UFBA – 2003 –1ª FASE

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA
UFBA – 2003 –1A FASE.
POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA.
QUESTÕES
de 01 a 08
INSTRUÇÃO : Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque
o resultado na Folha de Respostas.
QUESTÃO 01
Considere as funções f: R *  R e g: R  R definidas por f(x) = log2 x e g(x) = x³
Nessas condições, é correto afirmar:
(01)
A função g é ímpar.
Falsa porque: g(x) = x³ -1 e g(-x) = -x³ - 1  -g(x) = -x³ + 1 .
(02)
A função g possui uma única raiz real.
Verdadeira, porque g(x) = x³ -1 = (x – 1)(x²+x+1) possui como raizes o número real 1 e as raízes
 1  3i
do fator x²+x+1que são os números complexos
2
(04)
O ponto (1,0) pertence à interseção dos gráficos de f e de g.
Verdadeira, pois f(1) = log 21 =0 = g(1) = 1 –1= 0.
(08)
A imagem de x = 8 pela função composta g o f é igual a 3.
Falsa porque: g o f(x) = ( log2 x )³– 1  g o f(8) = ( log 2 8 )³ – 1 = 27 –1 = 26
(16)
A função composta g o f é inversível, e sua inversa é a função
3 x 1
(g o f)-1 : R  R * definida pela equação (g o f)-1(x) = 2
.
Verdadeira. A função composta g o f é inversível porque g(x) e f(x) são inversíveis sendo f-1 (x) =
3
2x e g-1 ( x) = 3 x  1 (g o f)-1(x) = (f –1 o g –1)(x) = 2 x1
RESPOSTA:
2
2
1
QUESTÃO 02
Um cliente, ao solicitar um empréstimo de R$ 5.000,00 a determinado banco, foi informado de que,
no vencimento, em t meses, deveria pagar o valor calculado pela fórmula P(t) = 5000 (1,1)t.
Nessas condições, é correto afirmar:
(01)
A condição estipulada pelo banco corresponde a um empréstimo com juros compostos de
10% ao mês.
Verdadeira.
(02)
O valor dos juros a serem pagos, se o cliente optar pelo prazo de 2 meses, corresponderá a
20% do valor emprestado.
Falsa porque:o fator de acréscimo será de 1,1² = 1,21  juros no valor de 21% do valor
emprestado.
(04)
O valor total a ser pago, se o cliente optar pelo prazo de 3 meses, será igual a
R$ 6.655,00.
Verdadeira pois o valor total será de 5000.1,1³ = 6655,00
(08)
A dívida do cliente, se ele optar pelo prazo de 10 meses, será maior que
R$ 10.000,00.
Verdadeira. A dívida será de 5000.1,110 = 12968,71 > 10000.
(16)
P(1), P(2), ..., nesta ordem, formam uma progressão aritmética.
Falsa. Porque 50001,1; 50001,1²; 50001,1³ ;.......forma uma P.G. de razão 1,1.
(32)
A figura ao
lado
representa
um esboço
do gráfico
da função
P(t), com t
 N*
Falsa. A função P(t) = 5000.1,1t é uma função exponencial e o gráfico acima não é gráfico de uma
função exponencial.
RESPOSTA:
1
3
2
QUESTÃO 03
Considerando-se as funções f: R  R e g: R  R definidas pelas equações f(x) = x + 2 e
g(x) = x², é correto afirmar:
A soma das soluções da equação f(x) = g(x) é igual a 1.
(01)
Verdadeira. Se f(x) = g(x)  x² = x+2  x² +x – 2 = 0  x’+x’’= 1.
(02)
O trapézio ABCD, que tem como vértices A = (2,0), B = (1,0) e os pontos de interseção
15
dos gráficos de f e g, tem área igual a
.u.a
2
Verdadeira.
As raízes da equação f(x) = g(x) (item anterior) são x = 1 ou
x = –2, logo a interseção dos seus gráficos são os pontos
(1,1) e (–2,4).
A área do trapézio ABCD pode será a metade do módulo
do falso determinante
2 1 1 2 2
15
= 1  4  8  2  15  S =
u.a.
0 0 1 4
0
2
O conjunto solução da inequação g(x)  f(x) é o intervalo [1,+[.
(04)
Falsa.
g(x)  f(x)  x² +x – 2  0 . Fazendo o estudo da variação do sinal do trinômio x² +x – 2
-+ vemos que a solução da inequação em questão é o intervalo
2
+
1
] ,2]  [1,+[
A desigualdade f²(x)  g(x) é válida para todo x  R.
(08)
Falsa.
f²(x)  g(x)  (x+2)²  x²  x²  4x + 4  x²  4x + 4  0  x  1
 9

