iii. resultados experimentais e discussão

Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Física Gleb Wataghin
F 429 – Física Experimental IV
Tábata Pinto
072410
Felipe Gavazza
07
Charlie V.D. Geest
07
F 429 – Física Experimental IV
Experimento – Constante de tempo,
Integração e diferenciação em circuitos RC
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I.
INTRODUÇÃO:
Um capacitor é um componente elétrico com a propriedade de armazenar
cargas elétricas. Eles são muito utilizados como depósitos de energia potencial,
além de serem componentes essenciais de dispositivos como osciladores
eletromagnéticos, que compõem os rádios e as TVs, tão comuns hoje em dia.
Um circuito RC simples pode ser representado pela Figura 1, abaixo
Figura 1 –Exemplo de circuito RC conectado a um gerador de onda quadrada.
Aplicando a lei das malhasi ao circuito acima, temos:
E0 - R . i – q / C = 0
i = dq / dt
Resolvendo a equação diferencial e tomando q(0)=0:
 t

q(t) = - (q0 + E0) . exp 
 RC 
Sabendo que, VC(t) = q(t) / C , temos:
VC(t) = Eo[1 – 2exp(-t/RC)]
[1]
Eliminando-se o gerador da Figura 1, teremos a situação de descarga do
capacitor. Aplicando novamente a lei das malhas, seguido do cálculo da equação
diferencial, respectivamente:
R.i + q / C = 0
 t

q(t) = (q0 + E0) . exp 
 RC 
Assim,
VC(t) = E0[2.exp(-t/RC) – 1]
[2]
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A partir da Figura 2, podemos ver que para dois momentos distintos de tempo (t1 e t2) :
VC(t1) = - Eo + VC1 e VC(t2) = - Eo + VC2
Fazendo-se a divisão de VC1 por VC2, e utilizando as coordenadas dos
pontos P e Q da figura na equação [1] ou [2] (carga e descarga do capacitor,
respectivamente) obtemos o valor de 1/RC (  ):
 = (t2 - t1) / ln(VC1 / VC2) [ 3 ]
Figura 2-Gráfico VC X t para um gerador de onda quadrada combinado com as curvas de carga e
descarga de um capacitor.
Em um circuito alimentado por uma corrente alternada senoidal, temos:
V(t) = V0 (sen (wt +  ))
I(t) = I0 sen (wt)
Partindo de  = arctg [(XL – XC) / R] ii, temos:
 = arctg ( -1/RC )
Quando RC <<1,  tende a –/2
Expandindo-se a função seno na expressão de V(t), obtemos:
V(t) = - Vo.cos(t) e dV(t)/dt = Vo..sen(t)
A voltagem no resistor (VR) é dada por:
VR = R.I0 sen(t) e I0 = V0 / Z
Combinando-se as duas equações acima e comparando-se com a equação de
dV(t)/dt, temos finalmente:
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VR = RC dV(t)/dt
[4]
A tensão entre os terminais do capacitor (VC) é dada por:
VC(t) = q / C
Substituindo-se q pela integral em relação ao tempo e lembrando que
quando RC>>1,  0, temos:
VC(t) =1/RC V(t)dt
[5]
As equações [ 4 ] e [ 5 ] foram deduzidas partindo-se de uma onda senoidal.
Porém, podemos utilizar uma onda quadrada já que ela pode ser representada por uma
série infinita de funções senoidais de freqüências discretas conforme a equação:
V = 4Vp/[sent + (1/3)sen3t + (1/5)sen5t + ...]
[6]
onde Vp é a tensão de pico da onda quadrada.
Para determinarmos a resistência interna (RG) do gerador, devemos antes
conhecer o valor da constante capacitiva () do circuito de forma que:
 = Req . C
onde Req é a resistência equivalente do circuito e corresponde à soma RG + R (resistor
utilizado no experimento). Assim:
 = (RG + R).C
RG =  / C - R [ 7 ]
II.
