Matemática Básica - Católica Virtual

Matemática Básica
Matemática Básica
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA
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Edição de Conteúdo
Kelly Kareline de Oliveira Torres
Márcia Regina de Oliveira
Montagem
Acyr Frederico Leocádio
Anderson Macedo da Silveira
Bruno Marques Beça da Silva
Olávia Cristina Gomes Bonfim
3
Matemática Básica
Sumário
Sumário
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Conjuntos Numéricos ...................................................................................................................... 7
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Conjunto
Conjunto
Conjunto
Conjunto
Conjunto
dos
dos
dos
dos
dos
Naturais ............................................................................................................................. 7
Inteiros Relativos – Negativos e Positivos .................................................................... 7
Racionais ........................................................................................................................... 7
Irracionais ......................................................................................................................... 7
Reais .................................................................................................................................. 7
Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais ................................................... 9
2.1.
Sinais Resultantes nas Operações.......................................................................................................... 9
2.1.1.
Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração ........................................................... 9
2.1.2.
Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão .................................................... 9
2.1.3.
Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais. ............................. 10
Operações e Suas Inversas ........................................................................................................... 17
3.1.
3.2.
3.3.
Regra das Operações Adição e Subtração .......................................................................................... 17
Regra das Operações Multiplicação e Divisão ................................................................................... 18
Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação .................................................... 19
Prioridades nas Operações ........................................................................................................... 23
Relações e Funções........................................................................................................................ 25
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
Plano Cartesiano .................................................................................................................................... 25
Função do 1º Grau .................................................................................................................................. 26
Função do 2º grau ou quadrática ......................................................................................................... 30
Função Exponencial ............................................................................................................................... 34
Função Logarítmica................................................................................................................................ 36
Funções Trigonométricas ...................................................................................................................... 37
Soluções de Sistemas de Equações ............................................................................................ 39
Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias ................................................ 43
7.1.
Razão ........................................................................................................................................................ 43
7.2.
Proporção ................................................................................................................................................ 43
7.3.
Números e grandezas proporcionais simples e compostas. ............................................................ 43
7.3.1. Diretamente Proporcionais ................................................................................................................... 43
7.3.2. Inversamente Proporcionais ................................................................................................................. 44
7.3.3. Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais. .................................. 46
7.3.4. Porcentagens ........................................................................................................................................ 47
7.3.4.1.
Taxa de Porcentagem (i).................................................................................................................. 47
7.3.4.2.
Porcentagem .................................................................................................................................... 47
7.4.
Média ........................................................................................................................................................ 49
7.4.1. Média Aritmética Simples.................................................................................................................... 49
7.4.2. Média Aritmética Ponderada................................................................................................................ 49
7.4.3. Média Geométrica ................................................................................................................................ 49
Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais ............................................................ 51
8.1.
Adição e subtração de expressões ...................................................................................................... 51
8.2.
Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis. .................................. 51
8.2.1. Produtos Notáveis ................................................................................................................................ 52
8.3.
Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais ................................................................................ 53
8.4.
Fatoração e Simplificação .................................................................................................................... 54
Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo ............................................... 57
9.1.
9.2.
Relações Trigonométricas ..................................................................................................................... 57
Relações Métricas................................................................................................................................... 58
5
Matemática Básica
10.
Sumário
Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações .............................................. 61
10.1. Grandezas Físicas ................................................................................................................................... 61
10.2. Fenômenos Físicos ................................................................................................................................. 61
10.3. Medição .................................................................................................................................................... 61
10.4. Sistemas de Unidades ............................................................................................................................ 61
10.5. Fatores que interferem na medição ................................................................................................... 62
10.6. Precisão de um Instrumento de Medida ............................................................................................. 62
10.7. Algarismo significativo .......................................................................................................................... 62
10.8. Arredondamentos ................................................................................................................................... 62
10.8.1.
Operações com Algarismos Significativos ...................................................................................... 63
10.8.1.1. Adição e Subtração .......................................................................................................................... 63
10.8.1.2. Multiplicação e Divisão: ................................................................................................................. 63
10.9. Notação Científica ................................................................................................................................. 63
10.10.
Ordem de grandeza. ......................................................................................................................... 64
10.11.
Grandezas Físicas .............................................................................................................................. 64
10.11.1.
Grandezas Escalares ........................................................................................................................ 64
10.11.2.
Grandezas Vetoriais ........................................................................................................................ 64
10.11.2.1.
Operações com grandezas vetoriais ............................................................................................ 65
10.11.2.1.1. Adição ........................................................................................................................................ 65
10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal ................................................................................................................... 65
10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo ........................................................................................................... 66
10.11.2.1.1.3. Regra da decomposição cartesiana ........................................................................................... 66
10.11.2.1.2. Subtração ou Diferença .............................................................................................................. 67
10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal ................................................................................................................... 67
10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo ........................................................................................................... 67
10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposição Cartesiana ......................................................................................... 68
6
Matemática Básica
Aula 01
Matemática Básica
Para podermos nos comunicar, por escrito, precisamos do alfabeto, sílabas, palavras, frases, vírgulas,
pontos, etc. Semelhantemente, na matemática precisamos dos algarismos, números, símbolos, sinais,
prioridades e propriedades nas operações para que possamos equacionar, criar fórmulas, realizar cálculos
tão necessários em nosso quotidiano e em todas as atividades que realizamos. Mesmo quando usamos a
calculadora ou computador, precisamos de conhecimento básico de matemática para o uso adequado
destes instrumentos e nos procedimentos a serem seguidos.
1. Conjuntos Numéricos
O conjunto dos números Reais (R) é o que melhor atende a solução dos problemas básicos de nosso
quotidiano e é composto pelos seguintes subconjuntos:
1.1.
Conjunto dos Naturais
N = {0,1,2,3,4,...}
1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos
Z = {... − 3,−2,−1,0,1,2,3...}
1.3. Conjunto dos Racionais
Q = {... − 3... − 2... − 1...0...1...2...3...}
−9
−3
0,2 2,25
2
2
− 0,555...
Obs.: Conseguimos escrever
na forma de fração decimal
exatas,
dizimas
periódicas
simples e compostas.
1.4. Conjunto dos Irracionais
I = ... − 2 ... 2 ... 3...π ... }
Obs.: Não conseguimos escrever na forma de fração
{
1,4159
1.5. Conjunto dos Reais
Juntando: N, Z, Q, I formamos o conjunto dos Reais (R). Note que:
N ⊂ Z ⊂ Q
 ⊂ R ou (Q ∪ I ) ⊂ R
I
está contido
Q
R
Z
I
N
7
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Aula 02
2. Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais
2.1. Sinais Resultantes nas Operações
2.1.1. Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração
( + ) com ( + ) dá ( + ).
Veja: + 3 + 4 = 7
Obs. Quando é positivo, podemos deixar sem o sinal na resposta.
( - ) com ( - ) dá ( - ).
Veja: - 3 - 4 = - 7
(+) com ( - ) pode dar ( + ) ou ( - ).
+ 3 − 5 = −2 
Veja: 

+ 3 − 1 = +2 = 2
( - ) com ( + ) pode dar ( + ) ou ( - ).
− 3 + 5 = +2 = 2
Veja: 


− 3 + 2 = −1
2.1.2. Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão
( + ) com ( + ) dá ( + ).
+ 3 ⋅ (+2) = 3 ⋅ 2 = +6 = 6 
Veja: 

+ 6 ÷ (+2) = 6 ÷ 2 = +3 = 3
Obs. Quando o número é positivo, podemos deixar sem o sinal na multiplicação e
divisão.
( - ) com ( - ) dá ( + ).

− 3 ⋅ (−2) = +6 = 6
Veja: 

− 3 ÷ (−2) = +1,5 = 1,5
( + ) com ( - ) dá ( - ).
+ 3 ⋅ (−2) = −6 
Veja: 

+ 6 ÷ (−2) = −3
( - ) com ( + ) dá ( - ).
− 3 ⋅ (+2) = −6 
Veja: 

− 6 ÷ (+2) = −3
9
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Aula 02
Nos símbolos de multiplicação e divisão podemos usar:

 axb = a ⋅ b = ab
−1
a ÷ b = a / b = a ⋅ b
a
−a

=

b
−b
Multiplicação
Divisão
Deixar o sinal negativo da fração, quando tiver,
sempre no numerador.
2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais.
1º) Todo o número elevado ao expoente zero vale (1).
a0 = 1
Veja:
2 = 1 ; (− 2 )
0
0
0
3
= 1;   = 1 ;
5
( 2)
0
=1
2º) Não tem divisão de número por zero
Veja:
7
= ? (impossível, confira na calculadora).
0
a
= (impossível )
0
3º) Zero dividido por qualquer número dá zero.
Veja:
0
= 0 (confira na calculadora).
7
0
=0
a
4º) Não tem raiz quadrada ou de índice par de números negativos.
Índice par
n
−a ∉R
Índice (2) não se escreve
−4∉R
Não tem solução em R
Não pertence ao conjunto dos Reais
10
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Aula 02
Índice par
−4∉R
4
Obs. Cuidado, se o índice for impar, tem raiz. Veja:
Índice impar
− 8 = −2
3
5º) Um número negativo elevado ao quadrado ou expoente par, o resultado fica positivo.
expoente par
(− a )n
>0
Maior que zero (positivo)
Veja:
(− 2)2 = (− 2) ⋅ (− 2) = +4 = 4
(− 3)4 = 81
2
Cuidado: (− 2 ) ≠ −2 2
(− 2 )2 = (− 2 ) ⋅ (− 2 ) = 4
É diferente, pois:  2
− 2 = −2 ⋅ 2 = −4
3
(− 2) = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) = −8 (número negativo elevado ao expoente impar, o resultado fica
negativo).
6º) Potência de potência, multiplicamos os expoentes.
Veja:
(a )
m n
= a m⋅n
−4
−8
2  −4 
2
⋅
5


