A Matemática e as Artes através das Mídias

AMatemáticae
asArtes
atravésdasMídias
HermesRenatoHildebrand
e
JoséArmandoValente
Sumário
Introdução
ProcessodeAbstraçãoMatemático
Capítulo01‐ConceitosBásicos
1.1 ALinguagemnasArtesenaMatemática
1.1.1 AEtnomatemática
1.1.2 Aspectosrelativosàtopologiadasimagens
1.1.3 Aspectosrelativosàsproduçõesdeimagens
1.1.4 Aspectosrelativosàlógicadasimagens
1.1.5 MatematizaçãodasCiênciasnaContemporaneidade
1.1.6 ArteeMatemáticanaEraMaterialistaIndustrialOcidental
1.2 ConceitosBásicosdeProgramação
1.2.1 OqueéumAlgoritmo;
1.2.2 Comoresolverumproblemacomputacional:
 entenderoproblema;
 elaborarumplanoderesolução;
 executaroplano;
 avaliaroplanoe
 corrigiroplano(senecessário).
1.3 Processing
1.3.1 OqueéProcessing;
1.3.2 Primeirosconceitosdeprogramação;
1.3.3 PalavraseElementosReservados;
1.3.4 ConceitosdeCores–RGBeCMYK.
1.4 Atividades–ConceitosBásicos:
1.4.1 Atividades1‐FazeremSaladeAula‐Desenharretas,elipses
utilizandooconceitoderotaçãoetranslação‐Exercíciododesenho
emsequencial;
 Proposta:
 Solução:
1.4.2 Atividades2‐FazeremCasa‐DesenharcomoProcessingum
Cenário2D(EstiloMarioBros);
 Proposta:
 Solução:
Capítulo02–ConceitosdaMatemáticaDiscreta
2.1 Osnúmeros,simetriaseregularidades
2.1.1 OAtodeContar
2.1.2 SimetriasnasArtesenaMatemática
2.1.3 AsRegularidadeseumaVisãoOrgânicaeSistêmica.
2.2 ConceitosdeProgramação
2.2.1 SistemaCartesiano;
2.2.2 SistemaLógico;
2.2.3 VariáveiseFunções(conceitodefunção),AritméticaseLógicas;
2.2.4 Trigonometria–Seno,CossenoeTangente;
2.2.5 AcessoRandômico;
2.2.6 If,ElseeFor.
2.3 Atividades–Série02–MatemáticaDiscreta
2.3.1 Atividade01‐DesenharumaMandala;
 Proposta:
 Solução:
INTRODUÇÃO
A Matemática e as Artes são conhecimentos complexos e, obviamente,
relacionam‐se entre si. A Matemática sempre foi considerada a ciência dos
números; das representações do espaço e do tempo; dos fundamentos
metodológicos para as ciências; dos padrões de representação de entidades
aritméticas,algébricas,geométricas,lógicasetopológicas.Hoje,podemosdizerque
elaéumaciênciaqueestudaosmodelosepadrõesabstratosdasrepresentações
humanasdanaturezaedacultura.
Porseulado,asArtesrelacionam‐seàsatividadeshumanasatravésdesuas
características estéticas. O conceito de objeto artístico trata do que é “belo” e do
que é “admirável”. Segundo a Teoria Semiótica de Charles Sanders Peirce, a
Estética é uma ciência abstrata que fornece princípios para as ciências menos
abstratas:aÉticaeaLógica.Astrêsformamas“CiênciasNormativas”que,segundo
o filósofo e matemático que elaborou a Teoria Semiótica, são aquelas voltadas
“para a compreensão dos fins, das normas, e ideais que regem o sentimento, a
conduta e o pensamento humanos.” (SANTAELLA, 1994, p. 113). Assim, os
conceitos artísticos e estéticos que pretendemos abordar neste texto, que foram
inicialmenteformuladosporPlatãoeAristóteles,estãoemconstantemodificação,
chegando aos nossos dias apresentando uma grande variedade de possibilidades
de padrões estéticos. E, para melhor compreender a evolução histórica destes
conceitos,énecessáriodizerqueaEstéticadeveserobservadapelosparadigmas
deseutempoeéfrutoderelaçõescultura,sociais,econômicasepolíticas.
Também analisaremos as Mídias que, aqui, serão consideradas como
artefatos, suportes materiais, interfaces físicas que criamos para apresentar os
signos. O processo de elaboração de conhecimento estrutura‐se através das
Linguagenseapresenta‐seatravésdasMídias.Noentanto,elas,antesdetudo,são
meios que, por si só, não geram significados, mas determinam os limites e
estruturasdoquequeremostransmitir.
Artes, Matemática e Mídias, em determinados momentos históricos,
definem princípios sintáticos, semânticos, linguagens e paradigmas que se
relacionam entre si e com todas as outras formas de conhecimento. A primeira
característicaqueobservamosentreelaséqueseestruturampelalinguagemesão
signos que representam objetos da natureza e da cultura. As Artes e Matemática
são linguagens que possuem fins específicos e bem determinados, e como tal,
precisamdosmeiosdecomunicaçãoparaestrutura‐lasemseusconteúdos.Defato,
elassãodeterminadaspelasMídiase,comodeclaraMarshallMcLuhan,“omeioéa
mensagem” e, assim, destacamos a impossibilidade de separar mídia de seu
conteúdo.AsArteseMatemática,enquantolinguagem,produzemconteúdoenão
podemserobservadasindependentedasMídiasqueasgeram.
.
Oprocessodeabstraçãomatemático
Iniciemos esta pesquisa pela Matemática. Os interesses apresentados por
ela, historicamente, nunca foram os mesmos. Na Babilônia, em 2.100 a.C., os
matemáticos estudavam os números e as relações de ordem, grandeza e medida
dos elementos da natureza. Estudavam aritmética, álgebra, geometria, técnicas
para medir, contar e calcular tudo que era possível de ser quantificado;
observavamosperíodosdetempoeasquantidadesdechuvadasenchentesdoRio
Nilo.Defato,nestemomento,nossoolharparaossignosmatemáticosnãoeraem
suas características abstratas, mas sim, pelas relações discretas que produziam
comosnúmerosecomasrepresentaçõesespaciaisetemporaisequeserviampara
quantificarascoisasaonossoredor.
Umdosprimeirospensadoresarefletirsobreosmodelosderepresentação
matemático e geométrico foi Euclides. Em 300 a.C. ele publicou 13 livros
denominados “Os Elementos” que abordavam conceitos, postulados (axiomas),
teoremasedemonstraçõesmatemáticasque,demodoconsistente,formulavamo
que hoje conhecemos como sendo a Geometria Euclidiana. Os textos de Euclides
definiam os conceitos de ponto, reta, plano, ângulos e ângulo reto. E, por este
último,éramosencaminhadosdiretamenteaoconceitoderetasparalelas,figuras
planas, sólidos, teoria dos números, proporções, enfim, a um conjunto de
proposições matemáticas que, hoje, sabemos que estudam as representações
numéricaseespaciaisatravésdométodoaxiomático.
Nascia assim, um dos primeiros modelos abstratos de representação da
linguagemMatemáticaque,emsuagênese,observaosfenômenosreaisdomundo,
mas, que logo a seguir, excluiu a possibilidade de relação destes elementos com
qualquertipodeexperiênciadarealidade.EstemodelodeuorigemàGeometriade
Euclides que, até o momento, define conhecimentos importantes para as nossas
representações espaciais. Para Samuel Y. Edgerton, em "The Heritage of Giotto's
Geometry" são três as condições que a Europa, a partir do século XII, dispunha
para realizar a gênese da moderna ciência. A primeira, de caráter religioso, traz
consigooconceitoéticode"leinatural",noqual,omodeloéfixado"apriori"por
padrõesmoraisestabelecidosporumúnico"Deus".Asegunda,decaráterpolítico,
se traduz na rivalidade entre os estados‐cidades e uma economia baseada no
Sistema Capitalista Mercantilista Burguês. A terceira, de caráter lógico e
matemático, tratava do Sistema Geométrico Euclidiano que permitiu tanto ao
artistaquantoaocientistaconstruirnossosmodelosderepresentaçãodomundo,
através de uma ordem "natural", finita, mecânica, suscetível de demonstração
atravésdededuçõeslógicasmatemáticas.(EDGERTON,1991,p.12).
Este momento histórico vem marcado pelos valores materiais e de
racionalidade e os registros deixados pelos pensadores da época, consagram o
caráter histórico da civilização e os valores materiais apoiados na matéria e na
razão que, apesar de unir duas vertentes de pensamento, a grega e a medieval,
tambémpossuicaracterísticasindividuaisenquantomomentohistórico.Essesdois
fundamentosquesãoformadoresdopensamentorenascentistapermanecemvivos
atéosdiasdehojee,deumaformasintética,modelamohomemdamodernidade.
Nocapítulo"Geometria,ArteRenascentistaeaCulturaOcidental",notexto
deEdgerton,encontramosdiretrizesquenoslevamacompreenderestecicloem
suatotalidade.NoséculoXVII,osfilósofosnaturalistas:Kepler,Galileu,Descartes,
FrancisBaconeNewtontinhamqueaGeometriaPerspectivaestabeleciaconceitos
óticosbaseadonoprocessofisiológicodapercepçãovisualhumana.Dessaforma,
rompiam com o princípio medieval de uma "Geometria Divina" que permitia
representar, através das Artes, a essência da realidade e, assim, ao visualizar as
obrasdeArtesestaríamosrevivendoomomentodivinodaCriaçãodoUniverso.
Este método, até hoje, permite representar as coisas ao nosso redor e
traduzir,emmedidas,osobjetoseoshomens.Defato,elenãosórepresentanossa
percepção do presente, mas torna‐se uma ferramenta para reproduzir o futuro,
simulando‐o.AciênciamodernadevemuitoàGeometriaestruturadaporEuclides,
atalpontoque,AlbertEinstein,emdefesadesuateoriadarelatividadeebaseado
nas geometrias não‐euclidianas, chamou, a primeira de uma das maiores
realizaçõesdetodosostempos.(EDGERTON,1991,p.12).
A Geometria Euclidiana produz figuras e imobiliza as máquinas com seus
procedimentos de representação, mas somente a álgebra formula e explica os
fundamentos mecânicos dessa mesma máquina, afirma o cientista e historiador
Michael Maloney e, assim, a álgebra e a matemática são igualmente importantes
como ciências, para as artes e para os princípios que formulam que o universo e
todasascoisasoperammecanicamente.
Hoje,baseadonomodelorenascentista,podemosafirmarqueaMatemática
desenvolve‐se no interior do pensamento humano, como um modelo mental. Ela
nasceapoiadaemsignoscriadospelarazãohumanae,assim,éaciênciaquetira
conclusões lógicas de qualquer tipo de conjunto de regras pré‐estabelecidas, não
dando importância às relações destes signos com os seus objetos e com os fatos
naturaisdomundo,apesardeestarintimamenterelacionadacomosfenômenosde
mesmanaturezaqueela.
Além de ser reconhecida como a linguagem dos números, a Matemática
tambémauxilianasreflexõessobreacogniçãohumanaeoprocessodecriaçãoe
de elaboração de conhecimento. Ela permiteconstruir modelos lógicos que estão
baseados na percepção dos fenômenos, e se apresentam através das
representaçõeslógicas,gráficasementaisque,aoseremvisualizadasatravésdas
imagens, gráficos, esquemas e diagramas, permitem observar a estrutura dos
modeloslógico‐matemáticos.Pitágoraseseusseguidoresafirmavamquedevemos
construir modelos lógico‐matemáticos para explicar os fenômenos que
observamosnomundo.JáofilósofoematemáticoCharlesSandersPeirce,emseu
texto sobre a "Consciência da Razão", publicado em "The New Elements of
Mathematics",afirmavaque
as expressões abstratas e as imagens são relativas ao tratamento
matemático. Não há nenhum outro objeto que elas representem. As
imagenssãocriaçõesdainteligênciahumanaconformealgumpropósito
e, um propósito geral, só pode ser pensado como abstrato ou em
cláusulas gerais. E assim, de algum modo, as imagens representam ou
traduzem uma linguagem abstrata; enquanto por outro lado, as
expressões são representações das formas. A maioria dos matemáticos
considera que suas questões são relativas aos assuntos fora da
experiência humana. Eles reconhecem os signos matemáticos como
sendo relacionados com o mundo do imaginário, assim, naturalmente
forado universo experimental. (...)Toda a imagem é consideradacomo
sendo a respeito de algo, não como uma definição de um objeto
individualdesteuniverso,masapenasumobjetoindividual,destemodo,
verdadeiramente, qualquer um é de uma classe ou de outra. (NEM 4,
1976,p.213).
A ênfase das reflexões de Peirce estão na imagem mental, na imagem que
permite estabelecerformas, que possuem aspectos diagramáticose define‐senas
expressões matemáticas, cujo enfoque está na relação entre os elementos que as
estruturam. A matemática traz em si uma perspectiva de percepção que sempre
esteve presente nos modelos e nas formas de produzir conhecimento dos seres
humanos: nós sempre utilizamos os signos visuais para representar os
pensamentos.
QuandoobservamosestesconceitosverificamosqueaMatemáticatemuma
abordagem altamente complexa e, dada a sua íntima relação com a Lógica,
podemosafirmar,assimcomoPeirce,queasduassãociênciasdemesmanatureza
edeterminamasformasdeorganizaçãodoconhecimentohumano,semquestionar
deondeelevem.Porprincípio,aMatemáticaéumaciênciaquenadatemavercom
qualquer fato real, a não ser com fatos abstratos que extraem de si própria. E,
dessemodo,confirmandonossahipóteseinicialarespeitodopensamentohumano
ematemáticoe,baseadonafilosofiasemióticadePeirce,encontramosnaspalavras
de Lúcia Santaella, uma resposta para esta formulação. Para ela e para esse
pensadoramericano,
é verdade que as ideias, elas mesmas, podem ser sugeridas por
circunstâncias muito especiais; mas a matemática não se importa com
isso.Elaé,assim,comoacontemplaçãodeumobjetobelo,excetoqueo
poeta o contempla sem fazer perguntas, enquanto o matemático
pergunta quais são as relações das partes de suas ideias umas com as
outras.(1993,p.158).
A principal atividade da Matemática é descobrir as relações internas dos
sistemas, sem identificar o objeto a que ela se refere. Por isso, os pesquisadores
sempre estiveram preocupados com todos os tipos de representações que
comportam a Matemática, em particular, com as relações entre os signos no
interior de sua própria estrutura, preocupando‐se com os estímulos visuais e
mentais recebidos. As imagens são representações dos modelos que concebemos
mentalmente, isto é, são signos visuais que exteriorizam o comportamento de
nossasideiasabstratas,porisso,são“signosvisuais”querealizamnossas“imagens
mentais”.
Nesta reflexão sobre a Matemática e as Artes damos ênfase aos aspectos
visuaisediagramáticosdasimagensedasexpressõesmatemáticas,cujosenfoques
estãonasrelaçõesentreosdiversoselementosqueasestruturam.AMatemáticaé
umsistemadesignos,cujagramáticasemprefundamentouodiscursoracionalista
tecno‐científicodaculturaocidental.OmatemáticoBrianRotman,deacordocom
esta afirmação, diz que as normas, diretrizes e leis deste discurso sempre
estiveramprofundamentemarcadaspelosprincípioseestruturasmatemáticasem
umnívelsimbólicoelinguístico(1988)e,ainda,complementandoestaafirmação,
Peirce diz, que também em um nível diagramático. (1983, p. 42) De fato, nossa
escolha recai sobre os valores da cultura ocidental, porque é dela que emanam
nossas crenças e percepções do mundo. Podemos evoluir em nosso raciocínio
tentandocompreenderoutrasculturas,mas,obviamente,nuncadeixaremosdever
esteobjetodeestudocombasenoparadigmadepercepçãoocidental.
CAPÍTULO01–CONCEITOSBÁSICOS
1.1 ALinguagemnasArtesenaMatemática
Amatemáticaéumalinguagemqueestárelacionadaàcogniçãohumanae
ao processo de elaboração de conhecimento. Através dos desenhos, imagens,
gráficos, diagramas e esquemas, verificamos que nossa percepção visual é
carregada de princípios abstratos, lógicos e matemáticos. Deste modo
encontramos muitos pontos de similaridades entre Artes e Matemática,
especialmente, quando observamos estas duas áreas de conhecimento sendo
modificadopelasmídiasquecriamosaolongodahistória.
1.1.1AEtnomatemática
Oenfoquequepretendemosdaraestetextotembasenaculturaocidental,
noentanto,iniciaremosnossareflexãoporaspectosqueconsideramosapartirde
outras culturas e etnias. Ubiratan D’ Ambrósio (1990), com a noção de
“Etnomatemática”,afirmaqueoconhecimentomatemáticoestápresenteemtodas
as formas culturais e que, ao manejar números, quantidades, medidas, relações
geométricas, imagens gráficas, padrões de representações e os conceitos
matemáticos, estamos fazendo “Etnomatemática”. Para ele, este conhecimento
situa‐senumatransiçãoentreamatemáticaconvencionaleaantropologiacultural.
Eassim,asraízesdenossoconhecimento
é na verdade uma etnomatemática que se originou e desenvolveu na
Europa,tendorecebidoalgumascontribuiçõesdascivilizaçõesindianae
islâmica e que chegou à forma atual nos séculos XVI e XVII, e então
levada e imposta a todo o mundo a partir do período colonial. Hoje
adquire um caráter de universalidade, sobretudo em virtude do
predomíniodaciênciaedatecnologiamodernas,desenvolvidasapartir
doséculoXVIInaEuropa.(D´AMBROSIO,2000,p.112).
Observemosentãoa“Etnomatemática”aplicadaaosaspectosdaculturanão
ocidental relativa à topologia das imagens produzidas nas pinturas rupestres, às
produções dos chapéus côncavos e convexos da cultura Chilkat e relativa aos
padrõeslógicosqueformamastramasdascarteirasdepalhadaculturaafricana.
1.1.2Aspectosrelativosàtopologiadasimagens
Oregistrodopensamento,emalgumtipodeimagem,sobrealgumtipode
suporte,vemsendorealizadopeloshomensdesdeapré‐história.Juntocomestas
representações temos a necessidade de determinar parâmetros para realizá‐las.
SãoconhecidasasimagensdostourosgravadasnaspedrasdacavernadeLascaux,
na França,com 5 metros de comprimento. E,parecefácil compreender que, para
realizá‐las, sempre foi necessário um conhecimento técnico e um procedimento
lógico‐matemático espacial a fim de conceber representações tão grandes, com
suas devidas proporções. Para utilizar óxido mineral, ossos carbonizados, carvão
vegetal e o sangue dos animais abatidos na caça com a intenção de representar
imagensnaspedras,ohomemnecessitouplanejarestatarefa,assimcomo,também
planejoualógicadesuasrepresentações.
Amodelagemlógicadasimagensdostourosexigiuumprincípiotopológico
de representação que, por sua vez, era a forma imagética para fixar uma
representação,umdesenhos,ouainda,eraaformaxamânica,místicaoureligiosa
paradominarosanimais,facilitandosuacaça.(SOGABE,1996,pp.59‐64)
Os homens da pré‐história acreditavam que as imagens serviam para
delinearasaçõesdodiaadia.Desdeosprimeirosregistrosasimagensjápossuíam
a característica de serem científicas. Além de estabelecerem as formas de nossos
modelos de representação, através de regras de proporcionalidade, também
serviamparacontabilizaraspessoas,osanimaiseascoisasdocotidiano.Assim,o
homem se mostrava científico desde a pré‐história. Primeiro rudimentarmente
comseusregistrosnaspedrasedepois,comrepresentaçõesmaisdetalhadasdas
imagensdasplantas,daanatomiahumanaeanimal,atribuindoacaracterísticade
serumregistrodoolhar,istoé,aimagemésemelhanteaoolhar(SOGABE,1996).
Inicialmente, as imagens e as estruturas geométricas que organizavam as nossas
representações em desenhos e pinturas, eram executadas somente com técnicas
artesanaisemanuais.
Os estudos preparatórios dos elementos utilizados em suas pinturas
[Leonardo da Vinci], como os das pesquisas de plantas para ‘Leda and
the Swan’ (Meyer, 1989), foram os resultados de uma observação
apuradadanaturezaedeumregistroprecisodasplantas,nosmínimos
detalhes. Esses registros, buscando uma fidelidade maior com o real,
iniciam também a necessidade de um olhar mais minucioso sobre a
naturezarevelando,emconsequência,novosconhecimentos.(SOGABE,
1996,p.62).
É trivial deduzir que as imagens encontradas desde a pré‐história até
recentemente, passando pelos egípcios, babilônios e gregos, possuem
características topológicas e a capacidade de representar quantidades, mensurar
prop
porções ou,, até de, simplesmentte, identificcar padrõe
es de repettição estilizzados
nas fformas quee apresentam. No Parrque Nacio
onal da Serrra da Capiivara, no Brasil,
B
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g
rupestres
r
q
que nos possibilitam constatar qque as ima
agens
prod
duzidas pelo homem pré‐histórrico, no síítio arqueo
ológico de São Raimundo
Nonaato, no Piauí, contêm elementtos que permitem
p
inferir sobbre relaçõe
es de
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de e espaccialidade da
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porções faccilmente identificáveeis nos traaços, que mostram a intenção
o em
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nimaisemsuasrepre sentações.
Figura0
01‐PinturaRuupestre‐Gra
ande
Cervo–T
TocadoSalitrre.8000–70
000
a.C.,Piau
uí,Brasil.InPPeinturespré
historiqu
uesduBrésil,,deNièdGuiidon,
Hérissey
y–Érreux,Fraance,1991,p.57.
