Mecânica Quântica para Sistemas Fechados

Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Ciências Naturais e Exatas
Programa de Pós-Graduação em Física
Grupo de Teoria da Matéria Condensada
Mecânica Quântica para Sistemas Fechados
Jonas Maziero
Santa Maria - RS, Abril de 2012
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Referências
A. Barletta, “An introduction to quantum mechanics · · · for
those who dwell in the macroscopic world”,
arXiv:1201.4234;
M. G. A. Paris, “The modern tools of quantum mechanics.
A tutorial on quantum states, measurements, and
operations”, Eur. Phys. J. Special Topics 203, 61 (2012);
M. A. Nielsen e I. L. Chuang, Quantum Information and
Quantum Computation (Cambridge University Press,
Cambridge, 2000);
A. F. R. de Toledo Piza, Mecânica Quântica (Edusp, São
Paulo, 2009);
A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods
(Kluwer Academic Publishers, New York, 2002).
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Sumário ±σ
Mecânica Quântica para Sistemas Fechados
Postulados (Estados Puros)
1
2
3
Postulado dos Estados: |ψi ∈ H;
Postulado da Dinâmica: |ψ(t)i = U(t, t0 )|ψ(t0´)i,
t
i~∂t |ψ(t)i = H(t)|ψ(t)i, U(t, t0 ) = exp(−i~−1 t H(t0 )dt0 );
0
P
Postulado das Medidas: O = O† = i oi |oi ihoi |,
o
i
pr(oi ||ψi) = |(|oi i, |ψi)|2 , |ψi −→
|oi i;
Valor Médio de um Observável, hOi|ψi = (|ψi, O|ψi);;
Relações de Incerteza de Heisenberg e de Schrödinger,
2
det Σ(A, B)|ψi ≥ (2i)−1 (|ψi, [A, B]|ψi) ;
P
Operador Densidade, ρ = i pr(|ψi i)|ψi i|ψi i† ;
Postulados (Mistura Estatística de Estados)
1
2
3
Postulado dos Estados: ρ ∈ L(H), ρ ≥ 0, trρ = 1;
Postulado da Dinâmica: ρ(t) = U(t, t0 )ρ(t0 )U† (t, t0 ),
i~∂t ρ(t) = [H(t), ρ(t)];
Postulado das Medidas:
oi
pr(oi |ρ) = (|oi i, ρ|oi i) = tr(ρ|oi i|oi i† ), ρ −→
|oi i|oi i† .
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Postulados
1. Postulado dos Estados
Os possíveis estados de um sistema físico fechado
correspondem a vetores normalizados |ψi em um espaço de
Hilbert H.
Sistemas Compostos
(por mais de um objeto ou por mais de um grau de liberdade)
são descritos por um vetor |ψ ab··· i no espaço de Hilbert obtido
através do produto tensorial Hab··· = Ha ⊗ Hb ⊗ · · · dos
espaços de Hilbert de suas partes constituintes.
Princípio da Superposição
Se |ψ1 i e |ψ2 i são possíveis estados do sistema, então a
combinação linear c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i também é um estado
admissível, onde c1 , c2 ∈ C com |c1 |2 + |c2 |2 = 1.
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2. Postulado da Dinâmica
A dinâmica do estado de um sistema é descrita por uma
transformação unitária. Ou seja, se no tempo t0 o estado do sistema
é |ψ(t0 )i então num instante posterior t o estado do sistema é
|ψ(t)i = U(t, t0 )|ψ(t0 )i,
onde U(t, t0 )U† (t, t0 ) = U† (t, t0 )U(t, t0 ) = I.
Equação de Schrödinger
A dinâmica do estado do sistema é gerada pela equação de
Schrödinger
∂|ψ(t)i
= H(t)|ψ(t)i,
i~
∂t
onde
p2
H(t) =
+ V(t) = H† (t)
2m
é o operador Hamiltoniano (energia) do sistema.
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Das Equações anteriores vemos que U(t, t0 ) deve satisfazer
i~
∂U(t, t0 )
= H(t)U(t, t0 ).
∂t
Forma geral para U(t, t0 )
ˆ
i t
0
0
U(t, t0 ) = exp −
H(t )dt .
~ t0
Verificação.
