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j u 1g a d a
adequada
"MESTRE
em M a t e m á t i c a
pelo
Pós-Graduação.
de
a obtenção
do
t i t u l o de
EM C Í Ê N C I A S "
Especialidade
Curso
para
e aprovada
Prof.
WILLIAM
em
sua
GLENN
forma
fina l
W H IT L E Y ,P h .D .
Coordenador
Banca
Examinadora:
Prof.
Dr.
WALTER
DE B O N A
Orientador
CASTELAN
I I
CONVERGÊNCIA
DE S O L U Ç Õ E S
DIFERENCIAIS
JOÄO
DE S I S T E M A S
FUNCIONAIS
CARLOS
Junho
SELL
EQUAÇÕES
PERTURBADAS
DUARTE
- 1979
DE
I I I
A minha
esposa
e aos meus
pais
I V
AGRADECI MENTOS
Ao
Orientador
centivo,
nossos
deste
Professor
trabalho,
bem como
pela
pelos caminhos
sugestões
ve e m d i s c u t i r
balho,
nossos
formuladas
conosco
Dr.
e pela
assuntos
de
segurança,
novos
que
Bona
Castelan
dedicação,
,
in -
nos m o s t r o u
,
Teõfilo Abuabara
boa
vontade
que
relacionados
Saad,
p£
sempre
te­
com este
tr£
agradecimentos.
Estendo meus
Federal
Walter
agradecimentos.
Ao P r o f e s s o r
Ias
Dr.
de Santa
Catarina.
agradecimentos
ã Universidade
RESUMO
Neste
de c o n v e r g ê n c i a
turbadas
não
das
trabalho
soluções
lineares,
estudamos
de e q u a ç õ e s
através
da
as
propriedades
diferenciais
fórmula
integral
per­
de
A l ei <s e. ev - Sh an hô lt .
Os
naturais
de
resultados
resultados
ais o r d i n á r i a s .
obtidos
anteriores
para
s ão g e n e r a l i z a ç õ e s
equações
diferenci­
V I
RESU ME
In t h i s w o r k w e
formula
study,
using
of A 1e k s e e v - S h a n h o I t , t h e c o n v e r g e n c e
solutions
of
perturbed
nonlinear
functional
t he
integral
properties
of
differential
equations.
The
zations
tions.
of
previous
results
results
obtained
are
for o r d i n a r y
natural
generali­
differential
equa­
V I 1
ÍNDICE
introdução
CAPÍTULO
I
Equações
diferenciais
§ 1- C o n c e i t o s
§ 2-
Fórmula
básicos
integral
com
retardamento
...................
de A l e k s e e v
-
S h a n h o 1 t .................. ............
CAPÍTULO
I
6
II
Convergência
de S o l u ç õ e s
de
sistemas
de e q u a ç õ e s
diferenciais
perturbadas
..................................
19
..............................................
kO
BIBLIOGRAFIA
funcionais
V I I I
IN T R O D U Ç Ã O
Consideremos
o sistema
de e q u a ç õ e s
diferenciais
o£
d i nã r ia s
y = f(t,y)
perturbado
do
sistema
não
+ g(t,y)
(*)
linear
X = f(t,x)
onde
f e g sio
região
do
funções
constantes
sintótica
autores
para
estudar
e convergência
Marlin
ticas
entre
as
soluções
em
de e o c o m p o r t a m e n t o
(*)
e
1 in e a
soluções
do
x D em
IR*^
e D é uma
de
tem u s ado a fórmula
estabilidade,
soluções
do
de
(*)
e
de
variação
equivalência
sistema
a£
acima.
relações
assintó-
(**).
[]l_>
®
_ 3
assintõtico
entre
estuda
as
a estabilid£
soluçoes
dos
sist£
em
L 11
sistema
, mostrou
perturbado
a estabilidade
(*)
unifor
de u m s i s t e m a
não
r (* *).
Hallam,
ções
IR^
(**) .
Molfetta,
me das
de
e S t r u b l e , em [lO], e s t u d a m
Brauer,
mas
contínuas
IR^.
Diversos
das
(**)
do
sistema
em
(*)
Q âj
perturbado
Consideremos
renciais
funcionais
estuda
com
do
o c a s o de
a convergência
sistema
sistemas
retardamento.
não
das
linear
de e q u a ç õ e s
solu
-
(**).
dife
-
I X
y(t)
perturbado
do
sistema
= f(t,y^)
nio
'k(t)
onde
Botura,
por M o l f e t t a
em
|~ 1 1 ]
Monteiro,
por
(***)
Brauer
linear
= f (t ,
)
| ^ J»
generaliza
os
p a r a os
sistemas
em
|, generaliza
|_ 1 2
em
resultados
(***)
e
obtidos
(*** *)
os
resultados
o^
s is temas
_ 3 J p a r a os
e (** ** ) .
Hermínio,
ble,
(***)
sao c o n t i n u a s
f ,g :
tidos
+ g(t,y^)
para
sistemas
to p e r t u r b a d o
em
o de M a r l i n
de e q u a ç õ e s
de u m s i s t e m a
dife r e n c i a i s
de e q u a ç õ e s
com
e
Strij
retardamen­
diferenciais
nio
] ]_
os
r£
near.
0
sultados
objetivo
obtidos
de e q u a ç õ e s
de n o s s o
por T h o m a s
diferenciais
G.
trabalho
Hallam
funcionais
é generalizar
|_ 8 3
com
para
os
retardamento
sistemas
(***)
e
^* * * * ^
Para
la
integral
fórmula
ciais
alcançarmos
de A 1 e k s e e v - S h a n h o 1 t , q u e
de, v a r i a ç ã o
funcionais
das
não
das e q u a ç õ e s
os q u a i s
serio
1h o
estão
, que
constantes
lineares
No c a p í t u l o
teoria
esse objetivo,
I, d a m o s
contidos
em
é u ma
para
a fórmi^
g e n e r a 1 i z a ç i o da
equações
diferen­
retardadas.
alguns
diferenciais
utilizados
utilizamos
resultados
funcionais
com
no d e s e n v o l v i m e n t o
| 7 J
'e [ 13 j.
básicos
da
retardamento^
de n o s s o
traba
No c a p í t u l o
dos
por
Thomas
funcionais
com
G.
II,
generalizamos
Hallam
retardamento.
para
os
resultados
equações
obti
diferenciais
-1 -
CAPÍTULO
EQUAÇÕES
§ I - Resultados
Neste
da
teoria
DIFERENCIAIS
capítulo,
r e p números
n - dimensional
o espaço
de
Banach
das
e tomando
convergência
alguns
diferenciais
v e t o r ial
|_-r,o^
daremos
no d e s e n v o l v i m e n t o
Sejam
valo
COM R E T A R D A M E N T O
básicos
de e q u a ç õ e s
rio u t i l i z a d o s
I
reais
funções
com
r > o,
se
Ir'^
espaço
o
j . ] e C = CÍl-rjO^.lR*^),
definidas
IR*^ , m u n i d o
Denotaremos
que
trabalho.
contínuas
no
básicos
retardamento,
deste
com norma
valores
uniforme.
com
resultados
a norma
da
no
inter­
topologia
de um
da
elemento
(J) e e , por:
I (f) I!