ApartirrdapesquiisadeNièd
deGuidon (1991),as representaaçõesrupe
estres
existtentes no Parque Nacional
N
Seerra da Capivara
C
e estão croonologicam
mente
distrribuídas em
m: Tradiçã
ão Nordestte (12.000
0‐6.000 ano
os BF ‐ B
Before Pressent),
Agreeste (6.000
0‐4.000 anos BP) e G
Geométricaa (5.000‐4..000 anos BP) e dua
as de
gravvuras: Itaco
oatiaras do
o Leste e Itacoatiaras do Oesste. (GUIDO
ON, 1991) Nas
representaçõessdaTradiçãoGeométtrica,caractterizadasp
porumapreedominâncciade
grafiismos topo
ológicos, que, para n
nós ociden
ntais, repre
esentam foormas e fig
guras
geom
métricas, como
c
círcu
ulos, triân
ngulos e retângulos,
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, vamos eencontrar uma
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dênciaà“geeometrizaçã
ão”eumgrrafismoabsstratoetop
pológico.
Estasreepresentaçõ
ões“geoméétricas”carregam,em si,umagrrandevarie
edade
de p
possibilidad
des interprretativas, p
por isso, ho
oje são vistta com muuito cuidado em
relaççãoaoque significam
m.Estascarracterísticaasà“geomeetrização”ttambémpo
odem
ser eencontradaas nas representaçõees da Tradição Norde
este e Agreeste neste sítio
arqu
ueológico.P
Porém,num
mestudom
maisdetalhadosobreelas,realizzadoporM
Martin
(199
97), vamoss encontrar, associad
dos a estes grafismo
os “geométtricos”, rela
ações
espaaço‐corporaais,sistema
asdecontaagem,relaççõescomosscorposceelesteseco
omos
calen
ndárioslun
nares.
Figura0
02‐PinturaR
Rupestre‐CeenadeSexo–TocadoCald
deirãodoRoddriguesI.
8000–7
7000a.C.,Piauí,Brasil.
In
n:Peinturespréhistorique
esduBrésil,d
deNièdGuido
on,Hérissey–
–Érreux,Fraance,1991,p.59.
Anne‐MariePessiss(1987)coomentaqueenestesítioarqueolóógicodoPa
arque
Nacional Serra da Capiva
ara, convém
m fazer um
ma distinção
o entre as formas grá
áficas
dereepresentaççãoquemo
ostramasp
profundidadesespacia
aiseasqu enãomosttram.
A co
onstrução de
d cada um
ma delas éé relativa ao
a objeto tridimensioonal e trata
a das
projeeçõessobreoplano,ttomandocoomobaseu
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emrelação aooutroe
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uearepressentaçãodo
osobjetosssedáatrav
vésda
representação gráfica asssociada a ccertos fatorres estrutu
urais da vissualidade e
e dos
mod
dosderepreesentaçãob
bidimensioonal.
A representação em
e perspecctiva apareece, na histtória do hoomem, som
mente
com os Egípciios, Babilô
ônios, Greggos e Etru
uscos, e oss resultadoos gráficoss são
soluççõesquereessaltaatrridimensio nalidaded
dasformas (PESSIS,1 987,p.68)).Em
certaascomposiiçõesdasrepresentaççõesrupesttresdaTra
adiçãoNor deste,arelação
sexualqueérepresentadamostraparceirosquerecebemomesmotratamentono
espaço topológico gráfico. A composição é feita segundo um ponto de vista que
expõemaidentidadesexualdosdoisatoresesuarelaçãosexual.Asrochasquesão
os suportes destas pinturas mostram que as figuras humanas são desenhadas
como se estivessem na superfície do solo, na qual as duas pessoas interagem
sexualmente.
OestudodosgrafismosdeaçãodaTradiçãoNordestepermiteconstatar
que, segundo as modalidades estilísticas, os autores recorrem às
diversassoluçõesparaestabelecerasrelaçõesdeprofundidadeentreos
elementos da composição pictural. Vemos várias formas de tratamento
doespaçoedarepresentaçãodeprofundidadeentreoscomponentesdo
agenciamento pictural. Um destes procedimentos consiste na
superposição de diferentes planos paralelos horizontais aos quais são
dispostos componentes de uma representação, de tal sorte que parece
achatado sobre o plano bidimensional, a percepção da profundidade
exige do observador um ato imaginário de destacamento da figura. A
partirdestaoperaçãodebase,osprocedimentosutilizamosrecursosde
obliquidadequecontribuemparaproduzirumaverdadeirapercepçãode
profundidade, pois significa um crescendo e decrescendo, do momento
queévisto,comoumdesvioouaproximaçãogradualdaposiçãoestável
daverticalidadeehorizontalidade.(PESSIS,1987,p.69).
Nestas formas de representação gráfica podemos constatar claramente as
estruturas lógico‐matemáticas de caráter topológico que são necessárias para
elaborarestesdesenhos.Apesardeelasseremrealizadassobreaspedras,quesão
suportes tridimensionais, podemos vê‐las como representações bidimensionais
que,facilmente,seriamrealizadasemfolhasdepapel.Elasexigemumaconcepção
doespaçotopológicoque,certamente,temdimensionalidadeeproporcionalidade.
Estas são características das estruturas lógicas e matemáticas destas imagens.
Estes registros cravados nos diversos tipos de suportes usados na pré‐história
possuem estruturas topológicas e, portanto, lógicas e matemáticas, ao serem
elaborados.
Na figura a seguir observamos uma das mais belas representações com
imagens de homens, animais e muitas formas repetidas, mostrando as noções
topológicas nas quais identificamos a espacialidade corporal e sistemas de
contagemequantificação.Estaimagem,realizadanaTocadoBoqueirãodoSítio
daPedraFurada,emSãoRaimundoNonato,noParqueNacionalSerradaCapivara,
foi produzido por Marcelo da Costa Souza, que utiliza recursos computacionais
paradigitalizá‐la.Oprocessodeobtençãodestaimagemeseutratamentográfico,
através dos meios de produção eletro‐eletrônicos, suscitam uma série de
posssibilidades interpretattivas,pois,,somenteaassim,podemosobseervareleme
entos
que, apenas sãão possíveiis com o u
uso dos computadore
es. Este prrocesso perrmite
odaresoluççãográficaadaimagem
mquesóélimitadap elotamanh
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a a limitaçãão da resollução
gráfiica do proccesso fotog
gráfico. Com
m isso, pod
demos iden
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magens grav
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pedrasqueeaolhonunãoseriam
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visualizadaas.
Figura03
3‐PinturaRu
upestre‐DettalhedeCenaCotidiana
ToccadoBoquei rãodoSítiod
daPedraFura
ada.
5000
0–3000a.C.,,Piauí,Brasil .InPeinturesspréhistoriqu
uesduBrésill,
deNièdGuidon,Hérisssey–Érreuxx,France,199
91,p.106.
1.1.3A
Aspectosrelativossàsprod
duçõesde
eimagen s
Às vezes são imag
gens e rep
presentaçõees bidimen
nsionais, ouutras vezess são
escu
ulturas e peças
p
tridim
mensionaiss, de fato, usamos uma
u
grandee variedad
de de
supo
orte para representa
ar as imaggens criadas por nó
ós. Observeemos agorra os
chap
péuscôncav
voseconve
exosdosín
ndiosnorte‐americano
osdonoroeestedoPaccífico.
Os ccôncavos fo
oram realizados peloos índios Makan
M
e ou
utros povoos Nootka, e os
convvexospelossTlingit,HaidaeKwaakiutl.Nas imagensextraídasdoolivro“Op
poder
dos llimites: harrmonia e proporções na naturezza, arte e arquitetura”” (DOCZI, 1990,
1
p.14),verificam
mosqueos índiosam
mericanos,aaoelaborarremsuasceestas,utensílios
dom
mésticos e vestimen
ntas, fund
damentam seus modelos
m
ttopológicoss de
representação no ato da elaboraçãoo de seus objetos
o
de uso diárioo. Suas ima
agens
produzidassnaconstruçãodosoobjetosdep
palhaenassimagensccolocadasssobre
sãop
eles.
Figurra04‐ChapééuCôncavoeConvexodossÍndiosAmericanos.In:O
OPoderdosLLimites:Harm
monias
eProporçõesnaN
Natureza,Arte
eeArquitetu
ura,deGyörgy
yDoczi,Ed.M
Mercuryo,SãooPaulo,1981
1,p.14.
Figura
a 05 ‐ Análise proporccional de ch
hapéus
trançaados do tipo convexo. In O Poder dos
Limitees: Harmonia
as e Proporçções na Nattureza,
Arte e
e Arquiteturra, de Györggy Doczi, Editora
Mercu
uryo,SãoPaullo,1981,p.166.
As aranh
has tecedeeiras constroem
suas teias come
eçando porr fios retoss que
juntaam no cen
ntro. Em sseguida, tecem
espirrais ao red
dor dessess fios, que vão‐se alargando em órbitas cada vez mais
amplas. Cesteirros trabalh
ham em u m padrão dinérgico semelhantte. Inicialm
mente
fibraasduras,a urdidura, sãoamarraadasemum
mpontoqu
ueseráoccentrodoccesto.
Em sseguida, fib
bras flexív
veis – a traama – são trançadas por cima e por baix
xo da
urdid
dura, de fo
orma rotattiva. Em ceestos feito
os em caracol, uma ffibra resisttente,
poréém flexível, toma lug
gar da urd
didura retaa; ela é cossida, ao loongo das liinhas
radiaantes,com umatramafina,com
mauxíliodeeumaagulha.Porcauusadanatu
ureza
dinérgica do processo de
e trabalho, é fácil recconstruir os
o contornoos de um cesto.
c
(DOC
CZI,1990,p
pp.14‐16)
Docziaffirmaquen
noschapéu
uscôncavospodemossencontrarrrelaçõesccomo
as p
proporções áureas e nos chap
péus conveexos relaçõ
ões como o Teorem
ma de
Pitággoras. Estas estrutu
uras lógicaas podem
m ser iden
ntificadas nos esquemas
diagrramáticos dos chapéus elaborrados ao lado que mostram as formass dos
chap
péus trançados, reco
onstruídas pelo método dinérgico de raaios e círculos
(DOC
CZI, 1990, p. 16). Esttas tramass e urdidurras nos rem
metem às similaridad
des e
simeetriasquessemprebusscamosaooobservarob
bjetos.
Figu
ura06‐ManttaChilkat–M
MuseudeHisttória
Naturaal,Chicago,Illinois.
d Doczi ab
borda as proporções
p
encontraddas nas ma
antas
O próprrio texto de
cerim
moniais do
os Chilkat, em seus mínimos detalhes. Nelas enccontramos uma
suceessãodeolh
hosedeformasovoid
des,quetam
mbémsãoencontradoosnoschapéus,
são representaações esquemáticas ee estilizadaas. É óbvio que estass formulaçõ
ões e
relaççõeslógicasmatemátticascomb
baseempro
oporçõesenoTeorem
madePitág
goras
não foram utiilizadas co
om estes ffundamenttos pelos índios norrte‐americanos,
porém, alguns procedimentos lógicos, matemático e topológico, semelhantes aos
utilizados nas imagens rupestres, são necessários na construção destas peças
artesanais.
Deixando de lado estas representações que foram realizadas de forma
independente dos rigores matemáticos da cultura ocidental, vamos retomar o
pensamento de Ubiratan D´Ambrosio e constatar que em muitas civilizações do
passado,comoasdosastecas,dosmaias,dosincas,dasquehabitaramasplanícies
daAméricadoNorte,daAmazônia,daÁfricasubequatorial,dosvalesdosIndus,do
Ganges, do Yang‐Tsé e da Bacia do Mediterrâneo, desenvolveram importantes
princípios no campo da matemática. Introduzindo o próximo aspecto que
queremosanalisarnestetexto;sãoasquestõeslógicasdosmodelosmatemáticos.
A civilização egípcia, que à cerca de 5.000 AP (antes do presente), deu
origemaconhecimentosutilitárioseespeciaisnamatemática(D´AMBROSIO,2000,
p.34),estábaseadaemrepresentaçõesquetratavamdasmedidasdasterrasede
aspectosrelativosàastronomia.OsegípciosconstataramqueasinundaçõesdoRio
NiloocorriamdepoisqueSirus,aestreladocãoqueapareciaaleste,logoapóso
nascerdoSol(BOYER,1974,p.9).Após365dias,estasituaçãodealagamentodas
terrasdoEgito,voltavaaacontecere,assim,osegípcioselaboraramumcalendário
solarqueavisavasobreasinundações.Elesutilizaramprocedimentosmatemáticos
deregistrodotempoepraticavamumamatemáticautilitária,assimcomoospovos
damargemsuperiordoMediterrâneo,osgregos,tambémusavamamatemáticada
mesmaforma.Noentanto,
ao mesmo tempo, desenvolveram um pensamento abstrato, com
objetivos religiosos e rituais. Começa assim um modelo de explicação
que vai dar origem às ciências, à filosofia e à matemática abstrata. É
muito importante notar que duas formas de matemática, uma que
poderíamoschamardeutilitáriaeoutra,matemáticaabstrata(outeórica
ou de explicações), conviviam e são perfeitamente distinguíveis no
mundogrego(D´AMBROSIO,2000,p.35).
Nossoobjetivoaoabordaraspectosmatemáticosdemomentosprecedentes
aosdaculturaocidentaledeculturasdiferentesdanossa,nãoédereconstruira
história da matemática ocidental, mas simplesmente, de apresentar algumas
reflexões sobre as imagens e as matemáticas produzidas por estas culturas.
Poderíamos, ainda, estar destacando aspectos matemáticos da Grécia e de Roma,
no tempo de Platão e Aristóteles, ou analisar profundamente “Os Elementos” de
Euclides,ouainda,tecercomentáriossobreostrabalhosrealizadosporPitágorase
por seus segu
uidores, en
nfim, obseervar os vários
v
mom
mentos daa história e da
mateemática da
d Antiguidade. No entanto, preferimo
os abordaar temas que,
aparrentementee, estão iso
olados entrre si, porém
m totalmen
nte conectaados atravé
és da
cultu
ura e suaas formas de produ
ução que nos cond
duz à “Ettnomatemá
ática”.
(D´A
AMBROSIO,2000).
1.1.4A
Aspectosrelativossàlógica
adasimagens
O últim
mo aspecto que querremos anaalisar desta
as culturass e etniass não
ocideentaissão àsrelaçõessgeométriccasobtidassnaconstruçãodascaarteirasde
emão
tranççadas, chamadas de “sipatsi”, d
da Provínccia de Inha
ambane, em
m Moçamb
bique.
Paulus Gerdess e Gildo Bulafo. Elees mostram
m que as cestarias moçambiccanas
prod
duzempadrrõesgeomé
étricosdecconstruçãodastramasdos“sipattsi”.Oseuttexto,
“Sipa
atsi: tecnollogia, arte e Geomettria em In
nhambane” (1994), qque tomaremos
como
o base, expõe
e
a forma
f
de se constrruir carteiras de m
mão tranççadas,
apro
oveitandoo
osprincípio
oslógicosd
dastramas.
F
Figura 07 ‐
‐ Carteira trrançada de mão ‐ Sipta
asi. In
SSIPATSITecn
nologia,Arte eGeometriaaemInhamba
ane,de
P
Paulo Gerdess e Gildo Bulafo, Imprennsa Globo, Maputo,
M
Moçambique,1994.
A coleta de dados com as c esteiras e os cesteirros, para aa realizaçã
ão do
trabaalho de análise
a
da
as formas geométricas construídas noos “sipatsi””, de
Moçaambique, foi
f realizad
da nos disttritos de Morrumben
M
ne, Maxixe e Jangamo, na
ProvvínciadeIn
nhambane. SegundoG
GerdeseBu
ulafo,aexe
ecuçãodasscestarias éum
trabaalhoorigin
nariamentefeminino.A
Asmulhereestambémsededicam
maocultivodas
mach
hambas, à cozinha, ao transpoorte de ág
gua e à ed
ducação daas crianças. Os
hom
mensseded
dicamàpesscadocamaarãoeàco
onstruçãod
decasas.Poorém,hoje,,com
a necessidade de aumenttar a rendaa das famíllias e o gra
ande intereesse desperrtado
por este tipo de artesa
anato, têm aparecido
o vários cesteiros quue se ded
dicam
profiissionalmenteàexecu
uçãodastraamaseurd
didurasdasscarteiras““sipatsi”.
dospadrõeesdefitasd
dos“sipatsi”éproduziidabaseand
do‐se
Agrandemaioriad
nas relações simétrica
s
possíveis
p
n
nas tecelag
gens. As carteiras
c
ee as cestass são
consstruídasap
partirdeum
matorçãod
de45oou1
135o,comsimetriaaxiial,istoé,o
oeixo
utilizzado para elaboração
o das figurras obedecce a perpe
endiculariddade das fa
aixas.
Esta éumadassformasde
eelaboraraaspeçasdeepalhafina
aemaleáveeldeumtip
pode
palm
meira.SegundoGerdesseBulafossãováriosospadrõessdetecelaggemelaborrados
pelosmoçambiicanos,porrém,astram
masrespeiitamumpa
adrãodesiimetriadeffinida
dimensiona
al e suas possibilid
dades de execução limitada pela
no plano bid
neceessidadedeetrançar.
Fig
gura08‐Moddelagemposssível
emcarteirastraançadasdemão‐
TSITecnologiia,
Siptasi.InSIPAT
ArtteeGeometriiaemInhambane,
dePauloGerdess&GildoBula
afo,
prensaGloboo,Maputo,
Imp
Moçambique,19994.
ParaGerrdeseBula
afo,oeixoin
ndicadoép
perpendicu
ularàdireççãodafita.
Gera
almente diz ‐se que um
m padrão‐de
e‐fita com eeixo de sim
metria,
perp
pendicular àà direção daa fita, aprese
enta uma sim
metria vertiical. O
padrrãoéinvariaantesobumareflexãonoeixovertical..Apalavravertical
éad
dequadaseo livroemqueeseencontra
aafiguraesttivernumaposição
verttical,porexem
mplo,colocadonumestan
nte:quando estiverassim
m,éde
fato vertical.(GE
ERDES;BULAFO,1994
4,p.79)
Existem
m vários eixos verrticais enccontrados nas form
mas tram
madas.
Podeeríamos dizer ainda
a, que os eixos de simetria são infinittos, já qu
ue as
representaçõess são fitas e poderiaam se prolongar ind
definidamennte se asssim o
dos exemp
plos das siimetrias enncontradass nas
deseejássemos. Este é apenas um d
“sipa
atsi”,poisccomoasforrmasgeom
métricassão
oconstruídasnastram
maseurdid
duras
dasp
palhasteciidas,facilm
mentecomp
preendemo
osqueosd
desenhose formassem
mpre
obed
decem às direções
d
0o, 45o, 90o , 135o e 180
1 o, obrig
gatórias naa execução
o das
tranççasdo“sipa
atsi”.
Anoção
odesimetrianasfigu rasgeradaasporeste sistemadeerepresenttação
geom
métrica das carteirras de M
Moçambiqu
ue é um
m modeloo determiinado
fundamentalmente pela lógica da trama das fitas de palha. E, de fato, os axiomas
lógicosquedefinemosmodospossíveisdeconstruçãodasformasgeométricasdas
carteiras, são elaborados diante do ato de se tramar as próprias produções
realizadasemtecelagem.
Verificamos que a série de figuras gerada através dos paralelogramos
dentadoséequivalenteaoitoportreze,ouseja,oitotirasoblíquas,sendocadauma
delas composta por treze quadrados. Isto forma um período fixo no qual os
desenhos produzidos se repetem e, assim, as formas são confeccionadas nas
possibilidades desta estrutura. Gerdes e Bulafo elaboraram a classificação lógica
das formas geométricas apresentadas nas carteiras, na qual é possível distinguir
seteclassesdistintasdepadrões.Segundoestesdoisautores,asfitaspodemser:
1)
Padrões‐de‐fita que apresentam ao mesmo tempo uma simetria vertical, uma
horizontaleumarotacionalde180graus;
2)
Padrões‐de‐fita que apresentam ao mesmo tempo uma simetria vertical, uma
simetriatranslacional‐refletidaeumarotacionalde180graus;
3)
Padrões‐de‐fitaqueapresentamaomesmotempoumasimetriavertical;
4)
Padrões‐de‐fitaqueapresentamaomesmotempoumasimetriahorizontal;
5)
Padrões‐de‐fitaqueapresentamumasimetriarotacionalde180graus;
6)
Padrões‐de‐fita que são apenas invariantes sob uma reflexão translada (ou sob
umatranslaçãorefletida);
7)
Padrões‐de‐fita que são apenas invariantes sob uma translação e que não
apresentamnenhumaoutrasimetria(Gerdes;Bulafo,1994,pp.79‐80).
Anoçãodesimetriageradaporestesistemaderepresentaçãogeométrico
dascarteirasdeMoçambiqueéummodelodeterminadologicamentepelastramas
dasfitasdepalha.E,defato,osaxiomaslógicosquedefinemosmodospossíveisde
construção das formas geométricas das carteiras, são elaborados pelo ato de se
tramaredeseperceberasconsistênciasdaprópriaestruturadatecelagem.
Verificamos que a série de figuras gerada através dos paralelogramos
dentadoséequivalenteaoitoportreze,ouseja,oitotirasoblíquas,sendoqueelas
são compostas por treze quadrados. Isto forma um período fixo no qual os
desenhos produzidos se repetem e, assim, as formas são confeccionadas nas
possibilidadesdestaestrutura.Nafiguraaseguirpodeseverificaraestruturasdas
tramasquefazemoscesteiros.
Fig
gura09‐Dessenhorealizad
dono“sipatssi”compadrõ
õesconstruídosapartirdaatramadapa
alha.
NofinaldolivrodeGerdeseeBulafovem
moselaborradasaspoossibilidadesde
padrrões das fitas para dimensões
d
2X3, 2X4, 4X3, 5X3 e 3X4 mo strando qu
ue os
padrrõesquefo
ormamsãoemnúmerrolimitado emfunção
odarelaçãooqueadota
amos
para os quadrados horizontais e verticais. Já em outro livro, "Explorations in
ethnomathematicsandethnoscienceinMozambique"(1994),organizadoporPaulus
Gerdes,vamosencontrarváriosautoresrefletindosobreasquestõesmatemáticas
eeducacionaisrelativasàsciênciasnasproduçõesafricanasdoséculo21.Todosos
textosabordamaciência"etnomatemática"easpectosmatemáticosdalinguagem
e da aritmética mental dos africanos, em especial, sobre a cultura realizada em
Moçambique.