∂U(t, t0 )
i~
∂t
ˆ
∂
i t
0
0
= i~ exp −
H(t )dt
∂t
~ t0
ˆ t
i
∂
0
0
= i~ −
H(t )dt U(t, t0 )
~
∂t t0
= H(t)U(t, t0 )
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3. Postulado das Medidas
Quantidades observáveis são descritas por operadores Hermitianos
X
O=
oi |oi i|oi i† ,
i
ou seja, oi ∈ R. O conjunto de vetores P
{|oi i} forma uma
P base
ortonormal ((|oi i, |oj i) = δij ) completa ( i |oi i|oi i† := i Poi = I) para
o espaço de estados do sistema (H).
Regra de Born. Se o estado do sistema é |ψi, a probabilidade de
obter o resultado oi em uma medida do observável O é dada por
pr(oi ||ψi) = |(|oi i, |ψi)|2 = (|ψi, Poi |ψi).
Estado do Sistema Imediatamente Após a Medida
o
i
|ψi −→
Poi |ψi
= |oi i.
||Poi |ψi||
Repitibilidade. Se medirmos O novamente, imediatamente depois
da primeira medida, obteremos o mesmo resultado, i.e.,
pr(oi ||oi i) = 1.
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Valore Médio de O
Para N preparações idênticas de um sistema no estado |ψi e
N medidas do observável O, o valor médio deste observável é
dado por
X
hOi|ψi =
oi pr(oi ||ψi)
i
=
X
=
X
=
X
=
X
oi |(|oi i, |ψi)|2
i
oi (|oi i, |ψi)∗ (|oi i, |ψi)
i
oi (|ψi, |oi i)(|oi i, |ψi)
i
oi |ψi† |oi i|oi i† |ψi
i
X
= |ψi† (
oi |oi ihoi |)|ψi
i
= (|ψi, O|ψi).
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Erro associado ao valor médio de O
O erro em relação ao valor médio de O pode ser estimado
usando o desvio padrão (raiz da variância)
q
∆O|ψi =
h(O − hOi|ψi I)2 i|ψi
sX
=
(oi − hOi|ψi )2 pr(oi ||ψi)
i
sX
(o2i − 2oi hOi|ψi + hOi2|ψi )pr(oi ||ψi)
=
i
"
=
X
o2i pr(oi ||ψi) − 2hOi|ψi
X
i
oi pr(oi ||ψi)
i
#1/2
+hOi2|ψi
X
pr(oi ||ψi)
i
q
=
hO2 i|ψi − hOi2|ψi
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Relação de Incerteza de Heisenberg e de Schrödinger
Consideremos um sistema em um estado |ψi e dois
observáveis deste sistema representados por dois operadores
Hermitianos à e B̃. Se definirmos A := à − hÃi|ψi I e
B := B̃ − hB̃i|ψi I, da desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos
(A|ψi, A|ψi)(B|ψi, B|ψi) ≥ |(A|ψi, B|ψi)|2
(|ψi, A2 |ψi)(|ψi, B2 |ψi) ≥ |(|ψi, AB|ψi)|2
(∆Ã|ψi )2 (∆B̃|ψi )2 ≥ (Re(|ψi, AB|ψi))2 + (Im(|ψi, AB|ψi))2
≥ (Im(|ψi, AB|ψi))2
Agora
Im(|ψi, AB|ψi)
=
(2i)−1 ((|ψi, AB|ψi) − (|ψi, AB|ψi)∗ )
=
(2i)−1 ((|ψi, AB|ψi) − (AB|ψi, |ψi))
=
(2i)−1 ((|ψi, AB|ψi) − (|ψi, BA|ψi))
=
(2i)−1 (|ψi, (AB − BA)|ψi)
=
(2i)−1 (|ψi, [A, B]|ψi)
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e
[A, B] = [Ã, B̃].
