Dinâmica e os movimentos dos corpos celestes LEIS DE KEPLER e

Dinâmica e os
movimentos dos corpos celestes
LEIS DE KEPLER e GRAVITAÇÃO
Nos últimos anos foram detectados mais de 300
planetas fora do Sistema Solar, orbitando
estrelas, assim como a Terra e os demais
planetas do nosso sistema o fazem em torno do
Sol.
A técnica que permitiu grande número de descobertas
desse tipo se baseia na obtenção de imagens periódicas
dos sistemas promissores.
Planetas muito grandes interferem gravitacionalmente
na posição de sua estrela.
Na medida em que o planeta
avança em sua órbita, a
estrela muda de posição.
Mas por quê?
Bem, é preciso conhecer as
leis que regem as interações
entre os corpos celestes!
Leis de Kepler
1 – Lei das Órbitas
Os planetas
descrevem órbitas
elípticas em torno
do Sol que está em
um dos focos
2 – Lei das Áreas
Em sua órbita, os planetas
varrem áreas iguais em
tempos iguais
No afélio a velocidade
orbital do planeta é menor
que no periélio
2 – Lei dos Períodos
2
T
=
k
3
R
A razão entre o quadrado do período e o cubo do raio
médio da órbita é uma constante k.
2
2
Ta
Tb
=
3
3
Ra
Rb
2
3
Ta
Ra
=
2
3
Tb
Rb
2
 Ta 
 Ra 
  =  
T
R
 b
 b
3
De acordo com a Mecânica Newtoniana, quaisquer dois
corpos dotados de massa se atraem mutuamente devido
à interação gravitacional entre ambos.
AÇÃO À DISTÂNCIA
Pela Lei da Gravitação Universal, a força que um corpo
de massa M exerce sobre outro de massa m que está a
uma distância d, é:
G.M.m
F12 =
2
d
De acordo com a Terceira Lei de Newton da mecânica, a
toda ação, corresponde uma reação – ou seja: todo
agente é também paciente.
O corpo de massa m também exerce uma força sobre o
de massa M, de mesmo valor e mesma direção, mas
com sentido oposto.
Mas sendo assim, uma vez que as órbitas dos planetas
são elipses, então a Força de Atração Gravitacional
entre estrela e planeta varia ao longo da órbita.
A segunda lei de Kepler pode ser vista como
conseqüência disto
A Segunda
resultante
aceleração
obedecendo
Lei de Newton diz que uma força
de intensidade F, produz uma
a em um corpo de massa m,
a seguinte relação:
F = m.a
No caso em que a força F é a força gravitacional
exercida pelo planeta (massa M) sobre um outro corpo
qualquer de massa m:
Como se vê, a massa do corpo
G.M.m
cancela e, se o corpo estiver na
=
m
.
a
superfície do planeta:
2
d
d=raio do planeta
É o caso dos corpos na superfície da Terra:
G.M.m/
= m
/ .a
2
r
G.M
a= 2
r
Substituindo os valores, temos:
a=9,8m/s2
Voltando ao caso dos planetas que orbitam uma
estrela, como é o caso de Júpiter – o maior planeta
do nosso sistema.
O Sol o atrai gravitacionalmente e ele atrai o Sol
também (3ª Lei de Newton).
Mas com a aceleração produzida pela força, qual a
velocidade orbital induzida por Júpiter no
nosso Sol?
Para determinar a velocidade orbital do Sol,
induzida por Júpiter, precisamos abrir mão da idéia
de que o Sol está parado.
Tanto Sol quanto Júpiter orbitam o centro de massa
do sistema Sol-Júpiter, que está muito mais
próximo do Sol que de Júpiter já que
MSO L > MJU P
Suporemos, com boa aproximação que os corpos
descrevem círculos perfeitos.
velocidade orbital do Sol
VSO L
p e r ím e t r_od a _ ó r b it a
=
p e r ío d o_ o r b it al
VSOL =
2 .π .RÓRB.SOL
TSOL
velocidade orbital de Júpiter
p e r ím e t r_od a _ ó r b it a
V JU P =
p e r ío d _o o r b it a l
Como
TJUP = TSOL = T
V JUP
e
2.π .RÓRB .JUP
=
TJUP
RÓ RB.SO L
RÓ RB.JU P
MJU P
=
= 0,001
MSO L
E já que a velocidade orbital é diretamente
proporcional ao raio da órbita, então:
VSO L = 0,0 0 1.VJU P
Calculando então:
VSOL
2.π .RÓRB. JU P
= 0,001.
T
11
2.3,1 4. (5,2.1,5.1 0 )
VSO L = 0,0 0 1.
(1 1,8 6.3 6 5.2 4.3 6 0 0)
VSO L ≅ 0,0 0 1.1 5 0 0 0
VSOL ≅ 15 ms
Agora determine você qual a velocidade orbital que a
Lua induz na Terra, sabendo que
MTerra ≅ 100ML ua
RÓ RB.L u a = 384000k m
T = 30 _ d ias