Ressonância Orbital Connepi 2011

VI Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte e Nordeste de Educação Tecnológica
Aracaju-SE -2011
RESSONÂNCIA ORBITAL: A SINCRONIZAÇÃO OU DESTRUIÇÃO DOS
CORPOS CELESTES
RESUMO
Este artigo visa explicar amplamente a Ressonância orbital que foi primeiramente estudado por
Simon Laplace, estudioso que desenvolveu a astronomia e a matemática ampliando os trabalhos de seus
predecessores nos cinco volumes de seus livros chamados Mecanique Celeste (1799-1825). Esta obra
traduziu o estudo geométrico da Mecânica Clássica usada por Isaac Newton conhecida como Mecânica
Celeste, que ajudou na identificação da sincronização do movimento dos planetas entre eles mesmos e
entre seus satélites, fazendo com que pudéssemos entender por que os planetas não colidem. Além disso,
ajudou na descoberta do por que alguns planetas detêm anéis girando em torno de si, o porquê deles se
formarem são as forças de maré, que não acontecem somente nos planetas cujos componentes são
elementos fluidos, mas ocorre também nos planetas telúricos causando assim sua ruptura, resultando em
anéis,
como
o
mais
famoso
e
visível
a
olho
nu
anéis
de
saturno.
Determinação ao Limite de Roche, ou Limite de Ruptura Gravitacional, estudado e discutido pelo
astrônomo francês Edouard Roche que também é extremamente importante para o estudo da astronomia e
do entendimento da distância dos satélites de seus planetas.
Palavras-chave: Astronomia, Ressonância, Limite Gravitacional, Mecânica Celeste
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1. INTRODUÇÃO
O estudo da Ressonância Orbital foi muito importante para a astronomia, a priori ela ajudou a
descoberta de outros planetas além do nosso sistema solar, devido à oscilação das órbitas dos planetas
conhecidos detectados por astrônomos, um desses corpos celestes teve muita repercussão tanto em sua
descoberta quando ao seu destronamento de planeta para planeta-anão, foi Plutão. Com bases nesses
estudos desenvolvidos por Simon Laplace, Urbain La Verrier previu a existência de Netuno em 1840, até
então Netuno era desconhecido, foi descoberto sem querer devido a perturbações que supostamente
causava a órbita de Urano, porém tempos mais tarde foi descoberto que este planeta não era culpado pela
perturbação da órbita do Planeta Urano, mas sim um corpo desconhecido denominado de Planeta X, e
posteriormente denominado Plutão, cuja orbita demasiadamente excêntrica faz com que ele fique mais
próximo do sol do que Netuno em relação a sua translação.
Em relação ao planeta Júpiter e seus satélites, a Ressonância Orbital é bastante estudada em
decorrência de que a órbita de seus satélites e extremamente coeso, e, além disso, o mais próximo
chamado Io está cada vez mais perto de Júpiter, as forças de maré que acontecem em seu material telúrico
provocam várias atividades sísmicas resultando em vulcanismo, e provavelmente mais tarde, seja
desintegrado devido sua aproximação do limite de ruptura gravitacional do planeta.
2. RESSONÂNCIA ORBITAL: COMO OCORRE
Uma Ressonância Orbital pode ser definida em relação de inteiros entre os períodos de n
grandezas, foi estudado por Simon Laplace quando este observava Jupiter e suas luas: Io, Ganimedes e
Europa. Io da uma volta ao redor do planeta em metade do tempo, que Europa demora a executar esse
movimento: ou seja, estão em uma ressonância 2:1. Por sua vez Europa tem também uma ressonância 2:1
em relação ao próximo satélite, ou seja, Ganimedes.
Fig.1 Relação de Ressonância entre os satélites de Júpiter
Fig.2 Júpiter e seus Satélites
Fonte: IMCC PARIS OBSERVATORY CNRS
Fonte: IMCC PARIS OBSERVATORY CNRS
As Ressonâncias são muito comuns no Sistema Solar e são provocadas na generalidade dos
casos pela dissipação associada às forças de maré na interação gravitacional entre os planetas e as suas luas.
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Fig.3 Ressonância 2:1 entre Júpiter e um Asteroide
Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt
Uma órbita Kepleriana, segundo MOURÃO (2008):
É uma órbita descrita por um ponto material ao redor do outro, sob a ação única da gravitação universal (...).
