apost-dinIII

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
CELSO SUCKOW DA FONSECA
COORDENADORIA DE METEOROLOGIA
Professor: Leanderson Marcos da Silva Paiva
Disciplina: Meteorologia Dinâmica
Carga Horária Semestral: 36 horas
UNIDADE I: PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
Consideremos o principio fundamental de conservação de energia termodinâmica,
aplicado a um elemento de fluido em movimento na atmosfera. A primeira lei da
termodinâmica é normalmente deduzida supondo-se um sistema em equilíbrio
termodinâmico, isto é, um sistema que inicialmente está em repouso e após trocar calor
com seu meio ambiente e executar trabalho sobre este meio, volta ao repouso. Vejamos isso
a seguir.
1. A Primeira Lei da Termodinâmica
Para tal sistema em equilíbrio termodinâmico, a primeira lei da termodinâmica
atesta que a variação da energia interna do sistema é igual a diferença entre o calor
adicionado ao sistema e o trabalho executado pelo sistema. Como exemplo, podemos dizer
que um volume de controle descrito da forma lagrangeana, consiste de uma massa
específica de fluido, que pode ser considerado como um sistema termodinâmico. Contudo,
a não ser que o fluido não esteja em repouso, ele também não estará em equilíbrio
termodinâmico. Apesar disso, a primeira lei da termodinâmica pode ainda ser aplicada a um
sistema fluido, na condição de que a energia instantânea do volume de controle consiste da
soma da energia interna, devido à energia cinética das moléculas individuais, e a energia
cinética devido ao movimento macroscópico do fluido. A forma modificada da primeira lei
da termodinâmica, ou equação da energia que pode ser aplicada a um elemento fluido, diz
que a taxa de variação da energia termodinâmica total é igual a taxa de aquecimento
diabático mais a taxa em que o trabalho é feito sobre o elemento, por forças externas.
Figura 1: Taxa de trabalho sobre um elemento fluido devido a componente x da força de
pressão.
Se e designa à energia interna por unidade de massa, então a energia termodinâmica
total contida em um elemento de fluido lagrangiano, de densidade , e volume V é
1  
2
 (e  U  U )V .
(1)
As forças externas que agem sobre um elemento fluido podem ser divididas em
forças de superfície, tais como pressão e viscosidade e forças de volume, tais como a força
da gravidade e a força de coriolis. A razão que trabalho é feito sobre o elemento fluido, pela
componente x da força de pressão é ilustrado na Fig. 1. Lembrando que a pressão é o
módulo da força por unidade de área, e que a razão que uma força faz trabalho é dada pelo
produto escalar dos vetores força e velocidade, então a razão na qual o fluido do meio
vizinho exerce trabalho sobre o elemento devido à força de pressão nas duas superfícies
delimitantes no plano y, z é dada por:
( pu) A yz  ( pu) B yz
(2)
onde o sinal negativo é necessário antes do segundo termo porque o trabalho feito sobre o
elemento de fluido é positivo se u for negativo através da face B. Expandido em série de
Taylor pode-se escrever


( pu ) B  ( pu ) A   ( pu ) x  ...
 x
A
(3)
Assim a taxa líquida do trabalho pela força de pressão pela componente x do movimento é


[( pu) A  ( pu) B ]yz   ( pu) V ,
x
A
(4)
onde V  xyz
Da mesma maneira, pode-se mostrar que as razões de trabalho pela pressão devido
às componentes y e z do movimento são
  ( pv) 

V
 y 
e
  ( pw) 

V
 z 
respectivamente. A taxa total de trabalho pela força de pressão é simplesmente

 ( U )V .
(5)
(6)
As únicas forças de volume significantes em meteorologia que agem em um
 
elemento de massa são as da gravidade e de coriolis. Mas, já que a força coriolis  2  U
é perpendicular ao vetor velocidade, ela não realiza trabalho. Assim, a razão que as forças
 
de volume produzem trabalho no elemento e massa é igual a g  UV .
Aplicando o princípio da conservação de energia para o volume de controle
lagrangeano (negligenciando os efeitos de viscosidade molecular) obtém-se:


 
d  
1   
  e  U U V     ( pU )V  g UV  qV

dt  
2
 
(7)
Aqui q é a razão de aquecimento por unidade de massa devido à radiação, condução
e liberação de calor latente. Com a ajuda da regra da cadeia de diferenciação pode-se
reescrever como:
V
 

d
1   
1    d ( V )
 U  pV  p UV  gwV  qV
 e  U U    e  U U 
dt 
2
2
 
 dt
(8)
onde g  gk foi usado. Agora de (2.32 - Holton) vê-se que o 2º termo da esquerda em (8)
desaparece, resultando

 

de
d 1  
   U  U   U  p  p  U  gw  q
dt
dt  2

(9)
Esta equação pode ser simplificada fazendo o produto escalar de U com a equação
de momentum para obter (desprezando o atrito):

 
d 1  
 U  U   U  p  gw
dt  2

(10)
Subtraindo-se (10) de (9) obtém-se:


de
  p  U  J
dt
(11)
Os termos em (9) que foram eliminados pela subtração de (10) representam o
balanço da energia mecânica devido ao movimento do elemento de fluido. Os termos que
permaneceram representam o balanço de energia térmica. Usando a definição do
geopotencial, tem-se:
qw 
dz d

dt dt
(12)
de modo que (10) pode ser reescrita como

 
d 1  

 U  U     U  p
dt  2

(13)
que é chamada de equação da energia mecânica. A soma da energia cinética mais a energia
potencial gravitacional é chamada de energia mecânica. Assim, (13) comprova que no
movimento, a razão de variação da energia mecânica por unidade de volume é igual a razão
em que o trabalho é feito pela força gradiente de pressão.
A equação da energia térmica (11) pode ser escrita numa forma mais conhecida,
observando em (2.31-Holton), que
1
1 d d
  2 

dt
 dt
U
(14)
e que para o ar seco a energia interna por unidade de massa é dada por:
e  c T , onde c [ 717 JKg 1 K 1 ]
é o calor específico a volume constante. Obtém-se, então:
c
dT d

q
dt
dt
(15)
que é a forma comum da energia. Assim a 1 Lei da Termodinâmica realmente é aplicável
ao fluido em movimento. O 2o termo da esquerda representando a razão de trabalho pelo
sistema fluido (por unidade de massa) representa conversão entre a energia térmica e
mecânica. É este processo de conversão que permite a energia do sol forçar os movimentos
da atmosfera.
1.1- Termodinâmica da Atmosfera Seca
Fazendo a derivação total da equação de estado (1.13-Holton) obtém-se:
pd
dp RdT
 

dt
dt
dt
substituindo por p
(16)
D
em (15) e usando
Dt
C p  c  R
(17)
onde cp (=1004 J Kg-1 K-1) é o calor específico a pressão constante, pode-se reescrever a 1a
lei da termodinâmica como:
Cp
dT
dp

q
dt
dt
(18)
Dividindo por T e usando de novo a equação de estado obtém-se a forma entrópica
da 1a lei da termodinâmica
cp
d ln T
d ln p q ds
R
 
dt
dt
T dt
(19)
A equação (2.43) dá a taxa de variação de entropia por unidade de massa, da parcela
para um processo reversível termodinamicamente. A entropia s definida por (19), é uma
variável que depende só do estado do fluido. Assim ds é uma diferencial exata e ds /dt é
considerada como a derivada total. Mas, “o calor” não é um campo de variável, de modo
que a razão de aquecimento q não é uma derivada total.