1.1.5 Amatematizaçãodasciênciasnacontemporaneidade
Aqui, nosso objetivo é realizar uma abordagem dos signos artísticos e
matemáticos através das mídias dando ênfase às questões lógicas da visualidade
que são relativas ao contexto contemporâneo. E, de fato, contribuir para atingir
outros níveis de complexidade e observar emergências através das análises que
realizaremos.ParaSantaellaeNöth,fundadosnospensamentosdePeirce,todasas
ciênciascaminhampara
aumentarem gradualmente seu nível de abstração até se saturarem na
matemática, quer dizer, a tendência de todas as ciências é se tornarem
ciências matemáticas. O conglomerado de ciências, que hoje recebe o
nome de ciência cognitiva,parece estarno caminho de comprovar essa
sugestão.(1998,p.90).
Hoje, as imagens digitais existem durante o tempo de processamento e de
exposiçãoatravésdasmídias.Elassãoconstruídase,emseguida,destruídaspara
darem lugar às imagens que as substituíram. Nossos sistemas de percepção são
“imagensemprocesso“ou“imagensvirtuais”quesãogeradasapartirdemodelos
lógicosligadosàsmídias,porissoatotaldependênciaconceptualquecarregamde
seussuportes.
As“ImagensMatemáticas”(HILDEBRAND,2001)sãoconcepçõesvisuaisem
processo que adquirem valores diferenciados quando são compreendidas
relacionadasàslinguagensqueasgeramcombasenosprincípiosefundamentos
domomentohistóricoemquesãoconcebidas.Observaressesaspectosassociados
às tecnologias emergentes1 nos levou a conectar três realidades aparentemente
1 As Tecnologias Emergentes são aquelas que nascem a partir dos meios de comunicação e
informação no mundo contemporâneo. A curto prazo (próximos doze meses) considera‐se Tecnologia
Emergente aquela que é utilizada para produção e distribuição de conteúdo nos ambientes colaborativos,
participativosesociaisequeutilizammídiasatuais;amédioprazo(2‐3anos)sãoasquetrabalhamcomos
conteúdosabertosedispositivosmóveisealongoprazo(quatrooucincoanos)sãoossistemasquelidam
com as “coisas”. O foco desta pesquisa concentra‐se em desafios a curto e médio prazo, em particular, as
distintas: a vissualidade das
d imagen
ns, que, atrravés do processo
p
crriativo, exp
põem
características diagramátticas; a queestão operaacional da construçãoo da lingua
agem
mateemáticaem
msie,emte
erceirolugaarosaspectosmentaisesimbóliicosnecesssários
paraaarealizaçããodestetip
podeconheecimento.
Assim, esste estudo pretende oobservar a
a linguagem
m matemáttica atravéss dos
signo
os que gerram, nos se
eus aspectoos sintático
os dados pelas formaas, nos aspectos
semâânticos quee são desccritos, narrrados e disssertados pelo
p
códigoo matemátiico, e
nosaaspectosp
paradigmátiicosquecoonstroemo
osváriospensamentoosmatemáticos.
De fa
fato, partireemos de um modelo que permite observa
ar as imaggens produzidas
por esta ciênciia, aumenttando os n
níveis de co
omplexidad
de do racioocínio sobre as
imaggensgeradaaspelamattemática,oobservadasnocontextotecnológgicoeassocciado
asprroduçõesartísticasem
midiáticas. 1.1.6Arrteematemáticanaeram
materialisstaindusttrialocid
dental
Naa cultura ocidenta
al as imaagens sem
mpre
esttiveramassociadasàssformasdeeelaboraçã
ãodo
co nhecimentto humano. Somoss obrigado
os a
reccorrer a elas parra melhorr observa
ar o
co mportamento dos modelos que queremos
co nstruir. Planejar
P
é sinônimoo de elab
borar
moodelos, diaagramas, desenhos,
d
eesboços, enfim,
im
magens meentais e visuais
v
quue possibilitem
an
nteversituaações.
Figgura10‐Dettalhedolame
entoanteCrisstoMorto,
Giootto(1304/6).In:Gêniosd
daPintura‐G
Giotto,deVictor
Civvita(ed.),AbrrilCultural,Sã
ãoPaulo,19668,p.22‐23.
Apartird
daIdadeMé
édia,começçandopelaaspinturasdeGiottoeepelarevollução
cienttíficarealizzadaporGa
alileu,acullturaocideentalcomeççouaplaneejartudoaoseu
redo
or. A repressentação de
d figuras aatravés dass diferentes formas pperspectiva
as fez
tecnologias aplicadas a Interne
et e que vêm a partir de dispositivos
d
móveis:
m
mídias locativas. De
e modo
abraangente, hoje, consideram‐se
e Tecnologias Emergentes as
a produções em nanotecnoologia, biotecn
nologia,
tecnologiadainforrmaçãoecomu
unicação,ciêncciacognitiva,ro
obóticaeinteliigênciaartificiial.
com que tivéssemos a capacidade de representar, numa superfície plana,
elementosgeométricossimulandotrêsdimensões.
Comecemosentãopelaobservaçãodasrepresentaçõesartísticasdofinalda
Idade Média e do começo do Renascimento, mais especificamente, as pinturas
realizadasporAmbrogiottoBondone,conhecidocomonomedeGiotto,quenasceu
porvoltadoséculoXIII.Asobrasdesteartistacomeçamaconsagrarummodelode
representação visual e lógico matemático realizado por volta do século III AC: a
geometria euclidiana. Hoje, a obra de Euclides de axiomatização dos elementos
matemáticoséconsideradaaprimeiratentativadesistematizaçãonamatemática.
Estaformadeelaboraçãogeométricapodeservisualizadanaspinturasrealizadas
porGiotto.Claroquenestemomento,aspinturasnãoadotavamprocedimentosde
perspectivatãoelaboradoscomoiremosvernasobrasdoRenascimento.
Comestemodelo,apartirdoséculoXIII,conseguimossimulareplanejaros
ambientesreaiseimagináriosutilizandoimagenscombasenomodeloeuclidiano.
SegundoSamuelY.Edgerton,emseutexto"TheHeritageofGiotto'sGeometry‐Art
and Science on the Eve of the Scientific Revolution", três são os aspectos que
modificam nosso paradigma de percepção neste momento: um político, um
religiosoeummatemático.Paraele,osfatoresquecontribuíramparaasgrandes
mudanças a partir do período renascentista foram: a política de rivalidade nos
estados‐cidadessustentadaporumaeconomiacapitalistaburguesamercantilista;
o conceito ético religioso de "leis naturais” concebidas a partir de um modelo
fixado "a priori" que admitia a existência de um "Deus" único e, finalmente, uma
filosofiaparaapintura,queadotavaprincípiosbaseadosnaestruturaaxiomáticae
matemáticadageometriaeuclidiana.(1991,p.12).
Escolhemos o ciclo materialista industrial ocidental, obviamente, porque é
dele que emanam nossos valores, fundamentados na matéria e na forma de
produzir da cultura ocidental, assim, o modelo que adotamos para analisar estes
signosestãoapoiadosnosmeiosdeproduçãopré‐industrial,industrialmecânicoe
industrial eletro‐eletrônicos e digital, que analisaremos a seguir. Não seguimos
rigorosamente uma segmentação histórica, uma vez que entendemos que as
mudanças de padrões e paradigmas não ocorrem instantaneamente, nem deixam
de existir na passagem de um ciclo a outro, verificamos que tudo deve ser
estruturado de maneira orgânica, não como um mundo com valores que tenham
tidomomentosdeascensão,apogeuedecadência.
De fato, ainda hoje, nossa cultura está impregnada pelo paradigma
cientificista sustentado no modelo cartesiano, que tem como principais
fundamentaçõesteóricasospensamentosdeDescartes,NewtoneBacon.Paraeles,
qualquersistema,pormaiscomplexoquefosse,poderiasercompreendidoapartir
das propriedades das partes e, automaticamente, a dinâmica do todo se
explicitaria. Acreditamos hoje numa evolução e que nossos sistemas são como
“holarquias”(LAURENTIZ,1991),onde
parteetododeixamdetersentidosisoladosepassamacompor
umsistemaúnico,íntegroecoeso....Omododepensaroriental,
com sua maneira intuitiva de estabelecer valores, aponta na
mesmadireçãoquandoafirmaque"ocaminhoecaminhantesão
fundamentalmente uma coisa única formando um todo, onde o
primeiro não existe isolado do segundo, e muito menos esse
longedoprimeiro.(HILDEBRAND,1994,p.14).
Cadacicloaquicitadofazpartedaevoluçãodeummodeloque,antesdeser
determinado, é um processo de investigação científica, onde acreditamos no
caminhopercorridoembuscadasverdadesmaisdoqueemsuadefiniçãoabsoluta.
Quandodaelaboraçãodenossadissertaçãodemestrado,tínhamosemmenteum
princípiofragmentárioclaramentecartesiano,sabíamosserdifícilabandoná‐lopor
completo, uma vez que nossos princípios eram frutos deste modelo. Hoje, não
totalmente desvinculados das formulações de Descartes, acreditamos em um
modelo com valores mais harmônicos baseado na obra e filosofia de Charles
SandersPeirce.
1.1.6.1Ociclopré‐industrial
Ascidadescomeçamacrescer.Alémdasmuralhasqueprotegemosburgos
ainda se pode ver, no horizonte, o infinito, o irreconhecível, o imponderável, o
místico: a Idade Média. Uma nova vida se abre com a expansão marítima, com a
economia comercial e monetária e com o gradativo abandono dos castelos
medievais.Oscentrosculturaisdeslocam‐sedocampoparaascidades.
A população está em constante movimento: os cavaleiros através das
cruzadas,osmercadoresqueandamdecidadeemcidade,oscamponesesdeixam
suasterrasparavirarcomerciantes,osartistaseartesãosvagueiamembuscade
trabalhoenfim,omundomove‐seeohomempercebeessemovimento.
Os princípios estabelecidos pela fé começam a cair por terra diante de
duas formas de conhecimento: a teologia e a filosofia. A Igreja como uma
instituição soberana permanece viva ditando normas, regras e valores, em
particular, estabelece um conceito ético moral de "lei natural" definido por algo
superior aos seres humanos. (EDGERTON, 1991, p. 14). De fato, nossas reflexões
começam na Idade Média, num momento em que tínhamos uma percepção
relacionada aos valores místicos da cultura medieval e à crença que tudo era
orientado por leis naturais estabelecidas por algo superior a nós; acreditávamos
emumDeusonipotenteeonipresente.
Deoutrolado,tínhamosacrençaque,osistemageométricoconhecido,combases
nateoriadomatemáticoEuclides,fosseumsistemalógicodivinoorganizadopor
leis da natureza e do pensamento humano. Nossos sensores eram apenas nossos
órgãos sensitivos. Os nossos olhos, mãos e mentes estavam a produzir
conhecimentoscalcadosnasparticularidadesdosindivíduos.Avidadocamponos
fazia conviver com as forças da natureza e para suportá‐las éramos obrigados a
respeitá‐las,admitindo‐lhesumcarátermístico.
Nas artes plásticas a perspectiva linear com apenas um ponto de fuga
resumiaumasituação,naqualaobradearteéumapartedouniverso,comoeleera
observado, ou, pelo menos, como deveria ser observado, na percepção de um
indivíduo,istoé,apartirdeumpontodevistasubjetivo,nummomentoparticular.
Dürer,parafraseandoPieroDellaFrancesca,afirmavaque“primeiroéoolhoque
vê; segundo, o objeto visto; terceiro, a distância entre um e outro"
(PANOFSKY, 1979, p. 360). No final deste período, haviam sido construídas três
formas de se pensar a ciência do espaço e dos números, todas elas baseadas em
uma visão geométrica intuitiva fundada na observação, isto é, numa percepção
matemáticaeuclidianaespacial.
Aproduçãoartesanalimprimiaasmarcasindividuaisdoprodutornoobjeto
criado. Percebemos também que todas as teorias matemáticas olhavam para os
seus objetos de estudo pelo aspecto geométrico e euclidiano com bases na
obseervaçãopurraesimple
esdenossoossensoressnaturais.IIstoé,oesppaçotopológico
utilizzado pelos pensadore
es sustentaa‐se numa métrica pllana dada, sem quaissquer
instrrumentos auxiliares. De modoo que, nessse período
o, a visão sistêmica
a dos
espaaços topoló
ógicos matemáticos ee artísticoss era dada pela perccepção intu
uitiva
hum
manasemfeerramentassdeavaliaçção;oque valiaeraoolhoeannossaperce
epção
indivvidual.
Fiigura10‐Ad
descidadacrruz,deRogierrVanderWeyden(1435//6).
In:Olivrod
daarte,tradu
uçãodeMoni caStahel,MaartinsFontes,,SãoPaulo,11996,p.491.
A arte era medida e orrdem quando estab
belecia ass relaçõess de
porcionalid
dade no mundo, na aarquiteturaa e nas re
epresentaçõões das fig
guras
prop
hum
manas.Asorrdens:dóriica,jônicaeecoríntiassãoexempllosdestetiipodeprin
ncípio
utilizzado em nossas representaç
r
ções pictó
óricas no período pré‐indusstrial.
Estávamos diante de formas de representações baseadas no sistema perspectivo
lineareosensocomumeraasimetria,oequilíbrio,aordenaçãoeamensuração.
A matemática, na tentativa de estabelecer uma projetividade espacial,
operava sobre conceitos semelhantes aos dos artistas, isto é, apesar de tentar
representar as formas geométricas de maneira espacial, não ia além de uma
convenção planimétrica do espaço, concebendo assim, um sistema de ordem e
medidacalcadonadeformaçãodosobjetoseemsuaprojeçãosobreumplano.Para
GilesGastonGranger,omatemáticoDesarguestinhaummétododeprojeçãoede
construção perspectiva que era uma transformação e que permitia passar do
espaço ao plano. Porém, de fato, era apenas uma deformação particular dos
comprimentos.Poroutrolado,aindasegundoGranger,
omatemáticoDescartesdiziaque"osproblemasdegeometriafacilmente
podem ser reduzidos a termos tais que, depois disso, só haveria
necessidade de conhecer o comprimento de algumas linhas retas para
poderconstruí‐los.(GRANGER,1974,p.64).
É evidente que quando Desargues e Descartes referiam‐se a comprimento,
importam‐se apenas com as distâncias que se desdobravam em duas direções,
comprimentoelargura;remetendo‐nosdefinitivamenteaoplano.Severificarmos
as obras destes dois autores, como também dos outros matemáticos
contemporâneos a eles, nós notaremos que a percepção espacial matemática da
época era fundamentalmente bidimensional. Eles definiam conceitos e operavam
com modelos que tinham suas bases em signos geométricos extraídos da
antiguidade clássica. A geometria e suas projeções, tanto na arte quanto na
matemática, eram de concepção euclidiana; a única forma conhecida de
representaromundoatravésdasimagensvisuaisnaspinturasedeinterpretaros
espaçosmatemáticos.
1.1.6.2Ocicloindustrialmecânico
O homem deixava de ser passivo e iniciava um processo imposição de
relações lógicas ao universo que o cercava. O sistema artesanal de produção
gradativamente dava lugar à produção em série, imprimindo cada vez mais
velocidadeaonossosistemaprodutivoeconsequentementeànossapercepção.
Nossos sensores, antes baseados na díade olho‐mão, passam a estar
apoiadosagoranadíadehomem‐máquina.Dividíamoscomasmáquinasaautoria
dosprodutoscriados.Apartirdesseciclo,fomosobrigadosaespecializar‐nosem
áreas de conhecimento, já que, somente assim, acreditávamos poder conhecer o
universoquenoscercava.Nestemomento,segmentávamostudo,oconhecimento
sefaziapelacompreensãodasparteseauniãodelasnoslevariaacompreensãodo
todo de nosso sistema produtivo. Fragmentávamos e imprimíamos velocidadeao
conhecimento,aproduçãoeapercepção.
Poroutrolado,aracionalidadelevadaaoextremoproduziaumpensamento
calcado no inconsciente humano. Num primeiro instante, isso parecia ser
contraditório, porém, passávamos a não ficar nada surpresos, ao admitir que os
sonhos diziam muito mais ao nosso respeito do que poderíamos perceber
conscientemente. O homem via que a máquina lentamente passava a ser um
importantemeiodeproduçãoeassim,conformeWalterBenjamin,consolidava‐se
a industrialização mecânica como período da "reprodutibilidade técnica"
(BENJAMIN,1987,p.170).Aoimplantar‐seonovoprocessodeproduçãodebens,
onde o trabalho das máquinas acrescenta velocidade ao sistema produtivo,
redirecionamos nossas percepções e ações no mundo. Os produtos eram
executados um a um, para um determinado patrono e ganhavam novas
características, assim; a civilização industrial introduzia a serialidade em seu
sistemaprodutivo.
Nas artes podemos verificar que Pieter Bruegel estava preocupado com a
vida dos povos humildes e os costumes populares. Já Caravaggio colocava São
Mateus como cobrador de impostos dentro de uma taberna, tratando os temas
sagrados cotidianamente. David retratava Marat, chefe político da revolução
francesa,assassinadodentrodeumabanheiraporsuasecretária.Goyaexpunhaa
família de Carlos IV a uma situação de deboche, pintava todos os membros da
família real como se fossem um bando de fantasmas e ainda, destacava o rei,
dando‐lheacaradeavederapina.Ingres,comomesmorealismodeDavid,pintava
oburguêsLouisBertinemumatelacomgrandeprofundidadepsicológica.Eassim,
vemos que todos os artistas plásticos estavam a mudar e inovar em suas
produções.
De outro lado, proccurando coompreender a luz enq
quanto fenôômeno em
m si, a
mento reall vivido, en
fotoggrafia passsava a captturar o mom
nquanto a ppintura ten
ntava
comp
preender, conceituallmente, coomo se co
omportava a luz diaante dos olhos.
o
Nascciam
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artíssticos:
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mpressionista,
pós‐‐impression
nista,
exprressionista e pontilhista. Eles p oderiam seer sintetiza
ados nas oobras de Manet,
M
Mon
net,Degas, Renoir,VanGogh,Gaauguin,Pau
ulSignac,T
ToulouseLaautreceGe
eorge
Seurrat,que,entreoutrasformasde significar,estavamte
entandoreppresentaro
oque
podeeriaseracaapturadoe
efêmero,dooimaginário,datensã
ão,domoviimento,da luze
doin
nstantâneoemsuaspinturas.
Fiigura11‐Op
paláciopapalldeAvignon, dePaulSign
nac(1863).In
nOlivrodaarrte,traduçãode
MonicaStahel,Martin
nsFontes,SããoPaulo,1996,p.430.
Nem bem
b
cheg
gávamos ao ápicee da ind
dustrializaçção mecâ
ânica,
camiinhávamoss em direçã
ão ao seu eesgotamen
nto através dos movim
mentos cub
bista,
conccretista, fu
uturista e supremaatista. Tod
dos tendo como teema centrral o
abstrracionismo
o,istoé,osartistasqu
ueriamsuaasobrasrepresentanddoasimessmas,
send
doopurorealenãom
maisarepreesentaçãodealgo.Ao
obraemsi passavaasero
próp
prioobjetorealeconccreto,nada representaavaanãoserelamesm
ma.
Voltando nossa atenção para a matemática, verificamos que ela estava
preocupada com a teoria das probabilidades, refletindo as certezas e incertezas
desteuniverso,que,apartirdestemomento,passaaserpercebidaemconstante
movimento e diante de uma infinidade de contradições. A teoria das incertezas
observava os eventos pelas repetidas vezes que eles ocorriam, traduzindo em
quantidades numéricas as possibilidades de ocorrência de um fenômeno. Ao
analisarmos estas questões na probabilidade e no cálculo diferencial e integral
éramos conduzidos ao seio da percepção sistêmica na matemática, uma das
principais questões da modernidade. Esse conceito, se levado às últimas
consequências,mostrava‐nosadialéticatomandocorpo,também,namatemática.
A análise diferencial eintegral, desenvolvidanesta época, fundamentava o
pensamento de quase todos os matemáticos, inclusive do físico Newton. A
matemática chega a uma consistência sistêmica tão profunda, que o Euler, com
apenasumafórmula,conseguiucompatibilizarquasetodaamatemáticaconhecida
atéaquelemomento.Estaexpressãoalgébricareuniuemseuinteriorprincípiosdo
cálculodiferencialeintegral,dateoriadasprobabilidades,dateoriadasséries,da
teoria das funções, da álgebra e também da filosofia matemática. (DAVIS, 1985,
p.232).
e i=cos+i.sen=‐1oue i+1=0


Todos os ramos do conhecimento matemático, de algum modo, eram
expressos nessa fórmula. Além disto, ela possuía uma áurea misteriosa muito
grande,poisconseguiaabrigaremseuinteriorarelaçãoentreascincoconstantes
mais importantes de toda a análise matemática: e,  , i, 0 e 1 (GRANGER, 1974,
p.88).Nestemomento,paramelhorcompreenderoprincípiosistêmicoquetoma
contadoraciocíniomatemáticoeabuscadeumaunidadeestruturalemtodaesta
ciência,observemosahistóriadageometriaeuclidianaedeseuscincoaxiomas.Ela
conta‐nos que, desde Euclides e de sua axiomatização da geometria em “Os
Elementos” os matemáticos procuravam esta mesma estrutura para as outras
formasdeproduçãodeconhecimentonomundodosnúmeros.
