FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA E O TRABALHO EM

FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA
E O TRABALHO EM UM AMBIENTE DE
GEOMETRIA DINÂMICA
Guilherme Henrique Gomes da Silva1
Resumo: Este artigo apresenta resultados de uma pesquisa, na área da Educação Matemática, que teve
como objetivo analisar as contribuições pedagógicas propiciadas pela participação de futuros professores
de matemática em um grupo de estudos, inseridos em um ambiente de geometria dinâmica. O grupo
reuniu-se para estudar e discutir artigos científicos, explorar um software de geometria dinâmica e
desenvolver uma oficina para alunos do Ensino Médio. O artigo destaca algumas atividades elaboradas
pelo grupo e mostra como trabalhar em um ambiente com tecnologia informática pode causar momentos
inesperados no trabalho docente.
Palavras-chave: Geometria Dinâmica. Geogebra. Futuros professores de Matemática; Grupos de estudo.
PRESERVICE TEACHERS OF MATHEMATICS
AND WORK IN A DYNAMIC GEOMETRY
ENVIRONMENT
Abstract: This paper presents results of a research, in mathematics education, aimed to analyze the
pedagogical contributions offered by participation of the preservice teacher of Mathematics in a study
group within a dynamic geometry environment. They met to study and discuss scientific papers, explore
a dynamic geometry software and develop a workshop for high school students. The article highlights
some of the activities developed by the group and shows how to work in an environment with computer
technology can cause unexpected moments in teaching.
Keywords: Dynamic Geometry; Geogebra; Preservice Teachers of Mathematics; Study Group.
Introdução
Atualmente muitas pesquisas evidenciam o potencial pedagógico da utilização de
tecnologias da informação e comunicação no ensino e aprendizagem da Matemática,
fato impulsionado pela influência que esses recursos causam na sociedade em geral e
também por sua inserção no modo de vida das pessoas do mundo moderno. Nas duas
últimas décadas, um vasto número de softwares foi criado dentro das mais diferentes
1 Docente da Universidade Federal de Alfenas – UNIFAL-MG. Email: [email protected]
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áreas da Matemática, como álgebra, cálculo e geometria, voltados para alunos desde a
educação infantil até o Ensino Superior.
Discute-se neste artigo uma modalidade de programas que trabalha com
objetos geométricos de uma forma interativa, que permite a criação de um ambiente
de aprendizagem diferenciado para o ensino e aprendizagem da geometria, nos
mais diferentes níveis de educação. Esse ambiente apresenta uma nova maneira de
visualização, tanto dos objetos da geometria euclidiana quanto de outras geometrias,
como a hiperbólica, analítica ou projetiva. Os objetos pertencentes a esse ambiente
não permanecem de forma estática, sem movimento, o usuário é capaz de interagir
com as construções geométricas, realizando movimentos como translações, rotações,
modificação de tamanho, além de outras possibilidades. São os ambientes de
aprendizagem baseados nos softwares de geometria dinâmica.
Um software de geometria dinâmica é aquele que possuí como característica
principal a possibilidade de “arrastar” os objetos construídos em seu ambiente através
na tela do computador sem modificar as propriedades que os definem. Isso permite que
o usuário movimente certos elementos de um objeto geométrico e analise outros que
correspondem às condições alteradas. Isso faz com que a tela do computador forneça a
impressão de que a construção geométrica está se deformando continuamente em todo
o processo de arrastar, mantendo as relações que foram especificadas como essenciais
na construção original. Além disso, conforme destacam Clements et al. (2008), o
usuário pode perceber a diferença entre desenhar e construir um objeto geométrico.
Por exemplo, o usuário pode “desenhar” um triângulo retângulo utilizando algum
ponto de referência da tela do computador para traçar dois segmentos perpendiculares.
Porém, ao arrastá-lo, percebe-se que o triângulo perde sua característica principal, no
caso ter um ângulo reto (Figura 1). Na Figura 2 é possível notar que ao “construir” um
triângulo retângulo, as propriedades fundamentais que o definem continuam existindo
mesmo quando o vértice A é arrastado pela tela.