 2  3 
 2  3  5   2  15
= 
 3   =  3 
 
3
  


7º)Uma potência troca de sinal quando muda de posição subindo para o numerador ou descendo
para o denominador.
an =
1
a −n
Veja:
a) 2 −3 =
b)
a −n =
1
an
1
23
1
= 35
−5
3
11
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8º) O expoente de uma fração muda de sinal quando invertemos a fração.
n
−n
a
b
a
  =   ou  
b
a
b
−n
b
= 
a
n
Veja:
3
 
4
−2
2
16  1 
4
=  = ;  
9 2
3
−3
3
2
=  =8
1
9º) Equivalência - potenciação - radiciação (como tirar do radical e retornar)
n
m
am = a n
Veja:
a)
2
5
3 =3
3
b)
7
5
2
3
 2 7
2
  = 
3
3
1
5
c) 7 = 5 71 = 5 7
10º) Para somar e subtrair frações precisamos reduzir ao mesmo denominador. Veja:
a)
2 4
+
4 5
Achando o m.m.c (mínimo múltiplo comum) de 4 e 5, fatoramos assim:
4 5 2
2 1 2
1
5
Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20
20 é o m.m.c de 4 e 5.
2 4 10 + 16 2/ 6/ 13
+ =
=
=
4 5
20
2/ 0/ 10
÷2
÷2
12
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Aula 02
Divide 20 pelo denominador 4 e a resposta que dá ( 5 ) multiplica pelo numerador 2 dando 10 etc.
 26 
Ao simplificar   você deve dividir o numerador e o denominador por um mesmo número.
 20 
b)
3 7 12 − 35 − 23
−
=
=
15 12
60
60
m.m.c de 15 e 12:
15 12 2
5 6
2
1 3
3
1
5
Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60
c)
4
−2
3
logo, o m.m.c de 2, 1, 5 é:
− 2 + lembre que − 2 =
2
5
1
2 1 5
2
1 1 1
5
Logo: m.m.c = 2 ∙ 5 = 10
4 15 − 20 + 8 3
3
−2+ =
=
2
5
10
10
11º) Para multiplicação de frações, multiplicamos numerador pelo numerador e denominador pelo
denominador. Veja:
a)
2 4 8
⋅ =
3 5 15
b) − 8 ⋅
3 − 24
=
7
7
Lembre que − 8 =
−8
1
÷4
2  − 2  1 − 4/ − 1
c) ⋅ 
=
⋅ =
5  3  4 6/ 0/ 15
÷4
13
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12º) Para dividir frações multiplicamos a 1º fração pela inversa da 2ª fração. Veja:
÷2
2
2 5 1/ 0/ 5
2 4 2 5 1/ 0/ 5
a) ÷ = ⋅ =
ou 3 = ⋅ =
=
=
4 3 4 1/ 2/ 6
3 5 3 4 1/ 2/ 6
5
÷2
3
 − 5  15
−2
b) 3 ÷ 
lembre que 3 =
=
 = 3⋅
1
 2  2
 5 
c)
−3
−2
− 2  −1 2
lembre que -3 =
÷ (− 3) =
⋅  =
1
5
5  3  15
13º) Na multiplicação de potências de mesma base permanece a base e somam-se os expoentes
a m ⋅ a n = a m⋅n (a = base; m e n = expoentes). Veja:
a) 35 ⋅ 37 = 35+ 7 = 312
3
5
b) 2 ⋅ 2
−2
3
−1
=2
3 2
−
5 3
=2
1
9 −10
15
 2  22  2
c)   ⋅   =  
3
3 3
−1+
=2
1
2
1
15
= 15 2
2
= 
3
−2 +1
2
−1
1
 2 2  32
=  =  =
2
3
3
2
d) 10 2 ⋅ 10 −12 = 10 2−12 = 10 −10
14º) Na divisão de potências de mesma base permanece a base e subtraem-se os expoentes
a m ÷ a n = a m − n (a = base; m e n = expoentes). Veja:
a) 35 ÷ 37 = 35−7 = 3 − 2 =
1 1
=
32 9
5 −7
b) 3 = 5 −7 −3 = 5 −10
5
−2
−4
−2  −4 
−

 5 
2 3 2 5 2 3
c)   ÷   =  
3
3
3
d)
−2 4
+
5
2 3
= 
3
2
= 
3
−10+12
15
2
 2  15
= 
3
1010
= 1010−15 = 10 −5
15
10
15º) Decimal Exata: valor resultante de uma operação divisão de resto zero. Veja:
14
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a)
2
= 0,4 → tem uma casa decimal (casa depois da vírgula)
5
b)
1
= 0,25 → tem duas casas decimais
4
Aula 02
c) 2,353 → tem três casas decimais
Para obter a fração que deu origem (geratriz) a uma decimal exata, fazemos:
• Numerador: colocamos o número todo sem a vírgula.
• Denominador: colocamos 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais (casas
depois da vírgula). Veja:
4/
2
a) 0,4 =
=
1/ 0/ 5
b) 0,25 =
2/ 5/
1
=
1/ 0/ 0/ 4
c) 2,353 =
2353
1000
16º) Dízima Periódica Simples: valor resultante de uma operação divisão que não dá exata e logo
depois da vírgula aparece um número que se repete, denominado de período. Veja:
a) 0,33... Também representado por 0, 3
b) 0,272727...ou 0, 27
c) 2,444... ou 2, 4
Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica simples fazemos:
Numerador: Colocamos o período (parte que se repete)
Denominador: Colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Veja:
3/ 1
a) 0,33 = =
9/ 3
27 9
3
b) 0,272727... =
=
=
99 33 11
5 18 + 5 23
c) 2,555... = 2 + 0,555... = 2 + =
=
9
9
9
Parte inteira não entra na regra.
15
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Aula 02
17º) Dízima Periódica Composta: Valor resultante de uma operação que não dá exata e depois da
vírgula aparece uma parte que não se repete (parte não periódica) seguida de um período (parte que
se repete). Veja:
a) 0,4333...
Parte não periódica (que não se repete) (4)
Parte periódica (que se repete) (3)
Não periódica (23)
b) 2,23717171...
Periódica (71)
Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica composta, fazemos:
Numerador: colocamos a parte não periódica seguida de um período menor, a parte não
periódica.
Denominador: colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período seguido de
tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Veja:
Parte não periódica
Periódica
Parte não periódica
43 − 4 3/ 9/ 13
a) 0,4333... =
=
=
90
9/ 0/ 30
Um zero só, pois a parte não periódica só é
constituída de um algarismo que é o 4.
Um nove só, pois a parte periódica só é
constituída de um algarismo que é o 3.
Parte não periódica (23)
Período (71)
2371 − 23
2/ 3/ 4/ 8/
1/ 1/ 7/ 4/
587
587
b) 2,23717171... = 2 +
= 2+
= 2+
= 2+
⇒ 2+
9900
9/ 9/ 0/ 0/
4/ 9/ 5/ 0/
2475
2475
4950 + 587 5537
Parte inteira não entra na regra (2)
=
2475
2475
16
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Aula 03
3. Operações e Suas Inversas
Para resolver problemas e calcular valores desconhecidos denominados incógnitas ou variáveis
necessitamos conhecer algumas regras de relação entre as operações. Assim temos:
inversa
inversa
Adição
Subtração
inversa
Multiplicação
Divisão
inversa
inversa
Potenciação
inversa
Radiciação
inversa
Logaritmação
inversa
Para isolar vaiáveis determinando assim seus valores, fazemos operações inversas. Para trocar de
membro um valor qualquer, fazemos operação inversa. É errado dizer que trocamos de sinal quando
passamos para outro membro. O certo é dizer que fazemos operação inversa.
1º Membro à esquerda
da igualdade
3.1.
inversa
=
inversa
2º Membro à direita
da igualdade.
Regra das Operações Adição e Subtração
Adição
inversa
Subtração
Veja os exemplos:
a) x + 4 = 12 : isolando o x, passamos o (+ 4 ) que está fazendo adição(somando) com o ( x ) para o
segundo membro fazendo operação inversa, isto é, subtração. Logo:
x = 12 – 4
17
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Aula 03
x=8
b) x - 7 = 17 isolando o x, passamos o 7 que está subtraindo para o 2º membro onde estará somando
fazendo assim operação inversa. Logo:
x = 17 + 7
x = 24
c) 20 - x = 30, passando +20 para o 2º membro, como estava somando, passa subtraindo.
20 - x = 30
- x = 30 – 20
- x = 10
Em (-x) o valor do x isolado deve sempre ficar positivo. Para tanto, podemos multiplicar por (- 1) os
dois membros da igualdade.
- x = 10 (-1)
x = -10
3.2.
Regra das Operações Multiplicação e Divisão
Multiplicação
inversa
Divisão
Veja os exemplos:
a) 2 x = - 14: isolando o ( x ), passamos o ( +2 ) que está multiplicando o ( x ) para o segundo
membro fazendo operação inversa, isto é, dividindo.
− 14
⇒ x = −7
Logo: x =
2
2x
= 4 isolando o ( x ), passamos o ( +3 ) que está dividindo para o 2º membro multiplicando,
3
operação inversa. Veja: 2 x = 3 ⋅ 4 ⇒ 2 x = 12 e o 2 que está multiplicando o x para o 2º membro
dividindo, operação inversa.
12
x=
⇒x=6
2
b)
c)
− x + 2 4x − 4
2
=
− 2 achando o m.m.c. de 3, 8 e 1, pois 2 =
3
8
1
18
Matemática Básica
Aula 03
3 8 1 2
1 4 1 2
2
2
1
3
Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24
− 8 x + 16 12 x − 12 − 48
Mesmo denominador em ambos os membros podemos
=
⇒
simplificar.
24
24
− 8 x − 12 x = −16 − 12 − 48 ⇒ Passamos os termos semelhantes em x para o 1º membro e os
números para o 2º membro fazendo operações inversas.
− 20x = −76 ⇒ Multiplicando por (-1) ambos os membros temos.
− 20 x = −76 (-1)
20x = 76 ⇒ Isolando o x, passamos o (+ 20) que está multiplicando o x para o 2º membro dividindo
7/ 6/ 3/ 8/ 19
e depois simplificamos: x =
=
=
2/ 0/ 1/ 0/
5
3.3.
Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação
inversa
Potenciação
inversa
Radiciação
inversa
inversa
Determinar (b) é calcular o logaritmo (log)
b
a =c
Logaritmação
Determinar o (c) é calcular a potência
Determinar o (a) é calcular a raiz
(isola a potência)
x = a b ⇒ Potenciação
x b = c ⇒ x = b c ⇒ Radiciação (isola a base)
Aplicando radiciação
b
( c )em ambos os membros para isolar o x, temos:
b
x b/ = b c de onde obtemos: x = b c
ax = b ⇒ x =
log b
⇒ Logaritmação (isola o expoente)
log a
19
Matemática Básica
Aula 03
Aplicando logaritmação (log) em ambos os membros para isolar o x, temos: log a x = log b onde,
usando uma propriedade dos logaritmos, podemos escrever x log a = log b de onde obtemos:
log b
x=
.
log a
Propriedades dos logaritmos.
1) log x ⋅ y = log x + log y
x
2) log = log x − log y
y
3) log x m = m log x
Quando a base é 10, não representamos. log 10 A = log A
Para números fatoráveis, calculamos estes valores como segue. Veja o exemplo.
a) 2 3 = x ⇒ x = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⇒ x = 8 ⇒ Potência
b) 2 x = 8 ⇒ 2 x = 2 3 ⇒ Mesma base igualamos os expoentes.
Fatorando (8)
8 2 
4 2 
3
⇒2
2 2 

