Seu pé direito nas melhores Faculdades FUVEST

Seu pé direito nas melhores Faculdades
MATEMÁTICA
FUVEST – 23/11/2008
Observando a figura anterior e aplicando o Teorema dos Ângulos
Externos, temos:
2a
) 2a
a
)α = 3a
)
)a
é suplementar de 2a.
No ∆ ABO, observe que o ângulo ABO
= π − 2a = π −
Assim: med(ABO)
2
α
3
Alternativa C
73. O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx , em que a e b são números
reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x –1,
respectivamente.
Resolução:
Juros para o Edson: JE = 5% . 10000 = 500
Juros para o Carlos: JC = 4% . 10000 = 400
Assim, o valor de a é
Valorização da casa: VC = 3% . 50000 = 1500
Lucro de Bruno: VC – JE – JC = 600
)
71. Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00.
Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson
e R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o
dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros,
respectivamente.
A casa valorizou 3% durante este período de um ano.
Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o
combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de
a) R$ 400,00
b) R$ 500,00
c) R$ 600,00
d) R$ 700,00
e) R$ 800,00
Alternativa C
72. Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência
de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso,
(1) A,B,C e A,O, D são colineares;
a) – 6
b) – 7
c) – 8
d) – 9
e) – 10
Resolução:
Do Teorema do Resto, temos p(2) = 2 e p(1) = 4.
Aplicando esses valores no polinômio, temos o sistema:
 8 + 4a + 2b = 2
p(2) = 2
2a + b = − 3
⇒
⇒ 

 1 + 1a + 1b = 4
 p(1) = 4
 a+b= 3
cuja solução é a = –6 e b = 9.
Alternativa A
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.
74. Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam
uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale
15 e que o ângulo  mede 120º, então o produto dos
comprimentos dos lados é igual a
a) 25
b) 45
d) 105
e) 125
Resolução:
A
c
B
Resolução:
c) 75
)
ˆ , em radianos, é igual a
Nessas condições, a medida de ABO
α
a) π –
4
α
b) π –
2
2α
c) π –
3
3α
d) π –
4
3α
e) π –
2
120º
b
a
C
Indicando as medidas na figura, temos a PA (c,b,a).
)α
Note que o maior lado é a, oposto ao ângulo de 120º.
Podemos escrever: PA (b – r, b, b + r)
Como a soma das medidas é 15, vem:
(b – r) + b + (b + r) = 15 ⇒ b = 5
CPV
fuv081fnov_inteira
25
26
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No triângulo abaixo, aplicamos a Lei dos Cossenos para
expressar a medida do lado BC :
76. A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e
um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os
centros de seis dos hexágonos menores.
A
)
5–r
5
120º
B
C
5+r
(5 + r)2 = (5 – r)2 + 52 – 2 . (5 – r) . 5 . cos 120º
 1
25 + 10r + r2 = 25 – 10r + r2 + 25 – 10 . (5 – r) .  − 
2


de onde r = 2.
Logo, os lados são (3, 5, 7) e o seu produto é 105.
Alternativa D
Então, a área do pentágono hachurado é igual a
75. O número real a é o menor dentre os valores de x que
satisfazem a equação 2log2 (1 + 2 ) – log2 ( 2 x) = 3.
 2a + 4 
Então, log2 
 é igual a
 3 
1
a)
4
1
b)
2
c) 1
3
d)
2
e) 2
a) 3 3
b) 2 3
c)
3 3
2
d)
3
e)
3
2
Resolução:
Vemos na figura que a região hachurada no hexágono ABCDEF
corresponde a 1/3 da sua área; logo, a área hachurada vale:
2
Resolução:
(
)
2log 1 + 2x − log
2
2


1
2x
0
+
>


2x > 0

(
A=
2x ) = 3
77. Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de
equação (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos
quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
)
3 2 −4
Como a é o menor dentre os dois valores de x, a =
e,
2
CPV
fuv081fnov_inteira
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ ,
e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a
3 2±4
x=
2
1
 2a + 4 
assim: log 2 
 = log 2 2 =
2
 3 
Alternativa E
Ahexágono
⇒
2



 1 + 2x 
2x 2 − 6 2x + 1 = 0
log 2 
=3 ⇒ 

2x



 x > 0
 x > 0
(
1
1 3
3
⋅6⋅
=
3 4 2
Alternativa B
a) 2 2 – 2
b) 2 2 – 1
c) 2 2
d) 2 2 + 2
e) 2 2 + 4
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y
5
. O ponto P pertence a α e a distância de P a β
5
vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de α e β é
igual a
R
A
)
45º
45º
tgθ =
2
)
Q
M 2
2
R’
2
O
x
P
Observamos que na figura há dois triângulos isósceles de base
a)
3
b)
5
c)
6
d)
7
e)
8
Resolução:
α
PQ inscritos na circunferência (∆PQR e ∆PQR´ ), sendo o
triângulo ∆PQR o de maior perímetro.
A=
2 , a área do ∆PQR é dada por:
2 2 (2 + 2 )
=2 2 +2
2
Alternativa D
3
3
b)
2 3
3
c)
d)
3
e)
4 3
3
Resolução:
3
2πr
4πr 1
⋅ =
Vsemi-esfera =
3
3
2
Vcilindro = πx2h
2πr
3
3
=
2
r
4πr h
⇒ h=
3
2
2
Vcone = Vcilindro ⇒
Logo,
CPV
x 4 3
=
h
3
fuv081fnov_inteira
)θ
x
P
r ⇒ reta de intersecção dos planos
d
1
5
=
Temos que tg θ =
x
5
⇒ x=
5
1
)θ
Desta forma, aplicando o Teorema de Pitágoras, vem:
x
Alternativa C
2
Vsemi-esfera = Vcone ⇒
1
x2 + 1 2 = d 2 ⇒ d = 6
3
4πr h
π ⋅ ( 2r ) ⋅ h
=
Vcone =
3
3
2
d
β
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando
completamente cheias, comportam a mesma quantidade de
x
vinho, é correto afirmar que a razão é igual a
h
3
6
P
r
78. Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para
servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma
semi-esfera de raio r ; a outra, no formato de um cone reto
de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato
de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h.
a)
27
79. O ângulo θ formado por dois planos α e β é tal que
Resolução:
Como RM = 2 +
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2 3
4πr h
= πx2h ⇒ x = 3 r
3
80. Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas
de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade
de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja
soma seja um número primo, é de
2
5
1
2
4
a)
b)
c)
d)
e)
3
9
9
9
3
Resolução:
Existem 6 . 6 = 36 resultados possíveis para dois dados.
Como queremos que sejam sorteados dois números consecutivos
cuja soma seja um número primo, há 8 resultados favoráveis,
a saber: (1;2), (2;1), (2;3), (3;2), (3;4), (4;3), (5;6) e (6;5).
Alternativa E
Logo, a probabilidade pedida é
8
2
= .
36 9
Alternativa A