Enviado por Do utilizador13446

Volume 1-Física Aula por aula

Propaganda
MANUAL DO PROFESSOR
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Física aula por aula
Mecânica
ENSINO MÉDIO
COMPONENTE CURR ICULAR
FÍSICA
Benigno Barreto filho
Mestre em Educação na área de Ensino, Avaliação e Formação de professores pela Universidade Estadual de Campinas.
Especialização na área de Educação em Física pela Universidade Estadual de Campinas.
Licenciado na área de Ciências e Física pelo Instituto Superior de Educação Santa Cecília.
Assessor de Física e Matemática em escolas públicas e particulares.
Professor de Física e Matemática das redes estadual e particular de São Paulo.
Claudio Xavier da Silva
Especialização em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Montes Claros.
Licenciado na área de Ciências e Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras das Faculdades Associadas do lpiranga.
Assessor de Física e Matemática em escolas públicas e particulares.
Atuou como professor e coordenador pedagógico na rede particular de ensino em São Paulo.
Professor universitário na rede particular de Minas Gerais.
3ª edição
São Paulo- 2016
fT(j
MANUALDO
PROFESSOR
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
FT~
Copyright© Benigno Barreto Filho, Claudio Xavier da Silva, 2016
Diretor editorial
Gerente editorial
Editora
Editores assistentes
Lauri Cericato
Flávia Renata P. A. Fugita
Cibeli de Oliveira Chibante Bueno
Valéria Rosa Martins, Sandra Dei Cario,
Eduardo Oliveira Guaitoli, Yara Valeri Navas
Assessoria Davi José dos Santos Guimarães, João de Paiva,
Paula Feijó de Medeiros
Gerente de produção editorial Mariana Milani
Coordenador de produção editorial Marcelo Henrique Ferreira Fontes
Coordenadora de arte Daniela Máximo
Projeto gráfico Casa Paulistana
Projeto de capa Bruno Attili
Foto de capa Thais Falcão/Olho do Falcão
Modelos da capa: Andrei Lopes, Angélica Souza,
Beatriz Raielle, Bruna Soares, Bruno Guedes,
Caio Freitas, Denis Wiltemburg, Eloá Souza, Jarda Gomes,
Karina Farias, Karoline Vicente, Letícia Silva, Lilith Moreira,
Maria Eduarda Ferreira, Rafael Souza, Tarik Abdo, Thaís Souza
Supervisora de arte Isabel Cristina Corandin Marques
Diagramação Adriana M . Nery de Souza, Eduardo Benetorio,
Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva,
Laura Alexandra Pereira, Sara Slovac Savero
Tratamento de imagens Eziquiel Racheti
Coordenadora de ilustrações e cartografia Mareia Berne
Ilustrações Alberto de Stefano, Alex Argozino,
Antonio Robson, Eunice Toyota, Grace Arruda,
Luis Moura, Mariana Coan, Marcos Aurelio,
Maria Pita, Paulo César Pereira, Paulo Nilson,
Rafael Herrera, Rigo Rosario Jr., Studio Caparroz,
Tarumã, Walter Caldeira
Cartografia Allmaps
Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin
Supervisora de preparação e revisão lzabel Cristina Rodrigues
Revisão Carolina Manley, Célia Regina Camargo,
Cristiane Casseb, Desirée Araújo, Dilma Dias Ratto,
Iara R. 5. Mletchol, Juliana Rochetto, Jussara Gomes,
Lilian Vismari, Pedro Fandi, Renato Colombo Jr. ,
Regina Barrozo, Solange Guerra
Coordenador de iconografia e licenciamento de textos Expedito Arantes
Supervisora de licenciamento de textos Elaine Bueno
Iconografia Mareia Trindade
Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Barreto Filho, Benigno
Física aula por aula : mecânica, 1~ ano/ Benigno Barreto
Filho, Claudio Xavier da Silva. - 3 . ed. - São Paulo :
FTD, 2016.
(Coleção física aula por aula)
Componente curricular: Física.
ISBN 978-85-96-00314-8 (aluno)
ISBN 978-85-96-00315-5 (professor)
1. Física (Ensino médio) 1. Silva, Cláudio Xavier da.
l i. Titulo. Ili. Série.
16-02665
CDD-530.07
Índices para catálogo sistemático:
1. Fisica : Ensino médio
530.07
Reprodução proibida: ArL 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados ã
Em respeito ao meio ambiente. as (olhas
deste livro toram produzidas com fibras
obtidas de â™Jres de lklrestas plantadas.
com origem certificada.
E.DITORA FTD S.A.
Rua Rui Barbosa, 156 - Bela Vista - São Paulo-SP
Impresso no Parque Gráflto da Editora FTD SA
CEP 01326-010 - Tel. (O-XX-11) 3598-6000
Caixa Postal 65149 - CEP da Caixa Postal 01390-970
www.ftd.com.br
E-mail: c"'ntral.alé[email protected]
CNPJ 61.186.490/0016-33
Avenida Antonio Bardella, 300
Guarulhos-SP -CEP 07220-020
Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Apresentação
Caro aluno,
Este é o início do estudo de uma parte do conhecimento
construído pelos seres humanos: a Física. Existem evidências de que,
desde os primeiros momentos da história da humanidade, o ser
humano observava o céu à procura de ordem e repetições e, por
meio delas, elaborava compreensões dos diversos fenômenos da
natureza. Na época, prever os ciclos do céu, como as fases da Lua ou
o ocaso das constelações, era vital para a sobrevivência, pois eram
relacionados com os ciclos terrestres, como as chuvas, as cheias dos
rios e as épocas de plantação e de floração.
Desde esse tempo, o conhecimento sempre foi muito importante
para a sobrevivência dos seres humanos. Sempre existiram seres
curiosos, posteriormente chamados de cientistas, que se dedicaram
a descobrir o funcionamento do universo a sua volta. O estereótipo
do cientista de jaleco branco trancado em um laboratório e meio
excêntrico não pode mais ser considerado verdadeiro. Como carreira
profissional, os cientistas trabalham em colaboração com outros
para elaborar interpretações sobre a natureza . Se em a lgumas
investigações, os cientistas lançam mão de novos conceitos e podem
obter elegantes explicações, em outras, e na grande maioria,
percebem que a explicação não está adequada e acabam por buscar
outras mais satisfatórias.
Assim é a viagem pela Ciência, a cada nova etapa há formas
diferentes de recortar o mundo, que são capazes de levar nossa
mente para perguntas que nem percebíamos que existiam. Isso
faz da Ciência uma construção de conhecimento vivo, dinâmico e
cheio de novos enigmas.
Esta obra conta com a mediação do seu professor, para que, juntos,
possamos participar desse admirável exercício do raciocín io: do fazer
e refazer, do perguntar e responder, de momentos de infelicidade e
de grandes alegrias, do errar e do acertar na busca de soluções ou
simplesmente na busca de novas perguntas capazes de satisfazer a
nossa humanidade. Esperamos, com isso, contribuir para q ue você
desenvolva seus estudos de forma criativa, agradável e estimu lante.
Os autores
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
As
Unidades
são apresentadas
com uma ou
mais questões
sobre a matéria
a ser estudada.
Você deverá
refletir e anotar
sua resposta no
caderno.
,(!,._...._____ _
=~::::::._ . . ___
-----•.··--- ..__.. __ ·-&·
·----·-----.
::;:... ~
___
_...,
-·--···--·-----
·-~-
'L~
os Exercícios resolvidos
ilustram a aplicação dos
conceitos vistos.
_______
.._... ___
·-------------·----"'·-·---------·
~~=-;_~~=
:
_____
___
..
~~=-;_;~--=i
::::=--~=--~~=~~-=-~~!;;;ã.:c:;;:;.J
_.;Jj-
...,
:.....----·--. . . . ===-~~:--·---·
L..=-:==- J
- ·~---... -=--=- ---·
..---··.-;...--·-=:-·-·--·-··-----·-·
---·-·-·-------·-..
-------·
- ..-·---·---.----·-·--A.....- -.---·-·"::""""-==·-·
- ----...---·
-·----·--··
- -------·------------·--------·--·----'.:::i:c:-.
...
1~---~-=---~--·-----·-- -----------.. ....-·-·-··---·---..
A seção Você sabia?
apresenta textos atualizados
e ilustrados que abordam a
aplicação do conhecimento
físico na tecnologia e na
sociedade. Esses textos abordam
algumas questões diversas e de
maneira integrada com outras
disciplinas.
L-----,••-·-·-••-·--·'""-"'·""'- "'·--·-·
-..__._____ ____ ____
·r==·,_
-----.··---·--,_.,
.._
.=-----·-·
: :.·w -==~...
1
,_,_..,_
..,
./1.lfl
~
~
l =~7-_
-:.
1
1
--"'·e.- --
_____
~-------· - _,.......,. l
..._. ·---·.... -·
·----·---·--.. - ·-----·-..
--·-·-------·--·- - -
os Exercícios
propostos vêm
C:_J-
...L- - - ·-·1-
logo após os Exercícios
resolvidos. É importante
tentar resolver todos,
pois eles auxiliam
a sistematização
do conhecimento e
servem para avaliar se
você compreendeu o
conteúdo.
----·----·--··-·
---------·--·-·---------------------------·-·-·
·--·
----·-·..----·-·
...
----·
----------
-----
_,,
____ --_____
___
--..·-·---·
_____
___
·-____
______
__··-·-·-·""'
.. ______
--------·....._
---~
......_... ___ _
-·--------------..-. .---v. -•-.,....__....,.
-----·
..-·--------........--~====-.= ==
. --..
- n. .,_
--------·--- --·--·------------·-----.-·-------·-----·---
-
~
~il
-----=-=--=
___
_____ . ____._
________
~-·~·-·----·-·-·------------·__
_ __________ _
_--~-·-···--·------______
-·
-------·--·
__________
-·------·-----_
ri-·----·---------~--·--·-..
As leis da Gravttação
-- 5-tf?A
, ...
...... _,..,.
,..
.., .. .. _
... .
_,
......
=-~:;;;;:;
..,.
Em cada Capítulo
a teoria é
desenvolvida de
forma clara e com
linguagem simples,
procurando partir
dos conhecimentos
que você já possui.
.. ...
~=..,.,...""!'li~
___
____...........,_,
,~
..
_......,
......
...
,
GE -
As situações propostas no
Pense além abordam o
conceito físico de maneira lúdica,
descontraída e bem-humorada,
ou promovem reflexões sobre a
sua realidade local.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
___..__-..--------__··--.. ..·---··
---~--·-·--·--·--·
~
____
___
:§.~~;:-=
___
..___ __
__
________
---------__..--....---..___ _
-----·- ------·
------·-----------·----.......---...-----------------.,..
Após o
desenvolvimento
do conteúdo,
você pode
rever a questão
da abertura
da Un idade,
reformular sua
resposta e conferir
a resolução na
seção De volta
,
.
_
.....,
.,
...
____
~
--·
_,
--·,,..
.....
--·-·
A seção Física no cinema
promove uma d iscussão de conteúdos
de Física presentes em filmes. Nela os
conhecimentos podem ser testados e
aplicados em outros contextos.
ao começo.
,:_-.:____
. :. . .=--=_ ______
a Física no
dia a dia temos
~ ~ · ==
--------..··---·-·---·--------
=---
_t=-:,.
L_
,_ _ _.._ _ _ _
L _ _ _ _ _, _ _ _, _ _ _ __
·-- -----------··--
____
_------·-..
·-··-·
___
.__
.
_
------·---------________
·-----·
- --..
------·--·-·-·-----------·-------------....-......----·
___ ..__- ~:.===--=-=---==-==
--·
-------_____- -___
___
_
--·
..·-·-·----.
___________
___
_
-·---·-------_..._.__________
.. __
_________________
..__
---------------·-·--·---·
· ----_.._,---.----·
_____________
_..
-----·----.,_,
____
-·---·-------·
-...--·--·-------~------·--·- ·---·-··--·-·- ---·-·--·--·--·----·----·------·--..--·---------....
.__
_
.._
,
,..
....__
.,_..,
..,
.____ __
_..__
--o1-____
----______
····-····- - ....
.. __
··------·
____
..."·----·-·- _
L .. _ _ _ , _ _
experimentos
simples, que podem
ser realizados em
sala de aula ou em
casa. Representa a
parte experimental
da Física e é uma
ferramenta importante
na compreensão da
matéria estudada.
___
----:·------·~ --=--G;;;J -------
...... __..______...
L:=.::-=---
L
·---·--·-.,.,.,~------ ---..-·---·-....___
......_.
---.,.. _____ _
---------~
...
....
______
_____
----·---·-·-·
- --·__
...._.,..
__
..,______
......._
_..__..,.,,....____ ------_______
...,...,__
--------- ~~~
~
Em Experimente
~
..,
é um momento de
avaliação. Presente
em cada final de cada
Unidade estudada,
nela você encontra
uma seleção de
questões diversas,
além de questões
de vestibulares e do
Enem.
_,..
.. _ _ _ _ W'o
"'
_..__.
...
... ..
L
==~-= -------·___
_____
---------.._______
........
.__
...
-..·- ·---------___
·---__
-----------...,.
-·'-'--
- ·- - ' "
----·--------·
..·-·_
_________
----------·
-.._______
-----------------------------------------·..------·- --·--------...-------·----__..-·__
._____
______
-·..--------·-------------·
---·-·----·-------____
___
______
---·-·-----_.____
_.-..---------·
_________..__
_
------_____
_________
--------------ª---.
.
----··---··-·-·--·-·- --..-------·-·--------·
----·-·----------~-----------·- ---...
...
,.
A seção Exercícios
complementares
--------·------·
-------1~~~~=~
:=--.:.::--··-··----......-.---·.·..···
----r--
- -
hl.,
..,
--------·-·-----....
. .----__.--·-----·-----..e.-..,,__
-·----·---·______
_____
--·-·----·---~·----- --·-----·---·
.........
....
..,_
·---
A seção Lendo a Física consta de atividades que partem
da leitura de textos sobre a história da Física, muitas vezes de
textos de cientistas. Nela é possível ver a origem de conceitos
- - . . - -... _
=~7-ª~;;
-----··
-·- -----
":"\:'---- . . .
-
A seção Pare e pense
apresenta questões e situações-problema que ajudam na
reflexão inicial de cada conceito.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
UNIDADE 1 - Os caminhos da Física ......................... ... 9
Capítulo 1: Física: Ciência e tecnologia ....... ........ 10
~
1. Invenções e sociedade .....
.1 0
.... 12
Física e curiosidade ...
·······-·12
2. Ciência e representações ········-·· .. ........ -·········· ..
........ 13
Ling uagens da Ciência ......................
3. Ciência e interpretação
................ 14
4. Ciência e método....
..................... 15
Uma história sobre o méto d o da Ciéncia .................
Alguns dos métodos da Física: indução e dedução
5. Áreas de estudo da Física .......·-·-·························
6. Medições em Ciências: o Sistema Internacional
de Unidades ......................
.16
Função e gráfico da velocidade e m relação ao tempo...... . 54
Função e g ráf ico da posição e m re lação ao tempo .......... 57
4. Equação de Torricelli ........... ········- .. ······- .. .................
. 60
Experimente a Física no dia a dia Descrevendo o movime nto uniformemente variado ...
. 62
• Capítulo 5: Queda livre e lançamento
vertical -·- ...................
.................. -·-·-·- ············- ........-·-·-·63
1. Movimentos em uma dimensão sob ação
.... 18
da gravidade.._
.......... 19
2. Queda livre ....._
......... .. ······--· ....
........ 63
.... 64
3. Lançamento vertical
.67
.. 20
Física no cinema - Meteoro: o futuro está em jogo
.70
... 22
Tempo de reação....................
. 72
Exercícios complementares ...
. 73
De volta ao começo...........................
..74
Você sabia? - Conhece ndo um físico brasileiro José Leite Lopes................
3. Movimento com aceleração escalar constante..·-······ . 53
Experimente a Física no dia a dia -
············-························
....... 23
Pense além - Física e Arte ·················-·····························
Lendo a Física - Aristóteles: explicações para a
m atéria e o Universo
......... 24
Experimente a Física no dia a dia - Um modelo
explicativo para o a rco-íris .............. ······- ···············
Exercícios complementares ............-..
De volta ao começo ..... ..........................
UNIDADE 2- Cinemática escalar
~ Capítulo 2: Introdução ao estudo do
movimento ................... ························-···············
1. Conceitos básicos ...
26
27
. 28
.... 80
.30
Pense além - Nesta história, quem tem razão?
.81
3. Velocidade vetorial ...
da milha terrestre ?... ··································-··--······································· ....... 32
......... 33
Deslocamento escalar e int ervalo de tempo ...
34
Deslocamento escalar e distância percorrida .
. 35
Velocidade escala r instantânea .........................
..... 76
. 29
Você sabia7 - Qual é a origem d a milha marítima e
3. Velocidade escalar média.......·-·-··································
1. Grandezas vetoriais. .............................
Você sabia'? - Como funciona o GPS?
2. Posição e deslocamento vetorial..
... 30
2. Traíetória, deslocamento escalar e intervalo
de tempo..............
......................
UNIDADE 3 - Cinemática vetorial .
............... . 75
• Capítulo 6: Grandezas escalares e vetoriais... 76
·······- 37
................ 38
Você sabia'? -A me dida de tempo e a Física Moderna ......... 40
~ Capítulo 3: Movimento uniforme ···················-········· .41
1. Movimento com velocidade escalar constante ........... .41
.............. 81
.84
4 . Aceleração vetorial .. .............................
... 85
5. Composição de movimentos.·-·· ··
. 88
Você sabia? - Referencial e a Física Moderna .......... ·······-········· 90
• Capítulo 7: L.ançamento de projéteis....... ··-·-·-· 91
1. Movimento em duas dimensões sob ação da
gravidade ...................................... .................................
...91
2. Lançamento horizontal..._ ········-·· .......... ........
. 92
Experimente a Física no dia a dia 95
La nçando coisas....... ................... ·············-·············
3. Lançamento obliquo...................................................
.... 96
• Capítulo 8: Movimento circular -········ ........-....... 98
2. Função da posição em relação ao tempo
......... 42
1. Deslocamento angular............
....... 98
3. Gráfico da posição em relação ao tempo .....
......... 45
2. Velocidade angular......
.....100
Pense além - Transport e público eficiente
Re lação e nt re as grandezas a ngulares e lineares ........... 10 1
e acessível: solução para os problemas do trânsito
3. Movimento circular uniforme
..... 103
Experimente a Física no dia a dia -
4. Periodo e frequência ..................................................
..... 104
Descrevendo o movimento uniforme..............................·-·········· ........ 48
Pense além - Conversa de jornalista .................................... -....... 106
Capítulo 4: Movimento uniformemente
variado....
········-···········49
Pense além - As ciclovias e a mobilidade urbana ··········-······· 109
nas grandes cidad es?
~
·························-···············
....... 47
5. Transmissão do movimento circular uniforme ..·-······· 107
Experimente a Física no dia a dia -
1. Movimento variado ····················-·-
....... 49
2. Aceleração escalar média .........._ .......................
....... 50
Exercícios complementares ................................................................. 111
Você sabia'? - Como se mede a velocidade da luz? ................. 52
De volta ao começo....................................... ·····-·······················-·-······· 112
Experimente os recursos da bicicleta ........... ...................... ······-······· 110
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
UNIDADE 4 - Força e as leis de movimento
da Dinâmica...................
.............................
....... 113
• Capítulo 9: As leis de Newton e suas
aplicações................................................................. .................................... 114
1. Dinâmica: as causas do movimento ....
................. 114
2. Noção de força .................................... ........................ ........................ 114
Força resultante.....
..... 115
3. As leis de Newton..
....... 118
Princípio da inércia (1• lei de Newton)
.............. 119
Pense além - O que é o airbag e como e le pode
salvar vidas .......................................................................................................... 120
4. Campo gravitacional. ................................. .
171
Intensidade do campo gravitacional...
...... 171
5. Corpos em órbitas circulares ..........
.... 173
Corpos e m órbita .............................................................................. 173
Velocidade de escape.......... .................................
...... 174
Pense além - A Lua e as técnicas agrícolas
..... 175
Física no cinema - 2001: uma odisseia no
espaço.......................................................
..... 176
Você sabia? - A teoria da gravitação e a
...... 178
física Moderna ...........
Exercícios complementares ......
De volta ao começo.
..... 179
........................ 182
Princípio fun damental da Dinâmica (2• lei de Newton) 121
Princípio da ação e reação (31 lei de Newton) .......
Você sabia? - Velocidade e a Física Moderna..........
4. Interações entre corpos
Força peso .......
..... 123
........... 126
. 127
.................. 128
Pense além - Peso ou massa? Qual é a diferença?
.130
Você sabia? -Como as plantas crescem
com baixa gravidade?..........
..... 131
Força normal..
....... 132
..... 132
Força de tração..
Força elástica
.................. 139
.. ............. 183
• Capítulo 12: Energia e trabalho.....
............ 184
1. Conceito de energia ..
..184
2. Conceito de trabalho
Você sabia? - O que é energia eólica?
........ 186
..... 188
3. Trabalho de uma força constante .......
............. 190
Você sabia? - Como aproveitar a energia solar?..................... 193
Trabalho da força peso.....
.........................
..... 195
........... 142
Você sabia? - Como aprove itar a energia hídrica? ................ 198
........... 145
4. Trabalho de uma força variável....
................. 200
............... 147
Trabalho da força elástica ..................
..200
Plano inclinado .............
Força de atrito .........
Pense além - Conversa de arquibancada ...
UNIDADE 5 - Energia e as leis de
conservação da Dinâmica ...................
5. Teorema da energia cinética ........... ..
Lendo a Física - Aristóteles e Buridan: explicações
sobre o movimento........... .........................................
.......... 148
• Capítulo 10: Dinâmica nas trajetórias
curvas.............................................................
.................................. 150
.. 203
Pense além - Energia em movimento
6. Energia potencial ...... ..............................
............... 205
.....206
Energia potencial gravitacíonaL. ........
............206
Energia potencial e lástica ....
............... 208
1. Componentes da força resultante .......................................... 150
7. Energia mecânica .........
Você sabia? -O que é força centrifuga?.......
8. Potência ................. ................................................................................... 212
. ...... 153
2. Movimento circular nos planos horizontal
e vertical .................................................................................................. 154
Pense além - Lavando a roupa suja ..............
....... 156
Experimente a Física no dia a dia No balanço do vai e vem..................................
....... 157
......................................... 209
Rendimento
............. 214
• Capítulo 13: Impulso e conservação da
quantidade de movimento
................ 216
1. Quantidade de movimento
.. 216
2. Impulso de uma força......
• Capítulo 11: As leis da Gravitação ...........
.......158
1. Breve história sobre os modelos de mundo
....... 158
Pense além - Via Láctea
..... 158
Ptolomeu e a teoria geocêntrica.......
... 159
Copérnico e a teoria helio cêntr ica .......................................... 159
............... 219
Teorema do impulso...
.... 220
Pense além - Defendeu!
..... 221
3. Conservaçào da quantidade de movimento ................ 222
Pense além -Afinal, quem empurra quem? .....
................. 224
Você sabia? - Como Galileu foi condenado e preso
Você sabia? - Conservação da quantidade de
movimento e a Física Moderna ...........................
por defender suas convicções cientificas _ _ _ _ _ _ _ 160
Experimente a Física no dia a dia -
Lendo a Física - Copérnico e as controvérsias
Um modelo de canhão
humanas e científicas do modelo heliocêntrico ......
....... 162
2. As leis de Kepler..........................................................
........... 164
4. Colisões.....
Coeficiente de restituição .
.. 224
.. 225
..... 226
............... 226
Lei das órbitas (1• le i de Kepler)........
....... 164
Colisão e lástica ....
Le i das áreas (2• le i de Kepler) ...........
....... 165
Colisã o parcialmente e lástica...........
..................... 227
Lei dos períodos (3• lei de Kepler) ....
..... 165
Colisão ine lástica.....................................
............ 227
Você sabia? - Como os antigos calculavam a
distância até a Lua?.
3. Lei da Gravitação Universal.......................
. ... 226
Lendo a Física -A medida do movimento
....... 167
................. 168
Experimente a Física no dia a dia Simulando as fases da Lua .......................................................................... 170
e sua conservação...............................................
..... 229
Física no cinema - A ú ltima hora
....230
Exercícios complementares ......
..... 232
De volta ao começo.....................
...............234
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
UNIDADE 6 - Estática e Hidrostática....... .......235
~ Capítulo 14: Estática de um ponto material
e de um corpo extenso.....
... 236
1. O equilíbrio e a engenharia....
..... 236
2. Condição de equilíbrio de um ponto material
....... 237
Método das projeções .................. .. .......... ....
....... 237
Método da linha poligonal ..............................
.238
Pense além -Atividade física, um benefício
para a saúde ... ........................................... ............
...... 240
2. Densidade e massa específica
....................... 259
Experimente a Física no dia a dia Flutua ou afunda?
..... 261
3. Teorema de Stevin ...................................................
..... 262
O teorema de Stevin aplicado aos gase~.
Vasos comunicantes............................
........ 263
...................... 265
Pense além -Variação da pressão em função do tempo ...... 266
4. Principio de Pascal
································· ........ 267
Prensa hidráulica
.........•....... 267
Você sabia? -Arquitetura, engenharia cívil e
aspectos socioculturais .....
....... 241
Teorema de Arquimedes.................................
.. 270
3. Momento de uma força
....... 242
Pense além - Futebol a grandes a ltitudes .....
...................... 273
Momento do binário
5. Empuxo .........................
........... 243
4. Condições de equilíbrio de um corpo extenso
.... 245
Teorema das três forças.............. .............................................. 246
...... 269
Você sabia? - Em que outras situações podemos
observar o e mpuxo?
....................... ........................................ 274
Lendo a Física - Arquimedes e a coroa do rei
Pense além - O que as atividades de surfista,
ginasta e patinador têm e m comum?................................
....... 250
Experimente a Física no dia a dia Quem faz a força? ·····························-·······-·····················
Você sabia? - Como podemos aplicar a
Hidrodinâmica na circulação do sangu e?............
6. Tipos de equilíbrio de um corpo ...........
....... 251
Exercícios complementares...
Corpo apoiado sobre uma superfície ...
..... 251
Capítulo 15: Hidrostática..........................
·--·-·-·······- ...... 254
5. Alavancas
1. Pressão
..... 248
........... 254
Pense além - Calçados apropriados para a neve .................... 256
Pressão atmosférica ··················-·-······ ........................................ 257
.............. 275
..... 276
........ 277
........................................ 278
De volta ao começo..............................................................
........... 279
Referências .... ····························-···-·-··· ·······················-·················- ......... 280
Lista de siglas ························--·-······
............. 280
Sugestões para pesquisa e leitura_
..............281
Respostas.......................................................................................... .............. 282
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Há vários tipos de registros que evidenciam a curiosidade da humanidade
em entender como o mundo e seus elementos funcionam, desde monumentos
muito antigos, como o Stonehenge, até
construções atuais, como a Estação Espacial Internacional.
> • O que levou as pessoas a se organizarem e construírem tais obras?
• Você considera que um monumento
como o Stonehenge está relacionado
ao desenvolvimento científico? O que
você entende por desenvolvimento
científico?
• Para a construção da Estação Espacial
Internacional, foi necessário o esforço
(também financeiro). de diversos países. Atualmente, muitos grupos desenvolvem pesquisas nessa Estação,
inclusive o Brasil. Você considera que,
apesar de existirem tantos problemas
sociais e ambientais em diversas regiões do planeta, vale a pena investir em
Ciência e Tecnologia? Por quê?
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
,,.;[email protected],tk·t4Jt?·Ut4~ttt-a __________
Pmfessor, os comentários das questões da aberwra de Unidade encontram-se no Caderno de
orientações no final deste volume.
Se procurarmos o significado de invenção em dicionários, encontraremos
definições como descoberta, criação, entre outras. A inventividade humana é
rica e diversa, tant o que pouco podemos prever sobre os próximos 30 ou 40
anos - como iremos nos comunicar, nos locomover ou estudar. Devemos lembrar que cada invenção ou desenvolvimento tecnológico é resultado de diversas
pesquisas, isto é, de investigações sobre determinada questão ou problema que
o ser humano desejava responder ou solucionar.
Veja algumas invenções da humanidade.
O domínio do fogo
Se imaginarmos os hominídeos muito primitivos, que ainda não dominavam
o fogo, perceberemos que eles estavam sujeitos ao frio ao longo das estações
do ano, ao escuro das noites e à alimentação sem qualquer tipo de cozimento.
Até que um dia - e talvez só possamos imaginar esse dia - um homem ou uma
mulher, mais curioso(a) e ousado(a) que os outros, se atreve a pegar um galho
em chamas. Esse hominídeo leva essa tocha para a sua tribo e percebe que pode
mantê-la acesa por um tempo indefinido.
O hominídeo sente o calor do fogo, e sua sensação de frio diminui; vê sua
luz, e seu medo da escuridão da noite é abrandada pela primeira vez; aquece
um alimento muito próximo ao fogo e assim descobre que há diferença de sabor
entre o alimento cru e o cozido; surge também, com os primeiros cozinheiros, a
possibilidade de novos alimentos.
Imagine a transformação que essa descoberta trouxe para o hominídeo do
Paleolítico (2,5 milhões - 1O mil anos a.C.), que se abrigava em cavernas e que
podia finalmente ver, nas noites que se tornaram mais claras e mais quentes por
causa das chamas, a tranquilidade no olhar de seus companheiros.
Posteriormente, o fogo proporcionou o trabalho com outros materiais, como
a cerâmica (argila) e os metais (bronze, ferro, aço etc.).
Ferreiro
utilizando
fogo para
moldar
suas peças.
1O
Unidade 1 • Os caminhos da Física
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~
A roda
J
Tente imaginar sua vida sem a existência da roda. Certamente várias atividades "81
que você realizou hoje ou que ainda vai realizar dependem desse instrumento.
Ela foi considerada a mais importante das invenções e, de fato, podemos ~
"'i
encontrá-la em vários lugares e equipamentos em nosso cotidiano.
A roda está presente em veículos de transporte, pois reduz o atrito ao dími- ~
nuir a área de contato com o chão e ao girar em torno de um eixo, e também no )
interior de equipamentos, como engrenagens.
f
!
Os instrumentos de orientação e navegação
Os instrumentos de orientação que os navegadores usavam na época das
Grandes Navegações, por volta da primeira metade do século XVI, eram diferentes dos atuais.
A balestilha, por exemplo, servia para fazer observações e determinar a altura
A roda também foi utilizada para
moagem de grãos. (Na imagem, uma
roda utilizada provavelmente para a
moagem de grãos, do século XVII ou
XVIII, localizada na França).
do Sol em relação ao horizonte. Dependendo do horário em que era feita uma
medição, o valor era importante para determinar a latitude do navio.
Balestil ha,
instrumento
de observação
utilizado
nas antigas
navegações.
(Gravura do
século XV,
localizada
no Museu
da Marinha
em Lisboa,
Portugal).
A fotografia
Já imaginou um mundo sem o registro de imagens? As
câmeras digitais, tão comuns nos dias de hoje, permitem
obter uma quantidade enorme de fotog rafias e conhecer
o resultado instantaneamente. Mas nem sempre foi assim.
Duas frentes das Ciências colaboraram para a invenção
da fotografia: a Física Óptica (com a câmara escura) e a
Química (com os materiais fotossensíveis - que reagem na
presença da luz). A primeira fotografia, isto é, imagem registrada permanentemente, foi obtida pelo francês Joseph
Niépce, em 1826.
Apesar de termos enumerado somente quatro invenções, já é possível notar que todas tiveram algum impacto ou
influência na sociedade, isto é, no modo de vida das pessoas,
para melhorar a alimentação, o transporte, o bem-estar ou
mesmo o lazer.
.;
.
"
~-'S; '
:,J!
r . .,
'1
De 1826, este é considerado o primeiro registro
fotográfico, feito por Niépce em parceria com Louis Jacques
Daguerre. Na imagem, é possível distinguir, embora de forma
pouco nítida, a vista de uma janela.
Capítulo 1 • Física: Ciência e tecnologia
11
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Física e curiosidade
O ser humano sempre teve curiosidade e interesse pelos f enômenos naturais.
Toda cultura construiu um conjunto de conhecimentos para encontrar explicações
para o que acontece no Universo. A busca de um cientista pelo conhecimento
pode ser comparada à de uma criança : quando somos crianças, passamos por uma
fase em que fazemos muitas perguntas, queremos saber o porquê de tudo e at é
elaboramos algumas respostas.
A quantidade de perguntas está relacionada com o desej o de aprender sobre
a vida, a cultura e a natureza. Todas essas perguntas fizeram parte do imaginário
do ser humano desde ou talvez mesmo antes da Ant iguidade. Chineses, gregos,
árabes, romanos, maias, hindus, todos os povos indígenas, já pensaram sobre
várias delas.
Parte dessas perg untas, as que se referem à natureza, deu origem ao que
at ualmente entendemos como Ciência, principalmente quando a busca de respostas passou a seg uir a razão e a lógica.
·- .
,-,rnu1r1:1,2·
1,t12•un:s·1zta_________
A pint ura r upestre de seres
humanos caçando um leão
(e. 4000 a.C.) encont ra-se em uma
caverna no sítio arqueológico de
Tassili n'Ajjer, na A rgélia.
12
Representações gráficas sempre fizeram parte da nossa vida: em um pedaço de
papel, na t ela de um quadro, no grafite de um muro na arte de rua, na tela de um
computador, por exemplo. Começamos desde crianças a fazer representações do
nosso imaginário. Se deixarmos um lápis e uma folha de papel em branco perto
de crianças, em poucos segundos veremos que elas farão rabiscos ou desenhos.
Desde as primeiras representações do cotidiano, at é atualment e, a Ciência
e a Arte, ambas manifestações cultura is, muitas vezes caminharam lado a lado.
Pensemos nas pint uras rupestres, em uma ilustração da at ividade de caça reproduzida a seguir. Nessas pinturas estão representadas a nat ureza e a cultura
humana daquela época.
Unidade 1 • Os caminhos da Física
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Essa relação entre Arte e Ciência é tão próxima que cientistas e seu cotidiano de descobertas foram por diversas vezes retratados em desenhos, pinturas,
fotografias, esculturas, entre outros.
Por exemplo, a atividade astronômica é encontrada em representações
muito antigas. Nas imagens a segui r, podemos ver, por exemplo, cenas que
retratam formas astronômicas no Egito antigo, cerca de 3000 a.e., e nos
séculos XIII e XVI, respectivamente.
a,.. _ _..., .. ..,.. ... ...,,.,..lor.f<I_
--
-r_,,.-.. , -..,c1c,_...,.l'"I
.._......,,.._oofl..,._ ..... u..i, ...
---lollr.t
. ld-cdlplla·- ·
... ---~""'"'"'
.rr--•!Gli.f•bloPl·-"""'.......li!O.I
- - r..... - .culouodicn11',v;.n-
Representação, datada de 900-800 a.C. do deus
Ra-Horakhty, com cabeça de falcão e coroa solar
usada para abençoar seus súditos. (Em exposição
no Museu do Louvre, Paris).
~'al!p6,,"'_iau:1o1_.1odlpllo1o1.. ~
áM11tWOáuttaüi61it&11b 6ftlllt--""
Diagrama (de 1230). de um
modelo aritmético dos eclipses do
Sol e da Lua.
Representacão de um observatório
astronômico de Istambul. Nele, podemos
observar astrônomos e geógrafos.
(Gravura de 1581 localizada na Biblioteca
da Universidade em Istambul, Turquia).
Para ilustrar outras formas de representação da Ciência na Arte, particularmente da Medicina, podemos analisar as próximas três imagens. A primeira traz
o famoso Homem Vitruviano, que serviu como um índice das proporções humanas por meio da representação de Leonardo da Vinci (século XV); a segunda,
é o quadro A lição de anatomia do Dr. Tulp (século XVII), no qual o pintor
Rembrandt retrata uma aula de dissecação. Na última imagem, temos as " quase"
esculturas de Gunther von Hagens, que são forjadas com o próprio corpo humano
por meio da técnica da plastinação.
Representação da anatomia de um corpo
humano feita por Rembrandt (1632).
Representação das proporções
do corpo humano feita por
Da Vinci (1492).
Plastinação do corpo humano feita
por Von Hagens (2008).
~ Linguagens da Ciência
Ao longo do tempo a comunidade científica estabeleceu uma forma de
fazer e comunicar Ciência. Atualmente, um relatório de pesquisa ou artigo
de pesquisa em Física lança mão de equações, tabelas, gráficos, esquemas,
fotografias e simulações de computador. O próprio relatório ou artigo é um
gênero clássico da Ciência e a Matemática possui um papel fundamental no
desenvolvimento das Ciências Naturais.
Capítulo 1 • Física: Ciência e tecnologia
13
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Representação do mito caíapó
para o nascimento das estrelas
e do mundo.
Você sabe como as estrelas surgiram? Para essa
pergunta, podemos ela borar e encontrar diferentes respostas. Uma delas,
dada pe la Ciência, conta
que as estrelas se formam
por meio da condensação
de uma nuvem composta
principalmente de hidrogênio e hélio. Quando
bem comprimida e densa,
a região central dessa nuvem pode ter temperatura
suficiente para ocorrerem
reações nucleares, e a
estrela brilhar. Mas essa
é uma resposta dada pela
Ciência . Outras culturas
explicaram o mesmo
fenômeno com base em
outros referenciais. Veja
a representação acima,
de um mito caiapó, grupo
indígena que habita
a região Amazôn ica.
Olhando para a gravura,
como você acha que eles
explicaram as estrelas e o
surgimento do mundo?
Profes10r, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste
volume.
14
Quando criança, somos levados a acreditar na existência de um personagem
muito típico, um senhor de barba branca e risonho que voa em um trenó puxado
por renas: o Papai Noel. Com sua roupa vermelha e detalhes em algodão, as histórias contam que ele desce pelas chaminés das casas com um saco de presentes
e os distribui de acordo com o nosso comportamento. Tudo isso para justificar a
tradição de troca de presentes de final de ano.
Quando pequenos, geralmente acreditamos nessa história sem nos questionar sobre a veracidade ou mesmo sem procurar por outras explicações, apesar
de a maioria das casas não ter chaminé, bem como nunca termos visto um t renó
voador. Acabamos por nos sentir acalentados por essas crenças, pois elas nos
auxiliam a entender o mundo.
A cultura humana sempre foi permeada por histórias desse tipo, que acabam
por preencher a nossa curiosidade sobre uma série de fenômenos que nos cercam. O mundo dessas histórias está cheio de seres poderosos, temperamentais
e que nunca são vistos, como o coelho da Páscoa, o saci, a mula sem cabeça,
o curupira, as fadas, as bruxas, os magos, os gnomos e muitas entidades que
justificam o que acontece ao redor dos personagens e com eles.
E antes que se pense que as crianças são bobas, podemos dar uma olhada
a nossa volta, ou quem sabe na História, e perceber que essa forma de tratar o
mundo é um comportamento humano. Desde onde temos registros, os seres
humanos tentaram justificar e entender os fenômenos da natureza, como terremotos, eclipses, grandes secas ou tempestades, pelo temperamento de deuses
que deveriam ser apaziguados; hoje essas respostas são estudadas pela Ciência.
Os exemplos mais conhecidos vêm da mitologia greco-romana, na qual havia
uma infinidade de deuses que eram responsáveis pelo movimento do Sol, dos
ventos e do mar. Contudo, não nos esqueçamos de que todas as civilizações
tiveram seus mitos e suas explicações da natureza. Por exemplo, os indígenas
do Brasil possuem mitos para explicar a criação do mundo, como lendas para as
constelações da Ema e da Jararaca, animais de seu cotidiano.
O que será que diferencia a Ciência dessas histórias míticas?
Existem diversas
representações
dos deuses
greco-romanos.
Esta estátua de
Netuno é do
século XVI e
está localizada
na Praça de
Navona, em
Roma, Itália.
Unidade 1 • Os caminhos da Física
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Imagine que você e um colega estejam se preparando para um passeio de
bicicleta no parque e, ao olha r o céu com ar de dúvida, seu amigo pergunta:
" Será que vai chover?". Você olha pela janela, avalia as nuvens e com todo o
seu saber responde: "Eu acho que não!" . Nesse raciocínio e nessa resposta, por
mais incrível que isso possa pa recer, você acaba de usar um conceito chamado de
lógica, criado pelo filósofo grego Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.).
Apesar de termos falado explicitamente somente de Aristóteles, na maioria
das vezes que citamos um pensador, leve em consideração que esse indivíduo
simboliza a síntese de um conjunto de ideias de outros que refletiram ou trabalharam sobre o mesmo tema, pois o conhecimento nunca surge de forma isolada.
Aristóteles é considerado por muitos o primeiro natural ist a, pois classificou os
seres vivos de acordo com o princípio vital e a alma de cada um, separando a
natureza nos reinos mineral, vegetal e animal e o ser humano. Também estudou
os movimentos dos corpos, classificando-os em naturais e violentos. Utilizou-se
da ideia de Empédocles dos quatro elementos (terra, água, fogo e ar) para explicar a constituição dos corpos existentes no mundo sublunar (Terra), e de um
quinto elemento, def inido por Platão, chamado de éter, que seria o componente
dos corpos celestes (su pra lunar).
Aristót eles também estabeleceu regras para arbitrar sobre a verdade que
poderia ser demonstrada e recebeu o nome de lógica aristotélica. A lógica
seria um instru mento que nos daria a possibilidade de pensar e conferi r a precisão desse pensar sem nos basear na opinião de outra pessoa. Esse conj unto
de hipóteses e testes norteou todo o desenvolvimento científico até o estabelecimento das bases da Ciência moderna, associada aos traba lhos de Ga lileu
Galilei (1564-1 642).
Detalhe do afresco Escola de
Atenas.Nele é possível observar
Platão (à esquerda) e Aristóteles
(à direita).
Afresco Escola de Atenas, de Rafael Sanzio, 1509-1510 . (Localizado no Museu do Vatica no, no Vaticano, Itália).
Capítulo 1 • Física: Ciência e tecnologia
15
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Uma história sobre o método da Ciência
Acompanhe o desenrolar da situação a seguir, em que três garotos pensam
sobre a flutuação de um grão de pipoca.
Um dia frio . Você em casa resolve chamar os amigos para assistir a um
filme e conversar. No meio do filme, alguém fala em fazer pipoca. Pipoca
feita, sucos preparados e alguém deixa cair pipoca dentro do copo com suco.
Muitas risadas até que você pergunta:
- Por que a pipoca flutua?
Seu amigo da esquerda rapidamente responde:
- Porque é leve!
Seu amigo da direita argumenta:
- Um navio também flutua e ele não é leve.
Vocês se entreolham cheios de dúvidas, pensando em como podem chegar a uma conclusão.
- Vamos jogar tudo o que encontrarmos dentro de um balde com água,
daí conseguiremos decidir o que afunda e o que flutua! - diz seu amigo da
esquerda.
- Não! Basta pensar, que a gente chega a uma resposta! - diz seu amigo
da direita, e você arremata:
- Não! É melhor juntar as ideias! Ou seja, primeiro vamos pensar, separar
os objetos em grupos e depois jogar tudo na água. Somente assim poderemos separar as coisas que flutuam das que afundam! .
Nesse momento, sua irmã mais velha, que faz facu ldade de Filosofia e
que t inha ouvido toda a conversa, aparece e fala:
- Olha só! Esta discussão se parece bastante com a aula que eu t ive ontem no meu curso de Filosofia!
Vocês não haviam percebido a chegada de sua irmã Odete e se entreolharam espantados. Antes que pudessem reagir, ela continuou sua explicação:
- Jogar tudo dentro da água sem pensar pode recriar, em parte, o chamado método empírico (do grego, empeirikós, "que se guia pela experiência ")
que leva em conta somente a experiência dos sentidos.
16
Unidade 1 • Os caminhos da Física
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
O método de se buscar as respostas para as perguntas sobre a natureza, com
base somente nas construções do pensamento ou nos sentidos, era a técnica
usada pela tradição grega e pelos seguidores de Platão e Aristóteles.
Uma mudança nessa perspectiva começou a se manifestar por volta do ano
1000. Enquanto a Europa entrava em um período em que a Ciência estava ligada
à Igreja, no mundo islâmico vários pensadores conseguiram estruturar um pouco
melhor a forma de se pensar a Ciência. Podemos citar, por exemplo, o árabe lbn
al-Haytham (965-1040), que conduziu suas pesquisas de forma semelhante ao
que chamamos hoje de método científico.
Segundo ele, era necessário realizar observações e experimentações sistemáticas e controladas para se consegu ir descrever um problema. Deveria ser possível
testar as ideias sobre ele, interpretar os dados obtidos e, por meio deles, tentar
obter uma possível conclusão. Outro árabe, Abu al-Birun i (973-1048), aperfeiçoou
o procedimento compreendendo que os observadores podem inserir erros na tomada de dados e que isso poderia ser corrigido pelas repetições dos testes. Já lshaq
al-Rahwi (854-931 ) propôs a revisão coletiva dos trabalhos e experimentos, e Abu
Jabir Hayyan (721 -81 5) introduziu a noção de experimentação controlada.
Na Europa, esse mesmo moviment o no trat amento científico começou com
Roger Bacon (1214-1294). Segundo ele, deveriam ser levantadas hipóteses sobre a razão da ocorrência de determinado fenômeno, que depois deveriam ser
testadas. Os outros três pensadores que sintetizaram um método para a Ciência
foram o inglês Francis Bacon (1 561-1626), o italiano Gali leu Galilei ( 1564- 1642)
e o francês René Descartes (1596-1650). Francis Bacon formulou as bases do
método científico moderno, estabelecendo a utilização do método da indução
para que o cientista conseguisse prever a causa dos fenômenos naturais. Esse
método parte de fatos observáveis e amplamente catalogados para se chegar a
uma conclusão capaz de explicar fenômenos mais gerais.
Mas foi com Galileu que uma formulação para um método chegou a uma
versão mais objetiva . Por exemplo, ele lança mão da união da observação dos
fenômenos com a dedução de hipóteses e a elaboração de experimentações
controladas capazes de confirmar ou descartar as hipóteses. Com ele os experimentos passaram a ter medição dos resultados e a Matemática passou a ser
utilizada como forma de comparar grandezas. Em diversos estudos, obteve leis
gerais que podiam determinar o comportamento do fenômeno.
Descartes é considerado o primeiro f ilósofo moderno, com t rabalhos em diversas áreas, como Física, Matemática e, pri ncipalment e, Filosofia. Cont ribuiu
para um campo que recebe o nome de epistemologia, isto é, a maneira como
con hecemos e compreendemos algo. Prova disso, é o tema de sua principal obra,
Discurso sobre o método, em que propõe um modelo matemát ico para descrever o pensamento humano.
Apesar de citarmos soment e alguns dos pensadores, temos de ter em mente
que não existe o mais correto ou o mais errado, pois para um suposto método
cient ífico o mais importante é analisar como o pensamento é produzido e como
pode ser repensado.
Francis Bacon, gravura do século XVIII.
Galileu Galilei, quadro de 1639.
René Descartes, quadro de 1649.
Capítulo 1 • Física: Ciência e tecnologia
17
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Alguns dos métodos da Física: indução e
dedução
O indutivismo, desenvolvido pelo filósofo inglês Francis Bacon, é uma corrente filosófica apoiada na indução. Segundo essa perspectiva, a investigação
científica se processa por meio de algumas etapas, como a observação, a generalização - indução-, a formulação e a confirmação das leis.
A indução ou inferência é um raciocín io que parte do particu lar - fatos isolados - e segue em direção ao geral - formulação de leis e teorias. Para entender
melhor, analise as imagens a seguir:
Ao observarmos esta imagem, podemos afirmar que
amanhã o Sol nascerá novamente?
Observando esta fotografia, podemos afirmar que choveu?
Concluir que o Sol sempre vai nascer, dia após dia, é obter uma conclusão
por indução, visto que o fato sempre foi observado em todos os dias anteriores.
Outro exemplo menos frequente é o asfalto molhado de um bairro após a chuva; por meio dessa observação pode-se concluir, por indução, que o bairro está
molhado porque choveu. Note que nesses exemplos não podemos demonstrar
que o Sol voltará a nascer ou que choveu. A indução necessita de informações
sobre os fatos e está sujeita a um novo acontecimento ou fenômeno. Filósofos
advertem que o problema do raciocín io indutivo é ser relativo ao indivíduo, pois
crenças e experiências podem induzir a uma observação equivocada.
O dedutivismo é outra perspectiva que foi muito difundida na Ciência me: dieval e garantia rigor às conclusões. Esse método afirma que as teorias não são
..
~ verdades absolutas, mas sim verdades relativas. A Matemática usa predominan-
.s
::l temente processos dedutivos para desenvolver suas teorias.
A
--
-'-x-c
- -b-,:....-. ---·
Esta fórmula vale sempre?
18
A dedução, ao contrário da indução, parte do geral - leis, teorias, axiomas,
proposições - e chega ao particular - à explicação dos fatos . Um exemplo foi o
desenvolvimento do teorema de Pitágoras: "O quadrado da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados dos catetos " . Esse teorema foi demonstrado e pode ser
verificado para todos os triângulos ret ângulos. Caso não se aplique a um deles,
não é o teorema que é inválido, mas o elemento geométrico que não constitu i
um triângulo retâ ngulo.
Com relação à af irmação " Quando chove, todo o bairro fica molhado " , se
estiver chovendo, podemos deduzir que o bairro ficará molhado. Essa afirmação
sempre é vá lida. O raciocínio contrário, isto é, induzir, pela observação do bairro
molhado, que choveu, pode não ser vál ido, pois pode ter acontecido algo inesperado ou surpreendent e que molhou o bairro sem ter sido a chuva.
Unidad e 1 • Os caminhos da Física
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fEU4ti· fi4ii 1f. f·1· !N #é ff •-------Os estudos sobre Física desenvolvidos desde a Antiguidade estavam agregados à área do conhecimento denominada Filosofia Natural, cujo objetivo era
estudar a natureza em todos os seus aspectos. A revolução científica que acabamos de descrever, nos séculos XVI e XVII, deu início à Física como um ramo
independente da Filosofia e que passou a se restringir ao estudo dos fenômenos
naturais.
Os conhecimentos que se estruturaram até o final do século XIX foram organizados e atualmente fazem parte do que denominamos Física Clássica. Nela
teremos algumas divisões para que, por razões didáticas, possamos organizar
melhor os estudos, mas lembre-se de que a natureza não faz essa distinção e
que, portanto, um mesmo fenômeno pode ser estudado por diferentes linhas.
No final do século XIX, a Física Clássica havia chegado a uma sofisticação
muito grande, pois foi possível determinar dimensões da ordem de grandeza de
moléculas até corpos celestes. Foi possível calcular grandezas com uma precisão
nunca imaginada, e a nossa capacidade de prever fenômenos havia atingido um
patamar tão bom que se achava que nada mais poderia ser descoberto e restavam poucos detalhes teóricos a serem compreendidos.
As perguntas que os conhecimentos da Física Clássica não esclareceram foram motivadoras de pesquisas e de novas teorias que marcaram, no início do século XX, o surgimento da Física Moderna.
A Teoria da Relatividade nos lançou no
mundo de velocidades próximas à da luz,
em fenômenos em que o tempo e o espaço correm de uma maneira diferente para
cada observador. A Física Quântica descreve
o universo "do muito pequeno" e tem proposições indicando que as grandezas não
são contínuas, mas podem assumir somente determinados va lores.
Os conhecimentos da Física Moderna
favoreceram invenções que revolucionaram
a eletrônica e possibilitaram a criação de
novos caminhos para que os computadores
fossem difundidos e, de certa forma, passassem a interferir em hábitos sociais e a
modificá-los.
Os avanços tecnológicos produzidos
pela Física, ao lado de todos os benefícios, trouxeram tam bém muitos problemas
para o nosso planeta. O mau uso dos equipamentos que foram desenvolvidos tem
criado desequilíbrios ambient ais, como o
excesso de poluentes na atmosfera e a devastação da cobertura do solo. O avanço da
Ciência não é imparcial. Desenvolvida por
humanos, ela está a serviço de seus interesses e demandas.
Na imagem de 1925, Marie Curie
e sua filha Irene. Curie foi uma das
pioneiras no estudo da radioatividade.
Capítulo 1 • Física: Ciência e tecnologia
19
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
.
-
.- .
A necessidade de medir é muito antiga e fundamental no estudo da Física.
Provavelmente, foi uma das primeiras atividades matemáticas do ser humano.
Além disso, a vida em sociedade favoreceu o desenvolvimento da linguagem e da
organização para o t rabalho coletivo. Por alguma necessidade, provavelmente de
controle de produção e troca de excedente, as civilizações da Antiguidade criaram
o seu sistema de medidas. No Egito antigo, cerca de 5 mil anos antes de Cristo, por
exemplo. as medições eram consideradas fundamentais para garantir os recursos
financeiros do Estado. Isso porque, naquela época, os cobradores de impostos e
escribas controlavam o uso adequado das medidas e dos registros dos produtos
agrícolas, a base da economia egípcia.
A imagem retrata um agrimensor
delimitando terra. Detalhe no
túmulo de Mennah, escriba e
inspetor do campo do faraó
Tutmés IV (séculos XVI-XIV a.C.). ~ ~ ~~ ~ - .~ -IIIIIO:liiall'ba:ia
Ainda nesse período, merece destaque o fato de as partes do corpo humano
terem servido de referência para os primeiros padrões de medidas usados pelos
egípcios. Essa iniciativa foi apropriada por outros povos, como os romanos, que
também fizeram uso das medidas do corpo humano como padrões. Na Roma
antiga, as unidades de medidas oficiais formavam um sistema no qual eram utilizadas unidades como polegada e pé, para medida de comprimento, ou libra e
onça, para medida de massa, entre muitas outras.
Por vários séculos, o controle dos padrões de medida trazia consigo poder.
Por exemplo, na Idade Média, os senhores feuda is mantinham seus próprios
padrões de medida, e, com os mercadores da época, usavam um tipo de padrão
para a venda das mercadorias e outro para a compra de produtos agrícolas.
Durante a Idade Moderna o uso de diferentes padrões de medidas continuou
sendo praticado, tanto dentro de uma mesma nação ou país, quanto entre eles.
A estrutura política não permitia que acordos entre nações se consolidassem,
como uma mesma padronização das medidas. Porém, a variedade de padrões
acarretava imprecisões que prejudicavam as relações de comércio e a própria
administração do Estado. Somente com os movimentos sociais que desencadearam a Revolução Francesa, em 1789, foi possível criar um modelo de unidades
universal, exato e prático.
No final do século XVIII, foi criado o Sistema Métrico Decimal pela Academia
de Ciência da França, com base em unidades não arbitrárias. Inicialmente, as
três unidades básicas para as grandezas comprimento, volume e massa eram,
respectivamente, o metro, o litro e o quilograma.
20
Unidade 1 • Os caminhos da Física
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Essas unidades foram definidas do seguinte modo:
• Metro: Dentro do Sistema Métrico Decimal, a unidade de medir a grandeza comprimento foi denominada metro e defini-
da como "a décima milionésima parte da quarta parte do meridiano terrestre" (dividiu-se o comprimento do meridiano
por 40000000). Para materializar o metro, construiu-se uma barra de platina de secção retangular, com 25,3 mm de espessura e com 1 m de comprimento de lado a lado.
Essa medida materializada, datada de 1799, conhecida como o "metro do arquivo" não é mais utilizada como padrão
internacional desde a nova definição do metro feita em 1983 pela 17~ Conferência Geral de Pesos e Medidas.
• Litro: A unidade de medir a grandeza volume, no Sistema Métrico Decimal, foi chamada de litro e definida como "o volu-
me de um decímetro cúbico".
O litro permanece como uma das unidades em uso com o SI [Sistema Internacional], entretanto recomenda-se a utilização
da nova unidade de volume definida como metro cúbico.
• Quilograma: Definido para medir a grandeza massa, o quilograma passou a ser a "massa de um decímetro cúbico de
água na temperatura de maior massa especifica, ou seja, a 4,44 ºC" . Para materializá-lo foi construido um cilindro
de platina iridiada, com diâmetro e altura iguais a 39 milimetros.
Fonte: INSTITUTO DE PESOS E MEDIDAS DO ESTADO DE SÃO PAULO. Sistema Internacional de Unidades - SI. São Paulo, 2015.
Disponível em: <WWW.ipem.sp.gov.br/index.php7orition=com_content&vieW=artíde&id=346&1temid=26(l>. Acesso em: 4 fev. 2016.
,.~
11
i~
-~
:1 g"' ...
1
PR.OTOTYPE
INTERNATIONAL
METR.E
.2~
...
~
STANDARD
IMPERIAL
VARO
Acima, dois padrões diferentes de metro padrão, o primeiro, criado na França e o segundo, no
Reino Unido.
Na Convenção do Metro, realizada em 1875, muitos países, inclusive o Brasil,
aderiram a esse sistema. Mas a necessidade de um sistema mais preciso e diversificado f ez que ele fosse substitu ído pelo Sistema Internacional de Unidades
(SI), implantado em 1960 e adotado pelo Brasil em 1962.
O SI estabelece uma única unidade de medida para cada grandeza, seja ela
fundamental, seja derivada. Entende-se por grandeza fundamental ou de base
uma grandeza funcionalmente independente de outra. Uma grandeza derivada
é definida com base em uma grandeza fundamenta l.
O protótipo do quilograma padrão
é constituído de platina e irídio e foi
adotado no século XIX como modelo
padrão para o quilograma.
Observe as unidades de base do SI e seus símbolos para cada uma das grandezas fundamentais :
Algumas grandezas derivadas do SI, com suas
unidades de medida e seus símbolos:
Grandezas de base do SI
Grandezas derivadas do SI
Grandeza
Unidade
Símbolo
Grandeza
Unidade
Símbolo
comprimento
metro
m
área
metro quadrado
mi
massa
quilograma
kg
densidade
quilograma por metro cúbico
kg/m3
tempo
segundo
s
velocidade
metro por segundo
m/s
temperatura
kelvin
K
força
newton (kg · m · S-2)
N
corrente elétrica
ampere
A
pressão
pascal (kg · m- 1 • s-2 )
Pa
quantidade de matéria
mol
mol
potência
watt (kg · m2 • S-3)
w
intensidade luminosa
candeia
cd
resistência
elétrica
ohm (kg-1 • m2 • s-3 • A-2)
Q
Fonte: INMETRO. Sístema Internacional de Unidades. 8. ed. Rio de Janeiro, 2003. p. 26.
Capítulo 1 • Física : Ciência e tecnologia
21
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
Conhecendo um físico brasileiro -José Leite Lopes
Pernambucano, nascido em 1918 no Recife, José Leite Lopes foi um dos f ísicos de destaque no Brasi l, com
pesquisas na área de partículas elementares e estudos ligados às interações fundamentais da natureza. Sendo
de família com poucos recursos, Lopes conseguiu real izar seus estudos, em diferentes níveis, com o auxílio de
bolsas de estudo obtidas dentro e fora do Brasil. Em 1939, no Recife, concluiu o curso de Química Industrial
na Escola de Engenharia de Pernambuco. Incentivado por um dos seus professores, mudou-se para o Rio de
Janeiro e ingressou no curso de Física da Faculdade Nacional de Filosofia (FNFi), da Universidade do Brasil atualmente UFRJ - , onde, em 1942, se formou.
Nessa época, a Universidade de São Paulo (USP) contava com pesquisadores na área de Física sob a liderança do físico italiano Gleb Wataghin (1899-1986). A pós-graduação iniciada na USP foi concluída nos Estados
Unidos, na Universidade de Princeton, época em que participou de seminários com o célebre Albert Einstein
( 1879-1955), entre outros. Leite Lopes concluiu seu doutorado dois anos depois, contando com a orientação
de Wolfgang Pauli (1900-1958), físico austríaco que se destacou na área da Física Quântica.
Lopes retornou ao Brasil e assumiu a cadeira de professor de Física Teórica na FNFi, no Rio de Janeiro . Em
1949, com César Lattes (1924-2005) e outros físicos, fundou o Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF) e,
em 1951, criou o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). Nos anos seguintes,
sua produção científica foi muito vasta, com a publicação de trabalhos de grande importância.
Em 1967, após ter passado três anos na França, retornou ao Brasil no intuito de colaborar com o Instituto
de Física da UFRJ. Infelizmente, após dois anos de trabalho, foi cassado pelo regime militar e aposentado compulsoriamente pelo A l-5. Esse fato o obrigou a se exilar nos Estados Unidos, retornando depois à França, onde
permaneceu como professor. Só voltou ao Brasil, definitivamente, em 1986, convidado para dirigir o CBPF.
A morte de Lopes, em junho de 2006,
determinou a interrupção de uma das carreiras mais significativas na área da Física
no Brasil. Leite Lopes buscou, em diferentes momentos de sua vida, outras fontes de
saber e de expressão. Aqueles que conviveram com ele ressaltam a sua paixão e a
sua fluência ao enveredar pelos caminhos
não apenas da Ciência, mas da Educação
e da Arte.
Quando residiu no Rio de Janeiro, conviveu com pintores, como o húngaro Arpad
Szenes ( 1897-1985) e o brasileiro Carlos
Scliar (1920-2001 ), e escritores modernistas,
como Cecília Meireles (1901-1964) e Manuel
Bandeira ( 1886-1968). Esses e outros nomes
ligados à Arte tiveram influência marcante
no despertar da vocação artística de Lopes,
especialmente na pintura, que o levou a ser
admirado também como artista plástico.
José Leite Lopes (esquerda) e César Lattes, em 1987.
Atividade
Escreva
no caderno
Professor, organize a turma para que o trabalho seja feito em grupos de poucos alunos. Cada grupo deve divulgar as
infonmações para os demais alunos da turma e a divulgação pode ser feita por meio de um seminário expositNO ou da
construção de um jornal de divulgação. Comente sobre a necessidade de aprender a expor suas ideias de forma dara
e organizada, seja de forma oral, seja por meio de um te~o. Este pode ser um bom momento para trabalhar de forma
conjunta com o professor de Língua Portuguesa.
1. Nesta coleção, aprenderemos bastante sobre diversos filósofos, cientistas e físicos que contribuíram com o desenvolvimento da Ciência. Apesar de a maioria deles não ser brasileira, o país tem pesquisadores que também deram
sua contribuição. Entre em sites de universidades brasileiras e encontre o contato de algum físico. Faça uma entrevista, pode ser pelo correio eletrônico, telefone ou pessoalmente, para saber sobre seu trabalho de pesquisa ou
sobre seu trajeto acadêmico.
22
Unidade 1 • Os caminhos da Física
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· ·
Exerc1c1os
propost 05
Escreva
no caderno
1. (Enem/MEC) Analise os documentos a seguir.
Documento 1
O cômp u to d.;1 Idade da Terra
Da Cria(,'<l() até o Dilúvio._ _ _ _ _ ! 656 · ~
Do Oil<MO até Abraão
292
Do Na5cimenlo de Abraão
até o Êxodo cio Egito._ _ _ __ .503
Do b(()do até. a Construção
do Templo_ _ _ _ _ _ _,481
414
Do Cati<,eiro até o Nascimento
[lo Templo até o Cativeiro
de Je,-us Cristo_ _ __ __,:614
Do •a,e;mento de Jesus Cristo
atéhoje_ _ _ _ _ _ _ _i 560
Idade da Tem,
5 520 anos
Document o li
Avalia-se em cerca de quatro e
meio bilhões de anos a idade da
Terra, pela comparação entre a
abundância relativa de diferentes
isótopos de urânio com suas
diferentes meias-vidas radiativas.
x c) religiosa no primeiro e científica no segundo.
d) religiosa no primeiro e econômica no segundo.
e) matemática no primeiro e algébrica no segundo.
2. No dia a dia, às vezes as palavras hipótese e teo -
ria são usadas indevidamente, deixando-nos a falsa
ideia de terem o mesmo significado. Para os pesquisadores, hipótese é uma suposição que necessita ser
avaliada e comprovada, enquanto teoria científica é a
representação formal de informações, inclusive hipóteses, já avaliadas e comprovadas.
Para adquirirem caráter científico, as hipóteses precisam ser testadas de tal forma que seja possível considerá-las verdadeiras ou não.
De acordo com esse texto, avalie se as hipóteses
seguintes são científicas ou não. Justifique sua resposta. A hipótese I não pode ser testada; logo, não é cientifica.
As hipóteses li e Ili podem ser testadas e com rovadas; logo, são áentificas.
l. O maior cientista do século XVll oi Isaac Newton.
Considerando os dois documentos, podemos afirmar
que a natureza do pensamento que permite a datação
da Terra é de natureza:
a) científica no primeiro e mágica no segundo.
b) social no primeiro e política no segundo.
Il. Segundo o biólogo Charles Darwin, as manifestações de vida na Terra foram se estruturando, ao
longo dos tempos, das formas mais rudimentares
para as mais complexas.
m. A matéria é constituída por átomos; porém, estes
não são as menores partículas que a constituem.
Pense além
Física e Arte
A Física e a Arte são construções históricas e sociais da cultura humana. Em geral, essas duas manifestações
são apresentadas de maneira muito distante uma da outra: a Física, com seu caráter lógico, racional e objetivo;
e a Arte, abstrata e subjetiva .
Respon da
Escreva
no caderno
Não colocamos t/tulos nas imagens para não direcionar a leitura do aluno. !>abendo que não existe um animal mamlfero
de oito patas, é possr11el que o autor da pintura estivesse tentando repiesentar o bisão em movimento. Pode-se comparar
a pintura rupestre com as imagens sequenáais do fotógrafo inglês Eadweaid Muybridge (1830-1904), que ajudaram a
entender o movimento das pernas do bisã.o. ili artistas tentavam representar o movimento.
1. Analise obras artísticas, como a pintura e a fotografia representadas abaixo, sob a perspectiva da Física. Para cada uma das
sequências a seguir, descreva a sua interpretação da obra fazendo referência ao fenômeno físico que ela pode retratar.
Pintura rupestre de um animal, localizada na caverna de
Chaveret, no sul da França.
Fotograf ias consecutivas de um animal feitas pelo fotógrafo inglês
Eadweard Muybridge entre os anos de 1884 e 1887.
Capítulo 1 • Física: Ciência e tecnologia
23
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Aristóteles: explicações para a matéria e o Universo
Nesta atividade, você e seus colegas terão a oportunidade de conhecer uma das primeiras teorias sobre a
constituição dos corpos e a estrutura do Universo. O texto
do livro Breve história da Ciência Moderna aborda as
ideias de Aristóteles, filósofo grego que conhecemos neste
capítulo.
Após a leitura do texto, reúna-se com seus colegas para
discutirem e responderem às questões a seguir.
Uma teoria da matéria
Para explicar a constituição dos corpos existentes na
Terra, Aristóteles utilizou-se em parte da teoria dos quatro elementos primordiais, terra, água, ar e fogo, criados
pelo pré-socrático Empédocles no século V a.e . Esses
quatro elementos formariam todos os seres do chamado
mundo sublunar, ou seja, o mundo terrestre. Um outro
elemento, o éter, a quinta-essência, comporia os corpos
do mundo celeste. Os quatro elementos primordiais eram
aspectos de uma substância única, a matéria primeira que
possuía diferentes formas em função das qualidades que a
afet avam. A matéria estava, portanto, submetida à ação
de um princípio que se encontrava fora dela , mas sem est ar dela separado.
Títu lo : Breve história da ciência moderna
Vol. 1: Convergência de saberes (Idade Média)
Autores: Marco Braga, Andreia Guerra e
José Claudio Reis
Editora: Jorge Zahar
Para Aristóteles, os seres se const ituíam porque a matéria pura, ao receber as formas, organizava-se
nas quatro qualidades do sensível (seco, úmido, frio e quente), nos aspectos da forma do espaço (alto,
baixo, longe, perto, pesado, leve etc.) e nos quatro aspectos da forma do t empo (novo, velho, agora,
depois). Essa matéria qualificada foi chamada de matéria segunda, ou seja, o princípio de identificação
dos seres. A forma era geral e universal, o diferencial era a matéria na qual ela se inseria. Com essa
concepção sobre os seres, Aristóteles negou a existência de uma matéria pura sem qualquer forma a
ela vinculada, assim como defendeu que a forma pura só poderia estar relacionada ao Primeiro Motor
Imóvel, Deus.
As quatro qualidades, seco, úmido, frio e quente, apareceriam sempre nos elementos primordiais em
dupla, sendo que os pares seco-úmido e frio-quente estavam excluídos, simplesmente porque qualidades contrárias não podem se agregar. Dentro dessa lógica, Aristóteles argumentou que, quando a matéria era afetada pela dupla frio-seco, ela se tomava a terra. A água surgia a partir da dupla frio-úmido; o
ar, do par quente-úmido; e o fogo, do quente-seco.
Esses quatro elementos - que por diferentes combinações originavam todos os corpos existentes no
mundo sublunar - poderiam se transformar, desde que as duas qualidades formadoras do par original
não desaparecessem simultaneamente. Para além dessa condição, todas as transformações eram possíveis. Assim, do par calor-úrnido podiam-se obter apenas os pares calor-seco e frio-úmido.
24
Unidade 1 • Os caminhos da Física
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
O cosmos aristotélico era composto de várias esferas concêntricas. A Terra, considerada imóvel, ocupava o centro desse conjunto. Ao redor da Terra encontravam-se os quatro elementos, cada qual em seu
lugar natural. Nesse conjunto, o mundo sublunar, tudo possuía princípio, meio e fim. Além dessa região,
no mundo supralunar se encontravam os corpos celestes formados pela quinta-essência totalmente incorruptível, ou seja, não sujeita a transformações. Nesse ambiente todos os corpos celestes estavam
presos a esferas cristalinas. A primeira era a da Lua, e a última, a das estrelas fixas . O Universo dessa
forma concebido era finito, limitado e eterno, sem uma origem. Além do limite das estrelas fixas não
havia nada, nem mesmo lugar, visto que, para Aristóteles, um lugar não poderia se apresentar separado
de um corpo.
sr S T EMcA TTOLE, McAICVM.
A imagem (de 1653) ilustra
o Universo formado por
esferas concêntricas,
tal como concebido
por Aristóteles. A Terra
ocupava, imóvel, o centro do
cosmos, e os corpos celestes
estavam no mundo supralunar,
separados e totalmente
incomunicáveis em relação aos
corpos terrenos, uma vez que não
estavam sujeitos a transformações.
Fonte: BRAGA, Marco; GUERRA, Andreia; REIS, José Claudio. Breve história da dência moderna. Vot 1:
Convergência de sai>eres (Idade Média). Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 2003. p. 21-24.
Atividades
Escreva
no caderno
Professor, os comentârios dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.
Como você deve ter percebido pelo texto, as ideias de Aristóteles sobre a composição da matéria e da
estrutura do Universo são bem diferentes das teorias que atualmente são aceitas pelos cientistas. As explicações dos fenômenos, teorias e conceitos não são prontas e definitivas, mas, ao contrário, são dinâmicas e
se desenvolvem pelo trabalho de vários pesquisadores. Sobre as ideias de Aristóteles e seu próprio conhecimento sobre os mesmos temas, responda às questões a seguir.
1. O que você sabe sobre a composição da matéria e a organização do Universo? Escreva livremente sobre sua
própria compreensão, tentando se lembrar como aprendeu sobre elas ou faça uma pesquisa para conhecer
as teorias mais aceitas pelos cientistas nos dias de hoje.
2. Qual a compreensão de Aristóteles sobre a composição da matéria e sobre a estrutura do Universo?
3. Qual a sua opinião sobre o modelo de Aristóteles: ele pode ser considerado plausível, isto é, aceitável, admissível? Você consegue elaborar um argumento que aponte alguma incoerência nele?
4. Em grupo, elaborem uma argumentação que discuta a seguinte afirmação: "De certa maneira, a ideia dos
quatro elementos é utilizada até hoje".
Capítulo 1 • Física: Ciência e tecnologia
25
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Experimente a Física no dia a dia
Atenção
o experimento
somente na presença
faÇil
do professor.
Um modelo explicativo para o arco-íris
Ao longo dos séculos os seres humanos desenvolveram formas de "pensar" para explicar suas observações. Dentre
essas formas, um suposto método foi consagrado por ser rigoroso no teste das explicações e por obter bons resultados.
O arco-íris, por exemplo, é um fenômeno luminoso que sempre apareceu (e aparece!) ocasionalmente no céu;
porém, a explicação científica para o fenômeno data de 1637, elaborada por Descartes.
Você também pode propor explicações para esse fenômeno. Nesta atividade, propomos que você elabore uma
explicação para a ocorrência do arco-íris, apontando as variáveis relevantes e como estas se relacionam para a formação dos arcos coloridos.
Durante a elaboração de sua explicação, procure meios para testá-la e anote as etapas e os resultados que conseguir.
Passo a passo
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.
• Observação do fenômeno
Lembre-se de quando viu um arco-íris e descreva
em quais circunstâncias isso aconteceu. Tente recordar aspectos do clima naquele dia.
• Registro e organização dos dados obtidos durante a observação
Reúna-se em grupo e verifiquem as semelhanças
e diferenças entre os dados que cada integrante
apontou sobre a formação do arco-íris. Por exemplo, o Sol estava visível na hora em que o arco-íris
se formou? Suas cores tinham uma ordem?
Discutam a melhor forma para o grupo organizar
os dados obtidos. Por exemplo, pode ser por meio
de esquema, tabela, gráfico, lista, entre outros.
• Análise e identificação dos aspectos que representam as regularidades do fenômeno
Verifique, com base nos dados obtidos, quais foram
Atividades
os principais fatores para a formação do arco-íris,
isto é, os fatores que estão presentes em todos os
relatos.
•
Elaboração das hipóteses que explicam as regularidades
Esse passo é importante para comprovar a conclusão do grupo a respeito da formação do arco-íris.
Quais são as variáveis relevantes e como estas se
relacionam?
• Verificação das hipóteses por meio de experimentos
Para averiguar a adequação de sua explicação, é
importante testar, simular, as condições que provocam o aparecimento do arco-íris. Experimente
reproduzir essas condições com o auxílio de uma
mangueira. Faça isso no jardim ou de tal forma
que a água possa ser reaproveitada.
Escreva
no caderno
1. Primeira tentativa: Use uma mangueira com esguicho para que a água se esparrame em gotas. Dirija o jato de
água de frente para o Sol e para cima.
2. Segunda tentativa: Inverta a posição do jato de água, ou seja, agora dirija-o ao contrário do Sol, mas ainda para
cima. Verifique em qual das situações você conseguiu reproduzir o arco-íris. Compare as condições necessárias
para a formação do arco-íris na natureza e na simulação, e verifique se a hipótese formulada por você na etapa
anterior pode ser considerada válida.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
comp1ementa res
Escreva
no cadern
1. Algumas lendas gregas buscavam explicação para os
fenômenos da natureza, como a origem do Universo
e, segundo elas, as causas desses fenômenos estavam
relacionadas aos deuses. Isso não impediu que várias
palavras utilizadas hoje pela Ciência tenham as suas
origens ligadas aos deuses gregos. Veja o caso do
deus grego Cronos, considerado a divindade do tem-
po, que deu origem à expressão cronômetro, usada
para identificar o instrumento que serve para medir
o tempo.
a) Procure resgatar uma lenda de antigas culturas que
esteja relacionada à explicação de algum fenômeno
da natureza. Use como fonte de pesquisa a internet,
revistas, enciclopédias ou livros de mitos e lendas.
•
Resposta pessoa 1.
b) E comum às pessoas mais velhas o relato de lendas, geralmente passadas de geração para geração,
para explicar fenômenos naturais como os raios, os
trovões, a chuva. Transcreva uma delas de memória
ou entreviste uma pessoa que conheça alguma dessas
lendas. Resposta pessoal.
o sentido, desprezarei os seus ataques: as verdades
matemáticas não devem ser julgadas senão por matemáticos.
(COPÉRNICO, N. De Revo/utionibus orbium cae/estium)
Aqueles que se entregam à prática sem ciência
são como o navegador que embarca em um navio sem
leme nem bússola. Sempre a prática deve fundamentar-se em boa teoria. Antes de fazer de um caso uma
regra geral, experimente-o duas ou três vezes e verifique se as experiências produzem os mesmos efeitos.
Nenhuma investigação humana pode se considerar
verdadeira ciência se não passa por demonstrações
matemáticas.
(VINCI, Leonardo da. Carnets.)
O aspecto a ser ressaltado em ambos os textos para
exemplificar o racionalismo moderno é:
a) a fé como guia das descobertas.
b) o senso crítico para se chegar a Deus.
2. Em uma estante há seis livros de Física. Cada livro
aborda apenas um dos seguintes assuntos: Mecânica,
Termodinâmica, Óptica, Ondulatória, Eletromagnetismo e Física Moderna.
Para cada pergunta abaixo, em qual dos livros você
poderia encontrar uma resposta (se achar necessário,
faça uma pesquisa para responder)?
a) Como funciona um ferro elétrico? Eletromagnetismo.
b) Como funciona um termômetro? Termodinâmica.
c) Como as lentes corrigem a miopia? óptica
d) Por que os corpos caem? Mecânica.
e) Como funciona a luz do laser? física Moderna.
f) Como se forma o eco? Ondulatória.
3. (Enem/MEC)
Depois de longas investigações, convenci-me por
fim de que o Sol é uma estrela fixa rodeada de planetas que giram em volta dela e de que ela é o centro
e a chama. Que, além dos planetas principais, há outros de segunda ordem que circulam primeiro como
satélites em redor dos planetas principais e com estes
em redor do Sol. Não duvido de que os matemáticos
sejam da minha opinião, se quiserem dar-se ao trabalho de tomar conhecimento, não superficialmente mas
duma maneira aprofundada, das demonstrações que
darei nesta obra. Se alguns homens ligeiros e ignorantes quiserem cometer contra mim o abuso de invocar
alguns passos da escritura (sagrada), a que torçam
c) a limitação da ciência pelos princípios bíblicos.
X d) a
importância da experiência e da observação.
e) o princípio da autoridade e da tradição.
4. (Enem/ MEC) Se compararmos a idade do planeta
Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos
( 4,5 X 109 anos), com a de uma pessoa de 45 anos, então, quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu com o
homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca
de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há
menos de um minuto percebeu o ruído das máquinas
e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa
do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta!
Na teoria do Big Bang, o Universo surgiu há cerca de
15 bilhões de anos, a partir da explosão e expansão
de uma densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do Universo há cerca de
a) 100 anos.
x b) 150 anos.
c) 1 000 anos.
d) 1 500 anos.
e) 2 000 anos.
Capítulo 1 • Física: Ciência e tecnologia
27
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
A primeira pergunta da abertura da Unidade, sobre o que levou as pessoas a se organizarem
e construírem Stonehenge e a Estação Espacial Internacional, talvez não tenha resposta, ou, pelo
menos, não uma única resposta.
Alguns atribuem a busca de conhecimento a uma necessidade intrínseca do ser humano de
prover explicações sobre o mundo. Se as primeiras respostas evocavam entidades míticas, com o
passar do tempo foi se desenhando um "modo de pensar e agir" que, consagrado por obter bons
resultados, foi considerado como um método a ser seguido por todos os cientistas. Esse ficou
conhecido como método científico.
A sequência de ações descritas a seguir resume, em linhas gerais, um método que possibi lita
a organização, o desenvolvimento e a aplicação de novos conhecimentos:
•
Identificar uma situação que indique um problema.
•
Elaborar uma suposta resolução para esse problema (hi pótese).
•
Fazer previsões de possíveis ocorrências, caso a hipótese esteja certa.
•
Verificar por meio de testes se as hipóteses feitas se confirmam .
•
Formular uma lei com base na hipótese, nas previsões sobre as possíveis ocorrências e nos
resultados obtidos com os testes.
Como vimos, a busca por um método fundamentou-se no racionalismo e na experimentação e
teve como principais colaboradores o filósofo inglês Francis Bacon e o físico italiano Galileu Galilei.
Reconhecidamente, esse método tem papel fundamental nos avanços da Ciência, porém, não
se pode negar que alguns desses avanços ocorreram sem que essa sequência de ações tenha sido
seguida. Veremos, em estudos posteriores deste curso, que os métodos também são questionados e por isso são objeto de estudos de vários pesquisadores.
Além do método utilizado, a cred ibilidade do avanço científico também está relacionada às
ações do cientista (observação, investigação e experimentação), ampa radas na sensatez de lidar
com os possíveis erros e acertos.
O desenvolvimento espacial é um dos resultados da evolução dos conhecimentos científicos.
Diversos nomes contribuíram para a conquista espacial, como Isaac Newton (1642-1727), pela
sistematização do conhecimento teórico; Konstantin Tsiolkovsky (1857-1935), cientista russo pioneiro no estudo dos foguetes; e o engenheiro alemão Wernher von Braun (1 912-1977), um dos
mais proeminentes cientistas na área de desenvolvimento de foguetes; entre outros.
As viagens espaciais trouxeram grandes resultados para a sociedade, por exemplo, as telecomunicações de longa distância, o monitoramento de queimadas e desmatamentos, as previsões
climáticas e o GPS. Na
busca pela manutenção da vida no espaço,
descobrimos alimentos
enriquecidos, filtros de
água, produção de imagens médicas, como a
tomografia, e até as câmeras digitais, como as
do telescópio Hubble.
Os astronautas Scott Kelly
(esquerda) e Terry Virts (direita)
realizando experimentos à
bordo da Estação Espacial
Internacional, em 2015.
28
Unidade 1 • Os caminhos da Física
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Analisar a queda de um objeto pode
ser um estímulo à nossa imaginação.
> • Você saberia avaliar como varia a velocidade de uma bola de basquete imediatamente após ela passar pelo aro 7
• O que você acha que acontece com a
velocidade da bola em cada segundo:
aumenta, diminui ou permanece com
o mesmo valor?
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
1. Conceitos básicos
ProfessOI; os comentários das questões da abertura de
Unidade encontram-se no Caderno de orientações no
final deste \IOlume.
~
Quando podemos dizer que um corpo está em repouso ou em movimento?
Acompanhe e analise a situação a seguir.
Uma mulher está sentada no banco de um t rem em movimento, olhan do
apenas pa ra o banco ao seu lado. Do lado de fora, parado em uma estação, um
homem observa esse trem passar vagarosamente.
Menino em skate. É importante
usar todos os equipamentos
de segurança na prática deste
esporte.
Quem está em movimento: o
menino, o skate ou ambos?
O que é movimento?
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume. Aproveite a oportunidade para
comentar com alunos que a prática de espor·
tes deve ser feita em lugares apropriados, por
exemplo, andar de skate em ruas e avenidas
é muito perigoso. De acordo com o artigo 59
do Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA),
a União deve facilitar recursos aos municlpios
para a criação de espaços destinados à progra·
mações culturais, esportivas e de lazer, voltadas
principalmente às crianças e aos jovens.
Na sua opinião, o banco está em repouso ou em movimento? Que cond ições
determinam o estado de movimento ou de repouso?
Se considerarmos que "o banco está em movimento", o ponto de referência
adotado será o homem. Portanto, o banco está se movimentando em relação a ele.
Dentro do vagão, a mulher vê o banco em repouso, pois sua posição permanece a mesma com o passar do tempo.
Assim, determinado corpo pode estar, ao mesmo tempo, em repouso em relação a um observador e em movimento em relação a outro.
No exemplo descrito, a mulher no trem e o homem na estação são pontos
de referência representando referenciais. Só é possível definir o estado de
movimento ou de repouso de um corpo estabelecendo um referencial.
~
Um corpo está em repouso quando, em determinado intervalo de tempo, sua
posição não varia em relação a determinado referencial, e está em movimento
quando sua posição varia em relação a esse referencial.
Quando estudamos os movimentos, mencionamos sempre um corpo genérico
- que pode ser uma bicicleta deslocando-se em uma estrada, um meteorito aproximando-se da Terra, uma pedra caindo de um prédio - sem especificar detalhes
sobre o tamanho desse corpo ou seja, o consideramos um ponto material.
A expressão ponto material é utilizada quando as dimensões do corpo são
muito pequenas se comparadas às dimensões em que ocorre o fenômeno analisado. Nesse caso, o corpo representa um ponto material e suas dimensões são
desprezadas sem, contudo, desconsiderarmos a sua massa.
30
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Pense neste exemplo: um carro de 4 metros de comprimento é considerado um ponto material quando se movimenta percorrendo uma estrada de mais de 300 quilômetros de comprimento. Mas esse mesmo carro deverá ter
suas dimensões consideradas quando passar por um viaduto de 32 metros de comprimento, pois nesse caso seu
comprimento é significativo em relação ao viaduto. Por isso, chamamos o carro de corpo extenso.
!ii
i1t
j
1
5
"'~
V
~
~
j
...li
-,:
Um carro trafegando em uma ampla estrada pode ser considerado um
ponto m aterial.
Um carro percorrendo um pequeno trecho de um
viaduto pode ser considerado um corpo extenso.
Considerar um corpo como ponto material ou extenso é uma simplificação da real idade e corresponde a um
método muito utilizado na Física para simplificar um problema. Sempre que não for especificado, consideraremos
como referencial um ponto fixo na Terra.
Exercícios resolvidos
""
1 É possível dizer que o Sol está em repouso ou em movimento?
Resolução
Se considerarmos o ponto de referência O na Terra, o Sol estará em movimento. Se o ponto de referência for o
próprio Sol, ele estará em repouso, pois todo referencial está em repouso em relação a si mesmo.
Representação das posições da Terra e do Sol (imagens sem escala, sem proporção e em cores-fantasia).
Um caminhão medindo 12 m de comprimento será transportado por um navio de 80 m de comprimento do porto
de Santos (SP) até o porto de Vitória CES). Considere a distância aproximada entre os dois portos de 600 milhas
marítimas (aproximadamente 965,6 km) e analise se o caminhão pode ser considerado um ponto material ou um
corpo extenso.
Resolução
Se compararmos as dimensões do caminhão com as do navio, não poderemos considerá-lo ponto material, mas
sim um corpo externo; se compararmos as dimensões do caminhão com a distância entre os dois portos, ele será
considerado um ponto material, pois suas dimensões são desprezíveis em relação ao trajeto.
Capítulo 2 • Introdução ao estudo do movim ento
31
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
1. A expressão ponto material geralmente é utilizada
em quais condições?
Quando as dimensões do corpo em est\Jdo são
muito pequenas se comparadas às rumensôes em que ocorre o fenômeno estudado.
4. Um poste sobre a calçada está em repouso ou em
movimento em relação:
a) à calçada? Em repouso.
2. Um estudante está dentro de um ônibus, que encon-
tra-se parado em frente a sua escola, e ao lado há
outro ônibus escolar também parado. Em um dado
momento, o estudante tem a impressão de estar em
movimento. Podemos afirmar que o ônibus onde o
estudante se encontra está se deslocando em relação
ao solo? Não, pode acontecer de o outto õnitius estar em movimento em
·
b) a um carro que passa pela rua? Em movimento.
c)
5. Um viajante A trafega em seu automóvel, por uma
estrada retilínea, quando é ultrapassado por outro
automóvel, que trafega na mesma direção e sentido,
ocupado por um viajante B. Nesse instante, ambos
são observados por um guarda rodoviário parado em
um acostamento na rodovia.
Reflita sobre o conceito de referencial e, se necessário,
corrija as frases abaixo, tornando-as verdadeiras.
relação ao solo. Oestudante vê o deslocamento em relação ao seu
ônibus, ficando com a impressão de _g~e ele se move.
3. Um velejador, ao contornar uma ilha com seu barco,
percebe a presença de um farol.
~:::=~llílllll~ :.=. .:2-=G:~:=~S!~~
ao Sol? Em movimento.
a) Para o viajante A, o guarda rodoviário está em
repouso. Não. está em movimento.
Velejador
observando
farol do
barco.
b)O viajante B observa que seu automóvel está em
movimento em relação ao automóvel do viajante A.
Verdadeira.
c) Para o guarda rodoviário, o viajante A está em repouso em relação ao viajante B. Pa~ o guarda_rodo11iârio. ambos
É possível dizer que o farol se movimenta em relação
ao barco? Justifique_Sim, basta considerar o barco como relerenóal.
estao em movimento.
Você sabia?
Qual é a origem da milha marítima e da milha terrestre?
A milha marítima foi obtida com base em critérios científicos, considerando o formato da Terra aproximadamente esférico. Se a linha circu lar que representa qualquer trajetória contornando a Terra tem 360º, e se o
comprimento aproximado da linha do equador é 40000 quilômetros, então:
perímetro
360º
= 40000 km
360°
>
111 111 k
'
2
m
Um grau equivale a 60 minutos; portanto, o comprimento correspondente a um arco de 1 minuto é aproximadamente 1,852 km (111, 111 -;- 60). Esse valor corresponde a uma milha marítima: 1 852 metros = 1 milha
marítima. A milha terrestre foi obtida com base nos passos dos soldados do exército romano. Naquela época,
eram utilizados como medida 1 000 passos largos de um centurião,
Brasil - Político
que correspondem a = 1609,34 metros.
Responda
Escreva
nocademo
Observe o mapa ao lado. Ele apresenta uma escala de 1 : 700, isto
é, cada segmento de reta de 1 cm medido no mapa corresponde a
uma distância real de 700 km.
1. Se um automóvel percorresse uma estrada hipotética, em linha
reta, da cidade de Chuí (RS) a Belém (PA), qual seria a distância
percorrida em milhas terrestres? 2300.2 milhas terrestJes
2. Se um barco percorresse uma rota imaginária, em linha reta, de
Florianópolis (SC) ao Rio de Janeiro (RJ), qual seria a distância
em milhas marítimas? 408,1 milhas maritimas
Fonte: ATLAS geográfico escolar.
Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
32
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Quando caminhamos na areia ou sobre um solo encharcado onde se forma
lama, deixamos nossas pegadas ou rastros demarcando o cam inho que fizemos. Esse percurso é chamado de trajetória, que representa a linha do percurso descrito por um móvel quando consideramos todas as posições sucessivas
ocupadas por ele, em determinado intervalo de tempo.
Suponha a seguinte situação: uma pessoa planando em uma
asa-delta mantém-se por segundos voando horizontalmente
com velocidade constante, quando seu relógio desprende-se
do pulso e cai. Vamos traçar a trajetória do relógio após
ele se desprender do pulso.
Para analisar a trajetória do relógio, vamos adotar dois referenciais: um no solo (S) e outro na
asa-delta (A).
Referencial no solo (S)
Pessoa planando em asa-delta.
Referencial na asa-delta (A)
.-- ------ . J.,. ; - - -~
1
--- --- -1
-._
1
•
1
1
1
1
1
' '
Para um observador parado no solo, a trajetória
descrita pelo relógio (na imagem, dado pelo ponto
vermelho) é praticamente um arco de parábola.
•
'
...... 1
Para a pessoa na asa-delta, a trajetória descrita
pelo relógio é praticamente retilínea e vertical.
Para localizar um móvel em sua trajetória (como um carro), devemos em primeiro lugar orientá-la. Em seguida, escolher um de seus pontos como origem,
geralmente representada por O, que é o referencial em relação ao qual estabelecemos a posição do móvel. Essa posição s é determinada por um valor
algébrico, cujo módulo representa a distância entre a posição ocupada pelo
móvel e a origem.
-10 km
Nesta representação, a posição do carro é dada pelo valor algébrico sobre a trajetória orientada
que representa a distância entre ele e a origem, no caso, s = 10 km.
Note que a posição não indica a distância percorrida pelo carro, mas apenas
sua localização em relação à origem. É comum o uso da palavra "espaço" no
lugar de "posição".
Capítulo 2 • Introdução ao estudo do movimento
33
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Deslocamento escalar e intervalo de tempo
Para chegarmos ao conceito de deslocamento escalar, vamos tomar como base uma situação prática. Uma
atleta, em fase de t rein ament o, repete vários testes em uma pista retilínea.
Nesse caso, as placas colocadas à margem da pista representam uma escala numérica com origem no zero.
O sentido crescente dessa escala representa o sentido da trajetória.
No primeiro teste, ao ser disparado o cronômetro, no instante inicial ti = O, a atlet a está junto à placa que
registra 1 000 m . Nesse inst ante, a posição escalar inicial da atleta é si = 1 000 m.
Ao t ravar o cronômetro no instante fina l t = 1 800 s, a atleta está passando pela placa que registra 7 000 m .
Nesse instante, a posição escalar final da atleta é s
= 7 000 m.
3
!
u
.2
'O
2
S:7000m
t::18005
Na ilustração, as
distâncias consideradas
estão fora de escala.
"'
l
1
A ideia de variação da posição ou deslocamento escalar, simbolizada por ás, representa a diferença entre
as posições esca lares ocupadas pela atleta nos instantes final e inicial:
as
=s-
s1
= 7 ooo - 1 ooo => as = 6 ooo m
Nesse primeiro teste, a atleta se movimenta no mesmo sentido daquele adotado para a trajetória. Quando isso ocorre, dizemos que o movimento é progressivo. Observe que nessa situação o sinal do deslocamento é posit ivo (ás > O).
A ideia de intervalo de tempo, simbolizada por át, representa a diferença entre os instantes final e inicial,
registrados pelo cronômetro:
M = t - t 1 = 1800 - O=> at = 1 800 s
O instante inicial registra o momento em que se iniciou a medição do tempo, e o instante final é aquele em
que se interrompeu a medição do tempo, e não necessariamente quando o movimento é interrompido. Isso nos
possibilita limitar o estudo do movimento a um intervalo de tem po determinado.
Após um descanso, a atleta faz outro teste, dessa vez correndo no sentido contrário ao adotado para a trajetória.
No segundo teste, ao ser acionado o cronômetro (ti = O), a atleta está diante da placa que registra 5 000 m. Nesse
instante, sua posição escalar inicial é 5; = 5 000 m.
Quando o cronômetro é travado, no instante final t = 900 s, ela está diante da placa que registra 2 000 m .
Nesse instante, a posição escalar final és = 2 000 m.
-
sentido adotado
para a trajetória
Na ilustração, as
distâncias consideradas
estão fora de escala.
Portanto, seu deslocamento escalar é:
as = s - s.1
= 2 000 -
5 000 => Lls
= - 3 000 m
Esse deslocamento ocorre no intervalo de tempo:
M
=t-
t; => M
= 900
- O = 900 s
Nesse segundo teste, a atleta movimenta-se no sentido contrário àquele adotado para a trajetória. Quando isso
ocorre, dizemos que o movimento é retrógrado. Nesse caso, o sinal do deslocamento é negativo (Lls < O).
34
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Deslocamento escalar e distância percorrida
Em ambos os testes, a trajetória é retilínea e não houve mudança de sentido do movimento durante o intervalo
de tempo estudado. Portanto, podemos considerar que o deslocamento escalar e a distância percorrida coincidem em módulo.
O deslocamento escalar depende somente das posições escalares (inicial e final) ocupadas pelo móvel, e a distância percorrida depende do comprimento da trajetória descrita por ele.
Em um terceiro teste, a atleta corre uma parte do percurso no mesmo sentido adotado para a t rajetória, e a outra parte
no sentido contrário, sem interromper a corrida.
Nesse caso, ao ser acionado o cronômetro (\ = O), a atleta está diante da placa que registra 3 000 m. Em
seguida, ela corre, no mesmo sentido da t rajetória, até a placa que registra 6 000 m. Sem interromper a corrida,
retorna sobre a mesma trajetória, correndo no sentido contrário ao adotado até a placa que marca 4000 m. Nesse
instante, o cronômetro é t ravado e marca t = 1 600 s.
Portanto, o deslocamento escalar é:
Ãs
=s-
s1 = 4 000 - 3 000 = ) t..s
= 1 000 m
sentido adotado _
para a trajetória
•
deslocamento
escalar
I
N
12
..
1
V
o
~
"'
A distância percorrida d pela atleta depende do comprimento da trajetória descrita por ela. Para determiná-la,
devemos considerar todos os deslocamentos escalares de sentido único, em valores absolutos, realizados pela
atleta.
Deslocamento escalar Ãs2 :
Deslocamento escalar t..s 1 :
t..s1 = 6000 - 3000
~
t..s 1 = +3000 m
O sinal posit ivo indica que o deslocamento e o
sentido da trajetória coincidem.
Logo, a distância percorrida é: d
= 3 000
+ 2 000 ~ d
t..s1 = 4000
- 6000 ~
t..s1 = - 2 000 m
O sinal negativo indica que o deslocamento e o
sentido da trajetória não coincidem.
= 5 000 m
Repare que nesse teste os valores obtidos para o deslocamento esca lar e para a distância percorrida são
distintos.
Capítulo 2 • Introdução ao estudo do movim ento
35
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercícios resolvidos
.,
3 Quatro cidades, localizadas ao longo de uma rodovia,
estão representadas por A, B, C e D na figura. Para o
sentido positivo indicado, determine as posições de
A, B, C e D, considerando como origem da trajetória a
cidadeB.
e
D
B
+
f'"~
A
_J_ºu
,
Observe as informações referentes ao movimento de
um caminhão em uma rodovia.
: ,40km ;
t (h)
12
13
14
15
16
17
18
s (km)
120
170
200
170
150
100
o
Km
Determine o deslocamento escalar e a distância percorrida desse caminhão entre t 1 = 12 h e t2 = 15 h.
Suponha que, em cada intervalo de 1 h, ele se desloca
sempre no mesmo sentido.
Resolução
Como a distância de A à origem (cidade B) é 60 km
e A vem antes de B no sentido positivo da trajetória,
temos: s,\ = -60 km
A cidade B é a própria origem, logo: s8 = O
Como a distância de C à origem (cidade B) é 80 km e
C vem depois de B no sentido positivo da trajetória,
temos: se= +80 km
A distância de D à origem é:
80km + 40km = 120km
Observando que D vem depois de B no sentido positivo da trajetória: s0 = + 120 km
Resolução
Deslocamento escalar:
; =
12 h ;;;;;;> s1
=
120 km
t2
15 h ;;;;;;> S2
=
170 km
=
6s = s2 - s1 = 170 - 120 ;;;;;;> 6s = 50 km
Distância percorrida:
d
=
150 1 + 1301
+ 1-301
• ·
Exerc1c1os
propost os
'...
o
t
e
3m
A
.....' .. ...
Sm
2m
Encontre:
.. ...
B
4m
.. .
lC
Cm)
b) o deslocamento de um móvel que parte do ponto C
e chega ao ponto B. 11 m
c) o deslocamento de um móvel que parte do ponto A
e chega ao ponto D. - 10 m
d) o tipo de movimento do móvel que parte do ponto
C e chega ao ponto B, se a duração foi de 22 segundos. Movimento progressivo
e) o tipo de movimento do móvel que parte do ponto
A e chega ao ponto D, se gastou 5 segundos para per-
correr o trecho. Movimento retrógrado
7. Explique a influência do referencial na trajetória des.
crua por um corpo.
36
8. Sobre a trajetória orientada na figura abaixo, estão
representados os pontos M, N, O e P.
M
o
f
1
I
o
p +
1
40km :
1
j
x.=5m;x,=9m; x.,= - 2m; x,,= - 5m
a) as posições dos pontos A , B, C e D.
.
110 km
Escreva
no caderno
6. Na figura abaixo estão representados os pontos A, B,
C eD sobre o eixo orientadox, sendo ponto O, origem
do movimento.
D
=
A trajetÓlia de um corpo depende do referenàal
adotado, ou seja, será descrita de forma diferente
se !or observada de referenàais distintos.
