EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES

MATEMÁTICA
EQUAÇÕES E
INEQUAÇÕES
1. UnB-DF Em uma competição, participaram caminhões (seis rodas), motocicletas (duas
rodas) e jipes (quatro rodas). Devido ao desgaste, todos os pneus foram substituídos uma
única vez durante a prova. Ao final desta, foram contabilizadas as quantidades de pneus
trocados, constatando-se que, no total, para caminhões e motocicletas, foram substituídos 132 pneus e para caminhões e jipes, 212 pneus. Ao todo, foram trocados 260 pneus.
Calcule a quantidade total de veículos que participaram da competição.
1
2. UFRN Sendo S = {x ∈ |R |
a)
b)
c)
d)
1
1
+
= 0}.
x +1
x −1
S não possui elementos.
S possui um único elemento.
S possui dois elementos.
S possui mais de dois elementos.
GABARITO
3. UFF-RJ Considere a equação:
(m + n – 1)x2 + (m – n + 1)y2 + 2x + 2y – 2 = 0.
Pode-se afirmar que:
a) Se m = 0 e n = 2 então a equação representa uma elipse.
b) Se m = n = 0 então a equação representa uma reta.
c) Se m = 0 e n = 1 então a equação representa uma parábola.
d) Se m = 1 e n = 2 então a equação representa uma hipérbole.
e) Se m = n = 1 então a equação representa uma circunferência.
4. PUC-PR Resolvendo a equação
32x+3 – 32x+2 + 2 . 32x = 22x+5 – 22x+1
temos que x é igual a:
a) 1
b)
1
IMPRIMIR
2
c)
3
d) 2
e) 3
2
5. ITA-SP Se a 僆 |R é tal que 3y2 – y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação
32x + 1 – 3x + a = 0 é:
a) log2 6
b) –log2 6
c) log3 6
d) –log3 6
e) 1 – log3 6
6. Mackenzie-SP Para que a equação kx2 + x + 1 = 0, com k inteiro e diferente de zero,
admita uma raiz inteira, deveremos ter k igual a:
a) –4
d) –2
b) 2
e) 8
c) 4
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MATEMÁTICA - Equações e inequações
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7. UFMT Um número é formado por três algarismos cuja soma é 13. O algarismo das
centenas é o triplo do algarismo das dezenas. Subtraindo-se 792 desse número, obtém-se
outro que possui os mesmos algarismos, mas escritos em ordem inversa. Qual é o valor
do produto dos algarismos desse número?
8. Unifor-CE Uma das soluções da equação
2x 2 + x
= 2x + 1 é um número inteiro múltiplo de:
11
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 11
9. PUC-RJ A equação x4 – 2b2x2 + 1 = 0
a) não tem soluções reais se –1 < b < 1;
b) sempre tem apenas uma solução real;
c) tem apenas duas soluções reais se b > 1;
d) sempre tem quatro soluções reais;
e) tem quatro soluções reais se b = 0.
2
10. UFSC O valor de x, que satisfaz a equação
22x+1 – 3 . 2x+2 = 32, é:
11. Vunesp O tempo t, em segundos, que uma pedra leva para cair de uma altura x, em
metros, é dado aproximadamente pela fórmula t = 5x. Se o tempo (t) da queda é de 4
5
segundos, a altura x é:
a) 80 m
b) 75 m
c) 55 m
d) 45 m
e) 40 m
IMPRIMIR
GABARITO
2
2
12. ITA-SP A soma das raízes reais positivas da equação 4x – 5 • 2x + 4 = 0 vale:
a) 2
b) 5
c) 2
d) 1
e) 3
13. UEMS As equações Bx3 – x2 – x – (B – 3) = 0 e
Bx2 – x – (B – 3) = 0 (B ∈ |R e B ≠ 0) possuem uma raiz comum:
a) somente se B = –5
b) qualquer que seja B ≠ 0
c) somente se B = 4
d) somente se B = 2
e) somente se B = 1
14. Unifor-CE No universo |R, a equação
x − 2 admite:
2
uma única raiz, inteira e positiva;
uma única raiz, inteira e negativa;
uma única raiz, irracional e positiva;
duas raízes opostas;
duas raízes positivas.
