Ensinando conceitos geométricos e trigonométricos

CO 05: Ensinando conceitos geométricos e trigonométricos
envolvidos na construção e utilização da balestilha
Antonia Naiara de Sousa Batista
Universidade Estadual do Ceará
[email protected]
Ana Carolina Costa Pereira
Universidade Estadual do Ceará
[email protected]
Resumo
A Balestilha teve grande importância nos séculos XVI a XVIII, pois sua dupla função lhe
trouxe vantagens com relação a outros instrumentos, como o quadrante e o astrolábio que
surgiram anteriormente a ela e eram utilizados apenas para medir a altura dos astros. A
função da Balestilha era medir a distância angular, ou seja, a altura de uma estrela em
relação à linha do horizonte, ou também medir a distância entre dois astros. É de fácil
construção, necessitando apenas de um virote (vara de madeira com secção quadrada) e
soalhas (variados pedaços de madeiras com tamanhos menores que o comprimento do
virote que deslizam sobre ele perpendicularmente). Esse estudo tem o intuito de, a partir da
construção da Balestilha, possibilitar o ensino de conceitos matemáticos de forma mais
prazerosa e aplicável, não deixando de lado o desenvolvimento histórico, social, político e
econômico da época em que foi construída essa engenhoca. Inicialmente foi realizado um
estudo longitudinal da Balestilha observando tanto os seus aspectos históricos como, os
cálculos matemáticos e a construção em si do instrumento. Posteriormente, planejamos e
aplicamos um curso de 36h/a que enfoca sua graduação em forma geométrica e
trigonométrica, juntamente com a construção física da Balestilha e sua aplicação, propondo
várias atividades didáticas envolvendo conceitos de trigonometria e conteúdos
relacionados a desenho geométrico. Nesse sentido, vislumbramos com esse trabalho
contribuir para pesquisas relacionadas à história das Ciências, em particular a História da
Matemática na busca de alternativas metodológicas para seu ensino.
Palavras-Chave: Balestilha. Conceitos Matemáticos. Formação inicial de Professores de
Matemática.
Introdução
A preocupação com o Ensino de Matemática na Educação básica, assim como, a
formação de professores tanto na inicial como na continuada é uma preocupação constante
na comunidade de pesquisadores brasileiros. Nessa formação, as disciplinas teóricas, de
Educação Matemática, Pedagógicas, os Estágios Supervisionados e as Atividades
Complementares transcorrem, cada uma com sua importância, a vida acadêmica do futuro
professor.
Dentre as disciplina teóricas, encontramos a História da Matemática que também
pode ser como um elemento importante nas formas de fazer matemática em sala de aula
descrita pelos PCN (BRASIL, 1998). A história da matemática também está sendo
utilizada como um recurso pedagógico de ensino, ganhando destaque no meio acadêmicoeducacional. Dentre pesquisas que estão sendo realizadas, podemos citar o trabalho de
Fauvel e Maanen (2000) que tem como objetivo investigar como o ensino e o aprendizado
da matemática podem ser utilizados na integração da história da matemática em todos os
aspectos da Educação Matemática: lições, trabalhos de casa, textos, leituras, projetos.
Durante o decorrer da História da Matemática, muitos instrumentos foram
fabricados e utilizados para facilitar o cálculo de medidas. Nas grandes Navegações
Portuguesas e Européias, os marinheiros faziam uso de diversos instrumentos náuticos com
a finalidade de se obter a sua localização em alto-mar. Um desses instrumentos utilizados
foi a Balestilha, em que desconhece-se a sua origem e a data na qual começou a ser
utilizada pelos pilotos. Porém, sua primeira menção foi encontrada provavelmente no
Livro de Marinharia de João de Lisboa, que consta algumas referências relacionadas à sua
utilização durante as viagens marítimas. No entanto, não havia data neste livro, mas que
poderíamos possivelmente situá-lo no primeiro quartel do século XVI, não muito posterior
ao ano de 1514 (ALBUQUERQUE, 1988).