1
Logo: x = 3 ⇒ Logaritmo
c) x 3 = 8 ⇒ x 3 = 2 3 ⇒ Mesmo expoente igualamos as bases. Logo: x = 2 ⇒ raiz .
Obs. 8 (fatorando) = 8 = 2 3
Quando não for possível concluir a resposta pelo método da fatoração, usamos a calculadora
cientifica ou as tabelas produzidas para esta finalidade. Veja alguns exemplos usando a calculadora
cientifica.
a) 2 3 = x
x=8
Tecla: 2
Tecla: yx ou ∧
Tecla: 3
Tecla: =
b) 2 x = 8
log 8
x=
log 2
x=3
Tecla: log ou ln
Tecla: 8
Tecla: ÷
Tecla: log ou ln
Tecla: 2
Tecla: =
20
Matemática Básica
Aula 03
Obs. Nesta seqüência ou com pequenas mudanças para diferentes marcas de calculadoras. Pode
usar a calculadora padrão do Windows (Iniciar > Executar > Calç). Configure para ter opções da
calculadora científica (no menu Exibir > Científica)
c) x 3 = 8
x=3 8
x=2
Tecla: 3
Tecla: 2ndF ou Shift
Tecla: x
Tecla: 8
Tecla: =
Resolvendo outros exemplos:
d) 21,5 = x
x = 2,828427...
Tecla: 2
Tecla: yx ou ∧
Tecla: 1,5
Tecla: =
e) 2 −1,5 = x
Tecla: 2
Tecla: ∧ ou y x
Tecla: 1,5
Tecla: ±
Tecla: =
f) x 2,5 = 4,7 ou x = 2,5 4,7
g) 2 x = 3 ou x =
log 3
= 1,584962...
log 2
h) 1,5 x = 19,7
log 19,7
x=
= 7,35
log 1,5
Tecla: 2,5
Tecla: 2ndF ou Shift
Tecla: x
Tecla: 4,7
Tecla: =
Tecla: log
Tecla: 3
Tecla: ÷
Tecla: log
Tecla: 2
Tecla: =
Tecla: log
Tecla: 19,7
Tecla: ÷
Tecla: log
Tecla: 1,5
Tecla: =
21
Matemática Básica
Aula 03
i) Veja a utilidade de saber isolar variável fazendo operações inversas para obter fórmulas. Dada a
fórmula do montante no sistema de capitalização composta M = C (1 + i ) t
M = Montante no final do período de aplicação
C = Capital
i = Taxa
t = Tempo de aplicação
Isolar cada uma das variáveis M, C, i, t utilizando operações inversas.
1º) Para calcular o (M) a fórmula já está pronta, pois o mesmo já está isolado: M = C (1 + i ) t
2º) Para calcular (C) passamos (1 + i) t que está multiplicando o C para o outro lado (membro)
M
dividindo. Logo: C =
(1 + i ) t
3º) Para calcular o (t) que é expoente, usamos logaritmos. Em M = C (1 + i ) t passamos o (C) que
M
t
está multiplicando para o outro lado dividindo, ficando assim:
= (1 + i ) . Agora aplicamos
C
M
log
C
logaritmo em ambos os membros e depois isolamos o (t). Veja: t =
log(1 + i )
4º) Para calcular o (i) que é base, usamos radiciação. Em M = C (1 + i ) t passamos o
(C) para o
M
t
outro lado, ficando assim: (1 + i ) =
. Agora aplicamos radiciação isolando o (i). Veja:
C
M
M
1− i = t
⇒i=t
−1
C
C
Notou como precisamos das (sete) 7 operações para trabalhar com esta fórmula mais usada no
mundo dos juros e montante composto.
22
Matemática Básica
Aula 04
4. Prioridades nas Operações
(Quem resolver primeiro?).
Quando as (sete) 7 operações estão aparecendo em parte ou todas numa mesma expressão numérica
ou algébrica com: ( ), [ ], { }, devemos dar a seguinte preferência de resolução: 1º ( ), 2º [ ], 3º { }, e
dentro de cada um desses símbolos, ou mesmo na ausência deles, devemos resolver na seguinte
ordem:
(1º) lugar: Potenciação – Radiciação – Logaritmação na ordem que aparecem da esquerda para a
direita.
(2º) lugar: Multiplicação e Divisão na ordem que aparecem.
(3º) lugar: Adição e Subtração na ordem que aparecem.
Exemplos:
a) 2 − 4 ⋅ 2 + 5 ÷ 2 3 − 4 − 4 log 100 − 3 8
8
2
2
1º lugar (potenciação, radiciação, logaritmação)
2 − 4⋅2 + 5÷8− 2 − 4⋅2 − 2
8
0,625
8
2º lugar (multiplicação, divisão)
2 − 8 + 0,625 − 2 − 8 − 2 = −17,375
3º lugar (adição e subtração)
b) 3 2 + 4 ÷ 2 − 16 ÷ 4 2 − log 8 − 3 − 5 ⋅ 4 ÷ 2
4
16
0,9031
1º lugar
3 2 + 4 ÷ 2 − 4 ÷ 16 − 0,9031 − 3 − 5 ⋅ 4 ÷ 2
9
2
0,25
-10
2º lugar
9 + 2 − 0,25 − 0,9031 − 3 − 10 = −3,1531
3º lugar
23
Matemática Básica
{ [ (
Aula 04
)] }
c) 3 ⋅ − 4 ⋅ − 5 3 2 − 2 4 − 2 ÷ 4 − 3
1º lugar (parênteses)
3 ⋅ {− 4 ⋅ [− 5(9 − 2 ⋅ 2 − 0,5)] − 3}
3 ⋅ {− 4 ⋅ [− 5(9 − 4 − 0,5)] − 3}
3 ⋅ {− 4 ⋅ [− 5(4,5)] − 3}
2º lugar (colchetes)
3 ⋅ {− 4 ⋅ [− 22,5] − 3}
3 ⋅ {90 − 3}
3º lugar (chaves)
3 ⋅ {87} = 261



