20ª ESCOLA DE VERÃO EM DINÂMICA ORBITAL E PLANETOLOGIA

20ª ESCOLA DE VERÃO
EM
DINÂMICA ORBITAL E PLANETOLOGIA
MINI CURSOS & PALESTRAS
15 a 19 de fevereiro de 2016
UNESP, Campus de Guaratinguetá
Guaratinguetá – SP
APRESENTAÇÃO
O presente volume contém os mini-cursos apresentados na 20ª Escola de Verão em Dinâmica
Orbital e Planetologia, realizada na UNESP, Campus de Guaratinguetá, SP, durante o período
de 15 a 19 de fevereiro de 2016.
O objetivo desta Escola de Verão é o de difundir conceitos básicos, bem como divulgar temas
atuais em Dinâmica Orbital e Planetologia.
A 20ª Escola de Verão em Dinâmica Orbital e Planetologia é promovida pelo Grupo de Dinâmica Orbital e Planetologia da UNESP, contando também com participação de pesquisadores
de outras instituições.
Na realização deste evento tivemos a grata satisfação de contar com o apoio do Programa de
Pós-Graduação em Física do Campus de Guaratinguetá e da Direção da Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, além do Departamento de Matemática.
Agradecemos a todos que colaboraram pela dedicação e empenho no trabalho desenvolvido,
que muito contribuiu para o êxito deste evento. Por fim, saudamos a presença de todos os
partipantes e desejamos que todos tenham uma proveitosa semana de atividades.
Rafael Sfair
Ana Paula Marins Chiaradia
Coordenadores
INTRODUÇÃO À ASTRONOMIA
FUNDAMENTAL
Dietmar W. Foryta
CAPÍTULO 1
Mini-Curso FEG: Introdução à Astronomia
Os fenômenos da natureza sempre chamaram a atenção dos seres humanos que deixaram rastros desta percepção lavradas em
pedras. Algumas vezes na forma de monumentos megalíticos,
as vezes na forma de pinturas em cavernas. Certas destas pinturas indicam a apercepção das fases da lua, portanto teriam em
mãos um calendário rudimentar.
Mas a percepção parecida com o que nós chamamos hoje de
científica não prevalece necessariamente. No texto História, de
Heródoto temos escrita a seguinte passagem.
A guerra eclodiu entre os Lidios e os Medos, e continuaram por cinco anos, com várias sucessos. Durante esta
[geurra] os Medos ganharam muitas vitórias sobre os Lidios, e os Lídios, também, ganharam muitas vitórias sobre
os Medos. Com, então, o balanço não inclinou-se em favor de nenhuma das nações, outro combate teve lugar no
sexto ano, que durante este, justo quando a batalha crescia, o dia transformou-se subitamente em noite. Este evento
havia sido predito por Tales, o Milesiano, que previniu os
Ionianos dele, fixando para ele o ano em que ele ocorreu. Os
Medos e os Lídios, quando observaram a mudança, cessaram a luta, e ficaram todos anxiosos pelos termos de paz que
foram acordados.1
Rapidamente um tratado foi feito e selado com o casamento da
filha do rei Lídio com o filho do rei Medo. Esta história mostra
uma das mais dramáticas respostas na história envolvendo os
fenômenos astronômicos e indica o imenso pavor que os povos
antigos tinham quando confrontados com algo como um eclipse
total do Sol.
1
Figura 1.1: Entre os registros mais antigos do interesse dos seres humanos dos
eventos astronômicos é da Cultura Aurignaciano, estimado em 32000 anos aC., um
calendário lunar encravado em pedaços
de ossos. Leve e facil de transportar em
extensas viagens como as caçadas e migrações sazonais. Deve-se salientar que ss
marcas das fases da Lua tem imprecisões
pois é improvável que houvesse um ciclo
completo de noites prefeitamente claras
(Marshack 1970).
1
Herodoto (ca. 440aC.), História, livro 1
capítulo 74. Herodoto de Halicarnassus
(485-425 aC.) foi o primeiro historiador
grego e é, também, conhecido como o
“Pai da História”, escreveu Histórias em
nove livros
1
2
Figura 1.2: Durante o eclipse total de
2006, visto na região da Antália, Turquia,
o astrógrafo Stefan Seip capturou a Lua
nos diversos estágios enquanto passava
entre a Terra e o Sol. Na exposição central, a Lua bloqueia completamente o Sol
e, desta maneira, podemos ver a magnífica corona solar. A exposição ambiente
foi tomada no mesmo local durante o dia
com o mesmo apontamento do horário
do eclipse. Imagem: Stefan Seip.
1.1. Eclipses Solares e Lunares e o Tamanho da Lua
Figura 1.3: A partir da análise geométrica podemos tirar duas conclusões da
existência dos eclipses solares. Primeiro,
que o disco solar tem aproximadamente o
mesmo tamanho que o disco da Lua, então o Sol deve ser maior do que a Lua na
mesma proposção de suas distâncias. Segundo, que a extensão da sombra da Lua
deve ser longa o suficiente para tocar a
superfície da Terra. Quando se percebe a
existência de eclipses solares ditos anulares pode-se concluir que durante os eclipses anulares a sombra da Lua não pode
ser maior que a distância da Lua a Terra.
Assim, podemos colacar que a extensão
da sombra da Lua é aproximadamente a
distância da Lua à Terra.
Tales de Mileto talvez deva ter compreendido o rudimento dos
eclipses solares, que é a passagem da Lua em fronte ao Sol, mas
não a natureza das órbitas. Tales acreditava que a Terra era um
grande disco que flutuava sobre o imenso oceano. Tanto a Lua
quanto o Sol seriam também discos que percorriam os céus e
que ocasionalmente se alinhavam. O registro histórico indica
que ele predisse o eclipses solar de 585 aC., na tarde do dia 28
de Maio ao longo do Mar Mediterraneo e através da Ásia Menor,
cuja totalidade durou 6 minutos. Heródoto escreveu que Tales
dava o ano da ocorrência, o que levanta a dúvida se foi mesmo
predissão ou sorte.
Pitagoras baseou-se no fato que a Lua deveria ser redonda observando-se o terminador, a linha que separa a parte iluminada da
parte não iluminada da Lua, durante o ciclo da Lua, para afirmar que a Terra por semelhança também deveria ser redonda.
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Figura 1.4: Dependendo da localização
do observador, sobre a esfera da Terra,
pode-se ter um eclipses solar total ou
anular. A esquerda Fred Espenak a mais
de 2200 km a oeste das Galápagos captura um rápido eclipses total em que se
pode ver a corona solar e proeminencias saíndo da borda do Sol. A direita,
Stephan Heinsius, no Panamá, no final
do eclipse ligeiramente mais distante da
Lua, captura um eclipses anular, um brilhante anel de fogo que dura somente 15
segundos. Estes eventos são raros e as estimativas indicam que no século XXI somente 7 dos 224 eclipses totais previstos
poderão ser fotografados desta maneira.
Imagens: Fred Espenak e Stephan Heinsius.
Anaxágoras, seu discipulo, compreendeu mais tarde a verdadeira natureza dos eclipses solares e lunares, que corpos redondos passavam pelas sombras um do outro, e que a forma do
eclipse lunar indicava que a Terra era redonda.
Por volta de 350 aC. Aristoteles declara que a Terra era redonda
baseado na observação das constelações que podem ser vistas
nos Céus a medida em que se viaja cada vez mais para o Sul.
Pela ocorrência dos eclipses solares sabemos que o Sol está mais
distante do que a Lua.
A luz do Sol sendo interceptada por uma Lua redonda garante
que a sombra tenha um formato cônico e sobretudo uma extensão. Se a Lua estiver suficientemente próxima da Terra esta
sombra deveria poder toca-la, o que caracteriza o eclipse solar.
Mas se a Lua estiver o suficientemente distante, o cone de sombra não chega a tocar a superfície da Terra e um eclipse total do
Sol não é mais possível.
Como se tinha registros de diversos eclipses solares e ocasionalmente alguns eclipses anulares, chega-se a conclusão que a
extensão da sombra da Lua é aproximadamente a distância da
Lua à Terra.
O eclipse solar também trás outra informação interessante. Como
o eclipse solar é rápido comparado com a duração do dia, a extensão da sombra na superfície da Terra não deve ser grande.
Do ponto de vista geométrico, podemos afirmar que a largura
da sombra da Lua decresce de um diametro após uma distância
da Lua à Terra.
Como a Lua movimenta-se mantendo a distância à Terra quase
constante, os eclipses lunares também são explicados pela passagem, agora da Lua pela sombra da Terra. Observando-se um
eclipse lunar podemos chagar a conclusão que a Terra deve ser
3
Figura 1.5: Quando nos afastamos de um
objeto ele parece cada vez menor. Assim
podemos estimar a distância a este objeto baseado no tamanho aparente deste.
Quando observamos a fase dita cheia
da Lua podemos perceber que em certas
épocas a Lua parece maior e em outras a
Lua parece menor. Comparando estes tamanhos sabemos que a Lua mantém uma
distância quase constante, mas não perfeitamente circular, da Terra.
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Figura 1.6: Um eclipse lunar é a interposição da Terra entre a Lua e o Sol. Assim vemos a sombra da Terra atingindo
a Lua. Percebe-se que esta sombra tem
a forma de um disco. Esta percepção
nos leva a possibilidade da Terra ter a
forma de um disco. A composição de
várias imagens de um eclipse lunar sobrepostas deixa claro a forma da sombra
da Terra. Podemos perceber que a Lua
atranessando a sombra da Terra, leva um
tempo, que é ode maior valor para a passagem através do grande diametro.
redonda pois a sombra da Terra, na distância da Lua é redonda.
Mais ainda, percebemos que a Lua atravessa a sombra, e esta
travessia leva um tempo.
Não sabemos, a priori, qual o tamanho da Lua mas observandose um eclipse total da Lua podemos perceber o instante em que
a Lua começa a entrar na sombra da Terra e o instante que a
Lua finalmente está completamente imersa na sombra da Terra.
Assim podemos afirmar que a velocidade da Lua nos Céus é
dada pela razão do seu tamanho, seu diâmetro, pelo tempo de
imersão.
Mais além, podemos perceber também o instante em que a Lua
começa a sair da sombra da Terra. O intervalo de tempo entre
o início da imersão na sombra e o instante do início da emersão
da sombra nos dá o tamanho da sombra da Terra na distância
da Lua; basta multiplicar o tempo decorrido pela velocidade.
Em expressões matemáticas temos que a velocidade da Lua v L
é dada pela razão entre o tamanho da Lua, d L , e o tempo de
imersão desta na sombra, ∆ti , ou
vL =
dL
.
∆ti
(1.1)
Continuando, o tempo de traversia da Lua através da sombra
é ∆tt nos dá o tamanho da sombra da Terra, S, na distância da
Lua DL , ou
S = v L ∆tt =
Figura 1.7: Quando a Lua passa pela
sombra da Terra a entrada da Lua leva
um tempo. Cruzar completamente a
sombra leva outro tempo, Assim podemos medir a extensão da sombra.
∆tt
dL
∆tt = d L
.
∆ti
∆ti
(1.2)
Perceba que os intervalos de tempo considerados dependem em
que região da sombra da Terra a Lua atravessa. Ocasionalmente
existem eclipses lunares parciais. Isto significa que quando
coletamos diversos eclipses lunares totais, devemos identificar
aquele que a Lua atravessa o centro da sombra. Ou seja, aqueles em que o tempo imerso é o mais longo. Sabendo que os
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tempos típicos destes eventos são 4 minutos e 10 minutos, respectivamente, chegamos a conclusão que a razão dos intervalos
de tempo tem um valor aproximado de 2.5.
Ou seja a sombra tem uma largura de aproximadamente 2.5
vezes o tamanho da Lua, mas na posição dentro do cone de
sombra da Terra que está a distância da Lua a Terra. Como a
Terra é causadora da sombra da Terra, a sombra da Terra terá
o tamanho da Terra d T quando medida no início da sombra.
Assim a largura de sombra medida utilizando-se a Lua é menor
do que o tamanho da Terra.
Quando afirmamos que a sombra da Terra é um cone de sombra
tal qual o cone de sombra da Lua, isto significa que o Sol deve
ser maior não só quando comparado com a Lua, mas também
maior do que a Terra. Como a sombra da Lua decresce de um
tamanho da Lua em uma distância Lua-Terra, então podemos
associar o decrescimo do tamanho da sombra da Terra a uma
distância Terra-Lua de um tamanho da Lua, ou seja,
d T = (2.5 + 1.0)d L = 3.5d L .
Figura 1.8: O cone de sombra da Lua,
vista que ela pode produzir no limite
eclipses anulares e totais indica que a distância Terra-Lua é o tamanho da sombra. Como a diminuição do tamanho da
sombra leva uma distância Terra-Lua, do
outro lado a minimuição do tamanho da
sombra da Terra é a mesma, um tamanho
da Lua.
(1.3)
Este resultado obtido por Aritarcos de Samos foi feita em 245
aC., mesmo antes de se ter idéia do tamanho da Terra. A elegância deste resultado é que não só temos a relação de tamanhos
Terra-Lua, mas quando determinado o valor numérico do tamanho da Terra teremos imediatmente o tamanho da Lua na
mesma unidade física.
Um fenômeno natural que chama muito a atenção é que o tamanho aparente do Sol ser muito parecido com o tamanho aparente da Lua. Isto permite comparar os triangulos tamanho
do objeto, pela distância ao observador. Como determinamos
o tamanho da Lua poderemos tentar determinar o tamanho do
Sol. Para isto precisamos saber a razão das distâncias deste dois
objetos, a Lua e o Sol. Como estes valores também são desconhecidos não conseguimos obter o valor do tamanho do Sol.
Entretanto podemos resolver, pelo menos em parte, o problema
é através do uso de uma moeda. Podemos colocar uma moeda
em frente a Lua e coloca-la à distância tal que esta moeda cubra completamente o disco da Lua. A vantagem é que tanto o
tamanho da moeda d M e sua distância ao olho do observador
D M . Por semelhança de triangulos teremos
DL
d
= L
DM
dM
→
DL =
dL
DM .
dM
(1.4)
Conseguimos assim a partir do tamanho da Lua a sua distância
ao observador, a da a Terra.
1.2. A Medida de Aristarcus da Distância ao Sol
O mesmo procedimento pode ser usado para determinar seja
o tamanho do Sol seja a distância ao Sol. Basta obtermos por
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d_S
Sol
D_S
Lua
d_L
D_L
Moeda
d_M
D_M
Figura 1.9: Um fenômeno que chama a
atenção é que o tamanho aparente do Sol
e o da Lua são quase iguais. Então podemos da mesma maneira uma moeda
em frente a Lua e coloca-la a uma distância tal que o tamanho aparente da moeda
seja o mesmo da Lua. Por semelhança
de triangulos basta termos três valores de
tamanho e distância o quarto valor é determinado univocamente. Como temos
a moeda, temos sua distância ao olho e
seu tamanho. Da Lua temos o tamanho
da Lua. Assim descobrimos a distância
à Lua. Para o Sol o procedimento é analogo, se tivermos a distãncia teremos seu
tamanho, se tivermos o tamanho teremos
sua distância.
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Figura 1.11: Diversas imagens da Lua durante seu ciclo. Podemos perceber que
a forma do terminador, a fronteira entre
a região iluminada e a não-iluminada, é
em geral curva. Isto significa que a superfície da Lua deve ser redonda como
uma esfera. Caso a Lua fosse um disco
plano este efeito de cruzamento da sombra sobre o disco lunar não existiria. Para
Aristarcus, o instante em que as direções Terra-Lua-Sol formam um ângulo de
90 degree é justo quando a sombra fica retilínea dividindo ao meio a Lua.
outro processo o outro valor, respectivamente, a distância ao Sol
ou o tamanho do Sol.
São três os objetos principais que estamos discutindo: a Terra,
a Lua e o Sol. Três objetos sempre formam um plano e, fora
poucas, situações um triângulo. Esta poucas situações são justamente os eclipses. Assim sabendo algumas informações sobre
o triângulo podemos determinar as outras. A paritr do estudo
de triângulos, sabemos que se temos três informações podemos
determinar as flatantes. Temos a distância Terra-Lua... falta pelo
menos duas. Se tomarmos um triângulo retângulo, saberemos
que um dos ângulos será reto, ou 90°.