2−x =
a)
b)
c)
d)
e)
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MATEMÁTICA - Equações e inequações
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15. UFMG Considere a equação (x2 – 14x + 38)2 = 112.
O número de raízes reais distintas dessa equação é:
a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
16. Cefet-PR O produto das raízes da equação
32x+1 – 10 . 3x + 3 = 0 é:
a) 2
b) –2
c) 1
d) –1
e) 0
17. Unicamp-SP Considere a equação:
冢 冣 冢 冣
2 x2 + 12 + 7 x + 1 + 4 = 0.
x
x
a) Mostre que x = i é raiz dessa equação.
b) Encontre as outras raízes da mesma equação.
3
18. F.I. Anápolis-GO A soma das raízes da equação
|x + 2|2 – |x + 2| – 2 = 0 vale:
a) – 8
b) – 4
c) 0
d) 4
e) 1
19. Unifor-CE Um professor colocou no quadro-negro uma equação do 2° grau e pediu que
os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou
as raízes –3 e –2. Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e
achou as raízes 1 e 4. A diferença positiva entre as raízes da equação correta é:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
20. F.M. Itajubá-MG Simplificando a expressão
(9 − x )
2
GABARITO
(x
2
− 5x + 6
)
com x ≠ 2, obtem-se:
x + 3

a) – 
x − 2
3 + x 

b) 
x − 2
c) 1
IMPRIMIR
3 − x 

d) 
x − 2
e) Nenhuma das respostas anteriores.
21. U.E. Ponta Grossa-PR Dada a equação
32x – 4 . 3x + 3 = 0, assinale o que for correto.
01. A soma entre suas raízes é 4 e o produto é 3.
02. A soma entre suas raízes é nula.
04. Se s é a soma entre suas raízes, então 10s = 10
08. Se p é o produto entre suas raízes, então 3p = 1
16. O produto entre suas raízes é um número ímpar.
Dê, como resposta, a soma das alternativas corretas.
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MATEMÁTICA - Equações e inequações
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22. FEI-SP A quantidade de partículas poluentes emitidas por uma indústria varia conforme
o seu grau de atividade. Considerando-se que o grau de atividade é medido em uma
escala de 0 a 100, a variação da quantidade de partículas é descrita pela expressão:
q = 10g (172 – g), onde g é o grau de atividade da indústria. Para que grau de atividade
observa-se a maior quantidade de partículas?
a) 17,2
d) 86,0
b) 34,4
e) 100,0
c) 68,8
23. Vunesp Durante um evento, o organizador pretende distribuir, como brindes, a alguns
dos participantes, caixas (kits), com o mesmo conteúdo, formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se que ele possui exatamente 200 camisetas e 120 chaveiros.
a) Decomponha os números 200 e 120 em fatores primos.
b) Determine o número máximo de caixas, com o mesmo conteúdo, que o organizador
conseguirá formar utilizando todos os chaverios e camisetas disponíveis.
24. U. Católica-DF A solução da equação 3x–2 + 3x+1 = 84 em |R é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 0
e) 1
4
25. Unifor-CE Os números reais A e B que satisfazem à igualdade
4x − 5
=
A
+
B
são tais que:
(x − 1).(x − 2) x − 1 x − 2
a) B = 3 . A
b) B – A = 1
c) A + B = 9
d) AB = 3
e) A > B
26. UFMG Suponha que a equação:
2
2
8ax +bx+c = 43x+5 . 25x –x+8 seja válida para todo número real x, em que a, b e c são números
reais. Então, a soma a + b + c é igual a:
a)
GABARITO
b)
5
3
17
3
c)
28
3
d) 12
27. Cefet-PR Se “a”, “b” e “c” são raízes da equação
x3 – 3x2 + 4x + 7 = 0, o valor de a3 + b3 + c3 será:
a) –30
d) 30
b) 20
e) 15
c) –10
2
IMPRIMIR
28. Mackenzie-SP Um conjunto de soluções da inequação πx – π4 > 0 é:
a) ] –1, 1 [
d) [ 3, 10 ]
b) [ 1, 4 ]
e) [ 0, 1 ]
c) ] –4, –1 [
29. F.I. Anápolis-GO A equação
a) uma raiz inteira negativa;
b) uma raiz natural;
c) duas raízes reais;
d) conjunto vazio;
e) uma raiz fracionária.