= sup
I
<p
(0)1
-r<0<o
Seja
a < b,
cada
t e
n ido
po r
e x um a
funçio
|_a, bj , d e n o t a m o s
em C ( | _ a - r , b ] ,
p o r x^ o e l e m e n t o
x;^( 6 ) = x ( t
Seja
uma
dada
r =
(p
+ 0),
V0
entio
do e s p a ç o
para
C def_i_
, -r<6 < o
, “) x A, onde A é um aberto de C,e f:r->IR'^
função.
tima e q u a ç ã o
to é u ma
IR*^);
relação
da
diferencial
forma
funcional
com
retardamen­
-2-
x(t)=f(t,xt)
onde x(t)
indica
a derivada
(1)
ã direita
da
função
x ( u) no p o n ­
to u = t .
Se
ciai
r = o,
(1)
representa
uma
equação
difere]i
ordinária.
Dado
ção
então
de
mero
(to,(}>) er,’
dizemos
(1 ) p a s s a n d o
real
A,
por
(íq,
o < A < “ tal
que uma
função
cj))se e s o m e n t e
se,
x ê uma
existe
solu
um
njj
qu e :
( i ) X e C ( |_to“r . t o + A ) , Ir " )
(ii)
Xf
(iii)
= ’
<í>. is t o
o
x(t)
satisfaz
Denotemos
sando
por
mentos
è
o
(0 ) = ()>(6 ) p a r a
a equação
por
(I)
x(tQ,<}))
para
-r < 0 < o.
todo
qualquer
t em
\_
solução
de
+
(1)
e r e p o r x^(tQ,({)) os c o r r e s p o n d e n t e s
de
.
pas­
ele^
C.
Seja
( t Q , 4>) e r
f(t,(í))
, existe
contTnua
ao m e n o s
em r
uma
; então
solução
para
de
todo
(1) passando
por
(t o > 't’
)■
Ainda
em
relação
ra
todo
mais,
se
a ip e m c a d a
(tQ,4>)
e V,
f(t,(}))
subconjunto
existe
passando
por
(t,to,<}>)
no s e u d o m í n i o
uma
(to,<j)) e a s o l u ç ã o
t ê n c i a ,u n i c i d a d e
é
localmente
compacto
única
e continuidade
em
de
r,
então
s o l u ç ã o xítoítl))
x(to,c())(t)
de d e f i n i ç ã o .
L i p s c h i tz i a n a
Para
é contínua
de
'
p^
(1)
em
u ma
prova
de e x i £
rela ç ã o aos
dados
ini
-3-
ciais,
da
soluçio,
ver
Os
básicos
fatos
ciais
com
vidos
com adaptações
tínuas
por e x e m p l o
retardamento,
por
partes
da
acima
óbvias
7
teoria
geral
de e q u a ç õ e s
considerados,
tomando-se
e a topologia
do
podem
condições
ser
difereji
desenvo_l_
iniciais
sup e s s e n c i a l
con­
no e s p a ç o
de
fase.
Consideremos
ais
funcionais:
(I)
A equação
x (t )
ção diferencial
funcional.
'ü (-
(II)
A e q u a ç ã o x(t)
D(t)
são m a t r i z e s
equação
c o m »F e C(
nXn
cujas
diferencial
(III)
0
£
com
x(t)
A equação
tI £
'F (o)
x(t)
), e a s s i m
+ D(t)
+ D(t)
= g(t,x(t),
equa­
f( t, ’
1'
)
=
temos x ( t ) =f ( t,x^).
g(t,x^)
são
é uma
-
onde A
funções
de
De f a t o ,
(t)
e
t,
é
tomando
g(t,>F ) c o m 4' e C ( ( t - r , o ] ),
x
(t -t ^ )
é uma
...,
equação
x(t-tj^))
onde
diferencial.
se t o m a r m o s :
'i'(-t,)........ ,'F ( - t j )
c o m »feC ( [-r ,o] , r ")*.'.
= f(t,x^).
LEMA
1 - 1 : Seja
----------------------------------------------------
x. é c o n t í n u a
t
tomar
diferenci
,
De f a t o ,
f(t,'í') = g(t,'i' (o),
basta
retardamento.
r< 00, i = 1 , 2 , ....... k,
retardamento.
obtemos
(t)
r > o fixo,
componentes
com
= f(t,
x (t )
De f a t o ,
x
de e q u a ç õ e s
com
[-r,o],
= A(t)
t^ = 0 e f(t,'í' ) = A ( t )
R*^) o b t e m o s
exemplos
= g(t,x(t-r)),
g(t,
uma
r))
alguns
em t para
x e C
(Pt
u.
todo
-r,t
0
+A]
0
t ef t
, t + Al .
^ 0
0
-'
,
).
Então
-k-
P r o v a : S e n d o ,x c o n t í n u a
é uniformemente
6=6
(e)>o
tal
contínua.
que
lt-al<
Assim,
resulta
que
maneira,
dado
implica
6
(t)
Dessa
sobre
e > o,
é equivalente
para
I -2 : S e j a m
t,a e
todo
tem uma
com
um
para
solução
que equa ção
jt-al<(S
e
0
te[_to,tQ+A_
(to,(())G F, e f: T
x( t ) = ({>(o)
X
existe
L^o.to+A^,
< e para
( 1 ) t e m u ma
a mostrar
^
que
Em c o n s e q u ê n c i a x'^ é c o n t í n u a
t i o , mostrar que a eq u a ç ã o
^
- x(a) 1 < e
|x(t + 0 ) - x ( a + 0 )j
LEMA
Ijo "
contínua.E£
passando
p o r ( t o , 4>)
integral
f(s,X5)ds,t>to
J
= (})
'■
o
solução.
P r o v a :U s a n d o o L e m a l - 1 ,
a prova
deste
Lema
é
imedia
ta .
Denotamos
contínuos
resulta
(i)
(i i)
de C e m
por
E o espaço
IR^ . S e j a
dos o p e r a d o r e s
A(-):(p ,
lineares
E contínua.
Então,
que:
[|A(t)I|
lA(t)c|)|
é uma
<
II
função
A ( t ) 11
Em c o n s e q u ê n c i a
a equação
diferencial
contínua
11 (}>11
segue
funcional
y(t)
de
(p, «> )
em
IR
V(t,(j))er.
que,
para
qualquer
(to,<í))er
linear
= A(t)yt
(2 )
,
-5-
tem uma
única
s o l u ç ã o y (t^.c))) d e f i n i d a
Também,
para
todo
t>tQ,
y (to,-)(t)
é um o p e r a d o r
linear
Desta
família
contínuo,
maneira,
de o p e r a d o r e s
T(t,to)
definida
p rop r i e d a d e s ,
A família
1 in e a r e s
0
de
associar
ã equação
(2)
uma
contínuos
: C-^C,
t>to > p „
(j)eC
(to ,(j))
operadores
{T(t,to)
(3)
T(t,to)
t em as
seguintes
é um s e m i - g r u p o
de
transforma
•
, is t o é ,
semi-grupo
P<
ir "
J :
7
T(t + s,to)
(b)
a aplicação
por:
A família
ções
(p ,«>),
em
| 7 J-
T C t , to) ({) = y
(a)
to e
: C -
podemos
lineares
e contínua
= T ( t , t o ) T (s , to) ,
{ T ( t ,t^) j t > t o )
t^ < t < <»,
P <to<t<°° , s > t.
