CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO

estabilizador da distribuição da densidade ultrapassa a instabilidade potencial
devido aos termos não lineares.
O valor “critico” exacto de Ri é determinado experimentalmente para
cada escoamento. No entanto, com Ri > ¼ é muito difícil gerar turbulência.
Notemos que, em todas as equações que temos usado, o efeito das
variações de densidade, em particular na vertical, é indirecto: actua sobre a
turbulência modificando a “eddy viscosity”, mas não actua directamente no
escoamento médio.
De facto, não há derivadas de ρ (ou σt ou α) nas equações de Reynolds,
∂ρ' ⎞
⎛
e desprezamos os termos que continham α’ ⎜ por exemplo, α'
⎟ quando
∂x ⎠
⎝
CIRCULAÇÃO
INDUZIDA PELO VENTO
deduzimos as equações de Reynolds!
A razão disto é que as variações da densidade são pequenas, quer as
variações dos valores médios quer as flutuações.
Ou
APONTAMENTOS
COMPLEMENTARES
DE
Esta aproximação é aquilo que
se chama “aproximação de Boussinesq”.
OCEANOGRAFIA
FÍSICA
seja: se as variações
da densidade são
pequenas, numa primeira
aproximação podemos desprezar o seu efeito na “massa” do fluido, mas
manter o seu efeito no “peso”. Ou seja ainda: temos que manter o efeito das
variações de densidade na “flutualidade” (buoyancy), através da estabilidade
estática, por exemplo, mas podemos despreza-los nas acelerações laterais
geradas por forças devidas a variações laterais de densidade (ou seja ainda:
temos que considerar as variações de densidade quando estão associadas a
“g” → peso!).
Assim, nas equações do movimento horizontal podemos usar uma
densidade média da região considerada, mas na equação em z temos de usar
os valores verdadeiros da densidade! (porque ela reduz-se à equação da
equação hidrostática).
CORRENTES COM ATRITO CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO
A circulação no Atlântico Norte é no sentido dos ponteiros do relógio
(Ciclónico) e no Atlântico Sul é no sentido contrario (Anticiclónico). Este facto é
conhecido desde o tempo dos descobrimentos! Até que ponto esta circulação
pode ser atribuída ao vento? Até finais do século XIX era assim que se
pensava.
A transferência de momento do vento para a água do oceano é um
processo muito lento, caso não ocorra turbulência. Ou seja, se o escoamento
induzido pelo vento for considerado laminar, utilizando então o coeficiente de
viscosidade molecular, verifica-se que modificações na circulação na camada
superior do oceano (tipicamente dezenas de metros) induzidas pela acção do
vento demoram meses!!!
No entanto o que se observa é que estas modificações ocorrem em
horas ou poucos dias e não meses! Isto deve-se ao facto de o escoamento no
oceano ser quase sempre turbulento e, neste tipo de escoamento, a
transferência vertical de momento e energia ocorre a uma taxa na ordem de
centenas ou milhares de vezes superiores à transferência que ocorre através
da viscosidade molecular. Nos escoamentos turbulentos temos que utilizar a
viscosidade turbulenta, ou seja o “eddy viscosity” que já tínhamos visto ser
muito (muitíssimo!!!) superior à viscosidade turbulenta.
Quer os efeitos causados pelo vento quer as variações de densidade
lateral do oceano são muito importantes para definir a circulação oceânica. O
vento é muito importante nos 1000 m superiores.
No final do século XIX (1898) Nansen verificou que os icebergs no
Árctico derivam não na direcção do vento, mas sim para a direita da direcção
do vento à superfície. Porque seria? Solução de Nansen:
força tangencial
induzida pelo vento
Ft
direcção do movimento no
estado estacionário
V0
cubo de água
do oceano
FC
força de Coriolis que
aparece mal o cubo entra
em movimento (estado
inicial)
inicial
Fb
força de atrito entre as
faces submersas do cubo e
a água do oceano
VENTO
FC
força de Coriolis depois
de atingido o estado
estacionário
O cubo começa por acelerar na direcção do vento, mas assim que entra em
movimento roda para a direita por acção da Força de Coriolis. O estado
r r
r
estacionário é atingido quando Ft ,FC e Fb entram em balanço e nessa altura a
r
velocidade V0 é constante (estado estacionário) e para a direita da direcção do
vento.
