Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2

Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
cilindro é 10 cm e do pistão é 9 cm e entre os dois
existe óleo com ν = 10-4 m2/s e γ = 8000 N/m3. Com
Franco Brunetti – Capítulo I
que velocidade deve subir o cilindro para qie o pistão
permaneça em repouso? (Supor diagrama linear e g =
1. A viscosidade cinemática de um óleo é 10 m/s2).
de 0.028 m2/s e o seu peso específico relativo é de
0.85. Encontrar a viscosidade dinâmica em unidades
do sistemas MKS, CGS e SI (g=10 m/s2).
L = 5 cm
fluido
2. A viscosidade dinâmica de um óleo é de
5 . 10-4 kgf.s/m2 e seu peso específico relativo é
0.82. Encontre a viscosidade cinemática nos
sistemas MKS, SI e CGS (g=10m/s2 e γa =
1000kgf/m3.
D1
Exercícios -
3. O peso de 3 dm3 de certa substância é
23.5 N. A viscosidade cinemática é 10-5 m2/s. Se g =
10 m/s2, qual será a viscosidade dinâmica nos
sistemas CGS, MKS e SI?
4. São dadas duas placas planas paralelas à
distância de 2mm. A placa superior move-se com
velocidade de 4m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o
espaço entre as placas for preenchido com óleo (ν =
0.1 St; ρ = 830 kg/m3), qual será a tensão de
cisalhamento que agirá no óleo?
v = 4m/s
2 mm
Resposta: τ = 16,6 N/m2.
5. Uma placa quadrada de 1.0 m de lado e
20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de
30°, sobre uma película de óleo. A velocidade da
placa é de 2m/s constante. Qual a velocidade
dinâmica do óleo se a espessura da película é de
2mm?
2 mm
D2
Resposta: v = 22,1 m/s
7. Num tear, o fio é esticado passando por
uma fieira e é enrolado num tambor com velocidade
constante. Na fieira, o fio é lubrificado e tingido por
uma substância. A máxima força que pode ser
aplicada no fio é 1N, pois, ultrapassando-a, ela se
rompe. Sendo o diâmetro do fio 0,5mm e o diâmetro
da fieira 0,6mm, e sendo a rotação do tambor 30 rpm,
qual é a máxima viscosidade do lubrificante e qual é o
momento necessário no eixo do tambor?
R.: M =
0,1N.m2; η = 0,1 N.s/m2
Resposta: M=0,1 N.m; η = 0,1 N.s/m2.
8. Ao girar, o eixo provoca a rotação do
tambor. Este enrola a corda, que levanta um peso de
10N com uma velocidade constante de 0,5 m/s. O
fluido existente entre o eixo e o tambor tem η = 0,1
N.s/m2 e apresenta um diagrama linear de
velocidades. Pede-se:
(a) a rotação do eixo;
(b) o momento provocado pelo fluido contra
a rotação do eixo.
Dados: R1 = 10 cm; R2 = 10,1
cm; R3 = 20 cm.
lubrificante
0,6mm
0,5mm
fieira
fio
n = cte
2m/s
20 N
L = 10cm
30°
Tambor D=0.2m
Resposta: η = 10-2 N.s/m2.
6. O pistão da figura tem uma massa de 0.5
kg. O cilindro de comprimento ilimitado é puxado
para cima com velocidade constante. O diâmetro do
Peso
Resposta: (a) n=125 rpm; (b) Meixo=2,47
N.m.
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9. O turbocompressor de um motor de
combustão interna tem uma rotação de 120000rpm.
Os mancais do eixo são flutuantes e giram com uma
certa rotação. São dados:
η = 8.10-3 N.s/m2; D1=12mm, D2=12.05mm;
L=20mm.
Nas condições de equilíbrio dinâmico da
rotação dada, pede-se:
(a) a rotação do mancal flutuante.
(b) o momento resistente à rotação que age
no eixo do turbocompressor relativo aos mancais.
ε
ω2
D
η
Resposta: ω1 − ω2 =
TB
η
ω1
Mancais flutuantes
A
CP
2
32εM t
πD 4 η
ε
2
11. A placa da figura tem 4 m2 de área e
espessura desprezível. Entre a placa e o solo existe
um fluido que escoa, formando um diagrama de
velocidades dado por:
A
L
v = 20 yvmax (1 − 5 y )
CP: Compressor
TB: Turbina
óleo
mancal flutuante
eixo
A viscosidade dinâmica do fluido é 10N.s/m e a velocidade máxima do escoamento é
4m/s. Pede-se:
(a) o gradiente de velocidades junto ao solo.
(b) a força necessária para manter a placa em
equilíbrio.
Resposta: (a) -80 m/s; (b) 3,2 N
2
2
Placa
D1
D2
vmax
20 cm
D3
D4
Corte A-A sem escala
Resposta: (a) 40,533 rpm; (b) 0,14 N.m
10. Dois discos são dispostos coaxialmente
face a face, separados por um filme de óleo
lubrificante de espessura ε pequena. Aplicando um
momento no disco (1), ele inicia um movimento em
torno de seu eixo, através de um fluido viscoso,
estabelece-se o regime, de tal forma que as
velocidades angulares ω1 e ω2 ficam constantes.
Admitindo o regime estabelecido, determinar em
função a ω1 e ω2.
Solo
F
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Sears –Zemansky – Young – VII
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a pequena variação de pressão sobre a superfície da
janela.)
14.8 Qual deve ser a pressão manométrica
desenvolvida por uma bomba para bombear água do
14.1 Fazendo um biscate, você foi fundo do Grand Canyon (a uma altura de 730 m) até o
solicitado a transportar uma barra de ferro de 85.8 Indian Gardens (a 1370 m)? Expresse a resposta em
cm de comprimento e 2,85 cm de diâmetro de um pascais e em atmosferas.
depósito até um mecânico. Você precisará usar um
14.9 O líquido no manômetro de tubo aberto
carrinho de mão? (Para responder, calcule o peso da
indicado na Figura é o mercúrio, y1 = 3,00 cm e y2 =
barra.)
7,00 cm. A pressão atmosférica é igual a 980
14.2 A Lua possui massa de 7,35 . 1022 kg e milibares.
raio igual a 1740 km. Qual é sua densidade média?
(a) Qual é a pressão absoluta no fundo do
tubo em forma de U?
14.3 Você compra uma peça retangular de
(b) Qual é a pressão absoluta no tubo aberto
metal com massa de 0,0158 kg e com dimensões 5,0 a uma profundidade de 4.0 cm abaixo da superfície
x 15,0 x 30.0 mm. O vendedor diz que o metal é livre?
ouro. Para verificar se é verdade você deve calcular
(c) Qual é a pressão absoluta do gás no
a densidade média da peça. Qual o valor obtido? tanque?
Você foi enganado?
(d) Qual é a pressão manométrica do gás em
pascais?
14.4 Um seqüestrador exige como resgate
um cubo de platina com 40.0 kg. Qual é o
comprimento da aresta?
SEÇÃO 14.2 DENSIDADE
SEÇÁO 14.3 PRESSÃD EM UM FLUIDO
14.5 Um barril contém uma camada de óleo
de 0.120 m flutuando sobre água com uma
profundidade igual a 0,250 m. A densidade do óleo é
igual a 600 kg/m' a) Qual é a pressão manométrica
na interface entre o óleo e a água? b) Qual é a
pressão manométrica no fundo do barril?
14.6 Um veículo esportivo vazio pesa 16.5
kN. Cada pneu possui uma pressão manométrica
igual a 205 kPa.
(a) Qual é a área total de contato dos quatro
pneus com o pavimento? (Suponha que as paredes
dos pneus sejam flexíveis de modo que a pressão
exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à
pressão do existente no interior do pneu.)
(b) Qual é a área total, considerando a
mesma pressão manométrica do pneu, quando o
peso total dos passageiros e da carga for igual a 9,1
kN?
14.7 Você está projetando um sino de
mergulho para agüentar a pressão da água do mar
até uma profundidade de 250 m.
(a) Qual é a pressão manométrica nesta
profundidade? (Despreze as variações de densidade
da água com a profundidade.)
(b) Sabendo que, para esta profundidade, a
pressão dentro do sino é igual à pressão fora do sino,
qual é a força resultante exercida pela água fora do
sino e pelo ar dentro do sino sobre uma janela de
vidro circular com diâmetro de 30,0 cm? (Despreze
14.10 Existe uma profundidade máxima na
qual uma mergulhadora (Figura 14.33) pode respirar
através de um tubo snorkel (respirador), porque à
medida que a profundidade aumenta, a diferença de
pressão também aumenta, tendendo n produzir um
colapso dos pulmões da mergulhadora.
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Como o snorkel liga o ar dos pulmões com
a atmosfera sobre a superfície livre, a pressão no
interior dos pulmões é igual a uma atm. Qual é a
diferença de pressão entre o exterior e o interior dos
pulmões da mergulhadora a uma profundidade igual
a 6.1 m? Suponha que a mergulhadora esteja
mergulhada em água doce. (Um mergulhador
usando uma snorkel (tanque com ar comprimido)
respirando o ar comprimido deste dispositivo pode
atingir profundidades muito maiores do que um
mergulhador usando o snorkel. uma vez que a
pressão do ar comprimido no interior da snorkel
compensa o aumento da pressão da água no exterior
dos pulmões.)
14.11 Um curto-circuito elétrico impede o
fornecimento da potência necessária para um
submarino que está a uma profundidade de 30 m
abaixo da superfície do oceano. A tripulação deve
empurrar uma escotilha com área de 0.75 m2 e peso
igual a 300 N para poder escapar do fundo do
submarino. Se a pressão interna for igual a l,0 atm,
qual é a força para baixo que eles devem exercer
para abrir a escotilha?
4
SEÇÃO 14.4 EMPUXO
14.15 Um bloco de gelo flutua sobre um lago
de água doce. Qual deve ser o volume mínimo do
bloco para que uma mulher de 45,0 kg possa ficar em
pé sobre o bloco sem que ela molhe seus pés?
14.16 Uma amostra de minério pesa 17,50 N
no ar. Quando a amostra é suspensa por uma corda
leve e totalmente imersa na água, a tensão na corda é
igual a 11,20 N. Calcule o volume total e a densidade
da amostra.
14.17 Um objeto com densidade média ρ
flutua na superfície livre de um fluido com densidade
ρfluido.
(a) Qual é a relação entre estas duas
densidades?
(b) Levando em conta a resposta do item (a),
como um navio de aço flutua na água?
(c) Em termos de ρ e de ρfluido qual é a fração
do objeto que fica submersa e qual é a fração do
objeto que fica acima da superfície do fluido?
Verifique se suas respostas fornecem os limites
correios quando ρ →ρfluido e ρ → 0.
(d) Quando você está a bordo do seu iate, seu
primo Tobias corta de um salva-vidas uma peça
retangular (dimensões de 5,0 x 4,0 x 3,0 cm) e a joga
no mar. A peça possui massa igual a 42 g. Quando ela
flutua no oceano, que fração fica acima da superfície?