Desdeosgregos,osestudosrealizadossobreoscincoaxiomasdeEuclides,
sempre confirmaram a consistência deste sistema. Isto perdurou até o final do
séculoXIX.OquintoaxiomadeEuclides,omaisconhecidodeles,definiaoconceito
de retas paralelas. Podendo ser enunciado sem nenhum rigor matemático, do
seguinte modo: duas retas são paralelas quando se encontram no infinito. Os
axiomasde1a4sãotriviais,intuitivosetratamdeconceitosgeométricosdefácil
percepção.Nãoformulamquestõesmaisprofundassobreageometriaeuclidiana.
Porém, o quinto axioma, o das retas paralelas, sempre despertou o interesse de
todososmatemáticos,principalmentenoséculoXIX,que,natentativadededuzi‐lo
logicamenteapartirdosanteriores,fazemnascerageometrianão‐euclidiana.Isto
é, a busca de provar a consistência sistêmica desta geometria levaria o homem a
descobrirnovoscaminhosfundamentadosnaestruturaaxiomáticadestemomento
emdiante,fundamentalnodesenvolvimentodoconhecimentonamatemática.
Conhecida como geometria imaginária, e atribuída ao matemático russo
Nicolai Lobachevsky, as geometrias não‐euclidianas surgem a partir da tentativa
de demonstração do último axioma de Euclides. Na impossibilidade de realizar
essa dedução lógica encontram‐se outros espaços topológicos matemáticos,
conhecidoshojecomo:geometriashiperbólicaeelíptica.Elassão,respectivamente,
atribuídasaLobachevskyeaJanosBolyaieG.F.B.Riemann.
Próximo ao começo do século XX, com procedimento semelhante ao que
gerou as geometrias não‐euclidianas, vamos encontrar outra contradição que,
junto com o paradoxo das paralelas, irá reformular os princípios matemáticos
conhecidos até este instante. Georg Cantor, trabalhando na teoria dos conjuntos,
emparticularsobrea“cardinalidade”dosconjuntosfinitoseinfinitos,nosconduz
ànoçãodeinfinidadesemmatemáticaeaoconceitodeconjuntosnão‐cantorianos.
Esta questão, que veremos com maior detalhe no corpo deste trabalho, deve ser
observada intimamente relacionada à noção de quantidade de elementos em
conjuntose,maisprecisamente,deveserassociadaaoconceitodevizinhançaem
matemática.
Os elementos de uma série matemática infinita podem ser classificados e
ordenados, isto é, podem ser colocados uns ao lado dos outros, criando uma
seqüência infinita de números, determinando assim, a cardinalidade desta série.
Aoconstruirestemodeloestamosenumerandoosconjuntosdenúmerosinfinitos.
Com a introdução destes princípios, na geometria e na teoria dos números,
constatamosqueosmatemáticos,assimcomoosartistas,substituemaconcepção
intuitiva do espaço euclidiano, aceita há séculos, por uma concepção onde a
intuição é primitivista, topológica de caráter sensível. Para o matemático Henry
Poincaré,osaxiomasdageometriasãoconvenções,istoé,
são escolhas feitas entre todas as convenções possíveis que devem ser
orientadas pelos dados experimentais, mas que permanecem livres,
sendolimitadasapenaspelanecessidadedeevitarqualquercontradição.
(PIRSIG,1990,p.251).
A partir da negação do quinto axioma de Euclides e da introdução do
conceito de conjuntos não‐cantorianos, podemos desvincular nossa percepção
espacial matemática das geometrias e, assim, auxiliados pela teoria axiomática,
somos levados a operar matemática e geometricamente num patamar onde as
generalizações são nossa principal ferramenta. A matemática deixa de ser
construídapormodelosquepossuemcaracterísticasfortementeintuitivasepassa
a ser fundamentada nas teorias axiomáticas e no conceito vetorial que nos
permitemconstruirmodelosabsolutamenteabstratosetotalmentedesvinculados
do mundo real. Eles são baseados em signos, operações e estruturas, na maioria
dasvezes,impossíveisdeseremassociadosàscoisasdapercepçãointuitiva.
Poroutrolado,olhandoasartesplásticas,verificamosqueduasformasde
expressões sobressaiam. A primeira estabelecia relações com o mundo do
inconsciente, e tinha, no seu principiar, expoentes como, Henri Matisse, Gustav
Klimt e Oskar Kokoschka e suas pinturas retratando o "fin‐de‐siècle", suas
angústias e distorções. Esta forma de conduta podia ser reconhecida no
movimento artístico dadaísta que, através da deformação deliberada dos objetos
representados, determinavam uma forma de protesto contra a civilização
industrial.Omovimentosurrealistaacreditavaquesuasproduçõeseramrelativas
às percepções do psiquismo e que poderiam exprimir o verdadeiro processo do
pensamento. Para eles, isto ocorria, independente do exercício da razão e de
qualquer finalidade estética ou moral atribuída aos trabalhos (HAUSER, 1972,
p.662).
A segunda forma expressiva, denominada de arte abstrata, era expressa
pelas correntes cubista, construtivista, futurista, suprematista, neoplasticista e
concretista.OseuexpoenteinicialfoioartistaCézannequeacreditavaqueaarte
erarrepresentaçãodesim
mesma,em seguida,naaEuropa,v
vieramKanndinsky,Piccasso
eBraaque.Já,naaRússia,va
amosencon
ntraraarteeabstratan
nostrabalhhosdeMale
evich,
Gonttcharova, Rodchenko
R
o e outros.. Um dos maiores ex
xpoentes ddesta form
ma de
exprressãoartísstica,eque,,editavaa revistaDeStijlespeciializadaneestetipodearte,
éoaartistaplássticoPietM
Mondrian.P
Paratodoselesaarte
eabstrata eraopuro
oreal
em ssi e não mais represe
entação doos objetos do mundo.. Ela era o próprio objeto
conccreto,nãorrepresentanadaanãooserasimeesma.
Figura12
2–PôsterWaaterfall,1961
1
MauritsCorrnelisEscher,,
50x70cm..
Neste momento,
m
ju
unto com Lobachevssky, Janos Bolyai e R
Riemann, va
amos
enco
ontrar o artista
a
gráffico holand
dês Mauriits Cornelis Escher, conhecido
o por
representar oss espaços geométriccos projettivos ou não
n
euclid ianos (elip
ptíco,
paraabólico e hiperbólico)
h
) através d
de suas xillogravuras e litografiias. As ima
agens
prod
duzidas po
or ele apre
esentam siituações paradoxais, no entantto, factíveis de
representação no plano. Ele explorra os espaaços infinito e as mettamorfosess das
representaçõess sígnicas dos
d espaçoos geométrricos não‐e
euclidiano. Escher ela
abora
seusdesenhoseimpressõ
õesrepreseentandoosmodelosm
matemáticoospensadospor
Moëb
bius(faixadeumlado
osó)eKleiin(GarrafadeKlein).
Essas du
uas vertenttes de reprresentação
o, uma marrcada pelass caracteríssticas
psíqu
uicas e meentais e a outra
o
pelass formas abstratas de
e represenntação pictó
órica,
determinavamprofundam
menteaprooduçãonassartesplástticasnoperríodoindustrial
mecâânico. A co
ontinuidade
e dessas id
déias iria determinar
d
significativvamente to
oda a
prod
duçãoartístticadoperríodoeletroo‐eletrônicco.Estemovimentoarrtístico,do
oqual
falamos, foi fundamentalmente desenvolvido na Inglaterra e nos Estados Unidos
através da pop‐art. Ele vai ser o primeiro de uma série de outros movimentos,
marcadoporumacontinuidadedosprincípiospsíquicoseabstracionistas,dofim
do período industrial mecânico. De fato, a partir deste momento, surgem vários
caminhosparaaarte.Efetivamentevamosverobrassendoproduzidasparaaop‐
art, a arte conceitual, a arte‐objeto, os happenings, as instalações, a video‐art, a
sky‐art, enfim, uma infinidade de linhas de pensamento artístico, definidas de
maneira bem particular em relação as suas formas de representação. Todos em
buscadeumavisualizaçãodaunicidadeorgânicadadapelalinguagemsobreaqual
estávamosaproduzirconhecimento.
Assim, vamos encontrar Picasso, com um grande número de obras que
explicitaram suas metamorfoses e sua fecundidade inesgotável e ininterrupta
(PAZ, 1977, p. 7), apresentando uma das características marcantes da
modernidade. Encontraremos a serialidade nas diversas formas de produção,
inclusivenasobrasartísticas.Duchamp,poroutrolado,consideradoporPazcomo
autor de uma única obra, nega a pintura moderna fazendo dela uma ideia, um
conceito, não concebendo a pintura como uma arte apenas visual. Segundo
observou Octávio Paz, em seu livro "O castelo da pureza", a pintura‐ideia e os
ready‐made constituíam‐se em "alguns gestos e um grande silêncio" (1977, p. 8);
paraeleeramasverdadeseosconceitos,nosquaisDuchampenfatizavasuacrítica
asociedadeemqueviviaeelaboravaasuanegaçãoàpinturanamodernidade.
1.1.6.3Ocicloindustrialeletro‐eletrônicoedigital
O homem descobre a energia elétrica e com ela nosso paradigma de
percepção altera‐se novamente. Agora, apoiados nos meios eletro‐eletrônicos e
digitais de produção, somos atingidos em nossos pensamentos pelas diversas
formas de energia, em particular pela energia elétrica que nos encaminha em
direçãoàluzeàsvelocidadeseoselementosqueelanosfazperceber.
Aenergiaestápresenteemtudoquefazemosoupensamos:nageraçãoda
força mecânica através das bobinas, na eletricidade que consumimos em nossas
casas, no armazenamento dos dados através dos suportes magnéticos, na
transmissão e recepção de informações do mundo digital, enfim, em todas as
partículas do universo onde o elétron, o próton e o nêutron estão presentes. De
fato, a velocidade de processamento a que somos submetidos, unidos aos
mecanismosdearmazenamentodainformação,nosexpõeàsnovascaracterísticas
e novos paradigmas. A partir de agora, velocidade, conhecimento e decisão são
elementos primordiais do processo produtivo e estão incorporados aos novos
meios de produção. Detém o poder quem detém as informações, e detém as
informaçõesquemdetémodomíniosobreossoftwaresehardwares.
Para melhor compreendermos o estágio que nos encontramos, ainda em
formação, é necessário relembramos que, a memória embutida em nossos
equipamentos, aliadaà automação de nossas máquinas,acrescentavelocidadeao
quefazemos,permitindomaiorrapidez,eficiênciaeexpondoahumanidadeauma
intensa troca cultural. Logicamente estas modificações perceptivas não
aconteceramdeumasóvez,nemseconfiguraminstantaneamente,asmudançasde
paradigmafazempartedeumprocessodeobservaçãoeelaboraçãoquedefineeé
definido através do uso das diversas linguagens. Assim, para compreendê‐lo, é
necessárioqueretomemosvaloresepensamentosdahistóriadasartesplásticas,a
fim de observarmos os processos de mudança que interferem significativamente
emnossoatualparadigmadepercepção.
Nos Estados Unidos vamos encontrar a action painting destacando os
trabalhosdeJacksonPollocksobretelas,eleutilizavaosgestoseoacasoparacriar
seustrabalhos,assimcomoDuchamp,quandoincorporouaoseu“GrandeVidro”,a
quebracasualdeumadesuaspeçascentraismodificandoainterpretaçãodaobra.
O artista americano, Pollock, foi um dos principais representantes da pintura
gestual e afirmava que, no chão, se pintava à vontade; ali ele se sentia mais
próximo da pintura; fazia parte dela; trabalhava em seus quatro lados e,
literalmente,estavadentrodapintura.
Sem dúvida, nestes dois relatos vamos encontrar as marcas da energia
humanaedanaturezasendoincorporadasaostrabalhosdeartedoperíodoeletro‐
eletrônico. O ato de pintar telas no chão e os vidro quebrado do trabalho de
Duchamp, estão repletos de ação, movimento e vitalidade. Pintar para Pollock
significavaobservar sua elaboração nos vários ângulospossíveis eestando atela
no chão isto era possível. Destacando aqui, apenas a action‐painting e a pop‐art,
doismovimentosbasicamenteamericanosdeartesplásticas.Enfim,estádecretada
a maioridade internacional da arte americana (JANSON, 1977, p. 664), pois, o
podeer,amuitojálhespertencia.Ap
pósofinal daSegundaGrandeG
GuerraMun
ndial,
quan
ndo os ameericanos ju
unto com oos aliados saem vitorriosos, nóss vemos crescer
signiificativameente a prod
dução ameericana, em
m todas ass áreas de conhecim
mento,
partiicularmenttenasartess.
Podemo
os dizer qu
ue a pop‐aart é uma das expre
essões dessse poder. Suas
imaggensereprresentaçõessestãobasseadasnos meiosdecomunicaççãodemassada
socieedade ameericana. E assim,
a
neggando a negação dos “ismos”, aa pop‐art não
n é
antim
moderna;éépós‐mode
erna;eaind
da,contrárriaaodada
aísmo,não émotivadapor
qualquerdesessperooure
epulsaemrrelaçãoàciivilização,m
massim,peelaexaltaçã
ãode
Osartistasdapop‐arttexaltando
oasreprod
duçõesem série,como
opor
seusmodelos.O
exem
mplo,ashisstóriasem quadrinhoos,exploram
mpositivam
mentetodoososvaloresda
socieedade de consumo. A simulaação do mundo re
eal também
m é uma das
características deste mov
vimento dee arte. Os artistas
a
con
nstroem obbjetos plássticos
emttamanhonaatural.
Ostrabaalhosdoarrtistaeesc ultorDuan
neHanson quemodellavaaspesssoas,
obtin
nhaescultu
urashuman
nasemtam
manhonatu
uralequee
eramverdaadeirasrép
plicas
dom
modelorealle,assim,a
ascaracteríísticasdasociedadeq
queproduzparaasmassas
sãollevadasaoextremo,sófaltando‐‐lheavida.
Figuraa13–OldCo
ouple
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Bench,deDua
ane
Hansoon(1994).
CollecctionHanson,
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Kunst,Bonn2
2010,
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utfür
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Efetivam
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madedeDuchampattéacomputtação
matizadas, operam sobre
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ideia
as, conceitoos e signo
os. As
gráfiica e as reedes inform
criaççõesplásticcasematem
máticasge raramobjeetoseestru
uturasconccebíveisap
penas
nam
mentehumaana.Emco‐‐autoriacoomamáquiina,ohome
em,apartirrdesteinsttante,
elabora seus signos artísticos, dando novas formas e novos significados às suas
produções. Tudo se transforma em meios de comunicação. Todos os sistemas de
representação são possíveis e os objetos permitem que, deles, possamos extrair
todas as interpretações possíveis e imagináveis. Hoje os meios de produção são
observadoscomolinguagemdecomunicação,noqualosdiferentesdiscursossão
possíveis. Concordando com Lucia Santaella, afirmamos, que toda e qualquer
interpretação depende dos referenciais que sustentam o pensamento de quem o
interpreta(1990,p.58).
Aqui, vamos apresentar a ligação que existe entre a nossa dissertação de
mestrado(HILDEBRAND,1994)enossatesededoutorado(HILDEBRAND,2001).
Observamos que, entre as possíveis interpretações que poderiam ser realizadas,
identificamos aquelas relacionadas às estruturas lógicas de organização das
linguagensvisuaisesuaspossíveisrelaçõescomalinguagemmatemática.Segundo
ArlindoMachado,acodificaçãoeletrônicadaimageméfeitasatravésdepontose
retículas de informações básicas de cor, tonalidade e saturação que aos nossos
olhos aparentam realidade, mas o mundo real externo é mais que isto e nós
sabemos.Eleaindaafirma,queas“articulaçõesdeníveisabaixodaimagem”(1984,
p. 157), que são os píxeis das telas de televisão e dos computadores, não
apresentam o mundo real, por mais próximos que pareçam dele estar. A lógica
matemática, em particular a desenvolvida por Boole, estrutura nossas imagens
digitais através dos bytes e de um sistema numérico binário, onde 0 e 1
representam a passagem ou não da energia pelos circuitos dos computadores,
demonstrando que a visualidade gerada pelas novas mídias eletrônicas está
totalmentevinculadaàlógicadosmodelosmatemáticos.
Istonosconduzdiretamenteaomundodosnúmerosedosespaçosque,ao
refletirsobreométodoaxiomático,conhecidodesdeEuclides,definitivamenteestá
àsvoltascomdiscussõesabstrataselógicas.KarlWeierstrass,GeorgeCantor,H.E.
Heine, J. W. R. Dedekind e muitos outros matemáticos estão formulando sobre a
álgebra abstrata, a arimetização da matemática, o método hipotético‐dedutivo, a
teoria dos espaços de Riemann, a geometria diferencial e a evolução da lógica.
Hilbert,embuscadeelucidaranaturezadoinfinito,propõeaconsistênciatotaldos
nossosmodelos.Noentanto,o“TeoremadaIncompletude”deKurtGödelmostra
que isto não era possível de ser realizado. Os modelos tornam‐se inconsistentes
quandotentamosgeneralizá‐losemsuasinfinidades.
A partir desta demonstração, Gödel encerra com a proposta de Hilbert de
encontrarumalinguagemeumalógicaquesirvamdeformalizaçãoparatodasas
teoriasmatemáticas.Eefetivamenteamatemáticarende‐seàlógica.Nesteinstante
surgemprofundasreflexõessobreopensamentológicoesobreumanovapostura
referente à natureza da matemática. Frege e Peirce introduziram uma fértil
discussãonamatemática.Oprimeiroacreditavaquepoderiadeduziramatemática
dalógicae,assim,tentoumostrarquetodasasexpressõesaritméticas,portantoa
matemática,poderiaserdefinidaemtermoslógicos.Paraisto,eleencaminhouum
raciocínioquepretendia“mostrarquetodasasexpressõesaritméticassignificamo
mesmoqueumaexpressãológica”(PEIRCE,1983,p.183).Jáparaofilósofo,lógico
ematemáticoCharlesSandersPeirce
averdadeiralógicaestábaseadanumaespéciedeobservaçãodomesmo
tipodaquelasobreaqualsebaseiaamatemática,eessaéquaseaúnica,
ou senão a única ciência que não necessita de auxílio algum de uma
ciênciadalógica"(PEIRCE,1975,p.21).
Comisso,alógicadefinitivamenteocupaseuespaçonomundomatemáticoe
Tarski,Turing,Church,Zermeloemuitosoutros,vãoiniciarumadiscussãoqueaté
hojepermaneceentrenós,equepretendemosabordarnestetrabalho,qualseja:o
objeto matemático refere‐se a algo no mundo real? De fato, contatamos que a
lógica e os modelos abstratos tomam conta das reflexões nesta ciência e,
pensadores como Cauchy, Abel e Weierstrass, discutem os fundamentos de
edificaçãodestaciência,tratandodeencontrarapoiossólidosparaaaritmética,a
álgebra,ocálculodiferencial,ocálculointegral,enfim,todaaanálisematemática.O
método axiomático é o caminho lógico para a arimetização da análise, onde, a
noção de espaço vetorial transforma nosso modo de perceber, operar e pensar
sobre as geometrias. A "dissociação entre objetos e operadores" passa a ser o
principalaspecto"paraaconstituiçãodeumaestruturavetorial"(BOYER,1974,p.
94). Riemann afirmaque devemos pensar a geometria sem ser por pontos e isso
nos leva “à curvatura dos espaços riemannianos”, sem a qual a teoria da
relatividade de Einstein não poderia ter existido. Por outro lado, o famoso
“conceito de Cortes de Dedekind” estabelece uma separação entre a análise
matemáticaeageometriae,então,passamosaformularnossasteoriascombases
realmenteabstrataselógicas.
Devemoslembrar,ainda,da“teoriadascatástrofes”deRenéThom,quecom
seus modelos estabelece a projeção do descontínuo sobre o “real”, um espaço
imaginário que reflete sobre os modelos e sobre o princípio da continuidade.
Operando sobre espaços integralmente abstratos, na teoria axiomática e nos
procedimentos da lógica, os Bourbakis, grupo de matemáticos que elaboraram
trabalhos em busca de uma formalização do conhecimento nesta ciência, desejou
substituir os cálculos matemáticos por ideias. E assim, afirmaram que “o que o
métodoaxiomáticofixacomoobjetivoprincipaléexatamenteoqueoformalismo
lógico por si não pode fornecer, ou seja, a inteligibilidade profunda matemática.”
(BOYER,1974,p.457).
Na matemática, algo semelhante está ocorrendo, os conceitos e
fundamentosmodernosdaálgebra,aliadosàstopologias,aosespaçosvetoriaiseà
teoria axiomática, geram a álgebra homológica que “é o desenvolvimento da
álgebraabstrataquetrataderesultadosválidosparamuitasespéciesdiferentesde
espaços.”(BOYER,1974,p.457).
Sabendoclaramentequenãoesgotamostodososfundamentos,conceitose
conhecimentos matemáticos da atualidade, e nem o pretendemos fazer, dada a
extensão desta área de conhecimento. Voltaremos a estes conceitos com mais
profundidade no corpo de nossa tese de doutorado. No entanto, ao concluir este
resumo sobre a nossa dissertação de mestrado, devemos destacar que, hoje,
encontramos inúmeras formas lógicas de proceder: a lógica clássica, a lógica
difusa,alógicaparacompleta,alógicaparaconsistentedesenvolvida,entreoutros,
pelobrasileiroNewtonCosta.Enfim,encontramosinúmerosmodeloslógicosque
nospermitemmostrarainfinidadedeinterpretaçõespossíveisqueestãodiantede
nós,inclusivediantedaquiloqueacreditávamosserúnica:alógica.
Tanto na matemática, quanto nas artes plásticas, nossos sistemas e
linguagens, de agora diante, colocam‐se diante de uma "crise de representação"
generalizada,portam‐secomoseestivessemesfacelados,mas,naverdade,apenas
deixam claro que, através de nossa percepção, os fenômenos naturais e
culturalmenteconstruídosorganizam‐sesegundomodelosqueàsvezesnãoestão
totalmente determinados para os nossos sentidos, contudo, possuem
características que possivelmente se estruturaram a partir de novos modelos de
observação que concebemos, num processo contínuo de produção de
conhecimento;umametodologiadeinvestigaçãocientífica.
