PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR– 2011

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP
VESTIBULAR– 2011
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
16. A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em
relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais
supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos,
A e B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2).
x
1
O comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função f(x) = 2 x +   , com domínio
2
[A, B].
a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio?
b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento
do cabo seguir precisamente a função dada?
RESOLUÇÃO:
0
1
a) A menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio é dada por f(0): f(0) = 2 0 +   = 1 + 1 = 2 .
2
RESPOSTA: A distância é 2m.
x
1
b) Fazendo f(x) = 2 x +   = 2,5 ⇒
2
x
1
1
2 x +   = 2,5 ⇒ 2 x + x = 2,5 ⇒ 2 2x − 2,5 × 2 x + 1 = 0 ⇒
2
2
2 2x − 2,5 × 2 x + 1 = 0 ⇒ 2 × 2 2x − 5 × 2 x + 2 = 0 ⇒
5 ± 25 − 16 5 ± 3
1
=
⇒ x = ou x = 2.
4
4
2
1
x
x
2 = 2 ⇒ x = 1 e se 2 = ⇒ x = −1 .
2
2x =
RESPOSTA: A distância entre as hastes deve ser de 2m.
17. Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a
partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “razão da
progressão aritmética” e usualmente indicada por r.
a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da
soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a1, n e r.
b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (–224, –220, –216, ...) seja
positiva?
1
RESOLUÇÃO:
a) Considerando os termos da PA todos escritos em função de a1, r e do número par n:
(a1 , a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, a 1 + 4r, ...., a 1 + (n − 2)r, a1 + (n − 1)r ) .
A PA formada com os termos de ordem par da PA acima é:
(a1 + r, a1 + 3r, a1 + 5r, ...., a1 + (n − 1)r ) na qual o número de termos é n e a razão é 2r.
2
Logo a expressão geral da soma de seus termos é:
[a1 + r + a1 + (n − 1) × r ]× n [2a + r + (n − 1) × r ] n (2a + nr ) n (2a + nr )n
2 =
1
1
1
.
S=
× =
× =
2
2
2
2
2
4
(2a1 + nr )n .
RESPOSTA: S =
4
b) Na PA (–224, –220, –216, ...) de n termos, a razão é r = −220 − (− 224) = 4 e
an = − 224 + (n − 1) × 4 = 4n − 228 .
(− 224 + 4n − 228) × n = 4n 2 − 452n ⇒ S
2
n = 2n − 226n
2
2
Para que Sn seja um número positivo tem-se que ter: Sn = 2n 2 − 226n > 0 ⇒ 2n (n − 113) > 0 .
Como n é positivo, Sn será um número positivo para n >113.
A soma de seus termos é S n =
RESPOSTA: A quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (–224, –220, –
216, ...) seja positiva é 114.
18. Considere a1, a2, a3, b1, b2, b3 números reais estritamente positivos, tais que os pontos (a1, b1), (a2, b2)
e (a3, b3) pertençam à reta y = 2x.
a) Sabendo-se que Q(x) =
a1x 2 + a 2 x + a 3
2
b1x + b 2 x + b 3
(com b x
1
2
)
+ b 2 x + b 3 ≠ 0 independe de x, pede-se
determinar seu valor.
b) Na figura, se os pontos A, B e C são vértices de um triângulo isósceles e o segmento AC é um dos
diâmetros da circunferência convenientemente centrada na origem do sistema ortogonal, pede-se
determinar a medida do segmento AB em função de a1.
RESOLUÇÃO:
a) Se os pontos (a1, b1), (a2, b2) e (a3, b3) pertencem à reta y = 2x, então b1 = 2 a1, b2 = 2 a2 e
b3 = 2a3.
Logo, a igualdade Q(x) =
a1x 2 + a 2 x + a 3
b1x 2 + b 2 x + b 3
(com b x
2
1
)
+ b 2 x + b 3 ≠ 0 pode ser escrita:
a 1x 2 + a 2 x + a 3
a x 2 + a x + a3
1
= 1 2 2
=
2
2
2a1x + 2a 2 x + 2a 3 2 a1x + a 2 x + a 3
1
RESPOSTA: O valor de Q(x) é .
2
Q(x) =
(
)
2
b) Da figura ao lado tem-se que r = OC.
= 5a12 = a 1 5 .
O triângulo AOB é retângulo e isósceles, logo
r = OC =
AB =
(a1 − 0)2 + (2a1 − 0)2
(
2r 2 = 2 a1 5
)
2
= 10a12 = a 1 10
RESPOSTA: AB = a1 10 .