1  2 1 
d) 4 + 2 32 −  −  + 2 + 16
4 3 8 



m.m.c de 3 e 8 é 24



1  16 − 3  
 + 2 + 16
4 + 2 32 − 
4  24  






1  13  
4 + 232 −   + 2 + 16
4  24  





13


+ 2 + 16
4 + 232 −
96




m.m.c de 1; 96;1 é 96


 3072 − 13 + 192 
+ 16
4 + 2 

96






 3251
+ 16
4 + 2/ 

 9/ 6/ 


3251
3251 + 960 4211

 3251
+ 16 =
+ 20 =
=
4 +
48
48
48
48


24
Matemática Básica
Aula 05
5. Relações e Funções
As relações e funções são fórmulas úteis na análise e solução de problemas no nosso dia a dia. Todo o
controle bancário, a análise da economia, os cálculos de engenharia, estatística, enfim, tudo o que
envolve aspectos quantitativos usa de alguma forma relações e funções. O que a matemática denomina
de ( x ) e ( y ) => variáveis e a, b, c => coeficientes, as outras áreas do conhecimento atribuem outros
nome. Veja um exemplo só:
y = ax + b ⇒ Função do 1º grau em matemática
a, b ⇒ coeficientes
x, y ⇒ variáveis
x ⇒ independente(livre)
y ⇒ dependente (depende de x)
As fórmulas a seguir também são funções do 1º grau que resolvem problemas nas diversas áreas de
conhecimentos.
V = at + Vo ⇒ Função da velocidade no MRUV
S = Vt + S o ⇒ Função da posição no MRU
D = aP + b ⇒ Função demanda de mercado
S = aP + b ⇒ Função oferta de mercado
C = aq + b ⇒ Função custo
Etc., etc., etc. Como você percebe, cada relação e função têm infinitas aplicações no nosso
quotidiano produzindo respostas numéricas e permitindo análises gráficas no plano cartesiano.
5.1.
Plano Cartesiano
O plano cartesiano possui dois eixos perpendiculares entre si denominados de eixo (x) (abscissas) e
eixo (y) (das ordenadas) e os dois eixos permitem estabelecer as coordenadas de cada ponto.
Ordenada (y)
y
(a, b)
Coordenadas do ponto (P)
Abscissa (x)
P
b
x
a
25
Matemática Básica
Aula 05
Vejamos a localização de alguns pontos.
P( x,y)
y
C ( 0, 4 )
6
B(4,2)
4
D ( -3, 6 )
2
-6
-4
-3
0
4
F ( -4 , 0)
x
A ( 0 ,0 )
-5
E ( -6 , -5)
5.2.
Função do 1º Grau
É uma relação do tipo y = ax + b cujo gráfico no plano cartesiano é uma reta.
a => Coeficiente angular ou declividade da reta em relação ao eixo ( x )
b => Coeficiente linear, onde a reta corta o eixo ( y )
y
y
a<0
a>0
x=
crescente
a=0
b
x
b
y
x
b
x
decrescente
x
constante
x
−b
⇒ raiz, onde a reta corta o eixo ( x )
a
26
Matemática Básica
Aula 05
Para traçar o gráfico no plano cartesiano podemos usar um dos métodos a seguir:
1º Método: Atribuindo de forma arbitrária (livre) valores para x e depois calculando os valores de y
(método da tabela)
2º Método: Determinando alguns pontos importantes como os pontos de intersecção com os eixo (x)
e (y) e outras propriedades dos gráficos que veremos a seguir.
1º) Atribuindo valores para (x) e calculando (y), temos:
Exemplo (1) y = 2 x − 6
b=-6
a=2
1º Método: Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a reta basta dois valores (pontos)
x
0
1
y
− 6 ⇒ y = 2 ⋅ 0 − 6 = −6
− 4 ⇒ y = 2 ⋅ 1 − 6 = −4
y
x
-4
-6
(1,-4)
(0,-6)
Ou escolha outros que achar mais fácil e útil e determine os correspondentes em (y).
2º Método: Determinando os pontos de intersecção com os eixos.
Em y = ax + b ⇒ O coeficiente linear (b) é sempre o ponto de intersecção da reta com o eixo (y)
Em y = 2 x − 6 ⇒ b = −6
Em y = ax + b ⇒ Fazemos y = 0 e isolando x o valor encontrado é sempre o ponto de intersecção
da reta com o eixo x que denominamos de raiz. Logo:
y = ax + b
ax + b = 0
ax = −b ⇒ x =
−b
⇒ raiz ou ponto de intersecção da reta com o eixo x.
a
a = 2
Em y = 2 x − 6 ⇒ 
b = −6
x=
− b − (− 6 )
=
= 3 ⇒ raiz
a
2
27
Matemática Básica
Aula 05
Com os valores obtidos podemos traçar o gráfico
y
a = 2 > 0 função crescente pois:
x => cresce
y => cresce
Note que:
y = ax + b
y = 2x - 6
a = 2 > 0 => indica que a função é crescente -6
x
3
Exemplo (2) y = -3x + 8
1º Método
x
0
3
y
(0,8)
y
8 ⇒ y = −3 ⋅ 0 + 8 = 8
− 1⇒ y = −3 ⋅ 3 + 8 = −1
8
3
x
(3,-1)
-1
2º Método:
b = 8 ⇒ Intersecção com o eixo (y)
y = −3 x + 8 
−b −8

y = ax + b  x =
=
= +2,66... ⇒ Intersecção com o eixo (x) ou raiz
a
−3

a = −3 < 0 ⇒ Função decrescente, pois:
x => cresce
y => decresce
y
8
2,66...
8/3
x
28
Matemática Básica
Aula 05
y
Exemplo (3) y = 4 x ⇔ y = 4 x + 0
1º Método:
x
−1
1
y
4
y
− 4 → y = 4 x/ ⋅ (−1) = −4
4→
y = 4 ⋅1 = 4
-1
x
1
-4
2º Método:
b = 0 ⇒ Intersecção com o eixo (y)

−b −0

 x = a = 4 = 0 ⇒ Intersecção com o eixo (x) raiz
y
a = 4 > 0 ⇒ Função crescente, pois:
x => cresce
y => cresce
y = 4x + 0
y = ax + b
x
0
Exemplo (4) y = 6 ⇔ y = 0 x + 6
y
1º Método:
x
0
y
6→ y = 0⋅0 + 6 = 6
1
6 → y = 0 ⋅1 + 6 = 6
6
0
1
x
29
Matemática Básica
Aula 05
2º Método:
y = 6 ou y = 0x + 6
y
b = 6 ⇒ Intersecção (y)

−b −6

 x = a = 0 ⇒ (impossível )
Logo a reta não tem raiz, não corta o eixo (x),
É paralela a este eixo
a = 0 ⇒ função constante pois:
x => cresce
y => constante (valor sempre 6)
5.3.
6
x
Função do 2º grau ou quadrática
É uma relação do tipo: y = ax 2 + bx + c cujo gráfico no plano cartesiano é uma curva denominada
de parábola.
c => indica onde a parábola corta o eixo (y)
a => indica: se a > 0: CVC = Concavidade Voltada para Cima. Se a < 0: CVB = Concavidade
Voltada para Baixo.
CVC
CVB
−b± ∆
x' = x" =
⇒
2a
Fórmula de Báscara onde
∆ = b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
x’ e x”, indica onde a parábola corta o eixo (x) que denominamos de
raízes.
xV =
−b
2a
yV =
−∆
4a
30
Matemática Básica
Aula 05
(Xv, YV) => indica as coordenadas do vértice da parábola.
y
yv
c
x’
xv
x
x”
Podemos aqui também traçar o gráfico da parábola usando um dos métodos já vistos.
1º Método:
Método da tabela, atribuindo valores para (x) e calculando correspondentes em y.
2º Método:
Método dos pontos importantes e propriedades.
Vamos traçar alguns gráficos pelos dois métodos.
Exemplo (1)
y = ax 2 + bx + c
2
y = x + x−6
 a =1

 b =1
c = −6

1º Método:
Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a parábola precisamos de diversos pontos. E este
método não é o mais recomendado, pois não garante o traçado completo da parábola.
31
Matemática Básica
Aula 05
y
7
6
x
-2
2
-4
3
-4
x
y
2
6 → y = (−4) − 4 − 6 = 6
2
− 4 → y = (−2) − 2 − 6 = −4
2
− 6 → y = (0) + 0 − 6 = −6
0 → y = ( 2) 2 + 2 − 6 = 0
7 → y = (3) 2 + 4 − 6 = 7
−4
−2
0
2
3
1º Método:
Os pontos importantes e propriedades
y = ax 2 + bx + c
 a =1

y = x + x−6
 b =1
c = −6

a) C = -6 => Ponto onde a parábola corta o eixo (y)
b) raízes => Ponto onde a parábola corta o eixo (x)
∆ = b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
∆ = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6) = 25
2
−1− 5

'
=
= −3
x
− 1 ± 25 − 1 ± 5
−b± ∆

2
=
⇒
x' = x" =
⇒ x=
2a
2 ⋅1
2
 x" = − 1 + 5 = 2

2
c) vértice:
− b −1 −1
= −0,5
=
=
xV =
2a 2 ⋅ 1 2
− ∆ − 25 − 25
=
=
= −6,25
yV =
− 4a 4 ⋅ 1
4
32
Matemática Básica
Aula 05
d) a = 1 > 0: CVC
Juntando as conclusões a, b, c, d traçamos a parábola.
y
x
-0,5
2
-3
6
-6,25
Exemplo (2)
y = −2 x 2 − 3 x + 5
Resolvendo só pelo 2º método
a) c = 5 => ponto de intersecção da parábola com o eixo (y)
b) raízes => intersecção da parábola com o eixo (x)
∆ = b 2 − 4ac
∆ = (−3) 2 − 4 ⋅ (−2) ⋅ 5 = 9 + 40 = 49
− b ± ∆ − (−3) ± 49 3 ± 7
=
=
2a
2 ⋅ (−2)
−4
3+7
x' =
= −2,5
−4
3−7
x" =
=1
−4
c) vértice
3
− b − ( −3)
−3
xV =
=
=
=
= −0,75
2a 2 ⋅ ( −2) − 4
4
−∆
− 49
− 49
yV =
=
=
= +6,125
− 4a 4 ⋅ (−2)
−8
x=
6,125
5
CVB
-2,5
-0,75
1
a) a = -2 < 0: Logo CVB
Exemplo (3)
y = 4x 2 note que é uma função do 2º grau incompleta, pois para y = ax 2 + bx + c faltam os termos
bx e c, onde concluímos que:
a=4
b=0
c=0
33
Matemática Básica
Aula 05
Podemos traçar o gráfico usando o 1º método (tabela) atribuindo valores ou o 2º método (pontos
principais e propriedades). Vamos usar o 2º método.
a) c = 0 => onde a parábola intercepta o eixo (y)
b) Raízes: onde intercepta o eixo (x)
∆ = b 2 − 4ac = 0 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 0 = 0
−b± ∆ −0± 0 0±0 0
x=
=
=
= =0
2a
2 ⋅ (4)
8
8
y
c) vértice
−b −0 −0
=
=
= −0
xV =
CVC
2a 2 ⋅ 4
8
−∆
−0 −0
=
=
=0
yV =
− 4a 4 ⋅ 4 16
x
d) a = 4 > 0 : CVC logo
5.4.
Função Exponencial
x
É uma relação do tipo y = a cujo gráfico depende do valor de (a).
Se a > 1, temos gráfico do tipo:
y
Crescente.
1
x
Se 0 < a< 1, temos gráfico do tipo:
Decrescente.
y
1
x
34
Matemática Básica
Aula 05
Exemplo (1)
y = 2x
Usando o 1º método (da tabela) atribuímos valores para (x) e calculamos (y).
x
y
1 1
= = 0,25
22 4
1 1
−1
0,5 → y = (2 ) = 1 = = 0,5
-1
2
2
0
0
1 → y = (2) = 1
1
2 → y = (2)1 = 2
Crescente
x => cresce
y => cresce
-2
0,25 → y = (2) − 2 =
2
1
-2
-1
0,5
0,25
1
Exemplo (2)
x
1
y=  :
2
Usando o método da tabela temos:
x
y
1 1
0,25 → y = (2) − 2 = 2 = = 0,25
-2
4
2
1 1
−1
0,5 → y = (2 ) = 1 = = 0,5
-1
2
2
0
0
1 → y = (2) = 1
1
2 → y = (2)1 = 2
Decrescente
x => cresce
y => decresce
4
2
1
0,5
-2
-1
1
35
Matemática Básica
5.5.
Aula 05
Função Logarítmica
É uma relação do tipo
tipo:
y = log a x
cujo gráfico depende do valor de (a) se a > 1, obtemos gráfico do
y
crescente
1
x
Se 0 < a < 1, obtemos gráfico do tipo:
y
decrescente
1
x
Exemplo: y = 2 log10 x = 2 log x usando o 1º método (da tabela) atribuindo valores para x, temos:
Usando (log) na calculadora científica.
x
y
10 1 → y = 2 log 10 = 2 ⋅ 1 = 2
1
0 → y = 2 log 1 = 2(0) = 0
0,1 − 2 → y = 2 log 0,1 = 2 ⋅ (−1) = −2
0,01 − 2 → y = 2 log 0,01 = −4
0,01
0,1
2
1
10
-2
-4
36
Matemática Básica
Aula 05
São infinitas as relações funções e para cada uma delas corresponde um gráfico. Vejamos só mais
uma.
5.6.
Funções Trigonométricas
Exemplo: y = 10 sen( x)
Ângulo
Seno
Pelo método da tabela temos:
X
0º
90º
180º
270º
360º
450º
540º
630º
720º
Y
y = 10 sen 0º = 10 (0) = 0
y = 10 sen 90º = 10 (1) = 10
y = 10 sen 180º = 10 (0) = 0
y = 10 sen 270º = 10 (-1) = -10
y = 10 sen 360º = 10 (0) 0
y = 10 sen 450º = 10 (1) = 10
y = 10 sen 540º = 10 (0) = 0
y = 10 sen 630º = 10 (-1) = -10
y = 10 sen 720º = 10 (0) = 0
y
10
x
0
90
180
270
360
450
540 630
720
-10
37
Matemática Básica
Aula 06
6. Soluções de Sistemas de Equações
Resolver sistemas de equações significa determinar os valores de (x, y) que atendem
simultaneamente ao sistema, ou seja, se são comuns às funções. Graficamente significa determinar
o ponto de intersecção das curvas das funções colocadas no mesmo plano cartesiano.
y1
y
x
x campo da matemática de pontos comuns como:
São inúmeras as aplicações deste
• Equilíbrio oferta-demanda
y2
• Ponto de nivelamento custo-receita
• Ponto de encontro (cruzamento) de corpos em movimento
• Pontos de mesma velocidade, aceleração, inflação, etc.
São muitos os métodos utilizados para a solução de sistemas. Os básicos são:
• Método da adição
• Método da substituição
• Método da comparação
Exemplo (1) Resolva o sistema e represente no plano cartesiano.
2x - y = 6
- x + 3y = - 2
Resolvendo pelo método da adição, multiplicamos a 2ª equação por (2) para que, somando com a
1ª, possamos eliminar uma das variáveis.
2 x − y = −6
2/ x/ − y = −6
− 10
⇒
⇒ 5 y = −10 ⇒ y =
⇒ y = −2