A imagem da função h definida por h(x) = g(x) – f(x) é  , .
 4

(16)
Verdadeira.
h(x) = x²  (x+2) = x² + x –2   = 1 – 4(2) = 9  ymin = 
1
9
 Im(h(x)) =
4
 9

 4 ,


9
3
QUESTÃO 04
x  2y  kz  1
1 2 k
kx  y  z  0

k



Considerando-se o sistema de equações S: x  y  z  1 e as matrizes B =  1 1 1  ,
 1
 
C =  1  e X =
 0
 
(01)
1 1 
x
 
 y  , sendo k um número real, pode-se afirmar:
z 
 
A matriz transposta de B.C é a matriz linha (1, 1, k1).
Falsa.
1 2 k  1 

 
1  2 


 1 


k

 k  1


 k  1


B.C =  1 1 1    1  = 1  1    0  cuja transposta é (1,0,k 1)
(02)
1 1   0 
2  2
1


A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B =  1  1 1  .
 1 1
1 

-1
Falsa.
Sabemos que B.B-1 = B-1.B = I.
Verifiquemos se esta propriedade se verifica para as matrizes em questão:
2  2  3 0 0
1 2 0  1


 

1 1 1  1 1 1  = 1 2 0 .
0 1 1  1 1
1   0 0 2 


(04)
S é um sistema determinado, se k  1 e k  2.
Verdadeira.
1 2 k
x  2y  kz  1

S: x  y  z  1 é um sistema determinado se 1 1 1  0  1+k+2kk²120 
kx  y  z  0
k 1 1

K²3k+2  0  k  1 e k  2.
(08)
O terno (1, 1, 1) é a única solução do sistema S, para k = 0.
Verdadeira.
x  2y  kz  1
x  2y  1
x  1
y  z  2 


 y  1
S: x  y  z  1   x  y  z  1  
y  z  0 z  1
kx  y  z  0
y  z  0



(16)
O sistema é possível e indeterminado, para k = 1.
Falsa.
4
x  2y  kz  1
S: x  y  z  1 
kx  y  z  0

x  2y  z  1

 x  y  z  1  As equações x+y+z = 1 e x+y+z = 0 são incompatíveis, logo
x  y  z  0

para k = 1 o sistema é impossível.
0
 
O conjunto solução do sistema homogêneo B.X =  0  , para k = 1, é
0
 
(32)
{( x, 0, x), x  R}.
Verdadeira.
1 2 1 x   0 
x  2y  z  0
y  0

   
x  2y  z  0 

 x  z  0  S  x, 0,  x , x  R
1 1 1 y    0   x  y  z  0  
y  0
1 1 1 z   0 
x  y  z  0
z   x

   


4
4
QUESTÃO 05
Considere um plano , um ponto P   e uma reta r não contida em .
Nessas condições, é correto afirmar:
(01)
Toda reta que passa por P não intercepta r.
Falsa.
Na figura ao lado, a reta s passa pelo ponto P e
intercepta a reta r no ponto Q.
(02)
Se r é paralela a alguma reta contida em , então ela é paralela a .
Verdadeira.
Na figura ao lado, s  , r // s r // .
(04)
Se P  r, então r é perpendicular a .
Falsa.
Na figura ao lado, r, r’, r’’ são três das infinitas retas
que passam por P, não estão contidas em , e apenas r’
é perpendicular a .
(08)
Existe um plano que contém r e é perpendicular a  .
Verdadeira.
Na figura ao lado, r  α, t  α, t  s e perpendicular à
reta interseção entre os planos α e , então α  .
5
Se Q é um ponto não pertencente a , então a reta PQ não está contida em .
(16)
Verdadeira.
α > 0.
Qualquer reta perpendicular a r intercepta .
(32)
Falsa.
As retas s e r estão contidas em α. s  r e s   = 
2
6
QUESTÃO 06
Considerando-se o polígono ABCDEFG no plano cartesiano, sendo A = (1,3), B = (1,5),
11
1
C =  ,5  , D = (3,7), E =  ,5  , F = (5,5) e G = (5,3), pode-se afirmar:
2 
(01)
2

