COMBINATERIA AULA 3 Prof. Lúcio Fassarella Tema: Princípio da

COMBINATÓRIA
AULA 3
Prof. Lúcio Fassarella
CMA/CEUNES/UFES
Tema: Princípio da Inclusão-Exclusão e Técnica de Recorrência.
Material: quadro e pincel.
Duração: 2h
Plano da Aula
Dúvidas?
Princípio da Inclusão-Exclusão
1. Recordação do Princípio Aditivo
2. Discussão do Princípio da Inclusão-Exclusão
(a) O Princípio da Inclusão-Exclusão é uma generalização do Princípio Aditivo: ele
estabelece uma fórmula para o número de elementos de um conjunto em termos
dos números de elementos de uma família exaustiva de subconjuntos (não necessariamente disjuntos).
(b) Enunciado e prova do Princípio da Inclusão-Exclusão
3. Problemas:
(a) .Problema: Tenho 3 cartas para destinatários distintos e 3 envelopes com os respectivos
endereços. De quantos modos posso colocar as cartas nos envelopes de modo que todas
…quem em envelopes errados?
Resolução por enumeração explícita. Resolução pelo Princípio da Inclusão-Exclusão.
(b) .Problema: Alguém escreve n cartas e escreve os respectivos endereços em n envelopes.
Quantas maneiras diferentes existem de colocar todas as cartas em envelopes errados?
1
Resoluções por Formula de Recorrência.
1. Uma fórmula de recorrência é uma expressão que determina o n-ésimo termo de uma
sequência função dos termos anteriores.
2. Exemplos de fórmulas de recorrência que resolvem problemas de contagem:
(a) Número de interseções de m retas no plano em posição geral:
N m = Nm
1
+m
1 ; N1 = 0:
3. Problemas:
(a) .Problema: Alguém escreve n cartas e escreve os respectivos endereços em n envelopes.
Quantas maneiras diferentes existem de colocar todas as cartas em envelopes errados?
2
0.1
Princípio da Inclusão-Exclusão
Teorema 0.1 Seja A um conjunto …nito e fA1 ; :::; Am g uma família exaustiva de subconjuntos de A, i.e.,
m
S
A=
Ak :
k=1
Então,
#A =
m
X
m
X
k=1 j1 <:::<jk =1
( 1)k+1 # (Aj1 \ ::: \ Ajk ) :
Em particular, no caso em que m = 2, A = A1 [ A2 :
# (A1 \ A2 ) :
#A = #A1 + #A2
Em particular, no caso em que m = 3, A = A1 [ A2 [ A3 :
# (A1 \ A2 )
#A = #A1 + #A2 + #A3
# (A1 \ A3 )
# (A2 \ A3 ) + # (A1 \ A2 \ A3 ) :
Prova. Prova do caso m = 2, A = A1 [ A2 .
Primeiramente, veri…camos as seguintes relações entre os conjuntos:
(i) A = A1 [_ (A2 n A1 ) ; (ii) A2 = (A2 n A1 ) [_ (A2 \ A1 ) :
Pelo Princípio Aditivo, (i) e (ii) implicam, respectivamente:
(iii) #A = #A1 + # (A2 n A1 ) ; (iv) #A2 = # (A2 n A1 ) + # (A2 \ A1 ) :
Combinando adequadamente (iii) e (iv), obtemos:
#A = #A1 + #A21
# (A2 \ A1 ) :
Prova do caso geral. O caso geral pode ser provado mediante a combinação do Princípio da Indução com o Caso m = 2:
A = B [ Am ; B :=
Então, pelo Caso m = 2:
#A = #B + #Am
Como
B \ Am =
Por hipótese de indução:
#B =
#B \ Am =
k=1
Ak :
k=1
# (B \ Am ) :
(Ak \ Am ) ;
m
X1
m
X1
( 1)k+1 # (Aj1 \ ::: \ Ajk ) :
m
X1
m
X1
( 1)k+1 # (Aj1 \ ::: \ Ajk \ Am ) :
k=1 j1 <:::<kk =1
e
mS1
mS1
k=1 j1 <:::<kk =1
Combinando as identidades, obtemos a tese.
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