é fortemente
contínuo
para
i s t o ê.
1 iI mm il T (t , to) (f)-T (s , to) (1)
s->t
V t , s > t o , V ( l ) e C
(c)
T(t,t)
= I, o n d e
Seja
ip:
I é o operador
|_" r ,oj
->■ IR'^
u ma
identidade.
função
contínua
por
pa£
-6-
tes.
Então
passando
podemos
através
definir
u ma
solução
da
equação
linear
de
Em c o n s e q u ê n c i a ,
dada
a função
0
matricial
se - r < e < o
(M
I se 0 = o
o
operador,
nas
(2)
T(t,to)
pode
ser
definido
sobre
as coli^
de Y q .
Consideremos
a equação
z(t)
o n d e g : F ->■ IR
é uma
Uma
função
por
(t^,<j)),
(tQ,(|>)
ção
integral
=
■A ( t ) z t
função
z(t)
e r,
diferencial
funcional
+ g (t ,z^)
(5)
contínua.
é solução
da
se e s o m e n t e
equação
se,
z(t)
(5)
passando
satifaz
a equ^
r
Zt=T(t,to)(()+J
A equação
e,
deve
s er
T(t,s)Yog(s,Zg)ds,Vt>tQ
t^
(6 ) é u m a
interpretada
z^(0 ) =
equação
integral
(6 )
no e s p a ç o
ír'^ ,
como
|T(t,to)<í)] ( 0 ) +
!"T(t,s)Yo] ( 0 ) g ( s , z s ) d s
^o
para
t>to,
“r < 0 <o
§ 2 - Fórmula
L 7 J •
Integral
É possível
de A 1e k s e e v - S h a n h o 1 t
mostrar
que
existe
umà
relação
entre
-7-
as
soluções
da e q u a ç ã o
não
X (t)
e da e q u a ç ã o
perturbada
= f(t,xt)
(1 )
perturbada
y(t)=f(t,y^)+g(t,yt)
Vamos
(i)
f,g:
(ii)
r -»■
f(t,(j))
contínua
supor
são
do p o r
que:
funções
tem d e r i v a d a
de
contínuas
Fréchet
em
relação
Denotamos
(to .
que
em g e r a l
p o r y(tQ,<í))
as
soluções
qualquer
Em c o n s e q u ê n c i a ,
mas
(7)
de
não
são
(7)
passa£
f(t,c|)) é
local-
compacto
de P
£ r.
9 f (t , (})) c o n t í n u a e m T, e n t ã o
3(í)
L i p s c h i tz ia n a e m cf) em c a d a s u b c o n j u n t o
xistem,
de
solução
Sendo
mente
a (j), 9f(t,(j)),
94>
e m F.
Observamos
únicas.
(7)
são
as
soluções
únicas
da e q u a ç ã o
e contínuas
em
(1),
seus
não
três
.
somente
£
argumentos
,
■7;.
Para
cada
intervalo maximal
A cada
seguinte
equação
{tQ,(}))e F,
de e x i s t ê n c i a
denotaremos
da
solução
diferencial
f
por
funcional
*1
o
s o l u ç ã o x(tQ,cj)).
da e q u a ç ã o
(t ,x^ (to,(J)) )
J=J(to,<|))
(1)a s s o c i e m o s
a
linear:
, t e J
(S)
-8-
A equaçio
near
da e q u a ç i o
(1) em
Daqui
a família
(3)
por
é denominada
Variacional
LJ_
relação ã solução
diante,
de o p e r a d o r e s
Se
equaçio
denotaremos
lineares
9f(t,(()) é c o n t í n u a
94)
por
T(t,tQ;(})),
associados
em
r,
ã equação
então
t>to,
(3).
a família
{T(t,to:(})) I t > t o )
satisfaz
(tç),()))e
e para
todo
a seguinte
r,
para
cada
propriedade
cada
e>o,
A > o escolhido
existe
ip e A , II (j)-4;!|
de c o n t i n u i d a d e :
um
6
de m o d o
= ô ( e , t Q , (j>,A)
< 6 implica
em
LEMA
cada
I.Íq , t o + A l C J,
> o tal
que
para
em que
II T ( t , tç, : (})) - T ( t , to :4») II
uniformemente
que
!para
t,
para
t e
!jo»to'*'^I!»
I-3:
Seja
A um a b e r t o
de
< £
IJ ^
C e consideremos
o
conjunto:
Ap
= {(J) e A|
em
|_- r ,o) }
(j) (0)
existe,
Se 4) e Ap,
lim —^
h-)-o+
h
então
(xt
°'
é limitada
para
todo
e contínua
íq e (p
partes
, °
°
) tem-se
que
. ( to ,cj))-4)) =1 im —^ ( x * ( to" h ,4>) "4>)
h->o+
h
o
f ( to ,4)) se 0 = o
4)( 0 )
por
se -r < 0 < 0
-9-
Deste modo
II
para
to+n
o
P r o v a : Para
X.
h-^o"^, t e m - s e qu e:
-r < 0 < - h < o,
(to,4>)(0)
o
(to-h,4>)-<})|| = o ( h )
temos
- <i)(0 ) = (j) ( 0 + h)
- (j) ( 0 )
= .x^ (to-h,(i))(e)
’
-G
e o
limite
para
0 e
Lt j o ) é
imediato.
Para
- (}) (0 )
0 = o,
to + h
X t ^ + h ( to ,<|>) ( o)
f (s ,xg (to ,
" (f) (o)
f(s,Xs(to-h,(})))ds
X t ( t o " h , <}>) (o) -()) (o) =
‘
•o
Portanto,
jado
para
0
da c o n t i n u i d a d e
para
de
f temos o
limite
= o.
Seja
entio
tn " h
h>o
H
K = m l x ( s u p Í4>(0)1,
- r < 0 <o
suficientemente
0+
Donde
Il
pequeno
^ ( t ç , ,({))-cf) Il
,
concluímos
a prova
h
lf(t,cj))j);
x^.
^
( t o " h , ({))-(}) Il <
do
Le m a .
2 kh,
dese
-10-
TEOREMA
(i)
de
1 - 1:
Para
qualquer
Frêchet
existe
e é
da
(to,<t>) e T e p a r a
f u n ç i o x.(to><(>)
igual
a T(t,tQ:(j)),
9
d(p
(ii)
Se <() e Ap,
x^(to,(j))
definida
-(})(6 )
P r o v a ; Seja
um 6 = 6 (e, a,
II ü)^||
< e||
ü) =
3
9 (p"'
||
(9)
e
= o
se - r < 0 <o
de
tal
que
Fréchet
devemos
todo
t e
I_to,to + aIl C
I =
da
J*
f u n ç i o x^(tQ,(í))
mostrar
to,<í>) > o tal
para
x(to,4> +
T ( t , to : <J)) e
por:
a > o,
que a derivada
l a ç i o a (j) ê T(t,tQ:(})),
que
a cj),
= T(t,to:<Î))
-f (to, <l>) se
existe
relaçio
derivada
entio
e é a funçio
provarmos
t e J, a
i s t o é,
x^.(tQ,(j))
9
3to
onde
em
cada
que
que
para
|| ij^H
cada
< 5
Para
em
e > o
re^
,
implica
I, o n d e
x(to,tf>)
-
z(to,'í')
( 10)
-11-
e .z(tQ,ip)
mente
onde
satisfaz
(S).