A determinação da direcção exacta do movimento relativamente ao
vento, seria feita mais tarde (entre 1905 e 1932) por Ekman, com base em
argumentos quantitativos, ao contrário de Nansen que utilizou apenas
argumentos qualitativos. Ekman teve de recorrer à matemática! ( Nansen era
biólogo... )
AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO COM ATRITO INCLUÍDO
Se pegarmos nas equações do movimento para o equilíbrio geostrófico
e incluirmos o atrito, temos:
du
∂P
+ Fx
= f .v − α
∂x
dt
∂P
dv
= − f .u − α
+ Fy
∂y
dt
onde Fx e Fy são as componentes do atrito por unidade de massa. No estado
estacionário:
∂P
=0
∂x
∂P
− f .u + Fy − α
=0
∂y
f .v + Fx − α
(Coriolis + atrito + Grad P = 0)
Fgrad.P
FCoriolis
ou vectorialmente:
a resultante é nula!
Fatrito
Assim, caso haja atrito, o Gradiente de Pressão e a Força de Coriolis já
não são directamente opostas! O movimento será “ageostrófico”.
Temos pois que encontrar soluções para estas equações (tal como já
tínhamos feito para o caso do equilíbrio geostrófico). Foi isso que Ekman fez!
A primeira coisa a fazer será escrever expressões para os termos Fx e
Fy. Vejamos os argumentos qualitativos: se duas partes de um fluído se
moverem relativamente uma à outra, deve ocorrer atrito. Estas duas partes
podem mover-se em direcções opostas ou na mesma direcção com
velocidades diferentes.
Neste caso ocorre “shear” na velocidade. A quantificação do “shear” fazse: (u 4 − u 3 ) / (z 4 − z 3 ) =
∂u
∆u
.
ou no limite =
∆z
∂z
Para um fluído Newtoniano, classe a que pertence a água do oceano, a
tensão de atrito, τ, definida como uma força por unidade de área paralela ao
escoamento, é dada por:
τ=ν
∂u
∂u
= ρµ
∂z
∂z
conforme utilizemos o coeficiente dinâmico de viscosidade molecular
( ν ≈ 10 −3 Kg.m −1.s −1 ) ou o coeficiente cinemático de viscosidade molecular
( µ = 10 −6 m 2 .s −1 ).
A utilização do coeficiente dinâmico de viscosidade vai fazer com que as
forças de atrito venham em Força / Unidade de volume. O coeficiente de
viscosidade cinemático faz as forças virem em Força / Unidade de massa, que
tem sido o que temos utilizado nas equações de Navier-Stokes já escritas.
Estes são os valores “moleculares” que se usam nos escoamentos
laminares, ou seja, escoamentos suaves, de pequeno diâmetro, com baixos
números de Reynolds ( < ≈ 10 3 ). No entanto, no oceano o movimento é em
geral turbulento e o valor efectivo da viscosidade cinemática é a “eddy
viscosity” cinemática, que já vimos, e que são Ax, Ay e Az, com Ax e Ay com
valores até 10 5 m2 s −1 para o “shear” horizontal (por exemplo,
∂u ∂u ∂v
; ; ; etc... )
∂x ∂y ∂x
e Az com valores até 10 −1m2s −1 para o “shear” vertical (por exemplo,
∂u ∂v
ou ).
∂z
∂z
As tensões de atrito turbulento (eddy friction stress, também chamado
em português “tensões de corte”) escrevem-se portanto, por exemplo:
τ xz = ρA z
∂u
∂u
ou τ xy = ρA y
∂z
∂y
e expressam a força que uma camada de fluído faz numa área da camada
vizinha, acima ou abaixo. Para substituir na equação do movimento
necessitamos dessa força mas feita na massa do fluído vizinho:
perfil da
velocidade:
Na figura acima há “shear” segundo z. A força que actua no cubo é:
(τ 2 − τ1 ) na direcção x.
Como τ 2 = τ 1 +
∂τ
∂τ
∂τ
δz , logo: (τ 2 − τ 1 )δs =
δzδs =
δV , onde δV é o
∂z
∂z
∂z
volume do cubo. No limite δs e δz → 0, logo δV → 0.
