Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica RESOLUÇÃO DE UM SITEMA Ax=b PELA FATORAÇÃO LDU Bruno Jácome Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica INTRODUÇÃO - Algoritmos para programas de simulação de Sistemas de Elétricos de Potência (Estabilidade transitória, fluxo de potência, entre outros) -Conjunto de equações esparsas - Equações que descrevem as redes elétricas: expressas como -A é uma matriz esparsa; - x é um vetor desconhecido - b é o vetor independente dado Ax=b, onde: Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica FATORAÇÃO LDU Importância do uso da técnica - Diminuição do esforço computacional ao se inverter uma matriz, visto que numa rede elétrica real, pode-se cair num sistema do tipo Ax=b, com centenas a milhares de equações. Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica FATORAÇÃO LDU O que é a Fatoração LDU -Técnica utilizada para se resolver um sistema, subdividindo a matriz A em: - L: Matriz triangular inferior => Ax = b => LDUx=b - D: Matriz diagonal - U: Matriz triangular superior - Inversão implícita de matriz A A = L D U Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica FATORAÇÃO LDU Métodos utilizados - Método de Crout. - Método de Doolittle. - Método de eliminação de Gauss Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica FATORAÇÃO LDU A Eliminação de Gauss Fase de eliminação: o objetivo é empregar transformações elementares na matriz aumentada, visando obter um correspondente a um sistema triangular superior. Os multiplicadores obtidos nessa etapa são utilizados na matriz L. Fase de substituição retrocedida: inicia-se resolvendo a última equação, cuja solução é substituída na penúltima e resolve-se na penúltima variável, e assim em forma consecutiva. Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica FATORAÇÃO LDU A Eliminação de Gauus: Exemplo Matriz aumentada Multiplicadores: m(2,1) = -0,5 m(3,1) = 1,5 m(3,2) = 0,14 Transformações elementares Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica FATORAÇÃO LDU -A Matriz L, triangular inferior, terá a diagonal principal igual a 1, e os elementos abaixo dela são os multiplicadores utilizados na eliminação de Gauss. -A Matriz D, diagonal, é composta pela diagonal principal do sistema resultante da eliminação de Gauss. - A matriz U, triangular superior, terá a diagonal principal igual a 1, e os elementos acima dela são obtidos ao se dividir a matriz dada pela eliminação de Gauss em D e U. Ex.: U(1,2) = A’’(1,2)/A’’(1,1) ; U(1,3) = A’’(1,3)/A’’(1,1) ; U(2,3) = A’’(2,3)/A’’(2,2) Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica SOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR Ax=b =>> x=A-1b A=LDU => LDUx=b => LUx=b Ux = y Ly = b Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica SOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR 1º Passo: Resolve-se Ly = b, utilizando substituição para frente. Obtêm-se y. 2º Passo: Faz-se U’ = D*U e resolve-se U’ x = y, utilizando retrosubstituição. O resultado procurado x é obtido. Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica SOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR Exemplo Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica SOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR 1º Passo: Resolve-se Ly = b, utilizando substituição para frente. Obtêm-se o vetor y ou ainda, Substituindo, encontramos y1 1 0,5 y1 y2 12 1,5 y 0,1429 y y 0 1 2 3 Y= 1 11,5 3,1429 Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica SOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR 2º Passo: Faz-se U’ = D*U e resolve-se U’ x = y, utilizando retro substituição. O resultado procurado x é obtido. ou ainda, 2 x1 x2 3 x3 1 3,5 x2 0,5 x3 11,5 1,5714x 3,1429 3 Portanto, por retro substituição temos: X = 1 3 2 Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica Rotina em Matlab Multiplicadores: m(2,1) = -0,5 m(3,1) = 1,5 m(3,2) = 0,14 Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica Rotina em Matlab Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica Rotina em Matlab y (1) b(1) b(2) L(2,1) y (1) y (2) L(2,2) b(3) L(3,1) y (1) L(3,2) y (2) y (3) L(3,3) b(n) L(n,1) y (1) L(n, n 1) y (n 1) y ( n) L(n, n) Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica Rotina em Matlab x ( n) y ( n) U ' (n, n) y (n 1) U (n 1, n) x(n) x(n 1) U (n 1, n 1) y (n 2) U (n 2, n 1) x(n 1) U (n 2, n) x(n) x(n 2) U (n 2, n 2) y (2) U (2,3) x(3) U (2,4) x(4) U (2, n) x(n) x(2) U (2,2) y1 U (1,2) x(2) U (1,3) x3 U (1, n) x(n) x(1) U (1,1) Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica Rotina em Matlab Universidade Federal de São João del-Rei Departamento de Engenharia Elétrica Conclusão Com a fatoração LDU, o esforço da maquina que realizará os cálculos se torna consideravelmente menor, e dessa forma a aquisição de dados necessários para se fazer o controle de alguma grandeza se torna muito mais rápido. Isso se deve ao fato de a inversão de uma matriz grande e esparsa não ser mais necessário. Dessa forma deve-se destacar a importância da criação de rotinas apresentadas anteriormente, que podem ser uma possibilidade eficaz para resolução inicial do sistema de distribuição nas redes e barramentos de qualquer sistema elétrico de potência
