Conjunto dos números Inteiros

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RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA 05
NÚMEROS NATURAIS
O sistema aceito, universalmente, e utilizado é o sistema decimal, e o registro
é o indo-arábico.
A contagem que fazemos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, e assim por diante,
juntamente com o zero, é chamada de números naturais, que tem este nome porque
são utilizados, naturalmente, para contar.
A seqüência dos números naturais cresce de 1 em 1.
Esses números formam o chamado conjunto dos números naturais, que é
representado pela letra N.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Pode-se retirar o zero do conjunto utilizando a seguinte notação:
N* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Operações fundamentais
Soma
Sejam dois números naturais A e B.
Chamamos de SOMA dos números o valor A + B.
Ex: Num colégio, a turma A tem 20 meninas e 22 meninos. Quantos alunos
formam na turma?
20 + 22 = 44 alunos
parcelas
Soma
total
ou
Subtração
Sejam dois números naturais A e B.
A diferença de A e B, que chamaremos de C é indicada por C = A – B. Esta
operação denomina-se SUBTRAÇÃO.
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Ex: Augusto possuía 63 figurinhas. Tirou 15 que eram repetidas. Quantas
sobraram?
63 – 15 = 48 figurinhas
Diferença ou resto
minuendo
subtraendo
OBS: O minuendo é igual a soma do subtraendo com o resto.
M=S+R
Multiplicação
A multiplicação surgiu quando o homem passou a reunir quantidades de
vários conjuntos com o mesmo número de elementos.
A multiplicação nada mais é do que a adição em parcelas iguais.
Ex: Carlos comprou 5 dúzia de ovos, quantos ovos comprou Carlos?
fatores
5 X 12 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 60 ovos
produto
produto
Potenciação
É uma multiplicação de fatores iguais.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
6 fatores iguais
Divisão
2 é a base
6
é
expoente
o
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Trata-se de repartir, em partes iguais, determinado número.
Ex: Em uma escola, há 175 alunos. Quantas turmas de 35 alunos podem ser
formadas?
Dividendo
175
175
0
35
5
divisor
quociente
resto
175 : 35 = 5
OBS: 1. Relação fundamental:
DIVIDENDO = DIVISOR X QUOCIENTE + RESTO
2. Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor
3. Não há divisão por zero, pois não existe um número natural que, multiplicado por zero,
não dê zero.
Expressões Numéricas
O cálculo de uma expressão numérica deve seguir as seguintes regras:
a) devemos inicialmente calcular as expressões entre parênteses ( ),
depois as que estão entre colchetes [ ], e depois as que estão entre chaves {
}.
b) Ordem das operações:
1ª) potenciação
2ª) multiplicação e divisão
3ª) adição e subtração
Ex:
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(5 + 1)2 − 5 ⋅ 6 =
62 − 5 ⋅ 6 =
36 − 5 ⋅ 6 =
36 − 30 =
6
Exercícios Resolvidos
01. Qual é o número que, somado a 204, torna-se igual a 321?
Vamos representar o número procurado por x.
x + 204 = 321
x = 321 − 204
x = 117
02. Numa subtração, o minuendo é 124 e o resto é 18. Qual é o subtraendo?
Representando o subtraendo por x, temos:
124 − x = 18
124 = 18 + x
x = 124 − 18
x = 106
03. Um número, multiplicado por 15, torna-se 45. Qual é esse número?
Representemos por d o divisor procurado por x:
x ⋅15 = 45
x = 45 ÷ 15
x =3
04. Numa divisão, o dividendo é 243, o quociente é 34 e o resto é 5. Qual é o
divisor?
Representemos por d o divisor procurado:
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243 = d ⋅ 34 + 5
d ⋅ 34 + 5 = 243
d ⋅ 34 = 243 − 5
d ⋅ 34 = 238
d = 238 ÷ 34
d =7
Conjunto dos números Inteiros
Ao conjunto formado pelos números positivos, o zero e os números negativos,
chamamos conjunto dos números inteiros (Z).
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Sub-conjuntos de Z
Os principais subconjuntos de Z são:
Z* = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
Z+ = { 0, 1, 2, 3, ...}
Z- = { ..., -3, -2, -1, 0}
Pírulas sobre números inteiros
Módulo (Valor Absoluto)
A todo número inteiro, faz-se corresponder a um número positivo ou nulo,
denominado valor absoluto ou módulo. É indicado por duas barras.
⎪+3 ⎪ = 3; ⎪ 0 ⎪ = 0; ⎪ - 4 ⎪ = 4
Simétrico
Dois números inteiros são simétricos quando têm o mesmo valor absoluto e
sinais contrários.
7 e –7, 1 e –1
Multiplicação
Quando os sinais são iguais, o resultado é positivo, e, quando os sinais são
diferentes, o resultado é negativo.
Ex: 5 ⋅ ( −2 ) = −10
( −5 ) ⋅ ( −2 ) = 10
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Conjunto dos números racionais (Q)
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que
a
podem ser escritos na forma , onde a é um número inteiro qualquer e b, um
b
número inteiro diferente de zero. É indicado por Q e representado da seguinte forma:
Q={x⎪x =
a
*
,a∈Zeba∈Z
b
Todo número racional pode ser escrito na forma decimal, que pode ser:
Exata: quando conseguimos representa-lo por um número finitos de
algarismos.
Exemplos:
6
3
=
10 5
•
0,6 =
•
7=
•
0,18 =
7
1
18
100
Não-exata, periódica: quando sua representação é periódica e possui um número
infinito de algarismos.
Exemplos:
•
•
7
9
13
0,1313... =
99
0,777... =
Conjunto dos números irracionais (IR)
O conjunto dos números racionais é formado por números cujas formas
decimais não são exatas e nem periódicas.
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Exemplos:
•
•
•
o número π = 3,14,1592...
o número e = 2,718..., conhecido como número de Euler
radicais do tipo 2 = 1,4142...
Conjunto dos números reais (R)
O conjunto R dos números reais é formado pela reunião do conjunto Q dos
números racionais com o conjunto IR dos números irracionais.
Exemplos;
0, -3, 0,13, 3,11111...,
2 , e, -789, π
Representação dos conjuntos numéricos através de diagramas:
R
Q
Z
IR
N
Exercícios
1. Relacione os elementos e os conjuntos dados utilizando os símbolos de ∈ ou
∉
a. 4
N
b. –7
N
*
c. 0
N
d. (5 – 8)
Z
6
e.
Z
7
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f.
g.
h.
i.
j.
0,3
−5
–0,1
− 2
0
Q
R
Q
R
R+
2. Assinale com V ou F
a. N ⊄ Z
b. N ⊂ Z+
c. Q ⊂ R
*
d. N ⊄ R
e. Z ⊂ Q
f. Q+ ⊂ R+
3. A soma de dois números é 406. Uma das parcelas é 348. Qual é a outra?
4. A diferença entre dois números é 138. O subtraendo é 235. Qual o
minuendo?
5. Numa divisão, o quociente é 18, o resto é 5 e o dividendo é 167. Qual é o
divisor?
6. Se subtrair 92 do quádruplo de um número, ficarei com 92. Qual é o número?
7. O valor da expressão 21 – { 34 – [ 16 – 9 + (14 – 1)]} é:
8. Transforme em decimais:
a. 3/4
b. 1/9
c. 4/5
9. Transforme em frações:
a. 0,5
b. 0,25
c. 0,111...
d. 0,1212...
e. 23,343434...
10. O resultado de 0,25 X 0,3 é:
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