Portanto,
∂τ
representa uma força por unidade de volume. Para ser por
∂z
unidade de massa, virá:
1 ∂τ
∂τ
∂ ⎛
∂u ⎞
= α = α ⎜ ρAz ⎟
ρ ∂z
∂z
∂z ⎝
∂z ⎠
utilizamos Az porque estamos a tratar “shear” vertical. No entanto, isto é válido
para o “shear” em qualquer direcção.
Se assumirmos que Az não varia com a profundidade:
Força de atrito turbulento por unidade de massa = A z
∂ 2u
∂z 2
(Sabemos tão pouco sobre Az, que limitar a nossa análise ao caso de Az igual a
uma constante em profundidade não será grande erro!!!)
Verifiquemos que já tínhamos obtido esta expressão quando estudámos
as “eddy viscosities” e tínhamos feito a decomposição “à Reynolds”: uma parte
média mais uma parte perturbada.
Também assumimos que uma variação de ρ com a profundidade é
pequena comparado com A z
∂u
! É uma aproximação consistente com a
∂z
aproximação de Boussinesq.
Então os termos Fx e Fy podem ser escritos:
∂τ x
∂ 2u
= Az 2
∂z
∂z
∂τ y
∂2v
Fy = α
= Az 2
∂z
∂z
Fx = α
e as equações do movimento horizontal:
∂P
∂ 2u
=α
2
∂x
∂z
2
∂P
∂ v
− fu + A z 2 = α
∂y
∂z
fv + A z
A equação em z reduz-se ao equilíbrio hidrostático.
Tínhamos visto que estes termos de atrito eram desprezáveis no oceano
interior. Para que estes termos sejam significativos, eles têm que ter uma
magnitude aproximada, por exemplo, ao termo de Coriolis, ou seja:
Az
Por
exemplo,
com
U
≈ fU
H2
A z = 10 −1 m 2 / s
e
f = 10 −4 s −1 ,
temos
A z 10 −1
H ≈
= −4 ≈ 10 3 m2 ⇒ H ≈ 30 m ; com H ≈ 100m o termo de atrito será ainda
f
10
2
10% do termo de Coriolis. Estamos, pois, à espera de ter que entrar em linha
de conta com os termos de atrito dentro destas distâncias, quer do fundo quer
da superfície. Isto corresponde a dizer que, dentro destas distâncias da
A ⎞
⎛
superfície ou do fundo, o número de Ekman vertical ⎜ E z = z2 ⎟ deve ser da
fH ⎠
⎝
ordem da unidade.
A SOLUÇÃO DE EKMAN
A dificuldade com estas equações é que ficamos com duas causas para
o movimento: a distribuição da massa (ou seja, a densidade) que dá origem ao
termo do Gradiente de Pressão e o termo do Atrito, que na solução de Ekman é
o atrito do vento.
Podemos
separar
estas
duas
acções
forçadoras
e
resolver
separadamente a influência do vento e a influência do gradiente de pressão e
depois juntá-las. Esta separação só é possível se assumirmos que as
expressões são lineares. Se os efeitos não lineares se tornarem importantes
esta separação já não pode ser feita (tivemos um exemplo disso quando
fizemos a decomposição “à Reynolds”, em que, ao achar medias de
perturbações não pudemos considerar nulos os termos que continham o
produto de duas perturbações não independentes!).
Mas enfim, são lineares!!!! Uff!!!!
Então podemos fazer:
fv = f (v g + v E ) = α
onde: fv g = α
∂P
∂x
∂P
∂ 2u
− Az 2
∂x
∂z
→ v g é a velocidade geostrófica e fv E = − A z
∂ 2u
→ vE é a
∂z 2
velocidade de Ekman, associada ao “shear” vertical.
A solução de Ekman é para v E apenas, ou seja, admitiu v g = 0 , ou seja,
admitir a não existência de declive da superfície livre do oceano.
Para facilitar o problema, Ekman admitiu ainda:
-
não existência de fronteiras no oceano;
-
um oceano de profundidade infinita (para evitar o atrito no fundo, ou seja,
limitou-se a estudar o efeito da tensão do vento);
-
Az constante em profundidade;
-
um vento estacionário soprando durante um período longo;
-
∂P
∂P
=0 e
= 0 , ou seja, condições barotrópicas.