Como
f(t,(*)) é d i f e r e n c iá ve 1 c o n t i n u £
e m <|),
g(t,
f(t,(j) + i|;) = f(t,(()) + f ' (t ,(í))ij; + g(t,(j) , ij;)
(1 1 )
<}) ,
)= o ,
) é contínua
|g(t,(}) ,\pi ) - g ( t ,
( t , 4))
e
r,
II
( t ,({))
e
r,
6
II
< B. n(t,(|)
> o e n (t , 4>,o)
Seja
e > o,
L = mâx
s up
em
(t,
<p ,
(p, 1|J2 ) !<n (t ,(}),3)
, 3)
é contínua
- IÍJ2 II
6)
em
para
para
e seja
II
f ' (t ,Xt (to,(J)))í|, s u p
n (t ,X^. (tQ,((í) , B)
(t,B)elxo,l
Sendo n contínua,
que o < 3 <
II
(p , o
= o.
tel
modo
) , g(t,
implica
podemos
escolher
um 6 i > o
de
que
-3La
n ( t ,X^ (to,4)) , 3 ) < e
Como A é a berto
tinuamente
da
condição
e as
inicial,
e,
t e
soluções
existe
I.
de
(1)
um 6 > o
dependem
con^
, 6<e^^^ôi
,
-1? -
tal
que
{<í)+ip
< 6}
Vamos
mostrar
agora
Xt(to>'í> + 'í')“xt(to*'í’ ) l l $
Segue
de
(1)
e
e
^ A,
que
Ã2L ( t - t o )
®
ll'l^ü »t e
(11)
x(to,<l) + lí^)-X (to,(j))= 'í^(o) +
que
{f
para
I,
||i|^|l< 6
t > t„,
(s ,Xs (to , (f)) ) !_xs (to ,'(> +>1^) - xs( toíCÍli
+ g (s,Xs(to,<l)),xs (to,((>+ip) - Xs(to,<í)))}ds
Assim,
para
[[ ip||
< 6 , t > t^ ,
í'
x(to,(í)+4;)-x(to,(j))
I<!|
i|j
1I + 1
1_
II
f
(s , X s
( t o , (t)) ) II
+
+ n ( s ,xs ( t o ,<í)), 1 )_
• II
Xg
(to,^+iJj)
-
Xs (to,4>)
II
às
rt
<
+ 2L
■to
Pelo
fato
1
1
Xs(to,(í)+i^)-Xs(to,(í))
que x^
o
(12)
( t© ,(j)+ 4^) " x.
o
II
ds
( to , ((>) =(})+iÍJ-(í)=i|j
-13-
mostrou-se
que
Xt (to,(|)+ij;) - X^ (to,(|))||<!!i|^ll+2L
para
I! ij; II
5
6
xs ( t o , 4>+^) - x s ( t o , <í>) II d s
, t > íq.
Usando-se
a desigualdade
de G r o n w a l l ,
concluimos
( 12) .
De
U)=
(1),
(3),
(10)
e
(11),
mostra-se
que
|_f'(s ,Xg (to,<J)) )ws + g (s ,xs (to,(|)) , Xs (tQ,(J)+ij;) - xs(to,<í>))]ds
to
t e
da
I , ü)^
= o.
Desta
representaçio
forma,
acima,
temos
para
|| i(j|I < 6 , t > tQ,
de
(12)e
que
t
Lú
_L||ü)s||+n(s,x
(to,<l)),e
||ip||)e
H 4 j ||
Jds
(■
t
-a L
< E e
1
+ L
Donde
(jü^ll
e portanto,
to
para
ds
U)s
t e
I , 1| ij; ||
< e e^^^
a derivada
Para obte rmos
de
< 6 ,
II í{;|j
Fréchet
a relação
de
< e II i|;|j ,
X|.(tQ,(})) é T(t,to:(j))-
(9),
notemos
que a u n i c i d ^
- ]h-
de das
soluções
de
(1) implica
sitivo
h suficientemente
que,
pequeno
para
e para
qualquer
todo
t e
número
po
I
xt (to + h ,(}))-xt (to , (j>) = x t (to + h ,()))-^t ( t o + h , x^. ,^^(to,<})))
=T(t,to+h:(j)) !_(|)-x^ ,+ h ^ ^ o . ^ ) ]
l i m_^
ii ^
xt(to"h,<}))-x
(to,<í>)=xt(to,Xto(to-h,(í))-Xt.(to,(j)))
=T (t , tg : (j)) |_x
(to-li,(í>)-(})]+ o ( II Xj.^ (tQ-h,(j))-cj) II )
S e g u e da
h->-o
+o(l! x t o + h
continuidade
forte
de T e do
Lema
3>
que
]_ ( x t ( t o + h , 4») - Xt ( t o , (|>) =1 i m (x t ( t o " h , c|))-Xt ( t o , ((>) )
h
h->-o+
= T(t,to:(|))e
Isto c o m p l e t a
a prova
T E O R E M A 1-2 :Se j a A um s u b c o n j u n t o
elemento
qualquer
(to,4>2)e(p,
;t
de
“) X A,
) ~ ^ t
do
teorema
convexo
1
de A.
Seja
(p,<»)x A e J (to ,(}>) = L^o *“) • ^e
entao:
II
<
supll
CeA
T ( t , t o : ç )
(j)2 -4>:
(t^,(j))
(tQ,(})i)
um
,
-15-
P rova : Seja
Ç(X)a
linha
reta
de 4> i p a r a
(j>2
dada
por ;
ç(X)
ç(X)
d
dX
e
A
= <j)1+ X ((})2 " (j>1 ) , 0 5 ^ 5
, o < X<
1.
Entio
|_6, pag.
Xt(to,ç(X))=T(t,to:ç(X))_^=
dX
Integrando
a equaçio
1-
Como A é convexo
,
155]
T (t , t^ : Ç (X ))((}) 2 ~ (J)1 )
acima
em
relação
a X,
de X = o
a X = 1, o b t e m o s :
T ( t , t o : ç ( X ) ) ((})2 -<Í)i)dX
Donde
concluimos
que
t(to.t{>2 )-x^(tQ,(í)^)|| < supll T ( T ( t o : ç )
ÇeA
Vamos
ções
da e q u a ç i o
(7 ), a qu al
relação
agora
perturbada
(1)
é muito
importante
para
é denominada
soluções
uma
não
T E O R E M A I -3 rSu p o n h a m o s
as
apresentar
x^(t
"Fórmula
que,
,(J)) e
relaçio
e da e q u a ç ã o
o nosso
Integral
para
yt.(tQ,4))
qualquer
das
entre
as
solu
-
perturbada
trabalho.