Determine as posições correspondentes a esses pontos, considerando como origem dessa trajetória:
a) o ponto M; s. = O; s,. = 60 km; s0 = 140 km;;,= 180 km
b) o ponto médio de OP. \, = -1601::m; s. = - IOOkm;
s0 = - 20km; s, = 20km
9. Jonas encontra-se na praia às 6 horas e 30 minutos,
observando o Sol que surge na linha do horizonte. Ele
e o amigo Alexandre, às 12 horas, resolvem discutir o
percurso do Sol no horizonte.
a) Há quanto tempo os amigos estão na praia?~0h~u~os
b)Qual a trajetória descrita pelo Sol em relação a
Jonas e Alexandre? Um quarto de ciramferência.
c) Qual a distância percorrida pelo Sol no intervalo
de tempo do enunciado? e=~
4
d) Essa distância foi efetivamente percorrida pelo Sol?
Não, o deslocamento é aparente.
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
10. Durante uma partida de futebol, ao perceber que se-
III. Se a distância entre o goleiro e a bola permanecer
constante, podemos concluir que um está em repouso em relação ao outro.
ria impossível alcançar uma bola vinda da cobrança
de um pênalti, o goleiro (com muita sorte) permaneceu estático no centro do gol.
Após ter sido chutada, a bola seguiu em linha reta,
bateu no travessão logo acima da cabeça do goleiro,
sofreu um desvio, e continuou em linha reta até cair
nas mãos dele.
IV. Podemos dizer que o goleiro encontra-se em movimento com relação à bola. As afirmações li e IV estão corretas.
I. O deslocamento escalar e a distância percorrida
pela bola coincidem em módulo.
11 . Uma moça vai fazer uma viagem de 80 km até acidade onde será comemorado o aniversário de sua mãe.
Ao ligar o carro, ela nota que o combustível está na
reserva. Para chegar ao posto de gasolina mais próximo, ela precisa percorrer 15 km no sentido contrário
ao de sua viagem.
II. A distância percorrida pela bola depende do comprimento da trajetória descrita por ela, ou seja, a soma
da distância percorrida pela bola até bater no travessão com a distância até seguir para as mãos do goleiro.
Se, depois de abastecer o carro, a moça seguir em
linha reta até a cidade de sua mãe, qual será o deslocamento escalar e a distância percorrida desde
sua casa? 80km; 110km
Analise essa situação e avalie quais são as afirmações
corretas:
Já estudamos as variações ocorridas com a posição escalar. Falta saber com que
rapidez ocorrem essas variações. Observe que, entre os registros da posição escalar
inicial s; e da posição escalar final s, decorreu um intervalo de tempo 6.t
Pare e pense
= t - t;.
Se dividirmos a variação da posição do móvel âs pelo intervalo de tempo ât
decorrido, teremos a velocidade escalar média vm.
~s
M
s- s
V=-= - '
m
t-t
1
Cavalo e cachorro correndo.
Portanto, quantitativamente, a velocidade escalar média de um móvel pode
ser determinada pelo quociente da variação da sua posição escalar âs pelo intervalo de tempo .õ.t considerado.
Como decorrência da equação anterior, podemos deduzir que a unidade de
medida da velocidade corresponde à razão entre a unidade de medida da posição
e a unidade de medida do tempo. Uma unidade muito comum para a medida da
Quem é mais rápido:
o cavalo ou o cachorro?
Como se mede a rapidez de
um movimento?
Professor. os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
velocidade é o km/h, usada nos velocímetros dos automóveis.
No SI, a posição é medida em metros (m) e o tempo, em segundos (s):
unidade de medida de velocidade
-4
m/s
Há situações nas quais precisamos adequar as unidades de medida de km/h
para m/s ou vice-versa . Se 1 km
1 km/h
=
= 1 000 m e 1 h = 3 600 s, então:
1000
3 600 m/s
ou
1 km/h
=
1
3 1 6 m/s
1
Exemplos: 27 km/h = 27 · 3,6 = 7,5 m/s
40 m/s
= 40 · 3,6 km/h = 144 km/h
Capítulo 2 • Introdução ao estudo do movimento
37
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Velocidade escalar instantânea
Considere um ciclista que percorreu um trecho de uma estrada com velocidade escalar média de 60 km/h; isso
significa que em 1 hora ele se deslocou 60 quilômetros. Entretanto, essa afirmação não garante que a velocidade
tenha permanecido a mesma em todos os instantes. Para mais detalhes sobre a velocidade, seria necessário reduzir,
o máximo possível, o intervalo de tempo ât. Esse raciocínio nos leva à determinação da velocidade escalar em cada
instante, ou seja, à velocidade escalar instantânea (v). Quando consideramos a variação da posição escalar em um
intervalo de tempo que tende a um valor muito pequeno, o valor da velocidade escalar média se aproxima do valor
da velocidade escalar instantânea.
ÀS
v = v = m
M
(para valores de M infinitivamente pequenos)
Ciclistas percorrendo uma
das etapas do torneio
mundial na Suíça em 2015.
Exercício resolvido
...
5 Dois automóveis A e B partem ao mesmo tempo de Guarujá para São Sebastião, ambas cidades litorâneas de São
Paulo, distantes aproximadamente 120 lan uma da outra. Nos 80 km iniciais da estrada, a velocidade escalar média
de A foi v 1A = 100 lan/h. Nos 40 lan finais, por ser um trecho de serra e com muitas curvas, A desenvolveu velocidade escalar média v 11A = 25 km/h. O automóvel B desenvolveu, durante todo o trajeto, velocidade escalar média
v 8 = 60km/h.
a) Determine qual deles chegou primeiro e com quantos minutos de diferença.
b) Qual a velocidade escalar média do automóvel A durante todo o percurso?
Resolução
a) Calculando os intervalos de tempo em cada trecho do movimento do automóvelA:
ÀSIA
80
= - - = } 100= =}Àt =08h
1A
'
Àt
Àt
1A
IA
ÀSllA
40
V = - - =} 25 = ==> Àt = 1 6 h
11A
UA
Lit
Àt
'
liA
,IA
Calculando o tempo total de movimento do automóvelA:
V
1A
M A= Àt1 +
A
LiS.1
=} âtA= 0,8 + 1,6 ==> ÀtA= 2,4 h = 144 min
A
Calculando o tempo gasto pelo automóvel em B:
ÀS8
120
v = =} 60 = - - ==>À~= 2 h = 120 min
D
Àt8
Li~
Como Lit8 < LitA, o automóvel B chegou antes, e a diferença de tempo T é:
T = ÀtA- À~ ==> T = 144 -120 ==> T = 24min
b) O automóvel A teve um deslocamento total LisA= 120 lan em um intervalo de tempo ÀtiA= 2,4 h. Logo, suavelocidade média vA, em todo o percurso, é:
ÀSA
120
V = - - =} V = - - =} V = 50 km/h
A LitA
A
2,4
A
38
Unidade 2 • Cinemática escalai
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
A ideia de velocidade está relacionada à rapidez com CJle ocorrem as variações das
12. Explique o sümificado de velocidade e dê um exemplo.
!)OS1Ções escalares ãe um COIJ)O; Por exemplo, a velocidade de um nadador depende
ê:lo tempo gasto por ele para tr da PQSição 1niaal até a llQSjção final.
13. Durante uma corrida de carros de Fórmula 1, o piloto
da escuderia ganhadora percorreu a primeira volta da
pista com velocidade média de 310 km/h. O que podemos dizer sobre as velocidades máxima e mínima
desse carro? ~rovavelmente a máxima é superiOf a310 km/h ea mínima
e 1nfer1or a essa wloodade.
14. Qual é a velocidade escalar média, em km/h, de uma
pessoa que percorre, a pé, 1200 m em 20 min?
3,6kmih
15. Um carro em movimento em urna estrada passa pelo
marco quilométrico 218 às 10h15 e pelo marco 236
às 10h30. Determine a velocidade escalar média em
km/h no decorrer desse trecho. 72 km/h
16. (Enem/MEC) Uma empresa de transportes precisa
efetuar a entrega de uma encomenda o mais breve
possível. Para tanto, a equipe de logística analisa o
trajeto desde a empresa até o local da entrega. Ela
verifica que o trajeto apresenta dois trechos de distâncias diferentes e velocidades máximas permitidas
diferentes. No primeiro trecho, a velocidade máxima
permitida é de 80 km/h e a distância a ser percorrida é de 80 km. No segundo trecho, cujo comprimento vale 60 km, a velocidade máxima permitida é
120 km/h. Supondo que as condições de trânsito sejam favoráveis para que o veículo da empresa ande
continuamente na velocidade máxima permitida,
qual será o tempo necessário, em horas, para a realização da entrega?
a)0,7
b) 1,4
x c) 1,5
e) 3,0
d)2,0
17. Em terreno montanhoso, um ciclista tenta manter a
velocidade escalar média de vrub. = 6 km/h, na subida, e de vd•sc. = 24 km/h, na descida. Sabendo que
o percurso de subida e o de descida têm a mesma
extensão e que, após a subida, o retorno é imediato,
determine a velocidade média do ciclista em todo o
percurso, considerando que as trajetórias de subida e
descida sejam distintas. 9,6 knvh
20. A prática de exercícios físicos traz benefícios que se
manifestam em vários aspectos do organismo. Favorece os músculos, fortalece ossos e articulações, por
exemplo. Com a sequência dessas atividades também
são observados perda de peso e da porcentagem de
gordura corporal, diminuição do colesterol total e
aumento do HDL colesterol (o dito "colesterol bom")
e, ainda, a redução da pressão arterial. No caso das
crianças e jovens, a atividade física favorece o melhor
convívio social, o desempenho escolar e o desenvolvimento intelectual. A escolha da atividade física adequada deve levar em conta que a pessoa sinta prazer
em realizá-la e passe a praticá-la com regularidade.
Analisando essas informações, um estudante resolveu mudar seus hábitos e passou a caminhar de sua
casa até a escola, todos os dias. Considere que o passo
do jovem tem comprimento médio de 0,5 me que ele
dá um passo a cada segundo. Responda às questões:
a) Qual a velocidade com que esse jovem caminha?
0,5 m/s
b) Qual a distância entre a casa e a escola do jovem, se
o tempo gasto no percurso é 40 minutos?
1200m
21 . Sob estado de emergência desde sexta-feira (16) devido às cheias do rio Acre e de seus afluentes, a capital
Rio Branco teve até agora prejuízo de R$ 12,4 milhões
na produção agrária[ ...), 12440 pessoas estão desalojadas, 100 mil casas foram inundadas e 100 equipes de
auxílio prestam assistência nas áreas críticas.
Segundo medição registrada nesta terça, o Rio Acre
alcançou o nível de 17,38 metros, mais de três metros acima do ponto de transbordamento. [... ] O governo federal enviou ao estado equipes do Samu,
Corpo de Bombeiros e da Força Nacional. (... ]
Fonte: Gl. Disponível em: <http://g1.globo.com/bra.sil/noticia/2012102/
rio-branco-estima-prejuizo-de-r-12-milhoes-por-causa-de-cheias.html>.
Ace5so em: 25 nov. 2015.
Considere que urna "ambulancha" do Sarou, ao prestar socorro a uma cidade ribeirinha, percorreu metade da trajetória com velocidade escalar média de
30 km/h e a outra metade com velocidade escalar
média de 70 lan/h. Calcule, para toda a trajetória, a
velocidade escalar média. 42 km/h
18. (UFPE) Um caminhão se desloca com velocidade
constante de 144 km/h. Suponha que o motorista cochile durante 1,0 s. Qual o espaço, em metros, percorrido pelo caminhão nesse intervalo de tempo se ele
não colidir com algum obstáculo? 40 m
19. Um caramujo desloca-se em linha reta no plano
horizontal de um piso a uma velocidade média de
1,5 mm/s, enquanto um bicho-preguiça se desloca em
linha reta subindo em uma árvore a uma velocidade
média de 2 m/min. Qual desses animais é mais lento?
Ambulancha, embarcação de resgate e
assistência do Samu.
Caramujo.
Capítulo 2 • Introdução ao estudo do movimento
39
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
A medida de tempo e a Física Moderna
No mundo físico, grandezas como dimensões, distâncías ou medidas do tempo sempre desafiaram o ser
humano. Os registros históricos indicam que as formas de medir foram evoluindo de acordo com as necessidades socíais de cada época. Resgatando alguns desses reg istros é possível observar que, na impossibilidade
de contar com os relógios mecânicos, o ser humano buscava nos recursos naturais (Sol, água, areia), alternativas para medi-lo. São exemplos desses usos, o relóg io de Sol - denominado pelos gregos de gnômon; o de
água - denominado clepsidra; e o de areia - denominado ampulheta . Todos esses antecederam o advento
dos relógios mecânico, como o de quartzo, e os mais precisos, como o atômico.
Imagem interna do maior
acelerador de partículas do
mundo, o LHC {Large Hadron
Collider - Grande Colisor de
Hádrons}, construído a mais de
100 m de profundidade entre as
fronteiras da França e da Suíça
{imagem de 2012). O formato do
acelerador é semelhante a um
anel de 27 km de comprimento.
Nele. partfculas são aceleradas de
modo a colidirem com velocidade
muito próxima à da luz.
Atualmente, contando com todos esses recursos técnicos, é possível afirmar que o tempo medido por duas
pessoas, para um determinado evento, sempre será o mesmo? Será possível que duas ou mais pessoas medindo o mesmo evento obtenham resultados distintos?
Se quisermos responder às questões anteriores com base nos conhecimentos desenvolvidos pela Física Clássica, diremos que o t empo é considerado absoluto, ou seja, duas ou mais pessoas, ao medirem o intervalo de
tempo citado, obterão os mesmos valores. Isso equivale dizer que o t ranscorrer do tempo é uniforme e que ele
não depende das condições em que a medida foi real izada.
No início do século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Relatividade (que você estudará no Volume
3 desta coleção), essas perguntas passam a receber novas respostas, que não estão de acordo com o proposto pela Física Clássica. Segundo a Teoria da Relatividade, duas ou mais pessoas, ao med irem o intervalo de
tempo de um determinado evento, poderão obter valores diferentes. O transcorrer do tempo dependerá das
condições em que estão as pessoas que fazem a medição, mais especificamente da situação em que está o
referencíal onde a pessoa que faz a medição se encontra, parado ou em movimento. Caso essa pessoa esteja
em um referencial em alta velocídade, o tempo registrado transcorrerá mais lent amente se comparado com o
registrado por um relógio que esteja em um referencial em repouso.
Contudo, essa ideia se aplica a velocidades próximas da velocidade da luz, como ocorre com as partícu las
atômicas em condições experimentais nos aceleradores de partículas. Portanto, se considerarmos as situações
que presencíamos no nosso cotidiano, veremos que as velocídades desenvolvidas são muito inferiores à velocidade da luz.
Responda
Escreva
no caderno
1. Por que, nas situações do nosso cotidiano, não conseguimos perceber tais efeitos na medição do tempo? Pararespondera essa pergunta, pesquise a velocidade das naves espaciais e compare-a com a velocidade da luz no vácuo.
A nave Voyage 1 é a mais rápida já construida pelo homem e pode chegar a 16,9 km/s, muito inferior à velocidade da luz no vácuo, que ê de 3 · 10" m/s.
40
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
A partir de agora daremos início ao estudo dos movimentos, e uma das primeiras tarefas será analisá-los e classificá-los, o que permite aprender sobre
eles, porque damos atenção aos seus detalhes, e compreender as características
que os definem.
Olhando para um trecho plano e retilíneo de uma rodovia como a da fotografia
abaixo, podemos ver a linha tracejada, que é feita de forma que cada tracejado
tenha o mesmo tamanho, com a mesma distância entre eles. Como esses traços
são marcados no asfalto? Qual seria o procedimento para obter essa regularidade?
Na f igura podemos ver pelo
menos dois movimentos.
O movimento da bola
sendo lançada para cima,
e, se prestarmos atenção, o
movimento dos ponteiros do
relógio de pulso do jogador.
Quais são as semelhanças e
diferenças entre esses dois
movimentos?
Marcações em uma estrada em Calama, Chile (2013).
Após o recapeamento asfáltico da rodovia, o veículo encarregado de pintar
as faixas, em um trecho retilíneo da estrada, percorreu distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Nesse caso, a velocidade escalar permaneceu sempre
com o mesmo valor, ou seja, constante, sem aumentar ou diminuir. A esse tipo
de movimento nomeamos movimento uniforme (MU).
Outro exemplo são as extremidades dos ponteiros de um relógio : elas descrevem uma trajetória curvilínea com movimento uniforme.
~ No movimento uniforme, o móvel percorre distâncias iguais
Professor, os comi'ntários dessa seção encontram-se no Caderno de Clfientações no final deste
volume.
..............
,\,f-Cl:"~
>/tq,~
I
I
I 1
11112
-10
-9
-=-..
1
~"
1''·, "'~\
', '
a
em intervalos de tempo iguais. Em razão disso, a velocidade
escalar instantânea é constante, não nula e igual à velocidade escalar média em qualquer intervalo de tempo.
v
= vm (constante e não nula)
No relógio analógico os ponteiros
possuem velocidade constante.
Capítulo 3 • Movimento uniforme
41
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Professor, optamos p01 desenvolver o estudo sobre a variação da posição em função do tempo por meio do gráfico da velocidade.
Mosue ediscuta com os alunos que, pelo lato de a velocidade ser constante no movimento uniforme, o gráfico da velocidade pelo
tempo é uma reta paralela ao eixo hor i·
zontll 1. oo seja. com o passar do tempo, a
velocidade não se altera.
a
Em uma pist a automobilística o ci rcuito é composto de trechos curvos e retilíneos. Considere um trecho retilíneo da pista no qual um carro percorreu distân'-' cias iguais em intervalos de tempo iguais.
Podemos dizer que, nesse t recho da trajetória, a velocidade escalar permane""
ceu constante no intervalo de tempo estudado. Nesse caso, é possível representar a velocidade em função do tempo [v = f(t)J em um gráfico:
Í
J
v (m/s)
.."
,-,.r
t'.
~
·"g
;B
- + - - - i - - - - i - - - - i i - - - - - - i - - -•
o
t (s)
A área definida entre a curva e o eixo do tempo será:
Vista aérea do Autódromo José
Carlos Pace (mais conhecido como
Autódromo de lnterlagos, São Paulo,
imagem de 2009). Na imagem é
possível observar o t recho retilíneo.
área = 50 · 5
G)
Note que, ao efetuar esse cálculo, representamos matematicamente um conceito físico que já conhecemos:
v= às =>às=v·M
Llt
a)
Comparando as equações G) e (V, concluímos que:
área = 50 · 5 } ~ às = 250 m
às = V · àt
Portanto, no movimento uniforme, a área compreendida entre o segmento
de reta que representa o gráfico da velocidade em f unção do tempo e o eixo horizontal é numericamente igual ao deslocamento escalar, no intervalo de tempo
considerado. Resumi ndo:
A notação ~ significa numericamente igual.
Para obter a equação que representa a posição de um móvel em função do
tempo no MU, lembramos que: às = v · .&t.
Daí vem:
s - si = v(t - \) ~
~ s = 5; + v(t - t;)
Considerando o instante inicial ti = O, temos:
Função do 12 grau: chama-se
função polinomial do 1<> grau
f: IR ~
, sendo f(x)
ax + b,
com a, b E IR e a "-F O.
=
42
s=s.+ vt
1
Assim, a posição de um móvel em relação ao tempo pode ser representada
por uma função do 111 grau, s = f (t).
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercícios resolvidos
1 Em algumas cidades brasileiras, implementou-se a construção de ciclovias para disciplinar o trânsito, diminuir a
poluição, aumentar a segurança e estimular a prática do
ciclismo. Em uma delas, técnicos passaram a estudar a velocidade com a qual os ciclistas se deslocam. Vamos considerar as anotações feitas aleatoriamente e utilizá-las como
exemplos
Em um trecho retilíneo da ciclovia, no instante t = Os, dois
ciclistas Cum homem H e uma mulher M) passaram pela
mesma posição, com velocidades constantes vM= 8 m/s
e vH = 6 m/s. Considerando que ambos se deslocam na
mesma direção e no mesmo sentido, determine a distância que os separa após 8 s.
As ciclovias são iniciativas públicas q ue facilitam e diversificam
a mobilidade urbana. Na imagem, a ciclovia da Avenida
Marechal Castelo Branco em Teresina. Piauí (201 5).
Resolução
Considerando que ambos se deslocam em MU, após 8 s, temos:
Para a mulher {
Para o homem {
t.s = V t.t
M
M
t.sM= 8 · 8 ::::) t.sM= 64 m
t.s =
V
t.t
H H
t.sH= 6 · 8 ::::) t.sH= 48 m
A distância que os separa é: d
=
64 m - 48 m
=
16 m
Considere a mesma situação do exercício anterior. Em outro trecho retilíneo da ciclovia, as posições ocupadas
por outro casal de ciclistas foram representadas pelas equações horárias sM= 40 + 8t (mulher) e sH = 50 + 4t
(homem), descritas em relação à mesma origem e ao mesmo instante inicial. Sabendo que a unidade de medida das
posições é o metro e a do tempo é o segundo, responda:
a) Qual a posição ocupada pelo homem e pela mulher no instante t = Oe qual a distância entre eles nesse instante?
b) É possível ocorrer o encontro deles? Caso seja possível, em que instante isso ocorre?
Resolução
Sabendo que a trajetória é retilínea e o movimento
é uniforme, temos:
a) No instante t = Oa posição da mulher (sM) e a do
homem (sH) serão:
s., = 40m
5tt = SOm
SM= 40 + 8t ::::) SM= 40 + 8 · 0 ::::) SM = 40 ffi
SH= 50 + 4t::::) SH= 50 + 4 · 0::::) SH= 50 m
A distância entre o homem e a mulher é
50- 40 = 10m
b) Se a mulher parte da posição inicial slM = 40 m
e o homem, siH = 50 m, e ambos se deslocam no
Representação da trajetória realizada pelo ciclistas.
mesmo sentido e direção, o encontro é possível,
pois a mulher, mesmo estando atrás, tem velocidade maior que a do homem. Então, o encontro se dará quando eles
ocuparem a mesma posição, ou seja:
SM= SH::::) 40 + 8t = 50 + 4t::::) 4t = 10 ::::) t = 2,5 S
Portanto, o encontro se dará 2,5 s após o início da contagem do tempo.
Capítulo 3 • Movimento uniforme
43
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
1. Um ponto material se movimenta sobre uma trajetória
retilínea, e as diferentes posições ocupadas por ele sobre essa trajetória são dadas pela equação: s = 20 - 2t
(SI). De acordo com essa informação, determine:
a) a posição do ponto material no instante 5 s;
6. Dois cachorros, Te R, deslocam-se em sentidos opostos. Observe a figura e responda.
10m
b) o deslocamento do ponto material entre os instantes 2 s e 6 s; - 8 m
T (sr = 2
+ lt)
R (s.= s0 + vt)
.,g,
g,
<(
c) o instante em que o ponto material passa pela origem d as posições. 10 s
2. Uma gota de água cai verticalmente no interior de
um béquer que contém óleo, conforme representação
a seguir. Analisando a tabela que relaciona os espaços
e os correspondentes instantes desse movimento, escreva a função horária dos espaços para o movimento
da gota. s = 21
s (on)
t (s)
o
o
2
1
4
2
6
3
3. (UFMG) Dois carros, A e B, movem-se numa estra-
da retilínea com velocidade constante, vA= 20 m/s
e v8 = 18 m/s, respectivamente. O carro A está, inicialmente, 500 m atrás do carro B. Quanto tempo o
carro A levará para alcançar o carro B? 250 s
~"
a) Qual a velocidade de T? E sua posição inicial?
1 m/s;2m
b) Classifique o movimento dos cachorros (progressivo ou retrógrado). T progressivo; R retrógrado.
s,.=S - 11
c) Escreva a equação horária dos espaços para R.
d)Sabendo que os cachorros se encontrarão na posição 3,5 m, calcule o instante de encontro. 1,5 s
7. (Fuvest-SP) Em um prédio de 20 andares (além do térreo) , o elevador leva 36 s para ir do térreo ao 20° andar. Uma pessoa do andar X chama o elevador, que
está inicialmente no térreo, e 39,6 s após a chamada a pessoa atinge o andar térreo. Se não houvesse
parada intermediária, e o tempo de abertura da porta do elevador e o de entrada e saída do passageiro
fossem desprezíveis, poderíamos dizer que o andar
Xéo:
a)9
d)l8
4. (UFRN) Um trem parte de Natal com destino a Reci-
X b) 11
e) 19
fe às 6 horas, com velocidade constante de 60 km/h.
Uma hora depois, parte de Natal, numa linha paralela, um segundo trem, mantendo a velocidade constante de 75 km/ h. Sabendo que a distância Natal-Recife é 300 km, podemos afirmar que:
c) 16
a) o 22 trem ultrapassará o l!! a 70 km do Recife.
b) o 2" trem ultrapassará o l " a 80 km do Recife.
c) o 2!! trem ultrapassará o l 2 a 100 km do Recife.
d) o 2" trem ultrapassará o 1" a 120 km do Recife.
x e) os dois trens chegarão a Recife ao mesmo tempo.
S. Uma pessoa exercita-se em uma esteira rolante ho-
rizontal manual. Ela andou 20 minutos com velocidade constante de 5,4 km/h e consumiu 200 quilocalorias.
a) Qual a distância percorrida por essa pessoa se estivesse correndo na rua? 1800 m
b) Qual seu deslocamento em relação ao solo? o
44
8. Durante um teste para avaliar o consumo de combus-
tível, são usados dois veículos, A e B, que se deslocam sobre a mesma estrada retilínea com velocidades
constantes vAe v8 , respectivamente. No instante em
que o cronômetro é acionado, o veículo A passa pelo
ponto M dessa estrada, enquanto o veículo B passa
pelo ponto N, distante 20 km do ponto M. Nessas
condições, determine a quantidade de combustível
consumida pelos veículos para chegarem, juntos, ao
ponto P. Considere vA = 3v8 e saiba que cada veículo consome, em média, um litro de combustível para
percorrer 8 km. o veíruloAconsome 3,75 litrns.
o veírulo B consome 1,25 htro.
A
B
~~. . . . . . . - - - - - - ~
~ .,......_---~· ~
~
20km
N
P
~
o
Unidad e 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Anteriormente, identificamos a função que dá a posição de um móvel em
função do tempo no movimento uniforme. Trata-se de uma equação s = f(t)
do 1º grau em t . Graficamente a representação de uma função polinomial do
1º grau é feita por uma reta.
Se o móvel se desloca no mesmo sentido adotado para a trajetória, temos
o gráfico 1.
Note que podemos aplicar a relação trigonométrica da tangente no triângu lo do gráfico ao lado.
N às
Dessa forma: tg = - .
àt
Nesse caso, a tangente do ângulo e equivale à razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo, que, como vimos, é a definição de velocidade.
s(m)
v>O
s = s;+ vt
__j }"'
,, .. L _
1
e
r~
tg
ª = At =
N ÁS
J
t (s)
Gráfico 1
V
s (m)
v< O
Se o móvel se desloca no sentido contrário àquele adotado para a trajetória, temos o gráfico 2.
Nesse caso, tg
e=
-tg 'Y
N
àS
= àt
tg
a= - tg'Y
com~ < O.
Portanto, numericamente, temos:
o
t {s)
s = s;+ vt
tg 0
N
ô.S
= - tg 'Y = - M = -v
Gráfico 2
Exercício resolvido
3 Um pedestre teve seu movimento registrad o no gráfico. Suas posições estão representadas no eixo vertical e o tempo está representado no eixo horizontal.
Com base no gráfico, avalie as afirmações:
a) A velocidade média do pedestre, no intervalo de O s a 7 s, foi
nula, portanto ele permaneceu em repouso.
b) A velocidade do pedestre aumentou no intervalo de O s a 3 s.
c) A velocidade do pedestre diminuiu no intervalo de tempo
6 s a 7 s.
Resolução
s Cm)
20
15
10
5
o
1
2
4
5
6
7
t (s)
a) A velocidade escalar média, no intervalo de tempo O s a 7 s, é dada por:
As
s - s.
0- 0
v = - = -' = - - ~ v =Om/s
m
Ó.t
t - ti
7- O
m
A velocidade escalar média nesse intervalo de tempo é, realmente, nula. No entanto, isso não significa que o corredor permaneceu em repouso. Nesse caso, o valor obtido é zero porque o corredor ocupava as mesmas posições nos
instantes inicial e final. Portanto, a afirmação é falsa.
b)De Os a 3 s, o gráfico é uma função crescente do 111 grau, indicando um movimento progressivo, de velocidade
escalar constante e posições crescentes. Portanto, a afirmação é falsa.
c) De 6 s a 7 s, o gráfico é uma função decrescente do l II grau, indicando um movimento retrógrado, de velocidade
escalar constante e posições decrescentes. Portanto, a afirmação é falsa.
Capítulo 3 • Movimento uniforme
45
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
9. No trecho mais longo e retilíneo de uma maratona, um
atleta, estrategicamente, procura manter sua velocidade constante. O treinador faz anotações sobre as posições ocupadas pelo atleta, em diferentes instantes:
Com base nessas anotações:
a) Construa o gráfico da posição em função do tempo.
Resposta no final do !Mo.
b) Construa o gráfico da velocidade escalar em hm·
ção do tempo. Resposta no final do livro.
c) Descreva a equação que representa a posição em
funç.ã o do tempo. s = - 15 + 51 (SI)
d) Determine o instante em que o atleta passa pela
origem do referencial e o tipo de movimento que ele
d escreve (p rogress1vo
·
,
d o) . 3progressivo.
s; movimento
ou retrogra
e) Responda: é possível dizer que a reta obtida no
gráfico do item a representa a trajetória do móvel?
Justifique. Não, a forma do gáf1Co apresenta apenas a dependência entre as
Os dois móveis que deverão se encontrar em um tempo futuro (t > O) são:
a) A e e
Xb)AeD
c) B e e
d)BeD
A figura a seguir representa o gráfico da posição em
função do tempo de uma pessoa que, durante uma
caminhada, se desloca com movimento uniforme.
s (m)
~
Ambos possuem a mesma velocidade.
~
15
~
,:,
-~
.§
~
10
s (km)
posição em função do
tempo dos móveis A e
B, deslocando-se numa
trajetória retilínea Qual
dos móveis tem maior
velocidade?
ee D
13. Muitas vezes, preocupados com as provas e as atividades escolares, deixamos de lado as atividades físicas. Porém, precisamos nos lembrar da importância
delas para a manutenção da saúde. A simples caminhada pode nos ajudar a evitar o sedentarismo e reduzir ou eliminar alguns fatores de risco de doenças
cardiovasculares, obesidade e cliabetes.
grandezassel.
10. O gráfico representa a
e)
s
~
5
1!"
A
20
o
2
4
6
8
10
t (s)
B
10
Após um minuto, quantos metros ela caminhou e
qual a sua posição em relação à origem? 60 m; 65 m
O
1
t (h)
11 . Um preparador físico, com objetivo de observar o
desempenho de uma atleta durante uma corrida, registrou suas posições num determinado intervalo de
tempo. Após avaliar os dados coletados, representou
o desempenho da atleta no gráfico abaixo.
14. (UFSM-RS) Dois carros A e B têm seus movimentos
representados esquematicamente no gráfico s X t
a seguir.
s (km)
s
15
o
o
5
Caso o preparador quisesse descrever esse movimento por meio de uma função horária, como seria essa representação? Considere que as unidades
de medida utilizadas foram o metro e o segundo.
s~ 15-3t
12. (FMTM-MG) São dadas as funções horárias dos espaços de quatro móveis, A, B, C e D, definidas sobre a
mesma trajetória retilínea, com valores medidos no SI.
S,.. = - 5+2t
S0 =-7-3t
46
t (h)
Pode-se afirmar, baseando-se na função que representa o movimento de cada carro, que:
a) as velocidades iniciais (t = O) dos carros A e B são
zero.
x b) a velocidade média do carro B é igual à velocidade
média do carro A no intervalo de tempo de O a t.
c) as velocidades iniciais dos carros A e B são diferentes de zero.
d) a aceleração do carro A é igual à aceleração do
carro B.
e) o carro B percorrerá uma distância maior até encontrar o carro A.
Unidad e 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Pense além
Transporte público eficiente e
acessível: solução para
os problemas do trânsito nas
grandes cidades?
Nos últimos anos, a facil idade de acesso ao
crediário possibilitou um aumento da compra de
automóveis. Esse fato elevou consideravelmente
a frota de veículos no Brasil, com muitas famílias
passando a usufruir dessa modalidade de t ransporte. Mas o crescimento do número de veículos
também trouxe consequências desfavoráveis, sendo a mais visível delas o aumento dos congestionamentos.
Uma das propostas para solucionar esse problema é tornar o transporte público mais eficiente. Para isso, alguns fatores devem ser levados em
consideração:
• aumentar a quantidade de linhas e a interl igação do maior número de pontos possível;
• planejar o percurso, determinando os horários
de partida e de chegada e o tempo de viagem.
Esses horários devem ser pontuais, para aumentar a confiabilidade e a f idelidade dos usuários
ao sistema;
• manter a manutenção dos veículos para que os
usuários se sintam confortáveis durante o trajeto
de viagem;
• manter uma frota acessível a todos, o que pode
ser obtido com a capacitação de funcionários, a
manutenção de veículos com equipamentos adequados, a manutenção de terminais de embarque e desembarque que facilitem o acesso e a
frequência adequada para a prestação do serviço.
Cadeirante embarcando em ônibus adaptado, Niterói, RJ (2015}.
Para atingir a meta de transformar o transporte coletivo no principal meio de mobilid ade urbana, é necessário convencer empresários e governantes a torná-lo acessível, eficiente, seguro, com percursos racionais e tarifa
justa. Para isso, a participação e a cobrança dos usuários são de grande importância.
Atividades
E.screva
no caderno
1. Faça um levantamento (em campo) das condições do transporte público que atende seu bairro. Obtenha informações sobre os horários e os percursos dos ônibus, a quantidade e a conservação da frota e a quantidade de
linhas disponíveis. Qual é a porcentagem de veículos adaptados em sua cidade? Veículos adaptados são aqueles
que possuem acesso para cadeirantes e local destinado para pessoa com deficiência visual (que pode estar acompanhada de cão-guia). Com que frequência esses ônibus passam?
2. Organize as informações coletadas, discuta com os seus colegas de grupo os principais problemas encontrados e
faça um relatório com sugestões para a melhoria do sistema de transporte do seu bairro. Respostas pessoais.
Capítulo 3 • Movimento uniforme
47
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Experimente a Física no dia a dia
Atenção
Faça o experimento
somente na presença
Descrevendo o movimento uniforme
do professor.
O instrumento chamado nível de bolha é muito utilizado,
principalmente por pedreiros e mestres de obras, para verificar se as paredes estão sendo erguidas de acordo com a vertical. Trata-se de um pequeno cilindro fechado cheio de óleo
em que uma pequena bolha de ar pode se mover livremente
quando o cilindro é movimentado.
Neste experimento, utilizaremos a ideia desse instrumento
para estudar o movimento descrito por uma bolha que se desloca no interior de uma mangueira.
Desenvolva o experimento com a colaboração de outros
colegas e, em seguida, discuta com eles os resultados obtidos.
•
Identifica-se que o nivelamento está correto quando
a bolinha de ar está exatamente no meio (como a da
imagem).
Materiais
• fita adesiva
• fita métrica
• sarrafo de madeira
• água
• 40 cm de mangueira plástica
transparente
• um livro grosso
• duas rolhas
• cronômetro
Passo a passo
• Com a fita adesiva, fixe uma fita métrica e uma mangueira plástica transparente a um sarrafo de madeira.
• Coloque uma rolha em uma das extremidades da mangueira.
• Encha a mangueira com água e tampe a outra extremidade com outra rolha, cuidando para que entre a rolha e a
superfície da água exista um pouco de ar.
• Alternando algumas vezes a posição das extremidades da mangueira presa ao sarrafo (de cima para baixo), é fácil
perceber que a bolha se desloca rapidamente. Portanto, para que o deslocamento seja lento, procure colocar uma
das extremidades sobre um livro, enquanto a outra extremidade permanece apoiada na mesa como está representado a seguir.
rolha-----.
r.~-- - -
mangueira
bolha se
deslocando
fita métrica-_
sarrafo d e - madeira
rolha
/
como apoio
mesa
Representação do aparato experimental.
• Assim, quando a bolha começar a se deslocar, registre as posições ocupadas por
ela a cada dois segundos. Caso haja alguma dúvida, repita o procedimento.
• Organize, no seu caderno, os valores obtidos em uma tabela como a represetada ao lado.
Responda
t (s)
s (m)
o
2
4
/
/
Escreva
no caderno
1. As distâncias percorridas pela bolha, a cada intervalo de dois segundos, foram iguais? Proíessor, ~ comentario5 dessa seção
2. Desenhe o gráfico da posição da bolha em função do tempo.
encontram-se no Caderno de oriefltações no fina ldeste volume.
3. Qual o tipo de movimento descrito pela bolha em função do tempo?
4. Qual a velocidade média da bolha durante o movimento?
48
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fl~\t.J'Jl,,[email protected]·l'ii;&f~f.a___________
Em nosso cotidiano, percebemos que os movimentos uniformes não são
muito frequentes. Na maior parte deles, a velocidade não se mantém constante
e varia de alguma maneira. Acompanhe algumas situações.
Quando acionamos o freio de um carro em movimento, o pont eiro do velocímetro mostra que a velocidade escalar instantânea varia, diminuindo de valor
em determinado intervalo de tempo.
Quando lançamos uma bola verticalmente para cima, percebemos que sua
velocidade escalar instantânea varia, diminui, até se anular no ponto em que ela
atinge a altura máxima.
Se, em valor absoluto, a velocidade escalar instantânea de um móvel decresce
em determinado intervalo de tempo, o movimento é denominado retardado.
Foto estroboscópica de uma bola
lançada para cima.
Quando acionamos o acelerador de um carro, o ponteiro do velocímetro
mostra que a velocidade escalar instantânea varia, aumentando de valor em
determinado intervalo de tempo.
, \ \ 110 HIil
_, <\O&o
llfflr'1'1 12)14)
~~
..- l
•!O
' c:·~a
Quando abandonamos um objeto, um copo, por exemplo, próximo à superfície da Terra, percebemos que sua velocidade escalar instantânea varia, aumenta,
em determinado intervalo de tempo.
Se, em valor absoluto, a velocidade escalar instantânea de um móvel aumenta em determinado intervalo de tempo, o movimento é denominado acelerado.
~
lvfina1
Foto estroboscópica de um copo em
queda livre.
I> l v iniciat 1
Capítulo 4 • Movimento uniformemente variado
49
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fltf!§t§Efff·li!fifii:,t4f ifia.________
As situações abordadas na página anterior evidenciam as variações ocorridas
com a velocidade escalar instantânea. Falta apenas saber como essa variação
ocorre. Para isso, precisamos conhecer a aceleração escalar média que descreve a rapidez com que a velocidade de um móvel varia.
Quantitativamente, a aceleração escalar média am de um móvel é obtida pelo
quociente entre a variação da sua velocidade escalar instantânea 6.v e o intervalo de
tempo ti.t correspondente.
am "" -~-vt_
...
-J
= _v_-_v~j
t - tj
Como decorrência da definição, é possível deduzir que a unidade de medida
de aceleração corresponde à razão entre a unidade de medida de velocidade e a
unidade de medida do tempo.
No SI, a unidade de medida de aceleração é: m/s
s
Esquiadores_
Em que condições o
movimento do esquiador
é considerado variado 7
= m/sl
Podem ser usadas outras unidades de medida, como: m/(h · s), km/(h · s),
krn/h 2 etc.
A aceleração escalar instantânea também é uma g randeza física que mede
a rapidez com a qual a velocidade escalar de um móvel varia. No entanto, o
intervalo de tempo.item que ocorre essa variação tende a valores muito pequenos. Nesse caso, a aceleração escalar média am tenderá à aceleração escalar
instantânea a.
Profe;sor, os comentários dessa ~o encontram-se no
Caderno de orientações no final deste volume.
l:At:I \..II..IU I t:::tUIV IUU
1 De acordo com o Código Brasileiro de Trânsito, ultrapassar o sinal vermelho corresponde a uma infração gravíssima, punida com multa e
registro de 7 pontos na carteira de habilitação. Sabendo disso, um motorista que dirige o carro com velocidade escalar de 30 m/s, ao avistar
o sinal vermelho, aciona o freio durante 3 s até parar.
Nesse intervalo de tempo, determine:
a) a aceleração escalar;
b) o tipo de movimento descrito (acelerado ou retardado). Justifique.
Carro parcialmente parado sobre a faixa de
pedestres_ Esse ato é considerado uma infração no
Código de Trânsito Brasileiro.
Resolução
a) v; = 30m/s
v
v - v,
o- 30
- ' = - - - => a = - 10m/s2
= O (até parar) ) a m = - .Ó.t
3
m
M = 3s
Observe que, em valor absoluto, a aceleração escalar é 10 m/s2 e o sinal negativo não indica, necessariamente, que
o movimento seja retardado.
b) Se v < v;, em valor absoluto, a velocidade escalar do veículo decresceu no intervalo de tempo determinado. Assim, podemos dizer que o movimento descrito por ele é retardado.
50
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
1. Explique o significado da expressão "movimento va-
riado"
A ideia de movimento variado está relacionada il variação da
• velocidade escalar instantânea de um móvel.
2. Cite um exemplo de um móvel que apresente movimento variado acelerado e outro com movimento variado retardado. Resposta pessoal.
3. Um navegador percebeu que, durante determinado
intervalo de tempo, seu barco manteve aceleração
escalar nula. Podemos concluir que o barco esteve
d ? J tifi
Não, pois aceleração es.:alar nula significa que a velopara O · us que. cidade escalar é constante, podendo ser nula ou não.
9. Para avaliar o deslocamento de quatro móveis, foram
registradas as velocidades escalares em função do
tempo dos móveis A, B, C e D, conforme apresentado
nas tabelas a seguir. Sabendo que eles se deslocam
com movimento uniformemente variado, determine a
aceleração escalar dos móveis e avalie o tipo de movimento de cada um deles.
t (s)
Móvel A
V(m/S)
a = 2 rnls' .
4. O movimento uniformemente acelerado é aquele
que, partindo do repouso, adquire, em tempos iguais,
variações iguais de velocidade.
Analisando a afirmação acima, explique o que significa o valor 20 (km/h)/s. A cada segundo sua veloódade varia 20 km/h.
5. (Unesp-SP) Um automóvel de competição é acelerado
de tal forma que sua velocidade ( v) em função do tempo
(t) é dada pela tabela:
t (s)
v(m/s)
5
20
10
50
15
60
A aceleração média, em m/s
2,
1
2
3
4
2
4
6
8
10
o movimento eprogressrvo e acelerado.
t (s)
o
1
2
3
4
v(m/s)
-2
-6
-10
- 14
- 18
a = 4 mls' . O movimento é retrógrado e acelerado.
MóvelC
t (s)
o
1
2
3
4
v(m/s)
25
20
15
10
5
a= -5 m/s'. O movtmento é progressivo e retardado.
t (s)
o
1
2
3
4
v(m/s)
- 21
- 18
- 15
- 12
-9
Móvel D
a = 2 m/s' . O movimento é retrógrado e retardado.
no intervalo de 5 s a
15 sé:
a)4,5
b)4,33
c) 5,0
Móvel B
o
d) 4,73
x e) 4,0
6. O velocímetro de um ônibus que trafega por uma estrada registra 90 km/h. Ao ver um obstáculo, o motorista aciona o freio durante 10 s, reduzindo a velocidade a 18 km/h. Determine a aceleração escalar
média do ônibus, em m/s2, nesse intervalo de tempo,
e classifique, justificando, o tipo do movimento (acelerado ou retardado). - 2 mls'. O movimento é retardado, pois o valor
absoluto da VEiocidade diminui ao longo do intervalo de tef'Tl)o considerado.
7. Em um jogo de futebol, um atacante chuta a bola ao
gol do time adversário. O goleiro pega a bola que
está com a velocidade de 20 m/s e consegue imobili-
zá-la em 0,1 s, com um movimento de recuo dos braços. Determine a aceleração média da bola durante
a ação do goleiro. - 200n1's'
8. Uma vendedora de automóveis divulga na propaganda que o carro A consegue partir do repouso e atingir
a velocidade vA = 97,2 km/h, em 11 segundos. Também, partindo do repouso, o carro B consegue atingir
a velocidade v8 = 90 km/ h, em 10 s. Qual deles apresenta a maior aceleração? Ocarro Bconseguea maior aceleração.
10. O porta-aviões é um navio cuja função principal é
servir de base aérea móvel, possibilitando que as
forças naval e aérea possam operar militarmente a
grandes distâncias, sem depender de aeroportos (fixos) . Nele, a decolagem e a aterragem são realizadas
em pista cujo comprimento é de 100 m, aproximadamente, exigindo operações difíceis e equipamentos
que não são necessários em um aeroporto (localizado em terra). No caso da decolagem, os aviões, além
de usarem toda a potência dos seus motores, contam com a ajuda de catapultas que, em dois segundos, conseguem fazer a velocidade do avião atingir
265 km/ h, condição mínima para que ele possa decolar. Na situação de aterragem, o avião chega com
velocidade de aproximadamente 240 km/se precisa
do auxílio dos ganchos de retenção (presos à cauda)
que se encaixam nos cabos estirados ao longo do deque, o que possibilita reduzir a velocidade até zero,
em 1,9 s.
Considere as informações do texto e determine:
a) a aceleração escalar média e o tipo de movimento
efetuado pelo avião durante a decolagem;
b) o tipo de movimento efetuado pelo avião durante a
aterragem e a aceleração escalar média para que sua
velocidade seja reduzida a zero, em 1,9 s.
a) a = 36,8 mls' (acele!ado)
b) a= - 35, 1 rrJs' (retardado)
Capítulo 4 • Movimento uniformemente variad o
51
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia7
Como se mede a velocidade da luz7
Atualmente, sabemos que a luz é uma forma de energia radiante (onda eletromagnética) e sua velocidade
de propagação, medida no vácuo, é, aproximadamente, c = 3,00 · 105 km/s ou 3,00 · 108 m/s, praticamente
a mesma que a velocidade da luz no ar.
Muitos estudos foram feitos até que se chegasse a esse valor. No últ imo quarto do sécu lo XVII, o astrônomo
dinamarquês Olaf Roemer (1644-171 O), com o auxílio do telescópio, observou os eclipses das luas de Júpiter e
identificou, por meio de cálculos comparativos, que ocorria um atraso de aproximadamente 22 minutos para
que a luz dos satélites chegasse até a Terra. Com esse raciocínio, avaliou que a velocidade tinha um valor aproximado de 225 000 km/s.
Se considerarmos os recursos tecnológicos da época, verificaremos que esse valor não está tão distante daquele
aceito atualmente.
Desde Roemer, experiment os cada vez mais sofisticados foram realizados para a determinação da velocidade
da luz a partir de diferentes métodos. Os primeiros físicos que conseguiram medidas da velocidade da luz em
laboratório foram Armand Hyppolyte Louis Fizeau (1819-1896) e Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868), utilizando aparelhos construídos por eles próprios. Com o experimento da roda dentada, Fizeau obteve, em 1849, o
valor de 313 300 km/s, e Foucault, com o espelho rotativo,
em 1850 obteve 299 000 km/s.
Baseando-se nesses conhecimentos, Albert Abraham
Michelson ( 1852-1931 ) realizou seu primeiro experimento
de medida da velocidade da luz em 1877, utilizando um
equipamento semelhante ao de Foucault, no qual havia
feito modificações importantes. Os resultados experimentais obtidos com esse aparelho foram publicados em 1878
e forneceram o valor de 299 796 km/s (com incerteza de
mais ou menos 4 km/s) para a velocidade da luz.
Atualmente o valor obtido para a velocidade da luz no
Albert Michelson, físico estadunidense, em seu
vácuo é de 299 792 km/s, ou 299 792 458 m/s exatos.
laboratório, em 1915.
Um método para a medida da velocidade da luz
espelho
O experimento da roda dentada real izado por Fizeau foi muito enroda dentada ~ /
genhoso. No topo de uma colina, foi colocada uma roda dentada com
cerca de 720 dentes, tendo um espelho por trás e um outro posicionado
/ 10km
a uma distância de 8 km. A velocidade da roda dentada era ajustada de
/
/
tal maneira que um feixe de luz emit ido por uma fonte, após se reflet ir
no espelho, voltava para a roda, passando pelo intervalo (dente) seguinte da roda. De posse das dimensões da roda, de sua velocidade angular
origem da luz
e da distância entre os espelhos, era possível encontrar um valor para a
Representação simplificada do aparato
velocidade da luz.
experimental desenvolvido por Fizeau.
Foucault, por sua vez, substituiu a roda dentada por um espelho giratório. Michelson mediu a velocidade da luz no ar e no vácuo com extraordinária precisão utilizando um aparato que contava com um espelho rotativo e outro fixo.
De grande precisão, as medidas modernas da velocidade da luz utilizam métodos de laboratório.
·/Y
Responda
Escreva
no caderno
1. A luz emitida pelo Sol percorre 150 milhões de quilômetros, a uma velocidade de 300 mil quilômetros por segundo. Portanto, a luz emitida pelo Sol neste instante chegará à Terra daqui a quantos minutos? 8 mine 20 s
2. Ano-luz é a distância percorrida pela luz no vácuo em um ano. Então, o que significa dizer que determinada estrela está a 4 anos-luz da Terra? Sigriifica que a luz emitida por ela demora 4 artas para chegará Terra.
52
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Como já estudamos, a ideia de aceleração está relacionada à rapidez com que a velocidade varia.
Para continuar o estudo e a classificação dos movimentos, vamos analisar duas situações simuladas sobre a
aceleração de uma motocicleta.
Na primeira situação, um motoqueiro observou o velocímetro da sua moto a cada segundo nos primeiros momentos após a partida .
Posteriormente, registrou-os assim:
2• registro
v= O
V=
4D registro
10 km/h
V=
1 sapóso1 ;
a
= ~
m
1
=
20 km/h
V=
1 sapóso3g
1 s após o 22
a m = 20 - 10 = 10 km/h
10 km!h
a
s
S
30km/h
=
30 - 20 = 10 km/h
m
S
Observando os reg istros, podemos concluir que:
•
•
•
a cada intervalo de 1 s, a velocidade escalar instantânea variou, aumentou de 10 km/h, uniformemente, ou
seja, de maneira constante;
a aceleração escalar média é constante e diferente de zero;
o movimento é uniformemente acelerado.
Na segunda situação, o mesmo motoqueiro fez os seguintes registros:
1• registro
\ \1 I
2• registro
3• registro
4• registro
II
,',00120,ta /
'
1D
,'liD
[email protected] ",,,.
••n.'lr.
:-4(]
190 _.
100 :_
-20
lll-..
:.o
t.rn
':·
O~I~
V=
30km/h
V=
20 km/h
V=
1 sapóso2•
1sapóso1•
a,,, =
20 - 30
1
= -10 km/h
s
am
=
10 - 20
1
= -10
v=O
10 km/h
1 s após o 3•
km/h
s
a
m
= ~ = -10 km/h
1
S
Observando esses registros, podemos concluir que:
•
•
•
a cada intervalo de 1 s, a velocidade escalar instantânea variou, decresceu de 1O km/h, uniformemente;
a aceleração escalar média é constante e diferente de zero;
o movimento é uniformemente retardado.
Nesses dois exemplos, a velocidade escalar instantânea variou (aumentou ou diminuiu em valores absolutos) de maneira
uniforme. Como consequência, verificamos que a aceleração
escalar média permaneceu constante e diferente de zero em
todos os interva los de tempo estudados.
Essas situações representam um caso particular dos movimentos variados, que passaremos a denominar movimento
uniformemente variado (MUV).
Paraquedistas durante salto.
Nos primeiros segundos após o salto, ainda
com o paraquedas fechado, o que ocorre com
a velocidade de um paraquedista 7
l'lofessor, os comert:ários dessa seção encontram-se no Caderno de orientaçiiEs no final
de5le volume.
Capítulo 4 , Movimento uniformemente variado 53
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Função e gráfico da velocidade em relação
ao tempo
No movimento uniformemente variado, a aceleração escalar const ante implica
o aumento ou a diminuição linear da velocidade escalar. Isso signif ica que pa ra
intervalos de tempo iguais as variações da velocidade esca lar t ambém serão iguais.
Para estabelecer a velocidade escalar v do móvel em MUV, no instante t , temos:
a = am
a
v-v·
1 :::::} v =t -ti
v.
1
= a(t -
t)
1
Considerando o instante inicial \ = O, como adotado na maioria dos estudos
cinemáticos, chegamos a uma relação entre v e t conhecida como funçáo horária da velocidade [v = f (t)) no MUV.
E_v=v,+:_
A equação da velocidade em função do tempo, no MUV, é do 111 grau, em que:
•
v; é a velocidade escalar no instante t ;, ao se iniciar a contagem do t empo.
• v é a velocidade escalar, em
um instante t qualquer.
Podemos usar um gráfico para representar o movimento uniformemente variado de um móvel.
Como exemplo, vamos considerar as anotações feitas por um treinador ao
avaliar duas situações vividas por um ciclista, que se move com aceleração esca lar
constante.
Na primeira sit uação, no instante inicial \ = O, a velocidade escalar do ciclist a
é v; = 1O m/s. Decorridos 5 segundos, ou seja, para t = 5 s, a velocidade escalar é
v = 25 m/s.
Calcu lando a aceleração escalar do ciclista nesse intervalo de tempo, temos:
a
V
(m/s)
!J.V
V- V
M
t - t,
= -- = - '
25 - 1Ü
=- - = -15 :::::} a = 3 m/s2
5-0
5
Se representarmos os valores do tempo no eixo horizontal e os
valores da velocidade no eixo vertical, obteremos o gráfico ao lado.
Calculando a tangente do ângulo e, formado pelo eixo horizontal e a
reta que representa o gráfico da velocidade em função do tempo, temos:
tg
e = 515 = +3
Comparando os cálculos, vemos que numericamente os va lores
obtidos são iguais, ou seja:
t; =
o
t=5
t (s)
a !:! tg
e = +3
Sendo v > v;, a aceleração é posit iva e, no referido trecho, o movimento é
acelerado.
Na segunda situaçáo, novamente o cronômetro foi disparado e iniciou-se a
mediçáo de tempo, t; = O; nesse instante a velocidade é v; = 30 m/s e, após
1O s, a velocidade é v = 1O m/s.
Calcu lando a aceleração escalar do ciclista nesse intervalo de tempo, temos:
a= tJ.v = v tJ.t
54
V; =
t - t;
10 - 30 = -20 :::::} a = _ 2 m/s2
10 - 0
10
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Representando os valores do tempo no eixo horizontal e os da
velocidade no eixo vertical, obtemos o gráfico ao lado.
Calculando a tangente do ângulo formado pelo eixo horizontal e a
reta que representa o gráfico da velocidade em função do tempo, temos:
V
e,
tg "Y
= - tg
e=
- 20
-- = - 2
10
Comparando os cálculos, concluímos que os valores obtidos são
e=
V; =
30
....
ô.V
"
.,.i
9
~
V = 10
numericamente iguais.
a ~ tg
(m/s)
- 2
Sendo v < v;, a aceleração é negativa e, no referido trecho, o movimento é retardado.
A aceleração escalar no movimento uniformemente variado é numericamente igual à tangente do ângulo 6 formado entre o eixo horizontal
e a reta que representa o gráfico da velocidade em função do tempo.
~
a ! tg0
t;
=o
t
= 10
t (s)
t,.t
1
Exercícios resolvidos
2 Um ciclista desloca-se com movimento uniformemente variado, representado pela equação v = 6 + 8t. Considerando a unidade de medida do tempo em segundo e a de comprimento em metro, determine:
a) a velocidade escalar no instante em que foi disparado o cronômetro;
b) a aceleração escalar;
c) a velocidade escalar no instante t = 3 s;
d) se o movimento é acelerado ou retardado entre os
instantes O e 3 s.
Resolução
a) Quando é acionado o cronômetro, temos t = O:
6 + 8t
v = 6 + 8 · O ~ v = 6 m/s
b) Comparando as equações v = vi + at e v = 6 + Bt,
temos a aceleração escalar: a= 8 m/s2 •
V =
c) Quando t = 3 s, a velocidade é:
v = 6+8·3
v = 30 m/s
d) Entre os instantes Os e 3 s, a velocidade escalar instantânea aumenta em módulo; portanto, o movimento é acelerado.
Durante um teste realizado em uma pista reta, os movimentos de um ciclista foram registrados e representados no gráfico ao lado. Considere que no instante
20 s o ciclista acionou o freio até parar com aceleração escalar (em módulo) de
1 m/s2 • Analise o gráfico e determine:
a) a aceleração média e o tipo de movimento realizado pelo ciclista nos seguintes
intervalos de tempo: (de Os a 10 s) e (de 10 s a 20 s).
b) o tempo gasto e o espaço percorrido pela bicicleta entre o instante em que os
freios foram acionados e a parada.
V (m/S)
..~
30
20
{!t
10
o
10
20
t r t (s)
Resolução
(v- v.)
30- O
= 10 - O ~am= 3 m/S2 •
(v - v.)
30 - 30
No intervalo de 10 s a 20 s: am= ~ ~ ªm= 20 - 10 ~ arn = o m/s2 •
30
b) Sabemos que, em módulo, a= 1tg 62 I ~a= 1- tg 61 I ~ 1 = t - 20 ~ t f = 50 s
a) No intervalo de O s a 10 s: am =
~ ~ am
V (m/S)
30
i
20
;
10
f
Após acionar os freios, a bicicleta demorou: 6.t = 50- 20 ~ 6.t = 30 s
Já vimos que, numericamente, 6.s = Área ~ 6.s =
~
· 30 · 30 ~ 6.s = 450 m
o
10
20
1
tr t (s)
tr- 20
1
Capítulo 4 • Movimento uniformemente variado
55
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
11 . Um carro percorre um trecho retilíneo de uma estra-
da e sua velocidade varia com o tempo, de acordo
com a tabela.
t (s)
o
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
v(m/s) 14 18 22 22 22 22 22 20 18 15
11
a) Em quais intervalos de tempo a aceleração é positiva? E negativa? Os a 4 s· 12 sa 20 s
4sa 12s
·
b) Em que intervalo de tempo a aceleração é nula?
15. Alguns acidentes causados por jec skis têm provocado
discussões a respeito do uso dessas embarcações em
praias e represas. O desrespeito às normas de condução de embarcações e falhas humanas têm sido as
principais causas desse tipo de acidente.
Durante alguns instantes, um jet ski descreve uma
trajetória linear com a variação de velocidade representada no gráfico da figura abaixo.
V (m/S)
30
c) Em que intervalo de tempo o movimento do carro é
uniformemente variado? os a 4 se 12 sa 20 s
18
12. (Unicamp-SP) A tabela mostra os valores da velo-
cidade de um atleta da São Silvestre em função do
tempo, nos segundos iniciais da corrida.
t (s)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
v (m/s)
o.o
1,8
3,6
5,4
7,2
9,0
a) Esboce o gráfico da velocidade do atleta em função
do tempo. Resposta no final do livro.
b) Calcule a aceleração do atleta nos primeiros 5 s da
corrida. 1,8 mfs'
o
14. Um dos passageiros de um ônibus registrou em três
instantes distintos a intensidade da velocidade escalar do ônibus no qual viajava. Esses registros foram:
Tempo (s)
o
2
4
Velocidade (m/s)
20
23
26
t (s)
16. Uma fábrica de bicicletas fez vários testes com um
novo sistema de freios. Em um desses testes, durante
alguns segundos, foi anotada a variação da velocidade
de uma bicicleta. Com os dados obtidos, foi construido o gráfico da velocidade escalar em função do tempo, conforme a figura abaixo.
V
(m/S)
20
rência das forças de atrito que agem sobre a bola, a
intensidade da velocidade escalar instantânea vai decrescendo. Sabendo que a aceleração escalar é constante e igual a -2 m/s2, determine:
b) o instante em que a velocidade escalar da bola se
anula. 7.Ss
5,0
Determine a aceleração escalar e a velocidade inicial
dojet ski. 4,0mls': 10m/s
13. Uma bola de boliche é lançada sobre uma superfície
com velocidade escalar inicial vi = 15 m/s. Em decor-
a) a equação que representa a velocidade escalar em
função do tempo; v = 15 - 2t(st)
2,0
t (s)
- 4,0
De acordo com o gráfico, qual a aceleração escalar da
bicicleta, sabendo que a trajetória é retilínea.
Determine o instante em que a velocidade escalar é
4 m/s. - 4,0 m/s'; 4 s
17. Em uma avenida de tráfego intenso, um observador
registra a variação da velocidade de um carro, após o
sinal verde acender. Na figura seguinte está o gráfico
construido com os dados obtidos durante a observação.
V
(m/S)
0,8
0,6
56
Admitindo aceleração constante, determine:
0,4
a) a equação que representa a velocidade escalar em
função do tempo; v = 20 + 1.St (S0
b) a velocidade escalar no instante t = 3 s; 24,5 m/s
c) se o movimento é acelerado ou retardado entre os
instantes t = O e t = 6 s. Acelerado.
0,2
o
1
2
3
4
t (s)
Determine a velocidade do carro e sua aceleração 3 s
após o sinal verde acender. 0,5 mls; o.z mls'
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Função e gráfico da posição em relação ao tempo
V
Para obter a equação que representa a posição de um móvel em função
do tempo, no MUV, vamos nos valer de uma situação simulada em que uma
bolinha de vidro (gude) é colocada em movimento sobre um plano inclinado. A
bola desce o plano inclinado com aceleração constante, isto é, sua velocidade é
incrementada com valores constantes para o mesmo intervalo de tempo.
Como podemos descrever sua posição no plano em função do tempo?
Se considerarmos que, no instante inicial t i, a velocidade escalar inicial
é v;, em um instante posterior t , a velocidade escalar v será maior. Se, a
partir de t ;, registrarmos a veloc idade da bola para cada instante de tempo, obteremos o gráfico da velocidade escalar em função do tempo, cujo
esboço é mostrado ao lado.
Assim como no MU, no MUV a área A compreendida entre a curva que determina o gráfico e o eixo horizontal é numericamente igual ao deslocamento ó.s da
esfera no intervalo de tempo ó.t = t - t;Uma forma para obter a área do trapézio é adicionar a área do triângulo à
área do retângulo.
(mfs)
t (s)
~= O
~
Area...a
Areao
1
=
(t - O) . ( V 2
V. )
'
a t 2 } A= Area...a + Area::i = -a t 2 + vt
= -
= (t - O) · (v, - O) = v;t
2
2
Se 6.s
1
=N A, teremos: 6.s =
s - s, = v,t
~
t2
1
Assim, a posição de um móvel em função do tempo, no MUV, será:
s = s; + v;t +
~
+ 2a
t2
em que: si é a posição inicial e v; é a velocidade escalar inicial; s é a posição em um instante de tempo t qualquer;
a é a aceleração escalar.
A função da posição do móvel em função do tempo, no MUV, é uma função polinomial do 211 grau e sua representação gráfica no sistema cartesiano s x t é uma parábola.
Analisando as características dos movimentos percebemos que:
Quando a > O, temos:
•
< O, temos:
• Para O ~ t < t ', a função s = f(t) é crescente,
Quando a
Para O ~ t < t', a função s = f(t) é decrescente,
a velocidade escalar é negativa e o movimento
é retardado.
a velocidade escalar é positiva e o movimento
é retardado.
•
Para t > t', a função s = f(t) é crescente, a velocidade escalar é positiva e o movimento é acelerado.
•
Para t > t', a função s = f(t) é decrescente,
a velocidade escalar é negativa e o movimento
é acelerado.
•
Para t = t ', ocorre a inversão no sentido do movimento, e a velocidade fica nula.
•
Para t = t', ocorre a inversão no sentido do movimento, e a velocidade fica nula.
s decres<e
v negativa
s aumerita
v positiva
, \J
s
,
vértice
s ----------
....
""
V
·"§
;ij
, vertJce
1
t'
t'
t
Capítulo 4 • Movimento uniformemente variado
57
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
,..Exercícios resolvidos
4 Um veículo se desloca em uma trajetória retilínea e obedece à equação horárias= 6 - 3t + t 2 (SI).
a) Determine a aceleração escalar do móvel.
b) Escreva a equação horária da velocidade para esse movimento.
c) Determine a posição do veículo para t = 8 s.
d) Construa os gráficos da posiç.ão, da velocidade escalar e da aceleração em relação ao tempo.
Resolução
a) Comparando as equações s = s.1 + v.t1
a
+ -2
a
2
2 = 1 ::::} a = 2 m/s
t 2 e s = 6 - 3t + t 2, temos: -
b) Da equação horária, temos: vi = -3 m/s
A equação da velocidade é v = vi + at
Substituindo v; e a, resulta: v = - 3
+ 2t (SI)
c) Substituindo t por 8 na equação dada, temos:
s = 6 - 3 · 8 + 82 = 6 - 24 + 64
s=46m
d)
s (m)
6
V
(m/S)
3
------------
a (m/s2)
-------------
a = constante
2
4
1
2
-1
o
o
1
3
t (s)
o
t (s)
-2
-3
3 t (s)
2
2,0 - - - - - - - -
A posição escalars de uma partícula varia com o tempo t de acordo com o gráfico
ao lado.
Determine as funções horárias do espaço [s = f(t)J e da velocidade [v = f(t)J
para o movimento da partícula.
s ( m)
(arco de parábola)
Resolução
Do gráfico, temos que, quando t
=
Os, s
=
10 m. Logo, si = 10 m.
No instante t = 1 socorre a inversão de sentido do movimento (v = O). Logo:
v = v. + ar::::} O = v.1 + a · 1 ::::} a = -v.l
1
o
t (s)
li'
\J:.j
Também no instante t = 1 s, temos s = 11 m.
= Si + Vi t + ~t2 ::::} 11 = 10
2
S
+ V i · 1 + ~ · 12 =}Vi + ~
2 = 1
2
®
Substituindo a equação G) na equaçã[email protected], temos:
V.
V. -
- '
2
1
=
1 ::::} V.1 = 2
m/S
Substituindo vi = 2 m/s na equação G), temos:
a = -vi::::} a = - 2 m/s2
Construindo as funções horárias s = f(t) e v = f(t) :
= S . + V, t + ~
t2 ::::} S = 10 + 2t 2
V= V. + at::::} V= 2 - 2t
S
1
t2
1
1
58
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
18. Pode-se afirmar que os espaços percorridos por par-
tículas animadas de MU variam da mesma forma que
os espaços percorridos por partículas animadas de
MlN? Explique sua resposta. ReSJXlsta no final do livro.
19. As posições ocupadas por um veículo que se desloca
com MUV são dadas pela equação s = 4 + 2t + 3t2
(SI). Nesse caso, determine:
a) a velocidade escalar inicial do veículo;
Com base no gráfico, responda:
a) Em que intervalo de tempo o movimento é acelerado? 5sa10s
b)Em que intervalo de tempo o movimento é retardado? OsaSs
c) Em que instante o ciclista muda o sentido do movimento? ss
d) Qual o valor da velocidade escalar no instante em
que ele inverte o sentido do movimento? o
2 m/s
b) a aceleração escalar; 6 m/s'
20m
c) a posição ocupada pelo veículo no instante t = 2 s.
= 8 + 6t - t2 (SI) representa a posição
de um móvel, determine o instante em que esse móvel inverte o sentido de deslocamento. 3 s
e) Em que instantes ele passa pela origem das posições? ose 10s
20. Se a equação s
21 . (UFPR) A posição inicial para o móvel, que descreve o
movimento retilíneo cujo gráfico velocidade X tempo
é o representado, vale 5 m. Qual é a função horária
do espaço para o movimento considerado?
trajetória. A figura a seguir representa, em gráfico
cartesiano, como as duas velocidades variam em função do tempo.
V (m/S)
..
~
4 +-- - - ~,'
·""
.9
V (m/S)
;jj
20
~
,,li'
o
10
o
2
d)s = 5 + lOt + St2
b)s = lOt + St2
e) s = 5 + lOt + 10t2
+ lOt + 2,St2
22. Em um trecho de estrada retilíneo e horizontal, um
carro mantém velocidade constante de 72 km/h,
embora a placa de sinalizaç.ão indique a velocidade
máxima de 60 km/h. Em razão da infração de trânsito, no instante em que o carro passa diante de um
posto policial, um guarda rodoviário, que estava
parado, parte com uma moto mantendo aceleração
constante de 2,5 m/s 2 • Nessa perseguição, quantos
segundos serão necessários para que a moto alcance
o carro? 16s
23. Um ciclista se desloca com MUV em uma trajetória
retilínea. O gráfico representa a posição do ciclista
em função do tempo.
s (m)
5
10
t (s) ]
2
Suponha que no instante em que se iniciaram as observações (t = O) elas se encontravam na mesma posição.
t (s)
a)s = lOt + 10t2
xc) s = 5
24. (UFRJ) Duas partículas se deslocam ao longo de uma
t (s)
a) Determine o instante em que elas voltam a se encontrar. 4 s
b) Calcule a maior distância entre elas, desde o instante em que se iniciaram as observações até o instante
em que voltam a se encontrar. 4 m
25. Na figura abaixo está representado o gráfico da varia-
ção da velocidade em função do tempo de um veículo
que trafega por uma rua retilínea e horizontal.
v(m/s)
O
2
8 1012
t (s)
a) Determine o deslocamento entre os instantes
t = O e t = 12 s. 57 m
b)Em quais intervalos de tempo o movimento é variado? Entre Ose 2seentre8se !Os.
c) Qual a distância, em metros, que o veículo deixou
de percorrer entre os instantes t = 8 s e t = 12 s,
em virtude da redução de velocidade de 6 m/ s para
3m/s. 9m
Capítulo 4 • Movimento uniformemente variado
59
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fM#·t·&t+t·l·fir.,;;[email protected]___________
Até agora, estudamos equações que nos permitem saber a posição ou a velocidade de um móvel em f unção do tempo. Podemos também obter uma equação que forneça a velocidade em função da posição do móvel, no MUV, sem
considerar o tempo decorrido.
Partindo das equações da velocidade e da posição:
e com um simples procedimento algébrico, Evangelista Torricelli (1608-1647),
um dos discípulos de Galileu, conseguiu eliminar a variável tempo. Desse modo,
obteve uma equação que permite ca lcular vem função de v;, a e .ó.s. Observe
como ele fez:
v =V; + at
Quais características devem
ser levadas em consideração
para determ inar o com-
CD
v - v.
De(D: t = - -'
primento da pista de um
aeroporto?
a
Substituindo em
Avião pousando.
0: s =
V - V· )
s; + v;( - a- '
- V· ) 2
+ 2a (-V a- '
Professor, os comentários dessa seção encon·
ttam~ no Caderno de orientações no final deste
volume.
Eliminando os parênteses e reduzindo ao mesmo denominador, obtemos:
Exercício resolvido
6•
A maratona de Boston (EUA), uma das mais famosas e antigas do mundo, é disputada anualmente desde 1897 em
um percurso de 42,195 km. Embora as maratonas tenham se tornado um esporte de massa, os organizadores dessa
maratona utilizam alguns critérios para selecionar seus participantes. Nessa, como em qualquer outra maratona, os
corredores precisam se preparar adequadamente, respeitando os limites do seu corpo, para que a atividade física
possa trazer benefícios a sua saúde. Avalie a situação de uma pessoa que resolveu participar de uma maratona e, nos
seus primeiros treinos, passou a cumprir a seguinte rotina diária: correr a distância de 800 m com velocidade de
3 m/s, em seguida caminhar durante 3 minutos, com velocidade de 2 m/s. Essa sequência deve ser repetida 10 vezes.
a) Ao terminar o treino diário, qual a distância total percorrida por essa pessoa?
b)Partindo do repouso, com aceleração constante, essa pessoa percorre 3 m até atingir a velocidade de 3 m/ s.
Determine, em módulo, a aceleração desenvolvida nesse trecho.
Resolução
a) A distância percorrida, .ó.s, no treino diário, é determinada por:
.ó.s = n. (.ó.scorrida + .ó.scaminhada)
Sendo:
n = 10 repetições
.ó.srnrrlda = 800 m
.ó.scaminhada = Vcaminhada . .ó.tcaminhada ~ .ó.scaminhada = 2 . 3 (6 0) ~ .ó.scaminhada = 360 m
Teremos: .ó.s = 10 · (800 + 360) ~ .ó.s = 11600 m
b)v0 = O; v = 3 m/s e .ó.s = 3 m
(v)2 = (vJ 2 + 2 ·a · .ó.s
60
~
3 2 =O + 2 ·a· 3 ~a= 1,5 m/ s2
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
26. Um trem desloca-se com velocidade escalar de
54 km/h. Em certo instante, o maquinista vê um animal sobre os trilhos e aciona imediatamente o freio
até parar. Considerando apenas o intervalo de tempo
durante o qual o freio foi acionado, calcule a aceleração escalar do trem, sabendo que a distância percorrida por ele nesse intervalo de tempo foi 450 m.
-0,25 mls'
27. Um ciclista deve percorrer 100 m de um trecho retilíneo e plano da pista. Seu objetivo é iniciar esse
trecho com velocidade v; e chegar ao final da corrida
com velocidade v = 20 m/s. Caso ele mantenha a
aceleração escalar constante de 2 m/s 2 , qual será o
valor dev? o
28. Um automóvel entra em um túnel com velocidade de
10 m/s e sai dele com velocidade de 30 m/s. A aceleração durante o movimento no interior do túnel é constante e vale 4 m/s2. Qual é o comprimento do túnel?
100m
29. (UFRGS-RS) Uma grande aeronave para transporte de
passageiros precisa atingir a velocidade de 360 km/h
para poder decolar. Supondo que essa aeronave
desenvolva na pista uma aceleração constante de
2,5 m/s2, qual é a distância mínima que ela necessita percorrer sobre a pista antes de decolar?
a) 10000m
b)5000m
c) 4000m
X
d) 2000m
e) 1000 m
30. Durante urna viagem ao exterior, um turista brasi-
leiro alugou um carro e recebeu orientações sobre
algumas normas de segurança. Em uma dessas orientações havia a recomendação para que os motoristas,
ao trafegar em determinadas estradas, mantivessem
seus veículos separados por urna "distância" equivalente a 3 segundos.
a) No caso de um motorista que mantém o veículo com velocidade constante de 108 km/h, em um
trecho de estrada retilíneo, qual é essa distância de
segurança, expressa adequadamente em metros?
.ls-=90m
b) Considere que dois motoristas que trafegam em
um trecho retilíneo da estrada estejam respeitando
essa recomendação de segurança, e um deles resolva
usar os freios bruscamente, até parar, com aceleração
constante de módulo a = 4 m/s2 • O motorista que
vem atrás demorou 0,5 s para reagir e usar os freios.
Para que não ocorra colisão, qual deve ser a aceleração mínima do veículo que vem atrás? 1a 1 = 3,5 mls'
31 . Avalie a situação de um trem de carga, de 150 m, que
está parado num cruzamento da avenida portuária,
em Santos. Assim que o fluxo de caminhões permitiu, ele iniciou o movimento, com o objetivo de ultrapassar, totalmente, esse cruzamento cuja extensão
é 250 m e está sinalizado entre duas faixas brancas.
Considere que no início do movimento a frente do
trem está sobre uma das faixas que limitam o cruzamento e a sua aceleração escalar e constante é de
0,5 m/s2 • Determine:
a) a velocidade escalar do trem, quando ele consegue
ultrapassar completamente o cruzamento. v =20 m/s
b)qual o tempo necessário para que o trem conclua
totalmente a ultrapassagem. t = 40 s
32. Um motorista parou o ônibus no acostamento de
uma estrada retilínea para pegar um passageiro.
No local, há uma placa de trânsito, indicando que
300 m à frente existe um deslizamento de terra sobre a pista. Assim que o passageiro entrou, o ônibus partiu com aceleração escalar constante de
1,0 m/s 2 • Após ter percorrido 200 m, o motorista
acionou os freios imprimindo ao veículo aceleração
escalar constante de 2,5 m/s 2 até parar. Quantos
metros o ônibus percorreu até parar? Ele irá colidir
com o deslizamento? Conseguiu parar à distânàa de 20 m da terra.
33. Basicamente, radares e semáforos são instrumentos
que devem contribuir com a função educativa de disciplinar e melhorar as diferentes relações entre pedestres e condutores de veículos. Avalie a situação,
descrita a seguir, ocorrida diante de um semáforo:
Um carro e um caminhão, parados diante de um semáforo, iniciam seus movimentos com aceleração
constantes, na mesma direção e sentido, imediatamente após sinalizar o verde. A velocidade do caminhão varia 0,5 m/s, em cada segundo, até atingir
35 m/ s, quando passa a descrever movimento retilíneo uniforme. No caso do carro, a velocidade varia
1,0 m/s, em cada segundo, até atingir 25 m/s, quando passa a descrever movimento retilíneo uniforme.
Diante dessa situação, determine:
a) o tempo e o deslocamento que o caminhão e o carro
levam até atingirem suas velocidades máximas;
Caminhão (~t
= 70 se .ls = 1225 m);
carro Jél.t = 25 se .ls = 312, 5 m).
b)a distância que separa os ve1culos, 70 s após o
início dos movimentos· No instante l = 70 s o_car_ro está
' 212,5 m à frente do cam1nhao.
c) em que instante o carro é ultrapassado pelo caminhão. No instante t = 91,25 s.
Capítulo 4 • Movimento uniformemente variado
61
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Atenção
Faça o experimento
somente na presença
do professor.
Experimente a Física no dia a dia
Descrevendo o movimento uniformemente variado
Neste experimento vamos observar o movimento de bolha que se desloca em um líquido, semelhante ao que
fizemos no experimento de movimento uniforme.
Materiais
Você vai utilizar os mesmos materiais usados no experimento Descrevendo o movimento uniforme e mais
alguns:
• suporte horizontal
• seringa
• óleo de cozinha
• elásticos
Passo a passo
• Monte o mesmo aparato utilizado no experimento Descrevendo o movimento
uniforme.
• Acople o aparato ao suporte, com o auxílio dos elásticos.
• Preencha a mangueira com o óleo de cozinha deixando cerca de 5 cm para completá-la. O aparato deve ficar semelhante ao da imagem ao lado.
• Com a seringa, separe um pouco de água.
• Coloque algumas gotas de água no óleo. Tente fazê-las de diferentes tamanhos.
------------._,_
i
o
!
ª
~
Arranjo experimental.
Detalhe de uma gota de água
sendo colocada no tubo.
• Monitore uma gota grande e uma pequena. Anote a posição de cada gota
em intervalos de tempo iguais, por exemplo, a cada 2 segundos, como indicado ao lado.
t (s)
o
2
4
Responda
s (m)
/
/
/
Escreva
no caderno
1. Houve diferença no movimento das gotas? Elas percorreram a mesma distância, a cada intervalo de dois segundos? Se houve diferença, formule hipóteses para justificá-la.
2. Com dados obtidos, desenhe o gráfico de cada uma das bolhas em função do tempo. Se você ainda estava em
dúvida com a resposta do item anterior, tente responder com o auxílio dos gráficos.
3. Determine o tipo de movimento realizado pelas gotas. Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
62
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Muitas pessoas já passaram por uma situação semelhante à da fotog rafia, mas por
que todos os corpos próximos da Terra são
puxados para baixo? Várias teorias foram
elaboradas para tentar explicar esse movimento.
O estudo da queda dos corpos foi tema
de pesquisa tanto de pensadores da Antiguidade como dos primeiros físicos modernos. Para Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.),
se abandonássemos dois corpos de massas
diferentes da mesma altura e no mesmo
instante, aquele com maior massa chegaria
primeiro ao solo. Essa ideia perdurou durante séculos, até que, no início do século
XVII, Galileu Galilei (1564-1642) passou a
questioná-la sistematicamente. Galileu pesCopo em queda livre. Observe
que ao cair os objetos são atraídos
quisou, criou instrumentos e real izou expepela Terra.
ri mentos ao estudar a queda dos corpos.
Para diminuir a influência da aceleração da gravidade durante a queda, ele analisou o movimento de descida de esferas em um plano inclinado. Dos seus estudos, Galileu concluiu que, mesmo com difei1"
rentes massas, os corpos chegavam quase
~
exatamente no mesmo instante ao solo. A
]"'
pouca diferença entre os tempos de queda
§
foi atribuída por Galileu à resistência ofe.2
recida pelo ar, que atuaria diferentemente
!
~
nos corpos testados. Com essa ressalva,
"'
afirmou que todos os corpos chegavam
ao solo sempre ao mesmo tem po quando
abandonados da mesma altura, não importando a massa de cada um.
Alguns anos mais tarde, o inglês Robert
Boyle (1627-1691) conseguiu vedar um
tubo de vidro com ar rarefeito, em cujo interior introduziu uma moeda e uma pena.
Mostrou experimentalmente que, livres da
resistência do ar, os corpos caíam com a
Reprodução do experimento de Boyle.
mesma aceleração.
~
Pare e pense
Em qual das situações a
velocidade e a aceleração
da bola são constantes?
Em qual delas a acele ração
é maior?
Professor, os comentários dessa s.eção encootram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
Capítulo 5 • Queda liwe e lançamento vertical
63
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Os estudos e experimentos citados anteriormente levaram à conclusão
de que dois corpos abandonados simu ltaneamente da mesma altu ra, no
vácuo ou livres dos efeitos da resistência do ar, chegam ao solo no mesmo
!9
8 instante. Esse movimento, conhecido como queda livre, isto é, livre da
.2
l<' resistência do ar, ocorre em uma trajetória ret ilínea e vertical.
3(
A variação da velocidade de um corpo em queda livre, próximo da superfície da Terra, é diretamente proporcional ao intervalo de tempo, ou
seja, quanto maior o t empo de queda, maior a velocidade do objeto. Nesse
caso a aceleração é constante.
Para um corpo em queda livre, a aceleração considerada constante é a
aceleração da gravidade, representada pela letra g. Seu valor sofre ligeiras
variações, dependendo da altitude e da lat itude em que é feita essa medição. Considerando um corpo ao nível do mar e em uma latitude de 45º,
seu valor aproximado será g = 9,80665 mfsl.
Ao reg ist rar o movimento de uma carambola em queda livre, com
fotografias feitas em intervalos de tempo iguais, é possível perceber que
o espaço percorrido em cada intervalo de tempo se torna maior, ou seja,
sua velocidade será crescente, com aumento no valor de aproximadamente 9,8 m/s em cada segundo.
Pode-se verificar também que, em intervalos de tempo iguais, há relação entre os espaços percorridos pelos corpos em queda livre e a sequência
de números ímpares: 1, 3, 5 ...
Como o movimento de um corpo em queda livre apresenta aceleração
constante, ele é uniformemente variado. Por isso, aplicaremos as equações
usadas no MUV. Nesse caso, o módulo da aceleração esca lar é constante e
igual à aceleração da gravidade (g).
Quando estudamos a queda livre vertical, o sentido da trajetória defi ne
o sinal da aceleração escalar.
~
""'
f
.2
§
!
t.s,
o
~
t.s, =
3M1
r......,
t.s, =
7M 1
t.s, = 9M1
Análise da distância percorrida por uma
ca rambola ao realizar o movimento de
q ueda livre.
Sentido da trajetória de baixo para cima
Sentido da trajetória de cima para baixo
• Aceleração: a aceleração da gravidade é negativa,
pois sua orientação é contrária à orientação adotada para a t rajetória:
• Aceleração: a aceleração da gravidade é posit iva,
pois sua orientação coincide com a orientação
adotada para a trajet ória:
~ a•
-g
1
da
trajetória
= v;
[
+ at
V = Ví
r~
• Função da posição:
s
a
= s. + v.t + -2 t2
1
1
a = +g
• Função
da velocidade:
• Função
da velocidade:
v
~
sentido
• Equação de
Torricelli:
sen1ido
+ at
V= V; +
da
trajetória
gt
• Função da posição:
v2 = v2 + 2aAs
v2 = v2 + 2a.a.s
1
v2
64
= v~- 2gAs
• Equação de
Torricelli:
1
2
s = s; + vt
; + J!..t
2
Unidad e 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercícios resolvidos
..
~
i'
1 Uma atleta salta da plataforma de uma piscina, descrevendo um movimento {
em queda livre. Sabendo que a distância da plataforma até a água é 5 m, e desprezando a resistência do ar, determine: (Adote g = 10 m/ s2 .)
~
!
~
a) a velocidade escalar da atleta ao atingir a água;
b) o tempo gasto por ela até atingir a água;
c) a distância a que a atleta estava da água, após__!__ segundo de queda.
i
~
2
Resolução
a)Adotando o sentido da trajetória de cima para baixo, temos: si
s = 5 m; a = g; v1 = O
i
s, = O - -
.~
Usando a equação de Torricelli, temos:
v1 =0
0 - - -- - nível da plataforma
v2 = vf + 2g~s
-!j
;;l
s=5m--
O;
a = g = 10m/s2
v2 =02 + 2·10·5
v= ± .JlOO= ± 10
- - - - - nível da água
Como v > O, resulta: v = 10 m/s
A atleta se deslocou no mesmo sentido adotado para a trajetória; desse modo, a
velocidade escalar ao atingir a água foi 10 m/ s ou 36 km/h.
b) Utilizando a equação da velocidade, temos:
v=v;+ gt
10 = O + lOt ::::} t = 1 s
A atleta atingiu a água 1 s após ter saltado.
c) Utilizando a equação da posição, temos:
s
=
s.1 + v.t1 +
Após
~2 t
2 ::::}
2
s = O + O · __!__ + ..!Q. · (__!__)
2
2
2
::::}
s
=
...
1 25 m
'
~ s de queda, a atleta percorreu 1,25 m. Portanto, estava a uma distância
de 5 m - 1,25 m = 3,75 m da água.
O gráfico representado ao lado mostra a velocidade de
um corpo (v) em queda livre, em função do tempo (t),
em unidades do SI.
Analisando o gráfico, classifique as afirmações quanto a
sua veracidade.
I. A velocidade do corpo enquanto ele está em queda
tende a se anular.
-~-- ~--
'"'"""'.""""
--- -··
~
-
-·
.
Atleta durante salto de plataforma.
V
Vli m ·-- - - - • • - --- - ·- • • - ··- • • • • · - --- • • - • - ~- ·: ;·.;.
- ;.
· ·;..:·.---
-
-
II. A velocidade do corpo durante a queda no ar tende
a ser assíntota para um determinado valor denominado
velocidade limite.
III. Um corpo em queda no ar possui velocidade limite no instante em que a resistência do ar se torna igual ao peso
do corpo.
Resolução
I. Falsa, um corpo, enquanto permanecer em queda no ar, atingirá a velocidade limite diferente de zero.
II. Verdadeira, um corpo em queda no ar tende a velocidade limite e assíntota.
III. Verdadeira, um corpo em queda no ar atingirá a velocidade limite no instante em que a resistência do ar for
igual ao peso do corpo.
Capítulo 5 • Queda liwe e lançamento vertical
65
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
1. O que significa dizer que um corpo está em queda
livre?
Significa que o movimento do corpo ocorre em trajetória retilínea, vertical
· e lillle dos efeitos da resistéocia do ar.
2. Explique por que, ao abandonarmos uma folha de papel e uma moeda ao mesmo tempo e da mesma altura, a moeda chega ao solo em um intervalo de tempo
menor Como os efeitos da resistência do ar são mais íníluentes na folha de
• papel do que na moeda, esta chega primeiro ao solo. No vacuo isso
não ocooe.
7. Um grupo de alunos encontrou-se na quadra de espor-
tes da escola, que fica no último andar do prédio. Um
deles resolve realizar um experimento e, garantindo
que ninguém passaria pelo entorno do prédio, solta
uma borracha e marca o tempo que ela levou para
atingir o solo. Resolve então desafiar os colegas a determinarem a velocidade com que a borracha chegou
ao solo e a altura do prédio da escola. Determine essa
velocidade e essa altura, sabendo que o tempo de queda da borracha foi de 3 segundos e que a aceleração da
gravidade no local é de aproximadamente 10 m/s2 •
v ~30mlse H ~ 45m
3. Um corpo em queda livre apresenta que tipo de movi-
mento? Justifique. MUV. pois apresenta aceleração constante.
4. Em 1971, o astronauta americano David Scott reali-
zou, na superfície da Lua, o experimento de queda
livre de corpos no vácuo, anteriormente proposto por
Galileu. Deixou cair ali uma pena e um martelo, simultaneamente, a partir da mesma posição.
A pena e o martelo atingiram o solo simultaneamente.
a) O que ele observou ao final da queda?
b) Supondo que ambos os objetos tenham sido soltos
de uma altura de 1,6 m em relação à superfície, depois de quanto tempo o martelo alcançaria o solo?
(Dado: aceleração da gravidade na Lua = l ,6m/ s2 .)
8. (PUCCamp-SP) Um móvel é abandonado em queda
livre percorrendo, a partir do repouso, uma distância durante o primeiro segundo de movimento. Durante o terceiro segundo de movimento, esse móvel
percorre uma distância:
a)(..J3)d
b) 3d
xc) Sd
d) 7d
e) 9d
9. Um objeto é solto do 9º- andar de um prédio e após 1 s
de queda livre passa pela janela do 8º- andar. Quanto
tempo, após ser solto, o objeto passará pela janela do
5º- andar? 2 s
=1,4S
5. Uma esfera de aço cai, a partir do repouso, em queda
livre, de uma altura de 80 m acima do solo. Despreze
a resistência do ar e adote g = 10 m/s2 • Calcule o módulo da velocidade de chegada da esfera ao solo. 40 mls
6. Um barco navega com velocidade de 10 m/s, em linha
reta, na direção de uma ponte. Sobre a ponte, a 20 m
de altura da água, encontram-se alguns amigos que
desejam entregar um pequeno pacote, com lembranças, para o navegador. No momento em que o pacote é
solto e inicia sua queda livre, qual deve ser a distância
do barco até esse ponto sob a ponte para que o pacote
caia na proa? Considere a aceleração da gravidade no
local, aproximadamente, 10 m/s2 • 20 m
66
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
O lançamento vertical pode ser facilmente experimentado por você. Por
exemplo, pegue um objeto leve e sem pontas e arremesse-o em uma trajetória
retilínea e vertical, de baixo para cima, de tal forma que ele volte às suas mãos.
Observe detalhadamente o movimento do corpo, na subida e na descida. Se
achar necessário, faça o lançamento várias vezes. Mesmo sem a utilização de
nenhum instrumento, repare o que ocorre com a velocidade do corpo durante a
subida, no ponto mais alto atingido por ele e durante a descida.
Um corpo lançado verticalmente para cima nas proximidades da superfície
terrestre, supondo a resistência do ar desprezível, descreve um movimento uniformemente variado. Ao longo desse percurso a velocidade escalar apresenta
diferentes comportamentos:
•
Durante a subida, a velocidade diminui 9,8 m/s a cada 1 s.
•
A velocidade é nula no ponto mais alto da trajetória (inversão de sentido).
•
Durante a descida, a velocidade aumenta 9,8 m/s a cada 1 s.
Já a aceleração escalar é constante e diferente de zero (a = ::!::g), dependendo
do sentido que se adote para a trajetória.
No ponto mais alto da trajetória, o corpo tem velocidade nula, mas a aceleração nunca se anula nesse movimento.
Lançamento de uma moeda.
Exercício resolvido
3 Um jovem tenista consegue, com o auxílio da raquete, jogar a bolinha verticalmente de baixo para cima. Considerando
que a velocidade inicial da bolinha é 20 m/s e g = 10 m/s2, pede-se:
a) a altura máxima atingida pela bolinha, em relação à origem do lançamento;
b) o tempo decorrido até a bolinha atingir a altura máxima;
c) o tempo decorrido durante a descida da bolinha, do ponto de altura máxima até a origem de lançamento;
d)a velocidade com que a bolinha chega à origem do lançamento, na descida;
e) o gráfico que mostra a posição da bolinha em função do tempo;
f) o gráfico da velocidade escalar em função do tempo.
Resolução
Adotemos o sentido da trajetória de baixo para cima, na direção vertical. A aceleração escalar é a= -g = -10 rn/s2 • Nesse caso, a aceleração
escalar assume valor negativo, porque o sentido da
V= 0
trajetória que está sendo adotado é de baixo para
cima.
a) Na posição mais alta atingida pela bolinha, temos
v = O. Utilizando a equação de Torricelli, obtemos a
altura máxima (smá) atingida por ela.
sentido
da trajetória
r ------
Smáx =
20 m
1
1
1
1
t
vi = 20m/s
s;
v2 = v21 + 2aas
=O
- - origem
400
20
O = 202 - 2 · 10 · As =} As = - - = 20
20 =
s máx
smáx -
O
= 20 m
Capítulo 5 • Queda liwe e lançamento vertical
67
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
sentido
da trajetória
V; = 0
b) Usando a equação da velocidade, temos:
r---
s; = Smáx = 20m
~
v =vi+ at
O = 20 - lOt ~ t = 2 s
1
1
1
1
1
s = O - - origem
c) Se considerarmos apenas o trajeto de descida da
bolinha, teremos:
s = si + vti
2
+ ~t
2
O = 20 + Otd -
~ t~
t~ = 4 ~ td = ± 2
td = - 2 (não convém)
sentido
da trajetória
Ou seja, o tempo de descida é igual ao de subida.
, ------------
d) Se o tempo total é 4 se v; = 20 m/s, temos:
ti
i
v =vi+ at = 20 - 10 · 4 ~ v = -20 m/s
, vi = 20m/s
v=?
Note que a velocidade escalar assume valor negativo
porque, ao atingir novamente o ponto de lançamento, a bolinha está se deslocando no sentido contrário
àquele adotado para a trajetória, ou seja:
vdescida = -vsubida = -20m/s
e) O movimento da bolinha é uniformemente variado e
a equação da sua posição corresponde à de uma função
polinomial do 2Qgrau. Graficamente é representada por
uma parábola, nesse caso com a concavidade voltada
para baixo.
- - origem
f) No caso do lançamento vertical, a equação da
velocidade escalar corresponde à de uma função
polinomial do l Qgrau. Graficamente é representada por um segmento de reta.
V
s ( m)
(m/S)
20
;.,"
"-~
-~
iíl
t cs)
1
o
68
4
t (s)
- 20
1
1
1
1
1
--------L--------
t
1
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
10. Ao lançar um corpo verticalmente para cima, com
15. (UFBA) Um corpo é lançado verticalmente para cima
velocidade inicial de 10 m/s, pode-se observar e afirmar que:
b)ele apresenta um movimento acelerado durante a
subida e retardado durante a descida.
com velocidade vr Ao atingir sua altitude máxima
igual a 100 m, um segundo corpo é lançado do mesmo
local e com velocidade inicial igual à do primeiro. Determine a altura em que os corpos se encontram. Considere g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar. 75 m
x c) ele apresenta aceleração no ponto mais alto de sua
16. Do topo de um edifício, a 20 m do solo, atira-se um
trajetória.
d) no ponto mais alto de sua trajetória, a velocidade e
a aceleração do corpo são nulas.
objeto verticalmente para cima com velocidade inicial de 10 m/s. Considere a resistência do ar nula e
a aceleração da gravidade no local 10 m/s 2 e determine:
a) ele apresenta um movimento acelerado.
e) ao atingir a mesma posição de lançamento, ele
apresenta a mesma velocidade.
11 . Se você arremessar uma moeda perpendicularmente
à superfície de uma mesa, de baixo para cima, e registrar que ela demorou 6 s para retornar ao ponto do
arremesso, que valor terá a velocidade inicial dessa
moeda? Adote g = 10 m/s2 e desconsidere as resistências impostas pelo ar. 30 rrJs
12. (UFRJ) Uma pedra é lançada do solo verticalmente
para cima e 4,0 s após retoma ao ponto de lançamento. Considere a resistência do ar desprezível e
g = 10 m/s 2 • Calcule a altura máxima atingida pela
pedra. 20m
13. Uma pedra é atirada para cima, em uma trajetória
vertical, partindo do solo, com velocidade inicial de
20 m/ s. Considere a aceleração da gravidade no local
10 m/s2 e despreze a resistência do ar. Se a origem
dos espaços é no solo, determine:
a) o tempo de subida do corpo; 1s
5,24s
b)o tempo de chegada ao solo desde o lançamento;
c) a altura máxima atingida pelo objeto. 25 m
17. (OBF) Dois escudantes decidiram medir a velocidade
das águas de um rio usando apenas uma trena e conhecendo o valor da aceleração gravitacional. Após
algumas tentativas perceberam que, abandonando
simultaneamente uma pedra do alto da ponte e um
barquinho de papel nas águas do rio, a pedra atingia
o barquinho quando ele era colocado na água a 3 m
do ponto de impacto e a pedra caía em queda livre
por 5 m. De posse desses resultados, eles chegaram à
conclusão correta de que a velocidade média da correnteza do rio tinha um valor, em m/s, próximo de:
a) as funções do espaço e da velocidade desse movimento; s = 20!-5t' ;v = 20-101
b) o tempo de subida da pedra; 2 s
c) a altura máxima atingida por ela; 20 m
d) o espaço e o sentido do movimento no instante 3 s;
15 m, sentido para baixo.
e) o instante e a velocidade escalar quando o projétil
atinge o solo; 4 s; - 20 rrJs
f) o gráfico que mostra as posições da pedra em função do tempo. Resposta no final do livro.
14. Um jogador chuta uma bola verticalmente para cima
com velocidade inicial de 12 m/s. Considerando a
aceleração da gravidade g
do ar nula, determine:
= 10 m/s2 e a resistência
a) o instante em que a bola passa pelo ponto a 7,2 m
acima do ponto de lançamento; 1.2 s.
b) a velocidade no mesmo instante; v = o
c) a velocidade no instante t
= 1 s; v = 2 mts
d)o gráfico da velocid ade escalar em função do tempo até o instante 2 s. Resposta no final do livro.
a)S
b)4
d)2
e) 1
X c) 3
Dado: g
= 10 m/s2 •
Capítulo 5 • Queda liwe e lançamento vertical
69
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Física no cinema
Met eoro: o futuro
está em jogo
Este filme é resultado de uma minissérie feita nos EUA, em 2009, e disponibili zada
em DVD, em 2011. A história começa em um isolado observatório, onde o Dr. Lehman
descobre, por meio de cá lculos e observações, um meteoro, bat izado de Kassandra, em
rota de colisão com a Terra. O filme conta com várias histórias paralelas, explosões, t iros,
acidentes e chuvas de meteoritos que começam a atingir e destru ir grandes cidades. Assista
ao filme com seu grupo e respondam às questões a seguir.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Atividades
Esaeva
no caderno
Professor, as respostas e os comentàrios das questões encontram-se
no caderno de orientações no final deste volume.
1. Como o cientista descobre o meteoro?
2. No começo do filme o cientista comenta sobre o tamanho do meteoro. De
posse desse valor, calcule seu volume e sua massa, utilizando como referência a densidade de aproximadamente 3 g/cm3 • Você consideraria o meteoro
como um ponto material ou como um corpo extenso?
3. Copie em seu caderno a trajetória do meteoro cruzando a da Terra. Lembre-
-se da definição de trajetória e dê um exemplo de encontro de dois corpos já
estudados por você.