Figura 1 - um triângulo retângulo “desenhado” na tela do computador
Fonte: Silva (2010)
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Figura 2 - Triângulo retângulo “construído” sendo arrastado
Fonte: Silva (2010)
O artigo apresenta um enfoque especial nas potencialidades pedagógicas
propiciadas por tais programas e também destaca que podem ocorrer situações
inesperadas quando um professor os utiliza em seu trabalho docente. Para tanto,
serão apresentados alguns resultados de uma pesquisa, cujo objetivo foi analisar de
que forma um grupo de estudos, formado por futuros professores de matemática, se
apropriou de um software de geometria dinâmica de forma a inseri-lo em sua futura
prática docente. Os participantes reuniram-se por um determinado período de tempo
e, baseados em teóricos da educação matemática, elaboraram e aplicaram uma oficina
pedagógica com atividades de geometria plana utilizando o software Geogebra 2 para
alunos do Ensino Médio. Tal grupo utilizou uma abordagem investigativa para a
elaboração das atividades, baseando-se nos trabalhos de Skovsmose (2008) e Ponte,
Brocardo e Oliveira (2006). Nessa perspectiva, os estudantes são convidados a procurar
regularidades, explorar as atividades, elaborar conjecturas, realizar testes, discutir
com os colegas os resultados encontrados e, principalmente, refletir sobre assuntos da
Matemática. Os resultados aqui apresentados dizem respeito às reflexões do grupo em
relação às potencialidades do software e traz um momento ocorrido na oficina em que
uma das atividades causou uma situação inesperada, colocando os futuros professores
em uma zona de risco (PENTEADO, 2001). Antes disso, será evidenciada a evolução
dos softwares de geometria dinâmica, fato diretamente associado à evolução da
tecnologia informática.
2www.geogebra.org
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Os ambientes de geometria dinâmica e sua relação
com a evolução da informática
O surgimento dos ambientes de geometria dinâmica está diretamente ligado à
evolução da informática na sociedade. No final da década de setenta, o aparecimento
dos ícones na tela dos computadores foi um grande marco para a história da
computação, contribuindo para a disseminação dos computadores pessoais na
sociedade. A possibilidade de manipular objetos diretamente na tela do computador
com o uso do mouse revolucionou a forma de se trabalhar com a máquina, já que não
era mais necessário utilizar comandos simbólicos diretamente do teclado para realizar
uma atividade. Esse fato possibilitou a abertura para novas técnicas de trabalho em
diferentes áreas e foi um incentivo para que um grupo de pesquisadores franceses
desenvolvesse uma ferramenta computacional para permitir a exploração da Teoria dos
Grafos. A Teoria dos Grafos é um ramo da Matemática que estuda as relações entre
os objetos de um determinado conjunto. Grafo é um par (V, A) onde V é um conjunto
arbitrário de objetos denominados vértices e A é um conjunto de pares não ordenados
de V, chamado arestas. É possível associar a Teoria dos Grafos a, por exemplo, circuitos
elétricos, estruturas de moléculas de hidrocarboneto, conectividade da internet, modelos
na Biologia, Informática, estruturação de um software, entre outros.
O projeto visava a ajudar os pesquisadores em seus trabalhos colocando a
tecnologia como uma ferramenta para explorar e conjecturar. A facilidade fornecida
pelo computador para olhar o mesmo grafo em diferentes combinações, “arrastando”
seus vértices com o uso do mouse pela tela, foi a mais importante motivação para o início
do projeto batizado de Cahier de Brouillon Informatique for Graph Theory (Cabri-graph)
(LABORDE; LABORDE, 2008). A Figura 3 mostra a maneira que o grafo bipartido
completo de quatro vértices, K4,4, menos um emparelhamento perfeito (os vértices
verticais), pode ser transformado em um grafo do cubo tridimensional no ambiente
computacional. Utilizando outro ambiente esse processo poderia não ser notado.