Esta
de A 1e k s e e v - S h a n h o 1 t "
(tQ,(})) e (p , °°)x A p
equações
(1)
e
(7),
,
res-
-16-
p e c t iv ã m e n t e , e s t e j a m
ponhamos
que a solução
I_tQ-r,t)
para
todo
definidas
em
^
Xg ( s , y g (tQ ,(fi) ) de
s,
(1)
existe
em
< s < t < “ . Então
T ( t , s : y s (to,<|))Yo g ( s , y s ( to , 4>) ) d s
para
Íq
< t < t
P r o v a : Para
te,
(13)
(j).e Ap,
do
teorema
t em um
l-l
intervalo
e de
|6
no qual
, pãg.
173 J ,
y^ (tg , (|)) e x i£
mostra
- se
que:
d
ds
x^(s,ys(t^,({)))=T(t,s:y5(to,(j)))iÍJg+T(t,s:y5(to,())))
e.
onde
-f (s ,yg (to,<{)) ) , se
ij;(s + e)
9=0
=
l-
e ( s + 0 ) = y (t
ÿ ( t o , <{)) (s + 0 ) , se -r < 6 < o
,({)) (s + 0 ) , se
Desta
forma,
-r < 0 <
usando
o
as e q u a ç õ e s
{k)
e
(7).
temos
que :
d
ds
xt (s ,Ys (to.cf)) ) = T ( t , s : yg (to,4>) ) YoCy(to»'}>) (s) -f (s ,ys (to ,<í))).
-17-
= T ( t , s ; y 5 ( t Q , c j ) ) )Yog(s,y5(to,(í)))
Integrando
a equação
acima
em
relaçio
a s,
de
tg a
t , temos :
n
xt (t ,y^ (to,(j)) ) -x^ (to, Yt
Donde
y t ( to ,
que
T (t , s : y s (tp , (j)) ) Yq g ( s , y
completa
a prova
Observação : A relaçio
fórmula
de v a r i a ç ã o
zt
=
jam
para
todo
únicas.
das
teorema.
(13)
é uma
A desde
teorema
q u e as
g
( tQ , 4>) ) ds
g e n e r e 1 ização
da
(6 ),
T ( t , s)Y
próximo
(() e
de
constantes
T ( t , t o ) (|) +
0
lida
,(J) ))ds
c o n c 1u im o s ,
= X j. ( t^ ,(()) +
0
(to,4>)) = ^(t,s:ys(t^,4)) )Yo 9 ( s , y^ (
g (s,Ze)ds
garante
soluções
,
que
t
> t
n relaçao
da e q u a ç ã o
(7)
s£
(13) é v
-18-
T E O R E M A l - ^ ;Se , p a r a
cada
(t^jCj)) e T,
J(tQ,cj))
=
T ( t , s : y s ( t o , < í ) ) ) Y o g ( s ,y
para
todo
(t^,(|)) p a r a
o qu al
A demonstração
Yt(tQ,c|))
deste
teorema
L t o » “)» e n t ã o
( t^,, (j)) ) ds
é única.
é dada
em
Ij 3]
-19-
CAPÍTULO
Convergência
renciais
de
soluções
funcionais
Consideremos
cionais
não
íi
de
sistemas
de e q u a ç õ e s
dife­
perturbados.
o sistema
de e q u a ç õ e s
diferenciais
perturbado
X (t ) = f (t , X
e o sistema
f , g : IR^
Fréchet
disso,
em
X C -> s ã o c o n t í n u a s ,
supor
uma
de
neares
q u e as
condição
Neste
ções
= f (t ,Yt)
r e l a ç ã o a (p, 8 f
3(()
vamos
satisfaçam
(1 )
perturbado,
y (t)
onde
fu£
sistemas
+ g (t ,y^)
e,
f(t,cí))
(t ,<}) ) , c o n t í n u a
soluções
do
(7)
tem d e r i v a d a
em
sistema
IR^
X C.
perturbado
Além
(7 )
de u n i c i d a d e .
c a p í t u 1o i n v e s t i g a r e m o s a c o n v e r g ê n c i a
de e q u a ç õ e s
perturbados,
de
através
diferenciais
do u s o da
funcionais
fórmula
de
não
integral
sol^
li
de
Alekseev-Shanholt.
Inicialmente
DEFINI CÃO
mente
estável
daremos
algumas
I I -1 : A s o l u ç ã o
em v a r i a ç ã o
se p a r a
definições.
x = o de
cada
a > o,
(1)
é uniforme­
existe
u ma cons^
-20-
tante
M( a)
> o,
tal
que‘
II T ( t , t^: (}>) II
Na d e f i n i ç ã o
família
nal
de o p e r a d o r e s
Linear
da
gente
acima
|| c() ||
C
associados
< a
C , t > to,
ã equação
é
a
Variacio
(1).
11 -2; 0 sistema
(.1) ê d e n o m i n a d o
conver­
se
lim
x^íto.^i)
t->+oo
(toi<}))
e
X C, o n d e
Observação
(tQ,<{)) e
= ^Cto,4>)
1 : Se
IR^ X C e x i s t e
De f a t o ,
fixado
(to>4>)
existe
para
X ( í q ,(()) é um e l e m e n t o
uma
II
tal
> tQ,
T(t,tQ:4>):
lineares
equação
DEFtNIÇÃO
< M £a ) , Vt
(1)
de
é convergente
constante
(to,(f)) II
e
+
IR
=
II X t ( t o ,
< 3
cada
C = C ( |_-r ,o ],IR'^ )
então
para
g = B(to,4>)
> ° tal
(to,(í)) ,Vt
> tQ.
X C e dado
e > o , existe
cada
que
*
t > to,
que
X^, ( t o , ((>) li
< II xt
( t o , (}>) ■
( t o »
^(to.'f')|!
>
<(>) )
+
II
A(to,<}))
-21 -
def
|X(to,<í))l|—
< e+
Pelo
to
II x,-(to>(í>)!l
m ã x imo d e
02
Lema
1-1,
x^-(tQ,(í))
é contínua
em
|| xt ( í q >
em
é contínua
t, t e
_to,
3i(to,(})),Vt
t j,
em
t,
e portan­
j_to > ^ ]] • E n t i o
o qu al
> t .
existe
denotamos
o
por
( to » 4’
)•
Seja
entio,
B(to,<}))
!| x^(to,(í))ll
< 3(to.tf>)
DEFINIÇÃO
vergente
existe
X,.
se e l e
II
DEFINIÇÃO
depende
DEFINIÇÃO
cente
se e l e
cialmente
< e,
e para
é denominado
cada
equi-co£
e > 0 , a > o , í q > o,
Vt
> t +V(to,a,e),
(1)
\\
<^\\
<
é denominado
a.
equi~uni_
se e l e é e q u i’
-con ve r g e n t e e o V da
somente
de a e e
1 1- 5 : 0 sistema
e
constantes
estável
positivas
de
.
(1)
X(o,<j))
11-6; 0 sistema
assintôticamente
a > 0 , existem
(1)
11-"^; 0 s i s t e m a
é convergente
DEFINI ÇÃO
.