Figura 1.10: Tendo o Sol, a Terra e a
Lua poderemos construir um triangulo
e correlacionar as diversas distâncias e
os diversos ângulos entre estes corpos.
Sabe-se a priori a distância da Lua à
Terra. Basta conseguirmos mais dois valores que podemos obter todas as outras
dimensões. Um valor natural é o ângulo
reto. Mas se o colocarmos sobre a Terra,
não conseguimos obter nenhum outro valor. Mas observando-se o terminador sobre a Lua podemos medir o ângulo dado
pelas direções Lua-Terra-Sol. Por consequência a distância do Sol à Terra.
Se colocarmos o ângulo reto sobre a Terra, não poderemos medir outro ângulo ou distância, então temos que conseguir um
triângulo reto ou sobre a Lua ou sobre o Sol. Como a distância
Terra-Lua é menor do que a distância Terra-Sol (lembre-se que
existem eclipses solares), então o único lugar que podemos ter
um ângulo reto será sobre a Lua. Como sabemos que há um
ângulo reto sobre a Lua, entre as direções Lua-Terra e Lua-Sol?
Observando a Lua, percebemos as fases da Lua. Cheia, Minguante até a Nova. Durante a fase de Minguante vemos que a
sombra da Lua vai tomando a Lua primeiramente na forma de
um arco que se inverte até tomar completamente a Lua. Durante esta fase há um breve instante que esta linha de sombra
torna-se um diametro do disco aparente da Lua. Neste instante
as direções indicadas estão formando um ângulo reto.
Neste hora, podemos medir o ângulo entre as direções Terra-
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Lua e Terra-Sol, pois estamos na Terra e podemos medir ali este
ângulo. Os antigos gregos assim fizeram e obtiveram o ângulo
reto. Isto é problemático pois se realmente for um ângulo reto a
direção Terra-Sol e Lua-Sol são perfeitamente paralelas e se encontrarão no infinito. Desta maneira os gregos concluiram que
não poderia ser o ângulo reto e teria de ser uma ângulo justo
menor. Como a precisão tecnica deste tipo de medir era de 2.5°
os gregos atribuiram o ângulo 87.5° para o ângulo procurado.
Isto dá uma distância de 20 vezes a distância Terra-Lua.
Em realidade este ângulo só foi possível medir com Vendelinus
em 1630, sendo de 89.75°, o que dá uma distância de 230 vezes
a distância Terra-Lua.
O único livro de Aristarcus de Samos que sobrevive aos tempos,
e chega até nós é Sobre os tamanhos e distâncias ao Sol e à Lua. Nele
ele consegue os valores
• A distância ao Sol é maior do que 18, mas menor do que 20
vezes, a distância à Lua.
• O raio do Sol é maior do que 18, mas menor do que 20 vezes,
o raio da Lua.
• O raio do Sol é maior do que 19/3 (6.3), mas menor do que
43/6 (7.2), vezes o raio da Terra.
Enquanto que os resultados não coincidem com a realidade que
conhecemos hoje, o método é brilhante. Atualmente o Sol está
400 vezes mais distante do que a Lua e é aproximadamente 109
vezes o tamanho da Terra.
1.3. A Medida de Erastotenes do Tamanho da Terra
Erastotenes (276-194 a.C.) foi um dos mais notáveis estudiosos
do seu tempo e escreveu sobre filosofia, sobre questões científicas e literárias. Como matemático, Erastotenes inventou um
método para encontrar números primos. Sua reputação, entre
seus contemporâneos, foi tão grande que Arquimedes dedicou
um livro a ele. Como geógrafo, ele escreveu Geografia, o primeiro livro a dar a este ramo do conhecimento uma base matemática e tratar a Terra como um globo dividido em zonas frigidas, temperadas e tórridas. Este permaneceu como um trabalho
padrão e foi usado um século mais tarde por Júlio César. Erastotenes permaneceu a maior parte de sua vida em Alexandria e
lá morreu em 194 a.C.
Sendo bibliotecário, seu segundo diretor, de 240 a 194 a.C., da
Biblioteca de Alexandria, no Egito, cidade fundada por Alexandre, O Grande, Erastotenes tinha o acesso a um volume considerável de informações. Entre elas, sabia-se que no dia de
Solistício de Verão, no hemisfério norte, no dia 22 de Junho de
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Figura 1.12: Diagrama esquemático mostrando o trabalho de Erastotenes após saber da ausência de sombra no poço de
água em Siene. Na cidade de Alexandria o obelisco apresentava uma sombra
que foi medida. Supondo que as direções
verticais dos obelisco e poço atravessem
o centro da Terra, pode-se multiplicar a
distância entre as cidades pela razão do
ângulo da sombra a volta completa.
cada ano, a luz do Sol era refletida diretamente pelo fundo de
um poço d’água em Siene, cidade diretamente ao Sul de Alexandria, onde a represa de Aswan está atualmente. Isto significa que
o Sol estava diretamente, verticalmente, sobre Siene.
Assim, em 235 a.C., no dia de Solistício, Erastotenes examinou
a sombra de um monolito vertical e determinou que esta tinha
aproximadamente 1/8 da altura do monolito. Isto corresponde
a um ângulo de 7,2o , ou seja, 1/50 de um círculo.
A distância entre as duas cidades era bem conhecida, já que
existia um tráfego comercial considerável, e foi medida por agrimensores da época como 5000 estadia, ou 800 km, 50 dias de
camelo a 16 km/dia.
Assim a Terra teria 42000 km de perimetro ou 6700 km de raio.
Estes valores contrastam com os atuais valores do perímetro é
de 40200 km e 6370 km para o raio. Um erro menor do que 5%;
surpreendente para a época!
Uma idéia fundamental que está por trás desta determinação
é a presuposição de que os raios do Sol sejam paralelos. Seria
este paralelismo correto?
Pode-se experimentar a formação das sobras de objetos iluminados pelo Sol e perceber que a luz parece propagar-se retilineamente. O Sol, como fonte de luz, deve estar a uma certa
distância da Terra, assim, os raios de luz do Sol partiriam do
Sol e por consequência divergeriam, não chegando paralelos a
Terra.
Todavia a medida em que a distância entre o local de observação e a fonte de luz crescer, os raios de luz ainda chegarão
não paralelos, mas esta divergência seria cada vez menor. Se a
distância for grande o suficiente entre a Terra e o Sol, então a
divergência dos raios do Sol poderão ser negligenciados.
Então fica pendente a comparação da distância ao Sol confirmar
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ou refutar a aplicação geométrica feita por Erastotenes. Como
vimos a partir do trabalho de Aristarcus que o Sol estava a diversas distâncias da Lua à Terra, que por sua vez é maior do
que o tamanho da Terra, a distância ao Sol é muito maior do
que o tamanho da Terra validando, dentro do erro experimental, o paralelismo dos raios solares.
1.4. Geocentrismo e Héliocentrismo
Quando andamos por uma floresta podemos perceber que uma
árvore próxima tem a sua esquerda e a sua direita outras árvores
visíveis que estão mais distantes. A medida em qu se caminha
as árvores que estão a esquerda e a direita daquela que usamos
como referência mudam. Isto está esquematizado na figura ??.
Você pode ter a mesma experiência ao andar por uma rua e
olhar para o poste.
Quando consideramos um modelo héliocentrico para o conjunto Terra, Lua e Sol, deveriamos perceber uma variação dos
vizinhos das estrelas devido ao movimento da Terra em Torno
do Sol. Como esta variação não é observada deve-se acreditar
que a Terra não possui movimento.
Então o modelo héliocentrico deve ser descartado em favor de
um modelo onde a Terra está parada, o modelo geocentrico.
Aristarcus foi o primeiro a propor uma teoria héliocentrica apesar dos detalhes não sobreviveram aos tempos. No texto O Contador de Areia, Arquimedes escreve que
... Aristarcus apresentou em um livro certas hipóteses, nelas aparece, como conseqüência das hipóteses feitas, que o
universo é muitas vezes maior do que o ’universo’ que acabei de mencionar. Sua hipótese é que as estrelas fixas e o
sol permanecem imóveis, que a Terra gira em torno do Sol
na circunferência de um círculo, o sol deitado no meio da
órbita, e que a esfera das estrelas fixas, situa-se aproximadamente no mesmo centro que o Sol, é tão grande comparada
com o círculo em que ele supõe que a terra gira suporta uma
proporção com a distância das estrelas fixas tem como centro
da esfera tem toda a sua superfície (Heath, p 3)
Basicamente ele escreve que o Universo é muito maior do que
aqueles propostos pelos outros pensadores e que as estrelas estão infinitamente distantes, pelo menos de maneira não mensurável para a época.
Perceba que a medida nula pode representar tanto a incapacidade de medir o valor da paralaxe quanto ser efetivamente nula.
Desta maneira deve-se verificar se existe uma “física” capaz de
justificar uma ou outra teoria de Mundo.
A chamada física Aristotélica é baseada na idéia que a Natureza
pode ter seu conteúdo classificado em grupo. Por exemplo, uma
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Figura 1.13: Como observamos que as
estrelas parecem descrever circulos em
torno de um ponto nos Céus fica relativamente fácil imaginar um sistema de coordenadas baseado neste movimento como
o esquematizado a direita. Como a estrela descreve o circulo a distância angular polar permanece constante. Quando
comparamos duas estrelas durante o movimento azimutal, percebemos que a distância angular permanece constante. Assim, estes dois valores passam a ser as coordenadas das estrelas. Como estes valores permanecem constantes podemos dizer que o movimento das estrelas é rígido. Dizemos que as estrelas são “fixas”.
pedra de granito é parecida com uma pedra de marmore, ou
mesmo um torrão de terra. Por semelhança, verter água de um
copo é muito parecido ao verter um copo de vinho, vinagre ou
álcool. Então faz um certo sentido dividir as coisas da Natureza
em quatro grupos, a citar
• terra, pedras, torrão de terra, tudo que tem uma forma definida e que quando solto cai e fica, cedo ou tarde, em repouso.
• água, naturalmente água, vinho, álcool, que não possou forma
dfinida mas a forma daquilo que a contém e quando vertida
cai, escorre e fica em repouso. Lembre-se um lago.
• ar, o ar, gases vulcânicos, etc... Quando soltos sobem! Emborque um copo em um lago e vire-o, o ar sobe!
• fogo, naturalmente fogo. Quando feito as chamas sobem, claramente diferente dos materiais tipo terra, água e ar.
Figura 1.14: A observação do planeta Vênua permite decidir sobre qual modelo
de Universo é mais adequado. Observe
como as fases, as áreas iluminadas observáveis a partir da Terra, deste planeta
seriam em cada uma dos modelos. Para
comparação colocamos uma série de imagens feitas por Chris Proctor no Observatório TBGS, em 2002.
Imagine que você solte pedras continuamente. Como as pedras
caem para um centro, então cedo ou tarde estas pedras se espalham formando um conjunto que vai se tornando cada vez mais
esférico e em repouso.
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Desta maneira a física aristotélica sustenta a idéia que a Terra
deva estar em repouso em torno de um centro. Como este centro está em repouso, esta análise está em acordo com as observações sobre a paralaxe estelar: não há movimento.
Por consequência o modelo que deve ser aceito é a teoria geocentrica.
Quando observamos os Céus percebemos que a medida em que
a noite vai correndo as estrelas que estão nos céus também vão
mudando. Podemos perceber que na noite seguinte estas mesmas estrelas aparecem. Entretanto há uma estrela no hemisfério norte que quase não muda de posição durante a noite e
ela é conhecida como estrela polar. As outras estrelas parecem
descrever círculos em torno desta estrela.
Se continuarmos mais além, percebemos que todas as estrelas
apresentam este movimento. Fica natural então dar a distância
angular entre a estrela polar e o círculo que a estrela de interesse
está descrevendo.
Quando se compara, agora, as estrelas que estão no mesmo círculo percebemos que nenhuma estrelas ultrapassa outra estrela.
Estas estrelas parecem ter um movimento rígido, como se estivessem desenhadas sobre um vidro de compota colocado para
girar. As estrelas estão então fixas umas em relação as outras.
Já os planetas percorrem os Céus, ultrapassando as outras estrelas. Este movimento “erratico” é então examinado por meio das
mesmas coordenadas que utilizamos para descrever as posições
das estrelas.
Isto permite obter os valores numéricos das velociades dos planetas através dos Céus. Tendo-se a velocidade do planeta podemos prever então a posição futura do planeta. Comparando-se
a posição prevista e a posição observada podemos verificar se a
eterminação da velocidade foi boa ou não.
Entretanto, podemos perceber que um resíduo sempre permanece. Este resíduo é natural pela precisão na determinação da
posição dos planetas, nocaso 100 .
Mas quando Tycho Brahe faz suas observações a qualidade destas observações são de 20 . Isto coloca em dúvida a qualidade do
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Figura 1.15: O planeta Marte tem um movimento nos Céus que é conhecido como
retrogrado. Este movimento é modelado
na teoria geocentrica por meio de um epiciclo. Já dentro de uma teoria héliocentrica este movimento retrogrado é natural
pois representa a ultrapassagem do planeta externo pelo interno.
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Figura 1.16: São oito dados que Tycho
Brahe tem das conjunções de Marte com
a precisão de 20 . Como havia uma divergência entre as observações e as previsões geocentricas de 100 , isto implica
que o modelo deveria estar com problemas. A partir da idéia copernicana, kepler recalcula as previsões com os movimentos planetários circundando o Sol,
mas por meio de quais trajetórias? Kepler testa desde órbitas circulares à elipticas. Quando ele utiliza as elipses a diferença entre as observações e as previsões
héliocentricas caem para 20 . Com isto o
modelo geocentrico pode ser descartado
em favor do modelo héliocentrico.
modelo do movimento planetário.
Com isto, Kepler a partir da idéia copernicana testa possíveis
movimentos planetários dentro de uma teoria héliocentrica. Após
testar os diversos movimentos chega a conclusão que o movimento planetário é eliptico. Conhecemos este resultado como a
Primeira Lei de Kepler.
1.5. A Nova Física: A Física Galilo-Newtoniana
Quando lançamos um bloco sobre uma mesa há algo que para
o bloco, e aquilo que faz parar este bloco chamemos de atrito.
Esfregue a mão como se fosse o bloco, você sentirá este atrito!
Então o atrito é uma ação que diminui, que impede, o movimento.
Podemos melhorar o escorregamento deste bloco, polindo um
pouco o bloco ou a mesa. O que ocorrerá? O bloco alcança uma
distância ainda maior, se o lançar da mesma maneira com que
você o havia lançado. Com a mesma velocidade.
Perceba que a medida que o bloco vai parando, a velocidade
diminui. Então verifiquemos as velocidades dos blocos nas diversas situações. Ao lançarmos temos uma velocidade inicial
que será a mesma cada vez que lançamos um bloco.
Num primeiro trecho a uma certa distância após o lançamento
a velocidade deve ser menor do que a velocidade inicial, pois o
atrito diminuiu a velocidade do bloco. Tomando um segundo
trecho ainda mais distante, a velocidade no segundo trecho deve
ser não só menor do que a velocidade inicial mas também com
o valor obtido no primeiro trecho. Veja a figura 1.17.
Após esta análise com o primeiro lançamento do bloco, melhore o escorregamento do bloco; por exemplo polindo o bloco
ou a mesa. Lance novamente o bloco. Como ele alcançará uma
12
13
distância maior podemos afirmar que no segundo trecho a velocidade do bloco é maior do que a velocidade no mesmo trecho
na primeira tentativa. O mesmo pode ser dito no primeiro trecho. Mas perceba que os valores da velocidade não podem ser
maiores do que os valores nos trechos precedentes.
Quanto mais pudermos melhorar o escorregamento, maiores
serão as velocidades, cada vez mais próximas dos valores obtidos nos trecos precedentes, mas nunca superiores. Quanto
mais pudermos melhorar o escorregamento, mais o valor no
segundo trecho se aproximará do valor da velocidade de lançamento. Cujo limite, se for possível eliminar completamente o
atrito que atrapalha o escorregamento do bloco, será a velocidade de lançamento.