Assim
(∆Ã|ψi )2 (∆B̃|ψi )2 ≥ ((2i)−1 (|ψi, [Ã, B̃]|ψi))2 ,
e com isso obtemos a
Relação de incerteza de Heisenberg
(∆Ã|ψi )(∆B̃|ψi ) ≥ |(2i)−1 (|ψi, [Ã, B̃]|ψi)|
Temos também
Re(|ψi, AB|ψi) = 2−1 ((|ψi, AB|ψi) + (|ψi, AB|ψi)∗ )
= 2−1 ((|ψi, AB|ψi) + (|ψi, BA|ψi))
= 2−1 (|ψi, {A, B}|ψi)
11 / 21
Então, de
(∆Ã|ψi )2 (∆B̃|ψi )2
≥ (Re(|ψi, AB|ψi))2 + (Im(|ψi, AB|ψi))2 ,
obtemos a
Relação de incerteza de Schrödinger
(∆Ã|ψi )2 (∆B̃|ψi )2
≥ (2−1 (|ψi, {A, B}|ψi))2 + ((2i)−1 (|ψi, [Ã, B̃]|ψi))2
que pode ser escrita como
det Σ(Ã, B̃)|ψi ≥ ((2i)−1 (|ψi, [Ã, B̃]|ψi))2 ,
onde a matriz de covariância é definida como
(∆Ã|ψi )2
Cov(Ã, B̃)|ψi
Σ(Ã, B̃)|ψi :=
,
Cov(Ã, B̃)|ψi
(∆B̃|ψi )2
com a covariância dada por
Cov(Ã, B̃)|ψi := 2−1 (|ψi, {A, B}|ψi).
=
h(Ã − hÃiI)(B̃ − hB̃iI)i|ψi
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Operador Densidade
Incerteza no processo de preparação dos estados
Preparação
com
Medida de O
pr(|ψ1 i) −→
|ψ1 i
pr(|ψ2 i) −→
..
.
|ψ2 i
|ψi i
−→
o1
−→
o2
..
.
−→
X
pr(|ψi i) = 1.
i
Para cada estado |ψi i do ensemble temos
hOi|ψi i = (|ψi i, O|ψi i).
Então, para todo o ensemble, segue que
X
hOi{|ψi i} =
pr(|ψi i)hOi|ψi i
i
=
X
i
pr(|ψi i)|ψi i† O|ψi i
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P
Usamos uma base ortonormal {|ξj i} ( j |ξj i|ξj i† = I) e escrevemos
X
X
X
hOi{|ψi i} =
pr(|ψi i)|ψi i† (
|ξj i|ξj i† )O(
|ξk i|ξk i† )|ψi i
i
=
j
X
†
k
†
pr(|ψi i)|ξk i |ψi i|ψi i |ξj i(|ξj i, O|ξk i)
i,j,k
=
X
:=
X
|ξj i† O(
X
j
k
|ξk i|ξk i† )
X
pr(|ψi i)|ψi i|ψi i† |ξj i
i
†
|ξj i Oρ|ξj i
j
=
X
(Oρ)jj
j
=
tr(Oρ)
:= hOiρ ,
onde definimos o operador densidade como
ρ :=
X
pr(|ψi i)|ψi i|ψi i†
i
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Propriedades do Operador Densidade
trρ = 1, i.e., o operador densidade tem traço um.
Prova. VamosPescrever |ψi iP
em termos de uma base ortonormal
{|φj i}: |ψi i = j cj |φj i com j |cj |2 = 1. Assim
X
trρ =
pr(|ψi i)tr(|ψi i|ψi i† )
i
=
X
X
X
pr(|ψi i)tr(
cj |φj i
c∗j |φj i† )
i
j
=
X
pr(|ψi i)
XX
pr(|ψi i)
XX
pr(|ψi i)
i
j
j
k
=
X
i
j
k
=
X
X
|cj |2
=
X
i
cj c∗k tr(|φj i|φk i† )
cj c∗k (|φk i, |φj i)
j
pr(|ψi i)
i
= 1
15 / 21
ρ ≥ 0 ⇒ ρ = ρ† , i.e., o operador densidade é positivo.
Prova. Dado um vetor qualquer |ξi temos
(|ξi, ρ|ξi)
=
(|ξi,
=
X
X
pr(|ψi i)|ψi i|ψi i† |ξi)
i
pr(|ψi i)(|ψi i, |ξi)(|ξi, |ψi i)
i
=
X
pr(|ψi i)|(|ψi i, |ξi)|2 ≥ 0.
i
trρ2
≤ 1.
Prova. ρ é Hermitiano e portanto
pode ser diagonalizado em
P
uma base ortonormal: ρ = i ri |ri i|ri i† com 0 ≤ ri ≤ 1. Com isso
X
X
X
trρ2 = tr((
ri |ri i|ri i† )(
rj |rj i|rj i† )) =
ri rj tr|ri i|ri i† |rj i|rj i†
i
=
X
=
X
i
i,j
†
ri rj (|ri i, |rj i)tr(|ri i|rj i ) =
i,j
X
ri rj δij tr(|ri i|rj i† )
i,j
r2i
≤1
i
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1’. Postulado do Estados
Os possíveis estados de um sistema físico correspondem a
operadores lineares positivos de traço um (operadores
densidade) em um espaço de Hilbert H, i.e., ρ ∈ L(H) com
ρ ≥ 0 e trρ = 1.