14.12 Você foi convidado a projetar um
tanque de água cilíndrico pressurizado para uma
futura colônia em Marte, onde a aceleração da
gravidade é igual a 3,71 m/s. A pressão na superfície
da água deve ser igual a 130 kPa e a profundidade
deve ser igual a 14,2 m. A pressão do ar no edifício
fora do tanque deve ser igual a 93 kPa. Calcule a
14.18 Uma esfera de plástico oca é mantida
força resultante para baixo sobre a base do tanque de submersa em um lago de água doce amarrada em
área igual a 2,00 m2 exercida pelo ar e pela água no uma corda presa no fundo do lago. O volume da
interior do tanque e pelo ar no exterior do tanque.
esfera é igual a 0,650 m e a tensão na corda é igual a
900 N.
14.13 Em um foguete um tanque com
(a) Calcule a força de empuxo exercida pela
tampa pressurizada contém 0,250 m3 de querosene água sobre a esfera,
de massa igual a 205 kg. A pressão na superfície
(b) Qual é a massa da esfera?
superior do querosene é igual a 2,01.105 Pa. O (c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície.
querosene exerce uma força igual a 16,4 kN sobre o Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do
fundo do tanque, cuja área é igual a 0,0700 m . volume da esfera que fica submersa?
Calcule a profundidade do querosene.
14.14 O pistão de um elevador hidráulico
de carros possui diâmetro igual a 0,30 m. Qual é a
pressão manométrica em pascais, necessária para
elevar um carro com massa igual a 1200 kg?
Expresse esta pressão também em atmosferas.
14.19 Um bloco de madeira cúbico com
aresta de 10,0 cm flutua sobre uma interface entre
uma camada de água e uma camada de óleo, com sua
base situada a l,50 cm abaixo da superfície livre do
óleo (Figura 14.34). A densidade do óleo é igual a
790 kg/m3.
(a) Qual é a pressão manométrica na face
superior do bloco?
(b) Qual é a,pressão manométrica na face
inferior do bloco?
(c) Qual é a massa e a densidade do bloco?
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superficial da seiva igual à da água a 20°C. Esta
situação é diferente daquela indicada na Figura 14.15:
neste caso é o arque desloca a seiva nos interstícios.)
14.25 Uma película de água de sabão possui
22cm de largura e está a 200C. O fio que desliza
possui massa igual a 0,700g. Qual é o módulo
necessário T da força que puxa para baixo para
manter o fio em equilíbrio?
SEÇÃO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO
14.26 A água escoa em um tubo cuja seção
reta possui área variável e em todos os pontos a água
enche completamente o tubo. No ponto 1 a seção reta
possui área igual a 0,07m2 e o módulo da velocidade
do fluido é igual a3,50 m/s.
(a) Qual é a velocidade do fluido nos pontos
14.20 Um lingote de alumínio sólido pesa para os quais a seção reta possui área igual a
89 N no ar.
(i) 0,105m2?
(a) Qual é g o seu volume?
(ii) 0,047m2?
(b) O lingote é suspenso por uma corda
(b) Calcule o volume de água descarregada
leve e totalmente imersa na água. Qual é a tensão na pela extremidade aberta do tubo em 1 hora.
corda (o peso aparente do lingote na água)?
14.27 A água escoa em um tubo cilíndrico
SEÇÃO 14.5 TENSÃO SUPERFICIAL
cuja seção reta possui área variável e em todos os
pontos a água enche completamente o tubo.
14.21 Ache a pressão manométrica em
(a) Em um ponto onde o raio do tubo é igual
pascais em uma bolha de s sabão com diâmetro igual a 0,150m. Qual é a velocidade da água nesse ponto se
a 3,00 cm. A tensão superficial é igual a 25,0.10- a vazão volumétrica no tubo é igual a 1,20 m3/s?
3
(b) Em um segundo ponto a velocidade da
N/m.
água é igual a 3,80 m/s. Qual é o raio do tubo nesse
14.22 Calcule o excesso de pressão a 20°C ponto?
(a) no interior de uma gota de chuva grande
com raio igual a l ,00 mm;
14.28 Deduza a equação da continuidade.
(b) no interior de uma gota de água com
Quando a densidade cresce 1.50% de um
raio igual a 0,0100 mm (típica de uma gotícula no ponto 1 até um ponto 2, o que ocorre com a vazão
nevoeiro).
volumétrica?
14.23 Como ficar em pé sobre a água.
Estime a força da tensão superficial para cima que
deveria ser exercida sobre seus pés para que você
pudesse ficar em pé sobre a água. (Você precisa j
medir a área dos seus pés.) Qual deveria ser o peso
máximo de um corpo que poderia ser sustentado
pela água desta maneira?
14.24 Por que as árvores não fazem
sucção do ar? Verificou-se que as pressões
negativas que ocorrem nos tubos que transportam a
seiva de uma árvore alta podem atingir cerca de - 20
atm. Estes tubos encontram-se abertos no topo em
contato com o ar e a água pode evaporar das folhas.
Porém se as pressões são negativas, por que o ar não
é sugado para as folhas? Para responder a esta
pergunta estime a diferença de pressão necessária
para forçar o ar através dos interstícios das paredes
das células no interior das folhas (diâmetros da
ordem de 10~8 m) e explique por que o ar exterior
não pode penetrar nas folhas. (Considere a tensão J
SEÇÃO 14.7 EQUAÇÃO E BERNOULLI
14.29 Um tanque selado que contém água do
mar até uma altura igual a 11,0m também contém ar
acima da água a uma pressão manométrica igual a
3,00 atm. A água flui para fora através de um
pequeno orifício na base do tanque. Calcule a
velocidade de efluxo da água.
14.30 Um pequeno orifício circular com
diâmetro igual a 6,00 mm é cortado na superfície
lateral de um grande tanque de água, a profundidade
de 14m abaixo da superfície livre da água. O topo do
tanque está aberto para a atmosfera. Ache:
(a) a velocidade de efluxo;
(b) o volume de água descarregada por
unidade de tempo.
14.31 Qual é a pressão manométrica
necessária no tubo principal da rua para que uma
mangueira de apagar incêndio ligada a ele seja capaz
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6
de lançar água até uma altura de 15m? (Suponha que
o diâmetro do tubo principal seja muito maior do
* 14.38 Água a 20°C se escoa em tubo de
que o diâmetro da mangueira de apagar incêndio.
raio igual a 8.50 mm. A viscosidade da água a 20°C é
igual a l,005 centipoise. Se a velocidade da água no
14.32 Em um ponto de um encanamento a centro do tubo é igual a 0,200 m/s e o escoamento é
velocidade da água é 3,00 /s e a pressão laminar, calcule a queda de pressão devida à
manométrica é igual a 5,00.104Pa. Calcule a pressão
viscosidade ao longo de 3,00 m de comprimento do
manométrica em um segundo ponto do
encanamento, 11,0m abaixo do primeiro, sabendo o tubo.
diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro
do diâmetro do primeiro.
14.33 Sustentação sobre um avião. As
linhas de corrente horizontais em torno das pequenas
asas de um avião são tais que a velocidade sobre a
superfície superior é igual a 70,0 m/s e sobre a
superfície inferior é igual a 60,0 m/s. Se o avião
possui massa igual a 1340 kg e a área da asa é igual
a 162 m2, qual é a força resultante vertical
(incluindo o efeito da gravidade) sobre o avião? A
densidade do até 1.20 kg/m3.
* 14.39 Água a 20°C se escoa em tubo
horizontal com 15,0 m de comprimento; o
escoamento é laminar e a água enche completamente
o tubo. Uma bomba mantém uma pressão
manométrica igual a 1200 Pa em um tanque grande
conectado a uma extremidade do tubo. A outra
extremidade do tubo está aberta para o ar. A
viscosidade da água a 200C é igual a l,005 centipoise.
(a) Se o tubo possui diâmetro igual a 9,00
cm, qual é a vazão volumétrica?
(b) Que pressão manométrica deve a bomba
fornecer para produzir a mesma vazão volumétrica de
um tubo com diâmetro igual a 3,00 cm?
(c) Para o tubo da parte (a) e mantendo-se a
mesma pressão manométrica da bomba, qual é a nova
vazão volumétrica quando a água está a uma
temperatura de 600C? (A viscosidade da água a 600C
é igual a 0,469 centipoise.)
14.34 Uma bebida leve (essencialmente
água) flui em um tubo de uma fábrica de cerveja
com uma vazão volumétrica tal que deva encher 220
latas de 0.355L por minuto. Em um ponto 2 do tubo,
situado a 1.35m acima do ponto 2, a área da seção
reta é igual a 2.00 cm2. Obtenha:
(a) a vazão mássica;
(b) a vazão volumétrica;
(c) as velocidades do escoamento nos * 14.40 O inseto Rhodinus pmlixus da América do Sul
pontos 1 e 2;
suga o sangue de mamíferos. Seu ferrão é semelhante
(d) a pressão manométrica no ponto 1.
a uma agulha hipodérmica muito fina (que permite
14.35 A água é descarregada de um tubo sugar o sangue de sua vítima sem causar dor,
cilíndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm3/s. portanto, sem que seja notado). A parte mais estreita
Em um ponto do tubo onde o raio é 2.05 cm a da "agulha" possui diâmetro igual a 10 /um e
pressão absoluta é igual a 1.60 ⋅105 Pa . Qual é o raio comprimento igual a 0,20 mm. a) Qual deve ser a
do tubo em uma constrição onde a pressão se reduz pressão manométrica na cavidade da boca do inseto
se ele sugar 0,25 cm de sangue em 15 minutos?
para 1.20 ⋅105 Pa ?
Expresse sua resposta em Pa e em atm. (A
14.36 Em dado ponto de um escoamento viscosidade do sangue em tal tubo fino é igual a l,0
cilíndrico horizontal a velocidade da água é igual a centipoise. Para obter uma resposta aproximada
2.50 m/s e a pressão manométrica é igual a aplique a equação de Poiseuille ao sangue, embora ele
1.80 ⋅104 Pa . Calcule a pressão manométrica em um seja um fluido não-newtoniano.) b) Por que não é
segundo ponto do encanamento sabendo que o uma boa aproximação desprezar as dimensões das
diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro outras partes do ferrão do inseto?
do diâmetro do primeiro.
* 14.41 Qual deve ser a velocidade de uma
SEÇÃO 14.9 VISCOSIDADE
esfera de alumínio com raio igual a 2,00 mm se
deslocando em óleo de rícino a 20°C para que a força
*14.37 Água a 20°C se escoa em tubo de de arraste devido à viscosidade seja igual a um quarto
raio igual a 10,0 cm. A viscosidade da água a 20°C é do peso da esfera? (A viscosidade do óleo de rícino
igual a l ,005 centipoise. (Se a velocidade da água para esta temperatura é igual a 9,86 poise.)
* 14.42 Medida da viscosidade. Uma esfera
no centro do tubo é igual a 2,50 m/s, qual é a
velocidade da água
de latão com massa igual a 0,35 g cai com velocidade
(a) a 5,0 cm a partir do centro do tubo (na terminal igual a 5,0 cm/s em um líquido
metade do caminho entre o centro e a parede)?
desconhecido. Sabendo que a densidade do líquido é
(b) sobre as paredes do tubo?
igual a 2900 kg/m\ qual é a sua viscosidade?
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(a) Supondo que a água seja incompressível,
*14.43 Mantendo todas as demais qual é a pressão para essa profundidade?
(b) A pressão real nesse ponto é igual a
grandezas constantes, o que ocorre com a vazão
8
volumétrica de um escoamento laminar quando 1.160 ⋅10 Pa ; o valor que você calculou deve ser
menor que este porque na realidade a densidade da
dobramos:
água aumenta com a profundidade.
(a) o diâmetro do tubo?
Usando o valor da compressibilidade da água
(b) a viscosidade?
e
o
valor
real da pressão, ache a densidade no fundo
(c) a diferença de pressão?
da
fossa
Marianas.
Qual é a variação percentual da
(d) o gradiente de pressão?
densidade da água?
(e) o comprimento do tubo?