Figura 01: Balestilha.
Fonte: Morey e Mendes (2005)
2
Costa (1958, p.23) diz que “a Balestilha continuava ainda em uso pelos fins do
século XVIII”, declaração também de mesma natureza foi feita por Albuquerque (1988),
quando relata em seu texto que tanto Pimentel (1712) e Rego (1764) trabalharam voltados
para a graduação do virote. Bastante utilizada pelos marinheiros entre os séculos XVI e
XVIII, tinha a finalidade de medir a distância angular ou altura de um astro com relação à
linha do horizonte, ou medir a distância entre dois astros. No entanto, para medir a altura
sol a Balestilha era usada de forma contrária ao seu uso normal, a esse método chamamos
de revés.
Sua simples construção era composta de apenas uma vara de madeira de secção
quadrada chamada de virote, possui tamanho arbitrário, porém um virote com mais de 4
palmos de comprimento sofreria uma certa desvantagem em relação à outro com pouco
menos ou exatamente 4 palmos, pois durante as navegações ocorreriam muitas ventanias
que impossibilitavam mira-la na linha do horizonte (ALBUQUERQUE, 1988). Outro
componente do instrumento seria as soalhas, pedaços de madeira menores que o virote e
com um orifício no seu centro, onde seria introduzido o virote. Segundo Pimentel (1819),
as soalhas deveriam ter tamanhos na seguinte ordem: a primeira seria ½ do virote, a
segunda ¼ do virote, a terceira 1/8 do virote e finalmente a quarta chamada também de
martinete, teria como medida 1/16 do mesmo.
Em seguida, vem o processo de graduação do virote que segundo Pimentel (1762)
poderia ser executado de duas maneiras:
A Baleftilha fe póde graduar ou geometricamente, ou por via de numeros.
A graduação Geometrica tem muita difficuldade na execução, e neceffita
de huma diligencia, e circumfpecção extraordinaria, pela qual razão he
melhor, e mais facil ufar de padrão Arithmetico por meio da taboada
feguinte, de cujo ufo, e fabrica logo trataremos.
(PIMENTEL, 1762, p. 142).
Deste modo, esse trabalho visa apresentar, a partir da construção da Balestilha,
conceitos matemáticos de Geometria e Trigonometria, principalmente no triângulo
retângulo de forma mais agradável e aplicável, não deixando de lado o desenvolvimento
histórico, social, político e econômico da época em que foi construído esse instrumento.
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Metodologia
Visando a Balestilha como um recurso mediador no ensino e na aprendizagem do
professor-aluno e que possibilite a exploração de conteúdos matemáticos, como por
exemplo, a Geometria e a Trigonometria, nós planejamos um curso de extensão pela
UECE, composto não só pelo processo de construção da Balestilha, mas, que abordasse
assuntos necessários para devida aplicação do instrumento em sala de aula.
Durante o curso foram ministradas aulas sobre diferentes metodologias para o
Ensino de Matemática incluindo a História da Matemática como tendência pedagógica; a
Matemática nos séculos XV e XVI; a contribuição da Matemática para a época das grandes
navegações, abrangendo os tipos de instrumentos náuticos utilizados nesse período, como
por exemplo, a quadrante, o astrolábio e outros; alguns conceitos de astronomia
necessários para a compreensão da situação em que esses eram usados; a história da
Balestilha; os conceitos matemáticos envolvidos na graduação do virote e na sua
construção física.
Figura 02: Balestilha construída com isopor.
Fonte: Batista; Pereira (2014).
No que se refere à construção da Balestilha, em particular, na graduação do virote,
decidimos realizá-lo de duas maneiras: a primeira foi à graduação geométrica e a segunda
graduação trigonométrica.