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Figura 3 - Do grafo K4,4 - EP ao cubo ordinário Q3 em cinco arrastos in Laborde e Laborde
(2008, p.33)
Algum tempo depois da criação do projeto, Jean-Marie Laborde, um dos
desenvolvedores do Cabri-graph, percebeu uma característica comum entre a geometria
e a teoria dos grafos: a importância da visualização. Dessa forma, o pesquisador
propôs utilizar a capacidade do arrastar do Cabri-graph para a geometria euclidiana,
facilitando assim a construção e manipulação de objetos geométricos, já que estes
passaram a ganhar movimentos, podendo ser arrastados pela tela do computador sem
perder as propriedades que os definiam. De acordo com Laborde e Laborde (2008), as
especificações desse projeto foram dadas a dois grupos: estudantes do último ano de
Engenharia da Computação e Matemática Aplicada, da Grande Ecole de Ingénieurs
-ENSIMAG3, para desenvolvê-lo como um projeto; e para a Companhia Apple
Computer. Iniciava assim o surgimento do software Cabri-Géomètre, que mais tarde se
disseminaria para todos os níveis da educação, tanto na França quanto em vários países
do mundo, se tornando um dos mais importantes e conhecidos da geometria dinâmica.
A disseminação dos softwares baseados em ambientes de geometria dinâmica
ocorreu no final dos anos 80. O Cabri-Géomètre foi um dos pioneiros nessa abordagem.
Porém outros programas foram surgindo paralelamente ao Cabri. Um desses softwares
foi o Geometer´s Sketchpad. Apesar de ambos terem sido desenvolvidos na mesma época
e possuírem um design semelhante, Goldenberg, Scher e Feurzeig (2008) destacam que
nenhum dos desenvolvedores conhecia o trabalho do outro.
3http://ensimag.grenoble-inp.fr/
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O Sketchpad começou a ser desenvolvido na metade da década de oitenta, dirigido
por Eugene Klotz e Doris Schattschneider. O software surgiu de um projeto chamado
Visual Geometry Project que tinha por objetivo desenvolver uma série de vídeos que
focaria a geometria tridimensional e seriam gravados utilizando um programa
computacional. Para tanto, Klotz contatou um jovem programador chamado Nicolas
Jackiw. No decorrer do projeto a dificuldade de programar em um ambiente 3D foi o
grande empecilho para sua realização. Dessa forma Klotz e Schattschneider decidiram
utilizar um ambiente bidimensional para o programa, surgindo assim a primeira versão
do Geometer´s Sketchpad.
Goldenberg, Scher e Feurzeig (2008) entrevistaram os desenvolvedores do CabriGéomètre e do Geometer´s Sketchpad. Nesse trabalho, os autores puderam perceber
que ambos tinham cinco princípios que guiaram seus pensamentos na criação dos
softwares: O arrastar, que de fato tornou-se a principal característica desses softwares;
a pequena distância em relação à geometria euclidiana, já que a todo o momento
os desenvolvedores dos programas tentavam encontrar um modelo para seu sistema
que fosse o mais próximo do comportamento da geometria plana; a reversibilidade
dos objetos geométricos, que seria quando, por exemplo, ao arrastar um objeto para
alguma posição da tela o usuário poderia retornar à posição anterior encontrando um
objeto idêntico àquele que fora arrastado de início; a continuidade, tão difícil de ser
implantada no modelo matemático dos programas e a minimização de momentos de
estranhamento pelo usuário do programa.
Uma possível situação que exemplifica essa minimização seria, por exemplo,
quando um usuário desejasse marcar um ponto B sobre um segmento de reta. De acordo
com a definição da geometria euclidiana, esse ponto deve permanecer sobre o segmento
mesmo quando ele for rotacionado ou transladado. Não seria nenhuma inconsistência
matemática se o usuário escolhesse que esse ponto estivesse a uma distância fixa do
ponto do extremo do segmento (fixo ou não). Porém uma inconsistência poderia surgir
quando os pontos dos extremos do segmento fossem arrastados separadamente. Ao
arrastá-los suficientemente próximo um do outro, o ponto B poderia parecer “saltar
para fora” do segmento, surgindo assim algo estranho em termos visuais para o usuário
do programa. Os desenvolvedores dos softwares tentavam limitar ao máximo esses tipos
de conflitos.
O final da década de oitenta foi um marco histórico importante para a geometria
dinâmica já que, nesse período, os softwares baseados nessa perspectiva foram
diferenciados dos demais que trabalhavam com geometria plana. Isso ocorreu na
Conferência Internacional sobre inteligência artificial e educação Intelligence Learning
Environments: The Case of Geometry. A conferência foi organizada pela equipe do Cabri
e é considerada um acontecimento muito importante para a geometria dinâmica.
