MAT BÁSICA polin_n comp

POLINÔMIOS
1.
Função polinomial
É a função P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn , onde a0 , a1 , a2 , ... , an são
os coeficientes e os termos do polinômio são : a 0 ; a1 x ; a2 x2 ; a3 x3 ; ... ; an xn
2.
Valor numérico
O valor numérico do polinômio P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn para o
valor x =  é P() = a0 + a1 + a2  2 + a3  3 + ... + an  n
Exemplo: Sendo P(x) = 2 x3 – 3 x + 1 calcule:
a) P(2) = 2.(2)3 – 3.(2) + 1 = 16 – 6 + 1 = 11
b) P(– 1) = 2.(– 1)3 – 3. (– 1) + 1 = – 2 + 3 + 1 = 2
3.
Grau de um polinômio
O grau do polinômio P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn é o maior expoente n
desde que an  0 para n=0,1,2,3, ...
Se todos os coeficientes forem nulos teremos P(x) = 0 denominado polinômio nulo.
Exemplos:
P(x) = 5 é polinômio de grau zero na variável x
P(t) = 2t3 – 3t + 8 é polinômio de grau 3 ou polinômio de 3° grau na variável t
P(x) = (x – 1) . (x3 + 2) é polinômio equivalente a P(x) = x4 – x3 + 2x – 2 de 4° grau na
variável x
P(z) = z – 2 + z – 1 não é um polinômio na variável z
P(x) = x 1/2 + 2x
não é um polinômio na variável x
P(x) = 0 é polinômio nulo e não possui grau
4.
Polinômios idênticos
Os polinômios P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn e Q(x) = b0 + b1x + b2x2 +...+ bn xn
são iguais (idênticos) se :
a0 = b0 ; a1 = b1 ; a2 = b2 ; ... ; an = bn
Exemplo :
Os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos : P(x) = (a – x)2 e Q(x) = x2 – bx + 4 .
Calcule os valores de a e b
P(x) = (a – x)2 = a2 – 2ax + x2 = x2 – 2ax + a2
x2 – 2ax + a2 = x2 – bx + 4
Como P(x) = Q(x) vem

2a = b e a2 = 4
Resolvendo a2 = 4 teremos a = 2 ou a = – 2
Sendo 2a = b ou b = 2a vem:
Para a = 2 ; b = 4
Para a = – 2
;
e
b=–4
Resposta : a = 2 ; b = 4
ou
a=–2;b=–4
EXERCÍCIOS DE SALA
1) Marque com V ( verdadeiro ) ou F ( falso )
polinômios :
as expressões que representam
(
) x  2 x3  1
(
) 2  3x
(
)
x
 3 x2  5
4
(
)
(
)
 x
(
) x x  5 x2  2
(
)
x
(
) 8
6
 x2  2

x  2 . x x  2
2) Sendo P(x) = x2 – x + 2

1
 x  4 x2
x
calcule :
a) P(–2) =
b) P(3) =
c) P( a – 1 ) =
3) Determine os valores de a,b,c para que o polinômio P(x) = (2a – c) x5 + ( b + 1) x
seja um polinômio nulo.
4) Sejam os polinômios P(x) = (a – 1)x2 + b x + c e Q(x) = 2a x2 + 2b x – c
Em que condições os polinômios são idênticos ?
5.
Soma de polinômios
Se P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
e
Q(x) = b0 + b1x + b2x2 +...+ bn xn
a soma P(x) + Q(x) é o polinômio :
(a0 + b0) + (a1 + b1) x + (a2 + b2) x2 +...+ (an + bn) xn
Exemplo:
Dados os polinômios F(x) = x3 – 2x2 + 3 e G(x) = 3x2 – x + 7 determine
a) F(x) + G(x)
F(x) + G(x) = x3 – 2x2 + 3 + 3x2 – x + 7 = x3 + x2 – x + 10
b) F(x) – G(x) =
F(x) – G(x) = x3 – 2x2 + 3 – ( 3x2 – x + 7 ) =
= x3 – 2x2 + 3 – 3x2 + x – 7 = x3 – 5x2 – 4
6.
Mutiplicação de polinômios
Se P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
e
Q(x) = b0 + b1x + b2x2 +...+ bn xn
o produto (multiplicação) P(x).Q(x) corresponde a :
a0 (b0 + b1x + b2x2 +...+ bn xn) + a1x (b0 + b1x + b2x2 +...+ bn xn) +
+ a2x2 (b0 + b1x + b2x2 +...+ bn xn) + … + anxn (b0 + b1x + b2x2 +...+ bn xn)
Exemplo:
P(x) = 1 – 2x
e
Q(x) = x + x2
P(x) . Q(x) = ( 1 – 2x ) . ( x + x2 ) = 1.x + 1. x2 – 2x.x – 2x.x2 = x + x2 – 2 x2 – 2 x3
P(x) . Q(x) = x – x2 – 2 x3
7.
Divisão de polinômios
Sendo os polinômios F(x) e G(x) teremos
F(x)
R(x)
 Q(x) 
G(x)
G(x)
Prova real :