4 . O que é a chuva de meteoros do filme? Por que ela acontece? Pesquise para
ver se os astrônomos têm o mesmo conceito.
5. No filme, qual a importância da posição do meteoro para os militares?
6. Quais são as atitudes tomadas pelo exército para deter o meteoro?
7. Pesquise a diferença entre meteoroide, meteoro e meteorito.
Titulo: Meteoro: o futuro está em
jogo
Titulo original: Meteor
Gênero: Ficção
Tempo de duração: 109 minutos
Ano de lançamento (EUA): 2009
Direção: Ernie Barbarash
8. Você com certeza já ouviu a respeito de grandes extinções no planeta Terra. Escreva sobre alguma que tenha
sido provocada pela queda de um meteorito, contando sobre a época em que isso ocorreu e quais foram os principais eventos gerados por essa queda. Pesquise sobre os efeitos de uma grande colisão.
9. Busque informações sobre as recentes pesquisas feitas pela Nasa sobre asteroides. Investigue se há asteroides que
vão passar próximo da Terra e traga pelo menos um exemplo de quando esse fenômeno já ocorreu e o que ele
ocasionou.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Experimente a Física no dia a dia
Tempo de reação
Os esportes olímpicos sempre nos trazem exemplos de superação. Contudo, para que esses momentos ocorram
são necessários muitos estudos de várias áreas do conhecimento humano, especialmente de Física.
Você é capaz de imaginar quantas vezes um atleta olímpico treinou e repetiu determinado salto e quantas vezes a
equipe de treinadores usou um cronômetro e uma trena para registrar dados, calcular o tempo, a distância e a velocidade do atleta? Ao assistirmos a uma olimpíada dificilmente nos preocupamos com esses detalhes, mas eles estão
presentes e antecedem cada recorde obtido.
Para iniciar qualquer ação, o ser humano necessita de determinado tempo. Esse tempo é fundamental em várias atividades. Imagine, por exemplo, a
importância do tempo de reação de um motorista ao
observar um obstáculo e acionar o freio ou de um
velocista ao ouvir o disparo da largada da prova.
A seguir vamos realizar uma atividade que envolve algumas curiosidades sobre o reflexo humano
e que nos possibilitará fazer uso dos conhecimentos
que já desenvolvemos sobre Cinemática.
Você pode avaliar o tempo de reação de um colega. Quando estamos medindo o tempo de queda de
um corpo, lembre que entre o instante real em que
um corpo é abandonado e o instante em que o observador aperta o botão de um cronômetro decorre um
intervalo de tempo. Esse intervalo de tempo é denominado tempo de reação.
Velocistas no momento da largada em uma corrida.
• régua
Passo a passo
• Mantenha uma régua suspensa verticalmente, segurando-a pela extremidade superior.
• Peça a um colega que coloque os dedos da mão, em forma de pinça, próximos do zero da régua, sem tocá-la.
• Ele deve ficar atento e pronto para segurar a régua assim que perceber que
você a abandonou.
• Sem aviso prévio, solte a régua.
• Seu colega deve procurar segurá-la o mais rápido possível. Observando a
posição onde ele conseguiu segurar a régua, vocês podem determinar o
tempo de reação.
Responda
Representação
do experimento.
Escreva
no caderno
1. Como o experimento pode ser feito? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.
2. Qual o valor do tempo de reação de vocês? Compare-o com o tempo dos outros colegas.
72
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· • comp 1ement ares
Exerc1c1os
1. Uma criança, andando de bicicleta, passa por cima de
uma faixa pintada no chão, com a tinta ainda fresca,
e fica com uma mancha no pneu. A trajetória descrita
por essa mancha vista por um observador na calçada
é uma curva chamada cicloide.
a) Qual a forma da trajetória dessa mancha, vista pela
criança, ao desviar a cabeça lateralmente e observar
a roda? Circunferénda.
b) Qual é a forma da trajetória de um ponto no eixo
da roda, vista por um observador na calçada? E pelo
ciclista? P~o observador na calça~ éuma retil e para o cidista um ponto que
nao descreve uma tra1et6na.
2. A cobertura do Serviço de Atendimento Móvel de Urgência (Samu) está presente em todos os estados brasileiros. Esse projeto do governo federal, em parceria
com os governos estaduais e municipais, realiza atendimento de urgência e emergência com auxilio de seus
veículos de salvamento (ambulâncias, motolâncias,
ambulanchas e helicópteros) e principalmente com
equipes de profissionais preparados para esse tipo de
ação. Esse atendimento é feito com eficiência, embora
o congestionamento de trânsito, em alguns casos, seja
um fator que impede o melhor desempenho.
Escreva
no cadern
elevam valores de multas. Uma dessas alterações visa
inibir infrações referentes às ultrapassagens irregulares. Nesse sentido, um aspecto importante a ser observado pelo motorista é o comprimento do veículo
que está a sua frente e precisa ser ultrapassado.
Avalie, nesta questão, o tempo de ultrapassagem
dos veículos A e B que se deslocam em um trecho
de estrada retilínea, com movimento uniforme e com
velocidades escalares vA= 14 m/s e V8 = 10 m/s, respectivamente. Considere que o veículo A tem 12 m de
comprimento e o veículo B tem 16 m e determine o
tempo de ultrapassagem:
a) quando se deslocam no mesmo sentido; t = 7 s
b) quando se deslocam em sentidos opostos. t = 1,2 s
4. Nascido na Etiópia, Gebrselassie conquistou em 2008
a marca de 2h3min59s na Maratona de Berlim, tornando-se o primeiro atleta a correr os 42 km em menos de 2h4min. Duas garotas, Amanda (A) e Beatriz
(B), em uma aula de Educação Física obtiveram o
gráfico abaixo para a caminhada que realizaram na
pista de corrida da escola.
x ( m)
A
B
4
..
l!!
-!l
2
·_g"
, - - - - - - -.
1
1
~
1
Em caso de acidente em que a vít ima não esteja presa
nas ferragens, ligue para o número 192.
Nós, agindo como cidadãos solidários, devemos facilitar a passagem desses veículos, pois a vida de pessoas
pode depender da presença dessas equipes.
Ao sair do hospital, o motorista de uma ambulância
foi avisado de que precisaria percorrer 40 km para
chegar ao local do atendimento. Inicialmente, pretendia fazer esse percurso com velocidade média de
80 km/h. Porém, durante os primeiros 15 minutos,
só conseguiu manter a velocidade média de 40 km/h.
Nesse caso, se ele quiser chegar ao local no mesmo
intervalo de tempo, que velocidade média deverá
manter no restante do percurso? 120 kmni
3. Por meio da Lei n 12.971, publicada em 9 de maio
12
de 2014, onze artigos do Código de Trânsito Brasileiro foram alterados, tornando a legislação mais rígida. Começou a vigorar em 1!! de novembro de 2014
e os condutores de veículos passaram a ter penalidades mais severas para algumas infrações de trânsito. Essas mudanças aumentam o risco de prisão e
o
2
4
t (s)
Compare, aproximadamente, as velocidades médias
de Amanda e de Beatriz com a velocidade média de
Gebrselassie na maratona. v."" 5,65 v,
v. = 11,3 v,
5. (UFMD Dois projéteis iguais são atirados da mesma
posição (40 macima do solo), verticalmente, em sentidos opostos e com a mesma velocidade. Em 2 s o primeiro projétil atinge o solo. Depois de quanto tempo
da chegada do primeiro o segundo atingirá o solo?
(Despreze qualquer atrito e considere g = 10 m/ s2 .)
a)ls
xb)2s
c) 3s
d)4s
e)Ss
6. O piloto de um avião precisa partir do repouso e atin-
gir a velocidade de 360 km/h, com aceleração escalar
média de 4 m/s2 , antes de decolar. Nessas condições,
determine:
a) quantos segundos serão necessários para atingir
seu objetivo; ót = 25 s
b) o tipo de movimento (acelerado ou retardado) descrito pelo avião nesse intervalo de tempo. Justifique a
resposta. M011imento acelerado (v > v, ).
Capítulo 5 • Queda liwe e lançamento vertical
73
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Analisar o movimento de queda de um objeto é um desafio à nossa imaginação porque a variação de sua velocidade é muito rápida para ser percebida pelos nossos sentidos. Perceber que existe
um aumento constante na velocidade da bola de basquete logo após passar pelo aro da cesta
requer instrumentos de medida e perspicácia.
O primeiro cientista a estudar movimentos como esse de maneira quantitativa foi Galileu Galilei. Ele obteve uma lei do movimento afirmando que, se um objeto se move partindo do repouso
em movimento uniformemente acelerado, a razão entre duas distâncias percorridas em qualquer
intervalo de tempo é proporcional ao quadrado dos mesmos tempos.
Galileu conseguiu obter medidas desse moviment o utilizando um plano inclinado e possivelmente uma clepsidra, relógio de água, para o registro do tempo. O plano inclinado era dotado de
sinos ao longo de seu percurso, e Galileu recolhia e comparava os volumes de água a cada " batida "
de cada sino.
Por meio de vários testes experimentais,
Galileu também verificou que, em intervalos de
tempo iguais, existe uma relação entre as distâncias percorridas pelos corpos em queda livre (ver
página 64) que independe da massa do corpo.
Atualmente, sabemos que as variações de
velocidade sofridas pela bola de basquete ocorrem por causa da atração gravitacional da Terra,
que depende apenas de sua massa e de seu raio.
Nesses movimentos, a velocidade sempre
varia em valores iguais, cerca de 1O m/s a
cada segundo. Para a bola de basquete em
queda - movimento acelerado-, o módulo da
velocidade sempre aumenta.
v
Representação esquemática das posições e das
velocidades de dois corpos em movimento sob influência
da gravidade, um em queda livre e outro lançado
verticalmente para cima.
v
Plano inclinado utilizado por Galileu em seus experimentos sobre o movimento por volta de 1630-1640.
74
Unidade 2 • Cinemática escalar
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Os satélites artificaís são colocados
em órbita terrestre com diferentes objetivos, alguns deles parecem estar imóveis em relação a um ponto da superfície
terrestre. Esses satélites são chamados
de geoestacionários.
r••;...~:,,1,..,.....~·~~...
:> • Você sabe o que significa geoestacionário? Caso não conheça, pesquise o
termo e responda quais condições são
necessárias para que um satélite artificial seja considerado geoestacionário.
• Faça uma pesquisa sobre os tipos de
aplicações dos satélites geoestacionários, destacando suas vantagens e
desvantagens. Apresente sua pesquisa
para a turma.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Professor, os corl'K!ntários das questões da abertura de Unidade encontram-se no Caderno de orientações
no final deste volume.
1. Grandezas vetoriais
~
Mapa rodoviário do Sul do Brasil
Fonte: ATIAS geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
A distância em linha reta entre as
cidades de Torres (RS) e Florianópolis
(SC) pode ser indicada no mapa por
um vetor deslocamento dado pelo
segmento orientado na cor azul.
Nos estudos sobre Cinemática escalar, até o momento, t rabalhamos
com grandezas, como o comprimento e o tempo, definidas apenas por
um valor numérico seguido de uma unidade de medida. Essas grandezas e outras, como temperatura, volume, massa e densidade, são
chamadas grandezas escalares.
Há g randezas, porém, como o deslocamento, que precisam de
informações complementares. Veja esta situação: um helicóptero se
desloca em linha reta de Torres (RS) até Florianópolis (SC), cidades
distantes 226 km . Observe que, além do valor numérico (226) e da
unidade de medida (km), o deslocamento se caracteriza por uma direção (definida pela reta que contém as cidades) e por um sentido (de
Torres para Florianópolis). Grandezas que se definem dessa forma são
chamadas grandezas vetoriais. A lém do deslocamento, são exemplos
de grandezas vetoriais a velocidade, a aceleração e a força.
As informações que definem uma grandeza vetorial determinam
uma entidade matemática denominada vetor.
Vamos considerar um segmento de reta orientado AB para definir
vetor, com origem em A e extremidade em 8, ambos sobre a reta r.
Com isso é possível identificar três características:
• módulo: comprimento do segmento orientado AB que representa o
valor numérico da grandeza estudada.
• direção : a mesma da reta r à qual ele pertence.
• sentido: de A para 8.
B
v"
B
- V
d/
1/
D
A
,,v"
d/ V
A
Carros trafegando em uma
rodovia.
Observe os dois carros da
fotografia acima. Se am bos
estiverem trafegando a
50 km/h, podemos dizer
que eles possuem a mesma
velocidade? Por quê?
V
c
1/
ª" /
V
F
E
Observando os segmentos orientados AB, CD e EF, notamos que eles têm o
mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.
Graficamente, cada um desses seg mentos orientados representa o mesmo vetor, identificado por d, e o seu módulo será identificado por ld I ou apenas a letra d.
~ Em síntese, vetor é uma entidade matemática abstrata, caracterizada por um número (não negativo), uma direção e um sentido.
Nos exercícios resolvidos a segui r você estudará alguns procedimentos que
envolvem operações com vetores.
Professor, os comentários dessa seção ern:ontram-se no Caderno de orientações no final deste ..olume.
76
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercícios resolvidos
1 De segunda-feira a quinta-feira, Joana caminha em um parque, percorrendo cada dia duas trilhas diferentes e re-
f:
tilíneas, representadas pelos vetores i\ e r2 • Qual será o módulo do vetor resultante R, obtido a cada dia do percurso
realizado pela Joana, sabendo-se que ela percorre na:
a) segunda-feira
r 1 = 4km
r 2 =3km
a= 60º
c) quarta-feira
r
r 1 = 7km
r2
- ª- ~
__
= 3 km
b) terça-feira
r 1 = 8km
d) quinta-feira
r 1 = 9km
r 2 = 6km
a= 90º
r2 = 2km
Resolução
Para obter o vetor resultante, conhecido também como vetor soma, podemos aplicar alguns dos métodos de soma
vetorial, que significa determinar um vetor que expressa o efeito dos vetores componentes. Nesse caso, utilizamos
um método chamado regra do paralelogramo, aplicado apenas à soma de dois vetores.
Se considerarmos dois vetores r1 e r2 , cujas direções determinam o ângulo o:, e representarmos estes vetores com
origem no ponto O, podemos traçar retas paralelas resa cada um desses vetores, como mostram as figuras a seguir.
Í
I
~'~---
I
,'
s
s
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
180º - a ,'
I
o
~~ --
r,
,'B
a
o
,' B
O vetor resultante R é a diagonal do paralelogramo formado, com origem no ponto O e extremidade no ponto A,
encontro das retas r e s.
Esse método de soma permite calcular o módulo do vetor Rpela aplicação da lei dos cossenos no triângulo OAB.
R2
= ~ + r; - 2r/2 cos (180º - a)
Como cos (180º - a)
= -cosa, temos:
F
R'-,: + ,: + 2',,,co,~
a) Pela regra do paralelogramo:
R2 = r~ +
R2
=
42
r; + 2r/2 cosa
+ 3 2 + 2 · 4 · 3 · ...!._ => R = J37
2
R = 6,08 km
b) Como r1 e r2 são perpendiculares entre si (a = 90º):
R2 =
r; + r;
R = 82
2
+ 62 => R = Jwo
R= 10km
c) Como r1 e r2 têma mesma direção e o mesmo sentido (a= Oº):
R = r1
+ r2
R
R=7 + 3=>R=10km
d) Como r1 e r2 têm a mesma direção e sentidos opostos (a = 180º):
R
= r1 -
r2
R
R = 9-2 => R = 7km
Capítulo 6 • Grandezas escalares e vetoriais
77
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Um bairro residencial foi projetado de tal forma que o traçado das ruas paralelas divide os quarteirões em memdas
iguais, conforme o esquema abaixo.
1km
Leda mora em C e fez duas caminhadas esta
semana. Na primeira, ela andou 6 quarteirões
para leste, 4 quarteirões para norte e 6 quarteirões para oeste. Na segunda, ela andou 4 quarteirões para oeste, 4 para norte e 1 para leste.
Represente cada trecho do percurso por um
vetor e calcule o módulo do vetor resultante em
cada um dos percursos.
.-,._,
~
L:.
e
Resolução
Neste exercício, utilizaremos a regra da poligonal para obter o vetor resultante R, referente à soma de vários vetores. Segundo esse método, representamos o primeiro vetor a partir da origem arbitrária O, a origem do segundo
coincidindo com a extremidade final do primeiro, a origem do terceiro coincidindo com a extremidade final do segundo, e assim sucessivamente. A ordem de encadeamento dos vetores não altera as características do vetor resultante R, cuja origem deverá coincidir com a origem do primeiro vetor e a extremidade coincidir com a extremidade
do último vetor. Esse processo de adição é chamado de regra da poligonal, pois os vetores somados se encadeiam
determinando uma linha poligonal. Veja como essa regra se aplica a este exercício:
O vetor resultante Rtem a mesma origem do primeiro vetor e sua extremidade coincide com a do último vetor.
No primeiro trecho:
o segundo trecho:
R=4km
R2
F ••-
~
=
32
+ 4 2 ~ R = J2s
R = Skm
-+---+--+--+----<>--~
R.
e
e
Sabendo que os vetores i\ e r2 formam entre si um ângulo de 60º, conforme a figura, represente e determine:
(Dados: cos 60º =
!;
r 1 = 4; r 2 = 2. )
O
a) a intensidade do vetor diferença d1 =
i\ - r2 ;
b) a intensidade do vetor diferença d2 =
r i\.
r1
2 -
Resolução
a)
-r2é Ovetor oposto a r2"
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
di = r: + ri - 2r1 r2 cos 60º
1
d2 = 42 + 22 - 2 . 4 . 2 . 2
1
d1 =
Ju unidades
o
o
b) - r 1 é o vetor oposto a r 1 .
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
d; = ri+ ri - 2r1r 2 cos 60º
d2 =
78
m
unidades
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
1 . Qual é a diferença entre grandezas escalares e gran• .
As escalares sao definidas p0f um valor numérico e pela
d ezas vetona1s? unidade de medida. As vetoriais são identificadas por mó-
7. Represente, no caderno, o vetor resultante Rnas figuras: Resposta no final do livio.
dulo (e sua unidade de medida), direção e sentido.
b)
2. (FGV-SP) São grandezas escalares:
a) tempo, deslocamento e força.
b) força, velocidade e aceleração.
x c) tempo, temperatura e volume.
d)temperatura, velocidade e volume.
8. Uma equipe de salvamento marítimo recebe em seu
e) tempo, temperatura e deslocamento.
3. Defina soma vetorial e cite um exemplo.
Resposta no final do livro.
4. O módulo da soma vetorial de dois vetores pode ser
igual a zero? Explique. Sim, quando os vetores são opostos.
posto um sinal de um navegante em alto-mar fornecendo as seguintes coordenadas a partir do posto de
salvamento:
• 16 km na direção oeste-leste e sentido para o leste.
• 12 km na direção sul-norte e sentido para o norte.
5. Observe os automóveis trafegando pelas ruas de um
4km
..
,...,._,
bairro representado no esquema a seguir:
E
:. ~. . ..
,
T
2
{!J.
.
T
V
-
-
_,_
!.
/
navegante
V
./
posl o de salvrune ~to
_,...
1
8
-.
- -.- - .- ,.-
.
j
;
- - , ..
'
'
•
i
e
?:.:
v. = 20km/h
V0
D
= 15 km/h
a) Quais automóveis possuem a mesma direção de
movimento? A e B, ee o
b) Quais possuem o mesmo sentido de movimento?
CeO
c) Quais possuem o mesmo módulo de velocidade?
d) Pode-se afirmar que a velocidade dos automitiis A
e C são iguais? Justifique sua resposta.
Não, porque suas direções são difetentes.
6 . (UEL-PR) Na figura a seguir estão desenhados dois
vetores Xe Y. Esses vetores representam deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é o módulo do vetor
igual ax + Y?
....
.!li
9
;i:j
V
a) 4 cm xb) 5 cm
~I o n
~
..
"....
"
-"
·I
v
d) 13 cm
~
3m
Sm
cos60º =
lcn
c) 8 cm
res ã, w e v. Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, determine o módulo do vetor
g = a- w+v. 2u
lr1 I =
lr2 I =
/
J
Ela representa a menor distância para a equipe de satvamento che9ar ao local.
9. Na figura representada a seguir, são dados os veto-
10. Sabemos que os vetores r; es formam entre si um ângulo a_= 60º, conforme a figura. Determine o módulo
do vetor soma R, conhecendo: 7 m
"
i
/ [\v
xi \
a) Reproduza o esquema no caderno e localize a posição do navegante.
b)Calcule a menor distância para a equipe de salvamento chegar ao navegante. 20 km
c) Discuta a respeito da soma de vetores nesse exercício.
1
2
e) 25 cm
Capítulo 6 • Grandezas escalares e vetoriais
79
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
Como funciona o GPS?
•
*
Os primeiros satélites NAVSTAR-GPS (ou simplesmente GPS do inglês ~
Global Positioning System - Sistema de posicionamento global) que estruturaram o sistema de navegação entraram em funcionamento em 1978 e
foram desenvolvidos pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos para
uso militar. Em meados dos anos 1980, esse sistema foi aberto para uso civi l,
inclusive para outros países. Com essa medida, foi possível ampliar o uso
O GPS é um recurso utilizado por
dessa tecnologia para outras áreas, como a navegação marítima, o monitomotoristas, para obter a rota de um
ramento de veícu los, levantamentos geodésicos e topográficos, entre outros. deslocamento. Na imagem, o t raçado
em destaque na cor verde é o que
Embora inicialmente o uso tecnológico tenha sofrido algumas limitações
deve ser seguido pelo motorista.
de precisão- a margem de erro abaixo de 100 metros somente era corrigida
com precisão máxima para fins militares-, após o ano 2000 essas limitações
foram desfeitas. É importante destacar que o GPS não é o único sistema de
navegação. Além dele, há o sistema russo GLONASS, o chinês COMPASS e
o europeu GALILEO, sendo que os dois últimos estão em fase de conclusão.
Vale destacar que o sistema europeu GALILEO foi desenvolvido para uso civil,
enquanto os outros foram desenvolvidos para usos militares.
Para entender o funcionamento do GPS, precisamos considerar que ele é
um sistema de posicionamento que depende de sinais enviados por uma rede
de satélites, sob o controle do Departamento de Defesa dos EUA. Os satélites
levam 12 horas para completar uma volta em torno da Terra e encontram-se a
Representação do cruzamento dos
cerca de 20000 km de altitude. No início, a rede era formada por 24 satélites,
sinais emitidos por satélites em
um sistema GPS para determinar a
porém a partir de 2008 passou a contar com 32.
localização de um navio.
O projeto foi estruturado de tal forma que pelo menos quat ro satélites tenham seus sinais captados a partir de qualquer ponto da Terra. Assim, os satélites transmitem um sinal de alta frequência (com "pacotes" de informação) que indicam a hora precisa na qual
cada um foi transm itido. Enquanto isso, os recept ores em Terra captam o sinal e determinam a posição, comparando a diferença de tempo entre a transmissão e a recepção do sinal. Dessa forma, calculam a distân cia de
cada satélite. A medida que o objeto se desloca, a distância em relação aos satélites também muda e provoca
pequena diferença no tempo do percurso, que serve para atualizar a localização.
Para calcular a posição chamada 2D, em lat itude e longitude o receptor utiliza os sinais de três satélites
e para fornecer a posição chamada 3D, em latitude, longitude e altitude, ele necessita dos sinais de quatro
satélites. O receptor determina a distância até cada um dos satélites. Cruzando os dados de pelo menos três
satélites, é possível o receptor determinar sua localização na superfície terrestre. Caso ocorra o processamento
contínuo da posição, o receptor poderá determinar o deslocamento e a velocidade.
Escreva
no caderno
1. Faça uma pesquisa com o objetivo de entender, com mais detalhes, como o posicionamento de um corpo na superfície da Terra pode ser acompanhado pelo GPS. Resposta pessoal.
2. O texto relata que os primeiros satélites usados para estruturar os sistemas de navegação tinham objetivos militares. Analise e argumente sobre esse e outros instrumentos, frutos de pesquisas científicas, que foram desenvolvidos com finalidades bélicas. Reflita a respeito dos aspectos éticos e sobre interesses financeiros e políticos que
motivaram e motivam determinadas pesquisas científicas. Resposta pessoal.
Sugestão de consulta: No site do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) <http://tub.im/ nzpfwt>
você encontrará animações e vários textos que podem ajudá-lo a entender, por exemplo, como são desenvolvidos
os métodos de levantamento de informações, o que é o sensoriamento remoto, de que forma se estruturam as
imagens orbitais e as projeções cartográficas.
80
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
f14.f!f!f f·14·ti! t·i+ i,, t4 at·l'l4 t·1; M•--------------Considere uma partícula em movimento ao longo da trajetória pontilhada, passando pelo ponto A em determinado instante. O ponto O é a origem de um sistema referencial xOy.
y
''
'
'
''
'
Nesse instante, denominamos vetor posição da partícula em relação ao ponto O o vetor p, de origem em O e extremidade no ponto A
\
\
\
'
''
l
L
1
o
X
Agora, considere que a partícula se desloca do ponto A ao ponto B sobre a trajetória pontilhada. Os vetores
posição P; e p representam, vetoria lmente, as posições da partícula nos instantes t ; e t , respectivamente, em relação ao ponto O.
y
o
-- --
A
O vetor ôp, representado pela diferença entre o vetor posição final
p e o vetor posição inicial i\ é chamado deslocamento vetorial
entre os pont os A e B.
X
-,
A
Entre os pontos A e B, ôp é o deslocamento vetorial e ôS, o deslocamento
escalar sofrido pela partícula.
Observe que ôp < M, pois a trajetória é curvilínea. Se a partícula estivesse em
trajetória retilínea, então Ap = ôS. De modo geral, ôp "" As.
.!!
.;
~
.!i
_:g
'
B
;i:
1
\
\
l
1
o
Uma partícula se move ao longo da trajetória representada a seguir passando pelo ponto A no instante t, e,
posteriormente, pelo ponto B no instante ~ . Considere o ponto O como a origem do sistema de referência.
A velocidade vetorial média vmda partícula, nesse interva lo
de tempo, corresponde à razão entre o vetor deslocamento ôp,
entre A e B, e o intervalo de tempo M de t, a t 2 .
',, __traJetória
o,
---
-V
= m
'
1
~p
~t
O vetor vmsempre terá direção e sentido iguais aos do vetor ôp, uma vez que o intervalo de tempo M é sempre
positivo.
A velocidade vetorial instantânea corresponde ao limite da velocidade vetorial média para um intervalo de
v __
tempo que tende a zero, ou seja, um intervalo de tempo muito pequeno.
v
Quando o intervalo de tempo tende a zero, o vetor Ap tende à direção
tangente da trajetória, e seu módulo tende ao módulo do deslocamento
escalar. Em consequência disso, a velocidade vetorial instantânea:
• é tangente à trajetória, e seu sentido é igual ao do movimento;
• tem módulo igual ao da velocidade escalar instantânea (lvl = lvl).
,
,' '
,,
'
1
,
,,
:ª~~:.n!: _
,-
'
movimento
''
\
'
\
\ trajetória
Capítulo 6 • Grandezas escalares e vetoriais
81
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
,..Exercício resolvido
4 Em um campo de futebol de um clube, um funcionário refez a pintura da marcação da circunferência central de
raio 6 m. Ao passar pela posição s;, o cronômetro marcou ti
trajetória de sí até s e use n = 3.
=
10 se, por s, t = 190 s. Considere apenas o trecho da
a) Represente o vetor deslocamento e determine sua intensidade, sua direção e seu sentido.
b) Calcule a intensidade da velocidade escalar média.
e) Explicite as características do vetor velocidade média.
Resolução
a) Sendo Ap o vetor deslocamento, temos:
L'1p2 = R2 + R2 = 62 + 62 = 72
L'1p = 6..J2
Características de óp:
módulo: Ap = 6..J2 m
direção: a mesma da reta r
sentido: da posição si para s
b)A variação das posições 8S é numericamente igual a um quarto do comprimento da circunferência de raio 6 m.
1
1
L'1s = - · 2nR = - · 2 · 3 · 6 =} L'1s = 9 m
4
V
=
m
L'1s
4
9
190 -10
s
9
180
c) O vetor velocidade média vm é caracterizado por:
módulo:
lvml = IAp 1= 65
M
1V-m 1=
180
530
- - m/s
s
- , --,,~ vm
1
' ,'\..
1
'
: Llp
\
~-----' si
I
J
J
direção: a mesma do vetor deslocamento Ap
sentido: da posição si paras
Os vetores L'1p e vm têm sempre a mesma direção e o mesmo sentido.
82
Unidad e 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
11 . Sobre uma esteira rolante é colocada uma peça de automóvel que sofre um deslocamento de 30 m. Essa afirmação nos permite caracterizar:
Sim. Odeslocamento escalar fica caracterizado por número e unidade.
a) o deslocamento escalar? Justifique.
Não. Para caracterizar o deslocamento vetorial, além da intensidade (30 m),
precisamos conhecer
sua direção e seu sentido.
b) o deslocamento vetorial? Justifique.
12. Em um treino de futebol, crês jogadores fazem a
bola rolar no gramado. Com apenas um chute, cada
jogador faz a bola percorrer uma das três distâncias
distintas: de A para B, de B para C e de C para A.
Classifique em verdadeira ou falsa as afirmações a seguir e justifique-as.
a) dAB
+ <l8 c = dCA falsa.
b) dAB + ~ e = dCA Falsa.
Escreva
no caderno
15. (Enem/MEC) & cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos
diametralmente opostos do globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6 400 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média
800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a
Cingapura em aproximadamente:
a) 16 horas
b) 20 horas
xc) 25 horas
d) 32 horas
e) 36 horas
16. O radar é um aparelho de localização que funciona
de acordo com o sistema polar, localizando corpos a
certa dist ância r do radar, e um ângulo ex, tomado em
relação a uma linha de referência. Observe na figura
a seguir um modelo de radar usado em aeroportos
que utiliza o sistema polar.
O funcionamento de um aeroporto é como um relógio indicando a posição dos aviões em relação ao
centro do aeroporto, onde se encontra a pista de aterrissagem ou decolagem.
13. Um avião desloca-se 30 km na direção norte-sul, sentido de norte para sul; em seguida, percorre 40 km, na
direção leste-oeste, sentido de leste para oeste.
a) Faça a representação desses vetores deslocamento.
Resposta no final do livro.
b) Determine a intensidade do vetor deslocamento resultante. so km
14. Observe o esquema, que representa parte de um
12
mapa de um bairro em que as ruas se cruzam, formando ângulos de 90º.
Representação de tela de radar de aeroporto.
Com base no texto e na figura, responda:
A se aproxima na pçsiç_ão 8 horas; B~ aproxima na PQSição 1Ohoras: C se afasta
a) Qual a pos1çao dos avmes A, B e C?
vl' v v v
Considere que os vetores
2 , 3 e 4 representam as
velocidades dos veículos 1, 2, 3 e 4 que se movimentam nessas ruas. De acordo com as informações dadas, examine a veracidade das afirmações:
a) Os vetores v1 e v2 têm mesma direção e sentido. v
b) Os vetores v4 e v1 têm mesma direção e sentido. f
c) Os vetores V4 e v3 têm direções diferentes. v
d) Os vetores
sentido. F
v e v têm direções diferentes e mesmo
2
4
na posição 12 horas.
b) Os aviões estão aterrissando ou decolando?
A e Baterrissam e edecola.
17. Um peregrino inicia uma caminhada sobre um terreno plano.
Caminhou 4 km para o leste e fez a 1 il parada. Tomou
água, caminhou mais 5 km para o leste e fez a 2il parada. Descansou, caminhou mais 3 km para o oeste
e fez a 3ª parada. Comeu uma fruta, caminhou mais
2 km para o sul e fez a 4-ª parada.
Determine o vetor deslocamento do início da caminhada até a: Respostas no final do livro.
a) 2~parada;
b) 3ª parada;
c) 4-ª parada.
Capítulo 6 • Grandezas escalares e vetoriais
83
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
18. Amélia caminha diariamente percorrendo os quartei-
19. Uma marca pontual M é feita na extremidade de uma
das pás da hélice de um ventilador que gira em sentido
horário. O ponto O representa o centro da hélice.
rões próximos de sua casa, como mostra a figura.
B
400m
E
g
t")
B
1
\
''
''
'
D
A- - - ------ --~
a) Calcule a distância percorrida por Amélia entre os
pontos A e B. 2100 m
b) Calcule o deslocamento de Amélia entre os pontos
AeB. soom
c) Discuta a diferença entre a distância percorrida e o
deslocamento entre os pontos A e B. Resposta no final do livro.
No esquema, os pontos A, B, C e D são poVentilador.
sições ocupadas pela
marca M durante o movimento da hélice.
a) Represente no caderno o vetor velocidade da marca M nessas quatro posições.
b) Se a marca percorrer a trajetória de A até B em 2 s,
qual será o seu vetor velocidade média nesse intervalo de tempo? Respostas no final do livro.
Pense além
Nesta história, quem tem razão?
Parados em uma estação de trem, dois estudantes
observaram um grupo de ciclistas que passaram a sua
frente, conforme a cena vista nesta fotografia.
Observando os dois ciclistas de camiseta amarela, que
trafegam praticamente lado a lado, um estudante disse:
- Os dois ciclistas estão com a mesma velocidade.
O outro estudante respondeu :
- Você está errado. Como é possível dizer que eles
tenham a mesma velocidade se não têm velocímetro?
Então o primeiro retrucou :
- Pois é, mas eles estão pedalando lado a lado, passando pelos mesmos pontos simultaneamente. Se houvesse um velocímetro nas bicicletas e eles passassem por
uma lombada eletrônica, ela provavelmente marcaria o
mesmo valor.
Ciclistas na ciclovia da Marginal Pinheiros em São Paulo, 2013.
O outro insistiu:
- Supondo que isso seja verdade e também que as duas bicicletas percorram distâncias iguais em intervalos
de tempos iguais, sobre a pista plana e horizontal, ainda assim você não pode afirmar que as duas bicicletas
têm a mesma velocidade.
Admirado com a veemência da fala do seu colega, o primeiro estudante disse:
- Na minha forma de entender, quando os velocímetros de dois veículos registram o mesmo valor é porque
eles têm a mesma velocidade. Porém, se você não concorda com isso, então me expl ique de qual velocidade
você está falando.
Responda
Escreva
no caderno
Se considerarmos apenas o módulo da velocidade das biódetas, o primeiro estudante está certo. Porem, se pensarmos na
velocidade vetorial, além do módulo, é necessário detetminar também a direção e o sentido da veloódade. Nesse caso, o
segundo estudante tem razão, pois os dois ciclistas apresentam diferentes sentidos em suas velocidades vetoriais.
1. Analise a fala dos dois estudantes e responda se apenas um está certo ou se os dois estão certos.
84
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
'1#%4t4Eifi·l'l4f·jJffia___________
Na Cinemática escalar, medimos a variação da velocidade
escalar em relação ao tempo utilizando a aceleração escalar
média, representada pela fórmula am =
!~ .
r
r
'
Na Cinemática
''
''
'
vetoria l, a variação da velocidade vetorial em relação ao tempo
é chamada aceleração vetorial média ãm.
A figura ao lado representa a trajetória descrita por um
ponto mat erial entre as posições A e 8.
No instante inicial t ;, o ponto material passa pela posição
A com velocidade v; e, em um instante posterior t , passa pela
posição B com velocidade v. A aceleração vetorial média
nesse intervalo de tempo, é:
,,I
I
,
I
/1
1
1
t>\
I
\
''
1
ªm•
A aceleração vetorial instantânea a,, ou simplesmente aceleração vetorial,
mede a variação da velocidade vetorial em um intervalo de tempo infinitamente
pequeno.
Em qualquer movimento a velocidade v é tangente à t rajetória, descrita pelo
corpo .
No caso do movimento retilíneo variado, o vetor aceleração ã, tem a mesma
direção da trajetória, e seu sentido depende do t ipo de movimento.
v
v
ã,
ã,
No movimento retilíneo acelerado,
a aceleração ã, tem o
mesmo sentido da velocidade v.
No movimento retilíneo retardado,
a aceleração ã, tem sent ido
contrário ao da velocidade v.
No caso do movimento curvi líneo, o vetor aceleração ã, tem a direção voltada
para a parte interna da curva .
,& - - ---- -
ou
1
I
1
I
/
Movimento curvilíneo acelerado.
Movimento curvilíneo retardado.
Sabendo que a velocidade vetorial vvaria em módulo e direção, vamos utilizar a
representação da aceleração vetorial a, em duas componentes vetoriais: aceleração
tangencial â1 e aceleração centrípeta âc.
~ Y ---------
A aceleração tangencial ãt está relacionada à variação da velocidade esca lar
e apresenta as seguintes características:
• O módulo é igual ao apresentado pela aceleração escalar: a1
No MU, a1 = O; no MUV, a1 = a (constante).
= 1a 1-
/
,'
,'
7 -~etor
aceleração
tangencial pa ra
o movimento
acelerado.
1
------
• A direção é a mesma da reta tangente à trajetória em cada posição ocupada
pelo ponto material.
• O sentido será o mesmo do vetor velocidade v se o movimento for acelerado,
e contrário a ele se o movimento for retardado.
/
,
:.:::M~a<~~
tangenoal para
o movimento
retardado.
Capítulo 6 • Grandezas escalares e vetoriais
85
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
A aceleração centrípeta ãc indica a variação da direção do vetor velocidade v.
Para o ponto material que descreve uma trajetória circular, com raio de curvatura
R e com velocidade escalar v, a aceleração centrípeta apresenta as seguintes
características:
o
• O módulo é determinado por:
~
a:;:; e
v2
R
L
• A direção é perpendicular à direção da velocidade v. Se o movimento for ret ilíneo, a direção da velocidade v não variará, portanto = Õ.
ac
• O sentido é orientado para o centro de curvatura da t rajetória.
O vetor aceleração ã, é representado pela adição das componentes ã, e
ªe·
Observando que os vetores ã1 e ãcsão ortogonais, é possível obter o módulo de
de Pitágoras:
ã, aplicando o teorema
ã, = ã1 + ãc
a;=~ + a~
Exercícios resolvidos
5 Determine o módulo da aceleração ã, de um ponto material que descreve MCU com velocidade de 4 m/s. Sabe-se que
o raio de curvatura da trajetória é R = 2 m.
Resolução
No movimento circular e uniforme, temos ã, = Õ, portanto ã, = ãc; logo:
v2 42
a r =ae = -R = - 2 ~ar =8m/s2
• Determine o módulo da aceleração padrão ã, de um
ponto material 4 s após o início da contagem do tempo. Sabemos que ele parte do repouso com movimento
uniformemente variado e descreve trajetória circular,
de raio R = 16 m, com aceleração escalar de 2 m/s2 •
Resolução
Temos duas componentes da aceleração ã,, uma tangencial, dada por a, = 2 m/s2, e outra centrípeta, que
depende da velocidade.
86
No MW, a velocidade escalar v varia em
função do tempo:
v= v.t + at
v; = O; a = 2 m/s2
+ 2·4~
8 m/s
Portanto, no instante t = 4 s, teremos:
v2
g2
a = - = - ~a = 4m/s2
R
16
e
e
V = Ü
V =
O módulo de ã, é dado por:
a r2 = a 2t
+ ae2 ~ a r = "\J12 2 + 4 2 ~ a r =
Jw" m/s
2
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
20. (Facec-SP)
Na figura representa-se um
,
corpo em movimento
''
sobre uma trajetória
''
',
curva, com os vetores
velocidade v, aceleração ã e suas componentes, tangencial ã, e centrípeta ãc .
Analisando a figura, podemos concluir:
24. Um carro desloca-se em uma estrada e o motorista vê
a) O módulo da velocidade está aumentando.
25. Um ponto material com velocidade inicial v; = Odescreve
uma rrajetória circular de raio R = 9 me movimento uni-
urna placa de sinalização que indica: "Curva acentuada para direita. Velocidade máxima 40 lan/h". O motorista desacelera até atingir a velocidade indicada
na placa e a mantém constante enquanto faz a curva.
Sabendo que o raio da curva é de 10 m, determine a
intensidade, direção e sentido da aceleração vetorial
(ã, ) do veículo. Faça um esquema no caderno representando os vetores da velocidade e aceleração.
/
/
Ocarro acelera, no sentido do centro da rurva, 10 m/s em cada segundo.
xb) O módulo da velocidade está diminuindo.
formemente variado, com aceleração escalar a = 3 m/s2 •
c) O movimento é uniforme.
d) O movimento é necessariamente circular.
Para o instante t = 2 s, determine:
e) O movimento é retilíneo.
a) a velocidade escalar; 6 mls
Iã,I = 3 mls' e lã,1= 4 rnls'
b) o módulo das componentes vetoriais da aceleração a, ;
c) o módulo da aceleração ã,. s mls'
21 . A trajetória circular descrita por um ponto material
cem raio de curvatura R = 2,5 m. Sabendo que ele
se desloca com movimento uniforme e velocidade
v = 5 m/s, determine:
26. Um avião sai de Roma com destino a San Marino, e
logo atinge a velocidade de 500 km/h. Ao mesmo tempo sofre a ação de um vento forte, de leste para oeste,
que o afasta da rota. Para chegar ao seu destino como
o piloto deve proceder? Faça um esquema no caderno,
com vetores, para indicar a velocidade do avião em relação à Terra, a velocidade de arrastamento do vento
e a velocidade resultante. Se a velocidade de arrastamento do vento for de 300 km/h, calcule a velocidade
resultante do avião em relação à Terra. 400 km/h
a) o módulo das componentes vetoriais da aceleração;
b) o módulo de ã,. 10mts1
Pi,I = Omls' e Iã,I =
10 mis'
22. Observe a ilustração do relógio de pêndulo. Analise
o movimento desse pêndulo no esquema abaixo, na
posição A , descendente, e na B, ascendente.
,,
""
, ''
',
''
Mapa da Itália
' ',
'oB/
ÃUSTRIA
-
a) Represente, no seu caderno, para as posições A e B,
os vetores ãc, ã, e ã,. Resposta no final do livro.
v,
-
't
.<..'
.....
'
HU..ORJA
~ ESLO\ltHtA '
' CROÁCIA
Milão•
'
'1
BÓSNIA·
' -HERZEGOlll~A
b) Classifique o movimento do pênd ulo nas posições
A e B. A curvilíneo acele,ado e B: cuivilfneo retardado.
'
23. (UECE) Um carro percorre uma pista circular, no sen-
tido indicado, com velocidade tangencial de módulo
constante, conforme indica a figura.
No momento em
que ele passa pela
posição P, a aceleração do carro
é dirigida para o:
MarTirreno
p
Mar
.Jônico
a) norte
b)sul
c) leste
xd) oeste
Fonte: ATLAS geogrâfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
Capítulo 6 • Grandezas escalares e vetoriais
87
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fl3·,:,i·f·ht!ii·l·t4,,t·i')i,,M,it-t•------Em Cinemática escalar, definimos os estados de movimento ou repouso de
um corpo em relação a determinado referencial . Essa ideia é o ponto de partida
para o entendimento da composição de movimentos. Acompanhe a situação:
Uma esteira rolante foi desativada para manutenção. O operário encarregado
do serviço desloca-se sobre a esteira com velocidade de 3 m/s em relação a um
ponto E, marcado sobre a esteira.
O vetor que representa essa velocidade será chamado v01E e indica a velocidade do operário em relação ao ponto E, com módulo v0 tE = 3 m/s.
Em um instante posterior, a esteira volta a funcionar com velocidade v'é/c' de
módulo 2 m/s. O vetor v'é/C representa a velocidade da esteira, em relação à mesa
de operação do chefe de manutenção (C). Nessa situação, vamos considerar
duas possibilidades:
11 ) Se o operário estiver se movimentando na mesma direção e sentido da esteira, o módulo do vetor v01c (velocidade do operário em relação ao chefe de
manutenção) será determinado por:
vote
= 3 + 2 = 5 m/s
E ~
2;i_) Se o operário estiver se movimentando na mesma direção e em sentido contrário ao da esteira, o módulo do vetor vote (velocidade do operário em relação
ao chefe de manutenção) será determinado por:
vote
=3-
2
= 1 m/s
Pessoas em escadas rolantes.
Observe a movimentação
dos usuários nas escadas
rolantes e compare a velocidade de pelo menos uma
delas para cada sentido de
movimento da escada.
Professor, os comentários desta seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste
volume.
88
VO/C
E
VEK
VM
VEJC
Nas duas situações, o movimento do operário em relação ao chefe v0 ,c é a
composição entre o movimento do operário em relação à esteira vO/E e o movimento da esteira em relação ao chefe v'é/C . Logo:
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercício resolvido
7 Uma lancha desenvolve velocidade vv. = 20 km/h em relação às águas de um rio, que se movimentam com velocidade vatm = 15 km/h em relação às margens do rio. Determine a velocidade da lancha em relação às margens nas
seguintes situações:
a) a lancha se movimenta na mesma direção e no mesmo sentido das águas;
b) a lancha se movimenta na mesma direção e em sentido contrário ao das águas;
c) a lancha se movimenta na direção perpendicular às margens;
d) a lancha se movimenta numa direção obliqua às margens, de tal forma que sua trajetória é perpendicular às margens.
Resolução
Em qualquer dos casos, a velocidade da lancha em relação às margens (vvJ é a composição entre a velocidade da
lancha em relação às águas Cvv.) e a velocidade das águas em relação às margens (va1J ·
d)A trajetória é perpendicular à margem, então:
VVm
= 20 + 15
~ VVm =
35 km/h
v.2/m = (20)2 - (15) 2
VVm
VVm
= J175 ~ VVm = 13,2 km/h
= 20 - 15 ~ VVm = 5 km/h
''
v 21/m = 202
VVm =
+ 15 2
---- ~
.1:
/ :
Nesse caso, temos:
/
---vva
/
J625 ~ VVm = 25 km/h
/
-
/
ií
1
Vvm :
Va;m
~
',
~
- - - - - - - - - - - - - - - 'ª
1
-Va/m
1
1
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
27. Suponha que um barco, quando desce determinado
29. Um trem e um automóvel se movem na mesma di-
rio,temvelocidadede40km/he,aosubiromesmorio,
velocidade de 30 km/h. Determine:
reção em um trecho retilíneo de estrada. Seus movimentos são uniformes e o módulo da velocidade do
automóvel é o dobro do módulo da velocidade do trem.
Desprezando o comprimento do automóvel e tendo o
trem 100 m de comprimento, determine o espaço percorrido pelo automóvel desde o instante em que alcança o trem até o instante em que o ultrapassa.
a) a velocidade da correnteza em relação à mar~~~;
b) a velocidade do barco em relação à água. 35 km/h
28. Uma roda de bicicleta se move, sem deslizar, com ve-
locidade constante. Considerando o movimento de rotação e translação da roda, como você representaria o
vetor velocidade do ponto ilustrado na figura.
a)~
l!l
.,;;;
..
"0
·~
g
b)
i
ãl
i
c) '
t;i
Xd) /
t!!
;.
e) vetor nulo
200 m (mesmo sentido); "' fi7 m(sentidos contrários).
30. Sob a chuva que cai verticalmente, uma pessoa
caminha com velocidade horizontal de 1 m/s em
relação ao solo, inclinando o guarda-chuva 30º
(em relação à vertical) para ficar mais protegida.
Qual o módulo da velocidade da chuva em relação
ao solo?
Considere tg 60º = 1, 7. 1,7 m/s
Capítulo 6 • Grandezas escalares e vetoriais
89
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
31 . Um aviao desloca-se para leste com velocidade
V. Dois barcos idênticos ao citado, cujos comprimen-
constante de 240 km/h. Ao chegar em certa região,
é atingido por um vento muito forte, de velocidade
constante de 100 km/h, que sopra perpendicularmente à direção de deslocamento do avião . Supondo que esse vento continue por 2 horas, determine:
a) a intensidade da velocidade resultante. 260 km/h
b) a distância que o separa da rota original após 2 horas.
tos são de 20 m, movendo-se em sentidos opostos paralelamente às margens do rio, demoram 5,0 s para
se cruzarem. As afirmações li e Ili estão corretas.
33. Para prover um acampamento isolado, sem água nem
alimentos por causa de um desastre natural, um avião
em voo horizontal a uma altitude de 2 km abandona
uma carga de mantimentos quando sua distância horizontal até o alvo é de 1 km.
200 km
32. (UFS-SE) Um rio, de margens paralelas, possui lar-
gura de 400 m e suas águas, em relação às margens,
possuem velocidade de 3,0 m/s. Um barco a motor
que se move nesse rio possui velocidade de módulo
constante e igual a 4,0 m/s, em relação à água. Analise as afirmações que seguem.
a) Qual a velocidade do avião? so m/s = 1so kmlh
b) Se no momento do lançamento houver um vento
horizontal, no sentido contrário ao movimento do
avião, qual deve ser a atitude do piloto? Resposta no final do livro.
I. O barco poderá cruzar o rio num tempo mínimo de
1,0 minuto e 20 segundos.
rr. Se o barco gasta 5,0 minutos para se deslocar de A
a B, rio abaixo, na volta deverá gastar 35 minutos.
III. Se o barco se movimenta mantendo o seu eixo
numa direção perpendicular à margem ele atinge a
outra margem num ponto a 300 m rio abaixo, em relação ao ponto de partida.
IV. Devido à baixa potência do motor, o barco não conseguirá cruzar o rio perpendicularmente às suas margens .
34. (Fuvest-SP) Dois carros,A eB, movem-se no mesmo sen-
tido, em uma estrada reta, com velocidades constantes
vA = 100 km/h e v 8 = 80 km/h, respectivamente.
a) Qual é, em módulo, a velocidade do carro B em relação a um observador no carro A? 20 km/h
b) Em dado instante, o carro B está 600 m à freme do
carro A. Quanto tempo, em horas, decorre até que A
alcance B? 0,03 h
•
Você sabia?
Referencial e a Física Moderna
É provável que você já tenha ouvido falar ou que já tenha lído a seguinte afirmação: "A velocidade da luz é
sempre a mesma independentemente do referencial em que estamos realizando a medição, estar em movimento
ou em repouso".
De acordo com os conceitos de Física Clássica, quando dizemos que a velocidade de um veículo é 60 km/h,
estamos afirmando que essa medida de velocidade é feita em relação a um referencial em repouso, como a placa
de sinalização de uma estrada. Entretanto, diante dessa afirmação, podemos nos questionar se de fato é correto
considerar a placa de sinalização um referencial em repouso, ou considerar a Terra como um referencial em repouso em relação ao Sol, ou ainda, considerar o Sol como um referencial em repouso em relação à Via Láctea.
A necessidade de um referencial a partir do qual todas as medições e previsões da Física são realizadas é uma
ideia da Física Clássica. Com os estudos realizados por Hendrik Lorentz (1 853-1928), Albert Einstein (1879-1955)
e outros, no desenvolvimento da Teoria da Relatividade, verificou-se que o referencial de medição não é importante na determinação da velocidade da luz.
Para entender melhor esse conceito, considere que, durante uma viagem de carro, uma moça acenda os faróis
de seu carro em uma estrada pouco iluminada. Imagine também que uma pessoa colocada próxima à rodovia que
a moça está trafegando observe essa situação. De acordo com a Teoria da Relatividade, tanto a moça do carro
quanto a pessoa na estrada deverão medir a mesma velocidade do feixe de luz emitido pelos faróis. Portanto, o
valor da velocidade da luz independe do referencial em que a medição está sendo feita. Com isso retomamos a
ideia inicial de que a velocidade da luz é sempre a mesma independente do referencial. Esse é conhecido como
primeiro postulado da Teoria da Relatividade especial, que você estudará no Volume 3 desta coleção.
Atividades
Escreva
no caderno
1. Escreva sobre o conceito de referencial absoluto, tanto para a Física Clássica como para a Física Moderna.
Resposta pessoal
,
2. Em um trecho retilíneo de estrada, o motorista de um veiculo que se desloca com velocidade de 90 km/h, perce-
be que outro veículo se desloca na mesma estrada, na mesma direção e em sentido contrário ao dele. Para esse
motorista, com que velocidade o outro veículo se aproxima dele? Com que velocidade a luz emitida pelo farol
do outro veículo chega até ele? 300 ooo km/s
90
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você, provavelmente, já deve ter observado ou realizado o lançamento de algum objeto. Nos esportes, situações como o levantamento de uma bola em uma
partida de vôlei ou uma cobrança de falta feita por um jogador de futebol são
exemplos que ilustram o lançamento de um objeto.
A expressão "lançamento de projéteis" está associada ao movimento não vertical
de corpos nas proximidades da superfície terrestre. Na Unidade anterior, estudamos
a queda livre e o lançamento vertical, desprezando a resistência do ar, o que, nesses
movimentos, torna a aceleração constante e igual à aceleração da gravidade. Agora,
vamos estudar o movimento de projéteis como a composição de dois movimentos
simultâneos e independentes: um na horizontal e outro na vertical.
Uma observação muito interessante pode ser feita a partir de um experimento simples. Se abandonarmos um corpo a determinada altura do solo e, simultaneamente, lançarmos na horizontal um segundo corpo, a partir da mesma
altura, ambos chegam ao solo no mesmo instante. Esse fato foi observado por
Galileu e descrito em seu livro Diálogo sobre os dois principais sistemas do
mundo, em 1632, ao analisar a queda de uma ba la de canhão do alto do mastro
de um navio em movimento.
O fato de os corpos chegarem ao solo ao mesmo tempo demonstra que a componente horizontal da velocidade inicial (vh ou v) não interfere no movimento vertical. Esse fato é conhecido como princípio da independência dos movimentos
e diz que se um corpo realiza um movimento composto, cada um dos movimentos
componentes ocorre independentemente, como se os outros não existissem.
Da mesma altura, uma menina solta
uma bola enquanto, ao mesmo
tempo, um menino chuta outra bola.
Observe, na ilustração, as trajetórias
desenvolvidas pelas duas bolas.
--..... . ...........
............
---~-~
v,! -~
..
~
..
..
..
..
•.
f!l
'
Para o nosso estudo, consideraremos que a componente horizontal do movimento tem velocidade constante e sem a interferência do ar, caracterizando um
movimento uniforme. Já a componente vertical do movimento possu i aceleração, no nosso caso a aceleração da gravidade g, caracterizando um movimento
uniformemente variado . Sendo o movimento em duas direções, x e y, dizemos
que ele ocorre em duas d imensões.
Vamos analisar o lançamento de projéteis em duas situações: quando ele é
feito na direção horizontal e quando ocorre na direção oblíqua.
Pescador lançando rede de pesca.
Como o pescador deve lançar
sua rede para alcançar a
maior distância possível?
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final desti!
volume.
••
••
•
•
•
Nessa fotografia
estroboscópica, é
possível observa r o
movimento de uma
bola abandonada
em queda livre (azul)
e outra lançada
horizontalmente
(amarela) ao mesmo
tempo.
Capítulo 7 • Lançamento de projéteis
91
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
ta,, ,t+1, ,[email protected] a,., a.,; a., am
•---------j
Há muitos exemplos de lançamento horizontal em nosso cot idiano. Observe a fotogra-
--===::::;= =:;::;:::z::::~;ç.z=':=::====:==~ j fia ao lado. Cada pedaço de minério pode ser
i
considerado uma partícula lançada horizontal-
f mente de determinada altura, com velocidade
l
"i inicial vi. Nesse caso, o movimento de cada
5
Maquinário utilizado no transporte de minério.
pedaço de minério pode ser descrito como a
soma de dois movimentos distintos e simu ltâneos: um na direção horizontal e outro na
direção vertical.
O fato de considerarmos o lançamento feito nas proximidades da Terra e com corpos não
leves garante que a aceleração da gravidade
se mantenha constante na direção vertical do
movimento. Na direção horizontal, desprezamos os efeitos da resistência do ar para garant ir que o movimento nessa direção não tenha
aceleração, isto é, seja uniforme.
Para fazermos a representação do lançamento horizontal do minério da situação descrita, por meio de equações, utilizaremos como sistema de referência
um plano com um par de eixos cartesianos ortogonais.
A velocidade v pode ser determinada, a cada instante, pela soma vetorial
da componente horizontal v, com a componente vertical vi No instante inicial,
temos v.1 = vX e v1y = O para a componente vertica l (pois o lançamento ocorre na
horizonta 1).
O movimento, segundo a componente horizontal, terá a velocidade constante, caracterizando o movimento uniforme. Portanto, observando que xi = O, temos:
y
Y;
y
x; x, + v,t
X
=>
E
x;
v,t
1
O movimento, segundo a componente vertical , terá a presença da aceleração da g ravidade g, caracterizando o movimento
uniformemente variado. Note que a descrição desse movimento é análoga àquela feita no movimento em queda livre. Portanto,
observando que ay = -g (quando o eixo y está orientado de baixo
para cima), temos:
Vy ;
V'I -
gt =>
~ ~ -gt
,;;
Vy
1
V: ; v:+ 2( - g)"Y => ~ V:; -29~
F
92
Y, + v, t -
~ t' => ~
F
Y, -
~
t'
l
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercício resolvido
1 Em Mato Grosso, duas aeronaves irão reforçar o
combate às queimadas durante a temporada de
seca e o período proibitivo de queimadas. Segundo a Secretaria do Meio Ambiente de Mato Grosso
(Sema), os aviões devem ser usados para apagar
incêndios de grandes proporções em áreas de floresta do estado. Juntas, as duas aeronaves são capazes de armazenar 6 mil litros de água.
[... ] Segundo a Sema, em áreas rurais, é considerado crime utilizar fogo para limpeza e manejo de pastos ou áreas de florestas. O responsável
pela propriedade pode pegar de 6 meses a 4 anos
de prisão, além de ser multado em até R$ 7 mil ou
R$ 1 mil por hectare.
Aviões vão combater incênclios ele grancles proporções
em Mato Grosso. G1 , 6 ago. 2015. Disponlvel em: <http://
gl .globo.com/mato-grosso/noticia/2015/08/avioes-seraousados-para-combater-incendios-de-grancles-proporcoes.
html>. Acesso em: 3 cle2. 2015.
Veja o esquema que nos auxilia a visualizar a situação em que ocorre o movimento do kit de primeiros
socorros (representado pela bolinha amarela):
....
..
v,
,,"
Y;
-~
o
',
;B
'º , . . . .
''
80m
' o,
''
''
Q
\
: x (m)
distância horizontal
Movimento segundo o eixo horizontal:
t = O, x. = O, v = v. = 40 m/s (constante)
r'j'\
~ =x.' +'. v• t=/x=40t \!)
Movimento segundo o eixo vertical:
t 1 = O' y.1 = 80 m. ' a y = - g = -10 m/ s' ' v.ly = O
y = y. +
V.
1
Vy
=
V.ly -
'y
t - ~ t2
2
gt ~
Vy
~ y = 80 - St2 (i)
= - lOt
0
\2)
a) o instante em que o pacote atinge o solo (y = O),
temos, na equaçã[email protected]:
O = 80 - St2 ~ t2 = 16 ~ t = 4 s
O pacote atinge o solo 4 s após o lançamento.
b) Sabendo que t = 4 s e considerando a equação
G), temos:
Incêndio na Chapada dos Guimarães, Mato Grosso (2013).
Considere que um desses aviões carregados com
água está sobrevoando uma região com velocidade
de 40 rn/s e a 80 m de altura em relação ao solo, em
uma trajetória retilínea e horizontal.
Juntamente com a água, o avião solta um kit de primeiros socorros que deve auxiliar as equipes de bombeiros em terra. Considerando o kit de primeiros socorros, determine:
X = 40t ~ X = 40 · 4 ~ X = 160 m
A distância horizontal percorrida pelo pacote foi 160 m.
c) A velocidade do pacote, a cada instante, pode ser
determinada pela soma vetorial das suas componentes
horizontal, v,, e vertical,
"r·
Portanto, no instante em que ela chega ao solo,
temos:
v, = 40 m/s (constante)
a) o tempo decorrido para que o kit atinja o solo;
Da equaçã[email protected], temos:
b) a distância percorrida pelo kit, medida horizontalmente, entre os instantes de lançamento e de impacto
no solo;
vY= -10 · 4 ~ vY= - 40 m/s
O vetor resultante (v) é dado pela sorna dos vetores v.
e vy. Já sua intensidade é obtida por meio do Teorema
de Pitágoras:
c) a velocidade com que o kit chega ao solo.
v2 = v 2 + vy2
X
Resolução
Desprezando a interferência do ar e considerando
que o movimento ocorre nas proximidades da Terra,
adotamos g = 10m/s2 .
V
=
Jc40)
2
+ (- 40) 2
v = 56,5 m/s
-----...
~
1 ..
,, i..,
: ·ãJª
1
1
Capítulo 7 • Lançamento de projetéis
93
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· ·
ExerctCIOS
propost OS
Escreva
no caderno
1. O apresentador de uma gincana cultural fez uma
demonstração com duas esferas de ferro, de mesmo
diâmetro, sendo uma oca e a outra maciça. Após mantê-las à mesma altura do chão, em uma região onde
se fez vácuo, lançou horizontalmente a esfera oca e,
ao mesmo tempo, abandonou a esfera maciça. Antes
de fazer essa demonstração, perguntou aos quatro jovens participantes: "O que ocorrerá com as esferas?".
Avalie se algum dos participantes fez uma afirmação
correta.
I. Durante o movimento, o módulo da aceleração da
esfera maciça é menor do que o da esfera oca.
Il. Ao atingir o chão, o módulo da velocidade da esfera oca é menor do que o da esfera maciça.
Determine:
a) o tempo gasto para que as sementes caiam nas
covas; 1 s
b) qual deverá ser a velocidade de lançamento das
sementes (v0 ), em relação ao solo, para que elas
caiam nas covas. 1,2 m/s (em relaç~o à plantadeira).
' 0.2 m/s (em relaçao ao solo).
c) o módulo do vetor velocidade das sementes imediatamente antes de cair nas covas. 10 m/s
4. Uma esfera rola sobre o tampo horizontal de uma
mesa e a abandona com velocidade escalar V;, tocando o solo depois de 1 s. Sabendo que a distância horizontal percorrida pela esfera é igual à altura da mesa,
calcule a velocidade v1..
Adote g = 10 m/s2 • 5 m/s
Ill. As esferas atingem o chão ao mesmo tempo.
IV. Ao atingirem o chão, os módulos das velocidades
das esferas são iguais. Apenas o participante Ili fez uma afirmação
correta.
2. Uma bola de tênis rola sobre uma mesa horizontal
com velocidade constante de 3 m/s. Após sair da
mesa, cai e atinge o solo a 1,20 m de distância dos pés
da mesa. Desprezando a interferência do ar e adotando g =10 m/s2, calcule:
a) o tempo gasto para que a bola de tênis atinja o
solo; 0,4s
b) a altura da mesa em relação ao solo; o.som
c) o módulo da velocidade da bola ao tocar o solo.
5 rn/s
3. (UFU-MG) Sementes são lançadas periodicamente do
bico de uma plantadeira, na horizontal, para trás, de
uma altura h, alinhadas com as covas que estão equidistantes d = 0,2 m uma (cova) da outra. As sementes são lançadas no instante em que o bico da plantadeira está alinhado verticalmente com uma das
covas (eixo y). As sementes deverão cair nas covas
imediatamente atrás. A plantadeira anda com uma
velocidade constante vP em relação ao solo. Despreze a resistência do ar.
2 • ev = 1 m/s
Dados·. h = 5 m·' d= O' 2m·' g = l0m/s
.
,
p
.
5. Um grupo de pessoas resolve fazer um passeio em
uma ilha e, ao final do dia, percebem que, devido à
subida da maré, o barco havia se soltado da costa.
Ilhados, um deles utiliza o celular para pedir socorro.
Para o salvamento dessas pessoas foi designado um
avião que, voando horizontalmente com velocidade
constante de 360 km/h, a uma altura de 1280 m em
relação a esse grupo de pessoas, lançou um pacote
com mantimentos, para que eles passassem a noite.
Sabendo que o grupo estava em um local a 1850 metros, em uma direção horizontal do avião, determine
se o pacote caiu antes ou depois desse local.
Considere g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.
Opacote caiu 250 m antes do local.
Y•
1
1
1
--------... _..-...........
Vo
~
bico
:
. . ........
',,
h
d
covas
-- -e:> - -e:> - -e> - -e:>- - -e:>- - <::>- - -e.:>- - C)- - 1
: 0,2
1
1
94
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
m:0,2 m:0,2 m:0,2 m:0,2 m:
X
Representação (sem escala e sem proporção) da trajetória que
deveria ser realizada pelo pacote de mantimentos.
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
!'-'
..
Experimente a Física no dia a dia
1
.li
Atenção
Faça o e)(jlerimento
Lançando coisas
f
~
somente na presença
j
do professor.
j
O mundo registrou nas últimas décadas um grande crescimento do consumo
de minérios. A necessidade de atender às inovações tecnológicas e a busca por
novos padrões de vida têm acelerado o processo de extração mineral no mundo
e despertado a preocupação com os prejuízos ambientais que isso vem causando.
Infelizmente um exemplo de prejuízo ambiental incalculável foi o desastre da
mineradora na cidade de Mariana (MG), em 2015. A vida dos animais e da população de diversas cidades foram seriamente depreciados. No entanto, também
há a preocupação com aspectos sociais, isso porque as grandes mineradoras são
responsáveis pela oferta de muitos empregos e pela formação de mão de obra
especializada.
Em uma mineradora, muitas vezes, o minério é transportado por meio de
uma esteira, cuja velocidade de fu ncionamento precisa ser corretamente calculada para que o produto caia no local desejado.
Para melhor compreendermos a situação da esteira rolante e a posição na qual
o minério deve ser deixado, podemos fazer uma atividade experimental simples.
l•
'-'
}
-~~
õ
1
8'
~
2-~
i
~
~
.lã
Materiais
dois cabos de vassoura
• bolinha de vidro
• cronômetro
• fita adesiva
• mesa
• fita métrica
• farinha
Vista aérea da região de extração de
minérios na cidade de M ariana (MG),
antes (acima) e depois do acidente
de 2015.
Passo a passo
• Una os dois cabos de vassoura com fita adesiva, de tal forma que eles formem um canalete para a bolinha poder rolar (como ilustrado ao lado).
• Apoie o canalete sobre a mesa, de forma que fique na horizontal e paralelo
ao chão.
• Espalhe um pouco de farinha no chão, para identificar o local onde a bola,
que será lançada do canalete, vai cair.
• Coloque a bola sobre determinado ponto do canalete e dê um impulso na
Representação do aparato experimental e
bolinha de maneira que ela percorra o canalete e caia sobre o local onde a
desenvolvimento do experimento.
farinha está espalhada.
• No chão, meça a distância x entre a mesa e o ponto em que a bolinha toca o solo. Meça também a altura h da mesa.
• Com o auxílio de um cronômetro, meça também o tempo de queda.
Escreva
R
no caderno
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no linal deste volume.
1. Calcule o tempo que a bolinha demorou para tocar o chão. Lembre-se de que y =
~
gt2 e considere g = 9,8 m/s2 •
2. Compare o tempo de queda obtido na atividade anterior com o valor do cronômetro. Eles são iguais? Justifique.
3. Determine a velocidade (componente horizontal) com a qual a bolinha abandona a beira da mesa. Lembre-se de
que x = v.c.
• Repita esse procedimento dando um impulso mais forte na bolinha colocada sobre o canalete no mesmo ponto que
no lançamento anterior. Meça o novo alcance da bolinha e o tempo de queda.
4. Determine a velocidade (componente horizontal) com a qual a bolinha abandona a beira da mesa neste caso.
5. Em qual situação a bolinha atingiu o chão na posição mais distante da mesa? Compare os alcances e justifique.
6. O tempo de queda foi maior em qual situação? Esse resultado era esperado?
Capítulo 7 • Lançamento de projéteis
95
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Fonte do Parque do lbirapuera,
São Paulo (2015).
De forma análoga àquela feita no lançamento horizontal, vamos considerar
cada gota de água da fotografia como uma partícula sendo lançada obliquamente
com velocidade inicial vi. Chamamos um lançamento de oblíquo quando a direção
do vetor velocidade inicial apresent a um ângu lo 0° < 90° com relação ao plano
horizontal. Também nesse caso, o movimento pode ser descrito como a soma de
dois movimentos dist intos e simultâneos, um na horizontal e outro na vertical.
Considerando que o fenômeno ocorre nas proximidades da superfície da Terra
e desprezando a interferência do ar, representaremos o lançamento de uma got a
por meio das mesmas equações que deduzimos anteriormente, havendo pequenas modificações para a velocidade inicial. Adotaremos como sistema de referência um par de eixos cartesianos ortogonais com origem na posição inicial da gota .
No lançamento oblíquo, as sucessivas posições ocupadas pela gota determ inam uma trajetória paraból ica .
Como a velocidade inicial de lançamento v.1 forma um ângulo de inclinação
ex em relação ao eixo horizontal, podemos decom po r o vetor vi em suas componentes na direção x e y:
'
'
---- -- -··,·---r··-y--·
1
V 1:
'
'
:
:
'
:
:
:
: :r ---~----~---,----r--: : '
V,.
:
:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
MU
v.
sen ex=
=}
i
vi
V.
o;
cos ex= ....!.is..
vi
v.
'Y
= v.' · sen a
V. = V. · COS
'•
ex
1
Na direção horizontal, temos movimento uniforme. Portanto, se xi = O:
Na direção vertical , temos movimento uniformemente variado, caracterizando-se como um lançamento vertical. Portanto, observando que aY= - g
(quando o eixo y está orientado de baixo para cima) :
vy
= v'Y + a 1 =>
y
v2y = v2,, + 2ayAy =}
y
96
a 2 :::}
= y. + v. t + --1'..t
'
•v
2
~ v = v. sen a - gt :
~
y
'
~ vy= (v. sen a )
r.__
2
1
~
2-
2g;
i
~
y :;:; yi + V; (sen a) t - -g2 t2
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercício resolvido
....
2 Durante uma brincadeira, dois irmãos divergem sobre a melhor posição para colocar um arco e lançar
uma flecha com velocidade inicial v;, formando um
ângulo a com a horizontal, de modo a obter o maior
alcance horizontal. Para ela, o ideal é que o lançamento ocorra com um ângulo maior de 45º em relação a horizontal. Para ele, o maior alcance ocorre
para um ângulo inferior a 45º.
Avalie as suposições dos irmãos e determine qual deles está correto.
Resolução
A velocidade de lançamento da flecha na componente vertical é dada por:
vY= v1sen a - gt
G)
Portanto, substituindo vy na equação G), temos:
-v,sen a= v1 sena - gt ~ t =
v = -v.sena.
y
'
Em valor absoluto, a velocidade com que a flecha chega
ao eixo horizontal é igual à velocidade de lançamento.
x
=
v1 cosa · t
x
=}
=
2v. sena
v1 cosa · - ' -g
V~
x = - ' (2 · cos a · sen ex)
V~
=}
g
x = - ' sen 2a
g
Analisando essa equação, é possível deduzir que o valor
máximo que x pode alcançar ocorre para sen 2a = 1.
O ângulo cujo seno vale 1 é 90º; portanto:
2a
=
90º =} a
=
9 0º
2
=
45º
Dessa forma, a maior distância horizontal alcançada
pela flecha ocorre para a = 45º e a distância máxima
horizontal será x rnax
. = - g' .
Conclusão: nem a menina nem o menino estavam
certos.
· ·
Exerc1c1os
propost os
Esaeva
no caderno
6. Após sofrer uma falta, um jogador de futebol de praia fica
encarregado de chutar a bola a gol. Para encobrir a barreira, tenta fazer com que a bola descreva uma trajetória
parabólica. Após o chute, a bola é lançada obliquamente, conforme a figura, com velocidade inicial v1 = 30 m/s.
){
g
Conhecendo o valor de t, é possível substituí-lo na
equação que fornece a distância horizontal:
V~
Mas a flecha chega ao eixo horizontal com:
,,,'
2v; sena
--'----
-----•----- ',,____
~
-.
-~
= 45°_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
$
''
>. ~
solo horizontal
Despreze a interferência do ar e considere a bola uma
partícula lançada obliquamente em relação ao solo,
coma= 45º sen45º = J2 cos45º = J2 e.J2 = 14.
'
2'
2
'
Nessas condições, determine:
a) as componentes horizontal v.lx e vertical v.ly da velocidade inicial; v, ~ 21 m/s; \ = 21 m/s
b) as equações horárias das posições segundo os eixos
horizontal e vertical; x = 21t; y = 21! - 5t'
c) o tempo utilizado pela bola desde o lançamento
até atingir a altura máxima; 2,1 s
d)a altura máxima que a bola consegue atingir; 22,1 m
e) o tempo necessário para a bola chegar ao solo,
após o lançamento; 4.2 s
f) a relação entre os valores obtidos nos itens e e e;
O tel}lpo (pta I é o dobro do tempo de subida.
g) a dIStancia entre o ponto de lançamento e o ponto
onde a bola atinge o solo; 88.2 m
h) a velocidade da bola ao chegar ao solo. 30 m/s
7. (UFPE) Um gafanhoto adulto pode saltar até 0,80 m,
com um ângulo de lançamento de 45º. Desprezando
a resistência do ar e a força da sustentação aerodinâmica sobre o gafanhoto, calcule quantos décimos
de segundo ele permanecerá em voo. o.as
8. Nas Paraolimpíadas de Londres, em 2012, o Brasil ficou em sétimo lugar no quadro geral de medalhas.
Esse resultado representa belos exemplos da capacidade de superação humana. Um deles é confirmado
pela história de superação da para-atleta pernambucana Rosinha (Roseane Ferreira dos Santos), que
teve a perna amputada, em 1990, após um caminhão
dirigido por um motorista embriagado invadir a calçada e atropelar a então jovem de 18 anos. Ela começou a praticar atletismo no ano de 1998, conquistou
medalhas e quebrou recordes de arremesso de peso e
lançamento de disco.
Suponha que, em dada competição, um atleta arremessa um disco com velocidade de 20 m/s. O ângulo
de lançamento é 45º e no momento do lançamento, a
mão do atleta está a 1,50 m do solo. Se a resistência
do ar não for considerada, a que distância do lançamento o disco tocará o chão e quanto tempo será necessário para que isso ocorra?
Considere sen 45º
= cos 4 5º = 0,70 e g = 10 m/ s2 •
40,6 m; 2,9 s
Capítulo 7 • Lançamento de projéteis
97
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fN•Jii t-tfi; ,t4 ,it·ii h·! !1Ri a __________
f
Roda-gigante em movimento.
Imagine a roda-gigante
girando. Qual das cabines
tem a maior velocidade (em
módulo): as mais próximas
ou as mais afastadas do
centro da roda?
Professor. os comentários dessa seçâo
encontram-se no Caderno de orientações
no final deste volume.
I
Para finalizar o nosso estudo dos movimentos vamos estudar os movimentos
circulares. É provável que você já tenha observado situações em que o movimento circular estava presente, tais como o andar de uma bicicleta, o movimento
dos ponteiros de um relógio ou de uma roda-gigante .
Quando a forma da trajetória de um corpo é uma circunferência (como a bicicleta, o relógio ou a roda-gigante) ou parte de uma, dizemos que esse corpo
descreve um movimento circular. Observe na fotografia ao lado uma roda-gigante
que exemplifica o movimento circular.
Podemos representar as cabines da roda-gigante e o movimento circular no esquema ao
~
lado. Nele uma das cabines se desloca entre os
pontos A e B da trajetória circular de raio R.
..
!
§
No instante ti a cabine está na posição A e, no
o
~<P
ru ;i:i
instante t , ela está em B. O deslocamento realizado pela cabine no intervalo de tempo M = t - ti
R
j
pode ser descrito de duas formas: por meio do
comprimento t.s (deslocamento escalar) ou,
_____
',
então, do ângulo central .i'J.<p (deslocamento
angular). No caso do deslocamento escalar, é sempre útil lembrarmos do comprimento da circunf erência. Assim, a cada volta, a cabine percorre uma distância
proporcional ao raio de sua trajetória , dada por tJ.s = C = 21tR.
As unidades de medida de ângulo mais frequentes são o grau e o radiano.
!
Grau
~ Radiano
Dividindo o arco total de uma ci rcunferência em 360 partes iguais, cada uma delas determina um ângulo central chamado
grau(º). Observe na representação:
O rad iano (rad) corresponde à medida
do ângulo central cujo arco tem a mesma
medida que o raio da ci rcunferência:
_l_ da circunferência
360
R
Representação. sem
proporção. de 1º de
circunferência.
O ângulo tot al de uma circunferência
mede 360°.
Representação, sem
pro porção, de 1 rad de
circunferência.
O ângulo total de uma circunf erência
mede 21t rad.
Medido em radianos, o deslocamento angular se relaciona com o deslocamento
escalar por:
98
Unidad e 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
,.. Exercícios resolvidos
1 Duas crianças brincam em uma área de lazer e estão sobre o mesmo brinquedo em movimento. Representando
essas crianças por dois pontosmateriais,A eB, e considerando que os pontosA, B e O pertencem à reta r, determine:
:o
B
A
Crianças em um brinquedo de girar.
a) os deslocamentos angulares dos pontos A e B, em radianos, quando eles girarem um ângulo L'1<p = 60º;
b) as distâncias percorridas pelos pontos A eB, em metros, quando eles girarem um ângulo "'1<p = 60º, sabendo que
OA = 3 me OB = 2 m.
Resolução
a) Vamos considerar o movimento no sentido anti-horário e ócp = 60º. Todos os pontos pertencentes ao segmento de
reta OA, exceto o ponto O, têm o mesmo deslocamento angular "'1cp = 60º, ou ainda:
rad - - 360º }
2TI • 60
TI
X= ---::::} X = -::::}
xrad - - 60º
360
3
2TI
X= -
TI
3
rad
b) As distâncias percorridas pelos pontos A e B são, respectivamente,
ósA eós:
8
Re
TI
ÓSA= RAõ cp = 3. 3
3 · (3,14)
=
3
r
B
,' O
M A= 3,14m
A
I
I
1
1t
858 = ~ 8<p = 2 . 3
8S8
I
2 · (3,14)
=
3
1
I
I
,
= 2,09m
1
I
E
~
No relógio da fotografia, o ponteiro dos minutos tem comprimento de O, 15 m.
~
Para um intervalo de tempo de 15 minutos, determine:
""
t
t
B
}
a) o deslocamento angular ó cp do ponteiro dos minutos;
b) o deslocamento escalar da extremidade do ponteiro dos minutos.
>,
E
!!,
~
Relógio.
Resolução
.
alo d e tempo d e 15 mm
. eqmv
. ale, para esse ponteiro,
. a -1 d e vo l ta. Logo, "'1cp = 2nrad
a ) O mterv
- = -TI ra d
4
4
2
b) O deslocamento escalar da extremidade do ponteiro dos minutos é dada por:
7t
"'1sA = RAL'1cp = 0,15 · 2
= 0,23
::::} ósA = 0,23 m
Capítulo 8 • Movimento cin:ular
99
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
1. Considere o movimento de rotação de um ponto A
sobre a linha do equador durante 6 horas. Sabendo
que a medida do raio da Terra é aproximadamente
Rr = 6370 km, determine:
a) o deslocamento angular do ponto A;
f rad
b) a distância percorrida pelo ponto A. =10000 km
2. Dois corredores, vestidos com camisetas de números
1 e 2, após saírem de um trecho retilíneo da pista,
atingem um trecho circular de centro O. A trajetória circular descrita pelos corredores tem raios
R1 = 10 me R2 = 15 m, respectivamente.
Determine, para ~q:, = 180º:
a) os deslocamentos angulares, em radianos, de cada
um dos corredores; <1q,1 = -"<i>, = ,r rad
b) as distâncias percorridas pelos corredores.
~ , = 31,4 me às,= 47, 1 m
3. O hodômerro de um automóvel mede a distância percorrida por ele. Em síntese, mede o número de voltas
efetuadas pela roda, de tal forma que, conhecendo o
diâmetro dessa roda, teremos a distância percorrida.
Um automóvel tem rodas de diâmetro 0,5 me percorre
15 km viajando da cidade A até a cidade B. (Considere n = 3.) Calcule quantas voltas realiza cada roda do
automóvel no percurso entre as cidades A e B. 10'voltas.
4. (Unicamp-SP) No verão brasileiro, andorinhas migram
do hemisfério norte para o hemisfério sul. Admitamos
que elas voem, ao longo de um meridiano, uma distância total de 9 000 km em 30 dias.
a) Se as andorinhas voam 12 horas por dia, qual é a sua
velocidade média enquanto estão voando? 25 km/h
b) Considerando-se a Terra uma esfera de raio igual a
6400 km, qual é o ângulo descrito pelas andorinhas
na migração? 1,41 rad
Vamos imaginar outra posição para as cabines da roda-gigante da
página 98: três cabines dispostas sobre o mesmo segmento de reta OC
nos pontos A, B e C.
A roda, ao girar, fará a cabine que está sobre o ponto A descrever
um arco de circunferência AA' menor que o arco BB' descrito pelo
ponto B, que, por sua vez, será menor que o arco CC' descrito pela
cabine colocada sobre o ponto C.
Quando o segmento de reta OC da roda sofre um deslocamento
angular ~qi. os pontos A , B e C descrevem respectivamente os arcos
AA, ÍIB' e éc• no mesmo intervalo de tempo Lit. O módulo da velocidade do ponto A é menor que o módulo da velocidade do ponto B,
que, por sua vez, é menor que o módulo da velocidade do ponto C:
VA < V8
<
VC
Entretanto, nesse mesmo intervalo de tempo, os pontos A, B e C
sofrem o mesmo deslocamento angular. Por conta disso, a velocidade
angular média (l)m' definida pela razão entre o deslocamento angular
~qi e o intervalo de tempo ~t, é a mesma para os pontos A, B e C:
Note que todos os pontos do segmento de reta OC, exceto o
ponto O, apresentam a mesma velocidade angular média.
100
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
É o que ocorre, por exemplo, com os ponteiros de um relógio: qualquer um deles apresenta a mesma velocidade angular média, exceto a extremidade ligada ao eixo de rotação.
Se o ângulo Liq> é medido em radianos e o tempo Lit em segundos, a unidade de medida da velocidade angular
é o radiano por segundo (rad/s).
Quando definimos velocidade escalar instantânea, usamos o conceito matemático de limite. Analoga mente,
para definir velocidade angular instantânea, usaremos o mesmo recurso: em um intervalo de tempo que tende a
um valor infinitamente pequeno, a velocidade angular média mmtende à velocidade angular instantânea w.
~ Relação entre as grandezas angulares e lineares
Consideremos um ponto descrevendo movimento circu lar com velocidade escalar v e velocidade angular w.
Vejamos a relação entre essas velocidades.
Já sabemos que: v =
!~
(l)
Como Lis = RLicp, da equação
e
m=
!~
CD resu lta : v =
(V
R:t e substituindo
0
em
CD, obtém-se:
,. Exercícios resolvidos
,.
3 Os atletas A e B correm em uma pista descrevendo trajetórias aproximadamente circulares e concêntricas de tal
forma que o raio d a trajetória descrita pelo atleta A é RAe o do atleta B é R8 = 3RA. Sabendo que vA= V8 e suas
velocidades angulares são, respectivamente, ro Ae ro 8 , determine a relação entre ro Ae ro 8 .
Resolução
'
Um ciclista descreve uma trajetória circular em uma ciclovia cujo raio de curvatura mede 600 m. Quanto tempo é
necessário para que esse ciclista percorra um arco de circunferência de ângulo central 30º? Sabe-se que durante
todo o percurso a velocidade foi constante e igual a 10 m/s.
Considere rr = 3.
Resolução
Considerando o deslocamento angular Li<p, temos:
2rr rad - - 360º }
<p - - 30º
Li<p
2rr · 30°
= - - - rad = }
360º
Liq>
Liq>
Temos: v = ro · R e ro = rr
n
= -
M
6
=}
rad
v=
t.q,
-
t
·
R
6
· 600 = } Lit = 30 s
M
10 = -
Capítulo 8 • Movimento cin:ular
1O1
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
5. Um ciclista percorre parte de uma pista com o for-
mato de uma circunferência. Sabendo que ele descreveu uma trajetória de ângulo central 3,0 rad em
6 s, calcule a velocidade angular média nesse intervalo d e tempo. o.s radls
6. Considere um disco que gira em torno de um eixo que
passa pelo seu centro O. Sabendo que a velocidade
do disco é 3,5 rad/s, calcule a velocidade escalar dos
pontos X e Yassinalados na figura a seguir. 14 Ollls; 28 crn/s
8. Obedecendo às condições de segurança, um motociclista percorre a curva de uma estrada, mantendo o
ponteiro do velocímetro em 30 km/h, de forma constante, durante 72 s. Sabendo que essa curva foi construída com raio igual a 2,0 km, determine a medida
do ângulo central correspondente ao arco percorrido
pelo veículo, nesse período de 72 s. t.q, = 0,30 rad
rotação
-------...
.g
""
.o
~
__• ::;v ~~14cm *'
V
'
,;-"
--
4c
1. A ideia de preservação ambiental de forma sustentável
tem provocado algumas ações de iniciativas governamentais e privada, com objetivo de dar apoio ao reflorestamento, à conservação e à recuperação florestal de
áreas degradadas ou convertidas, e ao uso sustentável
de áreas nativas na forma de manejo florestal. Em uma
dessas áreas, com autorização legal para fazer o corte
de eucaliptos, o agricultor escolheu um tronco vertical
e cortou rente ao solo. Sabendo que o terreno é plano e
horizontal, a base do tronco não escorregou e a queda
da árvore demorou 6 s, determine:
Motociclista percorrendo curva.
9. Sobre o asfalto de uma pista circular foram marcadas, com tinta branca, duas circunferências concêntricas, de tal forma que o raio da circunferência
externa (R.) é o triplo do raio da circunferência interna (R,). Considere dois móveis se deslocando sobre essas circunferências, com velocidades escalares
iguais (V) , e que suas velocidades angulares são w.
e w;, respectivamente, para o móvel que se desloca
sobre a circunferência externa e interna. Nesse caso,
determine a relação entre as velocidades angulares
dos móveis . .5.. = 3
"'•
10. (Fuvest-SP) Um automóvel percorre uma pista circular de 1 km de raio com velocidade de 36 km/ h.
Em quanto tempo o automóvel percorre um arco de
circunferência de 30º? 52,3 s
11 . Uma pessoa encontra-se sentada na cadeirinha de
Florestamento para a indústria de celulose, São Paulo (2006).
a) a velocidade angular média do tronco durante a
queda·' wm =.2:..rad/s
12
b) a velocidade escalar média de um ponto de marcação, feito no tronco, a 12 metros da base. v~ = rrm/s
102
uma roda-gigante que gira com velocidade constante. A distância da cadeirinha ao centro da roda-gigante é de 10 m e a roda realiza meia volta em
5 minutos. Determine a velocidade angular e avelocidade linear da pessoa sentada na cadeirinha.
Considere 1t = 3. 0.01 m/s
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fi\~f.f·Jl,,Mht·liili 11éii11,iti·';,,t-a ______
Em Cinemática escalar, mostramos que, se o movimento de um ponto material é uniforme. ele percorrerá distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, ou
seja, a velocidade escalar será constante e diferente de zero.
Resgatando a ideia de movimento uniforme, podemos adequá-la à trajetória circular. Assim, o movimento circular de um ponto material será uniforme
quando ele descrever ângulos iguais em intervalos de tempo iguais, ou seja, com
velocidade angular constante e diferente de zero.
O movimento descrito pela extremidade do ponteiro dos segundos de um
relógio exemplifica um movimento circular uniforme.
O movimento ci rcu lar uniforme (M CU) apresenta algumas características
importantes:
•
A velocidade angular instantânea (1) tem o mesmo valor da velocidade angular
média oom em qualquer intervalo de tempo (m = m,J.
•
A velocidade vetorial tem intensidade v constante, e sua direção e seu sentido
variam para cada ponto da trajetória.
O ponteiro dos segundos
descreve um movimento circular
com velocidade angular w, e a
ext remidade desse ponteiro descreve
uma circunferência com velocidade
escalar v.
Considere o movimento uniforme de uma partícula, entre as posições A e 8,
sobre uma trajetória circular. No instante t ;, a partícula se encontra na posição A
e tem posição angular inicial, em relação ao eixo x de referência, definida pelo
ângulo <Pr No instante t , o móvel se encontra no ponto 8 e sua posição angular,
em relação ao eixo x, é q,.
B
,,
X
Observando que a velocidade angular instantânea é constante e igual à velocidade angular média, teremos:
ó(j)
<p - q>i
m=m = - =>m = - - - ' m
M
M-t
1
<p - q>;
= m(t - t;)
Se t; = O, então:
(equação horária angular do MCU)
Capítulo 8 • Movimento cin:ular
103
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
y
Retomando o exemplo do ponteiro do relóg io que registra os se-
sentido do
movimento
gundos, veremos que o ponto A, situado na extremidade do ponteiro, descreve a mesma traíetória, repetida mente, a cada intervalo de
tempo de 60 s. A repetição em intervalos de tempo iguais define o
movimento circu lar uniforme como periódico.
X
Se adotarmos um referencia l fixo O no centro da circunferência, o
ponto A descreverá uma volta completa, a cada 60 s, chamada ciclo.
Em um movimento periódico é importante destacar duas grandezas: o período e a frequência .
Em relação ao referencial fixo adotado, o ponto
A completa, em 60 s, um ciclo, aqui representado
por uma circunferência de comprimento 2nR.
•
Período T é o intervalo de tempo gasto para que o ponto material descreva um ciclo (no exemplo, o ponto A). A unidade do
período, no SI, é o segundo (s).
•
Frequência f é o número de cic los realizados na unidade de
tempo. A unidade de frequência no SI é cic los por segundo (ciclos/s) ou hertz (Hz}, que homenageia o físico alemão Heinrich
Rudolf Hertz (1 857-1894). Também é usual a unidade rpm (rotações
por minuto).
Para estabelecer a relação entre Hz e rpm, faremos:
1 rpm = 1 ciclo = 1 ciclo = _1_ Hz
min
60 s
60
Para relacionarmos o período e a frequência de um movimento circular, podemos fazer uma regra de três, lembrando que um ponto material executa 1 ciclo no
intervalo de t empo de 1 período (1 ciclo - 1
Entretanto, pela definição de
frequência, quando o ponto material descreve um número de ciclos equivalente
à frequência, o tempo gasto será igual à unidade (f ciclos- 1).
n.
1 ciclo f ciclos -
1T
1
=>
Fl
~
T= -
f
Dessa forma, o período é o inverso da frequência.
É possível ainda relacionar a velocidade angular ro e a velocidade escalar v
com o período e a frequência do movimento circular uniforme.
Se retomarmos o ponteiro do relógio e considerarmos que o ponto A percorre
a circunferência de raio Redescreve uma volta completa, cuíoângu loé t.qi = 2n rad,
em um intervalo de tempo igual ao período (M = T), teremos:
ro
=
f.<jl
=>
t.t
f
(
ro
=
21(
ou
co
= 21tf
l
~
T
Seguindo o mesmo raciocínio, consideremos agora a distância percorrida
pelo ponto A ao descrever a mesma volta completa. No intervalo de tempo igual
o ponto A percorre uma distância igual ao perímetro da
ao período (t.t =
circunferência, ou seja, 21rR:
n,
V~ : :
=>
~
2nR
v =-T
ou
V =
2nRf
------------
104
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
,.. Exercício resolvido
5 A pedra de um esmeril de 0,10 m de raio descreve movimento de rotação uniforme com uma frequência de 1800 rpm.
• .
•
1.
a) a frequência;
b)o período;
c) a velocidade angular;
d) a velocidade escalar da borda da pedra do esmeril.
Resolução
a) Para determinar a frequência, temos uma regra de
três simples:
60rpm
1 Hz
1800
60
t.q>
ro
=
t
.
e considerando M = Te
= 21t, temos:
21t
T
= -
1800rpm
xHz
X=
t.q>
c) Sabendo que w = -
=
21tf => ro
2n · 30 ;;:;> ro
=
=
60n rad/s
d) Sabendo que v = t.s e considerando M = T e
M
30
t.s = 21tR, temos:
Portanto, f = 30 Hz
21tR
T
V = - - OU V =
b) Se T = l., então T = _!__ s
f
30
Logo, v
=
21tRf
21t · 0,10 · 30 => v
=
61t m/ s
· ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
12. As velocidades angulares dos pon[eiros são iguais para os dois relógios, enquanto a veloódade escalar
da extremidade do ponteiro do relógio maior é maior do que a doponteiro do relóg!o de pulso.
12. Durante uma visita à cidade de Meca (Arábia Saudita) ,
14. (UERJ) Uma das atrações tí-
um físico ficou admirado com o tamanho do relógio,
considerado o maior do mundo, e começou a fazer
algumas observações. Comparou a enorme diferença
entre o comprimento dos ponteiros daquele relógio e
o dos ponteiros do relógio que trazia no pulso. Comparou também as "" - - - - - - - - - - - velocidades angulares dos ponteiros
dos minutos e as velocidades escalares
das extremidades
desses ponteiros.
Supondo o funcionamento adequado
do relógio, o que é
possível afirmar a
respeito da comparação das velocidades angulares e
A torre A braj AI-Bait mede 6 01 m
escalares de ambos e está localizada em M eca, Arábia
Saudita (2011).
os relógios?
picas do circo é o equilibrista
sobre monociclo.
1
13. Uma moto percorre em MU uma pista circular, completando 30 voltas em 1h30. Determine:
a) o tempo utilizado pela moto para completar uma
volta; 3min = 180s
b) a frequência do movimento em hertz. 1~0 Hz
O raio da roda do monociclo
utilizado é igual a 20 cm, e o
movimento do equilibrista é
retiüneo.
O equilibrista percorre, no início de sua apresentação, uma
distância de 24 m.
Determine o número de pedaladas, por segundo, necessárias para que ele percorra essa distância em 30 s,
considerando o movimento uniforme. 0,6pedalada porsegundo.
15. A polia de um motor descreve movimento de rotação
uniforme, com frequência de 3 600 rprn. A distância
entre um ponto P, marcado na periferia da polia,
e o centro dessa polia é 0,15 m . Nessas condições,
determine:
a) a frequência com a qual a polia descreve o movimento de rotação uniforme, em hertz; 60 Hz
b)o período em segundos;
6~
s
c) a velocidade angular em rad/s;
12<ht rad/s
d) a velocidade escalar v, desenvolvida pelo ponto P.
56,52 m/s
Capítulo 8 • Movimento cin:ular
105
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
16. Durante o treinamento, duas atletas correm na mes-
ma pista circular mantendo-se lado a lado com velocidade constante, em módulo. Sabendo que a atleta
mais alta percorre a raia externa e a atleta mais baixa,
a raia interna, responda e justifique estas questões:
a) Durante a corrida, as atletas apresentam aceleração?
Sim. a velocidade das atletas varia em direção e sentido.
17. Há diversos tipos de satélites artificiais enviados ao
espaço. No caso das telecomunicações, são utilizados
satélites geoescacionários, que conseguem manter,
em relação à superfície da Terra, uma posição praticamente sem variações. Considere um satélite a
36 000 km de altura e o raio da Terra 6 400 km, aproximadamente. Nessas condições, determine:
b) Compare a frequência dos movimentos circulares
descritos pelas atletas. OS movimentos d&ritospelasduasatletastêm
a) o período de rotação ao redor da Terra, descrito
pelo satélite; 24 horas
v,,. 1, 1 . lO' km/h
b) o módulo da velocidade linear do satélite;
c) Compare as velocidades escalares das atletas.
c) a velocidade angular do satélite.
a mesma frequênaa.
A atleta mais alta descreve uma circunferência de raio maior, portanto
,112 radlh
sua velocidade escalar e maior.
Pense além
Conversa de jornalista
Três jovens jornalistas redigiram suas matérias e as enviaram à central de
informações do jornal onde trabalham.
A primeira jornalista está na Islândia, pesquisando sobre o Sol da meia-noite;
a segunda está no Brasil, próxima à linha imaginária do equador, registrando o
que ocorre com a luz solar (nos equinócios) ao passar pela abertura do Marco
Zero, em Macapá; a terceira está na cidade de Maringá (PR) sobre a linha imaginária do Trópico de Capricórnio.
Complexo turístico-cultural em Macapá, Brasil.
onde se destaca o Marco Zero, um obelisco de 30
metros de altura que tem uma abertura no alto.
Nos equinócios (março e setembro) a luz do Sol
que passa pela abertura projeta um feixe de luz
sobre a linha do equador (imagem de 2013).
A linha imaginária do Trópico de
Capricórnio atravessa o centro da
cidade de Maringá (PR). passando
pela bela catedral Basílica Menor
Nossa Senhora da Glória (imagem
de 2014)_ Com forma cônica.
possui 124 metros de altura_
O Sol da meia-noite. observado de Vesturland
(uma das regiôes da Islândia). é um fenômeno
natural que acontece nos meses de verão
ao norte do Círculo Polar Ártico e ao sul do
Círculo Polar Antártico. Nesse fenômeno o Sol
permanece visível praticamente 24 horas por dia
(imagem de 2015).
Ao receber as notícias, a redatara chefe começou a pensar nos três locais de onde as jornalistas haviam
enviado os textos e, naquele instante, conclui u que as jornalistas giram ao redor do eixo da Terra descrevendo
movimentos circulares e uniformes e formu lou quatro frases afirmando que as três localidades apresentam:
A: A mesma velocidade angular e frequência, porém aquela que está próxima ao Círculo Polar tem a maior
velocidade tangencia l.
B: A mesma velocidade angular e frequência, porém aquela que está próxima ao Trópico de Capricórn io tem
a maior velocidade tangencial.
C: A mesma velocidade angular, a mesma frequência e a mesma velocidade tangencial.
D: A mesma velocidade angular e frequência, porém aquela que está próxima à linha do equador tem a maior
velocidade tangencial.
Responda
Escreva
no caderno
1. Considere que das afirmações feitas pela redatora chefe somente uma pode ser publicada como verdadeira. Qual é?
Somente a afirmação D é correta.
106
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
lass~esignen/Shutwstocl::.com
A transmissão do movimento circular está presente em muitas máquinas, como
relógios, bicicletas e em muitos outros dispositivos mecânicos. O movimento circular
é produzido no eixo do motor e t ransferido por meio de polias, rodas e engrenagens.
Entre duas rodas, o movimento pode ser transmitido por meio do acoplamento periférico ou coaxial. O acoplamento periférico é feito pelo cont ato direto
ou por meio de correia ou corrente entre duas rodas. Nesse caso, quando não
há escorregamento e a correia (ou corrente) é inextensível, a velocidade escalar
periférica das rodas é igual.
ª
A
v
o
Os mecanismos present es na bicicleta
permitem seu f uncionamento.
"'~
E v. :v, 1
No acoplament o coaxial as rodas têm eixo
de rotação comum , o que lhes confere velocidade angular igual.
Exercício resolvido
6, A figura mostra um sistema formado por três engrenagens, A, B e
C, onde os dentes estão acoplados. Sabendo que os raios das engrenagens são: RA = 10 cm, R 8 = 20 cm e Rc = 15 cm e que a engrenagem A gira com frequência de 30 rpm, determine:
a) o módulo da velocidade linear em um ponto da engrenagem C;
b) o sentido e a frequência de rotação da engrenagem B;
c) o sentido de rotação e o período de rotação da engrenagem C.
Considere 1t = 3.
Engrenagens acopladas.