Mesmo aparentando muitas vantagens, tanto matemáticos, educadores
matemáticos e cientistas da computação possuíam receio em trabalhar nesses ambientes.
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Laborde e Laborde (2008) destacam que externalizar objetos matemáticos abstratos
e suas inter-relações aparentaria reduzir o trabalho criativo de um matemático a um
trabalho de observação da realidade. Os educadores matemáticos, talvez influenciados
pelo não uso dos softwares pelos matemáticos, não desenvolveram, nos primeiros anos
do surgimento dos ambientes de geometria dinâmica, abordagens teóricas sobre o uso
dessas ferramentas e também não as utilizavam em seu cotidiano escolar. A maioria
dos cientistas da computação simplesmente desprezava a capacidade do arrastar dos
softwares e os usavam apenas como um editor de diagramas.
Por volta dos anos de 1992 e 1993 essa fase de “estranhamento” pela comunidade
de Educação Matemática e de Matemáticos começou a desaparecer. Nessa época,
muitos estudos começavam a ser realizados baseados nos ambientes GD, tanto na
pesquisa educacional quanto na pesquisa matemática. Nas pesquisas matemáticas, por
exemplo, usando o Cabri, Dickey (1995, apud Laborde e Laborde 2008) descobriu novas
configurações de cônicas introduzidas por Steiner conectado com o famoso teorema de
Pascal. Nas pesquisas em Educação Matemática, por exemplo, problemas teóricos que
relatavam a interação entre diagramas e objetos geométricos começavam a emergir.
A partir de 1995 o Cabri disseminou-se pelo mundo. Vários países começaram
a equipar suas escolas com computadores e com o software. Também nessa época
vários outros softwares de geometria dinâmica começaram a surgir. Com todos esses
fatos a geometria dinâmica causou um grande impacto na comunidade de Educação
Matemática.
O trabalho docente em um ambiente de Geometria
Dinâmica
Atualmente encontramos diversas pesquisas que evidenciam as potencialidades
dos ambientes de geometria dinâmica (SILVA, 2010; ZULLATO, 2002; RICHIT,
2005; OLIVE, 1998; LIMA, 2009, GOLDENBERG; CUOCO, 1998, entre outros).
Mesmo assim, muitos professores ainda optam por não utilizar esse recurso em sua
prática docente. De acordo com Borba e Penteado (2001), isso acontece por que os
ambientes baseados em tecnologia informática apresentam maior potencial para o
surgimento de situações imprevistas. Um fato que exemplifica tais situações ocorreu
na oficina pedagógica aplicada pelos futuros professores e será evidenciada no decorrer
deste artigo.
O grupo de estudos que participou da pesquisa era formado por futuros professores
de Matemática que estudaram e elaboraram uma oficina pedagógica com atividades
de geometria dinâmica em uma escola de Ensino Médio. O grupo utilizou o software
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Geogebra, que é um programa livre4 no qual é possível trabalhar com elementos
geométricos e algébricos simultaneamente. Na tela do programa todo objeto geométrico
possui seu representante algébrico. Além disso, é possível utilizar os comandos do
software para construir e explorar gráficos dos mais variados tipos de funções. Todas
as atividades elaboradas pelo grupo tinham o objetivo de inserir os estudantes em
um cenário de investigação. Conforme destaca Skovsmose (2008), quando inseridos
em tal ambiente, os alunos assumem um senso investigativo, procurando conhecer
o que não sabem, sendo convidados a trabalhar como matemáticos profissionais, ou
seja, explorando e formulando suas próprias conjecturas, lançando contraexemplos,
apresentando os resultados de sua investigação e, em especial, argumentando sobre
fatos da Matemática que muitas vezes são vistos como irrefutáveis ou inquestionáveis.
As atividades elaboradas pelo grupo possuíam a preocupação de conduzir os alunos
a formular questões e procurar explicações, como proposto por Skovsmose (2008) e
seguiam um modelo preestabelecido nos encontros de formulação da oficina. Em cada
ficha de atividade havia um espaço destinado às anotações dos participantes da oficina,
já que nelas os futuros professores acreditavam que seria possível verificar, depois da
aula, os caminhos e estratégias utilizados e as conclusões que obtiveram. Para Ponte,
Brocardo e Oliveira (2006) essa síntese é um momento importante, já que os alunos
podem refletir sobre o processo investigativo, aprendendo com e sobre ele.