Assim podemos afirmar,
Na ausência de ações externas, o movimento do corpo permanecerá constante.
Resecrevamos em notação matemática
v = cte −→ F = 0
(1.5)
Observe que este instante é um dos instantes mais impressionantes do estudo da mecânica do movimento. É a primeira
vez que podemos atribuir um valor numérico para a força sobre um corpo, neste caso quando temos a força nula. Perceba
que é bem diferente você saber se você está, ou não, fazendo
força muscular. Aqui temos um método independente da sua
sensação subjetiva, basta réguas e cronometros.
E por oposição
Na presença de uma ação externa, o movimento não poderá permanecer
constante.
Resecrevamos em notação matemática
v 6= cte −→ F 6= 0
(1.6)
Bom mas o que é o movimento? Como pode ser descrito o
movimento de um corpo? Pela velocidade? Seria o movimento
mudança de posição?
Considere o seguinte experimento: dois carrinhos um deles carregado de pedras e o outro vazio. Pegue dois brutamontes de
mesma força; para testar se fazem a mesma força, faça um empurar o outro, se algum deles recuar significa que este fez mais
força que o outro.
Cada brutamontes empurra um dos carrinhos. Veremos que
um dos carrinhos é mais fácil de ser empurrado e terá maior
velocidade rapidamente, e este carrinho é o vazio.
Coloque os dois carrinhos com a mesma velocidade e faça os
brutamontes tentarem parar os carrinhos. O carrinho que para
mais rapidamente é aquele vazio.
13
Figura 1.17: Se lançarmos um bloco sobre uma mesa ele parará porque existe
o atrito que o faz parar. Se lançarmos
o bloco novamente mas melhorando seu
escorregamento a velocidade em trechos
sucessivos será cada vez mais próxima da
velocidade de lançamento. Assim percebemos que se fossemos capazes de eliminar tudo o que atrapalha o movimento do
bloco ele permaneceria em movimento
constante.
14
Isto coloca em evidência que o movimento de um corpo não
depende somente de sua velocidade mas também de seu peso.
Vamos criar uma nova propriedade física que chamaremos quantidade de movimento, representado por p e que sabemos é função da velocidade do corpo v. Sempre é possível escrever uma
pripriedade física como uma soma de funções, aqui escolhemos
uma soma polinomial em v:
p = a0 + a1 v + a2 v2 + a3 v3 + ...
2
Isto é equivalente a expansão em série
de Taylor. Outras representação também
poderiam ser utilizadas. A série de MacLaurin é em principio usada para a análise do corpo negro por Planck, mesmo
que ele não fale explicitamente disto. As
séries de Fourier típicas de representações periódicas, mas não exclusivas.
3
Perceba que efetivamente a quantidade
m é uma função da velocidade. Usualmente sempre foi considerada constante
o que não tem a obrigação de ser. Na realidade quando estudamos a teoria da relatividade restrita chegamos a conclusão
que m é uma função da velocidade,
m = mo q
1
1−
v2
c2
.
(1.9)
(1.7)
onde ai são coeficientes a serem determinados. 2
É razoável atribuir uma quantidade de movimento zero para
um corpo que está parado, então o coeficiente a0 é nulo. Como
os termos restantes são todos função da velocidade podemos
colocar em evidência a velocidade resultando em
p = ( a1 + a2 v + a3 v2 + ...)v
(1.8)
O termos entre parenteses pode ser considerada uma propriedade física cujo significado será atribuído a posteriori e escolhemos representar pelo símbolo m, ficando3
(1.10)
p = mv.
Revisitemos as leis sobre o movimento que Galileo enunciou
considerando que o movimento não seja a mudança de posição
v mas sim a quantidade de movimento p.
A primeira análise de Galileo diz que na ausência de ações externas o movimento permanece constante, ou
p = cte
−→
F=0
(1.11)
A segunda análise de Galileo diz que se uma força atua sobre o
corpo esta deverá mudar sua velocidade, agora a força deverá
mudar a quantidade de movimento, que pode ser notada por
∆p. Como esta mudança ocorre durante um intervalo de tempo
∆t temos inerentemente uma taxa de mudança de movimento e
que vamos associar à força F. Escolhe-se a seguinte relação por
definição
p 6= cte
−→
∆p =
Z
Fdt
(1.12)
Claro que uma melhor medida para descrever as minúcias do
movimento a partir das diferenças, representadas por ∆, devem
ser tão pequenos quanto se queira, ou quanto possível.
Estas duas reanálises chamamos de Leis do Movimento de Newton.
Será que estas leis do movimento são boas? Sim e não.
Elas são em princípio melhores pois sabemos que o movimento
não é somente velocidade e a propriedade m introduzida deve
14
15
a
e
i
P
Mercúrio
0.387
0.206
7.00
0.241
Vênus
0.723
0.007
3.39
0.615
Terra
1.000
0.017
0.00
1.000
Marte
1.524
0.094
1.85
1.881
Júpiter
5.203
0.048
1.31
11.862
Saturno
9.534
0.054
2.49
29.456
10
Período Orbital
Objeto
1
1
10
Distância média (ua)
melhorar a descrição pois insere mais um parâmetro; se introduzirmos ad infinitum parametros qualquer coisa pode ser descrita mesmo que não saibamos o que está acontecendo. Então a
melhor descrição deverá ser aquela que possua o menor número
de parametros possível.
A terceira lei de Kepler pode ser resumida a partir da análise
dos resultados orbitais, figura ??, obtidos por Kepler por meio
da expressão:
P2
= constante = k.
a3
(1.13)
A partir deste resultado podemos construir uma expressão para
uma força que atua entre os corpos conhecidos, que dentro do
modelo seria entre o Sol e cada um dos planetas. Por analogia
considere uma pedra tendo um movimento circular em torno
de uma mão. Perceba que este movimento só pode oorrer pois
algo mantém a distância entre a pedra e a mão, uma corda.
Já era conhecido, de Issac Newton, que a força que mantém
um movimento circular a um centro, a partir das características
geométricas deste movimento, velocidade v e raio a, pode ser
dada por:
F=m
v2
.
a
(1.14)
Assim a terceira lei, equação 1.13, deveria poder ser transformada em algo semelhante a expressão da força centripeta, equação 1.14. Como a velocidade do movimento circular pode ser
escrita como
v=
2πa
P
ou
P=
2πa
,
v
(1.15)
substituindo na equação 1.13 temos
4π 2 a2 1
= k.
v2 a3
(1.16)
15
Figura 1.18: A partir da determinação
dos parametros orbitais dos diversos planetas pode-se tentar correlacionar as diversas propriedades entre si. Quando observamos os valores das colunas associadas a distância e ao tempo de órbita,
parece natural que quanto maior a distância maior será o tempo para efetuar
uma órbita. Mas esta relação nem sempre deve ser linear, então podemos determinar uma lei de potência para estas
propriedades. Fazemos isto por meio de
um diagrama mono-logaritmico, ou bilogaritnico. Aqui fazemos o diagrama
log-log e percebemos que a sequência de
dados torna-se uma reta que pode ser associada a uma reta. A inclinação desta
reta dá a razão dos expoentes das duas
propriedades. Aqui este coeficiente angular é 1.5, ou 23 . O que resulta na conhecida Primeira Lei de Kepler.
16
Simplificando adequadamente resulta em
v2 a =
4π 2
k
ou
v2
4π 2 1
=
.
a
k a2
(1.17)
Na forma da equação 1.14 temos
F=m
v2
4π 2 1
=m
a
k a2
ou
F=
k0
.
a2
(1.18)
Isto significa que a força, seja ela qual for, que mantém os planetas próximos ao Sol deve depender da distância ao Sol. Quanto
mais distante mais fraca, o que é compatível com um maior
tempo orbital.
Como a força deve ter origem em alguma coisa que exite nos
planetas, tal qual o magnetismo de um ímã é devido a alguma
coisa que existe dentro do ímã, podemos imaginar que existe
uma certa quantidade destes algo dentro de cada corpo. Desta
maneira podemos imaginar que quando uma pedra cai, é algo
que faz a cair sobre o planeta, então esta pedra também deverá
ter a mesma propriedade que está dentro do planeta. Por extensão, uma pedra para ser mantida longe do solo dever-se-á fazer
mais força, então a pedra deverá conter mais desta propriedade
atrativa, do dobro do peso então o dobro da propriedade. Ou
(1.19)
F = (constante) M.
Por analogia o outro corpo também deve possuir esta propriedade e portanto este também deverá obedecer a mesma forma
da equação 1.19. Assim resultará que a força que atua entre o
Sol e o planeta será dada por
F = (constante)
MSol M planeta
a2
(1.20)
onda a é a distância entre do Sol ao planeta.
Observe que se o Sol atrai um planeta por possuir uma propriedade física, o planeta também deverá ter esta propriedade física,
por extensão os planetas também deverão se atrair entre si pois
todos devem possuir esta propriedade física. Ainda mais se a
Lua também descreve um movimento compatível com a elipse,
quase circular, esta também deverá ter esta propriedade. E finalmente se a Terra é feita de material terrestre, que é atraída
pelo Sol, uma pedra é atraída pela Terra, então a pedra também deverá ter esta propriedade física. Assim todos os corpos
conhecidos deverão ter esta propriedade então todos os corpos
devem se atrair pelo simples fato de terem esta propriedade. A
conclusão surpreendente é que o material que são constituídos
os planetas observados nos céus, que foram considerados distintos, por possuirem um movimento contínuo, dos movimentos de pedras, que entrarão em repouso, não são, na realidade,
diferentes.
16
17
Existe portanto uma unificação entre os céus e terra, assim uma
ação entre massas que é universal, a “força da gravitação universal”!
Os objetos celestes eram feitos de material celeste enquanto que
a Terra era feita de material tipo terra. Com a construção da lei
de gravitação, mostramos que o Sol deve ter uma propriedade
física associada a massa tal qual a Terra tem massa.
O Sol passa a ter a maesma propriedade que a Terra, portanto
deve ser feita dos mesmos tipos de material. Como Marte também é atraída pelo Sol, Marte também deve ser feito do mesmo
material da Terra. Então, todos os objetos celestes são feitos dos
mesmos materiais que são feitos na Terra.
Por extensão, tudo que está nos céus é o mesmo que está na
Terra. Eis a primeira grande unificação que o conhecimento
humano produziu.
1.6. Propriedades Físicas dos Planetas
Como pesar uma balança se você não consegue sair de cima
dela? A determinação do peso, ou seja medir m, da Terra também é em princípio problemática. Mas considere a expressão
da força gravitacional entre duas massas. O que faz um corpo
pesar? A ação da Terra sobre a massa do corpo que pesa. Então
podemos identificar o peso de um corpo com a ação gravitacional sobre ele,
G
Mm
= mg
d2
(1.21)
onde g é o valor medido da aceleração gravitacional, a priori
no local do experimento, G a constante da gravitação universal,
M a massa da Terra e m a massa do corpo que pesa. Aqui a
distância entre m e M é d, neste caso o raio da Terra4 .
Isolando o valor M, a massa do planeta temos
M=
gd2
G
(1.22)
Alternativamente o que faz a Lua orbitar a Terra é a massa da
Terra, então o mesmo pode ser feito para a Lua. Associando
a representação geométrica da força que garante o movimento
circular, a força centripeta, com a força entre as massa, temos
G
Mm
v2
=m
2
r
r
(1.23)
onde r é a distância do centro da Terra ao centro da Lua, M
continua sendo a massa da Terra e m agora é a massa da Lua.
Intervindo aqui temos v a velocidade orbital da Lua em torno da
Terra. A priori não sabemos este valor, mas sabendo a distância,
17
4
Uma complicação é que o valor medido
g é a aceleração efetiva no local onde
ocorreu a medida, que é afetado da rotação da Terra.
18
r, e o período orbital, P, temos esta velocidade, i.e.,
v=
2πr
P
(1.24)
Fazendo a devida substituição e isolando o valor de interesse
teremos o resultado
M=
rv2
G
(1.25)
Observa que esta técnica, utilizando a órbita da Lua, pode ser
utilizada também para medir a massa dos planetas que possuem satélites orbitando. Antes do advento das missões espaciais planetárias tinhamos Marte, Júpiter, Saturno, Urano e
Netuno.
1.7. A Estrelas mais Próximas
No coração do Principia de Newton reside um profundo paradoxo. A gravidade é uma força e a gravidade universal é uma
força universal, e uma força universal, pelo menos, deveria ser
uma causa de movimento universal.
É surpreendente que no Principia Newton nada diz sobre o paradoxo da existência de uma força causadora de movimento
sobre um universo de estrelas “fixas”. No Principia o termo que
Newton usa para as estrelas é fixa (de fixa stella), visto que perto
de dois mil anos de observações justificavam este termo.
A atenção de Newton foi direcionada às questões cosmológicas
somente após 1692, quando Richard Bently, teólogo, escreveulhe e perguntou-lhe sobre o Universo ser finito ou infinito. Ambos concordaram facilmente que o universo de estrelas não poderia ser finito por que as estrelas eram fixas, em repouso, e um
sistema de estrelas finito em repouso sofreria sob influência da
gravidade um rápido colapso. As estrelas seriam puxadas para
o centro de um sistema finito. Caso o sistema fosse infinito não
existiria um centro para o colapso.
James Gregory, em 1668, publicou um pequeno trabalho de geometria contendo num breve apêndice um brilhante método para
a determinação da distância aproximada das estrelas. O método
baseava-se no princípio, cada vez mais aceito como certo, que o
Sol é uma estrela que casualmente é a mais próxima, e que as
estrelas e o Sol eram fisicamente similares.
Segue-se assim, que o Sol e uma estrela, por exemplo Sirius,
diferiam de brilho aparente pela suas distâncias até nós e que
se o Sol estivesse tão longe quanto Sírius, este brilharia tanto
quanto Sírius nos é visível.
Agora, se espaço entre nós e Sírius for completamente transparente, o brilho observado diminuiria com o quadrado da distância. Com isto basta medir a diferença de brilho para ter-se
18
19
uma idéia da distância à Sírius em Unidades Astronômicas, a
da distância da Terra ao Sol.
A dificuldade residia em determinar a diferença de brilho com
as tecnologias disponíveis na época. Gregory imaginou um método engenhoso para resolver esta dificuldade prática que foi
aplicada por Newton em seu Sistema do Mundo concluindo que
Sírius estaria a impressionante distância de um milhão de Unidades Astronômicas.
Assim fica surpreendente que a primeira pessoa na história,
Newton, que pode entrever as distâncias entre as estrelas, capaz
de perceber que o estado de repouso das estrelas era completamente inconclusivo, não tenha o feito.
Um dos problemas colocados pelos antigos contra o modelo
héliocentrico que antes havia sido proposto é a chamada inexistência da paralaxe estelar. O que é isto?
Fique na frente de uma paisagem. Feche um dos olhos e observe
as posições de alguns objetos em relação a outros. Por exemplo
em uma sala de aula, a posição de um aluno em relação a outro
que está atrás. Aquilo que seu olho descoberto enxerga.
Agora alterne o olho que observa e feche o primeiro. A distância dos objetos em relação aos outros irá mudar. Alguns se
afastarão outros se aproximarão. Até mesmo poderão estar parcialemente escondidos. Veja a figura 1.24.
Uma maneira alternativa que foi proposta por Gregory, em um
19
Figura 1.19: Exemplificando o que os
olhos observam e as posições relativas
observadas sendo diferentes nos dá uma
medida de distância deste objeto. Esta
é a base utilizada pela cartografia para
a produção de mapas geográficos. A
mesma idéia utilizada na geografia pode
ser usada na astronomia. A dificuldade
inerente é que dois observadores não farão as observações simultaneamente, pois
o tamanho da Terra é pequeno e o problema de sincronismo. Assim, supondo
que o fundo de estrelas é distante o sufuciente a aparente mudança de posição nos dá a medida angular referente
a distância a estrela como esquematizada
acima.
20
panfleto de seis páginas, era comparar o brilho observado de
uma estrela. Se fosse possível atribuir o brilho absoluto, a potência da estrela como um todo, a diferença de brilho estaria
associada com a distância.