Resolução
= 21t _l_ · 0 15 = 2
São dados: R" = 10 cm = 0,10 m
V
~ =
20 cm
=
0,20 m
=> Vc
Ri: =
15 cm
=
0,15 m
e
3
'
= 3 m/s
· 3 · _l · 0 15
3
'
fA= 30rpm = 0,5Hz
b)f8 • ~ = fC. ~
a)vA=
f8 · 0,20 = 3 · 0,15 => f8 = 0 ,25 Hz
COA •
VB
= vc
RA = 00a · ~ = 00c ·
= 3 =>
1
Ri:
21t · fA· RA= 21t · f8 • R 8 = 21t · fc · Ri:
Então: fA· RA = fc · ~
O' 5 · O, 1 = fe · O' 15 => f e = l_ Hz
3
vc =coe. Rc
Sentido anti-horário.
c) Te
= -f1 = -11 = 3 => Te = 3 s
e
3
Sentido horário.
Capítulo 8 • Movimento cin:ular
107
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
18. A figura a seguir representa o mecanismo básico de
uma bicicleta. Sabendo que os pedais giram num
período igual a 2 s e que o raio da coroa é oito vezes
maior que o raio da catraca, determine:
Considere o raio da coroa igual a 10 an e adote 1r = 3.
corrente
pedal
'\.
a) o período de rotação da coroa; 2 s
b) a frequência da catraca; 4 Hz
c) a velocidade linear dos pontos da corrente. 30 cm/s
19. A betoneira, mostrada ao ~
lado, é um equipamento .!ã
. utilizado na cons- i:!~
mwto
trução civil para misturar ~
. .
.
s
matemus como areia, pe- ]
dra, cimento e água, in- ~ _,-..;::;;11, ~ !!!!
gredientes usados na pro- i =~"'"'"
dução de concreto para
preencher vigas e colunas
que dão estrutura, por
Betoneira.
exemplo, a uma casa.
Considere que, para misturar determinada quantidade
de concreto, um operário utiliza uma betoneira que
tem as seguintes características: ao redor do tambor do
misturador existe uma grande cremalheira fixa, com
formato de anel, de 120 an de diâmetro. Acoplada a
essa cremalheira há uma engrenagem, também em
forma de anel, com diâmetro de 8 cm. O centro dessa
engrenagem está preso ao eixo de um motor. Quando
o motor é ligado, o seu eixo gira com frequência de
3 Hz, fazendo girar a engrenagem e, consequentemente, o tambor do misturador. Nesse caso, quanto tempo
é necessário para o tambor completar uma volta? s s
20. (Enem/ MEC) Para serrar ossos e carnes congeladas,
um açougueiro utiliza uma serra de fita que possui
três polias e um motor. O equipamento pode ser
montado de duas formas diferentes, P e Q. Por questão de segurança, é necessário que a serra possua
menor velocidade linear.
.,g
serra
de fita
Por qual montagem o açougueiro deve optar e qual a
justificativa desta opção?
x a) Q, pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais em pontos periféricos e a que tiver maior
raio terá menor frequência.
b) Q, pois as polias 1 e 3 giram com frequências iguais
e a que tiver maior raio terá menor velocidade linear
em um ponto periférico.
c) P, pois as polias 2 e 3 giram com frequências diferentes e a que tiver maior raio terá menor velocidade
linear em um ponto periférico.
d)P, pois as polias 1 e 2 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que tiver
menor raio terá maior frequência.
e) Q, pois as polias 2 e 3 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que tiver
maior raio terá menor frequência.
21 . Nas bicicletas com
marchas é possível
encontrar sistemas
de tração com várias
catracas de diferentes
raios e também mais
de uma coroa. Dessa
forma, possibilitam
ao ciclista utilizar o
tamanho das engreEngrenagens de uma bicicleta.
nagens de acordo
com as condições do percurso percorrido. Baseado nos
seus conhecimentos sobre Física, responda:
a) Para obter uma velocidade maior, em relação ao
solo, o ciclista deverá combinar as engrenagens de tal
forma que a coroa seja maior que a catraca ou a catraca seja maior que a coroa? Acoroadevesermaiorqueacatraca.
b) O que ocorre se o raio da coroa (R,) for quatro vezes maior que o raio da catraca (Rca)?
c) Para subir, confortavelmente, um trajeto inclinado, uma bicicleta com apenas uma coroa deve fazer
uso da catraca maior ou menor? Deve usar a catraca maior.
22. A figura abaixo mostra duas polias ligadas perifericamente por uma correia inextensível. Sabendo que
a polia B tem raio 4 vezes maior que a polia A e esta
efetua 40 rpm, qual a frequência da polia B? 10 rpm
poüa3
.
o
correia -........__
"'
1<(
~
··l
Montagem P.
108
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Montagem Q.
A
B
21. b) Se o raio da coroa (R.,) for quatro vezes maior que o raio da catraca (RJ, então R., = 4 R"' ou seja, enquanto a coroa dá
uma '/Olta a catraca dá 4 'IOltas e a roda, por estar acoplada à catraca, também dará 4 voltas.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Pense além
As ciclovias e a mobilidade urbana
Atualmente muitos reconhecem a importância das ciclovias para a mobilidade urbana e a qualidade de
vida das pessoas nos grandes centros urbanos. Muitos países já reconhecem o uso da bicicleta como um meio
alternativo de transporte, como agente redutor da poluição ambiental, como incentivador da atividade física
em qualquer idade e como um veículo que atende ao princípio da igualdade, ou seja, o custo de aquisição e
manutenção é acessível a quase todas as camadas sociais.
A ideia que se tem sobre ciclovia como espaço destinado
estritamente à circulação de bicicletas apareceu pela primeira
vez em Paris, em 1862, quando
as bicicletas não podiam circular
entre charretes e carroças. Contudo, a popularização das ciclovias ocorreu somente em 1930,
na Alemanha.
Nos projetos mais modernos,
a ciclovia é planejada com base
na ideia de incentivar o uso deste
meio de transporte para fins de
traba lho, lazer e turismo, como
ocorre, por exemplo, no famoso
EuroVelo (um projeto de cicloturismo formado por uma rede europeia de ciclovias que cruzam o
continente europeu). Em diversas
cidades brasileiras há iniciativas
ao uso de bicicletas como veículo
de transporte. A cidade do Rio de
Janeiro (RJ) lidera em quilômetros
de ciclovias.
Ciclofaixa na Avenida Boa Viajem, em Recife, Pernambuco (imagem de 2013).
Conforme regu lament ação da Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) existem definições específicas
dos espaços cicloviários: a ciclovia é uma pista própria, separada do tráfego comu m, destinada à circu lação
de bicicletas; a ciclofaixa é um trecho da pista de rolamento ou da ca lçada, destinada ao uso de bicicletas
(que pode funcionar em dias específicos, como domingos e feriados); já a calçada partilhada é uma ciclofaixa
criada a partir de parte do passeio público (calçada) ou do canteiro central.
Para que a viabilização do uso da bicicleta como um meio de transporte urbano ocorra em uma escala
maior, depende-se de aspectos como o respeito às leis de trânsito, aos limites e direitos dos outros e à convivência harmoniosa entre pedestres e condutores de veículos.
Atividades
Escreva
no caderno
Respostas pessoais.
1. Que meio de transporte você utiliza no trajeto entre sua casa e a escola? Qual o custo ambiental e social dele?
2. No mesmo trajeto, quais os meios de transporte mais comuns utilizados pelas pessoas? Cite algumas possibilidades
para diminuir o impacto ambiental e social deles.
3. Se você fosse projetar uma ciclovia em sua cidade, qual seria o trajeto dela? Onde seriam os pontos de partida e
chegada e onde você colocaria estações de aluguel ou empréstimo de bicicletas? Para fazer o planejamento dessa
ciclovia consiga o mapa de sua cidade e dados sobre a ocupação de cada região. Uma visita à prefeitura ou pesquisa
no site serão etapas importantes.
Capítulo 8 • Movimento cin:ular
109
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Experimente a Física no dia a dia
Experimente os recu rsos da bicicleta
Atenção
Faça o experimento
Materiais
Ciclovia e m
Amsterdâ
(Holanda).
A cidade é
considerada
a capital das
bicicletas do
mundo.
Amsterdã, na Holanda, considerada cidade das
bicicletas, abriga 800 mil habitantes e 880 mil bicicletas. Segundo estimativas do governo local, o número de biciclet as é quatro vezes maior do que o
número de carros. Em diversas partes do mundo, a
busca por alternativas que amenizem os congestionamentos no trânsito urbano e a poluição ambiental
têm estimulado a adoção de medidas que facilitem o
uso da bicicleta. Nesse sentido é possível destacar
algumas cidades corno Copenhagen, na Dinamarca;
Montreal, no Canadá; Portland, nos Estados Unidos; Barcelona, na Espanha; Tóquio, no Japão; e,
inclusive, cidades brasileiras como Sorocaba, Curitiba, Santos, Aracaj u e Rio de Janeiro, que têm se
destacado por essas iniciativas.
A Física e o funcionamento da bicicleta
catraca
Provavelmente, você já andou várias vezes de bicicleta e não teve a preocupação de observar os diversos conhecimentos, desenvolvidos pela Física, que
são utilizados no funcionamento desse veículo tão
popular. É o caso do sistema de tração, que, em uma
bicicleta simples, é composto pela coroa (a engrenagem dianteira, movimentada pelos pedais) ligada por
uma corrente à catraca (engrenagem traseira que está
acoplada à roda traseira) . Para entender, detalhadamente, o funcionamento desse sistema de tração e as
grandezas físicas relacionadas ao movimento curvilíneo uniforme que estão envolvidas neste caso, vamos
desenvolver a atividade experimental seguinte.
Atividade experimental
Os grupos de estudo podem ser formados por
três ou quatro estudantes que deverão se organizar
para interagir durante a realização das ações indicad as a seguir:
• lápis e papel
• uma bicicleta
• um relógio que marque os segundos
• uma fita métrica
• fita adesiva
somente na presença
do professor.
Passo a passo
• Construa no caderno uma tabela para registrar os
dados obtidos.
• Mantenha uma bicicleta com as rodas para cima enquanto o guidão e o selim permanecem apoiados no chão.
Detalhe
do arranjo
experimental.
• Com um pedaço de fita adesiva, marque um ponto A
no aro da roda, junto ao pneu.
• Meça o comprimento do raio da roda, isto é, a distância do eixo da roda até o ponto A. Esse valor (RA)
corresponde ao raio da trajetória do ponto A.
• Com outro pedaço de fita adesiva, marque no raio da
roda um ponto B. Essa marcação deve ser feita de tal
forma que a distância do ponto B ao eixo da roda corresponda à metade da distância do ponto A ao eixo, ou
seja, RA= 2 · ~• Impulsione a roda para que ela gire rapidamente.
Cuidado para que não tombe.
• Meça o intervalo de tempo, para que os pontos A e B
deem dez voltas.
Responda
Escreva
no caderno
1. Organize os dados coletados e determine o período,
a frequência, a velocidade angular média e a velocidade escalar média para os pontos A e B.
2. Compare os valores obtidos para os pontos A e B,
de tal forma que seja possível afirmar se todas essas grandezas permanecem constantes ou se sofrem
variação.
3. Caso a marcação sobre o raio da roda, para o ponto B,
seja feita de tal forma que RA= 4 · ~ . quais serão os
valores obtidos para essas grandezas físicas?
Professar, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de olientaçôes no final deste volume.
11 O
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
comp1ement ares
Esaeva
nocadern
1. (Unesp-SP) Um caminhoneiro efetuou duas entregas
de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelosvetoresdeslocamento~e~ ilustrados na figura.
d,=lOkmL
~
d2=6km
e) Um ângulo diferente e altura diferente.
Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e,
para a segunda entrega, percorreu uma distância de
6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que
o caminhoneiro se encontra do ponto de partida é:
xc) 2fükm
b) 8km
d) 3.J?, km
a) O mesmo ângulo de lançamento e a mesma altura.
b) O mesmo ângulo e altura diferente.
x c) Um ângulo menor e a mesma altura.
d) Um ângulo maior e a mesma altura.
Oº
a) 4km
será o ângulo de lançamento do projétil e a altura
máxima, em relação ao solo, alcançada pelo projétil?
e) 16km
2. Em uma trajetória circular de raio
10 m, move-se um corpo C, com i
velocidade escalar constante. No J
o
instante t =1,0 s o módulo da i
aceleração vetorial instantânea 3it
é igual a 32 rn/s2, como mostra a j
figura ao lado.
3
4
Dados: sen 6 = 5 ecos 6 = 5 .
..
e
!
Nesse instante, encontre:
a) a velocidade escalar; 16 m/s
b) a aceleração tangente. 19,2 mls'
3. O piloto de um avião de salvamento lança uma mala
com alimentos a 1 000 m de altura em relação ao
solo. Sabendo que o avião descreve uma trajetória
retilínea e horizontal e que desenvolve velocidade
v = 100 rn/s, determine:
a) a que distância horizontal do avião, relativa ao instante do lançamento, caiu a mala; 1414 m
b) com que velocidade a mala chegará ao solo. ,,,,173 mls
4 . Um jogador de golfe dá uma tacada na bolinha imprimindo a ela uma velocidade de 20 m/ s sob um ângulo
de 30º com a horizontal. Considerando que seu objetivo é acertar um buraco que está a 40 m de distância
de seu ponto, a que distância desse buraco a bolinha
tocará o solo? Despreze a resistência do ar e considere
sen 30º = 0,50, cos 30º = 0,87 e g = 10 rn/s2 •
5,4 mdo buraco.
5. (OBF) Um projétil é lançado por um canhão localizado sobre um trem que está com velocidade horizontal
constante v0 em relação ao solo. Para um passageiro
do trem, o canhão aponta para a frente formando um
ângulo 6 com a horizontal, e o projétil é lançado com
velocidade de módulo igual a v1 . Para esse passageiro
a altura máxima, atingida pelo projétil, em relação ao
solo, é h . Para um observador localizado no solo, qual
6. O objetivo de um ciclista é percorrer um trajeto, mantendo a velocidade escalar constante e um ritmo constante de pedaladas para que a sua velocidade angular
seja de 4 rad/s. Caso ele consiga seu objetivo e sabendo
que a roda da bicicleta tem diâmetro 0,8 m, determine
a velocidade escalar desse ciclista. Considere o raio da
catraca (R) quatro vezes menor do que o raio da coroa.
V= 6,4 rn/S
7. Com o olhar voltado apenas para a estética, o proprietário de um carro resolveu substituir o conjunto
de rodas/pneus por outros, com raio menor do que
o anterior. Nesse caso, as indicações fornecidas pelo
velocímetro serão maiores ou menores do que seriam
se não ocorresse a substituição? Considere que, geralmente, as indicações dadas pelo velocímetro de
um veículo se baseiam no número de voltas efetuadas
pela roda. Aindicação do velocímetro será maior do que a real.
8. (Unicamp-SP) As máquinas
cortadeiras e colheitadeiras
de cana-de-açúcar podem
substituir dezenas de traba- P - - -lhadores rurais, o que pode
alterar de forma significativa a relação de trabalho nas
lavouras de cana-de-açúcar. A pá cortadeira da máquina ilustrada na figura acima gira em movimento
circular uniforme a uma frequência de 300 rpm. A
velocidade de um ponto extremo P da pá vale:
(Considere 1t :::e 3.)
a)9 m/s
x c) 18 m/s
b)lS m/ s
d)60 m/s
9. (Enem/MEC) Nos X Games Brasil, em maio de 2004, o
skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho",
conseguiu realizar a manobra denominada "900", na
modalidade skate vertical, tomando-se o segundo atleta
no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900"
refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em
tomo de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a
a) uma volta completa.
b)uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
X d) duas voltas e meia.
e) cinco voltas completas.
Capítulo 8 • Movimento cin:ular
111
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Mais de dois séculos separam o
conhecimento registrado por Newton
sobre a colocação de um satélite em
órbita ao redor da Terra e a realização desse feito. Com o auxílio de
foguetes, os satélites são colocados
em órbita de forma que a distância
que os separa da Terra (altura) é estrategicamente calculada. A cada altura em relação à superfície terrestre
corresponde uma velocidade específica do satélite.
No caso em que o satélite é colocado a uma distância de aproximadamente 35 786 km da superfície da
Terra, em um ponto situado no plano
Representação de dois satélites geoestacionários orbitando a Terra
(imagem sem escala, sem proporção e em cores-fantasia).
do equador, ele terá tal velocidade (cerca de 11 000 km/h) que gastará cerca de 24 horas para
completar sua órbita. Ou seja, gastará o mesmo tempo que a Terra leva para realizar uma rotação
completa ao redor do seu eixo. Portanto, o satélite estará sempre sobre o mesmo ponto da superfície do planeta e, para um observador nesse ponto, parecerá que ele não se desloca.
Nessas condições, embora o satélite esteja girando com uma velocidade de aproximadamente
11 000 km/h em relação ao eixo (ou centro) da Terra, ele estará em repouso (velocidade nula) para
um ponto na superfície do planeta, pois ambos estarão com a mesma velocidade angular. Falamos "em repouso", pois, se considerarmos como referencial um ponto da superfície do planeta,
a posição do satél ite não se alterará com o tempo.
Entretanto, existem inúmeros tipos de órbitas. Na chamada órbita polar, o satélite passa pelos polos da Terra a cada revolução. A vantagem desse tipo de órbita é que, enquanto a Terra faz seu movimento de rotação, o satélite mantém sua órbita fixa, tendo, assim, uma vasta cobertura da superfície
do planeta. Isso permite que o satélite em órbita polar seja utilizado para mapeamentos geográficos.
Satélites em órbitas "baixas", como a polar, por exemplo, com cerca de 1 000 km de altitude,
passam diversas vezes sobre um ponto na superfície da Terra. Nesses casos, a velocidade orbita l é
elevada, da ordem de 30000 km/h.
Segundo estimativas recentes da Agência Espacial Europeia, cerca de 6 000 satélites já foram colocados em órbita terrestre, sendo que somente 800 deles ainda estariam em funcionamento. Além
dos satélites, há muito lixo espacial em órbita, constituído basicamente de fragmentos de restos de
foguetes e satélites que se quebraram, explodiram em colisões ou foram simplesmente desativados.
Representação
de satélites e lixo
espacial em órbita
da Terra. A grande
concentração de
objetos próximos à
Terra está em órbitas
de "baixa" altitude.
O cinturão de objetos
mais afastados
da Terra está em
órbita equatorial
geoestacionária
(imagem sem escala,
sem proporção e em
cores-fantasia).
112
Unidade 3 • Cinemática vetorial
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Em diversos momentos do nosso
cotidiano, como quando ligamos nosso
computador para trabalhar ou estudar,
quando utilizamos um meio de transporte ou nossos próprios pés para chegar até a escola, até nos momentos mais
relaxantes, como no final do dia, quando temos um tempo livre para praticar
um exercício ao ar livre, ou simplesmente obseNamos pessoas praticando exercícios f ísicos. Em t odas essas situações, a
Física se faz presente.
Em um jogo de f utebol, você consegue relacionar algumas das jogadas
com aspectos da Física? Quais?
• É comum o uso de termos de Física durante a narração de alguns esportes.
Você conhece algum exemplo? Caso
não conheça, faça uma pesquisa e investigue os usos das palavras força e
impulso, muito utilizadas por comentaristas e narradores de partidas de
f utebol.
>•
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Profel50r, os comentários das quesiões da abertura de Unidade encontram-se no Caderno de
orientações no final deste volume.
Nas Unidades anteriores estudamos alguns conhecimentos de Cinemática
que explicam algumas características do movimento, como velocidade e aceleração. Mas podemos também questionar: É necessário agir sobre esse corpo para
alterar sua velocidade? E para mantê-la?
~
~
ii'
li'
lã
\2
i
.lã
~
IC
15'
.lã
~
~
<(
-g
-g
~
1'i
~
~j
~
·"
I:.
;?;'
i
;;;
E
ia
I!>
• Por que os pássaros conseguem voar?
• Por que a Lua se movimenta ao
redor da Terra?
• Por que o paraquedista cai qua ndo
salta do avião?
Essas perguntas tratam das relações entre as causas do movimento e seus
efeitos, objetivo desta Unidade. A Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda
os movimentos, suas causas e seus efeitos.
Observar o movimento dos corpos, buscar as causas e relacioná-las com suas
consequências não é preocupação recente.
Os registros mais significativos dessas pesquisas foram deixados por Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.), Galileu Galilei (1564-1642), Isaac Newton (1642-1727) e
Albert Einstein (1879-1955), como veremos mais adiante.
Em nosso estudo sobre as causas e os efeitos do movimento de um corpo, vamos desconsiderar suas dimensões, ou seja, considerá-lo como um ponto material.
fl~t·iff·l·tii·1lf •-------------
j
z
.2
~ lliia....,==...w.........,..__.llií:::lU~
114
Vamos retornar o exemplo do movimento de queda de uma esfera em plano
inclinado, que estudamos na Unidade de Cinemática escalar. Notamos que esse
movimento é acelerado, isto é, a cada instante da descida, a esfera adquire maior
velocidade. Nessa situação, podemos nos perguntar: Por que a esfera se move?
O que faz sua velocidade aumentar?
Assim como na queda livre, na proximidade da superfície da Terra, podemos
explicar o fato de os corpos caírem em direção ao seu centro, ou descerem um
plano inclinado, pela ação da gravidade, uma interação entre o corpo em movimento e nosso planeta.
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
De maneira geral, a interação entre quaisquer corpos pode ser descrita por
meio da noção de força. Nessa interação, os corpos atuam um no outro, provocando o surgimento de pares de forças, de tal forma que cada força age em um
corpo .
A força é o agente causador de alterações no estado de repouso ou de movimento dos corpos.
A mesma intensidade de força, quando aplicada em direções e sentidos diferentes, pode produzir efeitos também diferentes, o que nos leva a considerá-la
uma grandeza vetorial.
~ Força resu tante
Em muitas situações, é possível que o mesmo corpo esteja sujeito à ação de
várias forças. Nesse caso, representamos essas forças por apenas uma, chamada
força resultante.
Devemos ent ender a força resultante apenas como uma força representativa,
que age no corpo causando o mesmo efeito que o conjunto de todas as forças.
Para obtermos a força resultante R, precisamos fazer a soma vetorial das várias forças que atuam no corpo .
Exemplificando, vamos considerar o ponto material A nos dois casos a seguir:
1o. caso: as forças F1 e F2 agem sobre A.
f2
F3
f1
A
22 caso: as forças F,. F2 e F3 agem
sobre A.
~
..
..,
A
-\!
o
i
A força resultante é dada por:
A força resu ltante é dada por:
Generalizando, dizemos que sobre o ponto material A agem n forças,
F2, ... , Fn:
r.
= ,. + ,. + --- + '"
Na Paraolimpíada predominam a
força de vontade e a superação.
Os usos da palavra f ~
no nosso dia a dia estão
de acordo com o conceito
físico?
É possível definir força como
uma grandeza física?
Professor, os comentários dess.; seção encontJam-se no Caderno de orientações no final deste
volume.
F1,
J
Os métodos de adição vetorial, já vistos, se aplicam a esse caso.
Para medir a intensidade de uma força, podemos usar um aparelho chamado
dinamômetro, constituído basicamente de uma mola e uma escala. O maior
ou menor alongamento da mola determinará a maior ou menor intensidade da
força.
No SI, a unidade de força é o newton (N). Outra unidade utilizada, que não
faz parte do SI, é o quilograma-força (kgf).
A relação entre essas duas unidades é:
~
1 kgf = 9,8N
A unidade de força do SI faz homenagem ao físico inglês Isaac Newton. Mas
é preciso observar que a unidade deve ser escrita com letra minúscula (newton),
e seu símbolo, com letra maiúscula (N).
Escala do dinamômetro graduada
em newtons.
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
115
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercícios resolvidos
1 Considere FA= 3 N e F0
=
4 N e determine a intensidade da força resultante nos seguintes casos:
a)FAe F0 têm direção
horizontal e sentidos opostos.
c) FAe F8 formam um ângulo de 90º entre si.
b)FAe F8 têm direção
horizontal e mesmo
sentido.
Resolução
a) Considerando os sentidos de FAe F8 opostos, temos: R= F8 + FAe, em intensidade, R = F8
-
FA.
R = 4 - 3 = 1 => R = 1 N (para a direita)
b)ConsiderandoFAeF8 no mesmo sentido, temos: R= F8 + FAe, em intensidade, R = F8 + FA.
R= 4
+3=
7 => R
= 7 N (para a direita)
e) Considerando o ângulo de 90º formado entre FAe F8, temos:
intensidade, R2 = F~ + F1 = 42 + 3 2 => R2
=
R = F8 +
FA, em
25
''
R=.Jzs =>R=5N
A figura abaixo representa um carro, de massa 1000 kg, sendo puxado por duas pessoas.
Sabendo que F1
=
20 N e F2
=
30 N e desprezando os atritos, determine:
a) a aceleração do carro;
b) a velocidade do carro após 20 s de movimento, sabendo que ele partiu do repouso.
Resolução
a) R = 20
+ 30 = 50 N
R= m ·a
50
50 = 1000 · a => a = 1 000 => a = 0,05 m/s2
Considerando-se duas forças de intensidade 30
dessas forças.
b)v = v0 +a · t
v = O + 0,05 · 20 => v = 1 m/ s
e 45 N, encontre as resultantes de intensidades máxima e mínima
Resolução
Rmáx = 30
+ 45 = 75 N
Rmín = 45 - 30 = 15 N
116
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
1. Éuma grandeza capaz de modificar o movimento de um corpo (direção, sentido ou variação de sua velocidade) ou deformá-lo.
1. Explique o que é a grandeza física força.
Na figura, estão representadas as direções e os sen-
2. Reescreva as afirmações a seguir no caderno tornan-
tidos das forças que agem no barco (o barco está representado pelo ponto material P):
do-as verdadeiras.
a) Quando um jogador de futebol chuta uma bola em
direção ao gol, a bola sai de seu pé com força.
F,
F,
p
b)Um garoto observa uma bola que rola sozinha em
uma quadra até parar. Diante desse fato, ele considera a ausência de forças aplicadas na bola.
c) Um corpo está em equilibrio quando a soma das
forças atuantes é diferente de zero. Respostas no final do livro.
,
3. O que e força resultante?
Éuma força representativa que, ao agir no
corpo,causaomesmoefeitoqueoconjunto de todas as forças.
4. Na Física, assim como em outras disciplinas, é necessário organizar os estudos que buscam soluções
para as nossas indagações. Por exemplo, na Mecânica
concentramos os estudos relativos à ideia de movimento, que, por sua vez, podem ter objetivos ligados
à Cinemática ou à Dinâmica. Descreva uma situação
que justifique a diferença entre os objetivos da Cinemática e os da Dinâmica, ao analisar o movimento de
um ponto material. A Cinemáti<a estuda os mo~imentos sem consi™:
rar suas causas, Já na Drnâmica as causas dos movi-
Sabendo que dessa forma o barco se mantém em
repouso, determine (em newton) o módulo da força
F3 , aplicada pela água no barco. SON
Este enunciado é referente aos exercícios 8 e 9 .
Sobre a bancada de um laboratório, um corpo é submetido à ação de duas forças, F1 = 50 N e F2 = 20 N. A direção e o sentido dessas forças sofrem variações, durante
um teste para que se saiba em que situações ocorrem
a maior ou menor intensidade da força resultante R.
8. Encontre a intensidade da força resultante que age no
corpo quando o ângulo formado entre as duas forças é:
a) 60º, sabendo que cos 60º
= 0,5; =62,4N
mentos são fundamentais para realizar seu estudo.
5. Uma força de módulo 10 N e outra de módulo 12 N
são aplicadas simultaneamente a um corpo. Qual das
opções abaixo apresenta uma possível intensidade resultante dessas forças?
a)O
b)30º, sabendo que cos 30º = 0,87. = 68,1 N
b)lN
X c)
15 N
d) 24N
e) 120N
6. Em um trecho de estrada, sem calçamento, um veí-
culo está atolado na lama. Para tirá-lo daí, um guincho aplica no veículo, com um cabo de aço, uma
força F= 950 N. Com base no texto, analise as afirmações a seguir:
I. A informação contida nessa igualdade (F = 950 N)
está equivocada. correta.
II. A partir do instante em que o veículo começa a ser
deslocado, a força aplicada pelo cabo de aço é a única
força que age no veículo. Incorreta.
7. Por causa da correnteza das águas de um rio, um bar-
co está amarrado por duas cordas que aplicam nele as
forçasF 1 =40NeF2 = 30N.
l:\
•
9. Qual a intensidade máxima e a mínima da força
resultante? 70 N; 30 N
10. Um ponto material está sob ação de duas forças de
mesmo módulo 50 N, formando entre si um ângulo
de 120º. Para equilibrar o ponto é necessário aplicar
uma força de módulo:
a) 100 N
c) 50...}2 N
e) 120N
b)75N
x d)SON
11 . Duas pessoas puxam uma caixa aplicando forças de
mesma intensidade. Se o ângulo entre as forças for de
60º, determine:
a) a intensidade da força resultante. R= FJ3 N
b)a força resultante quando o ângulo entre elas for
de 180º. o
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
117
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fMti ffl ti· ã: t4'"4{·); •----------------------Vamos rever algumas ideias sobre o movimento. Acompanhe as seguintes situações:
Situação 1
Se você empurrar um bloco de gelo sobre uma superfície áspera, o
bloco permanecerá em movimento, na maior parte do tempo, enquanto sua mão estiver aplicando uma força sobre ele.
movimento
f ;t, 0
Esse t ipo de associação, de que para haver movimento é necessária
a ação de um agente motor - uma força -, foi uma tese aceita desde
A ristóteles (IV a.C.) até o sécu lo XVI.
.-
'
~
. em uma
Pessoa empurrandoum bloco
de gelo
superfície áspera.
movimento
F# O
Agora, pense nessa mesma situação, mas com o bloco de gelo sobre
uma superfície bem lisa, como uma pedra de mármore polida. Nesse
caso, após a retirada da mão que o empurra, o bloco permanecerá em
moviment o, deslizando por alguns segundos.
Essas duas situações que acabamos de analisar permitem pensarmos
sobre o movimento. No segundo caso, a pedra de gelo contin ua seu
movimento por vários segundos, mesmo que a mão não a empurre
mais.
O ital iano Galileu Galilei, após realizar muitos experimentos, chegou
à conclusão de que entre as superfícies de contato dos corpos havia
Pessoa empurrando um bloco de gelo em uma
superfície lisa.
uma força que se opunha ao movimento (força de atrito). Para ele, se
não houvesse atrito, o corpo continuaria em movimento, mesmo que a
força agente sobre ele deixasse de existir.
Situação 2
Quando duas pessoas estão andando em uma moto e ocorre uma partida brusca, o corpo do passageiro, que
está em repouso, é jogado para trás (Figura 1).
Nesse caso, a moto sofre a ação de uma força e se desloca, enquanto o corpo do passageiro tende a permanecer em repouso.
Com a moto em movimento, em uma freada brusca, o corpo do passageiro, que também está em movimento,
em relação à estrada, tende a permanecer em movimento (Figura 2).
Nesse caso, ao sofrer a ação de uma força, a moto para, enquanto o corpo do passageiro continua o movimento para a frente.
Nessas duas situações chegamos a uma interpretação semelhante àquela obtida por Galileu. Segundo ele, um
corpo em repouso tende a permanecer em repouso, e um corpo em movimento t ende a permanecer em movimento.
Alguns anos depois, o inglês Isaac Newton também estudou esses f enômenos e elaborou as leis do movimento
apresentadas no livro Princípios matemáticos da Filosofia Natural, em 1687. Vamos estudar esses princípios
que são conhecidos como princípios da Dinâmica.
Figura 1: partida brusca de uma moto.
118
Figura 2: freada brusca de uma moto.
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Princípio da inércia (1ª lei de Newton)
O conceito de inércia, enunciado formalmente por Isaac Newton, diz que:
~ Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme
em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forças que
atuem sobre ele.
É sempre bom lembrar que a tendência de um corpo de permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme só é válida quando a resultante das
forças que atuam sobre ele é nula. Se um ponto material está em repouso ou em
moviment o retilíneo uniforme, a velocidade vetorial é constante.
Podemos representar esse conceito utilizando símbolos:
~
em repouso (v = Õ)
R = O~véconstant e {
em MRU (v = co nstante)
Usualmente, o estado de repouso é denominado equilíbrio estático e o
estado de movimento retilíneo uniforme é denominado equilíbrio dinâmico.
Esses conceitos serão abordados na Unidade 6, no capítulo Estática de um ponto
material e de um corpo extenso.
Exercícios resolvidos
4' Durante uma aula de Física, quatro alunos foram convidados a escrever uma frase sobre o prinápio da inércia. Qual
delas é coerente com a proposta?
Aluno A: Se nenhuma força age sobre um corpo, ele obrigatoriamente está em repouso.
Aluno B: Se um corpo está em repouso, certamente não está sujeito à ação de nenhuma força.
Aluno C: Se um corpo está em movimento, ele obrigatoriamente está sujeito à ação de uma força.
Aluno D: Se um corpo apresenta movimento retilíneo uniforme, a resultante das forças que agem sobre ele é nula.
Resolução
Aluno A: Incorreta, pois, quando não há forças agindo sobre o corpo, ele pode estar em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme.
AI uno B: Incorreta, pois um corpo em repouso pode sofrer a ação de forças, desde que a resultante seja nula, condição de
equilibrio estático.
Aluno C: Incorreta, pois um corpo permanece em movimento retilíneo uniforme quando não há forças externas
agindo sobre ele ou quando a resultante dessas forças é nula.
Aluno D: Correta, pois, quando o movimento do corpo é retilíneo uniforme, necessariamente a resultante das forças que agem sobre ele é nula. Essa é a condição de equilíbrio dinâmico.
Em nosso cotidiano, podemos observar o prinápio da inércia em varias situações. Uma delas é quando andamos de
ônibus ou trem. Pensando nessa situação, responda:
a) Por que quando o ônibus breca os passageiros vão para a frente?
b) Quando o trem entra em movimento acelerado e uma pessoa, em seu interior, inclina o corpo para trás, é porque
existe uma força puxando essa pessoa?
Resolução
a) Os passageiros estão em movimento com a mesma velocidade do ônibus. Quando ele breca, os passageiros
continuam o movimento, em linha reta, por causa da inércia.
b)Não, a pessoa estava em repouso e a tendência é continuar parada, é o trem que se move.
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
119
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
12. Você empurra um carrinho e ele se move. Soltando-o
l. O lápis que está em repouso sobre a mesa do profes-
você nota que em poucos segundos ele para. Esse
fato contradiz a lª lei de Newton? Justifique sua
resposta. Não, fX:iSexiste uma força contrária ao Sl'IJ movimento, que diminui
sor permanecerá nesse estado enquanto a resultante
das forças que agem sobre ele não se alterar. v
II. Quando um objeto está em repouso e permanece assim, a resultante das forças que agem sobre ele é nula. v
lll. Um corpo se movimenta para o sul, em trajetória
retilínea, com velocidade constante v = 10 m/s. Se a
resultante das forças que agem sobre ele permanecer nula, ele continuará se movimentando para o
sul em trajetória retilínea, com velocidade constante
v= lOm/s. v
IV. Uma bicicleta está estacionada numa rua. Permanece em repouso porque a resultante das forças que
agem sobre ela é nula. Portanto, a bicicleta está em
equilibrio estático. v
a velocíd.1de do camnho até ele para e
13. O princípio da inércia é válido quando se aplica a um
corpo uma única força? Não. ele é válido sempre que a força
resultante é nula.
14. Uma criança empurra uma caixa sobre uma superfí-
cie horizontal, com uma força de 30 N, movendo-a
com velocidade constante. Quanto vale a força oposta (atrito) ao movimento? 30N
15. Indique no caderno V (verdadeiro) ou F (falso) para
as afirmações a seguir, de acordo com o princípio da
inércia.
Pense além
O que é o airbag e como ele pode salvar vidas
De acordo com a legislação brasileira atual, todos os carros de passeio produzidos no Brasi l (a partir de 2014) devem
sair da fábrica com o disposit ivo de segurança conhecido
como airbag. Mas o que é um airbag?
É uma bolsa inflável, com gás nitrogênio (inofensivo para
o ser humano), possui dupla capa de nylon emborrachada e
kevlar, que automaticamente se enche de gás no momento
do impacto. Sistema de proteção passiva em veículos automotores que melhora a proteção dos condutores e passageiros, instalado no compartimento de direção, no painel acima
do porta-luvas e atrás dos bancos dianteiros. Para as colisões
laterais existe o airbag lateral, instalado junto às portas.
[... ]
Teste para verificar a funcionalidade dos airbags de um
carro.
O dispositivo consiste num sistema eletrônico de sensores instalados no veículo, que registram a desaceleração se no momento do impacto severo, emitindo um sinal e em menos de 50 mseg a(s) almofada(s) infla(m)
[... ] ou seja, a força do impacto não é propagada para o corpo humano, principalmente tórax, pescoço e cabeça
nos traumas frontais. Depois de cheia, em 2 segundos ocorre a desinsuflação do sistema, melhorando o amortecimento e não causando a asfixia. Todo este processo ooorre por volta de um décimo de segundo que contribui
também para a visão frontal e lateral do condutor e não causar o enforcamento.
[...]
EDUCAÇÃO PARA OTRÂNSITO. Airbag. Curitiba, 2006. Disponível em: <http:/fwww.educacaotransito.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=l 73>.
Acesso em: 14 dez. 201S.
Escreva
Responda
no caderno
1. Explique o funcionamento do airbag de acordo com a l ª- lei de Newton. Resposta pessoal.
2. Como decorrência do acrescimento dos itens de segurança como o airbag, houve um aumento nos custos de produ-
,
•
•
.
çao de ve1culos? Por que? O que voce acha sobre isso?
Resposta pessoal. Ocusto de produção dos veículos que possuem o airbagé maior e é geralmente repassado ao consumidor.Ao mesmo te~o, o gasto em pagamentos de seguros deconentes de acidentes tende a ser menor com o uso desse disP,ositivo de s~urança.
3. Assim como o airbag, existem outros equipamentos de segurança em veículos (carros, motocicletas, ôrubus etc.). Pes-
quise sobre outros dispositivos de segurança e analise se a legislação brasileira recomenda ou torna obrigatórios
todos esses itens. Alguns exemplos, além do a;rbag, são: o cinto de segurança e os freios ABS (para carros) e ocapacete (para motociclistas).
120
Unidad e 4 • Força e as leis de movimento d a Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Princípio fundamental da Dinâmica (2ª lei de Newton)
De acordo com o princípio da inércia, quando a resultante de forças externas
que agem em um ponto material é nula, a velocidade vetorial será constante.
Considerando a possibilidade de a resultante de forças ext ernas que agem sobre o ponto material não ser nula, a velocidade vetorial deixará de ser constante,
e o ponto material passará a apresentar aceleração.
Acompanhe duas situações em que representamos uma criança sentada em
um skate.
ª,
Situação 1
Situação 2
Juntos, a criança e o skate têm massa m que permanece constante nas situações 1 e 2 . Mantidas as mesmas condições nas duas situações, para uma
intensidade de R. 2 maior que a de R.1 , a intensidade de a2 será maior que a de ã 1 .
Veja também que a direção e o sentido da aceleração ã 1 e ã 2 são os mesmos
de R.1 e R2, respectivamente.
Observe outras duas situações, em que a resultante R(não nula) das forças
que agem sobre o carro é a mesma, diferindo somente a massa m : na situação 1 o ca rro está vazio (m 1) e, na situação 2, o carro está com passageiros e
bagagens (m 2 ) .
a,
ã,
Situação 1
Situação 2
Quanto maior a massa, maior será a resistência à va riação de velocidade,
isto é, para a mesma força resultante R, se a massa aumentar, a intensidade de
ã diminuirá e vice-versa.
~
Quando um ponto material de massa m é submetido à ação da resultante R de
forças, ele adquire uma aceleração a, cuja direção e sentido são os mesmos de
R, e a intensidade é proporcional ao produto m · a.
R = mã
Fisicamente, a massa representa a maior ou menor resistência que um
corpo apresent a à variação da velocidade, ou seja, é uma medida da sua inércia .
No SI utilizamos as seguintes unidades: quilograma (kg), para massa; metro
por segundo ao quadrado (mfs2), para aceleração; newton (N), para força.
Considerando o princípio fundamental da Dinâmica, R = mã, temos: 1 newton é a intensidade de uma força que, ao agi r em um objeto de massa 1 kg,
manifesta nele uma aceleração de 1 m/s2 , na sua direção e no seu sent ido.
1N
= 1 kg ·
1 m/s2
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
121
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercício resolvido
-~
6• Um vagonete, de massa m = 100 kg, está em repouso sobre trilhos retilíneos horizontais. A partir de determinado
instante, a resultante R das forças que passaram a agir nele, na direção paralela aos trilhos e para a direita, tem intensidade constante de 50 N. Considere que a ação de R ocorreu durante 20 s, despreze os possíveis atritos e determine:
a) a aceleração que o vagonete adquire;
b) a velocidade do vagonete 20 s após a ação de R ter iniciado;
c) o que ocorre com a velocidade do vagonete após 20 s, se considerarmos que, a partir desse instante, Rdeixa de
agir sobre ele.
Resolução
a) Como Ré a força resultante, o vagonete passa a descrever movimento retilíneo acelerado na mesma direção e no
mesmo sentido de R.
R = ma=> 50 = 100a => a = 0,5
Assim, a= 0,5 rn/s2, horizontal, para a direita.
b)Sendo a aceleração escalar constante e não nula, o movimento é retilíneo e uniformemente variado. Dessa forma, temos:
v = vi + at => v = O + 0,5 · 20 => v = 10
Logo, v = 10 rn/s, horizontal, para a direita.
c) Considerando o principio da inércia, após 20 s o vagonete continua em movimento retilíneo e com velocidade
constante v = 10 m/s, horizontal, para a direita.
· · propost os
Exerc1c1os
Esaeva
no caderno
16. Are10lução não está correta, pois as forças eslão em sentidos opostos ea resultante é a diferença entre elas: R=ma= 2 = m· 2 = m= 1 ~g.
16. Ao conferir a resolução de uma questão feita por um
19. Um trenzinho de massa 1,2 · 103 kg parte do repou-
colega de classe, Pedro avaliou que ela não estava
correta. Leia o enunciado da questão e a resolução
apresentada pelo colega de Pedro e verifique quem
está correto. Caso a resolução esteja errada, qual é a
resposta correta?
Questão: Determine a massa de um corpo (em
kg) que após sofrer a ação de duas forças com módulos 10 N e 12 N, com mesma direção e sentidos
opostos, adquire aceleração de 2 m/s 2 •
Resolução: R = ma=> 22 = m · 2 => m = 11 kg
17. (Vunesp-SP) A figura
representa, em escala,
as forças e que atuam sobre um objeto de
massa m = 1,0 kg.
F\ i\
1
,,FV
m ./
F,
lN ~
Determine:
1N
a) o módulo da força
resultante que atua sobre o objeto. 3 N
b) o módulo da aceleração que a força resultante imprime ao objeto. 3 m/s'
18. Suponha um carro em movimento com velocidade
16,7 rn/s e massa 1512 kg. Em um dado momento,
o motorista aciona os freios e o carro para em 1,2 m.
Calcule a força aplicada ao carro, em newtons, até
atingir o repouso. "'1 ,8 · 10' N
122
so e depois de 10 s atinge a velocidade de 36 km/h.
Determine:
1,0 mls'
a) a aceleração média para esse intervalo de tempo.
b) o valor médio da força resultante que estabeleceu
essa aceleração ao veículo. 1.2 · 10' N
20. Sabendo que um
caminhão está sem
bateria, oito pessoas empurram-no
na tentativa de fazer o motor funcionar. Considere duas
p os si bili d a d e s :
Pessoas empurrando um caminhão.
caminhão carregado e caminhão descarregado. Se aresultante das forças que agem nele for a mesma, em qual
das situações as pessoas terão maior dificuldade para
provocar a variação de velocidade no caminhão? Justifique sua resposta com base no princípio fundamental
da Dinâmica :zo. _No ~aminhão carregado, po~ quanto.maior a massa do
· cammhao, menor serâ a aceleraçao adquinda por ele.
21 . Um caixote é empurrado sobre uma superfície plana e
lisa e adquire uma aceleração. Sobre o mesmo caixote
aplica-se outra força resultante, que é o quádruplo da
anterior. Nessas condições, qual o crescimento da aceleração adquirida? Quatro vezes.
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Princípio da ação e reação (3ª lei de Newton}
Agora, vamos abordar o princípio enunciado por Newton que trata das forças que agem nos corpos quando
há interação entre eles.
Para exemplificar, vamos analisar as forças que agem em duas situações muito comuns nos esportes, como o
tênis e o remo.
Situação 1: Um jogador de tênis bate com a raquete na bolinha.
movimento da raquete
Quando a raquete atinge a bolinha, existe uma força que
atua na raquete e uma que atua na bolinha.
Jogador de tênis.
te
_A força da raquete sobre a bolinha F,.qu.,e.tio1a e a força da bolinha sobre a raqueF1iota1raquet• têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos.
Situação 2: Um remo é movimentado dentro da água.
A força do remo sobre a água Fremolágua e a força da água sobre o remo Fágua1remo
têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos.
Essas situações nos ajudam a entender que as forças de ação e reação agem
simu ltaneamente e aos pares, sem necessidade de identificar qual delas é ação
e qual é reação, e têm resultante não nula porque agem em corpos distintos.
Pare e pense
~,
r.
Jogador cabeceando a bola.
Ao cabecear a bola, o
jogador age aplicando
uma força sobre ela. Nesse
instante, a bola também
aplica uma força na cabeça
do jogador?
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste
volume.
O deslocamento do barco é
resultado da interação entre o
remo e a água.
Segundo Newton, a ação das forças presentes durante a interação entre os corpos pode ser analisada pelo
princípio da ação e reação:
~
Quando um corpo A imprime determinada força num corpo B (FA. 8) , então o corpo B imprimirá no corpo A outra
força
(F8 _) . Essas forças agem com a mesma
intensidade, na mesma direção e em sentidos opostos.
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
123
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercícios resolvidos
"'
..
7 Descreva o que ocorre com os corpos que interagem nas situações a seguir, de acordo com o princípio da ação e reação.
a) Pessoas caminhando na rua: O que ocorre quando
o pé está em contato com o chão?
Pessoas caminhando.
c) Um garoto solta uma bexiga cheia de ar, aberta, e
percebe que ela descreve um movimento enquanto
expele o ar: Por que ocorre esse movimento?
Bexiga desinflando.
b) Um menino, ao aproximar um ímã de clipes de
metal e alfinetes, percebe
que eles descrevem um
movimento em direção ao
únã: Por que ocorre esse
movimento?
d) Um pescador aciona o motor de seu barco e consegue movimentá-lo: Por que o barco se move?
M enino aproximando
clipes de um ímã.
Barco em movim ento.
Resolução
a) Quando uma pessoa inicia uma caminhada sobre
uma superfície não polida, o pé age empurrando o
chão para trás. Nesse mesmo instante, o chão age no
pé, no sentido oposto.
c) As partes elásticas da bexiga agem no ar empurrando-o para trás, enquanto o ar reage na bexiga empurrando-a no sentido oposto.
..l
V
.2
1
ação
b) O ímã age sobre os clipes e os alfinetes por meio de
uma força de atração. Já os clipes e os alfinetes, ao reagirem a essa ação, interagem com o ímã também por
meio de outra força arrativa.
d)Ao ser acionado, o motor ativa a hélice, que age
na água empurrando-a para trás, e a água reage na
hélice empurrando o barco no sentido oposto.
- --- F11s"""'~
:
As quatro situações do exercício resolvido acima podem ser analisadas e compreendidas tomando-se como base
teórica o princípio da ação e reação. Nesses casos, as forças têm mesma intensidade e direção, mas sentidos opostos.
Portanto, essas forças se equilibram, provocando uma resultante nula.
Você concorda com esse enunciado? Justifique.
Resolução
No enunciado ocorre um equívoco ao afirmar que as forças de ação e reação se equilibram. É possível pensar em
equilfürio de duas forças quando elas agem em um mesmo corpo. Não é o que ocorre aqui, pois as forças de ação e
reação citadas nos exemplos agem em corpos distintos.
124
Unidad e 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
23. b) Falso. João conseguirâ mover o carro. pois o par de forças ação e reação está aplicado em corpos distintos.
22. Utilize como base teórica o princípio da ação e reação
e descreva o que ocorre com os corpos que interagem
nas situações a seguir:
a) No instante em que o jogador chuta a bola, o que
ocorre na interação do pé com a bola?
b) Durante o deslocamento do avião, o que ocorre na
interação das paredes da aeronave com os gases produzidos por ela?
c) O que ocorre na interação da Terra com a Lua?
d)Ao acionar o motor de um avião à hélice, o piloto
percebe que ele começa a se movimentar. O que ocorre na interação da hélice, com o ar? Respostas no final do livro.
23. Em um dia muito frio e chuvoso, João tentou ligar
seu carro e percebeu que a bateria não funcionava.
Para tentar resolver o problema, permaneceu sentado confortavelmente e empurrou o painel de controle
Não, po,q ue o par ele forças produzidas estava no interior do
para a frente. sistema. Para acelerar o carro, deveria haver uma interação
27. (Enem/MEC) Em um dia sem vento, ao saltar de um
avião, um paraquedista cai verticalmente até atingir
a velocidade limite. No instante em que o paraquedas
é aberto (instante TA), ocorre a diminuição de suavelocidade de queda. Algum tempo após a abertura do
paraquedas, ele passa a ter velocidade de queda constante, que possibilita sua aterrissagem em segurança.
Que gráfico representa a força resultante sobre o paraquedista, durante o seu movimento de queda?
a) Força
d) Força
resultante
resultante
o
Tempo
entre o carro e um agente externo.
a) O carro se movimentou? Justifique.
b)João solta o freio de mão, desce do carro e começa
a empurrá-lo. Ele o empurra com as mãos, o carro empurra João de volta com uma força de mesma intensidade e assim não adquire aceleração, permanecendo
no mesmo lugar. Verdadeiro ou falso? Justifique.
X b) Força
resultante
e) Força
resultante
o
Tempo
24. Pense e responda: O número total de forças no Universo é par ou ímpar? Justifique.
kL
A
Tempo
Par, porque toda força de ação possui uma correspondente ÍOfÇ3 de reação.
25. Por que as forças de ação e reação não podem ser somadas? Porque estão aplicadas em corpos diferentes.
26. Um astronauta de dimensões desprezíveis está em
repouso no ponto A da Figura I, em uma região do
espaço livre de ações gravitacionais significativas,
em que Oxyz é um referencial inercial. Com a ajuda de uma mochila espacial, dotada dos jatos 1, 2
e 3 de mesma potência e que expelem combustível
queimado nos sentidos indicados na Figura ll, o astronauta consegue mover-se em relação a Oxyz.
c) Força
resultante
o
T'
A
Tempo
28. Sentado à beira do mar, um turista observa, a distância, um esportista praticante de parasail, esporte em
que o praticante é preso a um paraquedas puxado por
z
uma lancha, por meio de uma corda.
B
C
Nesse
instante, ele observa que não há interferência
~-------• ··
do vento e fica com a impressão de que tanto a lancha
quanto o esportista
estão
se deslocando
o:
y
l
com velocidade veX
torial e altura cons•
A
tantes.
Figura 1
Se as observações
do turista estiverem
Figura U
corretas, que forças
Para percorrer a trajetória A ~ B ~ C, o astronauta
acuam sobre o esdeverá acionar, durante o mesmo intervalo de tempo,
portista e quais as
os jatos em qual sequência? 1, 3 e 2.
relações entre elas?
Pessoas praticando parasail.
28. folça da gralliclade, !Ofça da corda e força de resistência do ar (atrito). Aresultante das tJês forças é nula: R= F,.., + F""" + F,.,., = Õ
.
.
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
125
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
Velocidade e a Física Moderna
De acordo com as leis de Newton, a massa de um corpo representa a medida da sua inércia, ou seja, mede
o quanto o corpo é mais ou menos resistente à variação de velocidade. Ainda, de acordo com essas leis, a
força e a aceleração são duas grandezas físicas diretamente proporcionais. Portanto, se aumentarmos a força
resultante que age em um corpo, a aceleração também terá aumento.
Contudo, se analisarmos especificamente o princípio fundamental da Dinâmica, chegaremos à conclusão
de que, se a força aumentar continuamente, a variação da velocidade também terá au mento contínuo. Isso
pode nos levar a acreditar que a velocidade pode ser ilimitada, ou seja, que é possível uma velocidade infinita.
No entanto, a ideia de velocidade infinita não é compatível com a Teoria da Relatividade proposta por Einstein.
Segundo Einstein, nenhum corpo pode atingir velocidade superior à velocidade da luz, que é de 300 mil
quilômetros por segundo. A lém disso, ele concluiu que quanto mais a velocidade de um corpo se aproxima da
velocidade da luz, mais difíci l se torna a variação da sua velocidade.
Você deve estar se perguntando: Afinal, quem está certo, Newton ou Einstein ? Antes de responder, perceba
que a velocidade da luz é citada como fator fundamental para a construção desse conhecimento. Assim, se
tivermos situações que envolvam baixas velocidades, a variação da massa do corpo é inexpressível, portanto
não é considerada e, nestes casos, as leis de Newton são adequadas. Por outro lado, se tivermos situações que
envolvam velocidades próximas à da velocidade da luz, a massa aumenta e é preciso considerar a Teoria da
Relatividade. Em aceleradores de partículas, as colisões entre elas podem atingir velocidades muito próximas da
luz. No Brasil, um dos aceleradores de partículas que é referência é o do Laboratório Nacional de Luz Síncrotron,
local izado em Campinas, SP. Um novo acelerador será inaugurado neste laboratório em 2018, e assim que entrar em funcionamento, esse acelerador de partículas representará um grande avanço para a Ciência brasileira,
pois será um laboratório com estudos e aplicações em diversas áreas como nanotecnologia, biotecnologia,
paleontologia e farmácia . Esse assunto será objeto de estudo mais detalhado na Unidade Física Moderna, no
Volume 3 desta coleção.
Responda
Escreva
no caderno
1. A conclusão de que a velocidade pode aumentar ilimitadamente tem fundamentação na Física Clássica ou Moderna? Justifique. Flsica Clássica.
2. Existem outras situações onde é possível chegar a velocidades próximas da velocidade da luz? Em quais? Se achar
necessário, faça uma pesquisa sobre o assunto. Apenas partkulas subatômicas podem chegar a altas velocidades.
~
!/
g.
i
l
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
,1Mt4Eti·iii4,i!tik·1;·t.f•---------A interação entre corpos ocorre, basicamente, de duas formas: interação a
distância e interação por contato.
No caso da interação a distância, os corpos interagem por meio de campos
sem que haja contato entre eles. Como exemplo de forças de campo, temos,
além da força gravitacional (que estudaremos no capítulo 11), as interações
magnéticas e as elétricas, que estudaremos mais adiante (no Volume 3).
Força gravitacional
Força magnética
O astronauta que está próximo à superfície da
Terra é atraído por ela, e vice-versa, por causa
da força gravitacional. (Imagem de 1994 do
astronauta Bruce McCandless).
O prego é atraído pelo ímã mesmo ele não
estando em contato direto. Isso ocorre por
conta da força magnética.
Repulsão entre tubos de PVC.
Nos dois exemplos acima, um corpo interage com outro (atraindo-o ou repelindo-o) sem a necessidade de um contato físico direto. Segundo o princípio
da ação e reação, em ambos os corpos atua uma força de mesma natureza,
intensidade e direção, porém de sentido contrário. Particularmente no caso do
astronauta, a Terra age sobre ele atraindo-o por meio da força peso (P) e o astronauta atrai a Terra com uma força (-P) de mesma intensidade, mesma direção e
sentido oposto à primeira força .
No caso da interação por contato, as forças ocorrem durante o contato direto
entre os corpos envolvidos. São exemplos a força normal, a de tração e a de atrito.
Força normal
As superfícies de contato dos corpos se
comprimem (mãos da atleta e trave de
equilíbrio). Essa força é perpendicular
às superfícies e chamada normal.
Força de tração
Na primeira foto há contato
entre as mãos do garçom e
a bandeja. Na segunda, há
uma repulsão entre os tubos
de PVC.
Qual a principal diferença
entre essas interações?
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientaçâE's no final deste
volume.
Força de atrito
A interação entre a escaladora e a montanha é feita
pela força de tração sempre que a corda estiver
esticada, além da força normal entre os pés e a rocha.
A aspereza das superfícies de contato e
a interação entre os pés da jogadora
e o chão são responsáveis pela força de
atrito.
Como ilustrado nas figuras acima, as forças de contato podem ser tanto perpendiculares à superfície (no caso
da ginasta) como oblíquas a ela (no caso das atletas jogando basquete).
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
127
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Na figura a seguir, quando o pé firma-se sobre uma superfície, há a ação do
pé sobre o chão, comprimindo-o com força de contato - F, enquanto o chão, por
sua vez, imprime ao pé uma força F, de mesma intensidade e direção, mas com
sentido oposto.
N
-f
Nesse caso, a força F pode ser decomposta na componente normal (perpendicular à superfície - força normal N) e na componente tangencial (paralela à
superfície - força de atrito F.,), conforme as figuras acima.
2
~
~ - -F_=_N
_
- _+_i=_.,_~I· ou, em intensidade ~- P_=_ N_
+
_ F_
;,~
Essas forças serão estudadas ainda nesta Unidade, mas va le lembrar que a
força de atrito é uma força de contato que atua sempre na direção paralela às
superfícies.
Em um corpo extenso, é importante determinar o ponto de aplicação das forças. Por enquanto, vamos considerar os corpos como ponto material, e as forças
que nele agem serão representadas no seu centro. Trata-se de uma simplificação,
pois compreendemos que a força é aplicada em uma região onde consideramos
que está concentrada toda a massa dos corpos.
~ Força peso
O dia a dia nos fornece muitos exemplos de corpos caindo ao serem abandonados nas proximidades da Terra. Qual de nós nunca deixou escapar da mão um
objeto?
A queda dos corpos ocorre por causa do campo de forças existente nas
proximidades da Terra, chamado campo gravitacional. A força de atração que
age sobre o corpo, quando ele é abandonado no campo gravitacional da Terra,
chama-se força peso Pe é responsável pela aceleração adquirida por ele durante
a queda, denominada aceleração da gravidade (g).
Em outras palavras, podemos dizer que o peso de um corpo é a força gravitacional com a qual a Terra o atrai. A definição de força peso também pode ser
aplicada para outros corpos celestes.
Abandonando um corpo de massa m próximo da superfície terrestre e desconsiderando a resistência do ar, a única força resu ltante sobre ele é a força peso P.
Sendo a aceleração resu ltante a igual à aceleração da gravidade (ã
Arvores perdendo folhas e flores.
O fim do outono é
prenúncio do desfolhar
das plantas. O que provoca
a queda das folhas após
elas se desprenderem dos
galhos?
força resu ltante R igual à força peso (R
Dinâmica, temos:
R=
=
= g),
ea
P), pelo princípio fundamental da
mã
Daí, vem :
~ P~ mQ
]· ou, em intensidade,
~ p ~ mg
1
Pro!e1SOr, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.
128
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
A massa do corpo não se altera com a mudança do local, mas a intensidade
do peso sofre alteração, pois a força de atração exercida no corpo varia de um
local para outro.
pw
i
B
Considerando a superfície terrestre, temos:
• O valor de g varia com a latitude, sendo maior nos polos que no equador.
• O valor de g varia com a altitude, sendo maior ao nível do mar.
'
A força peso P tem a mesma d ireção e o mesmo sentido da aceleração
da gravidade g.
Veja ao lado representação da força peso do corpo A (PA), corpo B (P8 ) e
do corpo C (PJ
Embora não faça parte do SI, costumamos encontrar o kgf (quilograma-força)
como unidade de força, principalmente da força peso. Um corpo de massa 1 kg
tem peso equivalente a 1 kgf quando imerso em campo gravitacional. Portanto:
p = mg
}
P= 1 kg· 9,8m/s2 Logo, 1 kgf= 9,8N.
..
~
~
"'
!i"s
A
9c
- ........
_._.. e
Pc
Nessa representação, três corpos
(A. B e C) são atraídos pela Terra.
O valor da atração (intensidade) varia
com a distância do corpo ao cent ro
da Terra. (Imagem sem escala, sem
proporção e em cores-fantasia).
P = 9,8 N
Na maioria das vezes, admitimos g = 1O mfs2, daí, 1 kgf = 1O N.
Essa relação entre as unidades pode nos ajudar a compreender alguns equívocos da linguagem cotidiana, como: "Meu peso é 70 kg", quando o correto seria
dizer: "Meu peso é 70 kgf" ou "Minha massa é 70 kg". Esse equívoco ocorre
porque, na superfície terrest re, onde g = 9,8 m/s1, um corpo de massa 1 kg, por
exemplo, tem peso 1 kgf. Generalizando, um corpo de massa xkg tem peso xkgf.
.,,,.
Exercícios resolvidos
9• Em uma viagem espacial, leva-se um conjunto de equi-
1 Um corpo de massa 30 kg repousa sobre uma superfí-
pamentos cujo peso é 900N, medido em um local da
Terra, onde g = 10m/s2 • Com base nesses dados, responda:
cie horizontal. Em um certo instante passa a agir sobre o corpo uma força F de intensidade 210 N, como
ilustra a figura. Supondo que não haja atrito entre o
corpo e a superfície, e sendo de 10 m/s 2 a aceleração
da gravidade local, determine:
a) Qual é a massa desse conjunto de equipamentos
aqui na Terra?
b)Que valor terá a massa desse equipamento se for
medido na Lua?
c) Qual a intensidade da força peso desse conjunto na
Lua.
F
:-
,---- ----'·---------.. 1
{!
Considere g L = l,6m/s ?
2
Resolução
Considerando o SI, temos:
a) P = mg => 900 = m · 10 => m = 90 kg
b)A massa de um corpo não sofrerá alteração com a
mudança de local. Portanto, na Lua, a massa do conjunto de equipamentos será a mesma, ou seja, m = 90 kg.
c) Sendo gL = 1,6 m/s2, temos:
P = mg = 90 · 1,6 => P = 144 N
Note que, embora a massa do conjunto seja a mesma, a intensidade do peso é menor na Lua do que
na Terra.
a) o peso do corpo;
b) a aceleração que o corpo adquire;
c) a velocidade do corpo 5 s após a aplicação da força;
d) o deslocamento nos 10 s iniciais a partir do repouso.
Resolução
a) P = m · g = 30 · 10 = 300 => P = 300 N
b)R = m · a=> P = m · a => 210 = 3 · a=> a = 7 m/s2
c) v =
d) ili>
Vº
+ a · t = O + 7 · 5 => v = 35 m/S
a
7
2
2
= v0 t + - t2 = O + - · 10 2 => Dos = 350 m
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
129
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
29. Partindo da hipótese de que é possível coletar material
na superfície do planeta Júpiter, onde g = 23 m/s2, determine:
b) No SI, quais as unidades utilizadas para medir as
grandezas que constituem essa expressão?
P em N, m em kg, g em mls'
32. Para atender pessoas que estão em uma região isola-
a) a massa desse material (em kg), em Júpiter, sabendo que lá o peso do material é 125 N; 5,4 kg
b) a massa desse material (em kg), medido na superfície terrestre, onde g = 10 m/s2; 5,4 kg em qualquer lugaL
c) o peso desse material (em N), medido na superfície terrestre, onde g = 10 m/s2 • 54 N
da, uma equipe de socorro abandona, de um avião,
uma caixa de mantimentos amarrada a um paraquedas. Juntos, paraquedas e caixa têm massa 100 kg e
descem com velocidade constante de 4 m/s. Considere que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s2 e
determine a força de resistência oferecida pelo ar.
1000 N
30. (UFV-MG) Desprezada a resistência do ar, a opção que
33. (UFRJ) Um método de medir a
representa corretamente a(s) força(s) que atua(m) sobre uma bola de futebol após ter sido chutada é:
resistência oferecida por um
fluido é mostrado na figura ao
lado.
a)
--{)
--{)
Uma bolinha de massa m des--{)
ce verticalmente ao longo de
um tubo de vidro graduado
totalmente preenchido com
glicerina. Com a ajuda das graduações do tubo percebe-se
que, a partir de determinado instante, a bolinha percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais.
Nessas condições, sendo g a aceleração da gravidade:
b)
c)
a) calcule a resultante das forças que atuam sobre a
bolinha. o
b) calcule a força resultante que o fluido exerce sobre
a bolinha. R1q = P = mg
31. Considere um corpo de massa m abandonado em
queda livre nas proximidades da superfície da Terra.
34. Suponha que a massa de um astronauta na Terra seja M
e seu peso P. Sabendo que a aceleração da gravidade na
a) Com base na 2• lei de Newton, qual a expressão
matemática que permite calcular a intensidade da
força resultante que age no corpo? P = mg
Lua é um sexto da verificada na Terra, determine:
a) a massa do astronauta na Lua; M
b)o peso do astronauta na Lua.
1,5 P
Pense além
Peso ou massa? Qual é a diferença?
Durante uma consulta médica um paciente ouviu do médico a seguinte frase : " De acordo com a sua
condiçáo física atual, você precisa perder peso e adquirir hábitos alimentares saudáveis, além da prática de
exercício físico".
O paciente saiu do consultório pensando em como atender a recomendaçáo médica, lembrou-se das aulas
de Física e passou a analisar a recomendaçáo do médico.
Responda
Escreva
no caderno
1. O paciente deverá perder peso ou massa? Massa.
2. Considerando a possibilidade de que um dia o paciente passe a morar em um planeta cuja gravidade é menor
que a da Terra, ele conseguiria atingir seu objetivo? Não, pois somente o seu peso serâ alterado, pois ele depende da gravidade local.
130
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
•
Você sabia?
Como as p lantas crescem com baixa
gravidade?
A busca por locais fora da Terra onde as formas de vida
que conhecemos tenham condições adequadas para viver e
se desenvolver é um ramo de pesquisa e também tema explorado em filmes de ficção científica. No filme Serenity, a
luta pelo amanhã, por causa da superpopulação e do esgotamento dos recursos naturais na Terra, a civi lização humana
é obrigada a migrar para um sistema estelar cujos planetas
foram terraformados.
As condições para o desenvolvimento dos seres vivos em
outros planetas são diferentes das oferecidas pela Terra. Estudos feitos pela Nasa, agência espacial norte-americana,
vêm demonstrando que a diminuição da gravidade, ou a sua
ausência, altera o comportamento dos seres vivos. As plantas
em particular podem deixar de apresentar o crescimento das
raízes dirigidas para o centro do planeta, ou seja, perdem o
geotropismo, e elas passam a crescer em direções anárquicas. Astronauta Shannon Walker no laboratório da Estação
Esse estudo é um importante fator para a compreensão da
Espacial Internacional (imagem de 2010)
terraformação, criação artificial das cond ições ambientais da Terra em outros locais, possibilitando um habitat
humano em outro planeta ou em uma estação espacial.
Em março de 2006, o astronauta brasileiro Marcos Cesar Pontes
participou do voo espacial da nave Soyuz, com mais dois astronautas:
o russo Pavel Vinogradov e o norte-americano Jeffrey Williams. O brasileiro permaneceu oito dias na ISS, sigla em inglês para Estação Espacial
Internacional. Pontes levou na bagagem oito experimentos científicos,
entre eles a germinação de sementes de feijão, para ser testada em
ambiente de microgravidade.
Com os conhecimentos que temos atualmente, é possível dizer que
nem todos os planetas podem ser terraformados, particularmente os
gasosos, os que apresentam órbitas instáveis, aqueles extremamente
quentes ou frios ou com atividade geológica intensa. O processo de
terraformação de um planeta, além de enfrentar o desafio técn ico-científico, depende de altíssimos investimentos financeiros.
Todos esses fatores são acompanhados de debates sobre questões éticas que envolvem a relação humana com a natureza. Por
No t opo da fotografia, o austronauta
Jeffrey N_ Williams_ No centro, o astronauta
exemplo, em que medida o ser humano tem direito a extinguir uma
brasileiro Marcos Pontes. Abaixo o astronauta
espécie para adequar as condições do planeta hospedeiro ao seu
Pavel Vinogradov, na partida da tripulação,
em 2006, para realização de experimentos na
próprio bem-esta r?
Estação Espacial Internacional
Responda
Escreva
no caderno
A resposta depende das condições iníàais do planeta, mas a composição e a pressão
da atmosfera e a temperatura seriam as condições básicas teoricamente passíveis de
alteração. A gravidade e os períodos de iluminação natural são de difkil adaptação.
1. Quais características de outros planetas precisam ser alteradas para comportar a vida humana com qualidade?
2. Pesquise sobre as contribuições de outras áreas para o desenvolvimento de uma técnica para a terraformação de
outro planeta?
Essa área de pesquisa é altamente interdisciplinar: a Geografia pode contribuir com conhecimentos sobre geologia; a Química, com as reações
entre elementos; a Biologia, com o desenvolvimento da ~ida; e a Sociologia, c.om a organização da nova sociedade.
3. Experimentos científicos semelhantes ao realizado por Marcos Pontes ajudam a compreender a terraformação?
Sim, conhecer os efeitos da imponderal>ilidade [sensação de ausência de peso) sobre os seres vivos é importante para a viagem e para o novo ambiente gravitacional.
4. Considerando as recentes descobertas de água líquida em Marte e refletindo sobre os obstáculos de viagens desta
natureza enfrentados por seres humanos, pesquise sobre os projetos de visita a esse planeta. Pense sobre os aspectos éticos e econômicos que envolvem esse projeto. Resposta pessoal.
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
131
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Força normal
Chamamos de força normal ou reação normal qualquer força de contato nas
superfícies de dois ou mais corpos quando encostados uns nos outros. Assim, só
há sentido em descrever a força normal se as superfícies de contato se comprimirem mutuamente.
Observe nas fotografias a segu ir a representação das superfícies e das forças
normais perpendiculares a elas.
Ao girar a maçaneta, a mão age
perpendicularmente sobre ela, que
reage sobre a mâo da pessoa.
O pé do pássaro age sobre o chão,
comprimindo-o, e o châo reage sobre
ele.
A caixa age sobre a superfície, comprimindo-a, e a superfície reage sobre a
caixa.
Analisando as representações, vemos que as forças de ação e reação desse
contato entre os corpos agem sobre corpos diferentes. Podemos dizer que no
corpo que comprime atua a força Ne no comprimido a força - N.
A força normal apresenta as seguintes características:
• A intensidade depende da compressão entre as superfícies.
• A direção é perpendicular à superfície, no ponto onde se dá o contato.
• O sentido é contrário ao ponto onde se dá o contato.
~ Força de tração
Os fios e os cabos têm a função de transmitir as forças que agem neles de uma
extremidade a outra. A força de tração, como é chamada a força em fios, cabos
e cordas, é um outro tipo de força de contato muito presente em nosso cotidiano.
Veja o seguinte exemplo: Para visualizarmos melhor as forças nas extremidades do fio que prende um lustre ao teto, isolamos o fio (imagem da direita).
-f
teto
/ r
interação
entre fio
e teto
T
interação
entre lustre
e fio
lustre
-
T"'
O esq uema
representa
as forças
que agem
em um fio
que segura
um lustre.
T,um•: força com que o fio traciona o lustre.
f r,
f
Tr,
0:
1• 10 :
0 :
132
força de tração que o lustre aplica no fio.
força com que o fio traciona o teto.
força de tração que o teto aplica no fio.
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
A força de tração apresenta as segu intes características:
• A intensidade depende da força que traciona o fio.
• A direção é a mesma da direção do fio.
• O sentido é o que se traciona (ou " puxa ") o fio.
No estudo sobre forças, consideraremos os fios e os cabos como ideais, ou
seja, como inextensíveis e de massa desprezível em relação aos out ros corpos envolvidos no estudo. Neste modelo, o fio ou o cabo ideal são capazes de t ransmitir
integralmente a força aplicada em um dos seus extremos.
~ Polias
Em algumas situações necessitamos modificar a direção do fio sem alterar a
intensidade das forças. Para atingir esse objetivo, são usadas polias ou roldanas
consideradas ideais, nas quais não são levados em conta a massa e os possíveis
atritos entre a polia e seu eixo.
j
~
"'
Homem puxando corda
presa a uma caixa,
com o auxílio de uma
roldana.
Ao longo do tempo, as pessoas buscaram obter uma maior e melhor produção com o menor gasto de energia. As polias, embora sejam instrumentos
simples, foram, e continuam sendo, utilizadas para atingir esse objetivo.
Na prática a associação de polias tem como objetivo principal movimentar corpos pesados com o menor esforço possível.
Note, na figura abaixo, que cada polia móvel associada ao sistema provoca
uma redução da força aplicada pelo rapaz.
Nesse tipo de associação de pol ias, denominada talha ex ponencial, é possível
prever que, caso sejam associadas n polias móveis ao sistema, a força T aplicada
pelo rapaz para movimentar a mesma carga será :
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
133
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercícios resolvidos
11 Analise estas rrês situações distintas:
a) A maleta está apoiada sobre a
superfície da escrivaninha.
b)Na maleta é aplicada uma
força Fvertical para comprimi-la contra a escrivaninha.
c) Na maleta é aplicada uma
força Fvertical para cima.
Represente, para cada item, as forças que agem na maleta e na superfície da escrivaninha.
Resolução
Vamos considerar a superfície da escrivaninha como horizontal e lisa (com isso desprezamos o atrito). Lembre-se
de que as forças de ação e reação agem em corpos distintos.
a) Na maleta:
• a força peso P aplicada pela Terra na maleta.
• a força normal N aplicada pela superfície da escrivaninha na maleta.
Na superfície da escrivaninha:
• a força normal à superfície de contato (-N), que representa a compressão sofrida
pela superfície da escrivaninha.
A intensidade da força de reação N, exercida pela superfície de apoio sobre a maleta,
é igual à intensidade da força peso P.
b) Na maleta:
• a força peso Paplicada pela Terra na maleta.
• a força Fvertical para comprimir a maleta contra a superfície.
• a força normal Naplicada pela superfície da escrivaninha na maleta.
Na superfície da escrivaninha:
• a força normal à superfície de contato ( - N), que representa a compressão sofrida pela
superfície da escrivaninha.
A intensidade da força de reação N, exercida pela superfície de apoio sobre a maleta, é
maior que a intensidade da força peso P.
134
Unidad e 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
c) Na maleta:
• a força peso Paplicada pela Terra na maleta.
• a força Fvertical para afastar a maleta da superfície.
• a força normal Naplicada pela superfície da escrivaninha na maleta.
Na superfície da escrivaninha:
• a força normal à superfície de contato (-N), que representa a compressão sofrida pela
superfície da escrivaninha.
A intensidade da força de reação N, exercida pela superfície de apoio sobre a maleta, é menor
que a intensidade da força peso P.
~
N=F- ~
Dois móveis, uma cômoda e um guarda-roupa, têm massas
respectivamente iguais a me = 40 kg e m& = 60 kg. Eles estão
apoiados sobre uma superfície horizontal H e encostados um no
outro. Na tentativa de mudá-los de lugar, uma pessoa aplica à
cômoda uma força Fhorizontal e constante de intensidade 40 N.
Despreze os possíveis atritos e considere g = 10 m/s 2 nos itens
a seguir:
a) Represente as forças que agem em cada móvel.
b) Calcule a aceleração adquirida pelos móveis.
H
c) Determine a intensidade da força f de interação entre os móveis.
Ng
Resolução
Cômoda:
• a força peso Pe exercida pela
Terra.
a) Guarda-roupa:
• a força peso
pela Terra.
Pg
exercida
f
• a força normal Ns exercida pela superfície H .
• a força normal Nc exercida
pela superfície H.
• a força Faplicada pela pessoa.
• a força f aplicada pela
cômoda.
• a força - f aplicada pelo guarda-roupa.
ote que o guarda-roupa aplica na cômoda uma força f, horizontal, para a direita e de intensidade f. Considerando o princípio da ação e reação, a cômoda aplica no guarda-roupa uma força - I, horizontal, para a esquerda
e de intensidade f.
b) O movimento dos móveis se dá em trajetória retilínea e horizontal; portanto, a direção da velocidade é constante, e a direção da aceleração é a mesma do movimento para os dois. Se a aceleração de cada móvel não se dá na
direção perpendicular à superfície H, então as intensidades das forças que agem nessa direção, em cada um deles,
se equilibram.
Cômoda:
Nc = Pc ~ Nc = mcg = 40 · 10 ~ Nc = 400 N
Guarda-roupa:
Ng = Pg ~ Ns = mgg = 60 · 10 ~ Ns = 600 N
Aplicando o princípio fundamental da Dinâmica a cada móvel e considerando que o movimento é retilíneo e
acelerado, teremos a seguinte intensidade da força resultante tangencial:
Cômoda:
Re = ma~F
- f = ma
'1'
e
c\.!.J
Guarda-roupa:
Rg =ma~f=ma
g
g
'2'
\.51
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
135
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Para obter a intensidade da aceleração adquirida pelos móveis, vamos resolver o sistema formado pelas
equações:
J F- f= mca (D
l
f=ml
@
F = (me+ m) a
40 = (40 + 60)a =)a= 0,4 m/ s2
c) Para determinar a intensidade da força de interação entre os móveis, podemos substituir a= 0,4 m/s2 em uma das equações, G) [email protected]
Em G), temos:
F - f= mca=) 40 - f= 40 · 0,4=) f = 24=)f= 24N
[email protected], temos:
f = mg a=) f = 60 · 0,4 =) f = 24 =) f = 24 N
Nota: analisando a expressão matemática F = (me + mg)a, é possível entender
que a intensidade da aceleração dos móveis poderia ter sido obtida considerando-os como um móvel único de massa (me + mg) sobre o qual age a força externa
F, representando a força resultante.
Sobre a superfície horizontal e lisa de uma mesa, é colocado um corpo A de
massa mA = 3 kg. Um fio ideal une o corpo A ao B de massa II1ii = 2 kg. O
fio passa por uma polia também ideal. Considere g = 10 m/s2 e despreze os
possíveis atritos. Nessas condições:
a) represente as forças que agem em cada corpo;
b) determine a intensidade da aceleração adquirida pelos corpos;
e) determine a intensidade da força de tração transmitida pelo fio.
Resolução
a) Sem considerar os atritos, é possível representar as forças que agem em cada corpo nos esquemas a seguir.
Corpo A:
CorpoB:
• a força peso PAexercida pela
Terra.
• a força peso P8 exercida pela
Terra.
• a força de tração T8 exercida
pelo fio.
• a força normal NAexercida
pela superfície da mesa.
• a força de tração
t exercida pelo fio.
Como os corpos estão interligados por um fio ideal que passa por uma polia também ideal, podemos dizer que a
intensidade da força exercida pelo fio no corpo B (T~ é igual à intensidade da força exercida pelo fio no corpo A (T") .
Daí, podemos escrever: T0 = TA
b)Os corpos descrevem movimentos retilíneos, a direção da velocidade de cada corpo é constante e a direção da
aceleração é a mesma dos movimentos para cada corpo.
CorpoB:
Na direção do movimento (vertical).
PB - TB=
II1iiª
CorpoA:
Na direção perpendicular ao movimento.
NA= PA
Fazendo T 0 =TA= T, temos:
PB - T
= II1iiª G)
Na direção do movimento (horizontal) .
TA= mAa=)T= m"a
136
@
Unidad e 4 • Força e as leis de movimento d a Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Sendo o fio ideal, as acelerações dos corpos têm a mesma intensidade, e para determiná-la resolvemos o sistema:
G) [email protected]
P8 = (mA+ m 8)a
20
a= - ~ a= 4m/s2
5
c) Substituindo o valor de a
pelo fio.
= 4 m/s
2
na equação (D [email protected], obtemos a intensidade da força de tração transmitida
Em (D, temos: 20 - T = 2 · 4 ~ T = 12 N.
[email protected], temos: T =
3 · 4 ~ T = 12 N.
Considerando os atritos desprezíveis, podemos concluir que o corpo A terá movimento acelerado para a direita,
mesmo que a massa do corpo B seja muito pequena.
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
35. Uma peça de metal M está em repouso e apoiada
sobre uma superfície horizontal H. Sabe-se que seu
peso é P e a força aplicada pela superfície na peça é F,
conforme ilustra o esquema.
Considerando que nesse local a aceleração da gravidade é 10 m/s2 , quais afirmações a seguir estão corretas?
I. A mesa exerce, na estátua, uma força de 7 N, para
cima.
II. A força exercida, para cima, pela mesa na estátua é
a de reação do peso da estárua.
m. A Terra exerce sobre a estátua uma força de 7 N,
para baixo. Todas as afirmaçoo eslão corretas
H
37. Sobre urna superfície horizontal, plana e lisa foram colocados os blocos
e @, cujas massas são
rn1 = 2,0 kg e~ = 3,0 kg, respectivamente. Se o bloreceber a ação de urna força F = 5 N, conforme
co
mostra a figura, qual será a intensidade da força de
contato entre os blocos? 3.0 111
CD
Com base nesses dados, identifique no caderno como
verdadeiras ou falsas as afirmações a seguir.
a) Pe Fpodem ser consideradas como um par de forças de ação-reação. F
b) Somente se a superfície H for perfeitamente lisa
será possível considerar P e Fcorno um par de forças
de ação-reação. F
c) Pe Fnão podem ser consideradas um par de forças
de ação-reação. Nesse caso específico, as forças que
agem na peça M são: a força peso, exercida pela Terra, e a normal, exercida pela superfície. v
d) Se a peça está em repouso, as forças Pe Fse anulam.
V
36. Uma cópia miniaturizada da
Vênus de Milo, de 700 g de
massa, foi exposta em uma
mostra de miniaturas de
obras de arte. Essa rniniatura estava em equilíbrio,
apoiada sobre uma mesa.
Vênus de Milo (deusa do amor e
da beleza} é uma estátua da Grécia
antiga pertencente ao acervo
do Museu do Louvre,
situado em Paris, França.
CD
F
m,
m,
- - - - - - ~- - - - -~ - - - - - -~ - - le
!
38. (Fuvest-SP) Um homem tenta levantar uma caixa de
5 kg, que está sobre uma mesa, aplicando uma força vertical de 10 N.
Nessa situação o valor da força que a mesa aplica na
caixa é: (Adote: g = l0m/s2 .)
a)ON
c) lON
b)S N
X d)40 N
e)SON
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
137
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
As trações nos fios 1 e 2, em newtons, são, respectivamente:
39. A figura abaixo ilustra três corpos A, B e C unidos por
..
fios inextensíveis. As massas são, respectivamente,
iguais a 5 kg, 10 kg e 15 kg, e a intensidade da força
que atua sobre o corpo A é F = 120 N.
i o/L/ ;J;;;;;L;/,J /,/ /,;/ ~
#/4
Supondo desprezíveis as massas dos fios e os atritos,
determine:
a) a aceleração do sistema; 4 mts'
b) as intensidades das forças de tração T1 e T2 nos fios
que unem, respectivamente, AB e BC. T, = 100 Ne T, = 60 N
40. (UFRJ) Na figura, o bloco B está apoiado sobre o solo e o
fio 1 está preso ao teto. Os dois fios e a roldana são ideais
a) 0,50 e 2,5
b)2,5 e 0,50
c) 5,0 e 25
X
d)25 e 5,0
e) 25 e 25
43. (Fuvest-SP) Um sistema mecânico é formado por
duas polias ideais que suportam três corpos A, B
e C de mesma massa m, suspensos por fios ideais,
como representado na figura. O corpo B está suspenso simultaneamente por dois fios, um ligado a
A e outro, a C.
e a aceleração da gravidade é 10 m/s2 • Nesse caso, qual
é o valor da força que o solo exerce sobre o bloco B? 40 N
......
,,"
-~
o
i
2 0kg
A
solo
B
6,0kg
e
B
Podemos afirmar que a aceleração do corpo B será:
41 . Em uma embalagem de cabos e fios, o fabricante re-
gistra que eles suportam cargas com massa de até
100 kg, no máximo. Para valores superiores há risco
de ruptura. Diante disso:
a) represente as forças que agem em um corpo em repouso, suspenso por esse fio na Terra; Resposta no final do livro.
b)calcule a força máxima suportada por esse fio na
Terra;
Considere: g Terra = 10 m/s2 • 1000N
c) calcule a força máxima suportada por esse fio na Lua;
a) zero
b) ; para baixo
d ) ~ para baixo
3
e)
~ para cima
3
x c) ; para cima
44. Três blocos, de massa m, = 2 kg, m 2 = 5 kg e m 3 = 3 kg,
encontram-se em um arranjo como o representado
na figura. Considere a aceleração da gravidade igual
a 10 m/s2 e despreze eventuais forças de atrito.
Considere: g wa = 1,5 m/s2 • 1000 N
d) calcule a maior massa suportada por esse fio na Lua.
==667 kg
42. (UEL-PR) No arranjo representado no esquema, con-
sidere as polias e os fios ideais. Considere também os
valores indicados no esquema.
my
g = 10 m/S2
= 2,0 kg
fio 2
~-~-~
138
solo
Qual é a intensidade da força de tração na corda entre os corpos m 1 e m/ 30 N
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Força
elástica
Outro tipo de força é a que se deve à elasticidade e à deformação dos corpos.
Essa propriedade tem origem nas forças de atração e repulsão elét rica das moléculas e dos átomos que constituem os corpos. Por exemplo, quando apertamos
uma bola de borracha, a força que aplicamos faz que ela se deforme. Quando
deixamos de aplicar a força, a bola volta ao seu formato inicial.
As molas também são exemplos de corpos elásticos . Quando comprimimos
ou distendemos uma mola, ela diminui ou aumenta de comprimento enquanto
há a ação de determinada força . Se a mola não for deformada, isto é, não perder
sua capacidade elástica , ela retorna ao seu compri mento inicial quando a força
deixar de ser aplicada . Analise as situações a seguir, em que molas helicoidais são
usadas como exemplo de corpo elástico e sofrem deformações proporcionais às
forças que agem nas suas extremidades.
J
A borracha apresenta elevado
coeficiente de restituição elástica,
o que faz ela voltar ao seu formato
inicial quando cessa a força de
compressão.
interação entre a mão
e amola
f
-::11. . - -'1\I\J\/1,f\l\l\ . ..... ._
~
z
.,,
~
F'
interação entre a
mola e a parede
A mola se mantém distendida pela ação das
mãos em uma das extremidades e pela ação
da parede na outra extremidade.
A mola se mantém comprimida pela ação
das mãos em uma das extremidades e pela
ação da parede na outra extremidade.
Mola distendida.
As mãos agem em uma das extremidades da mola aplicando-lhe uma força
de intensidade F, e a mola, por sua vez, aplica nas mãos outra força de mesma
intensidade e de sentido contrário.
Para que haja distensão ou compressão da mola, é necessário que as duas
extremidades estejam submetidas à ação de forças. Desse modo, na outra extremidade a mola age na parede, aplicando uma força de intensidade F', e a parede
aplica na mola outra força de mesma intensidade e de sentido contrário.
Se considerarmos a mola como ideal (a massa da mola é desprezível quando
comparada com o sistema em estudo), teremos F = F'.
Experimentalmente constatou-se que, duplicando a força aplicada em uma
mola, a deformação duplica; triplicando o va lor da força, a deformação triplica e
assim sucessivamente, isto é, a intensidade da força é diretamente proporcional
à deformação:
Fel = k . X
em que:
Fe1: intensidade da força elástica;
k: constante elástica da mola;
x: deformação (alongamento ou encurtamento) sofrido pela mola.
A constante k é uma característica da mola e depende do material de que
é feita e das dimensões. Sua unidade no SI é N/m. Essa equação é chamada
Lei de Hooke.
A partir dessa análise, podemos compreender o funcionamento de um dinamômetro, que, basicam ente, é const ituído por uma mola acoplada a uma escala
graduada. Para que possamos fazer a leitura direta da intensidade da força, a
escala é graduada em determinada unidade de força (kgf ou N).
No dinamômetro ideal são aplicadas duas forças de mesma intensidade, uma
em cada extremidade. Além de ident ificar a intensidade da força aplicada, o
dinamômet ro "transmite " essa força para o outro corpo com o qual interage nesse caso, a parede.
Dinamômetro.
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
139
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
No dia a dia é comum o uso de balanças, em banheiros ou em fa rmácias, que utilizam a compressão
de molas para medir a intensidade das forças. O que
pode nos causar estranheza é o fato de elas nos fornecerem essas medidas em quilogramas. A utilização
dessa unidade se justifica porque o fabricante, inicialmente, faz medições com essa mola em newtons, depois considera a aceleração da gravidade
local e determi na os valores da massa correspondente, por meio da expressão m
= _E__Assim, elabora
g
uma escala em quilogramas, com a qual obterá os valores de massa.
Exemplo de balança de
compressão de molas.
'
Dois baldes,A eB, possuem pesos cujas intensidades são PA= P8 = 100 N e estão presos por um fio ideal a um dinamômetro também ideal, conforme a figura.
Considerando que as polias são ideais:
a) represente as forças agentes nos baldes e no dinamômetro;
b) determine a indicação obtida no dinamômetro.
Resolução
Balde A:
• a força peso PA, proveniente da interação do balde A com a Terra.
proveniente da interação do
• a força de tração
balde A com o fio.
a)
i\,
BaldeB:
• a força peso P8 , proveniente da interação do balde B com a Terra.
• a força de tração T8, proveniente da interação do
balde B com o fio.
b) Sabendo que os pesos dos baldes são iguais, o sistema está em equil.tbrio. Dessa forma, temos:
Balde A:
TA= PA= 100N
BaldeB:
(D
TB= PB= lOON
@
De ([email protected]ímos: TA= T8 = T = 100 N
O dinamômetro ideal interage com os baldes, sem interferir na força de tração transmitida pelo fio. Assim, o dinamômetro indicará uma força de 100 N.
140
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
--~-~~
:~
45. A mola, representada na figura, está
~
presa ao teto e, durante um teste,
sustenta um corpo de peso P e apresenta determinado alongamento.
~
Analise a situação e responda aos
itens:
50. Na figura representada ao lado, temos um dinamômetro cuja massa pode ser considerada nula, ligado
a dois blocos A e B (por fios ideais), sendo a força
de intensidade F = 500 N, as massas mA = 25 kg e
m 8 = 15 kg.
a) Qual o valor da força elástica? P
A
b)Qual o valor da força que a mola
aplica ao teto? P
F
c) Quais forças são responsáveis por distender a mola?
Aforça peso do bloco e a força de reação do teto.
46. (Vunesp-SP) Dinamômetros são instrumentos destinados a medir forças. O tipo mais usual é constituído por
uma mola cttja deformação varia com a intensidade da
força que a produz Oei de Hooke). Dois dinamômetros
estão montados sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa, conforme mostra a figura abaixo.
Dinamômetro 1
Dinamômetro 2
5
Desconsiderando qualquer forma de atrito, o dinamômetro irá indicar o valor de:
a) 310,S N
b) 311,S N
X
c) 312,5 N
d) 314,5 N
?
e) 315,5 N
Quando um corpo de massa m é suspenso por um fio
de massa desprezível, preso à extremidade do dinamômetro 1, a força que este indica é 5 N. (Considere: g = 10 m/s2 e despreze qualquer atrito.)
51. (Fuvest-SP) Uma bolinha pendurada na extremidade de uma mola vertical executa um movimento oscilatório. Na situação da figura, a mola encontra-se
comprimida e a bolinha está subindo com velocidade
v. Indicando por F a força da mola e P a força peso
aplicadas na bolinha, o único esquema que pode representar tais forças na situação descrita é:
- - ~ - - ~.,
a) Que força indicará o dinamômetro 2? s N
b) Qual a massa do corpo suspenso?
'C
o.skg
~
-~
~
47. Considere uma mola, de 6 cm de comprimento, com
uma de suas extremidades presa ao teto. Ao prender
um corpo de massa 1 kg na outra extremidade, a mola passa a ter 10 cm. Qual será o comprimento da
mola se trocarmos o corpo de 1 kg por outro de 3 kg?
18cm
48. Um elevador possui preso em seu teto um dinamômetro, o qual suspende um pacote de 8 kg. Determine
a marcação desse dinamômetro quando o elevador
está descendo e freando a uma aceleração constante
de4 m/s2 •
Considereg = 10m/s2 • T =112N
49. Dois blocos A e B, de massas mA= 3 kg e m 8 = 2 kg,
estão sobre uma superfície horizontal, presos entre si
por uma mola ideal de constante elástica 4 N/m. Os
blocos entram em movimento quando sobre A é aplicada uma força de intensidade 60 N, paralela à superfície, afastando A de B. Supondo que não haja atrito
entre a superfície e os blocos, determine a distensão
sofrida pela mola. 6 cm
x a) _ Q _
rHF
d)§
b) p~
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
141
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Plano inclinado
Já tivemos a oportunidade de analisar situações
semelhantes às representadas nas figuras ao lado,
nas quais ocorre a interação por contato .
A força normal não corresponde à reação da força
peso. Apesa r de existirem situações em que elas podem ser confundidas com o par ação e reação.
N
..
"'
N
,,"'.,
-"'
§
j
§
p
j
-N
A reação da força peso
-P
aplicada pela Terra
sobre o bloco está no cent ro da Terra. No caso da
força normal, o bloco comprime a mesa com uma
força - Ne a mesa reage a essa compressão aplican-
1-P
do no bloco a força normal N.
centro da Terra
Há casos em que a força peso e a normal não apresentam a mesma
direção.
plano
inclinado
A situação representada ao lado ajuda-nos a entender melhor esse
equívoco. Nela, o plano de apoio é colocado em uma posição inclinada em
relação ao plano horizontal. Note que, nesse caso, a direção da força peso
continua vertical, e a direção da força normal é perpendicular ao plano de
apoio.
A cena em um parque infantil, onde crianças deslizam sobre um escorregador, é um bom exemplo para representar um corpo deslocando-se sobre
um plano inclinado.
Se não considerarmos o atrito, ao analisar o movimento de um corpo que
desliza sobre um plano inclinado, veremos que agem no corpo a força peso
e a força normal.
Para obter a força resultante que age no corpo na direção do movimento, vamos usar a reta t (na direção do movimento) e a reta n (perpendicu lar
ao movimento). Dessa forma, podemos decompor a força peso nas seguintes componentes:
plano
horizontal
As formas P e N têm direções diferentes.
Pt: na direção da reta te paralela ao plano inclinado;
Pn: na direção da reta n e perpendicular ao plano inclinado.
Cr ianças brincando em um escorregador.
n
plano
horizontal
Para determinar
retângulo.
i\ e P
n'
necessitamos das razões trigonométricas no triângulo
Observando o triângulo ao lado, podemos escrever:
sen
142
a
= ;
=;
cosa = ;
=;
~ P,
= P sen
F•,
= P cos
~
~
Unidad e 4 • Força e as leis de movimento d a Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Feita a decomposição da força peso nas suas componentes, passamos a considerar os vetores representados
na figura abaixo.
n
C<
Note que na direção das forças Ne Pn não ocorre movimento. Logo:
N = Pn = P (OS C(.
Porém, na direção da reta t (direção do movimento) a força resu ltante é P1 • Portanto:
P1
= ma
P sena = ma
mg sena= ma
~ a=gsenu
1
Analisando a relação que acabamos de obter, percebemos que a aceleração de um corpo de massa m, que desliza
sobre um plano inclinado sem atrito, submetido à ação das forças peso e normal, não dependerá da sua massa.
Exercício resolvido
15 A figura representa dois corpos A e B amarrados nas extremidades de uma
corda que passa por urna polia. Ambas (corda e polia) são ideais. O arriro
não é considerado, a massa do corpo B é 1,0 kg e no local g = 10 m/s2 . Nessas condições:
a) represente na figura as forças que agem nos corpos A e B;
b)determine a intensidade da força peso que age no corpo B, de modo
que o sistema permaneça em repouso.
a =
30º
Resolução
a) O esquema de forças que agem nos corpos A e B.
b) Para o sistema se manter em repouso, para o corpo
A, temos:
• as forças que agem na direção tangencial ao plano
inclinado (T = PA sen a) .
• as forças que agem na direção perpendicular ao
plano inclinado (N = PAcos a).
Sendo nula a resultante das forças, para o corpo B,
temos:
T = P8 ~ PAsen a = P8
(como P8 = D\g = 1 · 10 = lON)
30º
PAsen30º = lO~PA · 0,5 = 10~
10
0,5
~ p = - ~ P =20N
A
A
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
143
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
52. Considere o triângulo retân-
56. O desenho representa um corpo de massa m , deslizan-
gulo representado ao lado e
determine:
do, sem atrito, sobre um plano inclinado. Determine a
aceleração desse corpo, sabendo que nesse local o módulo da aceleração da gravidade é g. g sen u
f
b)cos ex f
c) sen ~ f
d)cos ~ f
10
a) seno:
8
6
53. Um avião decola segundo um ângulo de 30º. Per-
gunta-se:
a) Qual será a altura atingida após voar 3 000 m com
essa inclinação?
Dado: sen 30º =
1
(l
57. No esquema do exercício anterior, sabendo que
m = 20 kg, g = 10 m/s2 e a= 30º, determine o módulo da aceleração do corpo. 5 rrJs'
2 . 1500 m
b) Qual será a distância percorrida pelo avião ao atin-
gir 1000 m de altura? 2000m
54. Preocupadas com as condições ambientais, algumas
pessoas resolveram instalar painéis solares em suas
casas para fazer uso dessa fonte de energia limpa e
renovável. Um dos painéis foi instalado sobre um
suporte hidráulico possibilitando, de acordo com a
posição do Sol, o ajuste automático do painel, de tal
forma que ele permaneça perpendicular à direção
dos raios solares que nele incidem.
58. Um corpo de massa 25 kg desloca-se, com aceleração
constante, sobre um plano inclinado, sem atrito, con-
forme o desenho abaixo. O seno do ângulo formado
entre o plano e a horizontal é 0,6. Determine a força
transmitida ao corpo, para que a aceleração permaneça igual a 2 m/s2 •
Dado: g
= l0m/s2 • 200N
CI
59. No esquema abaixo, o corpo B, ao ser abandonado,
começa a se deslocar e, por meio da corda, faz o corpo
A se mover sobre o plano inclinado, sem atrito. Consi-
Dado: sen 60º
derando que a polia e a corda são ideais, determine:
= J3
2
Determine:
a) o valor de y em função de a; y = 3 sen u
b) o valor dey, sendo ex= 60º. y= 3 Jj
2
55. Um estudante, ao tentar resolver um exercício de
corpo deslizando sobre um plano inclinado, disse o
seguinte:
"Não foi informado o valor da massa do corpo, portanto não é possível obter a resposta."
A afirmação feita por ele está correta? De que variá-
veis depende a aceleração do corpo ao descer o plano
inclinado? Resposta no final do livro.
144
a) a aceleração do conjunto; 2.s mls'
b) a intensidade da força de tração na corda. 30 N
Dados: sen 30º = 0,5; g = 10 m/s2 e mA= ffiu
= 4 kg.
Unidad e 4 • Força e as leis de movimento d a Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Força
de atrito
Podemos destacar muitas situações em que a força de atrito está presente.
Basta observarmos o arco de um violino friccionando suas cordas, por exemplo .