14.44 Para os arremessos normais de uma
bola de basquete (exceto para os arremessos
desesperados) a força de resistência do ar é
desprezível. Para demonstrar isso, considere a razão
da força da Lei de Stokes e o peso de uma bola de
basquete de 0,6000 kg. A bola de basquete possui
um raio igual a 0,124m e se move com velocidade
de 5m/s no ar com densidade igual a 1,2 kg/m3.
14.45 Um feixe de laser muito estreito com
elevada intensidade perfura um orifício cilíndrico no
casco de uma espaçonave de ficção científica; o
orifício possui comprimento de 0.180m e um raio de
apenas 50.0 µm. O interior da espaçonave possui
pressão de 1 atm e ar a 200C com viscosidade igual a
181 µPo começa a escapar com escoamento laminar
para o vácuo no exterior da espaçonave.
(a) Qual é a velocidade do ar ao longo do
eixo do cilindro na extremidade externa e na metade
da distância entre este ponto e o ponto externo?
(b) Quantos dias serão necessários para que
ocorra uma perda de 1m3 de ar através desse
orifício? (Suponha que a pressão interna permaneça
igual a 1 atm.
(c) Qual seria o fator de multiplicação das
respostas dos itens (a) e (b) se o raio do orifício
dobrasse de valor e o escoamento permanecesse
laminar?
14.48 Uma piscina mede 5.0 m de
comprimento, 4.0 m de largura e possui 3.0 m de
profundidade. Determine a força exercida pela água
sobre:
(a) o fundo da piscina;
(b) sobre cada parte lateral da piscina
(Sugestão: Calcule a força infinitesimal que atua
sobre uma faixa horizontal situada a uma
profundidade h e integre sobre a parede lateral.)
Despreze a força produzida pela pressão do ar.
14.49 A aresta superior de uma comporta de
uma represa está em contato com a superfície da
água. A comporta possui altura de 2.00 m, largura de
4.00 m e possui uma articulação passando pelo seu
centro. Calcule o torque produzido pela força da água
em relação ao eixo da articulação. (Sugestão: Use o
procedimento análogo ao adotado no problema 19.48;
calcule o torque infinitesimal produzido por uma
faixa horizontal situada a uma profundidade h e
integre sobre a comporta).
Problemas
14.46 Em uma aula experimental, uma
professora separa facilmente dois hemisférios ocos
de aço (diâmetro D) usando as duas mãos. A seguir
ela os encaixa novamente, bombeia o ar para fora da
esfera até atingir a pressão absoluta p e coloca as
faces opostas do hemisfério em um bodybuilder (um
aparelho de ginástica usado para fazer exercícios de
tração) para tentar separá-los.
(a) Designando por p0 a pressão
atmosférica, qual é a força que o bodybuilder deve
exercer sobre cada hemisfério?
(b) Avalie a resposta para o caso p =
0.025atm e D = 10.0cm.
14.50 Força e Torque sobre uma represa.
Uma represa possui a forma de um sólido retangular.
A face de frente para o lago possui área A e altura H.
A superfície de água doce do lago atrás da represa
está no mesmo nível do topo da represa.
(a) Mostre que a força resultante horizontal
exercida pela água sobre a represa é dada por
1
2 ρ gHA , ou seja, o produto da pressão manométrica
através da face da represa pela área da represa.
(b) Mostre que o torque produzido pela força
da água em relação ao eixo passando no fundo da
1
14.47 O ponto com maior profundidade de represa é dado por 6 ρ gH A .
todos os oceanos na Terra é a fossa das Marianas
(c) Como a força e o torque dependem do
com uma profundidade de 10.92 km.
tamanho da represa?
2
7
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
14.51 Um astronauta está em pé no pólo
norte de um novo planeta descoberto com simetria
esférica de raio R. Ele sustenta em suas mãos um
recipiente que contém um líquido de massa m
volume V. Na superfície do líquido a pressão é p0; a
uma profundidade d abaixo da superfície, a pressão
possui um valor maior que p. A partir dessas
informações, determine a massa do planeta.
8
(e) Mostre que a expressão obtida no item
(d) fornece g = 0 no centro da Terra e g = 9,85 m/s2
na superfície da Terra,
(f) Mostre que com este modelo g não
diminui uniformemente com a profundidade e, ao
contrário, atinge um valor máximo igual a
4π GA2
= 10,01 m/s no ponto
9B
r = 2A/3 B = 5640 km.
14.52 Para calcular a densidade em um
14.54 No Exemplo 12.9 (Seção 12.7) vimos
dado ponto no interior de um material, considere um
pequeno volume dV em torno desseponto. Se a que no interior de um planeta com densidade
massa no interior do volume for igual a dm, a constante (uma hipótese irreal para a Terra) a
densidade no referido ponto será dada por aceleração da gravidade cresce uniformemente com a
distância ao centro do planeta. Ou seja,
dm
ρ=
. Considere uma barra cilíndrica com
r̂
dV
g ( r ) = g , onde g é a aceleração da gravidade na
R
massa M, raio R e comprimento L, cuja densidade
varia com o quadrado da distância a uma de suas superfície, r é a distância ao centro do planeta e R é o
raio do planeta. O interior do planeta pode ser
2
extremidades, ρ = C ⋅ x .
considerado aproximadamente como um fluido
3M
incompressível com densidade ρ.
(a) Mostre que C =
.
2 3
(a) Substitua a altura h na Equação (14.4)
πR L
pela
coordenada
radial r e integre para achar a
(b) Mostre que a densidade média, dada
pressão no interior de um planeta com densidade
m
é igual a um terço da constante em função de r. Considere a pressão na
pela Equação ρ =
superfície igual a zero- (Isso significa desprezar a
V
pressão da atmosfera do planeta.)
densidade na extremidade x = L.
(b) Usando este modelo, calcule a pressão no
14.53 A Terra não possui uma densidade centro do Terra. (Use o valor da densidade média da
constante; ela é mais densa em seu centro e menos Terra, calculando-a mediante os valores da massa e
densa na sua superfície. Uma expressão aproximada do raio indicados no Apêndice F.)
(c) Os geólogos estimam um valor
para sua densidade é dada por ρ ( r ) = A − Br ,
aproximadamente igual a 4.1011 Pa para a pressão no
onde A =12.700 kg/m3 e B = 1,50. 103 kg/m4. centro da Terra- Este valor concorda com o que você
Considere a Terra como uma esfera com raio R = calculou para r = 0? O que poderia contribuir para
6,37. 106 m.
uma eventual diferença?
(a) Evidências geológicas indicam que as
densidades são de 13.100 kg/m3 no centro e de 2400
14.55 Um tubo em forma de ü está aberto em
kg/m3 na superfície. Quais os valores previstos pela ambas as extremidades e contém uma porção de
aproximação linear da densidade para estes pontos? mercúrio. Uma quantidade de água é cuidadosamente
(b) Imagine a Terra dividida em camadas derramada na extremidade esquerda do tubo em
esféricas concêntricas. Cada camada possuí raio r, forma de U até que a altura da coluna de água seja
2
espessura dr, volume dV = 4π r dr e massa igual a 15.0 cm (Figura 14.36).
(a) Qual é a pressão manométrica na
dm = ρ ( r ) dr . Integrando desde r = 0 até r = R, interface água-mercürio?
(b) Calcule a distância vertical h entre o topo
mostre que a massa da Terra com este modelo é
da superfície do mercúrio do lado direito e o topo da
dada por:
superfície da água do lado esquerdo.
4
3
⎛
⎞
M = π R 3 ⎜ A − BR ⎟
3
4
⎝
⎠
(c) Mostre que os valores dados de A e B
fornecem a massa da Terra com precisão de 0.4%.
(d) Vimos na que uma camada esférica não
fornece nenhuma contribuição de g no interior da
camada. Mostre que esse modelo fornece:
4
3 ⎞
⎛
g ( r ) = π Gr ⎜ A − Br ⎟
3
4 ⎠
⎝
8
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
14.56 A Grande inundação de melaço. Na
tarde do dia 15 de janeiro de 1919, em um dia não
usualmente quente em Boston, correu a ruptura de
um tanque cilíndrico metálico com diâmetro de 27,4
m e altura de 27,4 m que continha melaço. O
melaço inundou uma rua formando uma corrente
com profundidade igual 9 m, matando pedestres e
cavalos e destruindo edifícios. A densidade do
melaço era igual a 1600 kg/m3. Supondo que o
tanque estava completamente cheio antes do
acidente, qual era a força total exercida para fora
pelo melaço sobre a superfície lateral do tanque?
(Sugestão: Considere a força para fora
exercida sobre um anel circular da parede do tanque
com largura dy situado a uma profundidade y abaixo
da superfície superior. Integre para achar a força
total para fora. Suponha que antes do tanque se
romper, a pressão sobre a superfície do melaço era
igual à pressão atmosférica fora do tanque.)
14.57 Uma barca aberta possui as
dimensões indicadas na Figura (4.37. Sabendo-se
que todas as partes da barca são feitas com placas de
aço de espessura igual a 4,0 cm, qual é a massa de
carvão que a barca pode suportar em água doce sem
afundar? Existe espaço suficiente na parte interna da
barca para manter esta quantidade de carvão? (A
densidade do carvão é aproximadamente iguala
1500 kg/m3.)
9
14.60 Um cubo de gelo de massa igual a
9,70 g flutua em um copo de 420 cm completamente
cheio de água. A tensão superficial da água e a
variação da densidade com a temperatura são
desprezíveis (quando ela permanece líquida),
(a) Qual é o volume de água deslocado pelo
cubo de gelo?
(b) Depois que o gelo se fundiu
complelamente, a água transborda? Em caso
afirmativo, calcule o volume da água que
transbordou. Em caso negativo, explique por que isto
ocorre,
(c) Suponha que a água do copo seja água
salgada com densidade igual a 1050 kg/m3, qual seria
o volume da água salgada deslocado pelo cubo de
gelo de 9,70 g?
(d) Refaça o item (b) para o caso de um cubo
de gelo de água doce flutuando em água salgada.
14.61 Um bloco de madeira possui
comprimento de 0,600 m, largura de 0,250 m,
espessura de 0,080 m e densidade de 600 kg/m3. Qual
deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado
embaixo do bloco de madeira para que ele possa
flutuar em água calma de modo que o seu topo esteja
alinhado com a superfície da água? Qual é a massa
deste volume de chumbo?
14.62 Um densímetro é constituído por um
bulbo esférico e uma haste cilíndrica cuja seção reta
possuí área igual a 0,400 cm
(Figura 14.9a). O volume total do bulbo com a haste é
igual a 13,2 cm'. Quando imerso em água, o
densímetro flutua mantendo a haste a uma altura de
8,00 cm acima da superfície da água. Quando imerso
em um fluido orgânico, a haste fica a uma altura de
3,20 cm acima da superfície. Ache a densidade do
fluido orgânico. (Observação: Este problema ilustra a
precisão deste tipo de densímetro. Uma diferença de
densidade relativamente pequena produz uma
diferença grande na leitura da escala do
densímetro).
14.58 Um balão com ar quente possui
volume igual a 2200 m3. O tecido (envoltório) do
balão pesa 900 N. A cesta com os equipamentos e o
tanque cheio de propano pesa 1700 N. Se o balão
pode suportar no limite um peso máximo igual a
3200 N, incluindo passageiros, alimentos e bebidas,
14.63 As densidades do ar, do hélio e do
sabendo-se que a densidade do ar externo é de l ,23 hidrogênio
kg/m', qual é a densidade média dos gases quentes (para p = l,0atm e T= 293 K) são 1,20 kg/m3,0,166
no interior do balão?
kg/m3 e 0,0899 kg/m , respectivamente,
(a) Qual é o volume em metros cúbicos
deslocado por um aeróstato cheio de hidrogênio sobre
14.59 A propaganda de um certo carro
o qual atua uma força de "sustentação" total igual a
afirma que ele flutua na água.
