Potências de 10 – Ordem de Grandeza

Potências de 10 – Ordem de Grandeza
Extraído e adaptado do Livro de Física Contexto & Aplicações Vol 1, A. Máximo e B. Alvarenga, Ed. Scipione
Por que usamos as potências de 10
Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000000005 cm ou que uma dada célula tem
cerca de 2 000 000 000 000 de átomos, dificilmente seremos capazes de assimilar estas ideias. Isto ocorre porque
estes números estão afastados dos valores que os nossos sentidos estão acostumados a perceber – estão fora do
nosso quadro de referências.
No estudo da Física encontraremos, frequentemente, grandezas como estas que são expressas por números
muito grandes ou muito pequenos. A apresentação escrita ou oral desses números, da maneira habitual, tal como
foram escritos acima, é bastante incômoda e trabalhosa. Para contornar o problema, é usual apresentar estes números
em forma de potências de 10, como veremos a seguir. Este tipo de notação, além de mais compacta, nos permite uma
rápida comparação destes números entre si e facilita a realização de operações matemáticas com elas.
Como escrevemos os números na notação de potências de 10 (notação científica N. C. )
Consideremos um número qualquer como, por exemplo, 842. Seus conhecimentos, das propriedades de
números e operações em Matemática, lhe permitirão compreender que este número pode ser expresso da seguinte
maneira:
842 = 8,42 × 100 = 8,42 × 102
Observe que o número 842 foi expresso como produto de 8,42 por uma potência de 10 (no caso 102).
Tomemos outro número; por exemplo, 0,0037. Podemos escrever:
0,0037 =
3,7
3,7
=
= 3,7 × 10−3
1000
103
Novamente, temos o número expresso pelo produto de um número compreendido entre 1 e 10 (no caso, 3,7)
por uma potência de 10 (no caso, 10-3).
Baseando-nos nestes exemplos, chegamos à seguinte conclusão:
Um número qualquer pode sempre ser expresso como o produto de um número
compreendido entre 1 e 10 por uma potência de 10 adequada.
Procure exercitar-se no uso desta regra, analisando os dois exemplos seguintes:
62300 = 6,23 × 10 000 = 6,23 × 104
0,00002 =
2
2
=
= 2 × 10−5
100 000
105
1
Observação
Uma regra prática para se obter a potência de 10 adequada é a seguinte:
a) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a esquerda; este número nos
fornece o expoente de 10 positivo. Assim:
62 300 = 6,23 × 104
4 casas
b) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a direita; este número nos
fornece o expoente de 10 negativo. Assim:
0,00002 = 2× 10−5
5 casas
Nesta representação de potências de 10, os números citados no início desta seção poderão ser escritos,
compactamente, e de maneira mais cômoda, do seguinte modo:
Raio do átomo de hidrogênio = 5 × 10−9 cm
Número aproximado de átomos de uma célula = 2 × 1012
Operações com potências de 10
Você pode perceber facilmente que seria complicado e trabalhoso efetuar operações com os números muito
grandes, ou muito pequenos, quando escritos na forma comum. Quando estes números são escritos na notação de
potências de 10, estas operações tornam-se bem mais simples, seguindo as leis estabelecidas na Matemática, para as
operações com potências. Os exemplos seguintes o ajudarão a recordar estas leis:
a) 0,0021 × 30 000 000 = (2,1 × 10−3 ) × (3 × 107 ) = (2,1 × 3) × (10−3 × 107 ) = 6,3 × 104
b)
7,28 × 105 7,28 105
=
× 8 = 1,82 × 10−3
4 × 108
4
10
c) (5 × 10−3 )3 = 53 × (10−3 )3 = 125 × 10−9
d) √2,5 × 105 = √25 × 104 = √25 × √104 = 5 × 102
2
Observe como se procede na adição
Nos exemplos apresentados, só apareceram as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Quando estivermos tratando com adição e subtração, devemos ter o cuidado de, antes de efetuar a operação,
expressar os números com os quais estamos lidando na mesma potência de 10.
Considerando os exemplos seguintes:
𝑎) 6,5 × 103 − 3,2 × 103
Neste caso, como os números já estão expressos na mesma potência de 10, poderemos efetuar a operação
diretamente, como segue:
6,5 × 103 − 3,2 × 103 = (6,5 − 3,2) × 103 = 3,3 × 103
𝑏) 4,23 × 107 + 1,3 × 106
Devemos, inicialmente, expressar as parcelas em uma mesma potência de 10. Isto pode ser feito escrevendo
a primeira parcela como uma potência de 106 , da seguinte maneira:
4,23 × 107 + 1,3 × 106 = 42,3 × 106 + 1,3 × 106 =
= (42,3 + 1,3) × 106 = 43,6 × 106 = 4,36 × 107
O cálculo pode ser efetuado de outra maneira, expressando a segunda parcela como uma potência de 107 :
4,23 × 107 + 0,13 × 107 = (4,23 + 0,13) × 107 = 4,36 × 107
Ordem de grandeza (O. G.)
Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, não há necessidade ou interesse em conhecer, com
precisão, o valor da grandeza. Nesses casos, é suficiente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de seu valor.
Essa potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa sua medida, isto é:
Ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima deste número.
Portanto, a ordem de grandeza de 92 é 102 porque 92 está compreendido entre 10 e 100, mas está mais
próximo de 102 . Da mesma forma, a ordem de grandeza de 0,00022 = 2,2 × 10−4 é 10−4.
Assim, conhecendo as ordens de grandeza de diversas medidas, é fácil compará-las e podemos rapidamente
distinguir a menor ou a maior entre elas e aquelas que são aproximadamente iguais.
Frequentemente temos condição de obter a ordem de grandeza sem cálculos laboriosos, mesmo não
possuindo o valor da grandeza medida, como veremos no exemplo 2 a seguir.
3
Exemplo 1
São dadas as seguintes medidas de comprimento:
3 × 10−3 m
4 × 102 m
7 × 106 m
7 × 10−6 m
a) Qual a ordem de grandeza de cada uma delas?
Na medida 7 × 10−6, considerando apenas o algarismo 7, sabemos que sua ordem de grandeza é 10. Logo, a
ordem de grandeza de 7 × 10−6 será:
10 × 10−6 = 10−5
Podemos proceder da mesma forma para determinar a ordem de grandeza das outras medidas:
3 × 10−3 → 1 × 10−3 = 10−3
4 × 102 → 10 × 102 = 103
7 × 106 → 10 × 106 = 107
b) Qual a ordem crescente das medidas fornecidas?
É evidente, observando a ordem de grandeza de cada uma, que temos:
7 × 10−6 < 3 × 10−3 < 4 × 102 < 7 × 106
Exemplo 2
Determine a ordem de grandeza do número de gotas de água que cabe em uma banheira.
Devemos, inicialmente, determinar a ordem de grandeza do volume de uma banheira comum. Evidentemente,
o comprimento da banheira estará compreendido entre 1m e 10m, isto é, entre as seguintes potências de 10: 100 m
e 101 m. É fácil perceber, também, que esse comprimento está mais próximo de 1m. Logo, a ordem de grandeza do
comprimento é 1m ou 100 m.
Com raciocínio semelhante, concluímos que as medidas, tanto da largura, quanto da profundidade da
banheira, estão mais próximas de 1m, isto é, a ordem de grandeza de ambas é 1m ou 100 m. Logo, a ordem de
grandeza do volume da banheira é:
1 m × 1 m × 1 m = 1 m3
Para encontrar a ordem de grandeza do volume da gota de água, vamos imaginar que essa gota tem a forma
de cubo. A aresta desse cubo está compreendida entre 1mm (10−3 m) e 1cm (10−2 m), mas é claro que, para uma
gota comum, essa aresta estará mais próxima de 1mm. Logo, a ordem de grandeza da gota é:
10−3 m × 10−3 m × 10−3 m = 10−9 m³
A ordem de grandeza do número de gotas que cabe na banheira será, portanto:
1m³
= 109 gotas
10−9 m³
Isto é, 1 bilhão de gotas!
Na aula teórica veremos outro método para determinar essa ordem de grandeza.
4
Exercícios de fixação
1) Cite duas vantagens de escrever os números na notação de potências de 10.
2) Complete as igualdades seguintes, conforme o modelo: 3,4 × 105 = 340 000
a) 2 × 103
b) b) 8 × 10−5
3) Usando a regra prática sugerida no texto, escreva os números seguintes em notação científica e determine sua
ordem de grandeza.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
382
21 200
62 000 000
0,042
0,75
0,000050
4)
a) Dados os números 3 × 10−6 e 7 × 10−6, qual deles é o maior?
b) Coloque os números a seguir, 4 × 10−5, 2 × 10−2 e 8 × 10−7, em ordem crescente de seus valores.
5) Efetue as operações indicadas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
102 × 10−5
1015 × 10−11
2 × 10−6 × 4 × 10−2
1010 : 104
1015 ∶ 10−11
4,8 × 10−3 ∶ 1,2 × 104
(102 )3
(2 × 10−5 )2
i)
√16 × 10−6
6) Efetue as operações indicadas:
a) 5,7 × 10−4 + 2,4 × 10−4
b) 6,4 × 107 − 8,1 × 107
7) Para adicionar ou subtrair dois números expressos em potências de 10, cujos expoentes são
diferentes, o que deve ser feito antes de efetuar a operação?
8) Efetue as operações indicadas:
a) 1,28 × 105 + 4 × 103
b) 7,54 × 108 − 3,7 × 107
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