Em geral, quando falamos em atrito, a primeira característica que vem à mente
é que ele desfavorece o movimento e deve ser reduzido o máximo possrvel. Por
exemplo, se o atrito entre o arado e o solo diminuir, os trabalhadores e os animais
não vão precisar fazer tanta força. Mas existem casos em que o atrito é necessário.
Por exemplo, só conseguimos caminhar porque existe atrito entre o solo e o pé ou
calçado, caso contrário poderíamos escorregar e não sair do lugar.
Pare e pense
Pessoa desenhando.
A ação do atrito é
fundamental para
realizarmos determinadas
tarefas. Você saberia
descrever algumas delas?
Menino tocando violino .
Pessoa conduzindo o gado para arar um terreno.
Professor, os comentários dessa ~ão enconiram-se no Caderno ele orientações no final de5te
volume.
Anal isando qualitativamente a força de atrito, é possível constatar, de forma
experimental, que ela se manifesta quando os corpos em contato se comprimem
mutuamente e há arrastamento ou tendência de arrastamento entre eles.
Para detalh armos o estudo da força de atrito, vamos dif erenciar atrito
estático e atrito cinético.
Na figura ao lado, a pessoa aplica uma força F na caixa que repousa
apoiada sobre a superfície horizontal e rugosa. A caixa se mantém em
repouso pela ação da força de atrito F.t1 que se manifesta quando há uma
força solicitante F.
Experimentalmente, constatamos que a intensidade da força de atrito
varia conforme a intensidade da força sol icitante.
A medida que a intensidade da força F aumenta, também aumenta
a intensidade da força de atrito, fazendo a caixa permanecer em repouso:
Fat = F.
Quando a caixa estiver na iminência de escorregar, em relação à superfície, teremos a máxima intensidade da força de atrito: F• 1(máx)
= F.
Pessoa tenta ndo puxar uma caixa que está
apoiada em uma superfície rugosa.
A caixa começará a escorregar quando os va lores da força solicitante
forem superiores aos da força de atrito máximo.
A int ensidade máxima da força de atrito F t . 1 é diretamente proporcional à
ª (max
intensidade da força N, normal às superfícies de contato dos corpos:
~
~
F
-µ N
ª 1 (màx)
•
em que o coeficiente de atrito estático
possui unidade).
µ., é um número adimensional (não
• O coeficiente de atrito estático µ. depende da natureza das superfícies de
contato, da sua aspereza e de uma eventual lubrificação.
• De modo geral, o coef iciente de atrito estático não depende da área da superfície de contato.
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
145
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
O atrito cinético se caracteriza a partir do momento em que a intensidade da
força solicitante F atinge valor superior a F.. . . Com o movimento do corpo, a
(max)
força de atrito assume intensidade praticamente constante e ligeiramente menor
que a F.1 . • Dessa forma, passamos a considerar a força de atrito cinético F.1
(maJ<)
e
tan gente às superfícies de contato dos corpos e de intensidade diretamente proporcional à intensidade da força N:
F =µ N
ª\
e
em que o coeficiente de atrito cinético µ, é um número adimensional.
• O coeficiente de atrito cinético µe depende da natureza das superfícies de
contato, da sua aspereza e de uma eventual lubrificação.
• De modo geral, o coeficiente de atrito cinético não depende da área da superfície de contato.
• Podemos dizer que o coeficiente de atrito cinético não depende da velocidade
dos corpos em contato.
Exercício resolvido
F
. ,----.
1 , Para ancorar pequenas embarcações no mar, muitos bar-
fio ideal
poita
queiros usam blocos de concreto, como poitas, presos a
uma boia de sinalização.
O desenho ao lado representa a tentativa de arrastar uma
poita, de massa 20 kg, ao fundo do mar. O barco aplica uma
forçaF na poita, por intermédio de um fio ideal.
Para analisar a situação, vamos considerar que a areia está bem compactada e que os coeficientes de atrito entre a
poita e a areia têm valores aproximados (µ = 0,9, µe= 0,8 e g = 10 m/s2).
a) Represente as forças que agem na poita.
0
b) Determine a intensidade máxima que Fpode atingir para que a poita fique na iminência de deslizamento.
c) Determine a intensidade da aceleração adquirida pela poita, para F com intensidade 190 N.
Resolução
a)
F
r
8
,!l!
"
~
12
Fa,
p
• força peso P.
• força F, aplicada pela corda à poita.
A intensidade max1ma que F pode assumir é
180 N. Para valores maiores, a poita inicia o deslizamento.
c) Como o movimento é retilíneo, as forças que agem
na direção perpendicular ao movimento se equilibram. Logo, P = N.
• forças de contato, representadas pelas duas componentes: normal N e força de atrito F.,.
Aplicando a 2• lei de Newton (R = mã) e sabendo
que na direção do deslocamento o movimento é retilíneo e acelerado, temos a resultante tangencial de
intensidade:
b) Nas condições de repouso impostas neste item, temos:
R = ma=> F - Fate
=
ma
N = P = mg = 20 · 10 => N = 200 N
Sabemos que a máxima intensidade da força de
atrito é:
F.,
= µ CN = 0,9 · 200 => F.t = 180 N
(máx)
146
(máx)
a
=
190 - (0,8 · 200)
2
=>a= 1,5 m/s
20
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· • propost 05
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
60. Como o atrito pode acarretar uma desaceleração em
um objeto? Reduzindo a força resultante e, consequentemente,
a aceleração.
61 . Tentando aumentar a intensidade de uma força ao
empurrar um corpo, o atrito sobre o corpo também
aumenta. Uma vez em movimento, com que intensidade de força F deve-se empurrar o corpo para mantê-lo em movimento com velocidade constante?
Com a mesma intensidade da força de atrito (ónético).
62. O que é mais fácil na hora de fazer uma mudança: empurrar a máquina de lavar ou puxá-la?
Para ajudar, pense na direção em que estão posicionados
os braços de quem aplica a força, caso eles estiverem
aplicando uma força cuja direção não seja a horizontal.
Puxá-la.
63. Represente as forças que agem em um bloco de granito de massa m , em um local em que a aceleração da
gravidade é g, nas seguintes condições:
a) O bloco apoiado sobre uma superfície horizontal e
rugosa é puxado por uma força F.
65. Para que uma pessoa caminhe, é necessária a existência de força de atrito entre os pés da pessoa e o solo.
Considerando isso, é correto afirmar que as forças de
atrito que o pé exerce no solo e que o solo exerce no
pé são, respectivamente:
a) vertical para baixo e vertical para cima.
b)vertical para cima e vertical para baixo.
xc) horizontal para trás e horizontal para a frente.
d) horizontal para a frente e horizontal para trás.
e) vertical para cima e horizontal para trás.
66. (UFRN) Um caminhão de entrega de mercadorias saiu
para entregar uma caixa. O caminhão está se movendo,
em uma ma plana, com velocidade de 20 m/s, quando
o motorista avista o endereço em que deve entregar a
mercadoria. Ele freia uniformemente e para em 4 s.
O mínimo coeficiente de atrito entre a caixa e o piso do
caminhão, para que a caixa não deslize, é:
a)0,3
F
granito
...
b)0,4
superfície
b) O bloco apoiado sobre uma superfície horizontal e
rugosa é puxado por uma força F, cuja direção é a de
urna reta que forma um ângulo de 60º com a horizontal.
Respostas no final do livro.
granito
~F
60º
-- ------------
64. (PUC-RS) Um bloco de 20 kg de massa é arrastado sobre um plano horizontal por uma força de 100 N, também na horizontal, movendo-se com uma aceleração de
1 m/s2 • Supondo a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 ,
o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é:
c) 0,3
e) 0,1
a) 0,5
x b)0,4
xc) 0,5
d)0,6
e) 0,7
67. (Enem/MEC) Uma pessoa necessita da força de atrito
em seus pés para se deslocar sobre uma superfície.
Logo, uma pessoa que sobe uma rampa em linha reta
será auxiliada pela força de atrito exercida pelo chão
em seus pés.
Em relação ao movimento dessa pessoa, quais são a
direção e o sentido da força de atrito mencionada no
texto?
a) Perpendicular ao plano e no mesmo sentido do
movimento.
x b) Paralelo ao plano e no sentido contrário ao movimento.
c) Paralelo ao plano e no mesmo sentido do movimento.
d) Horizontal e no mesmo sentido do movimento.
e) Vertical e sentido para cima.
d)0,2
Pense além
Conversa de arquibancada
Dois admiradores de corridas automobilísticas discutem em uma arquibancada sobre o tipo de pneu que
deveria ser usado para melhorar a frenagem .
O primeiro defende o uso de pneus lisos e de largura normal, enquanto o segundo defende o uso de pneus
lisos e largos. (Pneus sem frisos, completamente lisos, são denominados slicks.)
Responda
Escreva
no caderno
Aação da força de atrito nos pneus independe da área da superlíóe de contato com a pista, logo, tanto o pneu liso e
largo quanto o pneu liso e normal têm a mesma eficáóa. Porém, caso haja derrapagem, o pneu com maior superfíóe
aquece menos, com menor possibilidade de derreter e, com a fusão, reduzir o coeficiente de atrito.Assim, caso haja
derrapagem, a defesa do segundo admirador está certa; caso isso não ocorra (pouco provável), as duas estão certas.
1 . Qual dos admiradores fez a defesa certa? Justifique sua escolha.
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
147
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Lendo a Física
Professor, antes de tiabalhar este texto sobre o modelo de Aristóteles para o movimento, é importante retomar a atividade do Capitulo 1 sobre a concepção de
matéria e Universo do filósofo grego.
Aristóteles e Buridan: explicações sobre o movimento
Nesta atividade, vamos t rabalhar com textos que apresentam duas
teorias, elaboradas em diferentes épocas, que buscavam explicar as
causas do movimento. O primeiro texto está no livro Breve história
da ciência moderna, em que os autores fazem uma síntese do pensamento de Aristóteles, que viveu na Antiguidade grega.
O movimento como transformação
O estudo do movimento recebeu atenção especial de Aristóteles. Os movimentos foram divididos em dois tipos : natural e
violento. O primeiro ocorria tanto no mundo sublunar quanto no
supralunar. No caso do mundo supralunar, o movimento seria
natural e eterno. Já no mundo sublunar, seria retilíneo e vertical, podendo o corpo ir ao encontro do centro da terra ou dele
se afastar. O movimento natural dos corpos no mundo sublunar
seria decorrente de suas diferentes composições.
Apesar de defender que todas as substâncias encontradas
no mundo sublunar eram formadas pelos quatro elementos bá- Título: Breve história da ciênàa moderna.
Vai. 1: Convergência de saberes (Idade
sicos [fogo, ar, terra e água]. Aristóteles reconhecia que cada Média)
uma delas possuía um elemento predominante específico que, Autores: Marco Braga, Andreia Guerra e
Claudio Reis
buscando encontrar seu lugar natural, provocava no corpo em José
Editora: Jorge Zahar
questão um movimento ascendente ou descendente em relação
à Terra. Assim, os corpos que tivessem maior quantidade de terra em sua constituição apresentariam naturalmente movimento retilíneo para baixo, quando largados. Já aqueles em que predominasse o elemento fogo se afastariam do centro da Terra.
A explicação dos movimentos não se resumia, contudo, a essa diferenciação. Aristóteles afirmava ainda que todo movimento requisitava um motor. Este era distinto da coisa em movimento,
embora não estivesse dela física ou espacialmente separado.
No caso dos corpos celestes, o motor seria o espírito divino. Nos homens era a alma. Dentro de
sua lógica Aristóteles precisou também atribuir um motor aos corpos em queda para o lugar natural. A causa primária do movimento natural foi relacionada a um agente particular, que teria sido o
responsável pela produção da substância analisada. Por exemplo, o fogo produz fogo e, ao fazê-lo,
confere ao novo fogo todas as suas propriedades, inclusive aquela referente ao seu movimento
natural, ou seja, a de se afastar da Terra quando livre da ação de qualquer outro corpo, ou seja,
abandonado.
Apesar desses argumentos, quando analisou o movimento natural de queda dos corpos sublunares, Aristóteles defendeu que o "peso" era a causa imediata daquele movimento, de forma tal
que a velocidade de queda do corpo seria proporcional ao seu "peso" e inversamente proporcional
à resistência do meio. [... ]
Na análise dos movimentos violentos, ou seja, daqueles que necessitam de um agente externo
ao corpo para ocorrer, Aristóteles dedicou atenção especial às situações em que esse corpo continuava se movimentando, mesmo após ter sido abandonado pelo motor, como acontece nos lançamentos de flechas por arcos. Para ele, uma flecha, após abandonar o arco lançador, não poderia
continuar em movimento sem que uma força estivesse em contato com ela. Assim, para resolver o
problema, tomou o ar - o meio em que a flecha se movimenta - como um motor. O ar seria então o
responsável pela força que mantinha o corpo em movimento após lançado. Porém, como rejeitava
um movimento sem resistência, ele atribuiu ao ar um outro papel, o da resistência.
BRAGA, Marco et ai. Breve história da cíêncía moderna. Rio de Janeiro: Jorge Zahar. v. 1: Convergência de saberes (Idade Média). p. 24-26.
148
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
O segundo texto que vamos estudar foi retirado do livro Para gostar de ler a História da Física. Ele
apresenta uma teoria do movimento, elaborada de maneira mais sistemática pelo fi lósofo francês Jean Buº
ridan, na Idade Média.
E
g
..,:
O conceito impetus na história da Física
i
i
A primeira tentativa de explicar o movimento ocorreu por volta de
520 d.C., quando o filósofo grego Philoponos (e. 475-c. 565) afirmou que
o movimento de um corpo lançado no ar não se devia ao empurrão exercido pelo ar sobre o corpo, como afirmavam os aristotélicos, e sim a uma
"espécie de inércia" - impetus, impetus impressa, virtus motiva, virtus
impressa-, a qual o mantinha em movimento. Afirmou ainda que a velocidade desse mesmo corpo era proporcional ao excesso da força de resistência. Em vista dessas ideias, escreveu que: "Para dois corpos de pesos
diferentes caindo da mesma altura, a relação entre os tempos gastos na
queda não dependia da relação de seus pesos, já que a diferença entre
tais tempos era muito pequena".
Esse conceito de impetus foi elaborado um pouco mais tarde pelo fiTítulo: Para gostar de ler a
lósofo francês Jean Buridan (c.1300-1358), ao discutir as seguintes queshistória da Física .
tões: "Por que razão o ar, no caso do movimento de um projétil, teria ele
Autores: Robson de Farias e
José Maria Bassalo
sozinho a faculdade de continuar a mover-se, para, por sua vez, mover o
Editora: Átomo
projétil? Por que o projétil não possuiria essa mesma faculdade?".
Ao responder a essas questões, Buridan desenvolveu a sua "teoria do impetus", segundo a
qual, o impulsor cede ao impulsionado uma potência proporcional à velocídade e ao peso deste
último, necessária a mantê-lo em movimento. E mais ainda, que o ar progressivamente reduz a impulsão, e que o peso pode aumentar ou diminuir a velocidade. Assim, usando esse conceito de
impulsão, Buridan então afirmava que, durante a queda de um corpo, este é movido pela ação conjunta da gravidade e do ímpeto adquirido, ação essa que resulta em ser o movimento do corpo mais
rápido a cada instante. Buridan também chegou a usar essa doutrina do ímpeto para explicar os
movimentos perenes dos planetas observados no céu, ao admitir que Deus tivesse, originalmente,
saturado os planetas com ímpeto. Ele ainda fez o estudo geométrico das configurações dos crescimentos e decrescimentos das qualidades cinemáticas do movimento.
FARIAS, Robson Fernandes de; BASSALO, José Maria Filardo. Para gostar de ler a história da Flsica. Campinas: Átomo, 201O. p. 105-106.
Atividades
Escreva
no cademo
Professor. os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de 01ientações no linal deste volume.
Nos textos apresentados, é possível notar que as duas teorias têm formas diferentes de descrever e explicar o
movimento. Discuta as questões com seus colegas.
1. Como você resumiria as teorias sobre o movimento de Aristóteles e de Buridan?
2. Para você, qual é a principal característica de cada uma dessas teorias?
3. Na teoria de Aristóteles, você pode destacar algum raciocínio ou construção lógica contraditória?
4. Qual a influência do meio externo no movimento dos corpos? Você concorda com a descrição feita por
Aristóteles e Buridan? Por quê?
5. No texto sobre a teoria de Buridan, vimos que o conceito central - impetus - recebeu diferentes denominações:
impetus impressa, virtus motiva, virtus impressa.
a) Qual o significado da palavra ímpeto e por que os pensadores a usaram para descrever suas ideias?
Pesquise o termo se achar necessário.
b) O que pode indicar o fato de haver diferentes termos para designar um conceito?
c) Que conceito atual teve origem na ideia do impetus?
Capítulo 9 • As leis de Newton e suas aplicações
149
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Em Cinemática vetorial, estudamos algumas características dos moviment os
curvilíneos, como a velocidade angular, a aceleração centrípeta, o período e a
frequência . Agora, estudaremos suas causas e seus efeitos .
Para entender a noção de força aplicada ao moviment o curvilíneo, pense na
seguinte situação :
Uma esf era atrelada a um fio ideal descreve uma t rajetória circular em torno
de um ponto fixo e, sobre um plano horizontal, conforme a representação a
seguir. Desconsidere o atrito.
CD
Motociclista Marc Marquez
realizando uma curva no MotoGP,
etapa da Espanha, em 2011.
Quais são as forças
envolvidas para que um
motociclista faça uma curva
como a da fotografia?
Prof~r. os comentários dessa seção encon1ram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
reta
',, normal
'
reta
,,"'
Que condições mantêm a esfera em movimento circular? O que ocorre ria
sem elas?
Para responder a essas perguntas, precisamos lembrar que a aceleração ã de
um ponto material pode ser representada por duas componentes: aceleração
centrípeta ã, e aceleração ta ngencial ã1 .
•
A aceleração centrípeta ãc mede a variação da direção do vetor velocidade v.
•
A aceleração tangencial ã1 mede a variação do módulo do vetor velocidade
Vimos também, no segundo princípio da Dinâmica, que um ponto material
de massa m, quando submetido à ação da força resultante R, adquire uma aceleração a, com mesma direção e sentido de R.
Relacionando a força resu ltante com as acelerações, temos:
tangente,,''
,,
~
~
~
R ma => R m(ã, + ã) => R mã, + mã, =>
reta
·,, normal
' ',
reta
tangente,,'
,,
,,
150
,'
v.
'
,
~ R~ F, + F,
,,
Essa análise permite representar a força resultante Rque age no ponto material de massa m por duas componentes:
•
A força centrípeta Fc causa a va riação da direção
do vetor velocidade v.
•
A força tangencial F1 causa a variação do módulo
do vetor velocidade v.
,
EF,=ma]
t F,=m
~
Unidad e 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
No exemplo da esfera atrelada a um fio, podemos dizer que ela descreve um movimento circular porque o fio
aplica sobre ela uma força dirigida para o centro da trajetória . Caso essa força deixe de agir, o movimento da esfera
será, por inércia, retilíneo e uniforme. Observe os esquemas:
A esfera se mantém em movimento circular.
Quando o fio arrebentar, o movimento da esfera
será na direção tangente à trajetória.
Exercícios resolvidos
1 Suponha que um satélite artificial descreva movimento circular e uniforme em torno da Terra. Analise as afirmativas
e indique se são corretas ou incorretas.
a) A força resultante que age no satélite aponta para o centro da Terra.
b)A Terra é o agente responsável pela força aplicada no satélite.
c) O satélite pode realizar esse movimento, independentemente da ação da Terra sobre ele.
Resolução
a) A força resultante é a centrípeta, ou seja, aponta para o centro da trajetória circular, que é o centro da Terra.
Portanto, a afirmativa é correta.
b)A atração gravitacional da Terra é a causadora da força centrípeta que age no satélite. Portanto, a afirmativa é
correta.
c) Se a força gravitacional não agisse no satélite, o seu movimento seria, por inércia, retilíneo e uniforme. Portanto,
a afirmativa é incorreta.
Em um centro de diversões, no momento em que o carrinho realiza um looping sob uma montanha férrea, como mostra a figura,
podemos considerar que a força centrípeta atuante corresponde
à expressão:
a)F
P
b)F =N
c)F = P-N
e
=
e
d)
F
e
=
P+ N
e) Fc = O
e
Resolução
No momento em que o carrinho realiza um looping, a força resultante é a força centrípeta, que é a força peso somada à força normal, como mostra a figura abaixo.
Capítulo 10 • Dinâmica nas trajetórias curvas
151
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
1. Após analisarem o movimento circular e uniforme de
uma partícula, quatro estudantes chegaram a diferentes conclusões sobre a força resultante que age na partícula. Identifique a conclusão correta.
a) A resultante é centrífuga e tem intensidade variável.
b)Aresultante é nula porque não há aceleração.
x e) A resultante é centrípeta e tem intensidade constante.
d)A resultante é nula porque a força centrípeta se
iguala à força centrífuga.
e) A resultante é tangencial.
Escreva
no caderno
4. O fio de prumo é constituído por um fio de náilon e
por um peso de chumbo, suspenso na sua extremidade inferior. Ele é usado na construção civil para verificar a verticalidade de um elemento construído.
Suponha que um pedreiro suspenda seu fio de prumo
sobre uma mesa plana e horizontal. Desprezando a
resistência do ar, quais forças atuam sobre o corpo?
a)
uma pista circular, plana e horizontal, conforme arepresentação abaixo:
A
q
q
q
1
1
2. Um ciclista se desloca com movimento uniforme em
b)
"
c)
3. (ITA-SP) Uma mosca em movimento uniforme descreve a trajetória indicada abaixo.
1
E
''
2
/!!
e±:))
X
e)
•\
q
1
1
1
'
''
,,
1
a) Represente, em um esquema, o vetor velocidade
nas posições A, B, C e D ocupadas pelo ciclista.
b) Verifique se a direção e o módulo do vetor velocidade variam de uma posição para outra.
c) Utilize o esquema do item a e represente a aceleração e a força centrípetas nas posições A, B, C e D
ocupadas pelo ciclista. Re5postas no final do livro.
..
,,
'
,,
1
e
d)
,,
'
5. Classifique as sentenças abaixo descritas em falsa ou
verdadeira:
I. Um automóvel faz urna curva em uma estrada pla-
na e horizontal; no caso, a força centrípeta é a força
tangencial que a pista aplica sobre os pneus. F
II. Os satélites giram em torno dos planetas em função da ação da força centrípeta, que nessa situação é
a força de atração gravitacional. v
ili. Um corpo gira, preso na extremidade de um fio;
no caso, a força centrípeta pode ser considerada a
própria força T de tração no fio. v
6. Por que a Lua não colide
com a Terra? Pense, discuta com os colegas e depois
escreva, no caderno, suas
conclusões.
Quanto à intensidade de força resultante da mosca,
podemos afirmar que:
a) é nula, pois o movimento é uniforme.
b) é constante, pois o módulo da velocidade é constante.
c) está diminuindo.
x d)está aumentando.
o
1
·~
ô
' e'
I ';
' ...
1 <(
v = velocidade
F6 = força gravitacional A força gravítacional exercida pela Terra
atua perpêndicularmente à direção do movimento da Lua, o que é suficiente apenas paia
alterar a direção da ~elocidade lunar, obrigando-a ao movimento omita!.
7. Analise as condições de um satélite artificial que des-
creve órbita circular ao redor do centro da Terra. Qual
é a força centrípeta e qual a sua função?
A força gravitacional (peso) é a f01ça centrípeta que altera a direção da velocidade
152
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
do satélite.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
O que é força centrífuga?
Um motorista dirige seu carro em uma estrada. Ao fazer uma curva, ele tem a sensação de estar sendo
" empurrado" para fora da curva. Para explicar o fenômeno, atribuímos essa sensação à ação de uma força
centrífuga ~F' ou seja, uma força que atua puxando seu corpo em sentido oposto ao do centro da curva.
Representação de um carro realizando uma
curva. O motorista tem a sensação de estar
sendo 'empurrado" para fora da curva.
Para um observador parado à beira da estrada, a interpretação é outra: por inércia, o ocupante do ca rro
tende a manter seu movimento retilíneo enquanto o carro o empurra em sentido ao centro da curva por ação
de uma força centrípeta ~p ·
Representação de um carro realizando uma
curva. Para o observador que está parado à
beira da estrada, o motorista tende a seguir
_ __ _ _ _ _ _ _ em movimento retilíneo ao realizar a curva.
Afinal de contas, o passageiro está sendo puxado para dentro ou para fora da cu rva?
A questão é de referencial. O observador na beira da estrada constitui um referencial inercial para o qual
a força centrípeta é a única responsável pela alteração do estado de inércia experimentada pelo passageiro
durante a curva. Para um observador no interior do carro, que é um referencial não inercial (acelerado), a força
centrífuga atua sobre o passageiro, puxando-o para fora da curva.
Responda
Esaeva
no caderno
Na montagem de um parque de diversões, dois
funcionários testam os equipamentos. Uma base
circular que serve de apoio para os brinquedos foi
colocada para girar. Sobre ela havia uma esfera de
aço, relativamente pesada, soldada a uma das extremidades de uma mola, enquanto a outra extremidade estava presa ao eixo central da plataforma.
B
A
1. Como o funcionário A (colocado no sistema de
referência da base giratória) descreve a cena, relacionada à bola e à mola?
O obselvador A diz que a esfera ê puxada do centro para fora da base por uma força centrífuga que distende a mola.
2. Como o funcionário B (colocado no sistema de referência em repouso, no solo) descreve a cena, relacionada à bola
e à mola? O observador Bdiz que a esfera descreve uma trajetória circular. junto â base giratória, graças â ação da força centJípeta exercida, pela mola distendida, na esfera.
· Além di!.50, ele também poderia dizei que a reação da força centrípeta é exercida pela bola sobre a mola e provoca a sua distensão.
Capítulo 10 • Dinâmica nas trajetórias curvas
153
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Para ampliar nossos conhecimentos sobre as causas e os efeitos dos movimentos curvilíneos, vamos analisar algumas situações em que esses movimentos
ocorrem no plano horizontal e no plano vertical.
Vamos supor que uma esfera atrelada a um f io descreva
uma trajetória circular sobre o plano horizontal de uma mesa,
para estudar quais forças atuam sobre ela.
Como o movimento da esfera ocorre em um plano horizontal, a direção da força resultante é horizontal e a componente
vertical da força resultante é nula. Nesse caso, a força peso tem
a mesma intensidade da força normal: P = N.
Portanto, nesse caso, a força de tração (T) no fio representa a resultante centrípeta que age na esfera: R = F, = f.
Em outros movimentos circulares uniformes, ocorre que a componente
tangenci al 1\ da força resu ltante
características:
R é nula
e o movimento tem as seguintes
* O, constante: F = Õ
• li7 1
1
• v tem direção variável: Fe =ft O
•
resu ltante: R = F,
F
m~
r
A ocorrência do movimento ci rcular em um plano vertica l pode ser observada
em diversas situações, por exemplo, no trajeto de um motociclista dentro do globo da morte ou em um /ooping realizado por um carrinho de montanha-russa.
Ciclista em trecho de declive.
Um ciclista desce por um
declive que termina em uma
depressão aproximadamente
circular. Qual a composição
de forças que levará a uma
resultante centrípeta?
Professor. os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no linal
deste volume.
154
Motociclista realizando acrobacias dentro de
um globo da morte.
Trecho de montanha-russa em que os carrinhos
realizam um looping.
Em cada caso, é preciso conhecer o sistema de forças que age sobre o corpo
para determinar quais forças compõem a resultante centrípeta. Por exemplo,
para o corpo ligado a um cordão que gira no plano vertical, no ponto mais alto
da trajetória a resultante centrípeta é dada pela soma da força peso e de tração,
enquanto no ponto mais baixo é dada pela diferença entre a força de tração e
a força peso. Nessa situação, se o corpo girar com velocidade constant e, a resultante centrípeta se manterá constante e a força de t ração vai variar em cada
ponto da trajetória.
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
,.. Exercícios resolvidos
3 Uma pista plana, horizontal e circular de raio r é
percorrida por um carro de massa m, com movimento uniforme. Sabemos que o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é µe.
Com base nessas informações e no esquema abaixo,
determine:
a) as forças que agem no carro;
b) a força resultante que
age no carro;
c) a velocidade máxima
com a qual o carro
pode percorrer a pista
sem derrapar.
Dados: µ,• = 0,60, g = 10 m/s2 e r = 150 m.
a) Represente as forças que agem na pedra quando
ela passa pelas posições A, B, C e D.
b)Determine a tração do fio quando a pedra passa
pela posição D.
c) Determine a tração do fio quando a pedra passa
porB.
Resolução
a) posição A:
FC= T
''
posição C:
FC =T
'\
,,
cr-'
: T __
p
\\
1
''
direção do
movimento
posiçãoB:
posição D:
Fc =T - P
Fc =T+P
\
\
' ',,
~---.::.:direção do
movimento
_i _ _ --)
direção do
D movimento
,,,
,,
I
,"'.,,,.
I
/
,'
1
T :
..........
: p
',
'~
1
B
1
1
p
b) A posição D representa o ponto mais alto da trajetória descrita pela pedra. Nesse ponto, a força resultante é dada pela força centrípeta, cuja intensidade é:
F =P+T
v2
Fc = P + T ~ m - = mg + T
C
R=Fe = Far
T=m (:2 -g)
c) Se a resultante centrípeta é Fe = Far_, então:
v2
e-;;;
Fc=F.. ..;; µ,mg ~ m - ..;; µ,.mg ~ v ..;; vµcrg
r
Caso o carro esteja na iminência de derrapar, teremos a intensidade máxima da força de atrito estático
FBl(mú:) , e a velocidade máxima (v_,_) será:
Se r = 25 cm = 0,25 m, v = 2 m/s, g = 10 m/s2 e
m = 0,10 kg, então:
UwU.
Vmáx
= Jµ,rg
= .,/0,60 · 150 · 10
vmáx = 30 m/s
'
,
1 /
1
T
Nesse caso, a força de atrito F., representa a resultante centrípeta que age no carro.
,,
'V
N
ralela ao plano horizontal, a componente vertical da
força resultante é nula. Portanto, P = N.
1
1
,,/t p
a) Considerando que o carro faz a curva sem inclinação, temos as forças peso, normal e de atrito agindo
nele.
b) Como a força resultante age na direção da retapa-
,.,._ ,'
--~:
-
Resolução
p
direção do
movimento , ,
Um menino amarra uma pedra de massa 0,10 kg na
extremidade de um barbante de 25 cm de comprimento e faz com que ela fique girando em um plano
vertical com velocidade constante v = 2 m/s em um
movimento circular. Considere g = 10 m/s2 •
T
= 0,10(~
0,25
r
- 10)
~ T = 0,60 N
c) A posição B representa o ponto mais baixo da trajetória descrita pela pedra. Nesse ponto, a força resultante é dada pela centrípeta, cuja intensidade é:
Fe = T-P
m v; = T - mg
T = 0,10
~
T = m (:2 + g)
(L
+ 10) ~ T
0,25
=
2,6 N
Note que a intensidade da força de tração exercida
pelo fio é maior na posição B do que na posição D,
embora a força centrípeta seja a mesma.
Capítulo 10 • Dinâmica nas trajetórias curvas
155
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
8. Sobre uma superfície plana e horizontal, uma esfera
de massa m = 4,0 kg está presa à extremidade de um
fio ideal e descreve um movimento circular e uniforme em tomo de um ponto fixo, no qual está amarrada
a outra extremidade do fio.
12. Uma esfera de massa 0,5 kg, presa em uma das extre-
midades de um fio e apoiada sobre um plano horizontal, tem de descrever uma pista circular de 2 m de raio
com velocidade constante e igual a 1 m/s. O centro da
circunferência descrita é a outra extremidade, fixa, do
fio. Determine a intensidade da força tensora no fio. 0,25 N
13. (UnB-DF) Certo trecho de uma montanha-russa é
Se o atrito é desprezível, o fio mede 0,50 me a velocidade angular da esfera é 2,0 rad/s, determine:
a) o módulo da velocidade da esfera; 1,0 m/s
b) o módulo da aceleração centrípeta; 2,0 rnls'
c) a intensidade da força resultante que age na esfera.
8,0 N
9. Para brincar com uma lançadeira, Pedro utilizou um
pedaço de madeira de massa m = 5 g, amarrado a
um pedaço de barbante de comprimento L = 0,5 m.
Sabemos que esse barbante suporta a tensão máxima de 25 N. Caso a lançadeira seja colocada em
movimento de forma segura e tendo a mão de Pedro
corno o centro fixo da trajetória circular descrita pela
madeira, qual a velocidade máxima atingida pela madeira em relação à mão de Pedro? so m/s
aproximadamente um arco de circunferência de
raio R. Os ocupantes de um carrinho, ao passar por
esse trecho, têm uma sensação de aumento de peso.
Avaliam que, no máximo, seu peso foi triplicado.
Desprezando os efeitos de atrito, os ocupantes concluirão que a velocidade máxima atingida foi:
a) .J3gR
c) 2.JgR
b)3 Ji,R
xd) .J2gR
14. Um automóvel faz uma curva horizontal e plana em
uma estrada de raio 100 m. Sabe-se que o módulo de
sua velocidade é constante e que a resistência do ar
pode ser desprezada. F01ça peso, força de atrito, IO!ça n01mal.
a) Descreva as forças que atuam sobre o automóvel.
b)Sabendo que o automóvel realiza 2 voltas a cada
1 minuto, determine sua aceleração centrípeta. 4 mis'
c) Suponha um valor razoável para a massa do automóvel e utilize-a para calcular a força de atrito necessária para mantê-lo na trajetória. 4000N
10. Uma esfera de 2,0 kg gira em um plano horizontal em
torno de um ponto fixo, presa à extremidade de um fio
de 3,0 m de comprimento, cuja resistência à ruptura é
de 20 N. Qual a velocidade angular que fará partir o fio?
1,8 radls
11. Um piloto de automóvel vai percorrer uma pista circu-
lar de raio r = 50 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é µe = 0,80 e g = 10 m(s2• Antes
de entrar na pista, ele fez alguns cálculos para determinar o valor da velocidade máxima para o seu carro
não derrapar. Se o movimento do carro for uniforme,
qual será o valor dessa velocidade? 20 m/s
Automóvel fazendo uma curva .
Pense além
..
'g
Lavando a roupa suja
.E
A ideia de força centrípeta é fundamental para o desenvolvimento tecnológico
das centrifugadoras. Analise, por exemplo, a máquina de lavar roupas em funcionamento, com água e peças de roupa no interior do tambor cilíndrico.
Responda
1. Observe a imagem e comente sobre as forças que agem nas roupas.
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.
156
3
~
õ
;,;
""
.,,
1
i
.!ã
t
o
Roupas dent ro da máquina de lavar.
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Experimente a Física no dia a dia
No balanço do vai e vem
Sobre dois balanços estão um menino e sua mãe, de massas 20 kg e 70 kg, respectivamente. Considere que ambos
abandonaram o balanço ao mesmo tempo e da mesma altura e que não houve esforço para alterar o movimento dos
brinquedos.
Como relacionar as frequências dos movimentos de vai
e vem do balanço com a massa das duas pessoas? É o que
vamos estudar no experimento a seguir.
Mãe e criança brincando em um balanço.
Atenção
Materiais
•
3 latas de alumínio vazias
•
1 litro de água
•
2 cadeiras de mesmo tamanho
Faça o experimento
somente na presença
do professor.
barbante
s
cadeira
oM
• 90 cm de barbante
•
cadeira
I
1 cabo de vassoura
Passo a passo
Etapa 1
Representação do aparato experimental.
• Apoie o cabo de vassoura sobre o espaldar das cadeiras.
• Corte três fios de barbante com as medidas indicadas na figura. Prenda uma das extremidades do barbante ao cabo
de vassoura e a outra extremidade na lata de refrigerante. Coloque a mesma quantidade de água nas três latas.
• Eleve as três latas à mesma altura e solte-as ao mesmo tempo. Observe o que acontece e responda às questões
1 e 2.
Etapa 2
• Repita o procedimento anterior. Observe o que aconteceu e responda às questões 3 e 4.
Etapa 3
• Substitua os fios de barbante usados na etapa anterior por outros de comprimentos iguais. Coloque quantidades
diferentes de água nas três latas. Eleve mais uma vez as três latas à mesma altura e solte-as ao mesmo tempo.
Observe e responda às questões 5 e 6.
Responda
Escreva
no caderno
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no
Caderno de orientações no final deste volume.
1. O que produziu esse movimento das latas?
2. Qual princípio da Dinâmica explica o fato de as latas permanecerem assim apenas por algum tempo?
3. A frequência com que as latas de refrigerante descrevem esse movimento é a mesma?
4. É possível relacionar o comprimento do barbante com as frequências? Descreva essa relação.
5. O movimento das latas tem a mesma frequência?
6. É possível relacionar essa frequência com a massa das latas? Justifique.
Capítulo 10 • Dinâmica nas trajetórias curvas
157
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
No alto e no centro, Platão (esq.) e Aristóteles (dir.)
conversam, na representação da escola de Atenas.
Os poetas e os astrônomos não são os únicos a ficar extasiados
diante do céu. As pessoas em geral sentem-se atraídas pela beleza e
pelo movimento de corpos celestes, como o Sol, as estrelas, os planetas e a Lua.
A necessidade de compreender o Universo não é somente do ser
humano contemporâneo. Há indícios de que em 4000 a.e. os habitantes da Mesopotâmia desenvolveram calendários rudimentares, com
base nos movimentos dos astros, com o objetivo de atender às suas
necessidades agrícolas.
Na Grécia antiga vários fílósofos buscaram explicações para os
movimentos dos corpos celestes. No modelo geocêntrico proposto
por Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.), a Terra fica em uma posição estacionária e central, enquanto os outros astros descrevem trajetórias
circulares ao seu redor (geo, em grego, Terra; geocêntrico, centrado
na Terra).
Por volta de 260 a.e., Aristarco de Sarnas (320 a.C.-250 a.C.)
apresentou uma teoria em que o Sol ocupa a posição central do sistema, antecipando o modelo heliocêntrico (hélios, em grego, Sol; heliocêntrico, centrado no Sol) proposto por Copérnico ( 1473-1543),
15 séculos depois.
Pense além
• As estrelas deveriam ser visíveis durante o dia por emitirem luz própria. No entanto, como o Sol eslá mais próximo
da Terra do que qualquer outra estrela, o seu brilho intenso acaba ofuscando o brilho das demais.
Via Láctea
(... ]
XIII
"Ora (direis) ouvir estrelas! Certo
Perdeste o senso! " E eu vos direi, no entanto,
Que, para ouvi-las, muita vez desperto
E abro as janelas, pálido de espanto ...
E conversamos toda a noite, enquanto
Direis agora: "Tresloucado amigo!
Que conversas com elas? Que sentido
Tem o que dizem, quando estão contigo?"
E eu vos direi: "Amai para entendê-las!
Pois só quem ama pode ter ouvido
Capaz de ouvir e de entender estrelas. "
[... ]
BILAC, Olavo. Obra reunida. Rio de Janeiro: Nova Aguilar. 1996.
A Via Láctea, como um pálio aberto,
Cintila. E, ao vir do sol, saudoso e em pranto,
Inda as procuro pelo céu deserto.
Atividade
Escreva
no caderno
1. Você já observou estrelas durante o dia? Caso negativo
faça uma pesquisa para descobrir por que essa é uma tarefa difícil.·
As nebulosas são nuvens de gás que podem formar
estrelas ou ser resquícios do final da evolução estelar.
158
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Ptolomeu e a teoria geocêntrica
Aproximadamente 400 anos após Aristarco, o astrônomo
Cláudio Ptolomeu (e. 100-170), em seu Almagesto, aperfeiçoou
o modelo geocêntrico de Aristóteles.
Segundo Ptolomeu, a Terra ocupa, em repouso, a posição central.
O Sol e a Lua giram ao redor da Terra em órbitas circulares. Cada
planeta gira em torno de um ponto, formando um epiciclo, e cada
ponto gira em torno da Terra em órbitas (trajetória) circulares.
Mais além, as estrelas estão fixas em uma esfera de cristal que
também gira ao redor da Terra em órbita circular.
A utilização contínua das tabelas astronômicas do Almagesto
pelos grandes navegadores e os interesses rel igiosos fizeram com
que esse modelo se mantivesse por 1 500 anos.
~ Copérnico e a teoria heliocêntrica
Embora o modelo proposto por Ptolomeu explicasse o movimento aparente dos corpos celestes, é importante lembrar que as
observações desse período eram feitas a olho nu .
O polonês Nicolau Copérnico (14 73-1543) destacou-se como
astrônomo e matemático. No seu livro Sobre as revoluções das
órbitas celestes, ele expôs a teoria heliocêntrica, na qual o Sol
repousa na posição central do sistema e os planetas giram ao seu
redor em órbitas circulares.
O sistema proposto por Copérnico simplificava o movimento
dos outros planetas, eliminando os epiciclos, e introduzia um movimento para a Terra, contrariando o senso comum da época.
Mais tarde essa teoria recebeu outras contribuições e foi aperfeiçoada, principalmente com os estudos de Galileu Galilei (15641642), Tycho Brahe ( 1546-1601) e Johannes Kepler ( 1571-1630).
Representação do modelo geocêntrico. (Imagem
sem escala, sem proporção e em cores-fantasia.)
Almagesto: É o tratado matemático e
astronômico escrito, no século li, por Ptolomeu.
Epíciclo: Círculo cujo centro se desloca ao
longo de outro, de di~metro maior.
Representação do modelo heliocêntrico proposto por Copérnico. (Imagem sem escala, sem proporção e em cores-fantasia.)
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
159
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercício resolvido
1 Após ter estudado as teorias geocêntrica (proposta por Ptolomeu) e heliocêntrica (proposta por Copérnico), um
estudante chegou à conclusão de que o sistema proposto por Ptolomeu deveria ser desprezado, basicamente
porque nele o Sol gira ao redor da Terra, que se encontra parada.
Do ponto de vista da Física, é correta a conclusão do estudante?
Resolução
Não, porque as duas descrições são fisicamente possíveis, usando diferentes referenciais. No caso do modelo
geocêntrico, se o referencial usado for a Terra e o observador estiver em repouso em relação a ela, então, para ele,
o Sol estará em movimento e a Terra, parada.
No modelo heliocêntrico, se o referencial usado for o Sol e o observador estiver parado em relação a ele, então,
para esse observador, a Terra estará em movimento.
· · propost 05
ExerctCIOS
Escreva
no caderno
1. Que razões justificaram a aceitação, na época, do modelo de Ptolomeu?
A acei~ desse modelo se deve, especialmente, à utilização contínua das tabelas astJonômicas do Almagesto, escrito por Ptolomeu, e a interesses religiosos.
2. Quais elementos contribuíram para que o modelo copernicano fosse considerado mais adequado que o modelo
ptolomaico? Nesse modelo, verifKa-se a simplificação do movimento dos planetas. eliminando os epicidos e in1roduzindo o movimento da Terra (contraiiando
o modelo ptolomaico).
3. O sistema proposto por Ptolomeu ficou limitado a quais planetas? Por quê?
Mercúrio, Vênus. Marte, Júpiter e Saturno. planetas vistos a olho nu. Não havia telescópio.
4. Você acha correto o procedimento de alguns navegadores dos dias atuais que se orientam pelo movimento das
estrelas, de forma semelhante aos navegadores antigos, que acreditavam que a Terra permanecia em repouso no
centro do Universo? Resposta pessoal.
Você sabia?
Como Galileu foi condenado e preso por defender
suas convicções científicas
O físico ita liano Galileu Galilei é considerado, para muitos, um símbolo de resistência por ter sido coagido a negar suas teorias, em troca da preservação da sua vida,
pelo tribunal da Santa Inquisição da Igreja
Católica. No tribunal, em 1633, ele foi j ulgado e condenado à prisão domiciliar até o fim
de sua vida, nove anos depois. Foi somente
em 1983, portanto mais de t rês séculos depois da sua morte, que houve um pedido
de perdão feito pelo papa João Paulo li, em
nome da Igreja Católica. Nesse lamentável acontecimento, podemos perceber que
ideias e teorias criadas ao longo da história
estão sujeitas a mudanças e não podem ser
consideradas infalíveis.
160
Obra de Banti Cristiano (1857) representando o julgamento de Galileu Galilei.
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
No século XVI, quando Copérnico apontou que um sistema heliocêntrico poderia ser admitido e utilizado
para explicar as observações astronômicas, essa ideia foi considerada inaceitável tanto por seus colegas, pensadores e intelectuais, como pela Igreja. A Terra não poderia se mover. As razões pa ra que essa teoria não fosse
aceita foi por não explicar por que alguns fenômenos não ocorriam. Por exemplo, se a Terra de fato girasse em
torno de seu eixo de rotação, deveria provocar a expulsão dos corpos ou ventos fortíssimos em sua superfície.
Apenas no século XVII é que foram desenvolvidos os conhecimentos teóricos necessários para fundamentar a
teoria heliocêntrica.
Embora Galileu tenha contribuído, com seus estudos, para a aceitação do sistema heliocêntrico, suas concepções representavam, ainda, etapas intermediárias entre as ideias antigas de Aristóteles e as bases da teoria
que Isaac Newton formularia anos mais tarde.
No livro Diálogo sobre os dois principais sistemas do mundo, Galileu buscou explicar o motivo pelo
qual o movimento de rotação da Terra não causa os ventos fortes ou a expulsão dos corpos da superfície. Nesse
texto, ele ainda discutiu o que hoje chamamos de princípio da relatividade e a sua teoria sobre as marés.
Galileu sabia, por exemplo, que devido à inércia, os corpos tendem a se manter em movimento. Assim,
argumentou que a atmosfera do planeta deveria girar com todo o planeta, não fazendo sentir os ventos previstos pelos opositores do movimento da Terra. Ele tinha certa noção sobre a atração dos corpos pela Terra,
porém qualitativamente a sua visão era equivocada, pois, para ele, a gravidade seria constante e independente
da massa do corpo.
Embora parte do livro seja dedicada a constru ir
argumentos que justifiquem o movimento da Ter-
DIALOGO
J
1)
GALIL O GALILEI
ra, merece destaque o princípio da relatividade,
em que afirma que os efeitos do movimento de
um sistema não são perceptíveis quando os experimentos são real izados dentro do próprio sistema.
J
CEO
MAT EMAT ICO SOPRAORUINAIUO
OM t. 1. U: 'ITVDJO O I Pli.,i\,
U IU)ilHUtO
GR.D C DITOS
A-
Daw: mi ~rd(l d1 4f1111.JO&JQffl1!11Ítd..mt'C"
rupr.ti iilN
Na parte fina l do Diálogo Galileu argumenta
sobre o fenômeno das marés, que, segundo ele, é
btA.s.-') h'-11 S ISTEMI D EL lONIX>
1Ql .l!J,IA.r00t tOOPUN.JC,.., 01,
_,,,,,,.,.~,.,._,_.,..,_,N..,,.A
.,...,,...,...._•.,__.lo,.,.-
fundamental para fortalecer o sistema heliocêntrico. Para ele, esse fenômeno não se explicaria caso
a Terra estivesse em repouso; portanto, o fenô-
CON 1"11.1
meno das marés decorre do movimento da Terra.
Os estudos de Galileu sobre a Astronomia
também geraram argumentos para suporte ao
sistema heliocêntrico. Em outro livro, Mensageiro
Frontispício e título da obra de Galileu, Diálogo sobre os dois
principais sistemas do mundo (1632). Na gravura estão ilustrados
Aristóteles, Ptolomeu e Copérnico.
das estrelas, ele descreve descobertas feitas com
a luneta que contrariavam algumas das bases do modelo de Aristóteles, geocêntrico, aceito e validado pela
Igreja . Por exemplo, mostrou que a Lua não é uma esfera lisa e perfeita, mas possui crateras, e que havia corpos
que giravam em torno de outros que não a Terra, como os satélites de Júpiter.
Os estudos e as conclusões de Galileu eram opostos ao paradigma vigente e vinham de encontro aos
dogmas da Igreja. Isso se comprova pelo fato de ele ter sido condenado, ante o tribunal da Santa Inquisição
Romana, e ter de abdicar de suas crenças.
Atividades
Escreva
no caderno
1. Sim, os opositores tinham motivos para contestar a ideia do heliocentrismo, pois naquela época esse modelo não explicava,
por exemplo, o motivo de os corpo~ situados na superffóe da Terra, não serem expulsos pelo movimento de rotação.
1. Os opositores da teoria proposta por Copérnico tinham motivo para não aceitá-la? Em caso afirmativo, cite pelo
menos um fenômeno que o modelo heliocêntrico não conseguia explicar na época.
2. Galileu se deteve em formular explicações para o fenômeno das marés. Que motivo justifica essa preocupação?
3. Junto com seus colegas, organize uma forma de expor para sua classe um trabalho desenvolvido em um grupo
de estudo. Nesse tipo de trabalho, cada integrante fica responsável por pesquisar, selecionar, redigir e ilustrar
uma parte do conteúdo. O trabalho deve tratar do momento histórico e político-religioso na época de Galileu e
da interferência da Inquisição na produção de conhecimentos científicos. Resposta pessoal.
2. Para Galileu, era importante fortalecer o sistema de Copérnico e, segundo ele, o fenômeno das marés decorre do movimento da
Terra, ou seja, tal fenômeno não se explicaria caso aTerra es~vesse em repouso.
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
161
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Copérnico e as controvérsias
humanas e científicas do modelo
heliocêntrico
Nesta atividade, vamos trabalhar um trecho do livro Copérnico:
pioneiro da revolução astronômica, que relata a vida e a obra de
Nicolau Copérnico. Copérnico era um astrônomo e matemático polonês, mas também era cônego catól ico, que propunha um modelo
de Universo que rompia tanto com a crença científica vigente quanto
com os dogmas do cristianismo.
Copérnico educou-se na Polônia e na Itália, onde foi exposto às
ideias dos grandes filósofos gregos Platão e Aristóteles, assim como
à ciência de Arquimedes, Aristarco de Samos e Erastóstenes. Em seu
livro O contador de areia, Arquimedes menciona o modelo cósmico
de Aristarco, cuja distinção principal era ter o Sol no centro e todos os
planetas girando à sua volta. Na época, o modelo "geocêntrico ", com
a Terra fixa no centro, dominava completamente a filosofia. Aristarco
foi levado ao seu modelo revolucionário após calcular os diâmetros
aproximados do Sol e da Lua. Como mostrou que o Sol era muito
maior que a Terra, parecia-lhe muito mais óbvio que o Sol deveria
estar no centro, e não a Terra.
Titulo: Copérnico: pioneiro da
revolução astronômica
Autor: Ronaldo Rogério de
Freitas Mourão
Editora: Odysseus
Portanto, Aristarco, e não Copérnico, foi o primeiro a sugerir o arranjo planetário "heliocêntrico",
com o Sol no centro. E isto em torno de 300 anos antes de Crist o.
Mas, se isso é verdade, por que então ninguém fala de Aristarco? Por dois motivos: primeiro, ninguém conseguiu provar que as ideias de Aristarco estavam corretas. Para tal, era necessário medir uma
mudança mínima na posição das estrelas mais próximas da Terra durante um intervalo de seis meses,
algo que é simplesmente impossível a olho nu. (Lembre-se que o telescópio só será usado em Astronomia
após 1610. O efeito que mostra definitivamente que a Terra gira em torno do Sol, chamado paralaxe, só
será medido em 1838!). Segundo, porque na época, e por mais dois mil anos, o modelo de Aristóteles
dominava a Filosofia. Segundo ele, o cosmo se dividia em duas partes: o mundo sublunar, da Lua para
baixo, onde mudanças eram possíveis; e o mundo supralunar, incluindo a Lua, todos os planetas, o Sol
e as estrelas, onde o único movimento possível era o circular, com todos os objetos celestes girando em
torno da Terra. Para que as ideias de Arist arco fossem aceitas , elas teriam que derrubar o poderoso
modelo aristotélico. E isso, sem provas conclusivas, era impossível. Resumindo: o modelo de Aristarco
foi esquecido.
[ ... ]
O problema é que na época de Copérnico, em tomo de 1500, a Astronomia de Ptolomeu era a mais
aceita. E ele não tinha nada de elegante. É bem verdade que o objetivo principal de Ptolomeu não era
a elegância, mas um modelo do cosmo que fosse capaz de reproduzir os movimentos dos planetas, Lua
e Sol observados aqui da Terra. E isso ele fazia com bastante precisão. Essa precisão era necessária
para que os astrólogos pudessem fazer os seus mapas e projeções, que dependiam das posições fut uras
dos planetas.
162
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Para Copérnico, o modelo de Ptolomeu era monstruoso , um corcunda cósmico. Não só o Sol (e nem a
Terra, deslocada do centro) não era o centro do cosmo, como os planetas giravam em velocidades irregulares em torno do centro. Esse movimento irregular contrariava uma regra de Platão, que dizia que os
astrônomos deveriam ser capazes de descrever os movimentos celestes usando apenas círculo e velocidades regulares, sempre as mesmas em qualquer posição. A missão a que se propôs Copérnico foi criar
um modelo que não só tivesse o Sol no centro, sendo mais elegante e natural, como também respeitasse
a regra de Platão e fosse tão preciso quanto o Ptolomeu.
[... ]
Em 1510, ele [Copérnico] escreveu um pequeno manuscrito propondo o seu modelo heliocêntrico. Em
vez de publicado, como já faziam outros estudiosos, ele distribuiu algumas cópias para filósofos e conhecidos, aguardando pelos seus comentários. Sua obra-prima, Sobre as revoluções das órbitas celestes, só
apareceria em 1543, o ano de sua morte. Será que ele tinha medo dos coment ários negativos de outros
astrônomos? Ou talvez da perseguição religiosa da Igreja? Afinal, centenas de pessoas eram queimadas
por ano acusadas de heresia e bruxaria. Será que ele era inseguro?
A resposta pode ser uma combinação de todos esses fatores. Ninguém sabe ao certo. Porém, ele
dedicou seu livro ao Papa Paulo III, escrevendo que a biblia não deveria ser usada para interpretar o
arranjo dos céus. Isso demonstra grande coragem, talvez porque soubesse que não viveria muito mais
tempo. A maior critica religiosa ao trabalho de Copérnico não veio da Igreja Católica, mas dos Lut eranos.
O próprio Martinho Lutero parece ter zombado de Copérnico e do seu modelo heliocêntrico. E a história
não termina aí. Copérnico, já velho, incumbe seu aluno a supervisionar a publicação de sua obra. Mas o
jovem é forçado a se mudar, e deixa a responsabilidade nas mãos de Andreas Osiander, um importante
teólogo luterano. Osiander, sem a permissão de Copérnico, adiciona um prefácio ao livro, que atribui a
Copérnico, onde afirma que a proposição do Sol no centro do cosmo não deve ser levada a sério, sendo
só um modelo matemático para calcular as posições planetárias, e não o verdadeiro arranjo cósmico!
Copérnico só foi ver um exemplar pronto do seu livro no dia de sua morte, 24 de maio de 1543.
GLEISER, Marcelo. ln: MOURÃO, Ronaldo Rogério de Freitas. Copérnico: pioneiro da revolução astronômica.
São Paulo: Odysseus, 2003. p. 9-14.
Atividades
Esaeva
no caderno
Professor, as respostas e os comentários das questões encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.
A história de Copérnico foi de extrema importância na Astronomia e aborda dilemas científicos e pessoais.
1. A primeira proposição de um modelo heliocêntrico foi de Aristarco por volta de 300 a.C. Que argumentos
ele usou para propor tal modelo?
2. Por que o modelo geocêntrico de Ptolomeu se manteve como a principal ideia sobre a estrutura do Universo
por mais de 1500 anos?
3. Pesquise o que é paralaxe, e como esse fenômeno poderia negar ou corroborar o modelo heliocêntrico.
4. A elaboração ou a aceitação de um novo modelo são dadas sobre crenças e estética. Destaque no texto dois
exemplos que comprovam essa afirmação.
5. Se você estivesse na posição de Copérnico, com uma compreensão sobre a "realidade" que, diferente do
pensamento da maioria das pessoas, poderia causar a ira e a perda de poder de algumas delas e pôr em risco
a sua vida, o que faria?
6. Em sua opinião, qual foi a motivação de Osiander para alterar o prefácio do livro de Copérnico?
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
163
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Pôr do Sol sobre o rio
São Francisco, Petrolina (201 5).
Considerando que o
Sol ocupa um dos focos
da t rajetória elíptica
descrita pela Terra, por
que, à medida que nos
aproximamos ou nos
afastamos dele. não o
menor7
vemos maior ou
PTofessor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
Elementos da elipse
Elipse é o lugar geométrico
dos pontos de um plano
tal que sua definição se
dá a partir de dois pontos.
que chamamos de focos da
elipse, F1 e F2 . A soma das
distâncias de um ponto P
qualquer da elipse aos focos
F, e F2 é constante.
d1
Nascido na Dinamarca, Tycho Brahe real izou a olho nu observações meticu losas sobre os movimentos planetários. Após sua morte, seu assistente, o
alemão Johannes Kepler, continuou seus estudos. Kepler, que era um excelente matemático, refez vários cálculos e estabeleceu três leis que regem o
movimento dos planetas em torno do Sol.
Kepler estudou o movimento do planeta Marte por quase 1O anos, seguindo
sua trajetória pelo céu e tentando descrever para ele uma órbita em torno do Sol.
É importante lembrar que as leis de Kepler são vál idas pa ra um referencia l
f ixo em relação ao Sol. Por isso, tais leis podem parecer absurdas se considerarmos
a Terra como referencial . As leis de Kepler fizeram o modelo heliocêntrico ser
fortemente aceito pela comunidade científica da época, pois resolveram algumas incompatibilidades dos movimentos planetári os quando interpretados
pela teoria geocêntrica.
~ Lei das órbitas (1! lei de Kepler)
A 1ª lei do movimento planetário de Kepler refere-se à forma elípt ica da
trajetória descrita por um planeta em torno do Sol.
111,,,.
Cada planeta movimenta-se ao redor do Sol descrevendo uma
~ órbita e líptica, com o Sol posicionado em um dos focos da elipse.
A figura a seguir representa um esquema do Sistema Solar composto pelo
Sol e seus oito planetas: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e
Netuno. Plutão, que passou à categoria de planeta-anão na conferência anual da
União Astronômica Internacional (UAI) de 2006, também aparece no esquema.
+ d 2 = constante
~
e
<
~
Ilustração produzida com base em: SEEDS, M. A. Horizons: exploring lhe universe. 5. ed. Belmont
Wadsworth, 1998. p. 304, 306-307.
________......
,__
ci - - - - - - - - - ~
B,
e,
Representação dos elementos
geométricos da elipse.
164
Embora as órbitas elípticas tenham sido desenhadas, propositadamente, com excentricidades bem acentuadas, na realidade elas se aproximam da forma circular (observe na tabela da página 166 os valores de excentricidade das órbitas dos planetas).
A excentricidade e de uma elípse caracteriza seu grau de "achatamento" e pode
ser obtida por:
Quanto maior a excentricidade, mais "achatada" é a elipse. Quando uma
elipse apresenta excentricidade nula, seus focos são coincidentes e ela é a própria ci rcunferência.
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Lei das áreas (2ª lei de Kepler)
A 2 il lei do movimento planetário de Kepler estabelece relações entre a velocidade orbital do planeta e o ponto de sua órbita.
~
O segmento de reta imaginário que liga o Sol a determinado
planeta descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
Para uma área descrita A
em um intervalo de tempo M ,
algebricamente, temos:
A
M = constante
ou seja:
plarieta
Nesse esquema cada região pintada representa uma área descrita
pelo planeta para ir de um ponto até outro ponto percorrendo
sua órbita.
Assim, podemos concluir que a velocidade de translação do planeta ao redor
do Sol sofre variação, ou seja, aument a à medida que se aproxima do periélio
(ponto mais próximo do Sol) e diminui à
~enta
~ -- ----..... ~
medida que se aproxima do afélio (ponto mais afastado do Sol). Se a área A1 é
igual à área A 2 , os intervalos de tempo
para cumprir os arcos
BC e DE também
afélio
periélio
serão iguais.
Como o comprimento do arco BC é
D
maior do que o comprimento do arco DE,
a velocidade do planeta será maior no
trecho
BC do que no trecho DE.
~ Lei dos períodos (3ª lei de Kepler)
A 32 lei do movimento de Kepler re laciona o período de revolução de um
planeta, tempo necessário para esse planeta descrever uma volta completa
ao redor do Sol, e a distância média R, do semieixo maior da elipse, do planeta ao centro da elipse.
~
Para os planetas que orbitam o Sol,
o quociente entre o quadrado do
período (T2) e o cubo do raio médio
da órbita (R 3) é sempre constante.
1
1
·- ------1
:
R
- - - - - -:- - - -di slâ-n~i~ ~-éd~--1
T2
R3 = k (constante)
planeta
Representação da
trajetória elíptica
descrita pelo
planeta ao redor
do Sol.
Nessa equação, você poderá perceber que, quanto maior o valor de R, maior
será o período T, ou seja, maior será o t empo que o planeta levará para dar uma
volta em torno do Sol.
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
165
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Veja, a seguir, alguns dados referentes ao Sistema Solar.
Alguns parâmetros orbitais dos planetas do Sistema Solar
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Período de translação (T)
em anos terrestres
0,241
0,615
1,000
1,08
11,86
29,47
83,76
163,7
Distância média ao Sol (R)
109 m
57,9
108,2
149,6
227,9
778,3
1429
2870
4504
Velocidade orbital média
103 m/s
47,9
35
29,8
24,1
13,1
9,6
6,8
5,4
Número de satélites
naturais
o
o
1
2
67
62
27
14
Excentricidade (e)
da órbita
0,206
0,007
0,016
0,093
0,048
0,054
0,047
0,0086
Fonte: NASA. Solar Syst em Explorat ion. Disponível em: <http://solarsystem.nasa.gov/planets/index.dm>.Acesso em: 18 dez. 2015.
Exercícios resolvidos
"'
2 De acordo com a 1• lei de Kepler, o Sol está posicionado em um dos focos da elipse descrita pelo planeta que
se movimenta ao seu redor. Como a trajetória é elíptica,
deveríamos ver o Sol maior ou menor à medida que a
Terra está mais próxima ou mais afastada dele, o que
não acontece. Explique essa aparente incoerência.
Resolução
Se a excentricidade da órbita elíptica descrita pela
Terra fosse bastante acentuada, seria compreensível
que o tamanho do Sol nos parecesse maior ou menor
em d iferentes épocas do ano. Como a excentricidade
é baixa (0,016), a órbita elíptica se aproxima da circular, o que nos dá a sensação de que o Sol tem o mesmo
tamanho durante o ano todo. Lembre-se de que essa
medição é feita com instmmentos pois não devemos
olhar diretamente para o Sol.
~=
40R e TT = 1 ano
(T) 2
(40 ·
R) 3
(1)2
(R) 3
(Tp)2 = 403
TP = 40J;;õ ~T = 253 anos
• No esquema abaixo está representada a órbita descrita pela Terra ao redor do Sol (sem escala, sem
proporção e em cores-fantasia) . Determine, em meses,
o tempo necessário para que a Terra percorra a trajetória
BCI>. Considere a área pintada como
!
da área
total da elipse.
e
A 3~ lei de Kepler relaciona os períodos dos movi-
mentos dos planetas em torno do Sol com a distância média dos planetas e outros astros ao centro do
Sistema Solar. Comparando-se com a Terra, cujo
período é de 1 ano e cuja distância ao Sol é R, qual
será, aproximadamente, o período do planeta-anão
Plutão, em anos terrestres, se sua distância média ao
Sol é de aproximadamente 40R?
Resolução
(TT)2 k
- a' 'Tierra: Em re1açao
-=
(RT)3
CT)2
Em relação a Plutão: - - = k
(R ) 3
p
166
Resolução
A = área total da elipse
õt = 12 meses (tempo para completar uma volta)
A' = _!_ A = área amarela
4
M' = tempo para percorrer BCD
De acordo com a 2ª lei de Kepler, temos:
l._A
A = ..±_ ~ M' = 3meses
12
ôt'
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
5. O que Johannes Kepler descobriu a respeito da distância dos planetas em relação ao Sol? E de suas velocidades em relação ao Sol? Respostas no final do livro.
8. O esquema representa a trajetória elíptica de um pla-
neta ao redor do Sol. Determine e justifique em qual
dos pontos, A, B, C ou D, a velocidade desse planeta é
máxima e em qual é mínima. A velocidade é mlnima em A
6. Observando a 2il lei de Kepler, os planetas possuem
maior velocidade no periélio ou no afélio? Justifique
suas respostas. Respostas no final do livro.
e
B
7. Considere que o período de revolução da Lua em tor-
no da Terra é de 27 dias e que o raio de sua órbita
valha 60R, sendo R o raio da Terra. Um satélite geoestacionário, de telecomunicações, orbita a Terra. Em
relação ao satélite, responda:
a) Qual o período de revolução? 24 h
b) Qual o raio de órbita? 6,7R
(afélio da óibita) e máxima em B
(periélio da órbita).
--- :------------ A
1
'
planeta
D
9. O raio médio da órbita de Saturno em torno do Sol é
cerca de 9,6 vezes maior do que o raio médio da órbita
da Terra. Determine, em anos terrestres, o período de
revolução de Saturno. Aproximadamente 29,7 anos terrestres.
Você sabia?
Como os antigos calculavam a distância até a Lua?
Aristarco de Sarnas viveu em uma época (e. 310 a.C.-230 a.C.) em que o modelo geocêntrico era predominante. Qualquer tentativa contrária às propostas aristotélicas (Terra na posição cent ral do Universo) estava
fadada ao insucesso.
Mesmo nesse context o socia l adverso, Aristarco desenvolveu cálculos sobre o tamanho dos planetas e as
distâncias que os separam, tomando como referência o Sol na posição central do sistema .
Um desses cálculos se refere à distância da Terra ao Sol. Considerando a falta de recu rsos instrumentais da
época, a forma como esse cá lculo foi realizado revela grande engen hosidade.
Observando simultaneamente a Lua em quarto crescente e o pôr do sol, Aristarco mediu o ângulo entre essas
linhas e obteve o valor de 87º. A partir desse ângu lo, e usando a distância ent re a Terra e a Lua como referência, calculou a distância entre a Terra e o Sol, obtendo aproximadamente 19 vezes a distância Terra-Lua.
Essa distância só foi estimada por Hiparco (190 a.C.120 a.C.) posteriormente. Esse va lor está muito abaixo
do real (380 vezes a distância Terra-Lua) por causa da
imprecisão na medida do ângulo (89,86°).
Considerando o esquema ao lado, temos:
d : distância da Terra à Lua
D: distância da Terra ao Sol
cos 87º
= -º=> O 052 = -ºD
'
D
D= 19d
Responda
Escreva
no caderno
Representação das medições (distâncias) realizadas por Hiparco.
O esquema está sem escala, sem proporção e em cores-fantasia.
As duas teorias adotavam órbitas cirrulares paia os astros e consideravam a existênóa de um astro no centro do
Universo (para Ptolomeu, a Terra, e para Copérnico, o So0. Os resultados seriam os mesmos, porque Terra, 'iol e Lua
possuem velocidade constante.
1. Compare as teorias defendidas por Ptolomeu e por Copérnico e identifique se existem aspectos concordantes.
F.sses modelos modificariam os resultados encontrados por Aristarco?
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
167
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fltitdriEi'Jifi4i·11fflt'l4t!illll_______
As leís elaboradas por Kepler foram muito importantes para a descrição do movímento planetário. Porém, faltava entender que tipo de força agía sobre os planetas,
para que eles se deslocassem ao redor do Sol de forma compatível com essas leís.
Em sua obra Philosophiae natural is principia M at hematica, publicada em
1687, o inglês Isaac Newton (1642-1727) apresentou a lei da gravitação universal. Para estabelecer essa lei, Newton buscou entender o movi mento da Lua com
base nos princípios fundamentais da Dinâmica . Pesqu isou também o movimento
dos planetas fundamentado nas leis de Kepler e concluiu:
Pare e pense
•
Lua sendo observada no céu de
Santa Maria. RS (2014).
O que mantém a Lua
orbitando ao redor da
Terra? Por que os corpos
próximos à superfície da
Terra são atraídos por ela ?
•
Dois corpos materiais quaisquer exercem uma força de atração mútua, denominada força gravítacional.
A intensídade da força gravitacíona l depende das massas desses corpos, sendo diretamente proporcíonal ao produto delas.
•
A intensidade da força gravitacional depende da distância entre os corpos,
sendo inversamente proporcional ao quadrado dessa d istância.
-----------F
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
d
Representação esquemática da lei da Gravitação Universal.
A representação matemática da lei da gravitação universal é:
A constante de proporcionalidade G é denominada constante de gravitação
universal, cujo valor numérico depende apenas do sistema de unidades utilizado.
No SI, seu valor é:
f
G - 6,67 · 10· " N · m'lk; l
Exercício resolvido
5 Considere que a Terra e a Lua são corpos esféricos e homogêneos, cujas
massas são respectivamente iguais a~ = 6 · lü24 kg e II\= 7,4 · 1022 kg.
Se a distância aproximada entre os seus centros é 380 000 km, determine
o valor da intensidade da força de atração entre a Terra e a Lua.
Dado: G = 6,7 · 10-11 N · m 2/ kg2 •
Resolução
F = G m 1~
g
d2
e d = 380000km = 3,8 · 108 m
F. = 6,7 . 10- 11 . 6 . 1024. 7,4. 1022 ~ F = 2. 1020 N
o
(3,8 . 108) 2
g
168
Imagem da Terra sendo vista da Lua. A imagem
foi registrada em 1968, na missão Apolo 8 .
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
10. Isaac Newton explicou que a Lua "cai em volta" da
Três dessas fotografias estão reproduzidas abaixo.
Terra devido a sua velocidade tangencial. Pensando
nesse fenômeno, se a velocidade tangencial da Lua
fosse reduzida a zero, qual seria o destino desse satélite natural? ALua se moveria diretamente contra a superfície da Te,ra.
'-':
.
11 . De acordo com a lei da gravitação universal, o que
ocorre com a força gravitacional quando a distância
entre os corpos é duplicada? Af01çadeatraçâoentreoscorposse
reduz e, nesse caso, passa a um quarto do valOI inicial.
12. Determine a força de atração gravitacional entre:
a) duas pessoas, A e B, de massas 80 kg e 70 kg, que
distam 2 m entre si. 8,4 · 10-• N
b)a Terra (~ = 6 · 1024 kg e R = 6 · 106 m)
e uma pessoa de 80 kg na superfície da Terra
Dado: G = 6 · 10- 11 N · m2/kg2 . BOON
13. Considere dois satélites, A e B, em órbita ao redor da
Terra, sendo que A realiza uma trajetória elíptica (situação 1) e B uma trajetória circular (situação 2).
Em qual das duas situações o trabalho da força gravitacional é maior? Justifique sua resposta.
As fotos poderiam corresponder, respectivamente,
aos pontos:
X a) III, V e
11.
b) II, III e V.
c) II, N e llI.
d)I, II e rn.
e) I, II e V.
Resposta no final do li1110.
16. (Enem/MEC) O ônibus espacial Atlantis foi lançado
14. (UFRJ) Em certo sistema planetário, alinham-se, em
ao espaço com cinco astronautas a bordo e uma câmera nova, que iria substituir uma outra danificada
por um curto-circuito no telescópio Hubble. Depois de
entrarem em órbita a 560 km de altura, os astronautas
se aproximaram do Hubble. Dois astronautas saíram da
Atlantis e se dirigiram ao telescópio. Ao abrir a porta
de acesso, um deles exclamou: "Esse telescópio tem a
massa grande, mas o peso é pequeno".
dado momento, um planeta, um asteroide e um satélite.
p
- -os
----------------r·----9R
3R
Considerando o texto e as leis de Kepler, pode-se
afirmar que a frase dita pelo astronauta
Sabe-se que:
• a massa do planeta é 1000 vezes a do satélite;
• o raio do satélite é muito menor que o do planeta.
Determine a razão entre as intensidades das forças
gravitacionais exercidas pelo planeta e pelo satélite
sobre o asteroide. 90
15. (Enem/MEC) A figura abaixo mostra um eclipse solar
no instante em que é fotografado em cinco diferentes
pontos do planeta.
s---------------------
:-~~
,
'
,"',
,
---~·0 01
~
,.: ~: L,:____-.-.-.:. ~ ~
-::.
-....
a) se justifica porque o tamanho do telescópio determina a sua massa, enquanto seu pequeno peso decorre da falta de ação da aceleração da gravidade.
b) se justifica ao verificar que a inércia do telescópio
é grande comparada à dele próprio, e que o peso do
telescópio é pequeno porque a atração gravitacional
criada por sua massa era pequena.
c) não se justifica, porque a avaliação da massa e do
peso de objetos em órbita tem por base as leis de
Kepler, que não se aplicam a satélites artificiais.
x d) não se justifica, porque a força peso é a força
exercida pela gravidade terrestre, nesse caso, sobre
o telescópio, e é a responsável por manter o próprio
telescópio em órbita.
e) não se justifica, pois a ação da força peso implica a
ação de uma força de reação contrária, que não existe
naquele ambiente. A massa do telescópio poderia ser
avaliada simplesmente pelo seu volume.
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
169
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Experimente a Física no dia a dia
Simulando as fases da Lua
Dizem que a Lua influencia os poetas, as marés, os partos, o humor, e até mesmo quanto crescerão seus cabelos dependendo da fase
em que o corte for realizado. Dos itens citados, a Física estuda apenas
as influências sobre as marés, que variam conforme a posição da Lua
e do Sol, em relacão à Terra.
Fotografia da
Lua tirada pela
Estação Espacial
Internacional em
Nesse experimento vamos estudar as fases da Lua, um fenômeno que podemos mensalmente observar no céu.
2015.
Materiais
•
•
•
•
2mesas
! lanterna
4 cadeiras
1 copo
•
•
1 bola branca (15 cm)
alguns livros
Passo a passo
Deixe a bola apoiada sobre o copo, em uma
das mesas, no centro da sala.
• Apoie a lanterna sobre os livros em outra
mesa, como mostra a figura ao lado.
•
Nessa simulação, a lanterna, a bola e os
alunos representam, respectivamente, o
Sol, a Lua e os observadores na Terra.
Esquema de como devem ficar os objetos envolvidos no experimento.
• Observe a localização dos objetos na figura. Os alunos devem ficar sentados em uma posição em que seja possível
manter os olhos à mesma altura em que está a bola, a cerca
de 1 metro dela (Figura 1).
•
Escreva e desenhe o que você está vendo e registre as posições do Sol, da Lua e da Terra. Troque informações com
os outros três colegas sobre as imagens que cada um está
vendo.
• Agora, cada aluno deve trocar de posição no sentido horário, colocando-se na cadeira adjacente (Figura 2). Faça esse
Figura 1·
movimento até chegar à posição inicial. Após cada troca,
desenhe e escreva o que você está vendo e registre as posições do Sol, da Lua e da Terra.
aluno D
Se necessário, faça ajustes para modificar a altura da bola e a da
lanterna com outros objetos disponíveis na sala. Solicite a intervenção do professor em caso de divergências.
alunoB
Responda
Escreva
nocademo
aluno A
1. Como você explica a mudança na aparência da Lua?
Figura 2.
2. Existe uma limitação nesse modelo que acabamos de construir. Discuta essa limitação com base no desenho do
sistema Sol-Terra-Lua como você conhece.
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.
170
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Na tentativa de compreender as forças de interação a distância, desenvolveu-se
o conceito de campo gravitacional.
A ideia de campo de força gravitacional parte do seguinte princípio : todo
corpo de massa m, origina no espaço ao seu redor um campo de força, de tal
forma que qualquer outro corpo de massa m2 colocado nesse espaço sofrerá
ação de m 1 .
Considere que um corpo de massa m, atribui um potencial
gravitacional a todo ponto do espaço ao seu redor. O campo
gravitacional g é um campo vetorial que se manifesta por
-
-- -- ---- -- ·
meio da ação da força gravitacional F nos corpos aí colocados.
g
..
''
F
,
;:_o---~..
t:
\ mz
1
:1.
~
~
''
-
J
Portanto, para um corpo de massa m2 , a intensidade de F9 será:
~
m 1m 2
F = G--
1
__J
d2
g
Se considerarmos esse raciocínio para a Terra, teremos no espaço à sua volta
o campo gravitacional terrest re. Para cada ponto desse campo é possível associar
um vetor g (vetor campo gravitacional), cuja direção é radial e cujo sentido é para
o centro da Terra.
Terra
Note que no ponto onde está o corpo de massa m existe um
vetor campo gra~tacional com mesma direção e sentido de F9 e
intensidade g
m
-- .. -
J.-o
--··
---- g
= ..J!..
m
~ Intensidade do campo gravitacional
No esquema abaixo, temos a representação da Terra, de massa M , e uma
partícula de massa m a uma distância h da superfície da Terra.
M ',
~
-
---- --- --- ---
·, m
--
~
R: raio da Terra
h: distância da partícula à superfície da Terra
d = R + h: distância da partícula ao centro da Terra
Nesse caso, a intensidade da força de atração gravitacional, Fg , que age na
partícula, é:
F
g
=
G Mm ==> F
d2
g
=
G Mm
(R
+ h)z
Se desconsiderarmos o movimento de rotação da Terra e desprezarmos a
ação do Sol e de outros corpos celestes, teremos F9 = P = mg (a força de atração
gravitacional é o próprio peso do corpo):
m = G Mm
(R + h)2
g
~
L
- G
g-
(R
M
+ h)2
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
171
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
ProfeiSOr, os comentários dess.3 seção encontram-se
no Caderno de orientações no final deste volume.
Nessa relação matemática, a intensidade do campo gravitacional, ou seja,
da aceleração da gravidade, depende da distância h da partícula à superfície da
Terra, do raio R e da massa M da Terra.
Desprezado o movimento de rotação da Terra, podemos considerar, para
os pontos muito próximos da superfície, que o campo gravitacional tem va lor
constante g0 dado por:
Astronauta Luca Parmitano
a bordo da Estação Espacial
Internacional (2013).
O que acontece com o campo
e a força gravitacional que
atuam sobre um astronauta
e os objetos que estão no
interior da Estação Espacial
Internacional?
A rotação terrestre influencia o campo gravitacional da superfície de modo que,
à mesma longitude, seu valor é mínimo no equador (latitude Oº) e máximo nos
polos (latitude 90º). Veja, a seguir, os valores do campo gravitacional da superfície
em função da latitude:
Variação da aceleração da gravidade com a latitude do lugar na superfície da Terra
Latitude
Oº
10º
20°
30º
40º
45°
50º
60º
70º
80º
90º
g (rn/s2)
9,7803
9,7819
9,7864
9,7932
9,8017
9,8066
9,8107
9,8191
9,8260
9,8305
9,832 1
Fonte: RESNICK, Robert; HALLIDAY, David. Ffsica 1: Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 1973.
Essas variações, embora pequenas, ocorrem basicamente devido ao fato de
a Terra apresentar diferentes raios (pois ela não é perfeitamente esférica), quando
consideramos o eixo de rotação.
,,. Exercícios
resolvidos
6, Vamos admitir que a Terra seja um corpo esférico e
homogêneo (densidade constante em todos os seus
pontos), com raio R = 6,37 · 106 me massa M =
= 5,98 · 1024 kg. Diante dessas condições, desprezando os efeitos da rotação da Terra e com G =
= 6,67 · 10- 11 N · m 2/kg2 , determine:
a) a aceleração da gravidade em um pontoP localizado
nas proximidades da superfície terrestre;
b) a aceleração da gravidade em um pontoP localizado
a 120 km da superfície terrestre.
Resolução
a) Se o ponto P está na proximidade da superfície terrestre, h = O.
go =
R2
'
~=
g0
(6,37 · 106)2
6,~:.~;)~8.
10- 11 . 1024 . 10-12
= 9,83 m/s2
b) Se o ponto P está a 120 km da superfície terrestre,
então:
172
=
120km = 0,12 · 106 m
Mm
g = G (R + h)2 ~
~g = 6,67· 10-11 •
~
5 98. 1024
'
[(6,37 + 0,12) · 106]2
~
g = 9,47 m/s2
Considere que a aceleração da gravidade próximo
da superfície da Terra é g = 9,81 m/s 2, sua massa é
Me o raio médio, R. Determine a aceleração da gravidade na superfície de um planeta P, sabendo que a
massa de P é 3M e o seu raio médio é 3R.
Resolução
Próximo da superfície do planeta P a aceleração da
gravidade é gP.
GM
= 6 67 . 10-11. 5,98. 1024
go
h
3M
1
gp = G (3R)2 =
M
3GR2
A aceleração da gravidade próximo da superfície da
Terra é G ..M..._
R2
1
1
gp = 3 g = 3
. 9,81
g., = 3,27 m/s2
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
17. O que é um campo gravitacional e como o percebemos?
Resposta no final do li'llm
18. O campo gravitacional é maior no equador ou nos polos? Se a Terra não girasse mais em tomo de seu eixo,
o campo gravitacional aumentaria ou diminuiria?
Resposta no final do livro.
19. Determine a aceleração da gravidade próximo da
superfície lunar. Considere a Lua como uma esfera homogênea de raio R = 1,74 · 106 me massa
M = 7,3 · 10 kg.
Dado: G = 6,67 · 10- 11 N · m 2 / kg2 •
20. A que distância h da superfície da Terra a aceleração da gravidade vale um terço do valor que ela tem
próximo da superfície terrestre? Considere o raio da
Terra 6400 km, despreze os efeitos da rotação e admita que ela é um corpo homogêneo e esférico.
46/lSkm
21 . Calcule a força gravitacional entre a Terra e o Sol.
22
1,61
mls'
Dados: massa da Terra = 6 · lü24 kg, massa do Sol =
= 2 · 1030 kg, distância da Terra ao Sol = 1,5 · 1011 m,
constante de gravitação= 6 · 10- 11 N · m 2/ kg2 .
3,2 · 10" N
A vida humana atualmente está direta ou indiretamente ligada aos satélites
artificiais. Considere, por exemplo, o ato de ligar uma televisão, receber notícias
sobre as condições climáticas, acessar a internet etc.
O lançamento dos satélites em órbita ao redor da Terra é uma conquista
recente, mas o fundamento teórico de seu movimento já havia sido estudado
por Newton.
Os foguetes espaciais são projetados para levar esses satélites a uma distância superior a 200 km, para que os efeitos da atmosfera não interfiram no
seu movimento.
Satélite artificial orbitando a Terra.
~ Corpos em órbita
Como seria a vida da maioria
No esquema ao lado, temos dois
corpos, de massa M e m, com M muito
maior quem.
O corpo m gira em órbita circular
ao redor do corpo M e as forças de
interação estão representadas por
F9 e -F9 . Sendo F9 uma força cen trípeta, podemos determinar sua
intensidade partindo da lei da gravitação universal.
dos satélites artificiais?
F
g
da humanidade sem o uso
Professor, os comentários dessa seção
encontram-se no Caderno de orientações
no final deste volunw.
~ G Mm
=>ma ~ G Mm =>m.!t~ G Mm =>v' ~ G M
d
d
d
d
d
2
cp
2
2
cc> ~
~
v~
~GM
d
:
Analisando a relação matemática obtida, percebemos que a velocidade do
corpo que está em órbita circular não depende de sua massa m, e sim da massa
Me do ra io da órbita d.
Falar dos corpos em órbita em torno da Terra nos faz lembrar das imagens de
astronautas "flutuando" dent ro de naves espacíais. O que acontece no caso do
astronauta, por exemplo, é que ele, a nave e os objetos em seu interior "caem" em
órbita em torno da Terra. Para colocar o corpo em órbita, é precíso calcular a velocídade tangencial correta para determinada altura. Nesse caso, a força da gravidade
muda somente a direção dessa velocidade de tal forma que a nave adquire um
movimento circular uniforme. Se a nave baixa sua altitude, os astronautas corrigem
a órbita ejetando os motores para ganhar mais velocídade.
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
173
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Velocidade de escape
Para que um corpo, lançado da superfície terrestre, se livre da atração da
Terra, é necessária uma velocidade mínima de lançamento. Essa velocidade, também chamada de velocidade de escape v. ou de fuga, é a velocidade mínima
na superfície da Terra para que o corpo alcance o infinito com velocidade nula.
Assim, desprezada a resistência do ar, enquanto o corpo se move na atmosfera,
podemos aplicar a conservação da energia mecânica. Esse tema será traba lhado
na próxima Unidade.
No momento do lançamento, o sistema planeta-corpo apresenta:
M
(infinito)
------~!© --;---.--- ------------------------0
V= O
M = massa do planeta
m = mass,a do corpo
d
A energia mecânica do corpo de massa m é dada pela soma da energia responsável pelo movimento do corpo (energia cinética) com a energia adqu irida
pelo seu afastamento em relação ao centro da Terra (energ ia potencial):
•
.a c1netica:
. . . E
Energ1
•
Energia potencial: EP
•
.
• .
Energia mecarnca: Em(lançamento)
e
= -21 mv•i
= -G
Mdm
m~
=2 -
GMm
- d-
Em um pont o bastante afastado do planeta (infinito), o corpo para, mas não
retorna . Adotando esse local como ponto de referência, as energias serão:
Ee
=Oe
Ep
= O (pois o valor de d é muito grande)
::::> Em(infinito)
=O
Para o sistema planeta-corpo conservativo, teremos:
Em(lançamento)
mv: _ GM m
2
d
~ O=> v'• ~
= Em(infinito)
~
2GM =>
d
,;
V- ~
.
J2GM
d
J
Note que, pela expressão obtida, o valor da velocidade de escape não depende
da massa do corpo a ser lançado.
Exercício resolvido
8 Considere que a Lua descreve órbita circular ao redor da Terra e que G = 6, 7 · 10-u N · m2/ kg2 . Determine a velocidade
média da Lua, sabendo que d = 3,8 · 108 m é o raio médio dessa órbita e M = 6,0 · 1024 kg é a massa aproximada
da Terra.
Resolução
V=
JG Md =
6 7. 10-11 . 6,0. 1024
'
3,8 · 108
6,7. 6,0 . 10- 11 . 1024 . 10- s
3,8
V= 1000 m/S = 3600km/h
174
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
22. Criada em 1989 no município de Alcântara, a 408 km
de São Luís, capital do Maranhão, a segunda base de
lançamentos de foguetes da Força Aérea Brasileira foi
denominada de Centro de Lançamento de Alcântara
(CLA). O local escolhido para instalar a base é próximo da linha do equador. Esse fato é importante porque
a velocidade de rotação da Terra, na altura da linha do
equador, auxilia o impulso dos lançadores, favorecendo a economia do combustível propelente utilizado
nos foguetes. Além disso, a península de Alcântara
possibilita lançamentos em todos os tipos de órbita.
Seus principais propósitos, atualmente, estão relacionados à realização de lançamentos de satélites e a sediar os testes do Veículo Lançador de Satélites (VLS).
O primeiro lançamento feito nessa base ocorreu em
1989 e certamente os responsáveis pelo projeto de
lançamento tinham conhecimento de que a velocidade orbital de um satélite, girando ao redor da Terra,
depende apenas das grandezas:
a) raio da órbita e massa do Sol.
xb) raio da órbita e massa da Terra.
c) raio da órbita e massa do satélite.
d)massa do satélite e massa da Terra.
e) massa da Terra, somente.
Escreva
no caderno
23. Durante um treinamento, um astronauta é colocado no interior de uma "cabine" que simula as condições de uma nave espacial em órbita ao redor da
Terra. Para esse astronauta, os objetos que estão lá
dentro parecem flutuar. Como você explica esse fenômeno? A nave, os objetos e o astronauta estão, todos, em "queda" com a
mesma aceleração.
24. O projeto para lançar um satélite, destinado ao serviço de telecomunicações, prevê a sua permanência
em órbita circular ao redor da Terra, a altura H da
sua superfície. Nesse caso, sendo G a constante de
gravitação universal, R e M, respectivamente, o raio
e a massa da Terra, determine a velocidade orbital e
o período do movimento do satélite.
25. Um satélite de telecomunicações permanece em
uma órbita circular ao redor da Terra e a altura
H = 3 622 km da sua superfície. Considere, em valores aproximados, que a constante de gravitação
universal é G = 6,0 · 10-11 N · m 2/ kg2, o raio e a
massa da Terra, respectivamente, R = 6 378 km e
M = 6 · 1024 kg. Calcule: a) v = 6 ·10' m/s
b) t = 10' s
a) a velocidade do satélite;
b)o tempo (em segundos) necessário para o satélite
completar urna volta em sua órbita. (Considere n = 3.)
Pense além
A Lua e as técnicas agrícolas
24. velocidade 01bital =
GM
R+ H
'ado =ln J (R +H)l
-
pe11
GM
Há milhares de anos, a observação de corpos celestes fascina o ser
humano. Desde a Antiguidade os povos observam o céu e relacionam
)
) ) ) )
seus movimentos com os eventos terrestres. Naquele tempo, além de
~i~~~~contemplação, o céu teve função de calendário, passando a indicar,
entre outras coisas, a melhor época de plantio e colheita da lavoura.
Entre os corpos celestes, um dos que mais chamam a atenção é a Lua,
( ( ( (
um astro do qual conseguimos ver alguns detalhes, mesmo a olho nu. Ela
tem influência direta sobre a Terra, seja por ef eito gravitacional, seja pela
Fases da Lua.
iluminação da noite Gá que é capaz de ref letir a luz do Sol). Hoje sabemos
que ao longo de um mês, mais ou menos, a Lua viaja ao redor da Terra e passa por um ciclo de fases: lua nova,
quarto crescente, lua cheia e quarto minguante.
A Lua é também envolta por uma mística esotérica e pelo conhecimento popular. Por exemplo, ela sempre
é associada ao tema da solidão, à beleza e aos ciclos de nascimento e morte. Existe um conhecimento passado
de pais para f ilhos que ensina a época de plant io ou de colheita com relação às fases da Lua.
s~c,,(,
Atividade
.
:
Escreva
no caderno
1. Faça uma coleta de dados sobre a influência da Lua na lavoura por meio de pesquisa e entrevistas com pessoas
próximas a você. Em seguida, escreva um texto em que você deve expressar a sua opinião sobre esse assunto com
base nos dados coletados.
O objetivo da atividade não é contrapor o conheàmento científico ao popular, mas apontar que o científico requer hipóteses.
testes e argumentos. Incentive os alunos a fazer um uabalho de campo em que eles mesmos testem a germinação de sementes
em dias diferentes.
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
175
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Física no cinema
COLEÇÃO STANLEY KUBRICK
•nA111Yoa11
2001: uma odisseia no espaço
Este clássico de ficção científica é considerado uma das principais obras
cinematográficas produzidas no século XX.
Arthur Clarke (roteiro e autor de livro homônimo) e Stanley Kubrick (diretor) fazem uso da imaginação e nos possibilitam "viajar", com os recursos
do cinema, desde a pré-história, quando supostamente um monólito negro
emitiria, de maneira misteriosa, sinais de outra civi lização, o que causaria
influências no planeta Terra.
No século XXI (passados 4 milhões de anos), com o propósito de investigar o
monólito, uma equipe de astronautas é enviada a Júpiter, na nave Discovery,
cujo controle é totalmente realizado pelo computador HAL 9000. Durante a
viagem ocorre algo imprevisível com HAL e ele tenta eliminar os tripulantes,
na tentativa de assumir o controle da nave.
2001:
uma odiu~~-= espaço
Título original: 2001: A Space Odissey
Gênero: ficção científica
Duração: 149 minutos
Ano de lançament o (EUA): 1968
Direção: Stanley Kubrick
...
.
.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
.'
Escreva
no caderno
..
Professor. as respostas dessa seção encontram-se no Caderno de
orienta~ões no final deste volume.
Embora o filme seja fruto de ficção, é possível explorarmos nele algumas situações interessantes nas quais podemos identificar conhecimentos desenvolvidos
pela Física, utilizados na criação de determinadas cenas.
Após ter assistido ao filme com seus colegas, voltem aos minutos iniciais da
projeção e observem atentamente as cenas citadas a seguir.
1. Entre os minutos 21 e 22, vemos a caneta flutuar. Por que isso ocorre?
2. Entre os minutos 22 e 23, uma tripulante (de branco) caminha de forma estranha.
Observem os sapatos usados por ela. Há algo escrito neles? Teriam eles alguma
função? Essa função estaria relacionada à gravidade?
3. Entre os minutos 22 e 24, observem os dois momentos descritos a seguir e identifiquem o referencial considerado para produzi-los.
• no primeiro, o movimento de aproximação da estação e do ônibus espacial;
• no segundo, o movimento da estação e o céu estrelado.
4. Entre os minutos 24 e 25, observamos pessoas de cabeça para baixo. É possível
explicar isso?
5. Entre os minutos 33 e 34, reparem se os motores da nave estão ligados e deem
uma explicação para isso.
.••
6. Façam uma pesquisa e ampliem seus conhecimentos sobre as características e a
utilização dos seguintes instrumentos espaciais: estação, satélite, foguete, nave e
ônibus.
7. Individualmente, reflita sobre o texto a seguir e comente-o.
No ano 1969, o ser humano finalmente pôs os pés na Lua, enchendo de esperanças a imaginação humana com relação às conquistas espaciais.
Este filme, produzido há quase 50 anos, projetava para o início do século XXI
(2001) um progresso tecnológico que possibilitaria conquistas espaciais incríveis. Mas o ano 2001 já passou e as conquistas do ser humano nessa área do
conhecimento não atingiram as metas traçadas pela ficção. Porém, são inegáveis os avanços tecnológicos e as conquistas que têm sido obtidos na exploração de outros planetas, especialmente por meio das sondas modernas.
E o ser humano, chegará a outros planetas? Você arriscaria uma previsão? Exercite sua imaginação e escreva um texto que exponha a sua opinião sobre esse tema.
...
..·..
177
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
A teoria da gravitação e a Física Moderna
Embora a teoria da gravitação elaborada por Albert Einstein (1879-1955) exija uma análise mais sofisticada,
podemos, neste momento, fazer algumas considerações sobre ela por meio de analogias com a teoria da
gravitação desenvolvida por Newton.
Aproximadamente dois sécu los separam o contexto histórico e o desenvolvimento do conhecímento
científico vivido por Newton e Einstein . Portanto, é importante considerar a relevância dos trabalhos desenvolvidos por eles nos seus respectivos momentos históricos.
Para Newton, a origem da gravitação é uma força fundamental da Natureza que age atraindo massas.
Caso um corpo mude de posição em relação a outro, a força gravitacíonal entre eles passa a ter outro valor,
instantaneamente. Admitir essa ideia significa dizer que tal fato ocorre com uma velocídade infinita. Essa conclusão é incoerente com um dos postulados da Teoria da Relatividade, que af irma que existe um limite para a
velocidade de interação entre corpos (definido pelo valor da velocídade da luz, cerca de 300 000 km/s no vácuo).
Para entender a concepção de gravitação proposta por Einstein, apresentada na Teoria da Relatividade
geral, precisamos compreender uma nova maneira de " olhar " o espaço. Segundo Einstein, as grandezas
espaço e tempo deixam de ser consideradas independentes, e a gravitação é entendida como uma propriedade
geométrica do espaço-tempo.
Nesse modelo geométrico de gravitação, qualquer corpo com massa causa uma deformação na região do
espaço ao seu redor, provocando o surgimento de "caminhos curvos ", por onde os corpos menores seguiriam
em direção ao corpo maior.
Para ilustrar essa ideia, considere que quatro pessoas
segurem firmemente as pontas de um lençol, mantendo-o bem esticado. Se colocarmos uma bola no meio desse lençol, ela deformará o lençol ca usando uma espécie
de depressão ou vale. Quanto maior for a massa da bola,
maior será a deformação que ela causa no lençol. Se utilizarmos uma bolinha (pequena, se comparada com a bola
deformadora) e fizermos que ela role em direção à bola maior, veremos que a bolinha descreve um movimenRepresentação da distorção do espaço (lençol) causado pela
presença de massa (bolas de isopor).
to retilíneo. Mas assim que ela se aproxima da depressão
passa a descrever uma trajetória cu rva. Essa analogia representa o movimento de um planeta em torno de uma
estrela, por exemplo.
Podemos fazer uma leitura dessa cena de duas maneiras.
Segundo Newton, diríamos que a bolinha descreve trajetória curva por ser atraída pela bola de maior massa. Pela
concepção de Einstein, diríamos que a bolinha descreve
trajetó ria curva porque a superfície sobre a qual ela se
desloca é curva.
A Teoria da Relatividade Geral implicou outros desdobramentos e estudos, mas, segundo ela, as trajetórias
A gravitação pode ser descrita como uma alteração na
dos corpos passariam a acompanhar a deformação do
geometria do espaço-tempo pela presença de um corpo com
espaço-tempo produzida pelas massas que nele existem.
massa, a Terra, por exemplo. Outro corpo em órbita, como
a Lua, descreve uma t rajetória curva sobre o espaço-tempo.
Retomaremos esse assunto com mais detalhes ao estuRepresentação da Terra, da Lua e do espaço. A imagem está
darmos alguns tópicos da Física Moderna, no volume 3.
sem escala, sem proporção e em cores-fantasia.
Responda
Esaeva
nocademo
1. Caracterize as teorias de Newton e de Einstein e redija um texto apresentando os principais pontos de cada uma
delas.
178
Segundo Newton, a origem da gra\!Ítação é uma !orça fundamental aa Natureza que age atraindo massas e, caso a posiçao de um corpo em relação a outro se
altere, a força gravitacional entre eles também se altera instantaneamente. Segundo Einstein, a gravitação é entendida como uma propriedade geométrica do
a -tem e essas randezas {es
e tem o) não são consideradas inde ndentes. Nesse modelo, uai uer cor com massa causa deforma •o na re ião
ao seu r or e, por isso, os corpos menores vão em direção aos maiores.
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· • comp 1ement ares
Exerc1c1os
Escreva
no cadern
1. Um objeto está sujeito a um sistema de três forças,
F1 , F2 e F3 , concorrentes em um ponto. Sabendo que
F1 = 5 N e F2 = 20 N, com relação à intensidade de
F3 , expresse por meio de uma desigualdade a condição
para que haja equilfürio. 15 N.;; JF,I.;; 25N
2. No Brasil, é obrigatório o uso do cinto de segurança.
Numa freada brusca, a tendência do corpo do motorista ou dos passageiros é permanecer em movimento por:
a) ressonância.
x b) inércia.
c) ação e reação.
d)acrito.
e) gravitação.
Analisando a situação, podemos afirmar que:
I. A inversão do sentido do movimento da bola, após
bater no rosto, ocorre porque a força aplicada pelo rosto na bola age por um tempo maior do que a força aplicada pela bola no rosto.
II. A força aplicada pelo rosto na bola é maior do que
a força aplicada pela bola no rosto porque, no momento do choque, a bola sofre deformação maior do
que o rosto.
III. A força aplicada pela bola no rosto e a força aplicada pelo rosto na bola não se anulam.
N. A força aplicada pela bola no rosto e a força aplicada pelo rosto na bola têm a mesma direção, mesma
intensidade e sentidos contrários.
As afirmações Ili e IV estão corretas.