F(x)
G(x)
Q(x)
R(x)
é o dividendo
é o divisor
é o quociente da divisão
é o resto da divisão
F(x)  G(x) . Q(x)  R(x)
 F(x) é divisível por G(x) se o resto R(x) = 0  DIVISÃO EXATA
 Teorema do resto : O resto da divisão de F(x) por (x – a) é F(a)
 Teorema de D’Alembert : Um polinômio F(x) é divisível por (x – a) , se e somente
se, a é raiz de F(x) ou seja, F(a) = 0.
Exemplos :
a) F(x) = 4 x – 10
Determine
Então :
G(x) = x + 1
F(x)
G(x)
F(x)
4x  10
 14
14

 4 
 4 
G(x)
x 1
x 1
x 1
b)
x2  8 x  7
x  1
c)
2 x3  3 x  4
x 2  2x
d) Determine o valor de m para que F(x) = x3 – 2 m x2 + (m – 1) x + 15 seja
divisível por x – 5
8.
Algoritmo de Briot-Ruffini
a)
x3  3 x 2  x  3
x  1
b) Fatore a expressão x  3 x
3
c)
2
 x  3
2x 4  3 x 2  1
x  2
EQUAÇÃO POLINOMIAL
9.
Definição :
Equação polinomial ou equação algébrica é a sentença F(x) = G(x) sendo
F(x) e G(x) polinômios
Exemplo :
F(x) = x3 – 2 x + 1 e G(x) = 3 x2 – x – 2
Então x3 – 2 x + 1 = 3 x2 – x – 2 é uma equação polinomial equivalente a
x3 – 3 x 2 – x + 3 = 0
10. Raiz de equação polinomial :
É o valor para a variável x que torna a sentença verdadeira. No exemplo acima
o valor x = 1 é raiz pois (1)3 – 3 (1)2 – (1) + 3 = 0 é uma sentença verdadeira.
11. Solução de equação polinomial :
É o conjunto formado pelas raízes da equação a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn = 0
Exemplo :
Determine a solução das equações algébricas
a) 2 x2 + 3 x + 6 = x2 + 4
b) 2 x2 + 3 = x2 + 4
c) x3 – 3 x = 2
NÚMEROS COMPLEXOS
1.
Introdução
Um número complexo possui a forma algébrica z = x + y . i onde i é chamado de
unidade imaginária tal que i 2 = – 1
ou
i 
 1
Uma maneira prática de representar o complexo z = x + y i é utilizando par
ordenado : z = (x , y) onde o número real x é a PARTE REAL de z e o número real
y é a PARTE IMAGINÁRIA de z.
2.
Igualdade
Se o complexo a + b i é igual ao complexo c + d i então : a = c e b = d ou seja
têm partes reais iguais e partes imaginárias iguais
3.
Adição
A soma ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
4.
Multiplicação
O produto ( a + b i ) ( c + d i ) equivale a : ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i
Aplicando a propriedade distributiva chegamos ao resultado
( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i2
Como i2 = – 1 temos : a c + ( a d + b c ) i – b d
Separando a parte real da parte imaginária vem ( a c – b d ) + ( ad + bc ) i
5.
Conjugado
Chama-se conjugado do complexo z = x + y i ao complexo z  x  y i
O produto z . z
corresponde ao número real
( x + yi ) . ( x – yi ) = x2 + y2
Aplicando a propriedade distributiva : x.x – x.y.i + y.x.i – y.y.i2 = x2 – x.y.i + x.y.i + y2
x 2  y2
Então z . z 
EXERCÍCIOS DE SALA
1) Sejam os complexos
z1 = 2 – 3 i ; z2 = 1 + i
Determine:
a) z1  3 z 2  2 z 3  z 4
b) o conjugado de
z2  z3
c) o produto 2 z1 . z 2
d)
z
e)
z3  z3  z3  z3
f)
g)
2
1
 3 z3  z 4
2
3