∂x
∂y
As equações de Ekman são, então:
∂ 2u
=0
∂z 2
∂2v
− fu + A z 2 = 0
∂z
fv + A z
ou seja, Coriolis + Atrito = 0
E agora a matemática (um passe de mágica!) !!!
Se o vento soprar segundo a direcção y (não esquecer), mostra-se que
a solução para as equações de Ekman são:
⎛π π
u = ± v 0cos⎜⎜ +
⎝ 4 DE
⎛π π
v = v 0 sen⎜⎜ +
⎝ 4 DE
⎞
⎛ π
⎞ ⎜⎜ D z ⎟⎟
z ⎟⎟. e⎝ E ⎠
⎠
⎛ π
⎞
⎞ ⎜⎜ D z ⎟⎟
z ⎟⎟. e⎝ E ⎠
⎠
(sinal + para o Hemisfério Norte, sinal – para o Hemisfério Sul)
onde v 0 =
(
)
2.π.τ yη / (D E .ρ. f ) é a corrente à superfície, com f sendo o módulo
de f, τ yη a magnitude de tensão do vento na superfície do oceano e
DE = π
2A z
a profundidade de Ekman, ou seja, a profundidade até onde a
f
influencia do atrito à superfície se faz sentir.
Podemos agora interpretar as soluções:
- À superfície, z = 0 , temos: u = ± v 0 cos( 45º ) e v = v 0sen( 45º ) ou seja,
a corrente à superfície flui fazendo
um ângulo de 45º para a direita da
direcção para onde sopra o vento
(para a esquerda no H. Sul).
- A velocidade da corrente à
superfície é proporcional à tensão
do
vento
à
superfície,
τ yη ,
e
depende também inversamente da
latitude, densidade da água e do
coeficiente de viscosidade de turbulento (“eddy viscosity”), Az (Está incluído na
definição de DE ).
- A magnitude da corrente diminui exponencialmente com o aumento da
profundidade (z cada vez mais negativo!). A corrente total é: v 0 e
π
z
DE
, a que
depois se acrescenta o cos (...) ou o sen (...) para achar a projecção u ou v.
Logo, a magnitude decresce exponencialmente com a profundidade.
- A velocidade roda linearmente para a direita com o aumento de
profundidade (z cada vez mais negativo...) no Hemisfério Norte (para a
esquerda no Hemisfério Sul), ou seja, roda segundo os ponteiros do relógio no
H. Norte, ou seja, anticiclónicamente.
A tangente do ângulo entre a velocidade da corrente e o eixo dos x é
dada por:
v
π
= Tg(45º +
Z) . Com a profundidade a aumentar (z cada vez mais
u
DE
negativo), a tangente é cada vez menor, logo o ângulo cada vez menor, ou
seja, o vector velocidade vai rodando para a direita. (se fosse no Hemisferio Sul
existiria um sinal (-) atrás da Tg…).
A diminuição da velocidade em
velocidade
à superfície
y
profundidade em conjunto com a
V0
rotação para a direita (no H. Norte)
v
forma a espiral de Ekman (figura
⎛⎜ 45+ π z ⎞⎟
⎝ DE ⎠
abaixo).
- À profundidade z = DE:
-π
uDE = V0 e
-π
vDE = V0 e
vento
cos (45º- π)
sen (45º- π)
u
x
A esta profundidade a velocidade diminuiu para e- π (≈0.04=1/23) daquilo
que era à superfície (u= V0 cos 45º e v= V0 sen 45º) e é oposta do que era à
superfície ( pois cos(45º- π) = - cos45º e sem (45º- π)=-sen45º).
Neste modelo, a velocidade tende assintóticamente para zero quando
z → ∞ mas de longe os efeitos mais importantes estão circunscritos à camada
superficial à espessura DE. Ekmam chamou DE a “profundidade de influência do
atrito (“depth of frictional influence”). Também se chama frequentemente
“camada de Ekman” (Ekman layer) a esta camada.
É curioso notar que DE não depende do atrito do vento (τyη), embora
aumente com viscosidades turbulentas crescentes e latitudes decrescentes.
No equador D → ∞ , logo o modelo de Ekman falha nessas regiões (ou
melhor, as condições do modelo não se verificam, pois nesta região nem num
oceano infinitamente profundo se verifica u = 0 e v = 0 para z = ∞ .