3. Na figura está representado o gráfico velocidade
x
tempo de um objeto de 8,0 kg de massa, que se movimenta em linha reta. Determine a intensidade da
força resultante que atua sobre o corpo no intervalo
de 2,0 a 6,0 s. ze,o
6. Uma balança de braços é usada para determinar a
massa de um pacote, num local onde a aceleração da
gravidade é 10 m/s 2 • Para isso, foram usadas pequenas peças de peso 1 N, cada uma. Em um dos pratos
da balança foi colocado o pacote e no outro, 32 peças
para atingir o equilíbrio.
v (m/ s)
20
10
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t(s)
4. Duas forças perpendiculares são aplicadas em uma
caixa de massa 20 kg.
Se F1 = 60 N e F2 = 80 N, determine:
a) a força resultante aplicada na caixa; 100 N
b) a aceleração adquirida por ela; 5.omls'
c) a velocidade da caixa após 10 s aplicando a força.
50m/s
5. Em uma partida de beisebol, após errar a tacada, o
jogador sentiu a bola bater violentamente no seu
rosto.
Jogador de beise bol.
Balança de pratos.
a) Determine a massa de cada peça. o, 1 kg
b) Qual a massa do pacote? 3,2 kg
c) Determine o peso do pacote na Terra. 32 N
d) Se o pacote for levado para a Lua, quantas peças
serão necessárias para equilibrar a balança? 32
7. Cláudio resolveu testar, no elevador do prédio em
que mora, as leis físicas que aprendeu na aula. Para
isso, pegou uma balança digital, em sua casa, e colocou-a no piso do elevador. Considere a massa de
Cláudio 60 kg, a aceleração da gravidade no local
10 m/ s2 e que ele começou o experimento no térreo.
Ao subir na balança, quais valores Cláudio observou
nos seguintes casos:
a) o elevador parado; 600 N
b) o elevador subindo em movimento uniforme; 600 N
c) o elevador descendo em movimento retardado, cujo
módulo da aceleração é 2,0 m/s2 ; no N
d) o elevador descendo em movimento acelerado, com
aceleração de 2 m/s2 • 480 N
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
179
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
comp1ement ares
Esaeva
nocadern
8. No esquema a seguir, a polia, o dinamômetro e o fio
que interliga os corpos A e B são considerados ideais.
ll. Em um corpo em queda livre, próximo da Terra, a
intensidade da resistência do ar aumentará à medida
que a velocidade aumenta. v
III. Um objeto caiu de uma aeronave durante um voo
na direção vertical ao chão. Assim, nesse objeto agem
exclusivamente a força peso e a força normal. F
12. (UEL-PR) Um bloco de peso 20 N está em repouso so-
bre um plano inclinado de 30º.
Sabendo queA e B têm pesos PA = 40 N e P 8 = 40 N,
a) represente as forças que agem nos corpos A eB eno
dinamômetro. Resposta no linal do livro.
b) determine a indicação obtida no dinamômetro.
30º
40 N
9. Nas condições do exercido anterior, com A e B pesando PA = 4 N e P8 = 16 N, considere que os corpos
são abandonados num local onde g = 10 m/s2 •
Qual será a indicação obtida no dinamômetro durante
o movimento dos corpos? 6,4 N
1O. (FEI-SP) Um dinamômetro possui duas extremidades
presas a duas cordas.
Duas pessoas puxam as cordas na mesma direção e
sentidos opostos, com forças de mesma intensidade
F = lOON.
Se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o
plano é µ = 0,70, a força de atrito atuante no bloco
em módulo será:
0
x a) menor que 14 N
b) 7,0 N
d)20N
e) 12N
c) 14 N
13. O bloco da figura abaixo repousa sobre uma superfície
horizontal e plana e está sujeito à ação de duas forças:
F, de módulo 12 N, e da força de atrito F.,· Ao aplicar
outra força F', de módulo 4 N e sentido contrário à força F, a força resultante sobre o bloco será:
a) 12 N
b)4N
xd)nula
e) 16N
c) 8 N
Quanto marcará o dinamômetro?
a)200 N
b)ON
14. Considere um bloco de massa 2 kg em repouso so-
bre um plano inclinado de 30º, como mostra a figura
abaixo.
xc) lOON
d)SON
e)400N
11. Considere as seguintes afirmações citadas a seguir e
julgue-as quanto a sua veracidade.
I. Em um corpo em queda livre, próximo da Terra,
a intensidade da resistência do ar diminui à medida
que a velocidade aumenta. F
180
Se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano
é O, 70, determine a força normal nessas condições.
14 N
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
15. Um veículo desloca-se com velocidad e de 10 m/s
em uma curva circular de raio 100 m. Determine a
tangente de inclinação do plano da pista com a horizontal, para que o veículo possa efetuar a curva
independentemente d a força de atrito. Considere
g = 10 rn/s2 • tg9=0,1
16. (Fatec-SP) A velocidade máxima de um carro na depressão é v = ~4gR, em que R é o raio da curvatura
e g, a aceleração local da gravidade. A aceleração
centrípeta do carro no ponto mais baixo é:
a)g
X
b)2g
d)4g
e)Sg
c) 3g
17. O período de translação de Júpiter corresponde a
12 anos terrestres, aproximadamente. Admita que
o raio médio de órbita de J úpiter seja um quarto do
raio médio de órbita de Urano. Calcule em anos terrestres, aproximadamente, o período de translação
de Urano. Aproximadamente 96 anos terrestres.
Ano Internacional da Astronomia. A celebração
da Astronomia em 2009 coincidiu com o 400º aniversário dos feitos realizados por dois grandes pesquisadores: Galileu, por ter iniciado as observações
astronômicas feitas com uma luneta construída por
ele mesmo, e Kepler, por ter formulado, em 1609, a
lei das órbitas e a lei das áreas e, algum tempo depois,
a lei dos períodos.
Verifique se as afirmações (0 e (TI) estão corretas.
I. Com base nas leis de Kepler, podemos afirmar que
o segmento de reta que une cada planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos diferentes.
II. A Astronomia é a ciência que estuda os corpos
celestes, seus fenômenos, movimentos, evolução e
constituição. De acordo com a mecânica de Newton,
os movimentos dos corpos celestes são explicados e
calculados pela Lei da Gravitação Universal. A respeito dela, podemos afirmar que a unidade de medida da
constante G, no Sistema Internacionali. é m/ s2 •
As duas anrmações são incorretas.
20. Sabendo que a distância da Terra à Lua é 380 · 103 lan
e a massa da Lua é 81 vezes menor que a massa da Ter-
ra, determine a que distância do centro da Terra está
situado o ponto no qual o campo gravitacional é nulo.
342 · 103 km
21 . Atualmente, a importância dos satélites artificiais,
Júpiter.
18. Um satélite A está a uma distância R do centro de
massa de um planeta e seu período de rotação é de
1 mês. Um outro satélite B está a uma distância 4R
do centro de massa do mesmo planeta. O período de
rotação do satélite B é:
a) 1 mês
b) 2 meses
xd) 8 meses
e) 16 meses
c) 4 meses
19. A Organização das Nações Unidas (ONU), na 62!
Assembleia Geral, declarou o ano de 2009 como o
em diferentes áreas da atividade humana, é indiscutível. A área de telecomunicações, por exemplo,
é uma das que se beneficiam da tecnologia desenvolvida para utilização de satélites. Auxiliados por
foguetes, os satélites são colocados em órbitas geoestacionárias, de tal forma que a distância (altura)
que os separa da Terra é estrategicamente calculada, permanecendo sobre o mesmo ponto da superfície terrestre. Se considerarmos o caso de dois satélites colocados em órbitas geoestacionárias, eles
necessariamente d everão:
a) permanecer num plano onde esteja contido o círculo do equador terrestre. Além disso, permanecer
na mesma distância da superfície da Terra, com aproximadamente a mesma massa.
b) ter os períodos com aproximadamente 24 horas,
mantendo a mesma massa.
xc) permanecer num plano onde esteja contido o circulo do equador terrestre. Além disso, permanecer na
mesma distância da superfície da Terra, mantendo o
mesmo período com aproximadamente 24 horas.
d)perrnanecer na mesma distância da superfície da
Terra, com a mesma massa, mas com períodos independ entes.
e) permancer de acordo com as alternativas a e d.
Capítulo 11 • As leis da Gravitação
181
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Os conceitos de Física se aplicam em muitas situações de nossas atividades diárias como, por
exemplo, ao pisarmos nos freios de um carro; ao andarmos a pé ou de bicicleta; na cozinha, ao
regularmos a temperatura do forno; ao ouvirmos música.
Vamos considerar as três leis de Newton aplicadas em uma partida de futebol. De acordo
com a primeira lei de Newton, a força é o agente físico necessário para que um corpo altere
a sua condição de movimento ou repouso (desde que a resu ltante das forças seja não nula}. Nas
situações em que o goleiro arremessa a bola ou quando um jogador a chuta, uma força deve estar
envolvida para que a bola entre em movimento.
Outra força que é um personagem comum é a força da gravidade, que atrai a bola e os
jogadores para o centro da Terra.
A segunda lei de Newton permite que o jogador calcule intuit ivamente qual a força q ue
ele deve aplicar para obter um determinado resultado: caso seja desejado um lançamento de
uma lateral para outra do campo é preciso um chute mais forte. Já para real izar um passe para
outro jogador bem próximo, o chute deve ser feito de forma bem suave, apenas um leve toque
na bola.
A terceira lei de Newton aparece em diversos momentos de um jogo de futebol, como por
exemplo, quando um jogador faz força contra o solo para saltar ou cabeceá-la, o solo empurra-o
para cima.
Final da Copa do Mundo de Futebol masculino de 2014, no estádio do Maracanã (RJ). Em uma partida de f utebol
podemos observar a aplicação das três leis de Newton.
182
Unidade 4 • Força e as leis de movimento da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
A partir dos estudos desenvolvidos
nesta Unidade teremos a oportunidade
de analisar e entender vários fenômenos
e situações que nos desafiam no dia a
dia. Analise, por exemplo, o caso de uma
balsa rudimentar que está encostada
à margem de um rio, sem estar presa a
nada. Um carro sobre essa balsa começa
a se locomover para sair dela.
> • Nessas condições,
será que a balsa
permanecerá encostada à margem?
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Profe5sor, os comentários da que5tãa da abertura de Unidade encontram-se no Caderno de orientações no final de5te volume.
,,s.,[email protected]·[email protected],[email protected]:~1ea___________
A necessidade de sobrevivência, o poder de transformação e a capacidade de
realização do ser humano levaram-no a desenvolver t ecnologias para explorar,
de diferentes maneiras, os vários tipos de energia.
A palavra energia é muito usada em nosso cotidiano, mas não é fáci l defini-la
como uma grandeza física . E talvez seja o conceito mais importante da Física,
sendo aplicado em diversas áreas.
Pinguins nas geleiras do
Polo Sul, Antártida,
se preparando para saltar
na água (fotografia de 2012).
A energia cinética está
relacionada à velocidade,
enquanto a energia
potencial está relacionada à
altura. O que podemos dizer
sobre a energia cinética e
potencial do pinguim que
está saltando?
Professor, os comentários de5sa se,;ão encontram-se no Caderno de orientações no llnal
deste volume.
Instalação residencial de um painel solar (também chamado de coletor solar) para aquecimento
de água.
Observe a fotografia ao lado,
em que se vê uma mulher praticando canyoning (rapei em cachoeira).
Considere duas situações:
Situação 1: Ela está parada a
uma altura h em relação ao solo.
Portanto, há uma energia associada à sua posição, conhecida como
energia potencial gravit acional.
Situação 2: Ela está descendo
em relação ao
com velocidade
solo. Como está em movimento,
associamos a ela uma energia de
v,
movimento, denominada energia
cinética.
Prática de rapei na cachoeira do
Jacaré em Brotas (SP).
184
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
A energia cinética de um corpo depende de sua massa m e de sua velocidade v . Anal isando essas grandezas, temos que, quanto maior for sua massa
ou quanto maior for sua velocidade, maior será a energia cinética.
Diferentemente da energia cinética, ligada ao movimento de um corpo, a
energia potencial é uma forma de energia armazenada. Por exemplo, no caso
da praticante de rapei que se encontra em repouso a uma altura h do solo, a
energia potencial gravitacional armazenada pode ser transformada em cinética,
bastando para isso que a mulher suba ou desça, usando a corda de segurança.
Para um corpo nas proximidades da Terra, a energia potencial gravitacional
depende também de t rês grandezas: da massa m, do campo gravitacional g do
corpo e de sua altura h em relaçào ao solo . A energia potencial gravitacional é
diretamente proporcional a essas grandezas: se elas aumentarem ou diminuírem,
a energia do corpo sofrerá uma variação proporcional.
Existe ainda outra forma de energia potencial ligada à deformação de alguns
corpos, principalmente em elásticos ou molas, chamada energia potencial
elástica. Nesse caso, a energia depende da confi guração do sistema massa-mola, descrito pela constant e elástica k da mola e pela deformação x que ela
venha a sofrer. Experimentalmente, podemos demonstrar que, quanto maior
a deformação da mola, maior será a energia pot encial elástica a que o corpo
está associado.
Vamos considerar uma mola presa, por uma ext remidade, a uma parede e,
pela outra, a um bloco de massa m. Três situações merecem nossa atenção:
Situação 1: A mola é mantida com o seu comprimento normal.
•
O corpo não possui energia cínética, pois não está em
movimento.
•
O corpo não possui energia potencial gravitacional, pois está
no mesmo nível do referencial.
•
O corpo não possui energia potencial elástica, pois a mola
mantém o seu comprimento normal.
Situação 2: A mola é distendida (deformada) e se mantém nessa posição.
•
O corpo não possui energia cinética, pois não está em
movimento.
•
O corpo não possui energia potencial gravitacional, pois está
no mesmo nível do referencial.
•
O corpo possui energia potencial elástica, pois pode vir a se
movimentar graças à energia acumulada pela mola.
Situação 3: O sistema é abandonado e o corpo entra em movimento.
•
O corpo possui energia cinética, pois está em movimento.
•
O corpo nào possui energia potencial gravitacional, pois está
no mesmo nível do referencial.
•
O corpo possui energia potencial elástica até a mola voltar
ao seu comprimento normal.
Capítulo 12 • Energia e trabalho
185
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Na Unidade anterior, analisamos fenômenos que envolvem o movimento e
suas causas, utilizando os princípios da Dinâmica . Há situações, porém, em que
esses princípios não são os mais indicados.
O esquema abaixo representa o trecho de uma montanha-russa . Imagine se
tivéssemos de determinar a velocidade do carrinho de massa m, ao atingir o
ponto D, sabendo que ele foi abandonado no ponto C.
I
I
,
,
1
1
'
I
I
'
No esquema, não consideramos a força de atrito, mas mesmo assim é possível
perceber a dificuldade em utilizar a 2il lei de Newton, pois, em cada ponto
ocupado pelo carrinho, a intensidade e a direção da força resultante passam por
variações. Isso exige outra forma de equacionar o movimento.
Para casos como esse, em que os corpos em movimento sofrem a ação de
forças cuja resultante vetorial varia a cada ponto, recorreremos aos conceit os
de energia e trabalho.
Já estudamos que a energia associada aos corpos pode variar. Essa variação
está associada à ideia de transferir ou transformar energia. Para medir essa
transformação ou tra nsf erência de energia, definiremos a grandeza trabalho
de uma força, que será representada por õ .
Exercícios resolvidos
1 Analise a veracidade das afirmações:
a) Um menino caminha em uma calçada com velocidade
constante; portanto, há energia cinética associada a ele.
b) Quando precisou atravessar a rua, ele aumentou suavelocidade; portanto, sua energia cinética também aumentou.
c) Quando chegou ao outro lado da rua, ele estava cansado
e parou. Nesse instante, sua energia cinética foi nula.
d) Após o descanso, ele voltou a caminhar com velocidade
constante em uma ladeira em aclive desde o ponto A. Ao chegar ao ponto B, conforme a imagem, podemos dizer que a
energia cinética associada ao menino aumentou e a energia
potencial gravitacional, em relação ao nível da rua, também.
a
rua
186
A
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Resolução
a)A energia cinética está associada ao movimento. Verdadeira.
b) Quanto maior a intensidade da velocidade, maior a energia cinética. Verdadeira.
c) Se não há movimento, não há energia cinética. Verdadeira.
d) Se a velocidade é constante, a energia cinética permanecerá constante. Porém, se a altura do menino em relação
ao nível inicial da rua aumentou, a energia potencial gravitacional também aumentou. Falsa.
Durante uma brincadeira, um garoto tenta derrubar uma lata com
uma pedra arremessada com o estilingue. Analise as afirmações feitas
a seguir e verifique se são verdadeiras ou falsas.
a) Quando o sistema está em equilíbrio, isto é, quando a borracha do
estilingue está com o seu comprimento normal, a energia potencial
elástica e a energia cinética associadas à pedra são nulas.
b) Quando a borracha do estilingue está distendida, a energia potencial elástica e a energia cinética associadas à pedra são nulas.
Resolução
a) Considerando que a pedra está em repouso em relação ao solo, a energia cinética é nula. Se a borracha do estilingue permanece no seu estado normal, então a energia potencial elástica é nula. Portanto, a afirmação é verdadeira.
b) Como a pedra está em repouso em relação ao solo, a energia cinética é nula. Se a borracha permanece distendida,
então a energia potencial não é nula. Portanto, a afirmação é falsa.
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
3. A energia cinética aumentará (E,= 9 · E..), e a ene,gia potencial continuará zero em relação ao solo.
1. Um jogador de basquete ergue sua bola a 1 m de altu-
ra em relação ao solo. Se o jogador erguesse essa bola
a uma altura de 2 m em relação ao solo, por quanto a
energia potencial da bola seria multiplicada? 2
2. Duas esferas são erguidas, simultaneamente, a uma
mesma altura em relação ao solo. Se uma das esferas
tem massa quatro vezes maior que a outra, qual a
relação entre suas energias potenciais? 4
3. Um ciclista move-se com energia cinética. Se ele pe-
dalar mais rápido, aumentando sua aceleração e sua
velocidade, o que ocorrerá com sua energia cinética?
E com sua energia potencial?
4 . (Uniube-MG) Um corpo colocado a certa altura em
relação ao solo possui energia potencial gravitacional.
Se o soltarmos, seu próprio peso coloca-o em movimento e, à medida que o corpo vai caindo, a:
conversam e Roberto diz que João adquiriu energia
cinética com o movimento do metrô. João, no entanto,
afirma que não houve variação em sua energia cinética.
Qual dos amigos está correto? Ambo!,, pois cada um se encontrava
em um ponto de referéncia distinto.
6. Uma mergulhadora sobe
por uma escada com
velocidade constante até
atingir um trampolim, no
topo, e para. Faz alguns
exerdcios de respiração e
deixa o seu corpo cair até
atingir a água.
nível da água
De acordo com o esquema e tomando como referência o nível da água, responda às perguntas:
a) Durante a subida, as energias cinética e potencial
associadas à mergulhadora aumentam ou diminuem?
A energia cinética é constante e a potencial aumenta.
x a) energia cinética aumenta.
b) energia cinética diminui.
c) energia cinética permanece constante.
d)energia potencial gravitacional aumenta.
e) energia potencial gravitacional permanece constante.
7. O arco e a flecha podem ser usados como exemplos
5. Roberto está na plataforma de uma estação de metrô,
despedindo-se de seu amigo João, sentado dentro de
um vagão que está partindo. Dias depois, os amigos
para a análise da energia potencial elástica. Descreva
uma situação com esses instrumentos, em que se possa
observar o conceito de energia potencial elástica.
b)Ao atingir o topo, que tipo de energia podemos
associar à mergulhadora? Potencial gravitacional.
c) Enquanto o corpo cai, o que ocorre com as energias
potencial e cinética associadas à mergulhadora?
A energia potencial diminui e a cinética aumenta.
A energia é pocencial elástica quando o fio está distendido e ~erá se
transformar em energia cinética da flecha caso o fio seja liberado.
Capítulo 12 • Energia e trabalho
187
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
O que é energia eólica?
A necessidade de buscar a Item ativas energéticas
menos poluentes, renováveis e que causem o menor impacto ambiental possível está diretamente relacionada com a
preservação das condições de vida no planeta Terra. O uso
da energia do vento não é novidade. O ser humano já se
beneficia dela há muito tempo ao usar velas para movimentar embarcações, e cata-ventos para movimentar moinhos e
acionar bombas hidráulicas, por exemplo. Atualmente, essa
fonte de energia tem recebido mais atenção e investimentos
para sua exploração em larga escala, principalmente em função
da escassez de fontes de energia não renováveis e do alto
custo da implantação de usinas hidrelétricas.
i
"'
Complexo eólico São Bento em São Bento do Norte,
RN (2015)
Como a energia eólica se t ransforma em energia elétrica'?
A energia do Sol é responsável pelo movimento das águas e dos ventos na natureza. O Sol aquece algumas
regiões do nosso planeta, enquanto outras esfriam, causando o deslocamento de ar q ue dá origem aos ventos.
O movimento dos ventos transporta calor e vapor de água, influenciando o clima.
A transformação da energia eólica em energia elétrica pode ser obtida por meio de aerogeradores.
Um aerogerador é, basicamente, um gerador
elétrico integrado ao eixo de um cata-vento
que pode ser instalado em terra ou mar. Há
hélice
gerador ""aerogeradores de baixa e de alta tensão. Os
de baixa tensão apresentam tamanho e peso
reduzidos se comparados aos de alta tensão.
Com aproximadamente 100 kg, o equipatorre
mento menor pode ser considerado um aeroAPROVEITAMENTO
gerador doméstico, pois a instalação pode ser
ARMAZENAMENTO
DIRETO
adaptada a habitações, microindústrias ou,
painel de
painel de
de forma isolada, para abastecer localidades
controle
controle
distantes das redes de transmissão de energia
banco de baterias
elétrica. Os de alta tensão têm sua aplicabilidade voltada para os parques eólicos cuja
Representação de um sistema de geração, consumo e armazenamento de
energia eólica.
inst alação depende de estudos sobre a viabiliIlustração produzida com base em: Atlas de energia elétrica do Brasil. Brasília: ANEEL
dade econômica e de impacto ambiental.
{Agência Nacional de Energia Elétrica), 2002. p. 67.
As hélices do cata-vento, em movimento,
giram um eixo ligado a uma caixa de mudança. A velocidade do eixo é aumentada por meio de engrenagens,
e esse eixo é ligado a um gerador, que transforma a energ ia mecânica em elétrica.
Dependendo do tipo de gerador, a energia pode ser armazenada em baterias (gerador de corrente alternada)
ou pode ser usada diretamente (gerador de corrente contínua).
Projeções e uso da energia eólica
Nos últimos anos, houve um crescimento marcante da geração de energia elétrica por meio do aproveitamento
da energia dos ventos. A Associação Mundial de Energia Eólica (WWINDEA, na sigla em inglês) publicou que a
capacidade eólica mundial atingiu 392 927 MW, até junho de 2015. Dessa quantidade gerada, é relevante o fato
de 21 678 MW terem sido adicionados nos primeiros seis meses de 2015. Este aumento é significativamente mais
elevado do que o verificado no primeiro semestre de 2014 que chegou a 17,6 GW. Segundo a WWINDEA, se for
considerada a capacidade de geração das turbinas eólicas instaladas no mundo, até meados de 2015, é possível gerar
4% da demanda mundial de eletricidade. A Associação Mundial também destaca que, de acordo com estes dados,
os mercados mais dinâmicos, no setor ligado à energia eólica, estão distribuídos em todos os continentes, como se
verifica com países como a China, lndia, Alemanha, Brasil, EUA, Canadá, Austrália, Reino Unido, Suécia e Polônia.
188
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Atualmente, o Brasil é um dos 1O
Capacidade total instalada 2011 -2015 (MW)
países com as maiores potências instaladas de fonte eólica, em todo o
428000*
mundo. Possui um potencial eólico na
costa superior a 300 GW devido, principalmente, ao fato de poder contar
5,8%
5,6%
com ventos constantes e unidirecionais. Essas características possibilit am
e garantem, a partir desta font e, uma
Fim 2011 Meio 2012 Fim 2012 Meio 2013 Fim 2013 Meio 2014 Fim 2014 Meio 2015 Fim 2015
eficiente geração de energia elétrica .
*Estimado
Cerca de 80% da matriz elétrica braCapacidade total instalada: inclui toda a capacidade eólica instalada, conectada ou
sileira é formada por energias renovánão à rede.
veis. Esse índice é bem superior à méWWEA. Total lnstalled Capacity 2011-201 5 (MW]. 2015.
Disponível em: <WWW.wwindea.org/wp-contenlluploads/2015/09/total.jpg>. Acesso em: nov. 2015.
dia internacional, de 20%, e de países
europeus, de 18% .
Apesar do seu crescimento, nos últimos anos, a energia eólica produzida no Brasil representa apenas 3% da
energia produzida no país, enquanto as hidrelétricas são responsáveis por 80% dessa produção. Os principais
estados brasileiros produtores de energia, com utilização dos ventos, são: Rio Grande do Norte, Ceará, Rio
Grande do Sul e Bahia.
Os parques eólicos brasi leiros, além de ampliar a participação da energia limpa renovável e competitiva , na
matriz energética brasileira, trazem, ainda, efeitos econômicos e sociais positivos, gerando empregos e aumentando a demanda por seNiços e produtos nas cidades. Representa, também, uma nova fonte de renda pa ra os
pequenos proprietários em razão da possibilidade de arrendamento das terras, contribuindo dessa forma para
a fixação das famíl ias no campo e o consequente aumento da renda fam iliar.
Embora o uso da energia eólica contribua para a redução de emissões de gases de efeito estufa, ainda há
necessidade de investir em novas tecnologias capazes de diminuir impactos ambientais causados pelos parques
eólicos, particu larmente aqueles relacionados à avifauna e aos ruídos.
Atividades
Escreva
no caderno
1. Segundo o texto, o aproveitamento da energia eólica representa uma alternativa que pode favorecer a preservação
ambiental e beneficiar locais onde as redes de energia elétrica convencionais ainda não chegaram. Consulte os sites
citados no texto e outras fontes de pesquisa (como as das sugestões abaixo) e responda: Quais as principais regiões
brasileiras que apresentam potencial para o aproveitamento desse tipo de energia e os benefícios que isso representa
para essas regiões? Sugestão de resposta: Região Nordeste e Sul. São regiões com boa veloàdade de vento, uniformidade e baixa turbulênàa. Os benefícios são:
energia renovável e limpa, não gera resíduo na sua operação e não contribui para o aumento do efeito estufa.
2. Você sabia que se instalar um aerogerador doméstico na sua casa, você poderá receber descontos na conta de luz e
também de ICMS? Pesquise sobre a instalação de um aerogerador em residências. Existem benefícios que justificam
os investimentos? Resposta pessoal.
3. Não, considerando que parte da energia cinética do vento, ao interagir com as pás, é transferida
para o cata-vento. Assim, a rapidez com que o vento se desloca é menor na parte de trás.
3. A rapidez com que o vento se desloca é a mesma na frente e atrás do cata-vento?
4. Como você organizaria os cata-ventos de uma fazenda eólica com 30 dispositivos? Resposta pessoal. Não podem se, enfileirados.
Suge stões de consulta:
• O site da Associação Mundial de Energia Eólica (WWEA, na sigla em inglês) <http://tub.im/afxeds> contém
relatórios com dados da instalação, produção e do consumo da energia eólica distribuídos pelo mundo. (Acesso
em: nov. 2015).
• O site do Instituto para o Desenvolvimento de Energias Alternativas na América Latina (Ideal), <http:// tub.im/
reo3b8>, oferece várias informações sobre energia eólica no Brasil e no mundo, inclusive uma cartilha produzida
pelo Instituto, cujo título é "Como faço para ter energia eólica em minha casa?". (Acesso em: nov. 2015).
• O site da Associação Brasileira de Energia Eólica (ABEEólica), <http://tub.im/yru4um>, disponibiliza dados
atuais sobre a instalação de parques eólicos e a utilização da energia eólica no país. (Acesso em: nov. 2015).
• O site da Agência acional de Energia Elétrica (ANEEL), <http://rub.im/cmmqcx>, tem diversos materiais de pesquisa sobre o potencial, a produção e a distribuição de energia elérrica a partir de diversas fontes. (Acesso em: nov. 2015).
Capítulo 12 • Energia e trabalho
189
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Estudamos que a energia associada aos corpos pode sofrer variações e que
estas estão relacionadas à ideia de transferi r ou transformar tal energia. Para medir essas variações, vamos definir a grandeza trabalho e:'.'>. A segu ir, analisaremos
o trabalho de uma força constante.
Na figura abaixo, é aplicada uma força constante Fa um corpo que se desloca
da posição C a D, descrevendo uma trajetória retilínea.
e
Empilhadeira de contêiner
e tambores.
Durante os instantes em
que as empilhadeiras
permanecem paradas,
qual delas realiza o maior
trabalho, a que sustenta o
contêiner ou a que sustenta
os tambores vazios?
D
Sendo .D.p o deslocamento vetorial, e 8 o ângulo formado entre os vetores
.D.p, definimos o trabalho ~ da força Fcomo:
Fe
~ õ = Ft.p cos 8
No SI, a unidade de trabalho usada é o joule (J), nome dado em homenagem
ao físico inglês James P. Joule (1818-1889).
Podemos definir o joule como: trabalho rea lizado por uma força constante de
1 newton que desloca seu ponto de aplicação de 1 metro na sua direção.
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
1 J=1N- m
Outra maneira de compreendermos a dependência do ângulo 8 na definição
é que somente a componente F, da força na direção do movimento, ou seja, na
direção tangencial, é relevante para o cálculo do trabalho.
õ
='--v--'
F cos 9 · t.p
F,
Por meio do gráfico cartesiano do módulo da componente tangencial F1
(componente da força F na direção do movimento) em função do deslocamento,
também é possível calcular o trabalho da força .
A área do retângulo amarelo é numericamente igual ao trabalho.
Ft = F cos 8
F, +-.......- - - - - . área
o
190
p
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Analisando o ângulo 8, é possível fazer as seguintes considerações:
Trabalho motor (Oº ~ O < 90°)
o
F
.E
~
<
O trabalho da força Fé positivo quando
a força F age na di reção que favorece
o movimento, ou seja, quando 8 é nulo
ou agudo, recebendo o nome de trabalho motor.
íii
<(
j
y
~
~
Oº
0 < 90º
~o< cose< 1
0 = FAp cos 0 > O
Trabalho resistente (90º <O~ 180º)
O trabalho da força Fé negativo quando a força Fage na direção que resiste ao
movimento, ou seja, quando 8 é raso ou
obtuso. Nesse caso, recebe o nome de
trabalho resistente.
f
?!'
àp
0
't
Trabalho nulo (O= 90º)
90º < e ~ 1so 0 ~
~ - 1 <cosO<O
0 = FAp cos 0 < O
f
O trabalho da força F é nulo quando
direção perpendicular à direção
do vetor deslocamento, ou seja, quando
Oé reto.
Fage na
iip
y
e = 90º ~ cos 90º
0 = FAp · O= O
=o
..Exercício resolvido
3 Considere as duas situações representadas, nas quais as trajetórias são retilíneas e o menino no skate se desloca de
A para B. Na situação 1, a força constante F age no corpo e forma, com o vetor deslocamento, um ângulo e = Oº. Na
situação 2, ela forma um ângulo 13 = 60º. Determine o trabalho de Fnas duas situações, sabendo que a sua intensidade é F = 12N.
Situação 1
A
Situação 2
Ap
= 6m
B
B
Ap = 6m
A
Resolução
Sendo Fconstante e a trajetória retilínea, temos:
Situação 1: ó = Fli.p · cos 8
õ = 12 · 6 · cos Oº
õ = 12 · 6 · 1 ~ õ = 72 J
Situação 2: õ = Fli.p · cos 13
= 12 · 6 · cos 60º
õ = 12 · 6 · _!_ ~ õ = 36 J
õ
2
Capítulo 12 • Energia e trabalho
191
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
8. Um corpo é deslocado sob a ação de duas forças,
Fe
R, ambas na mesma direção do movimento. Quanto
ao trabalho realizado por essas forças, responda se é
motor, resistente ou nulo. õ,: rootor: 1\ resistente.
--
movimento
.
F
x c) A energia transferida para o carro pelo motorista é
maior na situação I.
d) A energia transferida para o carro pelo motorista é
menor na situação I.
e) O trabalho realizado pelo motorista é maior na situação I e é menor do que a energia por ele transferida para o carro na situação II.
12. Analise as afirmações e identifique as verdadeiras.
9. Um objeto maciço em forma de um paralelepípedo
é arrastado num plano horizontal por uma força F
constante de 10 N. Essa força forma um ângulo de 55º
com o deslocamento do corpo, que é de 60 cm.
Dado: cos 55º = 0,57.
Resposta no final do livro.
a) Esboce uma figura representando a situação.
b) Determine o trabalho da força F. ,. 3.4 J
1O. O bloco da figura está sob a ação de quatro forças}\, f 2,
F3 e deslocando-se na direção horizontal por 2 m.
Dados sen 60º = 0,85 ecos 60º = 0,5, F1 = 10 N,
F2 = 20N, F3 = 10NeF4 = 20N.
F\,
..
i
ê
movimento
-
·"a'
~
X
a) Trabalho é transferência de energia de um corpo
para outro por meio de uma força .
b)Só é possível a realização de trabalho se a força
aplicada a um corpo for constante.
x c) Para a realização de trabalho é necessária, mas não
suficiente, a existência de energia envolvida.
x d) Para uma força realizar trabalho é necessário que o
corpo tenha um deslocamento.
13. Das figuras abaixo, identifique aquela em que o tra-
balho realizado é maior. Figura li
Dados: F1 = F2 = F3 = 5 N
-G-=1 -G-=1
d = 2m
Figura 1
Calcule o trabalho realizado pela força:
a)F1 Zero.
c)F3 Zero.
e)i\
b) F2 - 4o I
d)F4 201
- 201
11. (UFF-RJ) Um motorista empurra um carro sem combustível até o posto mais próximo. Na primeira metade do trajeto, o motorista empurra o carro por trás
(situação I) e na segunda metade do trajeto ele o empurra pelo lado (situação
Situação 1
e-
d = 10m
Figura li
d = 10m
-
F
~
~--1
Figura Ili
14. A expressão s = 15 + 5t + t2 (s medido em merros e
t, em segundos) representa o deslocamento de uma caixa de 40 kg numa rrajetória plana e retilínea. Encontre:
a) a lei que representa a função da velocidade da caixa
no instante k. v = s + 21
b) o trabalho realizado pela força resultante que atua
sobre a caixa durante um deslocamento de 30 m.
2400]
15. Na montagem de um navio, um guindaste mantém
uma peça suspensa e em repouso por 10 minutos a
30 m de altura em relação ao chão do navio. Para isso,
aplicou uma força F de intensidade 1000 N. Em qual
etapa da operação o trabalho da força aplicada pelo
guindaste foi maior: quando a peça estava suspensa e
em repouso, ou quando a peça estava em movimento?
Situação li
Nas figuras está também representada a força F,
que o motorista faz sobre o carro, em cada caso. Sabendo que a intensidade dessa força é constante e a
mesma nas duas situações, é correto afirmar:
a) O trabalho realizado pelo motorista é maior na situação II.
b) O trabalho realizado pelo motorista é o mesmo nas
duas situações.
Guindaste de navio.
192
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Quando a peça estava em movimento, pois somente
nesse momento ocorreu o deslocamento.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
Como aproveitar a
energia solar?
Os 1O países líderes na geração de energia solar
(Usinas acima de 10 MWP)
O Sol é uma fonte de energia abundante e quase inesgotável, podendo ser
aproveitada sem causar danos ambientais. Atualmente representa uma alternativa energética promissora, diante de
nossas imensas necessidades. Mundialmente, há preocupação com os impactos
ambientais causados pelo uso de fontes
de energia não renováveis e poluidoras.
Assim, alguns países têm liderado a busca
crescente por fontes de energia consideradas limpas. Atualmente, a Chin a lidera
o ranking dos países com maior potencíal instalado no mundo.
•
China
•
Estados Unidos
•
Alemanha
•
Índia
Espanha
Itália
•
Canadá
França
•
Ucrânia
•
Tailândia
•
Outros países
Fonte:WJKJ-SOL.AR. The authority on utility-scale solar power. 2014.
Disponlvel em: <WWW.wiki-solar.org>.Acesso em: 14 mar. 2016.
Nos últimos anos o crescimento do uso da energia solar tem sido impulsionado pelo aperfeiçoamento tecnológico, acompanhado da redução dos preços das estruturas solares, que vêm apresentando queda desde
2010. Além disso, países como os Estados Unidos têm incentivado as empresas a construir usinas próprias, a
vender o excedente energético e a receber por ele o mesmo valor pago pela energia que consomem na rede.
Essas empresas também recebem 30% de desconto sobre os impostos. Mesmo com esses estímulos o uso dessa fonte de energia representa apenas 0,8% da matriz elétrica mundial, contudo a utilização da energia solar
tem sido a que mais cresce, atualmente.
O Brasil é uma região do planeta beneficiada pela insolação durante o ano todo, o que favorece o seu
aproveitamento, tanto como fonte de calor quanto de luz. Outro fator importante é a disponibilidade de áreas
inabitadas, com alta incidência solar e com possibilidade de produzir eletricidade em quantidade suf iciente
para atender parte da demanda energética do país. Mesmo contando com esses fatores favoráveis, o número
de usinas solares instaladas no Brasil ainda é pequeno. Nos últ imos anos, alterações na legislação, algumas
iniciativas do governo e investiment os privados têm criado condições para que, em futu ro próximo, o número
de usinas instaladas aumente.
Tecnologicamente, é possível utilizar essa fonte de energia de várias formas, contudo vamos destacar apenas duas: fototérmica, que visa gerar energia térmica, e fotovoltaica, que objetiva gerar energia elétrica.
A maior usina solar do mundo está situada na Califórnia
(EUA) e tem capacidade geradora de 550 megawatts;
sua construção teve inicio em 201 1 e condusâo em 2015
(imagem de 2014).
Usina solar brasileira instalada na cidade de
Tubarão, no sul de Santa Catari na.
Com 19424 painéis cobrindo uma área de
10 hectares, fica às margens da BR-101.
(imagem de 2014).
Capítulo 12 • Energia e trabalho
193
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Energia solar fotot érmica
A energia solar fototérmica está relacionada à
quantidade de energia que um corpo consegue
absorver na forma de calor, quando submetido à
incidência dos raios solares. Para utilizar essa forma
de energia, é necessário criar estruturas para captá
-la e armazená-la. Os coletores solares são usados,
basicamente, no aquecimento de fluidos (líquidos
ou gasosos), mantidos em reservatórios revestidos
por isolamento térmico (boileres), até a sua utilizaEsquema de um sistema solar de
ção. Esse sistema fornece água quente para uso aquecimento de água.
doméstico, ar quente para secagem de grãos etc.
Energia solar fotovoltaica
A energia solar fotovoltaica consiste na conversão da
luz diretamente em eletricidade, por meio do efeito fotoelétrico. Esse efeito ocorre quando uma estrut ura de
materiais semicondutores apresenta uma diferença de
potencial entre seus extremos, devido à absorção da luz.
Para realizar o processo de conversão da luz em eletricidade, são utilizadas as células fotovoltaicas, consideradas
a unidade fundamental desse processo. Essas células são
presas a um painel e este poderá ser usado de forma
isolada ou conectado à rede distribuidora de eletricidade.
1nstalação residencial de coletore-;
solares para aquecimento de água.
...
-~~
controlador
de carga
eletrodomésticos
! -~
.. 2
: : .!9
~i
televisão
geladeira
~~
~ ~
::'
Sj ~
ó
2l ~ -
E -~ <1.
Si§
tõ
~
"'0
lâmpada
computador
§ ]
·J] ·t
!fi
Esquema de um sistema de geração fotovoltaica de energia elétrica.
Isolados: Quando são instalados em locais onde não há acesso à rede elétrica ou este acesso é difícil. Neste
caso, há necessidade de um meio de armazenamento, por exemplo, baterias. Esses sistemas podem gerar
energia apenas para uma residência ou uma pequena comunidade.
•
Conectados à rede distribuidora de eletricidade: Quando os painéis são inst alados em locais onde é
possível acessar a rede elétrica. Neste caso é preciso usar um aparelho denominado inversor que transforma a corrente contínua (CC) em corrente alternada (CA). Esta corrente (CA) é enviada para o quadro
de luz e daí distribuída para atender as necessidades da casa. Caso a energia produzida pelos painéis não
seja totalmente consumida, o excedente será desviado para a rede distribuidora de eletricidade. As usinas
solares também estão conectadas à rede elétrica, porém a produção de energia elétrica é muito maior e a
instalação dos painéis solares requer a ocupação de espaços com grandes áreas.
Escreva
nocademo
.!!!
11.:.~
o. o =
•
Atividades
N
. .-:
3. Proponha aos alunos que se posicionem e reflitam sobre o consumo descontrolado de energia elétrica e os possfveis
prejuizos ambientais causados pela necessidade da sua geração. Estimule também a reflexão sobre a economia e a
preservação ambiental que a expio/ação de fontes ren011áwis de energia pode representar.
1. Pesquise o valor médio do consumo de energia elétrica de um chuveiro em relação ao consumo geral de uma casa.
2. Na sua casa há coletor solar para aquecer a água? Observe os telhados das casas do seu bairro e verifique se há
coletores desse tipo na maioria delas. Resposta pessoal.
3. Como essa economia de energia elétrica se refletiria na preservação do ambiente?
4. O que poderia acontecer com o Brasil se painéis solares fossem instalados nos telhados de todas as casas e prédios
do país? Quais seriam os benefícios relacionados ao custo pago pela energia elétrica? E os benefícios ambientais?
Sugestões de consulta:
Resposta pessoal.
• O site do Instituto para o Desenvolvimento de Energias Alternativas na América Latina (Ideal), <http://tub. im/
reo3b8>, oferece várias informações sobre energia solar no Brasil e no mundo, inclusive um simulador e uma
cartilha produzida pelo Instituto, cujo título é "Como faço para ter eletricidade solar em minha casa?". (Acesso
em: nov. 2015).
• O site da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) , <http://tub.im/cmmqcx>, tem diversos materiais de
pesquisa sobre o potencial, a produção e a distribuição de energia elétrica a partir de diversas fontes de energia.
O capítulo 5 do Atlas da ANEEL aborda algumas fontes renováveis, como a energia solar: <http://tub.
irn/3a9k5g>. (Acesso em: nov. 2015).
194
1. Professor, sugira aos alunos a leitura de uma conta de energia eléllica. A partir dos valores do consumo mensal e das informações do manual do chuveiro e do número de horas
mensais de lunáonamenlo do chuveiro, calcule um valor aproximado.
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Trabalho da força peso
Próximo da superfície da Terra, na qual a aceleração da
gravidade pode ser considerada constante, um ponto material de massa m se desloca da posição C a D, conforme
representação ao lado.
Nessas condições, a força peso pode ser considerada
constante, e o seu traba lho é calculado pela relação:
c
h
1
1
1
1
1
___ Jq __________________________ __,__...:::,,.o
~
E
Do triângulo CDE, temos: cose
p
= -h ::::) h = L'ip cose
L'ip
Substituindo na equação que determina o trabalho da força peso, temos :
Pare e pense
Pela expressão, o t rabalho da força peso independe da trajetória percorrida
pelo corpo, mas depende de h, que representa o desnível entre as posições
ocupadas pelo ponto material.
O trabalho da força peso pode ser positivo ou negativo, dependendo da direção e do sentido do movimento, em relação à direção e ao sentido da força peso.
Caso o movimento e a força peso tenham o mesmo sentido e direção (ambos
vertical para baixo, nas proximidades da superfície da Terra, e = 0° ::::) cos 0° = 1),
o trabalho da força peso é posit ivo. Se o movimento e a força peso tiverem sentidos contrários (isso ocorre quando o movimento vertical é para cima e a força
peso vertical é para baixo, 0 = 180° ::::) cos 0° = - 1), o trabalho da força peso
será negativo. Em resumo, o sina l do t rabalho depende da orient ação do movimento (deslocamento), em relação à força peso, ou seja:
e...
•
positivo, quando o ponto material estiver descendo;
•
negativo, quando o ponto material estiver subindo;
•
nulo, quando o ponto material se desloca entre pontos do mesmo plano
horizontal (0 = 90° e cos 90° = 0).
.J!!! !!!!
!!!!!!!!!!!!
..!!!!! !!!!
--!!!!!!
-
!!!!!
O trabalho da força peso
é maior quando a pessoa
desce pela escada ou pelo
elevado(]
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
Exercícios resolvidos
4' Um corpo de peso 400 N é levantado até a altura de 0,9 rn por uma força constante F = 300 N. Calcule o trabalho
realizado:
a) pela força F;
b) pelo peso P.
Resolução
a) O sentido da força Fé o sentido do deslocamento
do corpo, assim:
b) O sentido da força peso é oposto ao deslocamento,
assim:
õ = F · L'id · cos Oº= 300 · 0,9 · ( + 1)
õ = 270J
õ
õ = P · L'id · cos 180º = 400 · 0,9 · (-1)
= 3601
Capítulo 12 • Energia e trabalho
195
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Um carregador utiliza uma rampa para subir uma
caixa de massa m = 120 kg até a carroceria de um
caminhão (veja o esquema). Sabe-se que, nesse local,
g = 10 m/s2 , o coeficiente de atrito entre a caixa e a
rampa é µ = 0,3 e a força. F aplicada tem intensidade
1500 N. Nessas condições, determine:
a) o trabalho da força F;
b) o trabalho da força peso;
c) o trabalho da força normal na superfície da rampa;
d) o trabalho da força de atrito;
e) a intensidade da força resultante;
f) o trabalho da força resultante.
Resolução
Vamos representar as forças que agem na caixa:
b) Intensidade da força peso:
P = mg
=
120 · 10 => P = 1200 N
Trabalho da força P:
õp= -Ph = -1200 · 1,5 => é">P= -1800J
6
l ,Sm
c) Intensidade da força normal ao plano inclinado:
N
=
P · cos 13
=
1200 · 0,8 => N = 960 N
Trabalho da força normal:
1...-1
M ,,-.~ - - - - - - - - - - - - , ~ ~ -
ÕN
= Nd cos 90º =>
é\ = O
2m
d) Intensidade da força de atrito:
No triângulo retângulo utilizando a ideia do Teorema
de Pitágoras, calculamos a distância de MN que vale
2,5 m, assim:
N
i
8
i
d=2,5m
-~
l ,Sm ~
F., = Nµ = 960 · 0,3 =>F., = 288N
Trabalho da força de atrito:
ÕF~ =
Fatd cos 180º = 288 · 2,5 · (-1) => ÕF = -720J
e) A força resultante está na direção do movimento
(paralela ao plano inclinado) , e a resultante perpendicular a este é nula (N = P · cos l3) . Portanto, a intensidade da força resultante é:
R = F - P · sen 13 - F.,
R
M .,_____,__ _ _ _ _ _ ___,.__,
cos r.i
= sen e = -2,5 = O' 8
1-'
f) Trabalho da força. resultante:
1,5
= cos e = -2,5 = O' 6
õR
2
a) A força Fage na mesma direção e sentido do deslocamento do pontoM atéN:
é\= Fd cos Oº
196
= 1 500 · 2,5 · 1
= Rd · cosOº
ÓR =
Neste problema chamaremos o deslocamento vetorial
ti.p de d (distância percorrida no plano inclinado).
é\
288
R= 492N
2m
sen 13
= 1500- 120 · 0,6 -
492 . 2,5 . 1 ::::> ÓR = 1 230 J
Também podemos determinar o trabalho da força resultante pela adição dos valores obtidos nos itens a,
b, ced:
õR
= ºp + ºF + é">F + ºF
é\ =
3 750 - 1800 + O - 720 => OR = 1 230 J
O trabalho da força resultante é igual à soma algébri-
=>
é\ =
3 750 J
ca dos trabalhos das forças agentes.
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
16. Quando um corpo é deslocado verticalmente para
cima, o trabalho da força peso é motor, resistente ou
igual a zero? Trabalho resistente.
17. Qual é o trabalho realizado pela força peso de um
carro, de massa 2 000 kg, que é levantado à altura de
4 m para ser lavado?
Dadog= 10m/s2 • -BOOOOJ
18. Uma bolinha metálica de massa m = 1 kg está ligada à extremidade de um fio de comprimento 1,5 m.
Calcule o trabalho realizado pelo peso da esfera no
deslocamento de A para B.
"2E
Dado g = 10 m/s2 • 7,SJ
~
1,Sm
A
Despreze os possíveis atritos e considere a corda ideal,
a força aplicada pelo encanador paralela à prancha e
o movimento da caixa uniforme. Analise e responda:
a) Que prancha o encanador deve usar, se ele deseja
fazer menos força? (Sugestão: compare o componente
da força peso, paralela à rampa, nas duas situações.)
Prancha 1.
b) Que prancha o encanador deve usar, se ele deseja que
o trabalho da força aplicada seja o menor possível?
O11atialho é o mesmo nos dofs casos.
23. A figura abaixo representa um bloco de massa 25 kg
B
19. Um objeto é lançado de baixo para cima, a partir da
base de um plano inclinado de 10 m de comprimento que forma um ângulo de 30º com a horizontal. O
objeto, ao chegar ao topo, estaciona e, em seguida,
retorna à base. Calcule o trabalho da força peso do
objeto subindo e descendo o plano.
Dados: massa do objeto é de 4 kg; g = 10 m/s2 •
sendo puxado por uma força de 350 N paralela à superfície do plano inclinado. O seno do ângulo formado entre o plano e a horizontal é 0,6. Determine a força de atrito que age entre o bloco e o plano, quando a
aceleração for de 2 m/ s2 • 1so N
Subindo: - 200 J, descendo: 200 J.
20. Um bloco de massa 10 kg é transferido de
um ponto A para um ponto B, separa-
8
1
2
!!!
dos por 60 m na horizontal e 40 m
na vertical marcadas a partir t.d
40m
do ponto A. Determine
o módulo do trabalho realizado pela força A - - - - - - - - - ~ ~
60m
peso.
Dado: g = 10 m/s2 • -4000 J
24. (Unirio-RJ) Três corpos idênticos de massa M des-
locam-se entre dois níveis, como mostra a figura: A
caindo livremente, B deslizando ao longo de um
tobogã e C descendo uma rampa, sendo, em todos os
movimentos, desprezíveis as forças dissipativas.
0
21 . Determine o trabalho realizado pela força peso de
um corpo, de massa 15 kg, que é levantado verticalmente, com velocidade constante, do solo a uma
altura de 5,0 m.
Dado: g = 10 m/s2 • - 7SOJ
22. Um encanador dispõe de duas pranchas de madeira
para deslocar uma caixa-d'água de peso P do chão até
a laje de uma casa. Observe que a prancha 1 é mais
comprida do que a 2, conforme o esquema.
Com relação ao trabalho (o) realizado pela força peso
dos corpos, pode-se afirmar que:
a) 0 c > 13s > e:;A
X d) ~'>a = 0 c = e:;A
b) OC = ('.;B > ('.;A
c) é',c
e) ()C < ('.;B > ('.;A
> 13s = e:;A
Capítulo 12 • Energia e trabalho
197
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
Como aproveitar a energia hídr ica?
A energia elétrica pode ser gerada por meio de fontes renováveis de energia, como o Sol, a água, o vento
ou a biomassa, ou por meio das não renováveis (como os combustíveis fósseis e nucleares). No Brasil, a grande
quantidade de rios favorece a utilização da energia das águas para a geração de energia elétrica.
Aproveitando as águas de rios e represas
As hidrelétricas transformam a energia potencial, representada pela posição da queda-d'água, em energia cinética, que movimenta as turbinas. O deslocamento da água provoca o movimento da turbina, ligada por um eixo
mecânico a um gerador, que produz energia elétrica e a conduz, por meio de linha de transmissão, à rede de
distribuição.
barragem
linha de
t ransmissão
reservatório
casa de força
Os geradores de uma usina hidrelétrica são acionados por turbinas. A abertura ou o fechamento das compo rtas permitem o
controle do fluxo de água e a geração de energia elétrica.
A potência de uma usina está associada à altura da queda e à vazão do rio, ou seja, à quantidade
de água disponível e em movimento em determinado intervalo de tempo. Seu potencial de aproveitamento para
gerar energia elétrica será tanto maior quanto maior for a altura da queda-d'água e a vazão do rio .
A utilização de energia hidrelétrica no Brasil começou em 1889, com a instalação da usina de Marmelos-Zero,
no rio Paraibuna, próximo a Juiz de Fora, em M inas Gerais. Atualmente, segundo o relatório do Ministério de Minas
e Energia, divulgado em 2015, a matriz elétrica do país revela que mais de 60% do total da eletricidade gerada é
proveniente da energia hídrica.
E as águas do mar?
Os oceanos representam um grande potencial energético renovável e podem gerar até 1O terawatts de energia. A exploração desse potencial pode ser feita com baixo custo operacional, com reduzido impacto ambiental
e com a possibilidade de adaptação da produção de energia à necessidade de cada localidade. Apesar das
vantagens, a viabilização do aproveitamento da energia das ondas ainda é incipiente.
Protótipos dos conversores de
energia em teste no laboratório
da Usina de Ondas mantido pela
UFRJ, instalada a 3 km da praia
em São Gonçalo do Amarante, no
Ceará (2012). Os flutuadores estão
presos a "braços" metálicos com
aproximadamente 22 metros de
comprimento.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
No Brasil, o litoral do Ceará se destaca pela
boa regularidade das ondas ao longo do ano.
Um protótipo com duas unidades de bombeamento foi instalado no porto do Pecém, a 60 km
de Fortaleza. O projeto experimental pode gerar
até 100 kW, o suficiente para suprir o consu mo
de 100 fam ílias, aproximadamente.
O projeto brasileiro apresenta uma inovação
em relação a outros países: o uso da câmara hiperbárica, um recipiente de aço usado para armazenar água comprimida e simular as condições de
pressão que existem no fundo do mar.
Ela foi idealizada para funcionar de forma semelhante à de uma hidrelétrica. Os flutuadores se
movimentam para cima e para baixo com o moviEsquema de aproveitamento energético as ondas do mar.
mento das ondas, funcionando como uma bomba
Ilustrações produzidas com base em: COPPE. UFRJ. Usina de Ondas. <httpJlwww.
que, por meio de um tubo, impulsiona a água ar- coppe.ufrj.brlpt-br/a-coppe-produtoslusina-de-ondas>. Acesso em: 25 jun. 2015.
mazenada em um recipiente até a câmara hiperbá~Argozino
rica. A câmara, por sua vez, provoca uma pressão
semelhante à da queda-d'água, movimentando as
turbinas para gerar energia elétrica, assim como
em uma usina hidrelétrica.
Outros países operam comercialmente com
instalações no mar, embora usem métodos diferentes. São diversas as técn icas para se gerar
eletricidade a partir da energia dos oceanos.
Pesquisas nessa área vêm aperfeiçoando e adequando essas técn icas de exploração às condiEsquema das turbinas (semelhantes às eólicas) posicionadas nos
ções ambientais de cada região. Atualmente, um
oceanos para produzir energia a partir das correntes marítimas.
dos métodos bem aceitos é o aproveitamento das
correntes oceânicas. Esse método é simples e basicamente funciona como uma turbina eólica ao ser movida
pela força dos ventos. Nesse caso, a turbina é submersa nos oceanos e pode ser alimentada cont inuamente
pela força das correntes marítimas. Uma dessas iniciativas é a usina MeyGen, com potencial de 400 MW, que
terá 269 turbinas - sendo que 60 delas entram em funcionamento em 2016 e o restante em 2020. Essa usina
está sendo const ru ída no litoral da Escócia e será a maior usina de marés do mundo.
Atividades
Escreva
no caderno
1. Resposta pessoal. Alguns dos motivos prinápais seriam: 1) a tecnologia disponivel - no rrondo todo a utilização de
energia de rios é mais desenvolvida qoe a das águas marítimas; 2) a relação custo-beneficio - a relação entre o inves·
timento e a produção de el'lel'gia ê mais vantajosa nas usinas qoe exploram as águas dos rios.
1. O Brasil se beneficia do grande potencial lúdrico que possui para gerar energia elétrica. No caso do aproveita-
mento da energia das águas dos rios, o Brasil tem desenvolvido tecnologia e ampliado as hidrelétricas em várias regiões do país. Com relação ao aproveitamento energético das águas do mar, as pesquisas ainda precisam
ser ampliadas. Que motivos você acredita que levam o Brasil a investir mais na energia dos rios que na energia
das ondas do mar?
2. Nas usinas hidrelétricas, ocorrem transformações de um tipo de energia em outro. Descreva essas transformações. Dei/ido à posição íniáal da água e à queda, ocorre a transformação de energia potencial em cinêtíca, provocando o movimento das turbinas. O movimento
rotacional da turbina ligada ao gerador faz este transformar energia mecáníca em elétrica.
Sugestões de consulta:
• O site da Empresa de Pesquisa Energética (EPE), vinculada ao Ministério de Minas e Energia (MME), elabora e
publica, anualmente, o Balanço Energético Nacional (BEN). Disponível em: < http:/ / tub .im/xnc5vz/> . (Acesso
em: nov. 2015).
• O site da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) tem diversos materiais de pesquisa sobre o potencial, a
produção e a distribuição de energia elétrica a partir de diversas fontes. O capítulo 3 do Atlas da ANEEL aborda
algumas fontes renováveis, como a energia hidráulica. Disponível em: <http://tub.im/v6pbxj >. (Acesso em:
nov. 2015).
Capítulo 12 • Energia e trabalho
199
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Considere a ação de uma força variável sobre um ponto material que se
desloca em uma trajetória orientada no sentido do movimento.
A força que atua sobre o ponto em cada instante pode ser decomposta em
duas direções, uma paralela e outra perpendicular ao deslocamento. Como a
componente normal não realiza trabalho, podemos considerar somente a parte
tangencial para o cálculo do trabalho da força.
Pelo fato de a força ser variável, o gráfi co cartesiano do módulo da força tangencial em função do deslocamento é uma curva.
Para obter o trabalho dessa força, sabendo q ue a área do gráfico
''
é numericamente igual ao módulo do trabalho, pode-se dividir a
',,F1
área total em parcelas menores e aproximá-las por retângulos. A
soma das áreas, que são os trabalhos, em cada um dos pequenos
deslocamentos, equivale ao trabalho total.
-
F~
--------------- ----
:
..
"-l!
o
~
é\ = i:'\ ~ AI + A2 + A3
I
1
F11
---- -
---- j
t'1
, A1
.;
~
A, :
(';~A
1
~ Trabalho da força elástica
Antes de definirmos o que é trabalho da força elástica, vamos tentar resgatar
um experimento semelhante àquele realizado pelo físico Robert Hooke (1 6351703). Nele, uma das extremidades da mola, de comprimento e;, está fixa ao
suporte M, e a outra recebe a ação de forças de diferentes intensidades pela
fixação de blocos de diferentes massas.
M
e;
Com esse procedimento foi possível constatar que há proporcionalidade entre
a intensidade da força aplicada e a deformação sofrida pela mola.
200
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Chamando a deformação elástica sofrida pela mola de x, isto é, o comprimento em que foi compri mida ou distendida, constata-se a seguinte relação com
a força F que comprime ou distende a mola:
-
F1
x1
= -
F2
x2
= ... = -
F
x
= k (constante)
O va lor de k é característico de cada mola e denominado constante elástica
da mola. No SI, a unidade de medida dessa constante é o N/m (newton por
metro).
A medida que a extremidade da mola é deslocada para baixo, pela ação da
força peso dos blocos, estes também sofrem a ação da força elástica Fe11 dirigida
verticalmente para cima.
Genericamente, temos:
Fel
= kx
Essa relação, conhecida como lei de Hooke, é válida para peq uenas deformações da mola.
Para determinar o t rabalho da força elástica, representaremos graficamente a lei de
Hooke. Como a equação F.. = kx é do primeiro grau em x, o gráfico de F.. em
F,1 (Nl
função de x será retilíneo.
kx
Nesse caso, a área amarela é numericamente igual ao trabalho da força
elástica.
Área do triângulo: A =
~ x · kx =
k;2
Portanto, o trabalho da força elástica é:
<'\,i = ::!:
k;
2
X
x (m)
O trabalho da força elástica pode ser positivo ou negativo, dependendo da
direção e do sentido da força elástica em relação ao sentido da deformação sofrida pela mola. Quando a mola é comprimida ou distendida, isto é, se distancia do
ponto de equilíbrio, o trabalho da força elástica é negativo; quando a mola retorna à posição de equilíbrio, o t rabalho é positivo. Em resumo, o sinal do trabalho
depende da orientação do movimento (desloca mento) em relação à força elástica
que age sempre no sentido de fazer a mola retornar à sua posição de equilíbrio:
•
negativo, quando a mola é alongada ou comprimida;
•
posit ivo, quando a mola retorna à posição de equilíbrio.
,.. Exercícios resolvidos
6, Durante um experimento foram usadas duas molas,
m e n, de constantes elásticas km e k Ambas foram
Portanto, para a mola m, o valor de kmé:
0 •
F
12
= - ~ k = 30N/ m
xm 0,4
m
comprimidas pela mesma força Fde intensidade 12 N e
sofreram as deformações xm e x
k =-
a) Determine o valor de kme k sabendo que xm= 0,4 m
exn = 0,2 m.
Para a mola n, o valor de k é:
m
0 •
0,
b)Estabeleça uma relação entre as constantes elásticas das molas e a maior ou menor resistência à deformação sofrida por elas.
Resolução
a) Da lei de Hooke, temos: F01
= kx
0
k = n
F
X
n
12
=O, 2
~k
n
= 60 N/m
b)A mola n, de constante elástica maior, apresentou
menor deformação, ou seja, ofereceu maior resistência
à deformação. Portanto, para obter a mesma deformação nas duas molas, teríamos de aplicar uma força
de maior intensidade na mola n.
Capítulo 12 • Energia e trabalho
201
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
O esquema ao lado representa, inicialmente, uma mola de comprimento
f. = 0,6 m, com uma das extremidades presa a um suporte e outra livre. Posteriormente, age sobre a mola uma força F de intensidade 60 N, fazendo com
que seu comprimento passe a ser .e = 0,8 m.
J!j
..:;;
- . - - - - r - - - - - - - r - -........-
"
.·"'
~
~
e
Nessas condições, determine:
a) a constante elástica da mola;
j
b) o trabalho da força elástica durante essa deformação;
c) o trabalho da força elástica se a força deixar de agir sobre a mola e ela voltar
à posiç.ão inicial.
X
F
Resolução
a) Segundo a lei de Hooke,
Fe1 = kx
k= _.!:_ =
X
mola deformada
60
~
0,8- 0,6
1 senti_do do
! movimento
~k = 300N/m
b) Durante a deformação,
como a
força elástica possui sentido
contrário ao do deslocamento:
kx:2
300 · (0,2) 2 ~
o= - -
X
=
2
c) Quando a mola volta à posição inicial, o trabalho
da força elástica é motor. Como o sentido da força
elástica é o mesmo do deslocamento:
o = kx:2 = 300. (0,2) 2 ~ o = 6 J
X
2
mola
retomando
à posição
F
inicial
Escreva
no caderno
25. Ao sofrer a ação de uma força F, uma mola apresenta
uma deformação de 0,02 m, alongando-se. Se a constante elástica dessa mola é 400 N/ m, determine:
8N
b) o trabalho da força Fpara deformá-la. o.os J
26. No laboratório de Física, um aluno realiza o seguinte
experimento: aplica uma força de 2 Nem uma mola e
observa uma deformação correspondente a 10 cm. Se
o aluno aplicar uma força de 4 N:
a) quanto a mola vai deformar? 20 cm
b)qual será o trabalho realizado pela força de 4 N?
c) qual será o trabalho realizado pela força elás0tida
no deslocamento de 10 cm até 20 cm? 0.1 J
27. Um estudante coletou dados de um experimento e
construiu o gráfico que representa a intensidade da
força F aplicada em uma
mola em função da deformação sofrida por ela.
F(N)
30
----------
i..
-e
.:,,
.g
;jJ
20
10
o
0,05 0,1 0,15 x (m)
De acordo com o gráfico, determine:
a) a constante elástica da mola; 200 N/m
b) o trabalho da força Fpara deformá-la em 0,15 m .
2.25 J
202
sentido do
movimento
0 = - 6J
· · propost os
Exerc1c1os
a) a intensidade da força F;
t
28. (Mack-SP) A mola
da figura varia seu
comprimento de
--- 22 cm
10 cm para 22 cm
quando penduramos
em sua extremidade um corpo
de4N.
4N
Determine o comprimento total dessa mola quando
penduramos nela um corpo de 6 N. 28cm
29. Um menino em- F (N)
purra um caixote
20 ----------- -- --cheio de brinque10 _ _ __,.
dos com uma força F que atua na
s (m)
o
10
20
mesma direção e
no mesmo sentido em que ocorre
o
deslocamento
do caixote. O gráfico da intensidade da força F,
O
10m
20m
s
em função do espaço s está representado acima. Determine o trabalho da força Fquando o caixote sofre um deslocamento de s = Oparas = 10 me de s = 10 m paras = 20 m.
lOOJe 150 1
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fI c:,N 'ª, HãJ· r•a ,rn ,. ,e,, ITTii r;r •-------Quando um corpo se movimenta com velocidade v em relação a determinado
referencia l, podemos associar a ele uma energia de movimento, denominada
energia cinética .
A seguir, vamos aval iar numericamente como é possível determinar a energia
cinética .
Considere uma partícula de massa m que se move, em relação a um referencial,
com velocidade escalar instantânea v.
Esquiador.
Chamamos de energia cinética da partícu la Ec, em relação ao referencial, o
produto da massa pelo quadrado de sua velocidade d ividido por 2.
Professor, os comentários dessa seção encon-
= mv2
E
tram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
2
e
O que precisa ocorrer
para a energia cinética do
esquiador aumentar?
Para ampliar o conceito físico de energia cinét ica, suponha o movimento de
um corpo de massa m que se desloca entre as posições A e B, com aceleração
constante ã, sob a ação da força resu ltante F. As velocidades escalares da partícula
nas posições A e B são, respectivamente, e
v; v.
-
-
a
ã
v
i
B
A
Ap
De acordo com a 2ª lei de Newton:
R = ma-
=::}
F
F em mo' duIo: a = -F
= ma- =::} a- = -m'
m
CD
Conforme a equação de Torricelli para o movim ento uniform emente variado:
v2 = vf
+ 2ali.p =::} v2
= v~+ 2ali.p
0
Substituímos a equação G) na equação (V:
F
v2 = v2 + 2 · -
•
m
mv2
mv~
2
2
· p =::} F p = - - - - - '
Observe que o produto F · ti.p representa o trabalho realizado pela força resu ltante F, no deslocamento de A a 8, e que esse trabalho é dado pela diferença entre
as energias cinéticas final e inicial. Esse é o teorema da energia cinética (TEC).
(';.F = Ec9 - EcA = ti.Ee
A dedução deste teorema foi feita para o movimento uniformemente variado
devido à facilidade no desenvolvimento matemático, mas o teorema é válido
para qualquer movimento.
Capítulo 12 • Energia e trabalho
203
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
,,.Exercícios resolvidos
8 Após uma caminhada, um jovem resolveu parar sob umajaqueira. Durante o descanso, uma das jacas desprendeu-se do galho
e caiu em linha reta até atingir o chão. O jovem aproveitou o
imprevisto, mediu a altura desde a ponta do galho até o chão
(h = 1,5 m) e verificou o peso da jaca (P = 30 N). Pergunta-se:
a) Qual o trabalho da força peso durante o percurso de queda?
b) Qual a energia cinética transferida para a jaca até o instante
imediatamente anterior ao choque dela com o chão?
Resolução
a)
c'.i = Ph
o= 30 · 6
ê, = 4SJ
b) Desprezando os possíveis atritos, o trabalho da força peso que age na jaca é igual à variação de energia cinética
sofrida por ela. Como inicialmente a jaca estava em repouso (A), então:
ECA =O
o =EcB -ECA
Ee =45J
Como o trabalho da força peso é motor (positivo), o valor da energia cinética será crescente.
• Durante um jogo de malha, um jogador lança a peça de massa
0,2 kg. Ela atinge o chão com velocidade de 12 m/ s e desliza
em uma trajetória retilínea e horizontal até parar.
Determine:
a) o trabalho da força de atrito sobre o corpo, desde o momento
em que a peça toca o chão (A) até parar (B).
b) o tempo necessário para que a peça fique em repouso, sabendo que o coeficiente de atrito cinético é 0,10 e a aceleração da gravidade é 10 m/s 2 •
ã
Resolução
a) O movimento do corpo ocorre na horizontal, logo N = P. Nesse
caso, a força resultante que age no corpo é representada por F.,-, cujo
trabalho é resistente e dado pela variação da energia cinética.
mv2
2
mv2
2
O 2 (02
e, = E - E =} e, = - - - __i =} o = '
cB
CA
-
12 2)
2
A
v=O
B
p
= - 14,4 =:} ê, = - 14,4J
b) Sendo a intensidade da força de atrito F., = µN, então:
F., = 0,10 · 0,2 · 10 =} F., = 0,20 =} F., = 0,20 N
Aplicando o princípio fundamental da Dinâmica, temos:
R = mã =}Fat = mã
O sentido da força de atrito é contrário ao do deslocamento da peça:
F., = - ma=} 0,2 = - (0,2a) =}a = - 1 m/ s2
Portanto, o tempo necessário para a peça ficar em repouso é:
v = v; + at =} O = 12 - lt =} t = 12 s
204
Unidad e 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
31 . Transforma-se em calor (ene,gia térmica) devido à presença da força de atrito, que se opõe ao movimento.
30. Quando a energia cinética de um veículo aumenta, o
a) o trabalho da força de atrito. - 32 J
que ocorre com o trabalho das forças sobre ele? Se a
energia cinética do veículo duplicar, o que acontece
com o trabalho realizado por ele?
Aumenta o trabalho sobre o 1/l'Ículo. O trabalho é duplicado.
31 . Quando apenas parte do trabalho realizado pela
força resultante é utilizada para variar a energia cinética, o que acontece com o restante da energia?
32. Quando o pneu de um carro derrapa, a força de atrito
b)a intensidade da força de atrito. s N
c) o coeficiente de atrito cinético (µ). 0.1
36. Um objeto de 8,0 kg está sujeito à força resultante F,
aplicada na mesma direção e no mesmo sentido do movimento. O módulo da força F, variável em função da
posiçãox, está representado no gráfico.
aplicada entre a pista e o pneu é a mesma, qualquer
que seja a velocidade do carro. Portanto, o atrito não
depende da velocidade. Escreva no caderno a variável
envolvida para o carro parar. Distmoa percor1ída.
F (N)
33. Em uma estrada de alta rodagem, o veículo A trafega a
uma velocidade de 120 km/h e o veículo B trafe-
F'
ga a uma velocidade de 60 km/h. Se ambos frearem
até parar, qual a relação entre as distâncias percorridas pelos veículos? Justifique sua resposta.
4,0
34. Um bloco de madeira, de massa 2 kg, sofre a ação
de uma força resultante de intensidade 1 N ao deslocar-se sobre uma superfície lisa e horizontal. Se a
velocidade inicial do bloco é 4 m/s e a sua trajetória é
retilínea, determine:
a) a sua energia cinética inicial; 16 J
b) o trabalho da força resultante, caso ela seja constante, na mesma direção e sentido da velocidade
inicial, e atue em um deslocamento de 48 m; 48 J
c) a sua energia cinética final; 64 J
d) a velocidade final do bloco. v = 8 mls
35. Após ter sido lançado sobre uma superfície áspera e
horizontal, um corpo de massa 8 kg desliza em uma
trajetória retilínea percorrendo 4 m até parar. Se a
energia cinética inicial transmitida ao corpo é 32 J,
determine:
o
40
x(m)
Sabe-se ainda que o trabalho realizado pela força Fé
de 300 J no deslocamento de 40 m, indicado no gráfico, e que a velocidade do objeto é de 10 m/s quando
X = 40 rn.
Determine:
a) a velocidade do objeto quando x = O. s,o m/s
b) o módulo da força F' incógnita no gráfico.
11 N
37. Um corpo move-se sobre uma superfície horizontal.
O que ocorre com a energia cinética desse corpo se
uma força em sentido oposto ao seu movimento agira
sobre ele? diminui
38. (Unicamp-SP) Sob a ação de uma força constante,
um corpo de massa de 4,0 kg adquire, a partir do repouso, a velocidade de 10 m/s.
a) Qual é o trabalho realizado por essa força?
li[
D
200 J
b) Se o corpo se deslocou 25 m, qual o valor da força
aplicada? 8 N
33. Ovekulo A possui o dobro da velocidade de B, portanto uma energia cinética quatro yezes maior. Considerando o atrito igual nos doisca.s.os (mesma rodovia), o trabalho re..lizado pela
força de atrito no vekulo A será quatro vezes o de B; logo, deve percorrer quatro vezes a distância percorrida por B.
Pense além
Energia em movimento
A Organização Mundial da Saúde (OMS) aconselha que uma pessoa tenha oito horas diárias de sono, em
média. Estudos mostram que dormir bem ajuda a evitar vários problemas, como: infecções por baixa resistência, baixo vigor físico, envelhecimento precoce, depressão, obesidade e, inclusive, acidentes. Considere que
uma pessoa repousa em son O profundo. A energia ánética depende do relerenáal, logo, em relação ao sol ou a um carro em movimento na rua. a pessoa
Responda
Escreva
no caderno
tem energia cinética.
1. Nessa situação, você saberia dizer se ela tem energia cinética?
Capítulo 12 • Energia e trabalho
205
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
6. Energia potencial
Chamamos de energia potencial a energia que está armazenada no sistema
" esperando " para ser convertida em energia cinética ou traba lho. A esse t ipo
de energia potencial é associada uma força que chamamos de conservativa.
A característica desse tipo de força é que o trabalho rea lizado por ela, em dado
deslocamento, não depende da trajet ória. O termo conservativa é justificado
porque, durante o movimento de um corpo sujeito a esse tipo de força, não
existe perda de energia total.
~ Energia potencial gravitacional
Homem tensionando o fio
de um arco e f lecha antes de
efet uar o lançamento.
Um arco utilizado na prática
esportiva arco e f lecha
pode ser considerado um
sistema composto do arco
mais o elástico. Considere o
homem da imagem acima
praticando t iro com arco
e flecha. De onde vem a
energia armazenada no
sistema arco-elástico?
Profe-;so~ os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final deste
volume.
No esquema abaixo está representado o deslocamento vertical d de uma
partícula de massa m, da posição A, local izada a uma alt ura hA do solo, à posição 8, localizada a uma altura h8 do solo.
m
A
---- - --
d
B
h,.
i
..
..
;;;
g
"-~
o
i
he
solo
O trabalho realizado pela força peso independe da trajet ória, e esse deslocamento pode ser expresso por:
é\
= Pd cos
c;P
=
o· ~ c; p =
mghA - mg h8
mg (hA - h8)
•
1
CD
O produto mgh representa uma forma de energia associada à posição da
partícula em relação a um plano de referência (solo), denom inado energia
potencial gravitacional Ep .
Retornando à equação G), podemos concluir que o trabalho realizado pela
força peso entre as posições A e B é igual à diferença entre a energia potencial
gravitacional da partícula na posição A e a energia potencial gravitacional da partícula na posição B, ambas em relação ao solo (plano de ref erência). Chamamos
de teorema da energia potencial a relação entre o t rabalho realizado por uma
força conservativa, no caso a força peso, e a diferença entre as energias potenciais em cada posição no sistema.
O teorema da energia potencial tem validade para qualquer força conservativa,
como é o caso também da força elástica.
206
Unidad e 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercícios resolvidos
10
menina
solta um brinquedo de S kg,
inicialmente
na posição A,
do alto de um
tobogã.
.....,._...__.__._.,__....;;;a-. solo
Tome como base o perfil da superfície do tobogã, representado no esquema acima, e considere g = 10 m/s2 •
Nessas condições, determine:
a) a energia potencial do brinquedo associada à posição A;
b) a energia potencial do brinquedo associada à posição B;
c) o trabalho da força peso para deslocá-lo da posição
A até a posição B.
Resolução
Nas condições propostas, temos:
a) Na posição A:
E = mgh = S · 10 · 4 = 200 =} E = 200 J
~
A
~
• · propost os
Exerc1c1os
39. Em uma academia de ginástica, um atleta ergue um
haltere de massa 40 kg em duas etapas: do solo até a
cintura Chc = 1 m) e da cintura até o ponto mais alto
que seus braços alcançam (h = 2,5 m).
b)NaposiçãoB:
EPs = mghB = 5 · 10 · O = O
c) õ
= E - E = 200 - O = 200 =} õ = 200 J
P,.
Pe
Considere dois postes homogêneos (massa distribuída uniformemente ao longo do corpo), um cônico
e outro cilíndrico, de mesma massa, 150 kg, e de mesmo comprimento, 6 m. Calcule a energia potencial
gravitacional quando posicionados verticalmente
em relação ao solo. Admita g = 10 m/s2 e o centro de
massa do poste cônico localizado a
!
de sua altura.
Resolução
Sendo corpos homogêneos, o peso está aplicado em
seus centros de massa. Assim:
Cilindro: EP = mghálindm = 1 SOO · 3
=
4 SOO =}
=}Ep = 4500J
Cone: Ep = mghcon~ = 1 SOO· 2 = 3000 =}Ep = 3000J
Escreva
no caderno
41 . Ainda em relação ao exercício 39, se o atleta abandonar o haltere na posição A, qual será a energia
potencial gravitacional do haltere ao atingir o solo?
Zero.
42. Um nadador de massa 60 kg é filmado no momento
do salto a partir de um trampolim. No salto, a altura
máxima obtida por ele é de 2 m (em relação ao trampolim). A distância, na vertical, do trampolim em relação ao nível da água da piscina é de 10 m. Qual a
energia potencial armazenada pelo atleta quando ele
estiver, em relação ao trampolim, no ponto mais alto
e na superfície da água da piscina? 1200 J e - 60DO J
Se nesse local a aceleração da gravidade é 10 m/s2,
determine a energia potencial gravitacional do corpo
associada à posição:
a) S (solo); Zero.
b)C (cintura); 400 J
c) A (ponto mais alto). 1 ooo J
40. Nas condições do exercício anterior, determine o
trabalho da força aplicada pelo atleta para deslocar
o haltere da posição C para A. 600 J
Homem realizando um salto de trampolim.
43. Um corpo pesa 80 N em um local onde a aceleração
da gravidade é de 8 m/s2 • Encontre, em relação ao
solo, a energia potencial desse corpo, quando ele se
encontra a 10 m do solo, em outro local onde a aceleração da gravidade é de 10 m/s2 • 1ooo J
Capítulo 12 • Energia e trabalho
207
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Energia potencial elástica
A energia potencial elástica está associada às deformações elásticas sofridas
por determinados corpos quando submetidos à ação de forças para comprimi-los
ou distendê-los.
Considere uma mola ideal, de consta nte elástica k, sob a ação de uma força
Fque a deforme (alongando ou comprimindo), prod uzindo o deslocamento da
sua extremidade livre desde a posição A até a 8.
Partindo do conceito de energia potencial, vamos adequá-lo aos corpos de
comportamento elástico.
f
0
O trabalho da força elástica que pode ser realizado para fazer a mola voltar à
posição A (livre) corresponde à medida da energia potencial elástica.
Pessoas pulando em
cama elástica.
::;:
Que t ipo de energia a cama
elástica acumula ao ser
deformada pelo corpo da
pessoa? O que ocorre com
essa energia acumu lada?
Segundo o teorema da energia potencial, em relação ao ponto de referência
A, a energia potencial elástica é nula, uma vez que a mola não está deformada.
Se a mola estiver em qualquer outra posição, a energia potencial elástica será
igual ao trabalho da força elástica que age para ela voltar à posição de referência.
Professor. os comentários dessa seção encontram-,e no Caderno de orientações no final
deste volume.
e,
A
= posição de referência
E = energia potencial
PA
associada à posição A
EP8
= energia potencial
associada à posição B
F
e
Exercício resolvido
12 Durante um teste, prendeu-se uma das extremidades de uma mola a um suporte.
Na outra, pendurou-se um corpo de massa 2 kg, o que causou uma deformação
de 0,05 m na mola. Sabendo-se que g = 10 m/s2, determine:
a) o valor da constante elástica da mola;
b) a energia potencial elástica do sistema mola-corpo associada à posição A.
Resolução
x: =
a) Considerando o corpo em repouso, temos:
º·ºs ~L__ _
A
F.i = kx
P
kx => k
=
b) E
pel
208
=
= -
kx2
2
P
X
=
20
0,05
= - - => k =
400 N/m
400 · (0,05)2
E
O5 J
2
:::> pol = '
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
44. No esquema abaixo está representada uma mola com
uma das extremidades presa a um suporte, enquanto
a outra extremidade é submetida à ação de uma força
F = 5 N, provocando na referida mola um alongamento
de 0,10 m. Utilize essas informações e determine:
um corpo de massa 2 kg, alongando a mola, que
passa a ter comprimento e = 0,20 rn. Se nesse local
g = 10 rn/s2, determine:
a) a constante elástica da mola; 400 N/m
b) a energia potencial elástica do sistema mola-corpo
associada à nova posição. 0,5 J
49. O gráfico
a) o valor da constante elástica da mola; 50 N/m
b) a energia potencial elástica da mola; 0,25 J
c) qual deve ser o alongamento sofrido pela mola para
que a energia potencial adquirida por ela seja 1,0 J.
0,2 m
45. Determine, em joules, a energia armazenada por
uma mola, de constante elástica k = 80 N/m, que
apresenta deformação de 0,10 m. 0,4 J
46. Encontre
o valor da energia adquirida por uma
mola que deformou-se de x = 0,4 m, após receber
uma força de 300 N. 60J
47. Uma bola metálica de massa 10 kg é lançada sobre
uma superfície horizontal lisa, entrando em contato
com uma mola comprimindo-a. Encontre a máxima
deformação sofrida pela mola, sabendo que a velocidade da bola ao chocar-se com a mola é de 2 m/s.
Considere a constante elástica da mola 100 N/m.
= 0,63 m
48. O esquema ao lado
representa uma mola ideal pendurada
por uma das extremidades, de comprimento
e; = 0,15 m. Na outra
extremidade é colocado
ao lado
mostra a deformação
sofrida por uma mola
quando se varia a força
aplicada para esticá-la.
Deformação (cm)
10
40000 J
..
----------
·e
o
~
Determine:
o
a) a constante elástica
da mola, em N/m. 5000 N/m
b) a energia potencial elástica armazenada na mola
quando esta estiver
deformada de 4,0 m.
:..
i
SOO
Força (N)
F (N)
....
100
".,
J
80
'Q
-~
/
60
~
40
Uma
mola pendurada
20
num suporte apreI
senta comprimento
o 10 20 30 40 50 x (cm
igual a 20 cm. Na
sua extremidade livre pendura-se um balde vazio,
cuja massa é 0,50 kg. Em seguida, coloca-se água no
balde até que o comprimento da mola atinja 40 cm.
50. (Fuvest-SP)
/
O gráfico ilustra a força que a mola exerce sobre o
balde, em função do seu comprimento.
:L_
e
Determine:
9•5 kg
a) a massa de água colocada no balde.
b)a energia potencial elástica acumulada na mola
no final do processo. 10 J
(Adote g = 10 rn/s2 .)
,aâ[email protected]:.,e,:,t4&ftit&a____________
A
Considere um objeto de massa m, que inicialmente estava em repouso em
relação ao chão e depois, ao ser abandonado, descreve uma trajetória retilínea,
conforme o esquema ao lado.
Na posição A o corpo está em repouso; portanto, a energia cinética é nula; e
a energia potencial gravitacional é máxima, pois a altura é máxima.
A partir do instante em que o corpo inicia a queda, a velocidade cresce e o
valor da energia cinética aumenta. Simultaneamente, a altura ocupada pelo corpo
diminui, fazendo com que o valor da energia potencial gravitacional diminua.
No instante imediatamente antes de o corpo atingir o chão, a velocidade é
máxima. Portanto, a energia cinética é máxima e a energia potencial gravitacional
é nula, pois a altura é nula.
Capítulo 12 • Energia e trabalho
209
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
De acordo com o esquema apresentado, vamos considerar duas situações
distintas :
Situação 1
Se desprezarmos a resistência do ar durante o movimento do corpo, a energia
potencial vai se transformando em energia cinética, de forma que o valor perdido
por uma corresponde ao valor ganho pela outra. Assi m, a soma desses va lores
permanece const ante.
A energia mecânica do sistema é representada pela soma das energias potencial
e cinética. Genericamente, temos:
E mecãniGi
=
Ecinética
+
E potencial
Nesse caso, a energia mecânica se manteve constante, isto é, ela se conservou. Isso ocorre quando apenas forças conservativas realizam trabalho ao longo
do deslocamento. Essas forças, como o peso, a força elástica ou a força elétrica,
têm o seu trabalho associado à energia potencial.
Situação 2
Se não desprezarmos a resistência do ar que age no corpo durante o movimento, verificaremos que a energia mecânica não se conserva. Nesse caso,
durante o movimento de queda do corpo, o valor da diminuição da energia potencial não corresponde ao valor do aumento da energia cinética . Então, o que
ocorre com parte da energia?
Devido ao atrito do corpo com o ar, parte da energia se transforma em calor
(energia térmica), aumentando a temperatura do corpo e do ar à sua volta.
Essas const atações nos conduzem ao princípio geral da conservação de energia:
A energia total do Universo permanece constante: não pode ser criada
nem destruída, apenas uma forma de energia se transforma em outra.
Quando apenas forças conservat ivas realizam trabalho, a energia mecânica
se conserva. No exemplo do objeto solto do alto do prédio, a força de resistência
do ar, que é força não conservativa, realiza trabal ho resistente diminuindo a
energia mecânica do sistema. Geralmente as forças de atrito têm seu trabalho
transformado em energia térmica.
Generalizando, a resultante R do sistema de forças que age no corpo é
constituída de forças conservativas Fcons e forças não conservativas Fnão coo,·
= F cons + F nãocons
R
<\ =
(JF
+ (JFnào cons
cons
como {
cí= E-E
R
e;
<i
<;
= Epo¾ f cons
E
P0 ½
- .'É
+'.,',e;Fnâocons
'i '
poti
', potf
'- -~ - - - -
~ - ((',.= E
f
'
õ
Fnão cons
= Emf -
E
mi
A expressão f inal, chamada de teorema da energia mecânica, represe nta
a diferença entre as energias mecânicas nas posições fi nal e inicial ocupadas
pelo corpo ou sistema de corpos, que é igual ao t rabalho das forças não conservativas que agem no corpo ou no sistema de corpos .
21 O
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercício resolvido
13 Um vagonete de 30 kg é lançado sobre trilhos da posição A
com velocidade 2 m/s. Nesse local a aceleração da gravidade é
10 m/s2 e os possíveis atritos devem ser desprezados.
Nessas condições, e de acordo com os dados do esquema,
determine:
a) a energia cinética do vagonete na posição B;
b)a intensidade da velocidade do vagonete na posiçãoB;
c) a energia cinética do vagonete na posição C.
Resolução
plano de referência
a) Se não considerarmos as forças dissipativas (de resistência do ar e de atrito), o sistema será conservativo:
EcA + Ep<>tA =E"1! + EpotB
2
30. 2 2
mvA + mgh = E + O~ - - + 30 · 10 · 10 = E ~ E = 3 060 J
2
A
<s
2
<s
<s
30 · v 82
~v = 143m/s
2
B
'
rn~
30 · 2 2
c)E =E ~ - A + mghA=E + m ~ ~ - - + 30·10·10=E + 30·10 · 6~E =3060-lBOO~E =1260J
"'s
m,:
2
"e
2
"e
<e
"e
b)E
<s
rnv2
8 ~3060=
= -2
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
51 . Sabendo que a energia não desaparece, que apenas
há transformação de uma forma de energia em outra,
explique em termos energéticos o funcionamento de:
a) um coletor solar;
d) uma usina nuclear;
b) um escorregador;
e) uma usina hidrelétrica.
c) um sistema de arco e flecha;
52. Afigura mostra o perfil de uma montanha-russa onde
um carrinho desliza sem resistências ao seu movimento. Copie e complete a tabela a seguir, substituindo as letras pelos valores de energia pedidos.
53. Calcule a energia mecânica do bloco, de massa
m = 1 kg, no instante considerado na figura, sabendo que a mola /
está deformada
em 0,10 m e sua
constante elástica é 200 N/m. 11
54. Um carrinho de massa 40 kg parte do ponto A , inicial-
mente em repouso, e roda livremente.
Sm
Ponto
Altura ~ Ecinética
E- = EP + Ec
(J)
(J)
(m)
1
10
800
li
o
Ao
Ili
5
8 400
E1300
1 1700
IV
2,5
C 200
F 1soo
J 1700
Dgoo
1700
G 1700
H 1700
Supondo a aceleração da gravidade local de 10 m/ s2,
a energia potencial nula no ponto C e sem dissipação,
d t
·
54. b) B(E = 1600 J e E = 400 J); C(E = OJ e E = 2000 J);
eermme: D(E=1680JeE=320J)
•
'
a) a energia mecânica cfo carrinho; 2000 J
b) a energia potencial e cinética nos pontos B, C e D ;
c) a velocidade do carrinho ao passar pelo ponto C;
d) a velocidade do carrinho ao atingir o ponto D .10 m/s
51 . a) Conversão da energia pr011eniente das radiações solares em energia termica. b) Conversão de energia potencial gravitacional em energia ónética.
4 mls
e) Conversão de energia potencial elástica em energia ónetica. d) Energia liberada pela fissão dos núcleos atômicos em energia elétrica. e) Conversão de
211
energia potencial gravitaóonal em energia elétrica.
Capítulo 12 • Energia e trabalho
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
1:[email protected]@a; sa __________________
Já conhecemos diferentes formas de energia e sabemos que elas podem se
transformar de um tipo para outro. Agora, vamos estudar como essas transformações ocorrem, ou seja, analisar a forma como a energia é transferida de um
sistema de corpos pa ra outro.
Acompanhe esta situação: dois elevadores
precisam transportar a mesma carga do térreo ao
sétimo andar de um prédio . Um deles está equipado com o motor A e realiza esse trabalho em
30 s; o outro, equipado com o motor 8, realiza
esse trabalho em 50 s. Nessas condições, podemos dizer que o motor A é mais eficiente que o
8, pois realiza o mesmo trabalho em um intervalo
de tempo menor.
Definimos potência como a rapidez com que
ocorrem as transformações ou transferências de
energia.
Forma lizando matematicamente, a potência
média Pm é o quociente da energia transferida
iiE pelo intervalo de tempo iit em que essa
transferência ocorreu.
O trabalho de uma força está associado à transformação ou transferência de energia; portanto, a potência média de uma força representa a relação do traba lho da
\ nesse intervalo de tempo.
força <
e;
p
=-F
m
l!.t
No SI, a unidade de potência é o Watt (W), denominação dada em homenagem ao engenheiro escocês James Watt (1736- 1819), cujo t rabalho mais conhecido foi o aperfeiçoamento da máquina a vapor.
pm
e;
=
Li~
=
iiE
M
=
J
s
=
watt
Duas unidades muito utilizadas, que não pertencem ao SI, são:
Carro com motor 1.0
Sabemos que um carro
de Fórmula 1 é muito
mais potente que um
carro convencional. O
que significam os termos
potente e potência?
•
horse-power (HP), da Inglaterra: 1 HP = 746 W
•
cheval-vapeur (cavalo-vapor, cv), da França: 1 cv
=
735 W
A potência média também pode ser associada a uma força . Considerando
uma força paralela ao deslocamento:
Profe,50, os comentários dessa seção encontram-,e no Caderno de orientações no final deste
volume.
p
m
=
e;
-F
M
F·d
= --
M
d
Como vm = At' temos:
l
~,>
Pm ;;f · v m
L
212
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
,.. Exercícios resolvidos
..14•
Um motor de 500 W de potência precisou de 100 s para arrastar um corpo entre duas posições, com movimento
retilíneo e uniforme. Nessas condições, determine, emjoules, o trabalho motor.
Resolução
P=
0
_
F
M
=} ('.'; = PM = 500 · 100 =} ('.'; = 5 · 104 J
Um atleta sobe uma rampa em 40 s e chega ao topo, a uma altura de 20 m em relação ao ponto de partida. Determine:
a) a variação da energia potencial do atleta;
b) a potência média desenvolvida por ele.
Dados: o ponto de partida está no nível de referência, a massa do atleta é 80 kg e a aceleração da gravidade é 10 m/s2 •
Resolução
a) ô.E = EPs - EPe =} L\E = mghB - mghA =} L\E = 80 · 10 · 20 - 80 · 10 · O =} ô.E = 1, 6 · 104 J
b)P =ô.E= 1•6 · l04 =}Prn=4·102 =}P=4·102W
m
M
40
• · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
55. O motor de um guindaste eleva um bloco de 120 kg
59. Localizado na cidade de Salvador (BA), o elevador
do solo até uma altura de 20 m, com movimento retilíneo e uniforme. Determine a potência do motor,
sabendo que o tempo usado nessa operação foi 30 s.
Dado: g = 10 m/S2. 800W
Lacerda teve sua construção iniciada em 1869 e foi
concluída em 1873. Com 72 metros de altura e duas
torres, liga a cidade baixa à cidade alta. Atualmente,
funciona com quatro cabines eletrificadas com capacidade para transportar 32 passageiros cada uma, em
um tempo de permanência de 22 segundos.
56. Duas máquinas desempenham a mesma tarefa no
mesmo local: erguer um corpo de 80 kg, do chão até
uma altura de 20 m, com MRU. Sabendo que a máquina A utiliza 20 s e a máquina B utiliza 25 s para
realizar a operação, determine: Dado: g = 10 rn/s2 •
a) o trabalho da força aplicada pelas máquinas A e B
aoscorpo. 16000Je 16000J
b)a potência das máquinas A eB. soowe 640W
57. Suponha que durante a manutenção de um elevador
com 1000 kg de massa total, ele tenha conseguido se
deslocar nos primeiros 60 m em 30 s. Nessa situação,
determine:
a) a velocidade média do elevador; 2 mls
b) a potência média desenvolvida pelo motor elétrico
do elevador. 20 kW
58. Dois sacos de cereais,A (mA = 25 kg) e B (~ = 50 kg),
são erguidos ao mesmo tempo a uma altura de 1 m
e 0,5 m, respectivamente. Compare as potências desenvolvidas em cada caso. Elas são iguais.
Elevador Lacerda. Salvador, Bahia (2015).
Qual a potência média necessária para fazer a elevação de uma massa total de 700 kg? 2s2oow
60. Em determinado trecho de uma estrada, a pista
apresenta inclinação de 30º em relação ao plano horizontal. Nesse trecho, um veículo de massa 10 000 kg
mantém, durante a subida, a velocidade constante
de 9 km/h. Determine a potência necessária para o
motor do veículo.
Dado g = 10 m/s2 • 1,25 · 10'W
Capítulo 12 • Energia e trabalho
213
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
61. (ITA-SP) Uma queda de água escoa 120 m3 de água
por minuto e tem 10,0 m de altura. A massa específica
da água é 103 kg/m3 e a aceleração da gravidade é
9,81 m/s2 • A potência mecânica da queda de água é:
a)2,00W
b)235 · 105 W
xc) 196kW
d)3,13 · l03 W
tre os segundos e de um local onde haja uma escada
entre dois pavimentos.
Inicialmente, meça a altura do pavimento que você
irá subir. Em seguida, suba a escada e marque o tempo utilizado para chegar ao topo. Procure manter a
velocidade de subida constante.
Utilizando os valores da massa, do tempo e da altura,
determine:
e) 1,96 · 102 W
62. Para desenvolver esta atividade, você vai precisar do
valor da massa de seu corpo, de um relógio que regis-
a) o trabalho realizado para deslocar-se do chão até o
topo da escada;
b) a potência utilizada nessa tarefa. Respostas pessoais.
~ Rendimento
Podemos def inir rendimento como a eficiência no desempenho de uma
tarefa . Desse modo, um motor com rendimento ideal se ría aquele que utilizasse
toda a energia fornecida pelo combustível para gerar movimento. Mas isso não
ocorre porque parte dessa energia é transformada em energia térmica e em
energia sonora, o que podemos facilmente constata r pelo aqueciment o e pelo
barulho do motor.
A eficiência de qualquer dispositivo que transforma ou transfere energia
pode ser obtida pela razão entre a energia útil, energia que é aproveitada para
determinada finalidade após ser transformada pelo disposit ivo, e a energia total,
energia que originalmente é fornecida ao dispositivo. Por exemplo, no caso dos
motores projetados para produzir movimento, podemos dizer que a energia tota l
é a energia recebida pelo motor; aquela transformada em energia cinét ica é a
energia útil; e a que se transforma em outros tipos de energia que não é aproveitada para o movimento é chamada de energia dissipada.
Considerando as transformações de energia por unidade de tempo, em síntese,
a potência fornecida ao dispositivo é chamada de potência tota l Pt; a que é
realmente utilizada para realizar a tarefa é chamada de potência út il Pu; a que não
é empregada na tarefa é chamada de potência dissipada Pd.
"dispositivo· que
transfere ou
transforma energia
-
Aplicado o princípio de conservação da energia,
a soma das potências útil e dissipada corresponde à
potência tota 1.
Assim, o rend imento 11 do "dispositivo " é definido pela relação entre potência útil e potência total, representado por:
p
11
= - P,"-
Sendo P" ~ P,, temos: O ~ 11 ~ 1 ou 0% ~ 11 ~ 100%. Ê frequente expressarmos o rendimento de um sistema em porcentagem.
Para um mesmo intervalo de tempo, é possível relacionar o rendimento ao
trabalho:
214
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercício resolvido
16, Um motor de combustão interna, semelhante ao de um carro, requer 2 000 J de energia química para funcionar
durante 20 se produzir 400 J de energia útil de movimento. Nessas condições:
a) faça um esquema do funcionamento do motor, representando as energias útil, dissipada e total;
b) determine as potências útil, dissipada e total;
c) determine o rendimento do motor.
Resolução
a) E,= E
0
+ Ed ~ 2000 = 400 + Ed ~ Ed = 1600 J
400
b)P" = ~~ P. = 20 W
pd =
1600
2 0 ~ pd =
Eu = 400J
..
E, = 20001
motor
~
80 w
Ed =l600 J
p = 2000
p = 100 W
'
20 ~ 1
c),i =
P
_u
pt
20
= --~'T]= O 2ou20%
100
'
. .
Exerc1c1os
propostos
63. Toda máquina possui um rendimento, que pode ser
expresso pelo quociente entre potência útil e potência total (TI = :: ). Assim o rendimento é um número
que pertence ao intervalo:
a)TJ,;;; TI ,;;; 0,8 ou em porcentagem 0%,;;; TJ,;;; 80%.
b) TI ,;;; O,5 ou em porcentagem TI ,;;; 50%.
x c) O ,;;; TI ,;;; 1 ou em porcentagem 0% ,;;; TI ,;;; 100%.
d)'T] ;,, 1 ou em porcentagem TI ;,, 100%.
e) 0,5 ,;;; TI ,;;; 1 ou em porcentagem 50% ,;;; TI ,;;; 100%.
64. Considere as seguintes afirmações e julgue-as em falsa (F) ou verdadeira (V), de acordo com sua veracidade ou não.
v I) Um automóvel na queima de seu combustível
possui uma potência de 150 HP (horse-power,
1 HP = 746 W), mas somente 50 HP são aproveitados de forma útil. Assim o rendimento do motor
é de aproximadamente 33%.
VII) Uma lâmpada consome potência de 50 W e a
converte em luz 15 W da potência consumida. Portanto, o rendimento dessa lâmpada é de 30%.
v III) Em um liquidificador, parte da potência que entra através da rede elétrica é convertida em energia
mecânica e parte é convertida em calor, assim toda
máquina possui um rendimento.
Escreva
no caderno
65. Em um degrau da escada rolante de um supermercado foi colocado um pacote com 100 kg. Em 50 s o
pacote foi levado, com velocidade constante, do térreo ao primeiro andar, a 6 m de altura. Sabendo que
nesse local g = 10 m/s2 , determine:
a) nesse intervalo de tempo, o trabalho da força peso
do pacote. - 6000 J
b) o rendimento do motor que aciona a escada rolante,
sabendo que a potência total é 800 W. 15%
66. Após perfurar um poço de 10 m de profundidade, um
agricultor instalou um motor de 2 HP de potência e
com ele consegue bombear 7,46 1../s de água. Considere g = 10 m/s2, 1 HP = 746 W e 1 L de água
equivalente a 1 kg. Nessas condições, determine:
a) a potência útil do sistema;
b)o rendimento do motor.
1 HP
50%
67. Um guindaste eleva uma carga de 210 kg a uma altura
de 20 m em 40 s. Sabendo-se que o guindaste funciona com uma potência de acionamento de 2 000 W,
encontre o valor do rendimento do motor. =53%
68. Na construção de um edifício comercial, determinada máquina consome potência de 4800 watts
e, para a função que ela foi designada, dissipa uma
potência de 1200 watts. Determine o rendimento
dessa máquina. 0.75 ou 75%
Capítulo 12 • Energia e trabalho
215
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Recordando os estudos anteriores, você deve ter chegado à conclusão de que
o prin cípio da conservação da energia mecân ica é um conceito físico importante
para a descrição do movimento dos corpos e de suas interações. Com o objetivo
de obter outro recurso que possibilite caracterizar o estado de movimento dos
corpos, vamos estudar o conceito da g randeza quantidade de movimento.
Acompanhe as situações a seguir.
Um veículo com carga, que desenvolve velocidade v, e tem massa m, , bate
em um obstáculo. A mesma situação se repete, dessa vez com o veículo sem
carga, com a mesma velocidade (v2 = v1) e massa m2 •
Situação 1:
(m 1 = massa do sistema caminhão-carga)
V,
Situação 2:
(m2 = massa do caminhão)
A massa do sistema caminhão-carga na situação 1 é maior que a massa do
caminhão na situação 2, o que causa um efeito maior na colisão. Isso nos leva a
concluir que a massa do corpo interfere no fenômeno.
Vamos considerar agora a mesma colisão em mais duas situações diferentes: o
caminhão com carga terá a mesma massa, porém velocidades diferentes (v3 > v4) .
Situação 3:
Situação 4:
216
(v, = velocidade do caminhão)
(v4 = velocidade do caminhão)
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Se a velocidade v3 , na situaçáo 3, é maior que a velocidade v4 , o efeito da
colisáo também o será, visto que em ambas as situações a massa permaneceu
constante . Isso nos leva a conclu ir que a velocidade também é uma grandeza que
interfere no fenômeno.
Situações que envolvem a massa e a velocidade de um ponto material, semelhantes aos exemplos citados, servem para definir a grandeza vetorial quantidade
de movimento ou momento linear, que passaremos a representar por Q .
No caso de um ponto material de massa m que se movimenta com velocidade
podemos expressar a quantidade de movimento() desse ponto mat erial como:
v,
v
io ,- -·--º-·~
Õ=
mv
A quantidade de movimento é uma grandeza vetorial com a mesma direçáo
e o mesmo sentido do vetor velocidade.
Considerando um sistema de pontos materiais de massas m 1 , m 2 , ... , m", que
em determinado instante apresentam velocidades respectivas v,,v2, • • • , v", conseguiremos representar a quantidade de movimento do sistema assim:
O = O, + 01 ··· + Q"
Q=
m,v, + miz+ ... + mnvn
No SI, a unidade de medida da quantidade de movimento é o produto entre
quilograma e metro por segundo: kg· m/s.
Nota: Lembre-se de orientar a trajetória para adotar os sinais da velocidade e da
quantidade de movimento.
Exercício resolvido
1 Uma caminhonete de massa II½ = 6000 kg descreve uma trajetória retilínea e horizontal com velocidade v = 20 m/s.
Determine a quantidade de movimento:
a) da caminhonete;
b) da caminhonete carregada com uma carga de massa rn.i
= 2 000 kg.
Resolução
a) O módulo da quantidade de movimento é:
Q1 = ~ V = } Q1 = 6000 · 20 =} Q = 120000 kg· m/S
(na direção horizontal)
b) Nesse caso, a velocidade da caminhonete e a da carga têm o mesmo sentido e direção.
caminhonete: Q1 = m 1 v
carga: Q2 = m 2v
Q = Q1 + Q2 =} Q = (m1 + m 2 )v ~ Q = (6000 + 2000) · 20 =} Q = 160000 kg· m/s
(na direção horizontal)
Capítulo 13 • Impulso e conservação da quantidad e de movim ento
217
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no cadern
1. As quantidades de movimento podem se anular? E as
energias? Justifique sua resposta. Resposta no final do livro.
2. Se um corpo em movimento duplicar sua velocidade, qual quantidade de movimento irá adquirir? E de
. ? A quantidade de movimento duplicará (diretamente proporcional
energia·
à
velocidade), e a energia cinética quadruplicará (diretamente proporcional aq guadrado da velocidade).
3. Um satélite artiticialA descreve movimento circular e
uniforme ao redor da Terra conforme representação
a seguir.
- --~A -/
'
'
'
/
'
I
8. Um ciclista experiente, de 80 kg, pedala ao lado de
sua aprendiz, de 60 kg. Para melhorar o preparo físico da jovem, o ciclista determinou que os dois mantivessem a mesma quantidade de movimento. Sabendo
que vc = 1,5 m/s é a velocidade do ciclista experiente,
determine a velocidade que precisa ser desenvolvida
pela aprendiz (v.), para que essa meta seja atingida.
2 m/s
\
\
I
1
1
1
1
1
1
I
1
\
1
I
'
1
1
1
I
\
I
\
I
\
''
/
/
'
/
,/
--- - -
Representação de um satélite em movimento circular ao redor
da Terra (Imagem sem proporção e em cores-fantasia).
Analise as afirmativas a seguir e responda se são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
a) A Quantidade de movimento do satélite é variável.
"Verdadeira, ROis há variação na dileção do vetor quantidade de movimento.
b) O módulo da Quantidade de movimento do satélite
,
.,
Falsa, pôis no movimento uniforme a velocidade escalar é
e vanavel. constante; portanto, o módulo da quantidade de movimento
tamtleíj1 e constante.
c) A energia cinecica do satélite é constante.
Verdadeira, pois a massa e a velocidade escalar são constantes.
4. Um ciclista de massa 70 kg conseguiu percorrer
30 m em 10 s com velocidade constante. Se a bicicleta tem 3,0 kg, qual a intensidade da quantidade de
movimento do conjunto? 219 kg - m/s
V
5. Determine a relação-A entre os módulos das velocivs
dades das partículas A e B, sabendo que suas massas
são Me 2M, respectivamente, e que num dado instante a quantidade de movimento tem módulos iguais. 2
6. Uma partícula de 0,2 kg e velocidade escalar
v = 1,5 m/s descreve movimento circular uniforme.
Avalie se a quantidade de movimento da partícula é
.
,
Como o movimento é
constante e determme o seu modulo. circular a velocidade
varia em direção; logo a Q também varia. O módulo é constante e iguai'a 0,3 kg · m/s.
7. Com o propósito de promover a integração dos jovens
de um bairro, os pais dos alunos resolveram promover encontros esportivos nos fins de semana. Durante
uma competição de lançamento de pesos, uma aluna conseguiu lançar um peso de massa 3,0 kg a uma
velocidade inicial de 5,0 m/s. Considere o SI e determine a energia cinética e a quantidade de movimento
impressas ao disco. 37,5 J; 15,0 kg - mls
218
Ciclistas. A prática de esportes, com acompanhamento médico,
pode melhorar a qualidade de vida das pessoas.
9. Calcule a quantidade de movimento, em kg · m/s, ao
fim de 8 s, de um corpo de massa 0,5 kg que está
se deslocando ao longo de uma trajetória retilínea
com aceleração constante de 0,3 m/s 2, partindo do
repouso. 1.2 kg · m/s
10. Uma bola com massa 20 kg foi lançada com veloci-
dade de 10 m/s, na direção horizontal e sentido da
direita para esquerda. Determine, nesse instante, o
módulo, a direção e o sentido da quantidade de movimento da bola. 200 kg · m/s, direção horizontal e
sentido da direita para a esquerda.
11 . Um corpo de massa 0,5 kg realiza um movimento re-
tilíneo uniformemente variado obedecendo a função
horárias = 5 + 2t + 3t2, em que s é medido em metros e tem segundos. Determine:
a) a equação da velocidade desse corpo; v = 2 + 61
b) o módulo da quantidade de movimento desse corpo no instante 2 s. 7 kg · m/s
12. Um caminhão, quando não transporta carga, tem
quantidade de movimento de 25 000 kg · m/ s ao atingir a velocidade de 90 km/ h. Seu condutor deseja
transportar uma carga de 2 000 kg mantendo a mesma quantidade de movimento. Determine:
a) a massa do caminhão sem a carga; 1000 kg
b) a velocidade, em km/h, que o caminhão com a carga atinge, mantendo a mesma quantidade de movimento. = 30 km/h
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Vamos explorar uma situação bastante conhecída para desenvolver a ideia
de impulso: uma jogada em um j ogo de futebol.
Trapezistas.
Se o trapezista cair e no
lugar da rede for colocada
uma prancha de madeira.
ele se machucará. Por que
isso não acontece com
a utilização da rede?
Professor, ~ comentár i~ dessa ~o enrontram-se no Caderno de orientações no final deste
volume.
Jogadora e goleira no momento do chute realizado pela atacante.
Ao chutar a bola, a jogadora está aplicando sobre ela determinada força,
durante um intervalo de tempo. Dizemos, então, que a j ogadora exerce na bola
um impulso.
Portanto, a ideia de impulso está vinculada a duas grandezas físicas: força e
tempo.
Se considerarmos uma força constante F agindo em um ponto material
durante um intervalo de tempo M = t 2 - t 1, teremos que o impulso Tda força
Fé def inido por:
O vetor impulso tem a mesma direção e o mesmo sentido da força, e sua
intensi dade é determinada por 1 = FLit, sendo F a intensidade da força e át o
intervalo de tempo em que essa força atua.
Podemos dizer que a intensidade do impulso I será tanto maior quanto maior
for a intensidade da força F e quanto maior for o intervalo de tempo At no qual
ela age.
No SI, a unidade de medida de impulso é newton x segundo (N · s).
No gráfico F x t, a área amarela é numericamente igual à intensidade do
impulso da força F no intervalo de tempo considerado.
Area (A)
= F~t => A
A
~1
Mesmo que a intensidade da força varie com o tempo (mantendo a mesma
o
direção), vale a propriedade anterior, ou seja, A ~ 1.
Capítulo 13 • Impulso e conservação da quantidade de movimento
219
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Teorema do impulso
A quantidade de movimento e o impulso de uma força são grandezas relacionadas. Retomemos o exemplo da jogadora que aplica a força F, durante o
intervalo de tempo At, sobre a bola de massa m que se movimenta com velocidade inicial 1 • A ação dessa força causa na bola uma aceleração ã, alterando a
velocidade para 2 .
Com isso, podemos dizer que a força F foi responsável pela alteração da
quantidade de movimento da bola de 1 = mv, para 0 2 = mvr
v
v
õ
..
}
------ ."1!
v,
.e:
m
Se admit irmos que um ponto material de massa m descreve movimento retilíneo uniformemente variado, causado pela ação de força resultante F, teremos:
t,,.v
F= ma=> F= m-=>
M
=> FM
= mt,,.v => FM = mv2 -
mv,
G)
mv,
Sendo o termo FM igual ao impulso Tda força result ante e os termos
e
1 iguais à quantidade de movimento inicial e fina l, podemos reescrever a
equação (D da seguinte maneira:
mv
Esse desenvolvimento matemático nos diz que a ação da resu ltante das forças
que agem em um ponto material, durante um intervalo de tempo At, imprime a
esse ponto material um impulso l,que corresponde à variação da quantidade de
movimento nesse intervalo de tempo.
Essa expressão, conhecida como teorema do impulso, é válida para ref erenciais inerciais. Embora esse teorema tenha sido demonstrado para o MUV.
também é vál ido para outros movimentos em qualquer trajetória.
Exercício resolvido
2 Um corpo de massa 0,3 kg se desloca com movimento
retilíneo sob a ação da força resultante que se mantém constante. Sabendo que a velocidade inicial é
4 m/ s, e que após 4 segundos ela atinge o valor de
6 m/s, determine:
a) a quantidade inicial de movimento do corpo;
b) a quantidade de movimento do corpo, após 4 segundos;
c) o impulso da força resultante impressa ao corpo;
d) a intensidade da força resultante que age no corpo.
Resolução
b) Após 4 segundos, temos:
Q = mv = 0,3 · 6 => Q = 1,8 kg · m/s
Q. e Q com a mesma dj'
reção e o mesmo sentido, e sabendo que I = Q - Õ;,
e) Considerando os vetores
então:
I = Q - Q1 = 1,8 - 1,2 => I = 0,6 N · s
d) Sendo I =
F = _l_ = 0,6
M
a) Inicialmente, temos:
Q, = mv; = 0,3 · 4 => Q; = 1,2 kg · mjs
220
F· M , temos:
4
F = 0,15 N
Unidad e 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
13. Analise a situação de um corpo que se desloca com
movimento retilíneo e uniforme. Responda aos itens
e justifique.
a) A quantidade de movimento desse corpo varia? Não.
b)Como você avalia o impulso da força resultante
que age no corpo? O impulso é zero. A resultante é nula.
14. Durante um filme de ficção o narrador descreve uma
cena em que uma bola de massa 0,30 kg se desloca
com velocidade de 10 m/s. Mantendo a mesma direção e sentido, essa bola tem a sua velocidade aumentada para 30 m/s. Considere o SI e determine o
módulo do impulso resultante sofrido pela bola. 6,0 N · s
15. (Vunesp-SP) A intensidade (módulo) da resultante
das forças que atuam num corpo, inicialmente em repouso, varia como mostra o gráfico.
Durante todo o intervalo de tempo considerado, o sentido e a direção dessa resultante permanecem inalterados. Nessas condições, a quantidade de movimento,
em kg· m/s (ou N · s), adquirida pelo corpo é:
F(N)
2
x a)8
a) O impulso que uma partícula recebe, ao longo de
uma trajetória, em movimento circular e uniforme é
igual a zero.
x b)A energia cinética de urna partícula em movimento
curvilíneo e uniforme não varia ao longo da trajetória.
c) A quantidade de movimento de uma partícula em
movimento curvilíneo e uniforme permanece constante ao longo da trajetória.
d) Duas esferas, com massas distintas, caem em
queda livre do último andar de um edificio. Segundos antes de atingirem o solo, elas apresentam a
mesma quantidade de movimento.
e) No SI, as grandezas físicas impulso (N · s) e quantidade de movimento (kg · m/s) apresentam unidades
diferentes.
17. Em uma partida de vôlei, uma bola mal arremessada
atingiu a cabeça de um torcedor que estava parado
próximo à lateral da quadra. A velocidade da bola
era 6,0 m/s e, após bater nesse torcedor, retorna na
mesma direção com velocidade 5,0 m/s. Considere a
massa da bola, m = 300 g, e determine o impulso da
força que a cabeça aplica na bola. 3,3 N · s
18. Cientistas usam um simulador para fazer testes com
1
O
16. Identifique a alternativa correta.
2
b) 15
6
c) 16
8
t (s)
d)20
e)24
um objeto espacial, de massa 10 kg. Nessa simulação,
o objeto se movimenta com velocidade constante de
2,0 m/s, em relação a um referencial inercial, e está
livre da ação de forças. Quando resolveram parar o
objeto, fizeram agir nele uma força de 2 N, na mesma
direção e sentido contrário ao do movimento. Durante
quanto tempo essa força precisa agir? 1os
Pense além
Defendeu!
Depois de assistir a uma partida de futebol,
cuja decisão foi para os pênaltis, um t orcedor
afirmou que o impulso da força aplicada pelo
atacante na bola é positivo e que o impulso da
força aplicada pelo goleiro, com objetivo de parar a bola, é negativo.
Responda
Escreva
no caderno
1. Você considera que a afirmação do torcedor
está correta? Se o goleiro conseguisse realizar
a defesa agarrando a bola, o que poderíamos
dizer sobre a intensidade do impulso impresso pelo atacante e pelo goleiro?
Goleiro defendendo pênalti chutado pelo jogador.
O im ulso é uma randeza vetorial e, rtanto. não admite sinal.
Podemos dizer que os módulos dos impulsos são iguais.
Capítulo 13 • Impulso e conservação da quantidade de movimento
221
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Antes da colisão
Após a colisão
Já exploramos várias situações práticas em que o conceito de
quantidade de movimento foi fundamental para o entendimento dos fenômenos físicos envolvidos. Agora, vamos estudar o
conceito de quantidade de movimento nos casos de interações
de curta duração entre corpos que constituem um sistema isolado, ou seja, em que a resultante de forças externas é nula . As
colisões e as explosões podem ser citadas como exemplos.
Se analisarmos o sistema de corpos formado por duas esferas,
como mostra a ilustração ao lado, teremos, durante a colisão de
ambas, uma troca de forças em um inteNalo de tempo muito pequeno. Como essas forças são trocadas entre os corpos que pertencem ao sistema, chamamos de forças internas. Se utilizarmos
o princípio da ação e reação, é possível dizer que a ação dessas
forças causa variações das quantidades de movimentos de mesma intensidade e de
sentidos opostos, sem alterar a quantidade de movimento total do sistema.
Caso haja variação de Q, devemos atribuir esse fato a um agente externo ao
sistema, que passaremos a chamar de força externa. Se observarmos o caso das
esferas aqui mencionadas, podemos citar como exemplos de forças externas as
forças peso, normal ou atrito.
Assim, chamaremos de sistema isolado aquele cujas forças externas são nulas, ou possuem intensidade muito menor quando comparadas às forças internas
ou se a resultante das forças externas é nula.
Enunciando o princípio da quantidade de movimento, podemos dizer que:
A quantidade de movimento total, Q, de um sistema se conserva se a
resultante das forças externas que agem no sistema é nu la.
Ou algebricamente:
Exercício resolvido
3 Um patinador (A) e uma patinadora (B), de massas
Resolução
80 kg e 60 kg, respectivamente, estão em repouso
sobre uma pista de gelo plana e horizontal. Eles se
empurram e se deslocam na mesma direção e em
sentidos opostos: o patinador para a esquerda, com
o início, o sistema patinador-patinadora está em repouso e a resultante das forças externas (peso e normal)
é zero. Então, a quantidade de movimento do sistema:
velocidad e 3 m/s, e a patinadora para a direita. Determine a intensidade d a velocidade da patinadora.
• após se empurrarem: Õ.p,1s = QA + Q0
• antes de se empurrarem: Qinício = Õ
Havendo conservação da quantidade de movimento,
teffiOS: Qinício = Qapós => õ = QA+ QB
Em módulo: O = mA· vA + m 0 • v 0
80 · 3
v = - - - - = - 4m/s
B
60
Patinadores inicialmente
em repouso.
222
Após terem se empurrado.
A intensidade da velocidade da patinadora é -4 rn/s.
O sinal negativo significa que o patinador e a patinadora se deslocam em sentidos opostos.
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
19. Um condutor de canoa estava prestes a atracar na
margem de urna lagoa para descarregar a mercadoria que transportava quando perdeu o remo. A
canoa, o condutor e as várias caixas transportadas
tinham juntos massa de 300 kg e pararam a 5 m
da margem sem a possibilidade de continuar o movimento. O condutor se viu obrigado a jogar para
trás (no sentido oposto ao do deslocamento) uma
das caixas de 50 kg. Supondo que a caixa saiu das
mãos do condutor com velocidade 15 rn/s em relação
à margem, determine a velocidade da canoa depois
desse gesto do condutor. 3 m/s
20. Produzido para cinema, televisão, teatro ou rádio, o
esquete é uma peça, geralmente, de caráter cômico
e de curta duração. Aproximadamente, em 10 minutos, os atores ou comediantes exibem a grande capacidade de improvisar e criar sobre variados temas.
Durante a gravação de esquece de novela, o artista
de 90 kg está distraído e parado sobre um skate. Desgovernada, sobre outro skate, uma moça, de 60 kg,
vem ao encontro do artista, com velocidade 0,5 m/s.
Após o choque e a interação, os dois deslizam juntos.
Determine a velocidade do casal, caso o atrito com o
piso não seja considerado. 0.2 m/s
Esueva
no caderno
a) a velocidade do carrinho A;
- 1,s m/s
b)a energia potencial da mola, no instante em que o
sistema é abandonado. 3,75 J
23. Um canhão de artilharia encontra-se na horizontal
e dispara uma bala, que sai de seu interior com velocidade de 200 m/s. Considerando que a massa do
canhão é de 800 kg e da bala 4 kg, determine a velocidade de recuo do canhão logo após o disparo. - 1,0 m/s
24. (UFC-CE) Um vagão A, de massa 100 kg, move-se
sobre trilhos horizontais com velocidade 10 m/s (figura A). Em determinado instante, um bloco B de
massa 25 kg cai verticalmente sobre o vagão, ficando
aderido a ele (figura B).
tJ
~©© .
A
1
<
10 m/S
Figura A
Figura s
Desprezando o atrito entre o vagão e os trilhos, a velocidade do conjunto vagão-bloco passa a ser:
a) 2,0 rn/s
b)4,0rn/s
c) 6,0 m/s
X d)8,0m/s
e) 10 m/s
21 . Uma balsa que tem 60 m de comprimento e 80 tonela-
25. Durante uma aula de Física, o professor, ao fazer uma
das de massa transportou um caminhão com 2 000 kg
de massa. Por causa de problemas nos motores, a balsa ficou parada e à deriva. O motorista resolveu agir
e deslocou o caminhão, de uma extremidade da balsa
à outra, com velocidade de 10 km/h. Com essa atitude, o motorista conseguiu provocar o deslocamento
da balsa? Em caso afirmativo, qual a velocidade da
balsa? Sim, com velocidade em módulo 0,25 km/h.
demonstração, afirmou que a resultante das forças
externas que agem num determinado corpo é nula.
Após essa afirmação, os alunos poderão concluir
sempre que para o corpo em questão:
a) a energia cinética total é constante.
b) a energia potencial total é constante.
c) a energia mecânica total é constante.
X d)a quantidade de movimento total é constante.
22. Para realizar uma experiência, os alunos comprimi-
26. Numa pista de patinação, um casal de bailarinos
ram uma mola com dois carrinhos A e B de massas
2,0 kg e 3,0 kg, respectivamente. Assim que o sistema
é abandonado, os carrinhos se deslocam em sentidos
opostos e a mola cai. Sabendo que o carrinho B adquire
velocidade 1,0 m/s, determine:
aguarda parado o toque musical para iniciar a apresentação. Assim que começa a música, o bailarino
empurra a bailarina para que possam começar a apresentação. Se considerarmos uma pista perfeitamente
lisa, em que a interferência do atrito pode ser desconsiderada, é correto afirmar:
x a) O bailarino e a bailarina movem-se em sentidos
opostos.
b)O bailarino e a bailarina continuam juntos, pela lei
da ação e reação.
c) A bailarina entra em movimento e o bailarino permanece em repouso.
d) O bailarino e a bailarina movem-se juntos no mesmo
sentido da força exercida pelo bailarino.
Capítulo 13 • Impulso e conservação da quantidad e de movim ento
223
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Pense além
Afinal, quem empurra quem?
Imagine uma pessoa saltando, por exemplo ao pular corda.
Considerando como sistema apenas a Terra e a pessoa e que,
inicialmente, a atleta está em repouso em relação à Terra,
então Qiniáal = O. Durante o processo de interação física (contato)
entre a Terra e a pessoa, para que se verifique a conservação da
quantidade de movimento do sistema, temos que, necessariamente, Q1inaJ = O. Para isso ser possível, é necessário que a Terra
apresente um recuo.
Escreva
no caderno
Responda
1. Como não conseguimos perceber tal fato, sugerimos a você
que encontre uma forma de comprovar se o princípio da conservação da quantidade de movimento se verifica neste caso
ou não. Oaluno pode aplicar a conservaç.10 da quantidade de movimento e determinar a
M ulher pulando corda.
velocidade de recuo da Terra. Supondo m,..... = 90 kg; v,..... = 1,5 m/s e sabendo
quem..,,= 6,0 - 20" kg, obtém-se que a velocidade de recuo da Terra é de v""' = 2,25 · 10-n m/s. Esse valor é muito pequeno e justifica o fato de nào
conseguirmos perceber o recuo daTerra, porém não se pode negar aaplicabilidade do principio da conservação da quantidade de movimento.
•
Você sabia?
Conservação da quantidade de movimento e a Física Moderna
O princípio da quantidade de movimento diz que:
"A quantidade de movimento total de um sistema se conserva se a resultante das forças externas que agem
no sistema é nula."
A importância desse princípio não está restrita aos estudos da Física Clássica, ele também é um recu rso
fundamental na aná lise e previsão de diversos fenômenos estudados pela Física Moderna. Exemplos dessa
apl icabilidade estão presentes nas experiências desenvolvidas nos aceleradores de partícu las, nos quais feixes
de partículas são acelerados e colidem à velocidade próxima à da luz. Levando em consideração a conservação da quantidade de movi mento, os dados obtidos
antes e após essas colisões fornecem informações a
respeito dessas partículas e sobre as forças envolvidas
no fenômeno.
Com o auxílio do acelerador de partículas, vários
elementos que antes eram desconhecidos puderam
ser sintetizados em laboratório . Esses equipamentos
complexos são usados para au mentar a velocidade de
partículas carregadas, t ais como os prótons, a fi m de
que possam bombardear núcleos atômicos estáveis.
No caso específico do LHC, o maior acelerador de
partículas do mundo, os cientistas tentam recriar, considerando temperatura e densidade extremas, condições
Trabalho de manutenção feito em um dos detectores do acelerador
semelhantes àquelas que existiam após o Big Bang.
LHC (2013).
Escreva
no caderno
1. Os conhecimentos sobre o princípio da conservação da quantidade de movimento e o uso da alta tecnologia que
constitui um acelerador de partículas possíbilitam aos cientistas investigar as propriedades relacionadas às partícui::
•
? Professor, comente com os alunos que esses conceitos são utilizados para deter·
. d
, .
1as fund amentais
a matena. De que iorma isso acontece. minar algumas informações sobre as partículas, tais como as !orças envolvidas
durante a colisão.
224
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Experimente a Física no dia a dia
Atenção
Faça o experimento
somente na presença
do professor.
Um modelo de canhão
Em filmes com temáticas históricas ou em documentários,
podemos ver o funcionamento de canhões antigos. Geralmente,
eles estão fixos em fortes, para defender a região de ataques, ou
em navios, para batalhas em mar. Apesar de terem uma massa
elevada, os canhões devem estar bem fixos no solo ou na embarcação. Nesse experimento, vamos simular o princípio do funcionamento dos canhões e por que eles precisam ser bem fixos
e estáveis.
Materiais
Canhão na Baía de Parati, Rio de Janeiro (2010).
• 3 pregos pequenos ou tachinhas
• 10 cm de linha ou barbante
• 1 elástico
• borracha escolar (projétil)
•
•
• tesoura
• 1 lixa de madeira
10 a 15 lápis cilíndricos
1 tábua de 15 cm X 10 cm
Passo a passo
•
Pegue a tábua e a deixe bem plana e lisa, lixando-a cuidadosamente.
•
Fixe dois pregos em um dos lados da tábua, um em cada canto. Um terceiro prego deve ser fixado no centro do
lado oposto.
•
Passe um elástico pelos pregos que estão nos cantos da tábua.
•
o centro do elástico, amarre um pedaço de barbante e estique-o na direção do prego que está no centro do lado
oposto. Enrole o barbante nesse prego para que o elástico fique preso e esticado. Tome cuidado para o elástico
não encostar no prego.
•
o "V'' formado pelo elástico esticado, coloque um objeto que servirá como projétil. Podem ser duas borrachas
amarradas.
•
Coloque diversos lápis cilíndricos sob a tábua, um paralelo ao outro, assim formará um tipo de esteira.
linha (ou barbante)
prego
Q
z
.SI
"
~
Representação do aparato
experimental.
•
Com uma tesoura, corte o barbante. Observe atentamente o que acontece.
Responda
Escreva
no caderno
Professor, os comentários dessa seção estão no Caderno de orientações no final deste volume.
1. Após o corte do barbante, o que acontece com o sistema?
2. O que se pode observar com relação à velocidade do projétil e à velocidade da tábua?
3. A massa de cada objeto exerce alguma influência sobre suas respectivas velocidades? Explique.
4. Compare e descreva o funcionamento desse aparato que você construiu com o canhão da fotografia apresentada
no início da atividade.
Capítulo 13 • Impulso e conservação da quantidade de movimento
225
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Em nosso estudo sobre colisões, vamos considerar que as partícu las que
constituem o sistema não sofrem variação de massa.
Vejamos o exemplo de um veícu lo colidindo com a traseira de outro veícu lo
estacionado.
Na primeira etapa da colisão, conhecida como fase de deformação, os corpos
se encontram e se deformam, e a energia cinética do sistema se converte em
outras formas de energia, como energia sonora, representada pelo barulho que
ouvimos; energia térmica, representada pelo aquecimento das peças do veículo;
energia potencial, representada pela energia armazenada pelo sistema.
A etapa f inal da colisão, chamada fase de restituição, inicia-se após a fase de
deformação e pode terminar com os corpos unidos ou separados, conforme a
natureza dos corpos envolvidos.
Exemplo de colisão traseira.
~ Coeficiente de restituição
Para caracterizar as propriedades elásticas dos corpos que interagem na colisão, vamos definir a grandeza coeficiente de restituição, representada por e. Considere uma colisão direta entre duas esferas, A e P, com velocidades
vA e vp, antes do choque, e v~ e v~, após ele. Nesse caso, o coeficiente de restituição é determinado pelo quociente
entre o módulo da velocidade relativa de afastamento v.1 e o módulo da velocidade relativa de aproximação v.p·
~
e = : •1 , com O~ e ~ 1, adimensional
ap
l
Quando as velocidades têm sentidos opostos:
Quando as velocidades têm o mesmo sentido:
~ e=
(
Nesses cálculos utilizamos os módulos das velocidades dos corpos.
~ Colisão elástica
Considere a col isão de duas esferas, em que não ocorre deformação permanente dos corpos. Nesse caso, além
da conservação da quantidade de movimento há a conservação da energia cinética total dos corpos envolvidos na
col isão, e o coeficiente de restituição é unitário: e = 1.
colisão
antes
após
~11;
11
A energia cinética do sistema se conserva:
E<an,es
= Ecapós·
O conceito de colisão totalmente elástica não se verif ica na prática, pois sempre há alguma dissipação de energia .
226
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Colisão parcialmente elástica
Na colisão parcialmente elástica, a energia cinét ica dos corpos envolvidos se dissipa em outras formas de
energia. Portant o, não há conservação da energia cinética, embora haja conservação da quantidade de movimento. Para esse tipo de col isão, o coeficiente de restitu ição pertence ao intervalo : O < e < 1.
antes
A energia cinética do sistema diminui: E<,ntes > E,,p0.-
~ Colisão inelãstica
Na colisão inelástica, os corpos não se separam, passando a ter a mesma velocidade. Nesse caso, o coefi ciente
de restituição é nu lo: e = O.
antes
colisão
~I~
A energia cinética do sistema diminui: E<,n,es > Ec,p0,
Exercícios resolvidos
antes
4 Um motorista abandona seu carro em urna rua plana, sem acionar o freio de mão. Outro veículo, com
velocidade 20 m/s, colide com a traseira desse carro,
e, imediatamente após o choque, os dois passam a se
movimentar juntos.
V
antes
-!I
-~
_,_--==-=----"-'""'--=--="--''---
_ : : . _,._.e..__ _ _
Resolução
a) Como há conservação da quantidade de movimento,
em módulo temos:
Qantes = Q,põs =} mAVA+ ~Vp = (mA+ mp)V =}
=} 1000 · 20 + 600 · O = (1000 + 600)v =}
=}V = 12,5 m/S
b) Após a colisão, os corpos continuam juntos; portanto, não há afastamento. Logo, o coeficiente de restituição é zero e a colisão é inelástica.
Sobre uma superfície horizontal e perfeitamente polida, duas esferas, A e P, movimentam-se em sentidos
contrários e, ambas com velocidade 3 m/s, até colidirem frontalmente. Sabe-se que as massas das esferas
são mA= 2 kg e ~ = 4 kg e que, após a colisão, a esfera A retorna com velocidade v~ = 4 m/s.
-~
;;]
Diante dessa situação, determine:
a) a velocidade da esfera P, após a colisão;
b) o tipo de colisão ocorrida;
c) a energia cinética dissipada, caso isso ocorra.
após
Considere a massa do carro parado 600 kg e a do
outro 1 000 kg. Determine:
a) a velocidade dos carros imediatamente após a colisão;
b) o tipo da colisão.
após
Resolução
a) Sabemos que a quantidade de movimento se conserva. Logo, considerando a orientação positiva da
trajetória para a direita, temos:
Q ,ntes = Q ,pós =} mA
VA- mPVP = mpV~ - mAV~ =}
=} 2 · 3 - 4 · 3 = 4v~ - 2 · 4 =} v ~ = 0,5 m/s
b) Podemos identificar o tipo de colisão determinando
o coeficiente de restituição:
e
=
=
Vaf
v;,. + y'P
vA+ vP
v,p
4 + 0,5
3+4
=
0 75
'
Como O < e < 1, a colisão é parcialmente elástica.
c) E
=
Cantes
mv
2
2
___!;____!;__
m v2
2
+ _.!...A.. =
2 · 32
---
2
4 · 32
+ - - - =}
2
=}ECantes =27J
E
=
m v' 2
m v' 2
2 · 42
4 · o,5 2
+ __
P _ P
_ = --- +
2
2
2
2
= 16,5 J
~
<após
=} ECapó.s
Af:c = 27 - 16,5 =} lllic = 10,5 J
A energia cinética dissipada na colisão foi 10,5 J .
Capítulo 13 • Impulso e conservação da quantidad e de movim ento
227
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· ·
ExerctCIOS
propost OS
Escreva
no caderno
27. Considere um corpo A de massa igual a 0,2 kg, deslo-
cando-se com velocidade 20 m/s, até colidir com outro corpo de massa 0,05 kg, em repouso. Determine a
velocidade dos corpos imediatamente após a colisão,
sabendo que a colisão é inelástica. 16 m/s
28. Ao analisar a colisão frontal de duas bolas de bilhar, A
e P, um estudante considerou que as bolas têm mas-
sas iguais (mA = rnp) e identificou que as velocidades
antes da colisão eram v A= 8 m/s e v P = 6 m/s. Qual a
velocidade das bolas após a colisão? v', = 6 m/s e v~ = 8 m/s
29. Durante um treinamento de futebol de salão, a bola de
massa m = 500 g é chutada com velocidade v = 20 m/s
e se choca frontal e elasticamente contra a trave do
gol. Determine, em módulo, a variação da quantidade
de movimento da bola. 20 kg - m/s
30. Sobre uma mesa com a superfície perfeitamente lisa,
em que a interferência do atrito pode ser desconsiderada, uma esfera de massa m e cor amarela permanece
parada_ Outra esfera igual à anterior, mas de cor verde,
desloca-se com velocidade constante vvttd, sobre amesma mesa. Em determinado instante ocorre uma colisão,
frontal e perfeitamente elástica, entre as duas esferas.
a) Após a colisão, qual a velocidade adquirida pela
esfera verde? Zero.
b) Qual a velocidade final da esfera amarela?
Éigual à velocidade da bola veide.
31 . Em outubro de 2014, entraram em vigor novas medi-
das para inibir os abusos praticados por motoristas
imprudentes. Entre elas, a legislação brasileira de
trânsito aumentou significativamente o valor das
multas para aqueles que fizerem a ultrapassagem em
lugar proibido ou pelo acostamento. De acordo com
essa legislação, o acostamento não deve ser usado
como faixa para trafegar, mas pode ser usado durante
uma parada emergencial.
são, respectivamente, as massas da caminhonete e do
carro, determine:
a) a velocidade dos dois carros juntos, após a colisão,
admitindo que o choque é perfeitamente inelástico;
· cmenca
· ' · perdid a na co lisao.
- 120 ooo J fi.7 m/s
b) a energia
32. (UFRJ) A figura representa o gráfico velocidade escalar x tempo para uma colisão unidimensional entre
dois carrinhos, A e B.
V
(m/S)
A
10,0 + - - - - 8,0
o
- 3,0
1
-- ---- - - -,1
B
t (s)
- s,o- -----'
B
Calcule:
a) a razão entre as massas mAe~ dos carrinhos.
b) o coeficiente de restituição nessa colisão. 0.73
1,0
33. Quando um corpo esférico, de massa m e velocidade
v, colide com outro corpo, de massa M, sendo M muito
maior do que m , podemos dizer que a velocidade do
corpo, de massa muito maior, não se altera, de tal forma que podemos considerá-lo "obstáculo imóvel". Um
exemplo prático dessa situação ocorre se abandonarmos esse corpo a uma altura H do solo. Após o choque
do corpo com o chão, ele retorna com velocidade v '
atingindo uma altura h, sendo h menor do que H. Observe a figura que representa a situação e determine:
antes da colisão
H
a) o coeficiente de restituição relacionado às velocidades v e v'; e =
f
b) o coeficiente de restituição relacionado às alturas
- - --
Motorista
trafegando pelo
acostamento_
Suponha que o motorista de um carro, viajando com
velocidade 72 km/h, ao tentar fazer uma ultrapassagem pelo acostamento, foi surpreendido por uma
caminhonete carregada, parada nesse local e, sem
condição de escape, viu seu carro bater na traseira da
caminhonete. Sabendo que 1,8 · 103 kg e 0,9 · 103 kg
228
H eh. e=
i
34. Um objeto esférico que enfeitava a parte superior de
um carro alegórico descolou e caiu de uma altura
H = 9 m, até atingir o chão. Após o primeiro encontro
com o solo, ele sobe ah= 4,0 m de altura. Considere
g = 10 m/s2 e a massa do objeto m = 3,0 kg. Nessa
situação, determine:
e =l
3
a) o tipo de choque e seu coeficiente de restituição;
b) a perda de energia cinética no choque. perda= 1501
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Lendo a Física
A medida do movimento e sua conservação
Durante algum tempo, no século XVII, uma polêmica discordância relacionada à medida do efeit o de
uma força sobre um corpo estimulou o trabalho e a reflexão de importantes pensadores. O texto, extraído
do livro Origens e evolução das ideias da Física (da Editora da Universidade Federal da Bahia- EDUFBA),
traz os pontos de vista do fi lósofo e matemático francês René Descartes e do também fi lósofo e matemático
alemão Gottfried Leibniz.
O filósofo francês Descartes acreditava também na existência de leis fundamentais da natureza, criadas
juntamente com a matéria, e que assim foram formuladas :
Cada coisa permanece no mesmo estado o tempo que puder e não muda este estado senão pela ação
das outras e cada parte da matéria jamais continua a mover-se segundo linhas curvas, mas sim segundo
linhas retas.
Se um corpo que se move encontra outro mais forte que ele, não perde nada de seu movimento, e se
encontra outro mais fraco, a quem possa mover, perde de seu movimento aquilo que transmite ao outro.
A primeira lei é uma espécie de princípio de inércia, que Newton formularia com mais precisão nos Prin-
cipia[ ...]. enquanto a segunda é uma lei geral dos choques, na qual Descartes postula que a quantidade de
movimento criada por Deus, no início, se conserva.[ ... ).
Estava assim estabelecida a lei geral de conservação do movimento, que, para Descartes, tinha a sua
verdadeira medida como o produto da massa pelo módulo da velocidade do corpo [...]
Em 1683, Leibniz, em sua obra Discurso de Metafisica, estuda mais profundamente a Física dos choques, reformulando os conceitos cartesianos, os quais passa abertamente a criticar:
Frequentemente nossos novos filósofos se servem da famosa regra em que Deus conserva sempre a
mesma quantidade de movimento do universo. De fato isto é muito plausível e antes eu próprio a tinha como
indubitável. Porém há algum tempo reconheci em que consiste o seu erro. O Senhor Descartes e muitos
hábeis matemáticos têm acreditado que a quantidade de movimento, isto é, a velocidade multiplicada pela
magnitude (massa) do móvel é exatamente a força motriz ou, para falar matematicamente, que as forças
estão na razão direta das velocidades e das magnitudes [. .. ]
A seguir, Leibniz nos demonstra que a massa vezes a velocidade não deve ser a verdadeira medida de
uma "força" e, sim, a massa pelo quadrado da velocidade.
Seu argumento básico é o de que um corpo A de massa igual à de um corpo B, porém caindo de altura
quatro vezes maior, ao colidir com o solo deve ter uma força quatro vezes maior. Galileu e Torricelli já haviam
descoberto que as velocidades finais de um corpo em queda livre eram proporcionais à raiz quadrada da
altura, e assim o corpo A , quando tocasse o solo, teria uma velocidade apenas duas vezes maior que a do
corpo B, o mesmo acontecendo com sua quantidade de movimento. No entanto, a razão entre as velocidades
deveria ser de quatro para um, e assim, Leibniz prova que a grandeza que mede o movimento e, portanto, a
verdadeira medida da força, é a massa vezes o quadrado da velocidade, isto é, mv2, e não mv, como acreditavam os seguidores de Descartes (os novos filósofos a quem Leibniz refere-se).
A grandeza mv2 que Leibniz nomeou de vis viva, e a quantidade de movimento de Descartes, mv, passaram a disputar entre si o status de "verdadeira medida do movimento e da força de um corpo". A questão
foi, em sua época, motivo para grande discussão entre os cartesianos e os leibnizianos, e tomou conta de
todo o círculo científico da época. [... ).
PONCZEK, Roberto Leon. Da Bíblia a Newton: uma visão humanística da Mecânica. ln: ROCHA, J. F. (Org.).
Origens e evolução das ideias da Flsica. Salvador. EDUFBA, 2002. p. 93-96.
Atividades
Escreva
no caderno
Professo, as respostas e os comentária5 das questões encontJam-se no
Caderno de orientações no final deste volume.
1. Para Descartes, qual grandeza física se mantinha constante nas colisões?
2. Para Leibniz, qual grandeza física se mantinha constante no movimento?
3. De acordo com o texto, o que é possível concluir a respeito do desenvolvimento das teorias científicas?
4. Qual foi a conclusão da polêmica? A quem se deu razão, a Descartes ou a Leibniz?
Capítulo 13 • Impulso e conservação da quantidad e de movim ento
229
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Física no cinema
A ú ltima hora
Produzido e narrado por Leonardo DiCaprio, este documentário
aborda a relação entre a sociedade humana e a natureza.
~
ij
O filme causa impacto ao usar imagens que retratam as ações do
1..
ser humano e de que forma o planeta e a própria humanidade são af e-
.);
~
<(
tados por essas ações (emissão de gases poluentes, contaminação das
,ó
~
águas, desmatamento, extinção de espécies, degelo, maremotos, con-
..
o
V
taminação de alimentos, epidemias). Embora as imagens representem
1.,
uma realidade preocupante, o filme não projeta um futuro catastrófico
~
nem a descrença na possibilidade de reverter tais situações.
Responda
Escreva
no cademo
'
.!!
~
"'..E
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no
Caderno de orientações no final deste volume.
o
V
~
~
.,
.,
Assista ao filme com seus colegas e, posteriormente, organizem um
debate para discutir os seguintes aspectos enfatizados pelo documentário.
1. O ser humano faz uso do conhecimento científico para produzir o
avanço de novas tecnologias e, consequentemente, beneficiar-se delas. Em alguns casos, esses benefícios justificam os prejuízos causados ao ambiente? Cite exemplos e argumente.
2. De acordo com o filme, podemos entender que os ambientalistas
propõem o abandono das conquistas tecnológicas desenvolvidas ao
longo dos anos e sugerem que retomemos formas de sobrevivência
mais primitivas? Fundamente sua resposta.
'O
~
Título original: The 11 1h Hour
Gênero: documentário
Tempo de duração: 95 minutos
Ano de lançamento (EUA): 2007
Direção: Nadia Conners e Leila
Conners Petersen
3. Caso a questão 2 não corresponda à verdade, quais as possibilidades de se reverterem as situações mais
preocupantes e que ações são sugeridas para isso?
4. Sob o aspecto da utilização das fontes de energia, como é possível projetar o futuro do planeta em melhores
condições ambientais?
230
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
comp1ement ares
1. Um corpo desloca-se de A para B, em um plano ho-
rizontal, seguindo a trajetória indicada na figura. A
força indicada e constante de módulo 4 N é urna das
forças atuantes no movimento do corpo. Determine
o trabalho realizado por essa força ao longo da trajetóriaAB. 16 1
Esaeva
nocadern
3. (Fuvest-SP) A propaganda de um automóvel apregoa
que ele consegue atingir a velocidade de 108 km/h
em um percurso horizontal de apenas 150 m, partindo do repouso.
a) Supondo o movimento uniformemente acelerado,
calcule a aceleração do carro. 3 m/s'
b) Sendo 1200 kg a massa do carro, determine a potência média que ele desenvolve. 54 kW
lm
2. Uma criança, sentada no alto de um escorregador de
altura h = 1,8 m, tem nas mãos urna bola de massa
m = 0,2 kg.
4. (UFV-MG) Um bate-estaca sustenta
um bloco de 200 kg à altura de 16 m
do solo, sobre uma estaca situada
14 m abaixo. Desprezando as
forças dissipativas e sendo
g = 10 m/s2, determine:
Na 1il situação, ela abandona a bola, que cai verticalmente, e na 2;i, ela abandona a bola sobre arampa inclinada do escorregador.
a) a energia potencial
do bloco em relação
ao solo; 32000J
lªsituação
b) após sua liberação,
a energia cinética do
bloco, ao atingir
a estaca. 280001
16m
solo
5 . Uma mola apresenta comprimento natural de
f 0 = 12 cm e sofre uma deformação x com a realização de um trabalho de 20 J. Determine o comprimento e da mola nessa deformação.
Dado: constante elástica da mola é 10 N/cm. 32 cm
2Dsituação
6. Para manter determinada mola comprimida de 0,06 m
foi necessário um trabalho de 3,6 J. Determine:
a) a constante elástica da mola.
2000 N/m
b) a intensidade da força exercida pela mola, enquanto
ela esteve comprimida de 0,06 m. 120 N
B
a) Considerando nesse local g = 10 m/s2 , determine o
trabalho da força peso nas duas situações.
Nas duas situações é igual a 3,6 J.
b) Se a criança suspendesse a bola por meio de um fio
imaginário e em movimento uniforme, desde o chão
até o ponto A, considerando duas possibilidades, com
e sem a rampa, qual seria o trabalho da força aplicada
pela criança? (Despreze os atritos.) 3,6 J
c) De acordo com o enunciado do item b, em qual das
duas possibilidades a criança faria a menor força?
Na 2f situação, com a rampa indinada.
232
7. (Unesa-RJ) Uma pequena esfera de peso P = 3,0 N,
presa a um fio de comprimento e = 1,0 m, é solta do
ponto A. Quanto aos trabalhos realizados pela força
de tração T, exercida pelo fio, e pelo peso P, do ponto
A ao ponto B, podemos afirmar que valem, respectivamente:
---~_:"-~,~-°=Q A
a) -2,0 J e + 2,0 J
1
1
1
b) -3,0 J e zero
I
I
X c)
zero e 3,0 J
''
d) 3,0 J e 3,0 J
º-=--1
B
e) 3,0 J e zero
'
I
---
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
11. A energia potencial grallitacional se transforma em energia dnética, que, por sua vez, se desmembra em energias elástica, térmica e sonora.
8. (Unifor-CE) Uma força F, é aplicada num corpo tangen-
cialmente à trajetória seguida por ele. No deslocamento
de Oa 4 m, o trabalho de i\ vale, em joules:
F, (N)
..
!!<
..,.,
·:!
g
;2
t
20
il!
~
tenha conseguido se deslocar nos primeiros 60 m em
30 s. Nessa situação, determine:
a) a velocidade média do elevador. 2 m/s
b) a potência média desenvolvida pelo motor elétrico
do elevador. 20 kW
13. Uma esfera de massa m é abandonada (v0 = O) a uma
altura H do solo, caindo em queda livre sob a ação da
aceleração da gravidade g. Após a colisão com o solo,
ela volta a subir e atinge uma altura máxima h.
a) Demonstre que o coeficiente de restituição é ex-
10
pressa por e
o
2,0
a)30
c) 50
b)40
d)60
4,0
s (m)
xe) 70
9. (Fuvest-SP) O gráfico representa a variação da inten-
sidade da força resultante F, que atua sobre um corpo
de 2 kg de massa, em função do deslocamento x.
Sabendo que a força F tem a mesma direção e o mesmo
sentido do deslocamento, determine:
F (N)
4
o
1
2
3
X
(m)
a) A aceleração máxima adquirida pelo corpo. 2 mls'
b) O trabalho total realizado pela força Fentre as posições x = 0 ex = 3 m. 6J
10. Qual é a variação de energia potencial que ocorre
quando uma pessoa de massa 50 kg sobe uma escada,
com 20 degraus? Considere que cada degrau tem
15 cm de altura e g = 10 m/s2 • 1500J
= .Jh
.JH . Resposta pessoal.
b)Sendo H = 2,25 me h = 0,81 m, calcule o valor
do coeficiente de restituição e classifique o choque
mecânico. 0,6, choque parcialmente elástico.
c) Calcule as energias cinéticas momentos antes do
choque e imediatamente após o choque, e compare
-as confirmando o resultado do item b. Ec0 = 0,81 m· g e
Ec = 2.25 m · g. Como a Ec < E,.. o choque é parcialmente elàstico(O <e< 1).
14. (Unicamp-SP) As histórias de super-heróis estão sem-
pre repletas de feitos incríveis. Um desses feitos é o
salvamento, no último segundo, da mocinha que cai
de uma grande altura. Considere a situação em que a
desafortunada caia, a partir do repouso, de uma altura de 81,0 me que nosso super-herói a intercepte
1,0 mantes de ela chegar ao solo, demorando 0,05 s
para detê-la, isto é, para anular sua velocidade vertical. Considere que a massa da mocinha é 50 kg. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2 •
a) Calcule a força média aplicada pelo super-herói
sobre a mocinha para detê-la. -40 kN
b) Uma aceleração 8 vezes maior que a gravidade (8 g)
é letal para um ser humano. Determine quantas vezes
a aceleração à qual a mocinha foi submetida é maior
que a aceleração letal. s vezes.
15. (Cesgranrio-RJ) Observa-se uma colisão elástica e
unidimensional de uma partícula de massa m e velocidade de módulo 0,60 m/ s com outra partícula
de massa ; , inicialmente em repouso.
Quais são os valores dos módulos das velocidades das
partículas, após a colisão? 0,96 m/s e 0,36 m/s.
16. (UFG-GO) Um rapaz encontra-se em repouso no centro
11 . Ao observar a queda de um abacate maduro que
se solta do galho, quais transformações de energia
acontecem desde o instante em que o abacate se solta
até o momento em que ele se espatifa no chão?
12. Suponha que durante a manutenção do elevador
Lacerda, neste caso com 1000 kg de massa total, ele
de uma pista de patinação. Uma moça vem patinando
ao seu encontro e, após a interação, deslizam juntos.
Sabendo-se que o atrito com a pista é desprezível, que
a velocidade da moça era 0,5 m/s e que a massa do
rapaz e da moça são, respectivamente, 75 kg e 50 kg,
calcule a velocidade com que sai o par. 0,2 mls
Capítulo 13 • Impulso e conservação da quantidade de movim ento
233
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
De volta ao começo
~
Para responder à pergunta da abertura da Unidade, devemos lançar mão da conservação da
quantidade de movimento.
Um exemplo de conservação da quantidade de movimento é o recuo de alguns centímet ros
sofrido por ele ao disparar uma bala.
após
0 ...__
antes
B
6
v
,.-;;;::::::;=:::::;;::::;;;::;~..:.A~
a
..__,.. -,~========~-V
A~
Outro exemplo interessante é quando dois patinadores em repouso se empurram. Vimos que
ambos se deslocam em sentidos opostos.
-V
patlRillOOl'a
..ª
!
u
,2
]
Patinadores inicialmente em repouso.
Após terem se empurrado.
Na situação apresent ada na abertura da unidade, enquanto o buggy se desloca para a frente,
esperando conseguir sai r da balsa, a balsa se desloca no sentido contrário, indo para trás.
Desconsiderando a resistên·"g,
eia da água, é possível consiantes
~
derar o sistema (balsa e buggy)
i
isolado, ou seja, sujeito somen-V
te a forças internas a ele. Assi m,
enquanto o buggy vai em sentiV
do à margem, a balsa se afasta
dela, com a mesma quantidade
de movimento do buggy.
Pela lei da conservação
da quantidade de movimento, a
após
quantidade de movimento final
de um sistema deve ser igual à
sua quantidade de movimento
inicial, neste caso, zero. Como o
buggy vai para a direita, a balsa
vai obrigatoriamente para a esquerda, com velocidade que depende da velocidade do buggy e
da razão entre as massas (balsa
e buggy).
----------------------- 0
-
234
-
l
1
Unidade 5 • Energia e as leis de conservação da Dinâmica
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Os estudos sobre alavancas, desenvolvidos pela Física, também se aplicam
a determinadas partes do corpo humano, cujo funcionamento ocorre como o
de verdadeiras alavancas.
> • Para sustentar um haltere, por exemplo, o da fotografia, de 4 kg, o bíceps
de um atleta aplica uma força no rádio. A força aplicada pelo bíceps para
manter o equilíbrio deve ser maior, menor ou equivalente ao peso do haltere?
• O movimento correto para se exercitar
ou efetuar tarefas simples habituais
ajuda a não desgastar ou lesionar os
músculos. Cite alguns exemplos em
que estes movimentos de alavanca
podem causar danos ou, quando bem
executados, ajudar em nosso dia a dia.
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
•··,s·,·1 umr•151319u·w 11 ,r11r91i-._______
1
Professor, os comentários das questões da
abertura de Unidade encontram-se no Caderno
de orientações no fim deste volume.
Nas Unidades anteriores, estudamos o movimento dos corpos e as causas
desse movimento. Mas há situações em que o interesse maior é manter os corpos em equilíbrio. O dia a dia nos oferece muitos exemplos em que é fundamental estudar as condições de equilíbrio de corpos ou estruturas rígidas, como na
arquitetura e na engenharia.
Um exemplo que sempre chama a atenção é o de longos cabos que sustentam as chamadas pontes estaiadas. A estrutura de uma ponte representa
um desafio para a engenharia, que estuda os melhores pontos de apoio para a
sustentação do peso. No caso da ponte Rio-Antirio, na Grécia, foi preciso desenvolver um projeto próprio para enfrentar os terremotos constantes da região, o
solo lodoso do fundo do mar e os fortes ventos do Golfo.
Quando não impressionam pelo tamanho, alguns projetos
arquitetônicos chamam nossa atenção pela forma inusitada.
Este é o caso do museu do Amanhã no Rio de Janeiro, projetado
pelo arquiteto e engenheiro espanhol Santiago Calatrava (1951-),
considerado um dos mais ativos estruturalístas do nosso tempo.
Suas obras, inspiradas primordialmente nos seres da natureza,
podem ser admiradas em vários países, inclusive no Brasil.
Caso os projetos das edificações apresentem algum erro de
cálcu lo na estrutura, não levarão em conta as características
físicas do loca l da obra ou os empreiteiros utilizarem materiais
de baixa qualidade; acidentes podem acontecer. Em reg iões
Situada na Grécia, perto da cidade de Patras, a ponte
arenosas, como as praias, se a fundação não é bem-feita , casas
Rio-Antirio uma das mais longas pontes estaiadas no
e
prédios podem perder a estabilidade e desabar.
mundo (imagem de 2007).
Museu do Amanhã, Rio de Janeiro, RJ (2015}.
236
Falhas estruturais comprometeram o equilíbrio desse prédio
em Ubatuba, litoral de São Paulo (imagem de 2003).
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
.
-
.. .
Para iniciarmos o estudo do equilíbrio dos corpos, vamos considerar o corpo
cujas dimensões são consideradas desprezíveis em relação às condições do fenômeno em estudo.
Podemos afirmar que um ponto material está em equilíbrio quando ele se
encontra em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (M RU).
• Se o corpo estiver em repouso (v = Õ), ocorrerá o equilíbrio estático.
• Se o corpo estiver em MRU (v =constante*- Õ), ocorrerá o equilíbrio dinâmico.
Note que, em ambos os casos, a velocidade vetorial é constante e a aceleração vetorial é nula. Isso significa que a resu ltante das forças que agem no ponto
material em equ ilíbrio é nula.
Para um corpo sujeito a um sistema de forças
2 , ... , F, o equilíbrio ocorn
rerá quando F + F + ... + F = O.
F,, F
1
2
n
r
R~õ
1
Para determinar a intensidade das forças em situações de equilíbrio de ponto
material, é comum utilizarmos o método das projeções das forças ou o método
do polígono fechado, que estudaremos a seguir.
Coreografia artística com dois
dançarinos em equilíbrio.
Na coreografia criada para
essa apresentação artística,
a tentativa de buscar o
equilíbrio dos corpos é um
fator fundamental.
Qual a grandeza física
responsável pelo equilíbrio 7
~ Método das projeções
Vamos supor o cenário de uma peça de teatro onde há um relógio que se
mantém em equilíbrio graças à ação de três fios ideais, conforme mostra a figura
abaixo. Sabendo que o peso do objeto é 100 N, vamos determinar a intensidade
das forças Te Fque agem no ponto O.
Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que agem no
pont o O é zero .
O método da projeção consiste em escolher dois eixos, arbitrariamente, e
projetar nesses eixos as forças agentes. Em seguida, impor a condição de que a
soma algébrica das projeções dessas forças, em cada eixo, seja nula.
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
..
~
V
.2
~
Forças atuantes no relógio:
Forças atuantes no ponto O:
Forças atuantes no ponto O decompostas:
H
f y = Tsen30º
f
______ _..._
o
X
-----------
T, = Tcos30º
-X
F
0
T'
Capítulo 14 • Estática de um ponto material e de um corpo extenso
237
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Condições de equilíbrio: {
T
'
= F (eixo x)
~
= T' (eixo y)
Desenvolvendo o sistema de equações, temos:
{
T cos 30º
=F
{ T· (
T sen 30º - P =>
De
J3 ) = F CD
T - ( ; ) - 100
0 :T = 200 N, apl icando em CD: 200 ·
Q)
Jf = F =>
F = 100
Jj N
~ Método da linha poligonal
A inda usando a situação do relógio podemos também determinar a tração (T) e a força (F) pelo método da linha
poligonal. Para tanto, devemos dispor as forças para que a extremidade de uma coincida com a origem da seguinte
e formem uma linha poligonal fecha da (R = Õ).
T'
T'
= P = 100 N
v -
100
= T- => T =
r-,,J3
- 2- =
De w:
F
T'
= -T G)
cos 30º
=-
Do triângulo: {
f
í.\ 1
De , .. . 2
sen 30º
F
T
0
200 N
r:::
200 => F = 100 ...;3 N
Exercício resolvido
,.. 1
(Fuvest-SP) Para vencer o atrito e deslocar um grande
contêiner C, na direção indicada, é necessária uma força
F = 500 N. Na tentativa de movê-lo, blocos de massa m = 15 kg
são pendurados em um fio, que é esticado entre o contêiner e o
ponto P na parede, como na figura.
Para movimentar o contêiner, é preciso pendurar no fio, no mínimo:
Dados: sen 45º = cos 45º = 0,7 e tg 45º = 1.
a) 1 bloco.
c) 3 blocos.
e) 5 blocos.
b) 2 blocos.
d) 4 blocos.
Resolução
Na situação de iminência de movimento, a força de tração no fio horizontal deve ter a mesma intensidade da força
F = 500 N. Portanto, em tal condição:
T. = 500
(eixox) (D
y
Condições de equilibrio: {
Ty = P = n·l50(eixo y) @
Como tg 45º = 1, vem:
tg 45º =
F = SOON
T,
X
P = n · 150
(n = n' de blocos)
T
_ Y
Tx
=> T = 500 N
@
y
Substituindo® em~' temos: 500 = n · 150 => n
=
SOO
150
= 3,34 >
3
Portanto, o número mínimo de blocos que devem ser pendurados para que ocorra o movimento do contêiner é 4.
238
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no cadern
d)A tração na corda do arranjo 4 é a maior de todas
as trações.
1 . Originária da Áustria,
região do Tirol, a tirolesa
é um esporte para quem
gosta de aventura. Possibilita aos praticantes
sobrevoar rios, lagos, enfim, terrenos difíceis de
serem transpostos.
x e) A tração suportada pela corda no arranjo 2 é maior
que a tração na corda nos arranjos 1, 3 e 4.
4. A luminária de um
Pessoa praticando tirolesa.
Durante um teste de
manutenção em que foi
usado um boneco, ocorreu uma falha dos equipamentos que obrigou
a paralisaç.ã o de todo
o sistema. No instante
da parada, a posição de
equilfbrio do sistema
formado pelo boneco e pelos cabos de aço que o sustentavam está representada na figura acima.
3m
A
3m
B
galpão está presa no
teto mediante fios (AC
e BC) leves, como mostra a figura ao lado.
Considerando que o
peso da luminária é
de 300 N, qual a intensidade da força de tração em
cada fio? T = 1s1,s N
5. Para orientar os motoristas, o dono de um estacio-
namento mantém uma placa informativa que está
suspensa por três fios, como mostra a figura. Ela encontra-se em equiHbrio e seu peso é de 200 N. Qual a
intensidade de força nos fios AB e AC ?
T., = 400 NeT"' = 200 J3 N
Determine a intensidade da força do peso P do boneco,
sabendo que em cada corda a tração é 2...j2N. 4 N
2. Suponha que na situação descrita, no exercício anterior, o boneco de teste tivesse sido substituído por
um esportista e que no momento da parada ele estivesse num local equidistante das extremidades (A)
e (B) do cabo, conforme representação da figura.
Determine a razão
!
entre as intensidades da for-
ça de tração T e a intensidade da força peso,
.
esport:Ista.
P, do
T
-p = 1
3. Um sino de massa M é pendurado em uma corda que
tem suas extremidades fixas. A figura mostra quatro
arranjos realizados em um experimento.
arranjo 1
e
arranjo 2
arranjo 3
arranjo 4
6. As aplicações dos conhecimentos físicos e matemáticos em outras áreas do saber são vastas. Na ortopedia,
um dos ramos da medicina, para avaliar e tratar dos
pacientes é fundamental conhecer a ação das forças.
Veja o caso de uma pessoa que, durante um tratamento
de recuperação, tem a perna submetida à ação de uma
força de tração cuja intensidade varia de acordo com o
ângulo ~. conforme a representação na figura.
A partir das informações observadas nos arranjos,
pode-se concluir:
a) A tração suportada pela corda no arranjo 4 é maior
que a tração na corda no arranjo 2.
R
b) A tração suportada pela corda no arranjo 3 é maior
que a tração na corda no arranjo 1.
c) A tração suportada pela corda no arranjo 1 é maior
que a tração na corda no arranjo 2.
Capítulo 14 • Estática de um ponto material e de um corpo extenso
239
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Quando o referido ângulo varia, ocorre o deslocamento horizontal da roldana R. Considerando que a
força peso não varia, determine a intensidade da força de tração aplicada na perna quando:
a)
l3 = 60º. F = P
b)
8. Um decorador manteve um lustre de peso 200 N
amarrado em condições de equilíbrio, conforme o esquema.
l3 = 45º. f=./fP
7. (PUC-PR) Duas esferas rígidas, 1 e 2, de mesmo
diâmetro, estão em equilfürio dentro de uma caixa,
como mostra a figura a seguir.
Considerando nulo o atrito entre todas as
superfícies, assinale o diagrama que representa corretamente as forças de contato que
agem sobre a esfera 2 nos pontos A, B e C.
xa) ~
-
c)
t
t
b)
Q--
~
d)
êBB
As três cordas que o sustentam são ideais.
a) Represente as forças que agem no lustre e no
ponto O. Resposta no final do livro.
b) Determine a intensidade das forças de tração que
agem nas cordas. T, = 100N T, = 100 ,fi, N
e
Pense além
Atividade física, um benefício para a saúde
A Organização Mundial de Saúde (OMS) descreve a atividade física como um fator muito importante para
que as pessoas melhorem sua condição de saúde, tornando o organismo menos vulnerável a doenças como
osteoporose, diabetes, doenças cardiovasculares e alguns tipos de câncer.
Atualmente, como consequência das mudanças nas condições de trabalho e de vida, poucas pessoas
praticam regularmente algum tipo de atividade f ísica. Além disso, elas ficam sentadas durante gran de parte do
tempo, seja nos deslocamentos de casa para o local do trabalho, em casa ou no trabalho, dependendo do t ipo
de atividade que realizam .
Provavelmente a caminhada seja a forma mais simples de atividade física; simples, eficaz e sem custo f inanceiro de manter a saúde. A lgumas pessoas preferem se exercitar em academias, com o auxílio de aparelhos
e orientação de um professor de Educação Física. Na maioria dos aparelhos são utilizadas associações de pol ias
que ajudam a realizar diferentes tipos de exercícios de musculação.
Nas cidades onde os administradores perceberam que investir em lazer é investir em saúde, e consequentemente em qualidade de vida, é possível encontrar espaços públicos, como praças e parques, com as chamadas academias
ao ar livre. Os equipamentos das academias ao ar livre não têm peso e dependem apenas da força do corpo para
exercícios de musculação e alongamento. O sistema se adapta às condições de cada usuário, criando resistência a
partir do próprio peso do corpo da pessoa. Esses equipamentos são indicados para maiores de 12 anos e principalmente para os idosos, que perdem naturalmente um pouco da força muscular com o passar dos anos.
Atividade
Escreva
no caderno
1. A proposta desta atividade é fazer uma análise da sua realidade e uma intervenção
nela. Com seu grupo, planeje uma saída de campo pelo seu bairro para entreviscar pessoas e procurar locais onde elas fazem alguma atividade física. Você pode
levantar as seguintes informações:
- Hábitos das pessoas: tipo de atividade, frequência, idade, peso, alimentação,
necessidade de orientação;
- Locais: espaços públicos já existentes ou disponíveis para implementação de
equipamentos, tipos de equipamento, manutenção, secretaria de esporte e lazer.
No final do estudo, seu grupo pode elaborar um relatório com a análise dos
dados e fazer proposições aos administradores do município. Resposta pessoal.
~
~
'§
-g
t~l!if;.!!'
&:1o1
...
~
Idoso praticando atividade f ísica
ao ar livre na Praça Oswaldo
Professor, comente com os alunos sobre a necessidade de criar espaços esportivos destinados plioritariamente para os 1do>05
Cruz, Curitiba, PR (2015).
(com equipamentos que el<igern menos da força muSC1Jlar). De acordo com o Esratuto do idoso e o Estatuto da Criança e doAdolescerite
(ECA), é importonte o ince11tivo à construção de espaços publicos e/ou privado;, destinado; ao esporte, ao lazer e a [email protected], especialmerite J)[email protected] aianças. ~se idosos. Além disso, comente que as
prefeituras também são responsáveis por criar esses espaços para a população em geral Consulte mais sobre a necessidade de prática esportivas na [email protected] idade nos seguintes artigos: Atividade
240 Unidade 6 , Está tica e Hidrostática füica !' bem-estar na v~lhice. Disponivl'I em: <http://tub.im/s3e6d2> (acesso em: 29 abr. 2016) e Atividade física na terceira idade.
D1spornvel em: <hrtp11tub.1m/m3v7oo>. (acesso em: 29 abr_ 2016).
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
•
Arquitetura, engenharia civil e aspectos sociocu lturais
Os conhecimentos desenvolvidos pela Física, particularmente aqueles relacionados ao equilíbrio dos corpos,
são fundamentais para o surgimento de novas tecnologias utilizadas pela arquitetura e pela engenharia.
Essas áreas têm papel decisivo para melhorar a qualidade de vida das pessoas, ao construir habitações mais
adequadas às necessidades atuais. Atualmente, as preocupações dos arquitetos vão além dos aspectos
artísticos, eles desenvolvem projetos adaptáveis às características específicas de cada região promovendo
o uso adequado dos recursos naturais.
Um exemplo dessa tendência é um
projeto de condomínio, desenvolvido
pelo arquiteto e urbanista Jaques Suchodolski, em Florianópolis, Santa Catarina.
Nos telhados das residências desse condomínio, são utilizadas turbinas eólicas
e painéis solares que permitem gerar
energia sem uso de nenhum combustível
fóssil. Também foi adotado um sistema
de tratamento da água já utilizada, que
possibilita o seu reaproveitamento para
uso nos jard ins, áreas comuns e o uso
inteligente dos sanitários. Com esses recu rsos há uma redução de 50% do consumo de água.
Condomínio desenvolvido pelo arquiteto e
Além desse, há outros condomín ios
urbanista Jaques Suchodolski, em Florianópolis.
sustentáveis cujos projetos desenham ouse (imagem de 2012).
tra forma de se relacionar com o ambiente. Por exemplo, existem soluções como a
captação de água da chuva, para lavar pisos e irrigar jardins, coleta seletiva e reciclagem de lixo, pavimentação com paralelepípedos à base de areia para facilitar a
drenagem da água da chuva e impedir alagamentos.
Apesar da inovação na relação com o ambiente, alguns
pesquisadores apontam problemas nesse tipo de empreendimento. Por exemplo, o processo de replantio para compensar
a vegetação que foi derrubada precisa levar em conta a vegeMedindo 1,20 m de diâmetro e
tação preexistente do local, sob o risco de reduzir a biodiver6 m de altura, o modelo de turbisidade do meio. Com relação aos aspectos humanos, há uma
na eólica com eixo vertical agrega
redução e seleção no espaço de socialização, pois, em vez de
os
atrativos de uma inovação altabuscar soluções amplas para tornar o espaço sustentável para
mente
funcional, com a beleza da
todos, a melhoria da qualidade de vida é seleta para aqueles
estrutura de suas formas. Proporque podem pagar pela residência.
cionando redução de 50% da conta de energia dos moradores, cada
Escreva
Atividades
no caderno
turbina tem a capacidade de gerar
5 kW de maneira silenciosa e segu1. Quais são os aspectos positivos a respeito das casas e dos
ra, utilizando uma forma de enercondomínios sustentáveis? Pesquise outras três alternativas
gia limpa e sustentável.
que melhoram o uso da água, luz e energia.
Relacionar aspectos ambientais como a economia de água, luz, drenagem, coleta e reciclagem do lixo. • - - - - - - - - - - - - -
2. Redija uma dissertação em que você responda a esta questão: "Estes condomínios podem ser considerados ilhas
de sustentabilidade?". No final, escreva se você gostaria de morar em um condomínio como esses e justifique com
argumentos da Geografia e da Sociologia. Resposta pessoal.
Capítulo 14 • Estática de um ponto material e de um corpo extenso
241
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
f1,v, 1,,t§ ,it·1· ti! 1,, Si t·) i& •---------f•
Para explicarmos a ideia da grandeza física "momento de uma força", vamos
recorrer a algumas situações práticas do cotidiano .
Observe o pé de cabra da ilustração abaixo usado para arrancar um prego
cravado no ponto O.
Note que nessa representação as
distâncias entre o ponto O e os pontos A. B e C são diferentes.
A ferramenta tende a descrever
um movimento de rotação em torno
do ponto O.
o
•
•
Para executar a mesma tarefa,
mas aplicando menor esforço, é
preferível ter uma ferramenta de
comprimento maior ou menor?
Para executar a mesma tarefa com
o menor esforço, em qual ponto
(A, B ou C) devemos aplicar a força
de menor intensidade?
Nessas situações práticas, ao aplicarmos uma força
F sobre um corpo rígido,
ele tenderá a descrever um movimento de rotação em relação a um ponto fixo O,
chamado de polo. A grandeza física que representa essa tendência de rotação é
denominada momento
O momento
(MJ .
K\ de uma força F, em relação ao polo O, é uma grandeza vetorial,
e sua intensidade é determinada pelo produto da intensidade da força F pela
distância perpendicular d entre o polo e a linha de ação da força aplicada.
Por convenção trigonométrica, vamos adotar o sinal positivo quando a tendência do movimento for no sentido anti-horário e o negativo no sentido horário.
M>O
M<O
: linha de
: ação de f
linha de
ação de F
anti-horário
.,
"'.,"'
"Q
.
o
(@
"'
·e,
)
d
/il
(@
F
o
- - --( ·@- -- - -- - - - - - - - - - - - - - - - -• - ) linha de ação
-
f,
)
d
M= O
242
g
o
~
li
5;
ª
No SI, a unidade de intensidade do momento de uma
força é N · m (newton · metro).
Se a linha de ação da força aplicada for na direção do
polo O como ilustra a situação ao lado, o momento dessa
força será nulo.
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Momento do binário
Para anal isarmos o momento de uma força, recorremos a uma situação prática:
o uso do pé de cabra . Agora, vamos estudar situações nas quais temos a ação de
duas forças, por exemplo, quando vamos abrir ou f echar uma torneira .
Observe que as duas forças que agem em cada corpo apresentam a mesma
direção, os sentidos opostos, a mesma intensidade e as linhas de ação não
coincidentes. Esse sistema de forças é denominado binário.
F, fr
""',____d_~-º'º_d_o+-~-º-m...,
!,"....t_o.,____d,_ __,__,
o
.F,(
E::hl
/!
F= F, = F,
Esquema de representação de
um binário.
D= d,+ d,
Usando a ideia de binário e analisando o esquema que o representa, é possível notar que a ação de um binário sobre o corpo produz o movimento de rotação, mas não causa aceleração de translação, já que a soma vetorial das forças
do binário é nula.
Com base no esquema anterior, podemos escrever:
MF = + Fl dl
MF: = + F2d2
Portanto:
}
M biná,io
d,
= d2 = d
= 2Fd
e F1 = F2 = F
ou
~
MbinOrio = fd
Qualquer que seja o polo escolhido, a intensidade do momento do binário
é dada pelo produto da intensidade de uma das forças F pela distância entre as
linhas de ação dessas forças ou braço do binário, considerando o sinal relativo ao
sentido de rotação .
Exercício resolvido
..
2 Uma força de intensidade F = 80 N age em uma barra metálica homogênea, em situações distintas. Determine a
intensidade do momento da força Fem relação ao ponto O, nestas situações:
a)
b)
--(~--------------1~}-d= 1,5m
e)
11 = 0,75 1;1,
, fº
1
1
1
1
-- [email protected] ------· ---------}-F
_________ F
--{[email protected] -·-30
Resolução
a)M = + Fd
b)M = - Fd
c)M = O
M = 80 · 1,5 = 120 N · m
Tende a girar no sentido anti-horário.
M = -80 · 0,75 = -60 · m
Tende a girar no sentido horário.
A linha de ação da força passa
pelo ponto O e a barra não tende a girar.
Capítulo 14 • Estática de um ponto material e de um corpo extenso
243
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no cadern
9. Se o objetivo de um operário é fazer girar um para-
fuso utilizando a menor força possível, em qual ponto da chave (A, B, C ou D) ele deve aplicar a força?
Justifique.
No ponto A, pois a linha de ação da força fica a uma distância
maior do polo de rotação.
•B
consegue soltar esse segundo parafuso. Justifique
sua resposta. A moça consegue soltar o 2Q parafuso porque o momento de
seu peso é maior que o momento do peso de seu namorado.
Figura 1
7SO N,
1
y
\
Figura 2
'~~:
30~-- :
~i
~/
- jÕ--··-- · 510 N
1
30cm
13. Para montar e fixar as peças que compõem o suporte
10. Na placa retangular da figura abaixo estão aplicadas
três forças. Essas forças pertencem ao plano da placa. Determine o momento resultante dessas forças em
relação ao ponto C. Em que sentido esta placa gira?
representado na figura, o serralheiro precisa saber
quais são os momentos da força de 1000 N, em relação
aos pontos A, B e C. Determine esses valores.
Zero; não gira.
....
"
F1 = 5 N
i
,,
·"'g
F2 = 10 N
60cm
' '
' '
'
~
F3
=
::
10 N
---
.e
'
Sm
30cm
' '
' '
lm
M = 1000Nm· M =O· M = - SOOONm
11 . Ao fechar uma torneira,
uma pessoa aplica com
os dedos duas forças
de mesma intensidade,
F1= 8 N e F2 = 8 N, conforme representação feita na figura ao lado.
Note que nesse caso temos um binário, ou seja, as
duas forças têm mesma intensidade, mesma direção
e sentidos opostos, e as linhas de ação das forças estão separadas por certa distância.
Determine o momento do binário, sabendo que a
distância do ponto de aplicação de F1 ao ponto O é
0,02 me dei\ ao ponto O é 0,02 m. - 0,32 N - m
12. (UFRJ) Um jovem e sua namorada passeiam de carro por uma estrada e são surpreendidos por um furo
num dos pneus.
O jovem, que pesa 75 kgf, pisa a extremidade de uma
chave de roda, inclinada em relação à horizontal, como
mostra a figura 1, mas só consegue soltar o parafuso
quando exerce sobre a chave uma força igual a seu peso.
A namorada do jovem, que pesa 51 kgf, encaixa a
mesma chave, mas na horizontal, em outro parafuso, e pisa a extremidade da chave, exercendo sobre
ela uma força igual a seu peso, como mostra a figura 2. Supondo que esse segundo parafuso esteja tão
apertado quanto o primeiro, e levando em conta as
distâncias indicadas nas figuras, verifique se a moça
244
14. Com o objetivo de arranêar o prego,°foi iisado o mesmo
pé de cabra, em três condições diferentes, conforme
ilustra o esquema. Em qual das tentativas foi atingido
o objetivo? Justifique sua conclusão, sabendo que
apenas em urna das tentativas se obteve sucesso.
1ª condição
2ª condição
31 condição
Na 3" coodíção. pois, em relação ao prego, o momento obtido é maioL
15. Em determinadas situações, para soltar um parafuso
ou uma porca, fazemos uso de ferramentas semelhantes à representada na figura abaixo. Calcule o momento
das forças que agem na barra em relação ao ponto O,
considerando que uma das mãos esteja posicionada a
30 cm do ponto O e a outra a 40 cm desse ponto.
40cm
30cm
For~a 1: - 48 Nm (sentido horário)
For~a 2: - 30 Nm (sentido horário)
F,
i
= 120N
Unidad e 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Até agora, desprezamos as dimensões dos corpos envolvidos no fenômeno, i
ou seja, cada corpo foi considerado um ponto material.
No entanto, além da preocupação com as condições de equilíbrio do ~.,
corpo, consideraremos as suas dimensões, ou seja, passaremos a co nsiderá-lo ~
um corpo extenso.
Os conceitos que analisaremos a seguir levarão em conta que a ação das for- ,;
ças aplicadas nos corpos poderá modificar o seu estado de movimento ou repouso sem causar deformação. Assim, o corpo será considerado extenso e rígido.
Para o equilíbrio de um corpo extenso, não basta que a resultante das forças
que agem sobre ele seja nula. Essa condição é necessária, mas não é suficiente.
Para estudar o equilíbrio de corpos extensos, precisamos def inir uma grandeza,
o centro de massa (CM). O centro de massa deve ser entendido como o ponto em
que podemos considerar aplicada toda a massa do corpo em estudo.
Prédio com forma assimétrica em
Perceba que ao aplicarmos forças em um
Hanover, Alemanha (2012).
corpo extenso, ele poderá iniciar um movimento de rotação, mesmo que seu centro de massa
permaneça em equilíbrio.
Se um corpo homogêneo apresentar um
elemento de simetria (eixo ou plano), seu centro de massa pertencerá a esse elemento. Veja
os exemplos:
f
I
)(
_,,
_,,, ,' CM
O encontro das diagonais
de uma placa retangular
homogênea determina o CM.
O centro de uma esfera
homogênea coincide
como CM.
O CM pode estar fora do corpo,
como é o caso de um anel
homogêneo, cujo centro do aro
corresponde ao CM.
Quando um corpo extenso se encontra em campo gravitacional uniforme,
seu centro de massa coincide com o centro de gravidade (CG).
O centro de gravidade de um corpo extenso corresponde ao ponto de aplicação da força peso.
Um corpo extenso está em equilíbrio quando o seu estado de repouso ou de
movimento não se modifica. No caso do corpo extenso, as condições de equilíbrio são:
1ª condição: A soma vetorial das forças que agem simultaneamente no corpo
extenso deve ser nula.
~
R = í:F = Õ (não há movimento de translação com aceleração)
21 condição: A soma algébrica das intensidades dos momentos das forças que
agem simultaneamente no corpo extenso, em relação a um ponto O qualq uer,
deve ser nula.
~
í:M
= O (não há movimento de rotação)
Pedra em equilíbrio no Parque
estadual Mushroom Rock,
no Kansas, Estados Unidos
(imagem de 2013).
Que condições são
necessárias para se considerar
um corpo em equilíbrio?
Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Cademo de orientações no final
deste volume.
Capítulo 14 • Estática de um ponto material e de um corpo extenso 245
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Teorema das três forças
Esquema 1
,
,
Consídere um corpo sujeito à ação de três forças. Se um corpo estiver em equilíbrio, e somente três forças atuarem sobre ele, essas forças
devem ser coplanares e suas linhas de ação, paralelas (Esquema 1), ou
elas devem concorrer em um único ponto (Esquema 2).
A aplicação desse teorema pode simplificar a resolução de muitos
problemas sobre o equilíbrio dos corpos extensos.
Suponha uma barra horizontal, de extremo articulado, suspensa por
um fio ideal.
As linhas de ação do peso P e da tração T concorrem no ponto O.
Logo, a reação da articu lação está na direção OA e seu sentido é tal que
' . . ' o, ,"'
NA+ j5 + T = õ.
-------- ,,, ~ ... --,
'
O: ponto de concorrência
Esquema 2
''
<}
Exercício resolvido
,. 3
Uma barra metálica homogênea é articulada no ponto O. Para que
ela se mantenha em equilibrio na horizontal, amarra-se um fio ideal
da extremidadeB ao ponto O', conforme representação do esquema.
O'
Considere o peso da barra P = 50 N, o comprimento OB = 1,50 me
despreze o atrito entre a barra e a articulação.
Represente as forças que agem na barra, determine a intensidade da
força de tração exercida pelo fio e a intensidade da força exercida
pela articulação.
1,SOm
0,75m
B
•
CG
Resolução
Para representar as forças, é importante lembrar que o peso da barra está aplicado no seu centro de gravidade. A força aplicada pela articulação tem, em
geral, os componentes horizontal Fhe vertical F"' e a força aplicada pelo fio no
pontoB é T.
Nesse caso, como não há tendência de movimento na direção horizontal, a força
aplicada pela articulação Fh nessa direção é nula.
o
Para não haver rotação, a soma algébrica dos momentos das forças em relação ao ponto O deve ser nula.
MP +
~
+ MF, =
O~ - P · o, 75
+ T · 1,50 + Fv • O =
O ~ - 50 · o, 75
+ T · 1,50 =
O ~ T = 25 N
Para não haver movimento de translação, a soma vetorial das forças que agem na barra deve ser nula. Na horizontal,
a resultante dessas forças é nula (Fh = O). Na vertical, teremos:
F + T - P =O~ F + 25 - 50 = O~ F = 25
V
246
V
V
Unidad e 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
16. Admirada com o funcio-
Durante o aquecimento anterior a um treinamento,
um atleta de massa 70 kg faz flexões com os braços
conforme a figura.
namento de um guindaste de construção e
com os materiais erguidos por ele, uma criança tentou reproduzir
algo parecido com um
Guindaste de construção.
brinquedo.
Ela pegou uma régua medindo 0,5 m de comprimento
e a colocou sobre um apoio, de tal forma que a extremidade esquerda ficou a 0,20 m do apoio. Nessa extremidade, foi fixado um cubo de madeira cujo peso é
6 N. Para tentar manter a régua equilibrada, horizontalmente, precisou colocar, na extremidade direita, outro
objeto cujo peso fosse ideal para manter o equilibrio.
9
.,
"...,
·""
li
apoio
l/
Para se manter parado nessa posição, qual deve ser a
intensidade da força aplicada pelo solo nas suas mãos?
Considere g = 10 m/s2 • 420 N
20. (Unicamp-SP) Uma escada homogênea de 40 kg
apoia-se sobre uma parede, no ponto P, e sobre o
chão, no ponto C. (Adote: g = 10 m/s2 .)
p
4m
Despreze o peso da régua e determine a intensidade
da força peso PI desse objeto. 4 N
17. Considere as condições do exercício 16 e imagine
que a criança encontre um objeto cuja intensidade do
peso é 5 N. Nesse caso, em que posição ela deveria
colocar esse novo objeto sobre a régua para mantê-la,
horizontalmente, em equilíbrio?
0,24 m do apoio.
18. O esquema representa urna gangorra homogênea
que tem 10 rn de comprimento e está apoiada em C,
distante 4 m de A. Na extremidade A está uma garota
de peso 600 N. Qual o peso de um garoto que está em
B para que a gangorra fique em equilíbrio horizontal?
P, = 400N
a) Desenhe as setas representativas das forças peso,
normal e de atrito em seus pontos de aplicação.
Resposta no final do livro.
•
b) E possível manter a escada estacmnária não haven -
do atrito em P? Nesse caso, quais os valores das forças normal e de atrito em C? Sim; N, = 400 N; F., = 1so N
Texto para os exercícios 21 e 22:
Um armazém recebe sacos de
açúcar de 24 kg para que sejam
empacotados em embalagens
menores. O único objeto disponível para pesagem é uma balança
de dois pratos, sem os pesos metálicos.
21 . (Enem/MEC) Realizando uma única pesagem, é
possível montar pacotes de:
a)3 kg.
b)4 kg.
19. Entre 27 de julho e 12 de agosto de 2012, ocorreram
os Jogos Olímpicos em Londres, no Reino Unido. O
Brasil completou sua 21 ~ participação nas Olimpíadas
com uma comitiva de 259 atletas, sendo 136 homens
e 123 mulheres, em 32 modalidades esportivas.
c) 6kg.
d)8 kg.
xe)l2kg.
22. (Enem/MEC) Realizando exatamente duas pesagens,
é possível montar pacotes de:
a) 3 kg ou 6 kg.
d)4 kg ou 8 kg.
b) 3 kg, 6 kg ou 12 kg.
6 kg, 12 kg ou 18 kg.
e)4kg, 6kgou 8kg.
X c)
Capítulo 14 • Estática de um ponto material e de um corpo extenso
247
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
f1;1&PEJ,t+ta_________________
Aula de pilates.
O que é uma alavanca?
Junte a essa pergunta uma frase atribu ída a Arquimedes (287 a.C. 2 12 a.e .): "Se me derem uma alavanca e um ponto de apoio, deslocarei o mundo" , e teremos o incentivo para novas buscas.
Na prática diária, provavelmente você já fez uso da alavanca em diversas situações. As alavancas são consideradas máquinas simples, de apenas um componente,
que facilitam o trabalho humano ao multiplicar a força que este aplica em determinada ação.
Veja alguns tipos de alavanca, classificados de acordo com as posições das
forças que agem sobre ela e do ponto de apoio.
Observando os movimentos
que executamos com o
nosso corpo. é possível
dizer que os ossos e os
músculos exercem o papel
de alavancas?
Alavanca interfixa: quando
o ponto de apoio está localizado entre a força potente e
a força resistente.
Professor, os coment~rios dessa seção encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
ponto de apoio
força resistente
Alavanca inter-resistente: quando a força resistente está situada
entre o ponto de apoio e a força potente.
Alavanca interpotente: quando a força potente está situada
entre o ponto de apoio e a força resistente.
ponto de
apoio
força resistente
Exercício resolvido
~
4, Na figura ao lado existem duas montagens para levantar
uma pedra de 20 kg. Qual a intensidade da força F para
que seja possível equilibrar a pedra? Qual a montagem
mais eficiente?
Dado: g
= 10 m/s2 •
ã
V
1,20m
0,30m
I
.,,o
0,30m
~
/ F
1,20m
Resolução
Para resolver situações em que há o uso de alavancas para ampliar a força, podemos igualar os momentos das
forças potente F e resistente P, igual a 200 N.
1 ª montagem:
2ª montagem:
MF= Mp
MF= MP
F · d1
248
= P · d2
F·d1 =P·d2
= 200 · 1,20
F · 1,20 = 200 · 0,30
F · 0,30
F = SON
F = 800N
Assim, a 1ª montagem é mais eficiente para levantar a pedra, pois com uma força de 50 N é
possível levantar uma pedra cujo peso é 200 N.
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
23. No corpo humano, podemos encontrar alguns movi-
24. Os objetos descritos a seguir, quando em uso, desem-
mentos, executados por estruturas ósseas e musculares, que se assemelham aos movimentos das alavancas. Nas figuras seguintes, temos três representações:
penham a função de alavanca. Determine o tipo de
alavanca que cada um representa:
• Quando a cabeça é inclinada para a frente ou para
trás, o peso da cabeça
é a força resistente,
enquanto os músculos do pescoço exercem a força potente.
Nesse caso, o ponto
de apoio A é a articulação da coluna vertebral com a cabeça.
• O músculo exerce a força potente e o peso do objeto, apoiado na mão, é a força resistente. Nesse caso,
o ponto de apoio A é o cotovelo.
• Ao ficar na ponta do pé, para erguer o corpo, o peso
do corpo é a força resistente, enquanto a força potente é exercida pelos músculos. Nesse caso, o ponto de apoio A é a ponta do pé.
Que tipos de alavanca estão representados nesses
casos? A cabeça representa uma alavanca interfixa, o antebraço uma alavanca interpotente e o pé, uma alavanca inter-resistente.
músculos
a) tesoura; lnterfixa.
b) pedal do acelerador do carro; Interpotente.
c) pinça; Interpotente.
d) abridor de garrafa; Inter-resistente.
e) capô de automóvel. Inter-resistente.
25. Liste alguns objetos do seu dia a dia que possam servir de exemplos de alavanca. Descreva o tipo de ala-
vanca que cada um representa.
Resposta pessoal.
26. Durante uma sessão de fisioterapia, um paciente é
orientado a manter a perna em equilfürio por determinado tempo na posição A, e, posteriormente, repetir a ação na posição B. o pé do paciente, foi amarrado um objeto de 3,0 kgf, conforme indica a figura.
Calcule, para as duas posições, os momentos das
forças em relação à articulação, representada pelo
ponto O. 2,70 kgf - m; 1,35 kgl - m
27. Define-se vantagem mecânica (VM) em alavancas
como sendo a razão entre o braço da força potente b
pelo braço da força resistente a, dada pela expressão:
b
VM=-.
a
Sendo F a força potente e R a força resistente, determine o tipo de alavanca, a vantagem mecânica e o
valor da força potente em cada um dos itens dados.
a)
a = 0,5 m
b = l ,Om
R= 100
A
lnteifU<a; VM = 2 e
F=SON.
Capítulo 14 • Estática de um ponto material e de um corpo extenso
249
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
a = 0,4m
b= 1,2m
R=240N
b)
A
Inter-resistente;
VM=3eF=80N
a = l ,2m
b= 0,4m
R=SO
c)
B
Interpotente; VM = ..!.
eF=150N
3
Caso um garoto se dependure no portão pela extremidade livre, e supondo que as reações máximas suportadas pelas dobradiças sejam iguais:
a = 10,0 cm
b = 5,0cm
R= 2,SN
d)
x a) é mais provável que a dobradiça A arrebente
primeiro que aB.
lnterfoca; VM = 0,5 e F= 5 N
28. (Enem/MEC) Um portão está fixo em um muro por
duas dobradiçasA eB, conforme mostra a figura, sendo P o peso do portão.
b) é mais provável que a dobradiça B arrebente
primeiro que aA.
c) seguramente as dobradiças A e B arrebentarão
simultaneamente.
d) nenhuma delas sofrerá qualquer esforço.
e) o portão quebraria ao meio, ou nada sofreria.
Pense além
O que as atividades de surfista, ginasta e patinador têm em comum?
E
IO
g
i'
lã
i
?>
ii
"'~
'5
~
~
::,:
~
~
g'
é'!
Ginasta em trave_
Surfista.
Patinador.
Provavelmente, após refleti r sobre a pergunta, você perceberá que a resposta requer vários conhecimentos
sobre a beleza dos movimentos, a coreografia, a coragem de lidar com os desafios e o imprevisível, enf im, m uitos detalhes que podem ser t ratados de forma diferente em cada atividade. Porém, não há dúvida sobre a importância da condição de equ ilíbrio dos corpos pa ra obter sucesso no desempenho das três atividades citadas.
Responda
Escreva
nocademo
Mesmo que eles não estejam f)Eflsando no conhecimento flsico utilizado nessas atividades, intuitivamente esses atletas
buscam posições que favoreçam a djstribuiçâo da massa do corpo, de tal forma que o centro de ma'>Sa e o centro de
gravidade se mantEllham próximos à base ou à região de apoio.
1. Diante dessas fotografias e com base no conhecimento sobre equilfürio dos corpos, o que você considera necessário
para que o corpo desses atletas mantenha a condição de equilfürio?
250
Unidad e 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Ao observarmos uma equilibrista que se mantém sobre um fio com o auxílio
de uma vara longa, temos a impressão de que ela está na iminência de se desequilibrar e cair.
Se olharmos mais atentamente os corpos que estão ao nosso redor, identificaremos várias situações que demonstram o equilíbrio dos corpos.
A seguir, faremos a análise de duas situações que consideramos bastante
comuns. Inicialmente, aquela em que o corpo está apoiado e, depois, a situação
em que o corpo está suspenso.
~ Corpo apoiado sobre uma superfície
Quando o corpo está apoiado sobre uma superfície podem ocorrer três tipos
de equílibrio.
•
Estável: quando o corpo, ao ser ligeiramente afastado da posição de equilíbrio,
tende a voltar a essa posição.
Experimente loca lizar a posição de equilíbrio que uma esfera ocupa sobre
uma superfície côncava . Afaste-a dessa posição e observe a tendência do
movimento da esfera.
Equilibrista em corda bamba.
Qual a fu nção da vara
longa que a equilibrista usa
para atravessar uma corda
bamba7
Professor, os comentários dessa s~ão encontram-se no Caderno de orientações no final
deste volume.
p
superfície
côncava
movimento
A esfera tende a voltar à
posição de equilíbrio graças
à ação do componente
tangencial da força peso.
tendência do
•
F
superfície
convexa
Instável: quando o corpo, ao ser ligeiramente afastado da posição de equilíbrio,
tende a afastar-se dessa posição.
Experimente localizar a posição de equilíbrio
que uma esfera ocupa sobre uma superfície
convexa. Afaste-a dessa posição e observe a
tendência de seu movimento.
p
A esfera se afasta da posição de equilíbrio em razão da ação
do componente tangencial da força peso.
•
F
,,,,,-
-.... ,
1
1
\
1
'1
Indiferente: quando o corpo, ao ser ligeiramente afastado da posição de equilíbrio,
tende a permanecer em equilíbrio na nova
posição em que foi abandonado.
11
',.
/
superfície
plana e horizontal
p
p
nova posição de
equilíbrio
A esfera permanece em equilíbrio ao ser abandonada
em outra posição.
Experimente localizar a posição de equilíbrio
de uma esfera colocada sobre uma superfície
plana e horizontal. Depois, experimente afastá-la
dessa posição e observe se ela se movimenta.
Capítulo 14 • Estática de um ponto material e de um corpo extenso
251
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Outro exemplo de corpo apoiado em equilíbrio é quando
colocamos quatro corpos de bases iguais e alturas diferentes
sobre uma rampa, com atrito suficiente entre as superfícies de
contato para impedir o escorregamento (veja figura ao lado).
Nessa situação, apenas o [email protected] tombou.
Observe que nos corpos (D, (í) e® a reta vertical que passa
pelo centro de gravidade encontra a base. No corpo @ , a reta
vertical que passa pelo CG não encontra a base, e o corpo
tomba. Também podemos dizer que o corpo® está na iminência
de tombar.
Se repetirmos o experimento com corpos de bases diferentes, mantendo as condições de atrito para impedir o escorregamento, perceberemos que apenas o corpo @tombará.
Nos corpos
Q) e
a reta vertical, que passa pelo centro
de gravidade, encontra a base do corpo. Isso não ocorre com o
corpo @, e ele tomba. Note que o corpo G) está na iminência
de tombar.
Quanto mais baixo
o CG estiver, maior
será a estabilidade.
CD.
Quanto maior for a
área de apoio, maior
será a estabilidade.
®·
~ Quanto mais baixo estiver o CG e quanto maior for a
área de apoio, maior será a estabi lidade do corpo.
Exercício resolvido
5 Sobre a carroceria de um caminhão há três blocos cilíndricos
de bases iguais e raio 0,60 m. Por causa do atrito existente
entre as superfícies de contato, os blocos não escorregam. Em
determinado trecho da estrada há uma subida, e o motorista
receia que os blocos possam tombar. Sabendo que o ângulo de
inclinação da ladeira em relação à horizontal é f3, responda:
blocos c:ilindric:os
®
a) O motorista precisa se preocupar ou não com a possibilidade de os blocos tombarem? Em caso positivo, qual bloco
pode tombar?
b) Qual a altura máxima que o bloco poderá ter para não tombar?
Considere: tg f3 = 0,60.
Resolução
a) Nos corpos @ e @, a reta vertical que passa pelo centro de gravidade
encontra a base dos cilindros. Logo, esses blocos não tombarão.
No [email protected], a reta vertical que passa pelo CG não encontra a base do cilindro.
Nesse caso, o bloco tombará.
Portanto, a preocupação do motorista é válida.
b) Repare que o bloco B está na iminência de tombar. Assim, a altura máxima
possível corresponde à altura do [email protected]
diâmetro da base: d
altura do cilindro: h
=
2·R
=
1,20 m
tg f3 = 0,60
Segundo a representação, temos:
1
1,20
1,20
~f3= - - =h = - - =h = 2m
h
0,60
Para não tombar, os blocos deverão ter no máximo 2 m de altura.
252
I
1
1
~ ·I:,
,'-...!,<o
/
1
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
29. Três corpos iguais são colocados sobre três superfícies
distintas: o corpo A sobre uma superfície côncava, o B
sobre uma superfície convexa e o corpo C sobre uma
superfície plana e horizontal.
Xb)O veículo A apresenta mais estabilidade que o veí-
culoB.
c) O veículo B apresenta CG mais alto; portanto tem
mais estabilidade.
d) O veículo A apresenta CG mais baixo; portanto tem
menos estabilidade.