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Graduação geométrica do virote da Balestilha
A graduação geométrica do virote da Balestilha também é denominada método de
Werner 1, isso se deve ao fato de que em 1514, ele aconselhava que se graduasse o virote
diretamente em graus, havendo logo quem descobrisse um engenhoso processo geométrico
para efetuar desse modo (CARVALHO, p. 50, 1960). Esse método está exposto na obra de
Manuel Figueiredo, Chromografia,1603, aqui iremos apresentar o passo a passo desse
método descrevendo as etapas.
Primeiramente tome o virote de medida AB da Balestilha. Em seguida, partindo do
ponto B trace um segmento perpendicular BO.
Sobre o segmento BO marque o ponto médio C. Em seguida, marque também sobre
BO o ponto D e E, tal que, DC = CE = comprimento da meia soalha.
No ponto C e no ponto E, trace um segmento CM e EN respectivamente, paralelo a
AB, com medida igual ao virote.
Com o uso de um compasso de raio qualquer, trace um quarto de círculo, cujo
centro seja o ponto C, tocando os segmentos CM e EN nos pontos G e H. Partindo do arco
divida-o ao meio obtendo o ponto F. Em seguida, divida o arco
em um número
máximo de partes. Na figura 01, dividimos em 3 partes, porém teoricamente o arco pode
ser dividido em 90 partes iguais, mas por dificuldade de construção e consequentemente de
visualização, marcamos apenas 3 divisões para o entendimento do processo.
1
Johannes Werner, alemão nascido em Nuremberg, foi sacerdote, matemático e geômetra, em que
teve seus principais trabalhos voltados para a astronomia, de matemática e de geografia. Tornou-se
fabricante qualificado de instrumentos para uso em astronomia. Na matemática trabalhou em
trigonometria esférica e seções cônicas, que foi o primeiro em utilizar a
fórmula 2sin(a)sin(b)=cos(a-b)-cos(a+b). Adepto aos conhecimentos da trigonometria
de Regiomontanus, imprimiu, em Nuremberg, a obra De Triangulis Omnimodis Libri Quinque em
latim de importância para a geometria, com vinte e dois livros, denominada Elementos de
cônicas (1522). Em 1514, foi um dos primeiros a propor o uso do método de distância lunar para
determinar a Longitude.
5
AB = Virote
DE = Soalha
Figura 03: Graduação do Virote
Partindo do ponto C, trace os segmentos de interseção com o arco , por exemplo,
CF, CH e CQ e prolongue-os até interceptar o segmento EN nos pontos, K, H e P,
respectivamente. Trace segmentos perpendiculares partindo desses pontos, K, H e P,
interceptando o segmento AB (virote) em pontos que indicam os ângulos 90º, 60º e 30º.
Percebemos que o processo de graduação geométrica do virote utiliza apenas
conhecimentos de Desenho Geométrico, principalmente os conceitos de retas paralelas e
perpendiculares, bissetriz de um ângulo, medida de ângulos, etc. Para executar essa
primeira parte do trabalho, disponibilizamos aos alunos cartolinas, lápis, réguas,
compassos, esquadros e transferidores.
Para justificarmos mais claramente a graduação geométrica do virote, inicialmente
utilizaremos os mesmos procedimentos, porém com uma única diferença: a construção de
um quarto do círculo será realizada no ponto B, ponto de apoio do observador, sendo
rebatido o mesmo processo acima do virote.
6
AB = Virote
DD’ = Soalha
Figura 04: Outra visualização da graduação do Virote
Observando essa nova construção podemos destacar os Triângulos ΔGBF, ΔIBH e
o ΔQBP, cujos ângulos em B, são as medidas dos arcos correspondentes:
′
′= ′ ′e ′
= ′ ′;
′ = ′ ′. Para exemplificar, destacaremos o triângulo ΔGBF.
Para melhor visualização, destacaremos apenas a marcação de 30º no virote que é
dada pelo ΔGBF.