Newton efetuou então a medida do brilho de Sírius em função
do brilho do Sol. Ainda não é claro como efetivamente foi feita
esta medida, mas supondo que ambos o Sol e Sírius teriam a
priori o mesmo brilho absoluto, a diferença indicaria portanto
que a distância de Sírius a Terra seria na ordem de um milhão
de vezes a distância da Terra ao Sol.
Esta era a primeira vez que se estimava, coerentemente, um
valor para a distância às estrelas.
Na realidade a paralaxe estelar existia, mas possuia um valor
numérico tal que os instrumentos não eram capazes de detectar. Foi somente com o advento do micrometro acoplado com
um telecópio que permitiu a determinação das distãncias às estrelas.
Uma dificuldade natural do “método” utilizado por Newton é o
uso da hipótese de que Sírius teria o mesmo brilho que o Sol, o
que, a priori, não será. Isto significa que a distância inferida pelo
método não é confiável, apesar de refletir, de alguma maneira, o
valor “verdadeiro”. A partir deste raciocínio percebe-se que há
a necessidade de encontrar um outro método de determinação
de distâncias.
Outra grande objeção a construção de um modelo héliocentrico
do sistema de planetas consistia na medida nula da paralaxe estelar. Como no modelo héliocentrico caracterizava-se pelo movimento da Terra, este movimento colocaria um observador situado nela e posições diferentes quando observando as estrelas.
Tabela 1.1: Quando se pode medir a paralaxe trigonométrica pode-se determinar
a distância até a estrela. O subproduto
natural deste valor é a determinação do
brilho absoluto desta estrela a partir do
valor medido do brilho aparente.
Nome
α Centaury
Coordenadas (J2000)
Distância
Brilho
α
δ
π
D
mV
MV
A
14h 39m 35.1s
747.23(117)
4.3650(68)
0.01
4.38
B
14h 39m 36.5s
−60°500 0200
1.34
5.71
C
h
m
s
−62°400 4600
768.87(029)
4.2421(16)
11.09
15.53
+04°410 3600
546.98(1 00)
5.9630(109)
9.53
13.22
10 49 15.57
−53°190 0600
495 (5)
6.59(7)
10.7
Wolf 359
10h 56m 29.2s
+07°000 5300
419.10(210)
7.7825(390)
13.44
16.55
Lalande 21185
11h 03m 20.2s
+35°580 1200
393.42(070)
8.2905(148)
7.47
10.44
−16°420 5800
380.02(128)
8.5828(289)
−1.46
1.42
8.44
11.34
12.54
15.40
12.99
15.85
17h 57m 48.5s
Estrela de Barnard
WISE 1049-5319
14 29 43.0
−60°500 1400
A
h
m
s
B
Sirius
A
h
m
s
06 45 08.9
B
Luyten 726-8
A
01h 39m 01.3s
−17°570 0100
B
20
373.70(270)
8.7280(631)
21
Assim, dever-se-ia notar uma mudança no padrão das estrelas,
este movimento estelar periódico chamava-se paralaxe estelar.
Com uma estimativa de distância pode-se concluir, parcialmente,
que mesmo possuindo um movimento devida a distância a paralaxe estelar seria muito pequena e, muito provavelmente, além
da capacidade observacional. Assim, as estrelas pareceriam paradas.
Podemos exemplificar a paralaxe estelar pelo passeio em meio a
um arvoredo. A medida em que se passeia as arvores movem-se
umas em relação às outras pela existência do movimento através
das árvores.
Imaginemos agora o movimento da Terra em torno do Sol e
como estas estrelas mover-se-iam supondo que este observador
seja capaz de observar pequenos ângulos. Para efeitos de análise considere uma estrela “próxima” e diversas estrelas mais
distantes.
A medida em que a Terra percorre sua órbita, a estrela “próxima” descreve um caminho no céu que reflete a mudança do
observador. A amplitude desta mudança pode ser medida na
foma de um ângulo, como está esquematizado na figura ??.
Tendo-se agora este ângulo e conhecendo-se a distância entre
os dois pontos extremos da órbita terrestre, conhecemos então
a distância a estrela “próxima”.
Agora que conhecemos a distância por um método que não é
baseado no brilho da própria estrela, poderemos saber qual é
seu brilho, sua potência, e comparar com a potência do Sol.
Uma vez feita tal tabela, objeto, potência e distância, podemos
perceber que a hipótese de Gregory é somente aproximada e
leva a um erro na determinação da distância.
Vale muito salientar que a idéia de Gregory não deve ser rejeitada simplesmente por que ela não dá o valor “correto” da
distância, mas sim considera-la como extremamente útil, pois
foi esta que permitiu a primeira estimativa de distância para alguma estrela. Claro que técnicas mais aprimoradas resultarão
em valores “melhores”, todavia uma informação mesmo que
aproximada é melhor do que nenhuma.
Seria o Sol uma grande fogueira? Como poderiamos fazer para
poder decidir se sim ou não? Imaginemos um experimento.
Se o Sol for uma grande fogueira, basta fazer uma grande, pelo
menos para nós humanos, fogueira e ver as consequências sobre
alguns objetos e comparar estes mesmos objetos colocados ao
Sol.
Colocou-se esterco, unhas, cabelos e pedaços de carne. Como
os objetos colocados ao Sol putrefavam de maneira diferente daqueles colocados sob a luz e calor da fogueira, pode-se concluir
21
22
Figura 1.20: Diagrama HertzsprungRussel que correlaciona as cores das estrelas, que está associado tanto a temperatura e brilho absoluto. Algumas estrelas conhecidas estão inficadas.
que o Sol não é igual a uma grande fogueira. Realmente, carne
de Sol é diferente de carne de fogueira, e não seria carne de Sol
se não fosse o Sol.
Cuidado, hoje podemos simular a ação do Sol sobre carnes e
fazer carne de Sol sem Sol. Quase igual. O mesmo ocorre com
carnes defumadas. As carnes defumadas hoje são sabor fumaça
e em geral não são defumadas realmente.
Como estudar o que é o Sol? Para isto devemos determinar as
propriedades físicas e geométricas do Sol e atribuir números a
partir de medidas adequadas. Para se comparar com as estrelas,
a primeira tentativa seria seu brilho. O brilho tem duas componentes, uma é a intensidade do brilho e outro é a cor do brilho.
Existem estrelas vermelhas, amarelas e brancas, ou coisa que o
valha.
Será que estrelas brancas são tão brancas quanto as outras estrelas brancas? Isto decorre da comparação de tecidos brancos
com outros tecidos brancos. Alguns parecem mais amarelados
enquanto outros parecem mais azulados. Assim temos que determinar quanto de azul tem estes dois brancos, quanto de amarelo, de verde, ou de vermelho. Se um branco tem mais azul
quando comparado com vermelho este branco é azulado, mas
22
23
Figura 1.21: O sistema Kruegar 60 é um
objeto binário. Acima temos três exposições mostrando o movimento desta binária. Quando transofamos as distâncias
observadas nas imagens com a extensão
em metros na distância das estrelas, podemos determinar a massa destas estrelas.
se tem menos pode ser outra cor: amarelo, vermelho.
O Sol é “branco” mas podemos filtrar a quantidade de luz azul
e a quantidade de luz vermelha presente no branco. A razão ou
a diferença entre estes dois nos dá um número. Quando fazemos o mesmo para as estrelas percebemos que há uma grande
variedade de razão de cores, um contínuo de valores.
Sabendo as distâncias a estas estrelas, podemos determinar quan
é o brilho absoluto, independente da distância, ou uma distância de referência. O diagrama entre estes brilhos comparáveis,
com as diferenças entre as cores nos dão um diagrama conhecido hoje como diagrama Hertzsprung-Russel, figura 1.20.
1.8. As Estrelas não tão Próximas
Da mesma maneira que podemos inferir a massa dos planetas
dotados de satélites podemos determinar a massa das estrelas...
bom desde que estas tenham satélites observáveis. Os objetos
estelares contendo satélites são as estrelas binárias, o satélite é
uma outra estrela.
Isto causa uma modificação na aplicação da terceira lei de Kepler pois devemos incluir a contribuição da massa do satélite,
pois este satélite tem uma massa m2 comparável com aquele que
queremos medir m1 . Ou seja
( m1 + m2 ) P2 = ( d1 + d2 )3 = R3 .
(1.26)
O problema que intervêem é que devemos de alguma maneira
descobrir não só a distância R entre as estrelas, mas em relação
23
24
ao centro de massa do conjunto, d1 e d2 . Algumas vezes isto
é possível pela coleta sucessiva de images em relação a uma
outra estrela próxima dentro deste campo. O que em geral não
é o caso.
Assim deve-se ter um outro método robusto para determinar o
equivalente a este valores. Como estas estrelas movimentam-se
elas possuem velocidades orbitais. Por meio da espectroscopia
podemos medir a velocidade radial, em relação ao observador.
Entretanto a velocidade radial não é a velocidade orbital a menos que o plano orbital destas estrelas esteja perfeitamente de
perfil. Como em geral temos uma inclinação deste plano em
relação a direção de visada, todos os resultados ficam dependentes do seno da inclinação.
Figura 1.22: A associação entre as massas medidas em binárias com os respectivos brilhos produz aquilo que é conhecido como relação massa-luminosidade.
Quando coletamos os valores medidos das massas das estrelas
em que foi possível determina-la, podemos tentar correlacionar
o valor destas massas com outras propriedades físicas destas
estrelas.
Uma propriedade que pode ter uma relação com a massa da
estrela deveria ser o brilha da estrela. Quanto maior a massa
maior é a aceleração gravitacional sobre a própria massa, aumentando a pressão e, portanto, a necessidade de energia interna para contrabalançar a ação gravitacional. A consequência
final é que o brilho, a potencia da estrela deverá ser maior para
maiores massas.
Se isto for verdade, deve surgir esta relação quando construirmos uma figura relacionando a massa e o brilho absoluto, o que
é bem percebido na chamada relação Massa-Luminosidade, na
figura 1.22.
A extrapolação natural é colocar determinar as posições das estrelas com massas conhecidas dentro do diagrama HertzsprungRussell como o esquematizado na figura 1.23.
1.9. A Fonte Interna de Energia das estrelas
Figura 1.23: A associação entre as massas medidas em binárias com os respectivos brilhos produz aquilo que é conhecido como relação massa-luminosidade.
Pode-se também indicar onde as massas estão em um diagrama HetzsprungRussel, o que é feito a direita.
Na antiguidade o Sol era um Deus, para os egipcios era o olho
de Rá, o criador da luz e de todas as coisas. Pars os sumérios era
Shamash, deus da justiça pois o Sol tudo via. Para os gregos,
Apolo é responsável não somente pela iluminação da Terra com
luz, mas também da mente humana com o entendimento. Eles
acreditavam que o Sol era uma bola de fogo que atravessava
os Céus durante o dia e passava através da Terra em cavernas
durante a noite.
A primeira tentativa, algo científica, foi feita por Anaxagoras, no
século V a.C. Ele assistiu a queda de um meteorito do tamaho
de um vagão. Devida a natureza ardente ele concluiu que este
era um pedaço do Sol que havia quebrado. Como o meteorito
24
25
era metálico, ele deduziu que o Sol deveria ser uma grande
bola de ferro quente, em queima, com uns 56 km de diametro a
6500 km de distância.
Não se questiona efetivamente a origem da energia radiante do
Sol até o século XIX. Antes acreditava-se que o Sol deveria ser
feito de um material especial que brilhava eternamente, mas
isto entrava em conflito com a nova teroia da termodinâmica.
Surpreendentemente, o Sol poderia deixar de brilhar.
John Waterson calculou que o Sol somente poderia permanecer
quente por aproximadamente 30000 anos se sua fonte de energia fosse de origem química, tal qual a combustão. Entretanto
os geólogos já haviam que a Terra deveria ser pelo menos mais
antiga que milhões de anos. Assim John Waterson concluiu que
a fonte de energia deveria ser outra, e a única outra conhecida
era a gravidade. Ele imaginou que meteoros caindo sobre o Sol
transformariam suas velocidades em calor quando atingissem
sua superfície. Mesmo que essa teoria parecesse plausível o Sol
não era atingido por um número suficiente de meteoros.
Em 1854, Herman Helmholtz que era a contração da própria
massa do Sol que fornecia a energia para que o Sol brilhasse.
Assim, supondo que o Sol era um grande conjunto de meteoros
que caem um sobre os outros, ele conseguiu estimar que com
a contração da massa do Sol o Sol pederia brilhar por aproximadamente 20 milhões de anos. Esta teoria também parece
razoável, mas não explica cmo o brilho do Sol deva permanecer
constante por um grande intervalo de tempo.
Em 1887, Kelvin melhorou a teoria de Helmholtz sugerindo que
o Sol fora uma grande nuvem de gás e poeira que começou a
contrair-se, enquanto a nuvem colapsa o calor pode ser liberado
continuamente. Uma vez atingindo o tamanho atual a temperatura do núcleo do Sol deveria ser de alguns milhões de graus,
causando uma pressão interna que impede o colapso gravitacional. Nestas condições o Sol deveria levar um grande tempo
para esfriar, que novamente se contrai e novamente continua
a brilhar. Kelvin estimou que o Sol deveria reduzir seu tamanho uns 50 metros por século e permanecer quente durante 100
milhões de anos.
Todavia, os geólogos protestaram pois já haviam achado fósseis
indicando que a Terra deveria ter mais do que um bilhão de
anos.
Com o final do século XIX e o início do século XX, com o estabelecimento da relação massa-energia da relatividade especial e
do conhecimento da transmutação dos elementos, Arthur Stanley Eddington em 1926 propôs que o Sol convertesse hidrogênio
em hélio produzindo como resíduo energia.
25
Figura 1.24: O Sol deve ter uma fonte de
energia interna para poder brilhar. Esta
fonte deve ser térmica vito que “sentimos” o calor irradiado. Esta fonte deve
estar em algum lugar no interior da estrela. Os possíveis lugares seriam a priori
no centro da estrela ou em algum lugar
que não seja o centro. Mas se este lugar
não for o centro, bem provavelmente saberiamos disto pois um lado do Sol deveria ser mais brilhante do que o outro. Assim se o local não for o centro, este deve
ser uma camada esferosimétrica. Imaginemos que está a uma certa distância do
centro. O fluxo de calor irradiado seria
para fora e para dentro desta camada.
Como não há local de fuga para dentro,
o interior atingiria uma temperatura pelo
menos igual a da camada gerador. Assim os perfis possíveis estão desenhados
esferosimatricamente.
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Baseado na expressão E = mc2 e nos valores das massas do
hidrogênio e do hélio, a diferença de massa transformada em
energia poderia, com o brilho atual, manter o Sol, usando o
décimo de sua massa, irradiando durante aproximadamente 11
bilhões de anos.
O que foi evidênciado anteriormente é que se estrelas pertencem a um mesmo aglomerado pela ação da gravidade mantendoas próximas, então bem provavelmente estas estrelas deverão
ter se formado já como membros destes aglomerados e assim
todas terão a mesma idade. Como questionar sobre a idade das
estrelas?
A antiga analogia do Sol ser parecido com o fogo de uma fogueira pode não ser adequada, mas qual conclusão tiraríamos
sobre a idade das estrelas quando estas forem imaginadas como
uma fogueira? Quanto maior uma fogueira, mais “quente” esta
será. Isto significa que a fogueira estará emitindo mais energia
a cada instante do tempo do que outra mais “fria”. Então, se temos madeira, ou qualquer outro combustível, uma quantidade
de energia a ser gerada implicará no consumo de uma quantidade de combustível. Se a fonte emite mais energia por unidade
de tempo, então o consumo de energia será proporcionalmente
maior. Seria esta conclusão adequada? Como verificar isto?
Para as estrelas próximas tem-se facilmente um catálogo de estrelas contendo informações sobre sua luminosidade aparente,
potência absoluta,... precisa-se das massas das estrelas. Como
obter a massa das estrelas?
Considere um par de pessoas dançando, interagindo de maneira que permaneçam próximas uma da outra. Caso as duas
pessoas tenham a mesma massa, então as duas girarão equidistantes a um ponto entre elas, mas se uma delas for muito mais
“pesada” do que a outra, então o movimento da dança será
diferente, o ponto de giração ficará muito mais próximo da pessoa “maior”. Outro mais, quanto mais rápido for o movimento
mais forte terão de se segurar um ao outro. Para as estrelas a
força de atração sendo a gravitação podemos então observando
as ampitudes do movimento e sua periodicidade a massa e a
razão de massa das estrelas (duplas).
