Matemática - Estuda Que Passa

Matemática
Variância e Desvio Padrão
Professor Dudan
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Matemática
VARIÂNCIA
Na estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística,
indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.
•• A variância deve ser calculada através da soma dos quadrados entre a diferença de um valor
observado e o valor médio. A diferença serve para mostrar quanto um valor observado se
distancia do valor médio.
•• Para população a fórmula é a seguinte:
VA =
( X1 − Xm)² + ( X2 − Xm)²+ ... ( Xn − Xm) ²
n
Obs.: a unidade da variância é igual a unidade de medida das observações elevada ao
quadrado.
Dentro da Estatística, existem diversas formas de analisar um conjunto de dados, a depender
da necessidade em cada caso. Imagine que um treinador anote o tempo gasto por cada um
de seus atletas a cada treino de corrida e, depois, observe que o tempo de alguns de seus
corredores está apresentando considerável variação, o que pode resultar em derrota em uma
competição oficial. Nesse caso, é interessante que o treinador tenha algum método para
verificar a dispersão entre os tempos de cada atleta.
Exemplo: No exemplo citado anteriormente, temos os tempos anotados de cada atleta.
Atletas
Dia 1
Dia 2
Dia 3
Dia 4
Dia 5
João
63 min
60 min
59 min
55 min
62 min
Pedro
54 min
59 min
60 min
57 min
61 min
Marcos
60 min
63 min
58 min
62 min
55 min
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Antes de calcular a variância, é necessário encontrar a média aritmética dos tempos de cada
atleta. Para tanto, o treinador fez os seguintes cálculos:
Agora que o treinador já conhece o tempo médio de cada atleta, ele pode utilizar a variância
para obter a distância dos períodos de cada corrida em relação a esse valor médio. Para calcular
a variância de cada corredor, pode ser realizado o seguinte cálculo:
Para cada atleta, o treinador calculou a variância:
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De acordo com os cálculos da variância, o atleta que apresenta os tempos mais dispersos da
média é o Marcos. Já Pedro apresentou tempos mais próximos de sua média do que os demais
corredores.
Exemplo: Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com
skates.
Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0
Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0
Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0
Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos obter média cinco para todos,
impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores.
Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no
intuito de não comprometer a análise.
Assim calcularemos a variância dos valores apresentados por atleta.
(7 – 5)²+ (5 – 5)²+ (3 – 5)² 4 + 0 + 4
VA =
=
= 2,667
3
3
(5 – 5)²+ (4 – 5)²+ (6 – 5)² 0 + 1 + 1
=
= 0,667
3
3
(4 – 5)²+ (4 – 5)²+ (7 – 5)² 1 + 1 + 4
VC =
=
=2
3
3
VB =
Assim percebemos que o competidor B é o mais regular de todos.
Exemplo: O dono de uma microempresa pretende saber, em média, quantos produtos são
produzidos por cada funcionário em um dia. O chefe tem conhecimento que nem todos
conseguem fazer a mesma quantidade de peças, mas pede que seus funcionários façam um
registro de sua produção em uma semana de trabalho. Ao fim desse período, chegou-se à
seguinte tabela:
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Funcionários
Quantidade de peças produzidas por dia
Seg
Ter
Quar
Quin
Sext
A
10
9
11
12
8
B
15
12
16
10
11
C
11
10
8
11
12
D
8
12
15
9
11
Para saber a produção média de seus funcionários, o chefe faz o cálculo da média aritmética de
produção, isto é, a soma do número de peças produzido em cada dia dividida pela quantidade
analisada de dias.
A partir desse cálculo, temos a produção diária média de cada funcionário. Mas se observarmos
bem a tabela, veremos que há valores distantes da média. O funcionário B, por exemplo, produz
uma média de 12,8 peças por dia. No entanto, houve um dia em que ele produziu 16 peças e
outro dia em que ele confeccionou apenas 10 peças. Será que o processo utilizado pelo dono
da empresa é suficiente para o seu propósito?
Faremos o cálculo da variância para cada um dos funcionários.
Primeiramente calcularemos a média de peças produzidas por cada um deles.
Agora a variância:
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Podemos afirmar que a produção diária do funcionário C é mais uniforme do que a dos demais
funcionários, assim como a quantidade de peças diárias de D é a mais desigual. Quanto maior
for a variância, mais distantes da média estarão os valores, e quanto menor for a variância,
mais próximos os valores estarão da média.
•• Para amostra a soma dessas diferenças deve ser dividida por n-1 , onde n é o número de
elementos da amostra.
(
(
)²
)²
)² (
VA = X1 − Xm + X2 − Xm + ... Xn − Xm
n−1
Exemplo:
Calcular a variância amostral do conjunto : 1, 2, 3, 4, 5
n = 5 e Xm (média) = 3
logo:
Var =
=
=
= 2,5
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DESVIO PADRÃO
O desvio padrão é calculado extraindo a raiz quadrada da variância.
D.P. = VA
A unidade do desvio padrão é igual a unidade de medida das observações.
Exemplo: O dono de uma microempresa pretende saber, em média, quantos produtos são
produzidos por cada funcionário em um dia. O chefe tem conhecimento que nem todos
conseguem fazer a mesma quantidade de peças, mas pede que seus funcionários façam um
registro de sua produção em uma semana de trabalho. Ao fim desse período, chegou-se à
seguinte tabela:
Funcionários
Quantidade de peças produzidas por dia
Seg
Ter
Quar
Quin
Sext
A
10
9
11
12
8
B
15
12
16
10
11
C
11
10
8
11
12
D
8
12
15
9
11
Faremos o cálculo da variância para cada um dos funcionários.
Primeiramente calcularemos a média de peças produzidas por cada um deles.
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Agora a variância:
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Calculando o desvio, temos:
Exemplo: O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as
reclamações dos clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados
os números de chamadas durante um período de sete dias consecutivos. Os resultados obtidos
foram os seguintes:
Dia
Número de chamadas
Domingo
3
Segunda
4
Terça
6
Quarta
9
Quinta
5
Sexta
7
Sábado
8
Sobre as informações contidas nesse quadro, podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
10
O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6,5.
A média é menor que a variância.
A variância dos dados é 4.
O desvio padrão dos dados é √2.
O desvio é um número ímpar.
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