A reta que passa pelos pontos A e F é paralela à reta que passa pelos pontos C e D.
Falsa.
Pois
(02)
53 75
2 2
1 4

     seus coeficientes angulares são diferentes.
5 1 3  1
4 5
2 5
2
2
A distância entre os pontos D e G é igual a 2 5 u.c.
Verdadeira.
DG = 5  32  3  72  20  2 5 u.c.
(04)
A reta que passa pelos pontos C e G tem coeficiente angular negativo..
Verdadeira.
a
3  5 2
4

 a0
1
9
9
5
2
2
1
y
1
OU: Igualando a zero o falso determinante: 5 2 x 5  0  25 + +3x5y5x =0
2
2
3 5 y 3
4
9
50+y+6x10y10x1=0  9y = 4x+49  y =  x 
49
9
6
(08)
O ponto de interseção das diagonais do retângulo ABFG é (3,4) .
Verdadeira.
1 5 3  5 
O ponto de interseção das diagonais é o seu ponto médio, de AF, por exemplo, 
,
  3,4
2 
 2
(16)
A área do polígono ABCDEFG é igual a 13u.a.
Verdadeira.
S = SDCE +SABFG =
(5,5  0,5).(7  5)
5.2
 (5  1)(5  3) 
 8  13u.a.
2
2
(32)
A figura ao lado representa o polígono obtido pela
reflexão de ABCDEFG em relação à origem.
y
-11
2 -5
-3
-1
-1
2
Verdadeira.
x
1 
2 
Os simétricos dos pontos A = (1,3), B = (1,5), C =  ,5  ,
11
D = (3,7), E =  ,5  , F = (5,5) e G = (5,3) em relação à
2 
origem são, respectivamente,
 1

A’ = (-1,-3), B’ = (-1,-5), C’ =   ,5  , D’ = (-3,-7),
 2

G'
E'
A'
F'
B'
D'
-3
C'
-5
-7
 11 
E’ =   ,5  , F’ = (-5,-5) e G’ = (-5,-3).
 2

.6 2
7
QUESTÃO 07
Usualmente, chama-se Taxa de Analfabetismo de uma localidade a taxa percentual de analfabetos
com idade superior a 10 anos, calculada em relação ao número de habitantes, nessa faixa etária, da
localidade. A tabela a seguir contém dados sobre o Estado da Bahia e os municípios baianos de
Salvador e de Cel. João Sá.
População com idade superior a 10 anos.
Número de analfabetos com idade superior a 10 anos.
Taxa de analfabetismo
Bahia
20.405.000
Salvador
2.030.000
2.247.000
126.000
21,6%
Cel. João Sá
14.748
7.320
49,6%
Fonte: IBGE ( dados aproximados)
Com base nessas informações, é correto afirmar:
(01)
A taxa de analfabetismo de Salvador é de, aproximadamente, 6,2%.
Verdadeira.
126
 0,0620689...  6,2%
2030
(02)
Mais de 80% da população da Bahia com mais de 10 anos de idade não é habitante de
Salvador.
Verdadeira.
2030
 0,0994854  9,9% da população da Bahia com mais de 10 anos de idade são habitantes de
20405
Salvador  aproximadamente 90,1% dessa população não habita em Salvador.
(04)
Na faixa etária considerada acima, o número de analfabetos de Salvador corresponde a
aproximadamente 5,6% do número de analfabetos da Bahia.
Verdadeira.
126
 0,05607...  5,6%
2247
(08)
Se o número de analfabetos de Cel. João Sá com idade superior a 10 anos fosse 3.360, a
taxa de analfabetismo desse município seria menor que a do Estado da Bahia.
Falsa.
ICJS =
3360
2247
 0,22782...  22,78% ; iB =
 0,11012...  11,01% .  ICJS > iB
14748
20405
8
(16)
Escolhendo-se ao acaso um habitante do Estado da Bahia, analfabeto, na faixa etária
referida, a probabilidade de que ele seja habitante de Cel. João Sá é maior do que a de ser
habitante de Salvador.
Falsa.
ICJS =
(32)
732
12600
; IS =
 IS > ICJS
224700
224700
Escolhendo-se ao acaso uma pessoa de Salvador ou de Cel. João Sá, com idade superior a
10 anos, a probabilidade de que essa pessoa seja analfabeta é maior que 27%..
Falsa.
126000  7320
133320