Sistemas Compostos
são descritos por um operador densidade
ρab··· ∈ L(Ha ⊗ Hb ⊗ · · · ), com ρab··· ≥ 0 e trρab··· = 1.
2’. Postulado da Dinâmica
A dinâmica do estado de um sistema é descrita por uma
transformação unitária. Ou seja, se no tempo t0 o estado do sistema
é ρ(t0 ) então num instante posterior t o estado do sistema é
ρ(t) = U(t, t0 )ρ(t0 )U† (t, t0 ),
onde U(t, t0 )U† (t, t0 ) = U† (t, t0 )U(t, t0 ) = I.
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Se o estado inicial do sistema é
X
ρ(t0 ) =
pr(|ψi (t0 )i)|ψi (t0 )i|ψi (t0 )i†
i
e os estados do ensemble evoluem unitariamente, i.e.,
|ψi (t)i = U(t, t0 )|ψi (t0 )i,
então
ρ(t) =
X
=
X
pr(|ψi (t0 )i)|ψi (t)i|ψi (t)i†
i
pr(|ψi (t0 )i)U(t, t0 )|ψi (t0 )i(U(t, t0 )|ψi (t0 )i)†
i
= U(t, t0 )
X
pr(|ψi (t0 )i)|ψi (t0 )i|ψi (t0 )i† U† (t, t0 )
i
= U(t, t0 )ρ(t0 )U† (t, t0 ).
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Equação de Liouville-von Neumann
A equação de movimento para o operador densidade é dada por
i~∂t ρ(t) = [H(t), ρ(t)],
onde ∂t :=
∂
∂t .
Verificação. Da Eq. de Schrödinger temos que
i~∂t |ψ(t)i = H(t)|ψ(t)i e assim que −i~∂t |ψ(t)i† = |ψ(t)i† H(t). Com
isso
X
i~∂t ρ(t) = i~∂t (
pr(|ψi (t0 )i)|ψi (t)i|ψi (t)i† )
i
X
=
i~
=
X
pr(|ψi (t0 )i)((∂t |ψi (t)i)|ψi (t)i† + |ψi (t)i(∂t |ψi (t)i† ))
i
pr(|ψi (t0 )i)(H(t)|ψi (t)i|ψi (t)i† − |ψi (t)i|ψ(t)i† H(t))
i
=
H(t)ρ(t) − ρ(t)H(t)
=
[H(t), ρ(t)]
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3’. Postulado das Medidas
Quantidades observáveis são descritas por operadores Hermitianos
X
O=
oi |oi ihoi |.
i
O conjunto de vetores {|oi i}
Pforma uma base
P ortonormal
((|oi i, |oj i) = δij ) completa ( i |oi i|oi i† := i Poi = I) para o espaço de
estados do sistema (H).
Regra de Born. Se o estado do sistema é ρ, a probabilidade de
obter o resultado oi em uma medida do observável O é dada por
pr(oi |ρ) = (|oi i, ρ|oi i) = tr(ρPoi ).
Estado do Sistema Imediatamente Após a Medida
o
i
ρ −→
|oi i|oi i† .
Repitibilidade. Se medirmos O novamente imediatamente depois da
primeira medida obteremos o mesmo resultado, i.e., pr(oi ||oi i) = 1.
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Nós temos que
ρ=
X
pr(|ψj i)|ψj i|ψj i† .
j
Então, se o estado preparado foi |ψj i, segue da regra de Born
que a probabilidade de obter o valor oi em uma medida do
observável O é
pr(oi ||ψj i) = |(|oi i, |ψj i)|2 = |oi i† |ψj i|ψj i† |oi i.
Assim
pr(oi |ρ) =
X
pr(|ψj i)pr(oi ||ψj i) ≡
j
=
X
pr(|ψj i, oi )
j
X
pr(|ψj i)|oi i† |ψj i|ψj i† |oi i
j
= |oi i†
X
pr(|ψj i)|ψj i|ψj i† |oi i
j
†
= |oi i ρ|oi i = (|oi i, ρ|oi i) = tr(ρPoi )
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