As órbitas reais não são em geral keplerianas em virtude das perturbações . (MOURÃO, 2008, pág. 606)
Já uma órbita perturbada, é a que se afasta ligeiramente de uma órbita kepleriana sob a ação
de forças adicionais. Essas forças podem ser: as forças gravitacionais, decorrente da presença de outro
corpo atrativo, ou mesmo da não-esfericidade ou não-homogeneidade do corpo mais massivo do sistema;
as forças de colisão com as partículas do ambiente onde se deslocam os corpos, e também as forças de
propulsão. Já explicado o que é uma órbita não-perturbada e uma órbita perturbada, vemos que na fig.3
no instante t=o, o asteróide e Júpiter estão em conjunção no periélio de suas respectivas órbitas. Após um
quarto do período de Júpiter, o asteróide está no afélio da sua órbita, o ponto em que esta mais se
aproxima da órbita de Júpiter, mas Júpiter está longe, ou seja, não há probabilidade da atração de Júpiter
puxar o asteróide para seu campo gravitacional.
Após metade do período orbital de Júpiter, o asteróide volta ao seu periélio, agora com
Júpiter do lado oposto do sol e ao fim de 3/4 desse período o asteróide regressa à posição de máxima
proximidade com a órbita de Júpiter, mas mais uma vez também neste caso Júpiter está longe. Esta
situação corresponde a uma configuração estável desta ressonância, porque, embora exista a possibilidade
de encontros próximos entre júpiter e o asteróide, esses encontros são evitados pelo mecanismo da
ressonância e as perturbações dominantes compensam-se ao longo do tempo.
Fig.4 Ressonância instável de Jupiter e do Asteróide
Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt
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Ao contrario, no segundo caso, a Fig.4 em t=o estão em conjunção no afélio de suas órbitas,
nos até que coincidem novamente no afélio, tendo assim uma maior probabilidade de colisão, dessa
maneira consideramos que essa seja uma ressonância instável 2:1.
As equações usadas para calcular o movimento de um asteróide em ressonância com Júpiter
são idênticas à equação de um pêndulo. O caos pode aparecer no pêndulo se fizermos oscilar o seu ponto
de suspensão, o que corresponde no sistema Sol-Júpiter-Asteróide a admitirmos a órbita de Júpiter com
excentricidade não nula.
Fig.5 Pendulo em ressonância
Fonte: blogdoprotasio.blog.br
2.1 FORÇAS DE MARÉ
Sabemos já um pouco do que é Ressonância orbital, mas temos também algo intrinsecamente
ligado a este estudo, como é o caso das forças de maré, normalmente conhecemos esta força pela
definição de (MOURÃO, 2008):
Maré é o movimento periódico das águas, pelo qual elas se elevam ou se abaixam em relação a uma referência
fixa no solo. É produzida pela ação conjunta da Lua e do Sol,e , em muito menor escala pela ação dos
planetas. Sua amplitude varia para cada ponto da superfície terrestre, e as horas de máximo (preamar) e
mínimo (baixa-mar) dependem fundamentalmente das posições daqueles astros. (MOURÃO, 2008, Pág. 508).
Fig. 6 Forças de Maré
Fonte: How Stuff Works
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Mas aqui iremos abordar o significado de maré como a deformação de um astro sob a
influência de outro corpo. Sabemos que não é somente o meio líquido, como á água, ou os gases da
atmosfera que são deformados pela força gravitacional da Lua, mas também o meio telúrico1 de ambos os
corpos, por isso que a terra e a lua têm bojos uma em direção à outra, devido à força gravitacional que
uma exerce sobre a outra.
2.2 LIMITE DE ROCHE
Denomina-se limite de Roche, o limite mínimo que mantém a estrutura de um corpo unicamente
por causa de sua própria gravidade numa órbita ao redor de um corpo denso sem desintegrar devido as
forças de maré exercida pela força gravitacional do corpo mais massivo. Dentro do limite de Roche a
força de gravidade que o corpo principal exerce sobre o extremo do satélite mais próximo e mais afastado
excede à força de gravidade do satélite. Devido a esse princípio o corpo secundário poderá ser destruído
pelas forças de maré.
Fig.7 Anéis de Saturno: resultado da ruptura do limite gravitacional
Fonte: Google.com
Fig.8 Desintegração do cometa Shoemaker-Levy 9 quando este foi capturado pelo campo gravitacional de
Júpiter
1
Da terra ou relativo a ela. Que vem do solo (MOURÃO, 2008, pág. 760)
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2.2.1 DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE ROCHE
Para Corpos Rígidos
Em corpos rígidos, ou telúricos, não é necessário calcular a deformação elíptica do corpo
devido às forças de maré. Nesse caso,
(1)
onde:
d é a distância mínima do corpo secundário rígido antes de desintegrar-se
ρM é a densidade do corpo principal que detém a maior densidade
ρm é a densidade do corpo secundário rígido
R é o raio do corpo principal
Em 1974, Hans Aggarwald aprimorou cálculos para a ruptura em corpos planetóides telúricos,
mantidos coesos por forças de tensão intrínsecas de seu material. Para corpos desse tipo, com diâmetros
maiores do que 40 km, a distância mínima que eles podem chegar de seu planeta sem quebrar é:
(2)
Essa fórmula apresenta uma diferença pequena entre a fórmula inicial
e o valor atualizado
1,38, significando que um corpo sólido pode desintegrar-se em distâncias maiores que as previstas
inicialmente.