(a) Sabendo-se que a massa do carro é igual 120 kN? (A "sustentação" é a diferença entre a força
900 kg e seu volume interno é de 3,0 m', qual é a de empuxo e o peso do gás que enche o aeróstato.)
(b) Qual seria a "sustentação" se o hélio
fração do carro que fica submersa quando ele flutua?
fosse usado no lugar do hidrogênio? Tendo em vista
Despreze o volume do aço e de outros materiais,
(b) Através de uma passagem, a água sua resposta, explique por que o hélio é usado nos
penetra gradualmente deslocando o ar do interior do modernos dirigíveis usados em propagandas.
carro. Qual será a fração do carro que fica cheia
14.64 MHS de um objeto flutuando. Um
quando ele afunda?
objeto com altura h, massa M e área da seção reta A
flutua verticalmente em um líquido com densidadeρ.
9
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
10
(a) Qual é a densidade do líquido?
(a) Calcule a distância vertical entre a
(b) Qual será a leitura de cada balança
superfície do líquido e a parte inferior do objeto na
quando o bloco A for retirado do líquido?
posição de equilíbrio,
(b) Uma força de módulo F é aplicada de
cima para
baixo sobre o topo do objeto. Em sua posição de
equilíbrio, qual é a diferença entre a nova distância
vertical entre a superfície do líquido e a parte
inferior do objeto e a distância calculada no item
(a)? (Suponha que uma pequena parte do objeto
permaneça sobre a superfície do líquido.)
(c) Sua resposta da parte (b) mostra que se
a força for repentinamente removida- o objeto
deverá oscilar para cima e para baixo executando
um MHS. Obtenha o período deste movimento em
função da densidade p do líquido, da massa M e da
área da seção reta A do objeto. Despreze o
amortecimento
provocado pelo atrito do líquido (Seção 13.8).
14.65 Uma baliza cilíndrica de 950 kg
flutua verticalmente na água do mar. O diâmetro da
baliza é igual a 0,900 m.
(a) Calcule a distância vertical adicional
que a baliza deverá afundar quando um homem de
70,0 kg ficar em pé sobre ela. (Use a expressão
deduzida na parte (b) do Problema 14.64.)
(b) Calcule o período do MHS resultante
quando o homem pular para fora da baliza.(Use a
expressão deduzida na parTe (c) do Problema 14.64
e, como nesse problema, despreze o amortecimento
provocado pelo atrito
do líquido.)
14.66 Na água do mar um salva-vidas com
volume igual a 0,0400 m3 pode suportar o peso de
uma pessoa com massa igual a 75,0 kg (com
densidade média igual a 980 kg/m3) mantendo 20%
do volume da pessoa acima da água quando o salvavidas está completamente submerso. Qual é a
densidade média do material que compõe o salvavidas?
14.67 Um bloco de madeira leve está sobre
um dos pratos de uma balança de braços iguais
sendo exatamente equilibrado pela massa de 0,0950
kg de um bloco de latão no outro prato da balança.
Calcule a massa do bloco de madeira leve se a sua
densidade for igual a 150 kg/m3. Explique por que
podemos desprezar o empuxo sobre o bloco de latão,
mas não o empuxo do ar sobre o bloco de madeira
leve.
14.69 Uma barra de alumínio é
completamente recoberta por uma camada de ouro
formando um lingote com peso igual a 45,0 N.
Quando você suspende o lingote em uma balança de
mola e a seguir o mergulha na água, a leitura da
balança indica 39,0 N. Qual é o peso do ouro na
camada?
14.70 Uma bola solta cheia de hélio
flutuando no interior de um carro com janelas e
ventoinhas fechadas se move no sentido da aceleração
do carro, porem uma bola frouxa com pouco ar em
seu interior se move em sentido contrário ao da
aceleração do carro.
Para explicar a razão deste efeito, considere
somente as forças horizontais que atuam sobre a bola.
Seja a o módulo da aceleração do carro. Considere
um tubo de ar horizontal cuja seção reta possui área A
com origem no pára-brisa, onde x = 0 e p = p0 e se
orienta para trás. Agora considere um elemento de
volume de espessura dx ao longo deste tubo. A
pressão em sua parte frontal é p e a pressão em sua
parte traseira é p + dp. Suponha que o ar possua uma
densidade constante p.
(a) Aplique a segunda lei de Newton ao
elemento de volume e mostre que dp = pa dx.
(b) Integre o resultado da parte (a) para achar
a pressão na superfície frontal em termos de a e de x.
(c) Para mostrar que considerar p constante é
razoável, calcule a diferença de pressão em atm para
uma grande distância de 2,5 m e para uma elevada
aceleração de 5,0 m/s2,
(d) Mostre que a força horizontal resultante
sobre um balão de volume Vê igual ρVa.
(e) Para forças de atrito desprezíveis, mostre
que a aceleração da bola (densidade média ) é dada
por ( )a, de modo que a aceleração relativa é dada
14.68 O bloco A da Figura 14.38 está
suspenso por uma corda a uma balança de mola D e
está submerso em um líquido C contido em um
recipiente cilíndrico B. A massa do recipiente é igual
a l ,00 kg; a massa do líquido é l ,80 kg. A leitura da
balança D indica 3,50 kg e a balança E indica 7,50 por:
kg. O volume do bloco A é igual a 3,80.10-3 m3.
10
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
11
(f) Use a expressão da a obtida na parte (e)
(b) Qual é a pressão manométrica na face
para explicar o sentido do movimento das bolas.
inferior do bloco?
14.71 O peso da coroa de um rei é w.
Quando suspensa por uma corda leve e totalmente
imersa na água, a tensão na corda (o peso aparente
da coroa) é igual fw.
(a) Mostre que a densidade relativa da
. Discuta o significado
coroa é dada por
dos limites quando f = 0 e f = l.
(b) Se a coroa for um sólido de ouro e pesar
12,9 N no ar, qual será o seu peso aparente quando
estiver totalmente imersa na água?
(c) Repita a parte (b) se a coroa for um
sólido de chumbo com uma camada muito fina de
ouro, porém com peso ainda igual a 12,9 N no ar.
14.72 Uma peça de aço possui peso w, um
peso aparente (ver o Problema 14.71) w quando está
totalmente imersa na água e um peso aparente wfluido
quando está totalmente imersa em um fluido
desconhecido,
(a) Mostre que a densidade relativa do
fluido é dada por
(b) Este resultado é razoável para os três
casos wfluido maior, menor ou igual a wágua?
(c) O peso aparente da peça de aço em água
com densidade 1000 kg/m3 é 87,2% do seu peso.
Qual é a porcentagem do seu peso para o peso
aparente do corpo mergulhado em ácido fórmico
(densidade 1220 kg/m3)?
14.75 Lançando uma âncora. Uma âncora
de ferro com massa igual a 35,0 kg e densidade igual
a 7860 kg/m3 está sobre o convés de uma barca
pequena que possui lados verticais e está flutuando
sobre um rio de água doce. A área da parte inferior da
barca é igual a 8,00 m3. A âncora é lançada pela parte
lateral da barca e afunda sem tocar o fundo do rio
sendo sustentada por uma corda de massa desprezível.
Quando a âncora fica suspensa lateralmente e depois
de a barca parar de oscilar, a barca afundou ou subiu
na água? Qual o valor da distância vertical que ela
afundou ou subiu?
14.76 Suponha que o petróleo de um
superpetroleiro possua densidade igual a 750 kg/m3.
O navio fica encalhado em um banco de areia. Para
fazer o navio flutuar novamente sua carga é
bombeada para fora e armazenada em barris, cada um
deles com massa igual a 15,0 kg quando vazio e com
capacidade para armazenar 0,120 m de petróleo.
Despreze o volume ocupado pelo aço do barril,
(a) Se um trabalhador que está transportando
os barris acidentalmente deixa um barril cheio e
selado cair pelo lado do navio, o barril flutuará ou
afundará na água do mar?
(b) Se o barril flutua, qual é a fração de seu
volume que fica acima da superfície da água? Se ele
afunda, qual deveria ser a tensão mínima na corda
necessária para rebocar o barril para cima a partir do
fundo do mar?
(c) Repita as partes (a) e (b) supondo que o
petróleo possua densidade igual a 910 kg/m3 e que a
massa de cada barril vazio seja igual a 32,0 kg.
14.73 Você funde e molda uma certa
em uma
quantidade de metal com densidade
forma, porém deve tomar cuidado para que não se
formem cavidades no interior do material fundido.
e
14.77 Um bloco cúbico com densidade
Você mede um peso w para o material fundido e
uma
aresta
com
comprimento
L
flutua
sobre
um
uma força de empuxo igual a B.
líquido de densidade maior .
(a) Mostre que
(a) Que fração do volume do bloco fica
acima da superfície do líquido?
(b) O líquido é mais denso do que a água
é o volume total das eventuais cavidades
) e não se mistura com ela.
(densidade
igual a
formadas no interior do material fundido.
Derramando-se
água
sobre
a superfície do líquido,
(b) Se o metal for o cobre, o peso w do
qual
deve
ser
a
camada
da
água
para que a superfície
material fundido for igual a 156 N e a força de
livre
da
água
coincida
com
a
superfície
superior do
empuxo for igual a 20 N, qual é o volume total das
e
bloco?
Expresse
a
resposta
em
termos
de
L, ,
cavidades formadas no interior do material fundido?
.
A que fração do volume do material este volume
(c) Calcule a profundidade da camada de
corresponde?
água da parte (b) se o liquido for mercúrio e o bloco
14.74 Um bloco cúbico de madeira com for de aço com aresta de 10,0 cm.
aresta de 0,100 m de densidade igual a 550 kg/m3
flutua em um recipiente com água. Óleo com
densidade igual a 750 kg/m3 é derramado sobre água
até que a camada de óleo fique 0,035 m abaixo do
topo do bloco.
(a) Qual é a profundidade da camada de
óleo?
14-78 Uma barca está em uma eclusa
retangular de um rio de água doce. A eclusa possui
comprimento igual a 60,0 m e largura igual a 20,0 m
e as comportas de aço das duas extremidades estão
fechadas. Quando a barca está flutuando na eclusa,
uma carga de 2.5.106 N de sucata de metal é colocada
11
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
12
na barca. O metal possui densidade igual a 9000
kg/m3,
(a) Depois que a carga de sucata de metal,
(Esta técnica é usada para fabricar espelhos
que estava inicialmente nas margens da eclusa, é parabólicos para telescópios; o vidro líquido gira e
colocada na barca, de quanto se eleva verticalmente depois é solidificado enquanto está girando.)
o nível da água da eclusa?
(b) A sucata de metal é agora despejada na
água da eclusa pela parte lateral da barca. O nível da
água da eclusa sobe, desce ou permanece inalterado?
Caso ele suba ou desça, de quanto varia
verticalmente o nível da água da eclusa?
14.79 Um tubo em forma de U que
contém um líquido possui uma seção horizontal
de comprimento igual a l (Figura 14.39). Calcule
a diferença de altura entre as duas colunas de
líquido nos ramos verticais quando
(a) o tubo se desloca com uma
aceleração a para a direita:
(b) o tubo gira em torno de um dos ramos
verticais com uma velocidade angular .