5
− x + 3 y = −2 ⇔ ⋅(2)
− 2/ x/ + 6 y = −4
Substituindo o valor encontrado em uma das duas equações acharemos x correspondente.
Escolhendo a 1ª temos:
2 x − y = −6
2 x − (−2) = −6
2 x + 2 = −6
2 x = −6 − 2
8
2 x = −8 ⇒ x = ⇒ x = −4
2
Logo: a solução do sistema é (-4, -2)
Para traçar o gráfico das duas funções no mesmo plano cartesiano podemos usar o 1º método
(tabela) ou 2º método (pontos de intersecção com os eixos) já visto. Veja:
Usando o 2º método, isolando (y), temos:
2 x − y = −6 ⇒ − y = −2 x − 6 ⇒ y = 2 x + 6 ⇔ (1ª função)
1
2
− x + 3 y = −2 ⇒ 3 y = x − 2 ⇒ y = x − (2 ª função)
3
3
39
Matemática Básica
Aula 06
b = 6 ⇒ onde corta o eixo (y) para 1ª função
−2
b=
⇒ onde corta o eixo (y) para 2ª função
3
(−4,−2) ⇒ ponto comum para a 1ª e 2ª função.
1º
6
2º
-4
-2/3
-2
Exemplo (2)
 x − 2 y = 4 ⇒ (1ª )

2 x − y = 2 ⇒ ( 2 ª )
Resolvendo pelo método da substituição, isolamos uma das variáveis de uma das equações e
substituímos na outra.
 x − 2 y = 4 ⇒ x = 2 y + 4 Isolamos (x) da 1ª equação e substituímos na 2ª

2 x − y = 2
Substituindo o (x) por 2y + 4 na 2ª equação.
2(2 y + 4) − y = 2
−6
4 y + 8 − y = 2 ⇒ 3 y = 2 − 8 ⇒ 3 y = −6 ⇒ y =
⇒ y = −2
3
Agora substituímos y = -2 em x = 2y + 4. Para determinar (x), teremos:
x = 2 (-2)+4 = -4+4=0 logo (0, -2) é a solução do sistema(intersecção das retas).
Para traçar o gráfico, podemos isolar o (y) nas duas equações e achar as raízes (onde cada uma corta
o eixo x)
1

 x − 2 y = 4 ⇒ −2 y = − x + 4 ⇒ y = x − 2
2

2 x − y = 2 ⇒ − y = −2 x + 2 ⇒ y = 2 x − 2
1
− b − (−2)
; b = −2 ⇒ x =
=
= 4(1º função)raiz onde corta o eixo x
1
2
a
2
− b − (−2)
a = 2; b = −2 ⇒ x =
=
= 1(2º função)raiz onde corta o eixo x
a
2
(0, -2) => ponto comum para a 1ª e 2ª função
a=
40
Matemática Básica
Aula 06
y
2º f
1º f
1
x
4
-2
Exemplo (3) Determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio para as seguintes funções
de demanda e oferta.
 D = 34 − 5 p
 y = 34 − 5 x = −5 x + 34
ou 

