Solução

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Uma polia A, de raio 0,15 m,
inicia seu movimento a partir do repouso
com aceleração angular constante de 2
rad/s2. Esta polia é conectada a uma
roda B, de raio 0,40 m, por uma correia
que
gira
sem
escorregamento.
Determine os módulos da velocidade e
da aceleração de um ponto P na
periferia da roda B após 2 rotações.
Dados do problema
•
•
•
•
•
•
•
•
raio da polia A:
aceleração da polia A:
raio da polia B:
deslocamento do ponto B:
velocidade inicial da polia A:
velocidade angular inicial da polia A:
velocidade inicial da roda B:
velocidade angular inicial da roda B:
r A = 0,15 m;
α A = 2 m/s2;
r B = 0,40 m;
φ B = 2 rotações
v 0A = 0;
ω 0A = 0;
v 0B = 0;
ω 0B = 0;
Solução
Em primeiro lugar devemos converter o deslocamento do ponto B dado em rotações
para radianos
φB = 2 rotações
2 π rad
= 4 π rad
1 rotação
O problema nos diz que a na correia de ligação entre as polias não há escorregamento,
assim as polias giram solidárias (giram juntas) e o módulo do deslocamento é o mesmo para
todos os pontos da correia e também para os pontos periféricos da polia e da roda. O
deslocamento de um ponto em movimento circular é
S = φr
(I)
Assim sendo S A , o deslocamento de um
ponto da polia A (de 1 para 2, figura 1), será igual a
S B , o deslocamento de um ponto da roda B,
usando a expressão (I) podemos escrever a
condição de igualdade
S A = SB
φA r A = φB r B
φ r
φA = B B
rA
figura 1
substituindo os dados do problema e adotando π = 3,14 encontramos o deslocamento angular
de um ponto da polia A
4 .3,14 .0,40
0,15
φA = 33,5 rad
φA =
1
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Como a polia e a roda iniciam seus movimentos com aceleração angular constante elas
estão em Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.), usando a Equação de
Torricelli para movimento circular temos
2
2
 A = 0 A 2 A Δ φ A
2
 A =  20A 2  A  φ A−φ 0 A 
2
 A = 02 . 233,5−0 
A =  134
 A = 11,6 rad/ s
Como a polia e a roda giram solidárias elas têm o mesmo deslocamento com a mesma
velocidade em módulo dada por
v = r
(II)
Aplicando a condição de igualdade à velocidade, obtemos
vA = vB
então a velocidade de um ponto P da roda B será
v B = v A = A r A
v B = A r A
v B = 11,6 . 0,15
v B = 1,74 m/s
Da mesma forma o módulo da aceleração tangencial é o mesmo dado por
a t = r
(III)
Aplicando a condição de igualdade à aceleração, obtemos
a tA = a t B
então a aceleração de um ponto P da roda B será (figura 2)
a tB = a t A = A r A
a t B = A r A
a t B = 2 .0,15
2
a t B = 0,30 m /s
A aceleração normal (centrípeta) para a roda B é dada por
figura 2
2
anB =
vB
rB
2
1,74
0,40
a nB = 7,6 m/ s2
a nB =
A aceleração total será a soma vetorial das componentes tangencial e normal acima
aB = 
a ´ tB  
a´ nB
usando o Teorema de Pitágoras o módulo da aceleração total será
2
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2
2
2
a B = a ´t Ba ´n B
a B2 = 0,30 2 7,6 2
2
a B = 0,0957,8
aB =  57,9
a B ≈ 7,6 m/s
3
2