Aula 6 -Aplicação e forma diferencial da Lei de Gauss
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Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoI EletromagnetismoI Prof.DanielOrquizadeCarvalho Eletromagnetismo I - Eletrostática SJBV Aplicação da Lei de Gauss e Lei de Gauss na Forma Diferencial (Páginas 56 a 70 no livro texto) • • Aplicação da Lei de Gauss: • Linha Infinita de Cargas • Condutores Coaxiais Lei de Gauss na forma Diferencial (ou Pontual) EletromagnetismoI 1 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Gauss e Simetrias Espaciais § A solução de alguns dos problemas de eletrostática que são resolvidos com a Lei de Coulomb, se dá de maneira muito mais simples com a Lei de Gauss na forma Integral. § Isto acontece somente em problemas que possuem certas geometrias espaciais. § Nestes problemas, é possível escolher uma Superfície Gaussiana que simplifica a integral do lado esquerdo da L.G. EletromagnetismoI 2 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Gauss e Simetrias Espaciais § Para encontrar a carga total em um dado volume, para uma distribuição de D conhecida, usamos a Lei de Gauss: Q=" ∫ S ! ! D ⋅ dS , escolhemos uma superfície fechada tal que: 1. Nas regiões onde D for normal à superfície: ∫ S ! ! D ⋅ dS = ∫ S DS dS 2. Nas regiões onde D for paralelo à superfície: ∫ EletromagnetismoI S magnitude de D na superf. S elem. de área (escalar) ! ! D ⋅ dS = 0 3 Prof.DanielOrquiza Eletromagnetismo I - Eletrostática SJBV E de uma linha infinita de cargas § Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ devido a uma linha infinita com densidade uniforme de cargas ‘ρL’. z • Podemos usar a Lei de Gauss ( ψ = Q ), mas qual a superfície gaussiana usar? • Se usarmos um cilindro de altura L, a carga dentro do cilindro é: L Q= ∫ρ L ρL P y dz ρ 0 • φ A densidade linear de cargas não depende de ‘z’. x Q = ρL L EletromagnetismoI L 4 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática E de uma linha infinita de cargas § O fluxo que atravessa o topo e a base do cilindro é nulo! z § Como calculamos o fluxo na superfície lateral do cilindro? ρL P L y ρ φ x EletromagnetismoI 5 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática E de uma linha infinita de cargas § O fluxo que atravessa o topo e a base do cilindro é nulo! z § Como calculamos o fluxo na superfície lateral do cilindro? § O fluxo na lateral fica: ∫ S ρL ! ! L 2 π D ⋅ dS = ∫ ∫ ( Dρ âρ ) ⋅ ρ dφ dz âρ L y z=0 φ =0 ρ § A densidade de fluxo não é função de ‘φ’ ou ‘z’. φ x ψ = Dρ 2πρ L EletromagnetismoI P 6 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática E de uma linha infinita de cargas • Agora podemos escrever a Lei de Gauss ( ψ = Q ). z Dρ 2πρ L = ρ L L • Isolando D: ! ρL D= âρ 2πρ ρL P • Como podemos calcular E? ! E= EletromagnetismoI L y ρL âρ 2πρε 0 ρ φ x 7 Prof.DanielOrquiza Eletromagnetismo I - Eletrostática SJBV E entre dois condutores coaxiais § Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ situado entre dois condutores carregados com ρs C/m2, com raios ‘a’e ‘b’ tal que b > a. • Pergunta: qual superfície gaussiana usar? • Se usarmos um cilindro de altura L e raio ρ (a < ρ < b) : L 2 π Q= ∫ ∫ z ρS ρ dφ dz P z=0 φ =0 • A carga concentrada na superfície φ Q = 2π aL ρS EletromagnetismoI y ρ = a é: ρ x 8 Prof.DanielOrquiza Eletromagnetismo I - Eletrostática SJBV E entre dois condutores coaxiais § O fluxo que atravessa o topo e a base da superfície gaussiana é nulo! § Como calculamos o fluxo na superfície lateral? z § O fluxo na superf. lateral do cilindro é: ∫ S ! ! D ⋅ dS = L 2 π ∫ ∫ ( D â ) ⋅ ρ dφ dz â ρ ρ P ρ z=0 φ =0 y § Aqui novamente D não é função de ‘φ’ ou ‘z’. φ ψ = Dρ 2πρ L EletromagnetismoI ρ x 9 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática E entre dois condutores coaxiais • Utilizando a Lei de Gauss e isolando D: ! aρ S D= âρ (a < ρ < b) ρ • z P Como podemos calcular E? y ! aρ S E= âρ (a < ρ < b) ρε 0 φ ρ x EletromagnetismoI 10 Prof.DanielOrquiza Eletromagnetismo I - Eletrostática SJBV Lei de Gauss na forma diferencial § Teorema de Gauss (ou da Divergência): A integral de superfície do vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D) ao longo de uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica do divergente de D no volume ‘V’ envolvido pela superfície ‘S’. "∫ S • ! ! ! D ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ D dv V Sabemos da Lei de Gauss na forma integral que: "∫ S EletromagnetismoI ! ! D ⋅ dS = ∫ ρv dv V 11 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Gauss na forma diferencial O Divergente da Densidade de Fluxo Elétrico D é igual à densidade volumétrica de cargas. ! ∇ ⋅ D = ρv § Note que D é um campo vetorial definido em uma região do espaço e ρv é um campo escalar definido nesta mesma região. § Esta é a forma diferencial (ou Pontual) da Lei de Gauss, em contraste com a forma integral. EletromagnetismoI 12 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Gauss na forma diferencial § Lembrando que o divergente do vetor D é igual ao fluxo elétrico saindo de um volume infinitesimal Δv por unidade de volume. ! ∇ ⋅ D = lim "∫ S ! ! D ⋅ dS Δv Δv→0 § A interpretação física da lei de Gauss é que uma densidade de carga positiva num ponto é fonte de fluxo elétrico. O fluxo elétrico sai do volume infinitesimal. § Uma densidade negativa é sumidouro de fluxo elétrico. O fluxo entra no volume. § Carga positiva é fonte de campo elétrico e carga negativa é sumidouro de campo. EletromagnetismoI 13 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Gauss na forma diferencial § Considere a expansão de um gás dentro de um volume quando um embolo é puxado e a pressão sobre o gás é diminuída. volume fixo § Enquanto o embolo está parado, o fluxo líquido de moléculas saindo do volume é zero. O que entra é igual ao que sai. § Se o embolo é puxado, há um fluxo liquido para fora do volume ( divergente positivo), indicando expansão do ar. § Se o embolo é empurrado, há um fluxo liquido para dentro (divergente negativo), indicando compressão do ar. EletromagnetismoI 14 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Operador Divergente § Lembrando que o operador divergente é um operador que transforma um campo vetorial em um campo escalar. § Coordenadas cartesianas: § Coordenadas Cilíndricas: ! ∂Dx ∂Dy ∂Dz ∇⋅D = + + ∂x ∂y ∂z ! 1 ∂ ( ρ Dρ ) 1 ∂Dφ ∂Dz ∇⋅D = + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z § Coordenadas Esféricas: ! 1 ∂ ( r 2 Dr ) 1 ∂ ( senθ Dθ ) 1 ∂Dφ ∇⋅D = 2 + + r ∂r r.senθ ∂θ r.senθ ∂φ EletromagnetismoI 15 Prof.DanielOrquiza Eletromagnetismo I - Eletrostática SJBV Exemplo Seja: ! D = 5r 2 âr [mC / m 2 ], para r ≤ 0,08m ! 0, 205 D = 2 âr [mC / m 2 ], r para r > 0,08m a) Calcule ρv para r = 0,06m. b) Calcule ρv para r = 0,1m. c) Que densidade superficial de carga poderia ser posicionada em r = 0,08m para fazer com que D = 0 para r > 0,08m? EletromagnetismoI 16 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo 2 Uma densidade volumétrica de cargas ρv = 60µC/m3 está presente em uma região definida por r ≤ a em coordenadas esféricas. Determine D para r ≤ a e para r ≥ a, onde a = 1mm. EletromagnetismoI 17 Prof.DanielOrquiza