PARTE PRÁTICA:
P.1. Objetivos
Estudo das curvas do capacitor.
P.2. Material
Osciloscópio de dois canais, gerador de sinal, resistores de 100 , 1 k e 5 k,
capacitores de 0,047 e 1 F. O resistor tem erro de 5% e o capacitor tem um erro
entre 20% para mais a 10% para menos do que consta em seu valor nominal.
P.3. Procedimento Experimental
A fim de determinarmos a constante de tempo capacitiva (), montamos o
circuito RC mais simples, composto de um gerador de onda quadrada e de um
Resistor (R) ligado em série com um Capacitor (C), inicialmente descarregado.
Ligamos o canal 1 do osciloscópio aos terminais do capacitor para visualizarmos
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suas curvas de carga e de descarga. Realizando a medição (número arbitrário) de
tempo e de seu respectivo par de tensão (VC1 e VC2) afim de aplicar a equação 3,
obtendo valor para  para fins de comparação com a teoria. O circuito está
ilustrado na figura abaixo:
Figura 3
Uma vez determinado , podemos aplicar a equação [7] e determinamos, assim, o
valor da resistência interna (RG) do gerador.
Na segunda parte, os terminais do osciloscópio foram posicionados dessa vez
para medir a tensão no resistor (1k) e no capacitor (0,047F), como ilustrado na
figura a seguir:
Figura 4
Inicialmente analisamos a frequencia desejada a partir da freqüência de
corte. Fizemos o cálculo da freqüência de corte para o circuito a partir de f c=
(2πRC)-1, para esse circuito obtendo a freqüência de corte de 3386,3Hz,
Determinando então que, para baixa freqüência seria usada o valor de 300Hz e
para alta freqüência o valor de 30000Hz. Colocando uma baixa freqüência no
circuito que mede a tensão do resistor e do gerador, obtivemos (conforme a teoria)
uma imagem que descreve o comportamento de um circuito diferenciador.
Com o mesmo circuito, porém trocando-se a posição do capacitor e do
resistor, utilizando os valores de 5 k e 1 F respectivamente e fornecendo altas
tensões no circuito que mede a carga no capacitor e no gerador, adquirimos a
imagem característica de um circuito integrador.Tais imagens serão analisadas no
prosseguimento deste relatório. O circuito está ilustrado abaixo:
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Figura 5
III.
RESULTADOS EXPERIMENTAIS E DISCUSSÃO
Utilizando os valores nominais de R = 100 e C = 1F, podemos calcular o valor
teórico de :
 = R.C
 = 10-4s
Sendo que o erro é calculado por Δτ = C.ΔR+R.ΔC = 0,25.10-4. Portanto,
teoricamente:
 = (1  0,25)x10-4 s
Com o circuito da figura 3, obtivemos os seguintes dados para a curva de descarga do
capacitor:
t1=0s
t2=500s
VC1= 20V
VC2= 1V
A partir dos dados, obtivemos o seguinte valor para a constante de tempo
capacitiva aplicando a equação 3:
 = (1,67  0,25)x10-4 s
Comparando-se esse valor com o valor esperado (teórico), vemos que há
um erro relativo de aproximadamente 40,12%. Tal diferença se deve à resistência
interna do gerador, que não foi considerada no cálculo de  teórico, ao erro das
resistências de utilizadas, ao erro do capacitor e a eventuais erros de medição de
tempo, processo sempre sujeito aos reflexos do operador.
Conhecido o valor de , aplicamos a equação [7] e encontramos o valor da
resistência interna do gerador:
RG = 67
Realizando cálculos análogos aos do processo de carga, determinamos:
 = (1,5  0,25)x10-4 s
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Calculando-se o erro relativo, conseguimos 33,33%. As causas para essa
diferença são as mesmas apontadas para o erro relativo no processo de descarga.