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x + 7 + 5 = x tem como solução:
MATEMÁTICA - Equações e inequações
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30. UECE Para certos valores de k o produto das raízes da equação x2 + 5kx + 3k2 + 4 = 0 é
igual a 16. Para cada um destes valores, as raízes da equação são:
a) reais e iguais;
b) números complexos, não reais;
c) números irracionais, diferentes;
d) ambas positivas ou ambas negativas.
31. UFMG Considere a desigualdade ax2 + bx + c > 0, em que a, b e c são números reais.
Sabe-se que:
•x=–
62
7
7
ex=
• x = – 42 e x =
25
satisfazem essa desigualdade; e
26
não a satisfazem.
25
Assim sendo, é correto afirmar que:
a) a > 0
c) b2 – 4ac > 0
b) b > 0
d) c < 0
5
32. PUC-RS Se
a) 13
(
(n
)
− 1!
)
n + 1 ! − n!
b) 11
=
1
81
, então n é igual a:
c) 9
d) 8
e) 6
33. ITA-SP Seja S = [ –2, 2 ] e considere as afirmações:
冢冣
34. UFMS Um comerciante adquiriu um suporte para moedas para que a pessoa que trabalha
como caixa em seu estabelecimento comercial possa organizar as moedas de 5, 10, 25 e
50 centavos e de 1 real. Num determinado momento, a soma dos valores das 355 moedas
que estão no suporte, das quais 45 são moedas de 1 real, corresponde a 91 reais. Sabendose que, neste mesmo momento, o número de moedas de 5 centavos é o dobro do número
de moedas de 25 centavos e que o valor em reais do total de moedas de 50 centavos e do
total de moedas de 25 centavos é o mesmo, calcular o número de moedas de 50 centavos.
IMPRIMIR
GABARITO
x
I. 1 ≤ 1 < 6, para todo x 僆 S.
4
2
1
II.
< 1 , para todo x 僆 S.
32 – 2x
32
III. 22x – 2x ≤ 0, para todo x 僆 S.
Então, podemos dizer que:
a) apenas I é verdadeira.
b) apenas III é verdadeira.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) apenas II é falsa.
e) todas as afirmações são falsas.
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MATEMÁTICA - Equações e inequações
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35. Unicap-PE Analise detidamente as proposições:
(
) 2 x − 1 > 1 ⇔ 2x – 1 > x + 3 ⇒ x > 4
x +3
(
) x −1 > 0 ⇔ x – 1 > 0 e x + 3 > 0
x +3
(
)
(
) (5x – 10)5 > 0 ⇒ 5x – 10 > 0
(
) (3x – 12)4 < 0 ⇒ 3x – 12 < 0 ⇒ x < 4
f ( x)
> 0 ⇔ f(x) . g(x) > 0
g( x )
36. Unifor-CE O número de soluções inteiras da inequação x2 < 6 – x é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
6
37. UFMG Seja M o conjunto dos números naturais n tais que 2n2 – 75n + 700 ≤ 0.
Assim sendo, é correto afirmar que:
a) apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4;
b) apenas dois dos elementos de M são primos;
c) a soma de todos os elementos de M é igual a 79;
d) M contém exatamente seis elementos.
38. UFSC Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).
01. Sejam x e y o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de 15 e 18,
respectivamente. Então o produto xy = 270.
02. Se A = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}, então, A é equivalente a {x2 / x ∈ N e 1 < x < 7}.
04. Numa divisão, cujo resto não é nulo, o menor número que se deve adicionar ao
dividendo para que ela se torne exata é (d – r), sendo d o divisor e r o resto.