Os resultados obtidos em relação às discussões dos estudantes do Ensino Médio
sobre as atividades não serão abordados neste artigo. Serão mostradas três atividades
elaboradas pelo grupo nos padrões investigativos e uma situação inesperada que ocorreu
na aplicação de uma delas com os estudantes do Ensino Médio.
A atividade destacada no Quadro 1 faz referência à semirrealidade. De acordo
com Skovsmose (2008), atividades com esse enfoque trazem aspectos do mundo real ao
alcance do aluno. Nela utilizaram-se conceitos de perímetro e área de um quadrilátero.
Mais precisamente, o objetivo era que o aluno percebesse, por meio de um campo de
beisebol, que a área do quadrilátero é máxima quando ele é um quadrado.
4 Pode ser instalado gratuitamente através de seu download da internet em qualquer computador
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Para realizar essa atividade você precisa saber o conceito de Perímetro e de área de um quadrilátero.
Anote o que você sabe sobre esses temas.
Um rebatedor de beisebol localizado sobre o ponto A, tem de percorrer o perímetro do quadrilátero
para conseguir um home run, e marcar um ponto.
1 – Arrastando o ponto D sobre o setor circular, o que acontece com o perímetro do quadrilátero?
Quando é possível ter o maior perímetro do campo?
2 – O que acontece com a área do quadrilátero quando você arrasta o ponto D? Quando é possível
obter a maior área? Justifique seu raciocínio.
Quadro 1 – Atividade sobre o campo de Baisebol
O grupo de estudos utilizou toda teoria discutida durante os encontros de
preparação da oficina para que as atividades tivessem o caráter investigativo. Todas
as atividades apresentaram tal preocupação e também direcionavam os estudantes
com perguntas do tipo “o que acontece se...” procurando despertar nos estudantes
questionamentos do tipo “sim, o que acontece se...”. Para Skovsmose (2008) essa é
uma das características de um ambiente de aprendizagem baseado na investigação
matemática. O Quadro 2 mostra outra atividade elaborada pelo grupo em que também
é possível notar a preocupação dos futuros professores em inserir os estudantes em um
cenário de investigação. Sobre duas retas paralelas com distâncias fixas foram marcados
os vértices do triângulo: o ponto F na reta r e os pontos D e E na reta s. O objetivo da
atividade era que os estudantes investigassem o que acontecia com a área do triângulo
ao arrastar seus vértices, observando que ela só seria alterada quando algum ponto da
base fosse arrastado, já que a altura do triângulo era fixa.
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Para essa atividade você precisa saber o conceito de área de um triângulo. Anote o que você sabe sobre
isso. Se necessário, peça auxílio para seu professor.
1. O que acontece com a área do triângulo se arrastarmos os pontos D e E ?
2. O que acontece se arrastarmos o ponto F? Como ficou a área do triângulo? Por que isso ocorre?
3. Agora, o que acontece se arrastarmos o ponto C? Por que isso ocorre?
Quadro 2 - Atividade sobre área do Triângulo
Apesar de todas as contribuições que um ambiente de geometria dinâmica pode
propiciar para o ensino e aprendizagem da Matemática, sua utilização nem sempre é
bem-vista pelos professores, pois significa a necessidade de assumir riscos durante a
aula. Para Penteado (2001), uma razão para isso é que engajar-se em trabalhos que
fazem uso de recursos pedagógicos que utilizam a tecnologia informática é algo como
sair de uma zona caracterizada pelo conforto proporcionado pelo controle da situação
e atuar em uma zona de risco, onde o imprevisto predomina. Penteado (2001) destaca
que os ambientes baseados em tecnologia informática propiciam tais imprevistos com
mais frequência, pois o professor pode se deparar com situações inesperadas como o
mau funcionamento de um computador ou um apertar de teclas pelos estudantes que
leve a uma situação não esperada. Nesse cenário, o professor está mais propício a sair de
uma zona de conforto, caracterizada pela previsibilidade do ambiente, e entrar em uma
zona de risco, que requer tomada de decisão sobre situações nunca antes experenciadas.