Para a resistência interna do gerador foi obtido o valor:
RG = 50
Discutiremos, por fim, os conceitos de circuito diferenciador e circuito
integrador. Como já citado nos conceitos teóricos, um circuito RC pode ser
comportar como um diferenciador ou um integrador de freqüências.
Para que obtivéssemos RC  1, o circuito da figura 4 foi montado e utilizamos a
freqüência de 300Hz, sendo esta muito menor que a freqüência de corte, e captamos as
seguintes imagens da onda quadrada e diferenciada na tela do osciloscópio:
Figura 6 – Curvas dos canais 1 (tensão no gerador V G) e 2 (tensão no resistor VR) do osciloscópio.
Variando as formas de ondas:
Analisando-se a figura 6, verificamos que a tensão no resistor realmente é a
derivada da tensão no gerador. Quando há uma variação abrupta no valor da
tensão do gerador, o mesmo ocorre com a tensão no resistor, ou seja, quando a
tensão no gerador cai de Vo para 0, a tensão no resistor tende a um valor muito
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pequeno. Quando a tensão no gerador sobe de 0 para V o, a tensão no resistor
tende a um valor muito grande. Essa mudança abrupta na diferença de potencial
do resistor é tão rápida quanto a mudança na diferença de potencial do gerador.
Portanto, é possível se dizer que a tensão no resistor é proporcional à derivada da
tensão no gerador e conhecemos a constante de proporção, de forma que a
relação é:
VR = RC dV(t)/dt = . dV(t)/dt
Análogamente, para que obtivéssemos RC  1, o circuito da figura 5 foi
montado e utilizamos a freqüência de 30000Hz, sendo esta muito maior que a freqüência
de corte, e captamos as seguintes imagens da onda quadrada e integrada na tela do
osciloscópio:
Figura 7 - Curvas dos canais 1 (tensão no gerador V G) e 2 (tensão no capacitor VC) do
osciloscópio.
Variando as formas de ondas:
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Analisando-se qualitativamente, podemos notar que a tensão no capacitor
relamente integra a tensão no gerador. Conforme a tensão no gerador oscila entre
0 e V0, a tensão no capacitor vai aumentando e diminuindo linearmente. Enquanto
a tensão no gerador é Vo, a tensão no capacitor está aumentando. Enquanto a
tensão no gerador vale 0, a tensão no capacitor está diminuindo. Ambos, o
crescimento e o decrescimento da tensão no capacitor, são lineares - uma vez que
a tensão no gerador se mantém constante em cada intervalo. É plausível, então,
se dizer que a tensão no capacitor é proporcional à integral da tensão no gerador
e conhecemos a constante de proporção, de forma que a relação é:
VC(t) =1/RC V(t)dt = (1/) V(t)dt
No resistor, a constante de proporcionalidade entre a tensão no próprio e no
gerador é a constante de tempo. No capacitor, a constante de proporcionalidade
entre a tensão no próprio e no gerador é o inverso da constante de tempo.
Podemos analisar quantitativamente o circuito da 5, calculando-se a tensão entre
os terminais do capacitor (VC) através da equação [5] e comparando o valor obtido com o
valor medido (metade da amplitude de VC).
VC (medido) = 0,025 V
A equação [5] pode ser interpretada como o produto entre 1/RC e a área sob a
curva. Assim, temos:
VC (calculado) = 0,028 V.
Comparando-se ambos os valores, observamos um erro relativo de 12%, que pode
ser considerado satisfatório em virtude das fontes de erro já mensionadas.
Assim, as figuras obtidas estão em consonância com os conceitos teóricos
descritos no início deste relatório.
IV. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
1. D. Halliday, R. Resnick e J Merrill; Fundamentos de Física, vol. 3, (editora LTC, RJ,
1994), cap. 29-8 e 36-2, -3, -4.
2. J. J. Brophy, Eletrônica Básica, (Guanabara Dois, RJ, 1978), pp 49-50 e 57-59.
3. Apostila da disciplina F429, segundo semestre de 2009
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