Para sucessivos valores de z verificamos que o vector velocidade, além
de diminuir de intensidade vai rodando para a direita no Hemisfério Norte
(esquerda no Hemisfério Sul). A extremidade dos vectores forma assim uma
espiral logarítmica, conhecida como a “espiral de Ekman”.
dir
o
ent
ov
d
ão
ecç
Profundidade (-z)
corrente à superfície
Espiral
de Ekman
⇒ Analisar exemplos do Pond e Pickard, pag. 88-89
ESTIMATIVAS PARA A RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE DA
CORRENTE À SUPERFICIE,
V0, A VELOCIDADE DO VENTO, W, E
PROFUNDIDADE DA CAMADA DE EKMAN, DE:
⎧ρ a → densidade do ar (≈ 1,3 Kg/m 3 )
⎪
τ η = ρ a C D W 2 ⎨W → velocidade do vento
⎪C → " drag coef." (≈ 1,4 × 10-3 → sem dimensão)
⎩ D
Logo: τ η = 1,3 × 1,4 × 10 −3 W 2 e :
V0 =
W2
2π × 1,8 × 10 −3 W 2
= 0,79 × 10 −5
m/s
×
D
f
DE × 1025
f
E
123
ρ da água
do mar
As observações mostram que a seguinte estimativa é válida para fora
das regiões equatoriais ( fora de +/- 10º latitude):
V0
0.0127
=
W
sen φ
Se substituirmos na expressão acima:
DE =
4 .3 W
sen Φ
Então se medirmos a velocidade do vento, W, e sabendo a latitude,
temos uma estimativa de DE e dai podermos estimar a velocidade da corrente à
superfície, V0, e depois a qualquer profundidade abaixo da superfície.
Reparemos que na equação acima DE depende do W ( mas na solução
das equações de Ekman não dependia de τ!). Como na solução das equações
de Ekman DE depende de Az (DE = π
2Az
f
), logo, em princípio, Az aumenta
com W… Bom, se tivermos medições de DE podemos estimar Az.
Valores numéricos (do Pond e Pickard):
Φ
10º
45º
80º
V0 / W
0,030
0,015
0,013
W = 10 m/s ⇒ DE
100 m
50 m
45 m
W = 20 m/s ⇒ DE
200 m
100 m
90 m
Analisar estes valores!!!!
⇒ NOTA: Reparemos que substituímos DE na expressão da V0 obtemos:
V0 =
2 πτ η
DEρ f
=
2πτ η
2π
Az
ρf
f
=
τη
ρ Az f
Problema: Para um vento de 18 Km/h que sopre sobre o oceano a 40ºN,
qual a velocidade da corrente induzida à superfície.
→ Fazer pela estimativa
→ Fazer pelas equações assumindo: CD= 1.4x10-3; Az = 10-1 kg/ms
ρar = 1.3 kg/m3; ρágua =103 kg/m3
Comparar os valores!
→ Qual a velocidade induzida pelo vento a 50m de profundidade?
Comentários:
→ Muitas vezes compara-se (e por vezes confunde-se) a camada de mistura
com a camada de Ekman, o que não é correcto na maioria das vezes:
- a camada de mistura depende da história passada do vento no local.
- a camada de Ekman depende da velocidade do vento na altura.
- a camada de mistura depende da estabilidade da água subjacente, dos
perfis de salinidade e temperatura.
→ A teoria de Ekman assume Az constante em profundidade e que o vento é
constante, sabe-se que nenhuma destas premissas se verifica! Embora os
resultados fundamentais desta teoria sejam para levar a sério, (como o desvio
para a direita da camada superficial relativamente ao vento, ou o seu
decréscimo exponencial em profundidade) os pormenores da teoria não são
para levar a sério!
Ainda hoje há poucas medições para confirmar a teoria de Ekman!!!
(embora os resultados fundamentais estejam correctos e confirmados).
→ Também há uma camada de Ekman atmosférica e ai há mais medições a
confirmar a teoria.
O problema com a teoria de Ekman tem sobretudo a ver com efeitos que
dependem das variações temporais tais como o vento.
TRANSPORTE E AFLORAMENTO
A corrente de Ekman induzida pelo vento é máxima à superfície e
decresce em profundidade à medida que vai rodando para a direita no
Hemisfério Norte! Vamos ver que o transporte integrado na camada de Ekman
faz-se com 90º para a direita relativamente à direcção do vento.