Assim, com o catálogo enriquecido, peo menos para as estrelas
duplas, com os valores de massa, tentemos verificar a possível
correlação entre a massa e o brilho absoluto das estrelas. O que
resulta está colocado no diagrama da figura 1.22.
Observando mais detalhadamente este diagrama, podemos verificar que o brilho da estrela cresce com a massa da estrela,
o que parece razoável, mas o brilho cresce muito mais rapidamente, o que impicará que a estrela irá consumir muito, muito
mais rapidamente “seu combustível” do que ela ganha com o
aumento de massa. Isto resultará que a estrela terá assim uma
26
27
vida mais curta. Observe que seja qual for a fonte de energia da
estrela, ela dverá estar associada a sua massa e não a um agente
externo a ela.
Como as estrelas mais brilhantes estão no extremo superior da
Sequência Principal então como elas irão evoluir muito mais
rapidamente do que as estrelas da parte inferior da Sequência
Principal, e assim aglomerados de estrelas mais “antigos “ irão
conter uma deficiência de estrelas de grande massa. Tal fenômeno pode ser observado no diagrama côr-luminosidade para
dois aglomerados de estrelas conhecidos como Pleiades e Praesepe, na figura ??.
Análises modernas podem obter valores para as idades em função da massa, e estão esboçadas na figura ??. Observe na referida figura que a idade cresce muito rapidamente quanto mais
fundo for a exaustão das estrelas, o que mostra que estrelas de
pequena massa podem ter idades imensamente grandes.
As estimativas atuais indicam que podem haver aglomerados
de estrelas com idades de até 19 bilhões de anos. Se imaginarmos, sustentados pela análise do dito paradoxo de Olbers, que
o Universo tem uma idade, as estrelas mais antigas tendo idades da ordem de 19 bilhões de anos, então o Universo deverá
ser algo mais “velho” do que este valor. Deve-se ter o cuidado
de tomar o número muito ao pé da letra, pois quando se tem
uma estimativa deve-se levar em conta os possíveis erros das
medidas e de modelagem. Com isto o erro do valor indicado
pode ser de até 4 bilhões de anos para mais ou para menos.
1.10. Nossa Galáxia
Senhor,
Diz-se, e, se eu me lembro bem, é também sua opinião, que três dos mais
belos espetáculos da natureza são um amanhecer sobre o mar, uma paisagem verdejante com um arco-íris e uma clara noite a luz das estrelas.
Eu frequentemente observo eu mesmo estes espetáculos com uma grande
alegria e um grande prazer. Eu vejo o primeiro frequentemente e sempre com uma agradável surpresa; eu, também frequentemente, observo o
segundo sem menor admiração, mas eu jamais levantarei os olhos para
o último sem um assombro misturado de uma espécie de felicidade. A
última noite, esta admirável cena se mostrou em toda sua beleza, e como
diz Milton
O silêncio se fez, agora que o firmamento avermelhado de suas
Safiras vivas; Hesperus que guia a armada de estrelas se eleva a
mais brilhante...
Eu descobri que era impossível de ver por muito tempo esta cena prodigiosa, tão plena de objetos estupendos, e particularmente a Via Lactea
que, a Lua estando ausente, em toda sua perfeição, sem ser obrigado a
pensar em minha obra: esta zona de luz sendo o objeto principal que eu
empenho-me de tratar e de explicar. [...]
27
28
A partir de 1610, Galileo Galilei apontando para o céu, seu telescópio, na direção daquele fenômeno luminoso que cruza os
céus e conhecida como Via-Lactea, percebe que o fluido celestial
é na realidade um grende número de estrelas com uma grande
variedade de brilhos aparentes.
Issac Newton, o primeiro a ter alguma idéia sobre a distância
às estrelas, não se dá conta que não há necessidade de fazer o
Universo infinito e uniformemente preenchido para evitar que
a força gravitacional faça colapsar todo o Universo.
Thomas Wright apresenta, em 1750, a discussão sobre a não uniformidade observacional na distribuição de estrelas nos céus e
tenta inferir a causa desta distribuição não uniforme. Ele considera a possibilidade da distribuição espacial se assemelhar a
um disco e nosso Sol estar dentro deste.
[...] Agora admitindo que a largura da Via Lactea seja somente
9o de largura, e supondo que haja somente 1 200 estrelas por
grau quadrado, ela terá em sua totalidade da superfície orbicular
aproximadamente 3 888 000 estrelas, e todas estas estrelas em
uma pequena porção da imensa extensão dos céus.
E logo após esta proposição estima o tamanho do conjunto de
estrelas, utilizando-se da medida de Newton a Sírius
[...] E como as estrelas são todas visíveis graças a bons telescópios até 9a ou 10a magnitude, se nós multiplicarmos a distância primária de Sírius ou de não importa qual outra estrela
desta classe pelo número de espaços intermediários comuns, o
produto será igual ao raio da criação visível para um observador situado no Sol e esta distância, por esta regra, encontrar-se-á
6 000 000 000 000 de milhas tomando-se uma estrela de 6a magnitude e para uma estrela de 9a magnitude, 9 000 000 000 000 de
milhas. [...]
Claro que o número fornecido é equivocado, mas ele deixa uma
possibilidade de medida que será utilizada mais tarde, correlacionar um grupo de estrelas com o mesmo brilho aparente com
sua distância média, o que se revelará razoável em primeira
aproximação.
Mas, nada mais belo que uma noite estrelada, as estrelas do céu
sob um fundo “negro” das mais belas noites longe das luzes da
cidade. Por que não percebemos as estrelas durante o dia? A
resposta vem rápida... por causa do Sol. Assim pergunta-se
Os “céus” da Lua, para que estiver na Lua, durante o “dia”, não
poderemos ver as estrelas?
Muito mais do que a presença do Sol, é o espalhamento da luz
do Sol pela atmosfera que nos impede de observar outras estrelas no céu diurno. Podemos mostrar a importância deste espalhamento experimentando. Sempre podemos encontrar uma
28
29
sala com uma janela por onde entra a luz do Sol. Varrendo o
chão levantamos poeira, e esta poeira, a mais fina, pode ser percebida por que ela espalha luz do Sol. Melhorando ainda mais,
uma noite enevoada, com os faróis ao máximo percebemos que
não mais enxergamos, pois o brilho nos retorna.
A noite é escura... o que significa isto?
Tomemos as palavras de Heinrich Olbers (1823):
[...] Se nós supusermos que as estrelas fixas estão uniformemente
repartidas no espaço cósmico, e se nós representarmos em torno
de nosso sol uma esfera de raio igual a um, ou igual a distância
média das estrelas de primeira grandeza, o diâmetro de de cada
estrela fixa em média igual a d, e se nós denotamos n seu número
a esta distância, então elas recobrirão para nós uma fração nd2 /4
da esfera celeste. A distância igual a dois, o diaâmetro aparente
das estrelas fixas é d/2, mas seu número é 4n e por consequência elas recobrirão ainda nd2 /4 da esfera. Portanto em todas as
distâncias 1, 2, 3, 4, 5, ..., m de nós, as estrelas fixas cobrirão áreas
iguais sobre a esfera e assim
nd2 /4 + nd2 /4 + nd2 /4 + etc... = mnd2 /4
torna-se infinitamente grande quando m torna-se infinitamente
grande, pois d2 /4, por menor que seja, é uma grandeza finita.
Então, não somente a esfera celeste é coberta de estrelas, mas
ainda elas deveriam estar colocadas umas atrás das outras em
fileiras infinitas e ocultando-se umas as outras. É claro que a
mesma conclusão vale também se as estrelas fixas não estiverrem uniformemente repartidas no espaço, mas agrupadas em
sistemas isolados, separados por grandes distâncias. [...]
Este pequeno raciocínio nos leva a perceber que como a noite é
escura então
o Universo teria um tamanho finito.
Para Olbers o paradoxo, pois para ele o Universo tinha de ser
infinito em suas premissas teológicas, seria levantado pela existência de um meio que permeasse o Universo, atenuando a luz
das estrelas mais distantes. A idéia do meio interestelar, apesar
de correta falha por a absorção da luz aqueceria também este
“gás” que o faria brilhar tanto quanto as estrelas elas próprias.
Infelizmente ele não teve acesso as informações sobre as teorias
do calor que estavam sendo, então, formuladas: Carnot em 1824
com suas Reflexões sobre a potência motriz do fogo e sobre as máquinas próprias a desenvolver sua potência e Fourrier em 1822 com
sua Teoria analítica da calor e em 1824 com Sobreas temperaturas do
globo terrestre e do espaço planetário.
Entretanto, outra possibilidade poderia resolver o problema posto
o Universo teria uma idade finita.
29
30
Figura 1.25: Como Herscell fez medidas
visuais durante a contagem de estrelas o
diagrama mostra aproximadamente o resultado obtido por ele para a distribuição
de estrelas através dos Céus. Os resultados principais é que o sistema parece
uma lentilha e que o Sol está próximo
ao centro da distribuição. Como advento
da fotografia, as observações astronômicas chagam a um novo patamar. Pode-se
guardar as observações e refazer a medida sem a necessidade da subjetividade
do observador. Kapteyn refaz o trabalho
dos Herschel’s de uma maneira mais sistemática. Aqui seu resultado, as curvas
de densidade de estrelas segundo as diversas direções (Kapteyn JC 1922). Vale
salientar que o próprio Kapteyn sugere
possíveis problemas que poderiam afetar
as suas medidas. O principal seria a extinção que ainda não havia sido descoberta.
Como resolver este “pequeno” problema cosmológico? O Universo é finito, ou tem uma idade? Ou, ainda seria o Universo
finito e com idade?
Além das estrelas e dos aglomerados de estrelas podemos observar nos céus outros objetos que chamam a atenção. Parte
destes objetos tem uma aparência espiral o de uma espiral em
perfil, uma outra parte tem aprarências irregulares. Um destes
objetos que chamam a atenção é a conhecida “Andromeda” que
aparece nos céus do hemisfério Sul e seu tamanho aparente é
duas vezes maior do que o tamanho aparente da Lua.
Considerando que quando a Via Lactea foi observada por telescópios pode-se perceber que a luminosidade leitosa era na
realidade montes de estrelas fracas muito próximas umas das
outras, pode-se conjecturar que tais objetos possam ser também
aglomerações de estrelas. A aparência de discos em várias inclinações sugere rapidamente que tais objetos possam ser parecidos com a Galáxia.
A partir da idéia de que objetos, naturais, semelhantes não difiram horrendamente um do outro em tamanho, então aquelas
estruturas deverão ter tamanhos próximos ao tamanho da Galáxia. Isto implicaria numa enorme distância entre estas “ilhas”
de estrelas.
Daí parte a necessidade de determinar a distância a estes objetos intrigantes. Assim se pudermos utilizar a técnica de medida
de distância por meio das estrelas variáveis teremos primeiro
de identificar estrelas isoladas nestes objetos, e, ainda mais, encontrar estrelas variáveis adequadas. Isto implica em obter-se
telescópios cada vez maiores, e com o custo associado.
Herschel tentou determinar o tamanho e a forma do sistema
30
31
de estrelas observável usando uma técnica que ele prórpio chamou de contagem de estrelas. Esta trabalhosa técnica consistia em
contar o número de estrelas que ele podia observar em sucessivos limites de brilho aparente em 683 diferentes direções dos
Céus. Ele assumiu que todas as estrelas tinham aproximadamente o mesmo brilho intrinseco; que elas estavam arranjadas
de maneira aproximadamente uniforme através do corpo da Via
Lactea e que ele poderia ver todas as estrelas até a borda do
sistema de estrelas. Com base nestes presupostos, ele pode mapear a distribuição de estrelas na Via Lactea e concluiu que o Sol
deveria estar bem próximo do centro da distribuição de estrelas e que esta distribuição era aproximadamente plana onde a
razão de aspecto seria de 5 : 1 entre o plano e a direção perpendicular. Como Herschel não tinha como medir a luminosidade
intrinseca das estrelas que ele observava, ele foi incapaz de dar
um número absoluto da escala do tamanho do sistema de estrelas.
Para refinar tal estudo, o Prof. Jacobus Kapteyn decidiu estudar
o sistema por meio de placas fotográficas. Assim ele teve de coletar uma imensa quantidade de informações e da colaboração
de uma grande quantidade de astronomos através do mundo
observando 200 áreas selecionadas através dos Céus. Ele utilizou a mesma técnica de contagem de estrelas, mas acrescentou também os pequenos deslocamentos na posição aparente,
o movimento próprio, ao longo do ano. Ele também anotou o
espectgro as estrelas parea determinar seus tipos estelares e as
velocidades ao longo da direção de visada (a partir do deslocamenteo doppler das linhas características do espectro). A partir
da análise dos movimento próprios, Kapteyn foi capaz de estimar as distâncias médias das estrelas em vários níveis de brilho
aparente e da contagem de estrelas ele inferiu a distribuição
tridimensional das estrelas no espaço.
A figura final, atualemnte conhecida como Universo de Kapteyn, que emergiu estava em acordo com o trabalho de Herschel
e localizou o Sol próximo ao centro de uma distribuição aproximadamente esferóide oblata que se extendia 5 vezes ao longo
do plano que na direção perpendicular e ligeiramente fora do
plano. Ele também demonstrou que a densidade de estrelas
caia uniformemente com a distância ao centro da Via Lactea.
Mais ainda, Kapteyn foi capz de usar os dados de movimento
próprio e estabelecer a primeira estimativa da escala de tamanho de Vai Lactea: ele concluiu que a densidade caia a metade
do seu maior valor em um raio de 800 pc ao longo do plano,
o que significa que na direção perpendicular a distância que a
densidade cairia a metade seria de 800/5 ∼ 150 pc. No plano a
densidade cai a 10% em um raio de 2800 pc e a 1% em um raio
de 8500 pc.
A análise de Kapteyn colocou o Sol ligeiramente fora do plano
31
32
Figura 1.26: O Sol está no centro de coordenadas e os aglomerados globulares
estão localizados nas extremidades das
setas indicadas. Quão mais extensa é a
seta mais distante este aglomerado está
do plano galático. Pode-se perceber claramente a direção de maior densidade de
aglomerados, em 325°.
da Via lactea a uma distância de 650 pc. Isto proporcionava uma
descobfortável aparência heliocentrica ao Universo de Kapteyn.
Menos de 10 % de todas as estrelas neste modelo estaria mais
distantes do que 700 pc do centro da Via Lactea. E presumindo
que poderiamos ter evoluído em qualquer estrela da galáxia, a
estatistica indicaria que seria pouco provável que estivessemos
tão próximos do centro. *** rever este comentário.
Harlow Shapley trabalhou no estudo detalhado de aglomerados
globulares. Estes sistemas aproximadamente esféricos, originalmente classificados como nebulosos tornaram-se resolvidos por
telescópios em agragados de dezenas de milhares a milhÕes
32
33
de estrelas. Diferente das estrelas da Via Lactea, os aglomerdos globulares não estavam restritos a estreita faixa do plano
da galáxia, mas distribuídos sobre os Céus inteiramente. Entretanto, Shapley demonstrou que a distribuição não era uniforme,
a despeito do quase igual número de aglomerados em cada lado
do plano galático, eles não estavam uniformemente distribuídos
em longitude. Ao invés havia uma predominancia, uma marcada concentração destes na direção das grandes nuvens de estrelas de Sagitário que definem a secção mais brilhante da Via
Lactea.
Shapley argumentou que os aglomerados globulares massivos
deveriam ser uma parte maior da estrutura da Via Lactea, e
dever-se-ia esperar que o centro desta distribuíção conincidisse
com o centro da Via Lactea. A grande assimetria na distribuição
de aglomerados globulares implicaria então que nós não estamos próximos do centro da Via Lactea, em flagrante contradição
com a análise de Kapteyn.
