Morto ou vivo - o Experimento.indd - Matemática multimídia
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números e funções O experimento Experimento Morto ou vivo? Objetivos da unidade 1. Reforçar conceitos de múltiplos e divisores; 2. Obter a quantidade de divisores de um número natural. licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação Governo Federal O experimento Morto ou vivo? Sinopse Neste experimento, a classe desenvolverá uma atividade para estudar o conceito de divisibilidade. Nela, aprenderão como calcular a quantidade de divisores de um número e, com isso, descobrirão uma característica importante que define os quadrados perfeitos, pois eles são os únicos números que possuem uma quantidade ímpar de divisores. Conteúdos Conjuntos, Lógica e Números: Divisibilidade; Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem. Objetivos 1. Reforçar conceitos de múltiplos e divisores; 2. Obter a quantidade de divisores de um número natural. Duração Uma aula dupla. Introdução O Morto ou Vivo é uma brincadeira antiga na qual crianças seguem o comando de um chefe: quando o chefe diz “vivo”, todos ficam de pé e, quando o chefe diz “morto”, todos ficam sentados. Neste experimento, os alunos desen­ vol­verão uma atividade muito parecida com essa brincadeira. O chefe será um dos alunos, enquanto os outros serão nume­ rados e obedecerão aos seguintes comandos: quando o chefe disser um número, os alunos cuja numeração for um múltiplo do número dito deverão alterar seu estado (sentar-se ou se levantar). Com a brincadeira, os alunos estudarão o conceito de divisores e múltiplos. Também aprenderão como se calcula a quantidade de divisores de um número a partir de sua fatoração e, com isso, descobrirão uma parti­ cularidade sobre aqueles números que são quadrados perfeitos! Morto ou vivo? O Experimento 2 / 9 O Experimento O jogo Material necessário Lápis; Borracha; Caderno. Escolha um líder dentre um grupo de n + 1 alunos e numere o restantende + 1 a n.+ 1 Considerando que os alunos iniciarão a brincadeira sentados, proponha a seguinte brincadeira: Quando o líder falar um número, todos os alunos que possuem números múltiplos dele alterarão sua posição. ºº Há uma alternativa para o desenvolvimento deste experimento: fazê-lo usando cartões numerados. Veja o Guia do Professor! Quando dizemos “alterar a posição”, queremos dizer que, se o aluno estiver em pé, ele deve se sentar; e, se o aluno estiver sentado, ele deve se levantar. Preparação É provável que não dê para executar o expe­ rimento em sala de aula por conta do espaço. Por conta disso, sugerimos levar os alunos para um espaço amplo onde seja possível a realização da atividade. Peça para que levem lápis, caderno e borracha. Assim que o local estiver definido, divida a classe em grupos de 10 alunos (ou mais) e entregue uma Folha do Aluno para cada grupo. Depois, peça para que eles nomeiem fig. 1 Morto ou vivo? ºº A quantidade de alunos por grupo é importante para o desenvolvimento do experimento. Faça com que cada grupo tenha, no mínimo, 10 alunos. O Experimento 3 / 9 um aluno do grupo para ser o líder e numerem os outros componentesnde + 1 a n,+ 1 sendo n + 1 a quantidade de pessoas no grupo. Para facilitar, peça para eles se identificarem de alguma maneira, como, por exemplo, escrevendo seu número em uma folha de caderno. � � � � � � � � � �� Questão para os alunos Quais números devo falar para que apenas o aluno de número fique em pé? Essa pergunta também está presente na Folha do Aluno. Os alunos deverão preencher a lacuna segundo um número de sua escolha, ou seja, está a seu critério o número com o qual os alunos farão o problema. Como exemplo, faremos o problema com o número 3 em um grupo de 10 alunos (sem considerar o líder). Para solucioná-lo, é possível seguir o seguinte raciocínio: ºº Se preferir, cada grupo pode receber um número diferente para a solução da questão. Início fig. 2 Como deixar apenas um número vivo? etapa 1 � � � � � � � � � �� fig. 3 Nesta etapa, os alunos apenas farão uma atividade de familiarização com o jogo. Seguindo a regra – os múltiplos do número falado pelo líder deverão alterar sua posição – eles deverão resolver um problema como este: Morto ou vivo? Para o aluno de número 3 ficar em pé, é preciso ditar o comando 3. Com isso, todos os números múltiplos de três se levantarão: 3, 6 e 9. O Experimento 4 / 9 3: que o comando 9 seja acionado. Assim, o aluno de número 9 se senta e o problema é solucionado! � � � � � � 9: � � � �� � � � � � � � � �� fig. 4 Já que nosso objetivo é deixar apenas o número 3 em pé, precisamos pensar uma nova estratégia para os outros se sentarem. No grupo de 10 alunos que temos, o 6 é múltiplo apenas dele mesmo, o que significa que se o comando 6 for enunciado, ele, e apenas ele, se sentará. 6: � fig. 6 etapa Morto ou vivo? 2 � � � � � � � � � Nesta etapa, seguindo a regra do jogo, o líder deve falar todos os númerosnde + 1 a n.