 0,06520..  6,52%
2030000  14748 2044748
0
7
QUESTÃO 08
O lucro de uma empresa, em função dos meses de janeiro a dezembro do ano 2001, é dado, em
milhares de reais, pela fórmula L(n)  39n 3n², n  {1, 2, ...,12}, em que os números naturais n,
variando de 1 a 12, correspondem, respectivamente, aos meses de janeiro a dezembro.
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
(01)
O maior lucro da empresa, no ano, ocorreu em junho e em julho.
Verdadeira.
Para n  R, o maior lucro do ano ocorreria em n =
 39
 6,5 .
6
Como n  {1, 2, ...,12}  o maior lucro ocorre para n = 6 e n = 7 (meses de junho e julho).
(02)
O maior lucro obtido pela empresa, no ano, foi de R$126 000,00.
Verdadeira.
O lucro máximo foi L(6) = L(7) = 39.7 – 3.7² = 126 mil reais.
(04)
O lucro, durante o segundo semestre, foi decrescente.
Verdadeira.
9
Analisando o gráfico vemos que para n  7 a função é
decrescente.
(08)
O lucro foi igual nos meses de maio e setembro .
Falsa.
L(5) = 120 L(9) = 108
(16)
O lucro médio, nos três primeiros meses, foi de R$66 000,00.
Falsa.
(39  3)  (78  12)  (117  27) 36  66  90

 64 mil reais.
3
3
Lm =
(32)
O lucro mediano, nos doze meses, foi de R$99 0000,00.
Verdadeira.
Analisando o gráfico e colocando os lucros em ordem crescente:
L(1), L(12), L(2), L(11), L(3), L(10), L(4), L(9), L(5), L(8), L(6), L(7).
Como são 12 meses, o lucro mediano é a média aritmética entre os lucros do 10o e do 4o mês:
logo,
3
L(10)  L(4) 108  90

 99
2
2
9
10
QUESTÔES
09 e 10.
INSTRUÇÃO: Efetue os cálculos necessários e marque o resultado na Folha de
Respostas.
QUESTÃO 09
Calcule o número de pares de vértices não consecutivos que se pode obter num prisma triangular.
RESOLUÇÃO:
Analisando a figura ao lado ( um prisma triangular ) vemos que existem
dois vértices não consecutivos ao vértice B, por exemplo.
Agora percebamos que o {B,D} = {D,B}  que cada par é contado duas
6.2
vezes, logo o número de pares de vértices não consecutivos é
6
2
0
6
QUESTÃO 10
Uma ponte, com formato de um arco de circunferência e
comprimento igual a
4
quilômetros, liga dois pontos A e B
3
situados em margens opostas de um rio, conforme figura ao
lado.. Sabe-se que O é o centro da circunferência e que o
ângulo AÔB mede
2
rd.
3
Calcule d², sendo d a distância, em quilômetros, entre os
pontos A e B.
O arco AOB tem comprimento
4
2
4
2
km e o ângulo central AÔB mede
rd 
= r.

3
3
3
3
r = 2.
Como o ângulo central AÔB mede
2
rd, então a corda AB é lado de um triângulo equilátero
3
inscrito na circunferência e a sua medida d = r 3 = 2 3  d² = 12
1
2
11