19. No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z = x + yi, cujo
módulo (indicado por |z|) é a medida do segmento OA e cujo argumento (indicado por θ) é o menor
ângulo formado com OA , no sentido anti-horário, a partir do eixo Re (z). O número complexo z = i é
chamado “unidade imaginária”.
a) Determinar os números reais x tais que z = (x + 2i)4 é um número real.
b) Se uma das raízes quartas de um número complexo z é o complexo z0, cujo afixo é o ponto (0, a),
a > 0, determine |z|.
RESOLUÇÃO:
a)
(
z = (x + 2i )4 = (x + 2i )2
) = (x
2
2
+ 4xi − 4
) = ((x
2
2
z = x 4 − 8x 2 + 16 − 16x 2 + 8x 3i − 32xi = x 4 − 24x 2
(
Se z ∈ R, 8x x 2 − 4
) = 0 ⇒ x = 0 ou x
2
) = (x − 4)
+ 16 + 8x (x − 4) i .
− 4) + 4xi
2
2
2
+ (4xi) 2 + 2 × (4xi)(x 2 − 4) ⇒
2
– 4 = 0 ⇒ x = 0, x = 2 ou x = – 2.
RESPOSTA: x = 0, x = 2 ou x = – 2.
b) Se z0 é uma das raízes quartas de um número complexo z, então:
z = z 0 4 = (0 + ai )4 = a 4i 4 = a 4 ⇒ z = a 4
RESPOSTA: z = a 4
3
20.Para testar a durabilidade de uma bateria elétrica foram construídos dois pequenos aparatos móveis, A
e B, que desenvolvem, respectivamente, as velocidades constantes de 30 cm/s e 20 cm/s. Cada um dos
aparatos é inicialmente posicionado em uma das duas extremidades de uma pista retilínea e horizontal de
9 m de comprimento, e correm em sentido contrário, um em direção ao outro, cada um em sua faixa. Ao
chegarem à extremidade oposta, retornam ao início, num fluxo contínuo de idas e vindas, programado
para durar 1 hora e 30 minutos. O tempo gasto pelos aparatos para virarem-se, em cada extremidade da
pista, e iniciarem o retorno rumo à extremidade oposta, é desprezível e, portanto, desconsiderado para o
desenvolvimento do experimento.
a) Depois de quantos segundos os aparatos A e B vão se encontrar, pela primeira vez, na mesma
extremidade da pista?
b) Determine quantas vezes, durante toda a experiência, os aparatos A e B se cruza.
RESOLUÇÃO:
a) Como o aparato A se desloca a uma velocidade de 30cm/s, percorrerá toda a pista, 900cm, a cada
900
= 30s .
30
Como o aparato B se desloca a uma velocidade de 20cm/s, percorrerá toda a pista, 900cm, a cada
900
= 45s .
20
Sendo o MMC(45s, 30s) = 90s, após 90s do início dos movimentos os dois aparatos estarão pela primeira
vez no mesmo ponto extremo da pista.
Representação gráfica da solução:
RESPOSTA: Os aparatos A e B vão se encontrar, pela primeira vez, na mesma extremidade da
pista 90 segundos após o início da experiência.
b) Se o aparato A se desloca a uma velocidade
de 30cm/s, e o aparato b a 20cm/s em sentidos
opostos, então se cruzarão pela primeira vez
aos t segundos:
30t + 20t = 900cm ⇒ 50t = 900 ⇒ t = 18s .
Analisando as 5a e 6a faixas verifica-se que o
aparato A retorna 15s antes que o aparato B
faça seu primeiro retorno, isto é quando A
ainda tem que percorrer 450cm para chegar ao
seu ponto de saída:
30t + 20t = 450cm ⇒ 50t = 450 ⇒ t = 9s .
O segundo cruzamento se dará aos
45s + 9s = 54s, e o terceiro aos 90 segundos no
ponto da saída de B.
Então nos primeiros 90 segundos acontecem 3
encontros.
4
No gráfico ao lado estão representados os
deslocamentos dos dois aparatos a partir dos 90s
iniciais; e como cada cruzamento se dará 36
segundos após o último, os novos cruzamentos
acontecerão aos 126s, 162s, 198s,....
Então a cada 180s os artefatos se cruzarão 5 vezes.
Toda a experiência durará em 1h30min, isto é, em
5400 s, e durante esse tempo os artefatos se
cruzarão (5400 : 180) × 5 = 150 vezes.
RESPOSTA: 150 vezes.
5