Figura 05: Justificativa da graduação do Virote
7
Na figura 03, a soalha é dada por 2L, ou seja, FG = DD’ = 2L. Pela construção e forma da
Balestilha, o ΔGBF é isósceles sendo que O é ponto médio de FG (soalha), assim ΔGOB é
retângulo em O, onde temos a relação
2
=
=2∙
Logo,
∙
=
=
2
∙
2
.
O intuito de colocar a em função de
é devido a construção geométrica que divide
o semi-quadrante GF em 90 partes iguais (na figura 01 dividimos apenas em 3 partes),
= 15°, ou seja, corresponde a
onde
= 45° corresponde a
= 30°. Logo,
= 30° corresponde a
= 60° e
= 90°.
Graduação trigonométrica do virote da Balestilha
Na graduação trigonométrica, como o próprio nome nos remete, trabalhamos com a
trigonometria no triângulo retângulo. Para executar essa segunda maneira, primeiramente
decidimos o tamanho do virote, que segundo Pimentel (1762, p.142), não deveria medir
mais do que quatro palmos. Em seguida, utilizamos a soalha de tamanho ½ do virote,
Pimentel (1762) afirma que meia soalha deveria ser dividida em 1000 partes iguais
porém,mais viável foi dividi-la em 10 partes iguais, que no momento será a nossa régua, ou
petipé2, assim chamado por Pimentel (1762).
Iniciamos a marcação no virote com distância equivalente a meia soalha em relação
3
ao cós do virote.Então, iremos reparti-lo até B, fazendo uso da meia soalha.
2
Réguacomposta por varias divisões utilizadaparafazermedições.
Local onde o observador coloca o olho para realizar a observação e assim encontrar a distância angular
desejada.
3
8
Observe a seguinte figura:
A: Cós do virote; AB: Virote;
CD = 2R = Soalha; α: distância angular;
I: Início da graduação;
AI = R = Meia soalha.
IF = x = Distância da soalha em relação ao início da graduação;
AF: Distância da soalha em relação ao cós (A) do virote;
Podemos notar que na figura,
Tgβ = Tg 90° −
α
α
AF R + x
= cotg
=
=
2
2
DF
R
Para obtermos a tangente no ciclo trigonométrico, assumimos o raio da
circunferência igual a 1. Então,
Tg 90° −
α
= cotg
α
= 1 + x → x = Tg 90° −
α
− 1 = cotg
α
− 1 (I)
Antes de iniciar a graduação no virote podemos utilizar uma Taboada ou “tábua” das
Tangentes, que está contida no Livro “A Arte de Navegar” de Pimentel (1762, p. 144 –
148). Porém, vamos utilizar no momento apenas uma mostra dessa tabela.
TABOADA DAS TANGENTES, QUE SERVEM
para graduar a Balestilha, abatido o Radio
Gr.
M.
Tangent.
M.
Gr.
0
00
1000
00
90
10
003
50
20
006
40
30
009
30
40
012
20
9
1
2
50
015
10
00
10
20
30
40
50
00
018
021
024
027
030
033
036
00
50
40
30
20
10
00
(90°-)
x = Tag (90°-/2) – 1
x = Cotg /2 – 1
89
88

Tabela 01: Taboadas das Tangentes
Fonte: Pimentel (1762)
Observando a tabela acima, notamos que ela nos fornece duas possibilidades de
medida. Na coluna da esquerda, os graus estão expostos em ordem crescente de cima para
baixo, isto é, graduando o virote a partir do ponto I e utilizando essa ordem, encontramos
com o uso da Balestilha a distância angular entre um astro e o Zênite4. Porém, se fizermos
uso dos graus em ordem decrescente, da forma como está organizado na coluna da direta
de cima para baixo, encontramos a distância angular do astro em relação à linha do
horizonte.
Essa tabela foi construída supondo que meia soalha R teria sido dividida 1000
partes iguais. Porém, pela dificuldade de execução dessa divisão, chegamos à conclusão
que seria mais viável, como já havíamos falado no início, dividir R em apenas dez partes
iguais, sem perda de característica. No entanto, essa mudança gerou a necessidade de
modificações nos resultados da tabela. A seguir, justificaremos essa mudança através de
um exemplo.