GABARITO
IMPRIMIR
x − 3
≤ 1 , para x ≠ 2, é {x ∈ |R / 1 ≤ x < 2}.
x − 2
16. Sejam A e B dois conjuntos finitos disjuntos. Então n(A ∪ B) = n(A) + n(B), onde
n(X) representa o número de elementos de um conjunto X.
08. O conjunto solução da inequação
39. ITA-SP Sendo I um intervalo de números reais com extremidades em a e b, com a < b, o
número real b – a é chamado de comprimento de I.
Considere a inequação
6x4 – 5x3 – 7x2 + 4x < 0.
A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a:
a) 3
4
3
b)
2
7
c)
3
11
d)
6
7
e)
6
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MATEMÁTICA - Equações e inequações
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40. Unifor-CE O número de soluções inteiras e não nulas da inequação
2
2
 2 − n <  2 + n
é:
 n 2
 n
2
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
41. Cefet-RJ Seja A o conjunto dos números inteiros que satisfazem à inequação
3(2x – 5)(x – 1) < (–2x + 5)2.
A soma dos elementos de A é:
a) um número negativo;
b) 0;
c) 1;
d) 2;
e) um número maior que dois.
42. UFSC A soma dos dígitos do número inteiro m tal
8
que 5 m + 24 > 5500 e –
7
5
m + 700 > 42 – m, é:
43. Unicamp-SP Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares
consecutivos cuja soma é 15.
a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
c) Sendo α e β os outros dois ângulos do referido triângulo, com β > α, mostre que
sen2 β – sen2 α < 1 .
4
44. Unifor-CE No universo |R, o conjunto solução da inequação
GABARITO
a)
b)
c)
d)
e)
{x ∈ |R | x ≥ 2}
{x ∈ |R | x ≤ 2 e x ≠ –2}
{x ∈ |R | x < –2 ou x ≥ 2}
{x ∈ |R | –2 < x ≤ 2}
{x ∈ |R | x < –2}
45. PUC-RJ Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades
2x + 3 ≤ x + 7 e x + 5 ≤ 3x + 1?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) infinitos
46. U.F. Santa Maria-RS Seja a inequação
IMPRIMIR
x2 − 4
≤ 0 é:
x+2
a) ] – ∞, – 5 ] ∪ ]2,
b) ] –2, – 5 ] ∪ ]2,
5 − x2
2 − x
≤ 0 , com x ≠ 2. Sua solução é:
5]
5]
c) ] 2, + ∞[
d) [– 5 ,
5]
e) |R
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MATEMÁTICA - Equações e inequações
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47. Fatec-SP Se S é o conjunto solução da inequação
3
1 – x > 0,
x2 – 3x
então S é:
a) ] 0, 1 [ 傼 ] 3, + ⴥ [
b) ] – ⴥ, 0 [ 傼 ] 1, 3 [
c) ] – ⴥ, 0 [ 傼 ] 3, + ⴥ [
d) ] – ⴥ, 3 [
e) ] 1, + ⴥ [
48. Unifor-CE O menor número inteiro que satisfaz a inequação
(2x – 2) . (3x – 1) ≥ (1 – 3x)2 é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
IMPRIMIR
GABARITO
8
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MATEMÁTICA - Equações e inequações
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MATEMÁTICA
EQUAÇÕES E
INEQUAÇÕES
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
70
B
E
B
D
D
27
E
A
03
A
C
B
A
C
D
a) demonstração
b) –i, –7 – 33 e –7 + 33
4
4
D
C
A
04 + 08 = 12
D
a) 200 = 23 . 52 e 120 = 23 . 3 . 5
b) 40 caixas.
B
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
A
C
A
D
B
D
C
C
A
30
F-F-V-V-F
D
A
01 + 04 + 16 = 21
D
A
D
16
a) 3, 5 e 7.
b) 2π
3
c) demonstração
B
D
A
B
B
IMPRIMIR
GABARITO
1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
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