Os novos meios de comunicação geram novos signos, que, por sua vez,
abrem novas possibilidades de significação, e, assim, se pretendemos viver
intensamente os dias de hoje, devemos estar em busca da compreensão dos
significados desses signos que cada vez mais abrem suas portas à interação do
homem com tudo aquilo que está ao seu redor, principalmente o que pode ser
concebidoemsuamente.Entreessesmeios,destacamosaqueleque,hoje,maisnos
atingem,istoé,asnovasmídiascomseus“códigosdebaixonível”,seuspíxeis,sua
lógica binária ordenada segundo Boole, estruturando logicamente modelos,
algoritmos e princípios matemáticos irremediavelmente incorporados aos atuais
meio de comunicação. As imagens da computação gráfica simulando objetos, que
em realidade não existem, através das codificações matemáticas, conduzindo‐nos
aosnovosparadigmasdepercepçãodoperíodoeletro‐eletrônico.Esteprocessode
elaboraçãodeconhecimentopermite‐nosuniraproduçãoeoconsumodestemeio,
num princípio único, simulando, através destas máquinas eletrônicas, ambientes
que estão relativamente próximos àqueles estabelecidos pelo nosso sistema
nervosocentral(MCLUHAN,1964,p.391).
Hoje, olhando para nossas produções como elos de um processo cognitivo
único, onde mente e mundo fazem parte de um mesmo ecossistema, verificamos
queconvivemos,intimamente,comalógicabináriaecomomundodigitale,assim,
as artes e a matemática unem‐se em busca de suas similaridades. O perfil
produtivo do momento em que vivemos, está apoiado nos conceitos e
procedimentos lógicos matemáticos de nossos equipamentos digitais e está
associado aos novos modos de representação, que as diferentes linguagens de
comunicação permitem. Os signos matemáticos, cada vez mais, fazem parte e
organizam os fundamentos lógicos de todas as outras formas de linguagem do
homem.
Detémop
poderquem
mdetémossprogramaasdoscomputadores,,que,aomesmo
temp
poemque processao
ocálculop
paraolançaamentodasespaçonaaves,mode
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objettosimaginaadospeloh
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mentalmente por nós. Hoje, acrrescentamo
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s
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novos
ambientes, uniidos aos signos
s
mattemáticos e lógicos de nossas linguagen
ns de
os “imagen
ns síntesess”, imagens em proccesso que “não
proggramação, revelam‐no
representamnaadaenãottêmqualqu
uertipodecontatofísicocomalggopreexisttente:
sãoaapenasumaasériedeinformaçõeesnuméricaas.”(1996,p.114).
As imaggens gerad
das por eestes meio
os não nascem de algum tipo de
perccepção visu
ual sensível à luz, e ttambém, nãão fazem referência
r
aa qualquerr real
existtente.Cadaavezmais,sãosimulaaçõesereprresentaçõesdeobjetoosabstratosque
existtem apenaas em nosssas mentees, assemeelhando–se
e, em muiito, aos siignos
mateemáticos. A
A possibilid
dade de geeração de um númerro infinito de simula
ações,
uma das características de nosso tempo, evidencia um grande número de
similaridadesentreessasduaslinguagens.
Apartirdeagora,vemosqueestessignosestãorelacionadosàsquestõesda
visualidade das representações concebidas diante das novas tecnologias que, em
suas características fundamentais, estão intrinsecamente ligados aos objetos
matemáticos.Estasformasdelinguagens,porqueestãoestruturadasemaxiomas,
conceitoseprincípioslógicos,utilizadosnamatemática,sãosemelhantesaela.E,
de fato, o foco deste nosso artigo foi analisar quanto de matemático há nestas
representações humanas, em particular, quanto de matemática há nos signos
visuaisgeradospelosartistas.
Encontramos vários autores analisando as imagens geradas pelas novas
mídias eletrônicas como sendo: “imagens sem olhar” (SOGABE, 1996, p. 113),
aquelas que se concretizam a partir de processamentos numéricos dos
computadores;“imagenssintéticas”,herdeirasaomesmotempodamatemáticae
daarte(POISSANT,1997,p.89),imagensquegeramuma“ordemvisualnumérica”
(COUCHOT, 1982, p. 42), ou ainda, “imagens em potencial” e “imagens sínteses”,
todas elas dando ênfase ao caráter abstrato, lógico e virtual destes modelos de
representação. Apesardo grandenúmero de textos que tratam deste tema, pelos
diferentes ângulos de percepção e interpretação, verificamos em nossa pesquisa
bibliográfica que existem pouquíssimos estudos discutindo as imagens, tendo
comofocoosaspectosmatemáticosetopológicoscomoabordamosnesteartigo.
As novas tecnologias de comunicação trazem embutidas em sua lógica de
construção, o conhecimento que, fundamentalmente, está presente na ciência
matemática (HILDEBRAND, 1994, p. 137). Os computadores iniciaram
processandoinformaçõesapartirdeumalógicabinária,que,emúltimainstância,
pode ser olhada como representações numéricas de impulsos elétricos, onde o
zerorepresentaoinstantequenãopassaenergianoscabosecircuitosdenossas
máquinas e o um representa o oposto disto. De fato, estamos observando um
princípio lógico que dá suporte às novas mídias eletrônicas em seu nascimento,
oriundasdomesmouniversosimbólicoqueéamatemática.
Verificamos algumas modificações nestes princípios, depois da
demonstraçãodo“TeoremadasQuatro‐Cores”edo“TeoremadeClassificaçãodos
GruposFinitosSimples”devemosestaratentosaosváriostiposdecomputaçãonão
convencionaisquecomeçamatomarcontadasnossasformasdeprodução.Estes
novos processamentos lógicos baseados em outros princípios que são diferentes
da lógica clássica, assim como, a lógica fuzzy, a paraconsistente, a quântica e a
computação baseada no DNA, modificam nossos paradigmas. Entre os mais
recenteschoquescognitivos,dosquaisnosfalaMarcus,equeanalisaremosneste
trabalho,vamosencontraraquelequeresultadamarginalizaçãodaenergiaatravés
da informação, este processo vem sendo desenvolvimento pela teoria da
informaçãodoalgoritmo,porKolmogoroveChaitin(MARCUS,1997,p.7).
Hoje podemos dizer que, diante das novas mídias e dos vários princípios
lógicos que podem ser elaborados pelos nossos softwares, passamos a conviver
com a possibilidade de criar novos ambientes de percepção, nunca antes
vivenciados. E, assim, através dos computadores, das novas lógicas na linguagem
de programação e de uma grande variedade de formas de visualizar ambientes
virtuais, podemos simular situações com as imagens sintéticas impossíveis de
seremconstruídaslongedesteuniversodigital.
Ao analisar estas imagens sabemos estar lidando com uma vasta gama de
conhecimento e, assim, finalizando os aspectos que queremos ressaltar neste
estudo,devemoscomentarque,aindademaneiravagaeintuitiva,sabemosestar
observandofenômenosque possuemumníveldecomplexidademuitoelevadoe,
com características bem mais abrangentes do que podemos estabelecer neste
artigo. No entanto, nosso objetivo foi o de realizar uma abordagem semiótica do
signo matemático dando ênfase às questões lógicas da visualidade diante dos
novos meios de produção. Assim, contribuir para atingir novos níveis de
complexidade através das análises que realizaremos das representações visuais
dos modelos matemáticos. Pretendemos, também, verificar neste estudo a
tendência que todas as ciências tem a matematização. Para Santaella e Nöth,
fundadosnospensamentosdePeirce,todasasciênciascaminhampara
aumentarem gradualmente seu nível de abstração até se saturarem na
matemática, quer dizer, a tendência de todas as ciências é se tornarem
ciências matemáticas. O conglomerado de ciências, que hoje recebe o
nome de ciência cognitiva,parece estarno caminho de comprovar essa
sugestão.(1998,p.90).
Assim, as imagens computacionais que são construídas e, em seguida, são
destruídas para darem lugar às outras imagens que as substituíram, pois elas
existemduranteotempodeprocessamentoedeexposiçãoemnossossistemas
depercepção,são“imagensemprocesso“ou“imagensvirtuais”demodeloslógicos
intrinsecamenteligadosàsnovasmídias.Finalizandoosaspectosquepretendemos
analisar neste texto, devemos ressaltar que, de maneira secundária, mas não
menosimportante,devemoslembrardasimagensfractais,osgrafosdemodogeral
e os grafos existenciais de Peirce que nos conduzem às belezas explicitadas nas
formaseraciocínioslógicoseaestéticadestasformas.
As Imagens Matemáticas que abordamos em nossa tese de doutorado, são
concepções visuais em processo que adquirem valores diferenciados quando são
compreendidasrelacionadasàslinguagensqueasgeram.Observaressesaspectos
associados às novas tecnologias, nos levam a conectar três realidades
aparentemente distintas: primeiro a questão da visualidade destas imagens, que,
através do processo criativo, expõem características diagramáticas, em segundo
lugar,aquestãooperacionaldaconstruçãodalinguagemmatemáticaemsie,em
terceiroosaspectosmentaisesimbólicosnecessáriosnarealizaçãodestetipode
conhecimento.
1.2ConceitosBásicosdeProgramação
Arealizaçãodeumprogramaparacomputadortemcomoobjetivoresolver
problemas, com isso, precisamos de uma linguagem que permita dialogar com
estas máquinas eletrônicas. Além da linguagem também necessitamos de um
métododeresoluçãodeproblemaquepermitaproduzirumalgoritmoqueajudea
resolveroproblema.
Naanálisedoproblemadevemosbuscarencontrarumcaminhodesolução
que seja viável a partir de uma determinada linguagem escolhida e,
principalmente, elaborar um algoritmo através desta linguagem do assunto que
trataoproblema.Defato,devemosbuscarummodelomatemáticodisponívelpara
a solução do problema e como realizar a implementação de um procedimento
lógicoquepermitasolucionaresteproblema.
Devemosterumprocedimentosistêmicoeumavisãodinâmicaqueabranja
os recursos da linguagem e o modelo matemático escolhido para a solucionar o
problema, ou seja, podemos encontrar um modelo matemático que seja inviável
para a solução do problema, como também, podemos não encontrar recursos
disponíveisnalinguagemqueresolvaoproblema,comotambémapessoaqueestá
buscandoresolveroprogramanãotenhaconhecimentosuficienteparatal.
1.2.1OqueéumAlgoritmo
Pararesolverumproblemadevemoselaborarumalgoritmo.Umalgoritmo
nada mais é do que um procedimento passo a passo que ajude a resolver uma
tarefa.Devemosresponderapergunta“comofazer?”.Emtermosmaistécnicos,um
algoritmo é uma sequência lógica, finita e definida de instruções que devem ser
seguidaspararesolverumproblemaouexecutarumatarefa.
Nodiaadianãopercebemos,massempreestamosutilizandoalgoritmosde
forma intuitiva e automática para executar tarefas comuns. Como, em geral, são
atividades simples que dispensam muita reflexão para elaborar as instruções
necessárias,oalgoritmopresentenelaacabapassandodespercebido.
1.2.2Comoresolverumproblemacomputacional
Quando analisamos um problema é necessária uma metodologia. O
cientista,GeorgePólyadesenvolveu,umametodologiaquepermitequeum“leigo”
possaterosmesmosrecursosmentaisqueum“expert”paraacriaçãodasolução
de um problema. Ele com sua obra “How to Solve It ‐ A New Aspect of
MathematicalMethod”(noBrasilfoitraduzidoporAArtedeResolverProblemase
foi editado pela Editora Interciência). Para ilustrar a ideia, vejamos um esquema
pararesolverumproblema,apartirdosestudosdePólya:
1ªEtapa–Entenderoproblema
Nesta etapa é essencial para a compreensão do problema que algumas
perguntas sejam respondidas: Qual é a incógnita? Embora esta pergunta possa
parecerespecíficaparaaresoluçãodeproblemasmatemáticos,podemosampliaro
seucontextoconsiderando‐adaseguintemaneira:
a)Oquedeveserresolvido?
b)Oquedevesercalculado?
c)Queaçãodeveserexecutada?
d)Quaissãoosdados?
Estas perguntas envolvem a compreensão das informações contidas no
contexto do problema, separando os aspectos essenciais dos supérfluos. Qual a
condicionante? Entre as informações, devemos procurar aquelas que fornecem o
ponto chave para a resolução; como o próprio nome diz, as informações que
estabelecemascondiçõesouapresentamrestriçõeseimposiçõesparaasolução.
2ªEtapa–Elaborarumplanoderesolução
Nestaetapairemossistematizarasrelaçõesentreosdadoseasincógnitase
aproveitar para buscar uma relação entre o problema atual e algum outro
problemaquejáestejaresolvidoequepossaservirdeguiaparaasoluçãodoatual.
Se existir esse problema, analisar os caminhos percorridos até a sua solução, e
verificar quais as adaptações serão necessárias fazer para resolver o problema
atual.Senãoocorrernenhumproblemasimilar,dividaoproblemaatualempartes,
concatenandoaincógnitaeosdadoscorrespondentes,inclusivecriandoincógnitas
auxiliares para cada parte. Faça desenhos, esquemas, utilize notações próprias e
elaboreumplanoderesolução.
3ªEtapa‐Executaroplano
Sigapassoapassooplanoelaboradonaetapaanterior.Casoocorraalguma
coisa errada, será necessário voltar à etapa anterior ou até mesmo à primeira
etapaereformularoplano.
4ªEtapa–Avaliaroplano
Nestaetapaverificaremosoresultado,respondendoàseguintepergunta:“A
solução encontrada satisfaz o problema proposto?”. Há várias maneiras de se
responder a esta pergunta, dependendo do tipo de problema que estivermos
lidando. Se o problema for de tipo numérico, podemos substituir a solução e
verificar se existe coerência no resultado. Se o problema for de tipo conceitual,
devemosverificarseasoluçãonãocontrariaalgumteoremapreexistente.Existem
outras formas de problemas que exigem outras abordagens de verificação de
soluçãooubuscandooutroscaminhosdesoluçãoecomparandoosresultadosou
simplesmente fazendo uma simulação da solução. O esquema acima é genérico e
servedeguiaquandonãoexistirnenhumoutroesquemaquepossaserutilizado.
Também não é rígido, pode e deve ser mudado de acordo com o problema a ser
resolvido por você. Encorajamos você a criar o seu próprio esquema, praticando
assimaHeurística.Considerandoestesconceitosnasoluçãodenossosproblemase
tendo em mente a solução computacional do problema, temos que abordar dois
aspectos que estão relacionados diretamente: estrutura de dados e algoritmo.
Estesdoisaspectossãofundamentaisparasechegaraumasolução.Sabemosque
iremostrabalharcomdadosnaentrada,nasaídaenoprocessamento;essesdados
devem estar armazenados em um recipiente adequado que permita a sua
manipulação pelo algoritmo, portanto, o algoritmo será construído a partir do
modelomatemáticodasoluçãoeestaráintimamenteligadoàestruturadedados.É
difícilsepararoquevemprimeiro,poisumaestruturadedadosinadequadatorna
difícileatéimpossívelaconstruçãodoalgoritmoeumalgoritmoinadequadonão
podeutilizarumadeterminadaestrutura.Devemosfazerumesforçomentalpara
que, dinamicamente, possamos pensar em estrutura de dados e algoritmos de
formasimultânea.
5ª.Etapa‐Corrigiroplanosefornecessário
Nesta etapa final retornamos e verificamos o resultado. Respondendo
novamente a pergunta: “A solução encontrada satisfaz o problema proposto?”.
Casoarespostasejanegativaretomamosoproblema.
1.3Processing
1.3.1OqueéProcessing
Processingéumalinguagemdeprogramaçãodesenvolvidaparaambiente
compartilhadoProcessingeparticipativoon‐line.Desde2001,elevempermitindo
desenvolverprogramasparaasartesvisuais.Inicialmentefoicriadoparapermitir
desenvolver esboço de software e para ensinar os fundamentos básicos de
programaçãonumcontextovisual.Oprocessamentoevoluiuparaumaferramenta
dedesenvolvimentoparaprofissionais.Hoje,existemmuitosestudantes,artistas,
designers, pesquisadores e amadores que utilizam o Processing para
aprendizagem, realização de protótipos, e produção. Ele é um software livre que
podeserbaixado.Éopensource.Permitedesenvolverprogramasinterativospara
2D, 3D e PDF. Tem integração com o OpenGL para aceleração 3D. Ele foi
desenvolvidoparaserexecutadoemambienteLinux,MacOSXeWindows.Possui
maisde100bibliotecasparaatenderaosoftwarecentral.
OProcessingrelacionaconceitosdeprogramaçãoparaprincípiosdeforma
visual, movimento e interação. Ele integra uma linguagem de programação, com
um ambiente de desenvolvimento e metodologia de ensino em um sistema
unificado.OProcessingfoicriadoparaensinarfundamentosdaprogramaçãode
computadores dentro de um contexto visual, para servir como um software de
desenho, e para ser usado como uma ferramenta de produção para contextos
específicos.Osestudantes,artistas,profissionaisdedesignepesquisadoresusam
paraaaprendizagem,prototipagemeprodução.
O Processing é uma linguagem de programação do tipo texto projetado,
especificamente, para gerar e modificar imagens. O Processing permite um
equilíbrio entre processamento simples e recursos avançados. Iniciantes podem
escreverseusprópriosprogramasdepoisdeapenasalgunsminutosdeinstrução,
mas os usuários mais avançados podem escrever a partir de bibliotecas, com
funções adicionais. Ele permite trabalhar com computação gráfica, técnicas de
interaçãocomdesenhovetorial,ebitmap(raster),processarimagens,modelosde
cores , utilizar mouse e teclado, eventos, comunicação de rede e programação
orientada a objetos. Com as bibliotecas podemos ampliar a capacidade de
processamento para gerar som, enviar e receber dados em diversos formatos e,
porfim,importareexportararquivos2Dearquivo3D.
1.3.2
Primeirosconceitosdeprogramação
ParaescreverumprogramaemlinguagemProcessingutilizamosapenasos
caracterespoucoscaracterescomorecursoparaaconstruçãodecódigosque,após
o processo de compilação, produzem aplicativos que vão desde controladores de
processos industriais até sofisticados sistemas multimídia. Da combinação de
letrassurgemaspalavrasreservadas,identificadores,funçõesdebiblioteca,etc.;os
caracteresnuméricosfornecemanecessáriarepresentaçãodequantidades,tanto
em um contexto interno (formatação, parâmetros de inicialização, etc), quanto
externo(entradaesaídadedadosnuméricos)equantoaossímbolos(*{}/%^$
()[];#...)elestemusosvariados,sejaparaorganizarotextodoprogramapara
definiraocompiladoraprioridadedeexecuçãodeumarotinaoudeterminarofim
de uma linha de comando. Alguns símbolos são utilizados como operadores e o
compiladordeterminaoseusignificadodeacordocomocontexto.
1.3.3 Palavraseelementosreservados
As palavras reservadas, em qualquer linguagem, representam tipos,
modificadores, especificadores, diretivas e caracterizam a sintaxe da linguagem.
Tendo um significado particular dentro da linguagem, as palavras reservadas
indicam ao compilador ações específicas que o sistema deverá executar. Como a
linguagem Processing é sensível à caixa alta ou baixa (maiúscula/minúscula)
todososcomandosdevemserescritosemcaixabaixaenãopodemserutilizadas
com outros propósitos. Todos os comandos da linguagem se resumem a algumas
palavrasreservadas.
Porexemplo:
EXPRESSÕES
 Comentários://,/**/
 ExpressõeseAfirmações:“;”,“,”
 ComandodeConsole:print(),println();
COORDENADASEPRIMITIVAS
 TamanhodasTelas:size();
 FigurasPrimitivas:point(),line(),triangle(),quad(),rect(),ellipse();
 ParâmetrosdeDesenho:background(),fill(),stroke(),noFill(),noStroke();
 AtributosdeDesenho:smooth(),noSmooth(),strokeWeight(),
strokeCap(),strokeJoin();
 ModosdeDesenho:ellipseMode(),rectMode();
VARIÁVEIS
Com as variáveis podemos manipular dados, numéricos ou alfanuméricos,
desdeaentrada,comsuatransformaçãoatravésdoprocessamento,atéasaídados
dados transformados, o que é a essência do que desejamos fazer. Vejamos com
maisdetalhesessetipos:

boolean–1bitcomvalorlógicotrueoufalse;

byte‐8bits‐128to127;

char‐16bits0to65535;

int‐númerointeironafaixade‐2.147.483.648a+2.147.483.64732bytes;

float ‐ um número racional na faixa de 32 bits 3.40282347E+38 até
3.40282347E+38;

true:verdadeiro;

false:falso;
color:32bits16,777,216colores.
EXPRESSÕESARITMÉTICASEFUNÇÕES

+(soma),‐(subtração),*(multiplicação),/(divisão),%(módulo);
()(parenteses),++(incrementar),‐‐(decrementar),+=(adicionareatribuir),
‐=(subtraireatribuir);*=(multiplicareatribuir),/=(dividireatribuir),
‐(negação),round()(arredondamento),min()(mínimoentrenúmeros)e
max()(máximoentrenúmeros).
TRANSFORMAÇÕES
Função translate() ‐ A função translate() move a origem da figura do canto
superior esquerdo da tela para outro ponto. Ela tem dois parâmetros. O
primeiroéacoordenadaxeosegundoéacoordenaday.Asintaxedafunção
translateétranslate(x,y).Osvaloresdosparâmetrosxeysãoadicionadosa
quaisquer formas desenhadas após a função ser executada. Se 10 é utilizado
como parâmetro para x e 30 é utilizado como parâmetro para y, um ponto
desenhadoemcoordenadas(0,5),serádesenhadoemcoordenadas(10,35).