Na ausência de gradiente de pressão, uma das formas das equações do
movimento, que já tínhamos escrito, era:
∂τ x
= 0 ⇒ ρfvdz = −dτ x
∂z
∂τ
ρfu + y = 0 ⇒ ρfudz = −dτ y
∂z
ρfv +
Analisemos o que significa ρvdz : representa a massa que flui por
unidade de tempo na direcção y através de uma área de profundidade dz e
largura uma unidade (1 metro...) na direcção x, perpendicular ao escoamento
→ o mesmo para ρudz!!!
0
Logo
∫ ρvdz
será a massa total passa desde a profundidade –z até à
−z
superfície numa “unidade de largura” do escoamento, perpendicular a esse
escoamento, ou seja, é a massa total transportada por unidade de largura na
direcção y. Se escolhermos a profundidade -z bem funda, então o transporte irá
incluir toda a corrente induzida pelo vento. Seja então –z = -2DE, onde a
velocidade da corrente será e −2 π ≈ 0.002 , da corrente à superfície, logo
virtualmente nula. Então os transportes de Ekman (ou seja, os transportes
induzidos pelo vento), serão:
0
fM yE = f
fM XE = f
∫ ρvdz = −
0
∫ dτ
− 2DE
− 2D E
0
0
∫ ρudz = −
− 2DE
x
∫ dτ
− 2D E
y
= −τ x sup + − τ x( −2DE )
= −τ y sup + − τ y( −2DE )
Mas τ x( −2DE ) e τ y( −2DE ) serão aproximadamente nulos porque à profundidade -2DE,
as velocidades e consequentemente as tensões, serão quase inexistentes.
Logo fM XE = τ y sup e fM yE = − τ x sup ou em transporte de volume em vez de
massa : M XE = ρQ xE e M yE = ρQ yE , temos: fQ xE = ατ y sup e fQ yE = −ατ x sup .
Continuando a considerar o vento soprando segundo y, então:
τ x sup = 0 e M yE = 0 , mas M XE > 0 porque τ y sup > 0 , mostrando que o transporte
total induzido pelo vento faz-se para a direita e com um ângulo de 90º em
relação à direcção de onde sopra o vento! (vice-versa no Hemisfério Sul).
Notas: “upwelling”
→ A equação da continuidade impõe que haja substituição de água que
é transportada para a direita relativamente à direcção do vento. Essa água terá
então que vir da esquerda (isto tudo no Hemisfério Norte). Contudo, se o vento
soprar paralelamente a uma linha de costa, deixando a costa à esquerda (no
Hemisfério Norte) de onde virá a água? ( para o oceano infinito de Ekman isto
não seria problema!!). O que ocorre na natureza é que essa água de
substituição vem das camadas subsuperficiais. Este comportamento é
conhecido como “afloramento costeiro” ou “upwelling” em inglês. As regiões de
upwelling são por isso regiões de divergência. Este fenómeno ocorre com
frequência ao longo das fronteiras Este dos oceanos. No Hemisfério Norte, o
vento tem que soprar para Sul ao longo da costa, o que ocorre com frequência
em especial no Verão, devido ao estabelecimento de baixas pressões de
origem térmica. No Hemisfério Sul o transporte é para a esquerda em relação
ao vento e o vento tem que soprar para Norte ao longo de fronteira Este para
ocorrer upwelling (o que ocorrer com frequência).
Ou seja, o upwelling ocorre quando o vento sopra para o Equador ao
longo de uma fronteira Leste do oceano ou para o Pólo ao longo de uma
fronteira Oeste (situação muito menos comum…)
→ De que profundidades vêm as águas afloradas? Não mais de 200 300 m de profundidade.
→ O upwelling tem grandes implicações biológicas.
→”Downwelling”: o vento sopra deixando a linha de costa à direita (no
Hemisfério Norte).
→ Correntes geostróficas asociadas ao Upwelling / Downwelling:
Estas correntes ao longo da costa têm em geral velocidades muito
maiores que as correntes para o largo ou para a costa induzidas directamente
pelo vento, via teoria de Ekman, tornando estas ultimas muito difíceis de medir.
Muitas vezes estas correntes geostróficas associadas ao upwelling não
são “bem” geostróficas!: perto das costas e/ou em águas pouco profundas, o
atrito no fundo pode ser importante e o balanço entre o gradiente de Pressão e
a Força de Coriolis não funciona!