De acordo com Skovsmose e Penteado (2008) uma zona de risco, apesar de parecer um
momento negativo, é na verdade um espaço que precisa ser explorado pelo professor
para ampliar as possibilidades de aprendizagem dos alunos. Essa situação foi sentida
na prática pelos futuros professores. Algumas atividades elaboradas por eles acabaram
inserindo-os diante dessa zona de risco. Mesmo com um estudo e testes prévios, não
foi possível prever que as atividades os levariam a uma situação inusitada. A seguir será
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evidenciado uma atividade e como esta inseriu os futuros professores numa zona de
risco.
A atividade destaca no Quadro 3 faz referência à Matemática Pura (SKOVSMOSE,
2008). Nela também é possível perceber a preocupação dos direcionamentos feitos
pelos futuros professores em estimular a investigação. O objetivo era que os estudantes
arrastassem os pontos contidos nas retas e percebessem que os ângulos opostos pelo
vértice eram sempre congruentes.
1. Observando a construção na tela, o que poderíamos dizer em relação às retas?
2. O que acontece com os ângulos marcados quando arrastamos algum dos pontos A, B, C ou D?
3. Arraste-os para várias posições diferentes e veja se sua hipótese está correta.
4. O que aconteceu? Você seria capaz de enunciar uma propriedade quanto a este caso?
5. Anote suas conclusões.
Quadro 3 - Atividade sobre ângulos opostos pelo vértice
Enquanto elaboravam essa atividade no laboratório, os futuros professores fizeram
vários testes na tentativa de diminuir as possibilidades de surgimento de imprevistos.
Porém, quando ela foi aplicada com os estudantes do Ensino Médio, o participante
do grupo que conduzia a sala se deparou com um momento inusitado: um dos alunos
arrastou o ponto C de forma que ele ficou entre os pontos E e D e o software mudou a
marcação dos ângulos, dando a falsa sensação de que o teorema explorado pela atividade
não era válido (Figura 4).
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Figura 4 – Atividade elaborada pelo grupo
Fonte: O autor
O programa mudou a marcação dos ângulos causando a sensação de que a
propriedade dos ângulos opostos pelo vértice não existia. Isso causou grande desconforto
para o participante que conduzia a turma, colocando-o em uma zona de risco. A solução
encontrada por ele foi usar o imprevisto como uma possibilidade de aprendizagem ao
incentivar os outros alunos da turma a fazerem o mesmo e que tentassem encontrar uma
resposta para a situação, gerando várias discussões construtivas entre os participantes
da oficina.
Observando a atividade passo a passo é possível entender como essa situação
ocorreu. Depois de construídas as retas concorrentes, foram marcados os pontos A e B
sobre uma reta e os pontos C e D sobre a outra. O ponto E seria a intersecção das duas
retas. Marcou-se o ângulo CÊB obtendo 119,99° (Figura 5).
Figura 5
Fonte: o autor
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Ao arrastar o ponto C de forma que ele fique entre os pontos E e D a marcação do
ângulo “muda” para 299,99°, conforme mostra a Figura 6.
Figura 6
Fonte: o autor
Isso ocorre, pois o Geogebra trabalha com marcações de ângulos até 360°. Para o
programa o ângulo CÊB é igual ao ângulo DÊB, e entende que ambos são diferentes
do ângulo BÊD. Quando o usuário marca o ângulo DÊB, seguindo o sentido horário, o
Geogebra exibe o ângulo “externo”, ou seja, obtuso (Figura 7).
Figura 7 – Ângulo DÊB
Fonte: o autor
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Quando o usuário marca o ângulo BÊD, seguindo o sentido anti-horário, o
programa exibe o ângulo “interno” (Figura 8). Dessa maneira o processo de marcação
dos ângulos é diferenciado de um ponto para o outro. Por exemplo, para marcar o
ângulo DÊB o usuário deve escolher a ferramenta “Ângulo” e clicar, nessa ordem, nos
pontos D, E e B. Diferentemente, a marcação do ângulo BÊD é feita clicando, nessa
ordem, nos pontos B, E e D.