Shapley tentou determinar as distâncias aos aglomerados globulares usando o brilho aparente de estrelas variáveis, cujas luminosidades intrinsecas eram conhecidas, e do tamanho e do
brilho de cada aglomerado como um todo (assumindo que estes teriam tamanhos e brilhos integrados comparáveis). Com
base nestas hipóteses, Shapley concluiu que o Sol deveria estar
a 15 kpc do centro da distribuição de aglomerados, presumindo
então que era o centro da Via Lactea.
Assim Shapley constroe um imagem da Via Lactea radicalemte
diferente do Universo de Kapteyn. Shapley foi ainda mais longe
estimando que o sistema de aglomerados tinha aproximadamente 100 kpc de tamanho, aproximadamente 10 vezes maior
que o Universo de Kapteyn.
diagramas de shapley (ver artigos originais, verificar detalhes a
serem acrescidos: zone of avoidance)
Shapley ainda sugere que a analise de Kapteyn captura uma
concentração local de estrelas que está aproximadamente centrada no Sol, mas o sistema de estrelas como um todo estaria
mais além próximo do centro da distribuição de aglomerados.
Até certo ponto este argumento é verdadeiro pois o Sol está
aproximadamente perto do centro de um aglomerado local disperso conhecido como Cinturão de Gould.
1.11. Grupo Local de Galáxias
Os estudos para se compreender o que são as estrelas passavam
pela idéia que podendo relacinar as observáveis entre si poderse-ia obter informações sobre os mecanismos que estavam em
ação no interior das estrelas. Um exemplo cotidiano disto pode
33
34
Nome do
n
Grupo
Tamanho
Posição
δ
V
(Mpc)
(km/s)
D
d
X
Y
Z
Scl
6
2.4
220
1.0
0.8
+0.1
-2.4
-0.2
M81
9
2.5
160
1.8
0.9
+1.8
+1.7
+0.0
CVn I
9
3.8
342
1.9
0.9
+0.5
+3.8
+0.2
NGC 5128
5
4.0
319
2.1
-3.8
+1.3
-0.4
M101
8
4.6
508
1.8
1.3
+1.8
+3.8
+1.7
NGC 2841
4
6.0
589
1.6
0.8
+3.7
+4.4
-1.6
NGC 1023
8
6.3
625
2.2
1.1
+5.9
-1.9
-1.0
NGC 2997
2
7.6
534
1.9
1.1
-3.0
+3.1
-6.3
M66
5
7.6
592
1.0
0.6
-0.9
+7.1
-2.4
CVn II
15
8.0
747
3.0
1.6
+2.4
+7.7
+0.3
M96
9
8.3
741
1.6
1.0
-0.7
+7.4
-3.6
NGC 3184
4
9.6
629
1.7
0.8
+4.0
+8.4
-2.7
Coma I
15
9.6
944
1.8
0.8
+0.1
+9.5
+0.5
NGC 6300
3
10.0
1270
1.7
0.6
-9.5
-2.7
+1.6
Tabela 1.2: Grupos de galáxias até 10 Mpc
onde os principais valores a serem percebidos é a distância δ e a velocidade radial
V. Note também o número de membros
de cada grupo (de Vaucouleurs 1975).
ser associado, considere uma barra de metal colocada em uma
fogueira, quando esta barra estiver brilhando com uma cor avermelhada, esta barra estará “quente” (a uma certa temperatura),
mas se abarra estiver com uma coloração mais amarelada, ou
mesmo esbranquiçada, isto significa que a barra estará ainda
mais “quente” (a uma temeratura ainda maior do que quando
estava avermelhada). Isto significa que existe uma correlação
entre o brilho da barra com a sua temperatura.
A medida em que se fazia crescer um catálogo de estrelas, que
nada mais é do que uma tabela de dados das estrelas, contendo,
para cada estrela, a sua distância (pela paralaxe trigonométrica),
sua temperatura (pela razão do brilho entre o azul e o vermelho), sua potência (brilho total aparente e conhecendo-se a distância), bem como outras propriedades, percebeu-se que algumas das estrelas não possuiam um brilho que fosse representado por um número somente. Estas estrelas tinham um brilho
variável, ora brilhavam mais ora menos, e foram portanto chamadas de estrelas variáveis. Para estas estrelas mais uma entrada
no catálogo teve de ser efetuada, o período de variação de brilho.
Comparando-se o período do brilho da estrela com as outras
34
35
propriedades físicas do catálogo percebe-se que quanto mais
brilhantes, em potência absoluta, não a aparente, elas o forem
maior será o período de sua variabilidade. Assim os valores numéricos foram dispostos em um diagrama, tal como o da figura
??, para verificar se haveria alguma correlação entre as duas
propriedades físicas: o período e o brilho. No referido diagrma
percebe-se que os pontos não estão distribuídos ao azar, mas
sobre uma “linha” bem determinada. ISto significa que mesmo
não sabendo qual o real mecanismo por trás desta característica
da Natureza, podemos utilizar este diagrama para medir a distância às estrelas, que não sabemos a distância, conhecendo-se
seu período de variabilidade. Claro que se a estrela não possuir
tal variabilidade, tal técnica não pode ser utilizada.
Uma vez percebida a relação período-luminosidade podemos determinar a distância às estrelas variáveis e de suas companheira
próximas, caso tenhamos a certeza de sua proximidade.
Observando-se a distribuição das estrelas nos céus, com mais
cuidado do que somente perceber a existência da Via-Lactea,
podemos perceber que existem aglomradmentos de estrelas tais
como os da figura ??. Bem provavelmente o aglomeramento
deve ter a gravitação como causa e portanto estas estrelas deverão estar próximas em distância e não somente em posição
aparente. Se soubermos a distância a uma das estrelas do aglomerado teremos uma boa noção da distância ao aglomerado ele
próprio. Tal idéia esta esboçada na figura ??, conhecendo-se o
período de variabilidade sabe-se qual deverá ser o valor de seu
brilho. A diferençaentre o brilho observado e o que deveria ser
o brilho absoluto deve estar associado a distância à estrela.
os grupos mais próximos do grupo local
1.12. Cartografia do Universo
Quando se explora dados novos podemos ser surpreendidos
pelas possíveis consequências imprevistas destas explorações.
Quando correlacionamos anteriormente as distâncias planetárias com os períodos orbitais pode-se obter aquilo que nós conhecemos hoje como teceira lei de Kepler.
Durante os estudos a respeito das distâncias aos objetos extragaláticos, obtidos para aglomerados e galáxias um outro número
saltou aos olhos. Quanto mais distante maior era a velocidade
radial em relação à nossa galáxia. Este resultado é surpreendente pois movimentos aleatórios deveriam ter velocidades aleatórias.
Imagine uma grande caixa contendo átomos de um gás. Estando parado em algum lugar dentro deste gás, a medida da
velocidade das outras moléculas seria estatisticamente iguais
35
36
Figura 1.27: Na luz que nos chega das galáxias podemos perceber excesso de energia e faltas de energia em certos comprimentos de onda. Estes excessos e faltas
são conhecidas como linhas de emissão e
de absorção. Mesmo quando observamos
a luz de uma galáxia em que não é possível separar as estrelas isoladamente, estas
linhas continuam presentes. Entre as linhas facilmente identificáveis são as linha
conhecidas pelas letras ’H’ e ’K’. Estas linhas tem um comprimento de onda bem
definido, mas devido ao movimento da
fonte estas linhas são observadas em outro comprimento de onda. Isto é conhecido como deslocamento Doppler. Com
este deslocamento podemos portanto determinar a velocidade das galáxias em relação a nós.
Figura 1.28: Além da medida da distância das galáxias os astronomos também efetuam outras medidas de propriedades físicas destas galáxias para podemos compreender o que elas são e como
evoluem. Quando se observa os valores
numéricos das velocidades radias das galáxias percebe-se que aquelas mais distantes tem um valor de velocidade radial
cada vez maior (Hubble 1929, Hubble &
Humason 1931). Esta relação que se verificou surpreendentemente linear é conhecida hoje como a Lei de Hubble.
em diferentes posições dentro desta caixa. É claro que se estivessemos nos movimentando dentro deste gás, sendo um dos
átomos, mediriamos o mesmo grupo de velocidades em torno
de um valor associado a nossa velocidade em relação àquele volume. Mas se considerarmos um volume simetricamente oposto
ao primeiro, a contribuição do nosso movimento teria um sinal
oposto.
O que Hubble percebe é algo extremamente diferente. Mesmo
em direções opostas a possível contribuição do nosso movimento não tem sinal oposto. Isto só poderia acontecer se estivessemos no centro do movimento, de um movimento de afastamento. Ainda pior, como que no centro de uma explosão, mas
36
37
Figura 1.29: Mosaico de resultados de
procuras espectroscópicas e feições obtidas por simulações numéricas. Em azul
a pequena fatia temos a Grande Muralha da procura CfA2, com o aglomerado de Coma no centro. Na mesma escala temos uma sessão do SDSS em que
pode-se identificar uma Grande Muralha
ainda maior Esta é a maior estrutura do
Universo até agora identificada contendo
mais de 10000 galáxias extendendo-s por
mais de 1, 37 bilhões de anos-luz. O cone
a esquerda temos a procura do 2ndFGRS
com mais de 220000 galáxias do hemisfério Sul, com uma profundidade de mais
de 2 bilhões de anos-luz. A direita e em
baixo temos simulações efetuadas pelo
projeto Millennium, nas mesmas escalas
e geometrias para comparação (Springel,
Frenk & White 2006).
que objetos mais distantes tem uma velocidade ainda maior.
Proporcionalmente maior (Hubble 1929, Hubble & Humason
1931).
Este resultado surpreendente é conhecido como “Lei de Hubble”.
Uma consequência direta da proporcionalidade, uma lei linear,
é que quando retornamos ao passado, o tempo de vôo de um
objeto a uma certa distância tem um valor bem determinado
mas outro objeto que está ao dobro da distância tem o mesmo
tempo. Isto seria com que todos os objetos extragaláticos tenham nossa Galáxia como origem de seu movimento, todos a
partir do mesmo instante. Como se fosse uma explosão, uma
gigantesca explosão.
Esta visão é tão surpreendente que Fred Hoyle, defensor de um
Universo estático, em um programa de radio em 1949, ironizou
afirmando que a Lei de Hubble implicava num “Big Bang”.5
Se adotarmos a Lei de Hubble, que a velocidade radial pode
nos dar uma idéia da distância às galáxias, podemos efetuar
uma cartografia do Universo observável. Existe um importância nesta cartografia pois ela restringe as possíveis teorias da
formação do Universo, pois todas as irregularidas na distribuição das galáxias decorre que flutuações das massas originais,
ou pelo menos daquilo que se tornaria a massa.
As primeiras procuras permitiram encontrar concentrações de
galáxias tão grandes que foram nomeadas a “Grande Muralha”.
37
5
O termo “Bang” é muito utilizado em
desenhos animados para representar um
tiro. Então o termo Big Bang, usado
por Hoyle, associa o bang ao estouro de
um traque (uma pequena bombinha com
poucas gramas de polvora, muito usadas
em festividades) poderia ser traduzido
por Grande Explosãozinha. É claro que
até amorte ele negou a ironia (Croswell
1995, Milton 2005).
38
A consequência direta deste tipo de concentração é um impulso
gravitacional na região da nossa Galáxia na direção desta estrutura.
Procuras posteriores, ainda mais profundas, trouxeram a descoberta de uma “Grande Muralha” ainda maior. Realmente o Universo observável é grande o suficiente para que pudesse existir
estruturas maiores do que a “Grande Muralha” original.
Observando os mapas produzidos além das grandes concentrações, que em geral nos chama mais a atenção, temos baixas concetrações. Verdadeiros vazios de galáxias que, do ponto de vista
de teoria, são tão importantes quanto as grandes concentrações.
É fácil compreender que com o impulso gravitacional mais e
mais galáxias se aglomerem nos grandes filamentos observados, mas os vazios são muito vazios. Isto restringe as idades
possíveis para o Universo.
1.13. Referências
Croswell K (1995): The Alchemy of the Heavens, Anchor Books
Hubble E (1929): A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-Galactic Nebulae, Contributions from the Mount
Wilson Observatory 3:23-28
Hubble E & Humason ML (1931): The Velocity-Distance Relation
among Extra-Galactic Nebulae, The Astrophysical Journal bf 74:43
Kapteyn JC (1922): First attempt at a theory of the arrangement and
motion of the sideral system, The Astrophysical Journal 55:302
Marshack, A. (1970): Notation dans les Gravures du Paléolithique
Supérieur, Bordeaux
Mitton S (2005): Fred Hoyle: A Life in Science, Aurum Press
Springel V, Frenk CS & White SDH (2006): The large-scale structure of the Universe, Nature 440:1137-1144
de Vaucouleurs G (1975): Nearby Groups of Galaxies, em Galaxies
and the Universe, ed. A. Sandage, M. Sandage and J. Kristian
Harrison ER (1987): Darkness at Night: A Riddle of the Universe,
Harvard University Press
38
INTRODUÇÃO À MECÂNICA
CELESTE
Ernesto Vieira Neto
Grupo de Dinâmica Orbital e Planetologia
UNESP – Guaratinguetá
[email protected]
1.
Introdução
Em Mecânica Celeste estudamos o movimento de objetos celestes como planetas, satélites e
asteróides. Neste curso introdutório vamos estudar as órbitas elipticas, que ocorrem somente
quando existe interação gravitacional entre dois corpos. Vamos tentar entender como podemos chegar nas equações gravitacionais que regem o movimento, integrá-las, e relacionar as
constantes de integração com elementos da elípse.
De Anaximandro à Copérnico, dos Caldeus aos Gregos, foram vários nomes e civilizações
responsáveis pelo avanço da astronomia como a conhecemos hoje. Com certeza muitos nomes
foram perdidos no processo histórico, pessoas que formaram os elos que ligaram um avanço à
outro. Sem os conhecimentos e experiências dessas pessoas anonimas jamais teríamos chegado
onde estamos.
Como não é possível repassar todo o processo do conhecimento neste curso, ficaremos então
somente com os principais atores e registros históricos que chegaram até nós, e que, reconhecidamente contribuíram para o conhecimento básico atual.
39
2.
Histórico
Desde a antiguidade a humanidade observava o movimento das estrelas no céu noturno. Em
alguns notaram que, dentre as estrelas fixas, existiam aquelas que vagueavam. Mais tarde os
gregos chamaram essas estrelas de vagantes, ou em grego, planeta.
Na antiguidade os planetas conhecidos eram somentes aqueles observados a olho nú: Mercúrio,
Vênus, Marte, Júpiter e Saturno. Junto com estes corpos há outros dois objetos celeste que se
movem no fundo de estrelas: o Sol e a Lua. Muitas civilizações associaram estes sete objetos
com os dias da semana e, ainda hoje, muita línguas associam cada dia da semana a um desses
objetos.
Historicamente foi Ptolomeu o primeiro que modelou com sucesso o movimento dos planetas,
do Sol, e da Lua. Para fazer isto ele usou a ferramenta matemática da época a geometria.
Antes dele era comum associar o deslocamentos dos planetas com círculos com seus centros na
Terra. Porém, isto não correspondia ao movimento observado. Criando epicíclos e deferentes
Ptolomeu foi capaz de descrever e, principalmente, predizer com uma precisão muito boa (até
para os dias atuais) o movimento dos planeta.
As teorias e ferramentas criadas por Ptolomeu foram tão boas e eficazes que duraram mais de
1500 anos. Porém, a premissa de que os Planetas e o Sol giravam em torno da Terra estava
errada. O erro só pôde ser notado com a observação sistemática do movimento do planeta
Marte, feita pelo astronômo Tycho Brahe, e a análise matemática brilhante, feita por Kepler,
em cima destes dados.
Das análises dos dados de Brahe, Kepler nos deixou três leis empíricas:
Lei das Áreas: Os planetas varrem áreas iguais, em tempos iguais.
Lei das Órbitas: Os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.
Lei Harmônica: O quadrado do período de rotação do planeta em torno do Sol é proporcional
ao cubo do semi-eixo maior da elípse orbital.
Outra contribuição importante, ocorrida na mesma época de Kepler, feita por Galileu Galilei foi
a criação dos pilares da mecânica clássica, que mais tarde foi formalizada por Isaac Newton.
Vamos agora dar uma olhada mais aprofundada das leis de Kepler.
3.