Função rotate() ‐ A função rotate() gira o sistema de coordenadas de modo
queformaspodemserdesenhadasnatelaemumdeterminadoângulo.Eletem
um parâmetro que define a quantidade de rotação conforme um ângulo. A
funçãorotaçãoassumequeoânguloéespecificadoemradianos.Asformassão
sempregiradasemtornodasuaposiçãoemrelaçãoàorigem(0,0)sendoqueo
positivoésentidohorário.Talcomoacontececomtodasastransformações,os
efeitosderotaçãosãoacumulativos.Sehouverumarotaçãodeπ/4radianose
outra de π/4 radianos, o objeto será desenhado com uma rotação de π/2
radianos.
1.3.4 Conceito
osdeCorres–RGB
BeCMYK
definidaspo
orparâmettrosnumérricosassociiados
AscoressnoProcesssingsãod
às reespectivas sintaxes. Por
P exemp
plo: background(), filll() e strokee() são fun
nções
espeecíficas.Asssim,aousa
arascores comestes parâmetro
os,elesficaamdefinido
osda
segu
uinte formaa: backgrou
und(valor1
1, valor2, valor3),
v
fiill(valor1, vvalor2, vallor3),
fill(vvalor1, valo
or2, valor3
3, alpha), sstroke(valo
or1, valor2
2, valor3), stroke(va
alor1,
valorr2, valor3, alpha), on
nde os elem
mentos vallor1, valor2
2 e valor3 são parâm
metro
quevvariamde0a255eovalordea lphavariade0a100%
%detranssparência.
1.4 Atividade
A
es–ConceitosBássicos:
1.4.3 FazernaSal
F
ladeAula‐‐Desenharretas,elipssesutilizanndooconce
eito
d
derotaçãoe
etranslaçãoo‐Exercíciiododesen
nhoemseqquencial.
Propo
osta:
Soluçção:
Solu
uçãodoEx
xercícioAu
ula01


//Exercíccio01‐UsandoFiguras,T
TransparênciaaeMovimenttações
//Definiççãoáreadetrrabalho
size(500,5
500);
background(200);
ke();
//noStrok
smooth();
rectModee(CORNER);
//quadraado1
fill(150,190);
strokeWeight(8);
rect(100,100,300,300);
line(300,100,450,100);
line(450,100,450,0);
line(0,250,500,250);
line(250,0,250,500);
//quadrado2
fill(150,127);
rotate(‐PI/16);
translate(‐53,45);
strokeWeight(6);
rect(100,100,300,300);
line(300,100,450,100);
line(450,100,450,0);
line(‐5,250,505,250);
line(250,‐5,250,505);
//quadrado3
fill(150,63);
rotate(‐PI/16);
translate(‐53,45);
strokeWeight(3);
rect(100,100,300,300);
line(300,100,450,100);
line(450,100,450,‐10);
line(‐25,250,525,250);
line(250,‐25,250,525);
fill(150,25);
rotate(‐PI/16);
translate(‐53,45);
strokeWeight(1);
rect(100,100,300,300);
line(300,100,450,100);
line(450,100,450,‐20);
line(‐55,250,555,250);
line(250,‐55,250,555);
1.4.4
FazeremCasa‐DesenharcomoProcessingumCenário2D(Estilo
MarioBros);
CAPÍTULO02–CONCEITOSDAMATEMÁTICADISCRETA
2.1 Osnúmeros,simetriaseregularidades
Não podemos afirmar com precisão quando começa a produção do
conhecimento matemático como conhecemos hoje. No entanto, conseguimos
identificarcomoessaciênciaevoluiuaolongodahistóriaecomoelasempreesteve
ligada a produção de imagem. O homem começou a representar o mundo que o
cercava elaborando imagens que auxiliavam a compreender tudo ao seu redor.
Desenhos,mapas,diagramas,esquemaseacriaçãodosnúmerossempreajudaram
acontar,medirearepresentarasquantidades.
Por outro lado, muitos elementos e conceitos matemáticos podem ser
visualizados através das imagens e nas produções artísticas realizadas nas Artes.
Quando estudamos a Matemática, nos primeiros anos escolares, iniciamos pelas
operações básicas: somar, subtrair, multiplicar, dividir, potência, raiz quadrada,
enfim, aprendemos a fazer contas e lidar com os números através de suas
características discretas. Neste caso, os números são signos abstratos que
permitemrealizaroperaçõesbemdefinidas.
Aorefletirsobreestesconceitossentimosanecessidadedevisualizarestas
entidades e, assim, a fim de melhor compreendê‐las, produzimos, gráficos,
diagramas, esquemas e modelos imagéticos que nos ajudam a concretizar signos
queimaginamoseelaboramosmental.E,assim,nascemasrepresentaçõesgráficas,
geométricas,doespaçoetempo.
Os homens criaram elementos que representam os conceitos abstratos na
Matemática.Criamosozero,umeinfinito;osistemadecimaleocódigobinário,o
conceito de limite, derivada e de infinito, enfim, criamos representações que são
organizadas na Matemática. Neste processo de elaboração de conhecimento a
noçãodeabstraçãoéfundamental,porqueelapermiteoprocessodegeneralização
por
redução
de
conteúdo
quando
observamos
um
fenômeno,
conceitoouinformação. Utilizamos estes princípios para reter informações
relevantesemrelaçãoaumdeterminadopropósito.Aabstraçãoéumprocessode
pensamento onde a ideia distancia‐se do objeto. É uma operação mental e
intelectual, portanto, lógica, que pressupõem a existência de procedimentos que
permitemisolaroselementoseproduzirgeneralizaçõesteóricassobreproblemas,
afimderesolvê‐los.Noprocessodeabstraçãousamosestratégiasdesimplificação
ondeosdetalhesdesnecessários,ambíguos,vagosouindefinidossãoabandonados,
etratamosapenasdoqueéessencialparaomodeloqueestamosobservando.
No processo de abstração é importante a interação com a materialidade,
com as mídias, com as linguagens e, consequentemente, com os signos que
permitemaelaboraçãodoraciocínio.Quandoplanejamosalgo,nuncaconseguimos
observar o fenômeno em sua totalidade, os aspectos que consideramos em
qualquer tipo de abstração nos fazem elaborar imagens visuais ou mentais que
irãoauxiliarnoplanejamentodasações.
2.1.1 Oatodecontar
Vejamos este procedimento na Matemática. Quando começamos a estudar
esta ciência reconhecemos os números e verificamos que eles permitem realizar
operações que concretizam conceitos abstratos. Isso evolui da seguinte forma:
primeiroconsideramosoconjuntodosnúmerosnaturais,depoisverificamosque,
sesomarmosdoisnúmerospertencentesaesteconjunto,temoscomorespostaum
elemento do mesmo conjunto. Dizemos que o conjunto dos números naturais é
fechadoemrelaçãoàoperaçãodasoma.Emseguida,verificamosqueesteconjunto
também é fechado em relação à operação de multiplicação. De fato, se
multiplicarmosdoisnúmerosnaturais,teremossemprecomorespostaumnúmero
natural.
Aoaprofundarosestudossobreoconjuntodosnúmerosnaturais,notamos
uma série de propriedades que são válidas para este conjunto. Verificamos que
valem as propriedades comutativas, associativas, elemento neutro e elemento
inverso.Aíintroduzimosumnovoconceitoabstratoqueirádarmuitaconsistência
ao conjunto dos números naturais, é a “noção de grupo em matemática” que
permite relacionar várias estruturas matemáticas. Mais adiante, neste texto,
trataremos destes conceitos para a ciência da matemática e verificaremos que o
fatodeumconjuntoser“grupo”,elepossuiestruturasabstratamuitointeressante.
Continuandonossoraciocínio,apartirdesteprincipiocomeçamosarealizar
diversas operações com estes números, buscando entendê‐los melhor. Criamos
então as operações inversas da soma e da multiplicação, ou seja, a subtração e a
divisão,enotamosquearespostaparaestasoperaçõesnemsempreéumnúmero
natural. Por exemplo, quando subtraímos um número natural de outro, onde o
primeiro é menor que o segundo, verificamos que a resposta não é um número
natural. Assim, sentimos a necessidade de criar um novo conjunto de números
pararepresentarestasituaçãoedarcontadestaresposta.Oconjuntodosnúmeros
naturais não é fechado para a subtração e assim concebemos o conjunto dos
númerosinteirosquepossuinúmerospositivosenegativose,destemodo,torna‐se
fechadoparaasubtração.
Emseguidapassamosaobservaaoperaçãodadivisãoeverificamosqueela
também não é fechada em relação ao conjunto dos números naturais e nem ao
conjunto dos números inteiros. Com isso somos conduzidos a criar um novo
conjunto de números: os números racionais. De fato, o conjunto dos números
racionais é fechado para a operação de divisão. Assim, sucessivamente vamos
criandoconjuntoaconjuntoatéque,finalmente,criamosoconjuntodosnúmeros
reais.
Ao operar com o conjunto dos números reais verificamos que algumas
operações não são fechadas em relação aos números reais, por exemplo, a raiz
quadrada de número negativo não obtém resposta dentro do conjunto dos
números reais. Com isso, sentimos novamente a necessidade de criar um novo
conjunto de números que permitiram dar a resposta a essa operação. Aqui
passamos a perceber a existência de relações entre a Matemática Discreta e a
TeoriadosConjuntos.
Nesse momento passamos a perceber as relações entre as várias áreas de
conhecimentodentrodamatemáticae,percebemosasrelaçõesentreosconjuntos
e a geometria. Verificamos que um número do conjunto dos números complexo
podeserrepresentadoatravésdaraizquadradademenosum,ouseja,osnúmeros
complexospodemserdecompostoseumaparterealeoutraimaginária.Eassim,
construímosarelaçãodoconjuntodosnúmeroscomplexoscomoplano.
Criamososparesordenados.Elessãoidentificadospelasimbologia(a,b)e
(x,y)ondeaexsãoaspartesreaisebeysãoaspartesimaginárias.Estesnúmeros
tambémrepresentamo“plano”quepodeserorganizadograficamenteatravésde
dois eixos – X e Y que se cortam perpendicularmente num ponto que pode ser
identificadopelopar(0,0)queéaorigemdosdoiseixos.
Obviamente que ao tratar destes conceitos e modelos matemáticos não
estamossendorigorososemrelaçãoaosprocedimentoseprincípiosmatemáticos,
atéporque,tornaríamosestareflexãodemasiadamenteextensaesemsentidopara
osnossospropósitos.
Assim, agora podemos introduzir a noção de vetor e de coordenadas
polares.Identificamosquetodoovetorpodeserrepresentadoapartirdopontode
origemdoseixosXeY,istoé,apartirdoparordenado(0,0)temosumadimensão
e uma direção do vetor que é dado pelo par ordenado final do vetor e por uma
direção.Assim,aorelacionarosdoiseixosXeYidentificamosoconjuntoR2,R3,
R4 que são as representações do Plano, do Espaço – a Terceira Dimensão, da
QuartaDimensãoeassimpordiante.
Matematicamente podemos operar nas dimensões espaciais que vão além
dadimensãotrêsequenãopodemosperceber,nomundoemquevivemos,porque
vivemosem três dimensões. Naverdade,esses signossão apenasrepresentações
dosobjetosespaciaisque,abstratamente,representamoseoperarmoscomeles.A
noçãodeQuartaDimensãocomosendoarepresentaçãodoTempo,possibilitouo
nascimento da Teoria de Relatividade de Albert Einstein. Ele modificou os
conceitos de espaço e tempo, que antes eram observados através da Teoria
deNewtoncomoentidadesindependentes,pelaideiadeespaço‐tempocomouma
grandeza unívoca e geométrica. O espaço‐tempo na Relatividade pode ser
considerado como uma representação da quarta dimensões, três espaciais e uma
temporal,noentanto,integradadefinindoumconceitoúnico.
Na ciência moderna porGalileuintroduz o princípio da relatividade. Para
ele, o movimento, ou pelo menos omovimento retilíneo uniforme, só tem
significado quando é comparado com algum outro ponto de referência. Segundo
Galileu,não existe sistema de referência absolutoonde o movimento possa ser
medido.Elereferia‐seàposiçãorelativadoSol(ousistemasolar)edasestrelas.As
“TransformaçõesdeGalileu”,comoficaramconhecidas,eramcompostasdecinco
leissobreomovimento.GalileueNewtonnãoconsideravamparaseuscálculosa
propagação eletromagnética porque aluz era tida como algo instantâneo, sem
movimento. Os fenômenos de movimento da luz e do som tornavam‐se visíveis
quando eram observados a longas distâncias, e assim, em fins doséculo XIX,
exigiampadrõesdeobservaçãoespecíficoseumateoriadotempo.
Em relação aos Postulados da Relatividade dois pontos devem ser
destacados. O Princípio da Relatividade que afirma que as leis que governam as
mudanças de estado em quaisquer sistemas físicos tomam a mesma forma em
quaisquer sistemas de coordenadas inerciais. Para Einstein, existem os sistemas
cartesianos de coordenadas que é denominado de sistemas de inércia. Podemos
dizer que: dado uma proposição K em um sistema de inércia, qualquer outro
sistema K em movimento de translação uniforme relativo a K, é também um
sistema de inércia. O segundo postulado relativo a Borh que trata da invariância
davelocidade da luzafirma que ela é igual a cem relação a qualquer sistema de
coordenadasinercial.Ouseja,aluznãorequerqualquermeio(comooéter)para
se propagar. Através dastransformações de Lorentzpode‐se demonstrar o
segundopostulado.
Defato,o“ParadoxodosGêmeos”ou“ParadoxodeLangevin”na“Teoriada
Relatividade” de Albert Eistein apresentam a seguinte proposição. Se
considerarmosdoisgêmeos,eseumdelesfosseparaoespaçoemumaaeronave,
navelocidadedaluz,elesficariamcomidadesdiferenteumem relaçãoaooutro.
Dois aspectos podem ser considerados: o primeiro, a partir da mecânica clássica,
afirma que a dilatação temporal não existe, o que levaria o gêmeo que viajou na
nave estranhar a disparidade dos tempos decorridos experimentados. O gêmeo
que viajou pelo universo próximo a velocidade da luz pode alegar que a Terra é
quesemoviacomvelocidadepróximaàdaluz.Noentanto,amelhorcompreensão
dessefenômenohoje,équeanavepercorreuumatrajetóriamaior,considerando‐
seatrajetórianoespaço‐tempo.
2.1.2SimetriasnasArtesenaMatemática
Ohomempassaaterconsciênciadeseupassadoevaiàantiguidadeclássica
em busca dos ideais gregos, querendo retomar os valores daquela cultura,
obviamenteligadoàideiadorenascimentodeumNovoImpérioRomano.Porém,
emvezdetrazerànovaeraumaantiguidaderenascida,contribuidefinitivamente
paraaformaçãodohomemmoderno.
FigguraXX‐Masaccio–Trindade(1427‐11428)
Affresco(6.67xx3.17m)
SaantaMariaNo
ovella,Floren
nça
A partirdosséculoXII, emplenaIIdadeMédia,as
cooncepções individualiistas e fraggmentáriass que
irãão formar a modern
nidade com
meçam a tomar
foormaeestããopresente
enospaláccios,nasig
grejas
e nascasas dosburgue
eses.Naveerdade,esta
amos
diiante do início do capitalismo
c
o moderno
o, do
su
urgimento deumaeco
onomiamoonetáriaurrbana
e a emancip
pação dos burgueses.
b
Estes aspectos
sããoconsequ
uênciadop
períodomeedievalenã
ãodo
Reenascimento. A partiir da segunnda metad
de da
Id
dadeMédiaa,ohomem
mbuscaaraacionalidad
deea
in
ndividualidade que o coloca diaante de "D
Deus"
coomo
um ser
presente
ccom
razão
e
peersonalidad
de.
Esse momento
m
pré‐industriial tem suaas características bem
m definidass e se
manifesta plen
namente po
or volta doo final século XV início do XVII. Esses va
alores
estão
opresentessnaIdadeMédia,naR
Renascençaaepormuiitotempoaainda,ating
gindo
outros período
os, inclusiive os diaas atuais. Não deve
emos ser rígidos nessas
mentações históricas,, pois, sab
bemos quee há muitta continuiidade entrre os
segm
princcípiosmed
dievaiseren
nascentistaaseatéosdiasdehojjepodemosssentirrefflexos
depeensamento
oshistorica
amenteanteerioresanós.
Por exxemplo, a cultura daa cavalariaa medievall que é baaseada em
m um
princcípio corteesão, pode
e ser con
nsiderada a primeira
a forma dde organizzação
mod
derna na qual
q
verifiicamos, veerdadeiram
mente, uma “unidadde“ calcada
a em
princcípios esp
piritualistass e que d
defendiam os valore
es e princcípios crisstãos.
(HAU
USER, 197
72, p.287) Depois n
na Renasceença, vemos as “gu ildas” que
e são
associaçõesenttrecorpora
açõesdeop
perários,arrtesãos,negocianteseeartistase
eseus
estatutoseumgrandepodereconômicoepolíticoquenãopodemserdeixadasde
ladoaocomporamecânicadeelaboraçãodessemomento.
Todos esses agrupamentos estruturados a partir de profissões ou
princípios corporativos religiosos carregam em seu interior uma unidade de
pensamento que consiste numa verdadeiramente mudança estrutural na
sociedade. Eles ajudam a construir a visão moderna da economia na qual, uma
novaorganizaçãodotrabalhodeformaracionalestáporvir,istoé,adivisãopor
interesses em categorias profissionais. Esse raciocínio se for levado às últimas
consequênciasnostrazasideiasmarxistasdeclassessociais.
A história pode ser concebida como um processo contínuo em que
transformações ocorrem lentamente. Observamos que características da Idade
Média, que é tida como uma sociedade orgânica, estável e conservadora, atinge
tambémoRenascimentoe,porquenãodizer,aModernidade.Assiméimpossível
determinarrigidamentecadamomento.
Estamos em um momento que o homem começa a compreender e
mensuraromundomaterialqueocerca.Eassim,tentamedirlongitudinalmenteo
globoterrestre,eisso
tornou‐se possível quando a posição da Lua entre as estrelas pôde ser
prevista pela teoria lunar de Newton e, assim obteve‐se o tempo
aparentedomesmofenômenoceleste,medidoemdoislugares.Apartir
daí, os vastos espaços marítimos puderam ser “controlados” e as
projeções nos mapas puderam ser feitas com precisão cada vez maior.
(MATOS,1990,p.285).
Enfim, encontramos o espírito e a matéria sendo ordenados e medidos
com precisão e rigor, mas sempre subordinados as leis naturais universais
estabelecidas pelo cristianismo. A “Matemática Universal” de René Descartes
denominada de “Ciência Universal da Ordem e da Medida” está calcada na razão
humana e em tudo aquilo que pode ser matematicamente planejado,
diferenciando‐sedascoisasdamemóriaedossonhos, pois,paraDescartes,estes
fenômenos são fontes de incerteza, erro e ilusão. Esses princípios serão
definitivamenteincorporadosanossaculturaapartirdosséculosXVIIeXVIIIcom
a visão mecanicista desse filósofo e matemático e o pensamento materialista do
físico Issac Newton que profundamente influenciarão nossa percepção ocidental,
atéosdiasdehoje.
Descartesdiziaqueapercepçãoédeterminadapelarazãodemodoqueela
não gera dúvidas, pois, se assim o fizer, será descartada como uma percepção
enganosa. Nas palavras do fundador da filosofia moderna, em "Meditação
Primeira",sobrenossapercepção,
tudooquerecebiatépresentemente,comoomaisverdadeiroeseguro,
aprendi‐o dos sentidos ou pelos sentidos: ora, experimentei algumas
vezesqueessessentidoseramenganososeédeprudêncianuncasefiar
inteiramente em quem já nos enganou uma vez. Mas, ainda que os
sentidosnosenganem,énelesquedevemosbasearnossaspercepçõese
em diversos casos, deles, não se pode razoavelmente duvidar. (1983,
p.85‐86).
Assim, ele encontrava nos sentidos a principal fonte de percepção e
compreensão do mundo, apesar de considerar o sonho como algo distante da
racionalidade. Descartes afirmava que sonhar é iludir‐se, em suas próprias
palavras:
tenhoocostumededormir...esonhar,duranteanoite,queestavaneste
lugar, que estava vestido, que estava junto ao fogo, embora estivesse
inteiramentenuemmeuleito?...oqueocorreunosononãopareceser
tãoclaronemtãodistintoquantotudo...,maspensandocuidadosamente
nisso,lembro‐medetersidomuitasvezesenganado,quandodormia,por
semelhantesilusões.(DESCARTES,1983,pp.85‐86).
Elepercebeaexistênciadeumaúnicasaídaparaasuperaçãodadúvidae
eladevesertrilhadasegundoamesmaestradaqueasua“MatemáticaUniversal”.
Nelavamosencontrara“ordemdasrazões”ea“ordemdasmatérias”e,segundo
suas reflexões, estas ordens devem ser edificadas com a clareza da evidência
matemáticaeestruturadacomacoerênciaperfeitadeumademonstração.
No“DiscursodoMétodo”elemostraqueoúnicocaminhoparaconhecera
verdade,éodadedução,respaldado,evidentemente,pelaintuição.Quatrosãoos
princípiosquenoslevamàlógicadarazãohumana,esãoeles:
1. Jamaistomaralgocomoverdadeiroquenãosereconheçacomotal;
2. Dividir cada uma das dificuldades a serem examinadas em tantas
parcelas quanto possível e em quantas forem necessárias, a fim de
resolvê‐las;
3. Ordenar os pensamentos pelos objetos mais simples, até o
conhecimentodosmaiscomplexos;eporfim,
4. Fazer enumerações tão extensas e revisões tão gerais de modo a ter
certezaquenadaomitiu.(DESCARTES,1983,p.37‐38).
O pensamento desse filósofo marcou a história desse período e estabelece
um universo univocamente determinado e que deve ser dividido em partes para
sercompreendidoeasomadaspartesconfiguramotododenossacompreensão.
