9058 -111,8116 -55,9058
0,1700
0,4123
2,50
3,64
-0,1017 -44,7274 -89,4549 -44,7274
0,1088
0,3299
2,00
3,03
-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701
0,0843
0,2904
1,76
2,62
-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331
0,0683
0,2613
1,58
2,24
-0,0763 -33,5414 -67,0827 -33,5414
0,0612
0,2474
1,50
2,02
-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276
0,0474
0,2178
1,32
1,47
-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562
0,0404
0,2010
1,22
1,09
-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093
0,0348
0,1867
1,13
0,71
-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221
0,0304
0,1742
1,06
0,32
-0,0508 -22,3609 -44,7218 -22,3609
0,0272
0,1649
1,00
0,00
δFS/δN
δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS
99
Tabela A2.9 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (7) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
V[FS]
DES [FS]
E[FS]
β
-0,1797 -79,0212 -158,0423 -79,0212
1,3952
1,1812
4,00
2,54
-0,1572 -69,1512 -138,3024 -69,1512
1,0684
1,0336
3,50
2,42
-0,1347 -59,2527 -118,5053 -59,2527
0,7844
0,8857
3,00
2,26
-0,1123 -49,3772 -98,7544 -49,3772
0,5447
0,7381
2,50
2,03
-0,1007 -44,2914 -88,5827 -44,2914
0,4383
0,6620
2,24
1,88
-0,0898 -39,5018 -79,0035 -39,5018
0,3486
0,5905
2,00
1,69
-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331
0,2805
0,5296
1,79
1,50
-0,0732 -32,2119 -64,4238 -32,2119
0,2318
0,4815
1,63
1,31
-0,0674 -29,6263 -59,2527 -29,6263
0,1961
0,4428
1,50
1,13
-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562
0,1660
0,4074
1,38
0,93
-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093
0,1431
0,3783
1,28
0,74
-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221
0,1247
0,3531
1,20
0,56
-0,0503 -22,1457 -44,2914 -22,1457
0,1096
0,3310
1,12
0,37
-0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430
0,0971
0,3116
1,06
0,18
-0,0449 -19,7509 -39,5018 -19,7509
0,0872
0,2952
1,00
0,00
δFS/δN
δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS
100
Tabela A2.10 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (8) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
V[FS]
DES [FS]
E[FS]
β
-0,2014 -88,5827 -177,1654 -88,5827
1,2935
1,1373
5,76
4,19
-0,1611 -70,8662 -141,7323 -70,8662
0,8278
0,9099
4,61
3,97
-0,1399 -61,5158 -123,0315 -61,5158
0,6238
0,7898
4,00
3,80
-0,1224 -53,8333 -107,6666 -53,8333
0,4777
0,6912
3,50
3,62
-0,1049 -46,1368 -92,2737 -46,1368
0,3509
0,5924
3,00
3,38
-0,0874 -38,4474 -76,8947 -38,4474
0,2437
0,4936
2,50
3,04
-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331
0,2070
0,4549
2,30
2,87
-0,0699 -30,7579 -61,5158 -30,7579
0,1560
0,3949
2,00
2,53
-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276
0,1437
0,3791
1,92
2,43
-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562
0,1225
0,3499
1,77
2,21
-0,0565 -24,8682 -49,7364 -24,8682
0,1019
0,3193
1,62
1,93
-0,0524 -23,0684 -46,1368 -23,0684
0,0877
0,2962
1,50
1,69
-0,0503 -22,1457 -44,2914 -22,1457
0,0808
0,2843
1,44
1,55
-0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430
0,0716
0,2676
1,36
1,33
-0,0448 -19,6850 -39,3701 -19,6850
0,0639
0,2527
1,28
1,11
-0,0424 -18,6490 -37,2980 -18,6490
0,0573
0,2394
1,21
0,89
-0,0403 -17,7165 -35,4331 -17,7165
0,0517
0,2275
1,15
0,67
-0,0384 -16,8729 -33,7458 -16,8729
0,0469
0,2166
1,10
0,45
-0,0366 -16,1059 -32,2119 -16,1059
0,0428
0,2068
1,05
0,23
-0,0350 -15,3776 -30,7552 -15,3776
0,0390
0,1974
1,00
0,00
δFS/δN
δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS
101
Tabela A2.11 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (9) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
V[FS]
DES [FS]
E[FS]
β
-0,2014 -88,5827 -177,1654 -88,5827
1,9114
1,3825
4,38
2,45
-0,1838 -80,8236 -161,6473 -80,8236
1,5912
1,2614
4,00
2,38
-0,1608 -70,7247 -141,4494 -70,7247
1,2184
1,1038
3,50
2,27
-0,1378 -60,6108 -121,2216 -60,6108
0,8949
0,9460
3,00
2,11
-0,1149 -50,5177 -101,0353 -50,5177
0,6216
0,7884
2,50
1,90
-0,0919 -40,4118 -80,8236 -40,4118
0,3978
0,6307
2,00
1,59
-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331
0,3058
0,5530
1,75
1,36
-0,0689 -30,3054 -60,6108 -30,3054
0,2237
0,4730
1,50
1,06
-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276
0,2124
0,4608
1,46
1,00
-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562
0,1810
0,4254
1,35
0,82
-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093
0,1560
0,3950
1,25
0,64
-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221
0,1359
0,3687
1,17
0,46
-0,0504 -22,1457 -44,2914 -22,1457
0,1195
0,3456
1,10
0,28
-0,0459 -20,2036 -40,4072 -20,2036
0,0994
0,3153
1,00
0,00
δFS/δN
δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS
102
Tabela A2.12 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:
•
SPT (10) e C3 da obra
•
Teoria determinística: Uto/Chellis
V[FS]
DES [FS]
E[FS]
β
-0,1896 -83,3720 -166,7439 -83,3720
0,6823
0,8260
4,00
3,63
-0,1659 -72,9676 -145,9353 -72,9676
0,5226
0,7229
3,50
3,46
-0,1422 -62,5363 -125,0727 -62,5363
0,3839
0,6196
3,00
3,23
-0,1185 -52,1075 -104,2150 -52,1075
0,2665
0,5163
2,50
2,91
-0,0948 -41,6860 -83,3720 -41,6860
0,1706
0,4130
2,00
2,42
-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701
0,1522
0,3901
1,89
2,28
-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331
0,1232
0,3511
1,70
1,99
-0,0711 -31,2682 -62,5363 -31,2682
0,0960
0,3098
1,50
1,61
-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276
0,0856
0,2925
1,42
1,42
-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562
0,0729
0,2700
1,31
1,14
-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093
0,0629
0,2508
1,21
0,85
-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221
0,0548
0,2340
1,13
0,57
-0,0504 -22,1457 -44,2914 -22,1457
0,0481
0,2194
1,06
0,29
-0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430
0,0426
0,2065
1,00
0,00
δFS/δN
δFS/δC3
δFS/δC2
δFS/δS