A um dado nível, perto da superfície, a água junto à costa será mais
densa que a água ao largo. Esta diferença de densidades vai diminuindo em
profundidade, logo a corrente geostrófica associada ao afloramento vai
diminuindo em profundidade, sendo portanto baroclínica. Por vezes há uma
“sobre compensação” e o gradiente de pressão muda de sinal, gerando-se uma
“ undercurrent” (corrente de sub-superfície) para o Pólo (para norte no
Hemisfério Norte).
UPWELLING E DOWNWELLING LONGE DAS COSTAS
A teoria de Ekman assume que o vento é uniforme, o que não é
verdade. Por exemplo, se considerarmos um vento que é constante na
direcção e sentido, mas varia na intensidade, irá gerar zonas de convergência
e de divergência, que serão acompanhadas de movimentos de “downwelling” e
“upwelling” respectivamente, nas camadas superficiais do oceano:
Nesta situação há
convergência, logo
“downwelling”
Caso do Atlântico Norte: Nas altas latitudes o vento sopra para leste e nas
baixas latitudes para oeste:
Subida
“Ekman pumping”: Assim regiões de convergência são regiões de subida do
nível do mar (regiões de downwelling). Regiões de divergência são regiões de
descida do nível do mar (regiões de upwelling) logo “Ekman pumping”:
Upwelling Equatorial:
Um vento a soprar para oeste ao longo da região equatorial irá causar
divergência e upwelling no equador, porque o transporte será para a direita no
hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul (assumindo que a teoria
de Ekman funciona no equador...).
ATRITO NO FUNDO E EFEITOS PARTICULARES EM ÁGUAS
POUCO PROFUNDAS:
Quando a corrente flui junto ao fundo do oceano, o atrito induz uma
espiral de Ekman de fundo, de forma análoga espiral induzida pelo vento, com
a diferença que as espirais são opostas!
⇒ A demonstração matemática pode ser vista no Pond e Pickard!!!!
Vejamos os resultados e a análise qualitativa:
A corrente roda da sua direcção geostrófica para a esquerda de um
ângulo de 45º enquanto a velocidade se torna zero no fundo:
Análise qualitativa
Longe do fundo a corrente é geostrófica → força de Coriolis, equilíbra a
força do gradiente de pressão, com a força de Coriolis a actuar para a direita e
a força do gradiente de pressão para a esquerda da corrente geostrófica.
Com a aproximação do fundo, a corrente diminui de velocidade devido
ao atrito. Logo a força de Coriolis diminui, porque é proporcional à velocidade.
Então a força do gradiente de pressão não é compensada e o escoamento
roda para a esquerda até que haja balanço entre a força de Coriolis, a força do
gradiente de pressão e a força de atrito no fundo, o que ocorre quando a
velocidade rodou 45º para a esquerda. Mas também nessa altura a velocidade
é nula!! Por isso não chega a rodar 45º...
velocidade geostrófica
Fgrad.P
corrente
Fatrito
fundo do mar
FCoriolis
equilíbrio perto do fundo
rodou para a esquerda
Coisas interessantes:
→ Esta mesma solução aplica-se ao vento, ou seja à interface
Atmosfera – Terra (ou Oceano). Assim o vento à superfície, no hemisfério
Norte, sopra 45º para a esquerda do vento geostrófico e a corrente de
superfície é 45º para a direita do vento à superfície.
Assim, a corrente à superfície terá a mesma direcção do vento
geostrófico, ou seja, do vento acima da camada de Ekman atmosférica.
Contudo, estes resultados não são para ser levados muito a sério,
porque fizemos muitas aproximações ao escolher a forma de Az.... Assim, o
que se verifica na prática é que o vento à superfície roda menos que 45º , em
geral entre 10º e 20º, isto também porque o vento não sopra de forma
constante, é dependente do tempo e também a factores de estabilidade. Da
mesma forma, a corrente à superfície induzida pelo vento também não chega a
rodar 45º para a direita em relação ao vento à superfície, mas neste caso
aproxima-se bastante.
→ A 10 m de altitude o vento é cerca de 60 a 70% do vento geostrófico.
A redução para vento igual a zero ocorre muito perto da superfície. A
espessura da camada de Ekman atmosférica é tipicamente 10 vezes a do
oceano.
