Lógica Proposicional

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Cálculo Proposicional
Alessandro Barbieri
Fernando Melo
Jessé Benevides
Rui Barbosa
Introdução

Lógica Formal.
Hoje é segunda-feira ou terça-feira.
Hoje não é segunda-feira.
> Hoje é terça-feira.
Ele é menor de 18 anos ou ele é jovem.
Ele não é menor de 18 anos.
> Ele é jovem.

Forma comum:
P ou Q.
Não é o caso que P.
> Q.

Letras sentencionais
Operadores Lógicos
Negação
E
¬
^
Ou
V
Se, então

Se e somente se

Tabela verdade:
P
Q
P∧Q
P
Q
P∨Q
P
¬P
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
P
Q
P→Q
P
Q
P↔Q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
Formalização
Não está chovendo.
¬C
 Está chovendo e nevando.
C^N
 Esta chovendo ou nevando.
C VN
 Se não está chovendo, então está nevando.
¬CN
 Está chovendo se e somente se não está nevando
C  ¬ N

Regras de Inferência

Regras Básicas:
◦ Hipotéticas
◦ Não hipotéticas.

Regras Derivadas

Eliminação da dupla negação
◦ De ¬¬p, infere-se p.

Introdução a conjunção
◦ De p e q, infere-se (p ∧ q).

Eliminação da conjunção
◦ De (p ∧ q), infere-se p De (p ∧ q), infere-se q.

Introdução a disjunção
◦ De p, infere-se (p ∨ q)De p, infere-se (q ∨ p).

Eliminação da disjunção
◦ De (p ∨ q), (p → r), (q → r), infere-se r.

Introdução do bicondicional
◦ De (p → q), (q → p), infere-se (p ↔ q).

Eliminação do bicondicional
◦ De (p ↔ q), infere-se (p → q);De (p ↔ q), infere-se (q → p).

Modus pones
◦ De p, (p → q), infere-se q.
Regras Hipóteticas

Prova do Condicional (PC).
◦ Estratégia de prova.
 Assume-se a conclusão como hipótese.

Redução ao Absurdo (RAA).
◦ Estratégia de prova.
 Assume-se a conclusão nagada como hipótese.
Regras Derivadas

As regras derivadas são obtidas através
de regras de inferências previamente
provadas.

As regras derivadas não permitem
realizar provas não prováveis pelas dez
regras básicas mencionadas.

Flexibilidade na estratégia de provas.
Equivalência

É uma bicondicional que também é um
teorema, ou seja, prova-se a “ida” e a
“volta”.

Muitas equivalências tem nomes, assim
como as regras derivadas.
◦
◦
◦
◦
Lei de Morgan (DM)
Distributiva(DIST)
Associação (ASSOC)
Comutativa (COM)
Obrigado!
Fim