(c) Explique por que a diferença de altura
não depende da densidade do líquido nem da área da
seção reta do tubo. A resposta seria a mesma se os
tubos verticais tivessem áreas das seções retas
diferentes? A resposta seria a mesma se a parte
horizontal do tubo fosse afunilada diminuindo sua
seção reta de uma extremidade até a outra?
Explique.
12
14.81 Um fluido incompressível com
densidade p está em um tubo de teste horizontal com
área da seção reta interna A. O tubo de teste gira com
velocidade angular em uma ultracentrífugadora. As
forças gravÍtacionais são desprezíveis. Considere um
elemento de volume do fluido de área A e espessura
dr' situado a uma distância r' do eixo de rotação. A
pressão na superfície interna é p e a pressão na
superfície externa é p + dp.
(a) Aplique a segunda lei de Newton ao
elemento de volume para mostrar que
(b) Se a superfície do fluido está em um raio
r0 onde a pressão é p0, mostre que a pressão p a uma
é dada por:
distância
(c) Um objeto de volume V e densidade
possui o centro de massa a uma distância
do
eixo. Mostre que a força resultante horizontal sobre o
objeto é dada por
14.80 Um recipiente cilíndrico que contém
um liquido
incompressível gira com velocidade angular
constante em tomo de seu eixo de simetria, o qual
vamos considerar como o eixo Ou (Figura 14.40).
(a) Mostre que a pressão a uma dada altura
no interior do líquido cresce com a distância radial r
(para fora do eixo de rotação) de acordo com
(b) Integre esta equação diferencial parcial
para achar a pressão em função da distância ao eixo
de rotação ao longo de uma linha horizontal para y =
0.
(c) Combine a resposta da parte (b) com a
Equação (14.5) para mostrar que a superfície do
líquido que gira possui uma forma parabólica, ou
seja, a altura do liquido é dada por
, onde Rcm é a distância entre o eixo e o
centro de massa do fluido deslocado,
(d) Explique por que o objeto se move para o
centro quando
para fora do centro quando
.
(e) Para pequenos objetos com densidade
. O que ocorre para uma
uniforme,
mistura de pequenos objetos deste tipo com
densidades diferentes em uma ultracentrifugadora?
14.82 Qual é o raio de uma gota d'água para
que a diferença entre a pressão interna e a pressão
externa da gota seja igual a 0.0250 atm? Considere
T= 293 K,
14.83 Um bloco cúbico de madeira com
aresta de 0.30 m é fabricado de modo que seu centro
de gravidade fique na posição indicada na Figura
14.41a. flutuando na água com a metade de seu
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
volume submerso. Se o bloco for "tombado" de um
ângulo de 450 como indicado na Figura 14.41.
Calcule o torque resultante em torno de um eixo
horizontal perpendicular ao bloco e passando pelo
centro geométrico do bloco.
13
(b) a pressão manométrica no ponto 2.
13
14.84 A água de um grande tanque aberto
com paredes verticais possui uma profundidade H
(Figura 14.42). Um orifício é feito na parede vertical
a uma profundidade h abaixo da superfície da água.
(a) Qual é a distância R entre a base do
tanque e o ponto onde a corrente atinge o solo?
(b) A que distância acima da base do
tanque devemos fazer um segundo furo para que a
corrente que emerge dele tenha um alcance igual ao
do primeiro furo?
14.85 Um balde cilíndrico, aberto na parte
superior, possui diâmetro de 10.0 cm e altura igual a
25.0 cm. Um orifício circular com área da seção reta
igual a
l.50 cm2 é feito no centro da base do
balde. A partir de um tubo sobre a parte superior, a
água flui para dentro do balde com uma taxa igual a
2.40.10-4m3/s. Até que altura a água subirá no tubo?
14.86 A água flui continuamente de um
tanque aberto, como indicado na Figura 14.43. A
altura do ponto l é igual a 10.0 m e os pontos 2 e 3
estão a uma altura igual a 2.00 m. A área da seção
reta no ponto 2 é igual a 0.0480 m2 ; no ponto 3 ela é
igual a 0.0160 m2 . A área do tanque é muito maior
do que a área da seção reta do tubo. Supondo que a
equação de Bemoulii seja válida, calcule:
(a) a vazão volumétrica em metros cúbicos
por segundo:
14.87 O projeto de um avião moderno exige
uma sustentação oriunda do ar que se move sobre as
asas aproximadamente igual a 200N por metro
quadrado.
14.88 O furacão Emily ocorrido em 1993
possuía um raio aproximadamente igual a 350 km. A
velocidade do vento nas vizinhanças do centro (o
"olho") do furacão, com raio de 30 km atingiu 200
km/h. À medida que o ar forma redemoinhos em
direção ao olho. o momento angular permanece
praticamente constante,
(a) Estime a velocidade do vento na periferia
do furacão.
(b) Estime a diferença de pressão na
superfície terrestre entre o olho e a periferia do
furacão. (Sugestão: Ver a Tabela 14.1). Onde a
pressão é maior?
(c) Se a energia cinética do ar que forma
redemoinhos no olho pudesse ser convertida
completamente em energia potencial gravitacional,
até que altura o ar se elevaria?
(d) Na realidade o ar se eleva até altitudes de
diversos quilômetros. Como você concilia este fato
com sua resposta do item (c)?
14.89 Dois tanques abertos muito grandes A
e F (Figura 14.44) contêm o mesmo líquido. Um tubo
horizontal BCD, possuindo uma constrição C e aberto
ao ar no ponto D leva o líquido para fora na base do
tanque A, e um tubo vertical E se liga com a
constrição C e goteja o líquido para o tanque F.
Suponha um escoamento com linhas de corrente e
despreze a viscosidade. Sabendo que a área da seção
reta da constrição C é a metade da área em D e que D
está a uma distância h1 abaixo do nível do líquido no
tanque A. até que altura h2 o líquido subirá no tubo E?
Expresse sua resposta em termos de h1.
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
14
14.92 (a) Com que velocidade uma esfera de
latão com raio de 2.50 mm cai em um tanque de
glicerina no instante em que sua aceleração é a
metade da aceleração de um corpo em queda livre? A
viscosidade da glicerina é igual a 8.30 poises,
(b) Qual é a velocidade terminal da esfera?
14.90 O tubo horizontal indicado na Figura
14.45 possui seção reta com área igual a 40,0 cm2
em sua parte mais larga e 10.0 cm2 em sua
constrição. A água flui no tubo e a vazão
volumétrica é igual a 6.00.10-3 m3/s (6.00 L/s).
Calcule (a) a velocidade do escoamento na parte
mais larga e na constrição;
(b) a diferença de pressão entre estas duas
partes:
(c) a diferença de altura entre os dois níveis
do mercúrio existente no tubo em U.
14.91 A Figura 14.27a mostra um líquido
se escoando de um tubo vertical. Note que a corrente
de líquido vertical possui uma forma definida depois
que ela sai do tubo. Para obter a equação para esta
forma, suponha que o líquido esteja em queda livre
quando ele sai do tubo. No exato momento em que
ele sai do tubo, o líquido possui velocidade v0 e o
raio da corrente é r0.
(a) Obtenha uma expressão para a
velocidade do líquido em função da distância y que
ele caiu. Combinando esta relação com a equação da
continuidade, ache uma expressão para o raio da
corrente em função de y.
(b) Se a água escoa de um tubo vertical
com velocidade de l.20 m/s, a que distância da saída
do tubo o raio será igual à metade do seu valor na
corrente original?
14.93 Velocidade de uma bolha em um
líquido,
(a) Com que velocidade terminal uma bolha
de ar com diâmetro de 2.00 mm sobe em um líquido
cuja viscosidade é igual a l.50 poise e densidade igual
a 900 kg/m3? (Suponha que a densidade do ar seja
igual a l.20 kg/m3 e que o diâmetro da bolha
permanece constante.)
(b) Qual é a velocidade terminal da mesma
bolha, na água a 200C que possui uma viscosidade
igual a l.005 centipoise?
14.94 Um óleo com viscosidade igual a 3,00
poises e densidade igual a 860 kg/m3 deve ser
bombeado de um grande tanque aberto para outro
através de um tubo liso de aço horizontal de
comprimento igual a l,50 km e diâmetro de 0.110 m.
A descarga do fubo ocorre no ar. a) Qual é a pressão
manométrica exercida pela bomba, em pascais e
atmosferas, para manter uma vazão volumétrica igual
a 0,0600 m7s? h) Explique por que o consumo de
potência da bomba é igual ao produto da vazão
volumétrica pela pressão manométrica exercida pela
bomba. Qual é o valor numérico da potência?
14.95 O tanque do lado esquerdo da Figura
14.46a está aberto para a atmosfera e a seção reta
possui área muito elevada. A profundidade é y =
0.600 m. As áreas das seções retas dos tubos
horizontais que saem do tanque são l.00 cm2, 0.40
cm2 e 0.20 cm2, respectivamente. O líquido é ideal,
logo sua viscosidade é igual a zero.
(a) Qual é a vazão volumétrica para fora do
tanque?
(b) Qual é a velocidade em cada seção do
tubo horizontal?
(c) Qual é a altura atingida pelo líquido em
cada um dos cinco tubos verticais do lado direito?
(d) Suponha que o líquido da Figura 14.46b
possua viscosidade igual a 0.0600 poise, densidade
igual a 800 kg/m3 e que a profundidade do líquido no
tanque grande seja tal que a vazão volumétrica do
escoamento seja a mesma que a obtida na parte (a). A
distância entre os tubos laterais entre c e d e a
distância entre e e f são iguais a 0.200 m. As áreas das
respectivas seções retas dos dois diagramas são
iguais. Qual é a diferença de altura entre os níveis dos
topos das colunas de líquido nos tubos verticais em c
e d?
(e) E para os tubos em e e f?
14
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
15
(f) Qual é a velocidade do escoamento ao
longo das diversas partes do tubo horizontal?
14.98 Um tanque grande de diâmetro D está
aberto para a atmosfera e contém água até uma altura
H. Um pequeno orifício com diâmetro d (d << D) é
praticado na base do tanque.
Desprezando qualquer efeito de viscosidade,
encontre o tempo necessário para drenar
completamente o tanque.
PROBLEMAS DESAFIADORES
14.96 Uma pedra com massa m = 3,00 kg é
suspensa do teto de um elevador por meio de uma
corda leve. A pedra está totalmente imersa na água
de um balde apoiado no piso do elevador, porém a
pedra não toca nem o fundo nem as paredes do
balde,
(a) Quando o elevador está em repouso, a
tensão na corda é igual a 21,0 N. Calcule o volume
da pedra,
(b) Deduza uma expressão para a tensão na
corda quando o elevador está subindo com uma
aceleração constante a. Calcule a tensão na corda
quando a = 2.50 m/s2 de baixo para cima.
(c) Deduza uma expressão para a tensão na
corda quando o elevador está descendo com uma
aceleração constante a. Calcule a tensão na corda
quando a = 2,50 m/s2 de cima para baixo,
(d) Qual é a tensão na corda quando o
elevador está em queda livre com uma aceleração de
cima para baixo igual a g?
14.99 Um sifão, indicado na figura, é um
dispositivo conveniente para remover o líquido de um
recipiente. Para realizar o escoamento, devemos
encher completamente o tubo com o líquido. Suponha
que o líquido possua densidade ρ e que a pressão
atmosférica seja pa. Suponha que a seção reta do tubo
seja a mesma em todas as suas partes.
(a) Se a extremidade inferior do sifão está a
uma distância h abaixo da superfície do líquido no
recipiente, qual é a velocidade do líquido quando ele
flui para fora da extremidade do sifão? (Suponha que
o recipiente possua um diâmetro muito grande e
despreze qualquer efeito da viscosidade.