32. Durante uma atividade experimental, o professor utili-
0
/h½
Nessas condições é possível afirmar.
a) Afastado ligeiramente da posição de equilíbrio, o
corpo B volta a essa posição.
zou uma vassoura suspensa pelo centro de gravidade,
mantendo-a na posição horizontal, conforme mostrado na figura. Em seguida, pediu aos alunos que serrassem o cabo no ponto de suspensão, aferissem o peso
das duas partes e emitissem suas conclusões.
~
u
~
b)Afastado ligeiramente da posição de equilíbrio, o
corpo A se afasta dessa posição.
c) Se afastarmos os três corpos da posição de equilíbrio, somente A e C retomarão a essa posição.
x d) Se afastado da posição de equilíbrio, o corpo C permanecerá na posição em que for abandonado.
30. Nesta figura de uma cadeira de balanço, temos a representação de
um corpo apoiado sobre uma
superfície. Podemos dizer que
o corpo está em equilíbrio estável, pois, se o afastarmos
ligeiramente da posição de
equilibrio, ele tenderá a voltar para a mesma posição.
/!.
B
As alternativas seguintes representam a conclusão de
quatro alunos que se manifestaram diferentemente.
Qual deles está certo?
a) A parte B é mais pesada que aA.
b)As duas partes têm o mesmo peso.
c) A parte A pode ser menos pesada que a outra, dependendo da gravidade local.
Xd)A parteA é mais pesada que a B.
33. (UFRJ) Um robô equipado
~.:::.~~=~::::::::_~
a) Identifique uma situação na qual o corpo esteja em
equilíbrio instável sobre uma superfície. Represente
esse corpo em uma figura e justifique sua escolha.
Resposta pessoal.
b) Repita o procedimento do item a para uma situação
que exemplifique o equihbrio indiferente. Resposta pessoal.
31 . Os veículos A e B representados a seguir estão submetidos às mesmas condições de inclinação do piso.
Assim, se avaliarmos apenas a relação enrre o centro
de gravidade e o apoio, e não considerarmos outros
fatores que interferem no equilfürio de um veículo,
será possível afirmar:
a) Os veículos A e B apresentam a mesma estabilidade.
com braços mecânicos é
empregado para deslocar
cargas uniformemente distribuídas em caixas cúbicas
de lado 60 cm. Suponha que
o robô possa ser considerado como um paralelepípedo
retangular de base quadrada de lado 80 cm e massa
240 kg, também uniformemente distribuída. Suponha
também que os braços mecânicos tenham massa
desprezível e que a carga permaneça junto do robô.
Calcule o maior valor possível da massa da carga que o
robô pode sustentar sem tombar. 320 kg
34. (PUC-MG) A figura representa uma régua homogênea com vários furos equidistantes entre si, suspensa
por um eixo que passa pelo ponto central O. Colocam-se cinco ganchos idênticos, de peso P cada um, nos
furos G, H e J na seguinte ordem: 1 em G, 1 em H e
3 em J. Para equilibrar a régua colocando outros cinco ganchos, idênticos aos já usados num único furo,
qual dos furos usaremos?
A
8
C
D
E
O
F
o o o o o • o
a)A
xb) B
c) C
d) D
e) E
Capítulo 14 • Estática de um ponto material e de um corpo extenso
253
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
f14t4ift·•-----------------Os líquidos e os gases, denominados genericamente fluidos, são substâncias
que fluem com faci lidade, isto é, que podem escoar. O termo flu ido, em discussões
mais recentes, pode envolver t ambém outros estados (ou subestados) da matéria,
como o plasma e os sólidos amorfos. Os fluidos são materiais que não resistem permanentemente às mudanças de sua forma quando submetidos à ação de forças.
A Hidrostática (ou Fluidostática) refere-se aos flui dos em repouso, e, para
nosso est udo, precisamos ant es conhecer duas grandezas: a pressão e a densidade. Acompanhe as situações:
1~ situação
2ª situação
Carlos tem dois t ipos de estaca para construir
uma cerca . Qual formato de estaca poderá facilitar seu trabalho?
Dois t ijolos iguais, colocados em posições diferentes (1 e 2),
exercem sobre a superfície horizontal da mesa uma força
de mesma intensidade. Em relação à pressão exercida pelo
tijo lo sobre a mesa, ela se mantém igual nas duas posições?
Formato 1
Formato 2
A estaca com ponta (Formato 2) penetra o
solo mais facilmente. Isso porque a pressão
que essa estaca exerce na terra é maior devido
à sua menor área.
A pressão será maior quanto menor for a área de contato.
Portanto, na posição 2 a pressão é maior que na 1.
Nesses exemplos podemos observar que:
A pressão exercida pela força que age sobre uma superfície é diretamen-
~ te proporcional à sua intensidade e inversamente proporcional à área da
superfície de contato.
Portanto, em uma superfície de área A , em que estão aplicadas forças de
resultante perpendicular F, a pressão sobre essa superfície pode ser definida por:
A
254
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
No SI, a unidade de medida de pressão é o newton por metro quadrado
(N/m 2), também denominada pascal (Pa), em homenagem ao fi lósofo, físico e
matemático fran cês Blaise Pascal (1623-1662).
1 N (unidade de intensidade de força)
1 m2 (unidade de área)
- )
_ 1 P ( .d d d
ª urn ª e e pressao
Há outras unidades de pressão que não pertencem ao SI, como o kgf/cm 2 ,
usado nos manômetros de postos de combustível, e a unidade de origem inglesa
lbf/pol2 , libra-força por polegada quadrada.
.. Exercícios resolvidos
1 Uma olaria produz um tipo de tijolo com formato de
b)Considerando a base menor, temos:
paralelepípedo, de medidas 8 cm, 15 cm e 30 cm, e
peso 45 N. Determine, no SI, a pressão exercida por
esse tijolo sobre um alicerce se:
área = 8 · 15 = 120 cm2 = 120 · 10- 4 m 2
F
45
P = A = 120 · 10- 4
a) ele for assentado sobre a base maior;
b) ele for assentado sobre a base menor.
p = 3750N/m2
Resolução
a) Considerando a base maior, temos:
área = 15 · 30 = 450 cm2 = 450 · 10- 4 m 2
_ F _
45
_
2
p - A - 450 . 10_4 ~ p - 1 000 N/m
Uma bailarina, de peso 480 N,
equilibra-se na ponta de um
dos pés, sendo a área de contato com o solo de 3,0 cm2 •
Considerando a pressão atmosférica equivalente a 10 N/m2,
qual é a pressão, em atmosfera,
relativa à bailarina, no ponto de
contato com o solo?
Resolução
F
480
p = A = - 3- = 160 N/cm2
{
1 atm ~ 10 N/cm2
p~ 160N/cm2
~
Bailarina.
16atm
Assim, a pressão é de 16 atm.
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
1. Um pintor saiu de uma loja segurando dois galões de tinta idênticos, um em cada mão. Após ter caminhado alguns
metros, percebeu que a alça dos galões era feita de arame muito fino e estava cortando sua mão. Pegou um pedaço
de pano e enrolou várias vezes a alça de um dos galões. Continuou caminhando e percebeu que a mão direita, que
sustentava o galão cuja alça estava envolvida pelo pano, sentia menos dor do que a mão esquerda, que sustentava
a alça sem pano. Você atribui essa diferença ao fato de:
a) o peso sustentado pela mão esquerda ser maior do que o da dfreita.
alça enrolada no pano ter uma área de contato maior; logo a pressão exercida pelo galão sobre a mão direita é
menor.
c) os pesos serem iguais; portanto as pressões sobre as duas mãos também são iguais.
d) a alça que não está enrolada no pano ter urna área de contato menor; logo a pressão exercida pelo galão sobre a
mão esquerda é menor.
e) embora os pesos serem diferentes, as pressões sobre as duas mãos serem iguais.
X b) a
Capítulo 15 • Hidrostática
255
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
3. b) Distribuir sobre o solo a força aplicada pelos trilhos que suportam uma composição ferroviária.
2. Um carpinteiro, ao manusear um prego, coloca-o en-
tre os dedos polegar e indicador, de tal forma que a
"cabeça" do prego fica presa ao indicador e a ponta
ao polegar. Responda às perguntas:
a) A força que o polegar exerce sobre o prego é igual à
força exercida pelo indicador?
Sim, as fo,ças têm a mesma intensidade, pois o prego está em equilíbrio.
b)Apressão exercida nos dois dedos é igual? Em qual
deles o carpinteiro sentirá mais dor?
A pressão é maior sobre o polegar onde o carpinteiro sentirá mais dor.
3. É comum o uso das expressões "pressão" e "peso"
como sinônimos. Esse emprego é equivocado, pois
forças de pequena intensidade podem exercer grandes pressões e vice-versa, dependendo da área da superfície em que essas forças atuam. Com base nesse
conceito, responda:
a) qual o principal objetivo do cálculo da estrutura de
um alicerce? Produzir um ~licerce que distribua a força que será aplicada
pela construçao e suportada pelo solo.
b) qual a principal função dos dormentes utilizados
para apoiar os trilhos de uma estrada de ferro?
4. Ao nadar sob a água, você pode sentir a pressão dela
sobre os tímpanos de suas orelhas. Quanto mais fun-
do você mergulha, maior torna-se a pressão. Podemos justificar a origem dessa pressão:
Podemos ju,;tificar a origem dessa
a) somente pelo peso da água. pressão_por ~iodo peso dos fluidos
que estao aoma da pessoa que merb) somente pelo peso do ar. gulha (água :i- ar). que consequente·
mente comprimem o mergulhador.
c) pelo nível de profundidade em que a pessoa mergulha.
xd)pelo peso dos fluidos que estão diretamente acima
da pessoa, água mais ar, e que a comprimem.
5. Em uma fábrica de móveis, foi necessário que uma pessoa de peso 750 N se sentasse sobre uma banqueta de
quatro pernas, cujo peso é 50 N, para testá-la. Considere que a banqueta está em equilibrio sobre uma superfície horizontal e determine a pressão (em N/m2) que
cada perna exerce sobre essa superfície, sabendo
que cada perna tem seção reta de área 4 cm2 • s,o. 105 Nlm'
6. (UFRGS-RS) No dia a dia, é comum utilizarmos ferramentas de "corte", por exemplo, a faca. A maior ou
menor facilidade que encontramos para cortar pão,
carne ou outro alimento está diretamente ligada ao
fato de essa faca estar mais ou menos "afiada". Faça
uso do conceito de pressão e justifique esse fato.
Quanto mais aliada estiver a faca, menor será a área de contato durante o corte e.
consequentemente, maior será a pressão, o que facilita o corte.
Pense além
Calçados apropriados para a neve
Esportist as de ambientes gélidos como os polos ou grandes cadeias montanhosas utilizam-se de equ ipament os especiais para sua locomoção. Abaixo, vemos uma bota com cravos apl icados ao solado e uma pessoa
utilizando esquis.
w
0>
~
¼
~
~
.,
i
~
]
'ª
o
íc
li'
E
"'
"'..
õ
-E
:,:
~
Bota usada por alpinista no gelo.
Responda
Escreva
no caderno
Pessoa usando esquis para se deslocar.
No caso dos cravos na bota, o intuito é aumentar o atrito com o gelo, por isso devem ser finos para penetrá-lo. Os esquis
são utilizados para facilitar o movimento no geio, poi~ampliam a área de contato, o que mantém o esquiador sobre a neve.
1. Justifique o uso desses equipamentos e explique em que situações são mais eficazes.
256
Unidad e 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Pressão atmosférica
A Terra está imersa em uma enorme camada de ar denominada atmosfera, que possui massa e está sujeita
à ação do campo gravitacional terrestre. Portanto, o ar tem peso e exerce pressão sobre os corpos nele imersos,
denominada pressão atmosférica.
Para medir a pressão atmosférica, o físico e matemático italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) utilizou um tubo
de vidro, de 1 m de comprimento, totalmente cheio de mercúrio e uma cuba parcialmente cheia de mercúrio (Figura 1).
Ele tampou com um dos dedos a extremidade aberta do tubo, inverteu-o e o introduziu na cuba com mercúrio
(Figura 2).
Torricelli destampou a extremidade imersa na cuba e percebeu que o nível de mercúrio do tubo desceu, permanecendo em equilíbrio na altura de 76 cm em relação à superfície do líquido da cuba (Figura 3).
vácuo
P,..
P....
76cm
1m
cuba
tubo
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Anal isando o experimento, ele deduziu que o equilíbrio da coluna de mercúrio era mantido pela pressão atmosférica, que agia na superfície do mercúrio da cuba. Assim, concluiu que a pressão atmosférica P.un equiva le à
pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 76 cm de altura.
Torricelli realizou esse experimento ao nível do mar. Mais tarde, Pascal o repetiu em um local de maior alt itude,
constatando que a coluna de mercúrio se estabilizava a uma altura menor que 76 cm . Após inúmeras repetições, em
diferentes altitudes, concluiu que a pressão atmosférica diminuía com o aumento da altitude.
Veja os valores aproximados da pressão atmosf érica em relação à altitude.
o
Altitude (m)
(nfvel do mar)
Pa1m (crnHg)
76
500
1000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
72
67
60
53
47
41
36
A montagem experimental elaborada por Torricelli foi uma versão rudimentar do barômetro, instrumento usado para medir a pressão at mosf érica.
Em condições ideais, definimos uma atmosfera como a unidade de medida de
pressão equivalente a uma coluna de mercúrio de 76 cm de altura sobre a sua base.
~
1 atm
~ 76,mHg
Fora do SI, temos:
•
1 atm = 1,013 · 105 N/m2
Essa unidade é mais utilizada nos casos em que a pressão assume valores
elevados; por exemplo, no int erior de uma caldeira a vapor de locomotivas ou
f
•
O esfigmomanômetro mede a
nas pro undezas do mar.
pressão sanguínea em mmHg.
1 mmHg
Pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 1 mm de altura sobre a sua base. Essa unidade também é
denominada torrice lli (torr).
E
1 ton
~ 1 mmHg ~ 0,1 crnHg
J
Tanto o cmHg como o mmHg são unidades usadas para medir pressões mais baixas, como a pressão sanguínea.
Capítulo 15 • Hidrostática
257
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Exercícios resolvidos
3 Se o experimento de Torricelli fosse realizado na Lua, em condições tais que o mercúrio não se solidificasse, toda
a coluna líquida desceria para o recipiente. Explique essa afirmativa, supondo desprezível a variação da massa
específica do mercúrio de acordo com a gravidade e com a temperatura.
Parm
=O
Resolução
Como na Lua não há atmosfera (P.an = O), as condições do ambiente são semelhantes às do vácuo. Portanto, as
condições de pressão serão as mesmas, dentro e fora do tubo, fazendo que a altura da coluna se iguale ao nível da
superfície do mercúrio no recipiente.
i"'
• Um menino toma um copo de suco, com o auxílio de um canudinho. Como se
explica a subida do suco no interior do canudo?
V
_;;,
V
~
Resolução
Quando o ar do canudo é sugado, a pressão no seu interior toma-se menor que
a pressão atmosférica que age na superfície do suco. Dessa forma, a pressão atmosférica provoca a subida do suco no interior do canudo.
• · propost os
Exerc1c1os
7. Ao virar a lata, o óleo sai por um dos furos e o ar entra pelo outro, igualando a
pressão interna com a ex1erna.
7. Ao abrir uma lata de azeite, é recomendado fazer
dois furos opostos na face superior da lata. Explique
por que tal procedimento é bem-sucedido.
8. Em um laboratório, um estudante observa que as bo-
lhas de ar que se formam no fundo de um recipiente
se deslocam para a superfície do liquido, que está em
repouso e enche totalmente esse recipiente. Durante
o deslocamento, o que se pode afirmar sobre o volume de uma das bolhas?
a) Em todas as posições do deslocamento, o volume é
constante porque a pressão também não varia.
b) Próximo à superfície, o volume é menor porque a
pressão também é menor.
c) Próximo ao fundo do recipiente, o volume é menor
porque a pressão também é menor.
Escreva
no caderno
d) O menor volume apresentado por uma bolha ocorre na metade do deslocamento, pois a menor pressão
ocorre nessa altura do recipiente.
x e) Próximo à superfície o volume é maior porque a
pressão é menor.
9. A pressão atmosférica normal é medida à tempera-
tura de O ºC ao nível do mar, onde g = 9,8 m/s 2 e
corresponde a 76 cmHg ou 1 atm. Se um barômetro
registrar 3 atm, qual será o valor dessa pressão em:
a) cmHg?
b) mmHg?
c) N/ m2?
228 cmHg
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
3,039 · 10' Nlm'
fazer a manutenção de equipamentos fora da nave
espacial. Explique o que poderia acontecer, caso
ocorresse um pequeno furo na roupa, durante a manutenção, e ele conseguisse ficar um bom tempo sem
precisar respirar.
a diferença de pressão entre o interior do corpo e o
vácuo empurraria todas as moléculas para fora. Esse um dos motivos por que os
astronautas utilizam roupas especiais.
O indivíduo explodiria, pois
258
2280 mmHg
10. Um astronauta necessita de uma roupa especial para
e
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
f1 ·JA ;q ft Si· tJJ, ,&tif14! ·i4i Off a ______
Observe os blocos maciços de chumbo e de cortiça sobre as
balanças da figura ao lado.
Eles têm a mesma massa, mas volumes diferentes.
A grandeza física que relaciona a massa m de um corpo e seu
volume V é a densidade d, representada por:
~ d~~
1
Nesse exemplo, podemos concluir que a densidade do bloco de
chumbo é maior que a do bloco de cortiça, visto que concentra a
mesma massa da cortiça em um volume menor.
A ideia de densidade de um corpo pode ser adequada a uma substância. A
densidade absoluta ou massa específ ica µ, de uma substância homogênea é
determinada pela relação entre a massa m de uma amostra dessa substância e o
seu respectivo volume V, a uma temperatura fixa:
De acordo com as definições dadas, poderíamos concluir que a densidade absoluta de uma substância coincide com a densidade de um corpo formado por essa
mesma substância, mas isso só será verdade se o corpo for maciço e homogêneo.
Para os líquidos homogêneos, não há distinção entre densidade e densidade absoluta.
A unidade de densidade, no SI, é o quilog rama por metro cúbico (kg/m3).
Acompanhe algumas relações dessa unidade com outras:
_1_g_
1 cm 3
_ 1_
g_
1 cm 3
e,·
=
10-3 kg
=> 1 g/cm 3
10-5 m 3
10- 3 kg
10- 3 L
= 103 kg/m3
=> 1 g/cm 3 = 1 kg/L
Exercício resolvido
5 Um recipiente de vidro, de massa 300 g, quando completamente cheio de água, tem massa 700 g. Esse recipiente completamente cheio de um líquido A tem massa 800 g. Qual a massa específica de A? Demonstre.
Dado: µ.água = 1 g/cm3.
Resolução
Para obter a massa da água, temos:
= m rcc. cheio - mn:c. vaz.io
mai;ua
. = 700- 300=?
m água
=> m
água
Considerando que os volumes da água e do líquido A são
iguais, temos:
m
400
água: ," = -V =? 1 = -V- =? Vágu• = 400 cm3
= 400 g
v água =
vazio
cheio
O G ·~·
300g
700g
VA = 400 cm3
m
800 - 300
líquidoA: µ.A= VA = - - - - =? µ. = 1,25 g/cm3
A
40Q
o
vazio
300g
G
cheio
HquidoA
JJu
800g
Capítulo 15 • Hidrostática
259
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
11 . Durante uma atividade experimental, três cubos de
mesmo tamanho (volume), maciços e homogêneos,
são colocados sobre uma bancada com a seguinte
informação: "As massas dos cubos A , B e C são respectivamente 4 g, 3 g e 2 g". Identifique qual dos
cubos tem maior massa específica e qual deles tem a
menor.
o rubo A tem a mai01 massa especifica eo cubo Btem a menor.
12. Quando jogado na pia ou no ralo, o óleo de cozinha
compromete as redes de esgoto, afetando a qualidade
das águas de rios e represas. Várias empresas, preocupadas com a preservação ambiental, fazem a coleta do óleo que posteriormente é reciclado e utilizado
para a produção de diversos produtos, entre eles o
biodiesel.
Determine a massa contida em 5 litros de óleo, considerando que a densidade do óleo armazenado é
0,90 g/cm3 • 4,5 kg
17. Os maiores produtores de ouro do mundo, segundo a Metal Focus (2014), são a China, a Austrália
e a Rússia, com a produção anual, em toneladas,
de 462, 272 e 266, respectivamente. O Brasil, com
produção de 90 toneladas de ouro por ano, é o 10º
produtor mundial. A maior mina de ouro do Brasil
é a de Paracatu, em Minas Gerais, a 450 km de Belo
Horizonte, e sua exploração é feita por meio de urna
concessão à empresa canadense Kinross.
13. (UFPA) Numa proveta graduada em cm3, contendo
água até o nível 1300 cm3, colocou-se uma esfera metálica de 88 g. Com a introdução dessa esfera, o nível
da água subiu a 1 308 cm3 • A massa específica do metal, em g/cm3, é:
a)O,l
Morro do Ouro no município de Paracatu, MG (2012).
O ouro, por ser um elemento supercondutor e inoxidável, está presente na produção industrial e no setor joalheiro. Para confeccionar uma peça maciça, de
massa 10 · 103 g e volume 625 cm3 , foram utilizados
dois materiais, ouro e prata. Determine a massa de
ouro utilizada na confecção da peça, sabendo que a
densidade do ouro e a da prata são, respectivamente:
· 10' g
dAu =20g/cm3 edAg =10g/cm3 . 75
'
b)8,0
X c) 11,0
d)l4,8
e)704,0
14. Durante um experimento, foram utilizados dois líqui-
dos, A e B, de massas específicas µ A = 0,50 g/cm3 e
µ 8 = 0,90 g/cm3 • Sabendo que os volumes dos líquidos são iguais, VA = V8 , qual é a massa específica da
mistura? 0,70 glcm'
18. Durante o processo de formação de rochas e relevos,
15. Uma metalúrgica precisa montar dois cubos ocos,
A e B, de modo que a aresta do cubo B seja o dobro
da aresta do cubo A. O material usado nas faces dos
cubos será uma chapa de metal homogênea e fina
(com espessura constante). Determine a densidade
do cubo maior, sabendo que a do menor é d. ~
2
16. Em nosso estudo afirmamos que a densidade abso-
luta de uma substância coincide com a densidade de
um corpo constituído por ela, se o corpo for maciço
e homogêneo. Justifique essa afirmação, argumentando em relação a uma esfera oca de alumínio.
Considere a densidade do alumínio 2,7 g/cm2, a
massa de alumínio da esfera 1 kg, o raio da esfera
10 cm e o seu volume +1tR3 • Nessas condições, explique por que a esfera não pode ser maciça.
por meio da ação dos vulcões, é importante lembrar
que parte do magma originado dos vulcões resfria no
interior da Terra e do solo, dando origem às rochas
intrusivas. A outra parte escorre sobre a superfície
terrestre, originando as rochas extrusivas. O granito
é uma rocha magmática intrusiva, e a sua extração é
muito importante para atividades como a construção
civil. Contudo, a extração do granito e de vários tipos
de minérios é responsável por significativo impacto
ambiental, causando desequilib rio na água, no ar, no
solo, no subsolo e na paisagem.
Considere um bloco em fo rma de paralelepípedo
retangular, cuja área da base é 2000 cm2 e a altura,
60 cm. Sendo g = 10 m/ s2 e µ granito = 2,5 · 103 kg/m3,
determine:
a) a massa do bloco. 300 kg
b) em N/ m2, a pressão exercida pelo bloco sobre a superfície, considerada plana e horizontal. 1,5 · 10' Nim'
A esfera não pode seJ maciça porque sua densidade (0,24 gl'cm') é menor que a do alum[nio.
260
Unidad e 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Experimente a Física no dia a dia
Atenção
~a o experimento
somente na presença
do professor.
Flutua ou afunda?
Devido à sua propriedade combustível, a parafina é matéria-prima essencial na
fabricação de velas. Sua utilização também é ampla na indústria alimentícia, de cosméticos, de tintas, entre outras. É um produto derivado do petróleo e apresenta odor
reduzido e alto brilho.
Na atividade proposta a seguir, serão estudadas algumas características da parafina
que garantem a sua flutuabilidade .
Materiais
• 2 pedaços de vela (parafina)
• 2 recipientes
• álcool
• água
A vela (exceto o pavio) é
composta de parafina.
Passo a passo
Etapa 1
A
• Coloque água e um pedaço de parafina em um recipiente A.
(A parafina pode ser retirada de uma vela.) Observe o que acontece.
• Coloque a mesma quantidade de álcool em um recipiente B e outro pedaço
de parafina, de tamanho semelhante ao daquele do recipiente A. Observe
o que acontece.
B
para.fina p
~
-
água
parafina
-
álcool
Etapa 2
• Retire o pedaço de parafina do recipienteA e adicione lentamente a água no recipiente B, que contém álcool e um
pedaço de parafina.
A
/
água
parafina-~ -
Responda
-
---ál~ol
água
i
~
Escreva
no caderno
1. O que aconteceu com a parafina em cada uma das situações da etapa 1? Professor, os comentários dessa seção encontram-se no Ca·
demo de orientações no li nal deste volume.
2. Como você explica o que ocorre com a parafina na etapa 2?
3. Que relação você pode fazer entre a densidade dos líquidos?
Substância
Agua
Densidade (g/cm3)
1
Densidade (kg/m3)
1000
Parafina
0,90
900
Álcool
0,80
800
4. Misturando determinadas quantidades de água e álcool, o que podemos dizer sobre a densidade final da mis-
tura?
Capítulo 15 • Hidrostática
261
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
fI i4•] t§,, S,. fij 'ª' 1,
ª------------
Os corpos imersos em um líquido ficam sujeitos à pressão exercida por esse líquido em todas as direções. Para calcular essa pressão, usamos o teorema de Stevin.
Considere a situação a seguir para um líquido homogêneo e em equilíbrio.
A
f
L
Observando que o líquido se encont ra em equilíbrio, a força de contato t rocada
com o fundo do recipiente tem a mesma intensidade que o peso do líquido (F = P).
O recipiente ci líndrico de altura h e área da base A tem volume V= Ah . Se ele
f
estiver totalmente cheio de líquido, o volume desse líqu ido também será V = Ah.
..
A pressão p exercida pelo líquido no fundo do recipiente será:
l!'
-!I
-"
.~
~
~
~
"
,@
1
1
1
•-----
:::i:
sendo F = P = peso do líquido = mg .
Como a quant idade de massa depende do volume do recipiente, podemos
relacionar a massa m do líq uido com o volume V do recipiente:
m
d = v=>m = dV
Resu lta :
p = mg
A
= dVg
A
Como V = Ah, então:
dAhg
p = -A-=>
r
~
p
= dgh
J
Pela equação, percebemos que a pressão de um líquido sobre um corpo
imerso nele não depende das características do corpo.
Voltando ao recipiente cilíndrico tota lmente cheio, devemos considerar que
a pressão atmosférica P.1m age sobre a superfície livre do líquido em equilíbrio.
Portanto, nesse caso, a pressão p exercida em um ponto qualquer da base do
recipiente é determinada pela soma da pressão atmosférica com a pressão da
coluna de líquido:
Alpinista.
Ao est udar a pressão dos
fluidos, nota-se que a
variação de pressão nas
águas do mar é proporcional
à profundidade, mas,
quando se sobem
montanhas elevadas, a
variação da pressão
atmosférica não é
exatamente proporcional à
~ ~
p
+ dgh
:
Agora podemos calcular a variação de pressão entre dois pontos, Me N, situados
no interior de um líquido homogêneo em equilíbrio. Se a diferença de profundidade
entre esses pontos é .1h, então é possível deduzir que a diferença de pressão .1p entre esses pontos será determinada por .1p = dg.1h.
.1p
=
PN - PM=>
=> .1p = Patm
altitude. A que fenômeno
podemos atribuir essa
diferença?
Plofessor. os comentários dessa seção encontram-se no caderno de orientações no final deste
volume.
P,~
=>Ap
+
dghN - (patm
= dg(h, - h_l =>
~
+ dghM) =>
Ap
~ dgAh
:
No caso de os pontos M e N pertencerem ao mesmo plano horizontal,
teremos:
.1h =
o => .1p = o => PM =
PN
Portanto, não há diferença de pressão ent re dois pontos imersos em um
líquido homogêneo e em equilíbrio que est ejam no mesmo plano horizontal.
262
Unidad e 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ O teorema de Stevin aplicado aos gases
O teorema de Stevin, analisado anteriormente, aplica-se aos fluidos que são praticamente incompressíveis,
ou seja, cujo volume não diminui quando submetido à pressão. Nos casos em que a va riação de pressão não
causa variação de volume, a densidade se mantém uniforme em todos os pontos do flu ido. Isso costuma
acontecer nos líquidos, mas não nos gases.
Tomemos como exemplo a Terra e a sua atmosfera. A densidade do ar próxima à superfície da Terra possui um
valor de 1,29 kg/m 3, que vai diminuindo à medida que alcançamos altitudes maiores. Isso ocorre porque os gases
são facilmente compressíveis, provocando variações de densidade à medida que atingem altitudes maiores.
Nas regiões próximas à superfície, em altitudes inferiores a 10 m, a variação da densidade do ar é pouco sig nificativa, justificando a aplicação aproximada do teorema de Stevin. Nessas condições, podemos supor que a pressão
diminui linearmente com a altura. Quando a altura ou o desnível dos pontos avaliados for relativamente grande,
o teorema não poderá ser aplicado.
Adiantando que a pressão exercida por um gás é consequência dos constantes choques das suas partículas (que
você estudará no Volume 2 dest a coleção), podemos estabelecer que:
11r,.
Todos os pontos de um gás fechado em um recipiente de dimensões
li" menores que 10 m têm a mesma pressão.
De fato, como a densidade d dos gases é pequena em relação à dos líquidos e o valor da altura
1O m, o valor do produto dhg também será pequeno.
h é menor que
Exercício resolvido
6 (FCMSC-SP) Os três aparelhos a seguir estão situados no interior da mesma sala.
vácuo
vácuo
,!!
;.
-8
70cm _.,
~
Hg
Hg
Figura 1
Hg
Figura2
Figura3
As pressões dos gases contidos em Me N são respectivamente iguais, em cmHg, a :
a)20 e 20
b) 20 eSO
c) 90 eSO
d) 90 e 20
e) soe 90
Resolução
Observando a figura 3, notamos que a atmosfera equilibra uma coluna de 70 cm de mercúrio; logo:
PA
= Pc = P.tm = 70 crnHg
vácuo (p8
70cm
pM= 20 cmHg + 70 cmHg => pM= 90 cmHg
Na figura 2, o gás emN equilibra (o tubo está fechado a vácuo) apenas a coluna
de 20 cm de mercúrio:
PN = 20 cmHg
= O)
•B
Na figura 1, o gás em M equilibra uma coluna de 20 cm de mercúrio (o tubo
está aberto) mais a atmosfera (70 cmHg):
Pann
Hg
Capítulo 15 • Hidrostática
263
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
19. Suponha uma lata cilíndrica, submersa na água de
um lago, em equilíbrio.
Podemos afirmar que a pressão exercida pela água na
superfície externa da lata é:
a) igual nas bases superior e inferior.
b) igual em qualquer ponto dessa superfície.
c) menor na base inferior.
xd)menor na base superior.
e) menor na superfície lateral.
20. (UFV-MG) A5 represas normalmente são construídas
de maneira que a largura da base da barragem, B,
seja maior que a largura da parte superior, A , como
ilustrado na figura.
,,-A,,
1
1
i
...-8s
;B - - - - - - ~ - - - B
Essa diferença de largura justifica-se, principalmente, pelo(a) :
a) aumento, com a profundidade, do empuxo exercido pela água.
b) diminuição, com a profundidade, da pressão da
água sobre a barragem.
a) Qual dos dois recipientes apresenta menor pressão
no fundo? Oreàpiente de maior diâmetro está submetido a menor pressão.
b) Sendo dólco = 8 · 102 kg/m3, calcule a pressão exercida pelo óleo no fundo dos dois recipientes.
Dado: rr = 3. P, = 3360N/m';p, = 5920Nlm'
24. Os navios afundados sempre foram alvo de "caçadores
de tesouros". Esses tesouros eram transportados por
embarcações antigas, particularmente na época em
que o ouro era levado do Brasil e de outras colônias
da América para a Europa. A5 primeiras tentativas
de resgate feitas por mergulhadores foram precárias,
mas com a evolução dos recursos tecnológicos foi
possível aprimorar essas buscas.
Durante um mergulho, um desses recursos, o sino
de mergulho, foi usado e posicionado a uma profundidade de 50 m. Para preservar a saúde do
mergulhador, a pressão interna foi mantida com
o mesmo valor da pressão atmosférica ao nível do
mar (1,0 · 105 Pa) . Determine, em N/m2 , a diferença entre as pressões exercidas, dentro e fora, junto
às paredes do sino. 5,0 · 10'Nlm'
x c) aumento, com a profundidade, da pressão da água
sobre a barragem.
d) diminuição, com a profundidade, do empuxo exercido pela água.
e) diminuição, com a profundidade, da viscosidade
da água.
21 . Qual será a diferença de pressão exercida sobre dois
pontos no interior de um liquido em equilibrio, se a
diferença de profundidade entre eles for 60 cm?
Dados: dt = 103 kg/m3 e g = 10 m/s2 . 6 . 101 N/m'
22. Sabe-se que a pressão máxima que um mergulhador
pode suportar é equivalente a 10 vezes o valor da
pressão atmosférica. Qual a profundidade máxima
que um mergulhador pode descer abaixo da superfície de um rio cuja densidade da água é l g/cm3 ?
Dados: P.cm = 1,0 · 105 N/ m2 e g = 10 m / s2 • h = 90 m
23. Na figura a seguir temos dois recipientes cilíndricos,
um com raio 40 cm e o outro com raio 30 cm. Ambos
apresentam altura suficiente para armazenar 200 litros de óleo.
264
Sino de mergulho profundo.
25. Durante uma aula de mergulho, o instrutor mergu-
lha carregando um balão de borracha. Descreva o
que ocorre com o volume do balão e com a pressão
hidrostática exercida nele, à medida que o mergulhador atinge profundidades maiores. o volume do balão diminui
porque a pressão hidrostática se eleva com o aumento da profundidade.
26. Ao medir a pressão sanguínea de uma pessoa deitada
no solo, o valor encontrado foi 11 por 7, isto é, pressão
máxima 110 mmHg (14 000 N/ m2) e pressão mínima
70 rnmHg (9 210 N/ m2). Qual a altura mínima a que
deverá estar uma bolsa de soro para vencer a pressão
arterial máxima da pessoa? Considere densidade do
soro igual a 103 kg/m3 e gravidade no local 10 m/s2 .
1.4 m
Unidad e 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~
E
!,
..
Vasos comunicantes
E
j
Chamamos de vasos comunicantes a ligação de dois ou mais recipientes por dutos fechados. Um recipiente formado por ramos ligados entre si
ou um simples tubo em forma de U podem ser considerados sistemas de
vasos comunicantes. Neles é possível observar que a superfície livre de um
líquido atinge sempre a mesma altura nos frascos abertos que se comunicam. O teorema de Stevin nos ajuda a compreender esse comportamento
dos líquidos homogêneos e em equilíbrio.
De acordo com o teorema de Stevin, todos os pontos da superfície de
um líquido homogêneo, em repouso, se mantêm no mesmo plano horizontal porque estão submetidos à mesma pressão atmosférica, independentemente da forma como os recipientes se comunicam.
Exemplo de vasos comunicantes.
Exercício resolvido
7 Um tubo em U contém dois líquidos A e B, homogê-
A relação entre as alturas hAe hs é hA= ¾hs. Determi-
neos e não miscíveis entre si, que estão em equilíbrio.
ne a razão entre as densidades dAe ds desses líquidos .
..
E
e
~
Resolução
Adotando como referência o ponto mais baixo da coluna de líquido amarelo, temos:
dA. hA= dB . hB
dA
dB
h8
=
hA
4
=
3
· ·
Exerc1c1os
propost os
27. Uma garrafa térmica,
representada pela figura, possui uma pequena sanfona de borracha
(fole) que, ao ser pressionada suavemente,
empurra o ar contido
3
em seu interior, sem impedimentos, para dentro do bulbo de vidro.
Um tubo vertical liga o
fundo do recipiente à base da tampa, permitindo aretirada do líquido contido na garrafa.
Considere que o fole está pressionado em uma posição fixa e o líquido está estacionado no interior do
tubo vertical próximo à saída. Pode-se dizer que,
Escreva
no caderno
nessas condições, as pressões nos pontos 1, 2, 3 e 4
relacionam-se a:
a) P1 = P2 > P3 > P4
d) P1 > P2 > P3 > P4
b)p1 = P4 > P2 = P3
e) P, > P4 > P3 > P2
x c) P1 = P2 = P3
> P4
28. Coloca-se em um sistema de vasos comunicantes
água e óleo cujas densidades são, respectivamente,
1 g/cm3 e 0,8 g/cm3 . A altura da coluna de óleo é de
30cm.
a) Faça no caderno um desenho para representar essa
situação. Resposta no final do livro.
b) Qual a altura da coluna de água medida acima do
nível de separação entre esses líquidos? 24 cm
Capítulo 15 • Hidrostática
265
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
29. Dois tubos cilíndricos, de seções 25 cm2 e 10 cm2, têm
seus fundos em um mesmo plano horizontal e comunicam-se por um conduto de volume desprezível,
colocado ao nível dos fundos e com uma torneira
adaptada. O maiorcontémóleodedensidade0,80 g/cm3,
que se eleva a 25 cm acima do fundo; o outro contém
água, que se eleva a 50 cm do fundo. Abre-se a torneira. A que altura se elevará a água nos dois ramos?
aproveitamento das vias navegáveis depende da
construção de eclusas, pequenas obras de dragagem
e de portos. O funcionamento das eclusas tem por
base a ideia dos vasos comunicantes.
Observe o esquema e explique o funcionamento de
uma eclusa, com base nas informações da figura.
8,6 Ollno tubo maiore28,5 Ollno tubo menor.
30. (Unicamp-SP) Suponha que o sangue tenha a mesma
densidade que a água e que o coração seja uma bomba capaz de bombeá-lo a uma pressão de 150 mm de
mercúrio acima da pressão atmosférica. Considere
uma pessoa cujo cérebro esteja 50 cm acima do coração e adote, para simplificar, 1 atm = 750 mmHg.
a) Até que altura o coração consegue bombear o sangue? 2,0m
b) Suponha que essa pessoa esteja em outro planeta.
A que aceleração gravitacional máxima ela pode estar sujeita para que ainda receba sangue no cérebro?
4,0g,.,.
31 . O snorkeling é uma prática esportiva em que se mergu-
lha próximo da superfície da água. Nesse esporte, usa-se o snorkel para respirar e a máscara para observar a
beleza da vida aquática.
Imagine que urna mergulhadora resolva utilizar um
tubo que desempenhe a mesma função do snorkel, ou
seja, que a ajude a respirar debaixo da superfície da
água.
Qual será a profundidade máxima que ela poderá
atingir para que não tenha problemas respiratórios,
considerando que, na média, o pulmão hum.a no con. - d e pressao
- ate, 1 atm.?
segue suportarvanaçoes
20
50cm
32. O Brasil possui grande quantidade de rios, mas nossa navegação fluvial é ainda muito tímida. O pleno
32. Resposta pessoal. Resposta esperada: Com a vâlvula de eochim«ito aberta, a agua escorrerá do compartimento 1para o 2 até que não ~ista
mais diferenf: de pressão. Esse processo se repetirá quando a válvula de enchimento for fechada e a válvula de ilreno for abena, ou seja, a
_ _ _á....
gua escoar do compartimento 2 para o 3 ate que não exista mais diferença de pressão entre os niveis de água nos dois compartimentos.
Pense além
Variação da pressão em função do
tempo
Imagine que um aluno, por curiosidade, estivesse interessado
em calcu lar o tempo para encher um recipiente e assim saber a
vazão da torneira de sua casa. Durante essa atividade, ele começou a pensar como estaria variando a pressão de um ponto no
fundo do recipiente. Ele sabe, por exemplo, que, conforme orecipiente vai enchendo, a pressão no f undo dele aumenta, afinal,
quanto maior a altura da água, maior a pressão.
Responda
Escreva
no caderno
tempo
1. Como você acha que esse aluno esboçou o gráfico da variação da pressão em função do tempo?
266
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
, 141 a; ffi ,.,. 5it!+, •---------------------De acordo com o teorema de Stevin, os pontos de um líquido homogêneo em equilíbrio, pertencentes ao
mesmo plano horizontal, estão sob a mesma pressão. E quando os pontos de um líquido estão submetidos a uma
variação de pressão?
Observe as figuras que representam duas sit uações de um mesmo balão de vidro, com êm bolo móvel e água
em seu interio r.
Figura 1
Figura 2
Na Figura 1, vemos que o nível do líquido é igual em todos os tubos. Na Figura 2, o êmbolo é pressionado para
baixo, submet endo a água a uma variação de pressão transmitida a todos os pontos do líquido. Como consequência,
o novo nível da água permanece igual em todos os tubos. Isso ocorre porque a água é um líquido incompressível, ou
seja, sua densidade não se altera com a variação de pressão.
Pascal, em 1650, com base em vários experimentos práticos, elaborou o seguint e princípio:
~ Se um ponto qualquer de um líquido homogêneo e incompressível, em equilíbrio, sofre uma
variação de pressão .àp, todos os pontos desse líquido serão submetidos a essa mesma variação.
~ Prensa hidráulica
Várias são as aplicações do princípio de Pascal em nosso cotidiano. Por exemplo, quando um médico aplica
uma injeção com uma seringa, ou simplesmente quando apertamos o tubo da pasta de dentes, está sendo utilizado o princípio de Pascal. Entretanto, uma das aplicações mais interessantes desse princípio ocorre em sistemas hidráulicos, como em prensas, elevadores, pontes levadiças ou freios automotivos. Alguns desses sistemas possuem
a característ ica de multiplicar a força que é apl icada a um de seus êmbolos.
Vamos analisar o funcionamento de uma prensa hidráulica, com êmbolos de áreas transversais A1 e A,_, que
contém um líquido incompressível em equilíbrio.
Se aplicarmos uma força de intensidade
perpendicularmente ao êmbolo 1, obteremos, perpendicularmente ao
êmbolo 2, uma força de intensidade F2 , transmitida pelo líquido.
i\,
-------------- - r-
O O O O O êmbolo 2
êmbolo 1
A,
~
F,t
ooo
líquido
De acordo com o princípio de Pascal, os acréscimos de pressão sob os êmbolos são ig uais: 6.p 1
Portanto:
= .1.pr
Analisando a relação acima, se A 2 > A 1 => F2 > F1•
A variação (aumento ou diminuição) da intensidade da força F2 dependerá da relação ent re as áreas dos êmbolos 1 e 2.
Capítulo 15 • Hidrostática
267
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
compressor
de ar
1 .
chão
pistão
ar
reservatório A
Quando aplicado nos elevadores hidráulicos, mui to usados em postos de combustíveis, o princípio de
Pascal garante que uma força intensa o suf iciente
para elevar um veícu lo seja aplicada no êmbolo maior
pela pressão do ar comprimido no êmbolo menor.
A abertura da válvu la do compressor de ar provoca um aumento de pressão sobre a superfície do óleo
no reservatório A, que é t ransmitido ao reservatório
8, elevando o pistão.
reservatório B
.. Exercício resolvido
8 Analise o caso de uma prensa hidráulica que necessita manter em equilibrio uma carga de 200 N sobre um pistão
de área maior. Saiba que os pistões dessa prensa têm áreas 1,0 cm2 e 10 cm2 • Nessas condições, qual deve ser a intensidade da força aplicada, perpendicularmente, ao pistão de área menor?
Resolução
Considerando o princípio de Pascal para um líquido em equilíbrio, temos:
F1i
pistão 1
carga
O OO
A1
~ e A,_ são as áreas das superfícies dos pistões 1 e 2, respectivamente.
F1 = F2
·
~
~ F1 = 200 ·
~
2
o
1;g ~F=20N
~ - - - - - - - - - --' 1
1
A força necessária para manter a carga em equilibrio deve ser 20 N.
• ·
Exerc1c1os
propost os
Escreva
no caderno
33. O princípio de Pascal fundamenta o funcionamen-
êmbolo de área 0,80 m2 • Sabe-se que o peso deB é de
to da prensa hidráulica. O que você diria a respeito
desse dispositivo se alguém afirmasse que o funcionamento da prensa hidráulica é uma maneira de multiplicar energia? Falso, pois tal dispositivo multiplica forças, não energia.
40 N e que o êmbolo em que está apoiado tem área de
50 cm2 • 6400 N
34. Um motorista observa que o radiador de seu carro fu-
rou. Nota que quando o motor do carro está quente
a água vaza mais facilmente do que quando o motor
está frio (água fria). Explique tal fenômeno com base
no princípio de Pascal.
35. A prensa hidráulica
representada na figura está em equilfürio.
Calcule o módulo do
peso da carga A que
está apoiada sobre o
36. Em uma prensa hidráulica, os êmbolos são formados
por dois cilindros cujos raios medem 20 cm e 400 cm.
Para equilibrar um corpo de 5 000 kg de massa colocado no êmbolo maior, qual o valor da força, em
newtons, que deve ser aplicada no êmbolo menor?
Dado: g = 10 m/s2 • F, = 125N
37. O projeto de uma prensa hidráulica prevê, para seu
A
equi!Jbrio, que a aplicação de uma força de 5,0 · 103 N
sobre o êmbolo maior necessita de uma força de
5,0 · 10 N sobre o êmbolo menor. Sabendo-se que a
área do êmbolo maior é 2,0 · 103 crn2, qual será a área
do êmbolo menor? 2,0 · 10cm'
34. A água aquecida vaia mais facilmente através de pequenos furos no radiador por causa da piessão exei-dd.i
268
por ela. De acordo com o principio de Pascal, essa pressão etransmitida integ,almente por todo o fluido.
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
.., â,,\ .iif:J·•-------------- ----Você provavelmente deve ter notado que quando entramos na água - em um
rio, lago, mar ou em uma piscina - experimentamos uma sensação de leveza. E,
ao tentarmos permanecer abaixo do nível da água, sentimos uma força nos "empurrando" para cima .
É essa força que mantém os balões de ar quente estáveis durante o voo e permite
que as bexigas de festa de aniversário subam verticalmente quando cheias de gás
hélio. Qual a relação entre esses dois últimos exemplos e quando entramos em uma
piscina? Em ambos os casos os corpos estão imersos em um fluido, o ar ou a água.
As duas situações representadas a seguir nos ajudarão a elaborar a ideia de empuxo.
Se você mantiver um objeto suspenso fora e dentro
da água, vai verificar que dentro da água ele
parece mais leve.
Se mergulharmos uma bola em um
líquido, perceberemos que ele oferece
resistência de baixo para cima.
Sempre que um corpo está mergulhado em um fluido (líquido ou gás), ele sofre a ação de uma força na direção vertical, de baixo para cima, que passaremos
a denominar de empuxo E.
No esquema abaixo, temos a representação das forças exercidas pelo líquido
que agem sobre a superfície do corpo. Note que essas forças atuam em todas
as direções e que elas não se anulam, visto que possuem componentes verticais
de intensidades diferentes. Esse fato pode ser mais bem compreendid o se lembrarmos do teorema de Stevin. Como a pressão aumenta com a profundidade, a
força aplicada pelo líquido na superfície do corpo também aumenta nesse sentido. Isso faz com que a soma de todas essas forças resulte em uma força vertical
orientada de baixo para cima.
Assim, podemos dizer que a origem do empuxo está na diferença de
pressão sobre um corpo imerso em um fluido. A intensidade do empuxo
que atua em um corpo é tanto maior quanto maior for a parte do corpo que
estiver submersa. Quando o corpo está totalmente submerso, a intensidade
do empuxo independe da profundidade.
Capítulo 15 • Hidrostática
269
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
~ Teorema de Arquimedes
Para determinar a intensidade do empuxo, acompanhe esta situação: em um
experimento, mergulhamos um corpo, preso a um dinamômetro, em um recipiente com líquido. Ao lado dele, há uma balança calibrada em newtons com um
recipiente que recolhe o líquido extravasado.
Observe que, antes de ser mergulhado, o registro no dinamômetro indica que
o corpo pesa 6 N. Após ficar totalmente submerso, o dinamômetro passa a marcar
4 N para o peso do corpo, e a balança indica 2 N para o peso do líquido extravasado. Naturalmente, o corpo não perdeu massa nesse processo, e a alteração
na marcação do dinamômetro ocorre pela força de empuxo que passou a atuar
no corpo no momento em que este foi submerso. Essa diferença entre as indicações no dinamômetro (6 N - 4 N = 2 N) corresponde justamente ao valor do
empuxo. Note que a balança indica o mesmo valor de 2 N para o peso do líquido
extravasado. Coube ao filósofo grego Arquimedes (287 a. C.- 212 a. C.), após
vários experimentos, concluir que a intensidade do empuxo é igual à intensidade
do peso do volume do líquido deslocado quando um corpo qualquer é colocado
em um fluido. O chamado teorema de Arquimedes pode ser enunciado da
seguinte forma:
Em um corpo em contato com um fluido em equilíbrio, o empuxo é
~ uma força vertical orientada de baixo para cima, cuja intensidade
é igual à do peso do volume de fluido deslocado.
Considere que o líquido do nosso experimento possui densidade dL e que o
volume do líquido deslocado é V0 . Para o corpo imerso nesse líquido, de acordo
com o teorema de A rquimedes, temos:
E= PD
em que E representa o valor do empuxo e P0 , o valor do peso do líquido deslocado.
Como dL
=
m
-vº
e P0
=
D
E = PO => E = m0 g =>
m0 g, temos:
~ E = d,V,g
.
Pela equação do empuxo, vemos que seu valor será tanto maior quanto maior
a densidade do líquido e quanto maior o volume do líquido deslocado, ou seja,
quanto maior a parte do corpo que se encontrar submersa.
270
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Vamos analisar o que acontece quando um corpo de densidade de é imerso
totalmente em um líquido de densidade dL e, em seguida, é abandonado.
•
•
•
O empuxo é igual ao peso do corpo : E = PcNesse caso, o corpo permanece equilibrado em qualquer posição, pois a
resu ltante dessas forças é nula.
Deduzimos que dL = de
O empuxo é menor que o peso do corpo: E < Pc.
Nesse caso, o corpo irá para o fundo do recipiente, pois a resul tante dessas
forças tem sentido para baixo.
Deduzimos que dL < de
Ao chegar ao fundo do recipiente, a força de reação normal passará também
a atuar sobre o corpo e ele ficará em equilíbrio.
O empuxo é maior que o peso do corpo : E > Pc.
Nesse caso, o corpo se dirigirá para a superfície, pois a resultante dessas
forças tem sentido para cima.
Deduzimos que dL > de
A medida que o corpo for emergindo na superfície, o volu me de líquido
deslocado torna-se menor, visto que se reduz o volume do corpo submerso.
Isso faz com que o empuxo também diminua at é igualar-se com a força peso.
Nesse momento o corpo passa a flutuar em equilíbrio.
Exercícios resolvidos
'
9• Uma esfera, de volume 3,0 · 10-4 m3, é totalmente imersa em um líquido de densidade 9,0 · 102 kg/m3 • Sabendo que
nesse local g = 10 m/s2, determine:
a) a intensidade do empuxo que age na esfera;
b) a intensidade do peso da esfera para que ela se desloque para cima ou para baixo.
Resolução
a) Como a esfera está totalmente imersa (VO = V.,k,.), temos:
E = dLVDg => E = 9,0 · 102 · 3,0 · 10- 4 • 10 =>E= 2, 7 N
b) Se Pcsrcra > 2,7 N, ela se deslocará para baixo.
Se Pesf= < 2,7 N, ela se deslocará para cima.
Durante um experimento, um cubo de madeira de aresta 1,0 m é colocado em um recipiente contendo água.
Notou-se que o cubo flutuou com 60% do seu volume submerso. Considere g = 10 m/s2 e a densidade da água
1,0 · 103 kg/m3 • Determine:
a) a intensidade do empuxo exercido pela água sobre o bloco de madeira;
b) a intensidade da força vertical F, que deve agir sobre o bloco, para que ele permaneça totalmente imerso.
Resolução
a) Pelos dados: Vcu'oo = (1,0) 3 = 1,0 m3 ; Vliquido deslocado = VD = 0,60. 1,0 = 0,60 m 3 ; dL= dágua = 1,0. 103 kg/m3
A intensidade do empuxo que age no bloco é:
E = dLVDg => E = 1,0 . 103 • 0,60 . 10 => E = 6,0 . 103 N
b)A intensidade da força F, a ser aplicada no bloco, deverá fazer imergir os
40% do cubo que estavam fora da água. Portanto:
F =E' => F = dLVDg
V0 = 0,40 · 1,0 = 0,40 m 3
F = 1,0 · 103 · 0,40 · 10 => F
=
4,0 · 103 N
Capítulo 15 • Hidrostática
271
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
· · propost os
Exerc1c1os
Escreva
no caderno
38. Fabricado na costa sudoeste da Finlândia, o maior
navio de cruzeiro do mundo até 2015 fez a viagem
inaugural pelo Mar Báltico, em 2010. Com capacidade para 6 360 passageiros, o navio tem 72 m de altura, acima da linha do mar, 361 m de comprimento
e 66 m de largura, contando com chaminés retráteis
para passar sob pontes.
terior. Ao ser colocada em um líquido, verifica-se que
ela permanece parcialmente submersa. Caso o ar que
está em seu interior seja retirado, a esfera afundará,
permanecerá no mesmo nível ou diminuirá sua parte
Diminuirá sua parte submersa.
submersa?
41 . Ao ser indagado pelo avô sobre o peso do bloco que
ele colocou submerso na água, um jovem respondeu:
"O peso do bloco é 3 N".
O avô, paciente, respondeu: "As aparências enganam,
pois eu verifiquei que fora da água o peso dele é 5 N".
Maior navio de cruzeiro do mundo até
2015 (imagem de 2007).
Considere que esse navio permanece em equilíbrio
e flutuando sob a ação de apenas duas forças, a do
empuxo e a do próprio peso. Nesse caso, quais das
afirmações a seguir estão corretas?
I. A intensidade do empuxo exercida sobre o navio precisa ser bem maior do que a intensidade do seu peso.
Isso impedirá um possível afundamento, no caso de haver um acréscimo de carga.
Il. Se ele permanece flutuando, é porque a densidade
da água é maior do que a densidade média do navio,
ainda que na sua construção tenham sido usadas chapas de metal
rn. Caso o navio sofra um rompimento no casco, e a
água consiga enchê-lo totalmente, a densidade média do navio será maior que a densidade da água, e
ele afundará.
N. A intensidade do empuxo exercida sobre o navio é
igual à intensidade do seu peso. /J.!, afirmações 11. 111 e IV estão
corretas.
39. Sentados à beira da piscina do navio descrito no exercício anterior, três passageiros observam um corpo
totalmente submerso em um copo com água. Cada
um dos passageiros fez uma afirmação:
Passageiro A: A intensidade do empuxo que age nesse
corpo é igual ao peso da água deslocada pelo corpo.
Passageiro B: A intensidade do empuxo que age nes-
se corpo independe do volume desse corpo.
Passageiro C: O empuxo que age nesse corpo existe
porque a pressão no topo do corpo é menor do que a
pressão na base dele.
Qual(is) deles está(ão) correto(s)?
Somente _os passageiros
A e eestao certos.
40. Uma esfera metálica oca, uma "casca", é fechada her-
meticamente, mantendo um pouco de ar em seu in-
272
Considerando essa conversa, o valor de g = 10 m/s2 e
a densidade da água 1 g/cm2, determine:
a) o empuxo que age no bloco; 2 N
b) o volume do bloco; 2 · llr' m'
c) a densidade do bloco. 2, s · 10• k.g/m'
42. Uma bola de futebol, cujo volume é 4,0 litros e cuja
massa é 0,30 kg, é mantida totalmente submersa na
água, presa ao fundo de uma piscina
por um fio inextensível, de massa
e volume desprezíveis, como mostra a
figura ao lado .
Dados: g = 10 m/s2 e dH,o = 1 · 103 kg/m3 •
A tração no fio é:
a)40N
c) 4,3 N
xe) 37N
b) 3,7 N
d)43
43. (Enem/MEC) Durante uma obra em um clube, um
grupo de trabalhadores teve de remover uma escuJttua de ferro maciço colocada no fundo de uma piscina vazia. Cinco trabalhadores amarraram cordas à
escultura e tentaram puxá-la para cima, sem sucesso.
Se a piscina for preenchida com água, ficará mais
fácil para os trabalhadores removerem a escultura,
pois a
a) escultura flutuará. Dessa forma, os homens não
precisarão fazer força para remover a escultura do
fundo.
b)escultura ficará com peso menor. Dessa forma, a
intensidade da força necessária para elevar a escultura será menor.
c) água exercerá uma força na escultura proporcional
a sua massa, e para cima. Esta força se somará à força que os trabalhadores fazem para anular a ação da
força-peso da escultura.
d) água exercerá uma força na escultura para baixo, e
esta passará a receber uma força ascendente do piso
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
da piscina. Esta força ajudará a anular a ação da força-peso na escultura.
x e) água exercerá uma força na escultura proporcional
ao seu volume, e para cima. Esta força se somará à força que os trabalhadores fazem, podendo resultar em
uma força ascendente maior que o peso da escultura.
44. Durante uma pescaria, um pescador percebeu que
era mais fácil puxar a âncora do seu barco quando ela
estava totalmente submersa do que quando ela estava fora da água. Sobre essa observação, ele elaborou
quatro explicações. Qual delas é correta?
a) O empuxo produzido pela água e o peso da âncora
se anulam.
b) O empuxo produzido pela água é maior que o peso
da âncora.
c) Enquanto permanece submersa, o peso da âncora
é menor.
xd)Enquanto permanece submersa, a intensidade da
força para puxar a âncora é menor que a intensidade
do peso da âncora.
45. (UFV-MG) Um bloco cübico de aresta igual a 4,0 cm
é colocado em equilíbrio, imerso inicialmente em
um líquido A de densidade igual a 0,90 g · cm- 3 • Em
seguida, o mesmo bloco é imerso em um líquido B,
ficando em equilfürio conforme a ilustração abaixo.
. LJ
-118º
~
!
i
-J~,Ocm
liquido A
.- -
30cm
líquido B
- -
A densidade do líquido B, em g · crn- 3, é de:
a) 0,40
b) 1,2
xc) 0,60
d) 1,0
e) 0,80
46. Ao ser mergulhado num reservatório de água, um
objeto desloca um volume de água equivalente a
6 · lQ-4 m3 • Determine a intensidade do empuxo que
a água exerce no objeto, sabendo que nesse local
g = 10 rn/s2 e a densidade da água é 1 · 103 kg/m3 • 6 N
Pense além
Futebol a grandes altitudes
Em competições que envolvem confrontos com times ou
seleções de países da América do Sul, algumas vezes os jogos ocorrem em estádios localizados em altitudes elevadas
onde os atletas têm maior dificuldade de adaptação. Como
exemplo, podemos citar o estádio Hernando Siles, em
La Paz, capital da Bolívia, situado a 3 600 m de altitude.
Em locais como esse, a quantidade de ar é aproximadamente 35% menor que ao nível do mar e a pressão atmosférica também sofre uma redução considerável.
A dificuldade para desenvolver uma atividade física em
Fotografia de 2007 do estádio Hernando Síles em La Paz.
altitudes elevadas é causada pela redução da quantidade de
moléculas de oxigênio disponível para respiração. Por causa
na Bolívia.
desse problema, ocorre a polêmica sobre a não realização desse tipo de confronto a fim de não privi legiar uma
equipe ou outra .
Atividades
Escreva
no caderno
1. Converse com pessoas que tenham viajado para locais de grandes altitudes, perguntando a elas sobre as sensa-
ções que tiveram. Se isso não for possível, procure em revistas, jornais ou internet o depoimento de atletas que
participaram de atividades esportivas nesses locais. Compare os depoimentos e veja se os sintomas descritos por
eles coincidem. A diminuição na quantidade de gás oxigênio pode causar leve euforia seguida de cansaço, dor de cabeça e diminuição da coordenação motora.
2. Em seguida, com seus colegas de grupo, peça orientação a seus professores de Biologia e Educação Física, com o
objetivo de entender os sintomas descritos pelos entrevistados. Conclua esta atividade produzindo uma redação
com o tema: "Os efeitos causados pela altitude nos esportistas durante competições", em que você se posicione
criticamente sobre a legitimidade de competir a altas altitudes. Resposta pessoal.
Capítulo 15 • Hidrostática
273
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
•
Você sabia?
Em que outras situaç6es podemos observar o empuxo?
Os meios de comunicação têm noticiado as mudanças no clima mundial e
a ocorrência de catástrofes com efeitos devastadores devido a essas mudanças.
Entre os efeitos das mudanças climáticas podemos destacar a invasão das
regiões litorâneas pelo mar, o aumento da ocorrência e da intensidade dos
ciclones e furacões, as ondas de calor e o derreti mento acentuado das calotas
polares.
Mas o que estaria ocasionando essas mudanças?
Atualmente, sabemos que o lançamento de gases na atmosfera - como os
derivados de combustíveis fósseis pela combustão - é responsável pela formação da camada de poluentes de difícil dispersão, cuja consequência é acentuar
o efeito estufa. Parte do aumento da temperatura média do planeta é causado
pela intensificação do efeito estufa. Nesse efeito, parte dos raios solares que
atingem a superfície da Terra irradia calor na atmosfera. Esse calor não pode
ser disperso para fora do planeta de maneira satisfatória devido à camada de
Iceberg.
poluentes presentes na atmosfera.
Em virtude da intensificação do derretimento, grandes blocos de gelo se desprendem das geleiras e flutuam
na água, formando um maior número de icebergs.
Os icebergs são grandes massas de água no estado sólido que se deslocam seguindo as correntes marítimas nos
oceanos. Em geral, a parte do iceberg visível acima da água corresponde a menos de 10% do volume total dele. A
flutuação do iceberg ocorre pelo fato de o gelo apresentar densidade ligeiramente menor que a da água líquida.
Sabemos que a intensidade do empuxo sobre um corpo imerso em um fluido é numericamente igual ao peso
do fluido que o corpo desloca. Assim, é possível compreender como determinados corpos - icebergs, navios,
entre outros - flutuam . Da relação entre as forças peso e empuxo podemos entender como, curiosamente,
um pedaço de gelo f lutua em uma vasilha com água e afunda quando colocado na mesma vasilha com álcool.
Isso ocorre porque diferentes líquidos que agem sobre um mesmo corpo
produzem empuxos de diferentes intensidades.
Um objeto oco tem mais facilidade de flutuar. Um navio só f lutua porque
não é todo de ferro. As partes ocas ou vazias do navio reduzem sua densidade
em relação à do ferro maciço. Um navio é tão oco que a sua densidade média
é bem menor do que a densidade da água.
Alguns animais, e até seres humanos, têm facilidade para boiar na água.
Isso demonstra que a densidade média desses seres vivos é inferior à denA rã é um exemplo de animal que
sidade da água.
possui facilidade para boiar na água.
Atividades
Escreva
no caderno
1. a) Professor, faça um levantamento da opinião dos alunos com relação as ilustrações abaixo. Se o material da tigela
for mais denso que a água, ao ser quebrada. suas partes afundam. b) Com os pulmões cheios de ar, po1s, quanto maior
o \/Olume do nosso COfpo (por isso ê bom mantê-lo esticado com os braços e as pernas abertos), menor ê a densidade
e maior a flutuabilidade.
1. Com base no texto, analise
as situações a seguir e escreva suas conclusões.
a) Inicialmente uma tigela
flutua sobre a água. O que
ocorreria se quebrássemos a
tigela?
b) Quando uma pessoa está
de barriga para cima boiando na água, seu corpo flutua com mais facilidade com os pulmões vazios ou cheios de ar? Por quê?
2. Discuta com seus colegas de grupo o assunto abordado nesse texto e, posteriormente, faça uma redação com o seguinte tema: "As ações humanas que têm contribuído para as recentes mudanças climáticas e catástrofes mundiais".
Re
274
sta essoal.
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Lendo a Física
Arquimedes e a coroa do rei
Nesta atividade vamos trabalhar com uma história muito difu ndida no ensino da Física: a da descoberta
da falsificação da coroa de um rei por causa da água derramada de um recipiente. O resgate dessa história
se deu por meio de um t exto de Marcus Vitruvius (e. 80 a.C.-c. 15 d .C.), arquiteto romano, que descreve
um suposto procedimento utilizado por Arquimedes.
Quanto a Arquimedes, ele certamente fez descobertas admiráveis em muitos domínios, mas aquela
que vou expor testemunha, entre muit as outras, um engenho extremo. Hieron de Siracusa, tendo chegado ao poder real, decidiu colocar em um templo, por causa de seus sucessos, uma coroa de ouro que
havia prometido aos deuses imortais. Ofereceu assim um prêmio pela execução do trabalho e forneceu
ao vencedor a quantidade de ouro necessária, devidamente pesada. Este, depois do tempo previst o,
submeteu seu trabalho, finalmente manufaturado, à aprovação do rei e , com uma balança, fez uma
prova do peso da coroa. Quando Hieron soube, através de uma denúncia, que certa quantidade de ouro
havia sido retirada e substituída pelo equivalente em prata , incorporada ao objeto votivo, furioso por
haver sido enganado, mas não encontrando nenhum modo de evidenciar a fraude, pediu a Arquimedes
que refletisse sobre isso. E o acaso fez com que ele fosse se banhar com essa preocupação em mente e
ao descer à banheira, notou que, à medida que lá entrava, escorria para fora uma quantidade de água
igual ao volume de seu corpo. [... ]. Assim encaminhado para sua descoberta, diz-se que ele fabricou
dois blocos de mesmo peso, igual ao da coroa, sendo um de ouro e o outro de prata. Feito isso, encheu
de água até a borda um grande vaso, no qual mergulhou o bloco de prata. Escoou-se uma quantidade de água igual ao volume imerso no vaso. Assim, depois de retirado o corpo, ele colocou de volta a
água que faltava, medindo-a com um sextarius, de tal modo que o nível
voltou à borda, como inicialmente. Ele encontrou assim o peso de pra- Sextarius medida romana de
ta correspondente a uma quantidade determinada de água. Feita essa volume (0,547 litro, em valores
atuais).
experiência, ele mergulhou, então, da mesma forma o corpo de ouro no
vaso cheio, e depois de retirá-lo fez então sua medida seguindo um método semelhante: partindo da
quantidade de água necessária, que não era igual e sim menor, encontrou em que proporção o corpo
de ouro era menos volumoso do que o de prat a , quando tinham pesos iguais. Em seguida, depois de
ter enchido o vaso e mergulhado desta vez a coroa na mesma água, descobriu que havia escoado mais
água para a coroa do que para o bloco de ouro de mesmo peso, e assim, partindo do fato de que fluía
mais água no caso da coroa do que no do bloco, inferiu por seu raciocínio a mistura de prata ao ouro e
tornou manifesto o furto do artesão [... ).
MARTINS, R. A. Arquimedes e a coroa do rei. Revista brasileira de ensino de Flsica, Florianópolis: UFSC, v. 17, n. 2, 2000.
Disponível em: <WWW.periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/artidelview/6769/6238> .Acesso em: 2 jan. 2016.
Para auxiliar nas respostas, especialmente da questão 3, você pode construir com 01 alunos sua pr6p1ia balança utilizando
uma vareta que se equilibre por um fio com um gancho em cada uma de s.uas extremidades. Para regular o equilíbrio
utilize duas latinhas de refrigerante. Depois de equilibradas coloque somente as latinhas dentro da água e veja se ocnne
,..-- - - - - - . . alguma mudança.
Responda
Escred va ]
[ noca
erno
Professor, as respostas e os comentârios das questões encontram-se no Caderno de orientações no final deste volume.
1. Quais são os dois metais com que a coroa foi confeccionada? Pesquise a densidade de cada um deles e deter-
mine a diferença de volume encontrada para duas coroas que tenham a mesma massa de 1 kg.
2. Em sua opinião, o método utilizado por Arquimedes descrito no texto é plausível? Tente estimar qual seria a
diferença no volume de água deslocado pelas diferentes coroas.
3. J unte seu grupo e faça uma pesquisa sobre o que é uma balança hidrostática. Em seguida, determine de que
modo esse mecanismo pode ter auxiliado na conclusão de Arquimedes sobre a veracidade da coroa.
Capítulo 15 • Hidrostática
275
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Experimente a Física no dia a dia
Atenção
Faça o experimento
somente na presença
do professor.
Quem faz a força?
A atmosfera terrestre é dividida em algumas
camadas segundo características especificas. Nós
vivemos na troposfera, a camada mais próxima da
superfície da Terra, e que comporta cerca de 80%
da massa atmosférica. É interessante perceber que,
apesar de compor a maior parte da massa atmosférica, a troposfera tem entre 10 km e 20 km de altura.
Isso ocorre porque há uma grande variação da concentração da mistura dos gases com relação à altitude, no sentido de a mistura se tornar mais rarefeita.
Assim, não há como definir um limite evidente para
o fim da atmosfera, e admite-se o início da exosfera,
a última camada, a 1000 km da superfície. Além delas, temos a estratosfera, a mesosfera e a termosfera.
Alguns dizem que vivemos em um verdadeiro
"oceano" de ar. Nas atividades a seguir, tente explicar a situação apresentada com base na ação das forças que atuam no sistema.
Fotografia espacial da borda do planeta Terra, onde é
possível identificar a coluna de ar da atmosfera terrestre.
Materiais
l
• 1 pedaço de cartolina
• 1 garrafa PET
• gelo
• 1 copo
• água fria e quente
• 1 bacia ou balde
Passo a passo
Etapa 1
•
•
•
•
•
Encha inteiramente um copo com água.
Em seguida, recorte um pedaço de cartolina maior que o tamanho da boca do copo.
Tampe a boca do copo com a cartolina.
Em seguida vire o copo de ''boca para baixo", lentamente, segurando a cartolina; depois solte-a com cuidado.
Observe e responda a questão 1.
Etapa 2
• Coloque um pouco de água quente em uma garrafa PET (SOO mL ou 600 mL), agite um pouco, descarte-a de
modo que possa ser reaproveitada e tampe a garrafa novamente. Tenha cuidado com a água quente.
• Em seguida, coloque a garrafa em um recipiente (bacia ou balde) com água fria. Você pode colocar bastante gelo
na água do recipiente.
• Observe e responda às questões 2 e 3.
Responda
Escreva
no caderno
Professor, os comi!ntários de5sa seção encontram-se no Caderno de orientações
no final des1e volume.
1. Na realização da primeira etapa do experimento, o que aconteceu com a cartolina?
2. Na realização da segunda etapa do experimento, o que aconteceu com a garrafa?
3. Como as observações feitas na Etapa 1 podem ser aplicadas na Etapa 2?
276
Unidade 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Você sabia?
Como podemos aplicar a Hidrodinâmica na
circulação do sangue?
A Hidrostática estuda os fluidos em repouso. A Hidrodinâmica é uma área da Física que estuda os fluidos em
movimento mas que não será tratada nesta coleção. (No entanto, um exemplo muito comum de Hidrodinâmica
é o movimento do sangue no corpo humano.)
O sangue é um tecido conjuntivo que circu la pelo corpo e tem, entre suas funções, a manutenção da vida
do organismo. Ê composto de uma parte líquida, chamada plasma, formada de água, sais, vitaminas etc., e outra parte sólida, formada de hemácias, leucócitos e plaquet as. Em um adulto circulam cerca de 5 L de sangue,
que completam toda a circulação em 1 minuto.
Os conhecimentos sobre o sangue e o sistema circulatório não eram tão abrangentes no século XVIII, quando o estudante de Medicina e matemático Daniel Bernoulli demonst rou interesse em desenvolver uma maneira
de medir a pressão de líquidos em movimento. Provavelmente, foi a sua formação em Medicina que despertou
nele a necessidade de entender o que ocorre no fluxo sanguíneo. Assim, esse interesse o levou a descobrir que
há uma relação entre a pressão exercida por um f luido em movimento e sua respectiva velocidade. Bernou lli
obteve então uma equação para a descrição dos fluidos em movimento que leva o seu nome.
artéria
normal
inicio de
aterosderose
aterosclerose
severa
O acúmulo de gordura provoca o estreitamento das artérias e dificult a o
fluxo sanguíneo.
Atual mente, uma das doenças mais comuns do sistema cardiovascular é a aterosclerose, que corresponde
ao processo de estreitamento e endurecimento das artérias médias e grandes. O acúmulo de material gorduroso no interior de determinados vasos sanguíneos torna-os mais estreitos, favorecendo a formação de placas
ou ateromas (daí o nome de aterosclerose).
O acúmulo de gordura nas artérias provoca protuberâncias que,
além de dificultarem a passagem do sangue, fazem que o escoamento passe a ser turbulento.
Sobre as possíveis causas da aterosclerose, podemos destacar
hereditariedade, alimentação rica em gorduras, tabagismo, pressão
alta, diabetes, inf ecções por vírus, obesidade, vida sedentária e estresse. Esses fatores provocam a má irrigação sanguínea, o que facilita a ocorrência de embolias, tromboses e infartos.
Atividade
Escreva
nocademo
Professor, ajude a turma nesta atividade. Se possível. organize uma palestra para a comunidade e convide os
professores de Biologia e Educação Física para discorrer sobre o tema.
1. Pesquise hábitos saudáveis para evitar a aterosclerose. Faça um painel em grupo com as principais informações
e divulgue-as para a comunidade e demais estudantes de ouras séries.
Capítulo 15 • Hidrostática
277
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
• ·
Exerc1c1os
comp1ement ares
1. Os registros sobre o primeiro semáforo, direcionado a
orientar o fluxo de veículos, relatam que ele começou
a operar em Londres, em 1868. Possuía dois braços
que, quando estendidos horizontalmente, indicavam
"Pare" e, quando inclinados a 45 graus, indicavam
"Siga com cuidado". Posteriormente, outros tipos de
semáforos foram criados; contudo, o primeiro que se
aproxima dos formatos atuais, do tipo verde-amarelo-vermelho, com quatro faces, foi instalado em Detroit,
EUA, em 1920. Atualmente, é difícil imaginar a organização do trânsito, nas grandes cidades, sem esse
instrumento. Analise a instalação do semáforo representado a seguir, que apresenta massa de 20 kg e está
pendurado por três cabos. Os cabos 1 e 2 fazem um
ângulo 30º e 60º com a horizontal, respectivamente.
Esaeva
nocadern
3. (Fuvest-SP) Uma barra rígida e homogênea de 2,0 kg
está ligada numa das extremidades a um suporte, por
uma mola de constante elástica k = 200 N/ m. Na outra
extremidade, articula-se a
um rolete que pode girar livremente. Nessa situação, a
mola está deformada 5,0 cm. (Dado: g = 10 N/kg.)
a) lndiQue as forças externas que atuam sobre a barra.
Resposfa no final do livro.
b) Qual é a força que a superfície exerce sobre o rolete?
10 N
4. Um tubo contendo rnercürio tem uma de suas extremidades ligada ao registro fechado de um botijão
de gás (Figura 1). A outra extremidade do tubo é
livre, permitindo que o mercúrio esteja em contato
com o ar. Ao abrir-se o registro do gás, o mercúrio é
empurrado no tubo e passa a equilibrar-se em uma
outra posição (Figura 2).
r::Qual a intensidade das forças de tração nos cabos 1, 2
e 3? T, = 100 N; T, = 1ooJ3 N;T, = 200 N
2. Atualmente, há estudos que comprovam a importância das atividades físicas para a manutenção das boas
condições de saúde. Alguns aparelhos têm sido estruturados com objetivo de favorecer essas atividades.
Um dos aparelhos mais utilizados nas academias é a
cadeira extensora. Ele é usado principalmente para
fortalecer os músculos anteriores da coxa. A ilustração abaixo mostra uma pessoa realizando um exercício nesse tipo de cadeira. Sabendo que o peso utilizado para realizar esse tipo de exercício foi de 60 N e
que a distância entre o centro de gravidade do apoio
do aparelho e o centro articular do joelho é 0 ,3 metros, determine a quantidade de torque gerado nos
joelhos nas posições 1 e 2. Posição 1: M ,,, o; Posição 2: M = 18 Nm
----------
Figura 1
Figura 2
Sabendo que todo o procedimento descrito ocorre em
um local ao nível do mar, a pressão do gás contido no
botijão é, em cmHg, igual a:
a) 91
d)71
xb) 86
e) 66
c) 81
5. (Ufla-MG) Um tubo na forma de U contém água, conforme mostra a figura 1. Em seguida é colocada uma
quantidade de óleo no ramo esquerdo do tubo. A figura 2 mostra a água e o óleo ao longo do tubo após
ser atingido o equilibrio.
Q
I
óleo
V
o
~
________ E - •
______ .. F
água
Fig ura 1
278
água
Figura 2
Unidad e 6 • Estática e Hidrostática
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Considerando a densidade da água 1 g/cm3 e a do
óleo 0,8 g/cm3, pode-se afirmar sobre as pressões nos
pontos A eB e E e F que:
a) PA= P8 e PE< PF
d)PA<P8 ePE<PF
b)PA > P8 e P2 > PF
e)PA< P8 ePE=PF
0,15m [
x c)PA=P8 ePE> PF
6. O funcionamento de um elevador hidráulico de car-
ros consiste em um cilindro, de 15 cm de raio, que
comprime o óleo do reservatório, transmitindo essa
pressão a outro cilindro de 0,75 cm de raio. Qual
a força mínima que deveria ser aplicada ao cilindro menor para erguer um veículo de 2,0 · 103 kg?
Dado: g = 10 m/s2 • so N
7. Usando-se um manômetro, que consiste em um tubo
em forma de "U" contendo mercúrio, podemos medir a
pressão de um gás. Observando a figura representada
a seguir, calcule a pressão p, sabendo que a aceleração
da gravidade local é 10 m/s2 e a pressão atmosférica,
1,0 · 10 N/m2•
Dado: ~
g
= 13,6 · 103 kg/m3
1,1 · 10' Nlm'
~ -·•r•,~m
". . .
__
_H_g---<
_ ~ -- -
8. Imagine que um aluno estivesse interessado em me-
dir o tempo para encher um recipiente e assim saber a
vazão da torneira de sua casa. Durante essa atividade,
ele começou a pensar como estaria variando a pressão de um ponto no fundo do recipiente. Ele sabe, por
exemplo, que, conforme o recipiente vai enchendo, a
pressão no fundo dele aumenta; afinal, quanto maior
a altura da água, maior a pressão. Como você acha que
esse aluno esboçou o gráfico da variação da pressão
em função do tempo? Um.i reta incHnada com coeficiente angular pos11No.
9. Os peixes afundam e fluniam em rios, lagos e ocea-
nos porque conseguem variar rapidamente sua densidade. Explique a afirmativa com base na força de
empuxo. Os peixes variam a densidade variando o volume da bexiga natatôria.
O braço humano tem estrutura semelhante a uma alavanca interpotente. A mão que segura
algum peso exerce o papel da força resistente, a força aplicada pelo músculo em um osso do
antebraço é a força potente, e a junção no cotovelo é o ponto de apoio.
Fisicamente, a distância entre o ponto de apoio do objeto (A) e o ponto de articulação (C) é
34 cm, e o músculo age em um ponto (B) distante 4 cm do ponto de articulação.
Para que o corpo se mantenha em equilíbrio, a soma algébrica dos momentos das forças deve
ser nula. Em relação ao ponto de articulação C, temos:
MP+ MF =
-40 · 0,34
+
o
F · 0,04 = O~ F = 340 N
e
A
J
B
1
i4cm
-,---------.
30 cm
1
1
P = peso do objeto
dca = 4cm = 0,04m
F = força exercida pelo bíceps
dBA = 30 cm = 0,30 m
F' = força exercida pela articulação
Esse diagrama mecânico representa as forças que agem no antebraço, sem considerarmos o
peso do conjunto (mão-braço).
Portanto, o músculo exerce uma força de intensidade maior que a força peso do objeto.
Capítulo 15 • Hidrostática
279
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Referências
ALONSO, Marcelo; FINN, Edward. Física. Trad. Maria
Alice Gomes da Costa e Maria de Jesus Vaz de Carvalho.
São Paulo: Addison-Wesley do Brasil, 1999.
BILAC, Olavo. Obra reunida. Rio de Janeiro: Nova
Aguilar, 1996.
BRAGA, Marco; GUERRA, Andreia; REIS, José Claudio.
Breve história da ciência moderna. Rio de Janeiro:
Jorge Zahar, 2003. v. 1.
FARIAS, Robson Fernandes de; BASSALO, José Maria
Filardo. Para gostar de ler a história da Física. Campinas: Átomo, 2010.
FIOLHAIS, e. Física divertida. Brasília: UnB, 2000.
GLEISER, Marcelo. ln: MOURÃO, Ronaldo Rogério de
Freitas. Copérnico: pioneiro da revolução astronômica.
São Paulo: Odysseus, 2003.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl.
Fundamentos da Física. Rio de Janeiro: LTC, 1995.
V.
1.
HEWITT, Paul G. Física conceituai. Porto Alegre:
Artmed, 2002.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Disponível em: <www.ibge.gov.br/ibgeteen>.
Acesso em: 17 mar. 2016.
INSTITUTO CIÊNCIA HOJE. Ciência Hoje, Rio de
Janeiro,n.255,v.43,dez.2008.
INSTITUTO DE PESOS E MEDIDAS DO ESTADO DE
SÃO PAULO. Disponível em: <www.ipem.sp.com.br/>.
Acesso em: 17 mar. 2016.
NUSSENZVEIG, Hersch M. Curso de Física Básica 1:
Mecânica. 4. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2002.
PONCZEK, Roberto Leon. Da Bíblia a Newton: uma visão humanística da Mecânica. ln: ROCHA, J. F. (Org.).
Origens e evolução das ideias da Física. Salvador:
EDUFBA, 2002.
RESNICK, Robert; HALLIDAY, David. Física 1. Rio de
Janeiro: LTC, 1973.
280
Lista de siglas
cesgranrio-RJ - Centro de se;eção de Candid_atos ao
Ensino Supenor do Grande Rio
Enem/MEC - Exame Nacional do Ensino Médio
Fatec-SP - Faculdade de Tecnologia
FCMSC-SP - Faculdade de Ciências Médicas da Santa
Casa de São Paulo
FEI-SP - Faculdade de Engenharia Industrial
FGV-SP - Fundação Getúlio Vargas
FMTM-MG-FaculdadedeMedicinadoTriânguloMineiro
FNFi - Faculdade Nacional de Filosofia
Fuvest-SP- Fundação Universitária para o Vestibular
ITA-SP - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Mack-SP- Universidade Presbiteriana Mackenzie
OBF - Olimpíada Brasileira de Física
PUCCamp-SP - Pontifícia Universidade Católica de
Campinas
PUC-MG - Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais
PUC-PR- Pontifícia Universidade Católica do Paraná
PUC-RS -Pontifícia Universidade Católica do Rio
Grande do Sul
UECE- Universidade Estadual do Ceará
UEL-PR- Universidade Estadual de Londrina
UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro
UFBA- Universidade Federal da Bahia
UFC-CE - Universidade Federal do Ceará
UFF-RJ - Universidade Federal Fluminense
UFG-GO - Universidade Federal de Goiás
UFLA-MG - Universidade Federal de Lavras
UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais
UFMT - Universidade Federal do Mato Grosso
UFPA- Universidade Federal do Pará
UFPE - Universidade Federal de Pernambuco
UFPR - Universidade Federal do Paraná
UFRGS-RS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul
UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro
UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
UFS-SE- Universidade Federal de Sergipe
UFSM-RS - Universidade Federal de Santa Maria
UFU-MG - Universidade Federal de Uberlândia
UFV-MG- Universidade Federal de Viçosa
UnB-DF - Universidade de Brasüia
Unesa-RJ - Universidade Estácio de Sá
Unesp-SP - Universidade Estadual Paulista
Unicamp-SP - Universidade Estadual de Campinas
Unifor-CE - Universidade de Fortaleza
Unirio-RJ - Universidade Federal do Estado do Rio de
Janeiro
Vunesp-SP - Fundação para o Vestibular da
Universidade Estadual Paulista
Referências e Lista de siglas
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Sugestões para pesquisa e leitura
O livro didático é uma das fontes de informações que você pode usar para aprimorar seus conhecimentos,
mas não deve ser a única. Por isso, sugerimos algumas alternativas que podem ampliar seus conhecimentos.
Procuramos relacionar livros com temas interessantes para que sua leitura seja agradável e lúdica, sem
perder o rigor dos conhecimentos sobre Física. As revistas indicadas nem sempre são encontradas em bancas,
mas todas possuem versões para a internet, com textos que podem ser acessados gratuitamente.
~ Livros
BRANCO, Samuel Murgel. Energia e meio ambiente.
São Paulo: Moderna, 1991.
BRECHT, Bertold. Vida de Galileu. Rio de Janeiro: Paz e
Terra, 1991.
CHALMERS, Alan F. Que é ciência afinal? São Paulo:
Brasiliense, 1997.
EINSTEIN, Albert; INFELD, Leopold . A evolução da
Física. Rio de Janeiro: Zahar, 2008.
FIOLHAIS, Carlos. Física divertida. Brasllia: Editora da
UnB, 2000.
FREIRE, Helena da Silva. Usos de energia: sistemas,
fontes e alternativas; do fogo aos gradientes de
temperatura oceânicos. São Paulo: Atual, 1991.
GONICK, Larry; HUFFMAN, Art. Introdução ilustrada
à Física. Trad. Luís Carlos de Meneses. São Paulo:
Harbra, 1994.
HAMBURGUER, Hemest W. O que é Física? São Paulo:
Brasiliense, 1992.
HEWITT, Paul G. Física conceituai. Porto Alegre:
Artmed, 2002.
LEVY-LEBLOND, Jean-Marc. A mecânica em perguntas.
Lisboa: Gradiva, 1991.
MONTANARI, Valdir. Energia nossa de cada dia. São
Paulo: Moderna, 2003.
WAKER, Jearl. O grande circo da Física. Lisboa:
Gradiva, 1990.
WESTFALl.., Richard S. A vida de Isaac Newton.
Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1995.
~ Revistas
CIÊNCIA HOJE. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira
para o Progresso da Ciência (SBPC) .
DESAFIOS DO DESENVOLVIMENTO. Brasília:
Instituto de Pesquisa Econômica e Aplicada (IPEA).
GALILEU. Rio de Janeiro: Globo.
PESQUISA FAPERJ. Rio de Janeiro: Fundação de
Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro.
PESQUISA FAPESP. São Paulo: Fundação de Amparo
à Pesquisa do Estado de São Paulo.
SCIENTIFIC AMERICAN BRASIL. São Paulo: Ediouro.
~ Sites'
CIÊNCIA HOJE. Rio de Janeiro.
Disponível em: <http://www.ciencia.org.br>.
CNEN: COMISSÃO NACIONAL DE ENERGIA
NUCLEAR.
PARKER, Steve. Galileu e o Universo. São Paulo:
Scipione, 1996.
ELETROBRAS ELETRONUCLEAR.
PARKER, Steve. Newton e a gravitação. São Paulo:
Scipione, 1996.
ESTAÇÃO CIÊNCIA. Universidade de São Paulo.
POSKITT, Kjartan. Isaac Newton e sua maçã. São Paulo:
Companhia das Letras, 2002.
ROCHA, Romeu F. Grandezas e unidades de medidas.
São Paulo: Ática, 1988.
SPEYER, Edward. Seis caminhos a partir de Newton:
as grandes descobertas da Física. Rio de Janeiro:
Campus, 1995.
STRATHERN, Paul. Arquimedes e a alavanca. Rio de
Janeiro: Jorge Zahar, 1997.
TUNDISI, Helena da Silva F. Usos de energia: sistemas,
fontes e alternativas. São Paulo: Atual, 1991. (Meio
ambiente).
VALADARES, Eduardo de Campos. Física mais que
divertida. Belo Horizonte: Editora da UFMG, 2002.
Disponível em: <http://www.cnen.gov.br>.
Disponível em: <http://www.eletronuclear.gov.br>.
Disponível em: <http://www.eciencia.usp.br>.
GREENPEACE.
Disponível em: <www.greenpeace.org.br>.
MCTI: MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E
INOVAÇÃO.
Disponível em: <http://www.mct.gov.br>.
PETROBRAS.
Disponível em: <http://www.petrobras.com.br>.
REVISTA PESQUISA FAPESP. São Paulo.
Disponível em: <http://www.revistapesquisa.fapesp.br>.
SCIENTIFIC AMERICAN BRASIL. São Paulo.
Disponível em: <http://www.sciam.com.br>.
1 Sites acess.idos em 17 de março de 2016.
Sugestões para pesquisa e leitura
281
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
Respostas
~
UNIDADE 1
Capítulo 1
Exercícios propostos
1. c
2. A hipótese 1 não pode ser testada; logo
não é científica.
7. A trajetória de um corpo depende do re-
9. a) s (m)
ferencial adotado, ou seja, será descrita
de forma diferente se for observada de
referenciais distintos.
8. a) s., = O; sN= 60 km; s 0 = 140 km;
s. = 180km
b) s., = - 160km; SN = - lOOkm;
so = - 20 km; s. = 20 km
9. a) 5 horas e 30 minutos
15
10
s
o
3
4
5
6
t (s)
- 10
- 15
b) Um quarto de circunferência.
hipóteses li e llI podem ser testadas
e comprovadas· logo, são científicas.
As
2
-5
b)
V
(m/s}
5+-- - - - - ~
c) C = 2nR
4
Exercícios complementares
1. a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
2. a) Eletromagnetismo.
d)
11. 80 km· 110 km
12. A ideia de velocidade está relaciona-
da à rapidez com que ocorrem as variações das posições escalares de um
corpo. Por exemplo, a velocidade de
um nadador depende do tempo gasto
por ele para ir da posição inicial até a
posição final.
b) Termodinâmica.
c) Óptica.
d) Mecânica.
e) Física Moderna.
f) Ondulatória.
~
ão, o deslocamento é aparente.
1O. As afirmações Il e N estão corretas.
3. d
4. b
13. Provavelmente a máxima é superior a
UNIDADE 2
14. 3,6 km/h
310 km/h e a mínima é inferior a essa
velocidade.
o
6
t (s)
c) s = - 15 + St (SI)
d) 3 s; movimento progressivo.
e) Não, a forma do gráfico apresenta
apenas a dependência entre as grandezas se t.
10. Ambos possuem a mesma velocidade.
11. s = 15 - 3t
12. b
13. 60 m; 6Sm
14.
b
Capítulo 4
15. 72km/h
Capítulo 2
16. c
Exercícios propostos
17. 9,6km/h
Exercícios propostos
1. Quando as dimensões do corpo em
estudo são muito pequenas se comparadas às dimensões em que ocorre o
fenômeno estudado.
2. Não, pode acontecer de o outro ônibus
estar em movimento em relação ao
solo. O estudante vê o deslocamento
em relação ao seu ôrubus, ficando com
a impressão de que ele se move.
3. Sim, basta considerar o barco como
18. 40 m
2. Resposta pessoal.
20. a) 0 5 m/S
3. Não, pois aceleração escalar nula signi-
b) 1 200 m
fica que a velocidade escalar é constante, podendo ser nula ou não.
21 . 42 km/h
Capítulo 3
5. a) Não, está em movimento.
b) Verdadeira.
c) Para o guarda rodoviário, ambos
estão em movimento.
6. a)
xA = 5m; x,. = 9 m; xc = - 2m;
X., = - Sm
b) llm
c) - lOm
d) Movimento progressivo.
e) Movimento retrógrado.
282
4. A cada segundo sua velocidade varia
20km/h.
5. e
Exercícios prop ostos
1. a) 10m
4. a) Em repouso.
c) Em movimento.
variação da velocidade escalar instantânea de um móvel.
19. O caramujo é mais lento que o bicho-preguiça.
referencial.
b) Em movimento.
1. Movimento variado está relacionado à
7. 200 m/ s2
b) - 8m
8. O carro B consegue a maior aceleração.
c) 10 s
9. a = 2 m/S2 • O movimento é progressivo
2. s = 2t
3. 250 s
4.
6. - 2 m/s2. O movimento é retardado.
e
5. a) 1 800m
b)
o
6. a) 1 m/s; 2 m
b) T progressivo; R retrógrado
c) s. = 5 - lt
d) 1,5 s
7. b
8. Consumo de A é 3,75 litros e de B
1,25 litro.
e acelerado.
a = 4 m/s2 • O movimento é retrógrado
e acelerado.
a = - 5 m/s2 • O movimento é progressivo e retardado.
a = 2 m/s2 • O movimento é retrógrado
e retardado.
10. a) 36,8 m/s2 (acelerado)
b) a= - 35,1 m/s2 (retardado)
11. a) Os a 4 s; 12 s a 20 s
b) 4sa 12s
c) Os a 4 se 12 s a 20 s
Respostas
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
12. a) v(mis)
4. a) A pena e o martelo atingiram o solo
b) "'1,4s
5. 40 m/S
7
6
5
Capítulo 6
6.20m
7. v = 30 m/S e H = 45 m
8. c
9. 2s
4
3
2
-
Exercícios propostos
1. As escalares são definidas por um valor
numérico e pela unidade de medida.
As vetoriais são identificadas por m6-
dulo (e sua unidade de medida), direção e sentido.
2. c
3. A soma vetorial está relacionada à ideia
de obter um único vetor que representa
a soma de dois ou mais vetores.
4. Sim quando os vetores são opostos.
5. a) AeB; CeD
10. c
o
t (s)
b) 18m/i'
13. a) v
>UNIDADE 3
simultaneamente.
9
8
= 15 - 2t (SI)
b) 7,5 s
11. 30 m/S
12. 20 m
13. a) s = 20t - 5t'; v = 20 -lOt
b) 2 s
14. a) v = 20 + l ,St (SI)
b) 24,5 m/S
e) 20m
c) Acelerado.
15. 4,0 m/S2 ; 10 m/S
16. - 4,0 m/s2 ; 4 s
17. 0,6 m/s; 0,2 m/s2
18. Não, no MU as partículas percorrem
espaços iguais em tempos iguais e no
MlN os espaços percorridos em intervalos de tempos iguais serão cada
vez maiores quando o movimento for
acelerado, e cada vez menores no movimenro retardado.
c) 20 m
19. a) 2 m/S
b) 6 m/s2
20. 3 s
21 . c
22. 16s
23. a) 5 s a 10 s
d) o
b) Osa 5 s
e) Os e 10 s
c) 5s
24. a) 4s
b) 4m
25. a) 57 m
b) Entre O s e 2 s e entre 8 s e 10 s.
c) 9m
26. - 0,25 m/s 2
d) 15 m, sentido para baixo.
e) 4 s; - 20 m/s
d) ão porque suas direções são
diferentes.
6. b
7. a)
20
2
t (s)
4
b)
14. a) 1,2 s
b)
o
R
C) 2 m/S
d)
V
(m/s)
} 4 km
V navegante
,,"
4
/
28. lOOm
PS
b) 20 km
-4
b) 3 5 m/s'
da terra.
33. a) Caminhão: 70 s e 1 225 m; carro:
25 s e 312,5 m.
b) 212 5 m
c) 91,25 s
-8 •••••••••••••••••••••
15. 75 m
16. a) 1 s
b) 5,24 s
17. e
c) 25 m
Exercícios complementares
1. a) Circunferência.
Capítulo 5
Exercícios propostos
1. Significa que o movimento do corpo
ocorre em trajet6ria retilínea, vertical
e livre dos efeitos da resistência do ar.
2. Devido aos efeitos da resistência do ar.
3. MlN, pois apresenta aceleração constante.
----.
8
t (s)
31 . V = 20 m/S; t = 40 S
32. Conseguiu parar à distância de 20 m
4km
8. a)
12
27. O
29. d
30. a) 90m
b) CeD
c) AeC
Os(m)
b) Pelo observador na calçada é uma
reta e para o ciclista um ponto que não
descreve uma trajet6ria.
2. 120 km/h
c) Ela representa a menor distância para
a equipe de salvamento chegar ao local.
9. 2u
10. 7m
11. a) Sim. O deslocamento escalar fica
caracterizado por número e unidade.
b) ão. Para caracterizar o deslocamento vetorial, além da intensidade
{30 m), precisamos conhecer sua direção e seu sentido.
12. Ambas as afirmações são falsas.
13. a)
3. a) t = 7 s
b) 50 km
b) t = 1,2 s
4.
VA
= 5,65 VGj V8 =
l l,3VG
5. b
6. a) 25s
b) Movimento acelerado (v > v,) .
40km
14. a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Verdadeira.
d) Falsa.
Respostas
283
Web2PDF
converted by W eb2PDFConvert.com
15. c
16. a) Como não há escala, não podemos
determinar a distância enrre o avião e o
radar, mas é possível indicar a direção e
o sentido. O avião A se aproxima na posição 8 h; B se aproxima na posição 10 h
e C se afasta na posição 12 h.
b) A e B aterrissam e C decola.
17. a) d = 9 km; direção: leste-oeste; sentido: para o leste.
Capítulo 7
Exerdcios propostos
1. Apenas o participante m fez uma afirmação correta.
2. a) 0,4 s
b) 0,80m
c) 5m/s
3. a) 1 s
b) 12 m/s (em relação à plataforma) .
b) d = 6 km; direção: leste-oeste;
sentido: para o leste.
c) d = 2Jfõkm
18. a) 2100m
b) 500 m
c) A distância percorrida são todos os
trechos percorridos e o deslocamento e
a reta entre os pontos iniciais e finais.
19. a) O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória.
b)
JvmJ =
ÕM
~ J2
20. b
21. a) a, = O m/S e a, = 10 m/s
2
2
b) a, = 10 m/S2
22. a)
4.
5.
6.
7.
8.
0,2 m/s (em relação ao solo).
c) lOm/s
5 m/S
250 m antes do local.
a) =21 m/s; =21 m/s
b) X = 2lt; y = 21t - St2
c) 2,1 s
d) 22,1 m
e) 4,2s
f) t,. = 2t,
g) 88,2 m
h) 30m/s
0,8s
40,6 m; 2 9 s
Capítulo 8
, . . • ,,
.,"
<'
.,.. ,
,
''
' ....
I
Exerdcios propostos
',
'
'
1. a) ~rad
2
b) =100001cm
2. a) 1t rad
b) às 1 = 31,4 m
às2 = 47,1 m
b) A: curvilineo acelerado e B: curvilineo retardado.
23. d
24. O carro acelera, no sentido do centro
da curva, 10 m/s a cada segundo.
6. vA = 14 cm/s· v8 = 28 cm/s
25. a) 6m/s
7. a) ~rad/s
26. 400km/h
27. a) 5 km/h
b) 35 km/h
5. 0,5 rad/s
12
b)
1t m/S
8. 0,30rad
9. ~ = 3
w.
10. 52,3 s
28. d
11. 0,01 m/S
29. 200 m (mesmo sentido);
12. As velocidades angulares dos ponteiros
67 m (sentidos contrários).
30. 1,7 m/S
31. a) 260 km/h
b) 200 km
32. 11 e ll1 estão corretas.
33. a) 180 km/h
b) O piloto pode acelerar o avião para
compensar o arrasto