→ Se olharmos para o oceano real, verificamos que é possível pensar
na seguinte combinação: uma corrente geostrófica devido a um forçamento
termohalino, uma espiral de Ekman nas camadas superiores, uma espiral de
Ekman no fundo que se sobreporá à da superfície se o oceano for pouco
profundo (junto à costa, sobre a plataforma) e ainda uma corrente de maré. A
descrição do movimento torna-se assim muito complicada. Por isso é muito
difícil analisar o movimento nas suas três componentes: geostrófica, induzida
pelo vento e de maré, em particular se todas estiverem a variar no tempo.
→ À medida que a água se torna pouco profunda, na ordem de DE ou
menos, as espirais de Ekman de superfície e de fundo sobrepõem-se. As duas
espirais tendem a cancelar-se e o transporte total dá-se sobretudo na direcção
do vento à superfície e não perpendicularmente a ele. Quando a profundidade
decresce para cerca de DE/10, o transporte dá-se na direcção do vento, sendo
o efeito de Coriolis “abafado” pelo atrito → é o que acontece nas praias.
LIMITAÇÕES DA TEORIA DE EKMAN:
A teoria de Ekman é bem fundamentada, é bonita, mas na realidade
nunca ninguém observa uma espiral de Ekman bem desenhada no oceano! O
que não quer dizer que a teoria esteja errada!
A espiral de Ekman é bem observada em laboratório, onde a
viscosidade é molecular e não turbulenta. E há evidencia que os seus efeitos
integrados ocorrem, como é o caso do upwelling. Contudo, o problema
resolvido por Ekman é ideal:
- Não existem fronteiras: não é realista, mas não é uma má aproximação
longe da costa e as consequências junto ás costas suportam a solução obtida.
- Oceano de profundidade infinita: não é exacto mas é uma pequena
fonte de erro: DE ≈ 100 – 200 m e a profundidade média do oceano é ≈ 4000
m.
- Az constante → O mais certo é não ser verdade, mas o nosso
conhecimento sobre isto é tão pouco que não se sabe se é ou não uma grande
fonte de erro.
- Vento estacionário, o que leva a uma solução apenas para o estado
estacionário → Provavelmente a maior fonte de erro, pois nem o vento nem o
oceano são estacionários.
- Água homogénea (o que implica condições barotrópicas) → Não é
manifestamente verdade. Sverdrup tentou corrigir esta “falha” na teoria de
Ekman, como veremos a seguir.
A SOLUÇÃO DE SVERDRUP PARA A CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO
VENTO
As equações do movimento para um movimento uniforme e desprezado
o atrito devido aos gradientes horizontais da velocidade, são:
∂τ
∂P
= fv + ∂ x
∂z
∂x
∂τ y
∂P
α
= − fv + ∂
∂y
∂z
α
∂ 2u
∂z 2
∂ 2v
Az 2
∂z
Az
(F.grad P = F. Coriolis + F. Atrito)
Ekman assumiu um oceano “horizontal” e por isso ignorou os termos à
⎛ ∂P
∂P ⎞
⎟ . Aqui apenas estamos a ignorar os gradientes
e α
esquerda ⎜⎜ α
∂y ⎟⎠
⎝ ∂x
horizontais da velocidade num movimento uniforme. Ou seja, a solução que
vamos encontrar não será própria para descrever movimentos onde esses
gradientes sejam importantes (nas correntes muito fortes!).
O que Sverdrup fez foi fazer constar da equação os gradientes de
pressão e abandonou qualquer tentativa de descrever o comportamento da
velocidade em profundidade. Ou seja, apenas procurou descrever o transporte
total nas direcções x e y em toda a camada afectada pelo vento (ou seja, Mx e
My em termos de transporte de massa).
Assim, integrou as equações desde z = - h, que será uma profundidade
onde o efeito do vento já não se faz sentir. Por isso h >> DE. Logo:
0
0
0
0
∂P
∫−h ∂x dz = −∫hρfvdz + τ xsup = fMy + τ xsup
∂P
∫−h ∂y dz = −∫hρfudz + τ xsup = fM x + τ xsup
z2
Lembrar que:
∫ ρvdz , é o transporte de massa na direcção y entre as camadas
z1
z1 e z2 (My).