O mundo ocidental começa dividido quando o homem deixa de produzir
para seu consumo próprio e começa a segmentar os produtos para comercializá‐
los, temos uma economia que começa a se estrutura de forma financeira,
gradualmentevaiexterminandocomosvaloreseprincípiosfeudais.Aogeraruma
produção excedente, estimulada pelas viagens das cruzadas, o homem
apercebesse‐sedapossibilidadedetrocaraquiloqueeraproduzidoalémdesuas
necessidadesdeconsumo.
Daí, os burgueses, aproveitando‐se desse lapso da economia feudal,
começamapensaremumsistemabaseadono“capital”;natrocadeprodutospor
moedas para atender às necessidades básicas. Este mesmo sistema gera também
novas necessidades que se alimentam dos desejos humanos e, assim, notamos a
separação entre a produção e o consumo. Obviamente, essa forma produtiva
possuía características bastante afastadas do método abstrato da produção
capitalista moderna, segundo a qual, as mercadorias passam por intermediários
antesdechegaraoconsumidorfinal.(HAUSER,1972,p.271)
Iniciamos um processo de pensar nossas vidas em pedaços, porém ainda
substancialmente ligado aos valores orgânicos e determinados pela Idade Média.
Osprofissionaisespecializadosatribuemaobemproduzidoumconceitode“valor
mercadológico”quedá,aoshomens,umarelativaliberdadedecriarnovosvalores
para antigos objetos, sem produzir novas mercadorias. Este fato, unido às
necessidades de troca dos bens culturais, gera no mundo burguês a
obrigatoriedade de quantificação dos valores dos objetos. Precisamos criar
características de particularização de nossas mercadorias com a finalidade de
atribuir‐lhes valor. Isso marcará profundamente as nossas formas de significar e
comunicar,criandoumcaráterdeprazernassingularidadesenaindividualidade
estimuladospelafragmentaçãoeracionalidadedonossomundo.
Já em plena Idade Média pudemos sentir essa individualidade,
fragmentação e busca da racionalidade, porque, ao homem medieval coube a
verdadeiramudançadeparadigma.Abandonamosasconcepçõestranscendentais
baseadas em uma sociedade de economia natural estruturada sob o domínio da
Igreja Católica Cristã e passamos para uma economia monetária urbana que
propunha a emancipação da burguesia, no entanto, ainda estruturada pela
ideologiacristã.
Na Filosofia surgem sinais de reconhecimento da individualidade e
segmentação.No“humanismoindividualista”vamosencontrarohomemembusca
daafirmaçãodesuapersonalidade,embuscadoseueu,tendocomobaseatomada
de consciência da própria espécie. Para isso ele proclama contra a autoridade
estabelecida em busca de uma nova ordem. Hauser diz que o individualismo da
Renascença é novo apenas no sentido em que o homem toma consciência desse
fenômeno(1972,pp.361‐362).Aunidadetotalitáriaestabelecidapelafémedieval,
gradualmente dá lugar à dualidade entre acrença e oconhecimento, entre a fé e
ciência, entre a autoridade e a razão, entre um mundo orgânico e outro
fragmentário;éumanovaordemquecomeçaadespontar.
As obras de arte que antes eram produzidas para os reis e para o clero
passamaserencomendadaspelaburguesia.Eles,comasmudançasnadinâmicada
economia,vão,gradativamente,introduzindoseusvaloreseprincípiosnomundo
europeuocidental.Ascamadassociaisque,atéentão,eramrigidamentedefinidas,
aospoucosvãodandolugaraumespíritomaisdinâmicoeflexível.AindanaIdade
Média temos uma visão religiosa unicamente determinada. Porém, mais adiante,
encontramos os elementos de ordem, grandeza e o cientificismo definindo nosso
pensamento com base no cristianismo. A diferença entre as produções artísticas
dessesdoisperíodosqueantecedemaRevoluçãoIndustrialestá naformadever
essarealidade.Oprimeirorepresentaomundopercebidode"modonatural",jáo
segundo faz dele um "estudo de proporções" baseado na Geometria Perspectiva
Linear estruturada matematicamente pelos princípios de Euclides de Alexandria
queviveuporvoltadoséculoIV.
NoentendimentodeEdgerton,comojávimos,aterceirapartedotripéque
dá sustentação à revolução científica no mundo ocidental é exatamente a
possibilidade de se estabelecer uma filosofia para a pintura possível de ser
demonstrada através de deduções matemáticas estruturadas pela geometria
euclidiana.Paraele,aartedoperíodopré‐industrialinfluenciouváriasculturasno
mundo, não porque foram impostas, mas sim porque teve um trabalho mais
convincente de representação ‐ uma percepção mais natural da realidade, uma
representação magicame
ente aceitaa por tod
dos que co
om ela tivveram con
ntato.
(EDG
GERTON,1991,p.8).
FiguraXX‐ CasalArnolfiini(1450),
JanVanEycck.
A
metria
geom
peerspectiva
foi
rapidame
ente difunddida por to
oda a
Europa Ocidental
O
principalm
mente
depois do
d século XV porqu
ue, a
partirdoRenascimeentoacrediitava‐
ocontemplaarumaobrade
sequeao
arte de pintura, na qua
al a
"Geometrria
presente,
Divvina"
os
contemplavam
seeres
a
estava
hum
manos
essência da
realidade, réplica ddo instante
e em
que Deu
us tinha concebid
do o
mundo;o momento daCriação
o.
esea
Defato,nestaépocca,naacadeemiaensinava‐seque amatemáttica,asarte
ciênccias eram áreas
á
de co
onhecimen
nto comum
m e que, a “perspectivva linear”, assim
a
como
o a “teoriaa das prop
porções” erram conhecimentos matemático
m
os. Isso no
os faz
entender porqu
ue artistas como Leoon Alberti, Albrecht Dürer
D
e Leoonardo da Vinci
estud
davampro
ofundamenteasprop orçõeshum
manaseassproporçõeesespaciaiisem
suasrepresentaaçõesartísticasaparttirdeconceeitosmatem
máticos.
Nestem
momentoo homemes tácolocado
ofixonoch
hãoemprooporçãoco
omos
demaisobjetossasuavolta
a.Osartisttasdofinaldoperíodo
omedieval,l,assimcom
moos
renaascentistas,representavamomu
undoemsu
uastelasusandoregraasdepropo
orção
mateemática oriundas doss Pitagóricoos e de Po
olicleto na Grécia Anttiga e regra
as da
geom
metriaeuclidianadem
masiadamen
ntesimpless,ouseja,a
ageometriaautilizadaeraa
deum
mpontodeefuga.
Represeentar o homem e o seu espaçço, de mod
do científicco, era um
m dos
objettivos da arte no período
p
prré‐industrial, que, para
p
tantoo, utilizava
am a
mateemáticaeaageometria
aintensam
mente.Dianttedessasm
modificaçõeesdeperce
epção
dos artistas plásticos,
p
somos obriigados a olhar
o
para
a as repreesentações com
undaestab
bilidadegra
avitacional,,emharmo
oniacomomundoao redor.
profu
Michelangelo(
M
(1510‐11),
DeesenhoseHo
omemVitruviiano.
O espaçço plástico
o sofreu eenormes choques
c
em
m termos de regra
as de
representação; a volta ao respeitoo da relaçãão terra‐céu foi nítidda na prod
dução
artísstica; aband
donou‐se a
a represen tação de espaço
e
sem
m referênciia gravitaciional,
típiccodasrepreesentaçõessnascúpulaasdascateedraisonde
easfiguras flutuavam
mnum
do sem determinantess materiaiss. (LAUREN
NTIZ, 1991
1, p. 76). Exxistem diversas
fund
form
masdereprresentaratrravésdapeerspectiva,eopsicólo
ogoJamesJJ.Gibson(H
HALL,
1977
7, p. 169) identificou
u treze tip
pos, que peercorrem parte
p
de nnossa histó
ória e
segu
undo Edwaard T. Hall, o homem
m medieval tinha conhecimento de seis desses
trezeetipos.
Ainda não tínhamo
os elaborad
do a distin
nção entre o “campo vvisual,” qu
ue é a
imaggem perceb
bida em toda a exten
nsão do glo
obo ocular incluindo, nela a ima
agem
perifférica,eo “mundovisual”,que representaavaohome
emachataddopelosisstema
perspectivomo
onocular.O
Osrenascen
ntistasviveemumacontradição queerama
anter
oesp
paçoestáticoorganiza
andooseleementosdeemaneiraa
aseremobsservadosd
deum
único ponto de
d vista e ao mesmoo tempo, trratar a rea
alidade coomo um esspaço
tridimensional.Oolhoim
móvelachattaascoisassalémdeccincometrrosdedistâ
ância,
assim
m,estamossrealmente
erepresenttandoomu
undodema
aneirabidim
mensional.
FiguraXX‐Sã
F
oTiagoacam
minhodesua
execução(145
55),AndreaM
Mantegna.
Afresco(destr
A
ruído)Igreja deEremitanii,de
Padua.
P
Essacon
ntradiçãossomenteseeráresolvid
daporvolta
adoséculooXVIIquan
ndoo
empirismo ren
nascentista dá lugar aa um conceeito mais dinâmico dee espaço, muito
m
maisscomplexoedifícilde
eserorganiizado.OespaçovisualdofinalddaIdadeMé
édiae
do R
Renascimen
nto era dem
masiado siimples e estereotipad
do para m
motivar o arrtista
que desejavam
movimentarredarvid
daaseutraabalho.Em contraste comosarttistas
medievaiseren
nascentista
as,
que examinavam
m a “organização visual dos
d objetos à distância com
c
o
nstante,Rem
mbrandtpresttouparticularratençãoacomoa
“obsservador”con
pesssoavê,quand
doo“olho”permanececonstanteenãoosemovimentade
umladoparaou
utro,masrepo
ousaemcerttasáreasespeecíficasdapiintura.
ALL,1977,p.8
82)
(HA
Rembrandt transfe
eriu essa p
percepção para
p
sua obra introdduzindo a noção
n
de“cclaro‐escurro”equand
doobserváávamosos trabalhos nasdistâncciasadequ
uadas.
As o
obras destee artista ga
anha caraccterísticas tridimensio
t
onais e um
ma dinâmicca de
representaçãomuitopartticular.
FiguraXX‐ Hendrickjebbanhando‐senorio
(1654),Van
nRijnRembrrandt
ÓleosobreTela‐61.8x
x47cm,Galerria
ondres.
Nacional,Lo
O conceeitode med
didasurge quando ob
bservamos que ao hoomem da Grécia
G
Antigga,assimccomoaodo
oprincípio daIdadeM
Média,eraiimpossível acompree
ensão
totalldosistemaaperspectiivolinearb
baseadonadistânciaffixaentreooolhoeoobjeto
com apenas um
m ponto de
d fuga. Taambém eraa impraticá
ável a noçãão de distância
temp
poraltendo
ocomofixo
oopresenteeeprojetadoparatrá
ásopassaddo.
Erwin Panofsky
P
em
e “Signifficado nas Artes Visuais”
V
affirma que essa
conssciênciapláásticasurge
ecomacoonsciênciah
históricare
epresentaddanabusca
ados
valorresculturaaisdaantigu
uidadeclásssica.Paraele,
osa
artistaspodiaamempregarosmotivosd
dosrelevoseeestátuasclássicas,
massnenhumesp
píritomediev
valpodiaconcceberaarqueeologiaclássiica.Do
messmo modo q
que era impossível para
a a Idade M
Média elabora
ar um
siste
ema modern o de perspecctivas, que se
e baseia na cconscientizaçção de
uma
a distância fiixa entre o olho
o
e o obje
eto e permitte assim ao artista
a
consstruir imagen
ns compreen
nsíveis e coerrentes de coiisas visíveis, assim
também lhe eraa impossível desenvolverr a ideia mooderna de hiistória
eadanaconsccientizaçãod
deumadistân
nciaintelectuualentreopre
esente
base
eop
passadoque permiteaoeestudiosoarm
marconceitosscompreensííveise
coerrentesdeperríodosidos.(1
1979,pp.82‐‐83).
ParaPan
nofskyéób
bvioquea perspectiv
valinearmo
odificou‐seeaolongod
desse
perío
odo, as figu
uras de Giotto e de P
Paolo Ucceello eram estaticamen
e
nte constru
uídas
com formas geométrica
g
as marcan
ntemente determinad
das, ao ppasso que,, em
Leon
nardo da Vinci
V
e Tinttoretto, verrificamos a
a utilização
o de uma pperspectiva
a com
doispontosdefugaeoutrradinâmicaadeconstrrução.
Gio
ottodiBondo
one‐Afresco “AL
Lamentação”naCapelade
eScrovegni‐ (1
1304a1306) mos Dürerr, Miguel Angelo
A
e Ru
ubens notaamos o aug
ge na
Por fim,, se tomarm
utilizzaçãodasfformasem perspectivvaondeas sombrasd
determinanndovolume
enos
levam
mareconh
heceroesp
paçoeasfoormasreprresentadasmuitomaiisqueaprópria
form
maperspecttivautilizad
da.
Mic helangelo(1510‐11)
Esb oçoseDesen
nhos.
Ohomemsaidocampoparaacidadee,dessemodo,começaapercebera
rigidez das construções urbanas. O movimento de tridimensionalidade passa a
estar diante de nossos olhos. Nas obras plásticas do final da Idade Média e do
Renascimento vamos encontrar representadas as formas arquitetônicas, a partir
do que os gregos haviam elaborado. As ordens, como o dórico, o jônico ou o
coríntio,sãoreutilizadas,aocomporospalácios,asigrejas,ascasasdosburgueses
e as telas dos artistas plásticos que nesse instante utilizam constantemente os
elementosdearquiteturaparacomporoscenáriosdesuasobras.
Apesar de não ser nosso objetivo tratar das obras de arquitetura, é
importante citar a descrição da reconstrução da Capela‐Mor da Abadia de Saint‐
DenisdoAbadeSugereotratadosobreaHarmoniaUniversalpublicadoem1.525
porFrancescoGiorgiqueestabeleceregrasparaaconstruçãodaCatedraldeMilão.
O primeiro demonstra o valor matemático que se atribuía a produção
artística em geral. Essa obra traz consigo a verdadeira forçaespiritual e material
das proporções e razões utilizada em toda arte visual do ocidente europeu, em
especial a produzida sobre o patrocínio do Abade Suger. Ele salienta nesta
descriçãoqueovalormaisalto,realizadononovoedifícioéa“Harmonia”‐istoé,
"aperfeitarelaçãodaspartes,emtermosdeproporçõesourazõesmatemáticas‐
queéafontedetodaabeleza,poisexemplificaasleissegundoasquaisa“razão
divina”construiuouniverso."(JANSON,1977,p.285).
O segundo em seu tratado une a teoria neoplatônica com o cristianismo
reforçandoacrença,jáexistentenaeficáciadarazãonumérica.ParaaCatedralde
Milão, Giorgi sugere um sistema global de medidas que relaciona proporções do
“Homem Vitruviano” com as “Harmonias Cósmicas” de Platão e Pitágoras.
(PENNICK,1980,p.110).
As ordens arquitetônicas ajudam a interpretar o homem e seu meio
ambienteatravésdasmedidas.Adimensãototaldafigurahumanaéexpressaem
frações ordinárias e o homem, agora dividido em partes, serve para definir o
tamanhodasnavescentraisdascatedraisconstruídasnesseperíodo.Naverdadea
fração ordinária é o único signo matemático que representa precisamente a
relaçãoentreduasquantidadesmensuráveis.
Comoverificamos,ousodateoriadasproporçõeseautilizaçãodecânones
geométricassempreestevepresentenasartesvisuais.Verificamostambémquehá
diferenças fundamentais entre o método dos egípcios, o método de Policleto
consideradooformuladordaantropometriaclássicagrega,ométodoutilizadona
IdadeMédiaeodeLeonardodaVinci.Porém,tentandoestabelecerumadefinição
única para o que possa ser a “teoria das proporções,” somos levados ao texto
"Significado nas Artes Visuais" de Erwin Panofsky e de lá extrairmos que essa
teoriaé
um sistema de estabelecer as relações matemáticas entre as diversas
partes de uma criatura viva, particularmente dos seres humanos na
medida em que esses seres sejam considerados temas de uma
representaçãoartística.(Panofsky,1979,p.90).
Aofragmentaremmódulosossereshumanoseoespaçoocupadoporeles,
vemos introduzidos outros dois conceito que irão marcar significativamente os
períodospré‐industrialeindustrialmecânica.
O conceito de individualidade da produção e o conceito de medida do
produto finalizado serão importantes para a compreensão do mundo burguês.
Mensurar as obras de arte como igualmente se fazia com as mercadorias é
característicamarcantedohomem‐produtor‐artísticodessemomentohistórico.
Os artistas têm no suporte móvel sua mercadoria, com um valor de troca
determinado pela individualidade de cada produtor. Agora, ele não é mais um
artesão e sim, um intelectual da arte que emprega em sua produção profundos
conhecimentosmatemáticosaplicadosaanatomiaeageometriaespacial.Issotraz
individualidadeàscriaçõeshumanasonde,omeiodeproduçãoaindaéartesanale
oprodutorelaboraseuprodutoporcompleto.
Osesboços,ostraçadoseosdesenhosnãosãopreservadosnotempoassim
comoéaobradeartefinal.Elesrepresentamapenasafragmentaçãodoprocesso
de trabalho do artista plástico, isto é, o que importa é a pintura final; o quadro
realizado.
Apartirdeentãoastelasaóleotornam‐seavedetedaproduçãoartísticae
junto com elas seus produtores. Um exemplo disso é a nomeação de Giotto para
diretordasobrasdacatedraldeFlorença,umahonraeresponsabilidadeatéentão
reservadaaarquitetoseescultoresenuncaapintores.Essegrandeartistaplástico
afirma que a pintura era superior à escultura, e assim dizendo, colocava‐a no
patamar mais elevado de todas as formas de expressão artística. (JANSON, 1977,
p.325).
FigurraXX‐Auto‐R
RetratocomLLuvas.
AlbreechtDürer(1498).
Dürerpintouvário
osautorrettratosqueeeraotemapoucocom
mumnaépocae
podeservistocomou
quep
umapromooçãodostaatusqueoa
artistapasssaaadquirrirna
socieedade da época.
é
Ele era um graande estud
dioso de matemática
m
e das arte
es. De
fato,nãopodem
mosdeixarrdeeleger emsegund
doplanoaprensade Gutemberg
geas
ogravura e
e xilogravu
ura que abrrem as portas para aa reproduçção e
técniicas de lito
difussãodasideiasnomun
ndorenasceentista.
Pollaiuo
oloeDürerdesenvolveeramgrand
departede
esuasobraasnesseme
eiode
exprressão.Oprimeiro,alémdegravvadorepin
ntoreraesscultor,eleevavaparaseus
trabaalhosasno
oçõesdean
natomiaqu
ueajudaram
mapensarrarepresenntaçãográfficae
as proporções das figura
as humanass do renasscimento. Já
á Dürer, quue era pin
ntor e
mateemático, muito
m
contriibuiu para todos osssegmentos do conheccimento em
mque
atuou.
As mesmas prenssas que crriam as gravuras
g
no período pré‐indusstrial,
imprrimem os livros, incclusive os de matem
mática. Com
m isso tem
mos uma maior
m
difussão do saber,
s
carracterística marcantte desse momento.. Porém, este
conh
hecimento está limita
ado aos “litteratos” e aos
a “humanistas” da época, já que
q o
latim
meraalíngguamaisdiffundidanooocidente,eatéessem
momento,ggrandeparrteda
mateemáticacon
nhecidaerrachinesa, hindueárrabe,necesssitandoseertraduzida
apor
intérrpretesqueeconhecesssemtantoaamatemátiicaquantooidiomalaatino.
SériedeF
Fibonacci‐Liv
vrodeÁbacoo(LiberAbacii)umtratado
omuitocomppletosobre
métodoseeproblemasalgébricos.Paartedoprinccípioquearitm
méticaegeom
metriasão
interligad
dos.
O proceesso de tra
adução occorre lentaamente noss diversos segmento
os do
conh
hecimento e em parrticular, naa ciência dos números. As prrimeiras fo
ontes
mateemáticas in
nterpretada
as eram dee aritméticca, de teoriia dos núm
meros, de teoria
t
dasp
proporçõessesobreasecçãoáurrea,esseúlttimodecarrátermísticco,éatribu
uídoa
AntigguidadeClássica.Aá
álgebrageoométricae amatemátticacontábbilsãoas partes
p
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matemática quemaiorratençãoreecebemdo
omundobu
urguêspelooseucarátterde
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ntificação, também a trigonomeetria e a geometria
g
recebem
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enção
nesseperíodop
poisauxilia
amnasolu çãodosproblemasde
eastronom
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deteerras,desen
nhosdecarrtografiae desenhosd
deperspectivadasobbrasdearte
e.
Omund
domedievalerenasceentistaestááembusca doconheccimentogregoa
fimd
detoma‐locomoidea
alderepressentação,assimbasea
adoemPlattão,verifica
amos
trêsformasdeconcebero
onúmeroe aaritméticca.Esãoelas:
o“n
número‐puro,,”tratadona “Aritmologia
a”istoé,míssticadonúme
erode
tend
dência metaffísica, se occupa daquilo que transccende ao conceito
num
méricoemsi;
o “número‐científico,” tratado na “Aritmética” propriamente dita,
considera o caráter científico abstrato do elemento numérico, segundo
um método silogístico e rigoroso do tipo euclidiano e, por fim, o
“número‐concreto”quenãoeraconsideradocomociênciamassim,como
umatécnica,tratadonachamada“AritméticadosNavegantes”érelegado
a um grau inferior e trata‐se do cálculo propriamente dito. (GHYKA,
1968,p.22)
De fato, o “número puro,” “número‐divino, “ou” número‐ideia” é o modelo
idealdo“número‐científico,”este“consideraremosgeralmentecomonúmero;pois
a causa do mundo material são as formas ‐ que dependem de quantidade,
qualidadeedisposições‐aúnicacoisapermanenteéaestruturadascoisas‐cópia
domodelopercebidoemlogo‐esuaúnicarealidadeéoarquétipodiretordetodo
o universocriado, (GHYKA, 1968,p. 22) Aqui encontramos o caráter orgânicoda
Idade Média presente na matemática onde o “número‐divino” e o “número‐
científico”fazempartedeumúnicouniversodepercepção.