Lei das Áreas
Para entender a lei da áreas, vamos supor que f representa a aceleração sobre uma partícula.
Vamos supor que a força responsável por esta aceleração é uma força dirigida para um ponto
específico. Vamos mudar o nosso sistema de coordenadas para esse ponto, com isto podemos
chamar essa força de central, pois ela está sempre dirigida para o nosso centro de coordenadas.
Usando as coordenadas polares r, que representa a distância ao centro, e θ, o ângulo em relação
ao eixo x, podemos decompor a aceleração f nos eixos x e y (veja a figura 1).
40
y
r
θ
x
Figura 1 – Trajetória de uma partícula sob ação de uma força central.
Decompondo a aceleração f nos eixos x e y, temos:
d2 x
x
= −f cos θ = −f
(1)
2
dt
r
d2 y
y
=
−f
sen
θ
=
−f
(2)
dt2
r
onde o sinal negativo significa que a acelração está orientada na direção do centro, e f é o
módulo de f .
Multiplicando a equação 1 por −y, a equação 2 por x e somando, temos:
d2 x
d2 y
−
y
=0
(3)
dt2
dt2
que é a equação diferencial que rege o movimento da partícula, sob a ação de uma força central
f , em coordenadas cartesianas.
x
Integrando por partes as duas parcelas de 3 temos:
Z
Z
d2 y
dy
x 2 dt = x −
dt
dt
Z
Z
2
dx
dx
y 2 dt = y
−
dt
dt
dy dx
dt
dt dt
dx dy
dt
dt dt
(4)
(5)
Voltando esse resultado na equação 3 chegamos à:
x
dy
dx
−y
=h
dt
dt
(6)
onde h é a constante de integração.
Como:
x = r cos θ
y = r sen θ
41
(7)
(8)
y
Q
R
P
r´
r
∆θ
θ
O
x
Figura 2 – Área varrida pela partícula.
suas derivadas são, respectivamente:
dx
dr
dθ
=
cos θ − r sen θ
dt
dt
dt
dr
dθ
dy
=
sen θ + r cos θ
dt
dt
dt
(9)
(10)
Logo, a equação 6 fica:
dy
dx
dθ
−y
= r2
=h
(11)
dt
dt
dt
na equção 11? Para entendê-lo vamos observar a figura 2.
Mas, o que representa o termo r2 dθ
dt
Na figura vemos a posição r e r0 da partícula em dois instantes de tempo distintos. Vemos que
a partícula varre uma área quase equivalente à área do triângulo OP Q. Então:
x
r · r0
sen(∆θ)
(12)
2
onde A é a área varrida pelo movimento da partícula. A velocidade com que essa área é varrida
é conhecida como velocidade areolar e é obtida variando a equação 12 no tempo:
∆A =
∆A
r · r0 sen(∆θ) ∆θ
=
·
∆t
2
∆θ
∆t
Passando o limite para ∆t → 0, ocorre que r0 → r, ∆θ → 0, e conseqüentemente
Então chegamos à:
dA
1 dθ
= r2
dt
2 dt
que é a forma diferencial da velocidade areolar.
(13)
sen(∆θ)
∆θ
→ 1.
(14)
Comparando as equações 11 e 14 vemos que:
r2
dθ
dA
=2
=h
dt
dt
42
(15)
Integrando a equação 15 chegamos à:
1
A = ht + c
(16)
2
que mostra que a área varrida pela partícula é diretamente proporcional ao tempo. Essa lei foi
obtida empiricamente por Kepler (Lei das Áreas), e o resultado da equação 16 era conhecida
por Newton e todos os outros pensadores da época. Nossa hipótese inicial era de que a aceleração sofrida pela partícula passava por um ponto e era atrativa (sinal negativo). Esse mesmo
resultado pode ser obtido para uma aceleração repulsiva (sinal positivo).
4.
Equação Diferencial da Órbita
Dada a equação diferencial que descreve o movimento de uma partícula, um método direto de
se conhecer a órbita da partícula é integrando essas equações diferenciais. Porém esse processo
não é trivial e, além do mais, as equações geradas da integração das equações diferenciais são
funções do tempo, e este deverá ser eliminado para podermos conhecer a trajetória. Vamos ver
como isto pode ser feito para o caso de uma força central atrativa. Usaremos as equações 1 e 2,
que repetimos aqui.
x
d2 x
=
−f
dt2
r
2
dy
y
= −f
2
dt
r
Como f não envolve o tempo, ele aparece somente nas derivadas. Como as derivadas são
de segunda ordem, é necessário fazer uma redução de ordem antes de tentarmos a eliminação
direta de t. Por conviniência vamos usar as equações acima em sua forma polar:
2
dθ
d2 r
−r
= −f
(17)
2
dt
dt
dr dθ
d2 θ
=0
(18)
r 2 +2
dt
dt dt
Como f atende às hipóteses da seção anterior, podemos usar o resultado da equação 11:
r2
e eliminamos
dθ
dt
dθ
=h
dt
da equação 17:
d2 r
h2
= 3 −f
dt2
r
Para uma equação mais simples, vamos fazer
r=
1
,
u
(19)
(20)
de forma que:
dr
1 du
1 du dθ
du
=− 2
=− 2
= −h
dt u
u dθ dt
dθ
dt
2
2
2
dr
d du
d u dθ
2 2d u
=
−h
=
−h
=
−h
u
dt2
dt dθ
dθ2 dt
dθ2
43
(21)
(22)
elipse
parabola
hiperbole
Figura 3 – Principais cônicas
Usando esse resultado na equação 19, temos:
d2 u
f =h u u+ 2
dθ
2 2
(23)
Essa equação diferencial é de segunda ordem. Mas foi usada uma integral para determinála (equação 11), então o problema de encontrar o caminho percorrido por uma partícula é de
terceira ordem. O problema completo é de quarta ordem, pois é necessária uma quarta integral
para expressar a relação entre as coordenadas e o tempo, ou que define a posição da partícula
em sua órbita.
Como a integral 23 expressa u, e conseqüentemente r, em função de θ a equação
r2
dθ
=h
dt
(24)
quando integrada, dá a relação entre θ e t.
Assim como é possível conhecer o caminho gerado pela aceleração f usando a equação 23,
também é possível fazer o contrário, ou seja, encontrar a lei de força central que fará com que
uma partícula descreva uma dada curva. Geralmente esse último processo é mais simples do
que encontrar a órbita, dada a lei de força.
5.
Cônicas
As cônicas são um conjunto de figuras geometricas que podem ser obtidas fazendo um plano
cortar um cone circular reto. As principais cônicas são: a elípse, a parabola e a hiperbole (veja
a figura 3).
A equação polar da elípse, parabola e hiperbole é:
p
r=
(25)
1 + e cos φ
p
onde r = x2 + y 2 , φ = arctan(y/x), e é a excentricidade da cônica e p seu parâmetro focal,
também conhecido como semi-latus rectum. Se 0 < e < 1 a cônica é a elípse, se e = 1 é
parabola, e se e > 1 é hipérbole. Esta equação é escrita com a origem no foco da cônica.
44
Em coordenadas cartesianas temos:
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
y 2 = 4px
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
(26)
(27)
(28)
para a elípse, parábola e hipérbole, respectivamente. Estas equações estão escritas com a origem
no centro da cônica. Normalmente a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.
As relações entre a, b e p das equações 26, 27 e 28 com o e e p da 25 são:
p = a(1 − e2 )
√
p = b 1 − e2
(29)
(30)
para a elípse,
p=p
(31)
para a parábola e
p = a(e2 − 1)
√
p = b e2 − 1
(32)
(33)
para a hipérbole.
6.
Lei da Gravitação de Newton
Newton usou as leis de Kepler para demonstrar que os planetas se movem sujeito a forças
apontadas diretamente para o Sol, e variando inversamente com a distância ao Sol. E para
fazer estas demonstrações, Newton usou métodos geométricos. Hoje podemos usar métodos
analíticos mais simples para fazer as mesmas demonstrações.
Pela Lei das Áreas, seção 3., que corresponde à Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas), vimos
que os planetas se movem devido à uma força central na direção do Sol. A curva descrita pelos
planetas é dado na Primeira Lei de Kepler (Lei das Órbitas). Podemos usar a equação 23 e as
informações da seção 5., sobre as cônicas, para encontrar uma expressão para a aceleração em
temos das coordenadas. Como sabemos, pela Segunda Lei que a curva é uma elípse, vamos
usar a equação 25 com o p da equação 29 (órbita elíptica):
a(1 − e2 )
r=
.
1 + e cos θ
(34)
Transformando para u (equação 20) e derivando em relação à θ, temos
1 + e cos θ
,
a(1 − e2 )
−e sen θ
du
=
,
dθ
a(1 − e2 )
−e cos θ
d2 u
=
.
2
dθ
a(1 − e2 )
u=
45
(35)
(36)
(37)
De forma que temos
u+
e a equação 23 fica:
d2 u
1
,
=
2
dθ
a(1 − e2 )
2 2
f =h u
1
a(1 − e2 )
,
(39)
h2
1
k2
·
=
,
a(1 − e2 ) r2
r2
(40)
h2
.
a(e2 − 1)
(41)
que, escrita em função de r, toma a forma
f=
(38)
onde
k2 =
Então, a aceleração que os planetas sofrem devido ao Sol, varia inversamente com o quadrado
da distância. Newton demostrou isto de forma geométrica, e aqui foi demonstrado de forma
analítica. Porém, tanto de forma geométrica, como de forma analítica é possível obter outras
leis de força:
f = k12 (1 + e cos θ)2 ,
(42)
eliminando o r, ou
f=
k22 (1 + e cos θ)3 r
a(1 − e2 )
(43)
com r e θ. Essas leis de forças, usadas nas equações diferenciais do movimento (equações 1
e 2) também vão gerar órbitas elípticas, mas que são dependentes do semi-eixo maior (a) e
da excentricidade (e). Newton notou que a lei de Kepler era válida para todos os planetas e
satélites conhecidos, logo ele escolheu de forma acertada a equação 40 para enunciar sua lei
de gravidade universal: todos os pares de partículas com matéria no universo atraem uma à
outra com uma força que haje na linha que as une, e cuja intensidade varia com o produto de
suas massas e inversamente com o quadrado da distância que as separam.
Um fator muito importante é que a lei da gravitação de Newton envolve muito mais considerações do que podem ser derivadas das leis de Kepler. Pode-se dizer que é uma das maiores
concepções das ciências físicas.
7.
Integração da Lei da Gravidade
É muito mais fácil encontrar a lei de força do que integrá-la. Nesta seção veremos como
encontrar o movimento, dada a lei que o rege. A aceleração da gravidade é (equação 40):
f=
k2
= k 2 u2 .
r2
(44)
Substituido essa aceleração na equação 23, temos que
d2 u
k2
+ u = 2,
dθ2
h
46
(45)
que é uma equação diferencial linear, não homogênea, de grau dois. Essa equação diferencial
pode ser resolvida usando o método da variação dos parâmetros. Negligenciando o membro
direito da equação 45, podemos obter a solução geral que é:
u = c1 cos θ + c2 sen θ.
(46)
2
Quando hk2 é somado à solução geral, a equação diferencial 45 será identicamente satisfeita.
Logo a solução é:
k2
u = 2 + c1 cos θ + c2 sen θ.
(47)
h
No entanto, estamos interessados em conhecer a forma de r, e não de u. Invertendo a solução
acima, temos:
1
.
(48)
r = k2
+ c1 cos θ + c2 sen θ
h2
Fazendo c1 = A cos θ0 e c2 = A sen θ0 , em que A e θ0 são constantes. Fazendo alguma álgebra,
chegamos à:
h2
1
k2
r = k2
=
.
(49)
h2
+ A cos(θ − θ0 )
1 + k2 A cos(θ − θ0 )
h2
Comparando essa equação com a equação 25, vemos que ela é a equação das cônicas em coordenadas polares, escrita em um dos focos, com
p=
h2
,
k2
h2
A, e
k2
φ = θ − θ0 ,
e=
(50)
(51)
(52)
onde θ0 é o ângulo medido a partir do eixo polar até o eixo maior, na parte onde se encontra o
apse de menor distância.
Note que a solução da lei da gravidade não é a elípse, mas a equação geral das cônicas. Veja que
a solução 49 da equaçao diferencial 45 possui quatro constantes. Duas vieram de sua integração
(A e θ0 ). A constante h veio da eliminação do tempo (equação 24). E k veio da definição da lei
de força (equação 40). Isto está correto, já que nosso problema é de quarta ordem.
O tipo de cônica resultante depende dos valores de p e e, que por sua vez dependem de A e h
obtidos através das condições iniciais (posição e velocidade) da partícula. Se e < 1, a cônica é
uma elípse; se e = 1 é uma parábola; e se e > 1 a cônica é uma hipérbole.
8.
O Problema de Dois Corpos
Vamos considerar dois corpos esféricos e homogêneos. Dessa forma podemos usar a lei da
gravidade universal de Newton. Vamos usar m1 e m2 para representar as massas desses dois
corpos e M = m1 + m2 . Vamos escolher um sistema de coordendas retangulares arbitrário. As
posições das massas m1 e m2 nesse sistema são (ξ1 , η1 , ζ1 ) e (ξ2 , η2 , ζ2 ), respectivamente.
47
ζ
m1
r1
r2 − r1
η
r
2
m2
ξ
Figura 4 – Posições das massas m1 e m2 .
O vetor r nesse sistema de coordenadas pode ser escrito como:
r = ξ ξˆ + η η̂ + ζ ζ̂,
(53)
ˆ η̂ e ζ̂ são vetores unitários nas direções dos
que vai da origem até a coordenada (ξ, η, ζ), e ξ,
eixos ξ, η e ζ. Então r 1 representa a posição de m1 e r 2 a posição de m2 , como na figura 4.
A segunda lei de Newton pode ser escrita na forma vetorial como
m
d2 r
= F.
dt2
(54)
Chamando de F 12 a força gravitacional em m1 devido a m2 e de F 21 a força gravitacional em
m2 devido a m1 temos
r2 − r1
,
|r 2 − r 1 |3
r2 − r1
= −k 2 m1 m2
.
|r 2 − r 1 |3
F 12 = k 2 m1 m2
F 21
(55)
(56)
Note que a força F 12 tem a direção do vetor r 2 − r 1 , enquanto que F 21 tem direção contrária
(vide figura 4).
48
A lei de movimento das massas m1 e m2 , equação 54, é
d2 r 1
r2 − r1
= k 2 m1 m2
,
2
dt
|r 2 − r 1 |3
r2 − r1
d2 r 2
.
m2 2 = −k 2 m1 m2
dt
|r 2 − r 1 |3
m1
(57)
(58)
São seis equações diferenciais de segunda ordem que estão acopladas. Para resolve-las temos
que encontrar 12 integrais, e essas integrais vão introduzir 12 constantes.
Porém é possível simplificar o problema. Vamos estudar o movimento do centro de massa.
Somando as equações 57 e 58 chegamos à:
m1
d2 r 1
d2 r 2
+
m
= 0.
2
dt2
dt2
(59)
m1
dr 2
dr 1
+ m2
= α1 .
dt
dt
(60)
Integrando temos:
Integrando mais uma vez:
m1 r 1 + m2 r 2 = α1 t + α2 .
(61)
Onde α1 e α2 são constantes de integração e cada um desses vetores possuem três componentes, ou seja, seis constantes foram encontradas.
Seja R o vetor que aponta para o centro de massa de m1 e m2 e M = m1 + m2 , então o centro
de massa é dado por:
M R = m1 r 1 + m2 r 2 ,
(62)
e então
M R = α1 t + α2 .
(63)
Ou seja, o centro de massa se move linearmente com o tempo ou, se α1 for 0, está parado.
Derivando chegamos à:
dR
M
= α1 ,
(64)
dt
ou seja
dR
α1
=
,
(65)
dt
M
que representa a velocidade do centro de massa. Como M e α1 são constantes, então a velocidade do centro de massa é constante.