V = V (t ^ ,a ,e ) ta 1 q u e
convergente
11-3
> to
11-3: 0 sistema
real
(to,({))-X(to,(|))
finição
Vt
é convergente,
um n ú m e r o
formemente
= m ã x { 3 1 ( to , <})) , B 2 ( to , <í)) }
é denominado
é uma
função
constante.
(.1) é d e n o m i n a d o
em v a r i a ç ã o
a^^ e c^^,
coales-
expone£
se p a r a
tal
que,
cada
-22-
T (t , to :<))) 1!
c() I
uniformemente
cada
a > o,
IR^
dos
exp
|_-a ^ ( t - to )] ,Vt
a'
O'
de
11-7: 0 sistema
convergente
existe
um n ú m e r o
X C -> £ ( C , C )
C em
contínuo
limitados
TE0REMA11~l:Co n s i d e r e m o s
real
em
funcionais
0
(1) e
sistema
gente
(ii)
> o,
Para
tal
(7 ),
se p a r a
V=V(a,e)
tal
sistemas
satisfazendo
(1) é c o n v e r g e n t e
é denominado
cada
equi
e > o
e um
IR'*’ X C, o q u a l
de £ ( C , C ) ,
os
(1)
em v a r i a ç i o
T ( t , to:({) ) - L ( t o , (|>) II < e ,
(i)
>
< a.
DEFINIÇÃO
L:
<
e
operador
leva
limita­
que
Vt
> to + V ( a , e ) ,
de e q u a ç ã o
as
diferenciais
seguintes
hipóteses
e equi-uniformemente
;
conver­
em v a r i a ç ã o .
cada
a > o,
seja
h^^ít):
IR^
Vt e
ir"*",
IR^
contínua
em
IR^,
que
|g(t,<t>)|
h^
5
(t),
( t ) d t < <»
||(j)i!
< a
(IM
(15)
-23-
Então
W = W(if;) tal
para
que
se
cada
t^
e C , existe
> W(ip),
um n ú m e r o
a s o l u ç ã o yj.(to,i(^)
real
de
(7)
é
convergente.
Prova ; Como
variação,
ro
real
IR"*^ X C,
tal
então
para
V = V(a,e)
e L ( o ,.)
(1)
cada
é equ i- u n iformemente
e > o e cada
e um o p e r a d o r
le va
limitados
a > o,
L = L(to,<}))
d e C em
c o n v e r g e n t e em
existe
que
um n ú m £
é contínuo
limitados
de
em
£ ( C, C) ,
que
I T (t-t^,o; (j))-L ( o,(|)) II
tj, e IR
, II (f) II
< a . Portanto
talque||L(o,4))||
’S e g u e
variação.
De
<
Vt •> t
existe
uma
Mi(a),vj|(j)||
então
fato,
< e,
que
devido
(1)
é
V (a ,e ) ,
constante
o
Mi(a)>
< a.
uniformemente
ã unicidade
da
solução
estável
em
x^.(to,<}>) de
(1) , temos
xt(to,(|>)
Pelo
= X f t ^ ( o , 4>) , V t
teorema
T ( t , to :(|)) = 3
3(})
Vt
> tg,
(}) e C.
1-1,
> tg,
(j) e C
resulta
xt (tr,,(|))= 3
34)
xj._
Assim,
T(t,to:(j)) II =[|T(t-tQ,o:(})) ||
>4>) =T ( t - t o ,o : (J))
°
-2k-
= 11 T ( t - t o ,o : (J))-L (o , (í)) + L (o , (j))
<jl
(o,(j)) !| +
T ( t - t o , o ;
< e + Ml(a),
to e
IR
,
(|) I
Vt
II L(o,(í))|
> to + V ( a , e ) ,
< a.
Tomemos
Mj (a)
= sup|| T ( t - to ,o : (|)) - L (o , cf)) |
t o < t $ t o + V (a,e)
I 4) II
Seja
Então,
M
(a)
!| T(t,to:<()) II
Como
(t^,(f).)
R'*" x
,e
tObservaçio
1)
(1)
C,
tal
$
= Máx{e + Mi(a),
M 2 (a)}
< M(a),
to e
Vt
> to,
é convergente
existe
uma
mente
grande
de
IR'*' , H c()||
para
cada
'
B = B (tQ
fijj
< a
)
que,
a = 23
tal
entio
cori sta nt e
! X t (to.'i^) II
Seja
a
. Vamos
maneira
h.„
<
Vt
escolher
> to-
w = co(ip)
suficiente
-
que a d e s i g u a l d a d e
(t)
dt
<
3
T T 2 BT
(1 6 )
-25-
seja
satisfeita.
em v i sta de
Esta
escolha
d e ü) =
mostrar
que.
II y t ( ^ o ’'í')'l
Decorre
suponhamos
que
é possível
( 1 5) •
Vamos
De f a t o ,
sempre
existe
< 2 B, Vt
que a d e s i g u a l d a d e
um p r i m e i r o
ti
, ti
j (to.ip) II
Usando
a fórmula
> to > Ui(ip)
(17)
(17)
nio é v e r d a d e i r a
> t^,
tal
que,
= 2 b.
integral
de A 1 e k s e e v - S ha n ho 1 t ( I - 1 3 ),
temos:
rti
T(ti,s:ys(to,'jj)Yog(s,ys(to,'j^))ds
Portanto
ti
T ( t 1 , s : y s (to,i Jj ))! | , ! g ( s , y s'(t^ ,ip))| ds
De
(1^)
e
(16),
temos
que:
ft 1
26 =
I!
(to.'l^) II < 6 + m U B )
h^gís)
ds
-26-
h 2 g(s)
< B + M(2B).
ds
e
M(2B)
< 2B
Dessa
tio
que
maneira,
II Y ^ (to
Vamos
I!
chegamos
< 23,
agora
Concluímos
a convergência
mostraremos
T (t , s : Ys (to
e£
>u)(\p) .
> to
estabelecer
Primeiramente,
1 Im
Vt
a um a b s u r d o .
da
soluçio
q ue :
g ( s ,y s (to4^) ) ds
=
t->oo
L (s , Ys (to , 4^)) Y q g ( s , Y s (to .'P) ) ds
Quaisquer
temos
que
que
||T(t,to:'j>)!|
Da
hipótese
sejam
<
(i),
t^ e
M(a )
, t > to,
< a.
Entio,
para
cada
temos
(t
|[ (J)|!
£ a
,
(*)
que
T ( t , t^ :(|))-L (to , (fi) II < e,
(})1|
(15)
,(j))e
Vt
> to + V ( a , e ) , t o
1R'^X C,
e
IR"^ ,
Logo,
fazendo
'-(to»'!>)||
(l3)
pode
t tender
< M(a),
a + <» e m
(*),
> to,
to
e
integral
do
lado d i r e i t o
Vt
Consequentemente,
a
ser m a j o r a d a
integral
pela
M ( 2 B)
h 2 g(s)
temos
Ir"^,
que,
||())||
< a
de
ds.
to
Seja
a 1 Sq
suficientemente
h^gís)
e > 0 dado.
grande
tal
Escolhemos
um n ú m e r o
re
que,
ds <
(19)
3M{23)
Esta
escolha
Como
(1)
de $o s e m p r e
é possível
em v i s t a
de
(15) .