(b) Uma característica curiosa de um sifão é
o que o liquido inicialmente flui para cima. Qual é a
altura máxima H que pode ser atingida pelo líquido
no ponto mais elevado do tubo para que o escoamento
ainda ocorra?
14.97 Suponha que um bloco de isopor,
com ρ = 180 kg/m3, seja mantido totalmente imerso
na água (Figura 14.47).
(a) Qual é a tensão na corda? Faça o
cálculo usando o princípio de Arquimedes.
(b) Use a fórmula p = p0 + ρgh para
calcular diretamente a força exercida pela água
sobre as duas faces e sobre a base do isopor; a seguir
mostre que a soma vetorial destas forças é a força de
empuxo.
14.100 – O trecho a seguir foi citado em uma
carta: É uma prática dos carpinteiros da região, para
nivelar as fundações de edifícios relativamente
longos, usar uma mangueira de jardim cheia de água
tendo em suas extremidades dois tubos de vidro com
comprimentos da ordem de 25 a 30 cm. A teoria é que
a água, procurando manter o mesmo nível, atinge a
15
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
16
mesma altura nos dois tubos servindo de referência
para o nivelamento. Agora surge a dúvida para o
que ocorre quando existe uma bolha no interior da
mangueira. Nossos velhos profissionais afirmam
que o ar não afeta a leitura da altura de uma
extremidade para outra. Outros alegam que a bolha
pode causar importantes imprecisões. Você é capaz
de dar uma resposta relativamente simples para esta
pergunta, juntamente com uma explicação?
A figura 14.49 mostra um esquema para
ilustrar a situação que causou a controvérsia.
16
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(2.00 m2) = 1.79 x 105 N.
Gabarito
ρ=
17
14-1: 41,8N, não.
14-13: 4,14m
14-2:
14-14:
m
m
(7.35 x10 22 kg )
=
=
= 3.33 x103 kg / m 3 .
V 4 πr 3 4 π (1.74x10 6 m)3
3
3
ρ=
ρ = 1.66 x 105 Pa = 1.64 atm.
14-3:7,03.103 kg/m3; sim.
14-15: 0,562m2
O comprimento L de uma aresta do
14-4:
14-16: A força de empuxo é:
B = 17.50 N - 11.20 N = 6.30 N, logo
cubo é
1
3
1
3
F
mg
(1200 kg )(9.80 m / s 2 )
=
=
2
π (0.15 m ) 2
A π ( d / 2)
1
⎞
⎛m⎞ ⎛
40 kg
⎟ =12.3 cm.
L =V 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
3
3 ⎟
⎝ ρ ⎠ ⎝ 21.4 x10 kg / m ⎠
14-5: (a) 706 Pa (b) 3160 Pa.
V=
B
(6.30 N )
=
ρáguag (1.00 x103 kg / m3 )(9.80m / s 2 )
= 6.43 x10−4 m3.
A densidade é dada por
ρ=
m
ω/g
ω
=
= ρ água
V B / ρ água g
B
Peso em cada pneu:
⎛ 17.50 ⎞
3
3
ρ =(1.00 x103 kg / m3 ) ⎜
16.5
⎟ = 2.78 x10 kg / m .
Pporpneu =
kN
⎝ 6.30 ⎠
4
14-17:
Pressão absoluta em cada pneu:
(a) ρ < ρfluido
(c) submerso ρ / ρfluido:acima
pabs = pm + patm = 205 + 101,3 = 306,3kPa
(ρfluido- ρ)/ρfluido
Área em cada pneu:
(d) 32%
Pporpneu
p porpneu =
14-18:
A
(a) B = ρáguagV = (1.00 x 103
3
Pporpneu 16.5 4
kg/m )(9.80 m/s2)(0.650 m3) = 6370 N.
A=
=
= 0, 01348m 2
pabs
306,3
(b)
Área total:
ω B − T 6370 N − 900 N
m= =
=
= 558 kg .
At = 4A = 4 ⋅ 0,01348m2 = 0,05386m2 = 538,6cm2
g
g
9.80 m / s 2
14-6:
(a)
(b) Com o peso extra, a repetição do
cálculo anterior fornece 836 cm2.
(c) (Ver o Exercício 14-17.)
Se o volume submerso é V′,
14-7: (a) 2,52.106Pa (b) 1,78.105Pa
14-8: ρ = ρgh =
(1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)(640 m) =
6.27 x 106 Pa = 61.9 atm.
14-9:
(a) 1,07.105Pa (b) 1,03.105Pa
(c) 1,03.105Pa (d) 5,33.103Pa
14-10:
ρgh = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)(6.1 m)
=
= 6.0 x 104 Pa.
14-11: 2,3.105Pa
14-12: 130 x 103 Pa + (1.00 x 103
kg/m )(3.71 m/s2)(14.2 m) – 93 x 103 Pa
3
14-19:
(a) 116 Pa (b) 921 Pa
(c) 0,822 kg , 822 kg/m3
14-20:
(a) Desprezando a densidade do ar,
m ω/ g ω
=
V= =
ρ ρ gρ
(89 N)
V=
=3.3610−3 m3
(9.80m / s2 )(2.7 x103 kg / m3 )
ou seja 3.4.10-3 m3 com dois algarismos
significativos.
(b) T = ω - B = ω - gρáguaV = ω
17
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⎛
ρ água ⎞⎟
⎜
⎛ 1.00 ⎞
⎟ = (89 N ) ⎜1 − 2.7 ⎟ = 56.0 N .
⎜1 − ρ
⎝
⎠
⎟
⎜
alumínio
⎠
⎝
ρg =
significativo foi mantido nos cálculos intermediários.
14-31:
14-32:
14-21: 6,67Pa
14-22:
Usando a Eq. (14-13),
2γ
, e γ = 72.8 x 10 −3 N / m obtemos
R
(a) 146 Pa,
(b) 1.46 x 104 Pa (note que este resultado
é 100 vezes maior do que a resposta do item (a)).
14-23: 0.1 N; 0.01 kg
14-24:
A análise que conduziu à
Eq. (14-13) é válida para os poros;
Usando v2 =
2γ 4γ
= = 2.9 x 107 Pa.
R D
14-25:
14-33: 500 N de cima para baixo
14-34:
( 220 )(0.355 kg )
= 1.30 kg / s.
60.0 s
(b)A densidade do líquido é
0.355 kg
= 1000 kg / m 3
−3
3
0.355 x 10 m
14-26:
v2 = v1
A1
A2
(3.50 m / s)(0.0700 m2 ) 0.245 m3 / s
=
A2
A2
(a)
(i)
(ii)
1
v1 na Eq. (14-21),
4
1
p2 = p1 + ρ ( v12 − v22 ) + ρ g ( y1 − y2 )
2
⎡⎛ 15 ⎞
⎤
p2 = p1 + ρ ⎢⎜ ⎟ v12 + g ( y1 − y2 ) ⎥
⎣⎝ 32 ⎠
⎦
⎞
4
3 ⎛ 15
2
p = 5.00 x 10 Pa + (1.00 x 10 ) ⎜ (3.00) + (9.80 )(11.0 ) ⎟
⎝ 32
⎠
p = 1.62 Pa
(a)
v2 =
18
A2 = 0.1050 m2, v2 = 2.33 m/s.
A2 = 0.047 m2, v2 = 5.21 m/s.
(b)
v1A1t = v2A2t = (0.245 m3/s)(3600 s)
= 882.
14-27: (a) 17.0 m/s (b) 0.317m.
14-28:
(a) Pela equação que precede a Eq.
(14-14), dividido pelo intervalo de tempo dt
obtemos a Eq. (14-16).
(b) A vazão volumétrica diminui de
1.50%.
14-29: 28.4 m/s
14-30:
(a) Pela Eq. (14-22),
e portanto a vazão volumétrica é
1.30 kg / s
= 1.30 x 10 −3 m 3 / s = 1.30 L / s.
3
1000 kg / m
Este resultado também pode ser obtido do
seguinte modo
( 220 )(0.355 L )
= 1.30 L / s.
60.0 s
(b)
1.30 x 10−3 m3 / s
v1 =
2.00 x 10−4 m 2
v1 = 6.50 m / s, v2 = v1 / 4 =1.63 m / s.
(d)
1
p1 = p2 + ρ ( v22 − v12 ) + ρ g ( y2 − y1 )
2
= 152 kPa + (1/ 2)(1000 )(9.80)(−1.35)
= 119 kPa.
14-35: 0.41cm
v = 2 gh = (14.0 m) =16.6 m / s.
14-36:
Pela Eq. (14-21), para y1 = y2,
(b) vA = (16.57 m/s)(π(0.30 x 10-2 m)2) =
4.69 x 10-4 m3/s. Note que mais um algarismo
1
p2 = p1 + ρ ( v12 − v22 )
2
18
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
v2 ⎞
1 ⎛
3
p2 = p1 + ρ ⎜ v12 − 1 ⎟ = p1 + ρ v12
2 ⎝
4⎠
8
3
= 1.80 x 104 Pa + (1.00 x 103 kg/m3)(2.50 m/s)2 =
8
⎛ ρ ⎞
mg ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟.
ρ2 ⎠
η= ⎝
6πrv
O raio é obtido de
= 2.03 x 104 Pa,
onde usamos a equação da continuidade v 2 =
19
v1
.
2
V=
14-37: (a) 1.88 m/s (b) 0
m
4
= πr 3 ,
ρc 3
donde obtemos r = 2.134 x 10-3 m. Substituindo os
14-38:
No centro, r = 0 na Eq. (14-25), e valores2 numéricos na relação precedente η = 1.13
N⋅s/m , aproximadamente igual a 11 com dois
explicitando p1 – p2 = ∆p, obtemos
algarismos significativos.
4η Lvmax
R2
4(1.005 x 10−3 N ⋅ s / m 2 )(3.00 m)(0.200 m / s )
=
(0.85 x 10−2 m)2
p = 33.4 Pa
∆p =
14-39: (a) 0.128 m3/s (b) 9.72.104 Pa
(c) 0.275 m3/s
14-40:
(a) Explicitando na Eq. (14-26) a
pressão manométrica ∆p = p1 - p2,
∆p =
8η L(dV / dt )
π R4
14-43:
(a) 16x maior
(b) ½ do valor inicial.
(c) dobra seu valor.
(d) dobra seu valor.
(e) se reduz a ½ de seu valor inicial.
14-44:
Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes, obtemos:
6π(181 x 10-7 N⋅s/m2)(0.124 m/s)
= 2.12.10-4 N
logo o peso é igual a 5.88 N; a razão é igual a:
3.60.10-5.
14-45:
(a) 19.4 m/s, 0, 14.6 m/s.
(b)152d
(c) in (a), 4; in (b), 1/16.
8(1.0 x 10−3 )(0.20 x 10−3 )(0.25 x 10−6 ) / (15 x 60)
π (5 x 10−6 )4
∆p = 2.3 x 105 Pa = 2.2 atm.
Esta é a diferença de pressão abaixo da
atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a
pressão manométrica é negativa. A diferença de
pressão é proporcional ao inverso da quarta potência
do diâmetro, portanto a maior contribuição para esta
diferença de pressão é devida à menor seção reta da
boca do inseto.
portanto
14-46:
(a)
A área da seção reta da esfera é
F = ( p0 − p)π
π
D2
,
4
D2
.