2
4
z2
z1
z1
z
 4
z3
z2
2) Resolver as equações :
a) x3 – 1 = 0
;
z3 = 2 i
;
z4 = 5
b) x4 + x3 – 2 x = 0
3) Seja o complexo z = 2 – 2 i . Determine
a) o módulo de z
b) a forma trigonométrica de z
4) Considere o número complexo z = 1 + i . Determine :
a) a forma algébrica e trigonométrica de
(z)
z
b) a forma algébrica e trigonométrica de
z
(z)
LISTA DE EXERCÍCIOS
POLINÔMIOS
1) Dado o polinômio P(x) = x3 + x2 – x – 1
a) determine P(x) na forma fatorada
Resp. P(x) = ( x + 1)2.( x – 1 )
b) as raízes de P(x)
Resp. Raízes : { 1 ; –1 ; –1 }
c) P(–1) + P(–2)
Resp. – 3
d) o resto da divisão de P(x) por Q(x) = x – 1
Resp. zero
e) o quociente da divisão de P(x) por Q(x) = x – 1
Resp. x2 + 2x + 1 = (x +1)2
2) Sejam os polinômios :
F(x) = 1 – x + x2
G(x) = x + 2
H(x) = (x – 1)3
Calcule :
a) F(x) . G(x) – H(x)
Resp. 4 x2 – 4 x + 3
b) as raízes da equação F(x) = 0
Resp.
1 i 3
1 i 3
e
2
2
c) o quociente e o resto da divisão entre F(x) e G(x)
Resp.
x – 3 ; resto 7
3) Fatorar os polinômios
a) P(x) = 6 x2 + x – 1
Resp. P(x) = (2x + 1) (3x – 1)
b) P(x) = 2 x2 + x – 6
Resp. P(x) = (x + 2) (2x – 3)
c) P(x) = x3 – 2x2 + x – 2
Resp. P(x) = (x2 + 1) (x – 2)
d) P(x) = x4 – 1
Resp. P(x) = (x2 +1) (x+1) (x–1)
4) Resolva as equações

1  i 3 1  i 3 


;
1 ;

2
2




a) x3 – 1 = 0
Resp.
b) x4 – 2 x3 = 0
Resp.  2 ; 0 ; 0 ; 0 
c) x2 + 4 = 0
Resp.  2 i ;  2 i 
d) x3 – 4 x2 + 5 x – 2 = 0
Resp.  2 ; 1 ; 1 
e) x4 – 5 x2 + 4 = 0
Resp. 1 ;  1 ; 2 ;  2 
NÚMEROS COMPLEXOS
1) Efetue as operações :
a) ( 1 + 2 i )2 – ( 3 + 4 i )
Resp. – 6
b) ( 1 + i )3
Resp. – 2 + 2 i
c) i + i2 + i3 + ... + i10
Resp. – 1 + i
d) ( 1 – i )2
Resp. – 2 i
e)
3  2i
1 i
Resp.
5 i
2
f)
2
i
Resp.
–2i
g) | 3 + 4 i | + | 12 – 5 i |
Resp. 18
3 4i
12  5 i
Resp.
5
13
a) z = – 1 – i
Resp.
5
5 

z  2  cos
 i . sen

4
4 

b) z  1  i 3
Resp.

 

z  2  cos  i . sen 
3
3


c) z = 2 + 2 i
Resp.

 

z  2 2  cos  i . sen 
4
4 

h)
2) Coloque na forma trigonométrica os complexos :
3) Coloque na forma algébrica os complexos :
a) z  3  cos   i . sen  
Resp. z = – 3

 

b) z  2  cos  i . sen 
Resp.
z 
Resp.
z  2
Resp.
z 

4
4 
11 
11  

 i . sen
c) z  4  cos


d) z 
6
6

1 2 i
3i
2  i
2
3  2i
1
7

i
10
10
4) Se P(z) = z2 – z + 1 calcule P( 1 – i )
Resp. P(1 – i) = – i
5) Se (1 – i )2 = – 2 i , calcule (1 – i ) 6
Resp. 8 i