çio,
que
entio
para
existe
t > Si
é e q u 1“u n i f o r m e m e n t e
um n ú m e r o
real
Sj
convergente
= Si(a,e),
Si
em v a r i £
> S^
, tal
, temos:
(2 0 )
T(t,s:ys(to,ip))-L(s,ys(to,ií'))
3SoK
-28-
onde
K = mãx
|g(t, yt)[
ytll < 26
to<t<So
De
(19)
e
(20)
nos o b t e m o s
T(t,s:ys(to,>j^))Yo g (s .yg (to,4^) )ds-
para
t > Si
L(s,ys(tQ,ií,'))Y g(s,ys(to'P))ds
to
T(t,s:ys(to,ií)))Yo g (s »y^ (to,<J^) )ds-
T(t,s:ys(to,ij;))yo g(s,ys(to,'í'))ds
to
L(s,ys(to,í|j))Yo g(s,ys(to,iJ^)) ds
L(s,ys(to,ijj))Yo g(s,ys(to,tJj))ds-
_ T(t,s:yg(to,i|^))-L(s,ys(to,tÍj))]Yo 9 (s.yg (t^.i}^)) ds -
T(t,s:ys(to,'p))Yo g(s,ys(to,ip))ds-
T(t,s:ys(to,i|j))-L(s,ys(to,i(;)) II
I T(t,s:yg(to,ip))
1|
L(s,ys(to,iJj)Yo g(s,ys(to,i|;))d5
|g (s .yg (t^ ,i|;)) |ds
|g (s ,yg (t^ ,ií^)) | ds
-29-
+ I
<
<
e
3 SoK
e
g(s,ys(t ,i|j) ! ds
II Lis.Ysito.'lj))
KSo + 2 M ( 2 3 )
j
Igis.Ysito,!!»))
ds
S,
+2
M( 23 )
^2 ^
(s)
ds
3
<
e
3
+M(26).
e
3M(2’
6)
Portanto,
mo
(I)
= e
(2 1 )
mostramos
é convergente,
vamos
1 im
que o
limite
denotar o
(13)
é válido.
Co
limite
Xt (to,i{;) p o r
(to,i(j) .
t ->-00
Tomando
tegral
os
limites
de A 1e k s e e v - S h a n h o 1 t
1 im
yt(to,iJ^) =
de a m b o s
(i.l3),
os
e,
lados
usando
na
fórmula
(18),
in
obtemos
L(s,Ys(to,'í^))Yo g(s,Ys(to,’
J^)) ds
t-x»
Assim
lim
t ->-0O
portanto
existe,
temos
o qu al
denotamos
por
-30-
= Ax(to,lí») +
L(s,Vs(to,i(;))Yo g(s,Vs(to, tjj)) ds
Isto c o m p l e t a
Seja
p a r a os
f i n i do
quais
ifj e C f i x o
o teorema
funcionais
(1)
sistema
vergente
(ii)
11-1
As
e
(7),
os
ê válido.
ll-l.
de
Seja
t o d o s os u)(ij;)
D o conjunto
de
de
equações
satisfazendo
as
seguintes
(1 ) é e q u i - c o n v e r g e n t e
diferenciais
hipóteses:
e equi-uniformemente
cm
em v a r i a ç i o .
desigualdades
i|)||
t>Wo(i|;)}
sistemas
(14)
Entio o sistema
com
teorema
e 0)^(4') ° í n f i m o
ipeC,
T e o r e m a 11-2:Cons i d e r e m o s
0
do
p or
D = {(t,i|^)
(i)
a prova
(2 2 )
e
(15)
(7)
sio v á l i d a s .
é equi-convergente
Prova: Primeiramente
vamos
< a,
B = B(a)
entio
existe
um
mostrar
que
de m o d o
em
D.
se
(tQ,ip)eD,
que,
-31 -
Sendo
te.
Portanto
segue
(1)
se x.t(o,o)
que xt(o,o)
I x t ( o , o ) !|
5
é a solução
é limitada,
de
isto é,
k , para
todo
A =
e A
1 ]j \j;lj
1-2
resulta
Seja
to c o n v e x o
e q u i- c o n v e r g e n t e , t e m o s
(1)
que
é convergen­
passando
existe
por(o,o),
k > o,
tal
que
t > o.
< a }. A
é um s u b c o n j u n ­
de A.
Pelo
>< t-t
teorema
< s u p II T(t-to,o:(j))
(o.'l^)">^t-to^°»°ni
(peh
Vt
> tçj,
de
( I ),
e A
. Assim,
devido
ã unicidade
da
solução
x^.(tQ,({))
temos :
^'t
<
II ^ t - t o ( o
!l
=
II
"^t-to
< supll T(t,o:(}))
II
»i^ll
+
+
II ^ t - t o ( o » o ) I
I! X t - t o ( ° » ° )
(peA
Sendo
ç ão ,
vimos
estável
na
(1)
prova
em v a r i a ç ã o ,
equi-uniformemente
convergente
do
(1) é u n i f o r m e m e n t e
teorema
i s t o ê,
T(t,tQ:(J))||
1-1
que
d a d o a > o,
< M(a),
Vt
> tg,
existe
e
em v a r i a ­
M(a)
tal
IR‘
^,||{|)j!
que,
< a
-32-
Logo
:
sup
||T(t,o:cl>)
Donde
concluimos
II X t ( ^ o » ^ ) | l
Da f ó r m u l a
mos
II
<
M(a)
que,
a + k
$ M(a)
integral
B (a),
V t > t o , | | ij; j] < a
de A 1e k s e e v - S h a n h o 1 t , ( l - 1 3 ) t e
que:
T(t,s:yg(to,ii;))YQ g (s.Vg (tg.ij;)) ds
(23)
to
Usando
(22)
e
(2 3),
obtemos:
T(t,s:y 5 (tQ,i|;))Yo g (s .yg (to,tj;)) ds_
-
L(s,ys(to,ii;)) Yq g (s.yg (to.tjj)) d s j
= x.'t(to,iJ;) -
Xx(to,4») +
T(t,s:yg(to,ij;))Yo g(s,y 5 (to,i};))ds-
L(s,ys(tQ,ip))Yo g(s,yg(to,4j))ds
(24)
-33-
Vimos
na d e m o n s t r a ç ã o
do t e o r e m a
T(t,s:ys(t^,ijj))YQ g(s,ys(to,i|^))ds-
< e/2
Vt > Si
Sendo
te e p a r a
*
cada
>
11-1
que
l-(s,ys(to,4'))Yo g(s,ys(to,»|^))I
Sq .
(1) e q u i - c o n v e r g e n t e , e n t ã o
e > o, a > o,
tg > o,
existe
(1)
é convergen­
um n ú m e r o
real
*
V
= V
(to,a,e)
tal q u e
x'^ (to,if;)-X(tQ,(j;) !|
ip
< e,
Vt
> to + V
(to,a,e),
< a
Tomemos
Portanto
de
y^.(tQ,ijj)
t > Q = máx
(24),
{ t g + V * (t g ,a ,e ),
obtemos:
- Ay(to,ip)ll
=
II ?<i|. (to ,ij;) - Xx(to,íp)
T(t,s:ys(to,i|;))Yo g (s ,yg (í q ,^) )ds-
<
£
Consequentemente,
Si>.