4
14-41: 5.96 mm/s
14-42: Da equação
terminal, Eq. (14-27), obtemos
da
(b) A força em cada hemisfério produzida
velocidade pela pressão da atmosfera é
π(5.00 x 10-2 m)2 (1.013) x 105
Pa)(0.975) = 776 N.
⎛ ρ ⎞
6πη rvt = mg − B = mg ⎜1 − 1 ⎟
⎝ ρ2 ⎠
onde ρ1é a densidade do líquido e ρ2é a densidade
do latão. Explicitando a viscosidade obtemos
14-47: (a) 1.1.108Pa (b) 1080 kg/m3, 5%.
14-48:
(a) O peso da água é
ρgV = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)((5.00
m)(4.0 m)(3.0 m))=5.88x105 N,
ou seja, 5.9 x 105 N com dois algarismos
significativos.
19
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(b) A integração fornece o resultado
esperado: se a pressão fosse uniforme, a força seria
igual ao produto da pressão no ponto médio pela
área, ou seja,
20
14-53: (a) 12.7 kg/m3 (b) 3140 kg/m3
14-54:
(a) A Equação (14-4), com o raio r em vez
da altura y, pode ser escrita na forma
dp = -ρg dr = -ρgs(r/R) dr.
d
2
3
F = (1.00 x 10 )(9.80)((4.0)(3.0))(1.50)
Esta forma mostra que a pressão diminui
com o aumento do raio. Integrando, com:
5
F =1.76 ⋅10 N
p = 0 em r = R, obtemos
F = ρ gA
ou 1.8 x 105 N com dois algarismos
significativos.
14-49: 2.61.104 N.m
p=−
ρg s
R
∫
4
R
r dr =
ρg s
2R
( R 2 − r 2 ).
(b) Usando a relação anterior com r = 0 e
M
3M
ρ= =
14-50:
V 4π R 3
(a) Ver o Problema 14-49; a força total é
Obtemos:
dada pela integral ∫dF desde h = 0 até h = H,
obtemos
3(5.97 x 1024 kg )(9.80 m / s 2 )
P(0) =
F = ρgω H2/2 = ρgAH/2, onde A = ωH.
8π (6.38 x 106 m) 2
(b) O torque sobre um faixa vertical de
largura dh em relação à base é
P(0) = 1.71⋅1011 Pa.
dr = dF(H – h) = ρgωh(H – h)dh,
e integrando desde h = 0 até h = H, obtemos
(c) Embora a ordem de grandeza seja a
τ = ρgAH2/6.
mesma, o resultado não concorda bem com o valor
estimado. Em modelos com densidades mais realistas
(c) A força depende da largura e do (ver o Problema 14-53 ou o Problema 9-85), a
quadrado da profundidade e o torque em relação à concentração da massa para raios menores conduz a
base depende da largura e do cubo da profundidade; uma pressão mais elevada.
a área da superfície do lago não influi em nenhum
dos dois resultados (considerando a mesma largura).
14-55: (a) 1470 kg/m3 (b) 13.9 cm
14-56: Seguindo a sugestão:
14-51:
h
14-52: A barra cilíndrica possui massa
F=
( ρgy )(2πR ) dy = ρgπRh 2 ,
M, raio R, e comprimento L com uma densidade
0
proporcional à distância até uma das extremidades, onde R é o raio e h é a altura do tanque (o fato que 2R
ou seja, ρ = Cx2.
= h é mais ou menos acidental).Substituindo os
2
valores numéricos obtemos
(a) M = ∫ ρdV = ∫ Cx dV.
2
F = 5.07 x 108 N.
O elemento de volume é dado por dV = πR dx.
Logo a integral é dada por
14-57: 9.8.106 kg, sim.
L
2
2
M=
Cx π R dx.
0
14-58:
A diferença entre as
A Integração fornece
densidades deve fornecer o "empuxo" de 5800 N (ver
3
L
L
o Problema 14-63). A densidade média dos gases no
x2dx = CπR2 3 .
M = Cπ R2
balão é dada por
0
∫
∫
∫
Explicitando C, obtemos C = 3M/π R2L3.
(b) A densidade para a extremidade x = L
é dada por:
⎛ 3M ⎞ 2 ⎛ 3M ⎞
( L ) = ⎜ 2 ⎟.
2 3 ⎟
⎝ πR L ⎠
⎝ πR L ⎠
ρ = Cx2 = ⎜
(5800)
(9.80)(2200)
ρ ave = 0.96 kg / m3
ρ ave = 1.23 −
14-59: (a) 30% (b) 70%
O denominador é precisamente igual ao
14-60:
(a) O volume deslocado deve ser aquele
volume total V, logo ρ = 3M/V, ou três vezes a
densidade média, M/V. Logo a densidade média é que possui o mesmo peso e massa do
igual a um terço da densidade na extremidade x= L.
20
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
gelo,
9.70 g
= 9.70 cm 3 .
1.00 g / cm 3
21
ρgA(L + x) = Mg + F; usando o resultado da parte (a)
e explicitando x obtemos
x=
F
.
ρgA
(b) Não; quando fundido, a água
resultante terá o mesmo volume que o volume
(c) A “constante da mola,” ou seja, a
deslocado por 9.70 g do gelo fundido, e o nível da proporcionalidade entre o deslocamento x e a força
água permanecerá o mesmo.
aplicada F, é k = ρgA, e o período da of oscilação é
(c)
9.70 gm
= 9.24 cm 3
3
1.05 gm / cm
T = 2π
M
M
= 2π
.
k
ρgA
14-65: (a) 0.107m (b) 2.42s
(d) A água resultante do cubo de gelo
derretido ocupará um volume maior do que o da
água salgada deslocada e portanto um volume de
0.46 cm3 deve transbordar.
14-61: 4.66.10-4m3, 5.27 kg.
14-62: A fração f do volume que flutua
acima do líquido é dada por
f=1-
ρ
ρ fluid
,
onde ρ é a densidade média do densímetro (ver o
Problema 14-17 ou o Problema 14-59), que pode ser
escrita na forma ρ fluid = ρ
1
.
1− f
Logo, para dois fluidos que possuem frações de
flutuação f1 e f2, temos
ρ 2 = ρ1
1 − f1
.
1− f 2
Nesta forma é claro que um valor de f2 maior
corresponde a uma densidade maior; uma parte
maior do flutuador fica acima do fluido. Usando
f1 =
(8.00 cm)(0.400 cm 2 )
= 0.242
(13.2 cm3 )
(3.20 cm)(0.400 cm 2 )
f2 =
= 0.097
(13.2 cm3 )
obtemos ρ alcool = (0.839) ρ água = 839 kg / m3
14-66:
Para
economizar
cálculos
intermediários, considere a densidade, a massa e o
volume do salva-vidas como ρ0, m e v, e as mesmas
grandezas referentes à pessoa como ρ1, M e V. A
seguir, igualando a força de empuxo com o peso, e
cancelando o fator comum g, obtemos:
ρágua ((0.80)V + v) = ρ0v + ρ1V,
Eliminando V e m, achamos,
⎛
ρ 0 v + M = ρ água ⎜⎜ (0.80)
⎝
⎞
+ v ⎟⎟.
ρ1 ⎠
M
Explicitando ρ0, obtemos
1⎛
v⎝
⎞
⎞
+ v ⎟ − M ⎟⎟
ρ1 ⎠
⎝
⎠
ρ água ⎞
M⎛
= ρ água − ⎜ 1 − (0.80)
⎟
v ⎝
ρ1 ⎠
75.0 ⎛
1.03 x 103 ⎞
= 1.03 x 103 −
1
−
(8.80)
⎜
⎟
0.0400 ⎝
980 ⎠
= 732 kg / m3 .
⎛
ρ0 = ⎜⎜ ρ água ⎜ 1 − (0.80)
M
14-67: 0.0958N
14-68: A força de empuxo sobre a massa
A, dividida por g, deve ser igual a
7.50 kg – 1.00 kg – 1.80 kg = 4.70 kg
(ver o Exemplo 14-6), logo a massa do bloco é
4.70
g + 3.50 kg = 8.20 kg.
(a) A massa do líquido deslocado pelo
bloco é 4.70 kg, logo a densidade do líquido é
4.70 kg
= 1.24 x 10 3 kg / m 3 .
3.80 x 10 −3 m 3
14-63: (a) 1.1.104m3 (b)112kN
(b) A balança D fará a leitura da massa do
14-64:
bloco, 8.20 kg, como calculamos acima. A balança E
(a) O princípio de Arquimedes afirma fará a leitura da massa do recipiente mais a massa do
M
líquido, 2.80 kg.
.
que ρgLA = Mg, logo L =
ρA
(b) A força de empuxo é dada por:
14-69: 35.5N
21
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
14-70: (Note que aumentar x corresponde
a um deslocamento para a traseira do carro.)
(a) A massa de um elemento de volume
é:
ρ dV = ρ A dx
e a força resultante sobre este elemento é dirigida
para a frente e seu módulo é dado por:
(p + dp)A – pA = A dp.
Pela segunda lei de Newton,
A dp = (ρ A dx)a, ou seja, dp = ρ a dx.
(a) Como ρ é constante, e para p = p0
em x = 0, obtemos:
p = p0 + ρ ax.
(b) Usando ρ = 1.2 kg/m3 no resultado
da parte (a) obtemos
(1.2 kg/m3)(5.0 m/s2)(2.5 m) = 15.0 Pa
~15 x 10-5patm,
portanto a variação percentual da pressão
é desprezível.
(c) Seguindo o método da Seção 14-4, a
força sobre a bola deve ser igual à mesma força
exercida sobre o mesmo volume de ar; esta força é
igual ao produto da massa ρ V multiplicada pela
aceleração, ou ρ Va.
(d) A aceleração da bola é a força
encontrada na parte (d) dividida pela massa ρ bolaV,
ou (ρ /ρ bola )a. A aceleração em relação ao carro é
dada pela diferença entre esta aceleração e a
aceleração do carro, logo
arel = [(ρ /ρ bola) – a]a.
22
esperado. Analogamente, quando ωfluid é menor do
que ωágua, o termo do lado direito da expressão
anterior é maior do que um, indicando que o fluido é
mais denso do que a água.
(c) Escrevendo o resultado do item (a) na
forma:
ρ fluid 1 − f fluid
=
ρ água 1− f água
E explicitando ffluid, obtemos:
f fluid = 1 −
ρ fluid
(1 − f água )
ρ água
f fluid = 1 − (1.220)(0.128) = 0.844 = 84.4%.
14-73: (b) 2.52.10-4m3, 0.124
14-74: (a) Seja d a profundidade da
camada de óleo, h a profundidade na qual o cubo está
submerso na água e L a aresta do cubo. Então,
igualando a força de empuxo com o peso, cancelando
os fatores comuns g e a área da seção reta e omitindo
as unidades, obtemos
(1000)h + (750)d = (550)L,
onde d, h e L são relacionados por d + h + (0.35)L =
L, logo h = (0.65)L – d.
Substituindo a relação anterior na primeira
equação, obtemos
d=L
(0.65)(1000) − (550)
2L
=
= 0.040 m.
(1000) − (750)
5.00
(e) Para uma bola cheia de ar,
(b) A pressão manométrica na face inferior
(ρ /ρ bola) < 1 (uma bola cheia de ar tende a afundar deve ser suficiente para suportar o bloco, logo
no ar calmo), e portanto a grandeza entre colchetes
p = ρmadeiragL
na resposta do item (e) é negativa; a bola se desloca
(550 kg/m3)(9.80 m/s2)(0.100 m) = 539 Pa.
para a traseira do carro. No caso de uma bola cheia
Para conferir, a pressão manométrica,
de hélio, a grandeza entre colchetes é positiva e a calculada pela densidade e profundidade dos fluidos é
bola se desloca para a frente do carro.