S = −8 + 2 p
 y = −8 + 2 x = 2 x − 8
D = y
Pois 
p= x
D => demanda (procura, compra de bens e serviços)
S => oferta (venda de bens e serviço)
P => preço por unidade
Resolvendo pelo método da comparação, igualamos:
D=S
34 – 5p = -8 +2p
-5p -2p = -8 -34
-7p = -42
P = 6 substituindo em uma das equações, temos:
D = 34 – 5p
D = 34 – 5 . 6
D = 34 – 30
D=4
Logo, para o preço P = 6 teremos as quantidades de demanda e oferta D = S = 4 em equilíbrio para
a quantidade 4. logo (6, 4) solução do sistema.
S, D
34
D
S
4
-8
6
P
41
Matemática Básica
Aula 07
7. Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias
7.1.
Razão
É uma relação do tipo quociente entre dois valores. Lê-se a para b.
Exemplo (1) Num concurso concorreram para 50 vagas 4000 candidatos. Qual a relação candidatos
vagas?
candidato a 4/ 0/ 0/ 0/ 80
= =
=
vaga
b
5/ 0/
1
São 80 candidatos para dada vaga
Resolução:
Exemplo (2) Um carro de marca (A) vende por mês 200 unidades e da marca (B) 40 unidades. Qual
a razão entre (A) e (B).
A 2/ 0/ 0/ 4
=
= . A relação é de 4 da marca (A) para 1 da marca (B) ou a marca (A) vende
B 5/ 0/
1
4 vezes mais que a marca B.
Resolução:
7.2.
Proporção
a c
= ⇒ a está para b assim como c está para d.
b d
Propriedade das proporções: a . d = b . c
É a igualdade entre duas razões.
7.3.
Números e grandezas proporcionais simples e compostas.
7.3.1.
Diretamente Proporcionais
São diretamente proporcionais quando a razão de cada número da seqüência
A (a1, a2, a3...) pela correspondente da seqüência B (b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (K).
a1 a 2 a3
=
=
= ... = k
b1 b2 b3
No caso de grandezas vale a mesma relação, pois serão diretamente proporcionais se o aumento do
valor de uma leva ao aumento proporcional do valor da outra e então as razões de dois valores de
uma é igual á razão dos dois valores correspondentes a eles na outra.
a1 a 2
a
b
=
⇒ a1b2 = a 2 b1ou 1 = 1
b1 b2
a 2 b2
Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta montagem é
denominada de regra de três simples. No esquema prático, como são grandezas diretamente
proporcionais, as setas terão mesmo sentido.
43
Matemática Básica
Grandeza( A)
↓
a1
a2
Grandeza( B)
↓
b1
b2
Aula 07
a1 b1
=
ou a1b2 = a 2 b1
a 2 b2
Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão dos números (20, x, y) são diretamente proporcionais aos
números da sucessão (4, 2, 1).
20 x
20 x y
Resolução:
= ⇒ 4 x = 2 ⋅ 20 ⇒ 4 x = 40 ⇒ x = 10
= = ⇒
4 2
4 2 1
20 y
= ⇒ 4 y = 20 ⋅ 1 ⇒ y = 5
4
1
Exemplo (2) Cinco metros de um tecido custam R$: 80,00. Quanto custam oito metros?
Resolução: Comprimento (m) preço (R$)
Comprimento(m)
5
↓
8
Preço (R$)
80
↓
x
Setas no mesmo sentido por serem diretamente proporcionais. (quanto maior a compra em metros
maior será o preço)
5 80
640
=
⇒ 5 x = 8 ⋅ 80 ⇒ x =
⇒ x = R$ : 128,00
8 x
5
Exemplo (3) Se um pedreiro rebocar 20m2 de parede em 4 dias, quanto pode rebocar em 25 dias?
Dias
Reboco (m2)
4
20
↓
↓
25
x
4 20
500
=
⇒ 4 x = 20 ⋅ 25 ⇔ x =
= 125m 2
25
x
4
Exemplo (4) Se a distância no mapa, medido com a régua, entre duas cidades é de 10cm e a escala
do mapa é 1/100000, qual a distância real entre elas?
 comprimento(mapa)
1
10cm
escala 
=
=
⇒ 1 ⋅ x = 100000 ⋅ 10cm ⇒ c = 1000000cm = 10km
x
 comprimento(real ) 100000
7.3.2.
Inversamente Proporcionais
São inversamente proporcionais quanto à razão de cada número da seqüência
A (a1, a2, a3,...) pelo inverso de cada número correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem
origem a uma constante (k) ou o produto de cada número da seqüência A (a1, a2, a3,...) pelo
correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (k).
44
Matemática Básica
Aula 07
a1 a 2 a3
=
=
= ... = K ⇔ a1b1 = a 2 b2 = a3 b3 = ...k
1
1
1
b1 b2
b3
No caso de grandezas, vale a mesma relação, pois serão inversamente proporcionais se o aumento
do valor de uma leva a diminuição proporcional do valor da outra e então as razões dos valores de
uma pelo inverso da correspondente é igual a razão da outra pela inversa da correspondente.
a1 a 2
=
ou a1b1 = a 2 b2
1
1
b1 b2
Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta montagem é
denominada de regra de três simples.
No esquema prático, como são grandezas inversamente proporcionais, as setas terão sentidos
contrários.
Grandeza( A)
↓
a1
a2
Grandeza( B)
↑
b1
b2
Para igualar, invertemos a seta da grandeza (B) com seus valores fazendo com que as duas
grandezas apontem para o mesmo sentido.
↓
a1 b2
a
b
↓ ⇒ 1 = 2 ou a1b1 = a 2 b2
a2
b1
a 2 b1
Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão de números (4, x, y) são inversamente proporcionais aos
números da sucessão (9, 12, 36).
Resolução:
4 ⋅ 9 = x ⋅ 12 = y ⋅ 36
4 ⋅ 9 = x ⋅ 12 4 ⋅ 9 = y ⋅ 36
36 = x ⋅ 12
36 = y ⋅ 36
x=3
y =1
Exemplo (2) Três torneiras nas mesmas condições enchem um tanque em 90 min. Quantas torneiras
de mesma vazão que essas seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54 min?
Tempo(m)
90
↓
54
nº torneias
3
↑
x
45
Matemática Básica
Aula 07
Setas em sentido contrário por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, pois diminuindo o
tempo teremos que aumentar o número de torneiras. Invertendo uma das setas para ficarem com
mesmo sentido, temos:
Tempo(m)
90
↓
54
nº torneias
3
↓
x
90 x
= ⇒ 54 x = 90 ⋅ 3 ⇒ x = 5(torneiras )
54 3
7.3.3.
Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais.
Seguem as mesmas regras já vistas para as regras de três simples com grandezas diretas e
inversamente proporcionais. Só que agora uma grandeza varia em dependência com duas ou mais
grandezas.
Exemplo (1) Dez pessoas, trabalhando 5 dias, 6h por dia produzem 400 peças. Quantas pessoas
trabalhando 7dias, 8h por dia produzem 500 peças?
Resolução:
1º Passo: Montamos a tabela com as grandezas do mesmo tipo em coluna
n º Pessoas
n º Dias
n º Horas
n º Peças
10
5
6
400
x
7
8
500
2º Passo: Colocamos uma seta na coluna da variável sentido qualquer e depois comparamos esta
coluna com cada uma das demais colocando seta no mesmo sentido se tratar de grandezas
diretamente proporcionais e sentido contrário se tratar de grandezas inversamente proporcionais,
sem olhar para os números da coluna. Só pense no comportamento da idéia da coluna.
n º Pessoas
n º Dias
n º Horas
n º Peças
10
5
6
400
x
7
8
500
Comentário: Deve-se pensar que (mesmo que os números da tabela não confirmem):
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de dias (setas contrárias).
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de horas (setas contrárias).
Se aumentar o nº de pessoas aumenta o número peças.
3º Passo: Para resolver fazemos todas as setas apontarem no mesmo sentido da coluna da variável
(x)
10
7
8
400
↓
↓
↓
↓
x
5
6
500
46
Matemática Básica
Aula 07
4º Passo: A razão da coluna da variável é igualada a razão do produto das demais colunas.
4
10 7 ⋅ 8/ ⋅ 4/ 0/ 0/
=
⇔ Simplificando
x 5 ⋅ 6/ ⋅ 3/ 0/ 0/
3
10 112
450
=
⇒ 112 x = 10 ⋅ 45 ⇒ x =
⇒ x ≅ 4 (aproximadamente 4 pessoas)
x
45
112
7.3.4.
Porcentagens
É uma razão onde o denominador é 100. Esta forma de “pensar” sobre 100 é muito utilizada no
nosso quotidiano como taxa de impostos, taxa de juros, taxa previdência, etc.
Exemplo (1) 10% de minha produção de soja se perdeu por falta de chuva.
10
10% =
⇒ de cada 100 partes 10 foram perdidas.
100
Exemplo (2) 20% dos alunos tiraram nota superior a 8.
20
20% =
⇒ de cada 100 alunos ou sobre 100 alunos 20 obtiveram nota superior a 8.
100
7.3.4.1.
Taxa de Porcentagem (i)
Razão centesimal é toda a razão com denominador igual a 100
Exemplo:
2
(razão − centesimal ) = 0,02(taxa − unitária ) = 2%(taxa − percentual ) = i