Observação importante: Para o nosso curso de extensão foi utilizado somente a
graduação que vai de cima para baixo (90º a 0º), ou seja, a graduação que faz a medição da
distância angular de um astro em relação a linha do horizonte.
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Ponto onde ocorre a intercessão da vertical de um lugar com a parte visível da esfera celeste, ou
seja, o zênite se encontra acima da nossa cabeça.
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O curso de extensão teve como público alvo, os alunos do curso de Licenciatura em
Matemática da UECE com carga horária total de 36h/a, sendo 24h/a presenciais e 12h/a a
distância. Para cada aula foi disponibilizado aos discentes atividades práticas para
aplicação do conteúdo estudado em sala de aula, tais como a medição da altura de um
poste padrão e a distância entre duas estrelas da constelação do Cruzeiro do Sul: a Beta
Crucis (mimosa) e a Omega Crucis.O material utilizado para a construção física do
instrumento foram folhas de isopor com espessura 2,5 cm, cartolinas branca, cola e estilete.
Figura 06: Aplicação da Balestilha.
Fonte: Batista e Pereira (2014).
Além
de
trabalhar
a
trigonometria
no
triângulo
retângulo
podemos
simultaneamente explorar os conceitos de seno, cosseno e tangente de um ângulo e o
complemento de um ângulo. No final do curso houve uma discussão sobre as vantagens e
desvantagens da utilização da Balestilha em sala de aula, como um recurso metodológico
diferenciado.
Resultados e Discussões
A utilização de instrumentos náuticos como suporte metodológico e didático para
as aulas dos nossos futuros professores foram bastante apoiadas e aprovadas pelos nossos
discentes. Porém, alguns alunos fizeram pequenas observações com relação a certos
empecilhos no caminho do professor. Um deles está relacionado com o tempo disponível
do docente para planejar e executar esse tipo de aula.
Outro fato que percebemos foi que as grandes maiorias dos alunos não conheciam a
Balestilha e sua relação com a Matemática, assim como os conceitos iniciais de
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astronomia. Na aplicação houve dificuldade em calcular a distância entre dois astros, pois
alguns alunos não conseguiam mirar simultaneamente as duas estrelas devido ao tempo
nublado e a distância de um astro em relação à linha do horizonte, a partir de certo horário,
porque durante a noite fica difícil visualizar a linha do horizonte.
Assim, consideramos que é possível fazer uma aula diferenciada que envolva os
alunos em atividades de grupo e que ao mesmo tempo desenvolva conceitos matemáticos
favoráveis ao ensino e a aprendizagem desses alunos.
Referências
ALBUQUERQUE, Luis de. 1988. Instrumentos de Navegação. Lisboa: Comissão
Nacional Para As Comemorações dos Descobrimentos Portugueses, 10-29.
COSTA, Abel Fontoura da. 1958. A ciência náutica dos portugueses na época dos
descobrimentos. Lisboa: Comissão Executiva das Comemorações do Quinto Centenário da
Morte do Infante D. Henrique.
BUSSI, Maria G. Bartolini. 2000. Ancient instruments in the modern classroom.
FAUVEL, John.; MAANEN, Jan. Van. (Eds.). History in mathematics education: the
ICMI Study. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, vol. 6, 343-350.
MOREY, Bernadete; MENDES, Iran Abreu. 2005. Conhecimentos matemáticos na época
das navegações. Rio Grande do Norte: Sbhmat.
PIMENTEL, Manuel. 1762. Arte de navegar. Lisboa: na Officina de Miguel Manescal da
Costa, Impressor do Santo Officio.
PINTO, Margarida Matias. 2010. Os instrumentos náuticos de navegação e o ensino da
geometria. Lisboa: Sociedade Portuguesa de Matemática.
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