Outroaspectoquedeveserdestacadonessemomentoéaintuitivanoçãode
quantificação do mundo real, de fácil verificação nos textos de matemática nesse
instantequeprecedeaRevoluçãoIndustrialnaCivilizaçãoOcidental.Notamosisso
quando lemos o que Oresme, ao generalizar a teoria das proporções de
Bradwardine, escreve: “Tudo que é mensurável ... é imaginável na forma de
quantidade contínua.” (BOYER, 1974, p. 192) Ele, ao medir a distância que um
corpo percorre quando se move com aceleração constante em um determinado
tempo e ao traçar um gráfico de velocidade e tempo com esses dados, realiza a
verificaçãogeométricadaregradedistânciapercorrida.
Richard Suiseth, “O Calculator”, também nos mostra o processo de
quantificaçãodomundoocidental,quandoformulaoproblemasobrelatitudedas
formas,cujoenunciado,éassimdescrito:
Se durante a primeira metade de tempo dado, uma variação continua
comumacertaintensidade,duranteaquartaparteseguintedointervalo
continua com o dobro da intensidade, durante a oitava parte seguinte
com o triplo da intensidade e assim ad infinitum; então a intensidade
média para o intervalo todo será a intensidade de variação durante o
segundosubintervalo.(BOYER,1974,p.192).
Hoje ela é traduzida pela série infinita, a qual foi demonstrada de modo
geométrico, por Oresme, pois Calculator não conhecia os modos gráficos de
demonstração. A ciência dos números começa a tomar impulso significativo com
Regiomontanus considerado o matemático mais influente do século XV e que
conhecia grego, portanto, entrou em contato com o conhecimento científico e
filosóficodaantiguidade.Nestemomento,jáexistiamalgumasboastraduçõespara
o latim do trabalho de Euclides, e sua "noção de grandeza geométrica tal como
aparece,progressivamenteformalizada,emdiferenteslivrosdosElementos."Gilles
GastonGrangerdefiniuessanoçãodegrandezanageometriadeixandoexplícitoa
relaçãoentreelementonuméricoegeométrico,doseguintemodo.Paraele,
aintuiçãoingênua‐pelomenosparaanossa,jáeducadaporséculosde
prática social das operações de medida ‐ a grandeza geométrica não
colocaproblemas,istoé,aideiadenúmeroéespontaneamenteaplicada
àintuiçãodeumsegmentodelinha,eatédeumfragmentodesuperfície.
(GRANGER,1974,p.37)
Já a Euclides coube estabelecer a ligação do ser geométrico com o
aritmético, o que foi plenamente realizado em “Os Elementos” e assim, a
matemática está preparada para uma aritmética do incomensurável que se
realizaráplenamentenesseperíodotrazendonoseuinteriorparâmetrosqueserão
marcantesparaamodernidadeouseja,anoçãodialéticadosnúmerosirracionais.
Esses números não podem ser expressos na forma de razão ou fração e
causaram dificuldades maiores em sua compreensão “porque, não são
aproximáveis por números positivos, mas a noção de sentido sobre uma reta
tornou‐osplausíveis”.(BOYER,1974,p.210),assim,
a questão não é inventar um método particular para superar tal
dificuldade de medida, mas encontrar princípios gerais que permitam
ajustar o sistema dos números e a noção ainda muito intuitiva de ser
geométricolinear.(GRANGER,1974,p.37).
Esse ajuste irá se realizar com os espaços topológicos matemáticos numa
baseeuclidianaenanoçãosistêmicamatemáticaunivocamentedeterminadapelas
teorias de Descartes com sua álgebra geométrica, de Fermat com sua álgebra
analíticaedeDesarguescomsuageometriaprojetiva.
A álgebra, a geometria e a trigonometria são os temas centrais do
desenvolvimento matemático no período em questão pelo seu caráter de
mensuraçãoeordenação.Todasasobrasmatemáticas,aquiexpostas,culminaram
comsistemasbaseadosnageometriaeuclidiana,enessavisãointuitivadoespaço
matemático, podemos observar também que as visões de Descartes, Fermat e
Desargues, individualmente concebidas, para efeito sintético, determinam a
produçãoeascaracterísticasdessemomentohistórico.
Tomemos inicialmente a álgebra geométrica de René Descartes, que além
dematemáticocontribuiudeformadefinitivaparaoconhecimentohumanonesse
período. Sua obra, em especial a matemática, começa a tomar corpo no início do
renascimento através da resolução algébrica de equações cúbicas associada a
respectivademonstraçãogeométricaemtermosdesubdivisãodocubo.Estanoção
de resolução de problemas matemáticos através das noções geométricas está
presente em toda produção desse momento. Podemos encontrá‐la também nos
Livros IV e VI de álgebra de Rafael Bombelli; eles tinham diversos problemas de
geometriaresolvidosdemaneiraalgébrica.
Descartesdiziaqueparafazermatemáticadevemos,porumlado,reterdo
objeto apenas o que ele possui de mensurável e redutível ao número puro da
álgebra,edeoutro,guardaraordem.(GRAGER,1974,p.37)Estesdoisconceitos
podem sergeneralizados por todo o mundo matemático, e porquenão dizer,por
todo o mundo Pré‐Industrial onde tudo é concebido em duas partes: a primeira,
tratadamatériae,portanto,devesermedida;omaisimportanteaquiémensurar.
A segunda trata da organização da matéria e, portanto, de sua ordenação. Assim,
estamosdiantededoisfenômenosquemarcamoperíodoinicialdaeconomiado
sistemaburguêsdetroca:amedidaeaordem.
Opaidafilosofiamodernatransfereanoçãointuitivado“objetogeométrico
imaginado” e “a confusa complexidade fenomenológica da figura” para um
problemadeálgebra.Istoé,segundoDescarteseleseservedeummétodoonde
tudo o que cai na consideração dos geômetras se reduz a um mesmo
gênerodeproblemas,queéodeprocurarovalordasraízesdealguma
equação,julgar‐se‐áquenãoédifícilfazerumaenumeraçãodetodasas
viaspelasquaispode‐seencontrá‐las.(GRANGER,1974,p.65).
Assim, o objeto matemático é em geral uma construção geométrica, e não
necessariamenteareduçãodageometriaàálgebra.Ofundamentalnãoéresolver
os problemas de álgebra através da geometria, mas "consiste justamente em
definir a inteligibilidade da extensão pela medida e em considerar a Geometria
comoaciênciaqueensinageralmenteaconhecerasmedidasdetodososcorpos."
(GRANGER,1974,p.64).
Já Girard Desargues retomando a Antiguidade, preserva as ideias de
Regiomontanusnatrigonometriae,assim,elaboraumbelotrabalhodegeometria
composto por vinte e dois livros sobre “Elementos de cônicas” traduzindo desse
modo,paraolatim,osestudossobrecônicasdeEuclides.Esseéoimpulsoinicial
para o “Brouillon projet d' une atteinte aux événements des rencontres d' un cone
avecunplan”quepodesertraduzidopor“Esboçotoscodeumatentativadetratar
o resultado dee um encon
ntro entre um cone e um plan
no” de Dessargues sob
bre a
geom
metria pro
ojetiva que, basicam
mente, opera com as cônicaas de maneira
essencialmentee simples, podendo
p
s er tratada de maneirra a derivaar‐se da arte da
renaascençaedo
oprincípio
odecontinu
uidadedeK
Kepler.
Aqui en
ncontramoss a mais direta relação de similaridad
s
de dos esp
paços
topo
ológicos matemáticos
m
s com os espaços topológicos plástico s, a noção de
perspectivalin
near.Elapo
odeserenttendidacom
marepresentaçãobiidimension
naldo
espaaçotridimeensionalutiilizando‐seedoprincíp
piodaredu
uçãoouprrojeçãode retas
em p
planos. Estte ponto re
ecebeu ateenção especial dos matemáticos
m
s e dos arttistas
renaascentistas.
Primeiro
o consideremos Leon
n Battista Alberti,
A
arq
quiteto, quue, num tra
atado
imprresso em 1511,
1
“desccreve um m
método qu
ue tinha inv
ventado paara representar
num
m plano dee figura ve
ertical umaa coleção de quadra
ados num plano de terra
horizzontal.” Po
or outro la
ado, enconttramos novamente a
a obra de Desargues, que
desccreve um processo
p
de
e construirr perspectiva de quallquer figurra humana para
artessãoseartisstas,uma"noçãodetrransformaççãoprojetiva"queeleedenomino
oude
“Métthode univeerselle de mettre
m
en pperspectivee les objetss donnés rééellement ou
o en
deviss”,em1636
6,quepodesertradu
uzidoporm
métodouniiversaldettransforma
arem
perspectivanão
oempregan
ndoponto algumqueestejafora
adocampoodaobra.
Figura
aXX‐Auto‐ReetratocomLuvas.
AlbrecchtDürer(14498).
Além dee Alberti, outros
o
artiistas tambéém contrib
buíram de maneira direta
d
paraa a matemática desse
e momentoo: Leonard
do da Vincci com seuu Tratado Della
Pittu
ura, Piero della
d
Franccesca que ttratou da questão
q
da representaação de ob
bjetos
tridimensionais observad
do de um ponto deteerminado, ampliandoo o trabalh
ho de
Albeertie,finalm
mente,enccontramos umgrandeeartistarenascentistaa,AlbertD
Dürer,
que tinha forrte interessse pela ggeometria e escreveu o livrro denomiinado
"Inveestigação sobre
s
a me
edida com círculos e
e retas de figuras plaanas e sóliidas".
Düreerfoioartistaquemaisfundollevouseucconhecimen
ntodemattemática,d
dando
atençãoespeciaalàgeometriarepressentativanasartesvissuais,cheggandoapub
blicar
bémumliv
vrosobrete
eoriadasprroporçõeshumanas.
tamb
Dürer começou
c
se
eus estudoos sobre as figuras de
d Vitrúvioo seguindo
o seu
trabaalho atrav
vés de um método ggeométrico
o baseado essencialm
mente no estilo
e
góticco, mas foi ele o priimeiro arttista do renascimento
o alemão aa produzirr nus
correetos e cien
ntificamente proporccionados. Ele
E também
m foi autoor de inúm
meras
litoggravuras e
e xilograv
vuras que levaram aos artistas de sua época
a os
conh
hecimentossdemovim
mentosdas figurashu
umanaseasproporçõõeshumanasde
origeemclássicaas.
Finalizando, observemos a obra de Pierre de Fermat, que como muitos de
suaépoca,dedicava‐seàrecuperaçãodeobrasperdidasdaantiguidadecombase
em informações encontradas nos tratados clássicos, e assim, os trabalhos
traduzidos para o latim aumentavam dia após dia e uma parcela significativa do
conhecimentohumanotemsuaorigemnostextosclássicos.Entreessestrabalhos
encontramos a reconstrução dos Lugares Planos de Apolônio, que possuía como
subproduto o “princípio fundamental da geometria analítica”, qual seja: “sempre
que numa equação final encontram‐se duas quantidades incógnitas, temos um
lugar,aextremidadedeumadelasdescrevendoumalinha,retaoucurva”(BOYER,
1974,p.253)eassimestamosnovamentediantedarelaçãoentreosnúmerosea
geometria.
Esse matemático do período pré‐industrial, junto com Descartes, foi o que
maisseaproximoudevisualizaroutrasdimensões,alémdoplano.Fermatemseu
métodoparaacharmáximosemínimosmanipulalugaresdadosporequaçõesque
hojesãoconhecidascomoasparábolasdeFermatequeoperavamem“geometria
analíticadecurvasplanasdegrausuperior”eintroduziuoconceitodeoperações
emmaisquetrêsdimensões,porém,opaidageometriaanalíticasetinhaissoem
mente não foi além desse ponto. E a teoria baseada em três dimensões teria que
esperaratéoséculoXVIII,antesdeserdefinitivamentedesenvolvida.Defato,esses
procedimentoslevaramomatemáticoFermataummétodoparaachartangentesa
curvay=x,queporconsequêncianosdeuoteoremasobreasáreasdelimitadapor
essascurvas,istoé,primeiropassoparaa“análiseinfinitesimal.
Do mesmo modo que Descartes, Desargues e todos seus contemporâneos,
inclusive Fermat, tinham uma concepção euclidiana dos espaços matemáticos e
tratava‐osdemaneiraplanimétrica.Eassim,criouasuageometriaanalíticaeseu
método de máximos e mínimos que, entre outras coisas, introduziu o cálculo
diferencial e integral e a percepção dos “valores vizinhos” que é a essência da
“análise infinitesimal”. Como todas as outras teorias, estamos em busca da
consistência entre os seres geométricos e os seres numéricos, estamos tentando
estenderasproposiçõessobreos númerosàgeometria,demodoa unificá‐los na
idéiadeumcálculogeométrico,eassim,conceberamatemáticacomoumsistema
único.(GRANGER,1974,p.87)
A perspectiva com apenas um ponto de fuga “resume uma situação que a
própria ‘perspectiva focalizada’ ajudará a formar e perpetuar: uma situação na
qualaobradeartesetornaráumsegmentodouniverso,comoesteéobservado‐
oupelomenos,comopodiaserobservado‐porumindivíduoparticular,apartirde
um ponto de vista particular, num momento particular. “Primeiro é o olho que
vê;segundo,oobjetovisto;terceiroadistânciaentreumeoutro”,dizDürer,
parafraseando Piero Della Francesca (PANOFSKY, 1979, p. 360). A teoria de arte
desenvolvidanaRenascençapretendiaajudaroartistaachegaraumacordocoma
realidade numa base observacional; os tratados medievais de arte, ao contrário
limitavam‐se quase sempre, ao enunciado de códigos e regras que poupariam ao
artistaotrabalhodeobservardiretamentearealidade.
Essa característica de particularidade, a que se refere Dürer, pode ser
levadaà matemática se tomarmos que, no final deste período,temos construídas
trêsformasdesepensaraciênciadosnúmeros.Todaselasbaseadasnumavisão
geométrica intuitiva observacional do ente matemático; uma visão euclidiana de
espaço, cada qual com característica específica de seus criadores. Duas delas
levavamemcontaosprocedimentosalgébricosestendidosàgeometriae,porisso,
são chamadas de álgebra geométrica ou geometria analítica, desenvolvidas por
DescarteseFermat.
Aprimeiraexperiência,decarátermetafísico,olhavaparaomundoatravés
da filosofia, e assim, a álgebra geométrica cartesiana tinha como finalidade
encontrarum“métodopararaciocinarbemeprocuraraverdadenasciências”.Já
asegunda,nãotãoabrangente,contribuiufundamentalmenteparaamatemática,
umavezqueseuautor,apesardenadaterpublicadopossuíaumaexposiçãomuito
mais didática e sistemática do que o primeiro. Por fim, a terceira teoria, com
característicaspróprias,eessencialmentesimples,voltadasàscoisadocotidiano,é
denominada de geometria projetiva arguesiana, é construída a partir de termos
tomadosdanatureza,emespecialdabotânica.Desargues,seuautor,atribuíaasua
geometrianomescomo:“nós”,“ramos”,“raiz”eoutrostomadosdodiaadia,para
assuasdefiniçõeseosseusconceitos.Asecçãodecônicasédenominadade“golpe
de rolo”, porque faz referência a um rolo de amassar, e é desse modo que a
geometriaarguesianavêatransformaçãodacircunferênciaemelipse;umamassa
circularque,setrabalhadacomumrolo,podeviraumaelipse.
A produção artesanal imprime “as marcas individuais” do produtor, no
objetocriado,fundamentalmentenociclopré‐industrial.Percebemostambémque
todasasteoriasolhavamparaoobjetomatemáticopeloseuaspectogeométricoe
euclidiano, que se fundamenta numa teoria com bases observacionais, na qual o
espaçotopológicoutilizadosustenta‐senumamétricaplanadadaapartirdenossa
percepçãopuraesimples,semquaisquerinstrumentosauxiliares.
Demodoque,nesseperíodoumadassimilaridadesquepodemosdestacar,
dessesdoissegmentosdoconhecimentohumano,éavisãosistêmicadosespaços
topológicos matemáticos e artísticos, dados pela percepção intuitiva do homem,
sem mecanismos de observação, que não os seus próprios olhos e a sua
individualidade.Oshomenseseusobjetosaoredorsãorepresentadosnumavisão
planimétrica tirada da perspectiva monocular de observação, baseada na
geometria euclidiana e que trazia à percepção de cada produtor um modo
particulardeenxergaromundo.
OsartistasquemaislongelevaramessasideiasforamMiguelangeloeDürer.
Um,aoelaborarojuízofinal,dásuaopiniãoarespeitodessetemasagrado,dentro
doseiodaprópriaigrejacatólica,contrariandoomododepensardessa.Ooutro,
através de seu autorretrato, desenhando‐se com feições semelhantes ao Cristo,
“encarava sua missão de reformador artístico”, (JANSON, 1977, p. 464) como já
destacamosanteriormente,mostrandoassim,queomundodependiadeleedesua
“genialidade”.
Retomando Dürer, ele fala sobre o terceiro elemento, isto é, a distância
entreoolhodoobservadoreoobjetoobservado,eaí,encontramosoutroelemento
que irá marcar significativamente as produções artísticas e matemáticas desse
periodo. A questão da mensuração e ordenação tão fortemente buscadas nesse
mundo,pretensamenteracional.Aarteémedidaeordem.Nosmomentosemque
estabelece as relações de proporcionalidade usadas para construção das figuras
humanas, estabelece uma ordem a partir de um sistema perspectivo figurativo e
estabelece também a ordenação das formas representadas e construídas sob os
olhosdasordensarquitetônicas:dórica,jônicaecoríntia.Osensocomumpassaa
serasimetria,oequilíbrio,aordenaçãoeamensuração.
Amatemática,natentativadeestabelecerumaprojetividadeespacial,opera
sobre um conceito semelhante aos artistas. Isto é, apesar de tratar as formas
geométricasdemaneiraespacial,nãovaialémdeumaconvençãoplanimétricado
espaço representado, concebendo assim, um sistema de ordem e medida calcado
nadeformaçãodosobjetos,emumaprojeçãosoboplano.Tomaremosemseguida,
duasconsideraçõesdeGilesG.Grangerquenosmostraaformadepensardedois
matemáticos,arespeitodageometriautilizada:
Do método de projeção de Desargues temos a acrescentar que sua
construção perspectiva é uma “transformação”, que permite passar do espaço ao
plano", assim, é apenas "uma deformação particular dos comprimentos". De
Descartes podemos ver que “os problemas de geometria facilmente podem ser
reduzidos a termos tais que, depois disso, só há necessidade de conhecer o
comprimentodealgumaslinhasretasparaconstruí‐los.”(GRANGER,1974,p.78)é
evidenteque,quandoessesmatemáticosfalamdecomprimentoestãopercebendo
o espaço‐suporte de seus sistemas inserido num contexto onde só interessa a
distância desdobrada em duas direções, comprimento e largura; nos remetendo
definitivamenteaoplano.
Seenveredarmospelasobrasdessesdoisautores,comotambémdosoutros
matemáticos contemporâneos a eles, verificamos cada vez mais que a percepção
espacialmatemáticadesseshomenserafundamentalmentebidimensional,apesar
de Descartes e Fermat visualizarem outras dimensões. Eles definem conceitos,
operando‐oscombaseemumcódigogeométricoextraídodaantiguidadeclássica;
o método de Euclides. A geometria e suas projeções, tanto na arte quanto na
matemática, era de concepção euclidiana, única geometria conhecida nesse
momento.
Aperspectivalineartraduzumavisãomonoculardomundo,criaailusãoe
deformaçãodoelementoprofundidadeaoserrepresentadanatelabidimensional.
O plano está organizado segundo um código de representação que achata a
espacializaçãodosobjetosassimcomoumrolodeamassar.Aperspectivaajudaa
mensuraçãodosobjetosnaturaisnomundo;arealidadepercebidaétraduzidaem
umsuporteúnico:oplano;oquadrobidimensionalquepodesertiradodaparede,
transforma‐seemmercadorianumsistemaeconômicopré‐capitalista.
Os artistas do início do período pré‐industrial não conseguem levar para
suasrepresentaçõesgráficasadiferençaentreo“campovisual”eo“mundovisual“,
nas palavras de Edward T. Hall. Para ele “o homem ocidental não fizera ainda
distinções entre o ‘campo visual’ ‐ a verdadeira imagem retiniana ‐ e o “mundo
visual”, que representa o percebido, pois," ele é “...representado não como
registradonaretina,mascomopercebido‐emtamanhonatural.”(1977,p.81).
Como vimos, somente Rembrandt modificará esse modo de representar,
utilizando‐se do artifício das sombras e pintando "um campo visual estático, em
vezdomundovisualconvencionalretratadopelosseuscontemporâneos"imprime
emsuastelasatridimensionalidadese"observadasdedistânciaadequadas‐que
tem de ser determinadas experimentalmente" (HALL, 1977, p. 81) e aí estamos
percebendoconceitosqueirãocaracterizaramodernidade.
2.2 ConceitosdeProgramação
2.2.1 SistemaCartesianoSistemaLógico
2.2.2 VariáveiseFunções(conceitodefunção),Aritméticas
eLógicas
2.2.3 Trigonometria–Seno,CossenoeTangente
2.2.4 AcessoRandômico
2.2.5 If,ElseeFor.
2.3 Atividades–Série02–MatemáticaDiscreta:
2.3.1 Atividade01‐DesenharumaMandala;
 Proposta:
 Solução: