Apostila-AXavier

APLICAÇÕES DE ALGUMAS TÉCNICAS MULTIVARIADAS
(Componentes Principais, Variáveis Canônicas e Correlações Canônicas)
ÍNDICE
Página
1. INTRODUCÃO..........................................................................................................
2. COMPONENTES PRINCIPAIS................................................................................
2.1. Introdução............................................................................................................
2.2. Obtenção dos Componentes Principais ...............................................................
2.3. Importância Relativa de um Componente Principal............................................
2.4. Correlação Entre o Componente Yk e a Variável Xi ...........................................
APLICAÇÃO 1 ..........................................................................................................
2.5. Componentes Principais Obtidos de Variáveis Padronizadas .............................
APLICAÇÃO 2 ..........................................................................................................
2.6. Sumarização da Variação Amostral por Componetes Principais ........................
2.7. Descarte de Variáveis ..........................................................................................
2.8. Análises de Componentes Principais e Análise de Agrupamento.......................
APLICAÇÃO 3 ..........................................................................................................
3. VARIÁVEIS CANÔNICAS ......................................................................................
3.1. Introdução............................................................................................................
3.2. Obtenção das Variáveis Canônicas......................................................................
3.3. Importância Relativa de uma Variável Canônica ................................................
3.4. Descarte de Variáveis ..........................................................................................
3.5. Análise de Variáveis Canônica e Análise de Agrupamento ................................
APLICAÇÃO 4 ..........................................................................................................
4. CORRELAÇÕES CANÔNICAS ...............................................................................
4.1. Introdução............................................................................................................
4.2. Obtenção das Correlações Canônicas e dos Pares Canônicos .............................
APLICAÇÃO 5 ..........................................................................................................
4.3. Algumas Aplicações na Área Florestal ...............................................................
5. ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA .....................................................
5.2. Considerações sobre a MANOVA ......................................................................
5.2.1. Desenvolvimento Matemático ..........................................................................
APLICAÇÃO 1 ..........................................................................................................
5.3. Procedimentos para Comparações Múltiplas ......................................................
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................
1
1
1
2
4
5
6
9
11
14
14
15
16
21
21
22
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25
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1. INTRODUCÃO
A análise estatística multivariada ou simplesmente análise multivariada é o ramo da
estatística direcionado ao estudo das amostras e distribuição multidimensionais, ou seja, são
métodos estatísticos apropriados para estudos em que várias variáveis são consideradas
simultaneamente.
No entanto, apesar de as técnicas multivariadas terem eficiência comprovada e proporcionarem enriquecimento das informações extraídas de dados experimentais, é necessária para
seu uso a disponibilidade de recursos computacionais, motivo pelo qual a referida técnica
ficou limitada no seu uso e do repasse entre os pesquisadores das diversas áreas da ciência, no
Brasil. Entretanto, com a incrementação dos recursos da informática nos últimos anos, a
técnica atraiu a atenção dos pesquisadores das diversas áreas, tornando o seu emprego
potencialmente grande e, conseqüentemente, o seu conhecimento indispensável.
A análise multivariada compreende várias técnicas que, segundo KENDALL (1980),
citado por CRUZ (1987), distinguem-se em:
a) Técnicas de Avaliação da Interdependência: estuda as relações de um conjunto
de variáveis entre si.
- “Cluster Analysis” ou Análise de Agrupamento
- Componentes Principais
- Correlações Canônicas
- Análise Fatorial
- Escala
b) Técnicas de Avaliação da Dependência: estuda a dependência de uma ou mais
variáveis em relação às outras.
- Regressão
- Relação Funcional
- Múltipla Contigência
- Análise Discriminante
Devido à complexidade e extensão do assunto, o presente trabalho teve como objetivo
fazer uma abordagem sobre a utilização de algumas técnicas multivariadas na área florestal,
tomando-se como base os seguintes estudos: Componentes Principais, Variáveis Canônicas e
Correlações Canônicas.
2. COMPONENTES PRINCIPAIS
2.1. Introdução
A análise de componentes principais é uma técnica multivariada, que segundo
KENDAL (1950), é uma técnica de avaliação da interdependência, ou seja, estuda as relações
de um conjunto de variáveis entre si.
A técnica de componentes principais foi originalmente descrita por Karl Pearson, em
1901, em um artigo onde deu ênfase à sua utilização no ajustamento de um subespaço a uma
nuvem de pontos. Posteriormente, a técnica foi consolidada por Hotelling em 1933 e 1936,
para o propósito particular de analisar estruturas de correlações (MORRISON, 1976,
MARDIA et al., 1979; MANLY, 1986; CRUZ, 1990). Entretanto, o uso da análise só foi
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difundida após desenvolvimento de computadores eletrônicos e atualmente, devido a grande
disponibilidade de recursos de computadores sofisticados e de software aplicados, a técnica
tornou-se amplamente disponível e utilizada nas várias áreas da ciência.
A técnica de componentes principais procura explicar a estrutura de variânciascovariâncias através de poucas combinações lineares das variáveis originais, com os objetivos
de reduzir os dados, colocá-los numa forma mais adequada para análise, evidenciar as
tendências e facilitar sua interpretação. Segundo LIBERATO (1995), a utilização da análise
de componentes principais tem por finalidade proporcionar simplificação estrutural dos dados,
de modo que a diversidade, influenciada a princípio por um conjunto p-dimensional (p =
números de caracter considerados no estudo), possa ser avaliada por um complexo bi ou
tridimensional de fácil interpretação geométrica. Ou ainda, a análise por componentes
principais, segundo CRUZ (1994), consiste em transformar um conjunto original de variáveis
em outro conjunto, de dimensões equivalentes, mas com propriedades importantes de grande
interesse em certos estudos.
Os princípios básicos desta técnica são descritos por vários autores, tais como
MORRISON, 1976; MARDIA et al. (1979); KENDAL (1980); MANLY (1986);JOHNSON e
WICHERN (1988); CRUZ e REGAZZI (1994); entre outros. Segundo estes autores, cada
componente principal é uma combinação linear das variáveis originais, que são independentes
entre si e estimadas com o propósito de reter, em ordem de estimação, o máximo da
informação, em termos de variação total, contida nos dados originais. Assim, entre todos os
componentes principais, o primeiro tem a maior variância, o segundo tem a segunda maior e
assim sucessivamente.
A grande importância do conhecimento da técnica dos componentes principais,
segundo SOUZA (1988), reside no fato de ela constituir um procedimento básico do qual
derivam vários outros métodos de análise de dados multivariados, como por exemplo, análise
de agrupamento “cluster analysis”.
Assim, segundo CRUZ (1990) o uso da técnica de componentes principais pode
atender os seguintes propósitos:
i) examinar as correlações entre caracteres estudados;
ii) resumir um grande conjunto de caracteres em outro menor e de sentido biológico;
iii)avaliar a importância de cada caracter e promover a eliminação daqueles que contribuem pouco , em termos de variação, no grupo de indivíduos avaliados;
iv)construir índices que possibilitem o agrupamento de indivíduos; e
v) permitir o agrupamento de indivíduos com o mais alto grau de similaridade,
mediante exames visuais em dispersões gráficas no espaço bi ou tridimensional.
2.2. Obtenção dos Componentes Principais
Algebricamente, componentes principais são combinações lineares particulares das p
variáveis aleatórias X1, X2, ... , Xp. Geometricamente, estas combinações lineares representam
a seleção de um novo sistema de coordenadas obtidas pela rotação do sistema original como
X1, X2, ... , Xp como eixos. Os novos eixos representam as direções com variablidade máxima
e fornece uma descrição mais simples e mais parcimoniosa da estrutura de covariâncias.
Os componentes principais dependem somente da matriz de covariâncias (S) ou da
matriz de correlação (R) de X1, X2, ..., Xp. Assim, a técnica de componentes principais
caracteriza-se por trabalhar com a média amostral ou ser usada nas situações em que não há
repetições de dados.
O seu desenvolvimento não necessita de normalidade. No entanto, a análise de componentes derivada de populações normais multivariadas têm suas interpretações usuais em
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termos de elipsóides de densidade constante (JOHNSON e WICHERN, 1988). Entretanto,
embora a análise, formalmente não requeira a distribuição normal multivariada, ela é mais
apropriada para variáveis quantitativas contínuas. Quando os dados são constituidos de
contagem, razões, proporções ou percentagens, a transformação é recomendada para tornar
sua distribuição mais apropriada, previamente à análise de componentes principais. Como
exemplo, STAUFFER et al. (1985) recomenda a transformação de arco seno da raiz quadrada
para dados provenientes de percentagem e os dados de contagem a transformação de raiz
quadrada (PIMENTEL GOMES, 1984).
Seja o vetor aleatório X’ = [X1, X2, ... , Xp] que tem a matriz de covariâncias (S) com
auto- valores ( λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λp ≥ 0) e considerando as seguintes combinações lineares:
Y1 = 1’1X = 111 X1 + 121X2 + ... + 1P1XP
Y2 = 1’2X = 112X1 + 122X2 + .... + 1P2XP
.
.
.
YP = 1’PX = 11PX1 + 12pX2 + ... + 1PPXP
Sendo:
Var (Yi) = 1’i S 1i
i = 1, 2, ... , p
Cov (Yi ,Yk) = 1’i S 1k
i, k = 1, 2, .... , p
Os componentes principais são combinações lineares não correlacionadas, cujas
variâncias são tão grandes quanto possível. assim:
a) O primeiro componente principal (Y1) é a combinação linear com variância
máxima, isto é, é a combinação linear 1’1 X que maximiza Var (1’1X) sujeito a
1’111 = 1;
b) O segundo componente principal (Y2) é a combinação linear 1’2X que maximiza
Var (1’2X), sujeito a 1’212 e com Cov (1’1X, 1’2X) = 0;
c) O i-ésimo componente principal (Yi) é a combinação linear 1’iX que maximiza
Var (1’iX), sujeito a 1’i1i = 1 e, em todos os casos, a Cov (1’iX, 1’kX) = 0.
Desta forma, verifica-se que entre todos os componentes principais, Y1 apresenta a
maior variância, Y2 a segunda maior e, assim sucessivamente, e independente entre si.
Assim, segundo CRUZ e REGAZZI (1994), o problema estatístico consiste fundamentalmente em estimar os coeficientes de ponderação dos caracteres em cada componente e
a variância a eles associada.
Sendo Y1 o primeiro componente principal, sua variância é dada por:
Var (Y1) = 1’1 S 11
O que se deseja é obter estimativas para o vetor 11 de tal forma que a variância de Y1
seja a maior de todas. Para atingir este objetivo impõe-se a restrição 1’11= 1, a qual é
introduzida na expressão Var (Y1) = 1’1 S 11 pelo multiplicador λ1 de Lagrante. Assim:
W1 = 1’1 S 11 + λ1 (1 - 1’1 11)
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A solução que maximiza Var (Y1) é obtida pela derivação de W1 em relação a 11, que
é dada por:
S - λ1 I a = 0
A solução deste sistema deve ser tal que 1 ≠ φ, assim é necessário que o determinante
de (S - λ1I) seja mulo, para que o sistema se torne indeterminado e a solução possa ser
escolhida entre aquelas que satisfaçam a condição 1’111 = 1.
Sendo λ1 o valor que satisfaz S - λ1I = 0, então, por definição, λ1 é a raiz
característica (ou autovalor) de S e 11, o vetor característico (autovetor) associado.
Sendo o vetor 1’1 o escolhido para maximizar Var (Y1), tem-se que λ1 é o maior valor
entre o conjunto de autovalores de S.
A variância do segundo componente principal é dada por: Var (Y2) = 1’2 S 12. Para
obtenção das estimativas do vetor 1’2, deve-se considerar as restrições 1’2 12 = 1 e 1’211 = 1’1
12 = 0, as quais são incorporadas na função de maximização por meio dos multiplicadores λ2 e
θ de Lagrande. Assim, é estabelecido que:
W2 = 1’2 S 12 + λ2 ( 1 - 1’212) + θ 1’2 11
A solução que maximizar Var (Y2), obtida pela derivação de W2 em relação ao 12, é
dada por:
(S - λ2I) 12 = φ
em que λ2 é a segunda maior raiz característica de S e 12 o seu autovetor associado.
As restrições consideradas neste segundo componente principal atendem aos seguintes
propósitos:
a) a primeira restrição é necessária para garantir a unicidade de 12;
b) a segunda restrição garante que 11 e 12 sejam ortogonais.
Os demais componentes principais são estimados de maneira análoga ao descrito para
os dois primeiros.
2.3. Importância Relativa de um Componente Principal
Baseando no fato de que:
Var (Yi) = λi;
Var (Y1) ≥ Var (Y2) ≥ ... ≥ V (Yp) ≥ 0
Cov (Yi, Yk) = 0, para i ≠ k
p
∑ Var (Yi) = tr S
i=1
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ou seja,
p
p
i=1
i=1
∑ Var (Yi) = λ1 + λ2 + ... + λp = tr S = ∑ Var (Xi) = σ211 + σ222 + ... σ2pp
Assim, a importância relativa de um componente principal (IRk) é avaliada pela
percentagem da variância que ela explica, ou seja, a proporção da variação total explicada
pela k-ésima componente principal é dada por:
λk
IRk= _____________________________ k = 1, 2, ... , p
λ1 + λ2 + ... + λp
Ou ainda, a proporção da variação total explicada pelos primeiros k componentes
principais (PVk’s) é dada por:
PVk’s =
λ1 + λ2 + ... + λk
__________________________
k = 1, 2, ..., p
λ1 + λ2 + ... + λp
Desta forma, verifica-se que a proporção da variação total explicada pelos primeiros
componentes principais é uma medida da quantidade de informação retida pela redução de p
para k dimensão.
Em certos estudos é desejável que a variância acumulada nos dois primeiros componentes principais exceda 70-80%. Nesta condição, a distorção das coordenadas no gráfico de
dispersão, cujos eixos são os componentes principais, será considerada aceitável e as inferências no estudo satisfatório (CRUZ e REGAZZI, 1994).
2.4. Correlação Entre o Componente Yk e a Variável Xi
Se Y1 = 1’1X; Y2 = 1’2X; .... , Yp = 1’pX são os componentes principais obtidos da
matriz de covariância (S), então o coeficiente de correlação entre o componente Y1 e a
variável Xk é dado por:
Cov (Yi , Xk)
λ i 1 ki
1ki [ λi ]½
________________________________
____________________
______________
Yi, Xk =
=
=
½
½
½
½
[Var (Yi)] [Var (Xk)]
[λi ] [σ
σkk]
[σ
σkk]½
em que:
i, k = 1, 2, ... , p
Cov (Yi, Xk) = λi 1ki
Var (Yi) = λi
Var (Xk) = σ kk
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APLICAÇÃO 1
Supondo os seguintes dados, organizados na forma de uma matriz X, representando
uma amostra de uma vegetação constituída de duas espécies e cinco parcelas,
2
5
2
1
0
0
1
4
3
1
_
2,0
X=
1,8
X=
Em que os vetores linhas representam as espécies e os vetores colunas representam as
parcelas:
A matriz de covariância amostral para as duas espécies da matriz X é:
S11
S12
S21
S22
S=
3,5
-0,5
-0,5
2,7
=
* A covariância amostral foi obtida pela fórmula:
_
_
Shi = [ ∑ (Xhj - Xh) (Xij - Xi) ] / (n - 1) ,
n
j = 1 , ... n,
i=1
em que Xh é a média da espécie h e Xi é a média da espécie i.
Assim, obteve-se os seguintes pares de autovalores-autovetores:
λ1 = 3,74; 1’1 = [-0.901 0,433]
λ2 = 2,46; 1’2 = [ 0,433 0,901]
Observa-se que a soma dos autovalores é igual a soma das variâncias das espécies:
S11 + S22 = λ1 + λ2 = 3,5 + 2,7 = 3,74 + 2,46 = 6,2
ou ainda:
Var (Y1) = Var (0,901 X1 + 0,433 X2)
Var (Y1) = (-0,901)2 Var (X1) + (0,433)2 Var (X2) + 2(-0,901) (0,433) Cov (X1, X2)
Var (Y1) = (0,812) (3,5) + (0,187) (2,7) + (0,39) (-0,5)
Var (Y1) = 3,74 = λ1
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Var (Y2) = Var (0,433 X1 + 0,901 X2)
Var (Y2) = (0,433)2 Var (X1) + (0,901)2 Var(X2) + 2(0,433) (0,901) Cov (X1, X2)
Var (Y2) = (0,187) (3,5) + (0,812) (2,7) + (-0,39) (-0,5)
Var (Y2) = 2,46 = λ2
A importância relativa de cada um dos componentes principais é dada por:
IRk =
λk
_______________
k = 1 ,2
λ1 + λ2
p
σ11 + σ22 = V (X1) = λ1 + λ2 = ∑ V (Yi) = 6,2
i =1
Assim,
IR1 =
IR2 =
λ1
_____________
3,74
=
_________
λ1 + λ2
6,20
λ2
____________
__________
λ1 + λ2
= 0,6033 ∴ 60,33%
2,46
=
= 0,3967 ∴ 39,67%
6,20
Verifica-se, neste caso, que 60,37% da variação total está concentrada em Y1, ou seja,
Y1 explica 60,33% da variação total. O segundo componente principal (Y2) explica 39,67% da
variação total.
O coeficiente da correlação entre Y1 e as variáveis X1 e X2 são:
ρY1,X1 =
111 [λ1]½
______________
-0,901 [3,74]½
=
_____________________
[σ
σ11]½
[3,50]½
121 [λ1]½
0,433 [3,74]½
= -0,93
ρY1,X2 = ______________ = _____________________ = 0,51
[σ
σ22]½
[2,70]½
Estes resultados mostram que existem uma grande correlação entre Y1 e X1,
mostrando que X1 é de grande importância para o primeiro componente principal.
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O coeficiente de correlação entre Y2 e as variáveis X1 e X2 são:
112 [λ2]½
0,433 [2,46]½
122 [λ2]½
0,901 [2,46]½
ρY2,X1 = ______________ = ____________________ = 0,36
[σ
σ11]½
[3,50]½
ρY2,X2 = ______________ = _____________________ = 0,86
[2,70]½
[σ
σ22]½
Neste caso, é verificado que a variável X2 é a de maior importância para o segundo
componente principal (Y2).
Em resumo, tem-se:
Componente
Variância
CPA (Autovetores)
Principal
Autovalor
(%)
X1
X2
Y1
3,74
60,33
-0,901
0,433
Y2
2,46
39,67
0,433
0,901
CPA = Coeficiente de ponderação associado.
Os escores dos componentes são obtidos por:
Y11 = -0,901 (2) + 0,433 (0) = -1,802
Y12 = -0,901 (5) + 0,433 (1) = -4,072
Y13 = -0,901 (2) + 0,433 (4) = -0,070
.
.
.
Y25 = 0,433 (0) + 0,901 (1) = 0,901
Assim, obtém-se:
Parcelas
Componentes
Y1
-1,802
-4,072
-0,070
0,398
0,433
3,740
1
2
3
4
5
Variância
8
Y2
0,866
3,066
4,470
3,136
0,901
2,460
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Os escores dos componentes são coordenadas retangulares da ordenação e podem ser
plotados e produzir o seguinte diagrama (Figura 1), que mostra a distribuição agrupada dos
componentes.
Figura 1 - Dispersão das Cinco Parcelas em Relação aos Dois Componentes Principais
(Y1 e Y2).
2.5. Componentes Principais Obtidos de Variáveis Padronizadas
Segundo CRUZ (1987), o método de obtenção dos componentes principais a partir de
uma matriz de covariâncias (S), como descrito anteriormente, tem sido aconselhável apenas
nos casos em que os caracteres apresentam uma mesma unidade e dimensão não muito
discrepante. No entanto, em situações em que este fato não se verifica, ou seja, os caracteres
em estudo são bastante diferentes em suas unidades e em sua magnitude, tem sido
recomendada a padronização dos mesmos, da seguinte forma:
Zi =
X1 - µ
___________
σi
Neste caso, a matriz de covariâncias das variáveis Zi, i = 1, 2, ..., p, torna-se:
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1
r12
R=. .
.
.
rp1
r12
...
r1p
1
...
.
r2p
.
.
rp2
.
.
1
...
em que:
Cov (Xi , Xj)
rij = Cov (Zi, Zj) = ________________________
[Var (Xi) Var (Xj)]½
De acordo com CRUZ (1987), as estimativas dos componentes principais, quando se
usa a matriz S pode ser muito diferente daquelas encontradas quando se utiliza da matriz R.
Assim, é recomendado o uso de matriz S, somente naqueles casos em que as unidades
originais não são fixadas arbitrariamente, mas sim sugeridas por razões objetivas.
Seja o vetor aleatório X’ = [ X1, X2, .... , Xp]. Considerando a padronização destas
variáveis, tem-se:
X1 - µ1
X2 - µ2
Xp - µp
Z1 = ___________ ; Z2 = ___________ ; . . . ; Zp = ___________
[σ
σ11]½
[σ
σ22]½
[σ
σpp]½
A notação matricial é:
Z = (V ½ )-1 (X - µ)
em que
σ 11
σ22
.
V=
.
.
σpp
É claro que:
E (Z) = φ
e
Var (Z) = (V ½ )-1 Var (X - µ) (V ½ )-1
Var (Z) = (V ½)-1 S (V ½ )-1 = R (matriz de correlação)
tem-se que: V ½ . R . V ½ = S.
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em que:
S=
σ11
σ21
...
σp1
σ12
σ22
...
σp2
...
.
.
.
σpp
.
.
.
σ1p
σ22
Os componentes principais de Z podem ser obtidos dos autovalores-autovetores da
matriz de correlação R de X. Assim, se continuarmos denotando Yi para referir o i-ésimo
componente principal e (λi, 1i) para os pares de autovalores-autovetores. O i-ésimo
componente principal das variáveis padronizadas Z’= [ Z1, Z2, ... , Zp], com Var (Z) = R, é
dado por:
Yi = 1’i Z = 1’i (V ½ )-1 (X - µ), i = 1,2,..., p
p
p
com : ∑ Var (Yi) = ∑ Var (Zi) = p
i=1
i=1
ρYi , Zk = 1ki [λi]½,
i , k = 1, 2, ..., p
Neste caso (λ1 , 11), (λ2 , 12), ... , (λp , 1p) são pares de autovalores-autovetores de R.
Desta forma, baseando no fato de que ∑ Var (Zi) = p, a proporção da variação total
devido ao k-ésimo componente principal é dada por:
IRk =
λk
________
,
k = 1, 2, ..., p
p
em que os λ k’s são os autovalores da matriz R.
APLICAÇÃO 2
Seja a matriz de covariâncias S:
1
4
4
100
S=
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e a matriz de correlação R:
1,0
0,4
0,4
1,0
R=
Os pares de autovalores-autovetores de S são:
λ1 = 100,16
1’1 = [0,040
0,999]
λ2 =
1’2 = [0,999
-0,040]
0,84
Similarmente, os autovalores-autovetores de R são:
λ1 = 1 + ρ = 1,4;
1’1 = [0,707
0,707]
λ2 = 1 - ρ = 0,6;
1’2 = [0,707
-0,707]
Os respectivos componentes principais são:
a) A partir de S;
Y1 = 0,040 X1 + 0,999 X2
Y2 = 0,999 X1 - 0,040 X2
b) A partir de R:
Y1 = 0,707 Z1 + 0,707 Z2
Y1 = 0,707
X1 - µ1
_____________
+ 0,707
1
X2 - µ2
_____________
10
Y1 = 0,707 (X1 - µ1) + 0,0707 (X2 - µ2)
Y2 = 0,707 Z1 - 0,707 Z2
Y2 = 0,707
X1 - µ1
_____________
1
- 0,707
X2 - µ2
_____________
10
Y2 = 0,707 (X1 - µ1) - 0,0707 (X2 - µ2)
12
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A proporção da variação total explicada por cada um dos componentes principais são:
a) A partir de S:
λ1
100,16
IR1 = ___________ = ___________ = 0,992
101,00
λ1 + λ2
λ2
0,84
IR2 = ___________ = ___________ = 0,008
λ1 + λ2
101,00
O primeiro componente principal (Y1) explica 99,2% da variação total.
b) A partir de R:
λ1
1,40
IR1 = _______ = _______ = 0,70
p
2,00
λ2
0,60
IR2 = _______ = _______ = 030
p
2,00
O primeiro componente principal (Y1), neste caso, explica 70% da variação total.
Os coeficientes de correlação entre Yi e as variáveis X1 e X2, são:
a) A partir de S:
111 [λ1 ]½
0,040 [100,16]½
121 [λ1 ]½
0,999 [100,16]½
112 [λ2 ]½
0,999 [0,840]½
122 [λ2 ]½
-0,040 [0,840]½
ρY1,X1 = ____________ = _____________________ = 0,400
[σ11 ]½
[1,0]½
ρY1,X2 = ____________ = _____________________ = 0,998
[100]½
[σ22 ]½
ρY2,X1 = ____________ = _____________________ = 0,916
[σ11 ]½
[1,0]½
ρY2,X2 = ____________ = _____________________ = -0,004
[σ22 ]½
[100]½
13
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b) A partir de R:
ρY1,Z1 = 111 [λ1 ]½ = 0,707 [1,4]½ = 0,837
ρY1,Z2 = 121 [λ1 ]½ = 0,707 [1,4]½ = 0,837
ρY2,Z1 = 112 [λ2 ]½ = 0,707 [0,6]½ = 0,548
ρY2,Z2 = 122 [λ2 ]½ = -0,707 [0,6]½ = -0,548
Da aplicação 2, pode-se concluir que a variável X2 praticamente domina o primeiro
componente principal, quando este é determinado a partir de S, em que o primeiro
componente principal (Y1) explica 99,2% da variação total. Quando as variáveis X1 e X2 são
padronizadas, no entanto, as duas variáveis contribuem igualmente, e o primeiro componente
principal explica 70% da variação total.
O presente exemplo demonstra que os componentes principais derivados a partir de S
são diferentes daqueles derivados a partir de R. Um grupo de componentes principais não é
uma simples função do outro. Isto sugere que a padronização não é inconseqüente.
Assim, variáveis podem ser padronizadas se elas possuem medidas ou escalas muito
diferentes ou as unidades de medida são incomesuráveis.
2.6. Sumarização da Variação Amostral por Componetes Principais
Embora p-componentes principais sejam necessários para reproduzir a variabilidade
total do sistema, a viabilidade de utilização da técnica de componentes principais reside na
possibilidade de resumir o conjunto de variáveis originais em poucos componentes. Nestas
condições, esta técnica proporcionará uma simplificação considerável nos cálculos estatísticos
e na interpretação dos resultados com relação aos demais métodos altenativos, principalmente
quando o número de indivíduos avaliados for relativamente grande.
Assim, se os primeiros componentes principais acumularem uma porcentagem
relativament alta da variação total, em geral referida como acima de 80%, eles explicarão
satisfatoriamente a variabilidade manifestada entre os indivíduos avaliados e, portanto, o
fenômeno poderá ser interpretado com considerável satisfação. Segundo CRUZ e REGAZZI
(1994), em estudos da divergência genética, em geral, têm optado pela representação gráfica
quando os dois primeiros componentes principais envolvem pelo menos 70 a 80% da variação
total. Nos casos em que este limite não é alcançado nos dois primeiros componentes, a análise
é complementada pela dispersão gráfica em relação ao terceiro e quarto componente.
2.7. Descarte de Variáveis
Em certos estudos, quando o número de variáveis é muito grande, procura-se descartar
aquelas de poucas relevância na discriminação do material avaliado, reduzindo, assim, mãode-obra, tempo e custo despendido na análise e interpretação dos dados experimentais.
Em estudos de divergência genética, caracteres dispensáveis são aqueles relativamente
invariantes entre as espécies/clones estudados,e, ou, redundantes, por estarem correlacionados
com outros caracteres (CRUZ & REGAZZI , 1994). Segundo ADANS e WIERSMA (1978),
citado por CRUZ e REGAZZI (1994), os caracteres a serem preservados na análise de
14
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divergência genética deverão ser apenas aqueles que representam a estrutura fundamental do
sistema biológico que está sendo estudado, devendo ainda serem suficientemente diversos
para representarem, no mínimo, as dimensões mais importantes do sistema.
Uma das técnicas de descartes de variáveis é aquela citada por MARDIA et al. (1979)
e CRUZ e REGAZZI (1994), em que baseia-se no princípio de que a importância relativa dos
componentes principais decresce do primeiro para o último; assim, têm-se que os últimos
componentes são responsáveis pela explicação de uma fração mínima da variância total
disponível. Desta forma, segundo estes autores, a variável que apresentam maior coeficiente
de ponderação (elemento do autovetor) no componente de menor autovalor, é considerada de
menor importância para explicar a variabilidade do material estudado, sendo, portanto,
possível de descarte.
Este princípio de descarte de variáveis é consistente com a notação que considera que
um componente com um pequeno autovalor é de pouca importância e, consequentemente, a
variável que domina este deve ser de pequena importância ou redundante.
Segundo recomendações de JOLLIFFE (1972, 1973), MARDIA et al. (1979) e CRUZ
e REGAZZI (1994) tem sido comum descartar a variável de maior coeficiente de ponderação
(em valor absoluto) a partir do último componente até aquele cujo autovetor não excede a
0,70 (válido para dados padronizados). Quando em um componente de menor variância, o
maior coeficiente de ponderação está associado a uma variável já previamente descartada,
tem-se optado por não fazer nenhum outro descarte com base nos coeficientes daquele
componente, mas prosseguir a identificação da importância relativa das variáveis no outro
componente de variância imediatamente superior.
Uma variação deste método de descarte de variáveis, segundo MARDIA et al. (1979),
consiste a cada estágio de descarte da variável associada com o componente de menor
autovalor, refazer a análise de componentes principais com as variáveis remanescentes. Este
processo é conduzido até que todos os componentes principais tenham autovalores altos.
2.8. Análises de Componentes Principais e Análise de Agrupamento
O uso dos componentes principais na redução do número dedimensões de uma matriz
permite a apresentação gráfica. Assim, quando os primeiros componentes explicam a maior
parte da variação do sitema em estudo, estes podem ser representados graficamente e apresentar uma importante aplicação em conexão com a análise de agrupamento (MARDIA et al.,
1979; MARRIOT, 1974).
Segundo CRUZ e REGAZZI (1994), um dos objetivos do uso dos componentes
principais em estudo sobre a divergência genética é avaliar a dissimilaridade dos genótipos,
clones, etc., em gráficos de dispersão, em que tem os primeiros componentes como eixo de
referência. Este procedimento é satisfatório quando os odis primeiros componentes utilizados
como eixo do sistema cartsiano envolvem uma fração considerável da variação total,
normalmente citada como acima de 70 a 80%. Nos casos em que o limite não é atingido com
os dois primeiros componentes, a análise é complementada com a dispersão gráfica em
relação ao terceiro e quarto componente.
MARRIOT (1974) comenta que uma das dificuldades na análise de agrupamento,
utilizando métodos numéricos, é com relação a decisão da divisão de um conjunto de
observações em grupos. Em alguns casos, métodos visuais são mais eficientes do que os
baseados em valores numéricos. Assim, gráficos de dispersão provenientes dos componentes
principais podem auxiliar a análise de agrupamento em vários sentidos. Em primeiro lugar,
como forma particular de análise de agrupamento, ou seja, naquelas situações em que os
grupos são claramente definidos e bem separados, um método analítico elaborado, neste caso,
15
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é usualmente desnecessário. Pode mostrar que uma técnica particular de agrupamento não
apresenta resultados satisfatórios, sugerindo assim, alternativas. Finalmente, se testes de
significância não são possíveis, a representação gráfica por componentes principais confirma
os agrupamentos sugeridos pelos métodos numéricos.
Segundo CRUZ e REGAZZI (1994), como nesta técnica é feita uma simplificação do
espaço n-dimensional para o bi ou tri-dimensional, há certas distorções nas distâncias.
Entretanto, há entre as estimativas das distâncias euclideanas baseadas nos escores dos
primeiros componentes principais e as distâncias Euclideanas baseadas nos dados originais,
uma relação matemática dada por:
α =
∑ ∑ dcp2ii’
____________________
n∑∑ d
2
,
para
i < i’.
ii’
em que:
dcp2ii’ = quadrado da distância Euclidiana estimada a partir dos escores de n1 componentes
principais;
2
d ii’ = quadrado da distância Euclidiana média estimada a partir das n variáveis originais.
Assim, segundo estes autores, o parâmetro (1 - α) mede o grau de distorção
proporcionado pela técnica dos componentes principais, ao se passar do espaço n-dimensional
para o n1-dimensional (n1 < n).
Nos casos em que a dispersão gráfica não provê informações adequadas sobre o grau
de similaridade dos indivíduos estudados, CRUZ (1990) comenta que certos autores têm
utilizado os escores dos primeiros componentes principais para o cálculo da distância
Euclideana, valendo-se, para esse fim, da propriedade de independência entre tais componentes. Tal procedimento é, muitas das vezes, utilizado para complementar as informações da
dispersão gráfica, em virtude de permitir o estabelecimento de grupos de maneira menojs
subjetiva do que aquela que se verifica em exames visuais. Maiores detalhes sobre a utilização
combinada das duas técnicas (componentes principais e conglomeração) em estudos sobre
divergência genética são encontrados em ADANS e WIERSMA (1978).
APLICAÇÃO 3
Caso base em dados de um teste de progênies de Eucalyptus sp., em que foram
avaliadas 10 características (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10) em 10 progênies, num
delineamento em blocos ao acaso com quatro repetições e seis plantas por parcela, realizou-se
a análise por componentes principais. A seguir são apresentados as matrizes de médias,
variância, covariância e de correlações.
16
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Quadro 1 – Médias dos Dados Originais das 10 Progênies em Relação a 10 características
(X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10)
Prog.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X1
10.7542
10.3417
11.2625
10.3583
9.8083
10.2292
9.6042
9.5208
11.6333
10.4292
X2
0.6708
0.6000
0.6750
0.6083
0.5542
0.6833
0.6500
0.5833
0.7458
0.6792
X3
16.4708
17.0833
17.0250
16.7542
15.9250
16.6208
15.7333
15.8167
16.6833
15.7208
X4
12.8417
13.0708
13.2875
13.1375
11.6000
13.0708
11.5958
11.6208
12.9125
11.7958
Características
X5
X6
0.0750 0.0575
0.0731 0.0556
0.0832 0.0649
0.0768 0.0587
0.0616 0.0480
0.0691 0.0525
0.0621 0.0479
0.0579 0.0439
0.0954 0.0736
0.0687 0.0527
X7
0.0175
0.0175
0.0184
0.0181
0.0136
0.0167
0.0142
0.0140
0.0218
0.0161
X8
0.4786
0.4791
0.5509
0.5230
0.4943
0.4953
0.5147
0.4950
0.4924
0.4803
X9
0.3659
0.3647
0.4274
0.3975
0.3846
0.3750
0.3939
0.3758
0.3769
0.3674
X10
0.1559
0.1513
0.1842
0.1475
0.1244
0.1402
0.1201
0.1169
0.1979
0.1422
Quadro 2 – Médias Padronizadas das 10 Progênies em Relação a 10 Características (X1, X2,
X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10)
Prog.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X1
15,78
15,17
16,52
15,19
14,39
15,01
14,09
13,97
17,07
15,30
X2
11,66
10,43
11,73
10,57
9,63
11,87
11,29
10,14
12,96
11,80
* Padronização : Z i =
X3
30,73
31,87
31,76
31,26
29,71
31,01
29,35
29,51
31,12
29,33
X4
17,47
17,78
18,08
17,88
15,78
17,78
15,78
15,81
17,57
16,05
Características
X5
X6
06,69
06,54
06,52
06,32
07,42
07,38
06,85
06,68
5,50
5,36
06,17
05,97
05,54
05,45
05,17
04,99
08,51
08,37
06,13
05,99
X7
07,04
07,04
07,41
07,28
5,55
06,72
05,71
05,63
08,77
06,48
X8
20,82
20,84
23,97
22,75
21,47
21,55
22,39
21,54
21,42
20,89
X9
19,03
18,97
22,23
20,68
19,23
19,51
20,49
19,55
19,60
19,11
X10
05,90
05,73
06,98
05,59
4,71
05,31
04,55
04,43
07,49
05,38
Xi
______ .
ρi
Quadro 3 – Matriz de Variâncias e Covariâncias Entre as Variáveis originais
0,4646
0,0291
0,0033
0,2361
0,0730
0,2872
0,3507
0,0171
0,3772
0,5401
0,0074
0,0005
0,0142
0,0061
0,0001
0,0058
0,0004
0,0032
0,0046
0,0001
0,00008
17
0,0016
0,0026
0,0025
0,0178
0,0001 0,00004 0,000009
0,0011
0,0009
0,0034
0,0025
0,0099
0,0014
0,0044
0,0030
0,0141
0,00003 0,00005 0,00005
0,0003
0,00002 0,00005 0,00004 0,00006
0,000006 0,000006 0,000004 0,000006
0.00053
0,0004
0,0001
0,0004
0,0001
0,0007
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Quadro 4 – Matriz de Correlação entre Variáveis Originais
1,0
0,7419
0,6462
0,7000
0,9626
0,9663
0,9263
0,1668
0,1932
0,9885
1,0
0,2391
0,4050
0,7043
0,6992
0,7097
0,0295
0,0081
0,7032
1,0
0,9577
0,6977
0,6835
0,7294
0,2726
0,2418
0,7035
1,0
0,7365
0,7176
0,7860
0,2619
0,2112
0,7263
1,0
0,9983
0,9785
0,2060
0,2087
0,9768
1,0
0,9647
0,2352
0,2457
0,9803
1,0
0,1012
0,0768
0,9395
1,0
0,9857
0,2279
1,0
0,2485
1,0
Baseado na teoria descrita anteriormente sobre componentes principais, os autovalores
e autovetores associados são apresentados a seguir (Quadro 5). Estes foram obtidos a partir da
matriz de correlação entre as características originais (R) (ou matriz de covariâncias entre as
características padronizadas).
A obtenção destes autovalores e autovetores associados por um processo manual é
impraticável. Desta forma, utilizou-se o Software GENES.
Quadro 5 – Componentes Principais Obtidos da Análise de 10 Características (X1, X2, X3,
X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10)
Variância
Componente
Principal Autovalor Acumul.
(%)
Y1
6,6879
66,88
Y2
1,9454
86,33
Y3
0,9508
95,79
Y4
0,2950
98,84
Y5
0,0849
99,64
Y6
0,0255
99,87
Y7
0,0099
99,99
Y8
0,0003
99,99
Y9
0,00009
99,99
Y10
0,00002 100,00
Coeficiente de Ponderação Associado (Autovetores)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
0,3713
-0,0862
-0,1511
-0,1973
-0,5509
-0,4299
0,1078
0,4077
-0,3560
-0,0029
0,2715
-0,2067
-0,5276
0,7308
-0,0580
0,2392
-0,0855
0,0557
-0,0092
-0,0047
0,3041
0,0954
0,6051
0,1132
-0,1532
0,6111
-0,0135
0,2788
-0,2113
0,0002
0,3218
0,0537
0,4980
0,4413
-0,0238
-0,5532
-0,1496
-0,2880
0,1968
0,0008
0,3788
-0,0639
-0,0863
-0,2375
0,3027
0,0263
-0,2984
-01295
-0,1537
-0,7529
0,3778
-0,0406
-0,1151
-0,2799
0,2162
0,0539
-0,5076
-0,1633
-0,1377
0,6411
0,3728
-0,1411
0,0137
-0,0621
0,5664
-0,0943
0,4868
0,4069
0,3015
0,1175
0,1117
0,6752
-0,1405
0,1362
0,2195
-0,0505
0,3609
-0,2360
-0,5032
0,0589
0,1090
0,6744
-0,1838
-0,0554
-0,1465
0,0272
-0,2933
0,3195
0,5305
-00686
0,3778
-0,0398
-0,1012
-0,2432
-0,3746
0,2501
0,3981
-0,5507
0,3488
0,0057
No Quadro 3, pode-se constatar numericamente que:
∑ λi = ∑ Var (Yi) = Traço R = 10
i
∑ a21 = 1 e ∑ aj bj = φ
j
18
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Os resultados apresentados no Quadro 5 evidenciam que o primeiro componente
principal (Y1) explica 66,88% da variação total disponível. Os dois primeiros componentes
principais (Y1 e Y2) explicam 86,33% e os três primeiros (Y1, Y2 e Y3) explicam 95,84% da
variância total disponível. Portanto, para o presente exemplo, a técnica de componentes
principais sumariza muito bem a variação total disponível dos dados amostrais pelo três
primeiros componentes principais.
Assim, a utilização destes componentes no estudo de divergência genética por meio da
dispersão dos escores em gráficos cujos eixos são os referidos componentes (Y1 e Y2),
apresentará resultados satisfatórios.
Em estudos que utilizam a técnica dos componentes principais como meio de descartes
de variáveis com a finalidade de redução de mão-de-obra, tempo e custo despendido na
análise e interpretação dos dados experimentais, a importância relativa das características
pode ser avaliada pela magnitude do coeficiente de ponderação destas. Assim, com base em
MARDIA et al. (1978) e CRUZ e REGAZZI (1994), para o presente exemplo, identifica-se,
em ordem crescente, os caracteres X5, X10, X6, X3, X7 e X2, com maiores pesos em Y10
(-0,7529), Y9 (0,5305), Y8 (-0,5507), Y7 (-0,5076), Y6 (0,6111), Y5 (0,5664) e Y4 (0,7308),
respectivamente, como os de menores importância no estudo realizado, são possíveis de
descarte.
No exemplo em consideração, o descarte de X2, X3, X5, X6, X7 e X10 é minimizado
pela presença de X1 e X4, cujas correlações entre estas são altas (ver matriz de correlações
entre variáveis originais). O descarte da variável X9 é minimizado pela presença de X8, cuja
correlação com X9 é de 0,9857.
Os escores relativos a cada progênie, em cada componente, é estimado com base nas
informações do Quadro 2 (médias padronizadas das 10 progênies em relação as 10
características X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10) e do Quadro 5 (componentes
principais obtidos da análise de 10 características X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10).
Assim, tem-se:
Y11 = 0,3713 (15,78) + 0,2715 (11,66) + 0,3041 (30,73)
+ 0,3218 (17,47) + 0,3788 (6,69) + 0,3778 ( 6,54) +
+ 0,3728 (7,04) + 0,1117 (20,82) + 0,1090 (19,03) +
+ 0,3778 (5,90)
Y11 = 38,2770
Os demais escores encontram-se no Quadro 6.
A dispersão destes escores em eixos cartesianos é apresentada na Figura 2.
Com base na Figura 2, observa-se que, em relação aos caracteres considerados, as
progênies 1, 2, 6 e 10 e as progênies 5, 7 e 8 são as mais similares, havendo, entretanto,
considerável divergência entre as progênies 3, 4 e 9.
As distâncias gráficas podem se estimadas pelas distâncias Euclideanas:
dcpii = [(Yi1 - Y’i’1)2 + (Yi2 - Y’i’2)2]½
19
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Quadro 6 – Escores Relativos a 10 Progênies, Obtidos em Relação aos Dois Primeiros
Componentes Principais
Genótipos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y1’
38,2570
37,9302
40,8988
38,5141
34,6232
37,5891
35,0461
34,1564
41,9986
36,4273
Y2
25,0736
25,5050
29,2319
27,7958
26,9303
26,9303
27,4731
26,5848
25,0295
25,1353
Figura 2 – Dispersão de 10 Progênies em Relação aos Dois Primeiros Componentes
Principais (Y1 e Y2).
20
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Por esta expressão são obtidas as medidas de dissimilaridade, que são apresentadas no
Quadro 7. Como ilustração é obtida a estimativa de dcp1,2:
dcp1,2 = [ (38,2570 - 37,9302)2 + (25,0736 - 25,5050)2]½
dcp1,2 = 0,5412
Quadro 7 – Dissimilaridade entre Genótipos, com Base na Distância Euclideana, Obtida de
Escores dos Dois Primeiros Componentes Principais
-
0,5412
4,9265
2,7343
4,0807
1,2030
4,0083
4,3702
3,7419
1,8307
-
4,7647
-
2,3640
2,7837
3,6011
6,6843
0,6635
4,5745
3,4915
6,1111
3,9252
7,2434
4,0961
4,3439
1,5477
6,0644
-
3,9860
1,9544
3,4828
4,5228
4,4491
3,3813
-
3,0870
0,6882
0,5808
7,6164
2,5450
-
2,9022
3,4705
4,5315
1,4937
-
1,2574
7,3692
2,7152
-
7,9949
2,6941
-
5,5723
-
3. VARIÁVEIS CANÔNICAS
3.1. Introdução
A análise de variáveis canônicas é uma técnica multivariada cujo procedimento foi
relatada por Fischer (1936). Posteiormente, desenvolvida por vários outros autores nas diversas áreas da ciência, tais como M.S. Batlet, P. C. Mahalanobis e C. R. Rao, citadas por
CAMPBELL e ATCHLEY (1981), para examinar alguns problemas significantes relativos à
sistemática biológica. Mais recentemente, CRUZ e REGAZZI (1994), descreveram a referida
técnica na utilização em estudos de divergência genética, com propósito de identificação de
grupos similares no espaço bi ou tridimensional.
Segundo CRUZ e REGAZZI (1994), a análise multivariada com base em variáveis
canônicas, trata-se de um processo alternativo para a avaliação do grau de similaridade entre
acessos que leva em consideração tanto a matriz de covariância residual quanto a covariância
entre médias fenotípicas dos caracteres avaliados.
As variáveis canônicas são combinações lineares das variáveis originais, sendo
determinadas de tal modo que a variação entre grupos é maximizada em relação à variação
dentro de grupos. A semelhança da análise de componentes principais, espera-se que a
configuração do grupo possa ser adequadamente representada em um sub-espaço bi ou
tridimensional pelos primeiros dois ou três vetores canônicos (Campbell e Atechley, 1981,
citados por LIBERATO, 1995).
21
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Assim, a viabilidade do uso das variáveis canônicas em estudo nas diversas áreas da
ciência, em gráficos de dispersão, também está restrita à concentração da variabilidade
disponível entre as primeiras variáveis.
A semelhança da análise de componentes principais, a técnica de análise canônica
pode atender a vários propósitos, tais como:
a) Examinar as correlações entre caracteres estudados;
b) Resumir um conjunto de caracteres em outro de menor dimensão e de sentido
interpretável;
c) Avaliar a importância de cada caracter e promover a eliminação daqueles que comtribuem pouco, em termos de variação, no grupo de amostras em estudo;
d) Construir índices que possibilitem o agrupamento de amostras ou populações;
e) entre outros.
CAMUSSI et al. (1985) relata que as transformações para variáveis canônicas permitem a visualização ótima de diferenças entre populações, pela redução de dimensões que
preserve a maioria das informações biológicas. É um método de ordenação cujo objetivo é
avaliar o grau de similaridade entre materiais experimentais, considerando tanto a matriz de
variâncias e covariâncias residuais quanto a matriz de variâncias e covariâncias entre médias
fenotípicas dos caracteres avaliados, ou seja, a análise só é empregada nas situações em que
existem dados provenientes de delineamentos experimentais.
Esta técnica, diferentemente da análise de componentes principais, considera as
possíveis diferenças na dispersão sobre as médias. Desta forma, esta técnica apresenta
vantagem de manter o princípio da Análise de Agrupamento, utilizando a distância de
Mahalanobis, qual seja a de considerar as correlações residuais existentes entre a média dos
tratamentos. Também, esta técnica, possui estreita relação com a análise de função
discriminante linear e com a distância de Mahalanobis.
Em resumo, a utilização de análise canônica tem por finalidade básica, a de proporcionar uma simplificação estrutural de dados, de modo que a diversidade influenciada a
princípio por um conjunto p-dimensional ( p = no de caracteres considerados no estudo), possa
ser avaliada por um complexo bi ou tridimensional de fácil interpretação geométrica.
Os princípios básicos dessa técnica são descritos por vários autores, tais como
MARDIA et al. (1979); CHATFIELD e COLLINS (1986); JOHNSON e WICHERN (1988);
CRUZ e REGAZZI (1994), entre outros. Segundo esses autores, devido normalmente as
variáveis em estudo possuirem diferentes escalas, na utilização desse procedimento é comum
a transformação das variáveis originais em variáveis padronizadas e não-correlacionadas, de
modo que a matriz de dispersão residual se iguala a identidade. A transformação comumente
utilizada tem sido o processo de condensação pivotal descrito por RAO (1952) e exemplificado por SINGH e CHAUDHARG (1979), bem como por CRUZ e REGAZZI (1994). Após
a transformação, o processo de estimação das variáveis canônicas equivale ao descrito para as
componentes principais.
Semelhante à técnica de componentes principais, a análise canônica está se difundindo
nas diversas áreas da ciência devido a disponibilidade de recursos computacionais e de
“software” aplicados atualmente existentes. Entretanto, uma das grandes dificuldades ainda
encontrada é a exigência de alguma experiência sobre análise multivariada.
3.2. Obtenção das Variáveis Canônicas
A técnica de variáveis canônicas , à semelhança dos componentes principais, consiste
em transformar o conjunto de “n” variáveis originais em um novo conjunto, as variáveis
canônicas.
22
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Seja Xij a média da j-ésima característica (j = 1,2,....,p) avaliada na i-ésima população
ou amostra (i = 1,2,...,n), tal que as seguintes propriedades são verificadas:
a) Se Yj é uma variável canônica, então, Yj é uma combinação linear de X’s.
Yj = a1X1 + a2X2 + ... + apXp
b) Se Yj’ é uma outra variável canônica, então:
Yj’ = b1X1 + b2X2 + ... + bpXp
p
e ainda:
p
p
ΣΣ ajaj’ σ jj’
=
j=1 j’=1
p
p
ΣΣ
bjbj’ σ jj’ = 1
j=1 j’=1
p
ΣΣ ajbj σ jj’ = 0
j=1 j’=1
em que σjj’ é a covariância residual entre as características j e j’.
c) Dentre todas as variáveis canônicas, Y1 apresenta a maior variância, Y2 a segunda
maior e assim sucessivamente, ou seja:
σ2 (Y1) > σ2 (Y2) > . . . > σ2 (Yp)
A propriedade (b) garante a ponderação da influência das variâncias e covariâncias
residuais sobre as estimativas dos coeficientes de cada característica, bem como a independência entre estas variáveis.
Desta forma, fundamentalmente a técnica de variáveis canônicas à semelhança da
técnica de componentes principais, consiste em transformar um conjunto de p variáveis X1,
X2, . . . , Xp, pertencentes a n amostras ou populações em um novo conjunto de variáveis Y1,
Y2, . . . , Yp, as quais sejam função linear das X’s e independentes entre si. Vale salientar que
o número de variáveis canônicas obtidas (Y1, Y2, . . . , Yp) é igual ao número de variáveis
originais.
Assim, segundo RAO (1952) e CRUZ e REGAZZI (1994), o problema estatístico
consiste fundamentalmente em estimar os coeficientes de ponderação das características em
cada variável canônica e as suas respectivas variâncias. Assim, segundo estes autores, estas
estimativas podem ser obtidas pela solução do sistema:
(T - λjE) αj = φ
em que a j-ésima variância é dada pelo autovalor de ordem correspondente, obtido pela
solução de:
det [T - λjE] = 0
em que:
αj = autovetor associado a cada estimativa dos autovalores de E-1 T, cujos elementos são os
coeficientes de ponderação dos caracteres para estabelecimento das variáveis canônicas;
23
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λj = autovalores da matriz E-1 T;
T = matriz de covariâncias entre as médias das amostras ou populações avaliadas; e
E = matriz de covariâncias residuais.
As matrizes T e E são simétricas. Entretanto, o produto de ambas (E-1T) não é uma
matriz simétrica. Assim, dada a complexidade de cálculo das raízes características de uma
matriz assimétrica, tem sido recomendado a utilização de dados transformados através da
condensação pivotal, conforme descrito por RAO (1952) e mais recentemente por CRUZ e
REGAZZI (1994). Esta técnica consiste em justapor, à direita da matriz de dispersão que se
está operando, a matriz-identidade. Posteriormente, transforma-se por operações nas linhas, os
elementos de cada coluna, de tal forma que ela tenha 1 na linha diagonal e zeros abaixo da
diagonal, ou seja, é obtida uma matriz triangular superior em um processo sistemática. Este
processo tem a vantagem de proporcionar novas variáveis que apresentam covariâncias
residuais nula e variâncias residuais igual a unidade.
Assim, as variâncias originais Xj são transformadas pelo processo de condensação
pivotal, em variáveis padronizadas Zj, com matriz de variâncias e covariâncias em amostras
ou populações igual a T* e a matriz de variâncias e covariâncias residuais igual à matriz
identidade I . Desta forma, a determinação dos autovalores de T* é dada pela equação:
det (T* - λI) = 0
Obtendo-se, assim, as variâncias das j-ésimas variáveis canônicas. Os autovetores da matriz
T* correspondem aos da matriz E-1T, são obtidos pela solução da seguinte equação:
(T* - λjI) αj = 0
onde:
λj = a raiz característica que corresponde à variância da j-ésima variável canônica;
αj = vetor de coeficientes da j-ésima variável canônica, estabelecido com as
variáveis transformadas por condensação pivotal.
Desta forma, observa-se que o processo de estimação torna-se idêntico ao descrito
para os componentes principais.
Uma vez estimados os coeficientes αj, os coeficientes aj, associados às variáveis
originais, podem ser calculados por meio de:
[ a1 a2 . . . an ] = [ α1 α2 . . . αn ] V
onde: V = matriz n x n de transformação, obtida pelo processo de condensação pivotal.
Além disso, segundo CRUZ e REGAZZI (1994) , dada as inferências serem feitas em
relação às variáveis originais padronizadas, é necessário ainda eliminar os efeitos de escala de
mensuração. Assim, os coeficientes aj’s são multiplicados pelo desvio padrão do erro
experimental, de modo que:
∂j xj = aj σj [Xj /σj-]
Logo: ∂j = aj σj (σj = desvio padrão residual)
24
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3.3. Importância Relativa de uma Variável Canônica
A importância relativa de cada variável canônica (IRk), à semelhança de componentes
principais, é também dada pela razão entre a variância por ela explicada e o total da variância
disponível, ou seja, a proporção da variação total explicada pela k-ésima variável canônica é
dada pela expressão:
λk
IRk = _______________________
λ1 + λ2 + . . . + λp
k = 1, 2, ..... , p
ou ainda, a proporção da variação total explicada pelas primeiras k variáveis canônicas (PVk’s)
é dada por:
PVk’s =
λ1 + λ2 + . . . + λk
_______________________
k = 1, 2, ..... , p
λ1 + λ2 + . . . + λp
Assim, verifica-se que a proporção da variação total explicada pelas primeiras
variáveis canônicas é uma medida da quantidade de informação retida pela redução de p para
k dimensão.
Na maioria dos estudos, é desejável que a variância acumulada nas duas primeiras
variáveis canônicas exceda 70-80%. Nesta condição, nos casos de estudo por meio das
distâncias geométricas entre amostras ou populações em gráficos de dispersão, cujas coordenadas são escores relativos às primeiras variáveis canônicas, as interferências são tidas
satisfatórias.
Assim, embora p-variáveis canônicas sejam necessárias para reproduzir a variabilidade
total do sistema, a viabilidade de utilização da referida técnica reside na possibilidade de
resumir o conjunto de variáveis originais em poucas variáveis canônicas. Nestas condições,
esta técnica proporcionará uma simplificação considerável nos cálculos estatísticos e na
interpretação dos resultados com relação aos demais métodos alternativos, principalmente
quando o número de variáveis avaliadas foram relativamente grande.
3.4. Descarte de Variáveis
Nos casos em que o número de variáveis é muito grande, procura-se descartar aquelas
de pouca relevância na discriminação do material avaliado, reduzindo, assim, mão-de-obra,
tempo e custo despendido na análise e interpretação dos dados experimentais.
A semelhança do procedimento descrito em componentes principais sobre descarte de
variáveis, a identificação de características de menor importância em certos estudos tem sido
aquelas cujos coeficientes de ponderação, obtidos com a padronização das variáveis, são de
maior magnitude, em valor absoluto, nas últimas variáveis canônicas. Assim, segundo
recomendações de diversos autores (JOLLIFE, 1972/1973; MARDIA et al., 1979; CRUZ e
REGAZZI, 1994), tem sido comum descartar a variável de maior coeficiente de ponderação
(em valor absoluto) a partir da última variável canônica. Quando em uma variável canônica de
menor variância o maior coeficiente de ponderação está associado a uma característica já
previamente descartada, tem-se optado por não fazer nenhum outro descarte com base nos
coeficientes daquela variável canônica, mas prosseguir a identificação da importância relativa
das características na outra variável de variância imediatamente superior.
25
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Uma das questões básicas nas diversas áreas da ciência diz respeito ao número e tipo
de características a serem avaliadas. Não existem bases teóricas para determinar o número de
características a serem medidas. Assim, tem sido relatado, no melhoramento vegetal, que os
caracteres importantes para adaptação e seleção natural são mais apropriados e devem ser
escolhidos para os estudos de divergências e agrupamento (ARUNACHALAM, 1981 e
CRUZ e REGAZZI, 1994). ADAMS e WIERSMA (1978) acrescenta ainda que as características a serem preservadas nesta análise deverão ser aquelas que representam a estrutura
fundamental do sistema biológico que está sendo estudado, devendo ainda serem suficientemente diversos para representar, no mínimo, as dimensões mais importantes do sistema.
Assim, quando o número de características utilizadas num estudo torna-se elevado, é possível
que muitas delas pouco contribuam para a discriminação das amostras ou populações avaliadas, por serem relativamente invariantes entre estas ou por serem redundantes em virtude de
serem altamente correlacionadas com outras características. Esta situação apresenta como
conseqüência aumento no trabalho de caracterização, sem melhoria na precisão, além de
tornar mais complexa a análise e interpretação dos dados. Portanto, a eliminação das características redundantes e de difícil mensuração torna-se desejável, afim de facilitar o estudo,
reduzindo tempo e custo da experiência (Pereira, 1989, citado por Liberato, 1995). Desta forma, a redução do número de características, com eliminação daqueles que menos contribuem
para o estudo, deve facilitar as interpretações sem causar perda considerável de informações.
CRUZ e REGAZZI (1994) comentam que os caracteres dispensáveis em estudo de
divergência genética são aqueles relativamente invariantes entre os indivíduos estudados, são
fortemente afetados pelo ambiente, apresentam instabilidade com a mudanças ambiental ou
são redundantes por estarem correlacionados com outros caracteres. Portanto, as variáveis
selecionadas e descartadas devem apresentar correlações significativas entre si, ou seja, as
variáveis descartadas devem ser redundantes (ser responsáveis pelo mesmo tipo de informações já contidas nas variáveis selecionadas).Por outro lado, as variáveis selecionadas devem
ter baixas correlações entre si. De forma tal que cada variável preservada na análise será
responsável por um tipo de informação biológica exclusiva e a ação conjunta das mesmas será
complementar para a descrição geral dos indivíduos ou populações estudadas.
Em resumo ao se realizar o descarte de variáveis através da variável canônicas,
conforme procedimento descrito, os comentários feitos anteriormente deverão ser considerados, de forma tal que as características descartadas não proporcione perdas significativas
nas interpretações e conclusões no estudo em questão.
3.5. Análise de Variáveis Canônica e Análise de Agrupamento
Quando as primeiras variáveis canônicas explicam a maior parte da variação do sistema em estudo, estas podem ser representadas graficamente e apresentar uma importante
aplicação em conexão com a análise de agrupamento. Este procedimento é satisfatório quando
as duas primeiras varáveis canônicas utilizadas como eixo do sistema cartesiano envolvem
uma fração considerável da variação total, normalmente citada como acima de 70 a 80%. Nos
casos em que este limite não é atingido, a análise é completada com a dispersão gráfica em
relação a terceira e quarta variável canônicas. Com base nos escores das primeiras variáveis
canônicas, estima-se a Distância Euclidiana Média que expressa uma medida alternativa entre
aquela população ou amostras.
Assim, nos casos em que a dispersão gráfica não provê informações adequadas no
estudo, CRUZ (1990) comenta que certos autores têm utilizado os escores dos primeiras
variáveis canônicas para o cálculo da Distância Euclidiana Média, valendo-se, para esse fim,
da propriedade de independência entre tais variáveis canônicas. Tal procedimento é utilizado
como complementar as informações da dispersão gráfica.
26
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CRUZ e REGAZZI (1994) comentam que a eficácia de tal procedimento depende do
grau de distorção provoca nas distâncias entre amostras ou populações quando se passa do
espaço n-dimensional para o n1-dimensional (n1 < n). Como as distâncias gráficas, em relação
a eixos que representam as primeiras variáveis canônicas, são influenciadas pelas variações
entre (variâncias e covariâncias entre as médias das amostras ou populações estudadas) e
dentro (variâncias e covariâncias residuais), pode-se quantificar o grau de distorção destas
distâncias comparando o seu total com o total das distâncias generalizadas de Mahalanobis,
ou seja:
Grua de distorção = 1 - α
∑ ∑ d2vcii’
onde:
i < i’
α=
.
________________
∑ ∑ D2ii’
i < i’
em que:
d2vcii’ = quadrado da distância Euclidiana estimada a partir dos escores de n variáveis
canônicas;
2
D ii’ = distância generalizada de Mahalanobis estimada a partir de n variáveis
originais.
APLICAÇÃO 4
Utilizando os mesmos dados da aplicação 3, ou seja, com base em dados de um teste
de progênies de Eucalytus sp., em que foram avaliadas 10 características (X1, X2, X3, X4, X5,
X6, X7, X8, X9 e X10) em 10 progênies, num delineamento em bloco ao acaso com quatro
repetições, e seis plantas por parcela, realizou-se a análise por variáveis canônicas. Dado o
volume de cálculos, utilizou-se do programa GENES (DBG/UFV) para realizações das
operações envolvidas, sendo apresentado, portanto, só as tabelas com os resultados finais de
cada etapa envolvida.
Assim, baseado na teoria descrita sobre variáveis canônicas, os autovalores (variâncias) e autovetores associados (coeficientes de ponderação) são apresentados no Quadro 9.
Estes foram obtidos a partir de dados transformados através de condensação pivotal.
Os resultados apresentam no Quadro 8 evidenciam que a primeira variável canônica
(VC1) explica 68,7% da variação total disponível. As duas primeiras variáveis canônicas (VC1
e VC2) explicam 83,3% e as três primeiras (VC1, VC2, VC3) explicam 92,6% da variância
total disponível. Portanto, como as duas primeiras variáveis canônicas explicam mais de 80%
da variação total disponível das variáveis Z’s, sua utilização na sumarização dos dados, em
vários estudos, é considerada satisfatória.
Considerando as média do Quadro 8, estimam os escores associados às duas primeiras
variáveis canônicas por meio da expressão.
VC1 = 0,0487(5,69) - 0,0865(-0,59) + 0,0988(7,43) + 0,0591(-7,13) + … + 0,3888(6,95) = 23,6365
VC2 = 0,4954(5,69) - 0,1757(-0,59) + … + 0,6877(6,95) = 1,2960
27
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Quadro 8 – Médias das Variáveis, Transformadas por Condensação Pivotal, para 10
Progênies
Progênie
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Z1
5,69
5,47
5,96
5,48
5,19
5,41
5,08
5,04
6,15
5,52
Z2
-0,59
-0,93
-0,84
-0,87
-1,00
-0,19
-0,11
-0,61
-0,47
-0,34
Z3
7,43
8,05
7,62
7,81
7,44
7,76
7,37
7,47
7,22
7,02
Variáveis
Z5
Z6
-17,13 1,16
-17,12 1,09
-17,12 1,59
-16,66 1,02
-16,66 1,52
-17,45 1,07
-16,09 1,58
-16,69 1,09
-15,40 1,53
-16,50 1,32
Z4
-7,13
-7,55
-7,40
-7,09
-7,72
-6,93
-7,39
-7,49
-7,42
-7,33
Z7
-10,40
-18,66
-18,60
-18,06
-18,25
-18,31
-17,44
-18,08
-17,32
-17,83
Z8
2,87
2,68
3,99
3,10
2,75
2,94
3,01
2,84
3,21
3,00
Z9
10,29
8,99
10,04
8,66
8,66
9,90
7,35
8,84
7,40
9,51
Z10
6,35
7,05
8,27
6,74
6,41
6,79
5,71
6,33
6,51
6,26
Quadro 9 – Variáveis Canônicas Obtidas da Análise de Dez Variáveis (Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6,
Z7, Z8, Z9 ,Z10) - Originadas da Transformação por Condensação Pivotal, das
Variáveis Originais (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10)
Variância
Variáveis
AcuCanônicas auto- mulada
valor
(%)
VC1
1,7477
68,7
VC2
0,3697
83,3
VC3
0,2382
92,6
VC4
0,1061
96,8
VC5
0,0523
98,4
VC6
0,0196
99,6
VC7
0,0089
99,9
VC8
0,0008
99,9
VC9
0,0001
99,9
VC10
0,00003 100,0
Coeficiente de Ponderação Associado
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Z7
Z8
Z9
Z10
0,0487
0,4954
0,2634
0,1449
-0,4761
0,4639
0,1916
0,1161
-0,1883
-0,3665
-0,0865
-0,1757
0,3811
0,5081
0,3747
0,5095
-0,2412
0,0578
-0,0569
0,3056
0,0988
0,0033
-0,4890
0,3413
-0,1082
0,1028
0,4762
0,4613
0,2067
0,3605
0,0591
-0,0790
0,1732
0,5572
-0,2151
-0,3860
0,3337
-0,5689
-01091
0,0869
-0,4088
0,3139
0,2574
-0,2964
-0,2695
-0,0788
0,0141
-0,0198
-0,0343
0,7068
-0,0676
0,1874
0,1726
-0,2550
0,6049
0,1113
0,6793
-0,1457
-0,0031
-0,0668
-0,3099
0,0272
0,3660
0,1570
-0,0264
-0,2357
0,0168
0,2251
0,5773
-0,2225
0,0065
0,2631
0,1677
0,2101
0,2489
-0,5337
0,0660
0,5295
-0,4718
-0,0648
0,7069
-0,2024
0,4776
-0,2301
-0,1220
-0,0644
1,1021
0,1846
0,1172
0,2066
0,3888
0,6877
-0,1727
0,1383
0,2425
-0,0487
-0,3003
-0,2449
0,3091
0,1414
Os demais escores são apresentados no Quadro 10.
A dispersão dos escores em relação às duas primeiras variáveis canônicas é
apresentada na Figura 3.
28
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Quadro 10 – Escores de 10 Progênies, Obtidos a Partir das Duas Primeiras Variáveis
Canônicas
Progênies
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
VC1
23,6365
22,8450
24,0288
22,0968
22,1686
23,3911
20,1167
21,7708
20,2064
22,2647
VC2
1,2960
1,5319
2,6736
1,6199
1,2667
0,9518
1,1482
1,0663
2,5528
1,1476
Figura 3 – Dispersão de 10 Progênies em relação às Duas Primeiras Variações Canônicas
(VC1 e VC2).
A distância gráfica entre cada par de progênies na Figura 3 é dada pela distância
Euclidiana:
dvci i’ = [(vci1-vci’1)2 + (vci2 - vci’2)2]½
cujas estimativas são encontradas no Quadro 11. Como ilustração, obtêm-se dvc1,2 por meio
de:
dvc1,2 = [(23,6365 - 22,8450)2 + (1,2960 - 1,5319)2]½
29
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Quadro 11 – Dissimilaridade entre Progênies, Baseada nas Distâncias Euclidianas obtidas a
Partir dos Escores das Duas Primeiras Variáveis Canônicas
Progênies
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
0,8259
3
1,4323
1,6446
4
1,5734
0,7533
2,2006
5
1,4682
0,7266
2,3323
0,3604
6
0,4227
0,7967
1,8361
1,4566
1,2624
7
3,5229
2,7551
4,1989
2,0355
2,0552
3,2802
8
1,8798
1,1707
2,7715
0,6424
0,4454
1,6242
1,6561
9
3,6531
2,8292
3,8243
2,1081
2,3461
3,5645
1,4074
2,1580
10
1,3798
0,6960
2,3325
0,5012
0,1530
1,1433
2,1479
0,5005
2,4922
Em estudos que utilizam a técnica de variável canônicas como meio de descartes de
variáveis com a finalidade de redução de mão-de-obra, tempo e custo despendido na análise e
interpretação dos dados experimentais, a importância relativa das características pode ser
avaliada pela magnitude dos coeficientes de ponderação destas. Entretanto, como não existe
relação direta entre variáveis transformadas Zj’s e as variáveis originais (Xj’s), é necessário,
para a avaliação da importância relativa dos caracteres, a obtenção do vetor a (vetor de
coeficiente de ponderação das variáveis transformadas), comforme descrito na teoria
apresentada. Assim, no Quadro 12 são apresentadas as variáveis canônicas e os respectivos
coeficientes de ponderação das variáveis originais.
Quadro 12 – Variáveis Canônicas Estabelecidas pela Combinação Linear de 10 Variáveis
Originais (X1, X2 , X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, e X10)
Variáveis
Canônicas
VC1
VC2
VC3
VC4
VC5
VC6
VC7
VC8
VC9
VC10
X1
3,63
-0,47
0,57
-0,83
-0,33
0,13
-0,08
0,25
-0,78
-0,47
X2
-6,79
-2,90
4,55
4,09
3,66
3,54
1,30
1,17
-0,04
0,86
X3
-2,11
0,27
-1,97
-0,06
0,56
1,01
0,08
0,33
-0,58
-0,35
Coeficiente de Ponderação (aj) associado
X4
X5
X6
X7
X8
3,20 1025,55 -1720,55 -71,60 -200,31
-0,45
-22,75 778,67 -186,68
41,29
1,06 138,56 334,52 532,50 -118,74
0,38 -293,88 336,65
61,25
58,46
-0,30 -316,05 361,43 -31,80
28,87
-0,54 191,88 -155,46 -398,68
13,55
0,14 -212,60 279,69 126,83 -21,19
-0,29 -199,08 123,79 524,99 -38,83
0,39
53,84 -111,18 159,82 -39,88
0,21 540,54 -641,57 -162,72 -56,55
X9
268,43
-44,44
156,64
-73,49
-32,93
-23,72
24,09
54,18
50,99
74,46
X10
23,99
42,45
-10,66
8,53
14,97
-3,01
-18,54
-15,40
19,08
8,73
No entanto, como os coeficientes (elementares de autovetores) são influenciados pela
escala de avaliação das progênies, tem sido recomendado a avaliação da importância relativa
dos caracteres, a partir de coeficientes associados às variáveis padronizadas, ou seja:
∂j = ajσj (σj= desvio-padrão residual)
Esses coeficientes são apresentados no Quadro 13.
30
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Quadro 13 – Variáveis Canônicas Estabelecidas pela Combinação Linear de 10 Variáveis
Padronizadas (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10)
Variáveis
Canônicas
VC1
VC2
VC3
VC4
VC5
VC6
VC7
VC8
VC9
VC10
X1
6,87
-0,89
1,08
-1,58
-0,63
0,25
-0,15
0,48
-1,49
-0,9
X2
-1,22
-0,52
0,82
0,74
0,66
0,64
0,23
0,21
-0,01
0,16
X3
-3,73
0,49
-3,47
-0,12
0,99
1,78
0,15
0,59
-1,03
-0,62
Coeficiente de Ponderação (∂j) Associado
X4
X5
X6
X7
X8
7,29
32,07 -41,76
-0,55 -28,15
-1,04
-0,71
1,91
-1,43
5,80
2,42
4,33
-8,12
4,07 -16,69
0,88
-9,19
8,90
0,47
8,22
-0,70
-9,88
8,77
-8,24
4,06
-1,25
6,00
-3,77
-3,05
1,88
0,34
-6,65
6,79
0,97
-2,98
-0,66
-6,22
3,00
4,15
-5,46
0,89
1,68
-2,69
1,22
-5,60
0,48
16,90 -15,57
-1,25
-7,95
X9
30,66
-5,08
17,89
-8,39
-3,76
-2,71
2,75
6,19
5,82
8,62
X10
1,57
2,77
-0,70
0,56
0,98
-0,19
-1,21
-0,99
1,25
0,57
Pelos resultados apresentados, os caracteres de menor importância foram, em ordem
de descarte, o X5, com o maior coeficiente de ponderação em VC10 (16,90); o X9, com o maior
coeficientes de ponderação em VC9 (5,82); o X6, com o maior coeficiente de ponderação em
VC7 (6,79). A evidência de que estes caracteres são de menor importância, pode ser dada com
base na matriz de correlação entre variáveis (quadro 4). Assim, o descarte de X5 é
compensada pela presença de X1, X7 e X10, as quais mantêm alta correlação. Quanto ao
descarte de X6, este também é compensado pela presença de X1, X7 e X10. O caracter X9 é
compensado, pelo mesmo motivo (alta correlação), pela presença de X8. Vale salientar que na
VC8 não houve descarte de variável. Este fato deve-se aos argumentos citados anteriormente
de que se em uma variável canônica de menor variância o maior coeficiente de ponderação
está associado a um caracter já previamente descartado, tem-se optado por não fazer nenhum
outro descarte com base nos coeficientes daquela variável canônica, mas prosseguir a
identificação da importância relativa dos caracteres na outra variável canônica imediatamente
superior.
4. CORRELAÇÕES CANÔNICAS
4.1. Introdução
É comum na pesquisa das várias áreas da ciência ocorrer a necessidade de investigar a
relação existente entre dois (ou mais) conjuntos de várias distintas, mas associadas. Assim,
por exemplo, nas situações em que o interesse é em estudar as interelações existentes entre a
ocorrência de certas comunidades de plantas com relação a composição florística e, por outro
lado, as características do solo ou outras características ambientais. Ou então, nos casos em
que se interessa avaliar as relações, entre, por exemplo, caracteres de parte a aérea versus
sistemas radicular, caracteres agronômicos versus fisiológicos, componentes primários versus
componentes secundários da produção, caracteres silviculturas versus caracteres tecnológicos
da madeira etc.
Esta técnica foi inicialmente descrita por HOTELLING (1935) . Posteriormente
consolidada por RAO (1952); MARDIA et al. (1979), ARNOLD (1981), DUNTEMAN
(1984), MANLY (1986), JOHNSON e WICHERN (1988), CRUZ e REGAZZI (1994), dentre
31
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outros. Segundo estes autores a aplicação geral e usual da análise de correlação canônicas
consiste em identificar e quantificar as associações entre dois grupos de variáveis.
Segundo James e McCulloch (1990), citado por LIBERATO (1995), esta técnica é
uma generalização da correlação e regressão que é aplicável quando os tributos de um único
grupo de objetivos podem ser divididos naturalmente em dois conjuntos. Do ponto de vista
geral, a análise de correlação canônica é uma extensão da regressão múltipla. A análise de
correlações canônicas possui cestas propriedades similares às de análise de componentes
principais, porém esta última considera as interelações dentro de um grupo de variáveis,
enquanto aquela considera a relação entre dois grupos de variáveis (LIBERATO, 1995).
O método consiste basicamente em encontrar um vetor de coeficiente para cada um
dos grupos de variáveis, tal que a correlação entre as duas combinação lineares seja máxima.
Determina-se o primeiro par de combinação lineares que possuam a maior correlação entre
todos os pares não-correlacionados com o par selecionado inicialmente, e assim sucessivamente. As combinações lineares são denominadas variáveis canônicas e suas correlações,
correlações canônicas. O número de correlações canônicas é igual à dimensão do menor
grupo de variáveis.
Esta metodologia é usualmente utilizada com variáveis do tipo quantitativa contínua,
sendo necessário assumir a existência de normalidade multi-variada quando testes de significância estatísticos são requeridos. Entretanto, segundo MARDIA et al. (1979), a análise
também pode ser empregada quando há uma mistura de variáveis quantitativa contínuas e
qualitativas, ou se todas as variáveis são qualitativas, conforme citado por DUNTEMAN
(1984). Porém, o procedimento tem sido mais utilizado e recomendado quando os dados são
originados de variáveis quantitativas.
4.2. Obtenção das Correlações Canônicas e dos Pares Canônicos
Seja o primeiro conjunto de variáveis estabelecidos por p caracteres (X1, X2, …, Xp) e
as inerentes ao segundo por q caracteres (Y1,Y2, … ,Yq). Vale salientar que a análise de
correlações canônicas caracteriza-se por avaliar relações entre dois complexos influenciados,
no mínimo, por dois caracteres. O número de correlações canônicas a serem obtidas é igual ao
menor número de caracteres que constitui um dos complexos (p ou q), e sua magnitude
sempre decresce com a ordem em que são estimados,
Seja:
X’ = [X1, X2 … Xp] = vetor das medidas de p caracteres que constituem o grupo I
Y’ = [Y1, Y2 … Yp] = vetor das medidas de q caracteres que constituem o grupo II
Assim, segundo CRUZ e RAGAZZI (1994), o problema estatístico consiste em estimar a máxima correlação entre as combinações lineares de caracteres do grupo I e do grupo
II, bem como estimar os respectivos coeficientes de ponderação dos caracteres em cada
combinação linear. Sendo X1 e Y1 uma das combinações lineares dos caracteres dos grupos I
e II, respectivamente, tem-se;
X1 = a1X1 + a2X2 + … + apXp
e
Y1 = b1Y1 + b2Y2+ … + bpYp
32
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onde:
a’ = [a1 a2 … ap] = vetor 1 x p de pesos dos caracteres do grupo I
e
b’= [b1 b2 … bp] = vetor 1 x q de pesos dos caracteres do grupo II
Por definição, a primeira correlação canônica é aquela que maximiza a relação entre
X1 e Y1. As funções X1 e Y1 constituem o primeiro par canônico associado àquela correlação
canônica, que é expressa por:
Côv (X1,Y1)
r1 = _______________________
∧
∧
[V(X1).V(Y1)]½
sendo:
Côv (X1,Y1) = a’S12 b
∧
V(X1) = a’S11 a
∧
V(Y1) = b’S22 b
em que:
S11 = matriz p X q de covariâncias entre os caracteres do grupo I
S22 = matriz p X q de covariâncias entre os caracteres do grupo II
S12 = matriz p X q de covariâncias entre os caracteres dos grupos I e II
Nos casos em que se utilizam variáveis padronizadas, têm-se S11 = R11, S22= R22 e S12
= R12, em que R representa uma matriz de correlações.
Segundo Morrisom (1976), citado por CRUZ e REGAZZI (1994), a estimação dos
vetores a e b é obtida pela maximização da função r2, sujeita à restrição de que
a’S11 a = b’S22 b = 1. Estas restrições são necessárias para prover estimadores únicos de a e b,
e indicam que cada combinação linear tem variância igual a 1.
Assim, o problema estatístico passa a ser estimar a e b tal que utilizando-se dos
multiplicadores de Lagrange (λ e δ) e das restrições descritas, estes são obtidos pela solução
das seguintes equações:
(R-122 R’12 R-111R12 - λI) b = Φ
e
(R-111 R12 R-122 R’12 - λI) a = Φ
Assim:, têm-se
a) Primeira correção canônica (r1 ) entre a combinação linear dos caracteres dos
grupos I e II é dada por:
r1 = [λ1]½
33
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em que λ1 é o maior autovalor da matriz (R-111 R12 R-122 R’12)
b) O primeiro par canônico é dado por X1= a’X e Y1=b’Y, em que: a = autovetor
associado ao primeiro autovalor de (R-111 R12 R-122 R’12), ou de maneira equivalente:
b = (R-122 R’12 a), omitindo-se nesta expressão o escalar (a’R12 b)/δ.
c) As demais correlações canônicas e os pares canônicos são estimados utilizando-se
os autovalores e os autovetores das expressões descritas, de ordem correspondente à
p ou q-ésima correlação estimada.
CRUZ e REGAZZI (1994) comentam que muitas vezes a obtenção destes autovalores
requerem o uso de certas artifícios, pois alguns aplicativos computacionais são específicos
para o cálculo de autovalores de matrizes simétricas. Assim, neste caso, usam-se os seguintes
fatos:
a) Se G é uma matriz real e simétrica, então existe F, tal que G = FF’, em que F é
obtida por meio do produto: (C’)-1D½. As matrizes C’e D são, por sua vez, obtidas
por operações de congruência em G e elementares em I justaposta a G.
Esquematicamente, tem-se:
[G : I] ~ … ~ [D : C’]
em que:
~ : significa operações de congruência em G e elementares em I;
I : matriz identidade;
D : matriz diagonal;
C : matriz tal que C’G C = D
b) Se λ é autovalor de matriz não-simétrica GH , resultante do produto de matriz
simétricas G e H, então λ é também autovalor de F’HF , real e simétrica.. Se α é
autovetor associado à F’HF , então Fα = a é autovetor associado à GH.
c) Para o caso de estimação das correlações, considera-se
G = R-111 e H = R12 R-122 R’12
Outra questão é a relacionada com testes estatísticos que consiste, de forma geral,
testar a significância do relacionamento entre os dois grupos de variáveis e subsequentes teste
para determinar quantas correlações canônicas são significativas, a um determinado nível de
probalidade.
Segundo CRUZ e REGAZZI (1994), para obtenção deste informação inicia-se um
teste de significância da hipótese de que todas as possíveis correlações canônicas são nulas
(HO : ρ1 = ρ2 = … = ρs = 0 , s = min {p,q}). Esta hipótese é avaliada pelo teste aproximado de
χ2, que segundo Duterman (1948), é dado por:
χ
2
S
= -t loge [∏ (1 - r2i)]
i =1
34
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em que:
t = n - 0,5 (p + q + 3)
e
n = número de observação experimentais.
Segundo estes autores, a estatística está associada a pq graus de liberdade. Se a
hipótese é rejeitada, testa-se a hipótese H0 : ρk > 0 e ρk+1 = ρk+2 = … = ρS = 0, por meio de:
χ
2
S
= -t loge [ ∏ (1 - r2i)],
que está associada a
i = k +1
χ2 com (p-k)(q-k) graus de liberdade
APLICAÇÃO 5
Utilizando o mesmos dados da aplicação 3, ou seja, com base em dados de um teste de
progênies de Eucalyptus sp, em que foram avaliadas 10 características (X1, X2, X3, X4, X5, X6,
X7, X8, X9, e X10) em 10 progênies, num delineamento em blocos ao acaso com quatro
repetições e seis plantas por parcela, realizou-se a análise de correções canônicas. Considerou-se para o presente caso como características do grupo I (X1, X2, X3, X4 e X5 ) e as do
grupo II (X6, X7, X8, X9, e X10).
Como nos outros procedimentos descritos, utilizou-se do programa GENES
(DBG/UFV) para realizações das operações envolvidas. A seguir são apresentadas as matrizes
de correlações necessárias para obtenção das correlações canônicas, obtidas a partir do
Quadro 4 (matriz de correlações entre as variáveis originais).
Quadro 14 – Matriz de Correlações Entre Variáveis do Grupo I
1,0
0,7390
1,0
R11 =
0,6462
0,2407
1,0
0,6999
0,4056
0,9573
1,0
0,9488
0,7043
0,6810
0,7299
1,0
Quadro 15 – Matriz de Correlações Entre Variáveis do Grupo II
1,0
R22 =
0,9645
1,0
0,2355
0,0936
1,0
35
0,2467
0,0728
0,9858
1,0
0,9799
0,9382
0,2280
0,2488
1,0
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Quadro 16 – Matriz de Correlações entre Variáveis do Grupo I com Variáveis do Grupo II
R12 =
0,9456
0,6978
0,6889
0,7057
0,9983
0,8926
0,7043
0,6600
0,7842
0,9781
0,1573
0,0295
0,2715
0,2551
0,2072
0,1833
0,0081
0,2365
0,2092
0,2096
0,9818
0,7031
0,7017
0,7267
0,9766
Assim, de acordo com o exposto anteriormente, as correlações canônicas e os pares
canônicos são apresentados no Quadro 17.
Com base nos resultados obtidos, conclui-se que os grupos considerados na análise
não são independentes e que as associações intergrupos são estabelecidas, principalmente,
pelas influências de:
a) Variáveis X3 e X4 são determinantes nas variáveis X8 e X9;
b) Variáveis X1 e X5 apresentam existência de relações com as variáveis X6 e X10;
c) Com base no 3o par canônico fica evidenciado também a existência de relações
entre as variáveis X1 e X5 com as variáveis X6 e X10.
Quadro 17 – Correlações Canônicaas e Pares Canônicos Estimados entre as Características
do Grupo I e do Grupo II de dez Progênies
Caracteres
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
r
χ2
1o
-0,2991
1,4120
4,6410
-4,4615
-0,6071
45,4341
-49,8536
54,2892
-62,4822
5,5401
4,7350
539,15 **
(GL = 25)
2o
-1,3537
0,1947
0,1764
-0,1372
2,0436
2,1719
0,3954
0,5778
-0,5231
-1,6732
1,0078
297,61 **
(GL = 16)
Pares Canônicos
3o
3,0768
-0,4106
-0,4455
0,4555
-2,2595
-3,4303
-0,0960
-1,1470
1,0680
3,9911
0,9572
56,06 **
(GL = 9)
4o
-0,5881
1,0815
0,4899
0,9232
-1,2376
-1,7715
-0,1389
4,3739
-4,4000
1,9527
0,7036
12,67 *
(GL = 4)
5o
0,0853
-0,9816
0,6385
0,0091
0,1646
-0,0602
-0,0193
0,0894
0,1139
0,0374
0,2000
0,71 ns
(GL = 1)
GL = Graus de Liberdade
** = significância: P < 0,01
* = significância: P < 0,05
ns = não significativo: P > 0,05
4.3. Algumas Aplicações na Área Florestal
É crescente o número de exemplos de aplicações de análises multivariadas nas
diversas áreas da ciência. Porém, no Brasil, devido à escassez de recursos computacionais, os
quais são fundamentais para a utilização destas técnicas, limitou o uso e inibiu o repasse desse
36
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Prof. Agostinho Lopes de Souza
conhecimento entre os pesquisadores. Entretanto, atualmente com a maior disponibilidade de
recursos computacionais, o emprego de tais técnicas tornou-se potencialmente grande e o seu
conhecimento indispensável aos pesquisadores da área florestal.
Trabalhos visando descrever, discutir e recomendar o uso de técnicas estatísticas
multivariadas na análise de dados florestais, são encontrados em literatura. Assim, temos
QUEIROZ (1984), o qual focalizou o uso destas técnicas (Componentes Principais, Correlações Canônicas, entre outras) na análise de inventário florestal. Esse mesmo autor comenta
que no relativo ao manejo de florestas naturais com base no rendimento auto-sustentado
depreende-se ser imprescindível o uso da análise multivariada para detectar e delimitar as
unidades básicas de manejo florestal, face ao número elevado de variáveis envolvidas.
Semelhantemente, SOUZA (1989) empregou a análise multivariada com o objetivo de
explorar a sua potencialidade para manejo de floresta natural na reserva florestal de Linhares ES.
Também VAN LAAR (1987) revisou sobre as aplicações da análise multivariada nas
mais diversas áreas do campo florestal. Inicialmente, apresenta alguns conceitos básicos de
algumas técnicas multivariadas e, em seguida, apresenta uma lista de aplicações, conforme
citado no Quadro 18.
SOUZA (1993) em revisão, enfocou a utilização de algumas técnicas de análise
multivariada (componentes principais, correlações canônicas, entre outras) no estudo de
hibridações naturais com o Eucalyptus e também no estudo de híbridos produzidos pelas
técnicas de polinização controlada e aberta. Este autor relacionou trabalhos de Potts e Reid
(1983, 1985, 1985b), Drake (1980), Ashton e Sandiford (1988), Burgess e Bell (1983) e
Ladiges et al. (1981).
Quadro 18 – Uso da Análise Multivariada na Área Florestal
Autor
Bradfield et al. (1984)
Burley et al. (1972)
Clark et al. (1983)
Davidson et al. (1975)
Falkenhagen et al. (1978)
Fourt (1971)
Guiot et al. (1982)
Hamabata et al. (1980)
Hunter et al. (1984)
Johnson et al. (1981)
Keenan et al. (1983)
Kennel (1966)
Kercher (1977)
Kuivinen et al. (1982)
Lemoine (1981)
Liu (1978)
Mackenzie et al. (1982)
Madgwik (1983)
Maze (1981)
McClure (1984)
Método
Comp. Princ., Correl. Can.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Corr. Can.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Corr. Can.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Comp. Princ.
Área de aplicação
Botânica Florestal
Genética Florestal
Estudo de Habitats
Anatomia da Madeira
Genética Florestal
Site - Crescimento
Estudos Climáticos
Botânica Florestal
Estudo Site-Crescimento
Botânica Florestal
Estudo Site-Crescimento
Estudo de Crescimento
Botânica Florestal
Estudos Climáticos
Estudo de Crescimento
Mensuração Florestal
Estudo de Habitats
Mensuração Florestal
Genética Florestal
Botânica Florestal
Continua...
37
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Quadro 18, Cont.
Autor
Método
Área de aplicação
Nef (1985)
Corr. Can.
Entomologia Florestal
Newbery (1984)
Comp. Princ.
Ecologia Florestal
Newcomer (1984)
Comp. Princ.
Mensuração Florestal
Osborne (1984)
Comp. Princ.
Estudo de Habitats
Potts (1983)
Comp. Princ.
Genética Florestal
Radloff (1978)
Corr. Can.
Classificação de Site
Richens (1978)
Comp. Princ.
Genética Florestal
Ross (1971)
Comp. Princ.
Botânica Florestal
Roshton (1978)
Comp. Princ.
Genética Florestal
Stead (1983)
Comp. Princ.
Botânica Florestal
Sterba (1973)
Var. Can.
Estudo de Site
Van Groenewoud (1984)
Comp. Princ.
Classificação de Site
Van Laar (1985)
Comp. Princ.
Características de Fertiliz.
Xu (1984)
Comp. Princ.
Genética Florestal
Comp. Princ. = Componentes Principais
Corr. Can. = Correlações Canônicas
Var. Can. = Variáveis Canônicas
Fonte : VAN LAAR (1987).
OBS.: No presente quadro foram apresentadas apenas as citações que envolviam componentes
principais, variáveis canônicas e correlações canônicas.
5. ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA
5.1. Introdução
A análise estatística multivariada ou simplesmente análise multivariada é o ramo da
estatística direcionada ao estudo das amostras e distribuição multidimensionais, ou seja, são
métodos estatísticos apropriados para estudos em que várias variáveis são consideradas
simultaneamente.
Entretanto, apesar de as técnicas multivariadas terem eficiência comprovada e proporcionarem enriquecimento das informações extraídas de dados experimentais, é necessário para
seu uso a disponibilidade de recursos computacionais, motivo pelo qual a referida técnica
ficou limitada no seu uso e do repasse entre os pesquisadores das diversas áreas da ciência no
Brasil. Porém, com a incrementação dos recursos da informática nos últimos anos, a técnica
atraiu a atenção dos pesquisadores das diversas áreas, tornando o seu emprego potencialmente
grande e, consequentemente, o seu conhecimento indispensável.
Trabalhos visando descrever, discutir e recomendar o uso de técnicas estatísticas
multivariadas na análise de dados florestais são encontrados em literatura (teses, artigos de
periódicos, livros, anais de congressos, etc.). Princípios básicos da referida técnica podem ser
encontrados em MORRISON (1976); MARDIA et al. (1979); KENDAL (1980); GODOI
(1985); CHATFIELD E COLLINS (1986); MANLY (1986); JOHNSON E WICHERN
(1988) entre outros.
38
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É comum em levantamentos e experimentos florestais, mensurações para várias
características em uma mesma unidade experimental. Tal procedimento é baseado no fato de
que dificilmente uma única variável isoladamente discriminarar ou caracterizarar de maneira
adequada a unidade amostral. Normalmente, tais informações são analisadas de maneira
parcelada, ou seja, as variáveis são estudadas separadamente, e as comparações entre tratamentos procedidos através das médias e variâncias da variável em estudo, onde conclusões
para cada variável são realizadas a um nível α de erro. Entretanto, tal procedimento, possui os
incovenientes de não considerar a existência de uma possível estrutura de dependência entre
as variáveis e, de não possibilitar ao pesquisador tirar uma conclusão global, concernente às
possíveis diferenças entre os tratamentos considerando o conjunto total de variáveis, mantido
ao nível α de erro fixado a “priori ”.
Assim segundo JAMES e McCULLOCH (1990), quando em um experimento cada
unidade experimental é avaliada sob diferentes aspectos, a utilização de análise multivariada é
recomendada, pois em virtude dessas variáveis serem consideradas simutaneamente, são
obtidas interpretações que muitas das vezes não são possíveis com o uso da estatística
univariada.
Desta forma, o objetivo do presente trabalho foi o de descrever suscintamente sobre a
análise de variância multivariada e exemplificando-a na área florestal.
5.2. Considerações sobre a MANOVA
Segundo RAO (1952), tentativas iniciais de generalização das análises univariadas de
variância para o caso de variáveis múltiplas foi dado por Wishart (1928), o qual estudou a
distribuição amostral simultânea de variâncias e covariâncias em amostras de uma população
normal multivariada. Posteriormente, Hotelling (1931) verificou a distribuição T, que é uma
extensão natural da distribuição de student para uma população normal multivariada. Wilks
(1932), seguindo o método da razão de verossimilhança (Neyman e Pearson, 1908 e 1931;
Pearson e Neyman 1930), obteve generalizações apropriadas na análise de variância
aplicáveis a diversas variáveis. A estatística proposta por este autores tem sido útil em uma
variedade de problemas.
Segundo DEMÉTRIO (1985), a análise de variância multivariada (MANOVA), além
de fornecer resultados com base na análise conjunta de todos as variáveis utilizadas, levandose em consideração um nível de significância conhecido, permite estimar a melhor
combinação de variáveis que leva a um valor de F máximo.
Segundo vários autores (SMITH et al., 1962; MORRISON 1967; MARDIA et al.,
1979, dentre outros), nas análises multivariadas, são apresentados o teste de Wilks (razão de
verossimilhança), o teste de Roy, o traço de Hotelling-Lawley e o teste de Pillai, como as
principais alternativas para o teste da hipótese de nulidade de tratamentos e o princípio da
união-interseção de Roy, para as comparações múltiplas.
Winer (1971), citadas por STUKER (1986), comenta que ao se analisarem os efeitos
de tratamentos para variáveis X1, X2, ... , Xp, observadas na mesma unidade experimental,
através de análises univariadas, não são levadas em consideração as correlações existentes
entre elas. Cita ainda que as respostas simultâneas das unidades experimentais para todas as
variáveis, consideradas como uma única resposta, geralmente contém mais informações sobre
o efeito total de tratamento do que uma série de respostas consideradas separadamente.
Segundo Dagnelie (1982), citado por STUKER (1986), a análise multivariada, em
sentido amplo, pode ser considerada como formada por um conjunto de métodos estatísticos,
que têm por objetivo o estudo das relações existentes entre várias variáveis dependentes ou
independentes, e que a análise da variância multivariada tem por objetivo comparar as médias
de mais de duas populações.
39
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Este mesmo autor apresenta a seguinte hipótese multivariada:
H0: m1 = m2 = ... = mk
onde mg é o vetor de médias das p variáveis, associado ao tratamento g (g = 1, 2, ... , K), e
como critérios de teste de H0 cita o de Wilks, o de Roy e o de Hotelling-Lawley. Para
comparações múltiplas, cita o princípio da união-interseção de Roy.
Quanto às pressuposições do modelo, MARDIA et al. (1979) comenta sobre o efeito
de não-normalidade e Ito e Shull (1971) e Korin(1972) mostram que os resultados dos testes
não são grandemente afetados por heterogeneridade das matrizes de variâncias e covariâncias,
quando o número de repetições é grande e o mesmo para todos os tratamentos.
Segundo JAMES e McCULLOCH (1990), MANOVA é um procedimento para testar
diferenças entre grupos de acordo com as médias de todas as variáveis, sendo o procedimento
aplicado a dados com distribuição normal multidimensional. É possível obter resultados nãosignificativos em testes univaridos e resultados significativos em teste multivariado e viceversa (MANLY, 1986).
Como exemplo, DEMÉTRIO (1985) em estudo comparativo entre métodos de análise
univariada e multivariada, em experimentos conduzido em blocos casualizados, verificou que
no caso do modelo multivariado o número de diferenças significativas entre médias de
tratamento é menor que no caso univariado; isso porque no caso do modelo multivariado o
critério de rejeição é mais rigoroso por levar em consideração um nível de significância
conjunto, enquanto que no modelo univariado o nível de significância é tomado isoladamente
por análise.
5.2.1. Desenvolvimento Matemático
A análise de variância multivariada é um método alternativo mais geral, uma vez que
não faz qualquer restrição quanto a estrutura de variância e covariâncias, de medidas tomadas
sobre a mesma unidade experimental. Pode-se efetuar a análise multivariada da variância para
qualquer tipo de delineamento experimental. Entretanto, para o presente estudo será
considerado para efeito demonstrativo o modelo de delineamento experimental em blocos
casualizados multivariado com J blocos e I tratamento, em que são medidas K características.
O modelo estatístico admitido para análise e suas pressuposições de restrições são:
Yijk =
µk
+ tik + bjk + eijk
em que:
i = 1, 2, ... , I
j = 1, 2, ... , J
k = 1, 2, ... , K
onde:
Yijk = é o valor observado da k-ésima característica, sob o i-ésimo tratamento, no
j=ésimo bloco;
µk = é a média geral da k-ésima característica;
tik = é o efeito do i-ésimo tratamento na k-ésima característica;
bjk = é o efeito do j-ésimo bloco na k-ésima característica;
40
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eijk = é o erro aleatório específico da ijk-ésima combinação de tratamento, bloco e
característica.
Sendo:
k
a) ∑ ti = Φ ,
ti’= [ ti1, ti2., ... ,tik], sendo ti ~ Np (Φ , Σt)
i=1
b) bj ~ Np(Φ, Σb), independentes, bj’= [bj1, bj2 , ... ,bjk] e Σb = matriz de variânicas e
covariâncias, comum a todos os blocos ( j = 1, 2, ... ,J);
c) O vetor de efeitos residuais eij’ = [eij1, eij2, .... ,eijk] tem distribuição multinormal
K-dimensional com vetor de médias nulo e matriz de variância e covariância ∑e,
comum a todas as combinações i e j , sendo os eij correspondentes às diferentes
unidades experimentais em cada bloco, independentemente distribuídos; ou seja,
eij ~ Np(Φ, Σe),
d) bj e eij são independentes.
Na forma matricial tem-se:
Y = Xβ + ε
onde,
⇒ é a matriz das observações;
YK
IJX(1+I+ J) ⇒ é a matriz de incidência;
(1+I+J)βK ⇒ é a matriz dos parâmetros; e
IJ
IJεK
⇒ é a matriz dos erros aleatórios.
Mais detalhadamente tem-se:
Y=
Y111
Y121
…
Y1J1
Y112
Y122
…
Y1J2
…
…
…
…
Y11K
Y12K
…
Y1JK
Y221
Y221
…
Y2J1
Y212
Y222
…
Y2J2
…
…
…
…
Y21K
Y22K
…
Y2JK
…
…
…
…
YI11
YI21
…
YIJ1
YI12
YI22
…
YIJ2
…
…
…
…
YI1K
YI1K
…
YIJK
= [Y1 Y2 … YK]
IJ x K
41
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X=
β=
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1
1
…
1
1
1
…
1
0
0
…
0
…
…
…
…
0
0
…
0
1
0
…
0
0
1
…
0
…
…
…
…
0
0
…
1
1
1
…
1
0
0
…
0
1
1
…
1
…
…
…
…
0
0
…
0
1
0
…
0
0
1
…
0
…
…
…
…
0
0
…
1
...
…
…
…
...
…
…
…
…
1
1
…
1
0
0
…
0
0
0
…
0
…
…
…
…
1
1
…
1
1
0
…
0
0
1
…
0
…
…
…
…
0
0
…
1
µ1
µ2
…
µK
t11
t21
…
tI1
t12
t22
…
tI2
…
…
…
…
t1K
t2K
…
tIK
b11
b21
…
bJ1
b12
b22
…
bJ2
…
…
…
…
b1K
b2K
…
bJK
IJ x (1 + I + J)
= [B1 B2 … BK]
(1+I+J) x K
ε=
e111
e121
…
e112
e122
…
…
…
…
e11K
e12K
…
e’11
e’12
…
e1J1
e1J2
…
e1JK
e’1J
e211
e221
…
e2J1
e212
e222
…
e2J2
…
…
…
…
e21K
e22K
…
e2JK
e’21
e’22
…
e’2J
…
…
...
…
…
eI11
eI21
…
eIJ1
eI12
eI22
…
eIJ2
…
…
…
…
eI1k
eI2K
…
eIJK
e’I1
e’I2
…
e’IJ
=
42
= [ e1 e2
…
e K]
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Logo,
Y= [Y1 Y2 … YK] = [XB1 XB2 … XBK] + [e1 e2 … eK] e, portanto, para cada variável
k = 1,2, … , K), tem-se:
Yk = Xβ + ek
As equações normais e os estimadores dos parâmetros são obtidos tomando-se o
modelo linear multivariado na forma matricial Y = Xβ + e , e usando o método de mínimos
quadrados, obtém-se o sistema de equação normais: X’XBo = X’Y. Assim, da mesma forma
que no modelo univariado, as somas de quadrados e as somas de produtos são obtidos.
De Y = Xβ + e , obtém-se, pelo método de mínimos quadrados, que
ε’ ε = Y’Y - Bo’X’Y
onde:
ε ‘ ε = é a matriz de somas de quadrados e de produtos do resíduos;
Y’Y = é a matriz de somas de quadrados e de produtos do total;
BoX’Y= é a matriz de somas de quadrados e de produtos de parâmetros.
Desta forma, obtém-se então que:
SQTratamentos k = (1/J) ∑ T2ik - (1/IJ) G2k
i
SPTratamentos k,k’ = (1/J) ∑Tik Tik’ - (1/IJ) GkGk’
i
SQBlocos k = (1/I) ∑ B2jk - (1/IJ) G2k
j
SPBlocos k,k’ = (1/I) ∑ Bjk Bjk’ - (1/IJ) GkGk’
j
SQTotal k = ∑∑ Y2ijk - (1/IJ) G2k
i j
SPTotal k,k’ = ∑∑ Yijk Yijk’ - (1/IJ) GkGk’
i j
SQResíduo k = SQTotal k - SQTratamentos k - SQBlocos k
SPResíduo k,k’ = SPTotal k,k’ - SPTratamentos k,k’ - SPBlocos k,k’
em que:
I J
Gk = ∑ ∑ Yijk
i=1 j=1
J
Tik = ∑ Yijk
j=1
I
Bjk = ∑ Yijk
i=1
43
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para k,k’= 1, 2, … , K e k ≠ k’
Logo, T = H + B + R
onde:
KTK =
matriz de soma de quadrados e produtos referentes a totais;
KHK
= matriz de soma de quadrados e produtos referentes a tratamentos;
KBK
= matriz de soma de quadrados e produtos referentes a blocos;
KRK =
matriz de soma de quadrados e produtos referentes ao resíduo.
O esquema da análise de variância multivariada é apresentado no Quadro 1.
Quadro 18 – Esquema Análise da Variância Multivariada para o Delineamento em Blocos
ao Acaso
Causas de
Variação
Blocos
Tratamentos
Resíduo
Total
Matrizes de Somas de
Quadrados e de Produtos
B
H
R
T
Graus de Liberdade (*)
J-1
I-1
(I-1) (J-1)
IJ-1
( )
* - Os graus de liberdade são obtidos de maneira análoga ao caso univariado.
A hipótese de interesse a ser testada, em geral, é a de que não existem efeitos de
tratamentos, ou seja, a hipótese de nulidade dos vetores efeitos de tratamento, ou seja:
H0 : t1 = t2 = … tI = Φ
Matricialmente, tem - se:
t11
t12
…
t1K
H0 :
t21
t22
…
t2K
=
=
…
=
tI1
tI2
…
tIK
=
0
0
…
0
Ou ainda:
H0 : C’B W = Φ
onde:
C’=
0
0
…
0
1
0
…
0
-1
1
…
0
0
-1
…
0
…
…
…
…
0
0
…
1
0
0
…
-1
0
0
…
0
44
…
…
…
…
0
0
…
0
(I-1) (1+I+J)
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com posto (I-1); e, W é uma matriz de dimensão K x W, de posto W ≤ K, que identifica as
variáveis que estão sendo testadas por H0.
GODOI (1985) apresenta e discute quatro critérios para teste de hipótese linear geral
da forma:
H0: C’BW = Φ
todos baseados em c’is, que são os auto-valores de (W’RW)-1 W’HW, onde,
H = (C’B0)’[C’(X’X)-C]-1 (C’B0)
R = Y’Y - B0’X’Y
Se W = I(k), isto é, posto W = K, obtemos o caso particular,
H0 : C’B = Φ ,
neste caso todas variáveis estão contidas no teste da hipótese H0.
A matriz H é usualmente designada como a matriz de soma de quadrados e de
produtos da hipótese H0 testada e R, como a matriz de somas de quadrados e de produtos de
resíduo.
Os quatros critérios estatísticos referidos anteriormente são:
s
T20 = tr (R-1H) = ∑ ci
i=1
s
s
i=1
i=1
V = tn [H (H+R) ] = ∑ θi = ∑ [ci / (1 + ci)]
-1
s
s
i=1
i=1
Λ = | R | / | H+R| = Π [1 / (1+ci)]= Π (1-θi)
θ1 = c1 / (1 + c1) ou c1 = θ1 / ( 1 - θ1)
onde:
c1 = maior auto-valor de R-1H
θ1 = maior auto-valor de H(H+R)-1
s = número de raízes características não nulas de R-1H
O critério T20 foi proposta por Hotelling-Lawley e é conhecido como o critério do
traço ou da soma dos auto-valores.
Sob
H0,
2(sn’ + 1)
____________________
2
T20
s (2m’+ s + 1)
é aproximadamente distribuído como: Fs (2m’ + s + 1) , 2(sn’ + 1)
45
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O segundo critério , V, é o critério do traço de Pillai, que sob H0 ,
(2n’ + s + 1)
V
________________ _________
(2m’ + s + 1)
(s-V)
é aproximadamente distribuído como: Fs (2m’ + s + 1 ) , s (2n’ + s + 1)
O terceiro critério, Λ, é o critério da razão de verossimilhança, devido a Wilks, onde:
X2 = - [ne - ½(p - q +1)] loge Λ p, q, ne, tem distribuição exata de χ2pq, ∝
rejeita-se H0 se: X2 > Cχ2pq,∝, onde C é encontrado na tabela de Schazoff (1966)
Casos particulares em que tem-se distribuição exata de F,
q = 1, ∀p ⇒
q = 2, ∀p ⇒
1 - Λ (ne - p - 1)
_________ _______________
Λ
p
1 - [Λ]1/2 ne- p + 1
____________ _____________
[Λ]
p = 1, ∀q ⇒
p = 2, ∀q ⇒
1/2
Λ
~ F2p,2(ne-p+1)
q
1-Λ
ne
__________ ______
~ Fq,ne (unidimensional)
q
1-[Λ]1/2 ne-1
___________ _______
[ Λ]
~ Fp,ne-p+1
1/2
~ F2q,2(ne-1)
q
Tem-se ainda que para p ≥ 3 e q ≥ 3,
m’s-2λ
1 - Λ1/s
___________ ___________
pq
Λ
, é aproximadamente distribuído como: Fpq , (m’s-2λ)
1/s
onde (m’s-2λ) indica o maior inteiro que não supera (m’s - 2λ), e
m’ = ne - ❽(p+q+1)
λ = (pq - 2) / 4
s = [(p2q2 - 4) / (p2 + q2 - 5) ]½
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O último critério, θ1, foi desenvolvido por Roy e é conhecido como o critério do maior
auto-valor de Roy. Baseado neste critério, não se rejeita a hipótese H0 a um nível ∝ de
significância, se:
θ1 ≤ X∝, s, m’,n’ ou c1 ≤
X ∝, s, m’,n’
_________________
1 - X ∝, s,m’,n’
X ∝, s,m’,n’ pode ser encontrado em ábaco (MORRISON 1981).
Para o primeiro, segundo e último critério tem-se que,
S = min (q, p)
m’= ½ ( | p - q | - 1)
n’= ½ (ne - p - 1)
e para ambos os critérios,
q = posto (c’) = I -1
p = número de variáveis = K
ne = n - posto (X) = (I-1) (J-1)
APLICAÇÃO 1
Como exemplo será utilizado dados de um experimento cujo objetivo foi o de verificar
a exitência de variação entre 28 progenitores de Eucaliptus sp.s em relação a 10 característica
silviculturais (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10). O delineamento estatístico utilizado
foi o de blocos casualizados com 4 repetições.
As análises de variâncias foram realizadas considerando-se cada característica
separadamente (ANOVA - Análise de Variância Univariada) (Quadro 19) e o conjunto das 10
carcterísticas simultaneamente (MANOVA - Análise de Variância Multivariada) (Quadro 20).
No caso da ANOVA utilizou-se o método de mínimos quadrados visando obtenção do
sistema de equações normais, estimadores dos parâmetros, a partição da soma de quadrado
total e o númerro de graus de liberdade associado a cada fonte de variação, de acordo com o
modelo estatístico adotado. O procedimento adotado foi o mesmo usualmente encontrado na
literatura cujas demostrações serão omitidas por não ser o objetivo principal desse estudo.
Quanto ao procedimento MANOVA, será conforme descrito nos itens anteriores desse estudo.
Dado o volume de operações envolvidas, utilizou-se do programa SAEG (UFVViçosa/MG) para realizações das análises. A seguir são apresentados os resultados finais
apresentados pela listagem obtidas pelo programa.
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Quadro 19 – Resumo da Análise de Variância Univariada das 10 Características Silviculturais (X1, X2, X3, X5, X6, X7, X8, X9 e X10) Referente a 28 Progenitores de
Eucalyptus sp.
Fontes de GL
Variação
X1
X2
X3
X4
14,3855
0,0021
Resíduo
81 0,7836
0,5878
1,0404
10,19
0,66
15,96
11,88
0,07
0,05
8,68
9,67
4,81
8,58
18,47
19,01
0,0029
0,00009 0,000008 0,002
0,016
17,95
0,0023
X10
27 1,9810** 0,0117** 1,8766** 3,5489** 0,0005** 0,0004** 0,00002** 0,0018n.s. 0,0015n.s. 0,0024**
0,0040
0,0001
X9
Progênie
0,0002
0,0013
X8
Bloco
CV (%)
6,8242
X7
3 6,6683
Média Xk
0,0337
Quadrados Médios
X5
X6
0,0013
0,0067
0,0008
0,487
0,368
0,14
9,55
9,94
19,83
** - significativo pelo teste F (P ≤ 0,01)
* - significativo pelo teste F (P ≤ 0,05)
n.s - não significativo pelo teste F ( P ≥ 0,05)
X1 - Diâmetro Altura do Peito (DAP) X6 - Volume sem Casca
X2 - Densidade Básica X7 - Volume de Casca
X3 - Altura Total X8 - Fator de Forma sem Casca
X4 - Altura Comercial X9 - Fator de Forma com Casca
X5 - Volume com Casca X10 - Volume Cilíndrico
Quadro 20 – Resumo da Análise de Variância Multivariada Considerando as 10
Características Simultâneamente (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 e X10)
Referente aos 28 Progenitores de Eucalyptus sp.
Fontes deVariação
GL
Matrizes de Soma de Quadrados e de Produtos
Blocos
3
B
Progenitores
27
H
Resíduo
81
R
111
T
TOTAL
Os resultados obtidos pela ANOVA (Quadro19) mostram diferença significativa entre
progenitores, pelo teste F (P < 0,01), para as características X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, e X10).
Entretanto, para as características X8 e X9, o teste F apresentou resposta não - significativa
(P > 0,05) entre progenitores.
Quanto aos resultados obtidos pela Análise de Variância Multivariada, estes são
apresentados no Quadro 20 e, em seguida são apresentados os testes de significância.
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Matriz B (Matriz de Soma de Quadrados e Produtos Referentes a Bloco)
X1
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
20.0050
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
0.7556 19.6253 28.5747
0.3226
0.2653
0.0772
0.2956
.02695
0.6333
0.1010
0.6684
0.0071
0.0054
0.0017
0.0019
0.0023
0.0021
19.6253
0.4449 20.4728 29.7222
0.3601
0.2795
0.0806
0.3334
0.3016
0.6326
28.5747
0.6684 29.7222 43.1565
0.5226
0.4056
0.1170
0.4814
0.4357
0.9203
0.3426
0.0071
0.3601
0.5226
0.0063
0.0049
0.0014
0.0059
0.0054
0.0111
0.26254
0.0054
0.2795
0.4056
0.0049
0.0038
0.0011
0.0046
0.0042
0.0086
0.0772
0.0017
0.0806
0.1171
0.0014
0.0011
0.0003
0.0013
0.0012
0.0025
0.2956
0.0019
0.3334
0.4814
0.0059
0.0046
0.0013
0.0087
0.0078
0.0097
0.2696
0.0023
0.3016
0.4357
0.0054
0.0042
0.0012
0.0078
0.0070
0.0083
0.6332
0.0211
0.6326
0.9203
0.0110
0.0085
0.0025
0.0097
0.0088
0.0201
0.7555
0.4449
Matriz H (Matriz de Soma de Quadrados e Produtos Referentes a Tratamentos (progenitores))
X1
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
53.4879
2.3392
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
2.3392 38.3555 54.8376
0.8173
0.6499
0.1673
0.1060
0.2597
1.8343
0.3170
0.0325 0.02241
0.0101
-0.0056
-0.0261
0.0753
0.3111
0.7701
38.3555
0.3111 50.6679 68.3037
0.6947
0.5726
0.1221
0.5545
0.7656
1.4055
54.8376
0.7701 68.3037 95.8201
0.9786
0.8040
0.1745
0.7893
1.0600
1.9644
0.8173
0.0325
0.6947
0.9786
0.0139
0.0111
0.0028
0.0067
0.0087
0.0292
0.6499
0.0224
0.5725
0.8040
0.0111
0.0091
0.0021
0.0057
0.0079
0.0233
0.1673
0.0101
0.1221
0.1745
0.0028
0.0021
0.0006
0.0011
0.0008
0.0058
0.1061
-0.5684
0.5545
0.7893
0.0067
0.0056
0.0011
0.0491
0.0413
0.0070
0.2598
-0.0261
0.7656
1.0610
0.0088
0.0079
0.0008
0.0413
0.0409
0.0126
1.8344
0.0753
1.4054
1.9644
0.2915
0.0233
0.0058
0.0070
0.0126
0.0647
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Mariz E (Matriz de Soma de Quadrados e Produtos Referentes ao Resíduo)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X1
X2
X3
63.4790
2.5568
35.7705
50.3686
0.7339
0.5699
0.1640
-1.4247
-0.9747
1.9399
2.5567
0.3254
1.9244
2.4774
0.0348
0.0255
0.0093
-0.0461
-0.0405
0.0827
X4
X5
35.7705 50.3686 0.7339
1.9244 2.4774 0.00348
47.6119 59.9386 0.6334
59.9386 84.2742 0.8936
0.6334 0.8935 0.1257
0.4938 0.7001 0.0098
0.1380 0.1934 0.0028
-0.0924 0.2014 -0.0007
-0.0562 0.3392 0.0012
1.2535
1.6773 0.0248
X6
X7
X8
X9
X10
0.5699
0.0255
0.4954
0.7001
0.0098
0.0077
0.0021
-0.0001
0.0017
0.0194
0.1640
0.0093
0.1380
0.1935
0.0028
0.0021
0.0007
-0.0007
-0.0005
0.0055
-1.4248
-0.0461
-0.0924
0.2014
-0.0007
-0.0001
-0.0007
0.1751
0.1258
-0.0404
-0.9747
0.0405
0.0562
0.3392
0.0012
0.0017
-0.0005
0.1358
0.1085
-0.0275
1.9399
0.0827
1.2535
1.6774
0.0249
0.0194
0.0055
-0.0405
-0.0275
0.0629
Os testes para a hipótese H0: C’BW = φ, ou seja, a não existência de variação entre
progenitores referentes às 10 características consideradas simultaneamente, são apresentados
na sequência.
a) Teste de Hotelling-Lawley
Os parâmetros da distribuição são:
S = mín (27,10) = 10
m’ = ( |10 - 27| - 1) / 2 = 8
n’ = (81 - 10 -1) / 2 = 35
T20 = 8,488 (resultado SAEG)
2( Sn’ + 1)
_____________________
S2(2m’+ S + 1)
T20 = 2,21
Admitindo ∝ = 0,05 têm-se F0.05, 270, 702 ≅ 1,0 , ou para ∝ = 0,01 tem-se F0.01,270, 702 ≅
1,0, então a hipótese H0 foi rejeitada ao nível de 1% de probabilidade pelo teste de HotellingLawley (T20)
b) Teste de Pillai
Tem-se, também, os parâmetros:
S = 10 m’ = 8
n’ = 35
V = 3,8024 (resultado SAEG)
2n’+ S + 1
V
_______________
_______
2m’+ S+ 1
S-V
= 1,84
50
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Admitindo ∝ = 0,05 têm-se F0.05, 270, 810 ≅ 1,0, ou para ∝ = 0,01 têm-se F0.01, 270, 810 ≅
1,0, rejeita-se a hipótese H0 ao nível de 1% de probabilidade pelo teste de Pillai.
c) Teste de Wilks
Os parâmetros da distribuição são:
m’= 81 - (10+27+1) / 2 = 62
λ = (270 -2) / 4 = 67
S = {(102 272 - 4) / (102 + 272 - 5)}½ = 9,41
Λ = 0,00473 (resultado SAEG)
m’S - 2λ
1-Λ1/S
_____________
_________
pq
Λ
= 1,27
1/S
Admitindo ∝ = 0,05 têm-se F0.05, 270, 628 ≅ 1,0 , ou para ∝ = 0,01 têm-se F0,01, 270, 628 ≅
1,0 , rejeita-se H0 ao nível de 1% de probabilidade pelo teste de Wilks.
d) Teste de Roy
Os parâmetros, para este teste, são:
S = 10 m’= 8 n’ = 35
θ1 = 2,6332 (resultado SAEG)
Admitindo ∝ = 0,05 pelo Ábaco…, encontrado em MORRISON (1981), têm-se χ 0.05,
10, 8, 35 = , ou para ∝ = 0,01 e pelo Ábaco χ 0.01, 10, 8, 35 = , rejeita-se, também, H0 ao nível do 1%
de probabilidade pelo teste de Roy.
Verifica-se, então, que a hipótese H0 foi rejeitada ao nível de 1% de probabilidade,
para todos os 4 testes aplicados, ou seja, os progenitores diferem entre si com relação às 10
características avaliadas simultaneamente, ou ainda, com base nesta análise, pode-se afirmar
que existe variação entre os progenitores estudados.
Desta forma, se o pesquisador deseja informações por cada classe separadamente, uma
análise univariada é suficiente. Entretanto, se o interesse é uma conclusão conjunta de todas
as classes, a análise multivariada deve ser preferida, pois além de todas as conclusões serem
realizadas ao nível de significância pré-estabelecido, toda a informação de variação
(correlação) é considerada.
5.3. Procedimentos para Comparações Múltiplas
Quando a hipótese de nulidade H0: C’BW = Φ é rejeitada, não se sabe quais
tratamentos ou combinações de tratamentos diferem entre si. Assim, torna-se necessário
51
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utilizar-se de procedimentos de comparação múltiplas entre os tratamentos ou combinações
destes a fim de definir quais os efeitos de tratamentos que diferem ente si.
Os procedimentos para testar a hipótese H0: m1 = m2 = ... = mI são usados numa
análise preliminar pois eles deixam sem respostas algumas inportantes questões relativas a
comparações efetivas entre tratamentos, conforme já comentado. Entretanto, através de
contrastes pode-se obter respostas mais específicas a respeito de hipóteses de interesse. Isto é,
os contrastes lineares ajudam a detalhar mais sobre a questão de comparações entre
tratamentos.
Um contrastes linear é uma combinação linear entre os vetores médias dos tratamentos
e constantes (c) orbitrárias tais que ∑ ci ni = 0. Ou um contraste é o vetor linha.
W= c1w1 + c2w2 + … +cIwI
Assim, a hipótese agora pode ser considerada da seguinte forma:
H0: W = 0 versus Ha: W ≠ 0
Desta forma pode-se efetuar comparações entre os vetores médios dos tratamentos
assim como é realizado no caso univariado.
Vale salientar que para cada contraste é calculado um resíduo adequado. Quando se
trabalha com contraste ortogonais, sabe-se que (I-1) graus de liberdade decompõe se em (I -1)
contraste com um grau de liberdade cada.
Cada hipótese montada é testada usando a estatística “Λ” (critério da razão de
verossimilhança devido a Wilks) ou “T02”de Hottling”da seguinte forma:
H0: W = 0
vs
H0: w ≠ 0
Ws = c1m1 + c2m2 + … + cImI
onde: mI = Yi. / ni
e
S = 1,2,…,I
Usando a estatística Λ (critério da razão de verossimilhança, devido a Wilks), tem-se:
|R|
ΛS =
_____________
S = 1, 2,…, (I-1)
| HS + R |
e as matrizes HS passam a ser:
HS = (hKK’)S , S = 1,2,…, (I -1)
hKK’ =
W’KWK’
____________
K,K’= 1, 2, … , K para K≠K’
K
∑ nici2
i=1
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Rejeita-se H0 para valores menores que Λ(K,1,ne)
Usando a estatísca T02 de Hotteling, têm-se:
T02 =
WS
___________
∑nici2
R
S-1WS
onde
S-1 =
____
ne
Rejeita-se H0 para valores maiores que T02 (K,ne,∝)
Mais detalhes sobre estes procedimentos descritos acima podem ser encontrado em
NEGRILLO e PERRE (1987)
Entretanto, segundo STUKER (1986), o princípio de união interseção de Roy é o mais
adequado, pois permite calcular os limites de confiança simultâneos para todas conbinações
lineares dos elementos da matriz C’BW, com uma probabilidade conjunta (1-∝). Além disso,
este é tido como uma continuação lógica do teste de significância do maior autovalor (Teste
de Roy).
Conforme citado por MARDIA (1979) tem-se os intervalos de confiança simultâneos:
P { [(c’Bºl - c’Bl)2] / [l’Rlc’(X’X)-c] } ≤ [χ
χ∝ / (1 - χ∝)]
∀l , ∀c/c = Cd = 1 - ∝
então,
c’Bºl ± { [χ
χ∝ / (1 - χ∝)] [l’Rlc’(X’X)-c] }❽
são os intervalos de confiança para c’Bºl.
onde,
c’ ⇒- é um vetor de dimensões [1 x (I+J+1)] arbitrário, que possui os coeficientes das
conbinações de tratamentos;
l⇒
é um vetor de dimenções (K x 1), arbitrário, que seleciona uma variável ou
uma combinação de variáveis, e
χ∝ ⇒ é valor crítico de Roy ao nível ∝ de probabilidade, podendo ser encontrado
em ábacos (MORRISON 1981) com parâmeros:
S = mín (I-1, K)
|I-K-1| -1
m’=
_____________
2
I (J-1) - (J-K)
n’= _________________
2
53
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No caso de c e l serem fixados a “priori” os limites de confiança podem ser obtidos
trocando-se:
χ∝
1
________
_______________
por
F1, (I-1)(J-1), ∝
1-χ
χ∝
(I-1)(J-1)
Para c fixado a priori e todo l fixado a “posteriori”, troca-se:
χ∝
________
1-χ
χ∝
K
por
_______________________
FK, (I-1)(J-1) - K + 1, ∝
(I-1)(J-1) - K + 1
Para o caso de K = 1, tem-se:
S = mín (I - 1, K) = 1, troca-se:
χ∝
________
1-χ
χ∝
I-1
por
_______________
F(I-1), (I-1)(J-1), ∝
(I-1)(J-1)
l’Rl = SQRes , pois l’= [1]
Assim, se c não for estabelecido a “priori”, o intervalo adequado será:
P {| c’Bº - c’B | ≤ [ c’(X’X)-c SQRes {(I-1) / I-1)(J-1)} F(I-1),(I-1)(J-1), ∝ ]1/2} = 1-∝
(
logo, os limites de confiança ficam:
c’Bº ± {c’(X’X)c QMRes (I-1) F(I-1), (I-1)(J-1) ; ∝}1/2
que é a expressão obtida por SCHEFFE(1953).
Para ambos os casos discutidos anteriormente, rejeita se H0: c’Bl = 0, ao nível ∝ de
significância se o intervalo de confiança ao nível (1-∝) não contiver a origem.
Mais detalhes sobre estes e outros procedimentos para comparações múltiplas podem
ser encontrados em MARDIA et al.(1979), MORRISON (1981), GODOI (1985),
MANLY(1986), NEGRILLO e PERRE(1987) JOHNSON E WICHERN(1988), entre outros.
Estes autores discutem procedimentos para estimação e testes de hipóteses.
54
MANEJO FLORESTAL – DEF/UFV
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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ADAMS, M.W. & WIERSMA, J.V. An adaptation of principal components analysis to an
assessment of genetic distance. Research Refort, 347: 2-7, 1978.
ARNOLD, S.F. The theory of linear models and multivariate analysis. New York, John
Wiley & Sons, 1981. 475p.
ARUNACHALAM, V.
226-36, 1981.
Genetic distance in plant breeding. Indian Jour. of Genetics, 41:
CAMPBELL, N.A. & ATCHLEY, W.R. The geometry of canonical variate analysis.
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