Para corpos deformáveis
Em corpos fluidos torna-se necessário estimar a deformação elíptica no corpo gerado pelas
forças de maré. A formulação teórica, definida pelo astrônomo francês Edouard Roche, considerando um
corpo fluido que orbita um astro de maior densidade é
(3)
Onde d, ρM, ρm e R são os mesmos dos corpos rígidos, mas aplicados à corpos fluidos.
Desenvolvimento da fórmula: corpos rígidos
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Fig.9 Derivação da fórmula do limite de Roche a partir de uma partícula teste.
Para determinar o limite de Roche se considera uma partícula de massa u sobre a superfície de
um corpo pequeno nas imediações de um corpo de maior massa. A partícula u experimentará duas forças,
a gravidade proveniente do satélite que lhe cerca, que lhe faça permanecer sobre sua superfície, e a
gravidade do corpo mais denso. Sabendo que o satélite está em movimento orbital, a resultante da
gravidade exercida pelo planeta é somente a força de maré.
O empuxo da gravidade FG sobre a partícula de massa u sobre o satélite de massa m e raio r pode ser
demonstrado de acordo à lei da gravitação de Newton:
(4)
A força de maré FT sobre a massa u exercida pela planeta massivo de raio R e a uma distância d entre os
centros de massa dos dois corpos é:
(5)
O limite de Roche se alcança quando o empuxo gravitacional e a força de maré se igualam uma à outra:
FG = FT,
(6)
ou também,
(7)
Expressão que nos permite determinar o limite de Roche, d:
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(8)
No mais, seria melhor expressar esta equação numa outra forma que não dependa do raio do satélite, pelo
que se reescreve esta expressão em função das densidades do corpo mais massivo e do satélite.
A massa M de uma esfera de raio R é:
(9)
E analogamente para o corpo de menor densidade:
.
(10)
Substituindo as duas massas na equação do limite de Roche se obtém:
(11)
que pode simplificado na seguinte expressão:
(12)
Desenvolvimento da Fórmula: Corpos deformáveis não esféricos
Para um resultado mais preciso, devem-se considerar as deformações produzidas no satélite
pelas forças de Maré, neste caso o satélite seria deformado em um esferóide elíptico, com bojos, como
ocorre com a Terra e a Lua. O cálculo exato não pode realizar-se analiticamente, mas historicamente
Roche derivou uma aproximação numérica para este problema:
(13)
Com a ajuda de ordenadores é possível encontrar uma aproximação mais precisa
(14)
onde c / R é um fator que expressa o grau de deformação do corpo principal.
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3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho vimos que a Ressonância orbital foi algo extremamente importante para o
desenvolvimento da astronomia e da astrofísica, porém este assunto não se resume somente a ressonância
como a conhecemos, mas desta descoberta derivam se outros assuntos pertinentes que nos explicam
certos fenômenos da natureza, como por exemplo, os anéis de saturno. A aproximação demasiada dos
corpos pode resultar em bojos de maré, e inclusive em rompimentos gravitacionais, que é a desintegração
total do corpo.
Um evento recente foi a desintegração do cometa Shoemaker-Levy 9, em 1994, sendo que este
cometa foi capturado pelo campo gravitacional de Júpiter 25 antes da colisão acontecer, por causa deste
evento Júpiter foi considerado uma espécie de “aspirador cósmico”, uma vez que este planeta é o que tem
um grande histórico de captura de luas e de cometas, sendo até “culpado” pelo desvio de rota do cometa
que provocou o evento K-Pg2, que deixou a marca na terra em forma de cratera, a cratera de Chicxulub.
2
Evento Cretáceo-Peleogeno que ocorreu devido a diversos impactos de corpos extra-terrestres na terra provocando
a extinção em massa dos dinossauros.
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4. REFERÊNCIAS
↑OLIVEIRA, K.. Astronomia e Astrofísica. [S.l.]: Departamento de Astronomia - Instituto de Física da Universidade
Federal do Rio Grande do Sul, 8 de dezembro de 2003
ROCHE, E. La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné, Acad. des sciences de
Montpellier, Vol. 1 (1847-50)
MOURÃO, R. Dicionário Enciclopédico de Astronomia e Astronáutica. Editora Lexicon, Ed. 1, São Paulo,
2008
VALADO, D., MC CLAIN,W. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Spring Editors, U.S., 2001