100
2
= 0,02 = 2% ⇒ (lê-se 2 por centro) e representamos i = 2% ou i=0,02 ou i=2/100.
100
7.3.4.2.
Porcentagem
Quando aplicamos uma taxa de porcentagem a um dado valor, o resultado obtido também recebe
um nome especial: porcentagem.
P=i.p
P = Porcentagem
i = Taxa de porcentagem
p = Valor sobre o qual aplicamos uma taxa (valor principal)
Exemplo (1) Quanto é 4% de 750.
Resolução:
47
Matemática Básica
i = 4% =
Aula 07
4
= 0,04
100
p = 750
P=?
P = i ⋅ p ⇒ 0,04 ⋅ 750 = 30
Podemos também usar regra de três simples. Veja:
Taxa ( porcentagem)
100%
Porcentagem
750
x
4%
100 750
3000
=
⇒ 100 ⋅ x = 4 ⋅ 750 ⇒ x =
∴ x = 30
4
x
100
Exemplo (2) Quinze por cento do preço de um objeto é R$: 800,00. Qual o preço desse objeto?
15
i = 15% =
= 0,15
100
p=?
P = 800
P = i ⋅ p ⇒ 800 = 0,15 ⋅ p ⇒ p =
Usando regra de três:
800
= R$ : 5333,33
0,15
15% → 800
15 800
ou
=
100
x
100% → x
80000
15 ⋅ x = 100 ⋅ 800 ⇒ x =
⇒ x = R$ : 5333,33
15
Exemplo (3) Ao pagar uma dívida no valor de R$: 1800, 00, tive que pagar R$ 130,00 de multa. De
quantos por cento foi a multa?
Resolução:
i=?
p = 130
P = 1800,00
P = i ⋅ p ⇒ 130 = i ⋅ 1800 ⇒ i =
130
= 0,072 = 7,2%
1800
Ou regra de três:
1800 → 100%
130 → x
1800 x = 130 ⋅ 100%
x = 7,2%
48
Matemática Básica
7.4.
Aula 07
Média
É a obtenção de um resultado único partindo de uma seqüência de dados com a finalidade de obter
uma informação classificatória ou para comparar com outros valores similares.
7.4.1.
Média Aritmética Simples
Média aritmética simples (XS) é a razão entre a soma dos valores (x1, x2, x3, ...xn) e n (quantidade
destes valores).
XS =
x1 + x 2 + x3 + ...x n
n
Exemplo:
As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram: 1º B = 3; 2º B = 5; 3º B = 6 e 4º B =
8. Qual a média aritmética do ano?
XS =
3+5+6+8
= 5,5
4
7.4.2.
Média Aritmética Ponderada
Média aritmética ponderada (XP) é a razão entre a soma do produto dos pesos ( p1 p 2 ,... p n ) pelos
seus respectivos valores ( x1 , x 2 ,...x n ) e a soma dos pesos.
XP =
p1 x1 + p 2 x 2 + ... p n x n
p1 + p 2 + ... + p n
Exemplo: As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram 1º B = 3; 2º B = 5; 3º B = 6
e 4º B = 8. Qual a média aritmética ponderada se os pesos dos bimestres foram:
1º B = 1; 2º B = 2; 3º B = 3; 4º B = 4
XP =
7.4.3.
1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 63
=
= 6,3
1+ 2 + 3 + 4
10
Média Geométrica
A média geométrica de (n) números reais positivos é a raiz n-ésima do produto entre esses números,
isto é:
X G = n x1 ⋅ x 2 ⋅ x3 ...x n
49
Matemática Básica
Aula 07
Exemplo (1) A média geométrica entre os números 7, 13, 18, 35 é dada por:
X G = 4 7 ⋅ 13 ⋅ 18 ⋅ 35 = 4 57330 = 15,47
Exemplo (2) Qual o retângulo de menor perímetro com área de 64 cm2?
a ⋅ b = 64 A média geométrica de a ⋅ b fornece este valor: X G = 64 = 8 ⇒ É o quadrado de lado 8
cujo perímetro vale 32 cm.
50
Matemática Básica
Aula 08
8. Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais
As expressões algébricas contêm parte numérica e parte literal (letras) e são usadas na solução de
problemas e demonstrações de fórmulas em todas as áreas do conhecimento quantitativo.
Polinômios: As expressões algébricas são denominadas de polinômios quando possuírem só um
tipo de variável na forma dos exemplos a seguir:
3 x ⇒ Monômio (um termo)
3x + 2 ⇒ Binômio (dois termos)
2 x 2 + 2 x − 1 ⇒ Trinômio (três termos)
5 x 3 + 2 x 2 − 3 x + 2 ⇒ Polinômio (denominação genérica).
8.1.
Adição e subtração de expressões
Só podemos operar (juntar) termos semelhantes, isto é, que tem a mesma parte literal com mesmo
expoente.
semelhantes
Exemplo (1) (3xy − y − z ) + (2 x + 4 y − 3 z ) = (3 xy + 2 x + 3 y − 4 z )
semelhantes
semelhantes
Exemplo (2)
(5 xy − x 3 + 4 y ) − (5 + 2 x 3 − 4 z − 6 xy ) = (5 xy − x 3 + 4 y − 5 − 2 x 3 + 4 y + 6 xy ) = 11xy − 3x 3 + 8 y − 5
8.2.
semelhantes
Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis.
Multiplicamos parte numérica com parte numérica e parte literal com literal.
Exemplo (1)
(5 x) ⋅ (−3 y ) = −15 xy
Exemplo (2)
(3 x − y 2 + 4) ⋅ ( x + 1) = 3 x 2 − xy 2 + 4 x + 3 x − y 2 + 4 ⇒ 3 x 2 − xy 2 + 7 x − y 2 + 4
Exemplo (3)
(2 x 3 − 2 x 2 − x − 2) ⋅ ( x 2 − 2) Podemos também usar o algoritmo em colunas.
Obs. O (-2) e o (x2) multiplicam cada termo e os resultados são postos em colunas por semelhança
para somarmos em seguida.
51
Matemática Básica
3x 3
− 6x3
8.2.1.
3x 5
− x4
− x3
3x 5
− x4
− 7x3
Aula 08
− x2
−x
x2
+ 2x 2
+ 2x + 8
− 4x
−4
−2
2
− 2x 2
+ 2x + 8
Produtos Notáveis
Denominamos de produtos notáveis quando multiplicamos binômios iguais. Veja:
1º ⇒ (a + b) 2 = (a + b) ⋅ (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
2º ⇒ (a − b) ⋅ (a − b) = (a − b)(a − b) = a 2 − 2ab + b 2
3º ⇒ (a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2
Desenvolva usando produtos notáveis.
Exemplo (1)
(3 x + 5 y ) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 5 y + (5 y ) 2 = 9 x 2 + 30 xy + 25 y 2
a
b
a2
2ab
b2
Exemplo (2)
Usando o 2º produto notável
(2 − x) 2 = 2 2 − 2 ⋅ 2 x + x 2 = 4 − 4 x − x 2
a b
a2- 2ab + b2
Exemplo (3)
Usando o 3º produto notável
(−3 + 5 x) ⋅ (3 + 5 x) = (5 x − 3)(5 x + 3) = (5 x) 2 − 3 2 = 25 x 2 − 9
a b
a b
a2 – b2
52
Matemática Básica
8.3.
Aula 08
Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais
Dividimos número por número e parte algébrica por parte algébrica de cada termo do numerador
pelo termo do denominador.
Exemplo (1)
1/ 2/ x/ 2 3/ x/ x/ 3
=
=
12 x ÷ 4 x =
x/ x/ x/ x
4/ x/ 3
2
3
Exemplo (2)
(4 x 3 y + 4 x + 8) ÷ 3 x 3 y ⇒
4x3 y
4x
8
4
4
8
+ 2 + 2 = x+
+ 2
2
3 xy 3 x y
3x y 3x y 3x y 3
Exemplo (3)
(3 x 3 − 3 x 2 − x − 2) ÷ ( x − 2) Podemos também usar o algoritmo, neste caso, para a divisão de
polinômios. Lembre:
A
B ⇔ A = B ⋅C + R
R
C
A = Dividendo
B = Divisor
C = Quociente
R = Resto
12
5
− 10
2
12 = 5 ⋅ 2 + 2
2
3/ x/ 3
− 3/ x/ 3
− 3x 2
− 6x 2
− 9/ x/ 2
+ 9/ x/ 2
−x
x−2
−2
3 x 2 − 9 x + 17
−x
+ 18 x
1/ 7/ x/
− 1/ 7/ x/
−2
−2
+ 34
A resposta da divisão é
3 x 2 − 9 x + 17 com resto 32
32
Podemos provar que: 3 x 3 − 3 x 2 − x − 2 = (3 x 2 − 9 x + 17) ⋅ ( x − 2) + 32
Divide sempre 1º termo do dividendo pelo 1º do divisor e a resposta que dá no quociente multiplica
por cada termo do divisor colocando o resultado de baixo do dividendo com sinal contrário em
53
Matemática Básica
Aula 08
colunas semelhantes para somar e retornar ao mesmo procedimento podendo sobrar no final resto
diferente de zero.
8.4.
Fatoração e Simplificação
Sempre que for possível fatorar e simplificar para tornar mais simples uma expressão numérica ou
algébrica devemos fazê-lo com os seguintes procedimentos.
• Colocando em evidência o que é comum a cada termo (fatoração)
• Cancelando fatores do numerador com fatores do denominador da fração que sejam
semelhantes (simplificação)
• Dividindo numerador e denominador por um mesmo valor (simplificação)
• Juntando (adição e subtração) termos semelhantes (fatoração)
Fatore e ou simplifique as expressões a seguir sempre que for possível.
Exemplo (1)
3 xy 2 − 6 xy
yx 2 − y
1º) Colocando em evidência (3xy) no numerador por serem comuns a cada termo e (y) do
denominador por ser comum a cada termo.
3 xy ( y − 2)
y ( x 2 − 1)
2º) Dividimos cada termo dado inicialmente pela parte posta em evidência. Vejamos.
6/ x/ y/
3/ x/ y 2/
=y
=2
3/ x/ y/
3/ x/ y/
Veja denominador
y/ x 2
y
= x2
=1
y/
y
3º) Simplificamos (y) (parte comum em evidência do numerador e denominador) e obtemos a
resposta
3 xy/ ( y − 2)
y/ ( x 2 − 1)
3 x( y − 2)
x2 −1
Exemplo (2)
54
Matemática Básica
Aula 08
1