((0.040m)(750kg/m3)+(0.025m)(1000kg/m3))(9.80
m/s2)
14-71: (b) 12.1N (c) 11.8N
= 39 Pa.
14-75: subiu 5.57.10-4m
14-72: (a) Ver o Problema 14-71.
Substituindo f por, respectivamente, wágua/w e
wfluid/w, obtemos
ρ aço
ρ aço
ω
ω
=
,
=
,
ρ fluid ω − ω fluid ρágua ω −ω água
14-76:
(a) A densidade média de um barril
cheio é:
15.0kg
m
3
= 875kg / m ,
ρóleo + = 750kg / m3 +
e dividindo a segunda equação pela
0.120 m 3
v
primeira, obtemos
que é menor do que a densidade da água do mar.
ρ fluid ω −ω fluid
(b) A fração que flutua (ver o Problema
=
.
14-17) é
ρágua ω − ω água
(b) Quando ωfluid é maior do que ωágua, o
termo do lado direito da expressão anterior é menor
do que um, indicando que o fluido é menos denso do
que a água. Quando a densidade do fluido é igual à
densidade da água, obtemos ωfluid = ωágua, como era
1−
875 kg / m 3
ρ méd
=1−
3 = 0.150 = 15.0%.
ρ água
1030 kg / m
A densidade média é igual a 910
32 kg
kg
kg
+
= 1172 3 donde se conclui que
3
3
m
0.120 m
m
22
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
23
o barril afunda. A fim de elevá-lo é necessário uma
(c) Na Eq. (14-5), p2 = pa,, p1 = p(r, y = 0)
tensão:
como achamos na parte (b), y1 = 0 e y2 = h(r), a altura
T = (1177)(0.120)(9.80) − (1030)(0.120)(9.80)do líquido acima do plano y = 0. Usando o resultado
da parte (b) obtemos
T = 173 N
h(r) = ω2r2/2g.
14-77:
(a)
14-81:
(b)
14-82: Explicitando R na Eq. (14-13)
obtemos
14-78:
(a) A variação da altura ∆y é relacionada
−3
2
com o volume deslocado ∆V por ∆y =
∆V
, onde A
A
é a área da superfície da água na eclusa, ∆V é o
volume da água que possui o mesmo peso do metal,
portanto
∆y =
ω
∆V ω / ρ água g
=
=
ρ água gA
A
A
(2.50 x 106 N )
∆y =
3
3
(1.00 x 10 kg / m )(9.80 m / s 2 )((60.0 m)(20.0 m))
R=
2(72.8 x 10 N ⋅ s / m )
2γ
R=
(0.250 atm)(1.013 x 105 Pa)
∆p
R = 5.75 x 10−5 m
14-83: 7 N.m
14-84: (a)
Como no Exemplo 14-9, a
velocidade de saída da água é igual a
2gh . Depois
de sair do tanque a água está em queda livre e o
∆y = 0.213 m.
tempo que qualquer porção da água leva para atingir
(b) Neste caso, ∆V é o volume do metal; o solo é dado por
na relação anterior, ρágua deve ser substituído por
2( H − h )
ρmetal = 9.00ρágua, que fornece
t=
,
∆y
8
∆y′ =
, e ∆y − ∆y ′ = ∆y = 0.189 m;
9
9
este resultado indica quanto abaixa o nível da água
na eclusa.
14-79: (a)
∂p
dr = padr,
∂r
e usando a relação
a = ω r obtemos
2
e neste intervalo de tempo a água se deslocou uma
distância horizontal dada por
R = vt = 2 h( H − h) .
(b) Note que se
h′ = H – h, h′(H – h′) = (H – h)h,
e portanto h′ = H – h fornece o mesmo alcance.
(b)
14-80:
(a) A variação da pressão em relação à
distância vertical fornece a força necessária para
manter um elemento de fluido flutuando em
equilíbrio na vertical (que se opõe ao peso). Para um
fluido girando, a variação da pressão em relação ao
raio fornece a força necessária para manter um
elemento de fluido se acelerando radialmente.
Especificamente, obtemos
dp =
g
∂p
2
= ρω r.
∂r
(b) Chame a pressão em y = 0, r = 0 de pa
(pressão atmosférica); integrando a expressão para
∂p
indicada na parte (a) obtemos
∂r
2
p = (r , y = 0) = p a + ρω2 r 2 .
14-85: 13.1 cm
14-86:
(a) v3 A3
= 2 g ( y1 − y3 ) A3
v3 A3 = 2)9.80 m / s 2 )(8.00 m) (0.0160 m2 )
v3 A3 = 0.200 m3 / s
(b) Como p3 é a pressão atmosférica, a
pressão manométrica no ponto 2 é
2
1
1 2 ⎛ ⎛ A3 ⎞ ⎞
2
2
p2 = ρ ( v3 − v2 ) = ρ v3 ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝ A2 ⎠ ⎟
2
2
⎝
⎠
8
p2 = ρ g ( y1 − y3 ),
9
Usando a relação anterior encontrada para
v3 e substituindo os valores numéricos obtemos
p2 = 6.97 x 104 Pa.
23
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
24
mg – B – Fd =
14-87: 133 m/s
mg
mg
, logo Fd =
− B.
2
2
Substituindo Fd da Eq. (14-27) e
14-88:
explicitando
vt em termos das densidades obtemos a
(a) Usando a constância do momento
expressão
para
vt conforme visto no Exemplo 14-13,
angular, notamos que o produto do radio vezes a
ρ
velocidade é constante, logo a velocidade é
; especificamente,
porém com ρ no lugar de
aproximadamente igual a
2
⎛ 30 ⎞
⎟ = 17 km / h.
⎝ 350 ⎠
obtemos
(200 km/h) ⎜
2 r2g ⎛ ρ
⎞
vt =
⎜ − ρ′⎟
(b) A pressão é menor no "olho", de um
9 η ⎝2
⎠
valor dado por
−3 2
2
2 (2.50 x 10 ) (9.80)
(4.3 x 103 − 1.26 x 103 )
=
1
2
2 ⎛ 1 ⎞
∆p = (1.2) ( (200 ) − (17) ) ⎜
9
(0.830 )
⎟
2
⎝ 3.6 ⎠
vt = 4.99 x 10−2 m / s.
3
∆p = 1.8 ⋅10 Pa.
1
2
e
(b) Repetindo o cálculo sem o fator
v
2
(c)
= 160 m com dois algarismos
2g
multiplicando por ρ obtemos:
significativos.
vt = 0.120 m/s.
(d) A pressão em altitudes mais elevadas
é menor ainda.
14-93: (a) 0.0130m/s (b) 2.16 m/s
14-94:
(a) Explicitando p1 – p2 = ∆p na Eq. (1429) e fazendo a variação da altura igual a 0, obtemos
14-89: 3h1.
14-90:
(a)
dV / dt
,
v=
A
∆p = ρ gh +
logo
as
velocidades são
6.00 x 10−3 m3 / s
= 6.00 m / s
10.0 x 10−4 m 2
6.00 x 10−3 m3 / s
= 1.50 m / s.
40.0 x 10−4 m 2
(b)
∆p =
⎛ 8(0.300 N ⋅ s / m 2 (1.50 x 103 m) ⎞
∆p = (0.0600 m3 / s) ⎜
⎟
π (0.055 m) 4
⎝
⎠
∆p = .51 x 106 Pa = 74.2 atm
dV
=
(b) P = ∆p
dt
(7.51 x 106 Pa)(0.0600 m3/s) = 4.51 x 105 W.
O trabalho realizado é ∆pdV.
1
ρ (v12 − v 22 ) = 1.688 x 10 4 Pa,
2
14-95:
(a) 6.86.10-5m3/s
(b) cd: 0.686m/s; ef: 1.71 m/s; gh: 3.43m/s
(c) c e d: 0.576 m; e e f:0.450m; g e h: 0
(d) 0.0264m
(e) 0.165m
ou 1.69 x 104 Pa com três algarismos significativos.
(c)
∆h =
∆h =
dV 8η L
dt π R 4
∆p
ρHg g
(1.688 x 104 Pa )
= 12.7 cm
(13.6 x 103 kg / m3 )(9.80 m / s 2 )
14-96:
(a) O volume V da pedra é
V=
14-91:
V=
B
ρ água g
=
ω −T
ρ água g
((3.00 kg )(9.80 m / s 2 ) − 21.0 N )
= 8.57 x 10−4 m3 .
(1.00 x 103 kg / m3 (9.80 m / s 2 )
14-92:
Nos referenciais acelerados, todas as
(a) A força resultante sobre a esfera é a grandezas que dependem de g (pesos, forças de
soma vetorial da força gravitacional, da força de empuxo, pressões manométricas e tensões) podem ser
empuxo e da força viscosa, logo da relação F = ma,
substituídas pelo valor eficaz g′ = g + a, com sentido
obtemos
24
Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
25
positivo orientado de baixo para cima. Logo, a bem, desde que não hajam bolhas ao longo da
tensão é
mangueira. No caso específico do Problema 14-100
como existe uma bolha, os níveis não são iguais
T = mg′ - B′ = (m - ρV)g′ =
T0
g′
, onde T0 = 21.0 N.
g
(b) g′ = g + a; para a = 2.50 m/s2,
T = (21.0 N)
9.80 + 2.50
= 26.4 N .
9.80
(c) Para a = -2.50 m/s2,
T = (21.0 N)
9.80 − 2.50
= 15.6 N .
9.80
(d) Quando a = -g, g′ = 0 e obtemos
T = 0.
14-97: (a) 80.4N
14-98: Quando o nível da água é a altura
y da abertura, a velocidade de saída da água é dada
por
dV
= π (d / 2) 2 2 gy .
dt
2 gy , e
À medida que o tanque é drenado, a altura diminui,
πz (d / 2) 2 gy
dy
⎛d⎞
=−
= −⎜ ⎟
logo
2
dt
π ( D / 2)
⎝D⎠
2
2
2 gy .
Esta equação diferencial permite a
separação das variáveis e o tempo T necessário para
drenar o tanque é obtido pela integração da relação
⎛d⎞
= −⎜ ⎟
y
⎝D⎠
dy
2
2 g dt ,
cuja integração conduz ao resultado
⎛d⎞
[2 y ] = −⎜ ⎟
⎝D⎠
2
0
H
2 gT ,
Donde se conclui que
2
⎛D⎞ 2 H ⎛D⎞
T =⎜ ⎟
=⎜ ⎟
2g ⎝ d ⎠
⎝d⎠
14.99: (a)
2
2H
.
g
(b)
14-100: O surgimento de qualquer bolha
pode trazer imprecisões nas medidas. Ao longo da
bolha, a pressão nas superfícies da água podem ser
iguais porém, como o ar pode ser comprimido
dentro da bolha, os dois níveis da água indicados na
Figura 14.49 não são necessariamente iguais
(geralmente são diferentes quando existem bolhas na
mangueira). O mesmo fenômeno ocorre no freio
hidráulico. Quando você pisa no freio, a pressão só é
transmitida integralmente quando não existem
bolhas nos tubos; quando existem bolhas, o freio não
funciona. O uso de uma mangueira para nivelar uma
superfície horizontal pode funcionar perfeitamente
Sears/Zemansky: Física 10ª edição
Manual de Soluções
Capítulo 14
Tradução: Adir Moysés Luiz, Doutor em
Ciência pela UFRJ, Prof. Adjunto do Instituto de
Física da UFRJ.
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