+Antes 1 de iniciar a brincadeira, lance o seguinte desafio aos grupos: �� fig. 5 Desafio Ao final da brincadeira, quais são os números dos alunos que ficarão em pé? Novamente, como no grupo de 10 alunos apenas o 9 é múltiplo dele mesmo, basta Morto ou vivo? O Experimento 5 / 9 ficar sentado, é necessário alterar a posição um número par de vezes. Ajude os grupos a perceber que a quanti­ dade de vezes que o aluno altera sua posição é igual à quantidade de divisores positivos do seu número. Com isso, podemos concluir que o aluno que se levantou e se sentou mais vezes é aquele que possui uma quantidade maior de divisores. Ademais, o que define se alguém fica em pé ou sentado é a quantidade ímpar ou par de divisores. ? fig. 7 Quando terminarem a atividade, os grupos deverão responder às seguintes perguntas presentes na Folha do Aluno: Fechamento Questão para os alunos 1. Quais são os números dos alunos que ficaram em pé? 2. O que define se alguém fica sentado ou em pé? 3. Qual é o número do aluno que se levantou e se sentou mais vezes? 4. Responda novamente às perguntas anteriores considerando a classe inteira, ou seja, alunos. Os números dos alunos que ficarão em pé são quadrados perfeitos. Além disso, o que define quem fica em pé é o número de vezes que a pessoa altera sua posição: para alguém ficar em pé, é necessário alterar a posição um número ímpar de vezes e, para alguém Morto ou vivo? ºº Incentive a discussão entre os alunos do grupo antes de falar da quanti­ dade de divisores! !! Estamos considerando que todos os alunos iniciaram a brincadeira sentados. Logo que os alunos terminarem a Etapa 2, retorne para a sala de aula e faça o Fechamento. Peça para que os grupos verifiquem as anotações que fizeram e digam os números dos alunos que ficaram em pé. Essas informações devem ser anotadas na lousa. Também é importante relembrar que todos os números são quadrados perfeitos e o que define se alguém fica em pé ou sentado é a quantidade ímpar ou par de divisores do número. Com isso, é possível concluir da seguinte maneira: Os números que são quadrados perfeitos, e apenas eles, possuem uma quantidade ímpar de divisores. O Experimento 6 / 9 Abaixo segue a demonstração desse resultado a partir de um método utilizado para calcular a quantidade de divisores de um número natural. Essa prova é muito importante para que os alunos entendam os conceitos envolvidos. Quantidade de divisores Primeiramente, como calcular a quantidade de divisores de um número qualquer, 8400, por exemplo. Para isso, fatoramos o número para saber como expressá-lo na forma de multiplicação de fatores primos. 8400 2 4200 2 2100 3 Agora, usando o Princípio Fundamental da Contagem, temos: 5 · 2 · 2 · 3 = 60 opções para escolha dos expoentes e, portanto, 60 divisores para 8400. Podemos utilizar o mesmo procedimento para descobrir o número de divisores de qualquer número inteiro positivo. Deste modo, temos que: A quantidade de divisores positivos de um número natural é igual ao produto dos expoentes dos números primos que aparecem em sua fatoração, adicionando a cada um deles uma unidade. 700 7 100 5 20 5 8400 = 24 · 52 · 71 · 31 4 2 2 2 1 Os fatores primos dos divisores de um número são também os fatores primos desse número. Portanto, no nosso exemplo, forma­remos um divisor quando usarmos os fatores primos 2, 3, 5 e 7 com expoentes específicos: para o fator 2, o expoente pode assumir cinco valores (0, 1, 2, 3 ou 4); para os fatores 3 e 7, o expoente pode assumir dois valores (0 ou 1); e para o fator 5, o expo­ ente pode assumir três valores (0, 1 ou 2). Morto ou vivo? Quando um número tem uma quantidade ímpar de divisores? A multiplicação citada acima terá um resul­ tado ímpar apenas quando todos os seus termos forem ímpares. Para isso, o valor do expoente deverá ser par, já que lhe será adicionada uma unidade. Os números que apresentam todos os expoentes pares são chamados quadrados perfeitos e, deste modo, obtemos o resultado anterior: Os números quadrados perfeitos, e apenas eles, possuem um número ímpar de divisores. O Experimento 7 / 9 Maior quantidade de divisores Como vimos anteriormente, o número que se levantou e se sentou mais vezes é o que possui o maior número de divisores. Para verificar tal fato, não há regra prática disponível: a única forma é calcular a quan­ tidade de divisores de cada número e, depois, compará-las. Morto ou vivo? O Experimento 8 / 9 Ficha técnica Autoras Maria Lúcia Bontorim de Queiroz, Claudina Izepe Rodrigues e Eliane Quelho Frota Rezende. Coordenação de redação Rita Santos Guimarães Redação Thaisa Aluani Projeto gráfico Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Fotógrafo Augusto Fidalgo Yamamoto Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C. C. de Oliveira Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação Governo Federal