Como o centro de massa oferece a propriedade acima é interessante colocarmos o nosso sistema
de coordenadas nele, de forma que a equação 62 fica
m1 r 1 + m2 r 2 = 0,
(66)
pois R = 0. Desta forma quando as coordenadas de um corpo, com respeito ao centro de
massa dos dois corpos, é dado a coordenada do segundo corpo pode ser obtida da equação
acima. Podemos então eliminar r2 da equação 57 e r1 da equação 58 obtendo:
d2 r 1
r1
= −k 2 M 3 ,
2
dt
r
2
d r2
r2
= −k 2 M 3 ,
2
dt
r
49
(67)
(68)
onde r = |r 2 − r 1 | que é a distância da massa m2 à massa m1 . Com a mesma substituição
chegamos à
M
M
r = |r 1 |
= |r 2 | ,
(69)
m2
m1
de forma que as equações 67 e 68 estão desacopladas. Agora podemos pensar no movimento
de uma massa em relação à outra como por exemplo o movimento da massa m2 em relação à
massa m1 . Escrevendo r = r 2 − r 1 e k 2 M = µ, temos
d2 r
r
= −µ 3 ,
2
dt
r
(70)
Para encontrar a lei das áreas nesse novo problema, vamos fazer o produto vetorial de r com a
equação 70:
d2 r
(71)
r × 2 = 0,
dt
e integrando, temos:
dr
= a,
(72)
r×
dt
onde a é constante e representa a velocidade areolar, multiplicado por 2, na forma vetorial
(equação 14).
Escolhendo um sistema de coordenadas (x, y, z) com origem no centro da massa m1 a equação
72 pode ser representada de forma de três equações escalares:
x
dy
dx
dz
dy
dx
dz
−y
= a1 , y − z
= a2 , z
− x = a3 ,
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(73)
com a1 , a2 e a3 sendo as projeções de a nos planos xy, yz e zx, respectivamente. Multiplicando
as equações por z, x e y e somando-as, encontramos
a1 z + a2 x + a3 y = 0.
(74)
Esta é a equação de um plano que passa pelo centro da massa m1 . Então podemos dizer que
o movimento de um corpo em relação ao outro ocorre em um plano que passa pelo centro do
outro. As constantes a1 , a2 e a3 determinam esse plano.
É interessante representar esse plano por ângulos, como mostra a figura 5. Na figura Ω representa o ângulo entre o eixo x positivo e a linha OL, ele varia de 0◦ a 360◦ e define o ponto da
intersecção do plano da órbita da partícula com o plano xy. I representa a inclinação entre os
dois planos e pode variar de 0◦ a 180◦ .
Definindo
temos
q
c1 = a21 + a22 + a23 ,
a1 = +c1 cos I,
a2 = ±c1 sen I sen Ω,
a3 = ∓c1 sen I cos Ω,
(75)
(76)
(77)
(78)
em que os sinais superiores ou inferiores são tomados se I for menor que ou maior que 90◦ . As
equações 76, 77 e 78 determinam univocamente I e Ω, que determinam o plano da órbita.
50
z
O
y
Ω
I
L
x
Figura 5 – Definição do plano de movimento da partícula.
Já que o movimento ocorre em um plano conhecido, vamos usar as coordenadas X e Y desse
plano, de forma que a equação de movimento é dado por
X
d2 X
= −µ 3 ,
2
dt
r
d2 Y
Y
=
−µ
,
dt2
r3
(79)
(80)
(81)
e agora nós temos duas equações diferenciais de segunda ordem, em vez das três da equação
70. Como o plano é definido por I e Ω, é bom observar que apenas duas constantes arbitrárias
estão envolvidas nessa redução. A outra constante é a integral da área.
Multiplicando 79 por Y e 80 por X e subtraindo, temos
X
d2 Y
d2 X
−
Y
= 0.
dt2
dt2
(82)
Integrando
dY
dX
−Y
= c1 ,
dt
dt
que escrito em coordenadas polares fica
X
r2
dθ
= c1 .
dt
51
(83)
(84)
Agora, multiplicando 79 por 2 dX
e 80 por 2 dY
e somando, temos
dt
dt
d2 X dX
d2 Y dY
µ
dX
dY
µ dr
2 2
+2 2
= −2 3 X
+Y
= −2 2 .
dt dt
dt dt
r
dt
dt
r dt
Integrando
dX
dt
2
+
dY
dt
2
=2
µ
+ c3 ,
r
(85)
(86)
onde c3 é constante de integração. Chamando V de velocidade da partícula no plano XY ,
temos
µ
V 2 = 2 + c3 .
(87)
r
Essa equação é conhecida como vis viva.
Escrevendo a vis viva na forma polar temos
2
2
dθ
µ
dr
2
+r
= 2 + c3 .
dt
dt
r
Mas
então
dr
dr dθ
=
,
dt
dθ dt
)
2 ( 2
dθ
µ
dr
+ r 2 = 2 + c3 .
dt
dθ
r
(88)
(89)
(90)
Da equação 84 temos que
dθ
c1
= 2,
dt
r
(91)
logo
c 2
1
r2
(
dr
dθ
dr
dθ
2
2
+ r2
)
+ r2 = 2
2
µ
+ c3 ,
r
(92)
µr3 c3 r4
+ 2 ,
c21
c1
(93)
=2
µr3 c3 r4
= 2 2 + 2 − r2 ,
c
c1
s 1
dr
µr3 c3 r4
= 2 2 + 2 − r2 .
dθ
c1
c1
dr
dθ
(94)
(95)
Agora podemos usar separação das variáveis:
c dr
q 1
r2 2 µr + c3 −
c21
r2
= dθ,
(96)
mas antes é necessário fazer algumas modificações para podermos integrar. Transformando de
r para q:
1
1
q = e dq = − 2 dr,
(97)
r
r
52
logo
Completando o quadrado temos:
−c1 dq
.
dθ = p
2µq + c3 − c21 q 2
(98)
−c1 dq
2 .
2
c3 + µc2 − cµ1 − c1 q
dθ = r
(99)
1
Definindo
B 2 = c3 +
µ2
,
c21
(100)
µ
− c1 q,
c1
−u =
(101)
chegamos à
dθ = √
que, integrado dá
−du
,
B 2 − u2
θ = arc cos
Voltando para r temos
r=
µ
c1
+
que é a equação polar das cônicas
r=
q
u
+ c4 .
B
c1
c3 +
(102)
µ2
c21
(103)
,
(104)
cos(θ − c4 )
p
,
1 + e cos(θ − ω)
(105)
onde
c21
p= ,
µ
√
c1 = µp,
c2 c3
e2 = 1 + 1 2 ,
µ
µ(1 − e2 )
c3 = −
,
p
ω = c4 − π.
(106)
(107)
(108)
(109)
(110)
Quando e2 < 1, a órbita é uma elípse e p = a(1 − e2 ), quando e2 = 1, a órbita é uma parábola
e p = 2q, onde q é a distância da origem até o vertice da parábola, e quando e2 > 1, a órbita é
uma hipérbole e p = a(e2 − 1).
A equação da vis viva (87) fica
V2 =2
µ µ(1 − e2 )
−
.
r
p
53
(111)
e para a órbita elíptica
2
V =µ
2 1
−
r a
.
(112)
Para sabermos o período que a partícula leva para dar uma volta na elípse basta integrarmos a
equação 15 de 0 a A para a área, e de 0 a T , o período:
Z A
Z
h T
dA =
dt,
(113)
2 0
0
cujo resultado é
h
T.
(114)
2
A área da elípse é πab. Podemos relacionar a com b pelas equações 29 e 30 e chegamos em
A=
√
h
πa2 1 − e2 = T.
2
(115)
Mas h é c1 . Usando o resultado da equação 107, usando p para elípse, temos
p
√
µa(1 − e2 )
2
2
πa 1 − e =
T,
2
que se reduz à
√
(116)
µa
T.
2
(117)
4π 2 a3 = µT 2 .
(118)
2
πa =
Elevando ao quadrado
Logo, o período de rotação na órbita elíptica é
T = 2π
s
a3
.
µ
(119)
Ao integrarmos o problema de dois corpos encontramos as seguintes constantes para a órbita
elíptica: I e Ω, que definem o plano da órbita da partícula; a e e que definem a forma da elípse;
e ω que é um ângulo no plano da órbita entre a linha dos nódos e o periápse da elípse. Essas
cinco constantes determinam completamenta e órbita da partícula, mas é necessário posicionar
a partícula na órbita. Para isso vamos introduzir um novo ângulo chamado de anomalia verdadeira, que é o próprio θ e é simbolizado por v. Desta forma a integral das áreas e a vis viva
fica
dv p
= µa(1 − e2 ),
r2
dt
2
2
dr
dv
2 1
2
+r
=µ
−
.
dt
dt
r a
Eliminado
dv
dt
(120)
(121)
na vis viva temos
dr
dt
2
µa(1 − e2 )
+
=µ
r2
54
2 1
−
r a
.
(122)
Vamos representar o movimento angular médio por n, então
r
2π
µ
n=
=
,
T
a3
que pode ser escrita na forma
µ = n 2 a3 ,
que é a terceira lei de Kepler. Introduzindo n na equação 122 chegamos em
2
n2 a4 (1 − e2 )
2 1
dr
2 3
+
−
.
=n a
dt
r2
r a
Que se reduz à
dr
na p 2 2
a e − (a − r)2 .
=
dt
r
Usando o método das separação das variáveis chegamos em
r
dr
ndt = p
.
a a2 e2 − (a − r)2
(123)
(124)
(125)
(126)
(127)
Para podermos integrar a equação acima, vamos introduzir uma variável auxiliar E pelas equações
a − r = ae cos E, então
r = a(1 − e cos E).
(128)
(129)
Este ângulo é conhecido como anomalia excêntrica. A equação 127 fica
ndt = (1 − e cos E)dE,
(130)
n(t − τ ) = E − e sen E,
(131)
n(t − τ ) = M = E − e sen E,
(132)
cuja integral é
em que τ é a época de passagem pelo pericentro da órbita. A quantidade n(t − τ ) é um ângulo
que descreveria o raio vetor se ele se movesse uniformemente com a taxa média. Esse ângulo é
chamado de anomalia média e denotado por M . Logo
que é a equação de Kepler.
O problema do movimento relativo de dois corpos era de sexta ordem (três equações diferencias
de segunda ordem), e a sua integração resultou em seis constantes. Essas seis constantes são
chamadas de elementos orbitais e define completamente a posicão da partícula. Esses elementos
são:
a : semi-eixo maior, que define o tamanho da órbita e o período de revolução;
e : excentricidade, que define a forma da órbita;
Ω : longitude do nódo ascendente, e
I : inclinação, que juntos definem a posição do plano da órbita;
ω : longitude do pericentro, que é medido a partir do nódo e define a orientação da órbita em
seu plano;
τ : tempo (ou época) da passagem pelo pericentro, que juntos com outros elementos, posiciona
a partícula na órbita em qualquer tempo.
55
z
orbita
Y
Z
X
Ω
y
ω
pericentro
plano de referencia
I
nodo ascendente
x
Figura 6 – A órbita em três dimensões.
9.
Relação Entre os Elementos Orbitais e a Posição e Velocidade de um Corpo
A órbita está representada na figura 6. O sistema (x, y, z) está no centro do planeta de massa
m1 e é um sistema arbitrário. O sistema (X, Y , Z) também está no centro de m1 , mas define o
plano da órbita de m2 .
A inclinação da órbita pode variar de 0◦ ≤ I ≤ 180◦ . Se I < 90◦ o movimento é prógrado,
enquanto se I ≥ 90◦ o movimento é retrógrado. No limite quando I → 0 o plano orbital
coincide com o plano de referência e temos:
$ =Ω+ω
(133)
A definição de $ também é utilizada no caso inclinado, apesar dos ângulos Ω e ω estarem em
planos diferentes.
Os ângulos Ω e ω podem variar de 0◦ a 360◦ . O tamanho e o formato da órbita são dados pelo
semi eixo maior a e pela excentricidade e.
Podemos expressar as coordenadas de um sistema em termos do outro através de uma série
de rotações. Para transformar um sistema (X, Y, Z) (coordenadas no plano orbital) para um
sistema de referência geral (x, y, z) devemos:
i) rotacionar o eixo Ẑ de um ângulo ω tal que o eixo X̂ coincida com a linha dos nodos (representado pela matriz de rotação P1 ):


cos ω − sen ω 0
P1 = sen ω cos ω 0
0
0
1
56
(134)
ii) rotacionar o eixo X̂ de um ângulo I tal que os dois planos coincidam (matriz de rotação P2 ):


1
0
0
P2 = 0 cos I − sen I 
(135)
0 sen I cos I
iii) rotacionar o eixo Ẑ de um ângulo Ω (matriz de rotação P3 ):


cos Ω − sen Ω 0
P3 = sen Ω cos Ω 0
0
0
1
Então:
e
 
 
x
X
 y  = P 3 P2 P 1  Y 
z
Z
 
 
X
x
 Y  = P1−1 P2−1 P3−1 y 
Z
z
(136)
(137)
(138)
onde P1−1 é a inversa de P1 , etc. Como todas as matrizes de rotação são ortogonais, a inversa
de cada matriz é simplesmente igual a sua transposta.
Se nos restringirmos às coordenadas que estão no plano orbital, teremos:
 


x
r cos f
y  = P3 P2 P1 r sen f 
z
0
 


x
cos Ω cos(ω + f ) − sen Ω sen(ω + f ) cos I
y  = r sen Ω cos(ω + f ) + cos Ω sen(ω + f ) cos I 
z
sen(ω + f ) sen I
(139)
(140)
Vamos agora resumir o algorítmo que transforma a posição (x, y, z) e a velocidade (ẋ, ẏ, ż) de
um corpo em uma órbita elíptica no plano de referência padrão em um dado instante t, para o
conjunto dos seis elementos orbitais a, e, I, Ω, ω e v e τ (tempo de passagem no pericentro).
Então:
R 2 = x2 + y 2 + z 2
V 2 = ẋ2 + ẏ 2 + ż 2
R · Ṙ = xẋ + y ẏ + z ż
h = (y ż − z ẏ, z ẋ − xż, xẏ − y ẋ)
r
h2
Ṙ = ± V 2 − 2
R
(141)
(142)
(143)
(144)
(145)
As projeções de h = (hx , hy , hz ) nos três planos são:
hz = h cos I
±hx = h sen I sen Ω
∓hy = h sen I cos Ω
57
(146)
(147)
(148)
onde o sinal superior nas Eqs. 147 e 148 é utilizado quando hZ > 0 e o sinal inferior é utilizado
quando hZ < 0.
1. Cálculo de a: utilizando a equação da vis viva 112
−1
2
V2
−
a=
R G(m1 + m2 )
2. Cálculo de e: utilizando Eqs. 108, 107 e 109, obtemos:
s
h2
e= 1−
G(m1 + m2 )a
(149)
(150)
3. Cálculo de I: utilizando Eq. 76, obtemos:
I = cos−1
4. Cálculo de Ω: utilizando Eqs. 77 e 78, temos:
hz H
hx
h sen I
hy
cos Ω = ∓
h sen I
obs: a escolha do sinal é determinado pelo sinal de hz .
sen Ω = ±
(151)
(152)
(153)
5. Cálculo de (ω + v): utilizando as expressões para z/R e x/R:
z
R sen I
x
cos(ω + v) = secΩ
+ sen Ω sen(ω + v) cos I
R
6. Cálculo de v: utilizando Eqs. 105 e sua derivada:
sen(ω + v) =
(154)
(155)
a(1 − e2 )
sen v =
Ṙ
(156)
he
1 a(1 − e2 )
−1
(157)
cos v =
e
R
7. Cálculo de τ : Primeiramente calculando E da Eq. 129 e utilizando a Eq. 124 e a Equação
de Kepler 132:
E − e sen E
τ =t− p
(158)
G(m1 + m2 )a−3
Para
determinar
a
posição
(x, y, z)
dado
os
seis
elementos
orbitais
(a, e, I, Ω, ω, M ), devemos utilizar as Eqs. 140. A determinação das componentes da velocidade é obtida derivando as Eqs. 140.
Referências
Murray, C.D. & Dermott, S.F. (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press.
Moulton, F.R. (1970). An Introduction to Celestial Mechanics. Dover Publications, Inc.
Giuliatti Winter, S.M. (1990). Introdução à Mecânica Celeste. Apostila da X Escola de Verão
em Dinâmica Orbital e Planetologia.
58