+
e
=e,
o sistema
Vt>Q,
L(s,ys(to.>j^))Yo g(s,ys(to.^))ds
4^1
<a
(7) é e q u i - c o n v e r g e n t e em D
-3k-
TEOREHA n~3 : C o n s i d e r e m o s
funcionais
(i)
0
(1 ) e
sistema
(7 ),
o sistema
de e q u a ç õ e s
satisfazendo
as
seguintes
(1) é e q u i - u n i f o r m e m e n t e
uniformemente
convergente
diferenciais
hipóteses:
convergente
e e qu i
em v a r i a ç i o .
I
(ii)
As
desigualdades
(1^)
Então o sistema
e
(15)
(7)
sio v á l i d a s .
é e q u i-un i f o r m e m e n t e
convergent
te e m D.
P rova ; í feita
ma
11-2,
a e e
sendo
que agora
funcionais
(ii)
o número
análoga
real
ã prova
V depende
do
teor£
s.omente
de
, i s to é , \l=\f ( a , e) .
TEOREMAll-4:C o n s i d e r e m o s
(i)
de m a n e i r a
(I)
0 sistema
Para
nua
cada
em
o sistema
satisfazendo
as
(1) é c o a l e s c e n t e
a > o,
IR^ , tal
g(t,(j))!
seja
de e q u a ç õ e s
seguintes
para
uma
h^(t):IR^-»-
diferenciais
hipóteses:
função
IR^
u ma
e C.
função
contí
que
< h^
(t)
, t e
ir'*’,
V({)
, com
|| cf) |l
< a
-
-35-
(iii)
Para
cada
tÍnua
em
a > o,
IR^ X
seja
IR^ , tal
T ( t , tç,: 0) II
( i i i i ) lim
t-> 0°
Entio,
(t , s )
toda
soluçio
ria = IR^ X
SR
IR^
uma
f u n ç i o coji
que
< Tia(t,to),
Vt
( s ) ds = o p a r a
convergente
de
> to > o,|| (j> ||
cada
(7)
< a
a > o
é coalescente
para
a
f u n ç i o H'.
P r o v a : T o m a n d o os
mula
integral
qualquer
de a m b o s o s
convergente
lim yt;(to,({i)=Hm x^.(to,<!)) + l im
ytíto.flí)
de
(observaçio
V t (to,4)) Il
Usando
que
fÓ£
para
temos
^-HoJ
t-KX>
= 3 (to,<Î>)
(7 ),
na
T(t,s;ys(to,(})))Yo g (s ,yg (to.tj)) ) d s , (25)
C o m o y t ^ ^ o ’^i*) ® c o n v e r g e n t e ,
3
lados
de A 1 e k s e e v - S h an ho 1 t , |_l " 1 3^ > r e s u l t a
soluçio
t;-H »
limites
as
1)
tel
<3,
hipóteses
existe
uma
constante
que
Vt
> to-
(ii)
T(t,s:ys(to,())))Yo g (s ,ys (to ,<()) )ds |
e
Ciii)>
concluimos
que
T(t,s:ys(to,cf.))|| |g(s,y^ (t^, 4,))|ds
-36-
ng(t,s)
Consideremos
(o,<p) = ¥ +
1 im
t->-00
Usando
uma
função
para
uma
(i)
0
(25)
T(t,s:ys(o,(|)))Yo
a iiipótese
(iiii),
ds
para
= o
g ( s , y 5 (o , (})) ) d s
concluimos
que
Xy(o,<{)) é
constante.
Logo
toda
função
'J'.
solução
T E O R E M A 11-5: Co ns ! d e r e m o s
cionais
a equaçio
(s)
( 1 ),
sistema
{ i i ) z. ( t ) =
convergente
o sistema
satisfazendo
as
de
(7)
de e q u a ç õ e s
seguintes
é convergente
d i f e r e n c ia i s f u £
hipóteses:
(1) é c o n v e r g e n t e
9f (t ,Xt (o , (|>) ) z^ , t e
_9(|)
coalescente
para
uniformemente
zero,
i s t o é,
|_ tg,“) é
T(t,o:(j))
e m ({).
Então o sistema
(1)
Prova : Como
é convergente,
(1)
é coalescente.
então
uniformemente
o quando
t ->- «>
-371 in
X,. (to,((>) = X ( t
,(})) e x i s t e
para
cada
(tQ,(j>)
e IR^ X C.
t->oo
Da h i p ó t e s e
T(t,o:c|))
(ii),
segue
que
o uniformemente
em (p
Logo
9
_d(P
Assim
temos
(o ,4))
-> 0 u n i f o r m e m e n t e
e m <p
qúe,
1 1m
t ->oo
Disto
X
resulta
3
J(p
Xt (o , <j))
uniformemente
= o
e m (J)
que.
_3_ 1 im xt ( o , 4>)
8 ({) t->«>
= o
Logo
9
X (o , <())
- o
d<P
Portanto,
X(o,4>)
é uma
funçio
constante.
Logo o sistema
(l)é
c o a 1e s c e n t e .
Corolário: Consideremos
ferenciais
hipóteses:
funcionais
(1) e
(7 ),
os
sistemas
satisfazendo
de e q u a ç õ e s
as
dj_
seguintes
-38-
(i)
0
sistema
vel
(1 ) é e x p o n e n c i a l m e n t e
assintõticamente
está
em variação.
t+ 1
( i i) h
sat i s f a z
(íii)
Para
cada
em
IR
a > o,
, tal
|g(t,4))|
Então
seja
toda
h^(t):IR^
IR^
uma
função
cont_T^
solução
t e
IR^,
V(|), c o m
convergente
de
||(í)||
(7)
< a
é coalescen­
.
estável
em v a r i a ç ã o ,
positivas
(1)
a^ e c^
Portanto,
de c o n c l u í m o s ,
pelo
é exponencialmente
então,
para
cada
a > o,
assintóticamente
existem
constan
, tais q u e
T ( t , tc,: (J)) II
uma
Va > 0
que
< h^(t),
Prova ; Como
tes
= o,
t->“
>
nua
te
h^(s)ds
1 im
^
< c ^ e x p [ - a ^ ( t - t o ) ] , V t > t o > o , | | (|)|| < a
li m T(t,tQ:(})) = o u n i f o r m e m e n t e e m (j). Doji
t->-0O
t e o r e m a 11-5 q u e (1 ) é c o a l e s c e n t e
para
função ¥ e C .
A l é m d i s s o , lim
t->-00
exp
- a j t - t o ) ] ho^(s)ds
= o
t +1
Pela
h ip ó t e s e
( i i) , l im
t->-00
h^(s)ds=o,
V a > 0
-39-
Donde
1 im
concluímos
exp
t->oo
0 corolário
I I -í*.
de
[_9, pág.
11 3] q u e
[_- a (t-s) 3 h ( s ) d s
*
Ct
“ ot
é agora
u ma
= o
consequência
do
teorema
-íto-
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