2
2
2
16a −  ⇒ (Fatoramos) lembrando o produto notável (a + b) ⋅ (a − b) = a − b . É só extrair a
9


raiz para obter os valores anteriores.
16a 2 = 4a
1 1
=
9 3
Logo: 16a 2 −
1 
1 
1
=  4a +  ⋅  4a − 
9 
3 
3
Exemplo (3)
x 2 − 8 x + 16 ⇒ vem de um produto notável do tipo: (a − b) ⋅ (a − b) = (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b . Para
achar a e b é só extrair a raiz de x2 e 16.
x2 = x
16 = 4
Logo: x 2 − 8 x + 16 = ( x − 4) ⋅ ( x − 4)
Exemplo (4)
x2 − 9
⇒ Fatorando numerador e denominador com os produtos notáveis temos:
x 2 − 6x + 9
x 2 − 9 = ( x + 3) ⋅ ( x − 3)
x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) ⋅ ( x − 3)
x2 = x
9 =3
Logo:
x2 − 9
( x + 3)( x − 3) x + 3
=
=
2
x − 6 x + 9 ( x − 3)( x − 3) x − 3
Exemplo (5)
Cuidado nas simplificações numéricas.
• Nas adições e subtrações, todos os termos do numerador devem ser simplificados com o
denominador, pois equivale a pôr em evidencia. Veja:
20 x + 40 y
20( x + 2 y )
= 4 x + 8 y pois
= 4( x + 2 y ) = 4 x + 8 y
5
5
• Na multiplicação e divisão, é um fator do numerador com um do denominador. Veja:
20 x ⋅ 40 y 4 x ⋅ 40 y
=
= 160 xy
5/
1
55
Matemática Básica
20 x ÷ (4 − 12 y ) =
Aula 08
20 x
5x
20
5
pois:
=
=
4 − 12 y 1 − 3 y
4(1 − 3 y ) (1 − 3 y )
56
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Aula 09
9. Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo
A trigonometria básica do triângulo é uma das partes da matemática mais antiga e aplicada pelos
povos antigos em suas construções de pirâmides, cálculos de distâncias, alturas, topografia, etc.
Estudaremos aqui só as relações métricas e trigonométricas do triangulo retângulo.
9.1.
Relações Trigonométricas
(Relações lados - ângulos)
c
a
α
b
α ⇒ ângulo(alfa )
sen 2α + cos 2 α = 1
senα
tgα =
cos α
seno ⇒ seno
cos seno ⇒ cos
tan gente ⇒ tg
a
c
a ⇒ cateto oposto ao ângulo (α )
c ⇒ hipotenusa
b
cos α =
c
b ⇒ cateto adjacente ao ângulo (α )
c ⇒ hipotenusa
a
tgα =
b
a ⇒ cateto oposto ao ângulo (α )
b ⇒ cateto adjacente ao ângulo (α )
Exemplo: Calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo ( α ) e comprovar as demais relações.
senα =
5
3
α
4
57
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Aula 09
3
= 0,6
5
4
cos α = = 0,8
5
3
tgα = = 0,75
4
2
sen α + cos 2 α = 1
senα =
2
2
9 16
3  4
+
=1
  +   =1⇒
25 25
5  5
senα
tgα =
cos α
3
3 5 3 5/ 3
= = ⋅ = = 0,75
4 4 5/ 4 4
5
O ângulo α vale 36,86989765º, usando sen-1 (0,6) na calculadora podemos obter este valor.
sen 36,86989765º= 0,6
cos 36,86989765º=0,8
tg 36,86989765º=0,75
9.2.
Relações Métricas
Pitágoras
A soma dos quadrados dos catetos (a2 + b2) é igual ao quadrado da hipotenusa (c2)
a2 + b2 = c2
Relações secundárias
a2 + b2 = c2
c
m
2
a = c⋅m
b2 = c ⋅ n
n
2
h = m⋅n
c = m+n
a ⋅b = c ⋅h
a
h
α
b
58
Matemática Básica
Aula 09
Exemplo: Conferir as relações métricas do triângulo retângulo.
m
a=3
n
h
c=5
α
b=4
3 2 + 4 2 = 5 2 ⇒ 9 + 16 = 25
9
5
16
b2 = c ⋅ n ⇒ 42 = 5 ⋅ n ⇒ n =
5
a 2 = c ⋅ m ⇒ 32 = 5 ⋅ m ⇒ m =
h2 = m ⋅ n ⇒ h = m ⋅ n =
 m + n = c
 9 + 16 = 25 = 5
 5 5
5
9 16 3 ⋅ 4 12
⋅
=
=
= 2,4
5 5
5
5
a ⋅ b = c ⋅ h ⇒ 3 ⋅ 4 = 5 ⋅ 2,4 ⇒ 12 = 12
59
Matemática Básica
Aula 10
10.Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações
10.1. Grandezas Físicas
Grandezas físicas (físicas, químicas, biológicas, etc) são todas as grandezas que podemos medir ou
contar e que para tal tem instrumentos de medição e contagem e um significado físico padrão
também denominado de unidade.
10.2. Fenômenos Físicos
O homem observa os fenômenos para descobrir as leis que os regem. As descobertas científicas se
traduzem em aplicações tecnológicas como o avião, o carro, o telefone celular, etc.
10.3. Medição
A medição é a operação pela qual associamos um número a uma grandeza física.
Ex:
massa de uma porção de ouro, m = 3 kg, medida com a balança.
10.4. Sistemas de Unidades
Sistema Internacional (SI) – grandezas fundamentais da física.
Uma unidade física é um padrão de comparação. O sistema internacional de medidas (SI) também é
denominado MKS (metro-kilograma segundo) que constituem as grandezas fundamentais da
mecânica.
Existem, ainda, dois outros sistemas em uso, veja a seguir.
Unidades e subunidades
1 tonelada = 1t = 1.000 kg
tempo: 1h = 60 min = 3.600s
Exemplos:
1 km = 1.000 m
1 kg = 1.000 g
8 h = 28.800 s
5,80 m = 580 cm
61
Matemática Básica
Aula 10
600 g = 0,6 kg
1 mm = 0,001 m
1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000 
2 km2 = 2.000.000 m2
500  = 0,5 m3
36
km 3.600m
m
=
= 10
h
3.600 s
s
10.5. Fatores que interferem na medição
É impossível medir uma grandeza física com precisão absoluta devido a fatores como
incompetência e desatenção do medidor, imperfeições do aparelho, grau de precisão do
instrumento, etc. Fenômenos como dilatações, temperatura, umidade do ar e outros interferem no
valor da medida.
10.6. Precisão de um Instrumento de Medida
A precisão de um instrumento de medida corresponde à menor divisão do instrumento.
Ex.: uma régua graduada em milímetros tem precisão de milímetros e uma balança graduada em
dg (decigrama) tem precisão de decigrama.
10.7. Algarismo significativo
É todo o algarismo relacionado com a medição e o instrumento utilizado. Os algarismos corretos e o
primeiro algarismo duvidoso, isto é, que vai além da menor divisão oferecida pelo instrumento, são
chamados de algarismos significativos.
Exemplo: Em uma régua cuja menor divisão é o milímetro, deve-se obter medidas até décimos
de mm. Assim, por exemplo, ao se medir o comprimento de um lápis com esta régua podemos
obter valores como:
15,32 cm
duvidoso em décimos de mm (vai além do instrumento)
precisão do instrumento em (mm)
10.8. Arredondamentos
Os valores das grandezas são arredondados para manter o número de algarismos significativos da
medição. Assim, o procedimento mais simples utilizado é o seguinte: se o algarismo imediatamente
à direita do último algarismo a ser conservado for inferior a 5, suprimimos o algarismo e todos os
subseqüentes a ele, e o anterior fica como está; se for igual ou superior a 5, o anterior é aumentado
de uma unidade.
62
Matemática Básica
Aula 10
Ex.: se desejamos uma precisão de duas casas decimais, fazemos:
20,345 cm = 20,35 cm.
20,3449 cm = 20, 34 cm.
10.8.1.
Operações com Algarismos Significativos
10.8.1.1.
Adição e Subtração
O resultado deverá ter o número de casas decimais da parcela que menos os tiver:
Exemplos:
a) 125,12 cm → 2 casas
+ 40,3 cm
165,42
165,4 cm
b)
c)
→ 1 casa
→ 1 casa
8,389 m
+ 0,40 m
8,789 m
8,79 m
→ 3 casas
→ 2 casas
7,49 kg
– 3,2 kg
4,29 kg
4,3 kg
→ 2 casas
→ 1 casa
10.8.1.2.
→ 2 casas
→ 1 casa
Multiplicação e Divisão:
O resultado deverá ter o número de algarismos significativos do fator que menos os tiver.
Exemplos:
2
a) 15
,
42cm ⋅ 3
,2 cm = 49,3/ 4/ 4/ cm 2 → 49
 cm

2 sign .
2 sign .
4 signif .
2
b) 4
,
378
,41m = 1,816/ 5975m → 1
,82m
 m ÷ 2
4 signif .
2 sign .
3 sign .
10.9. Notação Científica
Notação científica de uma grandeza física é escrever este valor num produto de dois fatores, onde o
1° é um número situado entre 1 e 10 e o 2° é uma potência de 10.
Ex.:
0,0003s = 3,0 . 10-4s.
63
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Aula 10
1231m = 1,231 . 103m.
0,0021g = 2,1 . 10-3g.
carga elétrica elementar 1,6 . 10-19 coucomb
Ano-luz
9,46 . 1015 metros.
N° de Avogadro
6,02 . 1023
Massa da Terra
5,983 . 1024 quilogramas.
Operações:
Adição: 2⋅107 + 23⋅106 = 2⋅107 + 2,3⋅107 = 4,3⋅107
Subtração: 4⋅108 – 4⋅107 = 4⋅108 – 0,4⋅108 = 3,6⋅108
Multiplicação: (2.103).(4.106)=8.109
4 ⋅10 7
7
3
Divisão: 4 ⋅10 ÷ 2 ⋅10 =
= 2 ⋅10 4
3
2 ⋅10
10.10. Ordem de grandeza.
É a potência de dez mais próxima do valor da medida.
Para facilitar a obtenção da ordem de grandeza de um número adotamos os seguintes passos:
1º passo: escrevemos o número em notação cientifica.
2º passo: se o número que multiplica a potência de dez for igual ou superior a 5,5, isto gera
1
10 que vai se juntar à potência já existente. Caso for inferior a 5,5, gera 100 que não vai alterar a
potência anterior.
Ex.: 822  8,22 · 102  101 · 102  103
110  1,10 · 102  100 · 102  102
2,5 · 104  100 · 106  106
5,8 · 106  101 · 106  107
0,0055  5,5 · 10-3  101 · 10-3  10-2
10.11. Grandezas Físicas
É toda a grandeza que podemos medir.
10.11.1.
Grandezas Escalares
são as que ficam bem definidas quando expressas por:
– um número
– um significado físico (unidade)
Ex.: 3kg, 2 s
significado físico
número
10.11.2.
Grandezas Vetoriais
são as que ficam bem definidas quando expressas por:
– um número
– um significado físico (unidade)
64
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Aula 10
– uma orientação (direção e sentido que é dado por uma flecha que denominamos de vetor.)
Ex.:
3 → número (intensidade)
N → Newton (unidade de força)
direção: horizontal
sentido: para direita
10.11.2.1.
Operações com grandezas vetoriais
10.11.2.1.1.
Adição
  
  
S = V1 + V2 ou R = V1 + V2
 
Seja a soma dos vetores V1 e V2
Vejamos três métodos para determinar o vetor resultante.
10.11.2.1.1.1.
Regra da poligonal
Os vetores são postos um após o outro.
2
2
R = V1 + V2 − 2V1V2 cos α
R = 4 2 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 cos120°
R = 16 + 9 + 12 = 37 ≅ 6,08
65
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Aula 10
10.11.2.1.1.2.
Regra do paralelogramo
Os vetores têm a mesma origem.
θ = 60º
2
2
R = V1 + V2 + 2V1V2 cosθ
R = 4 2 + 32 + 2 ⋅ 4 ⋅ 3 cos 60°
R = 6,08
10.11.2.1.1.3.
Regra da decomposição cartesiana
V2x = V2 cos 60º = 3 . 0,5 = 1,5
V2y = V2 sen 60º = 3 . 0,866 = 2,598
Note que:
V2 = 3 foi projetado sobre o eixo x e sobre o eixo y, já o vetor V1 = 4 já está sobre o eixo ou
seja, já se encontra projetado onde:
V1x = V1 = 4 (sobre o eixo x)
V1y = 0 (sobre o eixo y)
Logo:
66
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Rx = V2x + V1 = 1,5 + 4 = 5,5
resultante sobre o eixo x
Ry = V2y = 2,598
resultante sobre o eixo y
2
R = Rx + R y
2
R = (5,5) 2 + (2,598) 2
R = 30,25 + 6,7496
R = 36,9996 ≅ 6,08
10.11.2.1.2.
Subtração ou Diferença
  
D = V1 − V2
Procede-se como na adição, bastando inverter o vetor.
Veja:
10.11.2.1.2.1.
Regra da poligonal
2
2
D = V1 + V2 − 2V1V2 cosθ
D = 4 2 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 cos 60°
D = 25 − 12 = 13 ≅ 3,61
10.11.2.1.2.2.
2
Regra do paralelogramo
2
D = V1 + V2 + 2V1V2 cos120°
D = 4 2 + 32 + 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ (−0,5)
D =≅ 3,61
ou
67
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2
Aula 10
2
D = V1 + V2 − 2V1V2 cos 60°
D = 4 2 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 0,5
D ≅ 3,61
10.11.2.1.2.3.
Regra da Decomposição Cartesiana
V2x = –V2 cos 60º = –3.0,5 = –1,5
V2y = –V2 sen 60º = –3.0,866 = –2,598
Rx = V1 + V2y = 4 – 1,5 = 2,5
Ry = V2y = –2,598
2
D = Rx + R y
2
D = 6,25 + 6,7496
D = 12,9996
D ≅ 3,61
68