Figura 8 – Ângulo BÊD
Fonte: o autor
Conceitualmente, não há falha na perspectiva adotada pelos programadores do
Geogebra. Apesar disso, ao elaborar a atividade dos ângulos opostos pelo vértice, os
participantes do grupo de estudos desconheciam essa característica e, de certa forma,
acabaram entrando em uma zona de risco.
Mesmo ocorrendo os imprevistos em um ambiente de aprendizagem baseado
na utilização da tecnologia informática, Penteado e Skovsmose (2008) valorizam
que caminhando em direção à zona de risco o professor pode aperfeiçoar sua prática
profissional, pois a incerteza e a imprevisibilidade geradas nesse podem trazer
possibilidades para o desenvolvimento do aluno, do professor e de situações de ensino
e aprendizagem. Além disso, uma zona de risco possui a potencialidade de provocar
mudanças e impulsionar o desenvolvimento de todos os envolvidos. Dessa forma
o professor que utiliza a tecnologia informática em seu cotidiano deve conhecer as
potencialidades e limitações de cada programa no sentido de tornarem-se possibilidades
de aprendizagem.
O imprevisto gerado por tal atividade não teria ocorrido se o grupo tivesse utilizado
o software Cabri-Géomètre. Isso mostra que é importante para o docente conhecer
outros programas. A opção dos programadores acaba influenciando na maneira que
cada usuário trabalha com o ambiente de geometria dinâmica. Nesse caso o imprevisto
não ocorreria no Cabri, pois este trabalha com marcações de ângulos menores ou iguais
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a 180°, como mostrado na Figura 9, em que se tem a mesma atividade sobre ângulos
opostos pelo vértice.
Figura 9 – Atividade de ângulos opostos elaborada no Cabri
Fonte: o autor
Arrastando os pontos da mesma forma que na atividade feita no Geogebra a
marcação do ângulo AÊC fica igual ao ângulo AÊD, conforme mostra a Figura 10.
Figura 10 – Atividade elaborada no Cabri
Fonte: o autor
O mesmo ocorre com os ângulos CÊB e DÊB. Para o Cabri, não importa a ordem
de marcação dos ângulos, ou seja, o ângulo DÊB é igual ao ângulo BÊD.
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Considerações finais
O artigo defende a importância da utilização da tecnologia informática no ensino
e aprendizagem da Matemática, em especial os softwares de geometria dinâmica.
Mesmo sendo ambientes mais propícios a tirar o docente de uma zona de conforto,
estes programas podem criar cenários para investigação e momentos de discussão
importantes para o ensino da Matemática. Quando imprevistos acontecem o professor
tem a oportunidade de explorá-los, tornando-os possibilidades de aprendizagem tanto
do docente quanto dos alunos.
No decorrer do texto foram destacadas atividades elaboradas pelo grupo baseadas
nos moldes da investigação matemática. O estudo teórico prévio dos futuros professores
para a elaboração da oficina forneceu sustentação não apenas para a elaboração
das atividades, mas também para a sua atuação enquanto professores da turma,
principalmente quando ocorreram os imprevistos. Concordando com Borba e Penteado
(2001) “é o pensar e agir coletivo que poderão impulsionar e manter o professor numa
zona de risco de forma que ele possa usufruir o seu potencial de desenvolvimento”
(p.68).
Os ambientes de geometria dinâmica propiciam grande potencial para que
atividades investigativas sejam elaboradas. O arrastar permite que o estudante
crie e teste suas próprias conjeturas. Apesar disso, é muito importante que as
atividades elaboradas nesse ambiente sejam bem direcionadas. No caso do grupo de
estudos da presente pesquisa, a abordagem das atividades da oficina foi baseada em
Skovsmose (2008) e Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), onde os autores, mesmo não
necessariamente utilizando um ambiente computacional, apresentam diversos recursos
para que o professor crie um ambiente de aprendizagem que facilite a investigação.
Concordando com Valente (1993) os ambientes de geometria dinâmica não podem ser
uma extensão do que já ocorre tradicionalmente na sala de aula.
REFERÊNCIAS
BAULAC, Y., BELLEMAIN, F., LABORDE, J.M. (designers); CABRI: The interactive
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